nguloPara otros usos de este trmino, vasengulo (desambiguacin).ngulos redirige aqu. Para la localidad de Argentina, vaseAngulos.

Un ngulo positivo de 45.

ngulo de 1(amplitud de 1 grado sexagesimal).Unnguloes la parte delplanocomprendida entre dos semirrectas que tienen el mismo punto de origen ovrtice.1Suelen medirse en unidades tales como elradin, elgrado sexagesimalo elgrado centesimal.Pueden estar definidos sobre superficies planas (trigonometraplana) o curvas (trigonometra esfrica). Se denominangulo diedroal espacio comprendido entre dossemiplanoscuyo origen comn es una recta. Unngulo slidoes el que abarca un objeto visto desde un punto dado, midiendo su tamao aparente.ndice[ocultar] 1Definicin y caractersticas 1.1Definiciones clsicas 1.2Regin angular 2Amplitud de un ngulo 2.1Unidades de amplitud 3Tipos de ngulos 3.1ngulos convexo y cncavo 4ngulos relacionados 5ngulos de un polgono 6ngulos respecto de una circunferencia 7Triseccin del ngulo 8ngulos tridimensionales 8.1Coordenadas angulares tridimensionales 9ngulos en un espacio vectorial 10Galera de ngulos 11Vase tambin 12Referencias 13Enlaces externosDefinicin y caractersticas[editar]Existen bsicamente dos formas de definir un ngulo en elplano:1. Forma geomtrica: Se le llama "ngulo" a la amplitud entre dos lneas de cualquier tipo que concurren en un punto comn llamadovrtice. Coloquialmente, ngulo es la figura formada por dos lneas con origen comn. El ngulo entre dos curvas es el ngulo que forman sus rectas tangentes en el punto de interseccin.2. Forma trigonomtrica: Es la amplitud de rotacin o giro que describe un segmento rectilneo en torno de uno de sus extremos tomado como vrtice desde una posicin inicial hasta una posicin final. Si la rotacin es en sentido levgiro (contrario a las manecillas del reloj), el ngulo se considera positivo. Si la rotacin es en sentido dextrgiro (conforme a las manecillas del reloj), el ngulo se considera negativo.Definiciones clsicas[editar]Euclidesdefine un ngulo como la inclinacin mutua de dos lneas que se encuentran una a otra en un plano y no estn en lnea recta. SegnProclo, un ngulo debe ser una calidad o una cantidad, o una relacin. El primer concepto fue utilizado porEudemo de Rodas, que describi un ngulo como desviacin de una lnea recta; el segundo porCarpo de Antioqua, que lo vio como el intervalo o el espacio entre las lneas que se intersecaban; Euclides adopt un tercer concepto, aunque sus definiciones de ngulos rectos, agudos, y obtusos son cuantitativas.Regin angular[editar]Se denominaregin angularcada una de las dos partes en que queda dividido el plano por un ngulo.2Amplitud de un ngulo[editar]Se llamaamplitudde un ngulo a la medida de ste.2Unidades de amplitud[editar]

Transportador de ngulos.Las unidades utilizadas para la medida de los ngulos del plano son: Radin(usado oficialmente en elSistema Internacional de Unidades)

Grado sexagesimal

Grado centesimal

Los ngulos se pueden medir mediante utensilios tales como elgonimetro, elcuadrante, elsextante, la ballestina, eltransportadorde ngulos o semicrculo graduado, etc.Tipos de ngulos[editar]Los ngulos, de acuerdo con su amplitud, reciben estas denominaciones:

Las manillas de un reloj conforman distintos tipos de ngulos. En este caso, unngulo agudo.TipoDescripcin

ngulo nulo

Es el ngulo formado por dos semirrectas coincidentes, por lo tanto su abertura es nula, o sea de 0.

ngulo agudo

Es el ngulo formado por dos semirrectas con amplitud mayor de 0rady menor derad.Es decir, mayor de 0 y menor de 90 (grados sexagesimales), o menor de 100g(grados centesimales).

ngulo recto

Un ngulo recto es de amplitud igual arad.Es equivalente a 90sexagesimales(o 100gcentesimales).Los dos lados de un ngulo recto sonperpendicularesentre s.La proyeccin ortogonal de uno sobre otro es un punto, que coincide con el vrtice.

ngulo obtuso

Un ngulo obtuso es aquel cuya amplitud es mayor arady menor arad.Mayor a 90 y menor a 180sexagesimales(o ms de 100gy menos de 200gcentesimales).

ngulo llano

El ngulo llano tiene una amplitud derad.Equivalente a 180sexagesimales(o 200gcentesimales).

ngulo oblicuo

ngulo que no es recto ni mltiplo de un ngulo recto.Los ngulos agudos y obtusos son ngulos oblicuos.

ngulo completoo perigonal

Un ngulo completo o perigonal, tiene una amplitud derad.Equivalente a 360sexagesimales(o 400gcentesimales).

ngulos convexo y cncavo[editar]En un plano, dos semirrectas (no coincidentes ni alineadas) con un origen comn determinan siempre dos ngulos, uno convexo (el de menor amplitud) y otro cncavo (el de mayor amplitud):1TipoDescripcin

ngulo convexoo saliente

Es el que mide menos derad.Equivale a ms de 0 y menos de 180sexagesimales(o ms de 0gy menos de 200gcentesimales).

ngulo cncavo,reflejo o entrante

Es el que mide ms derady menos derad.Esto es, ms de 180 y menos de 360sexagesimales(o ms de 200gy menos de 400gcentesimales).

ngulos relacionados[editar]En funcin de su posicin, se denominan: ngulos adyacentes, los que tienen un vrtice y un lado comn, y semirrectas opuestas, pero no tienen ningn punto interior comn, y suman 180. ngulos consecutivos, los que tienen un lado y el vrtice comn. ngulos opuestos por el vrtice, aquellos cuyos lados son semirrectas opuestas.

En funcin de su amplitud, se denominan: ngulos congruentes, aquellos que tienen la misma amplitud, es decir, que miden lo mismo. ngulos complementarios, aquellos cuya suma de medidas es /2 radianes o 90. ngulos suplementarios, aquellos cuya suma de medidas es radianes o 180. ngulos conjugados, aquellos cuyas medidas suman 2 radianes o 360.Cuando dos rectas son cortadas por una tercera en distindo punto:3

RectaQueCorta ngulos alternos: ngulos dispuestos a distinto lado de una recta que corta otras dos pero que no comparten lado.oes alterno ao aoes alterno ao ay viceversa. ngulo alternos internos: ngulos comprendidos entre dos rectas pero situados a distinto lado de la recta cortante.es alterno interno aes alterno interno a ngulo alternos externos: ngulos no comprendidos entre dos rectas pero situados a distinto lado de la recta que corta.es alterno externo aes alterno externo a ngulos correspondientes, formados por dos paralelas y una transversal. Se encuentran en el mismo semiplano con respecto a la transversal y uno pertenece a la regin interior y otro a la regin exterior. Son congruentes.ngulos de un polgono[editar]En funcin de su posicin, se denominan: ngulo interioro interno de un polgono, es el formado por lados adyacentes, interiormente. ngulo exterioro externo de un polgono, es el conformado por un lado y la prolongacin del adyacente.ngulos respecto de una circunferencia[editar]

ngulos en la circunferencia.

Arco capaz: los cuatro ngulos inscritos determinan el mismo arco y por tanto son iguales.Un ngulo, respecto de unacircunferencia, pueden ser:ngulo central, si tiene su vrtice en el centro de sta.La amplitud de un ngulo central es igual a la del arco que abarca.ngulo inscrito, si su vrtice es un punto de la circunferencia y sus lados la cortan en dos puntos.La amplitud de un ngulo inscrito es la mitad de la del arco que abarca. (Vase:arco capaz.)ngulo semi-inscrito, si su vrtice est sobre sta, uno de sus lados la corta y el otro es tangente, siendo el punto de tangencia el propio vrtice.La amplitud de un ngulo semi-inscrito es la mitad de la del arco que abarca.ngulo interior, si su vrtice est en el interior de la circunferencia.La amplitud de un ngulo interior es la mitad de la suma de dos medidas: la del arco que abarcan sus lados ms la del arco que abarcan sus prolongaciones;ngulo exterior, si tiene su vrtice en el exterior de sta.La amplitud de un ngulo, no es la mitad de la diferencia de los dos arcos que abarcan sus lados sobre dicha circunferencia.Triseccin del ngulo[editar]Artculo principal:Triseccin del nguloLa triseccin del ngulo es un problema clsico que consiste en dividir un ngulo dado en tres partes iguales usando sloregla y comps. En general, es imposible de resolver con esas condiciones.ngulos tridimensionales[editar] Elngulo diedro, es cada una de las dos partes del espacio delimitadas por dos semiplanos que parten de una recta comn, Elngulo slido, es la zona del espacio delimitada por una superficie cnica.Coordenadas angulares tridimensionales[editar] Losngulos de Euler, son tres coordenadas angulares que indican la orientacin de un sistema de referencia de ejes ortogonales, normalmente mvil, respecto a otro fijo.ngulos en un espacio vectorial[editar]Dado unespacio vectorial, cuyo cuerpo es el conjunto de los nmeros reales y en el que existe unproducto escalarentre vectores, se define el ngulo formado por dosvectoresno nulosemediante la expresin:

Si el cociente anterior es 0, se dice que ambos vectores sonortogonaleso perpendiculares. El cociente anterior est en el intervalodebido a laDesigualdad de Cauchy-Schwarz, lo que garantiza que siempre puede aplicarse el arcocoseno. Normalmente, se toma la rama del arcocoseno de forma que el ngulo que forman dos vectores siempre est en el intervalo(geomtricamente, se elige elmenorde los ngulos que forman dos vectores). Las principales propiedades que cumple el ngulo de dos vectores son las siguientes: Si multiplicamos uno de los vectores por un escalar positivo, el ngulo no cambia. Si multiplicamos uno de los vectores por un escalar negativo, el ngulo pasa a ser el complementario. Se cumple elTeorema del coseno, es decir, dadoseno nulos,

Galera de ngulos[editar]

ngulos coterminalesLosngulos coterminalessonngulosen posicin estndar (ngulos con el lado inicial en el eje positivo de lasx) que tienen un lado terminal comn. Por ejemplo 30, 330 y 390 son todos coterminales.Para encontrar un ngulo coterminal positivo y uno negativo con un ngulo dado, puede sumar y restar 360 si el ngulo es medido engradoso 2 si el ngulo es medido enradianes.Ejemplo 1:Encuentre un ngulo coterminal positivo y uno negativo con un ngulo de 55.55 360 = 30555 + 360 = 415Un ngulo de 305 y un ngulo de 415 son coterminales con un ngulo de 55.

ngulos complementarios

Los ngulos y son complementarios.Losngulos complementariosson aquellos ngulos cuyas medidas suman 90 (grados sexagesimales). Si dosnguloscomplementarios sonconsecutivos, los lados no comunes de los dos forman unngulo recto.As, para obtener el ngulo complementario de, teniendouna amplitud de 70, se restarde 90: = 90 70 = 20el ngulo(beta) es el complementario de(alfa).Sabiendo esto, dichos ngulos formarn siempre un tringulo rectngulo puesto que los ngulos en un tringulo rectngulo son uno de 90 y los otros dos deben sumar 90 (180(grados totales de un tringulo)-90=90). Por tanto, el seno dees igual al coseno dey el seno deigual al coseno depuesto que pertenecen al mismo tringulo rectngulo.La diagonal de un rectngulo tambin configura ngulos complementarios(90) con los lados adyacentes.

ngulos suplementarios

ngulos suplementarios.Dos ngulosysonngulos suplementarios, si suman 180 (grados sexagesimales). Un ngulo tienesuplementariosi es menor que 180. El valor de 180 es el mismo que dos ngulos rectos,radogrados centesimales.ndice[ocultar] 1Mtodo de obtencin 1.1Aritmtico 2Propiedades 3Vase tambin 4Enlaces externosMtodo de obtencin[editar]Aritmtico[editar]Para obtener elngulosuplementariode un determinado ngulo, se restara 180, de manera que:

Propiedades[editar] Si dos ngulos son suplementarios de otros dosngulos congruentes, tambin son congruentes entre s. Lossenosde los angulos suplementarios son los mismos, por ejemplo:sin() = sin(180 - )sin() = sin( - )sin(120) = sin(60) Loscosenosde los ngulos suplementarios son de igualvalor absoluto, pero de signo inverso, como muestran los siguientes ejemplos:cos() = - cos(180 - )cos() = - cos( - )

RadinElradines la unidad de ngulo plano en elSistema Internacional de Unidades. Representa el ngulo central en unacircunferenciay abarca unarcocuya longitud es igual a la delradio. Su smbolo esrad. Hasta 1995 tuvo la categora de unidad suplementaria en el Sistema Internacional de Unidades, junto con elestereorradin. A partir de ese ao, y hasta el momento presente, ambas unidades figuran en la categora deunidades derivadas.Esta unidad se utiliza primordialmente enfsica,clculo infinitesimal,trigonometra,goniometra, etc.

Un ngulo de 1 radin corresponde al arco de circunferencia cuya longitud es su radio. Una circunferencia completa corresponde a 2 radianes.

ndice[ocultar] 1Definicin 2Utilidad 3Anlisis dimensional 4Equivalencias 5Conversiones entre grados y radianes 6Vase tambin 7Referencias 7.1BibliografaDefinicin[editar]

El ngulo formado por dos radios de una circunferencia, medido en radianes, es igual a la longitud del arco que delimitan los radios dividida entre el radio; es decir,=s/r, dondees ngulo,ses lalongitud de arco, yres el radio. Por tanto, elngulocompleto,, que subtiende unacircunferenciade radior, medido en radianes, es:

Utilidad[editar]El radin es una unidad sumamente til para medir ngulos, puesto que simplifica los clculos, ya que los ms comunes se expresan mediante sencillos mltiplos o divisores de .Anlisis dimensional[editar]El radin es la unidad natural en la medida de los ngulos. Por ejemplo, lafuncin senode un nguloxexpresado en radianes cumple:

Anlogamente losdesarrollos Taylorde lasfuncionessenoycosenoson: dondexse expresa en radianes.Equivalencias[editar] La equivalencia entre grados sexagesimales y radianes es: rad = 180. Por tanto1 radin = 57.29577951... grados sexagesimales y1 grado sexagesimal = 0.01745329252... radianes. La equivalencia entre grados centesimales y radianes es: rad = 200gLa tabla muestra la conversin de los ngulos ms comunes.Grados030456090120135150180210225240270300315330360

Radianes0/6/4/3/22/33/45/67/65/44/33/25/37/411/62

Otras unidades de medida de ngulos convencionales son elgrado sexagesimal, elgrado centesimaly, en astronoma, lahora. El Radin tiene una unidad derivada llamada radin por segundo (rad/s) (velocidad angular). Esta tiene una equivalencia con lasrpm. Las equivalencias se pueden calcular fcilmente con la ecuacin que sigue:De rpm a rad/sque con la ecuacin simplificada:De rad/s a rpmque con la ecuacin simplificada:Conversiones entre grados y radianes[editar]

CONVERSIONES ENTRE GRADOS Y RADIANES

Los grados y los radianes son dos diferentes sistemas para medir ngulos. Un ngulo de 360oequivale a 2 radianes; un ngulo de 180oequivale a radianes (recordemos que el nmero = 3.14159265359). Las equivalencias entre los cinco principales ngulos se muestran en las siguientes tres figuras:

Para convertir de grados a radianes o viceversa, partimos de que 180oequivalen a radianes; luego planteamos una regla de tres y resolvemos.EJEMPLO A: Convertir 38oa radianes.

Primero planteamos la regla de tres. Ntese que laxvaarriba, en la posicin de los radianes.

Despejamosx, tambin simplificamos.

Por ltimo obtenemos el equivalente decimal con calculadora:x= 0.6632 radianesEJEMPLO B: Convertir 2.4 radianes a grados.

Primero planteamos la regla de tres. Ntese que laxvaabajo, en la posicin de los grados.

Despejamosx.

Por ltimo obtenemos el equivalente decimal con calculadora:x= 137.5099o

CONVERSIN DE GRADOS A MINUTOS Y SEGUNDOS

Para la Conversin de Grados a Minutos, Segundos y Radianes es necesario definir lo quees la Trigonometra.* TRIGONOMETRA:Es la rama de la Matemtica que estudia las propiedades y medidas de ngulos y tringulos.

Para ello, es necesario apoyarnos con el Instrumento de la Calculadora y saber algunasunidades de conversin, por ejemplo:1 = 60 Minutos ( 60 ')

1 ' = 60 Segundos ( 60 '')

Radianes = 180 ( El smbolo de Pi, utilizado en Matemtica, tiene un valor numricode 3.1415927 aproximadamente de 3.1416En una Calculadora Cientfica, podemos ver ciertas abreviaturas que nos ayudarn a laconversin de las Funciones Trigonomtricas, como por ejemplo:Grados: (D) (DEG)

Radianes: (R) (RAD)

Gradianes: (G) (GRAD)Ahora veamos un ejemplo.a)Convertir 18.4567 a Grados, Minutos y Segundos. 1. Como primer paso, tenemos que el nmero entero es de 18, ste nos equivale a 18. 2. Luego los decimales despus del punto es necesario que los pasemos a minutos, as:

OJO! Eliminamos unidades iguales y dejamos nicamente la que nos interesa, es decir, los minutos. 3. Ahora, tomamos los decimales 402 y los pasamos a Segundos.

0.402 ' x 60 '' (Segundos) = 24.12''

4. Ahora unimos todas las respuestas quedndonos 18 27' 24'', que se lee: 18 Grados, 27 Minutos y 24 Segundos

NOTA: Si nos damos cuenta en cada conversin trabajamos slo con los decimales, mantenindose nicamente el primer nmero entero que corresponde a los Grados. Veamos otro ejemplo a la inversa.

b)Convertir 18 27' 24'' a Grados 1. En ste caso ya no son de Grados a Radianes, sino lo contrario, lo haremos llegar de Segundos, Minutos a Grados. Convertimos los Segundos a Minutos:

2. Ahora los 27 Minutos le adicionamos stos 0.4 minutos y lo convertimos en Grados. 3. Sumamos las Unidades Equivalentes, es decir, los 0.456 +la cantidad entera 18 quedndonos como respuesta18.456 Grados. CONVERSIONES DE RADIANES A GRADOSCmo vimos anteriormente en la conversin de Grados a Minutos y Segundos, en la conversin deRadianes a Grados se aplica el mismo procedimiento.Veamos un ejemplo:

1. Lo describimos de la siguiente manera:

Lo que se hizo en ste primer paso, fue convertir los radianes a grados,

multiplicando los ( 5 x 180 = 2827.4334) recordemos que se multiplica la

funcin en la calculadora o ya que sabemos que es equivalente a

3.1415927. Luego multiplicamos los (22 x = 69.115038). Ahora

dividimos los resultados: 2827.4334 69.115038, teniendo como

respuesta 40.909091. No olvidar las unidades equivalentes. Aqu contamos

con los 40 Grados. 2. Luego utilizando los 40.909091 empezamos a convertirlos en Grados, Minutos y Segundos. As: Seleccionamos la parte decimal .909091 x 60 ' = 54.54 ' Tenemos 54 ' Minutos

3. Teniendo los 54.54 ', nuevamente seleccionamos la parte decimal para pasarlos a segundos. 0.54 ' x 60 '' = 32.4 '' quedando 32 '' Segundos 4.Cmo respuesta tenemos R/ 40 54' 32 '' CONVERSIONES DE GRADOS A RADIANESAhora trabajaremos otro ejemplo diferente:a)Convertir 38 15' 16 '' a Radianes. 1. Primero, pasaremos las cantidades a Grados, contando ya con los 38. 2. Pasamos los 16'' a Minutos,

Ahora sumamos los 0.2666 minutos con los 15 minutos que ya se tienen,

Obteniendo 15.2666 minutos. 3. Ahora trabajamos con los 15.2666 seleccionando los decimales para convertirlos en segundos. Sumamos los 38 + 0.2544 , quedando 38.2544 . 4. Ya teniendo las cantidades en Grados, procedemos a pasar los 38.2544 a Radianes. La respuesta es 0.6676 Radianes, pero tenemos que pasarlo en funcin de Radianes, as que los 0.6676 Radianes lo dividimos por el valor de . 5. Nuestra Respuesta final es R/ 0.2125 .

'cos(120) = - cos(60)