FÍSICAANÁLISIS DIMENSIONAL

JOSE LUIS VALDIVIA CUADROS

AREQUIPA

OBJETIVOS

Aplicar el análisis dimensional en el despeje de fórmulas y en la obtención correcta de unidades

Reconocer, diferenciar e interrelacionar las diferentes clases de magnitudes

Establecer el correcto uso del Sistema Internacional de Unidades

Conocer las reglas básicas del Análisis Dimensional y sus principales aplicaciones.

ANÁLISIS DIMENSIONAL

El análisis dimensional es una rama auxiliar de la física que estudia la forma como se relacionan las magnitudes derivadas con las fundamentales. Tal estudio se hace básicamente para descubrir valores numéricos, a los que los llamaremos "Dimensiones", los cuales aparecen como exponentes de los símbolos de las magnitudes fundamentales. Se utiliza también para encontrar ecuaciones empíricas para un análisis aproximado de un fenómeno físico.

CONCEPTOS BÁSICOS

Magnitud: es todo aquellos que sea susceptible de aceptar una comparación con otra de su misma especie. Es toda propiedad de la materia que se puede medir y se puede expresar cuantitativamente en función de magnitudes elegidas como patrón. Ejemplo: la longitud, la masa, el tiempo.

Cantidad: es una porción definida de una magnitud.

Unidad de medida: cantidad elegida como patrón de comparación

Medición: operación realizada por el hombre, que consiste en averiguar las veces en que una unidad está contenida en otra cantidad de su misma especie

MAGNITUDESMAGNITUDES

ORIGEN NATURALEZA

Se clasifica según

M. FUNDAMENTALES

M. AUXILIARES

M. DERIVADAS

M. ESCALARES

M. VECTORIALES

M. TENSORIALES

Magnitudes Fundamentales: son todas aquellas que tiene la particular característica de estar presente en todos o casi todos los fenómenos físicos. Actualmente para muchos

científicos estas son:

Magnitudes Fundamentales Unidad Básica

Nombre Símbolo Nombre Símbolo

1. Longitud L metro m

2. Masa M kilogramo Kg

3. Tiempo T segundo S

4. Temperatura Termodinámica

θ kelvin K

5. Intensidad de Corriente Eléctrica

I ampere A

6. Intensidad Luminosa

J candela Cd

7. Cantidad de Sustancia

N mol mol

Magnitudes Auxiliares: es un pequeño grupo de cosas que al medirse no se pueden comparar con ninguna de las magnitudes fundamentales. Ellas

son:

NombreUnidad Básica

Nombre Símbolo

1. Ángulo Plano

Radián rad

2. Ángulo Sólido

Estereoradián sr

MAGNITUDES M. DERIVADAS: son aquellas que están en función de las

magnitudes fundamentales. Ejemplo: la velocidad, aceleración, fuerza, etc. Es el número más grande (ilimitado). Es una combinación de magnitudes fundamentales y/o auxiliares. Las combinaciones se realizan mediante operaciones de multiplicación, división, potenciación y radicación.

M. ESCALARES: son aquellas que quedan definidas conociendo su valor seguido de su unidad correspondiente. Ejemplos: 10 m. (longitud), 5kg. (masa), 10 s. (tiempo), 20 j. (trabajo), etc.

M.VECTORIALES: son aquellas que quedan definidas conociendo su valor, su unidad y su dirección. Ejemplos: 10 m/s←(velocidad), 2 m/s2 ←(aceleración), 10N↓(fuerza), etc.

SISTEMA DE UNIDADES

En 1790 se creó el primer sistema de unidades: el sistema métrico, como unidad fundamental el metro ( viene del griego metron que significa la medida). En la actualidad se utilizan dos grandes sistemas: el inglés (FPS) y el Sistema Internacional (SI).

Sistema Internacional: en 1960 en la 11° Conferencia General de Pesas y Medidas (Organización Internacional reunida en París-Francia) da a conocer un sistema de unidades basado en el sistema métrico decimal, en el cual se consideran siete magnitudes fundamentales y dos auxiliares o complementarias, las mismas que tendrán sólo una unidad básica

SISTEMA DE UNIDADES

Sistema Absoluto: es un conjunto de unidades que data desde 1820, basado en el sistema métrico, y que consideraba a la longitud, la masa y el tiempo como las magnitudes fundamentales, y cuyas unidades básicas eran las que se indican:

Sistema Técnico: es un conjunto de unidades que considera como magnitudes fundamentales a la longitud, la fuerza y el tiempo, muy empleado en muchos sectores de la Ingeniería.

Kg = kilogramo fuerza

Sub. Sistemas L M T

C.G.S. o segesimal absoluto cm g s

M.K.S. o Giorgi Absoluto M kg s

F.P.S. o sistema inglés pie lb s

Sub. Sistemas

L F T

C.G.S cm gr s

M.K.S. m kg s

F.P.S. pie lb s

ECUACIONES DIMENSIONALES

Llamadas "fórmulas dimensionales", son expresiones matemáticas que colocan a las magnitudes derivadas en función de las fundamentales, utilizando para ello las reglas básicas del álgebra, excepto la suma y resta.

Notación: A: se lee magnitud "A"; [A]: se lee Ecuación Dimensional de "A".

Reglas:

1.- Las magnitudes físicas así como sus unidades no cumplen con las leyes de la adición o sustracción, pero sí con las demás operaciones aritméticas.

L2+L2+L2=L2 ; LT-2 – LT-2

2.- Todos los números en sus diferentes formas son cantidades adimensionales, y su fórmula dimensional es la unidad.

[√3] = 1 ; [2π rad] = 1 ; [sen 45°] =1 ; [log 19] = 1

ECUACIONES DIMENSIONALES MÁS IMPORTANTES

Magnitud Derivada F.D. E. Matemática Unidad Tipo

Área o Superficie L2 A= l.a m2 EVolumen o Capacidad L3 V= l.a.h m3 E

Velocidad lineal LT-1 V= d/t m/s V

Aceleración lineal LT-2 A= ∆V/t m/s2 V

Aceleración de la Gravedad LT-2 A= ∆V/t m/s2 V

Fuerza, Peso, Tensión, Reacción MLT-2 F=m.a kg . m/s2 = Newton (N) V

Torque o Momento ML2T-2 Mo=F.d N . m V

Trabajo, Energía, Calor ML2T-2 W=F.d N . m = Joule (J) EPotencia ML2T-3 Pot= W/t Joule/s = Watt (W) E

Densidad ML-3 P= m/V kg/m3 E

Peso específico ML-2T-2 y = peso/V N/m3 E

Impulso, ímpetu, Impulsión MLT-1 J = F.t N . s V

Cantidad de Movimiento MLT-1 P=m.v kg . m/s V

Presión ML-1T-2 P=F/A N/m2 = Pascal (Pa) E

Periodo T T s E

Magnitud Derivada F.D. E. Matemática Unidad Tipo

Frecuencia Angular T-1 F= 1/T s-1 = Hertz (Hz) EVelocidad Angular T-1 ω = θ/t rad/s V

Aceleración Angular T-2 α= ω/t rad/s2 V

Caudal o Gasto L3T-1 G= V/t m3/s E

Calor Latente específico L2T-2 Ce= Q/m∆T cal/g ECapacidad Calorífica ML2T-2q-1 K =Q/∆T cal/°K E

Calor Específico L2T-2q-1 Ce= Q/m∆T cal/g.°K E

Carga Eléctrica IT Qe= i.t A . s = Coulomb (C) EPotencial Eléctrico ML2T-3I-1 V=w/qe J/C = Voltio (V) E

Resistencia Eléctrica ML2T-3I-2 R=V/i V/A = Ohm (W) E

Intensidad de Campo Eléctrico MLT-3I-1 E= F/qe N/C VCapacidad Eléctrica M-1L-2T4I2 C=qe/V C/V = Faradio (f) E

Nota: E = escalar y V = vectorial

PROPIEDADES DE LAS ECUACIONES DIMENSIONALES

1° Principio de Homogeneidad Dimensional o Principio de Fourier (P.H.).

Toda ecuación será dimensionalmente correcta si los términos que componen una adición o sustracción son de iguales dimensiones y si en ambos miembros de la igualdad aparecen los mismas dimensiones. En forma práctica, lo que debemos hacer, es cambiar los signos de SUMA o RESTA por signos de IGUALDAD.

Ejemplo:

2° Términos Adimensionales:

Los números, los ángulos, los logaritmos, las constantes numéricas (como p) y las funciones trigonométricas, se consideran como términos adimensionales porque no tienen dimensiones, pero para los efectos de calculo, se asume que es la unidad, siempre que vayan como coeficientes, de lo contrario se conserva su valor.

3° No se cumplen la suma y la resta algebraica.

Ejemplo:

[X] + [X] + [X] = [X] [M] - [M] = [M]

4° Todas las ecuaciones dimensionales deben expresarse como productos y nunca dejarse como cocientes.

Ejemplo: El término: , deberá ser expresado como:

PROPIEDADES DE LAS ECUACIONES DIMENSIONALES

MÚLTIPLOS Y SUBMÚLTIPLOS DE LAS UNIDADES

MÚLTIPLOS SUBMÚLTIPLOS

Nombre y Símbolo Factor Nombre y Símbolo Factor

Yotta (Y) 10 24 Deci (d) 10 -1

Zeta (E) 10 21 Centi (c) 10 -2

Exa (E) 10 18 Mili (m) 10 -3

Peta (P) 10 15 Micro (m) 10 -6

Tera (T) 10 12 Nano (n) 10 -9

Giga (G) 10 9 Pico (p) 10 -12

Mega (M) 10 6 Femto (f) 10 -15

Kilo (k) 1000 Atto (a) 10 -18

Hecto (h) 100 Zepto (z) 10 -21

Deca (da) 10 Yocto (y) 10 -24

EJERCICIOS RESUELTOS

EJERCICIOS RESUELTOS

EJERCICIOS RESUELTOS

PRÁCTICA

MUCHAS GRACIAS POR SU ATENCIÓN

«Cuando podemos medir aquello a que nos referimos y expresarlo en números, entonces sabemos algo acerca de ello; pero cuando no es posible medirlo ni expresarlo en números, nuestro conocimiento es

insuficiente y poco satisfactorio»