ANÁLISIS ESTADÍSTICO

UNIDAD 2:NOCIONES ELEMENTALES DE

PROBABILIDAD

Ing. Carlos Viteri Chávez, Mgs

INTRODUCCIÓN A LA ADQUISICIÓN DE SEÑALES

Estudiar y analizar los tipos de probabilidad.

Estudiar y aplicar las diferentes reglas de las probabilidades

Estudiar y analizar los conceptos de probabilidad, experimento, Espacio muestral, eventos,

Objetivos

Identificar y aplicar el enfoque adecuado para asignar probabilidades.

Introducción

• La inferencia estadística se relaciona con las conclusionesrelacionadas con una población sobre la base de una muestra que setoma de ella.

• Dada la incertidumbre existente en la toma de decisiones, esimportante que se evalúen científicamente todos los riesgosimplicados.

• La aplicación de teoría de la probabilidad permite a quien tomadecisiones y posee información limitada analizar los riesgos y reduciral mínimo el riesgo que existe

Por ejemplo, al lanzar al mercado un nuevo producto o aceptar un envío que quizá contenga partes defectuosas.

Términos principales de probabilidad

Puesto que los conceptos de la probabilidad son importantes en el campo de la inferencia estadística se introduce el lenguaje básico de la probabilidad, que incluye términos como:

1.- Probabilidad

2.- evento,

3.- experimento,

4.- resultado

4.- espacio muestral

5.- probabilidad subjetiva

6.- reglas de la adición y de la multiplicación

TERMINOLOGÍA BÁSICA

PROBABILIDAD

La probabilidad es una medida de la certidumbre asociada a un suceso oevento futuro y suele expresarse como un número entre 0 y 1 (o entre 0% y100%).

TERMINOLOGÍA BÁSICA

EXPERIMENTO

Un experimento, en estadística, es cualquier proceso que proporcionadatos, numéricos o no numéricos. Un conjunto cuyos elementos representantodos los posibles resultados de un experimento se llama espacio muestral yse representa como S.

El espacio muestral de un experimento siempre existe y no esnecesariamente único pues, dependiendo de nuestra valoración de losresultados, podemos construir diferentes espacios muestrales.

ESPACIO MUESTRALEl conjunto de los posibles resultados de un experimento aleatorio recibe

el nombre de espacio muestral del experimento. Denotaremos el espaciomuestral con la letra S.

TERMINOLOGÍA BÁSICA

EVENTOUn evento es un subconjunto del espacio muestral de un experimento aleatorio.

Los eventos mutuamente excluyentes son aquellos en los que si un evento sucede significa que el otro no puede ocurrir

Ejemplos:

Al lanzar una moneda sacar cara o cruzObservar una luz de semáforoObtener una calificación de una materia

TERMINOLOGÍA BÁSICA

EVENTOS NO INCLUYENTES

✓ Sacar un 5 y una carta de espadas. Son eventos no excluyentespues podemos tomar un 5 de espadas.

✓ Sacar una carta roja y una carta de corazones. Son eventos noexcluyentes pues las cartas de corazones son uno de los palosrojos.

✓ Sacar un 9 y una carta negra. Son eventos no excluyentes puespodemos tomar el 9 de espadas o el 9 de tréboles.

Tipos de probabilidades

Existen tres maneras básicas de clasificar la probabilidad; éstasrepresentan planteamientos conceptuales bastante diferentes parael estudio de la teoría de probabilidad.

1. El planteamiento clásico.

2. El planteamiento de frecuencia relativa.

3. El planteamiento subjetivo.

Probabilidad clásica

El planteamiento clásico define la probabilidad de que un evento ocurra como:

Ejemplo: ¿cuál es la probabilidad de obtener una cara en un solo lanzamiento de un

dado?

Número de resultados posibles en un lanzamiento en los que se presente el evento (en este caso, el número de resultados que producirán una cara) = 1Número total de resultado posibles en un lanzamiento (una cara y una cruz) = 2

𝑃 𝑐𝑎𝑟𝑎 =1

2

Frecuencia relativa de presentación

Se basa en el número de veces que ocurre el evento como proporcióndel número de intentos conocidos.

define la probabilidad como:

1. La frecuencia relativa observada de un evento durante un grannúmero de intentos o;

2. la fracción de veces que un evento se presenta a la larga, cuando lascondiciones son estables.

𝑃 empírica =Número de veces que el evento ocurre

Número total de observaciones

Determinamos qué tan frecuentemente ha sucedido algo en el pasado yusamos esa cifra para predecir la probabilidad de que suceda de nuevoen el futuro

Probabilidad Subjetiva

• Las probabilidades subjetivas están basadas en las creencias de laspersonas que efectúan la estimación de probabilidad.

• Se puede definir como la probabilidad asignada a un evento por parte deun individuo, basada en la evidencia que tenga disponible.

• Si se cuenta con poca o ninguna experiencia o información con la cualsustentar la probabilidad, es posible aproximarla en forma subjetiva

Algunos ejemplos de probabilidad subjetiva son los siguientes:1. Calcular la posibilidad de que los Patriotas de Nueva Inglaterra jueguen

el Súper Tazón el año que viene.2. Calcular la posibilidad de que usted contraiga matrimonio antes de los

30 años.3. Calcular la posibilidad de que el déficit presupuestario de Estados Unidos

se reduzca a la mitad en los siguientes 10 años.

TECNICAS DE CONTEO

Las técnicas de conteo son aquellas que son usadas para enumerareventos difíciles de cuantificar. Las más usadas son:

❖ El diagrama de árbol: Los diagramas de árbol son ordenacionesempleadas para enumerar todas las posibilidades lógicas de unasecuencia de eventos, donde cada evento puede ocurrir en un númerofinito. Proporcionan un método sistemático de enumeración objetivade los resultados.

❖ Análisis combinatorio:

Los diagramas de árbol muestran objetivamente elnúmero de resultados posibles en que se puede disponer de laordenación de un conjunto de elementos, pero estaenumeración es limitada, pues a medida que aumenta elnúmero de objetos dicha ordenación se complica, por lo quehay que utilizar otro procedimiento más sencillo paradeterminar el número total de resultados.

Con este fin, nos apoyaremos en los conceptospermutaciones y combinaciones, los cuales tienen como baseel principio fundamental del conteo.

PROBABILIDAD CONDICIONAL

Como su nombre lo indica se trata de determinar laprobabilidad de que ocurra un evento A (aposteriori) dado queya aconteció un evento B (apriori), y se representa medianteP(A|B), se lee probabilidad de A dado B o probabilidad de Acondicionada a B.

En la probabilidad condicional, consideramos que deun espacio muestral S se conoce únicamente el evento B, queconstituye un espacio muestral reducido.

PROBABILIDAD MARGINAL

Para obtener expresiones útiles en el cálculo de este tipode probabilidades, se realizará un ejemplo.

En un taller mecánico tienen un total de 135desatornilladores, los técnicos atribuyen a éstos doscaracterísticas cuando se los piden a sus ayudantes, su longitud(largo y cortos) y la forma de la punta que embona en los tornillos(planos o de cruz) de acuerdo a la definición de eventos que sigue,la distribución es la siguiente:

PROBABILIDAD CONJUNTA

Es la probabilidad de ocurrencia de dos o máseventos.

De la expresión P(B|A)=P(A∩B)/P(A) se pudedespejar P(A∩B)=P(A)P(B|A) expresión llamada Leyde multiplicación de probabilidades.

P(A∩B) recibe el nombre de probabilidadconjunta y corresponde a la probabilidad de que sepresenten resultados comunes a los eventos A y B.

REGLA MULTIPLICATIVA

Si en un experimento pueden ocurrir los eventos A y B,entonces

P(A ∩ B) = P(A)P(B|A), dado que P(A)>0.

Así la probabilidad de que ocurran A y B es igual a laprobabilidad de que ocurra A multiplicada por la probabilidadcondicional de que ocurra B, dado que ocurre A.

Como los eventos A ∩ B y B ∩ a son equivalentes, delteorema anterior se sigue que también podemos escribir

P(A ∩ B) = P(B ∩ A) = P(B)P(A|B).

En otras palabras, no importa qué evento se considerecomo A y cuál como B.

REGLA DE BAYES

La regla de Bayes es un caso especial de laprobabilidad condicional que se aplica cuando se desea calcularla probabilidad condicional de un evento que ocurrió primerodado lo que ocurrió después.

Para llegar a establecer tan útil regla vamos aestudiar una proposición previa.

Sean Al, A2, ,Ak, una partición de S, esto es

AiÇ Aj = Æ ,y . Entonces para cualquier evento B setiene que: P(B) = P(A1) P(B/A1) + P(A2) P(B/A2) + ¼ +P(Ak)P(B/Ak)

REGLA DE BAYES

Se aplica a la unión de eventos y se define como:Si A y B son dos eventos, entonces

P(A U B) = P(A) + P(B) - P(A ∩ B).

Cuando A y B son mutuamente excluyentes. Se lellama P(A U B) a la probabilidad de que ocurra el evento A o elevento B.

CONCLUSIÓN

Con el paso del tiempo el hombre siempre busca laforma o la manera de descubrir lo desconocido, porconsiguiente llegamos a esta teoría la teoría de la probabilidadque juega un papel muy importante en la vida del hombre,puesto que es cien por ciento útil en todos los campos deestudio y aprendizaje en que se necesite condiciones de azar.

Debemos tomar los puntos clave, tener el espaciomuestral o un resultado ya esperado en una determinadaposición y poder dar un valor a ese ejemplo por lo cual caveanalizar cada paso a realizar para obtener un resultado másespecifico y saber algunas ecuaciones que nos ayudan a dar lasrespuestas a ellos de una manera más rápida y clara