Angulos Multiples

7/23/2019 Angulos Multiples

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PRESENTACION

El presente diseño de aprendizaje se ha elaborado con esfuerzo y dedicación; por ello este

se fundamenta en un enfoque constructivista; y no solo eso, pues es un texto sumamente accesible

con un planteamiento novedoso y una exposición interesante y amena con la finalidad de crear

condiciones favorables para que el alumno logre con éxito el desarrollo de sus habilidades y

capacidades como: Comunicación Matemática, Resolución de problemas, Razonamiento y

Demostración.

Por otro lado espero que el contenido referido al “ Ángulos Múltiples” sirva como

referencia para mejorar la enseñanza en el área de matemática, porque ya sabemos el docente debe

estar en constantemente capacitación y preparación para afrontar con éxito las exigencias que el

sistema educativo propone y asimismo erradicar el miedo que sienten los alumnos hacia la

asignatura de matemática.

Espero haber cumplido con mi cometido y agradezco de antemano todo tipo de críticas en

aras de mejorar el texto que ponemos en vuestras manos y así poder estar acorde con las exigencias

de la especialidad de matemática.

Atentamente

TANDAYPÁN PEREDA, Teresa Isabel



ÍNDICE

PRESENTACIÓN

SESIÓN DE APRENDIZAJE………………………………………………….……………. 4

I. DATOS DE INFORMATIVOS……………………………………………………….… 4

II. TEMA…………………………………………………………………………………… ....4

III. UNIDAD DIDACTICA…………………………………………………………………..…4

IV. APRENIZAJES ESPERADOS…………………………………………………………..…4

V. CAPACIDADES……………………………………………………………………...… .…5

VI. ACTITUDES………………………………………………………………….…………… .6

VII.

SELECCIÓN DE CONTENIDOS Y DIVERSIFICADOSE INDICADORES DE EVALUACIÓN………………………………………………..….7

VIII. CONTENIDO TRANSVERSAL……………………………………………………..…...7

IX. PRE- REQUISITOS……………………………………………………………….…….. .8

X. DISEÑO DE EVALUACIÓN………………………………………………..…………...8

XI. SECUENCIA DIDACTICA………………………………………………….………..….9

ANEXOS…………………………………………………………………… .….…………..14

SUSTENTO CIENTIFICO………………………………………………………………..15

INTRODUCCION………………………………………..……………………..………..…16 CAPITULO I: ANGULOS MULTIPLES EN EL CONTEXTO

DE LA MATEMÁTICA…………….…………………………………………..…………..17

CAPITULO II: DESARROLLO CIENTIFICO DE ANGULOS

MULTIPLES…………………….………………………………………..……………. .18

CAPITULO III: APLICACIÓN DEL TEMA EN OTROS

CONTEXTOS…………………………………………………………………………….. ..24

CONCLUCIONES……………………………………………………………………… ....27

REFERENCIAS BIBLIOGRAFÍCAS………………………………………….………....28SUSTENTO PEDAGOGICO…………….……………………………………... .............29

INTRODUCCION……………………………………………………………………….. ..30

CAPITULO I: FUNDAMENTOS P’EDAGOGICOS…………………………...……....31

1. EDUCACIÓN………………………………………………………………………....31

1.1. CONCEPCIÓN DE EDUCACIÓN……………………………………..….31

1.2. PILARES DE LA EDUCACIÓN………………………………………….…33

1.2.1. APRENDER A CONOCER………………………………………...33

1.2.2. APRENDER A HACER……………………………………….…....33



1.2.3. APRENDER A SER………………………………………………....34

1.2.4. APRENDER A VIVIR JUNTOS…………………………………....34

2. PRINCIPIOS DE LA EDUCACIÓN………………………………………………..35

2.1. PRINCIPIOS DE LA INDIVIDUALIDAD………………………………….35

2.2. PRINCIPIO DE ACTIVIDAD………………………………………………..35

2.3. PRINCIPIO DE SOCIALIZACION……………………………………….….36

3. PEDAGOGÍA………………………………………..……………………………….……37

3.1. DEFINICIÓN……………………………………………………………..…. 37

3.2. CONCEPCION DE ENSEÑANZA APRENDIZAJE………….……………..37

3.2.1. APRENDIZAJE…………………………………………………….…..37

A. DEFINICION: ……………………………….…………………..…37

B. TEORIAS……………………..………………………….………….38

3.2.2. ENSEÑANZA……………………………………………………….….40

A. DEFINICION………………………………………………….…...40

B. PROCESO DE ENSEÑANZA APRENDIZAJE…………………..41

a) PRINCIPIO DE MOTIVACIÓN…………………………..……42

b) PRINCIPIO DE ESTRUCTURACION………………………...43

c) PRINCIPIO DE SECUENCIACION…………………………..43

d) PRINCIPIO DE ACTIVIDAD………………………………....43

e) PRINCIPIO DE SISTEMATIZACION………………………...44

f) PRINCIPIO DE REFORZAMIENTO…………………………..44

CAPITULO II : FUNDAMENTOS DIDACTICOS...………………………….…………45

1. DIDACTICA:

1.1. CONCEPCION DE DIDACTICA………………………………………..45

2. DISEÑO INSTRUCCIONAL………………………………………………...45

2.1. FASES DEL DISEÑO INSTRUCCIONAL……………………….…...46 2.1.1. FASE DE INICIACION………………………………………….46

2.1.2 FASE DE DESARROLLO…………………………………….….47

2.1.3 FASE DE CULMINACION………………………………………48

CAPITULO II I : ESTRATEGIAS METODOLOGICAS……………………………….…...49

CAPITULO IV: MEDIOS Y MATERIALES EDUCATIVOS……………………………..52

CAPITULO V: EVALUACION……………………………………………………… .……54

CONCLUCIONES……………………………………………………………………… ...…56 REFERENCIAS BIBLIOGRAFICAS…………………………………………………… ....58



SESION DE CLASE DE APRENDIZAJE SIGNIFICATIVO N#03

I. DATOS INFORMATIVOS:

1.1. Institución Educativa : “ Liceo Trujillo ”

1.2. Nivel y Modalidad : Secundaria de Menores

1.3. Grado : Quinto

1.4. Sección : “B”

1.5. Área/Asignatura : Matemática

1.6. Duración : 3 Horas

1.7. Docente del Aula : Reyna La Portilla, Milton

1.8. Docente Practicante : Tandaypan Pereda, Teresa Isabel

1.9. Asesor de Practicas : Vílchez Siccha, Arquímedes

II. NOMBRE DE LA UNIDAD : Razones Trigonométricas de Ángulos Compuestos y Múltiples

III. TEMA : “ Ángulos Múltiples”

IV. APRENDIZAJES ESPERADOS DE LA SESION DE CLASE:

Para poder lograr el aprendizaje significativo es muy importante que el alumno tenga

conocimientos previos al tema para así poder asociar conocimientos nuevos sin dificultades. De tal

manera que el estudiante al término de la presente sesión estar en capacidad de:

Determinar el valor de la razón trigonométrica seno, coseno y tangente del ángulo duplo con

precisión.

Determinar el valor de la razón trigonométrica seno, coseno y tangente del ángulo mitad con

exactitud.

Determinar el valor de la razón trigonométrica seno, coseno y tangente del ángulo triple. Demostrar identidades trigonométricas, aplicando funciones trigonométricas de ángulos

múltiples estudiados.

Resolver un listado de ejercicios aplicando razones trigonométricas de ángulos múltiples con

precisión.

Resolver un conjunto de problemas aplicando razones trigonométricas de ángulos múltiples.

Aplicar las diversas relaciones que se presentan en las funciones trigonométricas del ángulo

doble, mitad y triple a situaciones problemáticas especificas.



V. CAPACIDADES:

Capacidadfundamental

Capacidadde área

Capacidadesespecificas

Componente

Contenidodiversificado

Aprendizajes esperados Valores y actitudes

Pensami- ento

creativo

Solución de problemas

Razona- miento y demos- tración

Resolució n de

roblemas

Determina

Determina

Determina

Demuestra

Resuelve

Resuelve

Aplica

G E O M E T R I

A

Y

M E

D I D A

Ángulosmúltiples

Seno,Coseno,Tangen-te del ángulo duplo y sus aplicaciones

Seno,Coseno,Tangen-te del ángulo mitad.

Seno,Coseno,Tangen-te

del ángulo triple.

Ejercicios y problemas aplican-do R.T. de ángulos

múltiples.

Determina el valor de

la razón trigonométrica seno, coseno y tangente del ángulo duplo con precisión.

Determina el valor de la razón trigonométrica seno,coseno y tangente del ángulo mitad con exactitud.

Determina el valor de la razón trigonométrica seno,coseno y tangente del ángulo triple.

Demuestra identidades trigonométricas, aplicando funciones trigonométricas de ángulos múltiples

estudiados.

Resuelve un listado de ejercicios aplicando razones trigonométricas de ángulos múltiples con precisión.

Resuelve un conjunto de problemas aplicando razones trigonométricas de ángulos múltiples.

Aplica las diversas relaciones que se presentan en las funciones trigonométricas del ángulo doble, mitad y triple a situaciones problemáticas especificas.

RESPETO: Los alumnos

prestan atención al docente durante la clase.

SOLIDARIDAD:

Los alumnos podrán cambiar sus ideas y habilidades.

RESPONSABI-LIDAD:

Los alumnos resuelven y presentan sus ejercicios en el tiempo indicado.

Cumplen con sus tareas encomendadas en forma individual y grupal.



VI. CONTENIDO TRANSVERSAL:

Trabajo y producción.

Valoración del patrimonio cultural, histórico y regional.

VII. PRE REQUISITOS:

Razones trigonométricas de un ángulo en posición normal

Funciones trigonométricas de un ángulo

Razones trigonométricas de ángulos compuestos (Seno, coseno y tangente de la suma y diferencia de

dos ángulos).

VIII. PLAN DE EVALUACION:

CAPACIDAD

DE ÁREA

INDICADORES INSTRUMENTO DE

EVALUACIÓN

Razonamiento

y demostración

Determina el valor de una razón trigonométrica,

aplicando fórmulas del seno, coseno y tangente del

ángulo duplo, mitad y triple con exactitud.

Demuestra identidades trigonométricas aplicando

funciones trigonométricas, aplicando funciones

trigonométricas de ángulos múltiples.

Lista de cotejos de

intervenciones orales.

Practica calificada.

Prueba control.

Prueba objetiva.

Resolución de

problemas

Resuelve un listado de ejercicios, aplicando

razones trigonométricas de ángulos múltiples con

exactitud.

Resuelve un conjunto de problemas, aplicando

funciones trigonométricas de ángulos múltiples.

Actitud ante el

área

Presenta las tareas asignadas en el tiempo

propuesto.

Trabaja en el aula.

Elabora sus trabajos con originalidad.

Ficha de observación

Lista de cotejos



7

IX. SECUENCIA DIDÁCTICA :

FASE

ACTIVIDADES DE APRENDIZAJE

ESTRATEGIASMETODOLÓGICAS MEDIOS Y

MATERIALESEDUCATIVOS

APRENDIZAJE ESPERADOINDICADORES

TIEMPOProcedimiento Técnica

I

N

I

C

I

O

1. Motivación:

Saludo cordial a los alumnos recordándoles el orden y la limpieza.

La docente presenta una situación problemática (caso del péndulo)

para ayudarlos a sumergirse en el tema.

Los alumnos observan la situación y la docente pregunta: ¿Qué

relación tiene el caso presentado con el tema a estudiar?

Los alumnos participan dando lluvia de ideas para tratar de

descubrir el tema.

Finalmente los alumnos orientados por la docente deducen el tema

a estudiar denominado ángulos múltiples.

Observación

Análisis

Participativa

Interrogativa

Pizarra

Tizas

Recurso verbal

Anticipa procesos cognitivos para descubrir el tema a estudiar 10

2. Declaración de aprendizajes esperados y contenidos:

La docente expresa:

Al finalizar la clase ustedes estarán en condiciones de determinar el

valor de la razón trigonométrica seno, coseno y tangente del ángulo

doble, mitad y triple con precisión.

Aplicar las diversas relaciones que se presentan en las funciones

Expositiva Recurso verbal 5



8

trigonométricas del ángulo doble, mitad y triple a situaciones

problemáticas especificas.

3. Recuperación de saberes propios:

La docente hace un sondeo de los saberes previos de los alumnos del

tema anterior de funciones de ángulos compuestos.

Recupera saberes previos

5

D

E

S

A

R

R

O

L

L

O

4. Construcción del aprendizaje:

La docente demostrara en la pizarra la deducción de las identidades

Del Angulo Doble y poder completar el instructivo n01.

Los ángulos dobles son aquellos cuya forma es 2α, y la identidades de

este tipo de ángulos se deducen a partir de las identidades de los

ángulos compuestos, dándole a este la forma de (α + α).

Seno del ángulo doble: Se deduce reemplazando α por β en la fórmula

del seno de la suma de dos ángulos.

sen(α + )= sen(α) cos( ) + sen(α) cos().Hagamos ( α= ) , con lo que obtendremos que:

sen(α + α)= sen(2 α) = sen(α) cos(α) + sen(α) cos(α)=2 sen α cos α

Análogamente se deducirán las demás identidades tanto con ángulo

Aplicación

Análisis

Observación

Aplicación

Observación

Aplicación

Expositiva

Participativa

Colectiva

Escrita

Expositiva

Colectiva

Pizarra

Tizas

Pizarra

Tizas

Recurso verbal

Determina el valor de una razón trigonométrica, aplicando fórmulas del seno, coseno y tangente del ángulo duplo,mitad y triple con exactitud.

Analiza la formación de ángulo doble, mitad y triple, etc.

Analiza y evalúa la s formulas encontradas.

50

sen2 α =2 sen α cos α



9

doble como mitad y triple estas se desarrollaran conjuntamente con la

participación amena de los alumnos.

Luego se les presentara algunos ejercicios de aplicación para que

resuelvan durante la clase.

Interrogativa

5. Reforzando lo aprendido:

El docente forma grupos de trabajo y proporciona una hoja de

trabajo (Anexo Nº 02) a los grupos. Los alumnos analizan y desarrollan cooperativamente los ejercicios

propuestos; aplicando lo aprendido.

Luego se sortea un representante de cada grupo para que participe

en la pizarra exponiendo un ejercicio que por sorteo le toque.

Observación

Análisis

Aplicación

Colectiva

Participativa

Expositiva

Escrita

Material impreso

tizas

Pizarra

Recurso verbal

Resolver un conjunto de problemas aplicando razones trigonométricas de ángulos múltiples.

Aplicar las diversas relaciones que se presentan en las funciones trigonométricas del ángulo doble,mitad y triple a situaciones problemáticas especificas.

50

6. Evaluación y retroalimentación:

Esta se aplica durante el desarrollo de la sesión enseñanza-

aprendizaje, corrigiendo errores, aclarando dudas y confirmando

aciertos. Pero obviamente se califica en una ficha evaluativa de

participación.

Observación

Análisis

Explicativa

Participativa

Interrogativa

Recurso verbal Tizas

Pizarra

Evalúa y se autoevalúa para superar algunos conflictos de aprendizaje

15

CU

LMI

NACION

7. Transferencia:

La docente entrega un material impreso (Anexo Nº 03) conteniendo

ejercicios sobre ángulos múltiples, para ser resueltos en casa y

presentados en sus cuadernos.

Aplicación Individual Material impreso

Investiga sobre los ángulos múltiples.

5



10

X. - REFERENCIAS BIBLIOGRAFICAS:

SANDOVAL PEÑA, Juan Carlos. “TRIGONOMETRÍA Primer nivel” Colección Racso. Primera edición

2005

GOÑI GALARZA, JUAN . “TRIGONOMETRIA” Editorial Ingeniería EIRL. Primera edición 2003.

SANTILLANA. “NUEVO SÍMBOLO 5”. Editorial Santillana S.A. Lima – Perú. 2000.

COVEÑAS NAQUICHE, Manuel. “MATEMÁTICA 5” Editorial Bruño. Lima Perú. Segunda edición.

2006.

ROJAS PUEMAPE, Alfonso. “MATEMÁTICA APLICADA 5”Colección Scanner. Editorial San Marcos.

Lima – Perú.



11



12



13

PRESENTACION

El presente sustento científico correspondiente al tema de Ángulos Múltiples está estructurado

en tres capítulos. El primero es Ángulos Múltiples en el contexto de la Matemática, el

segundo es el desarrollo científico del tema y por último las aplicaciones del tema en otros

contextos.

En la actualidad uno de las ramas que ha ido cobrando vital importancia dentro de las

matemáticas, es la Trigonometría, pues esta nos ayuda a realizar una exploración inicial de las

matemáticas superiores y nos muestra de un modo sencillo todo lo que rodea a la figura

llamada triangulo, a quien consideramos de gran interés en el ámbito matemático. En este

sustento se destaca la importancia y la utilidad de reconocer los Ángulos Múltiples que debido

a su funcionalidad no solo dentro del aula, sino también en situaciones cotidianas ha hecho

que se le asigne un lugar dentro del diseño curricular nacional.

Además de desarrollarse este tema, se va a potenciar ciertas habilidades, como la capacidad de

razonamiento y demostración y para poder destacarse en esta capacidad necesitara desarrollar

capacidades previas, las cuales facilitaran su aprendizaje.



14

INTRODUCCIÓN

La historia de la trigonometría se remonta a las primeras matemáticas conocidas, en Egipto

y Babilonia. Los egipcios establecieron la medida de los ángulos en grados, minutos y

segundos. Sin embargo, hasta los tiempos de la Grecia clásica no empezó a haber

trigonometría en las matemáticas. En el siglo II a.C. el astrónomo Hiparco de Nicea

compiló una tabla trigonométrica para resolver triángulos. Comenzando con un ángulo de

71° y yendo hasta 180 °C con incrementos de 71°, la tabla daba la longitud de la cuerda

delimitada por los lados del ángulo central dado que corta a una circunferencia de radio r.

Esta tabla es similar a la moderna tabla del seno. No se sabe con certeza el valor de r

utilizado por Hiparco, pero sí se sabe que 300 años más tarde el astrónomo Tolomeo utilizó

r = 60, pues los griegos adoptaron el sistema numérico sexagesimal (base 60) de los

babilonios.

Tolomeo incorporó en su gran libro de astronomía, el Almagesto, una tabla de cuerdas con

incrementos angulares de 1°, desde 0° a 180°, con un error menor que 1/3.600 de unidad.

También explicó su método para compilar esta tabla de cuerdas, y a lo largo del libro dio

bastantes ejemplos de cómo utilizar la tabla para calcular los elementos desconocidos de

un triángulo a partir de los conocidos. Tolomeo fue el autor del que hoy se conoce como

teorema de Menelao para resolver triángulos esféricos, y durante muchos siglos su

trigonometría fue la introducción básica para los astrónomos. Quizás al mismo tiempo que

Tolomeo los astrónomos de la India habían desarrollado también un sistema

trigonométrico basado en la función seno en vez de cuerdas como los griegos. Esta función



15

seno, al contrario que el seno utilizado en la actualidad, no era una proporción, sino la

longitud del lado opuesto a un ángulo en un triángulo rectángulo de hipotenusa dada. Los

matemáticos indios utilizaron diversos valores para ésta en sus tablas.

A finales del siglo VIII los astrónomos árabes habían recibido la herencia de las tradiciones

de Grecia y de la India, y prefirieron trabajar con la función seno. En las últimas décadas

del siglo X ya habían completado la función seno y las otras cinco funciones y habían

descubierto y demostrado varios teoremas fundamentales de la trigonometría tanto para

triángulos planos como esféricos. Varios matemáticos sugirieron el uso del valor r = 1 en

vez de r = 60, lo que produjo los valores modernos de las funciones trigonométricas. Los

árabes también incorporaron el triángulo polar en los triángulos esféricos. Todos estos

descubrimientos se aplicaron a la astronomía y también se utilizaron para medir el tiempo

astronómico y para encontrar la dirección de la Meca, lo que era necesario para las cinco

oraciones diarias requeridas por la ley islámica. Los científicos árabes también compilaron

tablas de gran exactitud. Por ejemplo, las tablas del seno y de la tangente, construidas con

intervalos de 1/60 de grado (1 minuto) tenían un error menor que 1 dividido por 700

millones. Además, el gran astrónomo Nasir al-Dìn al-Tusì escribió el Libro de la figura

transversal, el primer estudio de las trigonometrías plana y esférica como ciencias

matemáticas independientes.

El occidente latino se familiarizó con la trigonometría árabe a través de traducciones de

libros de astronomía arábigos, que comenzaron a aparecer en el siglo XII. El primer trabajo

importante en esta materia en Europa fue escrito por el matemático y astrónomo alemán

Johann Müller, llamado Regiomontano. Durante el siguiente siglo, el también astrónomo

alemán Georges Joachim, conocido como Rético, introdujo el concepto moderno de



16

funciones trigonométricas como proporciones en vez de longitudes de ciertas líneas. El

matemático francés François Viète incorporó el triángulo polar en la trigonometría esférica

y encontró fórmulas para expresar las funciones de ángulos múltiples, sen nq y cos nq, en

función de potencias de senq y cos(q).

Los cálculos trigonométricos recibieron un gran empuje gracias al matemático escocés

John Napier, quien inventó los logaritmos a principios del siglo XVII. También encontró

reglas mnemotécnicas para resolver triángulos esféricos, y algunas proporciones (llamadas

analogías de Napier) para resolver triángulos esféricos oblicuos.

Casi exactamente medio siglo después de la publicación de los logaritmos de Napier, Isaac

Newton inventó el cálculo diferencial e integral. Uno de los fundamentos del trabajo de

Newton fue la representación de muchas funciones matemáticas utilizando series infinitas

de potencias de la variable x. Newton encontró la serie para el sen x y series similares para

el cos x y la tg x. Con la invención del cálculo las funciones trigonométricas fueron

incorporadas al análisis, donde todavía hoy desempeñan un importante papel tanto en las

matemáticas puras como en las aplicadas.

Por último, en el siglo XVIII, el matemático suizo Leonhard Euler definió las funciones

trigonométricas utilizando expresiones con exponenciales de números complejos. Esto

convirtió a la trigonometría en sólo una de las muchas aplicaciones de los números

complejos; además, Euler demostró que las propiedades básicas de la trigonometría eran

simplemente producto de la aritmética de los números complejos



17

CAPITULO I: ANGULOS MULTIPLES EN EL CONTEXTO DE LA MATEMATICA

1.1. UBICACIÓN DEL TEMA EN EL ÁREA

El presente tema de aprendizaje de clase sobre ―Ángulos Múltiples‖. Se encuentra ubicado en

el área de matemática y de acuerdo al Diseño Curricular Nacional (D.C.N.) se ubica dentro

del componente de Geometría y Medida.

1.2. IMPORTANCIA DEL TEMA EN EL LOGROS DE LAS CAPACIDADES

En ésta sesión se pretende que el alumno logre comprender la definición de Ángulos

Múltiples, determine el valor de la razón trigonométrica seno, coseno y tangente del ángulo

duplo, mitad y triple con precisión y demuestre identidades trigonométricas, aplicando

funciones trigonométricas de ángulos múltiples estudiados, para luego poder aplicar en los

ejercicios propuestos por ello se trabajará el valor de la perseverancia y responsabilidad.

El propósito de la presente sesión de aprendizaje es para desarrollar las capacidades y

destrezas de los alumnos como por ejemplo mejorar su capacidad de análisis, interpretación,

en los aprendizajes para que se aprendan a aprender. Además para que desarrollen sus

habilidades en diversos campos y logren conocerse así mismo y al mundo que lo rodea.

1.3. RELACIÓN DEL TEMA CON SABERES PREVIOS Y SABERES

POSTERIORES

Para desarrollar el tema ―Ángulos Múltiples ―es necesario que el alumno tenga conocimiento

previo sobre Razones trigonométricas de un ángulo en posición norma, funciones



18

trigonométricas de un ángulo, razones trigonométricas de ángulos compuestos (Seno, coseno

y tangente de la suma y diferencia de dos ángulos).

CAPITULO II: DESARROLLO CIENTIFICO DE LOS ANGULOS MULTIPLES

FUNCIONES TRIGONOMETRICAS DE ANGULOS MULTIPLES

Habiendo encontrado las funciones trigonométricas de la suma y diferencia de dos ángulos,

procederemos a encontrar los cases especiales de gran utilidad que son los arcos dobles, mitad y

triple. Este estudio permitirá dar la generalización de la operación trigonométrica para más de

dos ángulos.

1. FUNCIONES TRIGONOMETRICAS DEL ANGULO DOBLE

Sabemos que 2α=(α + α), entonces tendríamos que: α = β

A. Seno del ángulo dobl e

Remplazando en: sen(α+ β)= sen(α).cos(β) + cos(α)sen(β)

Obtenemos sen(α +α)= sen(α).cos(α) +cos(α) sen(α)

Ordenando sen (2 α) = sen(α).cos(α) +sen(α)cos(α)

Por lo tanto

B. Coseno del ángulo doble

De la misma forma, hacemos con:

Cos(α + β) = cosα.cos β -senα.sen β

Remplazando: Cos(α + α ) = cosα.cos α - senα.sen α

sen 2α = 2 sen α cos

cos 2 α = cos2x – sen2x



19

Obtenemos:

***Otras formulas del coseno muy útiles:

Además sabemos que: sen2α + cos2α =1 sen2α= 1- cos2α

Remplazando en: cos 2α= cos2α - sen2α

cos 2α= cos2α - ( 1- cos2α )

Ahora: cos 2α= cos2α - 1 + cos2α

Obtenemos:

Pero también tenemos que: cos2

α = 1 - sen2

α Remplazamos en: cos 2α = cos2α - sen2α

cos 2α= ( 1 - sen2α ) - sen2α

Resulta:

C. Tangente del ángulo doble

A continuación recordemos que:

tan.tan1

tantan)tan(

Remplazando:...tan.tan1

...tantan).tan(

Obtenemos:

cos 2α = 2 cos2x - 1

cos 2α= 1 – 2 sen2x

tan 2α =

2tan1

tan2



20

2. FUNCIONES TRIGONOMETRICAS DEL ANGULO MITAD

Ahora intentaremos expresar en función de un angulo mitad ( ) en términos de un

angulo simple (θ ).

A. Seno y coseno del ángulo mi tad

Se sabe que: 2 = 1 c o s 2

de donde obtenemos: =

y haciendo: = , se tiene:

Observación: El signo depende del cuadranTe al cuál pertenece el ángulo

B. Tangente y cotangente del ángulo mi tad :

Dividiendo las dos relaciones anteriores, se tiene:

Formulas racionali zadas del ángulo mi tad

Luego sumando y restando ambas ecuaciones, se obtiene:

= √ = √

= √ = √

= =



21

= =

3.

FUNCIONES TRIGONOMETRICAS DEL ANGULO TRIPLELos ángulos triples son aquellos que tienen la forma (3α) y sus formas fundamentales

son:

A. Seno del ángul o tr iple:

Sen 3α = sen (2α+α)

= sen 2α.cosα + cos 2α. Sen α

= (2 sen α .cos α).cos α + (1-2 sen2 α) sen α

= 2 sen α .cos2α + (1-2 sen2 α) sen α

= sen α (2 cos2α + 1-2 sen2 α)

= sen α (1+ 2 cos2α -2 sen2 α)

= sen α [1+ 2( cos2α - sen2 α)]

= sen α [1+ 2( cos2 α)]

= sen α [1+ 2(1-2sen2 α)]

= sen α [1+ 2 - 4sen2 α]

= sen α [3 - 4sen2 α]

B. Coseno del ángul o tr iple:

Si: cos 3α = cos (2α+α)

Entonces: cos(3α)=cos 2α.cosα – 2 sen α .cos α . sen α

=(2 cos2α-1)cos α - 2 se α.cosα.senα

Efectuando obtenemos:

Sen 3α=3sen α - 4sen3 α

cos 3α=4cos3 α – 3



22

C. Tangente del ángu lo tr ipl e :

Determinamos ahora tangente de 3α

Si sabemos que: tan 3α = tan (2α+α)

a partir de :

tan.tan1

tantan)tan(

tan.2tan1

tan2tan)2tan(

Obtenemos:

tan).tan1

tan2(1

tantan1

tan2

3tan

2

2

Entonces:

2tan31

3tantan3

3tan



23

CAPITULO III: APLICACIÓN DEL TEMA EN OTROS CONTEXTOS

APLICACIONES EN MATEMATICA:

Utilizando las formulas del ángulo doble hallar Sen, cos y tan de: 4α, 6α,8α

Utilizando las formulas del ángulo mitad hallar Sen, cos y tan de: ,

Utilizando las formulas del ángulo triple hallar Sen, cos y tan de: 4α, 6α, 8 α, 18 α

Hallar sen de 2ө, sabiendo que:

;Solución:

Por las identidades Pitagóricas podemos afirmar:

Como está en el tercer cuadrante:

Las aplicaciones más acertadas se dan en el área de matemática.



24

CONCLUSIONES

La trigonometría es una rama de las matemáticas que estudia leas relaciones

entre los ángulos y los lados de los triángulos. Para esto la trigonometría se

vale del estudio de las funciones o razones trigonométricas las cuales son

utilizadas frecuentemente en cálculos técnicos.

La trigonometría se aplica a otras ramas de la geometría, como es el caso del

estudio de las esferas, de la geometría del espacio.

Posee muchas aplicaciones: las técnicas de triangulación, por ejemplo, son

usadas en astronomía para medir distancias a estrellas próximas, en la

medición de distancias entre puntos geográficos, y en sistemas de navegación

por satélites

http://es.wikipedia.org/wiki/Matem%C3%A1ticas

http://es.wikipedia.org/wiki/%C3%81ngulo

http://es.wikipedia.org/wiki/Funciones_trigonom%C3%A9tricas

http://es.wikipedia.org/wiki/Proporci%C3%B3n

http://es.wikipedia.org/wiki/Geometr%C3%ADa

http://es.wikipedia.org/wiki/Geometr%C3%ADa_del_espacio

http://es.wikipedia.org/wiki/Astronom%C3%ADa

http://es.wikipedia.org/wiki/Distancia

http://es.wikipedia.org/wiki/Estrella

http://es.wikipedia.org/wiki/Geograf%C3%ADa

http://es.wikipedia.org/wiki/Sat%C3%A9lite_artificial

http://es.wikipedia.org/wiki/Sat%C3%A9lite_artificial

http://es.wikipedia.org/wiki/Geograf%C3%ADa

http://es.wikipedia.org/wiki/Estrella

http://es.wikipedia.org/wiki/Distancia

http://es.wikipedia.org/wiki/Astronom%C3%ADa

http://es.wikipedia.org/wiki/Geometr%C3%ADa_del_espacio

http://es.wikipedia.org/wiki/Geometr%C3%ADa

http://es.wikipedia.org/wiki/Proporci%C3%B3n

http://es.wikipedia.org/wiki/Funciones_trigonom%C3%A9tricas

http://es.wikipedia.org/wiki/%C3%81ngulo

http://es.wikipedia.org/wiki/Matem%C3%A1ticas



25



26

INTRODUCCION

En la tarea educativa el rol que juega el docente es fundamental por ello surge la necesidad

de una formación pedagógica que contribuya eficazmente a nuestro labor desterrado la

improvisación.

En los tiempos antiguos se consideraba que la enseñanza de la matemática era un arte. Es

decir, susceptible de ser analizada o controlada y sometida a reglas. Por lo tanto el

conocimiento matemático aporta al estudiante, la estructura mental sobre la cual deben

asentarse, sólidamente, el resto y la totalidad de sus conocimientos y experiencias de

aprendizaje, dentro de estas, sus capacidades fundamentales de pensar creativamente y en

forma critica, de tomar decisiones y solucionar problemas.

Aprender a pensar es, en cierta forma, aprender a pensar matemáticamente. Un docente de

matemática tiene una tarea importante que es el encaminamiento de los alumnos. Si dedica

su tiempo a ejercitar a los alumnos en operaciones rutinarias, matara en ellos el interés,

impedirá su desarrollo intelectual.

La finalidad del presente sustento pedagógico es la de proporcionar los bases teóricas

utilizadas en la sesión de aprendizaje correspondiente al tema de ―Ángulos Múltiples‖.



27

CAPITULO I

I. ENFOQUE DEL AREA DE MATEMATICA

LA DEFINICIÓN DE LA MATEMATICA

Descartes, en el Siglo XVII, decía que la matemática es la ciencia del orden y la

medida, mientras que para Gauss, ya en el Siglo XVIII, la matemática era la reina de las

ciencias, siendo la aritmética la reina de la matemática, por la predominancia que

siempre ha tenido el número y las operaciones con números en la construcción del

edificio matemático que hoy conocemos. Por su parte, Eric T. Bell expresó que la

matemática es, a la vez, la reina y la sirvienta de las ciencias, en franca alusión a su

utilización en la formalización de sus contenidos por ciencias como la economía, la

química, la física y hasta la lingüística. Debido al énfasis creciente del método

deductivo en todas las ramas de la matemática,

C. S. Peirce en la mitad del Siglo XIX, afirmó que la matemática es la ciencia de llegar

a conclusiones necesarias siguiendo el patrón hipótesis -deducción- conclusión.

Sin embargo, a inicios del mismo Siglo XIX, David Hilbert definía la matemática como

la ciencia que no estudia objetos sino relaciones entre objetos en donde es posible

verificar, que se puede reemplazar un objeto por otro siempre y cuando la relación entre

ellos no cambie. El grupo Bourbaki, por su parte, manifiesta que la matemática es la

ciencia que estudia las estructuras matemáticas. Desde esta perspectiva, una estructura

es entendida como un conjunto de objetos abstractos, definidos axiomáticamente



28

utilizando la lógica y la notación matemática, que se relacionan e interactúan entre sí y

que tienen un sentido, dirección o propósito.

La manera de definir la matemática cambia constantemente y, como es de verse, cada

generación o cada connotado matemático, desde sus propias perspectivas, han llegado a

definirla de acuerdo con el nivel de comprensión que tienen de ella y según su modo

particular de hacer matemática. La matemática se ha beneficiado mucho del genio

individual, pero es sólo la apropiación y el uso que de ella hacen las personas y la

sociedad, los que la han hecho florecer hasta los niveles en que ahora se le conoce.

Como modo especial de manejar los números, las magnitudes, los símbolos y las

representaciones, es un arte exclusivo de la humanidad y, por las aplicaciones que ella

tiene en la vida cotidiana es, a la vez, una ciencia aplicada en cualquiera de sus

dimensiones: individual, cultural, humanística y tecnológica.

1. ACERCA DEL PENSAMIENTO LOGICO MATEMATICO

El pensamiento lógico-matemático es aquella capacidad que nos permite comprenderlas

relaciones que se dan en el mundo circundante y la que nos posibilita cuantificarlas

y formalizarlas para entenderlas mejor y poder comunicarlas. Consecuentemente ,esta

forma de pensamiento se traduce en el uso y manejo de procesos cognitivos tales como:

razonar, demostrar, argumentar, interpretar, identificar, relacionar, graficar, calcular, inferir,

efectuar algoritmos y modelizar en general y, al igual que cualquier otra forma de desarrollo

de pensamiento, es susceptible de aprendizaje. Nadie nace, por ejemplo, con la capacidad de

razonar y demostrar, de comunicarse matemáticamente o de resolver problemas. Todo eso se



29

aprende. Sin embargo, este aprendizaje puede ser un proceso fácil o difícil, en la medida del

uso que se haga de ciertas herramientas cognitivas.

Es importante dejar establecido que el pensamiento lógico-matemático se construye

siguiendo rigurosamente las etapas determinadas para su desarrollo en forma histórica,

existiendo una correspondencia biunívoca entre el pensamiento sensorial, que en matemática

es de tipo intuitivo concreto; el pensamiento racional que es gráfico representativo en

matemática y el pensamiento lógico, que es de naturaleza conceptual o simbólica. El

siguiente esquema nos muestra ese proceso:

2. ESTUDIO, APRENDIZAJE Y ENSEÑANZA DE LA MATEMATICA

Por mucho tiempo se ha intentado reducir el trabajo educativo sólo a la interacción

profesor-alumno, enfoque mediante el cual se pretende enmarcar a la educación dentro del

proceso enseñanza-aprendizaje y de la escuela, como si la sociedad y el ambiente en general



30

en el que se vive, no ejercieran sobre la persona que aprende una influencia muchas veces

más determinante y decisiva que la influencia ejercida por la Institución Educativa. Y es

que, mientras ésta se encontraba preocupada por trasmitirle al estudiante un conjunto de

contenidos curriculares, muchos de ellos completamente desconectados de la realidad

circundante, la sociedad y el ambiente siempre lo han estado educando en la vida y para la

vida.

Si bien es cierto que en la mayoría de las propuestas curriculares actuales, se ha

producido el drástico viraje de la enseñanza de contenidos al desarrollo de capacidades

viraje que alcanza también a la matemática — en el caso particular de ésta, suele ocurrir que

los contenidos constituyen un medio casi irremplazable para desarrollar las capacidades de

razonar y demostrar, comunicarse matemáticamente y resolver problemas.

Desde esta perspectiva, en matemática puede resultar casi imposible, por ejemplo,

resolver un problema de trigonometría si previamente el estudiante no ha tenido información

sobre las relaciones que se dan en el triángulo rectángulo, y las conexiones que se producen

entre estas relaciones y los ángulos y arcos de una circunferencia de radio 1. Por lo tanto,

existirá la necesidad de ―estudiar‖ esos conocimientos como paso previo para resolver

problemas de ese tipo, es decir, para resolver problemas de trigonometría hay que aprender

trigonometría. Sin embargo, es evidente que, aprendiendo a manejar conocimientos

trigonométricos se desarrolla, por ejemplo, fundamentalmente, la capacidad de resolver

problemas y, colateralmente, las capacidades de razonar y demostrar así como de

comunicarse matemáticamente. Los conocimientos trigonométricos, por lo tanto, no

constituirán el propósito del aprendizaje, sino sólo serán uno de los medios que el docente

utilizará para desarrollar capacidades en sus estudiantes.



31

3. HACIA UNA DIDACTICA DE LAS MATEMATICAS

La ―didáctica‖ de la matemática tiene como propósito, llegar a describir y caracterizar

los procesos cognitivos de aprendizaje, necesarios para desarrollar en los estudiantes, la

capacidad de pensar matemáticamente y de hacer matemática en la vida cotidiana, teniendo

al docente como mediador de tales procesos.

La didáctica, como una forma de sistematización de experiencias exitosas para aprender

y enseñar contenidos matemáticos — medios para desarrollar capacidades — más que una

ciencia, es una disciplina tecnológica que contiene prescripciones o sugerencias de ―cómo

hacer X para lograr Y‖. Es decir, la didáctica nos sugiere formas, maneras, modos, técnicas,

procedimientos, algoritmos, actividades, procesos y otros recursos de carácter instrumental,

para mediar o facilitar el desarrollo de capacidades como: aprender a pensar

matemáticamente, aprender a aprender, aprender a comunicarse en lenguaje matemático,

razonar y demostrar, etc., teniendo como medios fundamentales a los contenidos

acumulados históricamente por la ciencia de la matemática.

Ahora bien, tal como se ha podido apreciar en párrafos anteriores, existiendo un

contenido de la matemática que ha sido generado por la humanidad en muchos siglos, no es

posible ―descubrir con cada estudiante esa matemática‖. Lo que tiene que hacerse es

―estudiarla‖, es decir, informarse sobre lo existente en esa ciencia formal, mediante procesos

cognitivos tales como la resolución de problemas. No es posible soslayar el hecho de que la

resolución de problemas es una capacidad compleja que permite, a su vez, potenciar y

desarrollar otras capacidades de semejante complejidad como la comunicación matemática y



32

el razonamiento o la demostración, entre otras, o la comprensión lectora, la producción de

textos escritos, el manejo de información,

etc. Por lo tanto, si se pretende identificar una didáctica de la matemática, ésta es, sin

lugar a dudas, la resolución de problemas.



33

CAPITULO II

II. FUNDAMENTACION DE LOS CONTENIDOS PEDOGOGICOS

1. EDUCACIÓN:

1.1.CONCEPCION DE EDUCACION:

Según CAPELLA, Jorge (1989, p.22) sostiene que: ―La educación es un

proceso constante el cual los sujetos y los pueblos pasan de ser meros sujetos

para convertirse en agentes de su propio destino, gracias a su capacidad

creadora‖.

Según DE LA TORRE ZERMEÑO, Francisco ( 2005 ;p.14) la educación es

el proceso social mediante el cual se transmiten y preservan los valores y

productos culturales, con el fin de que éstos se vean enriquecidos y procuren

una mejor forma de vida para la sociedad en general y para el individuo en

particular.

Según PEREZ, Rosa y CASTILLO, Elías (1998, p.46) afirma que: ―la

educación es un proceso permanente, dinámico, integral y armónico que tiene

por fin perfeccionar al ser humano para que pueda alcanzar todas sus metas e

insertarse de manera activa en el medio social‖.

Asimismo RODRIGUEZ, Walabonzo (1995, p.44) refiere que: ―la educación

es un proceso multilateral que procesa el desarrollo del hombre sano, fuerte y

dinámico; libre en el pensar, hablar y actuar, con una clara visión del mundo

y puesto todos sus esfuerzos al servicio de la humanidad‖.



34

MOYA, Alberto coincide con CAPELLA al decir que: ―La educación es un

hecho social muy complejo. Es un proceso de creación/recreación de los

conocimientos y valores‖.

En todas las defini ciones se pueden observar i deas comunes de los cuales

podemos inferir que el hombre es transformado y desarrollado por la

educación para servir a la humanidad. Es decir ; la educación busca formar

ciudadanos que tomen concienci a de su realidad, ya que estamos cada día

frente a un mundo más competi ti vo y caótico.

Por ello nuestra concepción educativa está encaminada a la práctica de

valores como igualdad, justicia, soli daridad entr e otros lo cual mi sesión de

clase está encaminada a dichos valores. Asícomo estimular su capacidad

creadora, transformadora y libre para su beneficio personal y social.

1.2.PILARES DE LA EDUCACIÓN

En 1991, la Conferencia General de la UNESCO solicito al director general que

convoque a una ―Comisión Internacional‖ para que reflexionara sobre la

educación y el aprendizaje en el siglo XXI.

FEDERICO MAYOR conformó la comisión integrada por catorce

personalidades y precedida por el conocido intelectual y humanista JACQUES

DOLORS.



35

Como resultado de los estudios realizados a nivel mundial, dicha comisión

elaboró un informe denominado sugerentemente ―LA EDUCACIÓN

ENCIERRA UN TESORO‖, más conocido como Informe DOLORS.

Según la UNESCO, el proceso educativo contemporáneo a lo largo de la vida

del hombre se basa en 4 pilares.

1.2.1 APRENDER A CONOCER:

Aprender a conocer, es una verdadera necesidad y supone una necesidad, en

termino aprender que a su vez implica el ejercicio y desarrollo de capacidades

intelectuales básicas como la memoria, la capacidad crítica y la capacidad

creativa, la capacidad de pensar y el rigor lógico.

Así mismo siendo el conocimiento múltiple y evolutivo es imposible conocerlo

todo de allí que lo más importante sea el dominio de las estrategias antes de la

adquisición y acumulación de contenidos

Asípues, la f inali dad de nuestra clase es que alumno resuelva ejercicios de

funciones trigonométr icas de Ángulos Múlt iples haciendo el uso pertinente de

las razones ya conocidas en el Anexo Nº 2.

1.2.2. APRENDER A HACER:

Consiste en poner en práctica los conocimientos adquiridos para enfrentar

diversas situaciones e insertarse eficaz y eficientemente en el mundo del trabajo,

valorizándolo como medio de desarrollo personal y social.



36

Significa también desarrollo del ingenio de la necesidad de asumir riesgos, e

incluso de la capacidad para enfrentar y resolver problemas en beneficio de la

sociedad.

Este pilar de la educación se encuentra presente en mi sesión de aprendizaje,

cuando los alumnos aplican ef icaz y cuidadosamente def in ición y funciones

tr igonométr icas de los Ángulos Múlti ples.

1.2.3. APRENDER A SER:

Este aprendizaje comprende el desarrollo del cuerpo, mente, la inteligencia, la

sensibilidad, etc. Es decir una persona bien preparada académicamente con

actitudes positivas, valores, con capacidad de cooperar y organizarse

automáticamente con actitud crítica, iniciativa y vocación de servicio para el

florecimiento de su propia personalidad, su juicio, su autonomía, su

responsabilidad y para determinar por sí mismo que deben hacer en las

diferentes circunstancias de la vida.

Este pilar de la educación se encuentra presente en mi sesión de clase cuando

los alumnos respetan la opi nión de sus demás compañeros cumplen

ordenadamente las actividades propuestas y aportan ideas para corregir

errores y aclarar dudas de sus compañeros.

1.2.4. APRENDER A CONVIVIR JUNTOS:

Implica que el alumno desarrolle sus capacidades para fortalecer su autoestima a

través de práctica de valores, el respeto así mismo y hacia los demás también



37

deberá desarrollar la comprensión, paciencia y tolerancia hacia sus compañeros;

a través de la participación en organizaciones sociales orientadas a la justicia la

solidaridad y la democracia.

Aprender a vivir con los demás. Este aprendizaje constituye una de las

principales empresas de la educación contemporánea.

En mi sesión de clase el saber convivir será necesar io para que los alumnos

respeten entre si sus ideas y para crear un clima de conf ianza y reciprocidad y

permi tiéndonos desarroll ar con efi ciencia y ef icacia que nos permi te

desarrol lar con gran éxito el proceso enseñanza-apr endizaje .

2. PRINCIPIOS DE LA EDUCACION

Según PEREZ, Rosa y CATILLO, Elías (1998, p. 48) los principios educativos

son:

2.2. PRINCIPIO DE INDIVIDUALIDAD

Es el sello peculiar que hace que pertenezcamos al género humano, no obstante

las matices como raza, lengua, cultura, etc. Sin embargo existen rasgos que

tipifican a unos hombres de otros, tales como la capacidad biológica o mental, los

intereses vocacionales, las preferencias valorativas, etc. que hacen que cada

hombre posea un perfil sui generis.



38

De tal modo podemos afirmar que no hay dos personas idénticas de igual manera

tampoco hay dos alumnos idénticos, hay diferencias individuales que requieren un

tratamiento didáctico diferente.

Se debe tener un ampli o conocimiento del compor tamiento e inquietudes de

cada alumno, atendiendo a sus necesidades y respondiendo a sus preguntas

para lograr un mejor aprendizaje entr e ell os.

2.3. PRINCIPIO DE ACTIVIDAD

La actividad es ley fundamental de la niñez. Se considera que no hay niño sin

actividad: estos son activos por naturaleza los padres y maestros no deben

contravenir dicha actividad solo canalizarla, orientarla para que no devenga en

dañina. La experiencia enseña que el conocimiento logrado con el esfuerzo, el

hacer (actividad), la participación del alumno es más consistente y duradero. El

aprovechamiento didáctico de la actividad del niño se expresa en el aprender

haciendo.

Durante la sesión de clase, el alumno participara contestando las in terrogantes

planteadas por el docente formador y en la resolución de ejercicios sobre

Ángulos Múlt iples.

2.4. PRINCIPIO DE SOCIALIZACION

El principio de socialización es importante porque a través de él, aprendemos a

vivir y a convivir con los demás, se aprenden las normas que rigen una sociedad,

se asimilan los patrones sociales y culturales de un pueblo. La preocupación



39

porque la enseñanza tenga un verdadero acento socializador a dado lugar a la

aparición y a la propagación de contenidos y actividades en dinámica grupal.

La socialización es importante dentro del aula porque permite al alumno

fomentar el compañerismo, cooperación, r espeto, etc. Esenciales para logr ar un

buen aprendizaje.

3. CONCEPCION DE ENSEÑANZA

Según CRISOLOGO ARCE, Aurelio (1999, p. 53) afirma que: ―la enseñanza

es la serie de actos que realiza el docente con el propósito de crear

condiciones que le den a los alumnos la posibilidad de aprender, es decir, de

vivir experiencias que le permitan adquirir nuevas conductas o modificar los

existentes‖.

RODRIGUEZ, Walabonzo (1995, p. 47) sostiene que: ―la enseñanza es un

proceso de tr ansmisión de conocimientos y otras formas culturales‖.

La enseñanza se reduce a la transmisión de conocimientos, a la recitación de

la lección por parte del maestro. Se dice que la enseñanza, si ha de subsistir

en la escuela nueva será para enseñar a los alumnos a aprender las técnicas de

cómo se estudia y de cómo se aprende las técnicas de investigación, de

trabajo en grupo, etc.

En si, la enseñanza es un proceso, conjunto de hechos, debidamente

plan if icado, para el logro de conocimientos y actitudes como resul tado de la

transmisión de aquellos.



40

4. CONCEPCION DE APRENDIZAJE

RODRIGUEZ, Walabonzo (1990, p. 10) sostiene que: ―el aprendizaje es

un proceso mediante el cual el sujeto adquiere una implicación de sus

conocimientos, actitudes, la que modificara su personalidad‖.

CALDERON INFANTES, Ulises (2000, p. 10) refiere que: ―el aprendizaje

es la adquisición de capacidades o competencias como producto de la

relación dialéctica del alumno en el medio ambiente estimulante‖.

Así mismo afirma que: el aprendizaje es el resultado de la percepción y

procesamiento de la información que realiza el alumno en su sistema

nerviosos central.

GIL MALCA, Guillermo (1990, p. 10) afirma que: ―el aprendizaje es el

proceso a través del cual el ser humano adquiere o modifica de una manera

más o menos permanente un determinado comportamiento, interactuando

con el medio ambiente‖.

En defini tiva en aprendizaje es un proceso en l a cual el ser humano es el

principal constructor de sus conocimi entos, actitudes y no es un medio

de repetición de datos memori zados. Es decir el aprendizaje es integral;

como cambio de conducta que se da internamente, es personal , propio de

cada individuo.

A. TEORÍAS DEL APRENDIZAJE

Hay muchas teorías que explican cómo se realiza el aprendizaje en los

alumnos, pero para mí sesión de clase se ha considerado una de ellas:



41

1. LA TEORÍA DE DAVID AUSUBEL Y EL APRENDIZAJE

SIGNIFICATIVO.

AUSUBEL es famoso principalmente por sus trabajos sobre métodos de plantear

experiencias tendientes o lograr la eficiencia óptima en el aprendizaje.

Así mismo plantea que el dominio de las asignaturas se consigue por medio del

aprendizaje receptivo; mientras que los problemas de la vida diaria se resuelven

aplicando el aprendizaje por descubrimiento.

Para AUSUBEL el principal proceso de la enseñanza es que el aprendizaje sea

significativo. Partiendo de la premisa de que cada individuo tiene una estructura

cognoscitiva la cual integra y procesa la información tomando en cuenta los

factores afectivos.

2. APRENDIZAJE SIGNIFICATIVO

El concepto más importante de la teoría de AUSUBEL es el aprendizaje

significativo, que es un proceso por el cual una información se relaciona con un

aspecto relevante de la estructura del conocimiento del individuo.

Este proceso involucra una interacción entre la información nueva y una

estructura específica del conocimiento que posee el aprendiz, a la cual

AUSUBEL le llama CONCEPTO INTEGRADOR (CALDERÓN, Ulises. Pág.

47-48)



42

Según CALDERÓN, Ulises (Pág. 18) ―El aprendizaje significativo ocurre

cuando la información se lanza a los conceptos o proposiciones integradores que

existen previamente en la estructura cognoscitiva del que aprende‖

En este sentido AUSUBEL ve el almacenamiento de información en el cerebro

humano como un proceso altamente organizado.

Esta teoría se da en mi sesión de clase cuando a los alumnos les hacemos

recordar temas anteriores con el f in de asimi lar mejor la inf ormación que se

les va a bri ndar .

3. LAS INTELIGENCIA MÚLTIPLES:

GARDNER plantea la existencia de siete (en la actualidad son ocho) tipos

de inteligencia, pero en mi sesión de aprendizaje nos ocuparemos de ellas.

Inteligencia Lógico-Matemática: por esta inteligencia el individuo es capaz de

percibir, discriminar, transformar y expresar las informaciones matemáticas que

se le presentan a diario; como por ejemplo el contenido de mi sesión de clase.

5. PROCESO DE ENSEÑANZA- APRENDIZAJE

Debido a que la enseñanza corresponde al maestro y el aprendizaje al alumno

nos damos cuenta que ambas terminologías no pueden estar separadas porque

son correlativas y juntas van a construir la educación. Al respecto diversos

autores dan su punto de vista al proceso de enseñanza- aprendizaje.



43

Según GUSDORF, Churchill (1995, p. 155) ―la enseñanza – aprendizaje es

un proceso mediante el cual un sujeto o un grupo adquieren nuevas capacidades

y conocimientos que les permitan modificar positivamente su conocimiento‖.

Asimismo RODRIGUEZ, Walabonzo (1995, p. 46) sostiene que : ―es el

proceso a través del cual el ser humano adquiere y modifica de una manera mas

o menos permanente un determinado comportamiento, interactuando con el

medio ambiente o reaccionando ante una situación dada.

Aplicando esto al proceso de enseñanza- aprendizaje podemos decir que

aprender por acción directa de la enseñanza es la formación o mejoramiento del

comportamiento del alumno a través de situaciones planificadas y dirigidas hacia

un fin educativo‖.

En el proceso de enseñanza – aprendizaje, el docente se convier te en un

mediador o facili tador, quien plani f ica situaciones donde el alumno construye

su propio aprendizaje.

6. PRINCIPIOS DE LA ENSEÑANZA – APRENDIZAJE

Para GALVEZ VASQUEZ, José (1999, p. 12) ―los principios son las ideas

rectoras, imágenes, directrices, normas esenciales y fundamentales que

orientan el trabajo en clase‖.

6.1. PRINCIPIO DE MOTIVACION

Según GALVEZ VASQUEZ, José (1999, p. 14) afirma que:

―motivar es despertar el interés y la atención del alumno por los

valores contenidos en materia exaltando en ellos el deseo de



44

aprenderlas el gusto de estudiarlos y satisfacción de cumplir con las

actividades de desarrollo‖.

Este pri ncipio de l levo a cabo dur ante la sesión de clase, pues se

busca que el al umno mediante situaciones problemáticas del

contexto real (al i ni cio de la sesión) l lame la atención del alumno,

para que este pueda comprender que los conocimientos que va

adqui r ir las funciones de los Ángul os Múlt iples.

6.2. PRINCIPIO DE ESTRUCTURACION

GIL MALCA, Guillermo (1990, p. 23) sostiene que: ―el

aprendizaje puede incrementarse seleccionando métodos de enseñanza

que se adecuen al nivel de desarrollo cognitivo y de comprensión del

alumno. El docente debe establecer las relaciones significativas entre

lo que el alumno va aprender y lo que ya sabe.

El presente diseño está de acuerdo al nivel de desar rol lo cogniti vo de

los alumnos y se tendrá en cuenta los conocimientos previos

(prerrequisitos) que el alumno maneje para luego estructur ar con

los nuevos conocimientos que deberá aprender.

6.3. PRINCIPIO DE ADECUACION

Todo método pedagógico procura adecuar los datos de temas y cursos

a la capacidad de los alumnos con quienes se aplica. Debe tenerse en

todo momento y en cualquier nivel educativo.



45

Este principi o está presente en el momento de la or ientación del

aprendizaje cuando al dar los conocimientos se procure que séanl o

más asequible a los alumnos, con el f in de que los alumnos puedan

entender sin mucha dif icul tad de acuerdo como van avanzando.

6.4. PRINCIPIO DE SECUENCIACION

GIL MALCA, Guillermo (1990,p. 24) sostiene que : ―este principio

explica que la presentación ordenada desde un punto de vista lógico

y psicológico de los contenidos de enseñanza influye en forma

determinante para que loa alumnos logren los aprendizajes previstos.

Teniendo en cuenta este pr incipio se ha ordenado los contenidos a

desarrol larse de tal manera que se logren los objetivos del diseño.

6.5. PRINCIPIO DE ACTIVIDAD

Este principio es considerado como uno de los más importantes dentro

de la didáctica moderna y la nueva educación, ya que considera al

hecho educativo como un simple hecho de depositar conocimientos de

la mente de los alumnos, sino que busca la participación constante de

estos ya sea dentro o fuera del aula.

GALVEZ VASQUEZ (1999, p. 25) afirma que si el alumno

aprende haciendo sus aprendizajes serán muchos más eficientes y

significativos.

Este principio se dio constantemente durante toda la clase, puesto

que los alumnos participaron aportando ideas para e4l desarr oll o de



46

la situación pr oblemática, asícomo también par ti ciparan en l a

solución de los ejercicios propuestos de funciones de ángu los

múltiples.

6.6. PRINCIPIO DE SISTEMATIZACION

GALVEZ VASQUEZ (1999, p. 26) sostiene que desarrollar una

clase es otro de los principios básicos de la sesión de enseñanza-

aprendizaje, consiste en dosificar los contenidos a desarrollar de una

manera adecuada y de acuerdo al nivel de aprendizaje de los alumnos.

La aplicación de este principio se realiza mediante la correcta

organización y estr uctur ación de los contenidos, objetivos, métodos y

medios y materi ales que facil i ten el desempeño del docente

formador.

6.7. PRINCIPIO DE LIBERTAD

Libertad y confianza forma el carácter del alumno, aquella debe crecer

a medida que crece el alumno, que lo conocemos mejor y que hace su

trabajo.

Este principio en toda la sesión de clase pues se da paso libre a las

intervenciones y opiniones de los alumnos respecto al tema, al

avance de ell os mismos, al de sus compañeros y a la función del

docente formador en ese momento.

6.8. PRINCIPIO DE REFORZAMIENTO

GALVEZ VASQUEZ (1999, p. 14) afirma que: ―con este

principio se llega a establecer que el docente no solo debe impartir



47

experiencias y dejarlos al azar, sino que la tarea principal es reforzar,

consolidar la adquisición de las mismas mediante un conjunto de

medios y procedimientos adecuados‖.

Este principio aclara la importancia del refuerzo sobre el

aprendizaje del alumno y en la sesión de clase lo podemos observar

en el momento de la i ntensif icación de la retención, en donde se

aclaran las dudas, se les da nuevas orientaciones para lograr un

buen aprendizaje.

CAPITULO III

III. FUNDAMENTO DIDACTICO

1. DIDACTICA

1.1. CONCEPCION DE DIDACTICA

Según CHEWSKI, Tomas (1996, p. 23) la didáctica es la teoría

general de la enseñanza. Investiga una disciplina particular de la

pedagogía, las leyes del proceso unitario de la instrucción y la educación

en la base.

La didáctica debe describir el proceso de enseñanza en su forma general

y descubrir las leyes de este proceso. Asimismo debe formular los

principios fundamentales de la organización de la clase pues instruir

quiere decir, ante todo, organizar el aprendizaje de los alumnos.



48

La didácticas debe de informar a los maestros sobre los métodos en la

enseñanza de los alumnos es decir: como se enseña, y los diversos

caminos por los cuales el alumno debe ser llevado para cumplir los

objetivos propuestos.

2. DISEÑO INSTRUCCIONAL

Llamado también plan de lección, esquema de aprendizaje, esquema de

clase. Para definir mejor este término citaremos a GALVEZ VASQUEZ,

José (1999, p. 37) quien afirma que el diseño instruccional es el conjunto

de pasos establecidos en función a determinada concepción educativa,

donde se establecen los diversos pasos o momentos de una clase.

Es necesario recalcar que el diseño instruccional es útil para orientar la

labor del docente, facilitando la actividad del alumno en el momento de

su ejecución.

Es decir el diseño instruccional es muy impor tante porque orienta la

labor del profesor, facili tando la actividad del alumno en el momento

de su ejecución.

2.1. FASES DEL DISEÑO INSTRUCCIONAL

2.1.1. FASE DE INICIACION

a) MOTIVACIÓN:

Consiste en predisponer al educando a que aprenda

consecuentemente, realicen esfuerzos para alcanzar los estímulos

previamente establecidos. En este momento se debe desarrollar una

actividad interesante e impactante, que capture la atención y el



49

interés de los alumnos para que se concentren en el tema. Se realiza

al comienzo de una actividad de aprendizaje y durante su desarrollo

según las necesidades.

En el presente diseño la motivación estuvo dada al presentar un

juego en el cual el alumno en base a sus saberes previos puede

dar solución a la interrogante la ref lexión sobre el péndulo.

b) DECLARACION DE OBJETIVOS

Es la información de lo que se espera que logren los alumnos. Se

les da a conocer de modo natural y se procura que ellos tomen

conciencia de ellos mismos.

En nuestra sesión, los objetivos a lograr son enunciados a los

alumnos en f orma oral.

c) ESTIMULACION DE LA RECORDACION

Es la actividad o la actualización de los requisitos en los alumnos.

En este momento se verifica si el alumno tiene conocimientos

previos, de no ser así, el docente debe dictar los conocimientos.

Este momento es impor tante porque se podrá observar si el

alumno tiene los conocimientos necesarios para el desarroll o de

los nuevos conteni dos.



50

d) RECUPERACIÓN DE SABERES PREVIOS

D. AUSUBEL (1995, p.42) dice: ―La práctica del aprendizaje

comprensivo arranca de una muy concreta propuesta: partir siempre

de lo que el alumno tiene, conocer respecto de aquello que se

pretende aprender. Solo desde esa plataforma se puede conectar

con los intereses del alumno y éste puede remodelar y ampliar sus

esquemas perceptivos‖. El docente siempre antes de iniciar una

clase debe examinar brevemente qué sabe el alumno del tema y no

considerarlo como alguien que no sabe nada y necesita saber todo.

Este momento es de gran vital importancia, debido a que se podrá

observar si el alumno tiene los conocimientos necesarios para el

desarrollo exitoso de los contenidos que se le va a dar.

Los saberes con que cuenta el alumno no se evaluaran en esta

sesión puesto que el tema es corr elacional al anter ior, con las

notas obteni das de ángulos compuestos se podrán evaluar sus

saberes previos.

2.1.2. FASE DE DESARROLLO

a) ACONSTRUCCIÓN DEL APRENDIZAJE:

Es la etapa fundamental donde se desarrollan las capacidades en los

alumnos. Se sugiere priorizar los métodos y técnicas en los que los

alumnos están en permanente actividad, que ellos mismos, guiados por

el docente vayan logrando lo propuesto



51

En mi sesión se da cuando se desarroll a de manera organizada el

tema, basándonos en el mapa conceptual y que se hará de manera

conjun ta con los alumnos asimismo se util izo el método inductivo-

deductivo porque sus procedimientos de observación, análisis,

comparación y aplicación son fundamentales para el desarr oll o de

nuestro tema.

b) INTENSIFICACIÓN DE LA RETENCIÓN:

los preparativos de enseñanza para intensificar la retención de aquello

que se ha aprendido toma la forma de repasos espaciados. Este

espaciamiento significa exigir recordación a intervalos razonables, de

un día o mas después del aprendizaje inicial, se acostumbra

proporcionar una cantidad de ejemplos en los que pida la aplicación de

una capacidad recientemente aprendida en forma inmediata, después de

que se haya completado el desarrollo de la clase. (ROBERT GAGNE,

1975, p. 127).

Es aquel momento en el que se verifica si el alumno ha logrado retener

las partes esencial del tema que se expuso.

En mi sesión se da cuando se entr egará una copia sobre las

funciones de ángulos múltiples e identi f ican sus formas ( Anexo Nº 1 )

que se desarroll a conjuntamente con el ponente e inmediatamente

después se entrega otr o impreso ( Anexo Nº 2 ) en el cual l os alumnos

demostrarán lo aprendido durante los momentos anteri ores,



52

especialmente en la or ientación del aprendizaje, obteni endo de esta

manera un apr endizaje más sólido y duradero.

2.1.3. FASE DE CULMINACIÓN

a) TRANSFERENCIA:

En esta etapa se presentan situaciones y actividades nuevas en las que

los alumnos deben demostrar lo que han aprendido.

Los alumnos resolvieron el ( Anexo Nº 2 ) el cual contiene ejercicios de

apl icación del tema luego sustentaron el porquése sus respuestas. Es

la etapa en la que el docente formador consoli dara ideas, corr ige

errores y ver if icara aciertos .

b)

REALIMENTACIÓN:

Es la acción culminante de la clase, y es aquí en donde los alumnos son

capaces de demostrar lo aprendido y que en la mayoría de los casos es

comprobado a través de la evaluación.

En el tr anscurso de la clase la realimentación lo reali zamos a medida

que avancemos con el tema, aclarando las dudas que puedan

presentarse durante el desarrollo de los ejercicios sobre razones

tr igonométr icas de ángulos múlti ples.



53

CAPITULO IV

IV. ESTRATEGIAS METODOLÓGICAS

1. CONCEPTO:

Para GAGNÉ (1975, Pág. 122): “Las estrategias metodológicas no es otra cosa

que un plan organizado de actividades de aprendizaje que pone en marcha

métodos, técnicas, medios y materiales educativos con el propósito de lograr los

objetivos tratados‖.

a) MÉTODO:

Según CRISÓLOGO ARCE, Aurelio (1999; 99) el método es el

conjunto de actos. Lógicamente ordenados que el docente realiza en

todas las etapas de aprendizaje, es decir en la organización,

conducción y evaluación del aprendizaje.

Según GÁLVEZ VÁSQUEZ, José (1999, Pág. 35): ―El método es el

conjunto de procedimientos, de todo proceder constante, intencionado

y ordenado que sigue el docente, los alumnos o cualquier persona para

lograr determinados fines y objetivos en el menor tiempo posible

ahorrando trabajo y energía‖

En conclusión el método es el conjun to de procedimientos

lógicamente ordenados.



54

Que el docente realiza en todas las etapas de aprendizaje para

lograr determinados fi nes.

a) MÉTODO DEDUCTIVO:

Es cuando el asunto estudiado procede de lo general a lo particular. Este método se

aplica en la técnica expositiva.

b) MÉTODO INDUCTIVO:

Es cuando el asunto estudiado se presenta por medio de casos particulares para

luego llegar a algo general.

c) MÉTODO INDUCTIVO-DEDUCTIVO

Como nosotros sabemos el aprendizaje no queda solo en la generalización o ley

sino que necesita de la comprobación es porque llegamos a la conclusión de que losdos juntos son de gran importancia para lograr los objetivos trazados en esta sesión

de aprendizaje.

Es por eso que se les pide a los alumnos que tomen atención para que puedan

comprender y entender l as razones tr igonométr icas de los ángulos múltiples y así

puedan aplicarl as de manera exi tosa en la solución de otros problemas.

2. PROCEDIMIENTO DIDÁCTICO

Para GÁLVEZ VÁSQUEZ, José (1999, p. 648) ―El procedimiento es el

conjunto de medios prácticos que se emplean en la aplicación del método‖



55

CALDERÓN INFANTES, Ulises (2000, p. 134) sostiene que: ―El

procedimiento es el medio concreto y preciso para ir por el camino

determinado por el método‖.

En conclusión el procedimiento es el conj un to de medios prácticos,

concretos y precisos que se emplean en la apl icación del método.

En esta Sesión de Aprendizaje se han empleado los siguientes

procedimientos:

a) Observación:

Es el examen atento y reflexivo que efectúa el docente y los alumnos acerca de

las cosas, objetos y fenómenos haciendo uso de los sentidos y que escolta al

proceso de elaboración.

En mi sesión se da cuando se les presenta el desenlace del péndulo pues es al lí

donde se logra captar la atención y observación de los alumnos.

b) Análisis:

Es la descomposición del todo en sus partes pero siempre manteniendo una

relación.

Esto sucede cuando los alumnos observan y analizan las formulas y las

presentan un formulari o elaboradas a su propia creatividad.

c) Aplicación:

Es la utilización de los principios dados después de haber sido adquiridos.



56

En mi sesión de clase se da cuando resuelven un ejercicio de razones

tr igonométr icas de ángulos múltiples ( Anexo Nº 3 )

3. TÉCNICAS:

Según GÁLVEZ VÁSQUEZ, José (1999; 35) ―Las técnicas son los

recursos, las habilidades, destrezas, mecanismos, medios que el ser humano

emplea para hacer algo con mayor eficiencia y eficacia‖

CRISÓLOGO, Aurelio (2004, p.)dice: Es el conjunto de reglas y

habilidades que permiten al hombre realizar con eficacia determinadas

actividades.

En efecto las técni cas es el con jun to de reglas, habi l idades, destrezas,

mecanismo y medios que el hombre emplea para realizar con eficacia

determinadas actividades.

Teniendo en cuenta mi sesión se han utilizado las siguientes técnicas.

a) TÉCNICA LLUVIA DE IDEAS:

Es una técnica grupal mediante la cual los integrantes de un grupo reducido

proponen, exponen, con libertad sus ideas sobre la solución de un problema, en

forma original o nueva.

Se dio al i ni cio de mi sesión de clase.

b) INTERROGATIVA:



57

Es una secuencia de preguntas coherentes con el desarrollo de los contenidos del

tema. El interrogatorio permite conocer al alumno y resaltar sus aspectos

positivos, también se presta como función diagnóstica de las dificultades y

deficiencias del alumno.

Se empleó cuando expusimos el caso del péndulo, pero realmente se apl ico

durante toda la clase.

c) PARTICIPATIVA:

Consiste en fomentar en el alumno un comportamiento activo en la sesión de

clase a través de la práctica del conocimiento adquirido, para que este sea el

promotor de su propio aprendizaje.

Se dio cuando se le pidió a los alumnos que observen e identi f iquen r azones

tr igonométr icas de los ángulos compuestos y asípoder l legar a nuestr as las

formulas estudiadas.

d) EXPOSITIVA:

Consiste en la exposición oral por parte del docente, de un asunto o tema de

clase.

Se empleó en todo el transcurso de la clase tanto por parte del profesor como

de los alumnos.



58

CAPITULO V

V. MEDIOS Y MATERIALES EDUCATIVOS:

1. DEFINICIONES:

Para CALERO, Mávilo (1997) ―Los medios y materiales educativos son el

conjunto organizado de recursos didácticos que orienta el proceso

educativo‖

Según GIL MALCA, Guillermo (1990) ―los medios y materiales

educativos constituyen los recursos más valiosos que sirven como

portadores y mediadores de la información destinada a los alumnos‖.

En conclusión los medios y materi ales educativos son el conj un to de

recursos organizados didácticos que portan el mensaje educati vo con el

fi n facili tar el aprendizaje de los alumnos .

2. VENTAJAS DE LOS MEDIOS Y MATERIALES EDUCATIVOS:

Son el nexo directo entre el docente y el alumno

Despierta el interés y concentra la atención de los alumnos sobre el tema

que se está tratando.

Facilita la comprensión del tema, aumentando la capacidad del aprendizaje

y haciéndolo más duradero.

Aproximan a los alumnos a la realidad de lo que se les quiere enseñar.

Transmite los mensajes a grandes grupos de alumnos en una unidad de

tiempo.



59

3. EN EL DESARROLLO DE MI SECCIÓN DE APRENDIZAJE SE

USARAN LOS SIGUIENTES MEDIOS Y MATERIALES EDUCATIVOS:

PÁPELO GRAFO : Es un recurso que el profesor utiliza para dar

informaciones y proporcionar aclaraciones al alumno, así como orientarlos

durante todo el proceso enseñanza aprendizaje.

MATERIAL IMPRESO: Son aquellos materiales producidos por la

imprenta, cuyo contenido facilita el desarrollo de la actividad, dado que

esta muy bien seleccionado y organizado.

MATERIAL IMPRESO: Son aquellos materiales producidos por la

imprenta, cuyo contenido facilita el desarrollo de la actividad, dado que

está muy bien seleccionado y organizado.

PIZARRA : Es el material educativo mas utilizado en las escuelas.

Está en el primer lugar al servicio del maestro y sus funciones didácticas

se relacionan con el lenguaje escrito.

RECURSO VERBAL: Es la utilización de la palabra oral para transmitir

conocimientos, explican instrucciones o actividades durante todo el

proceso de enseñanza-aprendizaje, e incluso para formular preguntas que

conduzcan al desarrollo del tema y a consolidarlo en los alumnos.



60

CAPITULO VI

VI. EVALUACIÓN:

1. ALGUNAS DEFINICIONES:

Según CALDERÓN INFANTES. Ulises (2000, Pág. 107) :

―Evaluación es el proceso de educar, que tiene como elementos

esenciales a los objetivos de la educación, el desarrollo del educando,

sus progresos de aprendizaje y una técnica de evaluación que sirva de

instrumento de medida‖.

Para CALDERÓN INFANTES, Ulises (2000, Pág. 107): ―La

evaluación debe entenderse como proceso en la que el profesor

planifica la evaluación, la implemente mediante la construcción de

instrumentos, la administra para recopilar la información requerida,

organiza los resultados, las somete a un análisis, para que en función

de ello emite juicios de valor que le permita al mismo tiempo tomar

decisiones‖

Según el Curso de PLANCAD (2000): ―Evaluación es tomar

decisiones sobre el curso de las actividades de aprendizaje, sobre la

base de los juicios de valor para reforzar los aprendizajes, corregirlos

o cerrar una programación de acuerdo con los resultados obtenidos en

dicha evaluación‖

Es decir la evaluación es comprobar y veri f icar quécambios se han

producido en los alumnos como consecuencias del proceso E-

A.



61

2. LOS TIPOS DE EVALUACIÓN QUE SE APLICARON EN LA

PRESENTE SESIÓN SON:

a) EVALUACIÓN DIAGNÓSTICA:

Se debe realizar esta evaluación tanto al inicio como durante el

proceso enseñanza-aprendizaje. Dado que le permite al docente

conocer el nivel en el que se encuentra el alumno y lo ponen al

tanto de todos los prerrequisitos para el desarrollo del proceso

enseñanza-aprendizaje.

Esta evaluación se muestra en mi clase cuando el alumno

parti cipa dando ideas acerca del tema a tr atar, de igual manera

estará presente cuando se estimule mediante la recordación de

saberes previos de la clase anteri or.

b) EVALUACIÓN FORMATIVA

Según CALDERÓN INFANTES, Ulises (2000. pág. 35) este tipo

de evaluación sirve para orientar a los alumnos en el aprendizaje.

Debe ejecutarse durante el desarrollo del proceso enseñanza-

aprendizaje, permitiendo que el alumno avance en su aprendizaje

en forma secuencial y gradual, permitiendo al docente detectar

cuáles son los aspectos débiles o no logrados para lo cual tomará

las medidas pertinentes con el fin de superarlas.

Esta evaluación se muestra en mi clase cuando los alumnos

parti cipan en la pizarr a orientados por la docente.



62

c) EVALUACIÓN SUMATIVA

Es un proceso de descripción y enjuiciamiento del aprendizaje al

término del curso.

Se dio en el momento que el docente hizo entrega del anexo Nº 4

“Prueba sobre Ángulos Múltiples” el cual deberá ser resuelto de

manera individual para ser luego cali fi cada de acuerdo al avance

de cada alumno.



63

CONCLUSIONES

La motivación es de vital importancia en el proceso de enseñanza aprendizaje, por tal

motivo se mostró a los alumnos la historia del péndulo como aprendizaje previo con la

finalidad de mantener el interés del tema durante el desarrollo de la clase.

Los pilares de la educaciones son importantes en el desarrollo de mi clase porque

permiten al alumno corregir errores, respetar ideas y desarrollar con gran éxito

Para la presente sesión de clase e empleado el método inductivo – deductivo el cual es el

más adecuado para iniciar mi sesión ya que partiré mostrando los ejemplos reales para

finalmente llegar a entender la definición y la identificación de funciones trigométricas

de las ángulos múltiples.



64

SUGERENCIAS

1. El educador debe tratar en lo posible de enseñar la matemática centrándose en

situaciones reales y concretas utilizando estrategias metodológicas adecuadas.

2. Despertar el interés en los alumnos por el tema relacionándolo con la realidad, es decir

con su contorno (donde viven, estudia, juega, etc.).

3. Para que la educación sea exitosa debe promover que el alumno construya su propio

aprendizaje, de esta manera valora lo que aprende.

4. Es importante estimular los avances de los alumnos, elogiarlos cuando tienen éxito y

acercarnos a su mundo para comprender mejor su vida, para fortalecer su autoestima.

5. Se obtiene mejor resultado cuando los alumnos planteen sus propios ejemplos y

problemas.

6.

Propiciar un clima de confianza en el aula, es optimo porque visualizar la participaciónactiva de los alumnos pero siempre manteniendo el respeto entre el alumno- profesor

7. Se debe crear un clima de confianza en el aula, es óptimo porque conduce a la

participación activa de los alumnos.



65

REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS

AUSUBEL, D. y otros. (1995). ―Psicología educativa. Un pun to de vista

cognoscitivo” . 3ra Ed. México: Trillas.

CALDERÓN INFANTES, Ulises. (2000). “Didáctica General”. U.N.T. Trujillo-

Perú.

CALERO PEREZ, Mavilo (1997). “Tecnología educativa” editorial San Marcos

Lima- Perú.

CAPELLA RIERA, Jorge (1989). ―Educación, un nuevo enfoque integral ‖. Editorial

Cultural y Desarrollo. Tercera edición. Lima-Perú.

CASTILLO C. de P. Carmen (1998). ―Los eventos de capacitación en el marco de la

PLANCAD. Orientaciones Conceptuales a los entes ejecutores” . Ministerio de

Educación. Lima-Perú. Cajamarca-Perú.

CRISÓLOGO ARCE, Aurelio (2004). ―Nuevo Di ccionari o Pedagógico ‖. Ediciones

Abedul. E.I.R.L. Segunda edición. Lima-Perú.

CHEWSKI, Tomas (1996) “ Didáctica general”. Editorial Grimaldo S. A. México.

GAGNE, Robert (1975) “ Principios básicos del aprendizaje para la instrucción” .

Editorial Diana. México

DE LA TORRE ZERMEÑO, Francisco (2005). ―12 L ecciones de Pedagogía,

educación y didácti ca ‖. Editorial Alfa Omega S.A. primera edición. México.



GÁLVEZ VÁSQUEZ, José (1999). ―Métodos y Técnicas de Aprendizaje ‖. Editorial

Los Andes. Cuarta Edición. Cajamarca-Perú.

GIL MALCA Guillermo (1990). ―Tecnología de la enseñanza y el aprendizaje”.

Editorial Libertad. Trujillo- Perú

PEREZ, Rosa y CASTILLO, Elías (1998). “ Teoría de la educación”. Editorial San

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RODRÍGUEZ Walabonzo (1995). ―Teoría de la educación” Editorial Escuela Nueva

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