ANÁLISIS DE VIBRACIÓN DE UN TANQUE CILÍNDRICO …

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ANÁLISIS DE VIBRACIÓN DE UN TANQUE CILÍNDRICO

CONTENEDOR DE LÍQUIDOS

Dankert Guillermo Leo, Ingeniero Civil [email protected]

Resumen

En el diseño de tanques contenedores de líquidos comprende el funcionamiento del tanque y del líquido alojado. El incremento notable en los costos de algunos líquidos (agua, petróleo, vinos, entre otros) obliga a conocer lo más precisamente posible el funcionamiento de estos sistemas, no sólo por la seguridad estructural, sino sobre todo por garantizar la contención del líquido alojado.

El objetivo de este trabajo es, la modelación de un tanque cilíndrico conteniendo líquido, que a demás de los modos propios de vibración de un cilindro y los modos propios del líquido, en su solución de la ecuación diferencial de Laplacce, comprende su interacción buscando hallar una solución al problema de acoplamiento de vibración del tanque con vibración del líquido alojado.

A modo de aplicación se modeló un tanque a escala que fue ensayado en la mesa vibratoria del laboratorio de dinámicas de las Estructuras (LABDIN) de la Facultad de Ingeniería de la Universidad de Buenos Aires (FIUBA). Los resultados hallados de la modelación son por último comparados con los que surgen de la modelación teórica.

Abstract

Design of liquid tank container tank means resistance of the tank and of the liquid. The significant increase in the costs of some liquids (water, oil, wine, etc.) requires to know as precisely as possible the performance of these systems, not only for structural safety, but above all to ensure the containment of liquid.

The aim of this Paper is to model a cylindrical tank containing liquid, the natural vibration modes of a cylinder and the eigenmodes of the fluid, by its solution of Laplace differential equation, and seeks finding a solution to coupling vibration of the tank with liquid inside.

As an application, a scaled tank has been modeled and tested at the shaking table of the Dynamic Structure lab (LABDIN) of the Buenos Aires University Engineering College (FIUBA). The results found in the modeling are finally compared with those arising from theoretical modeling.

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INTRODUCCION

El almacenamiento de líquidos en tanques responde a una configuración de cargas estáticas absolutamente desarrollada y de tan simple conocimiento que se estudia en niveles de enseñanza secundaria. El verdadero problema del almacenamiento de líquidos ocurre ante eventos sísmicos o dinámicos de cualquier origen, ya que la respuesta dependerá del sistema tanque – líquido alojado. La respuesta de dichos sistemas se ha comenzado a estudiar desde la década del 70, y se ha ido investigando desde entonces. Actualmente la normativa de la American Petroleum Institute (API) contempla los análisis a realizar tanto para tanques rígidos como para tanques flexibles. Sin embargo estos últimos son cuestionados por numerosas investigaciones, lo que motivo el análisis por parte nuestra.

PLANTEO DEL PROBLEMA

Como explicamos el problema radica en la compatibilización de las respuestas de los sistemas tanque y líquido alojado. Para resolver este problema, comenzaremos con el análisis del tanque vacío, y luego agregaremos a nuestro análisis el líquido alojado. Finalmente, verificaremos todos los cálculos mediante un ensayo a escala de un tanque en una mesa vibratoria que se desplaza siguiendo una forma sinusoidal.

VIBRACIÓN DE UN TANQUE VACÍO

Para estudiar el comportamiento de un tanque cilíndrico vacío planteamos el esquema diferencial de placa curva y sus ecuaciones diferenciales de equilibrio dinámico.

El estudio de placas curvas se suele hacer en coordenadas curvilíneas, es decir nos apartamos de las coordenadas cartesianas clásicas, para adoptar un sistema de coordenadas que recorra la superficie curva en estudio. Claramente cada superficie tendrá su sistema de coordenadas curvilíneas. El desarrollo de las ecuaciones de equilibrio en un sistema de coordenadas curvilíneas es por demás engorroso y se halla desarrollado en numerosa bibliografía, con lo cual no se desarrollará en este trabajo. Aquí partiremos de las Ecuaciones de Love.

Este sistema de ecuaciones define el movimiento debido a cualquier estado de carga.

En la figura 1 que se indica a continuación se muestran todos los esfuerzos que actúan sobre un diferencial de placa.

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Figura 1. Elemento diferencial de placa curvilínea.

Donde:

N11 - Esfuerzo normal en la cara 1 con dirección 1

N12 - Esfuerzo normal en la cara 1 con dirección 2

Q13 - Esfuerzo Cortante en la cara 1 con dirección 3

M11 - Esfuerzo flexor en la cara 1 en el plano que comprende la dirección 1.

M12 - Esfuerzo flexor en la cara 1 en el plano que comprende la dirección 2.

Y correspondientemente los esfuerzos en la otra cara.

Ahora si transcribimos las ecuaciones de equilibrio dinámico (ecuaciones de Love). Notar que se reemplazaron para un cilindro, tomando como dirección 1 a x y como

dirección 2 a :

L1xNxx

d

d

1

a Nx

d

d h

2t

Uxd

d

2

qx

L2xNx

d

d

1

a N

d

d

Q3

a h

2t

Ud

d

2

q

L3xQx3

d

d Q23

d

d

N22

a h

2t

wd

d

2

qw

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Para resolver este sistema de ecuaciones utilizaremos el Método de Galerkin, un método de resolución variacional integral. Este consiste en suponer una o varias funciones de deformación que cumplan con las condiciones de borde. De estas funciones conocemos la forma pero no la amplitud.

Luego calcularemos el trabajo que hacen en toda la placa las funciones de esfuerzos derivadas de las funciones propuestas y lo minimizaremos. Con este proceso lo que hacemos es buscar la amplitud de las funciones propuestas que haga mínima la energía potencial total.

La ventaja que tiene este método es que no implica conocer la solución del sistema de ecuaciones diferenciales. La desventaja es que hay que proponer una función de deformación estimativa. En el caso de que utilicemos la función de deformación real de la estructura, los coeficientes que hallaremos serán exactos, si no utilizáramos la función exacta hallaremos coeficientes más o menos precisos de acuerdo al modo de ajuste de la función propuesta.

El caso particular de Galerkin, propone un sistema de ecuaciones y luego calcula el trabajo que realiza el estado de equilibrio derivado de dicho sistema de ecuaciones, sobre un sistema de desplazamientos virtuales, que es el mismo sistema de deformación propuesto.

Utilizaremos como funciones de forma propuestas:

Donde lo que hallaremos serán entonces los coeficientes Ar.n, Br.n y Cr.n

Los factores r y n, expresan el número de ondas que se forman en sentido longitudinal y en sentido circunferencial.

La solución al sistema planteado se muestra en la figura 2 a continuación donde se indica la frecuencia y el modo de vibración en orden ascendente.

VIBRACIÓN DEL LÍQUIDO DE UN TANQUE LLENO – TANQUE RÍGIDO

Ya estudiado el comportamiento de un tanque vacío, veremos que debemos hacer cuando lo llenamos de agua. El análisis de partida que tomamos, es el que actualmente contemplan las normas API, y es el desarrollado por Velestos y Yang

Ux x t( )

0

r 0

n

Ar.n cos

2

r x

2L

cos n ( ) cos t( )

U x t( )

0

r 0

n

Br.ncos r x

2L

sin n ( ) cos t( )

W x t( )

0

r 0

n

Cr.ncos r x

2L

cos n ( ) cos t( )

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(ver referencias). Dicho análisis contempla la acción y el comportamiento del líquido cuando consideramos al tanque contenedor como rígido.

Para esto debemos suponer que liquido alojado es incompresible, irrotacional y no viscoso. Que los desplazamientos producidos tanto en el líquido como en el tanque se mantienen en el rango de la linealidad. Y por último que no hay separación ni cavitación en la interface liquido-tanque. Si aceptamos esto, todos los puntos del fluido deben cumplir con la ecuación de Laplace:

De donde obtendremos luego la velocidad en cualquier punto de campo, y su presión. De las siguientes relaciones:

Las condiciones de borde que debe cumplir el fluido serán:

La solución a dicha ecuación potencial deriva en dos esquemas de presiones. Uno impulsivo, asociado a una porción del líquido que se desplaza uniformemente con el tanque, y un esquema de presiones asociada al agua bajo los efectos del oleaje que se desplaza siguiendo unos modos y frecuencias características de cada función de ola.

2z

2 1

a z

1

a2 2

2

2x

x

2 0

Siendo

x z t( ) función de velocidad potencial

De donde obtendremos luego la velocidad en cualquier punto del campo, y su presión. De lasiguientes relaciones:

Para la velocidad vT

x

1

a

z

Para la presión p Lt x z t( )

2z

2 1

a z

1

a2 2

2

2x

x

2 0

Siendo

x z t( ) función de velocidad potencial

De donde obtendremos luego la velocidad en cualquier punto del campo, y su presión. De lasiguientes relaciones:

Para la velocidad vT

x

1

a

z

Para la presión p Lt x z t( )

Condiciones de borde que debe cumplir el fluido

Siempre considerando al liquido como inconpresible e irrotacional, debe cumplir las siguintescondiciones de borde:

1. t 0 x t

0 La presion en el centro del tanque es nula

2. z a x t( )

1t

w0 t( )

1La velocidad en contacto con el tanque debe ser la del tanque,en este caso como el tanque es rígido, debe ser la aceleracionbasal.

3.x z 0 t

0 La velocidad vertical en la base del tanque debe ser nula.

4. 2

t

z H t( )

2g

x z H t( )

0 En x=H, la presion del liquido debe ser la de la

columna de agua (olas) sobre el.

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1º - f=110 Hz – r=1;n=3 2º - f=113 Hz – r=1;n=4 3º - f=158 Hz – r=1;n=5

4º - f=182 Hz – r=1;n=2 5º - f= 220 Hz – r=2;n=5 6º - f=225 Hz – r=1;n=6

7º - f= 228 Hz – r=2;n=4 8º - f= 261 Hz – r=2;n=6 9º - f=306 Hz – r=2;n=4

Figura 2. Modos de vibración del tanque vacío.

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Los esquemas de presiones impulsivas, y los dos primeros modos de esquema de presiones impulsivas se indican en la figura 3.

Es decir que hay modos propios de oleaje. El primero es aquel que forma una semionda a lo largo de un diámetro. El segundo tres semiondas y así sucesivamente. Las formas de la ola en cada modo son descriptas por la siguiente ecuación:

Los primeros cuatro modos se encuentran graficados por separado en la figura 4 y la suma de los mismos mostrada en perspectiva en la figura 5.

Es decir que de un tanque calculado como rígido, conocemos todo, pues una vez obtenidos los esquemas de presión, podemos calcular las reacciones que tendrá el tanque, las alturas del oleaje, el volcamiento y demás condiciones necesarias para el diseño de un tanque.

Figura 3. Esquemas de presiones hidrodinámicas en un tanque rígido.

d r t j( )2

j( )2

1

J1 j( )r

a

J1 j( )( )

A t( )

g a cos ( )

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Figura 4. Forma de los primeros 4 modos de ola.

Figura 5. Forma resultante de la suma de los primeros 4 modos de ola en perspectiva 3D.

0.505 0 0.5050.2

0.15

0.1

0.05

0

0.05

0.1

0.15

0.2

dj r 0

20

1

cm

dj r 0

20

2

cm

dj r 0

20

3

cm

dj r 0

20

4

cm

0

r

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VIBRACIÓN DEL LÍQUIDO DE UN TANQUE LLENO – TANQUE FLEXIBLE

Aquí nuevamente resolveremos con el método variacional de Galerkin. Destaquemos que este método es sumamente potente, ya que basta con proponer una función de deformación para hallar un resultado. Lógicamente esta potencia, implica un riesgo en perder validez de los resultados sino se proponen las funciones de deformación apropiadas. Pero este tema se resuelve al proponer una sucesión de funciones sinusoidales como solución.

Como bien sabemos las frecuencias de vibración libre están asociadas a la rigidez del sistema en una dirección, y a la masa desplazada en dicha dirección. Al agregar un liquido, no se modifican las condiciones de rigidez, mas si las de masa asociada a un desplazamiento. Estos casos fluido dinámicos suelen considerarse masas adicionales sobre la estructura original. Es decir que el agregar un líquido modifica la matriz de dinámica de equilibrio. Podríamos pensar a este como la modificación de los modos de vibración libre, por las modificaciones en la masa asociada al desplazamiento.

Consideramos en el análisis los siguientes esquemas de presiones:

Presión P1 o impulsiva, debido a la aceleración basal del tanque, considerando el tanque rígido, son las mismas presiones impulsivas calculadas en el inciso anterior.

Presión P2 o convectiva, debido al efecto del oleaje únicamente, es nuevamente la misma presión convectiva calculada en el inciso anterior.

Presión P3 o por deformación de las paredes, debido justamente a la deformación de las paredes del tanque, y esta si es nueva.

Los dos primeros esquemas de presiones (y de masas correspondientemente) modifican las características de vibración libre del tanque. Y a su vez los tres esquemas de presión implican deformaciones producidas sobre la estructura. Es decir destacamos que se analizan no solo la deformación de las paredes por el efecto del oleaje, sino aquel producido por las presiones impulsivas.

La deformación propuesta para el tanque flexible, lleno solicitado por un desplazamiento basal de forma sinusoidal es el mismo que el supuesto para el tanque vacío.

Ux x t( )

0

r 0

n

Ar.n cos

2

r x

2L

cos n ( ) cos t( )

U x t( )

0

r 0

n

Br.ncos r x

2L

sin n ( ) cos t( )

W x t( )

0

r 0

n

Cr.ncos r x

2L

cos n ( ) cos t( )

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Para determinar los tres esquemas de presiones hidrodinámicas, P1 a P3, lógicamente recurrimos a la ecuación diferencial de Laplace. Donde no se modifican las condiciones de partida que aquellas realizadas para un tanque rígido pero si sus condiciones de borde.

Realizamos por simplicidad una separación en los términos que compondrán la función potencial. Por lo tano escribimos:

Las condiciones de borde que debe cumplir el fluido serán entonces:

1. La presión en el centro del tanque es nula

2. La velocidad del contacto con el tanque debe ser la misma que la de las paredes del tanque mas la velocidad basal

3. La velocidad vertical en la base del tanque debe ser nula

4. En x=H, la presión del liquido debe ser la de la columna de agua (olas) sobre dicho nivel.

El esquema de presiones es ahora representado por la figura 6, donde se muestra que se considera a demás de los esquemas de presiones la deformada del tanque.

MODELO FÍSICO DESARROLLADO

A través del laboratorio de dinámica de las estructuras se proponen analizar dos casos de aplicación de la ingeniería civil. Se trata de un modelo de similitud de tanque de almacenamiento de fluidos, en condición lleno y vacío, frente a una solicitación sísmica de función sinusoidal. Los efectos de aceleración basal se realizaran en el laboratorio de dinámica de las estructuras, de la facultad de ingeniería, de la Universidad de Buenos Aires, que cuenta con una moderna mesa vibratoria capaz de generar cualquier tipo de desplazamiento que se le ingrese a la computadora.

El objetivo de dichos ensayos es el de verificar los análisis hechos en las etapas anteriores.

ELABORACIÓN DEL MODELO FÍSICO

La primera parte del ensayo, es lógicamente la realización del modelo físico, es decir la construcción de un modelo a escala que pueda reflejar los resultados esperados.

Antes de continuar reali zamos una separación en los términos que compondrán el funciónpotencial.Por tanto escribimos:

r x t( ) Pnr z x t( ) cos n ( )

Es decir, ya no escribiremos las variables r ni la n, no porque no las consideremos sino porque serán fijas para cada función potencial.


Siempre considerando al liquido como incompresible e irrotacional, debe cumplir las siguientescondiciones de borde:

1. tPn 0 x t

0

2. zPn a x t( )

1t

w0 t( )

1w a x t( )

3.xPn z 0 t

0

4. 2

t

Pn z H t( )

2g

xPn z H t( )

0



1. tPn 0 x t

0

2. zPn a x t( )

1t

w0 t( )

1w a x t( )

3.xPn z 0 t

0

4. 2

t

Pn z H t( )

2g

xPn z H t( )

0



1. tPn 0 x t

0

2. zPn a x t( )

1t

w0 t( )

1w a x t( )

3.xPn z 0 t

0

4. 2

t

Pn z H t( )

2g

xPn z H t( )

0



1. t

Pn 0 x t

0

2. zP

na x t( )

1t

w0

t( )

1w a x t( )

3.x

Pn z 0 t

0

4. 2t

Pn

z H t( )

2g

xPn

z H t( )

0

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Figura 6. Esquemas de presiones hidrodinámicas en un tanque flexible.

El tanque fue obtenido a través de una donación hecha por O-tek del grupo Orbis. Se trata de una sección de cilindro de 1 metro de diámetro, de 80 cm de alto y de 1 cm de espesor, constituida por un material compuesto, de un corazón de arena con resina y una cubierta externa e interna de poliestireno reforzado con fibra de vidrio.

Para vincularlo a la mesa vibratoria se lo vinculo a un fenólico de 1,2 metros de ancho, 2 metros de altura y 2 centímetros de espesor, también donado, pero esta vez por la empresa CRIBA S.A. a través de la inga. Graciela Ladaga

La dificultad de la tarea pasa por poder lograr la estanqueidad necesaria, como para poder llenarlo de agua, y lograr al mismo tiempo que la vinculación fuera lo suficientemente resistente como para transmitir los esfuerzos.

EQUIPAMIENTO DE LABORATORIO UTILIZADO.

En la imagen que indicamos a continuación se muestra la suposición del sector de trabajo en laboratorio y el equipamiento utilizado.

Mesa vibratoria

Acelerómetros

Cables mallados para aislación del ruido electromagnético ambiente

Caja transformadora de señales eléctricas producidas por los acelerómetros en registros digitales

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Figura 7.Modelo físico montado sobre la mesa vibratoria.

Figura 8. Modelo físico con el equipamiento de medición montado.

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PC de recolección y archivo de datos

Generador de frecuencias para desplazar la mesa vibratoria.

OBJETIVOS DE LA MEDICIÓN EN LABORATORIO

Se planten básicamente tres objetivos:

Verificar si fuera posible las frecuencias calculadas en las etapas anteriores, para ambos modelos, el vacío y el lleno.

Verificar si fuera posible los modos de vibración calculados en las etapas anteriores, para ambos modelos, el vacío y el lleno.

Analizar el comportamiento del agua durante las solicitaciones.

ANÁLISIS DE RESULTADOS DE LOS ENSAYOS

RESULTADOS DE ENSAYO SOBRE EL TANQUE VACÍO

Continuaremos pues con el análisis global de los resultados que arroja el análisis del tanque vacío, luego con los resultados particulares de cada modo, y lo propio haremos con el tanque lleno.

Campo de Frecuencias

Mostramos a continuación los registros directos del acelerómetro Nro. 1. Luego de un golpe.

Figura 9. Detalle de ubicación y tipo de acelerómetros empleados.

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Figura 10. Registro de aceleraciones para un impacto sobre el tanque.

Recordemos de manera ordenada, las frecuencias propias del cilindro, con sus respectivos coeficientes de deformación:

Nº modo: Frecuencia (Hz) r n

1 110 1 3

2 113 1 4

3 158 1 5

4 182 1 2

5 220 2 5

6 225 1 6

7 228 2 4

8 261.8 2 6

9 306.6 1 7

10 306.8 2 3

Frecuencias de vibración del cilindro (se muestra las primeras 10)

Y ahora si mostramos la partición hecha por el análisis según series de Fourier, para dos acelerómetros, AC1 y el AC5 (Ver figura 11 e indicación de acelerómetros en figura 9).

Lo que se muestra en ordenadas es el peso relativo de cada función, lo que se muestra en abscisas son las frecuencias de las distintas funciones.

Vemos que hay picos claramente marcados. Empecemos con el tercero que coincide perfectamente con las 2 primeras frecuencias de vibración del cilindro estudiado, el siguiente pico, coincide, ya con menos precisión con las 3ª y 4ª frecuencia, luego viene un pico, poco marcado en la frecuencia 220 Hz – 230 Hz, que responde a la 5ª, 6ª y 7ª frecuencia, por último, dentro del rango que estamos mostrando se ve para 250 Hz – 260 Hz, el último pico.

0 0.125 0.25 0.375 0.5 0.625 0.75 0.875 1 1.125 1.25 1.375 1.5 1.625 1.75 1.875 2

100

0

100

A1i

m

s2

A2i

m

s2

ti

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Los primeros 2 picos, el de 35 Hz y el de 60 Hz, responden, presumiblemente, a la frecuencia natural de la mesa vibratoria. Con lo cual deben ser descartados del análisis.

Figura 11. Descomposición de Fourier del espectro de aceleraciones del acelerómetro AC 1 y AC 5.

Campo de desplazamientos

Con este panorama comenzaremos a analizar los desplazamientos relativos de los distintos acelerómetros para poder dar una idea del modo de vibración.

Para poder representar esquemáticamente los desplazamientos que experimentan los puntos para las distintas frecuencias, lo que hacemos es filtrar dentro de las infinitas series de Fourier, aquellas próximas a la frecuencia en cuestión. Así calculamos a partir de las aceleraciones, los desplazamientos máximos que experimenta cada acelerómetro. Con esta información graficamos los desplazamientos que tienen los acelerómetros 1 a 4, para las frecuencias que se indican:

En la figura 12 graficamos los resultados esperados de deformación vertical y los resultados registrados en laboratorio.

Con estas representaciones queda claro que los desplazamientos en vertical son congruentes con las deformaciones previstas en el análisis. De hecho para la frecuencia de 220 Hz (ver figura 13), se ve que corta al cero en 2 puntos, con lo cual es n=2.

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1º - f=110 Hz – r=1;n=3 2º - f=113 Hz – r=1;n=4 Desplazamientos

máximos registrados para

110 hz. Desplazamientos según cálculo

Figura 12. Comparación entre desplazamientos calculados y desplazamientos máximos registrados para comparar modos de vibración en f=110 hz.

5º - f= 220 Hz – r=2;n=5 Desplazamientos

máximos registrados para 220 hz

Figura 13. Descomposición de Fourier del espectro de aceleraciones del acelerómetro AC 1 y AC 5.

RESULTADOS DE ENSAYO SOBRE EL TANQUE LLENO.

Los ensayos con el tanque con agua fueron sobre los acelerómetros dispuestos de la siguiente manera:

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Figura 14. Detalle de ubicación de acelerómetros del ensayo con el tanque lleno.

Frecuencias

Realmente tiene poco que ver con las frecuencias calculadas con anterioridad. A la luz de los resultados, probablemente haya un problema mayor que el del ruido, es decir aquí también habrá que ajustar el análisis hecho sobre las masas adicionales de Galerkin.

Oleaje

Si bien el desarrollo del campo de frecuencias del tanque lleno, no fue lo que esperábamos encontrar, con el oleaje no ocurrió lo mismo. De hecho podemos decir que el oleaje se comportó como si el tanque fuera perfectamente rígido, esto es decir que se vieron los siguientes esquemas de olas para las siguientes frecuencias.

Nº 1 – f =1 Hz Nº 2 – f =1.6 Hz

cero x y( ) 0

Sl Sl

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Nº 3 – f =2 Hz Nº 4 – f =3.5 Hz

f =10 Hz f =10 Hz

Nº 5 f =5Hz f =5Hz

Figura 15. Detalle de los modos de oleaje observados y calculados.

Sl Sl3.5

Sl10

Sl3.5

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CONCLUSIONES

A la luz del trabajo realizado podemos afirmar que el cálculo de modos y frecuencias de vibración de cilindros de cualquier clase de vinculación fueron desarrollados satisfactoriamente.

La homogeneidad de resultados obtenidos calculados con las distintas metodologías desarrolladas, muestra la existencia de un único resultado, y para reforzar dicha afirmación los ensayos realizados sobre el tanque vacío confirmaron casi en su totalidad los resultados previstos.

Hay dos temas aquí que hay que aclarar. El primero es que la mesa, fue diseñada para asemejar solicitaciones sísmicas, dichas solicitaciones suelen estar asociadas a frecuencias de vibración del orden de 1 Hz, jamás se esperan frecuencias del orden de los 100 Hz, como las analizadas en este caso, con lo cual hubo que recurrir a solicitaciones alternativas como el golpe para observar frecuencias propias.

El segundo tema, es el hecho de que al haber sido donado la sección de tubo que se utilizó en el ensayo, no se pudo definir previamente, como para seleccionar aquellas dimensiones y propiedades mecánicas que hicieran posibles observar resultados en el campo en el que los estábamos esperando. Es decir un parámetro para seleccionar un futuro recipiente, sería asimilar lo máximo posible las frecuencias de vibración de líquido alojado y las frecuencias propias del cilindro, que en este caso guardaban una relación 100 a1.

ESTUDIOS FUTUROS

El ensayo que se realizó es iniciador de un campo de investigación no desarrollado hasta hoy en la Facultad de Ingeniería de la Universidad de Buenos Aires, con lo cual es sumamente útil contar con dichos resultados y modos de trabajo para poder seguir avanzando en esta dirección.

La posibilidad de contar con una mesa vibratoria para realizar ensayos a escala posiciona a la facultan en un nivel internacional si se utiliza correctamente. Por supuesto que para desarrollar cualquier tipo de investigación se requiere de inversiones que bien pueden venir del ámbito público como privado. La correcta predicción de respuesta de almacenamiento de líquidos puede ahorrar pérdidas millonarias si pensamos en el almacenamiento de derivados del petróleo o vino. Sin ir mas lejos las pérdidas económicas más grandes registradas en el sismo de San Juan son debidas a la pérdida de vinos, cuyo valor por litro es muy elevado.

De contar con estas inversiones se podrá perfeccionar el análisis de tanques flexibles, y de confeccionar una normativa o guía simple de diseño y verificación de tanques solicitados por acciones dinámicas basado en el análisis variacional empleado en este trabajo. Cuya simpleza y robustez quedó claramente marcada.

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AGRADECIMIENTOS

Al Ing. José Teodoro Russel, quien fuera tutor y mentor de esta tesis de grado.

Al Ing. Raúl Bertero por la colaboración en el estudio del tanque y por poner a disponibilidad al Laboratorio de dinámica de las estructuras de la Universidad de Buenos Aires para realizar este estudio y el ensayo.

A los miembros del Laboratorio de Dinámica de la Estructuras, Ing. Alejandro Lehmann, Ing. Juan Mussat y al Sr. Pablo Barbieri por colaborar dedicadamente en la operación de la mesa vibratoria.

A la Ing. Ángeles Álvarez Bouzón, por las numerosas horas dedicadas a este trabajo.

Al Sr. Carlos Maina, Gerente técnico Regional y al Ing. Sergio Buosi, miembros de la empresa O-tek que donó la sección tubular para el análisis del tanque. Y al Ing. Adolfo Guitelman, miembro del plantel docente del Facultad de Ingeniería de la Universidad de Buenos Aires, quien oficiara como intermediario.

REFERENCIAS

Kraus, Harry. Thin Elastic Shells. John Wiley and Sons, Inc. New York.

Timoshenko, S.- Vibration problems in engineering. 2nd Edition. D. Van Nostran Compañy, Inc. New York.

Laura, P. A. A., Introducción a la teoría de vibración de sistemas continuos y discretos. Ed. Eudeba. Buenos Aires

Soedel, Werner. Vibrations of shells and plates. 3rd Ed. Marcel Decker.

Wang, C. Lai, J.C.S. Prediction of natural frecuencias of finite lenght circular shells.

Velestos S. and Yang. J.Y. - Earthquake response of liquid storage tanks – Advances in civil Engineering trhough engineering mechanics

Anil K. Chopra -Dynamics of structures – theory and applicattions to Earthquake Engineering– Prentice Hall, Englewood Cliffs,, New Jersey – 1995

F.D. Fisher, F.G. Rammestrofer - A refined análisis of sloshing effects in seismically excitec tanks– International Journal of pressure vessel and piping 76 – 1999

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