Cuadernos de Matemtica y Mecnica" comprende dos seriesde publicaciones. Ediciones Previas tiene por objeto facilitar la prontadifusin de trabajos de investigacin y desarrollo realizados princi-palmente en el Instituto de Matemtica Aplicada del Litoral (IMAL)y en el Centro Internacional de Mtodos Computacionales en Inge-niera (CIMEC). Serie Cursos y Seminarios est dedicada a la impre-sin rpida de material bibliogrco considerado de utilidad parael estudio de temas de inters.Cuadernos de Matemtica y Mecnica" publishes two series.Ediciones Previas aims to provide a rapid way of communicating re-search and development works, specially those which are carriedout within the Instituto de Matemtica Aplicada del Litoral (IMAL)and the Centro Internacional de Mtodos Computacionales en In-geniera(CIMEC). Cursos y Seminarios publishes lectures notes andeducational material which are useful to study currently developingtopics.Comit de Arbitraje: H. Aimar (IMAL), S. Idelsohn (CIMEC)R. Macas (FIQ-UNL), O. Salinas (IMAL),V. Sonzogni (CIMEC).Encargada de Redaccin y Publicacin: I. Hernndez (IMAL)ISSN N 1667-3247Cuadernos de Matemtica y Mecnica"IMAL (CONICET - UNL) - CIMEC (INTEC, CONICET - UNL)Gemes 3450, (3000) Santa Fe, ArgentinaFax: 54 - 42 - 4550944, 54 - 42 - 4556673E-mail: imal@ceride.gov.ar cimec@ceride.gov.arPginas: http://www.imal.ceride.gov.ar http://www.cimec.org.arANILLOS Y SUS CATEGORAS DEREPRESENTACIONESAndrea SolotarMarco FarinatiMariano Surez AlvarezDepartamento de MatemticaFacultad de Ciencias Exactas y NaturalesUniversidad de Buenos AiresCiudad Universitaria, Pabelln 1, (1428) Buenos AiresArgentinaE-mail address: asolotar@dm.uba.arIndice1 Grupos 51.1 Denicin y ejemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51.2 Monoides . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71.3 Subgrupos. Subgrupos normales . . . . . . . . . . . . 91.4 Morsmos y cocientes . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121.5 Teoremas de isomorsmo . . . . . . . . . . . . . . . . 181.6 El teorema de Lagrange . . . . . . . . . . . . . . . . . 201.7 Grupos cclicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 221.8 Accin de un grupo sobre un conjunto. . . . . . . . . 231.9 Orbitas, grupos de isotropa y ecuacin de clases. . . 271.10 Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 322 Anillos 592.1 Deniciones y ejemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . 592.2 Morsmos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 642.3 Ideales bilteros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 672.4 Cocientes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 702.5 Producto de anillos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 752.6 Localizacin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 762.7 Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 793 Mdulos 993.1 Primeras deniciones y ejemplos . . . . . . . . . . . . 993.2 Submdulos maximales . . . . . . . . . . . . . . . . . 1043.3 Morsmos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1063.4 Cocientes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1093.5 Mdulos cclicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1163.6 Suma y producto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1163.7 Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118vvi4 Condiciones de cadena sobre mdulos y anillos 1274.1 Mdulos noetherianos . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1274.2 El teorema de Hilbert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1334.3 Mdulos artinianos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1354.4 Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1415 Mdulos libres, proyectivos e inyectivos 1455.1 Mdulos libres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1455.2 El A-mdulo libre generado por un conjunto X. . . . 1485.3 Nocin de rango . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1545.4 El funtor Hom. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1565.5 Mdulos proyectivos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1625.6 Anillos hereditarios. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1655.7 Mdulos proyectivos en dominios principales . . . . 1675.8 Mdulos inyectivos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1695.9 Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1796 Teoremas de estructura 1876.1 Mdulos y anillos semisimples . . . . . . . . . . . . . 1876.2 Anillos eucldeos, principales y de factorizacin nica 1976.3 Mdulos sobre dominios de ideales principales . . . . 2016.4 Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2077 Producto tensorial 2177.1 Existencia y unicidad del producto tensorial . . . . . 2177.2 Funtorialidad de . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2257.3 Adjuncin entre y Hom . . . . . . . . . . . . . . . . 2307.4 Mdulos Playos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2337.5 Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2358 Teoremas de Morita 2438.1 Equivalencias de categoras . . . . . . . . . . . . . . . 2438.2 Teoremas de Morita. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2498.3 Contextos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2548.4 Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2619 Categoras 2659.1 Categoras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2659.2 Lmites y Colmites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2719.3 Funtores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 290vii10Bibliografa 299viiiIntroduccinEste libro surgi luego del dictado, en diversas oportunidades,del curso de Algebra II para la licenciatura en Ciencias Matemticasde la Facultad de Ciencias Exactas y Naturales de la Universidad deBuenos Aires. Se trata de la tercera materia de lgebra que cursanlos alumnos. La escasez de bibliografa en castellano sobre los temasabarcados por esta materia fue una de las principales motivacionespara escribirlo.En el proceso de redaccin, varios temas fueron profundizadosmas all de lo que se suele dictar en clase, con la idea de que elalumno interesado cuente no slo con una gua de los contenidosde la materia, sino tambin con material de consulta que lo prepareantes de abordar literatura ms especializada.Un curso cuatrimestral de estructuras algebraicas debera incluirlos contenidos completos de los primeros cuatro captulos como es-queleto sobre el cual desarrollar con mayor o menor profundidadlos contenidos de los captulos siguientes.El captulo sobre Grupos fue encarado como un captulo intro-ductorioaestructuras, conloscontenidosmnimossobregruposque se necesitarn en el resto del libro. La razn de esta minima-lidad es por un lado que el punto de vista general del libro es elcategrico, y el modelo de categora elegido por nosotros sobre elcual aprender lgebra es el de categora abeliana. Esto nos llev acentrar el curso en categoras de mdulos sobre un anillo. Por otraparte, la bibliografa a disposicin de los alumnos sobre grupos, ogrupos nitos, es mucho mas abundante que sobre mdulos, con loque un nuevo libro detallado sobre este tema no se presenta compa-rativamente tan necesario.El captulo de Teoremas de estructura est formado por dos par-tes a la vez muy diferentes y anlogas. Se trata de los teoremas de12estructura de mdulos sobre un anillo semisimple, y sobre un domi-nio principal. Si bien las categoras semisimples tienen un compor-tamiento muy diferente del de las categoras de mdulos sobre undominio principal, ambas son ejemplos de categoras en donde setiene una clasicacin completa de sus objetos. Mientras que enanillos semisimples el ejemplo que tuvimos en mente fue el de unlgebra de grupo, los ejemplos de dominios principales que toma-mos como modelos son Z (obteniendo el teorema de estructura degrupos abelianos nitamente generados) y el anillo de polinomioscon coecientes en un cuerpo: k[x]. Este ltimo ejemplo tiene comoaplicacin, cuando k es algebraicamente cerrado, la obtencin de laforma de Jordan. Dada la importancia de esta aplicacin, la hemosdescripto separadamente como ltima seccin de este captulo.El captulo sobre Categoras puede considerarse tambin comoun Apndice. Durante el dictado de la materia, las nociones cate-gricas no fueron dadas ni todas juntas, ni al nal, sino de a poco,cuando las necesidades de lenguaje lo indicaban. Generalmente es-te tema resulta muy difcil de asimilar si no se cuenta con ejemplosconcretos de categoras sobre las cuales se haya trabajado. Por es-ta razn no recomendamos leer directamente este captulo si no seestfamiliarizadoconteoremasbsicosodenicioneshabitualesde estructuras algebraicas, como los teoremas de isomorsmo, o lasdeniciones de suma directa, o de objeto proyectivo.El captulo sobre los Teoremas de Morita es un punto ideal ha-cia donde conuir en un curso de lgebra, pues integra nocionesde todos los otros captulos (equivalencias de categoras, mdulosproyectivos, generadores, producto tensorial) y a la vez provee re-sultados muy concretos, como clculos de subespacios de conmuta-dores, o relaciones entre propiedades de un anillo A y del anillo dematrices Mn(A).Por razones evidentes, varias reas importantes de la teora deanillos y de la teora de mdulos no son cubiertas por este texto.Mencionamos por ejemplo las herramientas de homologa, la teorade anillos conmutativos, o aspectos de la teora de representacionesde grupos como caracteres, frmulas de induccin, etc.Los ejercicios destinados a profundizar en el conocimiento de es-tos temas corresponden en su mayora a las guas de Trabajos Prc-3ticos del primer cuatrimestre de 2007. Estos fueron redactados en sutotalidad por Mariano Surez Alvarez y enriquecen versiones ante-riores de estas notas.Agradezco innitamente a Mariano por su ayuda con esta nuevaversin.Quiero agradecer los comentarios, sugerencias y correcciones delos alumnos que cursaron Algebra II en los ltimos cuatrimestres yque notaron varios errores en versiones previas de este manuscrito.En especial los alumnos del primer cuatrimestre de 2007 y a NicolsBotbol, ya que con su inters y dedicacin generaron varios cam-bios. Tambin a Estanislao Herscovich por su ayuda con los ltimoscaptulos.Por ltimo agradezco a la Msc. Ilda Hernndez y al IMAL pordarme la oportunidad de publicar este texto.Andrea SolotarBuenos Aires, 30 de julio de 2007.4Captulo 1Grupos1.1 Denicin y ejemplosEl concepto de grupo apareci inicialmente al considerar gruposde transformaciones de un conjunto. Sin embargo, al estudiar estosgrupos de transformaciones se vio que muchas de sus propiedadeseran independientes del hecho de que actuaran sobre un conjunto yresultaban consecuencias de ciertos axiomas bsicos.Denicin 1.1.1. Un grupo (G, ) es un conjunto G provisto de unaoperacin: G G G que satisface las siguientes condiciones:Asociatividad: para todo g1, g2, g3 G, es(g1 g2)g3 = g1 (g2 g3).Elemento neutro: existe e G tal que para todo g G eseg = ge = g.Inversos: para todo g G, existe g/ G tal quegg/ = g/ g = e.Si adems para todo par g, h G es gh=hg entonces elgrupo se llama abeliano o conmutativo. El cardinal del conjunto G esel orden de G y lo escribiremos [G[. Diremos que un grupo G es nitosi [G[ < y que es innito en otro caso.56 1. GruposObservaciones.1. El elemento neutro de un grupo es nico, porque si ey e/sondos neutros, entonces e = ee/ = e/. La igualdad de la izquierda esporque e/ es neutro a derecha y la segunda igualdad es porque ees neutro a izquierda.2. Un elemento g posee un nico inverso g/: si g/ y g// son dos in-versos para g entoncesg/ = g/ e = g/ (gg//) = (g/ g)g// = eg// = g//.Al nico inverso de un elemento g se lo denotar g1.Ejemplos.1. Sea X un conjunto, sea G el conjunto de las funciones biyectivasde X en X yla composicin. En este caso e es funcin identidad IdXy si g G, g1es la funcin inversa.Si el conjunto X = 1, 2, 3, . . . , n, entonces G se denota on y sellama el n-simo grupo simtrico.2. Sea V un k espacio vectorial y sea G = GL(V) el conjunto de losendomorsmos lineales inversibles de V. G es un grupo con la com-posicin de transformaciones como producto y la identidad comoelemento neutro. Si V=kn, GL(V) se nota GLn(k) y se identica(luego de jar una base de kn) con las matrices inversibles de n -las y n columnas a coecientes en k. El elemento neutro es la matrizidentidad.3. Tomando la suma como operacin y el cero como neutro, los con-juntos Z, , 1, C (los nmeros enteros, racionales, reales y comple-jos) son todos grupos abelianos.4. Si m N, los restos mdulo m (Zm, +m, 0) forman un grupoabeliano con exactamente m elementos.5. Dado n N, el conjunto nZ con la suma usual.6. Si m N, Gm= z C: zm=1 con la operacin produc-to (como nmeros complejos) es tambin un grupo abeliano con melementos. El neutro es el 1.7. Si X es un conjunto no vaco y G un grupo, entonces el conjunto= f : X G de las funciones de X en G es un grupo con lamultiplicacin denida por( fg)(x) :=f (x)g(x), f , g , x X.2. Monoides 7El neutro es la funcin constante que a todo x X le asigna e, elelemento neutro de G. Es fcil ver que es conmutativo si y slo siG lo es.8. Si G1 y G2 son dos grupos, entonces el producto cartesiano G1G2admite una estructura de grupo deniendo la operacin(g1, g2)(g/1, g/2) = (g1 g/1, g2 g/2).9. Dado n N, el conjunto 1ncon la suma usual de vectores.10. Tomando la multiplicacin como operacin y el uno como neu-tro, los conjuntos 0, 10 y C0 (los nmeros raciona-les, reales y complejos no nulos, respectivamente) son todos gruposabeliano.11. Tomando la multiplicacin como operacin y el uno como neu-tro, el conjunto S1= z C : [z[ = 1 es un grupo abeliano.Observacin. Para un grupo arbitrario (G, ), denotaremos indistin-tamente el producto de dos elementos g1 y g2 por g1 g2 = g1.g2 =g1g2. Los smbolosy . se utilizarn para cualquier tipo de grupo(abeliano o no), mientras que el smbolo + se utilizar solamente pa-ra grupos abelianos. Cuando se desprenda del contexto no expli-citaremos la operacin y hablaremos simplemente de un grupo G.Antes de seguir con las deniciones bsicas de la teora de gru-pos, hacemos una pequea disgresin sobre la estructura de mo-noide.1.2 MonoidesLa estructura de monoide es una generalizacin de la estructurade grupo, en donde no se pide la existencia de inverso y, segn elcontexto, avecessesuponelaexistenciadeelementoneutroyaveces no. Damos pues la denicin de monoide:Denicin 1.2.1. Un monoide (M, ) es un conjuntoM provisto deuna operacin : M M M que es asociativa, es decir, para lacual m (nl) = (m n)l para toda terna de elementos m, n, l M.Si adems existe e Mtal que em=me para todo m M,entonces M se dir un monoide con elemento neutro.8 1. GruposA partir de la denicin, es claro que todo grupo es automtica-mente un monoide. El ejemplo clsico de monoide que no es grupoes el de los nmeros naturales (N, +) o, agregndole el elementoneutro, (N0, +).Ejercicio. Si M es un monoide que admite un elemento neutro, en-tonces ese elemento neutro es nico. En particular, el mismo enun-ciado es cierto para todos los grupos.Si M es un monoide con elemento neutro, el subconjunto|(M) = m M : existe m/ M con m/ m = e = m m/se denomina el conjunto de unidades de M. Tautolgicamente |(M)es un grupo.Ejemplos.1. Si (k, +, ) es un cuerpo entonces (k, ) es un monoide con ele-mento neutro y |(k) = k 0.2. Si V es un k-espacio vectorial, Endk(V) con la composicin comooperacin es un monoide cuyo elemento neutro es la funcin iden-tidad. En este caso es |(Endk(V)) = GL(V).3. Si X es un conjunto, Func(X, X) = f : X X es un monoidecon la composicin como operacin y |(Func(X, X)) = o(X).4. Existen monoides con elemento neutro que admiten elementosinversibles a izquierda pero no a derecha. Consideremos el conjuntoM=CFMN(1) de las matrices innitas (aij)i,jNcon coecientesreales tales que para todo j N, aij=0 salvo para nitos valoresde i. Con el producto usual de matrices M es un monoide. En M, lamatriz (i,2j)i,jN es inversible a izquierda pero no a derecha.5. Terminamos esta disgresin sobre monoides con un ejemplo detipo general.SeaXunconjuntoarbitrarionovaco. ParacadanN, seaXn:= X X el producto cartesiano de X consigo mismo n ve-ces. Se deneL(X) =

nNXn,dondeindica unin disjunta. Si n, m N0, (x1, . . . , xn) Xny(x/1, . . . , x/m) Xm, denimos(x1, . . . , xn)(x/1, . . . , x/m) = (x1, . . . , xn, x/1, . . . , x/m) Xn+m.3. Subgrupos. Subgrupos normales 9Esta operacin da una estructura de monoide (sin elemento neutro)en L(X). Llamamos a L(X) el monoide libre sobre X.Si X es un conjunto unitario, L(X) se identica con (N, +). Si Xtiene por lo menos dos elementos, pruebe que L(X) no es conmuta-tivo.1.3 Subgrupos. Subgrupos normalesEn general, dado un conjunto G, uno puede obtener toda unafamilia de otros conjuntos simplemente mirando los subconjuntosde G. Si adems G tiene estructura de grupo, uno se puede pregun-tar cmo obtener gratis, a partir de G, una familia de grupos demanera anloga a la situacin conjuntista.Denicin 1.3.1. Dado un grupo (G, ), un subgrupo de G es un sub-conjunto H G tal que (H, [HH) es un grupo o, equivalentemen-te, si(a)es cerrado en H, esto es, para todo h1, h2 H, se tiene queh1 h2 H;(b) e H; y(c) para todo h H, h1 H.Observacin. Lacondicin(b)implicaqueH,=, asuvezlascondiciones (a)y (c)juntoconH,=implicanlacondicin (b),por lo tanto en la denicin de subgrupo se puede cambiar (b) porH ,= .Ejemplos.1. Si n N, sea Gn= w C: wn=1. Entonces (Gn, ) es unsubgrupo de (C0, ).2. Si n N, el conjunto nZ = nk / k Z de los mltiplos de n esun subgrupo de los enteros (Z, +).3. Si G = Z6 = 0, 1,, 5, entonces H1 = 0, 2, 4 y H2 = 0, 3son subgrupos de G.4. Si (G, ) es un grupo, G y e son siempre subgrupos. Si p es unnmero primo yG=Zpse ver fcilmente luego que estos dossubgrupos triviales son los nicos subgrupos que tiene Zp.10 1. Grupos5. Sea X= 1, 2, 3, ..., n y G= on el conjunto de las permutacio-nes de X. Si 1 i n, el conjunto de permutaciones que jan elelemento i de X, esto es, Hi= g G: g(i) = i, es un subgrupode G. Cuntos elementos tiene G? Cuntos elementos tiene Hi?6. Sea G = GLn(k) y sea H = A G : det A = 1. Entonces H esun subgrupo de G.7. SiHy Kson subgrupos de GentoncesH Kes un subgrupode G.Dado un grupo G y un elemento x G, consideremos el conjun-to (x) = xn: n Z. Se trata de un subgrupo de G, que puede sernito o no. Llamaremos orden de x, y se notar o(x), al orden de estesubgrupo. En caso de ser nito, o(x) = minn N : xn= 1.Ejemplo. Si G = Z6, o(0) = 1, o(1) = 6, o(2) = 3, o(3) = 2, o(4) = 3y o(5) = 6.Observacin. Si x G es tal que o(x) = n y t Z es tal que xt= eG,entonces n divide a t. En particular, para todo x G, se tiene queo(x) = o(x1).Denicin 1.3.2. Dado un grupo G, se llama exponente de G al m-nimo del siguiente conjunto A = s N : xs= 1 si x G.Ejemplo. Si G= Z este conjunto es vaco, as que el exponente es,por denicin, igual a +.Proposicin1.3.3. SeaGungruponito.EntonceselconjuntoAesno vaco. Adems, el exponente de G es el mnimo comn mltiplo de losrdenes de los elementos de G.Demostracin. Sea x G. Si t es tal que xt=e entonces o(x) [ t.Supongamos que t = o(g)m con m Z. Entonces xt=xo(x)m= e.Vemos que o(x) [ t xt= e. Como G es nito, todo elementotiene orden nito, y como G tiene una cantidad nita de elementos,tiene sentido considerar al mnimo comn mltiplo s de los rdeneso(x) con x G.Esxs=eparatodoxG,asqueAesnovacoyGtieneexponente nito. Adems, si m es tal que xm=e para todo x Gentonces claramente s divide a m. Luego s es el exponente de G.3. Subgrupos. Subgrupos normales 11Observemos que si H es un subgrupo de un grupo G, entoncespara cada x G el conjuntoxHx1= xhx1: h Hes tambin un subgrupo de G: en efecto, es(xhx1)(xh/x1) = x(hh/)x1y(xhx1)1= xh1x1.De esta manera, a partir de un subgrupo H obtenemos otros, quellamaremos conjugados a H. No hay razn a priori para suponer queH coincide con sus subgrupos conjugados, aunque esto s es ciertosi por ejemplo el grupo G es conmutativo o, ms generalmente, silos elementos de H conmutan con los de G.Ejemplo. Sea G=Sn y sea G la permutacin cclica denidapor(i) =_i + 1, si i < n;1, si i = n.Sea adems H = id, , 2, . . . , n1. H es un subgrupo de G, perono es cierto, en general, que si x G entonces xHx1=H (d unejemplo de esto!).Denicin1.3.4. UnsubgrupoHdeungrupoGes invariante(otambin normal o distinguido) si xHx1= H para todo x G. Escri-biremos HG.Observaciones.1. Sea HiiIuna familia de subgrupos de un grupo G. Entonces

iI Hi es tambin un subgrupo de G. Si adems todos los Hi soninvariantes en G, entonces

iI Hi es invariante.2. Si H es un subgrupo de un grupo G, mostrar que

xG xHx1esun subgrupo invariante.12 1. Grupos3. Si S es un subconjunto de G, seaNS = x G : xSx1= S.NS es un subgrupo de G al que llamamos el normalizador de S en G.Por ejemplo, si a G y S = a, entonces se tiene que NS= x G : xa = ax.Si Ses un subgrupo deG, se puede ver que Ses tambin unsubgrupo deNSy SNS. AdemsNSes el subgrupo de G msgrande con esa propiedad.4. SeaZG = x G : xg = gx para tdo g G.ZGes un subgrupo de G. Llamamos a ZGel centro de G. Se tieneZGG y, adems, cualquiera sea S G, es ZG NS.5. Si G es un grupo cualquiera y x, y G, el conmutador de x e y esel elemento[x, y] = xyx1y1.Dejamos como ejercicio vericar que si z G, entoncesz[x, y]z1= [zxz1, zyz1].Llamamos subgrupo conmutador o subgrupo derivado, y lo escribimos[G, G], al subgrupo de G generado por los conmutadores. Tenemosentonces que [G, G]G.1.4 Morsmos y cocientesAs como la nocin de conjunto est intrnsecamente ligada alconcepto de funcin, pues una funcin es una forma de relacionarun conjunto con otro, para el caso de grupos que son conjuntosprovistos de una estructura de producto adicional sern de im-portancia central las funciones entre grupos que respeten dichaestructura.4. Morsmos y cocientes 13Denicin 1.4.1. Sean (G, G) y (G/, G/ ) dos grupos. Una funcinf : G G/ es un morsmo (o tambin un homomorsmo) de grupossi para todo g1, g2 G se tiene quef (g1

G g2) =f (g1) G/ f (g2).Ejercicio. Un subconjunto H de un grupo G es subgrupo si y slosiHadmite una estructura de grupo tal que la funcin inclusioni : H G es un morsmo de grupos.Denicin 1.4.2. Un monomorsmo es un morsmo inyectivo. Unepimorsmo es un morsmo suryectivo. Un isomorsmo es un mor-smo biyectivo.Notemos que el conjunto de morsmos de gruposf : G G/,que escribiremos HomGr(G, G/), es siempre no vaco: la funcin quea todo elemento de G le asigna el neutro de G/ es trivialmente unmorsmo de grupos, al que llamamos el morsmo nulo.Observaciones.1. Un morsmo f : G G/ es un isomorsmo sii es monomorsmoy epimorsmo. En tal caso, la funcin inversa f1: G/ G tambines un morsmo de grupos (vericarlo!).2. Si f es un morsmo, entoncesf (eG)=eG/ : como eG=eGeG, esf (eG) =f (eG) f (eG), as queeG/=f (eG)( f (eG))1=f (eG) f (eG)( f (eG))1=f (eG).3. Si f : G G/es un morsmo, entonces para cadag Gesf (g1) =f (g)1.4. Un morsmofes un monomorsmo siif (g) = eG/ =g = eG.Denicin 1.4.3. Seaf : G G/ un morsmo de grupos. El ncleodefes el conjuntoKer( f ) = g G : f (g) = eG/ y la imgen defes el conjuntoIm( f ) = g/ G/ : existe g G tal quef (g) = g/.Se trata de subgrupos de G y de G/, respectivamente.14 1. GruposEjercicios.1. Vericar que efectivamente Ker( f ) e Im( f ) son subgrupos de Gy de G/. Vericar adems que Ker( f )G. Mostrar con un ejemploque Im( f ) no tiene porque ser invariante.2. Seaf : G G/ como antes un morsmo de grupos y H/ un sub-grupo de G/. Vericar que f1(H/) es un subgrupo de G. Si ademsH/G/, entoncesf1(H/) G. En particular, como es e G/resulta Ker( f )G.Las deniciones de monomorsmo y epimorsmo pueden serenunciadas a travs de estos subgrupos: un morsmo f : G G/ esun monomorsmo si y slo si Ker( f ) = eG y es un epimorsmosi y slo si Im( f ) = G/.Ejemplos.1. Laaplicacinexponencialexp: (1, +) (1>0, ), dadaporexp(x) =expara todox 1, es un isomorsmo de grupos, cu-yo inverso es la funcin logaritmo.2. Determinemos los morsmos de Z2 a Z4.Sea f : Z2 Z4 un morsmo de grupos. Sabemos que f (0) = 0.Cunto valef (1)? Como 0 = 1 + 1 entoncesf (1) + f (1) = 0. Estonos dice quef (1) debe ser o bien cero o bien la clase de 2 en Z4. Encualquiera de los dos casos, la funcin as denida es un morsmode grupos.3. Si f : Z2 Z3 es un morsmo de grupos, entoncesf es el mor-smo nulo. (Verifquelo!)4. La proyeccin cannica : Z Zn es un morsmo de grupos.5. Dados un cuerpo k y n N, la aplicacinf : GLn(k) k 0tal quef (A) = det(A) es un morsmo de grupos.6. Seaf : Gn Zn dado porf (e2ikn) = k. Entoncesfes un isomor-smo de grupos.Ejercicio. Denirunmorsmodegrupos f : S3S3tal queIm( f ) , S3.Vimos que si f : G G/ es un morsmo de grupos, entoncesKer( f )G. Sin embargo, esto no es cierto para Im( f ), como puedeverse en el siguiente ejemplo:4. Morsmos y cocientes 15Ejemplo. Sean k un cuerpo, n N yA GLn(k) una matriz noescalar. SeafA: Z GLn(k) el morsmo de grupos denido porfA(r) =Ar. Entonces la imagen defAes el subgrupo de GLn(k)generado por A, que no es invariante.El siguiente lema muestra que todo subgrupo normal de G es elncleo de algn morsmo de G en algn grupo G/.Lema 1.4.4. Sea HG. Entonces existe un grupo G/ y un morsmo degruposf : G G/ tal que H = Ker( f ).Demostracin. Denimos una relacin de equivalencia H sobre G.Si x, y G, diremos que x Hy sii y1x H. Dejamos comoejercicio mostra que, como H es un subgrupo, esto dene en efectouna relacin de equivalencia; notemos que si H = e esta relacines simplemente la igualdad.Consideramos el conjunto cociente G/H y la aplicacin natural : G G/Hx xdonde x = y G : x H y es la clase de equivalecia de x.Ponemos G/=G/Hy denimos una operacin sobre G/demanera quex y = xy.Adems, tomamosf =: G G/. Queremos ver que G/es ungrupo, quefes un morsmo de grupos y que Ker( f ) = H.La operacin est bien denida. Sean x, x/, y y y/ tales que x = x/y y = y/. Entonces existen h1, h2 H tales que(x/)1x = h1, (y/)1y = h2,o, equivalentemente,x = x/h1, y = y/h2.Queremos ver que x/y/ = xy y para eso calculamos xy en tr-minos de x/ e y/:xy = x/h1y/h2 = x/(y/y/1)h1y/h2 = x/y/(y/1h1y/)h2= x/y/h3h2,16 1. Gruposdonde h3= y/1h1y/, que es un conjugado de h1. Como H esun subgrupo invariante, es h3 H y entonces h3h2 H. Por lotanto, xy H x/y/ y, nalmente, xy = x/y/.Notemos que si H no es invariante, el razonamiento ante-rior no es vlido y no hay en general manera de dar al cocien-te G/ una estructura de grupo compatible con la de G.La operacin denida en G/da una estructura de grupo, es decires asociativa, hay un elemento neutro y todo elemento tieneinverso. Dejamos esto como ejercicio al lector. f es un morsmo de grupos y Ker( f ) = H. Que f es un morsmode grupos es inmediato a partir de su denicin puesf (xy) = xy = x y =f (x) f (y)Calculamos ahora Ker( f ):Ker( f ) = x G : f (x) = eG/ = x G : x = e= x G : x H e= x G : x H= HEsto completa la prueba.Denicin 1.4.5. Si G es un grupo y HG un subgrupo invariante,escribiremos G/H al grupo G/ construido en la prueba del lema ylo llamaremos el grupo cociente de G por H (o G mdulo H).Notemos que la estructura de grupo de G/H proviene del hechode queHG. CuandoHno es invariante, el conjunto cocienteG/H es tan slo un conjunto.Ejemplos.1. Sea mZ Z. Se trata de un subgrupo de (Z, +) y Z/mZ = Zm.2. Consideremos el grupo (1, +) y el subgrupo Z 1. Es Z1porque 1esabeliano. Seobtieneentoncesque 1/Zesungrupoisomorfo a (S1, ) = z C : [z[ = 1 (C0, ) y la proyeccincannica es la aplicacinx 1/Z e2ix S14. Morsmos y cocientes 173. Si G es un grupo, entonces G/e = G y G/G = e.4. SeanNyseaSnelgrupodepermutacionesde 1, . . . , n.Sea i 1, . . . , n y seaHel subgrupo de Snque consiste de laspermutaciones que dejan jo al elemento i. Entonces Sn/H = Sn1.Otra forma de describir al grupo cociente lo da la siguiente pro-posicin, que presenta una propiedad de tipo universal que carac-teriza completamente al cociente:Proposicin 1.4.6. Sean G un grupo, H G y seaH: G G/Hla proyeccin al cociente. Entonces para todo grupo G/ y todo morsmo degruposf : G G/ tal que H Ker( f ), existe un nico morsmo degruposf : G/H G/ tal quef H =f .Esta situacin se esquematiza con el siguiente diagrama:Gf

H

G/G/HfyyyyDemostracin. Mostremos separadamente la existenca y la unicidad.Existencia. Si x G/H, ponemosf (x)=f (x). Esta aplicacinest bien denida pues si x=x/, entonces x/1x H Ker( f ) yf (x/1x) = e/G. Esto implica quef (x) =f (x/).Resulta claro tambin quefes un morsmo de grupos, puesf (xy) =f (xy) =f (x) f (y) =f (x) f (y).Finalmente, la denicin misma defimplica quef =f H.Unicidad. La unicidad es una consecuencia de la sobreyectividaddeH. Seanf1, f2: G/H G/morsmos de grupos tales quefi =fpara i = 1, 2. Entonces, si x G/H, esf1(x) =f1((x)) =f (x) =f2((x)) =f2(x),as quef1 =f2.18 1. GruposObservaciones.1. Con las notaciones de la proposicin anterior, Im( f ) = Im( f ) yKer( f ) = H(Ker( f )). En particular sifes un epimorsmo, enton-cesf tambin lo es, y si H = Ker( f ) entoncesf es un monomors-mo.2. SeaGungrupoyHGunsubgruponormal.Supongamosque tenemos un grupo L y un morsmo de grupos: G L talque Ker() =Hy tal que para todo morsmof : G G/conH Ker( f ) existe un nico morsmof : L G/para el cual setiene quef =f . Queremos ver que existe un isomorsmo degrupos L = G/H.ComoKer() =H, existeunnico : G/HLtal que H=. Sabemos que Ker()=H(Ker()=H(H)= e,as que es monomorsmo. Para ver que es tambin un epimor-smo, vamos a construir un inverso. Por hiptesis, existe un nicomorsmo H: L G/H tal que H =H. Para vericar que H y son inversos, notamos que una un nico morsmo que haceconmutar el siguiente diagrama:G

LL

1.5 Teoremas de isomorsmoTeorema 1.5.1. (Primer teorema de isomorsmo) Seaf : G G/es un morsmo de grupos, sea H = Ker( f ) y consideremos la restriccinf : G Im( f ). Entonces f : G/Ker( f ) Im( f ) es un isomorsmo degrupos.Demostracin. Basta observar quefes mono y epi.Teorema 1.5.2. (Segundo teorema de isomorsmo) Sea G un grupoy sean H y K dos subgrupos normales de G tales que K H. Entonces6. Teoremas de isomorsmo 19KH y se tiene el siguiente diagrama conmutativo:GH

K

G/HG/KHvvvvvEl morsmo H induce un isomorsmoG/KH/K= G/H.Demostracin. El morsmo H es claramente sobreyectivo, pues Hlo es, y el ncleo de H es la imagen de H por K en G/K, es decir,Im(H) = H/K. Aaplicando ahora el primer teorema de isomors-mo a H se tiene queG/KH/K = G/H.Ejemplo. Si consideramos los grupos aditivos Z 1 C, entoncesC/Z1/Z= C/1= 1.Teorema 1.5.3. (Tercer teorema de isomorsmo) Sea G un grupo ysean H y K subgrupos de G tales que K NH, esto es, tales que para todok J es kHk1= H.Si HK = hk : h H, k K, entonces HK es un subgrupo de G yHHK. Adems, el morsmo de grupos k K k HK/H induceun isomorsmo K/(H K) = HK/H.Demostracin. HK es un subgrupo de G porque, por un lado,(hk)(h/k/) = hkh/(k1k)k/ =_h(kh/k1)_kk/ HK,ya que kh/k1 H y, por otro,(hk)1= k1h1= (k1h1k)k1.Es fcil ver que H HK, as que tiene sentido calcular HK/H. Laaplicacin k K k HK/H es un morsmo de grupos sobre-yectivo (vericarlo!) y su ncleo es el conjunto de los elementosde Kque tambin estn enH. El primer teorema da entonces unisomorsmo K/(H K) = HK/H.20 1. Grupos1.6 El teorema de LagrangeRecordamos que el orden de un grupo G es el cardinal de G y selo nota [G[ = #G.SiH es un subgrupo (no necesariamente invariante) de G, po-demos construir el conjunto cociente G/H de G por la relacin deequivalencia H. Si HG, entonces G/H es un grupo.Denicin 1.6.1. Si G es un grupo y H un subgrupo de G, llama-mos ndice de H en G al cardinal del conjunto G/H y lo escribimos(G : H) = #(G/H).Supongamos que tenemos un grupo nito G y un subgrupo Hde G. La relacin de equivalencia H es tal que, para x G, se tiene:x = y G : x H y= y G : y1x H= y G : y = xh para algn h HObservamos que:1. Por ser H una relacin de equivalencia, x y = o x = y.2. Para todo x G se tiene que #(x) = #(xH) = [H[.3. #(G/H) = #x : x G.En estas condiciones, se tiene el siguiente teorema:Teorema 1.6.2. (Lagrange) Sean G un grupo nito y sea H un subgrupode G, entonces [G[ = (G : H)[H[.Demostracin. Del hecho de que H sea una relacin de equivalen-cia se sigue que G es la unin disjunta de sus clases de equivalencia.Por lo tanto[G[ =xG/H#(x).Usando la observacin 2 hecha arriba, vemos que todos los trminosde esta suma son iguales a [H[ y entonces[G[ =xG/H[H[ = #(G/H)[H[ = (G : H)[H[.Esto prueba el teorema.7. El teorema de Lagrange 21Este teorema tiene consecuencias inmediatas importantes:Corolario 1.6.3. Sea G un grupo nito:(a) El orden de cualquier subgrupo de G divide al orden de G.(b) Si HG, entonces [G/H[ =[G[[H[.(c) Si a G, notemos por a) al subgrupo de G dado por el conjuntoan: n Z y [a[ = [a)[. Entonces [a[ divide a [G[. Observemosque [a[ = minn N0 : an= eG.(d) Para todo x G, x[G[ = eG.(e) (Fermat) Si a Z y p es un nmero primo entoncesap a (modp).(f) Si f : GG/esunmorsmodegruposyaG, entonces[ f (a)[ divide a [a[.(g) Si [G[ es un nmero primop (por ejemplo, G=Zp) entonces losnicos subgrupos de G son los triviales: eG y G.Demostracin. Los puntos (a), (b), (c) y (g) son evidentes. Comox[G[ = x[x[(G:x))= (x[x[)(G:x)),la armacin (d) se sigue de que x[x[ = eG.Veamos (e). Si a 0(modp) el resultado es obvio, as que bastaprobarlo para a (Zp0). Consideremos G = Zp0, que esun grupo ara la multiplicacin porque p es un nmero primo (porqu?). Usando el punto (c), vemos que [a[ divide a [G[ = p 1. Porlo tanto, ap1 1(modp).Finalmente, veamos el anteltimo punto. Consideremos la res-triccin f [a) : a) G/. Es claro que Im( f [a)) = f (a)). El teoremade isomorsmo nos dice entonces que f (a)) = a)/Ker( f [a)), asque[ f (a)[ =[a[[ Ker( f [a))[.Esto termina la prueba.22 1. Grupos1.7 Grupos cclicosSea G un grupo y a G un elemento de G. Si m Z, se deneinductivamenteam=___eGsi m = 0;a si m = 1;am1a si m > 1;(a1)msi m < 0.Esclaroquearas=asar=ar+s, demaneraquequelafuncinfa : n Z an G es un morsmo de grupos.Ejercicio. Mostrar que si a, b G son tales que ab=ba entonces(ab)m= ambmpara todo m Z.Denicin 1.7.1. Un grupo G es cclico si existe un elemento a Gtal que para todo b G existe m Z con am= b. En otras palabras,G es cclico si existe un a G tal que a) = G. Todo tal elemento esun generador de G.Observaciones.1. Ungrupoccliconotienenecesariamenteunnicogenerador.Por ejemplo, G = Z5 es un grupo cclico yZ5 = 1) = 2) = 3) = 4).2. SiGes un grupo, entonces cualquiera seaa Gse tiene que[a)[ = [a[.Ejercicio. Mostrar que (Z, +), (Gn, ) y (Zn, +), con n Narbitrario,son grupos cclicos. En cada caso encontrar todos los generadores.Sabemos queGny Znson grupos isomorfos y que sin ,=m,entonces Zn ,= Zm (por qu?). Por otro lado, Zn no es isomorfo a Zpara ningn n Z (por qu?). Puede existir un grupo cclico noisomorfo a (Z, +) o a (Zn, +)? Puede existir un grupo cclico noconmutativo?La respuesta a estas preguntas la da el siguiente teorema quecaracteriza a todos los grupos cclicos.8. Accin de un grupo sobre un conjunto 23Teorema 1.7.2. Sea G un grupo cclico y seaa G un generador, demanera que G = a). Entonces:(a) Si [a[ = n, entonces G = (Zn, +).(b) Si [a[ = , entonces G = (Z, +).Demostracin. Consideremos la funcin f : m Z am G. Comoar+s=aras, f es un morsmo de grupos. Adems, la imagen defcoincide con a)=G. El primer teorema de isomorsmo nos diceentonces que G = Z/Ker( f ).Supongamos que [a[ = . Si m Z es tal quef (m) = am= eG,debe ser m = 0. Esto es, Ker( f ) = 0 y G = Z.Por otro lado, si [a[ =n1, ya que a) contiene por lomenos a los elementos a y eG. Concluimos que a) = G.1.8 Accin de un grupo sobre un conjuntoComo vimos en los primeros ejemplos, una de las formas de en-contrar grupos es observando transformaciones de algn conjunto.De esta manera, a un grupo abstracto se lo piensa actuando sobreel espacio o conjunto en donde operan las transformaciones.Denicin 1.8.1. Sea G un grupo y X un conjunto. Se dice que Gopera a izquierda (o que acta a izquierda) sobre X si se tiene dada unafuncin, llamada accin, : G X X(g, x) (g, x)Habitualmente escribimos gx o gx en vez de (g, x). Suponemosque satisface las siguientes condiciones:24 1. GruposAsociatividad: para todo x X, g, g/ , es(gg/)x = g(g/ x).Ntese que aqu el punto entre g y g/ indica la multiplicacinen G mientras que el punto entre g/ y x es la accin sobre X.Identidad: para todo x X, eseG x = x.Si A, B y C son conjuntos, hay una biyeccinFunc(A B, C) = Func(A, Func(B, C))f (, ) (a f (a, ))En otras palabras, si una funcin tiene dos variables, jando una seobtiene una funcin de la otra.Estodaotropuntodevistaparadescribirlasaccionesdeungrupo G sobre un conjunto X. Para cada g en G se tiene la funcinmultiplicacin por g,g = (g, ) : x X gx XLas propiedades de la accin implican que g h = gh (vericar-lo!). En particular, esg1 g = g g1 = eG = IdX.Esto nos dice que g es una funcin biyectiva, con inversa g1. Porlo tanto, dar una accin de G sobre X es lo mismo que dar una fun-cin: g G g S(X) de G al grupo de biyecciones de Xen X. La propiedad de asociatividad de la accin no dice otra cosaque esta funcin es un morsmo de grupos, esto es, que(g) (g/) = (gg/).Elpar(X, )sellamaunarepresentacindeGenX. Apartirdelgrupo abstracto G, se tiene una imagen de l como un subgrupo delgrupo de permutaciones del conjunto X.8. Accin de un grupo sobre un conjunto 25Ejemplos.1. Sea n N, G = Gn, y X = 12. Identicamos a Acon C. Deni-mos una accin de G sobre X poniendoGnC C(, z) (z)Notemos que la aplicacin z C z C es la rotacin de C dengulo arg(). As, en esta representacin Gnse representa comorotaciones del plano.2. Si G = Sn es el grupo simtrico en n elementos y X = 1n, consi-deramos la accinSn1n1n(, (x1, ..., xn)) (x(1), ...x(n))En estecaso, cada Snacta comouna transformacin linealde 1n, as que la accin es un morsmo Sn GLn(1) S(1n).3. La accin por conjugacin, o accin por automorsmos interiores,de un grupo G sobre si mismo est dada por el morsmo de gruposg G g S(G) tal queg : G Gh ghg1Dejamos como ejercicio la vericacin de que esto es en efecto unaaccin.Comoenelejemploanterior,esta accinrespeta laestructuraadicional que existe sobre el conjunto X=G, pues la accin tienepor imagen automorsmos de grupo de G:g(hh/) = g(hh/)g1= (ghg1)(gh/g1) = g(h)g(h/).La imagen de esta accin es un subgrupo del grupo Aut(G) de losautomorsmos de grupo de G, al que llamamos subgrupo de auto-morsmos interiores y escribimos Autint(G).Si el grupo G es abeliano, el nico automorsmo interior es laidentidad. De hecho, se puede caracterizar a los automorsmos in-teriores en trminos del grupo G y del centro de G, que de algunamanera mide la abelianidad de G:26 1. GruposPor el primer teorema de isomorsmo, se tiene queAutint(G) = G/Ker(accin por conjugacin).El ncleo de la accin por conjugacin son los elementos de g Gtales queg: h G ghg1G es el automorsmo identidadde G. Perog = IdGgxg1= x, x Ggx = xg, x G,es decir, si y solo si g Z(G). Por lo tantoAutint(G) = G/Z(G).4. G acta por conjugacin en el conjunto P(G)= X: X Gde partes de G. Denimos una accin g G g S(P(G)): siA P(G) y g G, ponemosg(A) = gAg1= gag1: a A P(A).Notemos que esta accin puede restringese al subconjunto de P(G)de los subconjuntos de G que adems son subgrupos de G. Qui-nes son los puntos jos por la accin de G?5. Traslaciones en un grupo. SeaX=G. Sig G, denimos unaaplicacin Tg : G G por Tg(h) = gh; observemos que Tg no es unmorsmo de grupos (por qu?). Esto da una accin de G sobre simismo, que llamamos la accin por translacin.De manera similar, G acta por traslaciones sobre P(G).6. Sea G = Z2, X = C, entonces la aplicacinZ2 AutR(C)0 IdC1 conjugacinesunaaccin.Elconjuntodepuntosjosporlaaccinde Z2esexactamente el subgrupo de nmeros reales.7. Tener una accin de G sobre X es lo mismo que tener un mors-mo G S(X). Dados un grupo G y un conjunto X cualesquiera,siempre existe el morsmo nuloG o(X)g IdX, g G.Si G acta de esta manera, diremos que G acta trivialmente en X.9. Orbitas, grupos de isotropa y ecuacin de clases 271.9 Orbitas, grupos de isotropa y ecuacinde clasesAl actuar G sobre un conjunto X, pueden asociarse a esa accindiversos subgrupos de G y subconjuntos de X:Si g G, se puede considerar el subconjunto ms grande de Xsobre el que el elemento g acta trivialmente, es decir, el con-junto Xg= x X : gx = x. Si, por ejemplo, G acta sobre smismo por conjugacin, este subconjunto es el centralizadorde g en G; en cambio, si G acta por traslaciones este conjuntoes vaco.Inversamente, si x X, podemos considerar el subgrupo de Gformado por los elementos que jan a x, esto es, el conjuntocx= g G: gx=x, al que llamamos estabilizador de xen G.Sado un x X, tambin podemos considerar el conjunto detodos los elementos de X que son accesibles a travs de G,al que llamamos la rbita de x. Esto dar el subconjunto de Xms pequeo posible que contiene a x sobre el cual se puededenir una accin de Grestringiendo la accin que se tenasobre todo X. Ms concretamente:Denicin 1.9.1. Sea G un grupo que acta en un conjunto X y seax X. La rbita de x en X es el conjuntoOx = gx : g G = y X : existe g G tal que y = gx.Ejemplos.1. Sea G = G5 actuando en 12= Cpor rotaciones. Si z = 0 entoncesOz= 0. Si, en cambio, z ,=0, entonces Oz contiene 5 elementos,que son los vrtices del pentgono regular con centro en el origen yque tiene a z como uno de sus vrtices.2. Consideremos Z2 actuando en S1va la accin tal que0(x) = x,1(x) = x.Entonces Ox = x, x. para todo x S1.28 1. Grupos3. SiGacta sobre s mismo por conjugacin yx G, entoncesOxcontiene slo al elementoxsii el elementoxest en el centrode G.4. Sea G = G4 y consideremos la accin de G sobre el plano por ro-taciones i rota en 90 grados en el sentido contrario al movimientode las agujas de casi todos los relojes. Sea X el conjunto de vrtices deun cuadrado centrado en el origen en donde G acta por rotaciones.La rbita de cualquier elemento de X coincide con X.En general, cuando un grupo G acta sobre un conjunto Xdemanera tal que existe un x con Ox = X, la accin se llama transitiva.Observar que en ese caso Oy = X para todo y X.Observacin. Si G acta sobre un conjunto X, las rbitas dan unaparticin de X. Ms precisamente:OxOy = o bien Ox = Oy. xXOx = X (pues x Ox x X).Esto nos dice que si denimos una relacin en X poniendox yx Oyentonces resulta una relacin de equivalencia.Si un grupo G opera en X y x X, se llama subgrupo estabilizadoro grupo de isotropa de x al subgrupocx = g G : gx = x(verique que se trata de un subgrupo!). Notemos que el tamaode este subgrupo cx de alguna manera se contrapone al tamaode la rbita del elementox: si hay muchos elementos que actantrivialmente sobre x, entonces la rbita de este elemento es pequeay su grupo de isotropa es grande. Recprocamente, si la rbita deun elemento x es enorme, eso signica que hay pocos elementosque jan a x.La siguiente proposicin formaliza esta idea intuitiva:Proposicin 1.9.2. Sea G un grupo que opera sobre un conjunto X y seax X. Entonces #Ox = (G : cx).Demostracin. Si gcx=g/cx, entonces g=g/h para algn h cx,as que gx = g/hx = g/x. Esto nos dice que la funcingcx G/cx gx Ox9. Orbitas, grupos de isotropa y ecuacin de clases 29estabiendenida. Claramenteessuryectiva. Porotrolado, siesgx=g/x, entonces (g/)1gx=x y (g/)1g cx. Esto implica quegcx=g/cx y hemos mostrado que nuestra aplicacin es inyectiva.Luego G/cx y Ox tienen la misma cantidad de elementos.Corolario 1.9.3. Sea G un grupo nito que acta sobre un conjunto X.Entonces #Ox =[G[[cx[. En particular #Ox es nito y divide al orden de G.Ejemplos.1. Un grupo G acta por conjugacin sobre el conjunto de subgru-pos de G. Si H G es un subgrupo, entonces la rbita de H estformada por los subgrupos conjugados a H y el estabilizador de Hes el normalizador NH de H en G, esto es, el mayor subgrupo de Gtal que HNH2. Si G acta sobre si mismo por conjugacin y x G, entonces elestabilizador cx=Nx) es el subgrupo de los elementos que con-mutan con x. Se suele llamar a este grupo el centralizador de x y selo nota Z(x).3. Sea V un k-espacio vectorial. Sea G = k 0 es el grupo multi-plicativo de k y X = V 0. Entonces G acta en X va la accinG X X(, v) vEntonces Ov = v) 0.4. SeaXunconjuntoyG= o(X)elgrupodelasfuncionesbi-yectivas de X en X. Entonces G opera naturalmente sobre X por lafrmulaG X X( f , x) f (x)En este caso, es fcil ver que G opera transitivamente sobre X (h-galo!). Si x X, entonces cx = f S(X) : f (x) = x se identicacon o(X x).5. Si G acta sobre si mismo por conjugacin y s, t G, entoncesOs=Otsiyslosisytsonconjugados. Enesecaso, csesunsubgrupo conjugado a ct (vericarlo!) y, por lo tanto, isomorfo. Enparticular, se tiene que [cs[ = [ct[30 1. GruposAplicando la proposicin anterior a un caso particular obtene-mos el siguiente resultado:Proposicin 1.9.4. Sea G un grupo y consideremos la accin de G sobresi mismo por conjugacin. Sea s G. Entonces existe una biyeccinf : G/cs Osx x.s.x1En particular, #(Os) = (G : cs).Corolario 1.9.5. El cardinal de toda rbita de G actuando sobre si mismopor conjugacin, esto es, de cada clase de conjugacin, divide al orden delgrupo.Terminamos este captulo con un resultado de demostracin tri-vial a partir de la nocin de accin, pero que es de gran ayuda en lateora de grupos nitos: la llamada ecuacin de clases. Esta ecua-cin proviene esencialmente de partir a un grupo en rbitas bajo laaccin por conjugacin y contar los cardinales de cada parte:Teorema 1.9.6. (Ecuacin de clases) Sea G un grupo nito actuandopor conjugacin sobre s mismo. Entonces existe a1, ..., ak G tal queningun ai est en el centro de G yG = Z(G)

(k

i=1Oai)Luego[G[ = [Z(G)[ +ki=1(G : Z(ai))En particular, Z(ai) ,= G cualquiera sea i y por lo tanto (G : Z(ai)) ,= 1.Demostracin. Como la accin dene una relacin de equivalenciasobre G, G es la unin disjunta de las clases de equivalencia, queenestecasosonlasrbitas. Lasrbitasquetienenunnicoele-mento corresponden a los elementos del centro de G. Eligiendo unai por cada rbita con ms de un elemento, vemos que vale la pri-mera ecuacin del enunciado. Tomando ahora cardinales, porque launin es disjunta y porque los ordenes de las rbitas coinciden conlos ndices de los estabilizadores de los ai, obtenemos la segundaecuacin.9. Orbitas, grupos de isotropa y ecuacin de clases 31Corolario 1.9.7. (Cauchy) SeaGun grupo nito y seapun nmeroprimoquedividealordendeG. EntoncesexisteunelementoenGdeorden p.Demostracin. La demostracin se obtiene considerando primero elcaso abeliano y despus el caso no abeliano. En el primer caso nose usa la ecuacin de clases y el segundo es una consecuencia delanterior ms la ecuacin de clases.Primer caso: G abeliano. Procedemos por induccin en el ordende G. Sea a G un elemento cualquiera distinto del neutro. Si[a[ es un mltiplo de p, digamos [a[ = kp, entonces el elemen-to aktiene orden p.Si, por el contrario, [a[ no es mltiplo de p, entonces consi-deramos el grupo G/a); como G es abeliano, el subgrupo a)esinvariante, asque estotienesentido.Como [a[noes unmltiplo de p, p divide a [G/a)[, que es un grupo de ordenestrictamente menor que [G[ (porque a ,= eG) y podemos apli-car la hiptesis inductiva al grupo cociente. Existe entoncesz G/a)tal que [z[ =p. Pero esto implica que [z[es unmltiplo de p y se procede como al principio.Segundo caso: G no abeliano. Si p divide al orden del centro deG, consideramos el subgrupo Z(G), que es conmutativo y queest, por lo tanto, en el caso anterior. Podemos suponer enton-ces que p no divide al orden de Z(G).Utilizandolaecuacindeclases, vemosqueexistenele-mentos no centrales a1, . . . , ak G tales que:[G[ = [Z(G)[ +ki=1(G : Z(ai)).El hecho de quep no divida a [Z(G)[ y s a [G[ implica quedebe existir por lo menos alguno de los ai tal que p no dividea (G:Z(ai)). Como (G:Z(ai)) = [G[/[Z(ai)[, [Z(ai)[ esun mltiplo dep. Considerando ahora el grupo Z(ai), que,como es un subgrupo propio, tiene orden estrictamente menoral de G, y la hiptesis inductiva, vemos que Z(ai) contiene unelemento de orden p. Esto prueba el corolario en este caso.Corolario 1.9.8. Sea G un grupo nito de orden n. Entonces n = prparaalgn nmero primo p si y slo si todo elemento de G tiene orden igual auna potencia de p.32 1. GruposLa estructura de los grupos nitos conmutativos est completa-mente estudiada y clasicada, como se ver ms adelante dentro delmarco de la teora de mdulos sobre un tipo particular de anillos. Lomismo vale para grupos conmutativos innitos pero con una canti-dad nita de generadores. Si no hay nitos generadores el problemano est completamente resuelto.Si el grupo no es necesariamente conmutativo, diversos resul-tados relacionan propiedades aritmticas del orden con la estruc-turadel grupo. Entreesosresultadoscabedestacarlosteoremasde Sylow (que usan exclusivamente la ecuacin de clases), resulta-dos de Burnside, Frobenius, FeitThompson, etc. Para los teoremasde Sylow, se propone al lector interesado que los demuestre por sucuenta guindose por los ejercicios al nal de la lista.1.10 EjerciciosDeniciones1.10.1. Exponentes pequeos. El exponente de un grupo G es el menornmero e tal que para todo g G se tiene ge= 1.(a) Mostrar que un grupo G tal que g2=1 para todo g G esabeliano.(b) Qu puede decir si se tiene en cambio que g3= 1?1.10.2. Encontrar todos los grupos de orden a lo sumo 6.1.10.3. Mostrar que los tres axiomas de grupola asociatividad, laexistencia de elemento neutro y la existencia de inversosson in-dependientes.Ejemplos1.10.4. (a) Sea n Ny sea Gn = z C : zn= 1. Mostrar que Gn,con respecto al producto de C es un grupo abeliano cclico.(b) Sea S1= z C: [z[ =1. Mostrar que S1, con respecto alproducto de C, es un grupo abeliano. Es cclico?10. Ejercicios 331.10.5. Sea H el conjunto de 8 elementos 1, i, j, kdotadodel producto dado por la siguiente ecuaciones:ij = k, jk = i, ki = j,ji = k, kj = i, ik = j,ii = jj = kk = 1,y la regla usual de los signos. Mostrar que (H, ) es un grupo no abe-liano. Llamamos a H el grupo de cuaterniones. El siguiente diagramapermite recordar la tabla de multiplicacin de H.ij

k1.10.6. Sea k un cuerpo y n N. PonemosGLn(k) = A Mn(k) : det A ,= 0ySLn(k) = A Mn(k) : det A = 1.Mostrar que, dotados de la multiplicacin usual de matrices, estosdos conjuntos resultan ser grupos. Descrbalos para n = 1. Cundoson abelianos?1.10.7. Grupo opuesto. Sea G un grupo. Sea (Gop, ) tal que Gop= Gcomo conjunto, y el producto es : (g, h) GopGop hg Gop.Mostrar que (Gop, ) es un grupo.1.10.8. Sea G uno grupo y X un conjunto.(a) ConsideremoselconjuntoGX=f : XGdotadodelproducto: GXGX GXdado por( fg)(x) =f (x)g(x), f , g GX, x X.Mostrar que GXes un grupo. Cundo es abeliano?(b) Sea x0 X y sea Hx0= fGX: f (x0)=1. Mostrar queHx0 es un subgrupo de G. Es normal?34 1. Grupos1.10.9. Producto directo. SeanGyHdos grupos. Consideremos laoperacinsobre el conjunto K = GH dada por :_(g1, h1), (g2, h2)_ K K (g1g2, h1h2) K.Mostrar que K es un grupo. Llamamos a K el producto directo de Gy H y lo notamos GH.1.10.10. Fp-espacios vectoriales.(a) SeaGungrupoabelianoyseapunnmeroprimo.Supon-gamos que todo elemento de G tiene order p. Mostrar que esposible denir una multiplicacin: FpG G por escalaresde Fp de manera que (G, +, ) resulte un Fp-espacio vectorial.(b) Supongamos adems que G es nito. Mostrar que existe n N0tal queG = Zp Zp. .n veces.Subgrupos1.10.11. Sea G un grupo y H G un subconjunto. Mostrar que lassiguientes armaciones son equivalentes:(i) H es un subgrupo de G.(ii) H es no vaco y cualesquiera sean x, y H, es xy1 H.Si adems G es nito, estas armaciones son equivalentes a:(iii) H es no vaco y cualesquiera sean x, y H, es xy H.Dar un contraejemplo para esta ltima equivalencia cuandoGesinnito.1.10.12. Sea G un grupo y H1 y H2 subgrupos de G.(a) H1 H2 es un subgrupo de G.(b) H1 H2 es un subgrupo de G sii H1 H2 o H2 H1.1.10.13. Dado un grupo G, el subconjunto de elementos de ordennito es un subgrupo de G?1.10.14. Sea G un grupo.(a) Sea Huna familia de subgrupos de G. Mostrar que

HH H esun subgrupo de G.10. Ejercicios 35(b) Sea ahora X G un subconjunto arbitrario. Mostrar que exis-te un menor subgrupo de G que contiene a X. Describirlo entrmino de los elementos de X.El subgrupo cuya existencia se arma en la segunda parte de es-teejerciciosedenominael subgrupo deGgenerado porXysede-nota X). SiX= x1, . . . , xr, escribimos x1, . . . , xr) en lugar dex1, . . . , xn).1.10.15. Sea G un grupo, X X un subconjunto tal que G= X).Mostrar que un subgrupo N de G es normal en G sii xNx1Npara todo x X.1.10.16. Sea n N y sea G2n una raz primitiva 2n-sima. Con-sideremos las matricesR =_ 00 1_, S =_0 11 0_y sea Hn = R, S) el subgrupo generado por R y S en GL2(C). Lla-mamos a Hn el n-simo grupo de cuaterniones generalizados.Determinar el orden de Hn y listar sus elementos.1.10.17. (a) Sea G = GL2(Z) y sean , G dados por =_0 11 0_, =_0 11 1_.Muestre que 4=3, pero que tiene orden innito. En par-ticular, el subgrupo , ) es innito.Este ejemplo muestra que nitos elementos de orden nitopueden generar un subgrupo innito.(b) Determine , ).1.10.18. Generacin de Sn.(a) Mostrar que(i) Sn = (i j) : 1 i < j n);(ii) Sn = (1 i) : 1 i n);(iii) Sn = (i i + 1) : 1 i < n);(iv) Sn = (1 2), (1 2 3 . . . n));(b) Sea T = (i j) : 1 i 0, )?5. (1, +) = (10, )?1.10.50. Sea G un grupo.(a) Seag Geinng: h Gghg1G. Mostrarqueesinng Aut(G).(b) Mostrar que la aplicacin inn : g G inng Aut(G) es unhomomorsmo de grupos.(c) Describir el ncleo de inn. Los automorsmos que estn en laimagen de G se llaman automorsmos interiores y la imagen mis-ma se denota Inn(G).(d) Mostrar que Inn(G) es un subgrupo normal de Aut(G).1.10.51. Sea G un grupo nito. Supongamos que existef Aut(G)tal quef2=1 yf no deja jo ningn elemento de G aparte de 1.42 1. GruposEntonces cada cada g G esf (g) =g1y G es abeliano de ordenimpar.Sugerencia. Muestre la aplicacin : g G g1f (g) G es biyectiva y muestreque f (g) = g1escribiendo a g en la forma h1f (h) para algn elemento h de G.1.10.52. Sea G un grupo. Un subgrupo H de G se dice caractersticosi cualquiera seaf Aut(G),f (H) H.(a) Muestre que si H G es un subgrupo caracterstico, entoncespara cadaf Aut(G) esf (H) = H.(b) Muestre que Z(G) y [G, G] son caractersticos.(c) (G) es un subgrupo caracterstico de G.(d) Si H es un subgrupo caracterstico de G, entonces H es normalen G.(e) Si un grupo G posee un nico subgrupo H de un orden dado,ste es caracterstico.(f) SiHes un subgrupo caracterstico en G y K es un subgrupocaracterstico en H, entonces H es un subgrupo caractersticode G. Comparar con 1.10.34.(g) Si N G es un subconjunto caracterstico (es decir, si para cadaf Aut(G), f (N) N), entonces N) y c(N) son subgruposcaractersticos de G.Un subgrupo H de G se dice totalmente caracterstico si f (H) Hsiempre quef End(G).(f) Un subgrupo totalmente caracterstico es caracterstico.(g) Dar ejemplos de un subgrupo totalmente caracterstico y de unsubgrupo caracterstico pero no totalmente caracterstico.(h) Todos los subgrupos de un grupo cclico son totalmente inva-riantes. Vale la recproca?1.10.53. (a) Sea G un grupo y sean H y K subgrupos de G de ndicenito. Entonces L = H K tambin tiene ndice nito.Sugerencia. Para verlo, dena una aplicacin: G/L G/HG/K demanera que (xL) = (xH, xK) y muestre que sta es inyectiva.(b) El conjunto de elementos de un grupo que poseen un nmeronito de conjugados es un subgrupo caracterstico.1.10.54. Seaf : G H un homomorsmo de grupos.(a) Si H es abeliano, entonces [G, G] ker f .10. Ejercicios 43(b) Mostrar quef ([G, G]) [H, H]. En particular, concluya que[G, G] es un subgrupo caracterstico de G.1.10.55. Seaf : G Hun homomorsmo de grupos. Es ciertoen general quef (Z(G)) Z(H)? En caso negativo, de condicio-nes sucientes que garanticen esta inclusin. Bajo esas condiciones,esf (Z(G)) = Z(H)?1.10.56. Sea G un grupo.(a) Mostrar que la funcin ev1: f homGr(Z, G) f (1) G esuna biyeccin.(b) Describir homGr(Z2, G) y, para cada n N, homGr(Zn, G).1.10.57. (a) Determinar homGr(, Z) y homGr(, G) cuando G esun un grupo nito.(b) Describir la imagen D(G) de la aplicacinev1 : f homGr(, G) f (1) G.(c) Mostrar que cuando G es abeliano, D(G) es un subgrupo ca-racterstico de G1.10.58. Sea G un grupo.(a) Encontrar una condicin necesaria y suciente sobreGparaque la aplicacin (g, h) GG gh G resulte un homo-morsmo de grupos.(b) Encontrar una condicin necesaria y suciente sobreGparaque la aplicacin g G g1 G resulte un homomorsmode grupos.(c) Encontrar una condicin necesaria y suciente sobreGparaque la aplicacin g G g2G resulte un homomorsmode grupos.1.10.59. Sean m, n N. Si (m, n)=1, entonces homGr(Zm, Zn) estrivial. Qu sucede en general?1.10.60. Sea G un grupo nito y : G G un endomorsmo de G.(a) Existe n N tal que si m n, entoncesm(G)=n(G). Sea = n.(b) Mostrar que Im es normal o dar un contraejemplo.44 1. Grupos1.10.61. UsandoelhechoqueGL2(F2)permutaloselementosnonulos de F22, encuentre un isomorsmo GL2(F2) = S3.1.10.62. (a) Sea G un grupo y sea X G un subconjunto tal queX) = G. Sea f End(G) tal que f (x) = x para todo elementox X. Entoncesf = IdG.(b) Sea X el conjunto de los elementos de orden 2 de S3. Muestreque cada automorsmo de S3 induce una permutacin de X ydeduzca que Aut(S3) = S3.1.10.63. Sea n 2. Consideramos el polinomio discriminante(x1, . . . , xn) =1i 0 posee elementos de orden p.1.10.86. Seap un nmero primo yGun grupo de ordenpr>1.Entonces Z(G) no es trivial.10. Ejercicios 511.10.87. Sea G un grupo nito de orden [G[ =prm con p primo y(p, m) = 1. Entonces G posee subgrupos de orden pr.Denicin. Seap un nmero primo. Decimos que un elemento gde G es p-primario si su orden es una potencia de p. Un grupo G esun p-grupo si el orden de todo elemento de G es una potencia de p.1.10.88. Sea p un nmero primo.(a) Si G es un p-grupo y H es un subgrupo de G, entonces H es unp-grupo.(b) Si G es un p-grupo yf : G H es un homomorsmo sobre-yectivo, H es un p-grupo.(c) Si G es un grupo, H un subgrupo normal de G y tanto H comoG/H son p-grupos, entonces G es un p-grupo.1.10.89. Un grupo nito G es unp-grupo sii [G[ =prpara algnr 1.Denicin. Sea p un nmero primo y G un grupo. Un p-subgrupode Sylow de G es un p-subgrupo maximal de G. Escribimos Sylp(G)al conjunto de los p-subgrupos de Sylow de G.1.10.90. Sea G un grupo nito y p un nmero primo.(a) Si [G[ =prm con (p, m) = 1 y H G es un subgrupo tal que[H[ = pr, entonces H Sylp(G).(b) Si p [ [G[, entonces Sylp(G) ,= .1.10.91. Si G es un grupo y H Sylp(G) y x G H tiene orden[x[ = pn, entonces x , ^(H).Sugerencia. Suponga lo contrario y considere el orden del elemento xH en el grupoH x)/H.1.10.92. Sea G un grupo nito y K Sylp(G). Sea c el conjunto desubgrupos de G conjugados de K.(a) Sea H Sylp(G) y sea la relacin en c tal queL L/ sii existe h H tal que hLh1= L.Muestre que se trata de una relacin de equivalencia.52 1. Grupos(b) Sea L c y notemos [L] a la clase de equivalencia de L. Enton-ces [[L][ = [H : H ^(L)]. Adems, si L ,= H es [[L][ > 1 y esdivisible por p. Si, por el contrario, L = H, entonces [[H][ = 1.(c) Muestre que[c[ _0 (modp), si H , c;1 (modp), si H c.(d) Concluya que H es conjugado de K y que [c[ = 1(modp).1.10.93. Pruebe el siguiente teorema debido a Peter Ludwig MejdellSylow (18321918, Noruega) que es, probablemente, el teorema msimportante de la teora de grupos nitos.Teorema. (M. L. Sylow, Thormes sur les groupes de substitutions,Math. Ann. 5 (1872), no. 4, 584594.) Sea p un nmero primo. Sea G ungrupo nito de orden prm con (p, m) = 1. Entonces(a) Un subgrupo H de G es un p-subgrupo de Sylow sii [H[ = pr.(b) Todos los p-subgrupos de Sylow de G son conjugados.(c) Sea np el nmero de p-subgrupos de Sylow de G. Entonces np 1(modp).(d) np [ m.1.10.94. Muestre que no hay grupos simples de orden 28 312.1.10.95. Muestre que un grupo de orden 12 56 no es simple.1.10.96. Si p y q son primos distintos, un grupo de orden pq no essimple.1.10.97. Sea G un grupo de orden prm con p primo, r 1 y p> m.Entonces G no es simple.1.10.98. Sea G un grupo de ordenp2q conp y q primos distintos.Entonces G no es simple.1.10.99. Muestre que un grupo de orden menor que 60 no es simple.1.10.100. Mostrar que si G es un grupo y P es un subgrupo de Sylowde G, entonces P es un subgrupo caracterstico de ^(P).1.10.101. Si todos los subgrupos de Sylow de un grupo nito G sonnormales, entonces G =p primo Pp. En particular, un grupo abe-liano nito es producto de sus subgrupos de Sylow.10. Ejercicios 53Grupos mltiplemente transitivosSea G un grupo y supongamos que G acta elmente sobre unconjunto X. Sea k 1.1.10.102. Mostrar que obtenemos una accin de G sobre Xksi de-nimosg(x1, . . . , xk) = (gx1, . . . , gxk), si g g y (x1, . . . , xk) Xk.Mostrar que si [X[ > 1, la accin de G sobre Xkno es transitiva.Denicin. PongamosX(k)= (x1, . . . , xn) Xk: xi ,= xj si 1 i < i k.Diremos que la accin de G sobre X es k-transitiva si G acta transi-tivamente sobre X(k).1.10.103. Mostrar que la accin cannica de Sn sobre 1, . . . , n esn-transitiva.1.10.104. Mostrar que la accin cannica de An sobre 1, . . . , n es(n 2)-transitiva pero no (n 1)-transitiva.1.10.105. Sea K un cuerpo, Vun K-espacio vectorial. Mostrar queAutk(V) acta 1-transitivamente sobre V 0 pero no 2-transiti-vamente.1.10.106. Sea otra vez Kun cuerpo, Vun K-espacio vectorial condimK 2, y sea Xel conjunto de todos los subespacios de Vdedimensin 1. Mostrar que la accin de AutK(V) sobre V induce unaaccin natural sobre X, que es 2-transitiva pero no 3-transitiva.1.10.107. Mostrar que la accin sobre el conjunto de vrtices de untetraedro regular del grupo de rotaciones del slido es 2- pero no3-transitiva.1.10.108. Sea A un grupo nito no trivial y A/ = A 1. Claramen-te Aut(A) acta sobre A/.(a) SiAut(A)acta1-transitivamenteenA/, entoncesexisteunnmero primop tal que todo elemento deA/es de ordenp.Esto implica que A es un p-grupo, as que su centro no es tri-vial. Concluir queA es abeliano y entonces, usando el ejerci-cio 1.10.10, que G = Zp Zp.54 1. Grupos(b) Determinar todos los grupos A tales que Aut(A) acta de ma-nera 2-transitiva sobre A/.Denicin 1.10.1. Diremos que la accin de G sobre X es namentek-transitiva si es k-transitiva y adems, para cada (x1, . . . , xk) X(k)y cada g1, g2 G, vale quei 1, . . . , k, g1(xi) = g2(xi) =g1 = g2.En otras palabras, esta condicin dice que dos elementos de G queactan de la misma forma sobre k elementos de k deben coincidir.1.10.109. Si la accin de G es namente k-transitiva sobre X y pone-mos n = [X[, entonces[G[ =n!(n k)!.1.10.110. La accin de Sn sobre 1, . . . , n es namente n-transitiva,namente (n 1)-transitiva pero no namente (n 2)-transitiva.1.10.111. LaaccindeAnsobre 1, . . . , nesnamente(n 2)-transitiva.1.10.112. Acciones namente 1-transitivas. Este ejercicio describe to-das las acciones namente 1-transitivas.(a) SeaGun grupo nito. PongamosR=Gy consideremos laaccin regular a izquierda G R R; recordemos quegr = gr, g G, r R.Mostrar que la accin de G sobre R es namente 1-transitiva.(b) Sea G un grupo nito que acta sobre un conjunto X no vacode forma namente 1-transitiva. Mostrar que existe una fun-cin biyectiva : R X tal que el diagramaG R

IdG

R

G X

Xconmuta, si las echas verticales estn dadas por las accionesde G.10. Ejercicios 551.10.113. Sea K un cuerpo nito de q elementos.(a) Consideremos el conjunto AGL(1, K)=K

K y dotmoslode un producto dado por(a, b)(a/, b/) = (aa/, b + ab/), .si (a, b), (a/, b/) AGL(1, K). Muestre que (AGL(1, K), ) es ungrupo.(b) Consideremos ahora el conjunto X = K y la aplicacinAGL(1, K) K Kdada por(a, b)x = ax + bpara cada (a, b) AGL(1, K) y cada x X. Muestre que estoda una accin de AGL(1, K) sobre X.(c) Muestre que esta accin es namente 2-transitiva.1.10.114. Sea G un grupo nito y sea X un conjunto no vaco sobreel que G acta de forma namente 2-transitiva.(a) Seax0x XyH=Gx0. PongamosX/=X x0. Enton-ces H acta de forma namente 1-transitiva sobre X/ y es unsubgrupo maximal de G.(b) H gHg1,=1sii gH. Enparticular, es ^(H) =HyC(h) H para cada h H 1.(c) Gposeeinvolucionesysontodasconjugadas. NotemosI alconjunto de las involuciones de G.(d) SeaN/ = g G : para cada x X, gx ,= xy N=N/ 1. Entonces es [N/[=n 1. Adems, N es unsubconjunto normal de G.(e) La accin de N sobre X es simplemente transitiva.(f) H posee a lo sumo una involucin. Si H posee una involucin,[I[ = n; en caso contrario, [I[ = n 1.(g) Si s, t I y s ,= t, entonces st no tiene puntos jos en X.56 1. Grupos(h) Sea j G H una involucin. Si H I ,=, sea adems i lanica involucin de H. EntoncesI =_jH, si H I = ;jH i, si H I ,= .Aqu jH= hjh1: h H.(i) Es I2 1 = N/ y N es un subgrupo normal abeliano de G. Dehecho, si H I =, se tiene que I =N/. Ms precisamente,existe un nmero primo p tal que N = Zp Zp, y p = 2sii H I = .(j) Si T es un subgrupo normal de G con Z(T) ,=1, entonces esG = Z(T)H.(k) G=NHconrespectoalaaccinporconjugacindeHsobre N.(l) Fijemos x1 X/. Denimos una aplicacin: N/ H de lasiguiente manera: si n N/, entonces nx0 X/porque n nodeja jo ningn elemento de X, as que como la accin de Hsobre X/ es simplemente transitiva, existe exactamente un ele-mento(n) H tal que(n)x1=nx0. Mostrar quees unabiyeccin.(m) Fijemos x1 X/. Denimos en X dos operacionesy + en Xde la siguiente manera.Sean x, y X. Si x = x0, ponemos xy = x0. Si x ,= x0, exis-te exactamente un elemento h H tal que hx1 = x, y ponemosxy=hy. Por otro lado, sabemos que existe exactamente unelemento n N tal que nx0 = x; ponemos x + y = ny.Mostrar que (X, +) es un grupo abeliano isomorfo aNyque (X/, ) es un grupo isomorfo a H.(n) Mostrar que si H es abeliano, entonces (X, +, ) es un cuerpo Ky que G = AGL(1, K).Grupos nilpotentesSea G un grupo. Denimos una sucesin creciente1 = Z0 Z1 Zn Zn+1 de subgrupos normales de G inductvamente de la siguiente mane-ra, empezando por Z0 = 1: sea i N0 y supongamos que ha hemos10. Ejercicios 57contruido Zi. Como Zi es normal, podemos considerar el homomor-smo cannico : G G/Zi. Ponemos entoncesZi+1 = 1_Z(G/Zi)_.Se trata claramente de un subgrupo normal de G y esZi+1/Zi = Z(G/Zi).La sucesin de subgrupos (Zi)i0 se llama la cadena central superiorde G.Denicin. Si existen N0tal queZn=G, decimos queGesnilpotente. El menor tal n es la longitud nilpotente de G.1.10.115. Un grupo abeliano es nilpotente. Es nilpotente S3? D unejemplo de un grupo nilpotente y no abeliano.Denicin. Una sucesin creciente (Ni)i0 de subgrupos normalesde un grupo G tal queN0=1 yNi+1/Ni Z(G/Ni) para cadai 0 es una cadena central ascendente. Si existe n N0 tal que Ni = Gentonces decimos que la cadena termina o que llega a G.1.10.116. Si G es un grupo y (Ni)i0 es una cadena central ascenden-te en G, muestre que para cada i 0 se tiene que [Ni+1, G] Ni.1.10.117. Si G es un grupo y (Zi)i0 es su cadena central superior,entonces para cada i 0 se tiene que Zi+1 = g G : [g, G] Zi.1.10.118. Mostrar que si un grupo G posee una cadena central as-cendente (Ni)i0 que llega a G, entonces es nilpotente. Una formade hacer esto es ver que Ni Zi para cada i 0.1.10.119. Sea G un grupo tal que G/Z(G) es nilpotente. EntoncesG es nilpotente.1.10.120. Un p-grupo nito es nilpotente.1.10.121. Los subgrupos Zi que aparecen en la serie central de G sonsubgrupos caractersticos en G.Sugerencia. Esto puede verse por induccin en i, siendo inmediato para i = 0. Paraver que Zi+1es caracterstico en G si Zilo es, proceda de la siguiente manera:58 1. Gruposmuestre que todo Aut(G) induce un automorsmo Aut(G/Zi) tal queconmutaG

G/Zi

G

G/ZiUsando que el centro de un grupo es caracterstico, concluir que Zi+1 es caracte-rstico.1.10.122. Uncocientedeungruponilpotenteesnilpotente. Paramostrarlo, considere un homomorsmo esf : G G/ con dominioG nilpotente y verique que si (Zi)i0 es la cadena central superiorde G, entonces ( f (Zi))i0 es una cadena central ascendente de G/que termina en G/.1.10.123. Todo subgrupo de un grupo nilpotente es nilpotente.1.10.124. Todo producto de grupos nilpotentes es nilpotente.1.10.125. Si G es un grupo nilpotente y N G es unsubgrupo nor-mal, entonces N Z(G) ,= 1.1.10.126. Todosubgrupopropiodeungruponilpotenteestes-trictamente contenido en su normalizador. En particular, todo sub-grupo maximal es normal.1.10.127. Si G es nilpotente y P G es un subgrupo de Sylow de G,entonces P es normal y, en particular, nico.1.10.128. Si G es nilpotente y nito y para cada primop,Ppes elp-subgrupo de Sylow, entonces G = p Pp.Esta serie de ejercicios prueba el siguiente teorema:Teorema. Un grupo nito es nilpotente sii es isomorfo al producto de sussubgrupos de Sylow.Captulo 2Anillos2.1 Deniciones y ejemplosDado un grupo nito G de n elementos, siempre puede identi-carse a G con un subgrupo del grupo de permutaciones Sn de lasiguiente forma. Sea G = x1, . . . , xn una enumeracin de los ele-mentos deG. Sig G, la multiplicacin porges una biyeccinde G en G (cuya inversa es la multiplicacin por g1), as que exis-te una nica permutacing Sntal quegxi=xg(i)para todoi =1, . . . , n.Lafuncing G gS(G)esclaramenteunmonomorsmo.Por otro lado, Sn puede pensarse como un subgrupo del grupoGL(V)delastransformacioneslinealesbiyectivasdeunespaciovectorial Vde dimensin n, eligiendo una base v1, . . . , vn de Vy permutando esos elementos. Ms precisamente, a cada Sn leasociamos la nica transformacin lineal ttal que t(vi)=v(i).Decimosentoncesque(V, (t))esunarepresentacindeSnsobre V,estoes,queloselementosdeSnserepresentancomotransformaciones lineales del espacio vectorial V.Los anillos son objetos que generalizan la nocin de grupo (enelsentidodequeacadagruposelepuedeasociarunanillodelgrupo, yquetienenunateoraderepresentacionesnatural, demanera anloga a lo que sucede con los grupos (o subgrupos) depermutaciones. Cada una de estas representaciones se llamar unmdulo. Muchas de las propiedades de un anillo pueden describirseconociendo la clase de mdulos que el mismo admite, es decir, sus5960 2. Anillosrepresentaciones.Denicin 2.1.1. Una terna (A, +, ) en la que (A, +) es un grupoabeliano y: AA A es un anillo con unidad si se satisfacen lassiguientes propiedades:Asociatividad. Si a, b, c A, es(ab)c = a(bc).Unidad. Existe un elemento en A distinto del cero de (A, +),que escribiremos 1A o simplemente 1, tal que1a = a1 = apara todo a A.Distributividad. Si a, b, c A, esa(b + c) = ab + acy(a + b)c = ac + bc.Si adems se tiene que ab = ba para todo par de elementos a, b A,diremos que el anillo A es conmutativo.Observaciones.1. En la denicin se pide 1 ,=0, porque si fuera 1=0 resultaraque a=a1=a0=0 para cualquier elemento a A, con lo quetendramos A = 0.2. Dado un anillo unitario (A, +, ), el elemento 1Aest unvoca-mente determinado por la segunda condicin de la denicin.3. Si (A, +, ) es una terna que satisface todas las condiciones de ladenicin de anillo salvo la de existencia del elemento unidad 1A,diremos que A es un anillo sin unidad. Sin embargo, todo anillo sinunidad puede incluirse en un anillo con unidad.1. Deniciones y ejemplos 61Ejemplos.1. Son ejemplos de anillos: (Z, +, ), (, +, ), (1, +, ), (C, +, )y(Zn, +, ). Si k es un anillo, (k[x], +, ) es tambin un anillo.2. Si (A, +, ) es un anillo, entonces tambin lo es el conjunto Mn(A)de las matrices n n con coecientes en A, con respecto a las ope-raciones de suma coeciente a coeciente y el producto usual dematrices. Llamamos a este anillo el anilo de matrices con coecientesen A.3. Si Xes un conjunto yA es un anillo, el conjunto de funcionesAX= f : X A hereda de A una estructura de anillo, sumandoy multiplicando punto a punto. Restringiendo las operaciones de-nidas en el ejemplo anterior, vemos que C(1n) y C(1n) tambinson anillos, as como sus respectivas variantes tomando subconjun-tos adecuados de 1n.4. Considerando los ejemplos , 1, C con las operaciones habitua-les, vemos que en esos casos el producto satisface una propiedadadicional, ya que para todo elemento a no nulo existe otro elementoa/ tal que aa/ = a/a = 1.Describimos esto diciendo que todo elemento no nulo de A tieneun inverso a izquierda, esto es, que para todo a A, existe a/ A talque a/a = 1, y un inverso a derecha. En estos ejemplos ambos inversoscoinciden (que sucede en general?).Observacin. Si a es inversible a izquierda y x, y A, son tales queax = ay, entonces x = y.Si A es un anillo tal que todo elemento de A es inversible a iz-quierda y a derecha, diremos que A es un anillo de divisin.Observacin. Existen anillos de divisin no conmutativos. El anillode los cuaterniones es un ejemplo de esto.Consideremos el anillo de matricesM2(). Claramente, el ele-mento x =_1 00 0_es no nulo. Existen, sin embargo, matrices no nulasz M2() tales que xz=0. Decimos que x es un divisor de cero aizquierda y que un tal z es un divisor de cero a derecha. Se ve fcilmenteque x =_1 00 0_no puede tener un inverso a izquierda.Esto se generaliza a un anillo cualquieraA: es claro que si unelemento es inversible a izquierda, entonces no puede ser divisorde cero a izquierda (anlogamente a derecha).62 2. AnillosDenicin 2.1.2. Un anillo A sin divisores de cero es un anillo nte-gro. Si adems el producto en A es conmutativo, decimos que A do-minio ntegro.Observacin. Un dominio ntegro que es un anillo de divisin re-sulta un cuerpo.Denicin 2.1.3. Sea k un cuerpo. Una k-lgebra es un anillo (A, +, )en el que (A, +) es un k-espacio vectorial y la multiplicacin es com-patible con la accin de k, esto es, tal que(ax + by)z = a(xz) + b(yz)yz(ax + by) = a(zx) + b(zy)siempre que a, b k y x, y, z A.Ejemplos.1. Un anillo ntegro no conmutativo. Sea k un cuerpo y consideremosel anillo kx, x) de polinomios no conmutativos en x yx, dondex y x satisfacen la relacinxx xx = 1.Este anillo se denomina el lgebra de Weyl y se denota A1(k).2. El anillo de polinomios usuales k[x] con coecientes en un cuer-po. es un dominio ntegro que no es un anillo de divisin.3. El anillo de cuaterniones es un anillo de divisin que no es con-mutativo.Consideremos los anillos (Z, +, ) y (1, +, ). La suma y el pro-ducto en Z son la restriccin de la suma y el producto en 1 al sub-conjunto Z y 1Z = 1R. Podemos decir que Z adquiere su estructurade anillo por ser un subconjunto de 1 que cumple ciertas propieda-des.Denicin 2.1.4. Dados un anillo (A, +, ) y un subconjunto B de A,decimos que B es un subanillo de A si y solo si:(B, +) es un subgrupo de (A, +).1A B.B es cerrado para el producto, es decir, si x, y B, entoncesxy B.1. Deniciones y ejemplos 63Ejemplos.1. (Z, +, ), (, +, ), (1, +, ), (C, +, ) son subanillos de cada unodel siguiente.2. Cualquiera sea k, k es subanillo de k[x].3. El conjunto de funciones constantes de 1 en 1 es un subanillode C(1).Observaciones.1. Todo subanillo de un anillo ntegro es ntegro. Sin embargo, siB es subanillo de A y B es ntegro, A puede no serlo.2. Veremos ms adelante que si A es un dominio ntegro, puede en-contrarse un cuerpo K del cual A resulte un subanillo. Como ejem-plo de esto, podemos tomar a Z como subanillo de .A continuacin, se construir un importante ejemplo de anillo.La importancia de este ejemplo reside en que tener un mdulo sobreeste anillo ser equivalente a tener un k-espacio vectorial sobre elcual un grupo G acte:Ejemplo. Dado un grupo G y un anillo de base k, podemos cons-truir un anillo llamado anillo de grupo de G, al que notaremos k[G].Los elementos de k[G] son combinaciones lineales nitas con coe-cientes en k de elementos del grupo G. As, como conjunto esk[G] = gGgg : g k, g = 0 para casi todo g G.Si x = gG gg k[G], el conjunto sop(x) = g G : g ,= 0 esel soporte de x.La suma en k[G] se dene pensando que los elementos de G for-man una base, es decir:_gGgg_+_gGgg_= gG(g + g)g.Notemos que si las dos primeras sumas son nitas, la tercera tam-bin lo es, as que esto dene una operacin en k[G].El producto se dene a partir del producto de G, de la estructurade anillo de k y del hecho de que el producto tiene que ser distribu-tivo con respecto a la suma:_gGgg_

_gGgg_=h,gG(gh)gh = gG_hGgh1 h)_g.64 2. AnillosPor ejemplo, si x = g, y = h k[G], el producto xy es simplemen-te xy = (g)(h) = ()gh. Si x e y son, ms generalmente, sumasnitas de elementos de este tipo, el producto se calcula a partir delos productos de cada sumando imponiendo la ley distributiva.Ejercicio. Vericar que con estas operaciones (k[G], +, ) resulta unak-lgebra con unidad. Qu elementos son el neutro de la suma y eldel producto? Y el inverso aditivo de un elemento? Hay elemen-tos que tengan inverso multiplicativo? Cundo k[G] es un anilloconmutativo?Observacin. En la construccin anterior no se utiliz el hecho deque G fuera un grupo, sino solamente que se trata un monoide conelemento neutro. La asociatividad de G implica la asociatividad delproducto de k[G] y el elemento neutro de G funciona como unidaddel producto de k[G].Se puede denir entonces el anillo de un monoideM con ele-mento neutro, al que notamos tambin k[M]. Por ejemplo, cuandoM = N0, el anillo k[N0] puede identicarse con el anillo de polino-mios en una variable con coecientes en k.2.2 MorsmosEn un anillo existen una estructura de grupo abeliano y una mul-tiplicacin. Del mismo modo en que en el caso de los grupos nosinteresaban particularmente las funciones que respetaban la estruc-tura de grupo, dentro de la clase de funciones entre anillos que seanmorsmos de grupos abelianos, nos interesarn aquellas que tam-bin respeten la estructura multiplicativa.Denicin 2.2.1. Sean (A, +A, A) y (B, +B, B) dos anillos. Un mor-smo de anillos unitarios entre A y B es una funcinf : A B talque f : (A, +A) (B, +B) es un morsmo de grupos. f (a A a/) =f (a) B f (a/) si a, a/ A. f (1A) = 1B.Diremos que fes un isomorsmo si es inversible. En ese caso, la fun-cin inversa resulta tambin morsmo de anillos.2. Morsmos 65Ejemplos.1. Las inclusiones Z 1 C H son morsmos inyecti-vos de anillos.2. Sea k un anillo con unidad y sean G y H grupos. Sif : G H esun morsmo de grupos, denimos una funcin k[ f ] : k[G] k[H]poniendok[ f ]_gGgg_= gGgf (g).Entonces k[ f ] es un morsmo de anillos unitarios. Es evidente quek[IdG] =Idk[G]. Adems, si f y h son dos morsmos de grupos condominios tales que tiene sentido calcularf h, entoncesk[ f h] = k[ f ] k[h].Vemos de esta forma que la asignacin k[]: Gr An1 dada porG k[G] es funtorial.3. La funcin : r Z rZn es un morsmo suryectivo de anillos.4. Si A es un anillo, existe un nico morsmo de anillosf : Z A.5. Sea X un abierto de 1n, x0 X y A=C(X) Cn(X) C(X),entonces evx0 : f A f (x0) 1 es un morsmo de anillos.6. Sea A un anillo, a A y eva: Z[X] A la aplicacin tal que siP = ni=0 iXi Z[X], entonces eva(P) = ni=0 iai. Entonces eva esun morsmo de anillos.Observacin. La composicin de dos morsmos de anillos es tam-bin un morsmo de anillos y, dado un anillo A, la funcin identi-dad IdA: A A es trivialmente un morsmo de anillos. Esto nosdice que la clase de objetos formada por los anillos y los morsmosde anillos forman una categora (ver el apndice). Las nociones demonomorsmo e isomorsmo categrico coinciden en este caso conlas nociones de morsmo inyectivo y morsmo inversible respecti-vamente. Dejamos como ejercicio los monomorsmos, haremos lacuenta para isomorsmos.Seaf : A B un isomorsmo de anillos, es decir, un morsmode anillos inversible. Sea g : B A una funcin tal quef g = IdBy g f =IdA. Sabemos que g es necesariamente un morsmo de66 2. Anillosgrupos abelianos. Para ver que se trata de hecho de un morsmode anillos basta ver que g preserva la estructura multiplicativa. Sib, b/ B, entoncesf (g(bb/)) = IdB(bb/) = bb/ = IdB(b)IdB(b/)=f (g(b)) f (g(b/)) =f (g(b)g(b/)).Comofes isomorsmo, en particular es inyectiva, y podemos con-cluir que g(bb/) = g(b)g(b/). Como ademsf (1A) = 1B,1A = IdA(1A) = g( f (1A)) = g(1B),as que g preserva la unidad.Sin embargo, veremos a continuacin que en el caso de anilloslas nociones de epimorsmo categrico y morsmo suryectivo nocoinciden.Ejemplo. Hay algn morsmo de anillos de a 1 adems de lainclusini : 1?Larespuestaesno: si f : 1esunmorsmo, es aditivo y se tiene quef_mn_ = mf_1n_. Como ademsf (1) = 1 y 1 = n1n, vemos que 1 = nf_1n_. Como se puede dividirpor n, concluimos que f_1n_=1n. Esto nos dice que f es la inclusin.Si, por el contrario, buscamos morsmosf : 1 en el otrosentido, la respuesta es diferente. En efecto, si f : 1 es unmorsmo de anillos y x 1 es no nulo, se tiene que1 =f (1) =f (xx1) =f (x) f (x1).En particular, f (x) ,= 0. Vemos as que todo morsmo de anillos quesale de 1 tiene ncleo cero y por lo tanto es inyectivo (esto sucedepara todo morsmo de anillos unitarios que sale de un cuerpo),pero una razn puramente conjuntista nos recuerda que no puedehaber ninguna funcin inyectiva de 1 en , ya que 1 tiene cardinalestrictamente mayor que .Ejemplo. Los epimorsmos categricos no tienen por qu ser ne-cesariamente funciones suryectivas. A partir del ejemplo anteriorcon , se puede ver fcilmente que todo morsmo de anillos quesalgade quedaunivocamentedeterminadoporlacondicinf (1) = 1. De este hecho se desprenden dos cosas:3. Ideales bilteros 67Dado un anillo B, o bien existe un nico morsmo de anillosf : B o bien no existe ninguno. Cundo s y cundo no?(Sugerencia: ver primero que siempre existe un nico mors-mo de anillos Z B.)La inclusin i : Z es un epimorsmo categrico (en la ca-tegora de anillos unitarios y morsmos de anillos unitarios).A diferencia del caso de grupos, en el que entre dos grupos siem-pre haba por lo menos un morsmo de grupos (el morsmo nulo),en el caso de los anillos la condicin de que f(1)=1 junto con la demultiplicatividad restringe muchsimo las posibilidades de mors-mos entre anillos, hasta el punto en que dados dos anillos puede nohaber morsmos de anillos entre ellos, o haber slo uno.2.3 Ideales bilterosDado un morsmo de anillosf : A B, es claro (vericarlo!)que Im( f ) B, adems de ser un subgrupo deB, es un subani-llo. SinembargoKer( f )noesunsubanillo, porqueporejemplo1 / Ker( f ) (ya quef (1) =1 ,=0), aunque sigue siendo un sub-grupo. En el caso de los grupos habamos visto que no todo sub-grupo es ncleo de un morsmo de grupos, sino que sto slo su-cede para los subgrupos invariantes. En un anillo la estructura sub-yacentedegrupoesconmutativa, porlotantotodosubgrupoesinvariante, pero no todo subgrupo es el ncleo de un morsmo deanillos.Si A es un anillo e I es un subgrupo de (A, +), A/I es un grupoabeliano. La denicin que daremos ahora es la que clasica exacta-mente a los subgrupos I de un anillo para los que A/I hereda de Auna estructura de anillo tal que la proyeccin al cociente A A/Isea un morsmo de anillos (al igual que en el caso de grupos, esaestructura est nvocamente determinada):Denicin 2.3.1. Sea A un anillo e I un subgrupo de (A, +). Dire-mos que I es un ideal biltero si siempre que x I y a A se tieneque tanto ax como xa pertenecen a I.Si slo pedimos que ax I para todo x I y a A, diremosque I es un ideal a izquierda. Si slo pedimos la condicin simtricade que xa I para todo x I y a A, diremos que I es un ideal68 2. Anillosa derecha. Por supuesto, estas distinciones se desvanecen si el anilloes conmutativo, pero en el caso general pueden no coincidir.El ejemplo fundamental es el siguiente: sif : A B es un mor-smo de anillos, entonces Ker( f ) es un ideal biltero. En efecto, esclaro que se trata de un subgrupo de A, y si x I y a A entoncesf (ax) =f (a) f (x) =f (a)0 = 0yf (xa) =f (x) f (a) = 0f (x) = 0,as que ax y xa estn tambin en el ncleo def . Notemos que aun-que el anillo A no sea conmutativo, Ker( f ) es siempre un ideal bi-ltero.Ejemplos.1. Sea A un anillo conmutativo y b A, entonces el conjuntob) = ba : a Ade los mltiplos de b es un ideal biltero. Todo ideal de esta formaes un ideal principal.As, si m Z, m) = mZ es un ideal de Z; anlogamente, en k[X],el conjunto P) de los mltiplos de un polinomio jo P es un idealbiltero.2. Notar que todo subgrupo de Z es de la forma mZ para algn m.Ms an, todos ellos son ideales.Si k es un cuerpo e I es un ideal de k[X], entonces existe un po-linomio P k[X] tal que I = P). (Demostrarlo: tomar la funcingrado e imitar la demostracin de que en Z los nicos subgruposson de la forma mZ). Si en cambio consideramos el anillo k[X, Y]o Z[X], existen ideales no principales (dar ejemplos de esto!)3. Si I es un ideal biltero de A y Mn(I) es el conjunto de las matricesde Mn(A) que en cada lugar tiene elementos de I, entonces Mn(I) esun ideal biltero de Mn(A).4. Sea X un abierto de 1n, x0 X y A = C(X). Entonces el con-juntoIx0=f A: f (x0) =0esunidealdeA. Dehecho,sievx0: A1eselmorsmodeevaluacinenx0, estoes, sievx0( f ) =f (x0), entonces I = Ker(evx0).3. Ideales bilteros 695. Si A=C(1), entonces I = f A: sop( f ) es acotado es unideal de A.Observaciones.1. Si I es un ideal deA y 1A I entoncesI =A. La misma con-clusin se obtiene si suponemos slamente que existe un elementoa I que es una unidad.Un anillo A siempre tiene al menos dos ideales bilteros: (i) 0,que corresponde a Ker(IdA: A A) y (ii) A, que no es un ncleoamenosqueincluyamosanilloscon1=0.Sinembargo,puedesuceder que stos sean los nicos: por ejemplo, si A es un cuerpo oun anillo de divisin. Diremos en ese caso que A es un anillo simple.Es fcil ver que un anillo conmutativo simple es un cuerpo, peroen el caso no conmutativo hay anillos simples que no son de divi-sin. Por ejemplo, si k es un cuerpo, en anillo de matrices Mn(k) esun anillo simple.2. Si f : A B es un isomorsmo de anillos, entonces los idealesbilteros de A estn en correspondencia 1-1 con los ideales bilterosde B.Si A es un anillo e I A es un idealbiltero, entonces Mn(I) esun ideal biltero deMn(A) y, de hecho, todos los ideales bilterosde Mn(A) se obtienen de esta forma.Sinembargo, AyMn(A), sin >1, raramentesonisomorfoscomo anillos (d un ejemplo en el que s resulten isomorfos!). Decualquier manera, los anillosA yMn(A) comparten muchas otraspropiedades: este hecho ser tratado en el Captulo de Teoremas deMorita.3. Si I y J son ideales de A, el conjuntoI J = ni=1xiyi : xi I, yi Jes un ideal biltero. Claramente I J est contenido en I y en J.4. De manera similar, si I y J son ideales de A, el conjuntoI + J = x + y : x I, y Jes un ideal de A.5. Si I, J1, y J2 son ideales de A, entonces I(J1 + J2) = I J1 + I J2.70 2. Anillos6. La interseccin de ideales es un ideal.7. Sea a A. El conjunto a) = xa : x A es un ideal a izquierdadeA, al que llamamos ideal principal (izquierdo) generado porA.Tambien escribimos Aa en vez de a).8. Si Aes un anillo ntegro ya, b A 0, entonces entoncesa) = b) sii existe u |(A) tal que a = ub.9. Si X A, el ideal generado por X en A es la interseccin X) detodos los ideales deA que contienen aX. SiX= a1, . . . , an esun conjunto nito, entonces escribimos a1, . . . , an) en vez de X).Por ejemplo, en Z tenemos que (2, 3) = Z y (2, 4) = 2Z, y en [x],(x 2, x 3) = [x].Denicin 2.3.2. Sea I un ideal biltero de un anilo A., Decimos queI es un ideal biltero maximal si I ,= A y, si J ideal es un biltero deA tal que I J, entonces o J = I o J = A.2.4 CocientesVimos que todo ncleo de un morsmo de anillos es un idealbiltero. En esta seccin veremos que, como en el caso de grupos,dado un ideal biltero I de un anillo A, siempre existe un anillo By un morsmof : A B tal que I =Ker( f ). La construccin essimilar al caso de grupos: se trata de denir una relacin de equi-valenciaentreloselementosdeAdemaneratalqueelconjuntocociente admita una estructura de anillo.Fijemos entonces un anillo A y un ideal biltero I de A.Decimos entonces que dos elementos a y a/ de A estn relacio-nados si a a/ I. Es fcil ver que esto es una relacin de equi-valencia. Sea A/I el conjunto de clases de equivalencia. Si a A,escribimos a a la clase de a en A/I.ComoIes un subgrupo (normal) del grupo aditivo (A, +), elcocienteA/Ies un grupo abeliano y: A A/Ies un mors-mo de grupos. La estructura de grupo sobreA/I est denida demanera quea + a/ = a + a/.4. Cocientes 71Introducimos un producto en A/I mediante la frmula:aa/ := aa/Para ver que as obtenemos una estructura de anillo sobre A/I, hayque ver que:la multiplicacin est bien denida en el cociente, esto es, quesi a = b y a/ = b/, entonces aa/ = bb/;(A/I, +, ) es un anillo con unidad y 1 ,= 0 si I ,= A; : A A/I es un morsmo de anillos con Ker() = I.Una vez vista la buena denicin, el hecho de que (A/I, +, ) es unanillo con unidad es obvio. Tambin es obvio que es un morsmode anillos, ya que la multiplicacin en A/I est denida de la ni-ca posible para la cual es multiplicativa. Finalmente, vemos queKer() = I, viendo slo las estructuras de grupos. Veamos entoncesla buena denicin:Sean a, a/, b, b/ A tales que a = b y a/ = b/. Llamando x = a be y=a/ b/, tenemos que la condicin a=b es equivalente a lacondicinxI, ylomismovaleparay. Cuandocalculamoselproducto aa/ a partir de b y b/ tenemos:aa/ = (b + x)(b/ + y) = bb/ + (by + xb/ + xy).Como I es un ideal biltero, tanto by como xb/ y xy pertenecen a I,y por lo tanto aa/=bb/ + by + xb/ + xy=bb/ + 0 =bb/. Notemosque, para hacer eso, es fundamental el hecho de que I sea un idealbiltero, y no slo a izquierda o a derecha. Si I es un ideal a izquier-da pero no biltero, entonces A/I no admite ninguna estructura deanillo tal que la proyeccin al cociente sea un morsmo de anillos.Observacin. Como en el caso de grupos, el anillo cociente es unaconstruccin que resuelve un problema de tipo universal con res-pecto ahora a los morsmos de anillos.Proposicin 2.4.1. SeaA un anillo eI A un ideal biltero. El par(A, : A A/I) tiene las siguientes dos propiedades:(a) : A A/I es un morsmo de anillos y I Ker().(b) Si B es un anillo yf : A B un morsmo tal que I Ker( f ),entonces existe un nico morsmo de anillosf : A/I B tal que72 2. Anillosf =f . El diagrama correspondiente es:A

f

BA/If{{{{Demostracin. El primer punto de la proposicin es claro. Supon-gamosquesetieneunmorsmodeanillos f : ABtalqueI Ker( f ). Como: A A/Ies un morsmo de grupos consu propiedad universal y f es en particular un morsmo de grupos,se tiene asegurada la existencia y unicidad del morsmo de gru-pos f . Luego slo falta ver que f es multiplicativo. Recordemos quef est denida porf (a)=f (a) para todo a A. A partir de esafrmula y de la denicin de producto en el cociente es claro quefes multiplicativa cuandoflo es puesf (aa/) =f (aa/) =f (aa/) =f (a) f (a/) =f (a) f (a/).Esto termina la prueba.Como siempre, dos objetos que verican una misma propiedaduniversalresultarnisomorfos(vericarlo, calcandolademostra-cin hecha para grupos).Corolario 2.4.2. Si f : A B un morsmo de anillos, entonces hay unisomorsmo de anillosA/Ker( f ) = Im( f ).Demostracin. Basta observar que Im( f ) es un subanillo de B y quef : A Im( f ) es un morsmo de anillos. Sabemos que la aplica-cinf : A/Ker( f ) Im( f ) es un isomorsmo de grupos abelia-nos, pero como Ker( f ) es un ideal biltero, la propiedad del cocien-te asegura quef tambin respeta el 1 y l