ANÁLISE DE PÓRTICOS DE BETÃO ARMADO COM ELEMENTOS FINITOS …

ANÁLISE DE PÓRTICOS DE BETÃO ARMADO

COM ELEMENTOS FINITOS HÍBRIDOS DE TENSÃO

Rui Manuel Gomes Sanches

Dissertação para a obtenção do Grau de Mestre em

Engenharia Civil

Júri

Presidente: Doutor Pedro Guilherme Sampaio Viola Parreira

Orientador: Doutor Luís Manuel Soares Santos Castro

Vogal: Doutor Paulo Miguel Macedo França

Março 2009

RUI MANUEL GOMES SANCHES I

Aos Meus Pais

ANÁLISE DE PÓRTICOS DE BETÃO ARMADO COM ELEMENTOS FINITOS HÍBRIDO DE TENSÃO

DISSERTAÇÃO DE MESTRADO INTEGRADO EM ENGENHARIA CIVIL II

RESUMO

RUI MANUEL GOMES SANCHES III

RESUMO

Nesta dissertação apresenta-se um modelo de elementos finitos híbridos de tensão para a

análise fisicamente não-linear de pórticos planos de betão armado. No modelo implementado

aproximam-se os campos de esforços no domínio de cada elemento e os campos de deslocamentos

na fronteira estática. Na definição da aproximação é necessário assegurar que o campo de esforços

verifique localmente todas as condições de equilíbrio.

Na caracterização do comportamento do betão não se considera qualquer resistência à

tracção e na modelação à compressão é considerado o diagrama parábola-rectângulo ou o diagrama

hiperbólico. Na modelação do aço é considerado um diagrama bi-linear com endurecimento.

Nas integrações numéricas necessárias para a definição da matriz de rigidez de cada

secção e para o cálculo dos diferentes operadores estruturais presentes no sistema governativo

global do modelo híbrido de tensão é utilizada a regra de quadratura de Lobatto. Para a resolução do

sistema de equações não-linear é utilizado o método de Newton-Raphson.

Para a validação do modelo desenvolvido são apresentados e discutidos alguns exemplos

de teste que permitem validar o modelo de elementos finitos implementado e aferir a sua eficácia

numérica.


DISSERTAÇÃO DE MESTRADO INTEGRADO EM ENGENHARIA CIVIL IV

RESUMO

RUI MANUEL GOMES SANCHES V

ABSTRACT

This dissertation presents a hybrid stress finite element model for the physically non-linear

analysis of reinforced concrete plane frame structures. In this formulation, both the stress resultant

fields in the domain of each element and the displacements on the static boundary are independently

approximated. In the hybrid stress model, all equilibrium conditions are locally verified.

Both the hyperbolic and the parabolic-rectangle diagrams are used to model the concrete

behavior to compression states. A bi-linear law is used to model the behavior for the reinforcement

steel bars.

The Lobatto quadrature rule is used to perform all numerical integrations required by the

computation of the cross section stiffness matrices and by the computation of all structural operators

present in the hybrid stress global governing system.

To validate the model being discussed and to assess its numerical performance, a set of

numerical tests is presented and discussed. The results are compared with the solutions provided by

other numerical techniques.


DISSERTAÇÃO DE MESTRADO INTEGRADO EM ENGENHARIA CIVIL VI

PALAVRAS-CHAVE

RUI MANUEL GOMES SANCHES VII

PALAVRAS-CHAVE

Elementos finitos híbridos de tensão

Análise de secções

Pórticos de betão armado

Comportamento elástico não-linear

Betão Armado

KEYWORDS

Hybrid stress finite elements

Analysis of cross sections

Reinforced concrete plane frames

Nonlinear elastic behavior

Reinforced concrete


DISSERTAÇÃO DE MESTRADO INTEGRADO EM ENGENHARIA CIVIL VIII

AGRADECIMENTOS

RUI MANUEL GOMES SANCHES IX

AGRADECIMENTOS

Vou aproveitar este espaço para expressar os meus sinceros agradecimentos a todos

aqueles que directa ou indirectamente contribuíram para que este trabalho fosse realizado.

Ao Professor Luís Castro, pela empenhada orientação, colaboração, sugestões e ter

possibilitado esta mais-valia no meu percurso universitário, agradeço toda a sua disponibilidade e

ensinamentos.

Ao Professor Paulo França pela sua pronta disponibilidade na preparação e corrida do

exemplo de comparação no programa ATENA.

À minha Família, em especial aos meus Pais, pela dedicação, afecto, paciência e

compreensão na minha formação humana e técnica.

Finalmente, um agradecimento muito especial à minha namorada, Aniete Costa, pela

compreensão, carinho, paciência e incondicional apoio que sempre demonstrou.

A todos aqui deixo a minha mais profunda gratidão.


DISSERTAÇÃO DE MESTRADO INTEGRADO EM ENGENHARIA CIVIL X

ÍNDICES

RUI MANUEL GOMES SANCHES XI

ÍNDICE GERAL

RESUMO .......................................................................................................................... III

ABSTRACT ....................................................................................................................... V

PALAVRAS-CHAVE ....................................................................................................... VII

KEYWORDS ................................................................................................................... VII

AGRADECIMENTOS ....................................................................................................... IX

ÍNDICE GERAL ................................................................................................................ XI

ÍNDICE DE FIGURAS ..................................................................................................... XIII

ÍNDICE DE TABELAS .................................................................................................... XIV

NOMENCLATURA .......................................................................................................... XV

CAPÍTULO 1

INTRODUÇÃO

1.1. Objectivos ............................................................................................................... 1

1.2. Metodologia ............................................................................................................. 1

1.3. Descrição dos capítulos seguintes .......................................................................... 2

CAPÍTULO 2

FORMULAÇÃO DO PROBLEMA

2.1. Introdução ............................................................................................................... 3

2.2. Grandezas e Equações Fundamentais .................................................................... 4

2.3. As relações constitutivas ......................................................................................... 7

CAPÍTULO 3

RELAÇÃO CONSTITUTIVAS DOS MATERIAIS

3.1. Introdução ............................................................................................................... 9

3.2. Relações constitutivas para o betão ........................................................................ 9

3.2.1. O Diagrama parábola-rectângulo .................................................................... 10

3.2.2. O Diagrama hiperbólico .................................................................................. 11

3.3. Relações constitutivas para o aço ......................................................................... 13

CAPÍTULO 4

ANÁLISE DE SECÇÕES

4.1. Introdução ............................................................................................................. 15

4.2. Definição das deformações e dos esforços ........................................................... 16

4.3. Discretização da secção ........................................................................................ 18

4.4. Condições de compatibilidade e de equilíbrio ........................................................ 19

4.5. Matriz de rigidez da secção ................................................................................... 23


DISSERTAÇÃO DE MESTRADO INTEGRADO EM ENGENHARIA CIVIL XII

4.6. Problemas fundamentais ....................................................................................... 24

4.6.1. Problema directo ............................................................................................. 25

4.6.2. Problema indirecto .......................................................................................... 25

4.7. Diagrama momentos-curvaturas............................................................................ 27

4.8. Diagrama de interacção ........................................................................................ 28

4.9. Exemplos de aplicação .......................................................................................... 29

4.9.1. Análise de uma secção rectangular de betão armado sujeita à flexão ............ 30

4.9.2. Análise de uma secção em T .......................................................................... 35

CAPÍTULO 5

MODELO HÍBRIDO DE TENSÃO

5.1. Introdução ............................................................................................................. 39

5.2.Definição da aproximação ...................................................................................... 40

5.2.1.Aproximação no domínio ................................................................................. 40

5.2.2.Aproximação na fronteira ................................................................................. 41

5.3.Condições de compatibilidade ................................................................................ 42

5.4.Condições de equilíbrio .......................................................................................... 44

5.5.Relações constitutivas ............................................................................................ 45

5.5.1.Comportamento elástico linear ......................................................................... 45

5.5.2.Comportamento elástico não-linear.................................................................. 46

5.6.Sistema governativo ............................................................................................... 46

5.6.1.Comportamento elástico linear ......................................................................... 46

5.6.2.Comportamento elástico não-linear.................................................................. 47

CAPÍTULO 6

EXEMPLOS DE APLICAÇÃO

6.1. Introdução ............................................................................................................. 51

6.2. Análise elástica linear ............................................................................................ 52

6.3. Análise não linear de uma viga bi-encastrada ....................................................... 54

6.4. Análise não linear de um pórtico rectangular plano ............................................... 57

6.5. Análise não linear de um pórtico com vários pisos ................................................ 61

CAPÍTULO 7

CONCLUSÕES E DESENVOLVIMENTOS FUTUROS

7.1. Conclusões ........................................................................................................... 67

7.2. Desenvolvimentos futuros ..................................................................................... 68

Referências .................................................................................................................... 69

Anexos............................................................................................................................ 71

ÍNDICES

RUI MANUEL GOMES SANCHES XIII

ÍNDICE DE FIGURAS

Figura.2.1: Peça linear: geometria, eixos e grandezas envolvidas na formulação do problema. ...................................................................................................................... 4

Figura.2.2: Forças de vão e forças de extremidade. ..................................................... 5

Figura.2.3: Deslocamentos de vão e deslocamentos nodais. ....................................... 6

Figura.3.1: Diagrama parábola-rectângulo para o betão à compressão. .................... 10

Figura.3.2: Diagrama hiperbólico para o betão à compressão. ................................... 11

Figura.3.3: Diagrama bi-linear para o aço. ................................................................... 13

Figura.4.1: Componentes de um campo linear de deformações. ................................ 16

Figura.4.2: Secção tipo de betão armado. ................................................................... 17

Figura.4.3: Discretização de uma secção de betão armado. ...................................... 18

Figura.4.4: Relação entre as deformações da secção e as deformações dos elementos. ..................................................................................................................................... 20

Figura.4.5: Relação entre os esforços da secção e os esforços definidos ao nível dos elementos. ................................................................................................................... 22

Figura.4.6: Algoritmo utilizado na resolução do problema indirecto. .......................... 27

Figura.4.7: Diagrama de deformação na rotura. .......................................................... 28

Figura.4.8: Definição da secção transversal e das propriedades dos materiais. ....... 30

Figura.4.9: Comparação de resultados obtidos com diferentes discretizações.......... 31

Figura.4.10: Comparação dos diagramas com os resultados apresentados em Virtuoso et al. [10]. ...................................................................................................... 32

Figura.4.11: Comparação das curvas obtidas considerando os diagramas parábola-rectângulo e hiperbólico. ............................................................................. 33

Figura.4.12: Diagrama de interacção (Curvaturas positivas). ......................... 34

Figura.4.13: Diagramas de interacção ; comparação com resultados obtidos. 34

Figura.4.14: Definição da secção transversal em T. .................................................... 35

Figura.4.15: Secção em T; diagrama de interacção para o modelo hiperbólico. ..................................................................................................................................... 36

Figura.4.16: Secção em T; diagrama de interacção para o modelo parábola-rectângulo. ................................................................................................... 36

Figura.4.18: Secção em T; diagrama para o modelo parábola-rectângulo. .... 37

Figura.5.1: Deslocamentos nos referenciais globais e local para uma barra inclinada. ..................................................................................................................................... 43

Figura.5.2: Representação das forças nodais nos referenciais global e local para uma barra inclinada. ........................................................................................................... 45

Figura.6.1: Pórtico encastrado apoiado. ....................................................................... 52

Figura.6.2: Comparação dos resultados FTOOL vs modelo híbrido de tensão. ......... 53

Figura.6.3: Viga contínua biencastrada. ....................................................................... 54


DISSERTAÇÃO DE MESTRADO INTEGRADO EM ENGENHARIA CIVIL XIV

Figura.6.4: Diagrama carga-deslocamento para comportamento linear e não linear. 55

Figura.6.5: Diagrama cargas-deslocamentos para o modelo parábola-rectângulo. ... 56

Figura.6.6: Diagramas carga-deslocamento obtidos para discretizações com 2 e 20 elementos de barra. .................................................................................................... 57

Figura.6.7: Pórtico plano rectangular biencastrado. .................................................... 58

Figura.6.8: Comparação dos resultados ATENA vs Modelo Híbrido de Tensão. ....... 59

Figura.6.9: Diagrama de esforços................................................................................. 60

Figura.6.10: Pórtico plano quadrangular biencastrado. ............................................... 61

Figura.6.11: Diagrama carga-deslocamentos do pórtico quadrangular biencastrado. 65

ÍNDICE DE TABELAS

Tabela.3.1: Classes de resistência do betão. .................................................................. 12

Tabela.3.2: Resistência das armaduras para betão armado. ........................................... 14

Tabela 6.1: Propriedades dos materiais na análise da viga contínua biencastrada. .. 54

Tabela.6.2: Discretizações utilizada para a viga contínua biencastrada. .................... 55

Tabela 6.3: Propriedades dos materiais na análise do pórtico plano rectangular biencastrado................................................................................................................ 58

Tabela 6.4: Discretização utilizada na análise do pórtico plano quadrangular biencastrado................................................................................................................ 61

CAPÍTULO 1 - NOMENCLATURA

RUI MANUEL GOMES SANCHES XV

NOMENCLATURA

- Parâmetro presente na definição do comportamento uniaxial do betão.



- Coeficiente de segurança para o betão.

- Fronteira do elemento.

- Fronteira estática.

- Fronteira cinemática.

- Extensão em cada ponto da secção.

- Extensão numa fibra de betão.

- Extensão máxima de compressão no betão.

- Extensão correspondente à tensão máxima de compressão no betão para o modelo

hiperbólico.

- Extensão de cedência do aço.

- Extensão numa fibra de aço.

- Extensão máxima no aço.

- Rotação segundo y.

- Rotação imposta segundo y.

- Tensão de uma fibra de betão.

- Tensão de uma fibra de aço.

- Deformação por corte da secção.

- Diâmetro de armaduras (em mm.)

- Curvatura da secção.

- Curvatura em relação ao eixo y.

- Deslocamento segundo z.

- Deslocamento imposto segundo z.

- Área da secção transversal.


DISSERTAÇÃO DE MESTRADO INTEGRADO EM ENGENHARIA CIVIL XVI

- Área reduzida de corte.

- Área do elemento de betão i.

- Área do elemento de aço j.

- Matriz de compatibilidade que relaciona as deformações independentes com os

deslocamentos nodais.

- Vector das forças aplicadas no domínio dos elementos.

- Operador diferencial de equilíbrio.

- Operador diferencial de compatibilidade.

- Vector das deformações duma secção.

- Taxa de variação das deformações.

- Vector das deformações do elemento de betão i.

- Vector das deformações do elemento de aço j.

- Extensão média na secção.

- Módulo de elasticidade do material.

- Matriz de compatibilidade na secção transversal que relaciona as extensões de cada uma

das fibras de betão com as deformações generalizadas.

- Módulo de deformação longitudinal do betão.

- Módulo de elasticidade do aço.

- Tensão de compressão máxima no betão.

- Valor de cálculo da tensão de compressão máxima no betão.

- Valor característico da tensão de compressão máxima no betão.

- Valor médio da tensão de compressão máxima no betão.

- Tensão de cedência do aço.

- Matriz de flexibilidade da secção.

- Força aplicado na fronteira estática segundo o eixo x.

- Força aplicado na fronteira estática segundo o eixo z.

- Módulo de distorção do material.

- Inércia da secção transversal.

- Matriz de compatibilidade que quantifica a hipótese de Bernoulli para o elemento de

betão i.

CAPÍTULO 1 - NOMENCLATURA

RUI MANUEL GOMES SANCHES XVII

- Matriz de rigidez tangente da secção transversal.

- Comprimento do elemento de barra.

- Momento uniformemente distribuído segundo o eixo y.

- Momento flector.

- Momento aplicado na fronteira estática segundo o eixo y.

- Normal exterior unitária associada à fronteira estática.

- Esforço normal.

– Matriz que reúne as componentes da normal exterior unitária associada à fronteira estática

- Número de elementos de betão da secção.

- Número de elementos de aço da secção.

- Esforço normal no elemento de betão i.

- Esforço normal no elemento de aço j.

- Força uniformemente distribuída segundo o eixo x.

- Força uniformemente distribuída segundo o eixo z.

- Vector dos deslocamentos nodais na extremidade inicial.

- Vector dos deslocamentos nodais na extremidade final.

- Vector dos deslocamentos nodais do elemento de barra.

- Vector das forças nodais na extremidade inicial do elemento de barra.

- Vector das forças nodais na extremidade final do elemento de barra.

- Vector das forças nodais do elemento de barra j devidas às acções de vão.

- Operador não-linear que depende das deformações instaladas na secção.

- Vector dos esforços duma secção.

- taxa de variação dos esforços.

- Vector dos esforços na extremidade inicial do elemento de barra.

- Vector dos esforços na extremidade final do elemento de barra.

- Vector dos esforços, no elemento de betão i.

- Vector dos esforços no elemento de aço j.

- Matriz das funções de forma para a parcela complementar dos esforços no elemento de

barra.


DISSERTAÇÃO DE MESTRADO INTEGRADO EM ENGENHARIA CIVIL XVIII

- Vector das forças exteriores aplicadas na fronteira estática.

- Deslocamento segundo x.

- Vector dos deslocamentos.

- Vector dos deslocamentos impostos na fronteira cinemática.

- Deslocamento imposto segundo x.

- Vector que reúne as deformações independentes do elemento de barra associadas ao

carregamento de vão.

- Esforço transverso em relação ao eixo z.

- Domínio de um elemento de barra.

- Eixo de referência.

- Vector dos esforços independentes do elemento de barra.



- Distância entre o centro de gravidade do bloco i e o centro de gravidade da secção.

- Deslocamento segundo z.

CAPÍTULO 1 - INTRODUÇÃO

RUI MANUEL GOMES SANCHES 1

CAPÍTULO 1

INTRODUÇÃO

1.1. Objectivos

Este trabalho tem como objectivo o desenvolvimento e a implementação de um modelo

híbrido de tensão de elementos finitos para a análise fisicamente não-linear de pórticos planos de

betão armado.

Na generalidade dos casos, o comportamento linear da estrutura só é válido numa fase

inicial de carregamento, que ronda os chamados valores de serviço. À medida que as estruturas se

aproximam da rotura, é necessário ter em conta dois aspectos. O primeiro é que devido às grandes

deformações sofridas a geometria da estrutura se altera, não sendo válidas as características

geométricas consideradas inicialmente. O segundo aspecto relaciona-se com a não linearidade

constitutiva dos materiais, ou seja para grandes cargas o deslocamento sofrido por uma dada

componente da estrutura deixa de ser proporcional à força que o provocou. No presente trabalho

apenas se considera a existência da não linearidade material. Supõe-se ainda que as acções são

aplicadas lentamente e de forma monotónica.

A utilização de uma formulação híbrida de tensão permite assegurar que a solução que

resulta da análise do pórtico satisfaz todas as condições de equilíbrio, pelo que a aplicação do

Teorema Estático da Análise Plástica permite garantir que a solução obtida se encontra do lado da

segurança.

1.2. Metodologia

Na primeira fase deste trabalho implementou-se um modelo para a análise de secções de

betão armado. Esse modelo permite determinar os esforços resistentes da secção uma vez

conhecidas as propriedades dos materiais, a dimensão da secção transversal e a área e distribuição

das armaduras. Também permite, uma vez conhecidos pares de esforços ( , ) determinar as

deformações (extensões e curvaturas) que aparecem na respectiva secção. Com base no modelo

que permite a análise de secções, estudou-se e implementou-se um modelo que efectua a análise de

pórticos planos de betão armado. Este modelo baseia-se na consideração de uma formulação

híbrida de tensão onde se aproxima de forma independente o campo de esforços no domínio de

cada elemento e o campo de deslocamentos ao longo da fronteira estática, a qual engloba as


DISSERTAÇÃO DE MESTRADO INTEGRADO EM ENGENHARIA CIVIL 2

fronteiras entre elementos. Este modelo é caracterizado por assegurar a verificação local de todas as

condições de equilíbrio. Consideraram-se apenas barras com eixo recto e com secção constante. No

desenvolvimento destes modelos foi utilizado como base um programa já existente para a análise de

pórticos em regime elástico linear. Desta forma, as rotinas de cálculo existentes foram modificadas

por forma a ter em consideração o comportamento fisicamente não-linear dos materiais estruturais.

1.3. Descrição dos capítulos seguintes

No capítulo 2 é efectuada a caracterização do problema em análise: definem-se as variáveis

envolvidas na definição do comportamento da estrutura e apresentam-se as equações que as

permitem relacionar.

As relações constitutivas que são correntemente utilizados para o aço e para o betão

apresentam-se no capítulo 3.

No capítulo 4 efectua-se a definição das deformações e dos esforços ao nível da secção.

Posteriormente, são apresentados os dois tipos de problemas que podem ser colocados ao analisar

o comportamento de uma secção: o problema directo e o problema inverso. No problema directo, é

fornecido o par de deformações (extensão, curvatura) e determina-se o par de esforços

correspondentes (momento flector, esforço normal). No problema inverso, pretende-se efectuar a

determinação das deformações que aparecem na secção transversal, uma vez fixados os esforços

que nela se consideram instalados. Este tipo de problema é não-linear, pelo que se torna necessária

a utilização do método de Newton-Raphson na sua resolução. Apresentam-se neste capítulo alguns

exemplos de aplicação e são traçados alguns diagramas momento-curvatura para algumas secções

de teste.

O modelo híbrido de tensão é apresentado no capítulo 5. Define-se primeiro a forma através

da qual é efectuada a aproximação dos campos estáticos e os cuidados a ter para que essa

aproximação possibilite a verificação local de todas as condições de equilíbrio. Apresentam-se de

seguida as condições de equilíbrio, de compatibilidade e as relações constitutivas no modelo

discreto. O sistema governativo não-linear é apresentado de seguida e é discutido o algoritmo que

permite a sua resolução.

No capítulo 6 apresentam-se diversos exemplos numéricos que permitem validar o modelo

de elementos finitos implementado e aferir a sua eficácia numérica. Para alguns dos exemplos, os

resultados obtidos são comparados com os resultados fornecidos por outros modelos numéricos de

referência.

Por fim, no capítulo 7, apresentam-se alguns comentários finais e sugerem-se possíveis

desenvolvimentos futuros para o trabalho apresentado.

CAPÍTULO 2 - FORMULAÇÃO DO PROBLEMA


CAPÍTULO 2

FORMULAÇÃO DO PROBLEMA

2.1. Introdução

Considere-se o domínio de um elemento de barra pertencente a um pórtico definido no

plano (x, z), delimitado por uma fronteira e referido a um sistema de eixos cartesiano. Seja a

parte da fronteira onde são impostos carregamentos (fronteira estática) e a parte da fronteira

onde são impostos os valores dos deslocamentos (fronteira cinemática).

Pretende-se efectuar a determinação dos campos de deslocamentos, de deformações e de

esforços em , conhecidas as forças aplicadas no domínio e na fronteira estática e o valor dos

deslocamentos prescritos na fronteira cinemática.

Neste capítulo, são definidas as variáveis que surgem na formulação deste problema -

deslocamentos, deformações, esforços e cargas aplicadas – e as condições que as relacionam -

compatibilidade, equilíbrio e relações constitutivas.

Considera-se, ao longo deste trabalho, que o material é isotrópico e que é válida a hipótese

da linearidade geométrica. A hipótese da linearidade geométrica engloba a hipótese dos pequenos

deslocamentos e das pequenas deformações. Admite-se desta forma que as deformações são muito

pequenas quando comparadas com a menor dimensão do corpo. Assim, a configuração deformada

confunde-se com a configuração inicial e as condições de equilíbrio podem ser estabelecidas em

relação a esta última.



2.2. Grandezas e Equações Fundamentais

Na figura 2.1 encontram-se representadas as grandezas envolvidas na caracterização do

comportamento de um elemento de barra pertencente a um pórtico plano.

Figura 2.1: Peça linear: geometria, eixos e grandezas envolvidas na formulação do problema.

Estas grandezas podem ser agrupadas nos seguintes vectores:

os campos de esforços;

os campos de deformações;

as forças aplicadas no domínio dos elementos;

as forças exteriores aplicadas na fronteira estática ;

os campos dos deslocamentos;

os deslocamentos impostos na fronteira cinemática ;



Na figura 2.2 representam-se as cargas aplicadas no domínio e as cargas nodais aplicadas

na extremidade de um elemento de barra rectilíneo de comprimento L.

Figura 2.2: Forças de vão e forças de extremidade.

As equações de equilíbrio podem ser obtidas estabelecendo o equilíbrio de forças num

elemento infinitesimal, Pereira [1]. Estas equações podem ser escritas na forma matricial,

(2.1)

em que,

sendo D o operador diferencial de equilíbrio.

Para que o campo de esforços esteja em equilíbrio com as forças de extremidade, deve ser

verificada a condição de equilíbrio na fronteira,

(2.2)

ou, de forma alternativa,

(2.3)

onde e representam as forças nodais de extremidade do elemento de barra representado na



figura 2.2. Os vectores e listam os valores dos esforços nas secções inicial e final do elemento

de barra e a matriz reúne as componentes da normal exterior unitária associada à fronteira

estática . A matriz é dada por:

Na figura 2.3 representam-se os campos de deslocamentos no domínio e os deslocamentos

nodais de um elemento de barra rectilíneo.

Figura 2.3: Deslocamentos de vão e deslocamentos nodais.

As condições de compatibilidade no domínio podem ser escritas no formato, Pereira [1],

(2.4)

com:

onde é o operador diferencial de compatibilidade.

As condições de fronteira cinemática, tomam a forma:

(2.5)

ou seja,



(2.6)

com

2.3. As relações constitutivas

As relações constitutivas estabelecem a lei que relaciona os campos de esforços e de

deformações. Assumindo-se um comportamento fisicamente não linear para o betão e para o aço,

essa relação pode ser apresentada genericamente na forma:

onde representa um operador não-linear que depende das deformações instaladas na

secção.

As relações constitutivas não-lineares podem ser apresentadas no seguinte formato

incremental:

(2.7)

onde representa a matriz de rigidez tangente da secção transversal em causa. No capítulo

4 discute-se de forma detalhada a determinação do operador e da matriz de rigidez

tangente para o caso de peças de betão armado.

Nos casos em que a secção transversal da peça é constituída por um único material que

apresenta um comportamento elástico linear, é possível escrever:

(2.8)

com dado por:

Neste caso, os parâmetros e representam o módulo de elasticidade e o módulo de

distorção do material. A área e a inércia da secção transversal são denotados respectivamente por

e por . A área reduzida de corte é representada pelo parâmetro .



Ainda no caso do material elástico linear, é possível escrever a relação constitutiva no

formato de flexibilidade dado por:

(2.9)

onde a matriz de flexibilidade da secção transversal é agora dada por:

CAPÍTULO 3 - RELAÇÕES CONSTITUTIVAS DOS MATERIAIS


CAPÍTULO 3

RELAÇÃO CONSTITUTIVAS DOS MATERIAIS

3.1. Introdução

Para uma grande maioria das estruturas, o dimensionamento em regime linear não é viável

nem desejável por razões económicas e práticas. O desenvolvimento dos meios de cálculo

verificado nos últimos anos, tem tornado acessível a um número cada vez maior de utilizadores a

realização de análises não lineares. Este tipo de análises, possibilitando a modelação de

comportamentos fisicamente não lineares, são as únicas que permitem simular convenientemente o

comportamento de estruturas para determinados tipos de carregamento, fornecendo assim

informação directa sobre o que se presume ser a resposta estrutural real.

Neste capítulo apresentam-se as relações constitutivas não-lineares que foram

consideradas neste trabalho para a modelação dos materiais betão e aço.

3.2. Relações constitutivas para o betão

São discutidos nesta secção quais os principais factores que caracterizam a resistência à

compressão do betão e são apresentados os modelos de comportamentos utilizados neste trabalho.

No modelo desenvolvido despreza-se a resistência à tracção do betão devido ao facto desta não

alterar significativamente os resultados de uma análise aos estados últimos de resistência. As

relações tensões-extensões de cálculo são representadas por um diagrama parábola-rectângulo

para o betão à compressão, ou em alternativa, por um diagrama hiperbólico, Pereira [1].

O comportamento do betão é considerado como elástico. Sempre que tenham lugar

descargas estas considerar-se-ão elásticas, seguindo desta forma uma trajectória semelhante à que

percorrem durante o processo de carga.



3.2.1. O Diagrama parábola-rectângulo

Para a modelação do betão, o CEB Model Code [2] e o REBAP [3] propõem como relação

a utilizar na verificação dos estados últimos de resistência, o diagrama parábola-rectângulo,

ilustrado na figura 3.1.

Figura 3.1: Diagrama parábola-rectângulo para o betão à compressão.

A expressão analítica desse diagrama pode ser escrita na forma,

(3.1)

em que representa a tensão máxima do betão à compressão e onde:

Para a definição deste modelo de comportamento para o betão, basta especificar um único

parâmetro,

Considera-se neste diagrama como valor de tensão de compressão máxima admissível

. Esta minoração pretende ter em conta a diminuição da tensão de rotura do betão

quando sujeito prolongadamente a tensões elevadas.

Saliente-se que este diagrama não deve ser utilizado para o cálculo de relações momento

curvatura ou deformabilidade em geral. Com efeito, o módulo de deformabilidade na origem

associado a este diagrama é muito inferior ao módulo de elasticidade do betão, Appleton [4].



3.2.2. O Diagrama hiperbólico

Em análises não lineares e para carregamentos de curta duração, o CEB Model Code [2]

indica para o betão uma lei do tipo indicado na figura 3.2.

Figura 3.2: Diagrama hiperbólico para o betão à compressão.

A equação que relaciona referente ao diagrama hiperbólico representado na figura

3.2 é a seguinte:

(3.2)

com

Nas equações anteriores, representa a extensão correspondente à tensão

máxima de compressão, , corresponde ao módulo de deformação longitudinal e é a

extensão máxima em compressão.



O valor de deverá ser determinado pela realização de ensaios. Na ausência destes, o

valor de pode ser estimado a partir do valor de , através da aplicação da expressão, REBAP

[3]:

(3.3)

sendo .

Na maior parte das situações, é suficiente substituir pelo valor característico da

classe de betão utilizado. Existem no entanto situações em que o CEB Model Code [2] aconselha a

correcção do valor de :

quer minorando-o (por exemplo tomando ) no cálculo de efeitos de

segunda ordem;

quer majorando-o (por exemplo tomando ) na determinação dos

efeitos devido às acções indirectas.

O valor do parâmetro depende não só da forma da secção e do tipo de diagrama de

extensão, mas também do valor adoptado para .

Para a completa definição do modelo de comportamento hiperbólico do betão, é pois

necessário especificar o valor dos três parâmetros ( , , ).

Os betões são classificados por classes de resistência. As classes de resistência estão

definidas de acordo com os valores característicos de tensão de rotura à compressão aos 28 dias de

idade, referidos a provetes cúbicos ou provetes cilíndricos.

Na tabela seguinte apresentam-se, para as várias classes de resistência do betão, os

valores característicos e de cálculo das tensões de rotura à compressão ( e ), bem como o

valor médio da tensão de rotura à tracção ( ) e o módulo de elasticidade aos 28 dias ( ).

Tabela 3.1: Classes de resistência do betão.

Classe B15

C12/15 B20

C16/20 B25

C20/25 B30

C25/30 B35

C30/37 B40

C35/45 B45

C40/50 B50

C45/55 B55

C50/60

[MPa]

15

12

20

16

25

20

30

25

37

30

45

35

50

40

55

45

60

50

[MPa]

8.0 10.7 13.3 16.7 20.0 23.3 26.7 30.0 33.3

[MPa]

1.6 1.9 2.2 2.6 2.9 3.2 3.5 3.8 4.1

[GPa]

27 29 30 31 33 34 35 36 37



3.3. Relações constitutivas para o aço

No presente trabalho optou-se pela consideração de uma relação do tipo bi-linear,

podendo ser considerada alguma rigidez no segundo tramo até uma extensão limite, , igual a

10‰, tal como se encontra representado na figura 3.3.

Uma das vantagens associadas à adopção de uma rigidez pós cedência é a de minorar as

possibilidades de ocorrência de problemas de convergência no modelo numérico para a análise de

cada uma das secções da estrutura. Além disso, não introduz variações significativas nas

distribuições de tensões, Vinagre [5], obtidas em análises não lineares quando se adoptam relações

constitutivas com patamares de rigidez nula. Saliente-se, no entanto, que este procedimento pode

conduzir a um aumento dos esforços resistentes da secção e, consequentemente, a um aumento da

capacidade resistente da estrutura em relação às hipóteses usuais de cálculo.

Adoptou-se para o ramo pós cedência um módulo de elasticidade igual a 1% do valor

adoptado no ramo inicial. O diagrama fica assim caracterizado pelos seguintes parâmetros:

– tensão de cedência ou tensão limite convencional de proporcionalidade a 0.2%;

– módulo de elasticidade do aço;

– módulo de elasticidade do aço após cedência ou módulo de endurecimento;

Figura 3.3: Diagrama bi-linear para o aço.



A relação constitutiva para o aço pode ser definida pela expressão:

(3.4)

onde é o módulo de Young do aço, considerado igual a 200 GPa e corresponde ao valor de

cálculo da tensão de cedência do aço.

São suficientes três parâmetros ( , , ) para definir o comportamento do aço das

armaduras. A resistência do aço para betão armado encontra-se indicada na tabela 3.2.

Para a verificação da segurança aos Estados Limites Últimos, a relação existente entre os

parâmetros indicados e os definidos na tabela 3.2 é dada pelas seguintes relações:

onde é o valor de cálculo da extensão correspondente à tensão de cedência do aço,

representa o valor de cálculo da tensão de cedência do aço, é o valor da extensão última e

corresponde ao factor de segurança parcial para o aço, igual a 1.15.

Tabela 3.2: Resistência das armaduras para betão armado.

Classe

[MPa]

[MPa]

(x10-3)

A235 235 205 1.025

A400 400 348 1.74

A500 500 435 2.175

CAPÍTULO 4 - ANÁLISE DE SECÇÕES


CAPÍTULO 4

ANÁLISE DE SECÇÕES

4.1. Introdução

O objectivo deste capítulo é a obtenção das relações esforços-deformações para uma

secção de betão armado em flexão composta plana (x, z) sem a consideração da deformação por

corte.

É adoptada uma formulação que permite simular um qualquer campo de extensões na

secção por meio de um número finito de parâmetros de deformação, como proposto por Freitas [6].

Os esforços que equilibram o campo de tensões na secção são definidos por forma a serem

energeticamente consistentes com os parâmetros de deformação. As relações

esforços-deformações são obtidas combinando as condições de compatibilidade e de equilíbrio,

assim definidas, com as relações constitutivas adoptadas para os materiais que compõem a secção.

Para a implementação do modelo admitem-se as seguintes hipóteses:

As secções planas inicialmente perpendiculares ao eixo da peça mantêm-se planas

após deformação e normais a esse mesmo eixo;

Existe compatibilidade entre as deformações das armaduras e do betão, ou seja,

considera-se que não existe escorregamento entre a armadura e o betão que a

envolve.

As secções de betão armado são definidas como a associação de um número finito de

elementos de betão e de aço, e estabelecem-se para cada uma delas as respectivas equações de

compatibilidade e de equilíbrio.

Com a introdução das relações constitutivas do betão e do aço, obtém-se uma relação não

linear entre esforços e deformações na secção. São definidos dois tipos possíveis de análise. O

primeiro corresponde à determinação dos esforços que surgem na secção quando se definem os

valores das deformações generalizadas. A este tipo de procedimento é usual chamar problema

directo. A sua aplicação permite a determinação, por exemplo, dos diagramas de interacção entre o

esforço normal e o momento flector ( , ).

O segundo tipo de análise, aqui designado por problema indirecto, permite a determinação

dos valores das deformações generalizadas na secção uma vez especificado o valor dos esforços

instalados. Para a resolução deste tipo de situação é necessário implementar um algoritmo de



resolução de problemas não-lineares. Utiliza-se neste trabalho o método de Newton-Raphson,

Freitas [7]. O método indirecto está na base da determinação dos diagramas momentos-curvatura

apresentados nesta dissertação.

No final deste capítulo são apresentados alguns exemplos de aplicação das metodologias

de análise acima referidas.

4.2. Definição das deformações e dos esforços

Considere-se a secção transversal de um elemento de barra, de geometria genérica,

submetida a um campo linear de deformações, tal como se encontra representado na figura 4.1.

Figura 4.1: Componentes de um campo linear de deformações.

Este campo de deformações, onde se despreza a deformação por corte, pode ser

decomposto em duas parcelas, referidas a um referencial ortogonal baricêntrico, (x, z): a rotação em

torno de y ( ), e a extensão axial no centro de gravidade ( ).

Assim, o estado de deformação da secção pode ser caracterizado pelos seguintes

parâmetros:

Sendo linear o campo de deformações, é possível obter a extensão de uma fibra genérica,

situada à distância z do centro de gravidade da secção.

O valor da extensão em cada ponto da secção é dado por:



(4.1)

ou, mais sinteticamente,

(4.2)

com

Na figura seguinte representa-se uma secção tipo de betão armado:

Figura 4.2: Secção tipo de betão armado.

Os esforços , associados às deformações generalizadas , são definidos por forma a

garantir que as grandezas discretas assim definidas realizem o mesmo trabalho que as grandezas

contínuas que pretendem representar. Pode então escrever-se:

(4.3)

Substituindo a igualdade (4.1) na equação (4.3) obtém-se:

(4.4)

em que representa a transposta da matriz de compatibilidade definida em (4.2) e

representa a área da secção transversal.



Analisando em detalhe a definição (4.4), facilmente se reconhece a definição do esforço

normal ( ) e do momento flector ( ), pelo que se poderá escrever:

4.3. Discretização da secção

Para uma dada secção de geometria irregular ou composta por diferentes materiais

estruturais, é usual discretizar a secção em elementos homogéneos e de geometria regular. Esta

discretização facilita a realização das integrações associadas à definição dos campos de esforços e

das componentes da matriz de rigidez da secção. Estas integrações são geralmente efectuadas com

recurso a técnicas de integração numérica. Nos modelos implementados neste trabalho, assume-se

sempre que a secção é simétrica em relação ao eixo z.

Considere-se agora uma secção em betão armado como, por exemplo, a representada na

figura 4.3.

A integração presente na definição (4.4) deve ser executada considerando separadamente

as zonas de betão e de aço, pois o campo de tensões apresenta, em geral, descontinuidades na

interface entre os dois materiais.

Figura 4.3: Discretização de uma secção de betão armado.



Discretize-se então a secção em níveis de armadura, tal como se encontra

representado na figura 4.3. Esta discretização em elementos pontuais corresponde a considerar que,

devido à sua pequena dimensão, o campo de tensões em cada elemento de aço é constante. A

resultante das tensões actuantes pode, assim, ser reduzida a uma única força, , aplicada no

centro do elemento, e de valor igual ao produto do valor da tensão média no elemento pela

respectiva área.

As zonas de betão são discretizadas em blocos rectangulares, escolhidos de

maneira a cobrir toda a área com o menor número possível de elementos, sendo o cálculo da

contribuição de cada zona para as características da secção efectuado com recurso a métodos de

integração numérica. Para o efeito, adoptou-se a fórmula de quadratura de Lobatto [8], a qual

apresenta a vantagem de controlar os pontos extremos do respectivo intervalo de integração. A sua

escolha torna fácil a verificação dos valores limites de extensões e de tensões na secção, os quais

ocorrem precisamente nessas fibras. Evita-se, assim, o cálculo dos resultados na fronteira a partir da

extrapolação dos valores obtidos nos pontos de integração, características do método de Gauss.

Como posteriormente se poderá verificar, a dimensão dos elementos de betão não é condicionante

para a obtenção de uma boa solução para a resposta da secção.

Em cada uma das regiões elementares em que a secção é discretizada, é válida a equação

de compatibilidade (4.1), sendo z a distância de uma fibra genérica dessa região ao centro de

gravidade da secção. Relativamente às camadas de armadura, dado serem consideradas pontuais,

é somente necessário estabelecer a sua extensão média, a qual é obtida a partir da mesma

equação.

Para facilitar o processo de integração numérica da equação (4.4), admite-se neste trabalho

que os elementos de betão são rectangulares, de lados paralelos a um referencial baricêntrico (y, z)

(ver figura 4.2). A incorporação de técnicas como as utilizadas nos elementos isoparamétricos, tal

como proposto por Pereira [1], permite ultrapassar esta simplificação, se assim se desejar.

4.4. Condições de compatibilidade e de equilíbrio

As condições de compatibilidade e de equilibro de uma secção de betão armado são

estabelecidas considerando-se a discretização definida anteriormente para as armaduras e para o

betão.

Para garantir a continuidade da secção, é agora necessário estabelecer uma relação entre

as componentes de deformação de cada um dos blocos de betão considerados e de cada um dos

níveis de armadura existentes com as componentes de deformação da secção. As deformações



ao nível de cada elemento, podem ser relacionadas com as deformações na secção, , através de

uma relação de incidência. Para cada um dos blocos de betão é possível escrever:

(4.5)

ou, de forma equivalente,

(4.6)

onde e representam a extensão axial e a curvatura medidas em relação ao centro de

gravidade do bloco , e correspondem à extensão axial e à curvatura definidas para a

secção transversal e é a distância entre o centro de gravidade do bloco i e o centro de

gravidade da secção.

A relação (4.6) pode ser estabelecida com facilidade se se tiver em consideração a

informação apresentada na figura 4.4.

Figura 4.4: Relação entre as deformações da secção e as deformações dos elementos .

A equação de compatibilidade para cada um dos blocos de betão pode agora ser escrita

na forma:

(4.7)



onde corresponde ao referencial local associado a esse mesmo bloco. Tendo em conta a

expressão (4.6) vem:

(4.8)

Para se determinar a distribuição de tensões em cada um dos blocos, é necessário ter em

conta a relação constitutiva para o betão:

(4.9)

A cada elemento está agora associado um conjunto de esforços, , que se torna necessário

relacionar com os esforços na secção, . Os esforços ao nível de cada bloco são dadas por:

(4.10)

Sendo a secção simétrica em relação ao eixo z, as equações anteriores simplificam-se,

sendo possível obter:

(4.11)

Substituindo a equação (4.9) em (4.10) e (4.11) vem:

(4.12)

Os esforços totais na secção devido à contribuição de vários blocos de betão armado

podem ser obtidos através das igualdades:



(4.13)

ou, na forma matricial,

(4.14)

Verifica-se que a expressão (4.13) define as resultantes de esforços que, a nível da

secção, são estaticamente equivalentes aos esforços instalados nos elementos em que a secção

foi decomposta.

As equações em (4.13) podem ser obtidas com facilidade se se tiver em conta a

informação apresentada na figura 4.5.

Figura 4.5: Relação entre os esforços da secção e os esforços definidos ao nível dos elementos.

Considera-se agora a contribuição de cada um dos níveis de armadura definidos.

Assume-se que a área da secção transversal de cada varão é tão pequena (quando comparada

com a área total da secção) que se considera que a extensão axial é constante e igual ao valor



calculado ao nível do centro de gravidade desse mesmo varão. Pode escrever-se então para

cada nível:

(4.15)

onde corresponde à distância entre o centro de gravidade da secção e o centro de

gravidade dos varões existentes no nível considerado.

O cálculo do esforço normal associado a cada nível de armadura passa pela aplicação

das seguintes igualdades

(4.16)

onde denota a relação constitutiva assumida para o aço.

A contribuição dos níveis de armadura para os esforços na secção é dada por:

(4.17)

Considerando agora a contribuição conjunta dos blocos de betão e dos níveis de

armadura, os esforços na secção transversal são definidos através da igualdade:

(4.18)

4.5. Matriz de rigidez da secção

Para se determinar a matriz de rigidez da secção transversal, deve obter-se primeiro a

contribuição de cada um dos blocos de betão e de cada um dos níveis de armaduras.

Comece-se pelos blocos de betão. Recorde-se que para o bloco se definem os

esforços através das expressões (4.11). A matriz de rigidez correspondente é definida por:

Resolvendo cada um dos termos da matriz tem-se:



Tendo em conta as igualdades anteriores, a matriz de rigidez para cada bloco de betão

assume a seguinte forma:

(4.19)

Para cada um dos níveis de armadura é possível estabelecer:

(4.20)

A matriz de rigidez de secção pode agora ser expressa na seguinte forma:

(4.21)

4.6. Problemas fundamentais

Na análise de uma secção de betão armado podem ser considerados os seguintes dois

tipos de problemas:

Problema directo: dado um campo de deformações, calcular os esforços instalados na

secção;

Problema indirecto: dado um campo de esforços, determinar as deformações instaladas

na secção.



4.6.1. Problema directo

O problema da determinação dos esforços para um dado estado de deformação não

apresenta especial dificuldade, bastando, para tal, calcular o valor de em função do valor dado

para , utilizando as equações (4.18) na sequência apropriada.

O algoritmo associado à resolução do problema directo pode ser resumido nos seguintes

passos:

1. Definir o vector das deformações, ;

2. Discretizar a secção, e caracterizar as propriedades geométricas e mecânicas de cada

elemento;

3. Inicializar o vector dos esforços, ;

4. Para cada bloco de betão armado:

i) Determinar as deformações ao nível do bloco, através da aplicação da equação

(4.6);

ii) Determinar os esforços , recorrendo à definição (4.12);

5. Para cada nível de armadura:

i) Determinar a extensão no centro de gravidade da armadura aplicando (4.15);

ii) Determinar o esforço normal na armadura, , através da definição (4.16);

6. Determinar os esforços na secção somando a contribuição de cada bloco de betão e de

cada nível de armadura através da aplicação da equação (4.18).

O método directo é utilizado neste trabalho para se efectuar a determinação dos

diagramas de interacção, tal como se encontra discutido de forma detalhada na secção 4.8.

4.6.2. Problema indirecto

Tendo em conta a não-linearidade das relações constitutivas, a resolução do problema

indirecto requer a utilização de um algoritmo iterativo, tendo sido implementado neste trabalho o

método de Newton-Raphson, Vinagre [5] e Freitas [7]. A utilização deste método poderá permitir

uma maior rapidez de cálculo, embora seja necessário implementar um processo iterativo para

cada um dos passos de carga. O algoritmo do método de Newton-Raphson resume-se a efectuar

recursivamente estimativas lineares definidas recorrendo às primeiras derivadas das relações

fundamentais do modelo, de forma a eliminar os erros (resíduos) inerentes ao facto das

estimativas serem lineares e obter desta forma a solução para o incremento de carga.



e

SIM

NÃO

DETERMINAR

RESOLVER

ACTUALIZAR

RECALCULAR

ARBITRAR [ ]

DETERMINAR

Figura 4.6: Algoritmo utilizado na resolução do problema indirecto.

Na figura 4.6 apresenta-se de forma esquemática o algoritmo utilizado na resolução do

problema indirecto. No esquema apresentado, os valores especificados para os esforços na

secção são representados por e . Os esforços calculados com base no valor actual para as

deformações, e , são designados por e . Para a determinação destes esforços é



utilizado o método directo, tal como apresentado na secção anterior. O procedimento iterativo

apresentado baseia-se na correcção sucessiva para os valores das deformações, até que os

valores dos resíduos, definidos por e por , sejam inferiores

a uma dada tolerância, previamente fixada. Em cada uma das iterações, a correcção para o valor

das deformações, e , é determinado através da aplicação do método de Newton-Raphson,

Vinagre [5] e Freitas [7]. Para tal, resolve-se um sistema de equações onde a matriz dos

coeficientes corresponde à matriz de rigidez da secção e o vector dos termos independentes é dado

pelos resíduos determinados através do procedimento descrito no parágrafo anterior. O problema

inverso é utilizado na secção 4.7 para se efectuar o traçado de diagramas momentos-curvatura para

secções de betão armado. Tal como se discutirá no capítulo 5, o algoritmo associado à resolução do

problema indirecto é essencial para a implementação do modelo híbrido de tensão para a análise

fisicamente não-linear de pórticos planos de betão armado.

4.7. Diagrama momentos-curvaturas

Para se obter a relação momentos-curvaturas de uma secção é necessário fixar o valor do

esforço normal ( ). Depois, incrementa-se o valor do momento flector desde um valor inicial nulo

até um valor para o qual se tenha uma deformação de 10 numa das armaduras ou uma

deformação por compressão de 3,5 numa das fibras de betão. Para cada par de esforços, ,

as deformações são determinadas através da aplicação do algoritmo não-linear associado à

resolução do problema indirecto. Conhecidas a extensão axial e a curvatura, as extensões nas

armaduras e nas fibras de betão são determinadas a partir da aplicação da equação (4.1).

O algoritmo utilizado na determinação do diagrama momentos-curvaturas para uma dada

secção pode ser resumido nos seguintes passos:

1. Fixar o valor do esforço normal, ;

2. Inicializar o valor para o momento flector, ;

3. Determinar os valores para as deformações correspondentes a e ;

4. Enquanto se verificar a condição :

i) Fazer

ii) Determinar os valores de correspondentes ao valor de e ;

iii) Cálculo do valor de e , recorrendo às expressões (4.8) e (4.15);

iv) Guardar o par de valores .

5. Desenhar o gráfico.



4.8. Diagrama de interacção

A verificação da segurança em relação ao Estado Limite Último de Resistência das secções

transversais de elementos em betão armado baseia-se na comparação dos valores de cálculo dos

esforços actuantes com os valores de cálculo dos esforços resistentes. Estes são determinados

com base em relações constitutivas de cálculo, para as quais são indicadas no EC2 [15] as

seguintes hipóteses:

Diagrama parábola-rectângulo para o betão comprimido;

Resistência do betão à tracção nula;

Diagrama bi-linear para as armaduras, igual em tracção e em compressão.

As situações de Estados Limites Últimos de Resistência são definidas com base em limites

de extensão para o betão e para as armaduras. Com base nas extensões máximas para o betão e

armaduras, podem ser definidas 4 zonas com diagramas associados à rotura.

Figura 4.7: Diagrama de deformação na rotura.

Segundo EC2 essas zonas são descritas pelas seguintes condições limites:

Zona 1 – O estado limite é definida pela extensão máxima na armadura, , e por a

secção estar totalmente traccionada (tracção com pequena excentricidade);

Zona 2 – O estado limite é definida pela extensão máxima na armadura, , e por

extensões de encurtamento no betão (em valor absoluto). A linha neutra está

h d

3/7hM

N

10‰0-2‰-3.5‰

1

2

3

4As



entre a fibra mais comprimida da secção e a fibra à profundidade de

(tracção e compressão com grande ou média excentricidade);

Zona 3 – O estado limite é definida pela extensão máxima no betão, , e por a

linha neutra estar entre a fibra mais traccionada na secção e a fibra à profundidade de

0.259d (tracção e compressão com grande ou média excentricidade);

Zona 4 – O estado limite é definido pela extensão máxima no betão, ,

e por na fibra à profundidade de . A secção está

totalmente comprimida (compressão com pequena excentricidade).

Com base nos diagramas de cálculo do betão e das armaduras, obtêm-se para um

campo de deformações genérico os esforços correspondentes. O varrimento completo das

quatro zonas atrás descritas permite definir a curva de interacção associada aos Estados

Limites Últimos de Resistência de uma secção genérica, Virtuoso et al. [10].

4.9. Exemplos de aplicação

Nesta secção pretende-se ilustrar a aplicação dos algoritmos associados à resolução dos

problemas directo e indirecto. Para o efeito, é efectuado o traçado dos diagramas

momentos-curvaturas e dos diagramas de interacção para duas secções de betão armado. Os

algoritmos foram implementados em MATLAB [9]. Nos exemplos apresentados, os valores para o

momento flector estão referidos ao centro de gravidade da secção de betão e apenas são

consideradas curvaturas não negativas.

No primeiro problema analisa-se o comportamento de uma secção rectangular de betão

com dois níveis de armadura. É efectuado o traçado dos diagramas momentos-curvaturas para dois

valores diferentes de esforço axial. O mesmo exemplo é utilizado para se estudar a influência do

número de pontos de Lobatto considerados na definição das integrações numéricas. Numa primeira

fase, a discretização da secção considera apenas um bloco de betão. Esta opção equivale a que

sejam considerados dez pontos de Lobatto nas integrações definidas sobre a secção. Numa fase

posterior, é considerada uma discretização envolvendo a utilização de 20 blocos de betão. Esta

opção conduz à utilização de duzentos pontos de Lobatto na definição das várias integrações. Os

resultados obtidos com as duas discretizações são comparados entre si.

Depois de estudada a influência que o número de pontos de integração pode ter,

verificam-se quais as diferenças que podem existir caso se considere o diagrama

parábola-rectângulo ou o diagrama parabólico para modelar o comportamento fisicamente



não-linear do betão. Os resultados obtidos são ainda comparados com os resultados apresentados

num relatório ICIST, Virtuoso et al. [10]. Neste relatório, é utilizada uma lei de comportamento

semelhante à que é definida no caso do diagrama hiperbólico.

A análise da secção rectangular de betão armado termina com a obtenção dos diagramas

de interacção. Também aqui se estuda a influência do número de pontos de integração

considerados e do tipo de relação constitutiva assumida para o betão. As curvas obtidas são

comparadas com os diagramas apresentados no relatório ICIST acima referido, Virtuoso et al. [10].

A análise de uma secção em T com dois níveis de armadura é o objecto de estudo do

segundo problema apresentado. Este exemplo tem por finalidade ilustrar a aplicação das

metodologias apresentadas no estudo de uma secção de geometria mais complexa.

4.9.1. Análise de uma secção rectangular de betão armado sujeita à flexão

Considere-se a secção rectangular representada na figura 4.8. São definidas duas

discretizações diferentes: na primeira considera-se apenas um bloco de betão, enquanto que na

segunda se assume que a secção se encontra subdividida em vinte blocos. Como no modelo de

cálculo implementado se considera sempre a existência de dez pontos de Lobatto por bloco de

betão, na primeira e segunda discretização considera-se um total de dez e duzentos pontos de

integração respectivamente. Nas duas discretizações consideram-se dois níveis de armadura.

Figura 4.8: Definição da secção transversal e das propriedades dos materiais.

As2=6.28 cm2

As1=14.57 cm2

y

z

CG

0.3

0.3

0.15 0.15(m)

0.0

40.0

4



Para o betão e aço constituintes da secção rectangular foram considerados as seguintes

características:

A escolha destas propriedades para o betão e para o aço teve como objectivo facilitar a

comparação da solução calculada com os resultados obtidos por Virtuoso et al. [10].

Na figura 4.9 apresentam-se os diagramas momentos-curvaturas obtidos para dois

níveis diferentes de esforço axial, e . Para ambos os casos foram

consideradas as discretizações considerando um e vinte blocos. Na modelação do comportamento

do betão foi neste caso considerado o diagrama parábola-rectângulo.

Diagrama (Parábola-Rectângulo)

Figura 4.9: Comparação de resultados obtidos com diferentes discretizações.

A análise dos gráficos apresentados na figura 4.9 permite verificar que a consideração de

dez pontos de Lobatto (discretização com apenas um bloco) permite já obter resultados bastante

precisos. Tal como seria de esperar, a figura 4.9 mostra que existe uma diferença importante no



comportamento da secção quando se considera a existência de um esforço axial de compressão de

valor significativo.

Na figura 4.10 comparam-se os resultados obtidos com os diagramas que se encontram

apresentados no relatório ICIST, Virtuoso et al. [10].

Os resultados são praticamente coincidentes para o caso em que não se considera a

existência de esforço axial. Para a situação em que se impõe , verifica-se uma

diferença entre as duas curvas.

Esta diferença pode ser justificada se se tiver em consideração que nos resultados

referentes ao modelo que se encontra a ser testado se utiliza o diagrama parábola-rectângulo e que

no caso do relatório ICIST se utiliza uma relação constitutiva do tipo hiperbólico.

Diagrama

Figura 4.10: Comparação dos diagramas com os resultados apresentados em Virtuoso et al. [10].

Esta ideia é confirmada pela análise dos gráficos apresentados na figura 4.11, onde se

apresentam os diagramas para os dois níveis de esfoço axial considerados e utilizando os

diagramas parábola-rectângulo (P-Rect) e hiperbólico (Hiperb).



Diagrama

Figura 4.11: Comparação das curvas obtidas considerando os diagramas parábola-rectângulo e hiperbólico.

Verifica-se de novo que para o caso em que o esforço axial é nulo se verifica uma quase

coincidência das duas curvas. No caso em que se assume a existência de um esforço de

compressão significativo, os gráficos já diferem.

A comparação dos gráficos apresentados nas figuras 4.10 e 4.11 permite verificar que os

diagramas obtidos considerando o diagrama hiperbólico são semelhantes aos que foram

obtidos no relatório ICIST.

Na figura 4.12 apresentam-se os diagramas de interacção obtidos com as discretizações

envolvendo a consideração de um e vinte blocos de betão. Mais uma vez, os resultados são

praticamente coincidentes, o que indica que a consideração de dez pontos de Lobatto permite obter

soluções com elevado grau de precisão. Na construção dos diagramas apresentados na figura 4.12

considerou-se o diagrama parábola-rectângulo na definição do comportamento fisicamente

não-linear do betão.



Diagrama de interacção (Parábola-Rectângulo)

Figura 4.12: Diagrama de interacção (Curvaturas positivas).

Diagrama de interação

Figura 4.13: Diagramas de interacção ; comparação com resultados obtidos.

Na figura 4.13 comparam-se as curvas de interacção correspondentes à utilização

dos diagramas parábola-rectângulo e hiperbólico. A curva obtida quando se considera este último é

coincidente com o diagrama de interacção apresentado no relatório, Virtuoso et al. [10].



4.9.2. Análise de uma secção em T

Considere-se a secção em T representada na figura 4.14. Na discretização desta secção

foram considerados trinta blocos de betão e dois níveis de armadura.

Para os materiais estruturais constituintes foram consideradas características semelhantes

às consideradas no exemplo anterior:

Figura 4.14: Definição da secção transversal em T.

Nas figuras 4.15 e 4.16 apresentam-se os diagramas de interacção obtidos com os

modelos hiperbólico e parábola-rectângulo, respectivamente.



Diagrama de interacção (Hiperbólico)

Figura 4.15: Secção em T; diagrama de interacção para o modelo hiperbólico.

Diagrama de interacção (Parábola-Rectângulo)

Figura 4.16: Secção em T; diagrama de interacção para o modelo parábola-rectângulo.

Na figura 4.17 apresenta-se o diagrama obtido quando se considera o modelo

hiperbólico para caracterizar o comportamento do betão. São contabilizadas duas situações

alternativas. Na primeira (gráfico apresentado a vermelho) não se considera qualquer rigidez no

segundo troço do diagrama bi-linear utilizado para caracterizar o comportamento do aço. Na



segunda (gráfico a azul), é considerada uma rigidez para o segundo troço igual a 1% da rigidez

elástica inicial. Considera-se em ambos os casos que .

Diagrama (Hiperbólico)

Figura 4.17: Secção em T; diagrama para o modelo hiperbólico.

Diagrama Parábola-Rectângulo)

Figura 4.18: Secção em T; diagrama para o modelo parábola-rectângulo.



Na figura 4.18 repete-se o mesmo tipo de informação disponibilizada nos gráficos

apresentados na figura 4.17. No entanto, considera-se agora que o comportamento do betão é

caracterizado pelo modelo parábola-rectângulo.

CAPÍTULO 5 - MODELO HÍBRIDO DE TENSÃO


CAPÍTULO 5

MODELO HÍBRIDO DE TENSÃO

5.1. Introdução

Os fenómenos físicos subjacentes a muitos problemas estruturais de engenharia são

descritos por equações, algébricas e diferenciais, que relacionam as diversas variáveis em jogo.

Para situações mais complexas, como é a maioria das que se encontram em problemas de

engenharia, é necessário recorrer a métodos conducentes a soluções aproximadas, mas que

garantam rigor suficiente para a aplicação em vista. Presentemente, os métodos numéricos são os

mais utilizados, os quais apresentam grande generalidade e versatilidade.

Os métodos numéricos permitem obter soluções aproximadas de problemas de valores de

fronteira com base numa discretização do problema. Esta discretização consiste na divisão do

domínio em domínios elementares. No interior de cada elemento, admite-se uma aproximação das

variáveis do problema por funções relativamente simples. Com base nesta aproximação, o

andamento das variáveis no interior de cada elemento pode ser definido pelos valores que as

variáveis (ou, por vezes, as suas derivadas) assumem em certos pontos particulares, os pontos

nodais do elemento. Deste modo, o problema teórico, envolvendo um meio contínuo, é

transformado através do método numérico num problema discreto, em que a solução aproximada,

para todo o domínio, é definida por um número finito de parâmetros, que correspondem aos valores

das variáveis nos pontos nodais. Estas variáveis nodais são as incógnitas do problema discreto. A

sua determinação requer um critério que permita definir qual a melhor solução numérica de entre as

várias soluções possíveis para uma dada discretização. Este passo consiste na aplicação de

métodos variacionais ou do método dos resíduos pesados, e conduz a um sistema de equações

algébricas lineares, em que as incógnitas são as variáveis nodais. A escolha do número de pontos

nodais, e do número de elementos, depende do grau de precisão pretendido. Um maior número de

elementos de pequenas dimensões, conduz a uma solução numérica mais próxima da solução

exacta.

Neste capítulo é apresentado o modelo de elementos finitos que foi seguido neste trabalho

para efectuar as análises fisicamente não-lineares de pórticos planos de betão armado. É utilizada

uma formulação híbrida de tensão, a qual apresenta como principal vantagem o facto de garantir

que a solução obtida satisfaz localmente todas as condições de equilíbrio, tanto no domínio quanto

na fronteira. O teorema estático da análise plástica limite permite então estabelecer que o

dimensionamento efectuado com base nos resultados obtidos está do lado da segurança.



Nos modelos híbridos de tensão, são aproximados os campos de esforços no domínio de

cada elemento e os campos de deslocamentos na fronteira estática. Sendo um modelo de tensão, a

fronteira inter-elementos é tratada como sendo uma fronteira estática ( ), ao longo da qual se

impõe de forma ponderada as condições de equilíbrio. A formulação híbrida de tensão é

desenvolvida por forma a ser possível assegurar que no modelo discreto se preservam a dualidade

estática-cinemática e a reciprocidade das relações constitutivas.

5.2.Definição da aproximação

5.2.1.Aproximação no domínio

A aproximação do campo de esforços no domínio pode ser escrita na forma:

(5.1)

onde na matriz se listam as funções de aproximação e representa o vector dos esforços

independentes. As funções de aproximação listadas em devem ser escolhidas de modo a

satisfazerem localmente as condições de equilíbrio no domínio quando não se consideram

quaisquer carregamentos (definem campos de esforços auto-equilibrados). Devem desta forma

verificar a condição

A parcela particular representa uma distribuição de esforços que equilibra o conjunto de

cargas aplicadas no domínio, , independentemente das condições de fronteira. Esta solução é

obtida substituindo a equação (5.1) nas condições de equilíbrio expressas em (2.1). Obtém-se:

(5.2)

As componentes do vector correspondem às distribuições de esforços que equilibram o

carregamento de domínio quando se consideram nulos todos os esforços independentes.

Para um elemento de barra pertencente a um pórtico plano, a matriz é dada por:

onde L representa o comprimento do eixo do elemento.



Para as funções de aproximação acima definidas, o vector dos esforços independentes

toma o seguinte aspecto,

onde se reúne o valor do momento flector nas secções inicial e final da barra e o valor do esforço

normal na secção final.

5.2.2.Aproximação na fronteira

A aproximação do campo de deslocamento na fronteira estática é definida da seguinte

forma:

(5.3)

onde na matriz se reúnem as funções de aproximação dos deslocamentos na fronteira estática

e o vector lista os pesos das funções de aproximação.

Como no caso das peças lineares as fronteiras se reduzem a pontos, as matrizes

envolvidas na aproximação dos deslocamentos na fronteira coincidem com a matriz identidade.

No vector listam-se os valores dos deslocamentos nos nós inicial e final da barra, tal

como se encontram identificados na figura 2.3.

As restantes variáveis generalizadas em função das quais se descreve o comportamento

do modelo discreto são definidas de modo a serem energeticamente consistentes com as variáveis

contínuas que aproximam. Obtêm-se assim, Pereira [1]:



deformações independentes generalizadas,

(5.4)

forças generalizadas na fronteira estática,

(5.5)

5.3.Condições de compatibilidade

As condições de compatibilidade são imposta de forma ponderada, sendo utilizadas como

funções de ponderação as funções de aproximação dos esforços no domínio. Tem-se:

(5.6)

A integração por partes do segundo membro da equação (5.6) conduz a:

(5.7)

Substituindo na igualdade anterior as condições de compatibilidade na fronteira cinemática,

(2.5), e a aproximação para o campo de deslocamentos ao longo da fronteira estática, (5.3), e tendo

finalmente em consideração a definição das deformações independentes, (5.4), obtém-se a

condição de compatibilidade no modelo discreto:

(5.8)

sendo os operadores e definido pelas igualdades, Freitas [8] e Castro[11]:

e



Tendo em conta as definições apresentadas anteriormente para as matrizes de

aproximação e e para o operador N é possível obter:

Para um elemento de barra com uma inclinação genérica, , e tal como se encontra

representado na figura 5.1, é necessário redefinir a condição de compatibilidade tendo em conta a

mudança de referencial associada à transformação do sistema de eixos local no sistema de eixos

global. É possível escrever:

Figura 5.1: Deslocamentos nos referenciais globais e local para uma barra inclinada.

(5.9)

com a matriz de transformação, T, dada por:



onde c = cos( ) e s = sen( ). O vector lista o valor dos deslocamentos nodais expressos no

referencial global da estrutura.

Substituindo (5.9) em (5.8) é possível obter a nova equação de compatibilidade no modelo

discreto. Tem-se:

(5.10)

5.4.Condições de equilíbrio

A condição de equilíbrio na fronteira estática (2.2) é imposta ponderadamente, utilizando-se

como funções de peso as funções de aproximação dos deslocamentos na fronteira, (5.3). Assim:

(5.11)

As condições de equilíbrio no modelo discreto, (5.12), são obtidas substituindo a

aproximação definida para o campo de esforços (5.1) na equação (5.11). Obtém-se, Castro [11]:

(5.12)

com

Tal como no caso das condições de compatibilidade, torna-se necessário reformular as

condições de equilíbrio para ser possível relacionar os esforços independentes num determinado

elemento de barra com as forças nodais expressas no referencial global.



Figura 5.2: Representação das forças nodais nos referenciais global e local para uma barra inclinada.

Na figura 5.2, apresentam-se as forças nodais expressas nos referenciais global e local. A

análise desta figura permite escrever:

(5.13)

Substituindo (5.13) em (5.12), obtém-se a equação de equilíbrio expressa no referencial

global:

(5.14)

5.5.Relações constitutivas

5.5.1.Comportamento elástico linear

A imposição ponderada das relações constitutivas, escritas no formato de flexibilidade,

permite escrever:



(5.15)

As relações de elasticidade no modelo discreto podem ser obtidas substituindo em (5.15) a

aproximação definida para o campo de esforços no domínio de cada elemento. Obtém-se:

(5.16)

com:

e

5.5.2.Comportamento elástico não-linear

Se o material apresentar um comportamento fisicamente não-linear, a relação constitutiva

no modelo discreto vem expressa na forma:

(5.17)

onde o operador de flexibilidade depende do valor dos esforços instalados em cada secção.

5.6.Sistema governativo

5.6.1.Comportamento elástico linear

O sistema governativo de cada elemento para o modelo híbrido de tensão, (5.18), é obtido

através da combinação das condições de equilíbrio na fronteira (5.14), de compatibilidade (5.10) e

relação constitutiva (5.16). Obtém-se

(5.18)



Para uma estrutura discretizada em elementos de barra, o sistema governativo (5.18)

global pode ser obtido através da utilização dos procedimentos descritos de forma detalhada em

Pereira [1].

5.6.2.Comportamento elástico não-linear

No caso em que o comportamento do material é não-linear, é possível reescrever o sistema

(5.18) no formato (5.19).

(5.19)

Para resolver o sistema não-linear de equações (5.19), pode utilizar-se o método de

Newton-Raphson, Tiago et al.[12]. De acordo com (5.19), o vector dos resíduos na iteração i do

passo de carga j é dado por:

(5.20)

O cálculo do integral é efectuado com recurso a integração numérica. Para se

determinar o valor do vector das deformações em cada uma das secções envolvidas nesse

cálculo numérico, é necessário aplicar o método inverso, descrito em detalhe no capítulo dedicado à

análise de secções. Para este efeito, devem calcular-se primeiro os esforços na secção em causa,

tendo em atenção os valores para os esforços independentes e utilizando a aproximação

definida em (5.1).

A correcção a introduzir a cada uma das grandezas, e , é determinada a partir da

resolução do sistema:

(5.21)



As derivadas envolvidas na definição dos incrementos dos esforços independentes e dos

deslocamentos nodais são dadas por:

É possível demonstrar que:

(5.22)

Substituindo a expressão (5.22) na equação (5.21) obtém-se:

(5.23)

ou, ainda,

(5.24)

com:

O cálculo do operador implica de novo a utilização de um algoritmo de integração

numérica. No modelo implementado neste trabalho foi utilizada a regra de quadratura de Lobatto,

Pereira [1], tal como na análise da secção.

Na determinação da matriz de rigidez de cada secção, , é de novo necessário utilizar o

método indirecto descrito no capítulo 4.



O valor das grandezas discretas na iteração é dada por:

(5.25)

O algoritmo adoptado para a resolução do sistema de equações não-linear pode ser

resumido nos seguintes passos:

1. Considera-se que no início de cada passo de carga , as variáveis tomam o valor final do

passo de carga anterior:

2. Tendo determinar:

3. Cálculo dos resíduos

4. Cálculo da matriz de flexibilidade:

5. Cálculo dos incrementos para os esforços independentes, , e para os deslocamentos

nodais,

6. Cálculo do novo valor para e :

7. Caso o valor dos resíduos seja superior a uma determinada tolerância, voltar ao passo 2.

Para o modelo híbrido de tensão foi desenvolvido programa de cálculo automático para a

análise fisicamente não linear de pórticos de betão armado. Este programa foi implementado no

ambiente MATLAB [9]. A estrutura do programa é caracteriza definindo as coordenadas dos nós, as



suas condições de apoio e incidência dos elementos de barra. Em anexo descreve-se de forma

sucinta a organização do programa de cálculo automático desenvolvido.

CAPÍTULO 6 - EXEMPLOS DE APLICAÇÃO


CAPÍTULO 6

EXEMPLOS DE APLICAÇÃO

6.1. Introdução

Neste capítulo são apresentados e discutidos alguns exemplos de aplicação do modelo de

elementos finitos para a análise de pórticos planos de betão armado desenvolvido neste trabalho.

No primeiro exemplo analisa-se um pórtico plano considerando um comportamento elástico

linear para os materiais estruturais. Os resultados obtidos foram validados através da sua

comparação com a solução fornecida pelo programa FTOOL [13].

O segundo exemplo apresentado corresponde à análise fisicamente não-linear de uma viga

biencastrada.

Posteriormente foi efectuada a análise de um pórtico plano sujeito a uma carga

uniformemente distribuída e uma força horizontal aplicada ao nível da viga. Os resultados obtidos

foram comparados com a solução obtida com recurso ao programa ATENA [14].

Apresenta-se por fim a análise de uma estrutura mais complexa, submetida à acção de uma

carga uniforme e duas forças concentradas.



6.2. Análise elástica linear

Neste problema, pretende-se obter os diagramas de esforços da estrutura, de modo a

compará-los com os valores alcançados com o programa FTOOL numa análise elástica linear.

Analisa-se um pórtico encastrado apoiado sujeito à acção de uma carga uniformemente

distribuída, tal como se encontra ilustrado na figura 6.1. Considera-se que a secção é constante em

toda a estrutura e assume-se para o material um comportamento elástico linear.

Carga distribuída

Figura 6.1: Pórtico encastrado apoiado.

Na figura 6.2 apresentam-se os diagramas de esforços obtidos com o programa FTOOL e

com o modelo híbrido de tensão aqui discutido. É possível verificar que as soluções obtidas são

coincidentes.

No diagrama de momentos flectores, o valor apresentado no vão da viga corresponde ao

momento máximo no caso do programa FTOOL, enquanto que no caso do modelo híbrido de tensão

corresponde ao valor do momento flector a meio-vão.

p

3

4(m) z

CG

0.1

50.1

5

0.15 0.15(m)

y



FTOOL MODELO HÍBRIDO DE TENSÃO

Esforço Normal (kN)

Esforço Normal (kN)

Esforço Transverso (kN)

Esforço Transverso (kN)

Momento Flector (kN.m)

Momento Flector (kN.m)

Figura 6.2: Comparação dos resultados FTOOL vs modelo híbrido de tensão.



6.3. Análise não linear de uma viga bi-encastrada

Neste exemplo é analisada a viga contínua biencastrada representada na figura 6.3. Esta

viga tem um comprimento de 3m, e está sujeita à acção de uma carga uniformemente distribuída. A

sua secção transversal é rectangular e tem uma área de mm2. Apresenta dois níveis de

armadura, ambos constituídos por dois varões .

Com este problema, pretende-se comparar os diagramas carga-deslocamento para

diferentes discretizações da estrutura e efectuar uma comparação entre o diagrama elástico e o

diagrama proveniente de uma análise não linear.

Carga uniformemente distribuída

Figura 6.3: Viga contínua biencastrada.

Para os materiais estruturais foram consideradas as propriedades apresentadas na tabela

6.1. Na modelação do comportamento do betão considerou-se o diagrama parábola-rectângulo.

Betão Aço

Tabela 6.1: Propriedades dos materiais na análise da viga contínua biencastrada.

Nós da estrutura3

p

2ϕ16

● ●

y

z

CG

0.1

50.1

5

0.15 0.15(m)

0.0

40.0

4

● ●

2ϕ16

(m)



Tendo em conta os dados anteriores, apresenta-se de seguida a evolução da flecha a

meio-vão por aplicação de um carregamento p = 117 kN/m para as diferentes discretizações

apresentadas na tabela 6.2.

Discretização Elementos de barra

Secção Pontos de Lobatto

Passos de carga

(I) 20 6 Blocos 60 200

(II) 20 2 Blocos 20

200 6 Blocos 60

(III) 2

6 Blocos 60 50

20 200

Tabela 6.2: Discretizações utilizadas para a análise da viga contínua biencastrada.

Nos diagramas carga-deslocamento apresentados na figura 6.4, é comparada a solução

elástica linear com a que é obtida com uma análise fisicamente não linear usando a discretização (I)

definida na tabela 6.2. Como seria de esperar, o declive no diagrama elástico linear é maior que no

caso elástico não linear, o que se justifica pela não consideração da perda de rigidez para o

comportamento elástico linear.

Diagrama carga-deslocamento

Figura 6.4: Diagrama carga-deslocamento para comportamento linear e não linear.

Na figura 6.5 comparam-se os diagramas carga-deslocamento obtidos quando se utiliza a

discretização (II), considerando as secções discretizadas num número diferente de blocos.

0

20

40

60

80

100

120

140

0 0,002 0,004 0,006 0,008 0,01 0,012

p [

kN]

d [m]

Elástico não Linear

Elástico Linear




Figura 6.5: Diagrama cargas-deslocamentos para o modelo parábola-rectângulo.

Confrontando os dois resultados obtidos verifica-se que os valores são bastante

aproximados. Neste sentido, reforça-se a ideia de que a consideração de um número grande de

blocos na definição das secções de betão não é necessária, sendo possível obter resultados

precisos com discretizações envolvendo um número pequeno de blocos.

Na figura 6.6 apresentam-se os diagramas carga-deslocamento obtidos com as duas

discretizações (III) apresentadas na tabela 6.2. A primeira considera 20 elementos de barra e a

segunda apenas dois.

A análise dos gráficos apresentados na figura 6.6 permite verificar que as duas soluções são

muito semelhantes. Desta forma, é possível concluir que o modelo híbrido de tensão desenvolvido

permite obter soluções adequadas, mesmo considerando discretizações envolvendo um número de

elementos bastante reduzido. É de salientar no entanto que a viga em estudo tem apenas 3m de

comprimento.

Se o vão da barra fosse de maior dimensão, é natural que um maior número de elementos

fosse necessário para assegurar o mesmo nível de precisão.

0

20

40

60

80

100

120

140

0 0,005 0,01 0,015

p [

kN]

d [m]

2 Blocos

6 Blocos




Figura 6.6: Diagramas carga-deslocamento obtidos para discretizações com 2 e 20 elementos de barra.

6.4. Análise não linear de um pórtico rectangular plano

Este caso de estudo corresponde à simulação do comportamento de um pórtico plano

rectangular biencastrado, sujeito à acção de uma carga uniformemente distribuída e de uma força

horizontal concentrada aplicada ao nível da viga, tal como se encontra representado na figura 6.7.

O principal objectivo desta análise consiste em comparar os resultados obtidos com o

modelo híbrido de tensão apresentado nesta dissertação com a solução obtida com recurso ao

programa ATENA. Com esse intuito, foram utilizadas as mesmas secções, as mesmas armaduras de

reforço e os mesmos parâmetros para os materiais estruturais.

Tendo em conta que o ATENA considera o pórtico como uma estrutura bidimensional plana

(e não como uma estrutura constituída por peças lineares) é considerada para este estudo a linha

média como linha de referência.

0

20

40

60

80

100

120

140

0 0,005 0,01 0,015

p [

kN]

d [m]

2 Elementos

20 Elementos



A carga distribuída,

Força horizontal,

VIGA

PILAR

Figura 6.7: Pórtico plano rectangular biencastrado.

Na tabela 6.3 apresentam-se os valores para os parâmetros que caracterizam o

comportamento de cada um dos materiais. Neste caso foi utilizado o diagrama hiperbólico para

caracterizar o comportamento do betão.

Betão Aço

Hiperbólico

Tabela 6.3: Propriedades dos materiais na análise do pórtico plano rectangular biencastrado .

A discretização usada na análise desta estrutura encontra-se representada na tabela 6.4. Na

definição das secções transversais foi considerado apenas um bloco de betão.

f

2,7

5

4,7

Nós da estrutura

2ϕ12

3ϕ20

y

z

CG

0.2

50.2

5

0.15 0.15(m)

0.0

50.0

5

● ●

● ● ●

2ϕ20

● ●

y

z

CG

0.1

50.1

5

0.15 0.15(m)

0.0

50.0

5

● ●

2ϕ20

● ● 2ϕ20



Elementos de barra

Secção Pontos de

Lobatto Passos de

carga

10 1(viga)

1 Bloco 10 100 2(pilar)

Tabela 6.4: Discretização utilizada na análise do pórtico plano rectangular biencastrado.

Os resultados desta análise são apresentados na figura 6.8 por meio do diagrama

carga-deslocamento. Na construção deste diagrama é considerado o deslocamento vertical a meio

vão da viga pela aplicação simultânea da carga uniformemente distribuída e a força pontual.


Figura 6.8: Comparação dos resultados ATENA vs Modelo Híbrido de Tensão.

O deslocamento considerado, d, corresponde à flecha a meio vão da viga. Também são

apresentados os resultados obtidos a partir do ATENA para uma comparação e validação do modelo

em estudo.

Da figura 6.8 conclui-se que os resultados agora obtidos apresentam uma baixa rigidez

inicial em comparação com os resultados obtidos a partir do ATENA. Isto deve-se ao facto de não se

ter considerado a resistência do betão à tracção. Constata-se ainda que os parâmetros de carga

máxima bem como os deslocamentos associados são, como seria de esperar, da mesma ordem de

grandeza.

0

20

40

60

80

100

120

0 0,005 0,01 0,015 0,02 0,025

p [kN

]

d [m]

ATHENA

Modelo Híbrido de Tensão

ATENA



Nota-se ainda uma pequena diferença no valor do deslocamento máximo correspondente ao

parâmetro da carga de rotura. Esta diferença pode ser explicada por um erro na especificação dos

valores dos parâmetros que definem o comportamento das armaduras ou da relação constitutiva

utilizada para o betão. Estes valores são no entanto aceitáveis visto serem da mesma ordem de

grandeza.

Apresentam-se na figura 6.9 os diagramas de esforços (esforço normal, esforço transverso e

momento flector) obtidos a partir do modelo híbrido de tensão com o valor da carga máxima.

Esforço Normal [kN] Esforço Transverso [kN]

Momento Flector [kN.m]

Figura 6.9: Diagrama de esforços.



6.5. Análise não linear de um pórtico com vários pisos

Na figura 6.10 apresenta-se um pórtico plano com vários pisos submetido a um

carregamento constituído por várias cargas uniformemente distribuídas e por duas forças

concentradas. Nesta estrutura adoptaram-se as mesmas secções transversais e as mesmas

propriedades utilizadas no exemplo analisado na secção 6.3. Considerou-se para esta análise o

modelo hiperbólico com a discretização apresentada na tabela 6.5.

Carga distribuída,

Forças horizontais,

VIGA

PILAR

Figura 6.10: Pórtico plano quadrangular biencastrado.

Elementos de barra

Secção Pontos de Lobatto

Passos de carga

21 1(viga)

1 Bloco 10 200 2(pilar)

Tabela 6.4: Discretização utilizada na análise do pórtico plano com três pisos.

Fh

Fh

p

22

2

2 2 2

A

(m)

2ϕ12

3ϕ20

y

z

CG

0.2

50.2

5

0.15 0.15(m)

0.0

50.0

5

● ●

● ● ●

2ϕ20

● ●

y

z

CG

0.1

50.1

5

0.15 0.15(m)

0.0

50.0

5

● ●

2ϕ20

● ● 2ϕ20



Apresentam-se em seguida os diagramas de esforços finais obtidos nesta análise com a

aplicação do modelo híbrido de tensão.

DIAGRAMAS DE ESFORÇOS

Esforço Normal [kN]



Esforço Transverso [kN]



Momento Flector [kN.m]



No gráfico da figura da 6.11 apresenta-se o diagrama carga-deslocamento correspondente

ao deslocamento horizontal no ponto A (ver figura 6.10).

Diagrama força-deslocamento

Figura 6.11: Diagrama carga-deslocamento do pórtico quadrangular biencastrado.

0

100

200

300

400

500

600

700

0 0,005 0,01 0,015 0,02 0,025

F h[k

N]

d [m]

CAPÍTULO 7 - CONCLUSÕES E DESENVOLVIMENTOS FUTUROS


CAPÍTULO 7

CONCLUSÕES E DESENVOLVIMENTOS FUTUROS

7.1. Conclusões

Tendo como fim o desenvolvimento de um modelo de elementos finitos híbrido de tensão

para a análise fisicamente não-linear de pórticos planos de betão armado, considera-se que os

objectivos inicialmente propostos foram plenamente atingidos.

As técnicas de elementos finitos usada na formulação apresentada revelou-se de extrema

importância, quer pela versatilidade das suas aplicações, quer pela precisão dos resultados obtidos

em comparação com valores apresentados por outros autores. Desta forma, foi possível

implementar leis constitutivas com um certo grau de complexidade que de outro modo seria muito

difícil de realizar.

Para a resolução de problemas não lineares foi privilegiado o método de Newton-Raphson,

onde a actualização de matriz de rigidez é feita em cada iteração de cada incremento ou sempre que

se verifique a alteração das características do material devida, essencialmente, à abertura de

fendas, descarregamentos elásticos e modificação do estado do comportamento. De facto este

procedimento permitiu reduzir o tempo de computação e, simultaneamente, evitou a ocorrência de

instabilidade numérica na obtenção da solução.

Os testes efectuados ao modelo apresentado permitiram tirar as seguintes conclusões:

i) Os resultados obtidos a partir da aplicação do modelo proposto estão de acordo com os

resultados obtidos por outros autores.

ii) Na resolução do sistema de equações não lineares, usou-se o método iterativo de

Newton-Raphson. Este método revelou-se eficaz e estável do ponto vista numérico.

iii) Como seria de esperar, a introdução da resistência à tracção do betão só é significativa no

comportamento inicial das secções e/ou das estruturas. A partir do momento em que a

fendilhação progride no betão, os resultados obtidos desprezando a resistência à tracção do

betão são perfeitamente válidos.



As vantagens decorrentes da utilização de formulação de elemento híbrido de tensão podem

ser resumidas da seguinte forma:

Na construção da aproximação para o campo de esforços escolhem-se funções que

permitem satisfazer localmente todas as condições de equilíbrio;

Sendo satisfeitas localmente todas as condições de equilíbrio, a aplicação do Teorema

Estático da Análise Limite permite garantir que as soluções obtidas com a aplicação destes

modelos numéricos se encontram do lado da segurança. Os parâmetros de carga obtidos

correspondem a minorantes da carga de colapso da estrutura real;

A utilização de aproximações com as características acima indicadas permite minimizar o

número de elementos de barra a considerar na discretização da estrutura a analisar..

Os inconvenientes associados à utilização deste tipo de modelo encontra-se relacionada

com os seguintes pontos:

Requer conhecimentos aprofundados para a sua correcta e eficiente utilização tanto a nível

de compreensão como a nível da sua formulação;

É necessário a resolução de um problema indirecto em cada uma das secções de controlo

em cada uma das iterações do processo incremental de carga. Este facto faz com que o

peso computacional deste tipo de modelos seja superior ao que é normal noutro tipo de

formulações.

7.2. Desenvolvimentos futuros

O desenvolvimento do trabalho aqui apresentado pode ser feito tanto ao nível da formulação

como ao nível da eficiência do modelo numérico de cálculo implementado.

São apresentados seguidamente alguns aspectos em que se pondera haver necessidade de

um eventual desenvolvimento futuro:

i) Generalização do modelo para permitir a análise de pórticos tridimensionais de betão

armado;

ii) Generalização da formulação por forma a ser permitida a consideração de barras com eixo

curvo e/ou com secção variável.

iii) Consideração da resistência à tracção do betão.

iv) Introdução de efeitos geometricamente não lineares na modelação do elemento finito de

barra.

REFERÊNCIAS


Referências

[1] E.M.B.R. Pereira, “Análise fisicamente não linear de pórticos tridimensionais de betão armado”.

Dissertação de Mestrado em Engenharia de Estruturas. Instituto Superior Técnico, Universidade

Técnica de Lisboa, Lisboa, (1989).

[2] “Code-Modèle CEB-FIP pour les structures en Béton”, CEB, (1978).

[3] “Regulamento de Estruturas de Betão Armado e Pré-Esforçado”, Lisboa, (1986).

[4] J.A.S. Appleton, “Análise não-linear de pórticos planos sujeitos à flexão”, Seminário 295

LNEC-IST, Instituto Superior Técnico, Universidade Técnica de Lisboa, Lisboa, (1982).

[5] J. Vinagre, “Análise física e geometricamente não linear de pórticos de Betão Armado ”, Relatório

ICIST. Instituto Superior Técnico, Universidade Técnica de Lisboa, Lisboa, (1997).

[6] J.A.T. Freitas, “Elastic-Plastic Analysis of Structures Cross-Sections”, Mathematical Programming

Methods in Structural Plasticity, CISM, Udine, (1986).

[7] J.A.T. Freitas, “Análise de secções”, Instituto Superior Técnico, Universidade Técnica de Lisboa,

Lisboa, (1987).

[8] J.A.T. Freitas, “Strutural Analysis for Nonlinear Material Behavior”, Mathematical Programming

Methods in Structural Plasticity, CISM, Udine, (1986).

[9] The MathWorks, Inc, MATLAB, The Language of Technical Computing, Version 6.0, (2000).

[10] F. Virtuoso, A. Gomes, P. Mendes, “Cálculo da Relação Momento-Curvatura e do Diagrama de

Interacção Momento-Esforço Normal em Secções de Betão Armado Pré-Esforçado”, Relatório

ICIST. Instituto Superior Técnico, Universidade Técnica de Lisboa, Lisboa, (1998).



[11] L.M.S.S. Castro “Wavelets e séries de Walsh em elementos finitos”, Tese de Doutoramento,

Instituto Superior Técnico, Universidade Técnica de Lisboa, Lisboa, (1996).

[12] C.M. Tiago, V.M.A. Leitão e V. Rosa, “Análise de problemas unidimensionais de mecânica do

dano com funções de base radial”, J.M.Goicolea, C. Mota Soares, M. Pastor e G. Bugeda, Editor,

Métodos Numéricos en Ingeniería V, Artes Gráficas Torres S.A., 2002.

[13] FTOOL (http://www.tecgraf.puc-rio.br/ftool/ftooleng.html).

[14] ATENA – Computer Program for Non Linear Finite Element Analysis of Reinforced Concrete

Structures – Cervenka Consulting, 2001.

[15] Eurocódigo 2 – Projectos de estruturas de betão armado – Parte 1: Regras gerais e regras para

edifícios. Pré – Norma Europeia, Dezembro de 1991.

http://www.tecgraf.puc-rio.br/ftool/ftooleng.html

ANEXOS


Anexos

Estrutura do programa

Neste anexo descreve-se de forma sucinta a organização do programa de cálculo

automático desenvolvido, o qual corresponde directamente à implementação do modelo híbrido de

tensão descrito de forma detalhada no capítulo 5.

Numa primeira fase descreve-se qual a estrutura dos ficheiros de dados que reúnem a

informação referente à definição da estrutura e das várias secções tipo de betão armado

consideradas na análise. Depois, é indicada a sequência de rotinas que são chamadas quando se

pretende efectuar uma análise em regime elástico linear. Por fim, é indicada a sequência de rotinas

que são chamadas quando se pretende efectuar uma análise fisicamente não-linear.

Os programas de cálculo desenvolvidos permitem a obtenção dos diagramas de esforços na

estrutura e o diagrama carga-deslocamento. Para a construção deste último diagrama, o utilizador

deve especificar qual o nó e qual a direcção do deslocamento que pretende considerar nessa

análise.

Para além destes diagramas, os programas guardam em ficheiros de resultados toda a

informação relevante para a caracterização do comportamento da estrutura analisada.

1 – Ficheiro de dados com a informação referente à estrutura

Número de nós;

Número de elementos;

Número de apoios;

Número de cargas de vão;

Número cargas nodais;

Número de tipos de apoio

Número de tipos de cargas de vão

Número de tipos de cargas nodais

Para cada nó:

Coordenadas ( ).

Para cada elemento:

Número do nó inicial;



Número do nó final;

Para cada tipo de apoio:

o Definição das restrições ao movimento em cada direcção

Para cada nó apoiado:

Número do nó apoiado;

Tipo de restrições

Para cada tipo de carga de vão:

o Definir o valor do carregamento uniforme a considerar em cada direcção

Para cada barra carregada no vão:

Número da barra carregada;

Tipo de carga de vão aplicada

Para cada tipo de carga nodal

o Definir o valor da carga concentrada a aplicar em cada direcção;

Para cada nó carregado:

Definir o número do nó;

Tipo de carga nodal aplicada

Número de assentamentos de apoio;

Número de tipos de assentamento de apoio;

Para cada tipo de assentamento;

o Definir o valor do assentamento segundo cada uma das direcções

Para cada assentamento de apoio:

Definir o número do nó com assentamento;

o Indicar o tipo de assentamento em causa

Número de pontos de Lobatto;

Número de passos de carga;

Número do nó onde se pretende calcular o deslocamento para o diagrama

carga-deslocamento;

Indicação da direcção do deslocamento para o traçado do diagrama

carga-deslocamento.

2 – Ficheiro de dados com a informação referente às secções de betão armado

Número de secções tipo;

Para cada secção tipo:

Número de blocos de betão;

Para cada bloco de betão:

ANEXOS


Coordenadas do canto inferior esquerdo e do canto superior direito;

Valor do módulo de elasticidade, ;

Valor de .

Número de níveis de armadura;

Para cada nível de armadura:

Coordenadas do centro de gravidade;

Área.

Valor de

Valor de

Valor da rigidez para o segundo troço do diagrama bi-linear do aço

Para cada barra da estrutura

Indicar qual a secção tipo associada a esta barra

3 – Sequência de operações na resolução de uma estrutura em regime elástico linear

Para uma dada estrutura, a resolução consiste em efectuar os seguintes passos:

Leitura dos dados referentes à estrutura;

Leitura dos dados referentes às secções de cada barra da estrutura;

Determinação dos deslocamentos independentes;

Determinação da matriz de flexibilidade generalizada, ;

Determinação do operador de compatibilidade, ;

Cálculo do vector ;



Determinação da matriz de transformação, ;

Construção e solução do sistema governativo global;

Com base no valor dos esforços independentes, , traçar diagramas de esforços e

construir ficheiros de resultados com a solução obtida;

Construir ficheiro de resultados com os valores dos deslocamentos nodais;

4 – Sequência de operações na resolução de uma estrutura em regime elástico não-linear

Aqui a solução do problema passa por um processo iterativo como descrito anteriormente.

Para um dado carregamento, a resolução da estrutura consiste em executar os seguintes passos:



Leitura dos dados referentes à estrutura;

Leitura dos dados referentes às secções de cada barra da estrutura;

Determinação dos deslocamentos independentes;

Determinação da matriz de flexibilidade generalizada, (assumindo nesta fase um

comportamento elástico linear para os materiais estruturais);

Determinação do operador de compatibilidade, ;




Determinação da matriz de transformação, ;

Obtenção da solução em regime elástico linear. Esta solução serve para estimar os

valores iniciais para as deformações em cada secção de cada barra;

Inicializar as diferentes grandezas estáticas e cinemáticas (esforços e deformações);

Para cada passo de carga:

o Até se assegurar a convergência do processo iterativo, aplicação do algoritmo

de Newton-Raphson:

Determinação do valor dos vectores resíduo;

Determinação da matriz de flexibilidade generalizada com base nos

novos valores estimados para as deformações de cada uma das

secções de controlo (este procedimento passa pela resolução de um

problema indirecto para cada uma dessas secções);

Determinação do incremento para cada uma das grandezas discretas

envolvidas no modelo, esforços independentes, , e deslocamentos

independentes, ;

Com base no valor dos esforços independentes finais, , traçar diagramas de esforços e

construir ficheiros de resultados com a solução obtida;

Construir ficheiro de resultados com os valores dos deslocamentos nodais;

Traçado do diagrama carga-deslocamento.

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