ANÁLISIS DE FUERZAS INTERNAS EN ARMADURAS SIMPLES

ANÁLISIS DE FUERZAS INTERNAS ENARMADURAS SIMPLES

Fuerzas internasVamos a calcular las fuerzas internas de los elementosestructurales de la presente estructura. Recordemosque las fuerzas internas son aquellas que tratan demantener unidas todas sus partes.

Recuerda que el sistema debe cumplir con la condiciónde que la suma de fuerzas es cero SF = 0 y que la sumade momentos sea cero SM = 0

F = – 100 N

2m

A B

RA RB

1 m

2 m 2 m

60°

C

Por eso, primero debemos calcular las reacciones delos dos apoyos, algo que ya sabemos hacer. (sesupone…)

Partimos del principio de que si el sistema estáequilibrado por fuera, es decir cuando cumple con lasdos condiciones de equilibrio, también debe estar enequilibrio por dentro.

Ing. José Guzmán Hernández - Universidad de Guadalajara

Por el método de descomposición del brazo de palanca. Yo usé éste, pero tu puedes usar cualquiera delos 4 métodos que ya conocemos

Tomamos como referencia el punto A y hacemos

suma de momentos

SMA = 0

MA = [(1 m) X (– 100 N)] + [(2 m) X (RB)] = 0

(– 100 Nm) + (2 RB Nm) = 0

(RB) = 100 Nm / 2m = 50 N

RB = 50 N

Ahora con SF = 0RA – 100 + 50 = 0RA = 100 – 50

RA = 50 N

F = – 100 N

2m

A B

RA RB

1 m

2 m 2 m

60°

C

r1 r2


Entonces nuestra estructura está en equilibrio

estático, es decir no se mueve.

Las reacciones son tales que se cumple con las dos

condiciones de equilibrio

SF = 0

SM = 0

Y a las tres fuerzas que actúan (la fuerza de acción

y las dos fuerzas de reacción) las llamaremos

fuerzas externas

RA = 50 N

RB = 50 N

F = – 100 N

2m

A B

1 m

2 m 2 m

60°

C


Cálculo de las fuerzas internas

Existen dos métodos para el cálculo de las fuerzasinternas: el método de nodos y el método de secciones.

Solamente vamos a hacer los cálculos usando el métodode nodos. Recuerda que ya la estructura está en equilibrioy se cumplen las dos condiciones, que la suma de fuerzases cero SF = 0 y que la suma de momentos es cero SM = 0

Reitero que si la estructura está equilibradaexternamente, también está equilibrada internamenteAhora vamos a iniciar por identificar los nodos.Un nodo es la intersección de dos o más elementosestructurales.En este caso tenemos 3 elementos estructurales (o barras)AB o BA dependiendo desde donde se observeBC o BCAC o CAY tres nodos A, B y C

F = – 100 N

A B

RA = 50 N RB = 50 N

60°


F = – 100 N

A B

C

F = – 100 N

A B

C

F = – 100 N

A B

C

NODO A NODO B NODO C

RA = 50 N

RB = 50 N RA = 50 N

RB = 50 N RA = 50 N

RB = 50 N


Fuerza Interna a TENSIÓN

Actúa hacia el centro

Fuerza externa

Fuerza externa

Cuando un elemento estructuralestá sometido por fuerzas externasa TENSIÓN , las fuerzas internasactúan hacia el centro tratando deevitar que las partículas seseparen.

Cuando un elemento estructuralestá sometido por fuerzasexternas a COMPRESIÓN, lasfuerzas internas actúan hacia losextremos tratando de evitar quelas partículas se compriman.

Pero antes debemos de considerar dos aspectos fundamentales para el análisis de fuerzas internas

Fuerza Interna a COMPRESIÓN

Actúa hacia los extremos

Fuerza externa

Fuerza externa


Sigamos con nuestro ejemplo para considerar cómo actúan las fuerzas internas.Al aplicar la fuerza externa en el punto C la fuerza es transmitida por los doselementos estructurales CA y CB por fuerzas internas . Veamos la Fuerza internaen el elemento CB al llegar al nodo B

Por transmisibilida

d

Por transmisibilida

d

Descomponemos la fuerza

interna en sus componentes rectangulares

Equilibramos con la

fuerza interna BA

Si la estructura está equilibrada externamente, también está equilibrada internamente

=

F = – 100 N

A B

60°

C

Fuerza interna

Fuerza externa

= = =


Cálculo de las magnitudes de las fuerzas internas

SOLAMENTE VAMOS A TOMAR EN CUENTA LA FUERZA EXTERNAQUE ACTÚA EN ESE NODO. LAS OTRAS FUERZAS EXTERNASACTÚAN EN OTROS NODOS Y NO DEBEMOS TOMARLAS ENCUENTA.

Tenemos demostrado el equilibrio del nodo B, pero solo demanera gráfica.

Ahora veamos cómo se calculan los valores de las fuerzas internas.

El único valor que tenemos es el de la fuerza externa que vale 50N, pero como el nodo está en equilibrio, la componente vertical dela fuerza interna BC también tiene una magnitud de 50 N pero ensentido contrario.

La componente horizontal de la fuerza interna BC, tiene el mismovalor que la fuerza interna BA, pero con sentido contrario pero aúnno sabemos cuánto es ese valor.

Fuerza externa (reacción del apoyo en B)

Fuerza interna BC

Componente vertical de la

fuerza interna BC

Componente horizontal de la

fuerza interna BC

Fuerza interna BA


Cálculo de las magnitudes de las fuerzas internas

Vamos a reacomodar la fuerza interna BC

Ahora veamos cómo se calculan los valores de las fuerzas internas.

El único valor que tenemos es el de la fuerza externa que vale 50N, pero como el nodo está en equilibrio, la componente vertical dela fuerza interna BC también tiene una magnitud de 50 N pero ensentido contrario.

Como los sentidos de las fuerzas ya están establecidos con lasflechas, no les estoy poniendo el signo sino solamente susmagnitudes

Fuerza externa (reacción del apoyo en B)

Fuerza interna BC

Componente vertical de la

fuerza interna BC

Componente horizontal de la

fuerza interna BC

Fuerza interna BA

60° 50 N

50 N


Cálculo de las fuerzas internas

Como se puede apreciar, tenemos un triángulo rectángulo ,con uno de sus ángulos de 30° y uno de sus catetos de 50 N.

60° 50 N

50 N

30°

Por trigonometría, calculamos el cateto opuesto, que es lacomponente horizontal de la fuerza interna BC, ycalculamos la hipotenusa que es en realidad el valor de lafuerza interna BC.

Componente horizontal de BC

Fuerza interna

BC

B

60°

30° 50 N

50 N

Componente vertical de BC de 50 N


30° y = 50 N

x = Componente horizontal de BC

Fuerza interna

BC

Cos 30° = y / hCos 30° = 50 / BCDespejamos BCBC = 50 / Cos 30°BC = 50 / 0.8660…

BC = 57.7350…N

Tan 30° = x / yTan 30° = x / 50Despejamos xx = 50 (Tan 30°)x = 50 (0.5773…)

x = 28.8675…N

Por lo tantoAB = 28.8675…N

Por lo anterior, la fuerza interna BA tienela misma magnitud pero sentido contrarioque la componente horizontal de BC.

La fuerza interna BC va hacia el nodo y lafuerza interna AB va hacia el centro delelemento estructural.

B

60°

30° 50 N

50 N

28.8675…N

28.8675…N

57.7350… N


Si un elemento estructural está a TENSIÓN, la fuerza interna actúahacia el CENTRO. No son dos fuerzas, es una sola

Si un elemento estructural está a COMPRESIÓN, la fuerza internaactúa hacia LOS EXTREMOS. No son dos fuerzas, es una sola

Es por esa razón que identificamos que el elemento BC está aCOMPRESIÓN, mientras que el elemento AB está a TENSIÓN



Fuerza externa

Fuerza externa

Fuerza Interna a TENSIÓN


Fuerza externa

Fuerza externaF = – 100 N

Fuerza internaAB = 28.8675…N

a TENSION

A B

RA = 50 N RB = 50 N

Fuerza interna BC = 57.7350… Na COMPRESIÓN

C


Ya sabemos que el elemento

estructural de AB es de 28.8675…N a

TENSIÓN

A

60°

30°50 N

50 N

Son exactamente las mismascondiciones de equilibrio enel nodo A

Ahora vámonos al nodo A

A

28.8675…N

28.8675…N

57.7350… N

RA = 50 N

F = – 100 N


a TENSION

A B

RA = 50 N RB = 50 N

Fuerza interna BC = 57.7350… Na COMPRESIÓN

C


Por esa misma razón, y por analogía, es queel elemento estructural AC también está aCOMPRESIÓN y su valor es de 57.7350…N

F = – 100 N


A B

RA = 50 N RB = 50 N

Fuerza interna BC = 57.7350… N

C

Fuerza interna AC = 57.7350… N

TENSIÓNYa no es necesario recurrir al nodo C. Laestructura está completamente calculadaen todos sus elementos


Otro ejemplo

F = 100 N

2m

A B

RA RB

1 m

2 m 2 m

60°

C

Lo primero que debemos hacer es calcular las reacciones de los apoyos.Se toma el apoyo A como marco de referencia y se hace SMA =0

SMA =0Por la definición de producto cruz, se multiplica lamagnitud del brazo de palanca AC que es 2 m, porla magnitud de la fuerza, que es 100 N por el senodel ángulo entre los dos (que es de 120°), paraobtener el momento que la fuerza produce sobre elpunto AMA = (2)(100)(sen 120°) = 173.2050…NmPor la regla de la mano derecha el giro es negativo.Después se calcula el momento que el apoyo en elpunto B está ejerciendo para que la suma demomentos sea cero-173.2050…Nm + (2 m) (RBy) = 0Despejando RBy tenemosRBy = 173.2050…Nm / 2 mRBy = 86.6025… N


SFy =0Por suma de fuerzas en y, tenemosRAy + 86.6025… = 0RAy = - 86.6025…N

SFx =0Por suma de fuerzas en x, tenemosRAx + 100 = 0RAx = - 100 N

F = 100 N

2m

AB

1 m

2 m 2 m

60°

C

RAx = - 100 N

RBy = 86.6025…NRAy = - 86.6025 …N


F = 100 N

2m

AB

1 m

2 m 2 m

60°

C

RAx = - 100 N

RBy = 86.6025…NRAy = - 86.6025 …N

Cálculo de fuerzas internas Se elije empezar en el nodo B porque presentamenos dudas de quién equilibra a quién.La componente vertical de la barra BC esequilibrada por la reacción vertical del apoyo en B yla componente horizontal de la fuerza interna deBC es equilibrada por la fuerza interna de ABPor suma de fuerzas en B, tenemosSF =0RBy + CBy = 0

RBy = 86.6025…N

CBy = -86.6025…N

60°

CBx = ?

CB30°

AB = ?


Para calcular la fuerza BC se usa la función coseno de 30°Cos 30° = CBy / CBCB = CBy / cos 30°CB = 86.6025… / 0.8660…CB = 100 NComo CB actúa hacia el nodo, entonces la barra BC está a COMPRESIÓN

RBy = 86.6025…N

CBy = -86.6025…N

60°

CBx = ?

CB30°

AB = ?

F = 100 N

2m

AB

1 m

2 m 2 m

60°

C

RAx = - 100 N

RBy = 86.6025…NRAy = - 86.6025 …N


Si un elemento estructural está a TENSIÓN, la fuerza internaactúa hacia el CENTRO. No son dos fuerzas, es una sola



Fuerza externa

Fuerza externa

Si un elemento estructural está a COMPRESIÓN, la fuerzainterna actúa hacia LOS EXTREMOS. No son dos fuerzas, esuna sola

Fuerza Interna aTENSIÓN


Fuerza externa

Fuerza externa


RBy = 86.6025…N

CBy = -86.6025…N

60°

CBx = 50 N

CB

Para calcular la fuerza CBx seusa la función tangente de30°tan 30° = CBx / CBy

CBx = CBy (tan 30°)CBx = (86.6025…) (0.5773…)CBx = 50 NUsamos SFx = 0AB + CBx = 0AB + 50 = 0AB = – 50AB = 50 N a TENSIÓN

30°

AB = - 50 N

F = 100 N

2m

AB

1 m

2 m 2 m

60°

C

RAx = - 100 N

RBy = 86.6025…NRAy = - 86.6025 …N


SFy = 0- 86.6025 + ACy = 0ACy = 86.6025… N

SFx = 0- 100 + 50 +ACx = 0ACx = 100 – 50 ACx = 50 N

RAy = - 86.6025 …N

ACy = 86.6025 …N

RAx = - 100 NAB = 50 N

ACx = 50 N

AC = ?30°

Ahora nos vamos al nodo A

F = 100 N

2m

AB

1 m

2 m 2 m

60°

C

RAx = - 100 N

RBy = 86.6025…NRAy = - 86.6025 …N


Ahora calculamos ACsen 30° = ACx / ACDespejo ACAC = ACx /sen 30°AC = 50 / 0.5AC = 100 AC = 100 N a TENSIÓN

F = 100 N

2m

AB

1 m

2 m 2 m

60°

C

RAx = - 100 N

RBy = 86.6025…NRAy = - 86.6025 …N

RAy = - 86.6025 …N

ACy = 86.6025 …N

RAx = - 100 NAB = 50 N

ACx = 50 N

AC = ?30°


Ya no es necesario calcular nada en el nodo C porque ya están calculados las tres fuerzas internas y la suma de fuerzas en x y en y están equilibradas

AB = 50 N A TENSIÓNBC = 100 N A COMPRESIÓNAC = 100 N A TENSIÓN

F = 100 N

2m

AB

1 m

2 m 2 m

60°

C

RAx = - 100 N

RBy = 86.6025…NRAy = - 86.6025 …N


Primero reacciones en los apoyos

Empezamos en ASMA = 0(2.5 j X 100i) + (3i X RBy j) = 0- 250 k + 3 RBy k= 03 RBy k = 250 kRBy = 250 k / 3 kRBy = 83.33… N

SFy = 083.33 + RAy = 0Ray = - 83.33… N

SFx = 0100 + RAx = 0RAx = - 100 N

Un ejemplo más

F = 100 N

3 m

A B

2 m

2.5 m

C

RAx = - 100 N

RBy = 83.33… NRBy = - 83.33… N


BCy = - 83.33… N

Ahora nos vamos al nodo B para calcular fuerzas internas

q = 38.6598…°

BCx = ?

BC = ?

F = 100 N

3 m

A B

2 m

2.5 m

C

RAx = - 100 N

RBy = 83.33… NRBy = - 83.33… N SFy = 083.33 + BCy = 0BCy = - 83.33… N

RBy = 83.33… N


BCy = - 83.33… Nq = 38.6598…°

BCx = ?

BC = 106.7187…N

F = 100 N

3 m

A B

2 m

2.5 m

C

RAx = - 100 N

RBy = 83.33… NRBy = - 83.33… N

RBy = 83.33… N

Por trigonometría cos 38.6598…° = BCy / BCBC = BCy / (cos 38.6598…°)BC = 83.33… / (0.7808…)BC = 106.7187…NBC = 106.7187…N a COMPRESIÓN


BCy = - 83.33… Nq = 38.6598…°

BCx = 66.66…N

BC = 106.7187…N

F = 100 N

3 m

A B

2 m

2.5 m

C

RAx = - 100 N

RBy = 83.33… NRBy = - 83.33… N

RBy = 83.33… N

Por trigonometría tan 38.6598…° = BCx / BCyBCx = BCy (tan 38.6598…°)BCx = 83.33… (tan 38.6598…°)CBx = 66.66…N

SFx = 0- 66.66… + AB = 0AB = 66.66… N AB = 66.66… N a COMPRESIÓN

3 m

A B

2 m

2.5 m

C

RAx = - 100 N

RBy = 83.33… NRBy = - 83.33… N


Por trigonometría tan g = 2.5 / 5tan g = 0.5Arc tan 0.5 = 26.5650…°f = 90° - 26.5650… = 63.4349…°

SFx = 0- 100 – 66.66… + ACx = 0ACx = 166.66… N

RBy = - 83.33… N

ACy = 83.33… N

ACx = 166.66… N

AC = ?

AB = - 66.66… N

RAx = - 100 N

f = 63.4349…°


F = 100 N

3 m

A B

C

RAx = - 100 N

RBy = 83.33… NRBy = - 83.33… N


RBy = - 83.33… N

ACy = 83.33… N

ACx = 166.66… N

AC = 186.3389…NAB = - 66.66…

N RAx = - 100 N

f = 63.4349…°


Por trigonometría cos 63.4350…° = 83.33… / ACAC = (83.33… ) / (cos 63.4349…°)AC = (83.33… ) / (0.4472…)AC = 186.3389…NAC = 186.3389…N a TENSIÓN

F = 100 N

3 m

A B

C

RAx = - 100 N

RBy = 83.33… NRBy = - 83.33… N


F = 100 N

A B

C

RAx = - 100 N

RBy = 83.33… NRBy = - 83.33… N

AC = 186.3389… a TENSIÓN

BC = 106.7187… N a COMPRESIÓN

AB = 66.66… N a COMPRESIÓN


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