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I.E “10214” LA RAMADA – SALAS MATEMÁTICA – 3 Secundaria

Prof. Edwin Ronald Cruz Ruiz

-1-

I. CONCEPTOS BÁSICOS

ÁNGULO: .........................................................

..........................................................................

..........................................................................

VEAMOS ALGUNOS EJEMPLOS :

- Denota los siguientes ángulos y sus

respectivas medidas:

I __________ ; ______________ = _____

II. __________ ; ______________ = _____

III. __________ ; ______________ = _____

IV. __________ ; ______________ = _____

II. ¿QUÉ ES UNA BISECTRIZ?

.........................................................................

.........................................................................

.........................................................................

Sea el ∢AOB :

¿Cómo, biseca?

Osea: ..............................................................

........................................................................

........................................................................

O

A

M

B

º

º

Si :

OM es bisectriz del ∢AOB.

Se cumple :

m∢AOM = m∢MOB = º

¡Recordemos!

“Qué todo ángulo en la geometría

plana es positivo y menor ó igual

a una vuelta”.

0º < ºGEOMETRICO < 360º

Donde: * “P” : Pertenece a la

región .

* “R” : Pertenece a la

región exterior del

ángulo

¿Y cómo se denota?

NOTACIÓN :

m∢AOB :

……………………

¿Y su medida?

¿En que unidad se expresa?

∢AOB : …………………… En la unidad de:

………………………………

……………….

O

A

B M

N

O 45º

60º

I II

O

P Q

70º

150º

R S

T III IV

A

B

R P

º

O

ÁNGULOS I



-2-

III. CLASIFICACIÓN DE LOS ÁNGULOS

a) Según sus medidas :

Ángulo Agudo:

Ángulo Obtuso:

Ángulo Recto :

Ángulo Llano :

Ángulo de una vuelta:

* Veamos algunos ejemplos:

1. Angulo. Agudos:

10º, 30º, 60º, 80º, 89º, etc.

2. Angulo. Obtusos :

100º, 150º, 118º, 179º, 91º, etc

* De los siguientes gráficos indique si el ∢ es

agudo, recto, obtuso o llano.

o 20º ↠ ........................................

o 36º ↠ ........................................

o 72º ↠ ........................................

o 100º ↠ ........................................

o 18º ↠ ........................................

o 90º ↠ ........................................

o 170º ↠ ........................................

o 115º ↠ ........................................

o 360º ↠ ........................................

o 180º ↠ ........................................

o 162º ↠ ........................................

o 180º ↠ ........................................

o 162º ↠ ........................................

o 90,5º ↠ ........................................

o 89,5º ↠ ........................................

o 0º ↠ ........................................

º

0º º 90º

º

90º º 180º

º

= 180º

¿Profe y porque algunos ángulos son

mayores que otros y algunos tienen lados

comunes?

45º

40º

20º

120º 60º

54º

36º 40º 40º

140º

140º

= 360º

º= 180º



-3-

Práctica dirigida Nº 01

Utilizando el transportador, mide los

siguientes ángulos.

o

o

o

o

o

1. De los siguientes gráficos. Indique el tipo de ángulos:

a) ∢ ……………… b) ∢ ………………

c) ∢ ……………… d) ∢ …………………

e) ∢ …………………………..

2. Indique de que tipo de ángulo se trata según su medida.

a) 16º ↠ ........................................

b) 25º ↠ ........................................

c) 145º ↠ ........................................

d) 90º ↠ ........................................

e) 180º ↠ ........................................

Usando el transportador medir los siguientes ángulos. 3.

4. 5. 6. 7.

60º 145º

20º

º

º º =

……………..

º º =

……………..

º =

……………..

º

º =

……………..

º

º =

……………..

º

º =

……………..

º

º =

……………..

mº mº =

……………..

º

º º =

……………..

º =

……………..

º

º

º- º =

………………………..



-4-

8. Compruebe, aproximadamente, con su

transportador los siguientes ángulos.

a) º = 25º

b) º = 100º

c) º = 90º

d) º = 160º

e) º = 150º

9. Indicar verdadero o falso :

a) El ∢ agudo mide 90º ( )

b) el ∢ obtuso mide 180º ( )

c) 91º, es un ángulo agudo ( )

d) 180º, es un ángulo llano ( )

e) El ángulo obtuso puede ser 135º ( )

10. Calcular “x”

Si : OM es bisectriz del ángulo AOB

Sol.-

11. Si :

OM es bisectriz :

Calcular “x”:

Sol.-

12. Calcular “x” ; (Si

OB ; es bisectriz ∢

AOC)

Sol.-

O

20º B

M

A

O x+12

B

M

A

Rpta : 12º

B

C O

A

x

Rpta : 45º



-5-


ÁNGULOS COMPLEMENTARIOS Y

SUPLEMENTARIOS

I. Ángulos Complementarios:

II. Ángulos Suplementarios:

III. Ángulos Opuestos por el Vértice

IV. Ángulos de Lados Paralelos

1. Del gráfico, calcular”x”.

2. Del gráfico calcular “” 3. Calcular : CCC(23º)

a) 67º b) 66 c) 65 d) 57 e) 77

4. Calcular : SSSSS(142º)

a) 142º b) 38 c) 36 d) 40 e) 48

5. Calcular E = SSSCCCº

Si : º = CCCSSS140º a) 40º b) 50 c) 90 d) 140 e) 150

6. Calcular “” ; si : CCC=20º

a) 70º b) 20 c) 10 d) 35 e) 80

º º

º + º = 180º

Suplemento de xº : S(xº)

S(xº) = 180º - xº

xº

yº

º º

º = º

xº = yº

2xº

xº xº

xº

x =

……………

………

x =

……………

………

º

º

º

x = ……………………

x = ……………………

2º

3º

º

º

º + º = 90º

Complemento de

xº : C(x)

C(xº) = 90º - xº

yº

xº

º

º

º = º xº = yº

ÁNGULOS II



-6-

Tarea Nº 01

7. Calcular “” ; si : SSSSS = 135

a) 35º b) 45 c) 55 d) 75 e) 135

8. Calcular “x”

a) 2º b) 4 c) 10 d) 5 e) 15

9. Calcular “x”

a) 15º b) 30 c) 45 d) 5 e) 60

10. Calcular “x” ;

CDAEyFDAB

a) 10º b) 15 c) 25 d) 65 e) 115

11. Calcular “x” ;

BCEDyCDAB

a) 75º b) 105 c) 135 d) 100 e) 125


a) 15º b) 30 c) 45 d) 60 e) 40


a) 18º b) 36 c) 30 d) 40 e) 60

14. Calcular “”

a) 9º b) 41 c) 49 d) 50 e) 45

15. Calcular “”

a) 18º b) 54 c) 36 d) 72 e) 108

1. Calcular “x”

a) 155º b) 125º c) 135º d) 140º e) 175º

2. Calcular “x”

a) 68º b) 78º c) 58º d) 48º e) 34º

3. Calcular : º69CCC

º27CCCCC

a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 6

30º+x

2x+25º

xº+40

3x-20º

xº

2xº xº

60º

º

49º

36º

º

A

E

B

65º

xº

F

C

D

B

A

C

D

E

xº

75º

130º

xº

º

º

46º

º

º

xº

2x- xº+ º

2xº



-7-

4. Calcular : º20CCCC

º140SSSS

a) 1 b) 2 c) 3 d) 5 e) 4

5. Calcular SSSCCCº

Si : CSS40º = º a) 120º b) 130º c) 140º d) 150º e) 160º

6. Calcular : SSSSSCCCCC

Si : SSSCC120º = a) 120º b) 130º c) 140º d) 150º e) 160º

7. Del gráfico, calcular “”. Si: OM es bisectriz

del ∢AOB.

a) 10º b) 20 c) 30 d) 15 e) 5

8. Calcular “x”; si : OP es bisectriz del ∢AOB.

a) 35º b) 40 c) 75 d) 105 e) 125

9. Calcular el menor de dos ángulos

complementarios sabiendo que el mayor es el doble del menor.

a) 30º b) 15º c) 45º d) 35º e) 60º

10. Del gráfico, calcular “x”

a) 140 b) 120 c) 160 d) 170 e) 100

11. Hallar “x” e “y”.

a. 60º y 20º

b. 30º y 5º

c. 60º y 10º

d. 30º y 20º

e. 30º y 10º

12. Hallar : “” y “”

a) 5º y 30º

b) 20º y 15º

c) 20º y 30º

d) 10º y 15º

e) 5º y 15º

13. Calcular “x” ; m∢AOD = 102º

a) 27º

b) 36º

c) 34º

d) 50º

e) 64º

14. Hallar : “” ; x – y = 10º

a) 10º

b) 20º

c) 30º

d) 40º

e) 50º

20º

º

O B

M

A

A

P

B C

xº

40º

35º

o

xº

30º- 2

3y 4y

2y

2º 60º

A

B

D O

x- x

C

x+

x

y



-8-

ÁNGULOS FORMADOS POR DOS RECTAS PARALELAS Y UNA SECANTE

a) Ángulos Alternos : (dº ; fº) ; (cº ; eº) ; (aº ; gº) ; (bº ; hº)

b) Ángulos Conjugados : (dº ; eº) ; (cº ; fº) ; (aº ; hº) ; (bº ; gº)

c) Ángulos Correspondientes : (aº ; eº) ; (bº ; fº) ; (dº ; hº) ; (cº ; gº)

a) Ángulos Alternos

b) Ángulos Conjugados

c) Ángulos Correspondientes

PROPIEDADES

a) Si : 21 LL

b) Si : 21 LL

aº

cº dº

bº

eº

gº hº

fº

L1

L2

Si : 21 LL

Internos Externos

Internos Externos

¡Tigrillo! En Áng.

Alternos recuerda la

“z” del zorro”.

º = º

º

º

L1

L2

¡Tigre! En Ángulos

Conjugados recuerda

la “c” de conjugados

º + º = 180º

º

º

L1

L2

¡Calichin!

Y en estos

ángulos recuerda

la “f” de fácil

º = º

º

º

L1

L2

L1

L2

xº

º

yº

zº º

º

xº + yº + zº = º + º + º

+

xº = º + º

º

º

L1

L2

xº

ÁNGULOS III



-9-


1. Calcular “x” ; si : 21 LL

a) 70º b) 45

c) 30

d) 40

e) 50

2.-Calcular “x” ; si : 21 LL

a) 105º b) 115

c) 125

d) 75

e) 45

3.-Calcular “x” , si : 21 LL

a) 70º

b) 80

c) 45

d) 55

e) 100

4.-Calcular “x” ; 21 LL

a) 110º b) 100

c) 70

d) 120

e) 80


a) 15º b) 30

c) 45

d) 36

e) 60

6.-Calcular“x” , 21 LL

a) 12º b) 14

c) 15

d) 18

e) 20

7.-Calcular”x” ; 321 LLL

a) 110º b) 100

c) 80

d) 130

e) 120

8.-Calcular “x” 321 LLL

a) 120º b) 100

c) 80

d) 70

e) 110


a) 30º

b) 60

c) 90

d) 120

e) 100

10.-Calcular “x”; 21 LL

a) 30º

b) 60

c) 90

d) 100

e) 120

40º

L1

L2

xº

30º

xº

45º L1

L2

60º

xº

55º L1

L2

45º

30º

L1

L2

xº

40º

L2

30º

2xº 30º

xº 40º

10º

L1

L1

L2

x 20

2x

40

2x 10

L1

L3

L2

100º

30º xº

L1

L3

L2

70º

10º xº

L1

L3

º º

xº º

º

º

xº

º

º

º



-10-

Tarea Nº 04

1. Calcular ”x” ; si : 21 LL

a) 100º b) 120

c) 70

d) 80

e) 110

2.-Calcular “x” ; si ; 21 LL

a) 70º

b) 60

c) 40

d) 30

e) 110

3.-Calcular “x” ; si : 321 LLL

a) 60º

b) 30

c) 90

d) 45

e) 120

4.-Calcular “x” ; si : 21 LL

a) 110º

b) 70

c) 140

d) 150

e) 170

5.-Calcular “x” ; si 21 LL

a) 90º

b) 45

c) 180

d) 75

e) 30

6.-Calcular “x” , Si : 321 LLL

a) 108º

b) 72

c) 36

d) 54

e) 144

7.-Calcular “x” ; si : 321 LLL

a) 45º

b) 50

c) 90

d) 36

e) 30


a) 50º

b) 20

c) 80

d) 30

e) 40

9.-Calcular “x” 21 LL

a) 25º

b) 35

c) 55

d) 45

e) 20


a) 50º

b) 45

c) 60

d) 120

e) 100

30 - º

40 +º

L1

L2

xº

L1

L3

L2

º

xº

2º

L1

L2

70º

xº

30º

xº

45º L1

L2

45º

40 - º

60 +º

L1

L2

xº

L1

L3

L2

2

xº

3

L3

º

3º

xº

L2 L1

30º

xº

L1

L2

80º

xº+º 50

º

50

º xº-º

L1 L2

L1

L2

150º

xº

80º

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