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Análisis Numérico Avanzado Facultad de Ingeniería-UBA

Guillermo POLTARAK Pág. 1 de 21

ANÁLISIS NUMÉRICO AVANZADO FACULTAD DE INGENIERÍA

UNIVERSIDAD DE BUENOS AIRES

TRABAJO PRÁCTICO Nº 2 2° Cuatrimestre 2009

Resolución en Elementos Finitos de ondas de gravedad en 2D

Índice Índice ............................................................................................................................................. 1 1. Ecuación gobernante .............................................................................................................. 2 2. Condiciones de borde ............................................................................................................. 2 3. Discretización de la función η y de las coordenadas x,y ........................................................ 3 4. Formulación débil .................................................................................................................. 5 5. Integración numérica.............................................................................................................. 7 6. Verificación con geometrías simples ..................................................................................... 8 7. Problema de aplicación ........................................................................................................ 10 8. Análisis de resultados .......................................................................................................... 13 9. Conclusiones ........................................................................................................................ 17 10. Referencias ........................................................................................................................... 19 Anexo: código fuente .................................................................................................................. 20



1. Ecuación gobernante La siguiente ecuación simula la refracción, difracción y reflexión de ondas de gravedad en zonas costeras [1][2][6]. Si bien no se requiere gran complejidad para incluir la disipación por fricción, esta primera aproximación no la tiene en cuenta.

( ) 02 =+∇⋅∇ ηη gpgp cckcc (ec. 1) donde ( ) ( )[ ]tieyxtyx ωηζ −= ,Re,, ( )tyx ,,ζ [m] Elevación de la superficie libre ( )yx,η [m] Amplitud de la onda (no depende del tiempo)

kc p

ω= [m/s] Velocidad de fase

( )( ) ⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡ −+=

khkhkhcc pg tanh

tanh1121 2

[m/s] Velocidad de grupo

( )khgk tanh2 =ω [1/s] Frecuencia angular k [1/m] Número de onda h [m] Profundidad Las magnitudes cp y cg figuran calculadas con su expresión completa, haciendo que no tengamos que limitarnos a aguas profundas ni poco profundas.

2. Condiciones de borde

ηη ~= condición en el contorno de Dirichlet Γu Procuraremos introducir condiciones de Dirichlet en zonas en las que se mantengan constantes la amplitud, frecuencia y dirección del oleaje.

qn

~=∂∂η

condición en el contorno de Neumann Γq

En contornos rígidos, verticales e impermeables, como es el caso de una dársena portuaria, se cumple 0=∂∂ nη . Si, en cambio, existen estructuras permeables que reflejan parte de las ondas, se aplica αηη =∂∂ n donde α es un coeficiente complejo. Finalmente, pueden imponerse condiciones de borde abiertas en bordes donde las ondas se propaguen hasta el infinito [5].



3. Discretización de la función η y de las coordenadas x,y Discretizaremos a la función η utilizando la función u de la siguiente forma:

( ) ( ) ( )∑=

=≅n

iii uyxhyxuyx

1

,,,η (ec. 2a)

donde hi(x,y) funciones de interpolación dato ui valores nodales incógnita, independientes de x,y n cantidad de nodos por elemento Expresamos la ec. 2a matricialmente:

( ) ( ) ( ) ( )[ ] ( ) UyxH

u

uu

yxhyxhyxhyxu

n

n ⋅=

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

⋅= ,,,,, 2

1

21 ML (ec. 2b)

Pero hallar funciones genéricas hi en función de x e y para elementos de varios nodos puede ser engorroso. Preferimos utilizar funciones de interpolación en función de r,s. Por eso, llevamos las ec. 2 a nivel elemental expresando las coordenadas globales x,y en función de las coordenadas elementales r,s.

Fig 1 – Coordenadas globales y elementales para un elemento cuadrangular de 9 nodos

r = –1

r = 0 r = 1

s = –1

s = 0

s = 1

s

r

1

8

4 7

3

6

2

5

x

y

9



( ) ( ) ( ) ( )∑=

=n

ii

ei

e xsrhsrx1

,, (ec. 3a)

( ) ( ) ( ) ( )∑=

=n

ii

ei

e ysrhsry1

,, (ec. 4a)

( ) ( ) ( ) ( )∑=

=n

ii

ei

e usrhsru1

,, (ec. 5a)

Expresándolas matricialmente:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )[ ] ( ) ( ) XsrH

x

xx

srhsrhsrhsrx e

n

en

eee ⋅=

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

⋅= ,,,,, 2

1

21 ML (ec. 3b)

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )[ ] ( ) ( ) YsrH

y

yy

srhsrhsrhsry e

n

en

eee ⋅=

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

⋅= ,,,,, 2

1

21 ML (ec. 4b)

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )[ ] ( ) ( ) UsrH

u

uu

srhsrhsrhsru e

n

en

eee ⋅=

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

⋅= ,,,,, 2

1

21 ML (ec. 5b)

Derivando las ec. 3 y 4 obtenemos el Jacobiano de la transformación:

( )

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )ee

nn

n

n

e

XsrH

yx

yxyx

ssrh

ssrh

ssrh

rsrh

rsrh

rsrh

sy

sx

ry

rx

J

⋅∇=

=

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

⋅⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

=⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

=

,

,,,

,,,22

11

21

21

MML

L

(ec. 6)

Derivando la ec. 2 obtenemos el gradiente de u:

( ) ( )[ ] ( ) UyxHUyxHyxu ⋅∇=⋅∇=∇ ,,, (ec. 7) Pero nuevamente nos conviene dejarlo expresado en función de las variables elementales:



( )( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )srHJ

ssrh

ssrh

ssrh

rsrh

rsrh

rsrh

ys

yr

xs

xr

ysrh

ysrh

ysrh

xsrh

xsrh

xsrh

yxH

ee

n

n

n

n

,,,,

,,,

,,,

,,,

,

1

21

21

21

21

∇⋅=⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

⋅

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

=

=

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

=∇

−

L

L

L

L

(ec. 8)

Por último, reemplazamos la función discretizada (ec. 2) en la ecuación original (ec. 1): ( ) ( ) 02 ≠+∇⋅∇= ucckuccuR gpgp (ec. 9)

A este resultado lo llamamos residuo, que si bien era nulo en la ec. 1, ya no lo es, debido a que reemplazamos la solución exacta η por la función aproximada u. El método desarrollado a continuación intenta que el residuo sea lo menor posible.

4. Formulación débil La ec. 1 representa a la formulación fuerte del problema. Intentaremos llevarla a la formulación débil, ya que esta última pide un orden de diferenciación menor para la solución, permitiendo capturar soluciones en las cuales la formulación fuerte presenta discontinuidades. Aplicamos el método de los residuos ponderados [4]:

( ) ( ) 0~~ =Γ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

∂∂

−+Γ−+Ω ∫∫∫ΓΓΩ q

ju

jj dnuqwduuwduRw (ec. 10)

siendo Ω dominio de cálculo wj funciones de peso, con j = 1, 2, …, n ( )uu −~ residuo de las condiciones de borde de Dirichlet

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

∂∂

−nuq~ residuo de las condiciones de borde de Neumann

Si utilizamos el método de Galerkin, las funciones de peso wj son las mismas que las funciones de interpolación hj utilizadas en la ec. 2. Además, si imponemos que las condiciones de borde de Dirichlet se cumplan exactamente en el contorno donde están impuestas, es decir uu =~ en Γu, entonces el segundo término de la ec. 10 se anula, quedando:

( ) 0~ =Γ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

∂∂

−+Ω ∫∫ΓΩ q

jj dnuqhduRh (ec. 11)

Reemplazando al residuo por su expresión (ec. 9) y a las funciones de peso por el arreglo TH que las contiene:



( ) 0~2 =Γ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

∂∂

−+Ω+Ω∇⋅∇ ∫∫∫ΓΩΩ q

Tgp

Tgp

T dnuqHudcckHduccH

Reemplazando ahora a la función u y sus derivadas por las expresiones matriciales, presentes en las ec. 5b y 8:

( ) 0~2 =Γ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

∂∂

−+Ω⋅+Ω⋅∇⋅∇ ∫∫∫ΓΩΩ q

Tgp

Tgp

T dnuqHdUHcckHdUHccH

El primer término puede integrarse por partes:

0~2 =Γ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

∂∂

−+Ω⋅+Γ⋅⋅∇+Ω⋅∇∇− ∫∫∫∫ΓΩΓΩ q

Tgp

Tgp

Tgp

T dnuqHdUHcckHdnUHccHdUHccH (

Como nunUH ∂∂=⋅⋅∇ ( , la ecuación anterior queda:

0~2 =Γ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

∂∂

−+Ω⋅+Γ∂∂

+Ω⋅∇∇− ∫∫∫∫ΓΩΓΩ q

Tgp

Tgp

Tgp

T dnuqHdUHcckHd

nuccHdUHccH

Los vectores U son variables nodales independientes de x,y, con lo cual pueden salir de las integrales. Pasando de término:

( ) ( )∫∫∫ΓΓΩ

Γ⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ −

∂∂

++Γ∂∂

=⋅Ω−∇∇q

gpT

ugp

Tgp

Tgp

T dccnuqHd

nuccHUdHcckHHccH 1~2

Esta ecuación junto con las condiciones de borde de Dirichlet uu =~ en Γu, constituyen la formulación débil del problema. En concordancia con el problema de elasticidad lineal, se suelen llamar:

( )∫Ω

Ω−∇∇= dHcckHHccHK gpT

gpT 2 matriz de rigideces (ec. 12)

( )∫∫ΓΓ

Γ⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ −

∂∂

++Γ∂∂

=q

gpT

ugp

T dccnuqHd

nuccHF 1~ vector de fuerzas (ec. 13)

Con lo cual sólo resta resolver el sistema de ecuaciones lineales FUK =⋅



5. Integración numérica El método de integración empleado para resolver las ec. 12 y 13 es la cuadratura de Gauss. La cantidad de puntos de Gauss a emplear viene de la mano del orden del integrando, que a su vez es función del tipo de elemento. Puede demostrarse que, si bien un elemento distorsionado modifica el orden del integrando al introducir un Jacobiano dependiente de las variables r y s, para integrarlo en forma exacta no es necesario utilizar más puntos de Gauss que los que harían falta para integrar un elemento sin distorsionar. Para el caso de elementos cuadrangulares, el método de Gauss queda:

( ) ( ) ( ) ( ) ( )[ ]∑∑∫ ∫∫= =

Ω≈=Ω

ns

j

nr

ijijiji srJsrIdsdrJsrIdyxI

1 1

1

1-

1

1- ,det, det, , αα

donde nr cantidad de puntos de Gauss en dirección r ns cantidad de puntos de Gauss en dirección s Para el caso de elementos triangulares la integración es levemente distinta, dado que los límites de integración no son fijos sino que dependen de las coordenadas elementales:

( ) ( ) ( ) ( ) ( )[ ]∑∫ ∫∫=

−

Ω≈=Ω

n

iiiiii

rsrJsrIdsdrJsrIdyxI

1

1

0

1

0 ,det, det, , α

donde ahora n cantidad total de puntos de Gauss en el elemento triangular Tomamos los valores de puntos de Gauss y coeficientes de peso α del libro Bathe [7]. A continuación especificamos la cantidad de puntos de Gauss necesaria para integrar en forma exacta cada uno de los elementos utilizados.

Forma de elemento Cantidad de nodos Interpolación Puntos de Gauss Triangular 3 Lineal 3 en total Triangular 6 Cuadrática 7 en total

Cuadrangular 4 Lineal 2 x 2 = 4 Cuadrangular 9 Cuadrática 3 x 3 = 9

Tabla 1 – Cantidad de puntos de Gauss necesarios para cada elemento



6. Verificación con geometrías simples Llevaremos a cabo algunos chequeos para cerciorarnos de que el modelo arroje resultados coherentes. El más simple consiste en llevar la ec. 1 a una única dimensión x haciendo que las amplitudes permanezcan constantes en y. Si además imponemos tirante constante, el producto cp cg sale de la derivada quedando:

( ) 022

22 =⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

∂∂

=+∇⋅∇ ηηηη kx

cccckcc gpgpgp

con lo cual 022

2

=+∂∂ ηη k

x, cuya solución es ( )kxcos=η .

Adoptamos k = 2 y un canal de longitud L = 2π, con lo cual la solución deberían ser dos longitudes de onda completas. Los resultados obtenidos son:

Fig 2 – Canal rectangular para verificación Graficamos un corte en la coordenada x y observamos que las soluciones analítica y numérica coinciden:



-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

0

0.29

9

0.59

8

0.89

8

1.19

7

1.49

6

1.79

5

2.09

4

2.39

4

2.69

3

2.99

2

3.29

1

3.59

3.89

4.18

9

4.48

8

4.78

7

5.08

6

5.38

6

5.68

5

5.98

4

6.28

3

NuméricaAnalítica

Fig 3 – Canal rectangular para verificación, corte longitudinal Por último, simulamos variaciones de este canal rectangular para observar atenuación de amplitudes luego de un estrechamiento, y analizar la convergencia del modelo ante distintas configuraciones de mallado (libre, estructurado, más o menos denso).

Fig 4 – Distintas geometrías/mallados para verificación



7. Problema de aplicación Aprovecharemos las ventajas del método para adaptarse a geometrías complejas, seleccionando un dominio bidimensional en el cual resolver la ecuación de translación de ondas. Se trata de la dársena E del Puerto Nuevo de la Ciudad de Buenos Aires, actualmente en desuso.

Fig 5 – Ubicación del sistema a analizar: Dársena E del Puerto Nuevo de Buenos Aires

0 100 200 300 400 500 metros



Contamos con un plano y la batimetría de la zona, con lo cual podemos extraer dimensiones y profundidades de la dársena.

378,59401,68

454,28

610,11634,37

677,44

253,48

0,00

109,94

1032

,90

1125

,59

726,

88147,

95

0,00

494,

09

309,

2632

8,73

428,

75

470,

65

662,13

612,44

Fig 6 – Dimensiones del sistema (en metros)

Fig 7 – Batimetría Canal de Pasaje, 5to espigón



Las condiciones de contorno han sido adoptadas de la siguiente manera: Contorno de Dirichlet (en verde) amplitud constante Contorno de Neumann (en rojo) derivada de la amplitud nula (contorno impermeable) En todo el dominio profundidad h = 5 m frecuencia ω = 0.07 1/s Adoptados estos valores de h y ω, obtenemos de las ecuaciones de difusión el número de onda k = 0.01 1/m, resultando una longitud de onda de L = 2π / k = 628 m. Las mallas se construyeron utilizando no menos de 16 elementos por cada longitud de onda, siguiendo las recomendaciones de Zienkiewicz [6] de discretizarla con al menos 10 elementos. Con el objetivo de analizar la precisión obtenida en los resultados, la convergencia y el tiempo de cálculo necesario, hemos utilizado distintos elementos para resolver el problema.

Forma de elemento Interpolación lineal Interpolación cuadrática

Triangular

Cuadrangular

Tabla 2 – Tipos de elemento utilizados

Además, para el caso de elementos de interpolación lineal, hemos empleado mallas de distinta densidad. Al cambiar de una malla a otra, tratamos de mantener la mayor cantidad de nodos en posiciones coincidentes, para poder estimar el error y observar la convergencia del método.



8. Análisis de resultados Expondremos y analizaremos los resultados obtenidos con cada malla. La modelación cuenta con los siguientes pasos:

A) Mallado: se emplea malla estructurada donde la geometría lo permita (rectángulos, trapecios) y malla libre donde haya geometrías complicadas.

B) Lectura de datos: coordenadas, conectividades, puntos de Gauss, parámetros. C) Ciclo elemental: resolución numérica de las integrales elementales y ensamble. D) Resolución del sistema de ecuaciones lineales FUK =⋅ E) Postproceso: escritura de resultados, gráfico del mapa de colores.

Para cada una de las 6 mallas modeladas se describe:

♦ Elemento utilizado y densidad de malla: elemento triangular o cuadrangular, interpolación lineal o cuadrática, Δx grande (~34 m) o chico (~17 m).

♦ Características de la malla: cantidad total de elementos y de nodos. ♦ Tiempo de cálculo: el necesario para correr los puntos C y D descriptos arriba. No se

incluye el tiempo necesario para mallar, leer datos ni postprocesar. ♦ Error: en los nodos cuyas coordenadas coincidan, se comparan todos los métodos,

considerando que la malla con elementos cuadrangulares de 9 nodos es la más exacta (sin error). La expresión adoptada para la cuantificación del error es:

∑=

−=nc

iiinc

Err1

01 ηη (ec. 14)

donde: nc cantidad de nodos coincidentes entre la malla analizada y la malla de referencia, contra

la cual se compara i 0η amplitud calculada en la malla de referencia (sin error) en el nodo i

iη amplitud calculada en la malla que se está analizando, en el nodo i Tras examinar los resultados, advertimos que las mallas que utilizan elementos con interpolación cuadrática (elementos traingulares de 6 nodos y cuadrangulares de 9) arrojan resultados muy parecidos. Si las comparamos haciendo uso de la ec. 14, obtenemos un error de tan solo 5E–03 metros. Si calculamos el error de las demás mallas (lineales), el mismo resulta 1 ó 2 órdenes más alto. Por ende, asumimos que tanto la malla de elementos triangulares de 6 nodos como la de cuadrangulares de 9 son lo suficientemente exactas en comparación con las demás, y ambas tienen un error menor a 5E–03 metros.



Elemento / densidad Malla Tiempo de cálculo Error

239 nodos 381 elementos

Ciclo elem: 0.274 s FUK =⋅ : 0.023 s 0.190 m








Ciclo elem: 0.564 s FUK =⋅ : 0.451 s < 0.005 m











Ciclo elem: 0.571 s FUK =⋅ : 0.555 s < 0.005 m



9. Conclusiones En la tabla 3 resumimos los resultados obtenidos en el punto anterior para facilitar la interpretación de las conclusiones.

Elemento / densidad

Tiempo de cálculo Error Elemento /

densidad Tiempo de

cálculo Error

0.30 seg 0.190 m

0.29 seg 0.120 m

1.43 seg 0.050 m

1.49 seg 0.034 m

1.02 seg < 0.005 m

1.13 seg < 0.005 m

Tabla 3 – Resumen de tiempos de cálculo y error de cada malla

9a. Malla espaciada vs malla densa (fila 1 vs fila 2) El comportamiento fue el mismo tratándose de elementos triangulares o cuadrangulares: densificar la malla achicando las dimensiones de cada elemento de Δx~34 m a Δx~17 m incrementó el tiempo de cálculo aproximadamente 5 veces, con la ventaja de que el error disminuyó a la cuarta parte. 9b. Malla lineal densa vs malla cuadrática (fila 2 vs fila 3) Las mallas con elementos lineales y Δx~17 m (2da fila) tienen aproximadamente la misma cantidad de nodos que las de elementos cuadráticos con Δx~34 m (3ra fila). En este problema, convino emplear elementos con interpolación cuadrática, dado que resultaron con errores un orden de magnitud menores, y también requirieron menor costo (el tiempo de cálculo resultó hasta un 30% menor). La razón por la cual los elementos cuadráticos han aproximado mejor nuestro problema radica en que la solución exacta tiene forma sinusoidal, y dentro de cada elemento una parábola puede ajustar mejor a un seno/coseno que una recta. Si la solución exacta de nuestro problema hubiera sido constante o con variación lineal, los elementos cuadráticos no hubieran presentado una ventaja apreciable. El esfuerzo de cálculo viene de la mano de la cantidad de operaciones requeridas por el modelo. En la etapa del ciclo elemental (integración numérica y ensamble), la cantidad de cálculos es



proporcional al producto entre cantidad de elementos y cantidad de puntos de Gauss donde debemos evaluar el integrando. En la etapa de resolución del sistema de ecuaciones FUK =⋅ , la cantidad de cálculos es proporcional al cuadrado de la cantidad total de nodos. Pero si hemos dicho que analizaríamos mallas con aproximadamente la misma cantidad total de nodos, la diferencia en el tiempo de cálculo viene de la mano del esfuerzo del ciclo elemental y no de la resolución del sistema de ecuaciones. Efectivamente, si calculamos el producto entre cantidad de elementos y puntos de Gauss, obtenemos que la cantidad de operaciones en elementos cuadráticos es mucho menor:

Elemento / densidad

Cant elem Ptos Gauss Operaciones Elemento /

densidad Cant elem Ptos Gauss Operaciones

1558 elem 3 pts Gauss 4674




Tabla 4 – Comparación entre mallas con igual densidad de nodos pero distinto grado de interpolación

9c. Elementos triangulares vs cuadrangulares (columna 1 vs columna 2) Comparando entre las columnas de la tabla 3, observamos que no hubo diferencias significativas en los tiempos de cálculo de elementos triangulares o cuadrangulares. Sin embargo, es notable que el error resultó hasta un 35% menor en elementos cuadrangulares. Otra desventaja de los elementos triangulares de 3 nodos es que aproximan muy pobremente las derivadas de la variable calculada (en este caso, la derivada de la amplitud en una dirección podría representar velocidades/caudales). Al utilizar un plano como función interpolante, la derivada en cualquier dirección es un valor constante en todo el elemento. Si uno graficase en un mapa de colores estas derivadas de la variable calculada, en cada elemento obtendría un único color, con saltos escalonados en los bordes de elemento. Opciones de mejora al presente trabajo: ♦ Inclusión de la fricción con el fondo en la ecuación diferencial original [6]. ♦ Condiciones de borde parcialmente reflejantes y condición de borde abierta [5]. ♦ Ingreso de profundidades variables en función de x-y según batimetría. ♦ Implementación de un dominio más amplio donde exista un borde inalterado por la

refracción, difracción y reflexión. ♦ Análisis de envolventes de amplitudes utilizando varias frecuencias.



10. Referencias [1] Mild-slope equation

http://en.wikipedia.org/wiki/Mild-slope_equation [2] Airy linear wave theory

http://www.ocean.washington.edu/people/faculty/parsons/OCEAN549B/lwt-lect.pdf [3] Formulación del problema de contorno Crandall, Stephen H.: “Engineering Analysis – Study of Numerical Procedures” [4] Método de los Elementos Finitos, residuos ponerados http://materias.fi.uba.ar/7538/mat2.htm [5] CGWAVE: A Coastal Surface Water Wave Model of the Mild-slope Equation

http://chl.erdc.usace.army.mil/Media/3/5/3/cgwave_man3.pdf

[6] Ondas: ecuaciones, modelos, fricción, condiciones de borde Zienkiewicz O. C., Taylor R. L.: “The Finite Element Method: Fluid Dynamics” [7] Integración numérica, funciones de interpolación Bathe K. J.: “Finite Element Procedures in Engineering Analysis”



Anexo: código fuente Adjuntamos el código en Matlab correspondiente a los puntos 8C (resolución numérica de las integrales elementales y ensamble) y 8D (resolución del sistema de ecuaciones lineales). El mallado se hizo en Abaqus. La lectura de datos y postproceso no aportan al objetivo del trabajo, con lo cual no se incluyen. %% Definición de matriz de rigideces K Kglob=zeros(nnod,nnod); Xelem=zeros(nnodelem,ndim); for n=1:nelem Kelem=zeros(nnodelem,nnodelem); % la inicializa cada vez % Asignación de valores a Xelem for i=1:nnodelem for j=1:ndim Xelem(i,j)=coord(cnod(n,i),j); end end % Asignación de valores a Kelem if strcmp(tel,'Cuad') % Para elem cuadrangulares for i=1:npg for j=1:npg r=pg(i); s=pg(j); % Funciones interp, derivadas [H,Hrs]=FInterp(r,s,nnodelem); % Jacobiano y su inversa J=Hrs*Xelem; Jinv=inv(J); % Matriz B B=Jinv*Hrs; % Matriz elemental de rigideces Kelem Kelem=Kelem+(B'*cp*cg*B-H'*k^2*cp*cg*H)*det(J)*peso(i)*peso(j); end end elseif strcmp(tel,'Tri') % Para elem triangulares for i=1:npg r=pgr(i); s=pgs(i); % Funciones interp, derivadas [H,Hrs]=FInterpTri(r,s,nnodelem); % Jacobiano y su inversa J=Hrs*Xelem; Jinv=inv(J); % Matriz B



B=Jinv*Hrs; % Matriz elemental de rigideces Kelem Kelem=Kelem+(B'*cp*cg*B-H'*k^2*cp*cg*H)*det(J)*peso(i); end end % Ensamble de Kglob for a=1:nnodelem for b=1:nnodelem Kglob(cnod(n,a),cnod(n,b))=Kglob(cnod(n,a),cnod(n,b))+Kelem(a,b); end end end %% Imposición de CB esenciales (desplazam, reemplazo de filas) for i=1:size(cbe,1) Kglob(cbe(i,1),:)=0; Kglob(cbe(i,1),cbe(i,1))=1; F(cbe(i,1))=cbe(i,2); end %% Resolución de K*u=F u=inv(Kglob)*F;

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