Análisis matemático de la extracción de energía del oleaje y

su efecto en la hidrodinámica de una columna de agua

oscilante, costera.

Director del proyecto: Dr. Eric Gustavo Bautista Godínez

Centro de Adscripción: ESIME Azcapotzalco

1.- Durante el desarrollo del proyecto “Análisis matemático de la extracción de

energía del oleaje y su efecto en la hidrodinámica de una columna de agua

oscilante, costera”, se incursionó en el conocimiento del desarrollo de nuevas

tecnologías orientadas a las fuentes alternas de energía.

2.- Este proyecto permitió el desarrollo de tres artículos científicos, uno en congreso

internacional y dos en revistas de conocimiento de frontera de alto impacto, que tienen

por título:

E.G. Bautista, F. Méndez y J.C. Arcos., (2008). Análisis teórico de la

transformación del oleaje, en un canal con forma parabólica y su uso como

fuente alterna de energía. XXIII Congreso Latinoamericano de Hidráulica,

Cartagena de Indias Colombia, Septiembre del

E.G. Bautista, F. Méndez, O. Bautista., (2008). Numerical Predictions of the

Generated Work in an Air-Compression Chamber driven by an Oscillating

Water Column. Open Ocean Engineering.

E.G. Bautista, F. Méndez and O. Bautista., (2008). Numerical predictions in an

air compression chamber OWC coupled with a parabolic open channel. Ocean

Engineering.

3.-Se atendió al alumno PIFI, Serrano Huerta Daniel Armando, de nivel licenciatura,

induciéndole en nuevas herramientas matemáticas y numéricas, las cuales le serán de

utilidad en sus estudios, y sin duda en su ejercicio profesional

4.- Se dirigió y presentó la tesis del alumno Meneses Marquez Tonatiuh Mauricio,

con titulo Influencia del proceso de imbibición de un fluido no newtonino sobre el

campo de temperaturas de un medio poroso

5- El estudio detallado de describe a continuación

Resumen

En este trabajo se plantea la ecuación de gobierno que simula el comportamiento del

movimiento de una columna de agua oscilante, conocida como OWC (por sus siglas en

ingles), acoplada con la ecuación de gobierno de un tren de ondas que se propaga en el

interior de un canal con forma horizontal parabólica. Se plantea una solución analítica que

permite describir el comportamiento de la OWC bajo distintas condiciones de oleaje, en un

límite asintótico, dadas las características de la ecuación de gobierno en su forma general,

su solución es determinada utilizando un método numérico del tipo Runge-Kutta de cuarto

orden. En este trabajo se considera que la propagación de ondas oceánicas tienen se

encuentran en un estado de flujo somero. Con la finalidad de verificar el efecto del oleaje

en la OWC, primeramente se estableció el modelo analítico en su forma adimensional

basado en la ecuación de la energía. El propósito de un sistema Oleaje-Potencia tiene dos

objetivos principales: 1) perturbar el oleaje como una consecuencia de la forma parabólica

del canal, con la finalidad de concentrar la máxima amplitud en la vecindad de la OWC y 2)

determinar la máxima presión y el volumen de oscilación del aire en el interior de la cámara

de compresión de la OWC, para obtener la máxima potencia mecánica.

Introducción

La presente tendencia para resolver los problemas ambientales causados por la producción

de energías térmicas se ha enfocado al uso de energías no-renovables. Sin embargo la

mayoría de los países no ha dirigido sus esfuerzos a la explotación de los océanos, los

cuales cuentan con una enorme concentración de energía cinética y potencial.

Los transformadores de energía oceánica, basados en la Oscilación de de Columnas de

Agua (OWC, por sus siglas en ingles), operan principalmente con tecnología convencional

y probablemente su gran éxito se debe a su simplicidad mecánica y estructural. Ésta

consiste en una estructura hueca parcialmente sumergida que se encuentra conectada con el

agua del mar. La estructura encierra parcialmente una columna de agua que se encuentra

expuesta a la incidencia del oleaje por la parte inferior de la OWC, y su superficie libre se

encuentra en contacto con la atmósfera. Cuando el oleaje interactúa con la OWC, ésta

tiende a elevarse o a descender, según sea el movimiento de las olas. Cuando la columna de

agua se eleva ésta produce una compresión del aire y caso contrario una expansión.

En la literatura especializada existe una gran diversidad de estudios relacionados con las

OWC. Evans (1972) modeló este dispositivo considerando dos estructuras OWC separadas,

que se encuentran en el interior de un canal rectangular esbelto, él consideró que el oleaje

tenía un comportamiento lineal y usó métodos de expansión asintóticos, con la finalidad de

obtener resultados de máxima potencia. Otros autores han enfocado sus esfuerzos a la

determinación de la máxima potencia que pueda proporcionar una OWC, considerando

análisis de control de apertura y cierre de válvulas, intentando determinar la máxima

compresión del aire, Falcao y Sarmento, (1980). Otros investigadores han estudiado la

eficiencia de las OWC, considerando un arreglo de estructuras a lo largo de la costa con la

finalidad de eficientar la potencia mecánica, sin embargo los estudios realizados han

mostrado que colocar dos estructuras OWC contiguas, la eficiencia mejora, no así en el

caso de colocar más de dos estructuras, (Budal et al., (1979), (1980)).

Falcao y Justino, (1998) propusieron un modelo teórico para simular la conversion de

energía, proveniente del oleaje y su interacción con una turbina shaft. La resonancia de las

OWC presenta diversas utilidades en el campo de la ingeniería ambiental, como pueden ser

la acuacultura, bombeo de agua contaminada de lagunas al mar (Czitrom, 1997, Czitrom et

al., 1999, Czitrom ,1999; Czitrom, 2000). Bocotti, (2007) propuso una novedosa geometría

de una OWC basada en un tubo vertical que se encuentra paralelo a la OWC y que conecta

al mar con la estructura, este propuesta mejoró la eficiencia de las estructuras OWC.

Erickzon et al., (2005) presentó un estudio numérico de olas interactuando con un

resonador cilíndrico considerando que éste puede simularse como un amortiguador viscoso.

En este trabajo, se presenta un modelo analítico acoplado, que describe el comportamiento

hidrodinámico de la oscilación de una columna de agua, perturbada por la acción de un

grupo de ondas que se propagan en el interior de un canal esbelto con forma horizontal

parabólica y profundidad constante. Se considera que un canal con estas características

permite una concentración eficiente de ondas oceánicas, Bautista and Méndez (2008). Se

presenta la ecuación de la energía en su forma general, y se proponen parámetros

adimensionales en función de longitudes características, la ecuación de la energía es

manipulada con la finalidad de obtener una ecuación diferencial ordinaria no-lineal, bajo la

suposición que el nivel de la superficie libre del agua de la OWC permanece constante. Se

presentan resultados de la hidrodinámica de la OWC bajo distintas condiciones de oleaje y

de configuración geométrica, tanto del la OWC como del canal de propagación. Los

resultados muestran el efecto que la oscilación de la columna de agua tiene en la

compresión del aire y la potencia mecánica que se presenta en consecuencia. Este modelo

analítico acoplado nos permite identificar la competencia entre las fuerzas de restitución y

excitación, con la finalidad de amplificar o decrecer la columna de agua.

Modelo matemático

En este trabajo se considera la oscilación de una columna de agua que tiene un ancho 2H y

y una altura S por arriba del nivel medio del mar y que se encuentra separada de la línea de

costa una longitud L , la estructura está sumergida una profundidad D y separada una

longitud W con respecto al fondo. El espesor de la pared de la OWC es 1S y es pequeña

comparada con H . El canal horizontalmente, tiene una forma parabólica, con distribución 2y ax H , donde a es el foco de la parábola, en este estudio consideramos que la

profundidad del canal es contante 0h , Fig. 1. and Fig.2.

Fig. 1. Vista en planta del sistema acoplado OWC-Canal.

Fig. 2. Vista en perfil del sistema acoplado OWC-Canal

El sistema de referencia considerando es cartesiano, en el cual los ejes x and y están

contenidos en el plano horizontal del nivel medio del mar y el eje z es positivo hacia

arriba. En este trabajo se considera transformar una onda de amplitud pequeña en una onda

propagándose en un flujo somero, como una consecuencia de la sección transversal del

canal parabólico. Para un canal con sección transversal variable, con ancho mucho menor

que su longitud, L b x , es de esperarse que la variación de las corrientes y superficie

libre del agua sean poco significativas, en comparación con el efecto longitudinal. Lo

anterior se justifica, dado que las condiciones de frontera de flujo normal a las paredes del

canal es cero, lo cual implica que las variaciones de en estas condiciones es despreciable,

por tal razón el fenómeno puede considerarse como unidimensional, Mei, (2005).

En este estudio consideramos las ecuaciones para flujo somero (SWE), Ecs. (1) y (2), que

representan un flujo no-viscoso, se asume que los efectos de la fricción del fondo, esfuerzos

cortantes y gradientes presión sobre la superficie libre del agua son despreciables.

Incidentwave

x

y

y=ax²+H

H2H

a

0 b(x)

OWC

L

z

Mean sea

water levelh0

OWC

Compression

chamber

2H

W

L

S1

Turbine

AirS

y

D

U

gt x

(1)

0U

ht x

(2)

En las SWE, U es la velocidad media del agua, es la superficie libre, 0h h constante y

t es el tiempo.

La Ec. (2) puede expresarse como una función del área de la sección transversal A(x)

( )

( )

UA x

t x b x

(3)

donde 0( )A x b x h y 2( ) / 2 2b x x a H . Combinando las Ecs. (1) y (3), la ecuación

de gobierno de la hidrodinámica del movimiento del oleaje en su forma adimensional se

escribe de la siguiente manera, Bautista y Méndez, (2008)

2 2

2

21 1 0

2 2r

d dF Fr

d d

(4)

Con condiciones de frontera

0 : 0

1: 1 i

d

d

donde , , , ,r iF es la solución de la ecuación diferencial ordinaria, Ec. (4), que

representa la oscilación de la superficie libre del agua, expresada adimensionalmente,

2

0 /rF gh L , 2 / 2L aH , /i A H , 1T , T es el periodo de la onda a es el

foco de la parábola, g es la gravedad y A es la amplitud física del oleaje en la frontera

abierta del canal.

La hidrodinámica de la oscilación de la superficie libre del canal se describe mediante la

ecuación de la energía ec. (5).

2 2 21 10

2 2

i

c a c a ce

V Kds P P V V g y V

t

(5)

donde cP y aP son las presiones en el interior de la cámara de compresión y la presión

atmosférica respectivamente, la /V t es la razón de cambio de la cantidad de

movimiento, K es una constante de fricción del material de la estructura OWC, y es el

desplazamiento de la superficie libre de la columna de agua, es la oscilación de la

superficie libre del oleaje, es la densidad del agua, i y e indican fuera y dentro OWC

respectivamente.

El término /i

eV t ds en la ec. (5), se puede expresar de la siguiente forma

2 2

2 2

i

e

V yds y W W

t t t

(6)

Sustitutyendo la ec. (6) en la (5), resulta

2 2

0

2 2

2 2 2

1

10

2 2

k

a a

c

Vyy W W P P

t t V

y K yg y

t t t

(7)

donde 0V es el volumen de aire en el estado inicial en la cámara de compresión de la OWC

y cV corresponde al volumen de aire que oscila como consecuencia del aumento o

decremento de la altura de la columna de agua, k es el radio del calor específico que está

definido por /p vk C C , donde pC es el cambio de entalpía en función de la temperatura a

presión constante vC es el cambio de energía interna a volumen constante, en este trabajo

consideramos que 1.4k .

La ec. (7) es función de diversas variables propias del fenómeno, su solución, en estas

condiciones implica un gran cantidad de combinaciones, por tal razón se consideró

expresarla en términos de las siguientes variables adimensionales

t , /Y y H and / H .

Sustituyendo las variables anteriores en la ec. (7), resulta

2 2

2 2 23

2 2 2

2

/ 11 1 1

41

02

ai i k

a

i i

PYY

HW HY

V

Y g K YY

W

(8)

Arreglando términos la ec.(8), se puede expresar de la siguiente manera

2

2

2 2 22

2

11 1

1

12

i i k

k

i j i i i j

YY

Y

Y K YY

(9)

donde

2

/ai

P

HW

,

2j

g

W

,

34k

a

H

V and /i H W

El parámetro adimensional j representa la influencia geométrica de la OWC en la

cinemática del oleaje, k y i relaciona los parámetros geométricos de la OWC.

Finalmente agrupando términos y normalizando la ec. (9), se obtiene

22

2

22 2 2

11 1 1

21

1 cos cos

sin cos

i i j ik

k

i j i

j i j i

Y K YY Y

Y

(10)

Para poder determinar el efecto de , en la oscilación de la columna de agua es

necesario integrarla a lo largo del eje longitudinal de la siguiente forma.

1

0d

(11)

Como se aprecia la ec. (10) está expresada en términos de derivadas parciales, sin embargo

hemos establecido que la superficie libre del agua de la columna de agua oscilante,

permanece horizontal, en tales circunstancias, ésta únicamente varía en la dirección de Y, y

la ecuación (10) puede expresarse en términos de derivadas ordinarias

22

2

22 2 2

11 1 1

21

1 cos cos

sin cos

i i j ik

k

i j i

j i j i

d Y K dYY Y

d Y

(12)

La ec. (12) representa el sistema acoplado entre la estructura OWC y el canal parabólico,

que describe el comportamiento de la oscilación de la columna de agua, como una función

de cinco parámetros adimensionales , , , andi j k i j .

Resultados

En todos los cálculos numéricos, consideramos los siguientes datos: 10 mW ,

10.16 s , 0.001 , 0.0001 , 31000 kg/m el ancho de la OWC H y la

amplitud del oleaje en la frontera abierta del canal A, están relacionadas con el parámetro

/ 1i A H . Con la finalidad de analizar la oscilación de Y, usamos un método numérico

de cuarto orden en precisión Runge-Kutta.

Las Figuras 3 y 4 muestran diferentes resultados numéricos de la variable adimensional

como una función de la coordenada y diferentes valores del parámetro rF , estableciendo

el valor de constante. En la Fig. 3, se muestra la solución numérica para valores grandes

del parámetro rF , como se aprecia, la elevación de la superficie libre del agua decrece y su

longitud aumenta, si se comparan con los graficados en la Fig. 4, donde si rF disminuye la

longitud de la ola crece.

La oscilación de la superficie libre del agua es función de diversas variables, en este trabajo

estamos considerando dos efectos principales, la cinemática del oleaje y la geometría de la

OWC. El primero de los efectos está incluido en el parámetro rF , que se describió

previamente y el segundo en el parámetro i . Las Figuras 4 y 5 revelan claramente el

comportamiento de la variable /Y y H , como una función de los parámetros

100, 200, 300 and 400i , 38j , 0.3k , 0.65i y 0.065j ; el valor de Y

crece a medida que i decrece, caso contrario Y disminuye.

Las Figuras 7 y 8 muestran la variación de la presión en el interior de la cámara de

compresion, ésta es calculada a partir de la siguiente ecuación

0

k

c a

c

VP P

V

(1.13)

En estas figuras se aprecia que para una disminución en los valores de i la presión del aire

experimenta un incremento y el volumen del aire una disminución, ver Figuras 9 y 10, no

obstante se puede observar que P y V están en fase con la oscilación Y.

Fig. 3. Solución numérica de la superficie libre adimensional , como un function de la

coordenada , considerando valores de 1 , 50 y 0.01, 0.02rF

Fig. 4. Solución numérica de la superficie libre adimensional , como un función de la

coordenada , considerando valores de 1 , 50 y 0.0055, 0.01rF .

Fig. 5. Solución numérica de la oscilación de la superificie libre adimensional de la OWC,

, considerando valores de 0.01rF , 50 y 100, 200i .

Fig. 6. Solución numérica de la oscilación de la superificie libre adimensional de la OWC,

, considerando valores de 0.01rF , 50 y 300, 400i .

Fig. 7. Solución numérica de la oscilación de la presión adimensional en el interior de la

cámara de compresión de la OWC, /c aP P P , considerando valores de los parámetros

adimensionales 0.01rF , 50 and 100, 200i .

Fig. 8. Solución numérica de la oscilación de la presión adimensional en el interior de la

cámara de compresión de la OWC, /c aP P P , considerando valores de los parámetros

adimensionales

0.01rF , 50 y 300, 400i .

Fig. 9. Solución numérica de la oscilación del volumen de aire adimensional en el interior

de la cámara de compresión de la OWC, 0/cV V V , considerando valores de los

parámetros adimensionales 0.01rF , 50 y 100, 200i .

Fig. 10. Solución numérica de la oscilación del volumen de aire adimensional en el interior

de la cámara de compresión de la OWC, 0/cV V V , considerando valores de los

parámetros adimensionales 0.01rF y 50 .

Fig. 11. Potencia adimensional extraida de la cámara de compresión, en función del

parámetro adimensional i

Conclusiones

En este proyecto se desarrolló un sistema acoplado OWC-Canal parabólico, con la finalidad

de transformar la energía marítima producida por el oleaje en mecánica. Las ecuaciones de

flujo somero fueron acopladas con la ecuación de la energía con la finalidad de analizar la

influencia que tiene el oleaje en la hidrodinámica de la oscilación de la columna de agua,

bajo distintas condiciones geométricas de la OWC y del canal parabólico. Usar la ecuación

de gobierno de la OWC en términos de variables físicas implica una gran cantidad de

posibilidades, por tal razón en este trabajo se considerarón variables adimensionales, las

cuales mostraron una gran versatilidad en el análisis del fenómeno en estudio.

La solución de la ecs. (4) y (12) fueron obtenidas numéricamente usando un método de

cuarto orden Runge-Kutta, se propusieron diferentes valores de los parámetros

adimensionales y se pudo observar que la hidrodinámica de la OWC es altamente

influenciada por el parámetro i , lo cual demuestra que para valores grande de i , la

amplitud Y crece, la presión y el volumen del aire decrece. Con estos resultados obtuvimos

la potencia mecánica que se muestra en la Fig. 11, como una función del parámetro i .

Referencias

E.G. Bautista, F. Méndez, O. Bautista.,(2008). Theoretical analysis of the propagation of

shallow water waves in an open parabolic channel. Ocean Engineering.

Boccotti Paolo, 2007. Comparison between a U-OWC and a conventional OWC. Ocean

Engineering, Volume 34, Issues 5-6, Pages 799-805.

Budal, K., Falnes, J., Kyllingstad, A., Oltedañ, G., 1979. Experiments with point absorvers.

1st symposium on Wave Energy Utilization, Gotehburg.

Budal, K., Falnes, J., 1980. Interacting point absorbers with controlled motion. In: Count,

B.M. (Ed.), Power fom Sea Waves. Academic Press, New York.

Evans D. V., 1972. The Oscillating Water Column Wave-energy Device

IMA J Appl Math, December 1978; 22: 423 - 433.

Czitrom, S.P.R., 1997. Wave energy-driven resonant sea-water pump. Journal of Offshore

Mechanics and Arctic Engineering, Transactions of the ASME 119, 191–195.

Czitrom, S.P.R., 2000. Patent pending. Sintonizador para sistemas de extraccion de energía

de oleaje que operan por resonancia. Solicitud de Patente Mexicana No. 933605.

Czitrom, S.P.R., Godoy, R., Prado, E., Pe´ rez, P., Peralta-Fabi, R., 2000. Hydrodynamics

of an oscillating water column seawater pump. Part I: theoretical aspects. Ocean

Engineering 27, 1181–1198.

Czitrom, S.P.R., Prado, E., Godoy, R., Rodríguez, R., Peralta, R., 1996. Sea-water pumping

by resonance II. In: Proceedings of the Second European Wave Power Conference,

Lisbon, November. pp. 324–328.

Eriksson M. J. Isberg, M. Leijon, 2005. Hydrodynamic modelling of a direct drive wave

energy converter. International Journal of Engineering Science, Volume 43, Issues

17-18, Pages 1377-1387.

Falcão A. F. de O., Justino P. A. P. OWC wave energy devices with air flow control. Ocean

Engineering, Volume 26, Issue 12, December 1999, Pages 1275-1295.

Falcao, A.F. de O., Sarmento, A.J.N.A., 1980. Wave generation by a periodic surface

pressure and its application in wane-energy extraction. In: 15th International

Congress on Theoretical and Applied Mechanics, Toronto.