ÁNGULOS COMPUESTOS
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CAPITULO 9
FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS
DE ÁNGULOS COMPUESTOS
EJERCICIO 9
Hallar los límites entre los cuales
varía la expresión : E = √3 Sen φ +Cos φ
Resolución:
E = √3 Sen φ + Cos φ ....mult. y divi. por ( 2 )
E = √3 Sen φ + Cos φ
2
2
2
2
E = 2 ( √3 Sen φ + Cos φ )
1
2
1
2
E = 2 ( Sen φ + Cos φ )
√3
2 2
1
= Sen 60° = Cos 60°
E = 2 ( Sen 60°.Sen φ + Cos60°.Cos φ )
Cos ( 60° - φ )
E = 2 Cos ( 60° - φ )
Sabemos que : -1 ≤ Cos x ≤ 1
- 1 ≤ Cos ( 60° - φ ) ≤ 1 .....mult. por ( 2 )
-2 ≤ 2 Cos ( 60° - φ ) ≤ 2
-2 ≤ 2 Cos ( 60° - φ ) ≤ 2
= E
[ - 2 ; 2 ]
EJERCICIO 10
En la figura, hallar el máximo va-
lor de " θ "
A C
N
B
M
θ
Resolución:
Del gráfico : α + θ = β
θ = β - α
Tg θ = Tg ( β - α )
A C
N
B
M
θ
β
α
a
a
b
b
A
N
B
M
β
a
a
b
Tg β =
2a
b
C
N
B
M
α
a
b
b
Tg α =
a
2b
Tg β - Tg α
1 - Tg β.Tg α
Tg θ =
Reemplazando valores :
-
1 +
Tg θ = =
2a
b
a
2b
2a
b
a
2b
.
3a
2b
2b² + 2a²
2b²
Tg θ = = ......( I )
3ab
2b² + 2a²
3
2
ab
b² + a²
( )
Si : a Є R , b Є R → a - b Є R
( a - b ) ² ≥ 0 para todo a , b Є R
a ² - 2 ab + b ² ≥ 0
a ² + b ² ≥ 2ab
ab
b² + a²
≤
1
2
máx. valor =
1
2
Tg θ = =
3
2
.
1
2
Tg θ =
3
4
→ θ = 37 °
Reemplazando en ( I ) :
3
2
ab
b² + a²
( )