SIN LA MATEMÁTICA NO PODRÁS VIVIR, ENTONCES APROVECHA HOY

Ángulos de Elevación y de Depresión

"Tengo sueño", fue lo primero que escuchamos esa mañana, pero rápidamente nuestras mentes se despertaron contagiados por el ánimo del profe, quién venía "chocho" con su nuevo pizarrón, que consistía en un simple taco de papel amarillo el cual fue dispersando por toda la mesa con diferentes dibujos de ángulos, edificios, helicópteros, barcos, faros, etc. que, al rato después logramos saber el objetivo de dichas figuritas y que ahora te vamos a explicar.

Llegó el momento de aplicar nuestros conocimientos trigonométricos a nuestro diario vivir. Para ello te presentamos los ángulos de elevación y de depresión, que son los que se forman por la línea visual y la línea horizontal como se muestra en las siguientes figuras:

        

AB : Línea Visual

 : ángulo de depresión

 : ángulo de elevación

Veamos ahora su aplicación, que a nosostros nos pareció fácil y bastante entretenido. Debe ser porque estamos trabajando con cosas reales.

En este tipo de ejercicios te sugerimos el hacer siempre una figura que te permita visualizar mejor el problema.

1. Desde un punto, situado a cierta distancia de una torre de 160 m. de altura, se mide su ángulo de elevación resultando éste de 58º. ¿A qué distancia está el punto de observación?

m

El punto de observación está a 100 m. de la torre.

2. Calcula la altura de un edificio que se observa desde un punto en que el ángulo de elevación es 62º y, alejándose 75 m. de ese punto, el ángulo es ahora 34º.

De esta figura podemos obtener dos ecuaciones:

    ;  

o sea     ;    

Despejamos x en ambas ecuaciones y por igualación obtenemos que 1,88y = 0,67y + 50,25; donde y = 41,5 metros.

Reemplazando este valor de y, nos da que x = 78 metros.

La altura del edificio es de 78 metros.

Ángulos de Elevación y Depresión, Seno y Coseno de un ÁnguloSon ángulos formados por dos líneas imaginarias llamadas: línea visual o línea de visión y la línea horizontal.En estos casos, el observador se encuentra por debajo del objeto observado o bien, se encuentra por encima de dicho objeto.Para estas mediciones se utilizan sencillos aparatos que colocados sobre un trípode ( 3 puntos determinan un solo plano) el simple giro realizado de la

mirilla sobre el punto a observar nos señala los grados girados respecto a la horizontal:

 En el caso del ángulo de depresión, el observador se encuentra por encima del lugar a observar y del modo anterior su representación podemos hacerla del modo siguiente:

 SENO y COSENO DE UN ÁNGULO

No te preocupes de las palabras que se utilizan en Trigonometría, lo importante es que sepas para qué sirven. Comprobarás que es una parte de las Matemáticas sencilla y muy interesante.Los egipcios hace muchos años se dieron cuenta de que si clavaban en el suelo unas estacas de diferentes alturas sucedían cosas interesantes.Observa la figura siguiente:

 Verás que tenemos tres triángulos rectángulos: 

 Los catetos opuestos al ángulo α son, de menor a mayor: AB, A’B’ y A”B”.Los catetos contiguos al ángulo α (que están tocando al ánguloα) son, de menor a mayor: OA, O A’ y OA”. Las hipotenusas de los tres triángulos son, de menor a mayor: OB, OB’ y OB”.Hace poco has leído que los egipcios se dieron cuenta, pero ¿de qué se dieron cuenta?Lee con mucha atención:Para un mismo ángulo α, los cocientes de los valores: 

 Es decir, los cocientes de los catetos opuestos al ángulo entre los valores de sus hipotenusas, SON IGUALES.

Si aumentamos o disminuimos el valor del ángulo, los valores de las medidas de los catetos e hipotenusas variarán pero los cocientes entre los nuevos valores seguirán siendo iguales entre sí. Para un mismo ángulo, el valor del cociente entre el cateto opuesto y su hipotenusa será siempre el mismo.Ejemplos:Para un ángulo de 30º, el cociente entre el cateto opuesto y su hipotenusa vale 0,5.Para un ángulo de 45º, el cociente entre el cateto opuesto y su hipotenusa vale 0,707. Al cociente del cateto opuesto al ángulo entre su hipotenusa se llama seno del ángulo y se escribe sen α.