Análisis Real - archive.cmat.edu.uy

Análisis Real

- iii -

Indice

Capítulo 1 Medida 1

Teorema de Tarski..................................................................................... 3 σ − álgebra................................................................................................. 4 σ − álgebra generada........................................................................... 5 σ − álgebra de Borel............................................................................ 6 Premedida................................................................................................... 6 Medida σ − finita...................................................................................... 6 Medida finita.............................................................................................. 6 Medida exterior.......................................................................................... 8 µ ∗ − medibl................................................................................................ 8 Función elemental de conjuntos ................................................................ 10 Medida inducida......................................................................................... 10 Extensión de una medida............................................................................ 11 Medida nula................................................................................................ 14 Espacio de medida completo...................................................................... 14 Completación.............................................................................................. 15 Teorema de aproximación.......................................................................... 16 Medida de Borel......................................................................................... 17 Medida de Borel-Stieljes............................................................................ 20 σ − álgebra de Lebesgue............................................................................ 22 Medida de Lebesgue................................................................................... 22 Medida exterior de Lebesgue..................................................................... 22 Medida de Dirac......................................................................................... 22 Conjunto de Cantor..................................................................................... 24 Función notable de Cantor-Lebesgue......................................................... 27 Capítulo 2 Funciones medible

Función medible......................................................................................... 29 Borel medible............................................................................................. 30 Lebesgue medible....................................................................................... 30 Pull-back..................................................................................................... 31

- iv -

Pull-forward................................................................................................ 31 Medible en E............................................................................................... 32 σ − álgebra inicial....................................................................................... 32

( ),L X+ M .................................................................................................. 34

Función característica................................................................................ 35 Función Simple........................................................................................... 36 Función elemental....................................................................................... 36

Teorema de caracterización de L+ .............................................................. 36 Capítulo 3 Integración

Propiedad definida en casi todo punto........................................................ 39 Función integrable...................................................................................... 41 Teorema de convergencia monótona (Beppo Levi).................................... 45 Lema de Fatou............................................................................................ 48 Integral de funciones cualesquiera.............................................................. 49 µ − integrables............................................................................................. 51 Funciones complejas................................................................................... 51 Seminorma.................................................................................................. 52 Espacio seminormado................................................................................ 52 Espacio normado........................................................................................ 52 Espacio normado ( )1L µ ............................................................................. 52

Teorema de convergencia dominada.......................................................... 54 Integral de Riemann Vs Integral de Lebesgue............................................ 60 Capítulo 4 Modos de convergencia y espacios pL

Convergencia puntual................................................................................ 63 Convergencia uniforme............................................................................. 63 Convergencia en casi todo punto............................................................... 63 Convergencia casi uniforme.. ................................................................... 63 Convergencia en medida........................................................................... 63

Convergencia en 1L ................................................................................... 63 Cauchy en medida..................................................................................... 66 Teorema de Egoroff’s................................................................................ 67 Espacios pL ................................................................................................ 69 Norma p...................................................................................................... 70

- v -

Función convexa......................................................................................... 71 Desigualdad de Jensen................................................................................ 71 Desigualdad de Hölder............................................................................... 73 Conjugados................................................................................................. 73 Desigualdad de Minkowki......................................................................... 74 Desigualdad de Harkov.............................................................................. 76 Uniformemente absolutamente continua................................................... 77 Equicontinua superiormente al vacío......................................................... 78 Continuidad absoluta del integral............................................................... 78 Teorema de Vitali....................................................................................... 78 Capítulo 5 Medida signada, integración y derivación

Medida con signo....................................................................................... 85 µ − positivo................................................................................................ 86 µ − negativo............................................................................................... 86 µ − nulo...................................................................................................... 86 Teorema de Hahn-Jordan........................................................................... 86 Descomposición de Hahn.......................................................................... 88 Medidadas mutuamente singulares............................................................ 88 Teorema de descomposición de Jordan..................................................... 88 Variación positiva , variación negativa...................................................... 88 Descomposición de Jordan......................................................................... 88 Variación total............................................................................................ 89 Medida absolutamente continua respecto de otra...................................... 89 Teorema de Radon-Nikodin-Lebesgue...................................................... 89 Teorema de Radon Nikodin....................................................................... 93 Puntos invisibles por derecha y por izquierda............................................. 95 Lema de Riez............................................................................................... 96 Integral indefinida de Lebesgue.................................................................. 100 Función absolutamente continua................................................................. 101 Descomposición canónica........................................................................... 102 Capítulo 6 Medida Producto

Rectángulos medibles................................................................................. 107 Medida producto......................................................................................... 107

- vi -

Clase monótona.......................................................................................... 108 Clase monótona generada........................................................................... 108 Lema de la clase monótona......................................................................... 108 Teorema de Fubini...................................................................................... 109 x-sección de f.............................................................................................. 112 y-sección de f.............................................................................................. 112 Teorema de Tonelli-Fubini......................................................................... 112 Formula integral por partes......................................................................... 115 Capítulo 7

Espacio topológico localmente compacto................................................... 117 Soporte de una función................................................................................ 118 Funciones continuas con soporte compacto................................................ 118 Lema de Urysohn para LCH....................................................................... 118 Teorema de extención de Títese para LCH................................................. 118 Partición de la unidad ................................................................................. 119 Funcional lineal positiva............................................................................. 120 Medida exteriormente regular..................................................................... 121 Medida interiormente regular...................................................................... 121 Medida regular............................................................................................ 121 Medida de Radon........................................................................................ 121 Teorema de representación de Riez............................................................ 121 Conjunto Fσ ................................................................................................ 126 Conjunto Gδ ................................................................................................ 126 Teorema de Lusin........................................................................................ 129 Apéndice Teoría Ergódica

Transformación que preserva medida......................................................... 133 Teorema de recurrencia de Poincaré........................................................... 133 Espacio dual................................................................................................ 135 Norma operador........................................................................................... 135 Teorema de Riez.......................................................................................... 135 Lema Ergódico maximal ............................................................................ 137 Teorema de Birkhoff................................................................................... 139

- 1 -

Capítulo 1

Introducción Un problema que se nos presenta en geometría es el de determinar el área o volumen a una región del plano o el espacio. La técnica de integración es una herramienta satisfactoria para solucionar dicho problema en regiones con borde pero es inadecuado para regiones más complicadas. Queremos definir una función µ que a cada conjunto con nE n⊂ ∈¡ ¥ asigna un número ( ) [ )0,Eµ ∈ +∞ , que llamamos n-dimensional medida de E , tal que ( )Eµ se da por la integral usual cuando E es un conjunto con borde. Así como la integral cumple con algunas propiedades fundamentales pretendemos que esta función cumpla con las mismas. Es decir: i) Si 1 2, ,..., ,...rE E E con n

iE i⊂ ∀¡ entonces:

( )11

i iii

E Eµ µ∞ ∞

==

=

∑∪

Aunque más adelante definiremos en forma precisa, por ahora decimos que si la secuencia de conjuntos es finita, µ es aditiva y si es infinita decimos que µ es

aditivaσ − . ii) Si E es congruente con F ( eso es si E se puede obtener por medio de una traslación, rotación o simetría de F ) entonces: ( ) ( )E Fµ µ= Decimos que µ es invariante por isometrías. iii) ( ) 1Qµ = siendo Q el cubo unidad o sea:

: 0 1 para 1,..., .njQ x x j n= ∈ ≤ < =¡

Lamentablemente estas propiedades son inconsistentes. Veamos por ejemplo para 1n = (un razonamiento similar se utiliza para dimensiones mas grandes). Para

empezar definimos en [ )0,1 una relación de equivalencia por: , tal que con \x y m n x y m nα α⇔ ∃ ∈ − = + ∈∼ ¢ ¡ ¤

Análisis Real Capítulo 1 - 2 -

- 2 -

Así las clases son de la forma ( ) mod1 :y n nα+ ∈¢

Sea C el conjunto que tiene exactamente un punto en cada clase de equivalencia (se puede por el axioma de elección). Para cada entero n definimos: ( )mod1nC C nα= +

Supongamos que existe una función ( ) [ ): 0,µ → +∞¡P que cumpla las propiedades i), ii) y iii) precedentes. Por i) y ii) se tiene que si: a) [ )0,1n

n

C∈

=¢

∪

b) ' si 'n nC C n nφ= ≠∩ entonces:

[ )( ) ( ) ( )0,1 n nn nn

C C Cµ µ µ µ∈ ∈∈

= = =

∑ ∑¢ ¢¢

∪

Pero [ )( )0,1 1µ = mientras que ( ) ( ) ( )0 si 0 o si 0n

C C Cµ µ µ∈

= = ∞ >∑¢

, luego no

existe dicha función µ que cumpla tales propiedades. Falta demostrar que se cumplen a) y b) a) Si [ ) 1 1 10,1 tal que con m,nx x C x x x x m nα∈ ⇒ ∃ ∈ ⇒ = + + ∈∼ ¢ entonces: ( )1 mod1x x n x Cα= + ⇒ ∈ b) Sea '' , n nn n x C C≠ ∈ ∩ entonces:

1 2, , y ' tal quex x C m m∃ ∈ ∈¢ 1 2 ' 'x x n m x n mα α= + + = + + luego ( ) ( )1 2 1 2' 'x x n n m m x xα

∈ ∈

− = − + − ⇒¢ ¢

∼1442443 1442443

Pero de acuerdo a como se definió C tiene que ser 1 2x x= y entonces:

( ) ( ) '0 ' '

'n n

n n m mm m

α α−

= − + − ⇒ = ∈−

¤

Y esto es absurdo por ser el α irracional por hipótesis. Luego se cumple que ' si '.n nC C n nφ= ≠∩

No es posible entonces definir una medida en todos los subconjuntos de n¡ de modo que valga uno (o algo finito) en el cubo unidad aditivaσ − e invariante por isometrías. Si a la función µ le pedimos que sea solo aditiva tampoco se puede definir una medida consistente, por el teorema de Tarski,

Análisis Real Medida - 3 -

- 3 -

Teorema de Tarski Sean , con 3nA B n∈ ≥¡ no vacíos, abiertos y acotados entonces existen k ∈¥ y 1 2, ,..., kE E E partición del conjunto A y 1 2, ,..., kF F F partición de B tal que cada iE es congruente con 1,..., .iF i k∀ = De esta forma a partir de una naranja podemos dividirla en un número finito de partes tales que se pueden reestructurar para formar la tierra. Este teorema es equivalente al axioma de elección. La dificultad radica en que n¡ contiene subconjuntos donde no se puede definir geométricamente una medida razonable. Para remediar esto solo definimos medida para una clase de subconjuntos de n¡ .

σ -álgebras Definición 1.1 Sea X un conjunto no vacío, sea ( )XP el conjunto de partes de X:

Se dice que ( )X⊆A P es un álgebra de subconjuntos de X si es una familia no vacía de subconjuntos de X cerrada por complementos y por uniones finitas es decir;

φ≠A y:

i) Si CE E∈ ⇒ ∈A A ii) Si ,E F E F∈ ⇒ ∈∪A A

Observación 1.1 a)Si 1 21

, ,...,n

n ii

E E E E=

∈ ⇒ ∈∪A A se justifica por inducción.

b) X ∈A ya que si y entonces C CE E X E E∈ ⇒ ∈ = ∈∪A A A.

c) φ ∈A por la parte anterior CX Xφ∈ ⇒ = ∈A A.

d) Si ,E F E F∈ ⇒ ∈∩A A ; ya que ( ) ,CC CE F E F=∩ ∪ además se justifica

por inducción que si 1 21

, ,...,n

n ii

E E E E=

∈ ⇒ ∈∩A A

e) Si , \E F E F∈ ⇒ ∈A A ; ya que \ .CE F E F= ∩ Ejemplo 1.Sea X un conjunto cualquiera entonces el propio ( )XP es un álgebra de subconjuntos de X. Ejemplo 1.2 ( ),X Xφ= ⊂A P es un álgebra de subconjuntos de X. Observación 1.2 Si tenemos dos álgebras 1 2,A A entonces 1 2∩A A es también

un álgebra; y generalizando por inducción si i i∈¥A es una familia de álgebras

entonces ii∈

=¥

∩A A es un álgebra.


- 4 -

Ya que si C Ci iE E i E E∈ ⇒ ∈ ∀ ∈ ⇒ ∈ ⇒ ∈¥A A A A análogamente con la

unión. Observación 1.3 Sea ( )X⊂S P notamos como ( )a S al álgebra generada por S y es la menor álgebra que contiene a la familia S.

Ejemplo 1.3 Sea ( ] , :a b a b= −∞ ≤ ≤ ≤ +∞I y sea 1

:n

k kk

I I=

= ∈ ∪C I se tiene

que ( )a =I C

Demostración Si 1

m

kk

E E I=

′∈ ⇒ = ∪C con los kI ′ disjuntos ∈S , lo que se prueba

por inducción. Supongamos que se cumple para un cierto m entonces: 1mI +

1

11 1

m m

k k mk k

E I I I+

+= =

= = ∪∪ ∪

kI ′ estos se pueden escribir como unión de disjuntos Luego sustituyendo:

11

m

k mk

E I I′

+=

′= ∪∪

puede suceder que los 1 sean disjuntos con k mI I +′ y se termina, o en caso contrario consideramos 1k mI I +′ ∪ y lo escribimos como la unión de tres intervalos disjuntos, esto es para todo k, luego uniendo nos queda una unión de intervalos disjuntos. Definición 1.2 Sea X un conjunto no vacío, se dice que una familia ( )X⊆M P es una σσ - álgebra si M es un álgebra tal que es cerrada por uniones numerables, es decir:

( ) 11

iii) si n nnn

E E∞

≥=

⊆ ⇒ ∈∪M M

Observación 1.4 M es cerrada respecto a intersecciones numerables, ya que:

Si ( ) ( )1 1

CC C C

n n n nn nn n

A A A A∞ ∞

∈ ∈= =

⊆ ⇒ ⊆ ⇒ ∈ ⇒ ∈ ¥ ¥ ∪ ∪M M M M y:

1 1

CC

n nn n

A A∞ ∞

= =

=

∩ ∪


- 5 -

Observación 1.5 Si tenemos una familia de álgebras i ii I

i I

σ ∈∈

− ⇒ ∩M M es una

álgebra.σ − Observación 1.6 Sea ( ) una álgebraX σ⊆ −M P sobre X, entonces: es una álgebraσ − ⇔M Si M es un álgebra y para toda sucesión

( ) tal que si n i jnA A A i jφ∈ ⊆ = ≠¥ ∩M se tiene que n

n

A∈

∈¥

∪ M . Lo que estamos

afirmando es que para probar la propiedad iii) de álgebraσ − alcanza con hacerlo para uniones disjuntas. Demostración ⇒ es obvio.

⇐ Si ( )n nB ∈ ⊆¥ M entonces la sucesión ( )

1

1

con \n

n n n jnj

A A B B−

∈=

=¥ ∪ es disjunta y

además ( )n nA ∈ ⊆¥ M por ser M un álgebra y utilizando la observación 1.1 a) y e)

se tiene que si1

1

1,..., 1n

j jj

B j n B−

=

∈ ∀ = − ⇒ ∈∪M M y1

1

\n

n n jj

A B B−

=

= ∈∪ M entonces

por hipótesis nn

A∈

∈¥

∪ M pero por construcción n nn n

A B∈ ∈

=¥ ¥

∪ ∪ , luego nn

B∈

∈¥

∪ M.

Definición 1.3 Sea ( )X⊂S P , notamos por ( )σ S y llamamos σσ - álgebra generada por S a la menor álgebraσ − que contiene a .S Ejemplo 1.4 El propio ( )XP es una álgebra.σ − Ejemplo 1.5 La familia ,X φ=M es una álgebra.σ −

Ejemplo 1.6 Sea 1 2, ,..., ,...nX ω ω ω= conjunto numerable.

Consideremos 1 2, ,..., ,...nω ω ω=S entonces ( ) ( ).Xσ =S P

Ejemplo 1.7 Sea X = ¡ y :x x= ∈ ¡S entonces [ ] ( )0,1 σ∉ S

Ejemplo 1.8 Sea : es numerable o es numerableCA A A= ⊂ ¡M se tiene que

M es una álgebraσ − , en particular si ( )σ⊂ ⇒ ⊂S M S M entonces como

[ ] [ ] ( )0,1 0,1 .σ∉ ⇒ ∉M S


- 6 -

Definición 1.4 Sea ( ] , :a b a b= −∞ ≤ ≤ ≤ +∞I entonces ( )σ I es la

álgebraσ − que llamamos σσ - álgebra de Borel y notamos como ( ).¡B Observación 1.7 a) ( ) ( )X¡B PØ b) Los intervalos abiertos , los intervalos cerrados los semiabiertos, los puntos pertenecen a ( )¡B . Más en general cualquier abierto pertenece a ( ).¡B

Medida Definición 1.6 Sea A un álgebra de subconjuntos de X se dice que: [ ): 0,µ → ∞A es una premedida sobre X si: i) ( ) 0µ φ =

ii) Si ( ) 1n nE ≥ ⊆ A es tal que i jE F φ=∩ para i j≠ , y

1n

n

E∞

=

∈∪ A entonces:

( )11

n nnn

E Eµ µ∞ ∞

==

=

∑∪

(se dice que es sigma aditiva, y si las uniones son finitas decimos que es aditiva). En el caso en que A =M sea una álgebraσ − se dice que µ es una medida sobre X, y al par ( ),X M le llamamos espacio medible, y a la terna ( ), ,X µM espacio de medida. Definición 1.7 Sea ( ), ,X µM un espacio de medida, si ( ) ,Xµ < ∞ decimos que µ es una medida finita. Definición 1.8 Sea ( ), ,X µM un espacio de medida, si n

n

X E∈

=¥

∪ , con

( )nE nµ < ∞ ∀ ∈¥ entonces decimos que es .µ σσ - finita Ejemplo 1.9 Sea X un conjunto no numerable : es numerable o es numerableCA X A A= ⊂M

entonces

( )0 si es numerable

1 si es numerableC

EE

Eµ =

es una medida.


- 7 -

Ejemplo 1.10 Sea ( )# y X X= ∞ =M P entonces:

( )0 si # es finita

en otro caso

EEµ = ∞

es una medida. Proposición 1.1 Dado el espacio de medida ( ), ,X µM entonces se cumplen las siguientes propiedades: i) Si ( ) ( ), con E F E F E Fµ µ∈ ⊆ ⇒ ≤M (monotonía).

ii) Si ( )i i iiii

E E Eµ µ∈∈∈

⊆ ⇒ ≤

∑¥¥¥

∪M (subaditividad numerable).

iii) Si i iE ∈ ⊆¥ M sucesión monótona creciente, 1 2 ... ...nE E E⊂ ⊂ ⊂ ⊂ entonces:

( )limn nnn

E Eµ µ→∞

∈

= ¥∪

iv) Si i iE ∈ ⊆¥ M sucesión monótona decreciente, 1 2 ... ...nE E E⊃ ⊃ ⊃ ⊃ de

conjuntos de medida finita entonces:

( )limn nnn

E Eµ µ→∞

∈

= ¥∩

Demostración i) Como ( )CF E E F= ∪ ∩ y aplicando la propiedad ii) de medida:

( ) ( ) ( ) ( )0

CF E E F Eµ µ µ µ≥

= + ≥∩14444244443

ii) Definimos una sucesión de conjuntos disjuntos dos a dos:

1 1

2 2 1

1

1

\

\n

n n ii

F E

F E E

F E E−

=

=

= =

M

M∪

1 1n n

n n

F E∞ ∞

= =

⇒ =∪ ∪

Como los iF son disjuntos dos a dos podemos aplicar la propiedad ii) de la definición de medida.

( )

( )†

n nF E

n n n nn nn n

E F F Eµ µ µ µ⊆

∈ ∈∈ ∈

= = ≤

∑ ∑¥¥ ¥

∪ ∪

iii) Si ( )00 tal que nn Eµ∃ ∈ = ∞¥ ya está; en otro caso:


- 8 -

( ) ( )1 11

\ \n n n n nnn n

E E E E Eµ µ µ∞

− −=∈ ∈

= = =

∑¥ ¥

∪ ∪

( ) ( ) ( )1 11 1

lim \ lim \ lim

n

nn

i i i i nn n ni i

E

E E E E Eµ µ µ− −→∞ →∞ →∞= =

=

= = =

∑1444442444443∪

iv) análogamente que el caso anterior. Las propiedad de monotonía se cumple también si µ es una premedida, y la propiedad ii) también se cumple pero está sería la subaditividad finita

Medida Exterior Definición 1.9 Dado un espacio medible ( ),X M y la función:

( ) [ ]: 0,Xµ ∗ → ∞P se le llama medida exterior si cumple con las siguientes propiedades : i) ( ) 0µ φ∗ =

ii) Si E F⊆ entonces ( ) ( )E Fµ µ∗ ∗≤

iii) ( )11

n nnn

E Eµ µ∞ ∞

∗ ∗

==

≤

∑∪

Definición 1.10 Sea µ ∗ una medida exterior sobre X, decimos que A X⊆ es

- medibleµµ ∗∗ si E X∀ ⊆ se tiene:

( ) ( ) ( )CE E A E Aµ µ µ∗ ∗ ∗= +∩ ∩

Observación 1.8 Como ( ) ( )CE E A E A= ∩ ∪ ∩ por la propiedad iii) de medida

exterior se tiene ( ) ( ) ( )CE E A E Aµ µ µ∗ ∗ ∗≤ +∩ ∩ entonces para demostrar la

igualdad de la definición alcanza con probar: ( ) ( ) ( )CE E A E Aµ µ µ∗ ∗ ∗≥ +∩ ∩

Lema 1.2 Sea X un conjunto y µ ∗ una medida exterior definida en él.

Sea ( ): es medibleA X A Xµ ∗⊆ − ⊆M = P entonces es una álgebraσ −M

Demostración Probemos primero que es una álgebra para lo cual tenemos que probar: i) Si CA A∈ ⇒ ∈M M Lo cual se cumple por la simetría de la definición de medibleµ ∗ − respecto a CA


- 9 -

ii) Si ,A B A B∈ ⇒ ∈∪M M

Como A E X∈ ⇒ ∀ ⊆M se tiene que ( ) ( ) ( )CE E A E Aµ µ µ∗ ∗ ∗= +∩ ∩ y como

B ∈M tomando como E a E A∩ y a CE A∩ se tiene: ( ) ( ) ( )CE A E A B E A Bµ µ µ∗ ∗ ∗= +∩ ∩ ∩ ∩ ∩

( ) ( ) ( )C C C CE A E A B E A Bµ µ µ∗ ∗ ∗= +∩ ∩ ∩ ∩ ∩

luego sustituyendo: ( ) ( ) ( ) ( ) ( )C C C CE E A B E A B E A B E A Bµ µ µ µ µ∗ ∗ ∗ ∗ ∗= + + + =∩ ∩ ∩ ∩ ∩ ∩ ∩ ∩

( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( )\ \ CE A B E A B E B A E A Bµ µ µ µ∗ ∗ ∗ ∗= + + + ≥∩ ∩ ∩ ∩ ∩ ∪

( )( ) ( )( )CE A B E A Bµ µ∗ ∗≥ +∩ ∪ ∩ ∪

por ser ( ) ( ) ( )\ \A B B A A B A B=∪ ∪ ∩ ∪ y µ ∗ subaditiva por ser medida exterior.

En consecuencia si 1 21

, ,...,n

n ii

A A A A=

∈ ⇒ ∈∪M M

Para ver que M es una álgebraσ − vasta probar que es cerrada por uniones numerables disjuntas, por la observación 1.5. Sea ( )n n

A ∈ ⊆¥ M una colección disjunta de conjuntos y sea †

nn

A A∈

= ∪ y sea

1

n

n ii

B A=

= ∪ entonces para todo E X⊆ se tiene:

( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

( )

1

1 1 1 1

1 2

1

...

Cn n n n n n n

Cn n n n n

n n n

n

jj

E B E B A E B A E A E B

E A E B A E B A

E A E A E B

E A

µ µ µ µ µ

µ µ µ

µ µ µ

µ

∗ ∗ ∗ ∗ ∗−

∗ ∗ ∗− − − −

∗ ∗ ∗− −

∗

=

= + = +

= + + =

= + + =

= ∑

∩ ∩ ∩ ∩ ∩ ∩ ∩∩ ∩ ∩ ∩ ∩∩ ∩ ∩

M

∩

Entonces:

( ) ( ) ( )

( ) ( )1

Cn n

nC

j nj

E E B E B

E A E B

µ µ µ

µ µ

∗ ∗ ∗

∗ ∗

=

= +

= +∑

∩ ∩

∩ ∩

Como ( ) ( )C C C Cn n nB A A B E B E Aµ µ∗ ∗⊂ ⇒ ⊂ ⇒ ≥∩ ∩ y sustituyendo:

( ) ( ) ( )1

nC

jj

E E A E Aµ µ µ∗ ∗ ∗

=

≥ +∑ ∩ ∩

pasando al límite


- 10 -

( ) ( ) ( )1

Cn

n

E E A E Aµ µ µ∞

∗ ∗ ∗

=

≥ +∑ ∩ ∩

y como µ ∗ es subaditiva

( ) ( ) ( )1

Cn

n

E E A E Aµ µ µ∞

∗ ∗ ∗

=

≥ +

∩ ∩∪

( )

( ) ( )

1

Cn

n

A

C

E A E A

E A E A

µ µ

µ µ

∞∗ ∗

=

=

∗ ∗

≥ +

≥ +

∩ ∩1442443

∩ ∩

∪

luego A∈M. Lema 1.3 Dada un conjunto X y una familia ( ) tal que ,X Xφ⊆ ∈F P F y sea ρ

una función [ ] ( ): 0, tal que 0ρ ρ φ→ +∞ =F llamada función elemental de

conjuntos se define: ( ) [ ]: 0, tal que:Xµ ∗ → +∞P

( ) ( )1

inf : con j j jj j

E E E E E jµ ρ∞

∗

= ∈

= ⊆ ∈ ∀ ∈

∑

¥¥∪ F

entonces µ ∗ es una medida exterior y decimos que es inducida por ρ . Demostración Como i) ( ) ( ) ( ) y 0 0 0φ φ φ µ φ ρ φ µ φ∗ ∗∈ ⊂ ⇒ ≤ ≤ = ⇒ =F

ii) Si y , con i ii

E F F F F i∈

⊆ ⊆ ∈ ∀ ∈¥

¥∪ F entonces ii

E F∈

⊆¥

∪ y por definición:

( ) ( )inf , y i i ii i

E E E E Eµ ρ∗

∈ ∈

= ⊆ ∈ ∑

¥ ¥∪ F

pero cada cubrimiento de F lo es también de E entonces:

( ) ( ) ( )inf , , y i i ii i

E F E F F F Fµ ρ µ∗ ∗

∈ ∈

≤ ⊆ ⊆ ∈ = ∑

¥ ¥∪ F

iii) Probaremos ahora la subaditividad o sea: ( )11

n nnn

E Eµ µ∞ ∞

∗ ∗

==

≤

∑∪

Dado 0ε > por definición de ínfimo para cada n existe una sucesión de conjuntos

( )nj j

F∈

⊆¥ F tal que:

( ) ( )1 1

con 2

n nn j n jn

j j

E F E Fε

µ ρ∞∞

∗

= =

+ ≥ ⊆∑ ∪

entonces:


- 11 -

( ) ( )1 1 12

nn jn

n n j

E Fε

µ ρ∞ ∞ ∞

∗

= = =

+ ≥ ∑ ∑ ∑

( ) ( ) ( )1 1 1 , 1 1

n nn j j n

n n j n j n

E F F Eµ ε ρ ρ µ∞∞ ∞ ∞ ∞

∗ ∗

= = = = =

+ ≥ ≥ ≥

∑ ∑ ∑ ∑ ∪

ya que 1 1 1 , 1

n nn j j

n n j n j

E F F∞ ∞ ∞ ∞

= = = =

⊆ =∪ ∪∪ ∪ y luego por ser 0ε > arbitrario:

( )1 1

n nn n

E Eµ µ∞∞

∗ ∗

= =

≥

∑ ∪

En el caso en que ρ sea una premedida aditivaσ − , es decir una función que notaremos por 0µ definida sobre un álgebra A ; [ ]0 : 0,µ → +∞A aditivaσ − tenemos el Teorema de Carateodory. Proposición 1.4 (Teorema de Carathedory) Sea X un conjunto, A un álgebra definida en X, y una premedida aditivaσ −

[ ]0 : 0,µ → +∞A entonces existe una medida µ definida en ( )σ A tal que: 0|µ µ=A llamada extensión de 0µ Demostración Sea A X⊆ definimos ( ) [ ]: 0,Xµ ∗ → +∞P como:

( ) ( ) ( )0inf : ,n n nn n

A A A A Aµ µ∗

∈ ∈

= ⊆ ⊆ ∑

¥ ¥∪A

Por el lema anterior sabemos que es una medida exterior, y sea: : es medibleA X A µ∗= ⊆ −M

que por el lema 1.2 es una álgebraσ − Probaremos que i) ( )σ⊆ ⇒ ⊆A M A M

ii) |µ ∗M es una medida, y por lo tanto es la extensión µ de 0µ a la ( )σ A de la

tesis. i) Sea ,A E X∈ ⊆A y para cada 0ε > dado por definición de ínfimo sea

( )nB ⊆ A tal que:

( ) ( )01 1

,n nn n

E B E Bµ ε µ∞∞

∗

= =

+ ≥ ⊆∑ ∪

como 0µ es una premedida aditivaσ − , es en particular aditiva y podemos escribir:


- 12 -

( ) ( ) ( )0 01

Cn n

n

E B A B Aµ ε µ µ∞

∗

=

+ ≥ + = ∑ ∩ ∩

( ) ( )0 01 1

Cn n

n n

B A B Aµ µ∞ ∞

= =

= +∑ ∑∩ ∩

y como ( ) ( )1 1 1

y C Cn n n

n n n

E B E A B A E A B A∞ ∞ ∞

= = =

⊆ ⇒ ⊆ ⊆∩ ∩ ∩ ∩∪ ∪ ∪ entonces:

( ) ( ) ( )

( ) ( )0 0

1 1

Cn n

n n

C

E B A B A

E A E A

µ ε µ µ

µ µ

∞ ∞∗

= =

∗ ∗

+ ≥ + ≥

≥ +

∑ ∑∩ ∩

∩ ∩

luego como ε es arbitrario: ( ) ( ) ( )CE E A E Aµ µ µ∗ ∗ ∗≥ +∩ ∩

y A∈ ⇒ ⊆M A M y como ( ) es una álgebraσ σ− ⇒ ⊆M A M ii) Probaremos que |µ ∗

M es una medida, y para ello primero demostramos que es aditiva para después demostrar que es σ − aditiva. Sean , con A B A B φ∈ =∩M ; como A es medibleµ ∗ − , y A B X⊂∪ se tiene:

( ) ( ) ( ) ( ) ( )C

A B

A B A B A A B A A Bµ µ µ µ µ∗ ∗ ∗ ∗ ∗

= =

= + = +

∪ ∪ ∩ ∪ ∩14444244443 1444442444443

luego µ ∗ es aditiva sobre M .

Sea ( ) con si n i jnA A A i jφ∈ ⊂ = ≠¥ ∩M y llamemos

1 1

, y n

n i ii i

B A A A∞

= =

= =∪ ∪

Como 1,...,iA i n∈ ∀ =M se tiene E X∀ ⊂ que:

( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

( )

1

1 1 1 1

1 2

1

Cn n n n n

n n

Cn n n n n

n n n

n

ii

E B E B A E B A

E A E B

E A E B A E B A

E A E A E B

E A

µ µ µ

µ µ

µ µ µ

µ µ µ

µ

∗ ∗ ∗

∗ ∗−

∗ ∗ ∗− − − −

∗ ∗ ∗− −

∗

=

= + =

= + =

= + + =

= + + =

= ∑

∩ ∩ ∩ ∩ ∩∩ ∩∩ ∩ ∩ ∩ ∩∩ ∩ ∩

M

∩

Entonces como nB ∈M E X∀ ⊂ :

( ) ( ) ( ) ( ) ( )1

C Cn

nC C

n n iB A i

E E B E B E A E Aµ µ µ µ µ∗ ∗ ∗ ∗ ∗

⊃ =

= + ≥ +∑∩ ∩ ∩ ∩

pasando al límite n → ∞ :


- 13 -

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

1 1

obs. 1.81

C Ci i

i i

C Ci

i

E E A E A E A E A

E A E A E A E A E

µ µ µ µ µ

µ µ µ µ µ

∞∞∗ ∗ ∗ ∗ ∗

= =

∞∗ ∗ ∗ ∗ ∗

=

≥ + ≥ + =

= + = + ≥

∑ ∩ ∩ ∩ ∩

∩ ∩ ∩ ∩

∪∪

luego todas las desigualdades tienen que ser igualdades, y tomando a E A=

( ) ( )1 1

i

Ci i

i iA

A A A A A Aφ

µ µ µ µ∞ ∞

∗ ∗ ∗ ∗

= ===

= + =

∑ ∑∩ ∩14424431442443

y se tiene que µ ∗ es σ − aditiva sobre M

Además hay que ver que ( ) ( )0A A Aµ µ= ∀ ∈A es decir que ( ) ( )0A Aµ µ∗ =

( ) ( )01 1

inf : ,n n nn n

A A A A A nµ µ∞∞

∗

= =

= ⊆ ∈ ∀ ∈ ∑ ¥∪ A

tomando 1 y 1nA A A nφ= = ∀ > entonces:

( ) ( )0A Aµ µ∗ ≤

Por otro lado si ( )1

tal que n nn

A A A∞

=

⊆ ⊆ ∪A entonces sea 1

1

\n

n n kk

B A A−

=

= ∪ de esta

forma los nB son 2 a 2 disjuntos y 1 1

n nn n

B A A∞ ∞

= =

= ⊇∪ ∪ entonces:

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )0 0 0 0 01 1

n

n n n nn nA

A A B A B A B Aµ µ µ µ µ∞ ∞

= =⊆

= = = ≤∑ ∑∩ ∩ ∩144424443â â

es decir que ( ) ( )0 01

nn

A Aµ µ∞

=

≤ ∑ tal que 1

nn

A A∞

=

⊆ ∪ pasando al ínfimo:

( ) ( ) ( )0 01 1

inf :n nn n

A A A A Aµ µ µ∞∞

∗

= =

≤ ⊆ = ∑ ∪ luego al cumplirse las dos

desigualdades se tiene que coinciden. Proposición 1.5 En las mismas hipótesis que la proposición anterior si además le pedimos que 0µ sea finita (o finitaσ − ) entonces la extensión µ de ( )0 a µ σ A es única. Demostración Sea 1 |µ µ∗= M como en la proposición anterior y supongamos que

2µ es otra extensiones de 0µ a ( )σ A , luego:

( )1 0 2| |µ µ µ= =A A Al igual que la proposición anterior sea: : es medibleA X A µ∗= ⊆ −M


- 14 -

como ya probamos es álgebraσ −M que contiene a la generada por A. Tenemos que probar que 1 2| | .µ µ=M M Primero probaremos que coinciden en un conjunto de medida finita. Sea ( )1 tal que E Eµ∈ < ∞M entonces ( ) ( )1 2E Eµ µ= Tenemos que E∀ ∈M : porque en 2 0, µ µ=A

( ) ( ) ( )1 0 2inf : , inf :n n n n nn nn n

E A E A A n A E Aµ µ µ∈ ∈∈ ∈

= ⊆ ∈ ∀ = ⊆ ∑ ∑

¥ ¥¥ ¥∪ ∪A

Por otro lado como 2µ es una medida sobre ( )σ⊇M A :

( ) ( )2 2 2

nn

n nn n E A

A A Eµ µ µ

∈

∈ ∈ ⊆

≥ ≥

∑¥

¥ ¥ ∪∪

en particular esto vale para el ínfimo y se tiene: ( ) ( )1 2E Eµ µ≥

Recordemos que si ( )1 entonces limn n n nn

B B B Bµ µ+∈

⊆ = ¥∪

Sea en nuestro caso 1

n

n jj

B A=

= ∪ y llamemos ( ) con n nn

A A A∈

= ⊂¥

∪ A se cumple:

( ) ( )1 1 1 2 2 21 1

lim limn n

n j j nn j j n

A A A A A Aµ µ µ µ µ µ∈ = = ∈

∈

= = = = = ¥ ¥1442443∪ ∪ ∪ ∪

A

luego ( ) ( )1 2A Aµ µ= (1)

Por ser ( )1 Eµ < ∞ se tiene que para cada 0ε > ( )nA∃ ⊆ A tal que nn

E A∈

⊆¥

∪ y:

( ) ( ) ( ) ( )0 1 1

1 0 1 1 1 sobre es medida sobre n n nn n n

E A A A Aµ µ µ

µ ε µ µ µ µ=

∈ ∈ ∈

+ ≥ = ≥ =

∑ ∑¥ ¥ ¥

∪A M

y nos queda: ( ) ( ) ( )1 1 1 \A E A Eµ µ µ ε− = ≤

Como \A E ∈M , por lo ya demostrado ( ) ( )1 2\ \A E A Eµ µ≥ entonces:

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

1 1 2 2 2(1)\

2 1 2\

C

E A EE A E

E A A A E A E

E A E E

µ µ µ µ µ

µ µ µ ε

⊂ ∈=

≤ = = + ≤

≤ + ≤ +

∩ ∩1442443M

y como ε es arbitrario se tiene que ( ) ( )1 2E Eµ µ≤ y por lo tanto se cumple la igualdad. Con lo que tenemos probado que coinciden en un conjunto de medida finita. Ahora como ( )1 , con n n

nX X Xµ

∈= < ∞

¥â ; sea E cualquiera en M , entonces:


- 15 -

por ser n nn n

E E X E X E X∈ ∈

= = =¥ ¥

∩ ∩ ∩â â

( ) ( ) ( )1 1 1n nn

n

E E X E Xµ µ µ∈ ∈

= = ∑¥ ¥∩ ∩â

y como ( ) ( )1 1n n n nE X X E X Xµ µ⊆ ⇒ ≤ < ∞∩ ∩ y por lo ya probado:

( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 1 2 2 2n n nn

n n

E E X E X E X Eµ µ µ µ µ∈∈ ∈

= = = =∑ ∑ ¥¥ ¥∩ ∩ ∩â

Definición 1.11Dada una medida [ ]: 0,µ → ∞M definida en una álgebra σ − M se dice que E ∈M tiene medida nula si: ( ) 0Eµ = Definición 1.12 Dado un espacio de medida ( ), ,X µM se dice que ( )F X∈P es

- nuloµµ si ( ) con tal que 0.F E E Eµ⊆ ∈ =M Definición 1.13 Dado un espacio de medida ( ), ,X µM decimos que es completo si para todo F X⊆ tal que F es nulo Fµ − ⇒ ∈M. De acuerdo a estas definiciones y aplicando lo demostrado en el teorema de Carathedory podemos enunciar la siguiente proposición. Proposición 1.6 Dado un conjunto X sea ( ) [ ]: 0,Xµ ∗ → +∞P una medida exterior

y sea : es medibleA X A µ∗= ⊆ −M entonces:

i) M es una álgebra.σ −

ii) |µ ∗M es una medida completa.

Demostración La afirmación i) ya fue demostrada y la ii) se demostró que |µ ∗

M es una medida, ahora para probar que es completa alcanza con probar que si A X⊆ tal que ( ) 0A Aµ ∗ = ⇒ ∈M , y para eso consideremos E X⊆ :

( )( )

( ) ( ) ( )0

0C

C C

E A EA

E A E A E A Eµ

µ µ µ µ∗

∗ ∗ ∗ ∗

⊆≤ =

≤ + ≤ ≤∩

∩ ∩ ∩14444244443

luego es medibleA Aµ ∗ − ⇒ ∈M. Definición 1.14 Dado un espacio de medida ( ), ,X µM sea:

: , es nuloA N A N µ= ∈ −∪M M

a M se le llama completación de M.


- 16 -

Observación 1.9 Sea ( ), ,X µM un espacio de medida y M la completación de

M entonces .⊆M M Ya que es nulo A A Aφ µ φ− ⇒ ∀ ∈ = ∈∪M M. En el

caso que ( ), ,X µM es completo entonces =M M. Proposición 1.7 Sea ( ), ,X µM un espacio de medida y M la completación de

M entonces M es una álgebraσ − y si definimos [ ]: 0,µ → +∞M como:

( ) ( ) donde es nuloA N A Nµ µ µ= −∪

se tiene que µ es una medida en ( ),X M y es completa.

Demostración Sea n n nH A F= ∪ con ( ), tal que , 0n n n n nA F E E Eµ∈ ⊆ ∈ =M M

por definición nH n∈ ∀ ∈¥M y tenemos que:

( )

n n n n nn n n n

H A F A F∈ ∈ ∈ ∈

∈

= =¥ ¥ ¥ ¥

∪ ∪∪ ∪ ∪ ∪M

y como ( )0

y 0 0n n n nnn n n

F E E Eµ µ∈∈ ∈ ∈ =

⊆ ≤ ≤ =

∑¥¥ ¥ ¥ 1442443∪ ∪ ∪ luego n

n

H∈

∈¥

∪ M

Sea ( ) con , y 0H A F F E E Eµ= ⊆ ∈ =∪ M

( ) CC C CH A F A F∈

= =∪ ∩M

y se tiene que C CF E E F⊆ ⇒ ⊆ entonces: C C C C C CH A F E A F E= ∩ ∩ ∩ ∩â y como ( ) es nuloC C C CA F E E A F E µ⊆ ⇒ −∩ ∩ ∩ ∩

además C C C C CA F E A E=∩ ∩ ∩ y se tiene que:

( ), CA E A E A E∈ ⇒ ∈ ⇒ ∈∪ ∪M M M

luego CH ∈M y se tiene que es una álgebraσ −M Ahora queremos ver que µ está bien definido, es decir que si: ( ) ( ) con , y , nulos H A F A F A A F F A Aµ µ µ′ ′ ′ ′ ′= = ∈ − ⇒ =∪ ∪ M

, nulosF F µ′ − ⇒ existen ( ) ( ), tal que , y 0 E E F E F E E Eµ µ′ ′ ′ ′∈ ⊆ ⊆ = =M entonces como: A H A F A E′ ′ ′ ′⊂ = ⊂∪ ∪ se tiene ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

0

A A E A E A A Aµ µ µ µ µ µ µ=

′ ′ ′ ′ ′ ′≤ ≤ + = ⇒ ≤∪ 1442443 por el mismo

razonamiento resulta ( ) ( )A Aµ µ′ ≤ ⇒que son iguales. Ahora probamos que es una medida. ( ) ( ) 0µ φ µ φ= =


- 17 -

ya que φ φ φ∈

= ∪M

Por otro lado ( ) ( ) ( ) ( )por def. por def.

n n n nn n

n n

H A A Hµ µ µ µ∈ ∈ ∈ ∈

= = = ⇒∑ ∑¥ ¥ ¥ ¥nâ â es aditivaσ −

y por lo tanto µ es una medida.

Sea nuloL µ − ⇒ ( ) tal que 0L H Hµ⊂ ∈ =M , y H ∈ ⇒M H A F= ∪ con

A∈M y ( ) ( ) nulo se tiene que 0F H Aµ µ µ− = = además por ser nuloF µ − ⇒

,F E⊂ ( ) y 0E Eµ∈ =M entonces:

( ) y 0 es nuloL A F A E A E Lµ µ⊂ ⊂ = ⇒ −∪ ∪ ∪

y como se puede escribir nulo

L L Lµ

φ−∈

= ⇒ ∈ ⇒∪M

M M es completa.

Proposición 1.8 (Teorema de aproximación) Dado un conjunto X y en el un álgebra A sea: [ ]0 : 0, una premedida aditivaµ σ→ +∞ −A

definimos ( ) [ ]: 0, tal que:Xµ ∗ → +∞P

( ) ( )01 1

inf : ,j j jj j

E A E A A jµ µ∞∞

∗

= =

= ⊆ ∈ ∀ ∈

∑ ¥∪ A

y sea : es A X A medibleµ∗= ⊆ −M , entonces si ( )E con Eµ∈ < ∞M y dado

0ε > se tiene que :A tal queε∃ ∈A

( )E Aεµ ε<V siendo µ la extensión de 0µ a M (como ya fue visto en la proposición 1.4) Demostración Podemos tomar una sucesión ( )nA ⊆ A de elementos disjuntos con

nn

E A∈

⊆¥

â tales que:

( ) ( ) ( )1 2n

n

E A Eε

µ µ µ∞

=

≤ < +∑

Como la serie converge existe tal que:N ∈¥

( )2n

n N

Aε

µ∞

=

<∑

definimos 1

1 1

; y sea N

j nj n

A A A A A Aε ε

− ∞

= =

= = ⇒ ⊂∪ ∪ y:

( ) ( )\ \E A E A A Eε ε ε=V â Ahora


- 18 -

( ) ( )( )

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

por ser

1

\ \

2 2

nE

nn

A E A E A E A E

A E E E

εµ

µ µ µ µ µ µ

ε εµ µ µ µ

<∞

∞

=

≤ = − = − =

= − < + − =∑

â

Por otro lado

( ) ( ) ( )\ \2n n

n Nn N

E A A A A Aε ε

εµ µ µ µ

∞ ∞

==

≤ = = <

∑∪

luego: ( )E Aεµ ε<V Definición 1.15 Una medida cuyo dominio de definición sea la álgebraσ − de Borel

( )¡B o simplemente B , se le llamamos medida de Borel. Proposición 1.9 Sea [ ]: 0,µ → +∞B una medida de Borel tal que si E ∈B y es

acotado, ( )sea Eµ < ∞ . Definimos :F →¡ ¡ como:

( )( ]( )( ]( )0, si 0

,0 si 0

x xF x

x x

µµ

≥= − <

Entonces F es creciente y continua por la derecha y además ( )0 0F = Demostración Probaremos primero que es creciente. Para lo cual distinguimos varios casos: i) Si 0x y≥ > ⇒ ( ) ( )0F x F y≥ ≥ y 0 x

ii)Si ( ) ( ]( ) ( ]( ) ( ]( )0 0, 0, ,x y F x x y y xµ µ µ> ≥ ⇒ = = + =

( ) ( ]( ) ( )0

,F y y x F yµ≥

= + ≥144424443 0 y x

iii)Si 0x y≤ ≤ ( ) ( ]( ) ( ]( ) ( ]( ),0 , ,0F x x x y yµ µ µ⇒ = − = − − =

( ]( ) ( ) ( )0

,x y F y F yµ≤

= − + ≤14444244443 x y 0

Ahora probaremos que es continua por la derecha. Si ( )0 y es una sucesión decreciente tal que n nx x x x≥ → entonces:

( ) ( ]( ) ( ] ( ]( ) ( )1

0, 0, lim 0, limn n nn

F x x x x F xµ µ µ∞

=

= = = = ∩

por ser ( ]( ) ( ] ( ]10, y 0, 0, 1n n nx n x x nµ −< ∞ ∀ ∈ ⊆ ∀ >¥

Análogamente si ( ] ( ]0 con ,0 ,0nn

x x x∈

< =¥

∪


- 19 -

( ) ( ]( ) ( )0 0,0 0F µ µ φ= = =

Observación 1.10 Si y , 0a b a b< ≥ entonces: ( ]( ) ( ] ( ]( ) ( ]( ) ( ]( ) ( ) ( ), 0, \ 0, 0, 0,a b b a b a F b F aµ µ µ µ= = − = −

Igual en los demás casos. En el ejemplo 1.3 definimos sobre el conjunto ( ] , :a b a b= −∞ ≤ ≤ ≤ +∞I el

álgebra generado por I que en su momento notamos por ( )a=C I y que ahora notaremos solo por A para referirnos al álgebra de las uniones finitas de intervalos semiabiertos del tipo ( ],a b admitiendo y a b= −∞ = +∞ y en este caso

( ] ( ), ,a a+∞ = +∞ . Sobre esta álgebra A establecemos la siguiente proposición. Proposición 1.10 Sea A el álgebra recién mencionada y sea :F →¡ ¡ una función creciente, continua por la derecha, entonces si definimos la función

[ ]: 0,Fµ → +∞A de manera que si la sucesión de intervalos disjuntos dos a dos

( ]( ) 1,

n

i i ia b = ⊂ A se tiene:

( ] ( ) ( )

( )1 1

,

0

nn

F i i i ii i

F

a b F b F aµ

µ φ= =

= −

=

∑â

Fµ así definida es una premedida. Demostración Primero tenemos que ver que Fµ está bien definida, es decir que si:

( ] ( ( ] (1 1 1 1

, , , ,n m n m

i i j j F i i F j ji i i i

A a b c d a b c dµ µ= = = =

= = ⇒ = â â â â

veamos primero que para el caso en que ( ]( ) 1,

n

i i ia b = son disjuntos y su unión

( ] ( ]1

, ,n

i ii

a b a b=

=â con 1 1 2 2 3..... n na a b a b a a b b= < = < = < = se tiene:

( ]( ) ( ) ( ) ( ) ( )1

,n

F i ii

a b F b F a F b F aµ=

= − = −∑

luego no depende de la partición del intervalo. En el caso general tenemos usando la definición y la igualdad anterior para cada intervalo tenemos:

( (1 1

, ,mm

F j j F j jj j

c d c dµ µ= =

=

∑â

entonces si llamamos ( ] (, y ,i i i j j jI a b I c d= = podemos escribir:


- 20 -

si 1 1

n m

i ji jA I I

= == =â â entonces ( ) ( ) ( )

,F i F i j F j

i i j j

I I I Iµ µ µ= =∑ ∑ ∑∩ luego Fµ

esta bien definida. Para ver que es una premedida tenemos que probar que si ( )nA ⊆ A cuyos

elementos son dos a dos disjuntos y nn

A∈

∈¥

∪ A entonces ( ) ( ).F n F nn

n

A Aµ µ∈ ∈

= ∑¥ ¥â

Se puede suponer que ( ] ( ], , y que ,n n n nn

A A a b a b A n∈

= = = ∀ ∈¥

¥â entonces

podemos escribir:

1 1 1

N

n n nn n n N

A A A A∞ ∞

= = = +

= =

∪â â â

y como 1 1

,N

n nn n N

A A A∞

= = +

∈ ⇒ ∈â âA A y:

( ) ( )1 1 1 1

NN N

F F n F F n F nn n N n n

A A A A Nµ µ µ µ µ∞

= = + = =

= + ≥ = ∀

∑â â â

pasando al límite respecto a N:

( ) ( ) ( )01 1

limN

F F n F nNN n

A A Aµ µ µ∞

→∞=

≥ =∑ ∑

Para demostrar la desigualdad contraria supongamos .a b−∞ < < < +∞ Dado 0ε > como F es continua por la derecha 0 tal que:δ⇒ ∃ > ( ) ( ) [ ]0,F a t F a tε δ+ − < ∀ ∈

entonces existen ( ) ( ) [ ]0 tal que si 0,2nn n n nF b t F b tεδ δ> + − < ∈

La familia de intervalos ( ),n n n na b δ ∈+ ¥ es un cubrimiento por abiertos de [ ],a bδ+

que es compacto, luego existe un subcubrimiento finito y sea: ( ) ( )

1 1 1, ,..., ,

k k kn n n n n na b a bδ δ+ +

el de cardinal mínimo. A menos de una reordenación se puede suponer que

1 2...

kn n na a a< < < y además

( )1 1 1,

i i i i in n n n nb a bδ δ+ + +

+ ∈ + 1na

1 1n nb δ+

2na

2 2n nb δ+

entonces

( ) ( ]( ) ( ]( ) ( ]( )( ) ( ) ( ]( ) ( ]( )

, , ,

, ,F F F F

F F

A a b a a a b

F a F a a b a bε

µ µ µ δ µ δ

δ µ δ ε µ δ<

= = + + + =

= + − + + < + +144444424444443

usando el cubrimiento:


- 21 -

( ) ( ]( ) ( )

( )( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

(( )2

1

1 1

1

1 1

1

, ,

,

,2

i i i

i i i i i i

i i i i i

i i i i i

n

i i

k

F F F n n ni

k k

F n n n n n ni i

k

n n n n ni

k k

n n n n nn i

k

F n nnn

A a b a b

a b F b F a

F b F b F b F a

F b F b F b F a

a b

ε

µ ε µ δ ε µ δ

ε µ δ ε δ

ε δ

ε δ

εε µ

=

= =

=

= =<

==

< + + ≤ + + ≤

≤ + + = + + − =

= + + − + − =

= + + − + − ≤

≤ + +

∑ ∑

∑

∑ ∑

∑

1444444442444444443

∪

( ) ( )

1 1 12F ni

k

F nni n n

A

A

µε

εε µ

∞ ∞

= = =

=

< + +∑ ∑ ∑1444442444443

es decir que para cada 0ε > arbitrario se tiene:

( ) ( )1

2F F nn

A Aµ ε µ∞

=

< + ∑

luego ( ) ( )1

F F nn

A Aµ µ∞

=

≤ ∑ y por lo tanto son iguales y Fµ es una premedida.

Si a = −∞ para cualquier h < ∞ la familia de intervalos ( ),n n n na b δ ∈+ ¥ es un

cubrimiento de [ ],h b− , así que el mismo razonamiento que antes da:

( ) ( ) ( )1

2 ,F nn

F b F h Aε µ∞

=

− − ≤ + ∑

Por otro lado si b = +∞ para cualquier h < ∞ obtendremos igualmente que:

( ) ( ) ( )1

2 F nn

F h F a Aε µ∞

=

− ≤ + ∑

El resultado deseado se obtiene al hacer 0 y hε → → +∞ . Definición 1.16 La extensión de la premedida del enunciado anterior a la

álgebraσ − ( )( )σ A que no es otra que la álgebraσ − de Borel ( )( )¡B se le

llama medida de Borel-Stieltjes asociada a F. Proposición 1.11 a) Si :F →¡ ¡ es una función creciente y continua por la derecha, entonces existe una única medida de Borel-Stieltfjes asociada a F tal que: ( ]( ) ( ) ( ),F a b F b F aµ = −

Si G es otra función tal que F Gµ µ= entonces: F G es constante− b) El mapa FF µÎ es una biyección entre los conjuntos:


- 22 -

( ) : y 0 0F creciente, continua por la derecha F = y las medidas de Borel

[ ] ( ) : 0, : medida tal que E si E es acotadoµ µ→ +∞ < ∞B . Demostración a) Por la proposición anterior el mapa Fµ′ tal que:

( ] ( ) ( )1 1

,nn

F i i i in i

a b F b F aµ= =

′ = −

∑â

es una premedida, y es finitaσ − ya que ( ], 1n

n n∈

= +¢

¡ â y:

( ) ( ]( ) ( ) ( ), 1 1F Fn n

n n F n F nµ µ∈ ∈ <∞

′ ′= + = + −∑ ∑¢ ¢

¡ 144444424444443

¡ es unión numerable de conjuntos de medida finita la premedida es finita.σ⇒ − Por la proposición 1.5 se extiende de manera única a una medida [ ]: 0, .Fµ → +∞B Supongamos que G es tal que: F Gµ µ= Sea a b< entonces:

( ]( ) ( ]( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )

( )( ) ( )( )

, ,F Ga b a b F b F a G b G a

F b G b F a G a

F G b F G a

µ µ= ⇒ − = −

⇒ − = −

∴ − = −

y como a y b son arbitrarios ( )F G⇒ − es constante.

b) El mapa FF µ→ por lo anterior y la condición ( )0 0F = ⇒ es inyectivo, pero por la proposición 1.9 es sobre. Definición 1.17 Dada una función creciente y continua por la derecha por la proposición 1.10 genera una premedida [ ]: ,0Fµ′ → + ∞A si definimos la medida

exterior ( ) [ ]: 0,Fµ ∗ → +∞¡P como:

( ) ( ]( ) ( ]inf , : ,F F n n n nn n

E a b E a bµ µ∗

∈ ∈

′= ⊆ ∑

¥ ¥∪

y si llamamos : es medibleF FE E µ ∗= ⊆ −¡M tenemos que es una álgebraσ − y

por la proposición 1.5 : |FF Fµ µ ∗= M es una medida completa.

Además y |F F Fµ µ′⊆ ⊆ =AA B M entonces llamamos σσ - álgebra de conjuntos medibles de Lebesgue a Id.M que notamos por L y llamamos medida

exterior de Lebesgue a Idµ ∗ que notaremos por m∗ y llamamos medida de Lebesgue a Idµ que notaremos como m .


- 23 -

Ejemplo 1.11 Dado x +∈¡ definimos [ ]: 0,xδ → +∞B de la siguiente manera:

( ) ( )1 si

0 si x E

x EE x

x Eδ χ

∈= = ∉

se le llama medida de Dirac concentrada en X. Definimos una función :F →¡ ¡ como sigue:

( )( ]( )( ]( )0, si 0

,0 si 0x

x

t tF t

t t

δδ

≥= − <

Entonces ( ) 0 0F t t= ∀ <

si ( )0 0 si t F t t x> ⇒ = < ,y ( ) 1 si F t t x= ≥ . Entonces F es creciente y continua por la derecha. Sea Fµ′ la premedida asociada a F:

( ]( ) ( ) ( )( ]( ]

0 si ,,

1 si ,F

x a ba b F b F a

x a bµ

∉′ = − = ∈

Sea Fµ ∗ la medida exterior asociada a esta premedida entonces:

Si ( ) tal que 0FE X x E Eµ∗⊆ ∉ ⇒ = ya que ( ] ( ]( )1, ,C

nn

E x n x x x n∈

⊆ = − − +¥

∪∪

entonces ( ) ( ]( ) ( ]( )1

00

, , 0F F Fnn n

E n x x x nµ µ µ∗

∈ ∈ ==

′ ′≤ − − + + =∑ ∑¥ ¥ 1444442444443144444424444443

Luego los conjuntos que no contienen a x son medible es medibleF Fxµ µ∗ ∗− ⇒ −

y por lo tanto todos los subconjuntos de son medible.Fµ∗ −¡ Proposición 1.12 La medida (m) de Lebesgue y la medida exterior ( )m∗ de

Lebesgue son invariantes por traslaciones, es decir: Sea , :E x E x y x y E⊆ ∈ + = + ∈¡ ¡ entonces:

( ) ( )( ) ( )

,m E x m E x E

m E x m E

∗ ∗+ = ∀ ∈ ⊆

+ =

¡ ¡

Demostración Basta probar para m∗ Primero observamos que:

( )1 1

n nn n

E E E x E x∞ ∞

= =

⊆ ⇔ + ⊆ +∪ ∪

entonces:

( ) ( ) ( ]1 1

inf : ,n n n nn n

m E b a E a b∞∞

∗

= =

= − ⊆ = ∑ ∪

1 x


- 24 -

( )[ ] ( ]1 1

inf : ,n n n nn n

b x a x E x a x b x∞∞

= =

= + − + + ⊆ + + ∑ ∪

Luego:

( ) ( ] ( )1 1

inf : ,nn

n n n nn na xb x

m E d c E x c d m E x∞∞

∗ ∗

= =++

= − + ⊆ = + ∑ ∪

Estas dos propiedades caracterizan la medida de Lebesgue. Proposición 1.13 Sea [ ]: 0,µ → +∞B una medida tal que es invariante por

traslaciones y [ ]( )0,1 1µ = entonces mµ = . Demostración Si ( ) 0x xµ∈ ⇒ =¡ ya que de no ser así ( ) 0xµ α= > se tiene

que ( ) 0y yµ α= > ∀ ∈ ¡ por ser invariante por traslaciones.

Pero si [ ]( ) ( ) ( )1 1

0

1 0,1 : 1n nn

nµ µ µ∈ >

= ≥ ≥ = = ∞∑¥

lo cual es un absurdo.

Por otro lado por ser invariante por traslaciones se tiene que:

( ]( ) ( ] ( ]( )1 1

, , 1 0,1 2n n

k nk n

n n k k nµ µ µ− −

=−=−

− = + = = < ∞

∑∪

Entonces ( ) ( ] ( ]( ), ,nn

n n n nµ µ µ∈∈

= − = −

∑¥¥

¡ ∪ con ( ]( ),n nµ − < ∞

Luego µ es una medida de Borel finitaσ − sobre acotados ⇒ existe una única :F →¡ ¡ creciente y continua por la derecha que ( )0 0F = de manera que

Fµ µ= de hecho es:

( )( ]( )( ]( )0, si 0

,0 si 0

x xF x

x x

µµ

≥= − <

Para terminar tenemos que probar que IdF = . Si con x n n= ∈¢ entonces como:

( ) ( ]( ) ( ] ( ] ( ]( )( ]( ) ( ]( ) ( ]( )

1 1 1

0, 0,1 1,2 ... 1,

0,1 1,2 ... 1,

F n n n n

n n n

µ µ

µ µ µ= = =

= = − =

= + + + − =144424443 144424443 14444244443

â â â

tenemos que ( )F n n=

Por otro lado si sea 0pqx x∈ = >¤ entonces:

( ) (( ) ( (( ) (( ) (( )1 1 1 1

1 1 1

0, , , 0, 0,p pp

p p j j j jq q q q q q q q

j j j

F pµ µ µ µ µ− −

= = =

= = = = =

∑ ∑â


- 25 -

pero si ( )por lo anterior 1 1p q F= ⇒ = entonces (( )10, 1qqµ = y por la tanto:

(( )1 10, q qµ =

sustituyendo ( ) ( )1p p

q q qF p= =

Si x es un número real cualquiera podemos considerar que está determinado por un par de sucesiones racionales convergentes, es decir ( ) ( ),n na b ∈¤ tales que ( )na es

monótona creciente, ( )nb es monótona decreciente, donde además n na b n< ∀ ∈¥ y

para cada 0 00, tal que n nn b a n nε ε> ∃ − < ∀ ≥ , entonces ( ) tal que nx a x−∃ ∈ →¡ y

( )nb x+→ .

Consideremos primero que ( ) ( ),n nx a b+ +∈ ⇒ ∈¡ ¤ como n na x b< < se tiene:

( ] ( ] ( ] ( ]( ) ( ]( ) ( ]( )

( ) ( ) ( )

0, 0, 0, 0, 0, 0,

como ,

n n n n

n n

n n n n

a x b a x b

F a F x F b

a b a b

µ µ µ⊆ ⊆ ⇒ ≤ ≤

≤ ≤

∈ ⇒

PP P

P P

¤

Luego como ( ) se tiene que n nn a F x b∀ ∈ ≤ ≤¥ ( )F x⇒ está determinado por el

par de sucesiones ( ) ( ),n na b y como determinan un único número real se tiene que:

( )F x x=

Análogamente se procede si x −∈¡ .

Ejemplo 1.12: Conjunto de Cantor Consideremos el conjunto cuya construcción es la siguiente, partimos el intervalo [0,1] en tres tercios, y extraemos el tercio central, luego repetimos el proceso para estos tercios y así sucesivamente, el límite de esta construcción es el conjunto de Cantor. Para entender más esto vamos a introducir el operador ( )∗⋅ que consiste en extraer el tercio central. Entonces:

Si [ ] ( )2, , ,

3 3

b ab aI a b I a a b∗ −− = ⇒ = +

∪ , si k kk k

I I I I∗ ∗= ⇒ =∪ ∪

Introducida la notación comencemos, sea [ ]0 0,1 ; C = [ ] [ ]1 21 0 3 30, ,1C C∗= = ∪

Llamemos [ ] [ ]1 21 21 13 30, ; ,1I I= = entonces:

( ) ( ) [ ] [ ] [ ] [ ]1 2 1 2 3 47 81 2 1 22 1 1 2 2 2 29 9 3 3 9 90, , , ,1C I I I I I I

∗ ∗= = =∪ ∪ ∪ ∪ ∪ ∪ ∪ .

En general ( )2

1

n

jn n

jC I

== â donde cada j

nI tiene


- 26 -

longitud 13n Definimos el conjunto triádico de Cantor como:

0

nn

C C∞

=

= ∩

El conjunto así definido tiene algunas propiedades importantes: a) C es compacto no vacío. Cada nC es unión finita de cerrados, luego es cerrado, y como C es la intersección

numerable de cerrados, es cerrado. Pero cerrado [ ]0,1C ⊂ compacto C⇒ es compacto. Además es no vacío porque el 0 y el 1 pertenecen a nC n∀ ⇒ que pertenecen a C. b) ( ) 0m C =

Tenemos que ( ) ( ) ( ) ( )2 1 1

1 1 0

1

2 2 2 2...

3 3 3 3

n n

n n nm C m C m C m C+ +

+ −

=

= = = = = 1442443

Entonces:

( ) ( )12

lim lim 03

n

n nn nn

m C m C m C+

→+∞ →+∞∈

= = = = l∩

c) Es nunca denso (es decir C φ=o

)

Por ser C cerrado C C= y como no hay ningún intervalo abierto en C ya que si suponemos por el absurdo que tenemos un abierto ( ) ( ), , nc d C c d C n⊂ ⇒ ⊂ ∀ y como nC es unión de intervalos disjuntos significa que tiene que estar en uno de ellos ( ), para algún k

nc d I k⊂ por lo tanto

( )( ) 10 , 0

3nm c d d c n d c≤ = − ≤ ∀ ⇒ − =

Luego C φ=o

. d) C es perfecto (es igual al conjunto de sus puntos de acumulación). Si expresamos los elementos de C como:

1

: 0, 23

nnn

n

aC a

∞

=

= ∈ ∑

Sea , 0x C ε∈ > Si no existe 0n a partir del cual todos los términos de la serie son ceros entonces las sumas parciales de la serie ( puntos del conjunto de Cantor ) son distintas a t y siempre hay una a distancia menor que un cierto 0ε > arbitrario. Supongamos que 0 0 tal que 0 in x i n∃ = ∀ >


- 27 -

Entonces 0

1

y sea tal que3

nii

i

xt t C

=

′= ∈∑ : 0

01 1 1

0 23 3 3

n nii i i

i n n

xt

∞

= + +

′ = + +∑ ∑ ∑

Claramente t’ pertenece a C entonces:

( ) 1

1

122 1 13 23 3 3

3

n

i n nn

t t t t t t

+∞

+

′ ′= + = + = + ⇒ − =∑

Sea 2 1 2

tal que 3 3 3n n n

t tε ε ε′< ⇒ − = < < esto significa:

( ), \ es de acumulaciónt C B t t tε′∈ ⇒∩ e) C es no numerable. Como ¡ con la métrica usual es un espacio métrico completo, y [ ]0,1 ⊂ ¡ cerrado,

entonces es completo; por la misma razón, [ ]0,1C ⊂ cerrado es completo. Luego C es perfecto y completo luego no es numerable. Otra forma de afirmar lo mismo es ver que entre los elementos de C y los de [ ]0,1 existe una función sobreyectiva, definida como:

2

1 1

con 0,23 2

ixi

ii ii i

xf x

∞ ∞

= =

= ∈ ∑ ∑

Demostración

Si 0,2 0,12i

i ixx y∈ ⇒ = ∈ y podemos escribir

1 1

3 2

i ii i

i i

x yf

∞ ∞

= =

= ∑ ∑ con

0,1iy ∈

f es sobreyectiva ya que en primer lugar si ( )0 0iy i f= ∀ ⇒ = y si 1 iy i= ∀

implica ( )1

11

2ii

f∞

=

= =∑

en segundo lugar

1

con 0,1 2

iii

i

yy

∞

=

∈∑ es un número en base dos entre cero y uno.

Entonces [ ]# # 0,1 #C c= = =¡ f) C es totalmente disconexo. Esto es consecuencia de lo demostrado en la c) que no hay intervalos en C,( A ⊂ ¡ es conexo ⇔ es un intervalo) luego los únicos conexos son los conjuntos unipuntuales. Al conjunto de Cantor se le asocia una función notable, llamada función notable de Cantor-Legesgue. Se define como el límite de la sucesión de funciones nf de funciones crecientes y continuas tal que:


- 28 -

( )( )

( ) ( )0 0 si \

1 1 2n m m

n n nnn

f mf x x I I

f∗=

= ∈=

sobre cada intervalo componente de nC . Cada nf es creciente, y

1n nf f+ = sobre cada ( )\m mn nI I

∗

(los complementos de Cantor)

y 1

12n n n

f f+ − ≤ luego nf es

uniformemente convergente hacia la función buscada ϕ . Obviamente ϕ es creciente, continua y constante sobre cada intervalo componente de [ ]0,1 \ C . En particular ϕ tiene derivada nula en todos los puntos de [ ]0,1 salvo en los del conjunto de Cantor, que es de medida nula. Proposición 1.14 Si X = ¡ la álgebraσ − de Lebesgue correspondiente que notamos por ( )¡L cumple que:

( ) ( )# # 2 siendo #c c= = =¡ ¡ ¡L P Demostración Como ( ) ( ) ( )# 2c⊆ ⇒ ≤¡ ¡ ¡L P L Por otro lado ( ) : con conjunto de CantorE C C⊇ ⊆¡L

luego ( ) ( )

( )# # # 2c

C

E C=

≥ ⊆ = =¡ ¡144424443P

L P (ya que # #C = ¡ )

entonces ( )# 2c=¡L Proposición 1.15 Sea X = ¡ entonces la álgebraσ − de Borel ( )¡B cumple:

( )# # c= =¡ ¡B Demostración Sea ( ) tal que ε φ ε⊂ ∈¡P definimos:

1

: o Cn n n

n

A A Aε ε ε∞

∗

=

= ∈ ∈ ∪


- 29 -

Como φ ε ε ε ∗∈ ⇒ ⊂ entonces si 0ε es la topología usual de ¡ definimos 1 0ε ε ∗= y

así sucesivamente 1n nε ε ∗+ = , obtenemos una familia creciente 0 1, ,..., ,...nε ε ε

Sea Ω = al primer cardinal no numerable, entonces para cada ordinal α < Ω se define:

α ββ α

ε ε∗

<

=

∪

finalmente sea αα

ε<Ω

= ∪F ; F así definida es una álgebraσ − tal que ( )0σ ε=F

y el cardinal sería el del continuo ( )# c⇒ =¡B .


- 30 -

- 31 -

Capítulo 2

Funciones Medibles Recordemos que un mapa :f X Y→ entre dos conjuntos induce un mapa

( ) ( )1 : ,f Y X− →P P definido por:

( ) ( ) 1 :f E x X f x E− = ∈ ∈

que preserva las uniones, intersecciones y complementos es decir:

( )

( )

( ) ( )( )

1 1

1 1

1 1

i ii I i I

i ii I i I

CC

f E f E

f E f E

f A f A

− −

∈ ∈

− −

∈ ∈

− −

= =

=

∪ ∪∩ ∩

Entonces si N es una álgebraσ − en Y, ( ) 1 : f E E− ∈N es una álgebra σ −

en X. Definición 2.1 Sean ( ) ( ), y ,X YM N dos espacios medibles, :f X Y→ se dice que es una función medible si: ( )1 f N N− ∈ ∀ ∈M N

también decimos que ( ) es medible.f − −M N Proposición 2.1 Si ( ) ( ) ,con Yσ= ⊆N S S P entonces : f X Y→ es

( )− −M N medible si y solo sí ( )1f E E− ∈ ∀ ∈M S. Demostración ⇒ Es obvia ⇐ Sea ( ) 1:E Y f E−= ⊆ ∈F M veremos que es una álgebraσ − ;


- 32 -

( ) ( )( )

( )

por def.

1 1

1

si

C

C C

E f E f E

f E E

− −

−

∈ ⇒ ∈ ⇒ ∈

∈ ⇒ ∈

PF M M

M F

análogamente

( ) ( ) ( )1 1

1

si

n n nn

n nn n

E f E f E

f E E

− −

∈

−

∈ ∈

∈ ⇒ ∈ ⇒ ∈

∈ ⇒ ∈

¥P

¥ ¥

∪

∪ ∪

F M M

M F

además por hipótesis ( )1E f E−∀ ∈ ∈ ⇒ ⊆S M S F y por lo tanto contiene a la sigma álgebra generada, es decir:

( )

σ ⊆PS F

N

luego ( ) ( )1 es medible.E f E f−∀ ∈ ⇒ ∈ ⇒ − −N M M N Corolario 2.2 Si X e Y son espacios métricos (o espacios topológicos), entonces todas las funciones continuas son ( ) ( )( ) .X Y medibles− −B B Demostración Por ser f continua, si y solo sí ( )1f U− es abierto en X, U∀ abierto de Y. Definición 2.2 Sea X espacio topológico, ( ),X M un espacio medible, a la función

( ): o f X → ¡ ¡ £ se dice MM −− medible o simplemente medible si es

( )( )− ¡M B -medible (o ( )( )medible− −£M B .

En particular si ( ): o f →¡ ¡ £ llamamos Borel medible si f es

( ) ( )( ) medible− −¡ ¡B B (o ( ) ( )( ) medible− −¡ £B B ).

En el caso que ( ) entonces ,X=M L L es el espacio medible de Lebesgue y

decimos de ( ): o f X → ¡ ¡ £ que es Lebesgue medible si es ( ) medible.− −L B

Observación 2.1 Si , :f g →¡ ¡ son Lebesgue medibles, no implica que f go sea Lebesgue medible. Si ( )E ∈ ¡B tenemos que ( )1f E− ∈L pero esto no garantiza que

( )( )1 1g f E− − ∈L a menos que ( ) ( )1f E− ∈ ¡B . Sin embargo si f es Borel medible,

entonces f go es Lebesgue medible o Borel medible siempre que g lo sea.

Análisis Real Funciones medibles - 33 -

- 33 -

Definición 2.3 Sean ( ) ( ), y ,X YM N dos espacios medibles, y una función

:f X Y→ definimos los siguientes conjuntos:

( ) ( ) 1: para algún E X E f N N∗ −= ∈ = ∈M P N

llamado pull-back de N ; y el conjunto: ( ) ( ) 1:B Y f B−

∗ = ∈ ∈N P M

llamado pull-forward de M . Podemos enunciar las siguientes proposiciones: Proposición 2.3 Sean ( ) ( ), y ,X YM N espacios medibles, :f X Y→ es medible

si y solo sí ∗ ⊆M M. Proposición 2.4 Sean ( ) ( ), y ,X YM N espacios medibles , :f X Y→ es medible si y solo sí ∗⊆N N . Demostración Basta con ver el siguiente esquema y la definición de medible. X Y X Y ( )1f N− N ∈N ( )1f B− ∈M ( )B Y∈P 1f − 1f −

Entonces si ( )1N f N∗ −⊆ ⇔ ∀ ∈ ∈ ⇔M M N M f es medible.

Y si ( )1B f B f−∗⊆ ⇔ ∀ ∈ ∈ ⇔N N N M es medible.

Proposición 2.5 Si ( ),X M es un espacio medible y :f X → ¡ , entonces las siguientes afirmaciones son equivalentes. i) f es −M medible. ii) ( )( )1 , .f a a− +∞ ∈ ∀ ∈¡M

iii) [ )( )1 , .f a a− +∞ ∈ ∀ ∈ ¡M

iv) ( )( )1 , .f a a− −∞ ∈ ∀ ∈ ¡M

v) ( ]( )1 , .f a a− −∞ ∈ ∀ ∈ ¡M


- 34 -

Demostración Simplemente por la proposición 2.1 y el hecho de que ( )¡B es generado por los intervalos abiertos, semiabiertos, con ambos extremos finitos o uno de los extemos infinito. Definición 2.4 Sea ( ),X M un espacio medible, f es una función definida en X, y

E ∈M diremos que f es medible en E si ( ) ( )1f B E B− ∈ ∀ ∈∩ ¡M B , es

equivalente a decir que E| es medible con : .E Ef F E F− = ∈∩M M M Definición 2.5 Sea X un conjunto, ( ),i i i I

Y ∈M una familia de espacios medibles y

: ,i if X Y i I→ ∈ . A la menor álgebraσ − en X que torna a todas las if medibles es llamada álgebra inicialσ −σ − . En símbolos la álgebra inicial σ − es la

álgebraσ − ( )1 .ii I

fσ −

∈

∪ M

Proposición 2.6 En las condiciones de la definición anterior, si para cada i I∈ ,

iC es una clase de subconjuntos de X, tal que ( )i iσ =C M entonces la álgebraσ − inicial coincide con la álgebraσ − generada por la familia:

( )1

1

: , , 1,2,..., ,k k k k

n

i i i i kk

f C C i I k n n−

=

= ∈ ∈ = ∈

¥∩D C

Demostración Sea la álgebra inicialσ −F . Como F torna a las if medibles,

( )1i if C− ∈F para todo para todo .i iC i I∈ ∈C Además de eso como F es

cerrada por intersecciónes finitas ( es álgebraσ −F ), ⊆D F , entonces

( )σ ⊆D F . Por otro lado,

( ) ( )( ) ( )( ) ( )1 1 1 ,i i i i i if f fσ σ σ− − −= = ⊆M C C D

lo que implica que ( ) ( ) es medible,if i Iσ σ− ∀ ∈ ⇒ ⊆D F D , y son iguales. Definición 2.6 En las condiciones de la definición anterior i

i I

Y Y∈

= ∏ y las

funciones i if π= proyecciones naturales de Y sobre iY , la álgebraσ − inicial se le llama álgebraσ − producto.

Si es la álgebra producto σ −M notamos .ii I∈

= ∏M M

Veamos la siguiente generalización de la observación 2.1.


- 35 -

Proposición 2.7 Sean ( ) ( ) ( ), , , y ,X Y ZM N O espacios medibles, y las funciones : , :f X Y g Y Z→ → medibles, entonces g fo es medible. Demostración Por ser g medible ( )1g E E−⇒ ∈ ∀ ∈N O y por ser f medible es

( )( ) ( ) ( )11 1f g E g f E−− − ∈ ⇒ ∈oM M , lo que significa que g fo es medible.

Proposición 2.8 Sean ( )i i i I

Y ∈,N una familia de espacios medibles, X un conjunto

y :i iY Y i Iπ → ∀ ∈ las proyecciones naturales de Y sobre los iY . Sea N la

álgebraσ − inicial correspondiente sobre Y.Sea ( ),X M un espacio medible y :f X Y→ , entonces f es medible si y solo sí i if fπ= o son medibles .i I∀ ∈

Demostración ⇒ por ser i y mediblesif fπ π⇒ o es medible por la proposición anterior. ⇐Supongamos que i fπ o son medibles i I∀ ∈ . Por las proposiciones 2.1 y 2.6 alcanza con probar que 1 2, , ,..., ,

k kn i in i i i I A∀ ∈ ∀ ∈ ∀ ∈¥ M con 1,...,k n= se tiene:

( )1 1

1k k

n

i ik

f Aπ− −

=

∈ ∩ M

y esto se deduce de:

( ) ( ) ( )11 1

1 1

.k k k k

n n

i i i ik k

f A f Aπ π−− −

= =∈

=

o144444424444443∩ ∩M

Proposición 2.9 Si nR indica la - álgebraσ de Borel en n¡ entonces:

veces

.n

n

= × × ×1444442444443R R R ... R

Demostración Si I indica la familia de intervalos abiertos en ¡ , y nI la familia de productos de estos intervalos en n¡ , tenemos que

( )nσ = × × ×I R R ... R (por que ( ) y es álgebra σ σ= × × × −I R R R ... R

producto) Como los elementos de nI son abiertos, tenemos n n⊆I R y por tanto n× × × ⊆R R ... R R . Recíprocamente, como todo abierto de n¡ puede ser escrito como una unión numerable de elementos de nI , tenemos que todo abierto es perteneciente a × × ×R R ... R , y por tanto n ⊆ × × ×R R R ... R. Corolario 2.10 Sea ( ),X M espacio medible y 1 2, ,..., nf f f funciones que toman valores en ¡ . Entonces ellas son medibles si y solo sí la función


- 36 -

( ) ( ) ( )( )1 2, ,..., nf f fω ω ω ωÎ es ( )n− −M R medible.

Como consecuencia tenemos que: Proposición 2.11 Sea ( ),X M espacio medible, f y g dos funciones medibles que toman valores en ¡ , c ∈ ¡ entonces las funciones: 2, , , , , y cf f f f f f g fg+ − +

son medibles ( max ,0 , max ,0f f f f+ −= = − ) Demostración Las primeras 5 son composición de f con una función contunua. Para probar que f g+ es medible procedemos de la siguiente forma: A la función ( ),x y x y∈ × + ∈¡ ¡ ¡Îx es continua y por tanto ×R R medible.

La función ( ) ( )( ) 2,f gω ω ω∈ ∈ ¡M Î es ( )− × −M R R medible.

Como f g+ es composición de estas dos funciones ella también es medible. El mismo argumento usamos con el producto. Estudiaremos funciones reales positivas [ ]: 0,f X → +∞

0+ += +∞¡ ¡ ∪ ∪

[ ]( ) [ ] ( ) 0, 0, :E E+∞ = ⊆ +∞ ∈∩ ¡ ¡B B

Observación 2.2 Sea ( ),X M espacio medible, para que [ ]: 0,f X → +∞ sea

medible en [ ]0,+∞ alcanza con probar que:

[ ]( ) [ )( ) ( )1 1 1, o , y f a f a f− − −+∞ ∈ +∞ +∞ ∈M M

Definición 2.7 Sea ( ),X M espacio medible y una función [ ]: 0,f X → +∞ definimos el siguiente conjunto: [ ] ( ): 0, : es medible ,f X f L X+→ +∞ = M

o simplemente +L . Proposición 2.12 Sea una sucesión de funciones ( )n nf L+

∈ ∈¥ entonces las funciones:

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

1 2

3 4

sup inf

lim sup lim inf

n nnn

n nn n

g x f x g x f x

g x f x g x f x

∈∈

→+∞ →+∞

= =

= =¥¥

todas pertenecen a L+ . Además si ( ) ( )lim nn

f x f x→+∞

= existe para todo x X∈ ,


- 37 -

entonces f L+∈ . Demostración Para 2g se tiene:

( ]( ) ( ]( )1 12 2, ,n n

n n

g a g a f a f a− −

∈ ∈ ∈

+∞ = > = > = +∞ ∈¥ ¥ 1444442444443∪ ∪

M

M

[ )( ) [ )( )1 12 20, 0,n n

n n

g a g a f a f a− −

∈ ∈ ∈

= < = < = ∈¥ ¥ 14444244443∪ ∪

M

M

analogamente para 1g . Si ( ) ( )supk n k nh x f x>= tenemos que kh es medible para

cada k, así ( )3 infk kg x h= es medible. Igual con 4g . Finalmente si existe el límite de las nf para todo x, se tiene que 3 4 ,f g g= = y así es f medible. Corolario 2.13 El máximo, mínimo y límite de funciones si existen son medibles. Definición 2.8 Sea ( ),X M un espacio medible, a la función : 0,1A Xχ → llamamos funcion característica de A o función indicadora de A si esta definida como sigue:

( )1 si

0 si A

x Ax

x Aχ

∈= ∉

Observación 2.3 La función característica de un conjunto A es medible si y solo sí A∈M ya que:

( )

1

si 0,1

si 0 y 1

si 1 y 0

si 1 y 0

A

C

B

X BB

A B B

A B B

φ

χ −

∉ ∈= ∈ ∉ ∉ ∈

Observación 2.4 Sea y A B dos conjuntos disjuntos entonces: A B A Bχ χ χ= +â Ya que

1 y

0

1 1

0 y

1

A

B

A B A B

A

B

x A x B

o

x B x A

χχ

χ χ χχχ

= ∈ ∉ ⇒ = = ⇔ ⇔ = +

= ∈ ∉ ⇒ =

â

Para el caso particular que todo el espacio X A B= ∪ con A y B disjuntos se tiene: 1A B Xχ χ χ+ = =


- 38 -

luego como siempre C 1CA AX A A χ χ= ⇒ + =∪

Generalizando para una sucesión ( )n n

A ∈¥ de conjuntos disjuntos dos a dos:

n n

nA A

n

χ χ∈ ∈

= ∑¥ ¥

â

Observación 2.5 Sean A y B dos conjuntos, entonces: A B A Bχ χ χ= ⋅∩

Ya que:

( ) ( )

1

1 si y 1

1

0

0 si o 0

0

A

A B

BA B A B

A

A B

B

x A

x A B

x Bx x

x A

x A B

x B

χχ χ

χχ χ χ

χχ χ

χ

∈ ⇒ = ∈ ⇒ ⇒ = ⋅ ∈ ⇒ = = = ⋅

∉ ⇒ = ∉ ⇒ ⇒ = ⋅ ∉ ⇒ =

∩

∩

∩

Generalizando para una sucesión ( )n nA ∈¥ tenemos:

nn

n

AAn

χ χ∈ ∈

= ∏¥ ¥∩

Definición 2.9 Sea ( ),X M un espacio medible [ ]: 0,f X → +∞ se dice que es

una función simple si y solo sí existen 1 2 1 2, ,..., y , ,...,n na a a A A A+∈ ∈¡ M disjuntos dos a dos tales que:

1

i

n

i Ai

f a χ=

= ∑

Al conjunto de las funciones simples notamos por S +

Observación 2.4 Si los ia son distintos, la función simple 1

i

n

i Ai

f a χ=

= ∑ es única.

La suma y el producto de funciones simples son simples. Definición 2.10 En las mismas condiciones que la definición anterior si la sumatoria en vez de ser finita es infinita a saber:

1

ii Ai

f a χ∞

=

= ∑

decimos que f es una función elemental.

En la siguiente proposición probaremos que L S+ += .


- 39 -

Proposición 2.14 (Teorema de Caracterización de +L ) Dada ,f L+∈ existe una sucesión de funciones simples ( )n nf S +

∈ ⊆¥ tales que:

i) 1 20 ... nf f f f n≤ ≤ ≤ ≤ < ∀ ∈¥

ii) ( ) ( )lim nn

f x f x→+∞

= en X (convergencia puntual)

iii) Si ( ) | |n A Af x k x A f f≤ ∀ ∈ ⇒ ⇒ (converge uniformemente). Demostración Tomemos la función:

( ) ,

2

1

12

n

n i

n

n A f nni

if nχ χ ≥

=

−= +∑

siendo ( ) ( ) ,

1:

2 2n i n n

i iA x X f x

−= ∈ ≤ < por definición esta claro que nf S +∈

Al intervalo [ ]0,n lo dividimos en 12

2 intervalitos de longitud nnn y de n en

adelante un solo intervalo.

n

2ni

interv.i 1

2ni−

( ),n iA ( ),n iA ( ),n iA

Se tiene que:

( )( )

( )[ ]( )1

1

1

en 0,1

2

n

nn n

f xf x f n

f x−

++

=

+

luego [ ]( )11 en 0,n nf f f n−

+ ≥

y en [ )( )1 ,f n− +∞ 1 y 1n n nf n f n f+= = + > , luego nf es monótona

creciente y por definición f≤ .


- 40 -

ii) Si ( ) ( )nf x f x n= ∞ ⇒ = → ∞

Si ( ) 0 0 0 sea tal que entonces n :f x k n n k n≤ ⇒ > ∀ ≥

( ) ( )

( ) ( )

10 0

2n n

n

f x f x

f x f x

≤ − ≤ →

∴ →

iii) Si ( ) se tiene:f x k x A≤ ∀ ∈

1

0 lim2n nn n

f f f f x A→∞

< − < ⇒ = ∀ ∈

Corolario 2.15 Sea :f X → £ una función medible, entonces existe una sucesión ( )n n

f ∈¥ de funciones simples tal que:

i) ( ) ( )nf x f x→ ii) Si f está acotada sobre E X⊆ entonces: | |n E Ef f⇒

iii) ( ) ( )1n nf x f x f+≤ ≤

Demostración Consideremos primero :f X → ¡ siendo = −∞ +∞¡ ¡ ∪ ∪ y sean

y n nf g funciones simples como en la proposición anterior, nf con

respecto a f + y ng con respecto a .f −

Sea ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )por prop. anterior

n n nh x f x g x f x f x f x+ −= − → − = de igual

forma se demuestra ii). 1 1 1n n n n n nh f g f g h f f f+ −

+ + += + ≤ + = ≤ + = En el caso complejo :f X → £ se deduce igual al caso anterior pasando a Re y Imf f .

- 41 -

Capítulo 3

Integración Definición 3.1 Sea ( ), ,X µM un espacio de medida. Se dice que una propiedad se

satisface en casi todo punto según ( )ctpµ µ− , si el conjunto de puntos donde no se satisface la propiedad está contenido en algún conjunto de medida nula. Ejemplo 3.1 Sea ( ): tal que senf f x x→ =¡ ¡ la propiedad sen 0x ≠ es ctp m− siendo m la medida de Lebesgue. Ejemplo 3.2 : tal que:f →¡ ¡

( ) 1

0 si o 0

si pq q

x xf x

x

∈ == =

¤

con pq fracción irreducible 0q > entonces:

a) 0 ctpf m= − b) Además f es continua ctp m− Definición 3.2 Sea ( ), ,X µM un espacio de medida, sea f S +∈ una función simple, es decir:

( )1

1

donde es una partición medible de j

nn

j E j jj

f a E Xχ=

=

= ∑

(i.e.: 1

1,..., ;n

j jj

E j n X E=

∈ ∀ = = âM ) Entonces definimos:

( )1

n

j jXj

f d a Eµ µ=

= ∑∫

Usaremos indistintamente si no hay lugar a confusión X X

f f f dµ= =∫ ∫ ∫


- 42 -

Observación 3.1 La definición anterior no depende de la partición.

Sea 1 1

j i

n m

j E i Fj i

f a bχ χ= =

= =∑ ∑ entonces ( ) ( )1 1

n m

j j i ij i

a E b Fµ µ= =

=∑ ∑ ya que:

( ) ( ) ( ),1 , 1

n m

j j i j j i j jj i j j

a E c E F b Fµ µ µ= =

= =∑ ∑ ∑∩

veamos ahora algunas propiedades que cumples las integrales de funciones simples Proposición 3.1 Sea ( ), ,X µM un espacio de medida, , Sϕ ψ +∈ (funciones simples no negativas) entonces se cumplen las siguientes propiedades: i) Si d dϕ ψ ϕ µ ψ µ≤ ⇒ ≤∫ ∫

ii) Si 0c c d c dϕ µ ϕ µ≥ ⇒ =∫ ∫

iii) ( )d d dϕ ψ µ ϕ µ ψ µ+ = +∫ ∫ ∫ definición

iv)Si [ ]: 0,ϕµ → +∞M y definimos ( ) : AAS

A d d Aϕµ ϕ µ ϕχ µ+∈

= = ∀ ∈∫ ∫ M

entonces ϕµ es una medida.

Demostración Sean las representaciones de las funciones simples:

1 1

,i j

n m

i E j Fi j

a bϕ χ ψ χ= =

= =∑ ∑

podemos escribir las mismas de la siguiente forma:

1 1 1 1

,i j i j

n m m n

i E F j E Fi j j i

a bϕ χ ψ χ= = = =

= =∑∑ ∑∑∩ ∩

por lo tanto puede suponerse que:

1 1

,k k

N N

k G k Gk k

ϕ α χ ψ β χ= =

= =∑ ∑ donde ( ) 1

Nk k

G = es una partición medible de X.

i)

1 1

k k

N N

k k k G k Gk k

d d

α β α χ β χ

ϕ µ ψ µ

= =

≤ ⇒ ≤

≤

∑ ∑

∫ ∫P P

análogamente se prueban ii) y iii) Probemos ahora iv) a) ( )

0

0 0d dϕ φµ φ ϕ χ µ µ=

= = =∫ ∫

b) Sea ( )n nA X∈ ⊆¥ una familia numerable de conjuntos disjuntos dos a dos,

entonces:

Análisis Real Integración - 43 -

- 43 -

( ) ( )

( )

obser. 2.51 por def. 1 1

1 11 1 1 1

1 1 1 1

k i k i k

i k

n n

k A i E A i E Ak i i

n n n

i i k i i k i i kk ki i i k

n n

i i k i E Ak i k i

A d a d a d

a E A a E A a E A

a E A a d

ϕ

ϕ

µ ϕχ µ χ χ µ χ µ

µ µ µ

µ χ χ µ ϕ

∞

= = =

∞∞ ∞

= == = = =

∞ ∞

= = = =

= = = =

= = = =

= = =

∑ ∑∫ ∫ ∫

∑ ∑ ∑ ∑

∑∑ ∑ ∑∫

∩

∩ ∩ ∩

∩1442443

â â âââ â

( )1 1

k

kk kA

d Aϕµ µ∞ ∞

= =

=∑ ∑∫

Definición 3.3 Dado ( ), ,X µM espacio de medida y la función simple f para un conjunto A∈M definimos: AA X

f d f dµ χ µ=∫ ∫

Debido a la proposición 2.14, dada una función f L+∈ sabemos que existe una

sucesión nf S +∈ de funciones simples tales que nf f , entonces tiene sentido introducir la siguiente definición. Definición 3.4 Sea ( ), ,X µM un espacio de medida, f L+∈ y ( )n nf S +

∈ ⊆¥ tal

que nf f definimos:

lim nX Xnf d f dµ µ=∫ ∫

Si dicho límite da finito decimos que f es integrable. Proposición 3.2 La definición anterior es consistente, es decir que si tenemos dos sucesiones ( ) ( ),n nn n

f g∈ ∈¥ ¥ de funciones simples tales que y n nf f g f entonces: lim limn nf d g dµ µ=∫ ∫

Demostración Probaremos que: lim n p

nf g p≥ ∀ ∈∫ ∫ ¥

como se cumple para todo p podemos pasar al límite en p y se tiene lim limn pn p

f g≥∫ ∫

la otra desigualdad se prueba de la misma forma. Supongamos primero el caso finito: 1) ( )Xµ < ∞ Sea 0ε > arbitrario y p fijo, definimos:


- 44 -

( ) ( ) : n p nA x g x f xε= − ≤

Claramente por ser ( )nf creciente nA X , llamemos ( ) max :pM g x x X= ∈

entonces:

( )( )

( )( ) ( )( )

( )

( ) ( )( )

( )( )

obser. 2.4

0

1

n n n n

n

C Cn n

Cn

n n A p A p A A

A

p n p p nA A

Cp n p n nA

X

f f g g

g A g g A

g M A g M A A

εµ

µµ φ

χ ε χ χ εχ

χ εµ χ εµ

χ εµ µ ε µ→→ =

≥ ≥ − = − =

= − − = − − ≥

≥ − − ≥ − −

∫ ∫ ∫ ∫ ∫

∫ ∫ ∫∫ ∫ ∫ 14424431442443

Pasando al límite: ( )lim n p

nf g Xεµ≥ −∫ ∫

Como el ε es arbitrario 0> y ( )Xµ < ∞ entonces haciendo 0ε +→ :

lim n pn

f g p≥ ∀ ∈∫ ∫ ¥

Sea ahora el caso infinito, llamemos ( ) : 0p pG x g x= >

2)Entonces si ( )pGµ < ∞ podemos restringir la función pg a pG y aplicar lo

anterior lim en n p pn

f g G⇒ ≥∫ ∫ y como en , 0Cp pG g = también se cumple, por lo

que se verifica en todo X. Si ( )pGµ = ∞ sea ( ) min :p pm g x x G= ∈ por ser pg S +∈ existe el mismo y es

0m > , tomemos 0ε > tal que 0 mε< < , en este caso definimos ( ) ( ) : n p n pB x g x f x Gε= − ≤ ∩

Claramente n pB G entonces:

( ) ( ) ( ) ( )n n nn n B p B B nf f g m m Bχ ε χ ε χ ε µ≥ ≥ − ≥ − = −∫ ∫ ∫ ∫

y pasando al límite ( ) ( )lim n p p

nf m G gε µ≥ − = ∞ =∫ ∫

Observación 3.2 Si f es simple la definición 3.4 coincide con la definición 3.2. Además si A es medible y ,n n n A Af S f f f fχ χ+∈ ⇒ entonces por definición

lim limA n A nX X A An nf d f d f d f dχ µ χ µ µ µ= = =∫ ∫ ∫ ∫

luego también vale la definición 3.3 para funciones AA Xf L f d f dµ χ µ+∈ =∫ ∫

Proposición 3.3 Sea ( ), ,X µM un espacio de medida, ,f g L+∈ y 0c ≥ entonces se cumplen:


- 45 -

i) cf d c f dµ µ=∫ ∫ considerando el caso 0 0⋅ ∞ =

ii) Si f g f d g dµ µ≤ ⇒ ≤∫ ∫

iii) ( )f g d f d g dµ µ µ+ = +∫ ∫ ∫

iv) A B A B

f d f d g dµ µ µ= +∫ ∫ ∫â ,A B∀ ∈M

Demostración Existe una sucesión de funciones simples nf f como 0c ≥ entonces ncf cf y por definición:

lim

lim lim

nn

n nn n

cf cf

cf c fc f c f c f

= ⇒ == =

∫ ∫∫ ∫

∫ ∫ ∫P

nf simple

ii) Sea f g≤ sabemos que existen ( ) ( ),m nm nf g∈ ∈¥ ¥ sucesiones de funciones

simples tales que y m nf f g g si fijamos m p= , como n pg g f f≥ ≥ se

tiene que existe 0n ∈¥ tal que 0n pg f n n≥ ∀ ≥ , por ser funciones simples se

cumple: 0 p nf g n n≤ ∀ ≥∫ ∫

pasando al límite en n → ∞ limp n

nf g g p≤ = ∀ ∈∫ ∫ ∫ ¥

como se cumple para todo p podemos pasar al límite en p

lim lim

p np nf g g

f g

f

≤ = ⇒ ≤

∫ ∫ ∫∫ ∫

∫P

iii) Tomemos dos sucesiones simples como el caso anterior y n nf f g g

entonces ( ) ( )n nf g f g+ + y aplicando la definición 3.3

( ) ( )lim n nn

f g f g+ = +∫ ∫

pero por propiedad de funciones simples ( )n n n nf g f g+ = +∫ ∫ ∫

y pasando al límite

( )

( )

lim lim lim

n n n nn n nf g f g

f g f g

+ = +

+ = +

∫ ∫ ∫

∫ ∫ ∫P P P


- 46 -

iv) ( )A B A BA B X X

A BX X A B

f d f d f d

f d f d f d f d

µ χ µ χ χ µ

χ µ χ µ µ µ

= = + =

= + = +

∫ ∫ ∫∫ ∫ ∫ ∫

ââ

Proposición 3.4 Sea ( ), ,X µM un espacio de medida y f L+∈ entonces:

0 0 c.t.pf d fµ µ= ⇔ = −∫

Demostración ⇒ Consideremos el conjunto donde la función no es cero. ( ]( )1 0,E f −= +∞

E ∈M ya que f L+∈ y sean los conjuntos nE definidos como sigue:

[ ]( )1 1 ,n nE f −= +∞

nE ∈M además 11

y n n nn

E E E E∞

+=

⊆ =∪ entonces:

( )prop.3.3(ii) def.

1 10 0n nE E nn nf d f d d Eµ χ µ χ µ µ= ≥ ≥ = ≥∫ ∫ ∫

luego ( ) 0nE nµ = ∀ ∈¥ y entonces:

( ) ( )1 0

lim 0n nnn

E E Eµ µ µ∞

= =

= = = 1442443∪

por definición 0 c.t.p.f µ⇒ = −

⇐ Sea ( ) tal que n nnf S f f+∈ ⊆¥ entonces:

( ]( ) ( ]( )1 10, 0,nf f− −+∞ ⊆ +∞

luego ( ]( )( ) ( ]( )1 10 0, 0, 0n

E

f fµ µ− −

=

≤ +∞ ≤ +∞ =

1444442444443 entonces ( ]( )( )1 0, 0nfµ − +∞ = y

si una representación de nf es:

1 1

con j

nn

n j E jj j

f a E Eχ= =

= =∑ ∪

se tiene por definición:

( ) ( ) ( ]( )( )1

1 : 0 : 00

0, 0j j

n

n j j j j j nj j a j a

f d a E a E a fµ µ µ µ −

= ≠ ≠=

= = ≤ +∞ =∑ ∑ ∑∫ 144444424444443

Corolario 3.5 Sea ( ), ,X µM un espacio de medida y ,f g L+∈ tales que

c.t.p.f g µ= − entonces:

f d g dµ µ=∫ ∫


- 47 -

Demostración Si c.t.p. que existe f g Nµ= − ⇒ ∈M tal que ( ) 0,Nµ = con: \ \| |X N X Nf g= por otro lado como y N Nf gχ χ son ceros salvo en N que tiene medida nula (o en un conjunto que está contenido en N), luego por definición son cero c.t.p. µ− ⇒

( )\ \

0

N X N N X Nf d f f d f d f dµ χ χ µ χ µ χ µ=

= + = + =∫ ∫ ∫ ∫144424443

( )0

\ \ \X N N X N N X Ng d g d g d g g d gdχ µ χ µ χ µ χ χ µ µ=

= = + = + =∫ ∫ ∫ ∫ ∫644474448

Proposición 3.6 (Teorema de Convergencia Monótona) (Beppo Levi) Sea ( ), ,X µM un espacio de medida y ( ) , n nf L f L+ +

∈ ⊆ ∈¥ tales que:

i) ( ) ( )1 c.t.p.n nf x f x µ+≤ −

ii) Si ( ) ( )nf x f x→ puntualmente c.t.p. µ− , entonces:

lim limn nn n

f d f d f dµ µ µ= =∫ ∫ ∫

Demostración Como la convergencia es puntual c.t.p. µ− , kk N∀ ∈ ∃ ∈¥ M tal

que ( ) ( ) ( )10 y k k k kN f x f x x Nµ += ≤ ∀ ∉ además existe N ′∈M tal que

( ) 0Nµ ′ = y ( ) ( ) .nf x f x x N ′→ ∀ ∉

Sea ( )1

y 0.kk

N N N N Nµ∞

=

′= ⇒ ∈ =

∪∪ M

Por otro lado se tiene ( ) ( )\ 1 \ y k X N k X Nf x f x k x Xχ χ+≤ ∀ ∈ ∀ ∈¥ y ( ) ( )\ \k X N X Nf x f x x Xχ χ→ ∀ ∈ si probamos: \ \k X N X Nf d f dχ µ χ µ→∫ ∫

Por ser y k N Nf fχ χ iguales a cero c.t.p. µ− , como en el corolario anterior se tiene:

\ \k k X N X Nf d f d f d f dµ χ µ χ µ µ= → =∫ ∫ ∫ ∫

En consecuencia se puede suponer que: ( ) ( )1 y k kf x f x k x X+≤ ∀ ∈ ∀ ∈¥

( ) ( )kf x f x x X→ ∀ ∈

Sea ( ),n m mf

∈¥ una sucesión de funciones simples no negativas, tal que:

,n m nf f n∀ ∈ ¥

observemos


- 48 -

1,1 1,2 1, 1

2,1 2,2 2, 2

,1 ,2 ,

mm

mm

n n n m nm

f f f f

f f f f

f f f f

→

→

→

LL

M M ML

definimos: ,maxm n m

n mg f

≤=

entonces para todo m las mg son funciones simples no negativas y la sucesión

( )m mg ∈¥ es creciente y demostraremos que mg f .

Si ,1 , n m m mn m f g f≤ ≤ ⇒ ≤ ≤ tomando límite cuando m → ∞ , obtenemos

limn mm

f g f≤ ≤

y haciendo ahora el límite cuando n → ∞ , lim m

mf g f≤ ≤

entonces mg f y por definición si 1 n m≤ ≤

lim mm

f d g dµ µ=∫ ∫

por otro lado aplicando la monotonía a ,n m m mf g f≤ ≤

,n m m mf d g d f dµ µ µ≤ ≤∫ ∫ ∫

haciendo el límite cuando m → ∞ se tiene limn m

mf d f d f dµ µ µ≤ ≤∫ ∫ ∫

y cuando n → ∞ lim limn m

n mf d f d f dµ µ µ≤ ≤∫ ∫ ∫

luego lim lim .n nn n

f d f d f dµ µ µ= =∫ ∫ ∫

Corolario 3.7 Si ( )n nf L+

∈ ⊆¥ entonces:

1 1

n nn n

f d f dµ µ∞ ∞

= =

=∑ ∑∫ ∫

Demostración Basta con considerar

1 1

lim N N

n nN Nn n

f f= =

∑ ∑

y aplicamos la proposición anterior.


- 49 -

Veamos con algunos ejemplos la importancia de que se cumpla la hipótesis de la monotonía. Ejemplo 3.1 Sea ( )1

20,

: tal que 2n

nn nf f χ→ =¡ ¡

Entonces

( )( )12

2 0, 1nn

nf dm m m= = ∀∫

por otro lado ( )lim 0n

nf f x x= = ∀

y luego 0f dm =∫

no se cumple el TCM (Teorema de Convergencia Monótona) porque no tiende a f monótonamente ya que:

( ) ( ) 11 1

1 2 2 en general, pero si , n nn nf x f x x ++ ≥ ∈ ⇒ ( ) ( )1 0 y 2n

n nf x f x+ = = luego

( ) ( )1n nf x f x+ < . Ejemplo 3.2 Veamos ahora un ejemplo en que sí se cumple. Sea [ ] ( )0,1 tal que g L g x x+∈ < ∞ ∀ entonces:

[ ]1 0,1n nx x x+≥ ∀ ∈ entonces

( )( )( )

( )( )( )1

1

1

1 1

1 1

n n

n n

n n

g x g x

x x

g x x g x x

+

+

+

− ≤ −

∴ − ≤ −1444442444443 1444442444443

y

( ) ( ) ( ) si 1

lim0 si 1n

n

g x xg x h x

x

≠ = = =

se tiene ( ) ( )ng x h x aplicando la proposición:

( )[ ]

( )[ ]

( )[ ]0,1 0,1 0,1

lim nng x dm h x dm g x dm= =∫ ∫ ∫

luego ( )( )

[ ]( )

[ ]0,1 0,1lim 1 n

ng x x dm g x dm− =∫ ∫

para sucesiones no negativas, no monótonas tenemos el teorema de Fatou

2n 1

2n


- 50 -

Proposición 3.8 (Lema de Fatou) Sea ( ), ,X µM un espacio de medida y sean

( ) y limn nnf L f f+∈ ⊆ =¥ (límite inferior) entonces:

lim nf d f dµ µ≤∫ ∫

o sea lim limn nf d f dµ µ≤∫ ∫ .

Demostración Definimos: infn k

k ng f

≥=

Por definición de límite inferior se tiene: ( ) ( ) ( )

( )1

lim supinf

n

n kk nn ng x

f x f x f x≥≥

= = 144424443

Así f L+∈ y por definición de ng :

( ) ( )1 y con n n ng x g x n x X g f+≤ ∀ ∈ ∀ ∈¥

( ) ( )TCM

lim lim supn n n nf d g x d g x d g dµ µ µ µ= = =∫ ∫ ∫ ∫

por otro lado, si n kk n g f≥ ⇒ ≤ y se tiene:

n kg d f d k nµ µ≤ ∀ ≥∫ ∫

entonces infn k n kg d f dµ µ≥≤∫ ∫

tomando supremo sup sup inf limn n n k n k n

nf d g d f d f dµ µ µ µ≥= ≤ =∫ ∫ ∫ ∫

luego lim n

nf d f dµ µ≤∫ ∫ .

En el ejemplo 3.1 0ng n= ∀ ∈¥ y justifica que podemos tener la desigualdad estricta o sea

0

lim lim 1n nf d f dµ µ=

< =∫ ∫

Corolario 3.9 Sea ( )n n

f ∈¥ sucesión de funciones medibles y g, h dos funciones integrable tales que: i) nf g≥ entonces

lim limn nf f≤∫ ∫

ii) nf h≤ entonces


- 51 -

lim limn nf f≥∫ ∫

Demostración Probaremos el item i) para el otro caso se procede análogamente. Aplicamos la proposición anterior para 0n nh f g= − ≥ entonces: lim limn nh h≤∫ ∫

luego sustituyendo ( ) ( )lim lim lim lim limn n n n nf g f g f g f g f g− = − = − ≤ − = −∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫

entonces

lim nf g−∫ ∫ lim nf g≤ −∫ ∫

Proposición 3.10 Sea ( ), ,X µM un espacio de medida y tal que f L f dµ+∈ < ∞∫

entonces: i) ( ) : 0 es finitoE x f x σ= > −

ii) ( ) ( ): es tal que 0F x f x Fµ= = ∞ = .

Demostración Probemos primero ii) tenemos que Ff f χ≥ luego:

( ) ( ) 0F Ff d f d d F Fµ χ µ χ µ µ µ∞ > ≥ = ∞ = ∞ ⇒ =∫ ∫ ∫

ahora probemos i)

Sea ( ) 1

1

:n nnn

E x f x E E∞

=

= > ⇒ = ∪ basta ver que nE tiene medida finita.

Ahora nEf f χ≥ entonces:

( )1

n n

nE En

Ef d f d d n

nµ

µ χ µ χ µ∞ > ≥ ≥ = ∀ ∈∫ ∫ ∫ ¥

luego ( ) .nE nµ < ∞ ∀ ∈¥

Integrales de funciones cualesquiera Hasta ahora consideramos funciones cuyo recorrido son los reales no negativos, para considerar las funciones cuyo recorrido son los reales ampliados, introducimos las siguientes definiciones. Definición 3.5 Sea :f X → ¡ medible tal que o f d f dµ µ+ − < ∞∫ ∫ entonces

definimos: f d f d f dµ µ µ+ −= −∫ ∫ ∫


- 52 -

y decimos que f es µµ -integrable o simplemente integrable si y solo sí ambas son finitas, es decir:

integrable

f d

yf

f d

µ

µ

+

−

< ∞⇔ < ∞

∫

∫

Observación 3.3 Si f es medible, f es integrable si y solo sí f es integrable.

Veamos ⇐ tenemos que , ,f f f f f f+ − + −≤ ⇒ ≤ < ∞∫ ∫ ∫ luego f es integrable.

integrable ,f f f+ −⇒ ⇒ < ∞∫ ∫ lo que implica que:

( ) f f f f f+ − + −

<∞ <∞

= + = + < ∞∫ ∫ ∫ ∫

y f es integrable. Ejemplo 3.3 Sea N un conjunto no medible y f definida como CN N

f χ χ= − es no

medible pero 1f = . Proposición 3.11 Sea ( ), ,X µM un espacio de medida y sea ( ) ( ), o L X L XM el conjunto de funciones medibles sobre los reales, entonces el conjunto

( ) : f L X f es integrableυ µ= ∈ − es un espacio vectorial sobre ¡ .Además el mapa integral :

:

f f d

υ

µ

→∫∫

¡Î

es una funcional lineal. Demostración Sean ,f g υ∈ ,a b∈ ¡ , como af bg a f b g+ ≤ + entonces:

af bg d a f d b g dµ µ µ<∞ <∞

+ ≤ + < ∞∫ ∫ ∫1442443 1442443

y ( )af bg υ+ ∈ Sean ahora ,f g υ∈ , consideremos h f g= + y como:

( ) ( )h h h f g f g f f g g+ − + + − − + − + −= − = + − − = − + −

reagrupando se tiene .h f g h f g+ − − − + ++ + = + +


- 53 -

como todos L+∈ , integramos y por la proposición 3.3 (iii) se tiene: h f g h f g+ − + − + −+ + = + +∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫

y reagrupando

f g

h h h f f g g+ − + − + −= − = − + −

∫ ∫∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫14444244443 14444244443

luego h f g= +∫ ∫ ∫ .

Veamos ahora la integración cuando las funciones tienen recorrido los complejos y para ello primero introducimos algunas definiciones.

Funciones complejas Definición 3.6 Sea ( ), ,X µM un espacio de medida y :f X → £ una función

medible ( ( )f L X∈ ) decimos que f es integrableµµ −− o simplemente integrable si Re , Imf f son integrables. Además la integral es por definición:

Re Imf d f d i f dµ µ µ= +∫ ∫ ∫

que a su vez es Re Imf d f d i f dµ µ µ= +∫ ∫ ∫

Proposición 3.12 Sea ( ), ,X µM un espacio de medida y sea ( ) ( ), o L X L XM el conjunto de funciones medibles sobre los complejos, entonces el conjunto

( ) : f L X f es integrableυ µ= ∈ − es un espacio vectorial sobre £ .Además el

mapa integral :

:

f f d

υ

µ

→∫∫

£Î

es una funcional lineal y f d f dµ µ≤∫ ∫ .

Demostración La demostración de ser un espacio vectorial es igual a la anterior separando parte real de la imaginaria. La última afirmación es trivial si 0f =∫ , si f es real:

f f f f f f+ − + −= − ≤ + =∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫

Ahora si f es compleja no nula entonces sea fα = ∫ , y consideremos α

βα

= y

f fα

β β α αα

= = =∫ ∫ luego ( ) ( ) ( )0

Re Im Ref f f i f fβ β β β=

= = + =∫ ∫ ∫ ∫ ∫1442443 y:


- 54 -

( )Re Ref f f f fβ β β= ≤ ≤ =∫ ∫ ∫ ∫ ∫

Definición 3.7 Dado un espacio vectorial υ una función [ ]: 0, υ⋅ → +∞ tal que: i) ,f g f g f g υ+ ≤ + ∀ ∈

ii) ,f f fα α α υ= ∀ ∈ ∀ ∈£

Decimos que ⋅ es una seminorma, a la pareja ( ),υ ⋅ se le llama espacio seminormado. Si además se sastisface: iii) 0 0f f= ⇒ =

Entonces decimos que ⋅ es una norma, y a la pareja ( ),υ ⋅ se le llama espacio normado. Observación 3.4 Dado un espacio seminormado sea : 0N f fυ= ∈ = , es un

subespacio vectorial de υ ; sobre el cociente Nυ

υ = definimos :f f=∼ siendo

f la clase de f en Nυ

, entonces ( ),υ ⋅ ∼ es un espacio normado.

Ya que si g f g f N∈ ⇒ − ∈ y entonces:

0

g g f f g f f f=

= − + ≤ − + =1442443

pero haciendo el mismo razonamiento a f g∈ se tiene: f g≤

luego f g= si f,g son de la misma clase, por lo que esta bien definido, además

si 0 0 0f f f N f= ⇒ = ⇒ ∈ ∴ =∼

por lo tanto ( ),υ ⋅ ∼ es un espacio normado.

Definición 3.8 Sea ( ), ,X µM un espacio de medida , el espacio vectorial υ de las

funciones µ integrables, y el subespacio ( ) : 0N f L X f dµ= ∈ =∫ ,se define el

espacio normado ( )( )11,L µ ⋅ como:

( )1

1 y = L f f d

Nυ

µ µ= ∫

el 1 del superíndice o subíndice no tiene ningún significado útil sino que es una anotación estándar.


- 55 -

Observación 3.5 Si 0g f g f N g f dµ∈ ⇔ − ∈ ⇒ − =∫ por proposición 3.4 ⇔

0 c.t.p.g f µ− = − ⇔ c.t.p.f g µ= − . Proposición 3.13 Las siguientes implicaciones son válidas sií µ es completa: i) Si f es medible y c.t.p.f g µ= − , entonces g es medible ii) Si nf es medible n∀ ∈¥ y c.t.p.nf f µ→ − , entonces f es medible. Demostración Ejercicio. Proposición 3.14 Sea ( ), ,X µM un espacio de medida y ( ), ,X µM su

completación. Si f es medible−M entonces existe g medible−M tal que f g= c.t.p. µ− . Demostración Tenemos que:

( ) : tal que 0F K F K N Nµ= ∈ ⊆ ∈ =∪M M M

Primero lo probamos para funciones simples. • Sea ( ) tal que \ con \ y 0E F E F E F E F N Nµ∈ ⇒ ∃ ∈ = ⊂ =∪M M y sea

es medibleEf fχ= ⇒ −M .

( ) ( ) ( )( ) ( )

( ) ( )( )

( )( )

\

\ 0F F

E F E F FE F E F

F F Fµ µ

µ µ µµ µ µ

µ µ = =

= = ⇒ = − =

∈ ⊂ ⇒ =

∪M M

Sea ( ) ( ) es medible y Fg g f x g xχ= ⇒ − ≠M \x E F⇔ ∈ , como ( )\ 0E Fµ = se tiene c.t.p.f g µ= − .

• Sean f y g funciones simples cualesquiera

( )1

1

con partición mediblej

nn

j E j jj

f Eα χ=

=

= −∑ M

sea ( ) tal que \ 0j j jF E Fµ∈ =M y consideremos 1

j

n

j Fj

g α χ=

= ∑ entonces g es

medible−M y ( ) ( )1

\n

j jj

f x g x x E F=

≠ ⇒ ∈∪ y como:

( )11

0

\ \ 0n n

j j j jjj

E F E Fµ µ==

=

= =

∑ 14444244443∪

entonces c.t.p.f g µ= − medible.

• Ahora para funciones cualesquiera


- 56 -

Sea mediblef −M cualquiera, existe una sucesión ( )n nf ∈¥ de funciones simples

con respecto a M , tal que:

( ) ( )11)

2)n n

n

f f

f x f x x X+≤

→ ∀ ∈

Ahora por lo anterior existe N ∈M tal que ( ) 0Nµ = y una sucesión ( )n ng ∈¥ de

funciones simples con respecto a M tales que: \ \ y | 0n X N n X N n Ng f gχ χ= = entonces:

( ) ( ) ( )0 si

limlim si nn nn

x Ng x

f x f x x N→∞

∈= = ∉

cada ng es medible−M y por lo tanto ( ) ( ): lim nn

g g x g x→∞

= es también

medible−M . Además, si ( ) ( ) ( ); como 0 c.t.p.x N f x g x N f gµ µ∉ ⇒ = = ⇒ = − Proposición 3.15 Sean ( ) , ,cod : cod: es medibleX f X f= → −F M M donde

( )cod , ,∈ ¡ £ ¡ entonces la relación µ∼ definida como sigue:

( ) ( ) ( )c.t.p. : 0f g f g x f x g xµ µ µ⇔ = − ⇔ ≠ =∼

es una relación de equivalencia sobre ( ), ,codXF M . Demostración Ejercicio Proposición 3.16 Sea ( ), ,X µM un espacio de medida y ( ), ,X µM su

completación, entonces: i) El mapa:

( ) ( )

[ ] [ ]

, ,cod, ,cod

XX

f fµ µ

µ µ

→∼ ∼F MF M

Î

es una biyección. ii) El mapa:

( ) ( )[ ] [ ]

1 1

L L

f fµ µ

µ µ→

Î

es un isomorfismo entre espacios normados Demostración Es consecuencia de las consideraciones anteriores.


- 57 -

Proposición 3.17 Sea ( ), ,X µM un espacio de medida, ( )1,f g L µ∈ , entonces son equivalente: i) c.t.p.f g µ= −

ii) 0f g dµ− =∫

iii) E E

f d g d Eµ µ= ∀ ∈∫ ∫ M

Demostración i) ii)⇔ c.t.p. 0 c.t.p. 0 c.t.p.f g f g f gµ µ µ= − ⇔ − = − ⇔ − = − ⇔

0f g dµ− =∫

i) iii)⇒ Si c.t.p.E EE f gχ χ µ∈ ⇒ = −M y por lo tanto E Ef d g dχ µ χ µ=∫ ∫ y

por definición

E Ef d g dµ µ=∫ ∫

iii) i)⇒

Re Re

como c.t.p. c.t.p.Im Im

f gf g

f gµ µ

= = − ⇔ − =

además

Re Re

Im ImE E

f d g df d g d

f d g d

µ µµ µ

µ µ

== ⇔ =

∫ ∫∫ ∫

∫ ∫

entonces podemos suponer que f y g toman valores reales y sea h f g= − tomemos

[ )( ) ( )[ ]1 11 , 1, 0,n nE h n E h− −= +∞ ∀ ≥ = +∞ entonces nE es creciente y 1

nn

E E∞

=

=∪ ,

luego ( ) ( )lim nn

E Eµ µ= y se tiene:

( )0

10 0

n n n nn E E E E

E n d n h d n f d g dn

µ µ µ µ µ

=

≤ = ≤ = − = ∫ ∫ ∫ ∫1444444442444444443

por lo tanto ( ) ( )0 0 0 c.t.p.nE n E hµ µ µ= ∀ ⇒ = ⇒ ≥ − análogamente llegamos a que 0 c.t.p. 0 c.t.p. i)h hµ µ≤ − ⇒ = − ⇒ . Observación 3.6 Las anteriores proposiciones nos permiten, a los efectos de integrar, modificar una función en un conjunto de medida nula, sin modificar dicho integral. Proposición 3.18 (Teorema de Convergencia Dominada) Sea una sucesión de funciones ( ) ( )1

n nf L µ∈ ⊆¥ y ( )1g L µ∈ tales que:


- 58 -

i) c.t.p.nf g µ≤ − ii) c.t.p.nf f µ→ −

entonces ( )1 y lim nn

f L f d f dµ µ µ∈ =∫ ∫ .

Demostración f es medible (previamente modificada en un conjunto de medida nula) por las proposiciones 3.13 y 3.14. Como c.t.p.nf g µ≤ − modificando y nf f en un conjunto de medida nula se

tiene que nf g x X≤ ∀ ∈ y pasando al límite f g x X≤ ∀ ∈ y entonces:

( ) ( ) ( )1 1 1 por ser f d g d g L f L f Lµ µ µ µ µ≤ < ∞ ∈ ⇒ ∈ ⇒ ∈∫ ∫

Por otro lado

0

0n

n nn

f gf g g f g

g f

+ ≥≤ ⇒ − ≤ ≤ ⇒ − ≥

y se tiene

( ) ( ) ( )Fatou

lim lim lim limn n n ng f g f g f g f g f g f + = + = + ≥ + = + = + ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫

lim nf f∴ ≥∫ ∫

por otro lado aplicando algo parecido a ng f− se tiene:

( ) ( ) ( ) ( )lim lim lim limn n n ng f g f g f g f g f g f− = − = − ≤ − = − = −∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫

lim nf f∴ ≤∫ ∫

luego lim lim limn n nf f f f≥ ≥ ≥∫ ∫ ∫ ∫

es decir que se tienen que cumplir las igualdades y al ser los límites superior e inferior iguales se cumple que: lim nf f=∫ ∫

Corolario 3.19 Sea una sucesión de funciones integrables ( ) ( )1

n nf L µ∈ ⊆¥ tal que

1n

n

f dµ∞

=

< ∞∑∫ , entonces:

( )1

1 1

converge c.t.p. , y ademásn nn n

f f Lµ µ∞ ∞

= =

− ∈∑ ∑

1 1

n nn n

f d f dµ µ∞ ∞

= =

=∑ ∑∫ ∫


- 59 -

Demostración Aplicando el corolario del TCM

1 1

n nn n

f d f dµ µ∞ ∞

= =

= < ∞∑ ∑∫ ∫

entonces ( )1

1 1 n=1

c.t.p. converge c.t.p.n n nn n

f L f fµ µ µ∞ ∞ ∞

= =

∈ ⇒ < ∞ − ⇒ −∑ ∑ ∑

además, sea 1

nn

g f∞

=

= ∑ entonces:

( ) ( ) ( )1 1

c.t.p.n n

j jj j

f x f x g x µ= =

≤ ≤ −∑ ∑

y como ( )

( )TCD

1

1 1

lim limn n

j jn n

j j

g L f x d f dµ µ µ= =

∈ ⇒ =∑ ∑∫ ∫ es decir:

1 1

n nn n

f d f dµ µ∞ ∞

= =

=∑ ∑∫ ∫

Vamos a introducir la integral dependiente de un parámetro y veremos que podemos derivar bajo el signo de integral. Proposición 3.20 Sea ( ), ,X µM un espacio de medida Y un espacio métrico y la

función :f X Y× → £ tal que ( ) ( )1,f y L y Yµ∈ ∀ ∈i , podemos definir:

( ) ( ): ,X

F Y tal que F y f x y dµ→ = ∫£

i) Supongamos que existe ( )1g L µ∈ tal que:

( ), e f x y g x y≤ ∀ ∀

y que ( ) ( )0

0 0lim , , y y

f x y f x y x donde y es fijo,→

= ∀ entonces:

( ) ( )0

0limy y

F y F y→

=

en particular F es continua si f lo es.

ii) Supongamos que [ ],Y a b= y que existe ( ),f

x yy

∂∂

en [ ],a b x X∀ ∈ y además que

existe ( )1g L µ∈ tal que ( ) ( ) [ ], , ,f

x y g x x X y a by

∂≤ ∀ ∈ ∀ ∈

∂ entonces F es

derivable en y, y vale:

( ) ( ) ( ),X

fF y x y d x

yµ

∂′ =∂∫

Demostración Sea 0y Y∈ arbitrario, pero fijo.


- 60 -

( ) ( ) ( ) ( )[ ]0 0, ,X

F y F y f x y f x y dµ− = −∫

Sea una sucesión ( ) 0 tal que n nny Y y y∈ ⊆ →¥ entonces:

( ) ( )( ) ( ) ( )[ ]0 0lim lim , ,n nXn nF y F y f x y f x y dµ− = −∫

llamemos ( ) ( ),n nf x f x y= , como ( ) ( ) ( ) ( ) ( )0 0, , 2n nf x f x y f x f x y g x− ≤ + ≤ y

( ) ( )1 12g L g Lµ µ∈ ⇒ ∈ podemos aplicar TCD,

( ) ( )[ ] ( ) ( )[ ]0 0

0 por hip.

lim , lim , 0n nX Xn nf x f x y d f x f x y dµ µ

=

− = − =∫ ∫ 144444444424444444443

( ) ( )[ ]0 0lim 0 con n nn

F y F y y y∴ − = →

luego ( ) ( )0

0lim .y y

F y F y→

=

Para la parte ii) hay que ver que si 0ny y→ entonces:

( ) ( ) ( )0

00

lim ,n

Xnn

F y F y fx y d

y y yµ

− ∂=

− ∂∫

Ahora ( ) ( ) ( )

( )

( )0 0

0 0

, ,nf x

n n

Xn n

F y F y f x y f x yd

y y y yµ

=

− −=

− −∫644474448

por otro lado

( ) ( ) ( ) ( )0

00

, ,lim ,n

nn

f x y f x y fx y g x

y y y

− ∂= ≤

− ∂

podemos aplicar el TCD, y si llamamos ( ) ( ) ( )0

0

, ,nn

n

f x y f x yg x

y y−

=−

tenemos:

( ) ( ) ( )0lim lim ,n nX Xn nX

fg x d g x d x y d

yµ µ µ

∂= =

∂∫ ∫ ∫

como se cumple [ ]0 ,y a b∀ ∈ se concluye la tesis. Proposición 3.21 Sea : : S X es simpleϕ ϕ= → £ entonces:

i) ( ) ( )1 11 S L es denso en Lµ µ⋅ −∩

ii) Supongamos que µ es una medida Lebesgue-Stieltjes sobre ¡ y sea:

( ) ( ),1

: , , , , , 1,..,j j

n

a j j j j j ja bj

n a b a b j nε ψ α χ α µ=

= = ∈ ∈ −∞ ≤ < ≤ +∞ < ∞ ∀ =

∑ ¥ £

entonces ( ) ( )1 1 y a aL Lε µ ε µ⊆ = iii) Si µ es una medida Lebesgue-Stieltjes sobre ¡ , entonces: El espacio vectorial de las funciones continuas con soporte compacto ( )cC ¡ ,

( ) ( ) : : 0 0 cC f f es continua y k tal que f x si x k= → ∃ > = >¡ ¡ £


- 61 -

es tal que ( ) ( ) ( ) ( )11 1 y c cC L C Lµ µ⋅

⊆ =¡ ¡ . Demostración i) Sea ( ) ( )1

1 y tal que n n nnf L S fµ ϕ ϕ ϕ +∈∈ ⊆ ≤ ≤¥ y además

( ) ( ) n x f x x Xϕ → ∀ ∈ , entonces:

( )1 ya que n nL n d f dϕ µ ϕ µ µ∈ ∀ ≤ < ∞∫ ∫

Por otro lado como 2n nf f fϕ ϕ− ≤ + < se tiene:

TCD

1lim lim lim 0 0n n nX X X

f f d f d dϕ ϕ µ ϕ µ µ− = − = − = =∫ ∫ ∫

ii) Observamos primero que si 1

, E F E FXE F dχ χ χ χ µ∈ ⇒ − = −∫M y como:

0 si

1 si \

1 si \E F

x E F

x E F

x F E

χ χ∈

− = ∈− ∈

∩

se tiene \ \E F E F F Eχ χ χ χ− = − y \ \E F E F F E E Fχ χ χ χ χ− = + = V entonces:

( )1E F E FXd E Fχ χ χ µ µ− = =∫ V V

Sea E ∈M tal que ( )1E Lχ µ∈ es decir con E acotada ( )Eµ⇒ < ∞ .

Dado 0ε > por el teorema de aproximación (proposición 1.8) (1

,n

j jj

F a b=

∃ = â tal

que ( )E Fµ ε<V . Se puede suponer que ,i ja b i j≠ ∀ .

Para cada k sea ( )1

1

,n

k j j kj

G a b=

= +∪ a partir de cierto k que llamamos kε la familia

( ) 11

,n

j j k ja b

=+ es disjunta y además ( ) ( )k

kG Fµ µ→ y por lo tanto existe k kε≥

tal que ( )\kG Fµ ε<

entonces: ( ) ( )11 1

\

2k k

k

E G E F F G k

G F

E F F Gχ χ χ χ χ χ µ µ ε− ≤ − + − = + <V V144424443

Es decir ( ) 11

, tal que n

j j E Gj

G c d χ χ ε=

∃ = − <â .

Si ( ) ( ) 1 1

11

sea tal que disjuntos y 0 j

nn

j E j jjj

f L L E jµ ϕ α χ µ α=

=

∈ = ∈ ≠ ∀∑ desde

1 a n, de manera que 1

f ϕ ε− < (ϕ existe por la parte i))


- 62 -

Para cada jE sea ( )1

,m

j jj i i

i

G c d=

= â de manera que 1

1j jE G

εχ χ

ϕ− < .

Sea 1

j

m

j G aj

ψ α χ ψ ε=

= ⇒ ∈∑ y además:

1

1 1 1 11

1 11 1

2

j j

m

j E Gj

m m

j jj j

f f

ϕ

ψ ϕ ϕ ψ ε α χ χ

ε εε α ε α ε

ϕ ϕ

=

= =

=

− ≤ − + − < + − <

< + = + =

∑

∑ ∑1442443

iii) Basta ver que si ( )( ),a bµ < ∞ entonces existe ( )cf C∈ ¡ tal que:

( ), 1a b fχ ε− <

para 0ε > dado. Notar que si ( ) ( )1

cf C f L µ∈ ⇒ ∈¡ entonces tenemos que ver que: a) f es medible (ya que es continua) b)

[ ][ ]( )

,,

k kf d f d f k kµ µ µ∞ ∞−

≤ = −∫ ∫ Lebesgue

compacto ( )compactoµ⇒ < ∞

Sean ( ) ( ) ( ) ( ), , ,n n n na a b b′ ′ sucesiones estrictamente monótonas tales que:

, n n n na a a b b b′ ′< < < < y

lim , limn na a b b= = Sea una sucesión de funciones nf definidas como sigue:

:nf →¡ ¡ tales que:

( ) [ ]los segmentos de rectas en los que faltan

0 si o

1 si ,n n

n n n

x a x b

f x x a b

′ ′< >= ∈

Entonces ( )n cf C∈ ¡ y además: ( ) ( ) ( ), , ,0

n nna b a b a bfχ χ χ≤ − ≤ −

y se tiene: ( ) ( ) ( ) ( ), , , ,1 n nn na b a b a b a bf f d dχ χ µ χ χ µ− = − ≤ − =∫ ∫

( ) ( ) ( )( ) ( )( ), , , , 0n n

nn na b a bd d a b a bχ µ χ µ µ µ= − = − →∫ ∫

por ser lim y lim .n na a b b= =

1 n n n na a a b b b′ ′


- 63 -

Integral de Riemann versus Integral de Lebesgue Proposición 3.22 i) Sea [ ]: ,f a b → ¡ una función acotada y b

af ∈R (integrable según Riemann) entonces: i) f es integrable según Lebesgue y:

( )[ ],

b

a a bf x dx f dm=∫ ∫

ii) ( ) 0ba ff m D∈ ⇔ =R donde [ ] , : fD x a b f no es continua en x= ∈

Demostración Dada una partición de [ ],a b 0 1, ,..., nP x a x x b= = = definimos:

( (1 1, ,1 1

y j j j j

n n

p j p jx x x xj j

G M g mχ χ− −

= =

= =∑ ∑

donde ( ) ( ) 1 1sup : , y inf : ,j j j j j jM f x x x x m f x x x x− −= ∈ = ∈

entonces como y p pG g son funciones simples, por definición se tiene:

(( ) ( ) ( )1 11 1

, ,n n

p j j j j j jj j

G dm M m x x M x x S P f− −= =

= = − =∑ ∑∫

análogamente

(( ) ( ) ( )1 11 1

, ,n n

p j j j j j jj j

g dm m m x x m x x s P f− −= =

= = − =∑ ∑∫

Sea nP una familia creciente de particiones de [ ],a b tales que la norma de la

partición ( ) 0nnPη → , y llamemos:

( )

( )

lim ,

lim ,

b

n an

b

n an

S P f f

s P f f

=

=

∫∫

Por otro lado definimos: y

n nn P n PG G g g= =

se tiene que donde además y n n n nn g f G g G∀ ≤ ≤ ⇒ existe el límite y le llamamos y g G respectivamente, es decir: lim y limn n

n ng g G G= =

En particular las funciones ,G g son medibles (por ser límite de funciones medibles) Observar que por la definición de nG se tiene:

[ ] ( )1,n a bG f Lχ µ∞≤ ∈

luego podemos aplicar el TCD como sigue:


- 64 -

[ ] [ ]

[ ]

( )TCD

, , ,lim lim lim ,

b

n n na b a b a b aG dm G dm G dm S P f f= = = =∫ ∫ ∫ ∫

y como [ ] ( )1,n n a bg G f Lχ µ∞≤ ≤ ∈ aplicamos el TCD para ng :

[ ] [ ]

[ ]

( )TCD

, , ,lim lim lim ,

b

n n na b a b a b ag dm g dm g dm s P f f= = = =∫ ∫ ∫ ∫

Ahora por definición:

[ ] [ ]

( )[ ]

, ,

,

0 0

0 0 c.t.p.

b bba a a a b a b

a b

f f f Gdm g dm

G g dm G g µ

∈ ⇔ − = ⇔ − = ⇔

⇔ − = ⇔ − = −

∫ ∫ ∫ ∫∫

R

Observar que g f G≤ ≤ luego si 0 0 c.t.p.baf G f G g µ∈ ⇒ ≤ − ≤ − = −R

entonces c.t.p.G f g fµ= = − ⇒ es medible Lebesgue, y por lo tanto integrable

(ya que es acotada y [ ]( ),m a b < ∞ ) y además:

[ ] [ ], ,

b

a a b a bf dx gdm Gdm= =∫ ∫ ∫

ii) Sea 1

nn

E P∞

=

= ∪ notar que ( ) 0Eµ = probaremos que \fD E D E− = siendo

( ) ( ) :D x G x g x= > .

Si y x E f∉ es continua en x, dado 0 0 tal que ε δ> ∃ > ( ) ( )f y f x ε− < si

y x δ− < ; sea ( ) tal que nn Pη δ∈ <¥ y sea kJ el intervalo determinado por nP en el cual está x, entonces: ( ) ( ) ( ) ( ) ,

por desig. triáng.

sup 2kn n y z JG x g x f y f z ε∈− = − ≤

Por lo tanto: ( ) ( ) ( ) ( ) 2 0n nG x g x G x g x ε ε− ≤ − ≤ ∀ >

luego ( ) ( ) ( ) ( )\ \C C

fG x g x x D D E D E= ⇒ ∉ ⇒ ⊆

Recíprocamente, si , x E x D f∉ ∉ ⇒ es continua en x, ya que como ( ) ( )G x g x=

dado ( )( )0 tal que 0 n nn G g xε ε> ∃ ∈ ≤ − <¥ lo que implica:

( ) ( ),supky z J f y f z ε∈ − <

en particular ( ) ( ) kf y f x y J fε− < ∀ ∈ ⇒ es continua en x.

En conclusión ( ) ( ) ( ) ( )\ \f fm D m D E m D E m D= = = .

Así que ( ) ( )0 c.t.p. 0 0ba ff G g m D m Dµ∈ ⇔ − = − ⇔ = ⇔ =R .

- 65 -

Capítulo 4

Modos de Convergencia Definición 4.1 Sea ( ), ,X µM un espacio de medida, ( ) ( )n n

f L X∈ ⊆¥ una sucesión

de funciones medibles :nf X → ¡ , la declaración nnf f→ puede tomarse en

muchos sentidos diferentes, así diremos que: 1) ( ) ( )n

nf x f x→ converge puntualmente si ( )00, , tal que:n xε ε∀ > ∃ ∈¥

( ) ( ) ( )0 , y nf x f x n n x x Xε ε− < ∀ ≥ ∀ ∈

si ( )f x < ∞ en caso contrario ( ) 1nf x ε> .

2) nf f⇒ converge uniformemente si ( )00, tal que:nε ε∀ > ∃ ∈¥

( ) ( ) ( )0 y nf x f x n n x Xε ε− < ∀ ≥ ∀ ∈

3) c.t.p.nf f→ converge en casi todo punto si existe un conjunto tal que:A X⊆

( ) ( ) ( ) y 0n Cnf x f x x A Aµ→ ∀ ∈ =

4) c.u.nf f→ converge casi uniformemente si 0ε∀ > existe un conjunto A Xε ⊆

( ) ( ) tal que , y CnA f f x Aε εµ ε< ∀ ∈⇒

5) nf fµ→ converge en medida si 0ε∀ > se tiene que:

( ) ( ) ( ): 0nnx f x f xµ ε− ≥ →

6) 1L

nf f→ converge en 1L si ( )1nf L µ∈ y 1 0n

nf f− → o sea:

0nnX

f f− →∫

Veamos ahora algunos ejemplos. Ejemplo 4.1 Sea ( )

10,n nnf χ=

0nf ⇒ y ( )1nf L µ∈

1

n n


- 66 -

1

pero Lnn f∀ ∈ →¥ 0 ya que

1

lim lim1 1nXn nf f dµ

=

− = =∫1444442444443

Ejemplo 4.2 Sea [ ], 1n n nf χ +=

Puntualmente ( ) 0nf x → x∀

Por otro lado ( )1nf L nµ∈ ∀ pero

1Lnf → 0

Ejemplo 4.3 Sea la siguiente sucesión de funciones:

( ) ( ) ( ) ( )1 1 12 2 41 2 3 40,1 0, ,1 0,, , , ,...f f f fχ χ χ χ= = = = puntualmente nf → 0 ya que toma

infinitas veces el valor 1 y el valor 0. 1 1 1 1 1 0 1 0 1

2 1 0 12 1 0 1 1

4 2 1 0 1 14 2 1

Por otro lado

( )[ ]

1

0,1

1 mientras que 0

2n n kf L fµ∈ = →∫ donde n corresponde a la k-esima

subdivisión, por lo tanto 1

0Lnf →

Ejemplo 4.4 Sea ( )nf como el ejemplo anterior y definimos 2k

n ng f= entonces:

Puntualmente ng → 0 , por otro lado ( )11 y L

n ng L gµ∈ → 0 (los integrales valen 1) sin embargo: [ ] ( ) ( )0,1 : 0n

nm x g x ε∈ > →

luego ng tiende en medida a cero ( 0mng → ).

Veremos equivalencias sobre las convergencias.

Proporción 4.1 Si c.t.p.nf f→ y ( )1 nf g L nµ≤ ∈ ∀ entonces

1Lnf f→

Demostración Por hipótesis A X∃ ⊆ tal que ( ) ( ) nf x f x x A→ ∀ ∈ luego

( ) ( ) 0 nf x f x x A− → ∀ ∈

1 n n+1

Análisis Real Modos de Convergencia y espacios pL - 67 -

- 67 -

Como ( ) 0CAµ = podemos modificar f en un conjunto de medida cero para que se

cumpla que ( ) ( ) 0 nf x f x x− → ∀ .

Por ser nf g≤ pasando al límite f g≤ ⇒ ( ) ( ) 2n nf x f x f f g− ≤ + ≤ y

podemos aplicar el TCD, como sigue: lim lim 0 0n nf f d f f dµ µ− = − = =∫ ∫ ∫

Más abajo veremos que si 1L

nf f→ entonces alguna subsucesión c.t.p.

knf f→ .

Proposición 4.2 Sea 1L

nf f→ entonces nf fµ→ . Demostración Dado 0ε > sea ( ) ( ) :n nF x f x f x ε= − ≥ tenemos que:

( ) 1 1 11 0

n n nn n nF F F

F d d f f d f fε ε εµ µ ε µ µ= = ≤ − ≤ − →∫ ∫ ∫

por definición entonces nf fµ→ . Proposición 4.3 Si c.u.

nf f→ entonces c.t.p.nf f→

Demostración ( ) ( )0 tal que y en C

nA A f f Aε ε εε µ ε∀ > ∃ < ⇒f

Para cada ( ) ( )1 sea tal que y en Cm m n mmm A A f f Aµ∈ ≤¥ ⇒f

Sea ( ) ( ) 10 lim lim 0m m m mm mm m

A A A A Aµ µ µ∈ ∈

= ⇒ ≤ = ≤ ≤ = ¥ ¥

∩ ∩ ahora si Cx A∈ ⇒

00 tal que C Cm m

m

x A m x A∈

∈ ⇒ ∃ ∈ ∈¥

¥∪ y como ( ) ( )0

en Cn m nf f A f x f x⇒ →⇒f , esto

es para todo c.t.p.Cnx A f f∈ ⇒ → .

Proposición 4.4 Si c.u.

nf f→ entonces nf fµ→ . Demostración Tenemos que probar que 00 y 0 tal que :nε δ∀ > ∀ > ∃ ∈¥

( ) ( ) ( ) 0: nx f x f x n nµ ε δ− ≥ < ∀ ≥

tomamos , 0,ε δ > por hipótesis ( ) tal que y CnA A f f x Aµ δ∃ < ∀ ∈⇒ luego

0n∃ ∈¥ tal que si Cx A∈ se cumple ( ) ( ) 0 nf x f x n nε− < ∀ ≥ en particular:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ): : .n nx f x f x A x f x f x Aε µ ε µ δ− ≥ ⊆ ⇒ − ≥ ≤ <


- 68 -

Definición 4.2 Sea ( ), ,X µM un espacio de medida, ( ) ( )n nf L X∈ ⊆¥ una sucesión

de funciones medibles, se dice que es de Cauchy en medida si 0 y 0,ε δ∀ > ∀ >

0 n∃ ∈¥ tal que:

( ) ( ) ( ) 0: ,n mx f x f x m n nµ ε δ− ≥ < ∀ ≥

Proposición 4.5 Sea ( )n n

f ∈¥ una sucesión de Cauchy en medida entonces:

i) Existe f tal que nf fµ→ .

ii) Si f es como en i) entonces existe una subsucesión de kn nf f tal que c.t.p.

knf f→

iii) Si y n nf f f gµ µ→ → entonces c.t.p.f g µ= − . Demostración Demostremos primero ii) Sea ( ) ( ) ( )1 1

1 12 2 tal que : si ,n mn x f x f x n m nµ∈ − ≥ < ≥¥ análogamente sea

( ) ( ) ( )1 12 1 24 4 tal que : si ,m nn n x f x f x m n nµ> − ≥ < ≥

En general se tiene así 2 1...kn n n> > > tomamos 1 tal que:k kn n+ >

( ) ( ) ( )1 11 1

12 2: si ,k km n kx f x f x m n nµ + + +− ≥ < ≥

llamemos ( ) ( ) 11

1 2: .kk m nE x f x f x ++ = − ≥

Sea y jj n k

k j

g f x E≥

= ∉∪ entonces:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

1 1 1

1 1

11 1 1 1 1 1 12 2 2 2 2 2 2

0

...

...j j j i j i j

j j j j j j

j

i j i

g x g x g x g x g x g x

+ + − −

+ + + − +

+ − ∞

= =

− ≤ − + + − ≤

≤ + + + = ≤ =∑ ∑l

l l ll

( )ng x⇒ es puntualmente de Cauchy, luego converge a cierto ( )f x

Es decir que ( )ng x converge 1

kj k j

x E E∞ ∞

= =

∀ ∉ =∩∪ , observar que E es medible y:

( ) ( ) 12

lim lim lim 0kk kj j j

k j k jk j

E E Eµ µ µ∞ ∞

= ≥=

= ≤ ≤ =

∑ ∑∪

Definimos ( ) 0 es medible y además:f x x E f= ∀ ∈ ⇒

c.t.p.c.t.p. es decir que j jn nj

f f f fµ→ − →

i) Tomemos 12kε = , si k

k j

x E≥

∉∪ se tiene ( ) ( ) 11

2 jj jg x g x −+− ≤l pasando al límite

cuando → ∞l nos queda: ( ) ( ) 1

12 jjg x f x −− ≤


- 69 -

entonces si ( ) ( ) 11 1

2 2: k jj m

m j

j k x g x f x E−

≥

≥ − ≥ > ⊆ ∪ y por lo tanto

( ) ( ) ( )12

: 0kj m jm j

x g x f x Eµ µ≥

− ≥ ≤ →

∪

Luego jnf fµ→ por último dado 0ε > sea ( ) ( ) :n nH x f x f x ε= − ≥ y

llamemos ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2,: y :

j j jj n n n nn nG x f x f x F x f x f xε ε= − ≥ = − ≥ se tiene:

( ), jjn nn n

H G F⊆ ∪

ya que si x no pertenece a la unión anterior se cumple que:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 2

j jn n n nf x f x f x f x f x f xε ε

ε

< <

− ≤ − + − <144444424444443 1444442444443

y ( ) ( )( ) ( ), si , son grandes

jjn n jn n

H G F n nµ µ µ ε≤ + < nf fµ⇒ →

iii) Si nf gµ→ como ( ) ( ) ( ) ( ) : :x f x g x x f x g xε ε− > ⊆ − ≥ , y además:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2: : : n nx f x g x x f x f x x f x g x nε εε− ≥ ⊆ − ≥ − ≥ ∀∪

en particular si n → ∞ luego se tiene que ( ) ( ) ( ): 0 0x f x g xµ ε ε− > = ∀ > y

haciendo tender 0ε → se tiene que c.t.p.f g µ= − .

Corolario 4.6 Si 1L

nf f→ entonces existe una subsucesión jnf de nf tal que

c.t.p.

jnf f→ .

Demostración Por la proposición 4.2 si 1L

n nf f f fµ→ ⇒ → y por la

proposición anterior ( )jnf⇒ ∃ subsucesión de c.t.p. tal que jn nf f f→ .

Sin embargo puede suceder que c.t.p.

nf f→ y no se cumple que nf fµ→ como en el ejemplo 4.2 Proposición 4.7 (Teorema de Egoroff’s) Sea ( ), ,X µM un espacio de medida finita ( ( )Xµ < ∞ ) , sea ( )n n

f ∈¥ una sucesión

de funciones medibles ( : nf X n→ ∀£ ) tal que c.t.p.nf f→ con f medible,

entonces: c.u. nf f sobre X→ Demostración Dado ,k ∈¥ para cada ,n ∈¥ sea:


- 70 -

( ) ( ) ( ) 1:n n kF k x f x f x= − ≥

y sea ( ) ( )n mm n

E k F k≥

= ∪ entonces, para cada k, ( ) ( )1n nE k E k+⊇ y:

( ) ( )1

:n nn

E k N x f x∞

=

⊆ = →∩ ( ) f x ( )c.t.p.

1

como 0n nn

f f E kµ∞

=

→ ⇒ = ∩

y por ser la medida finita, se tiene:

( )( ) ( )1

lim 0n nnn

E k E k kµ µ∞

=

= = ∀ ∈

¥∩

luego dado 0ε > para cada tal que:kk n∈ ∃ ∈¥ ¥

( )( ) 2kn kE k n nεµ < ∀ ≥

Sea ( ) ( ) ( )( ) 21 11

entonces y kk kn n

k kk

E E k E E E k εµ µ ε∞ ∞ ∞

= ==

= ∈ ≤ < =∑ ∑∪ M .

Ahora si ( ) ( ) ( ) 1kn n kkx E k f x f x n n∉ ⇒ − < ∀ ≥ , entonces si x E∉ ⇒

( ) ( ) 1 , n kkf x f x n n k− < ∀ ≥ ∀ ∈¥ , luego ( ) en y Cnf f E Eµ ε< ⇒⇒ por

definición c.u.nf f→ en X .

Ejemplo 4.5 Sea [ ),n nf χ +∞= tenemos que lim 0n

nf x= ∀ ∈ ¡ c.t.p. 0nf →

Si ( ) ( ) [ ) c.u.0,1 0 ,n nf x x n fε ε∈ ⇒ − > ∀ ∈ +∞ ⇒ → f y esto se da por no ser el

espacio de medida finita. Corolario 4.8 Sea ( ), ,X µM un espacio de medida finita si c.t.p.

nf f→ entonces

nf fµ→ Demostración Por la proposición 4.7 c.t.p. c.u.

n nf f f f→ ⇒ → y por la

proposición 4.4 que c.u.n nf f f fµ→ ⇒ → .

Proposición 4.9 Sea ( ), ,X µM un espacio de medida finita, ( )n n

f ∈¥ una sucesión

de funciones medibles, entonces nf fµ→ (f medible) si y solo sí f es de Cauchy en medida Demostración ⇐Proposición 4.5 ⇒ Dados m,n cualquiera y 0ε > como: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2: : :m n n mx f x f x x f x f x x f x f xε εε− ≥ ⊆ − ≥ − ≥∪

se tiene:


- 71 -

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 2

2 2: : :m n n mx f x f x x f x f x x f x f xε ε

ε εµ ε µ µ< <

− ≥ ≤ − ≥ + − ≥1444444444442444444444443 1444444444442444444444443

luego ( ) ( ) ( ): m nx f x f xµ ε ε− ≥ < ⇒ que es de Cauchy en medida.

A modo de resumen construimos los siguientes diagramas: En el primer diagrama tenemos que las flechas llenas corresponden a implicancias que se cumplen en un espacio de medida arbitrario, las flechas punteadas significa que existe una subsucesión que cumple la implicancia.

Espacios pL Definición 4.3 Sea ( ), ,X µM un espacio de medida, sea p tal que 1 p≤ < ∞ ,

definimos el conjunto ( )pL µ% o simplemente pL% como:

c.u. 4.3 4.4 c.u.--- converve casi unimformemente c.t.p.---converge en casi todo punto c.t.p. 4.5 µ µ ---converge en medida

1L ---converge en 1L 4.6 4.2 1L El siguiente diagrama es para un espacio de medida finito.

c.u. 4.7 c.t.p. µ 4.8 1L

El siguiente es el caso de existir sucesión de funciones dominada

c.u. c.t.p. µ 4.1 1L


- 72 -

( )1

: , medibles tales que p

pp

X

L f X f dµ µ = → < ∞

∫% ¡

Observación 4.1 pL% es un espacio vectorial si , pf g L∈ % veamos que:

( ) ( ) ( ) ( ) [ ] ( )2max , 2pp p pp

x

f x g x f x g x f g∀

+ ≤ ≤ +

e integrando

( )2p p ppf g d f d g dµ µ µ+ ≤ + < ∞∫ ∫ ∫

luego pf g L+ ∈ % .

Por otro lado si , y pf Lα ∈ ∈ %£ se tiene:

( )( ) ( )( )1 1

p pp pf x d f x dα µ α µ= < ∞∫ ∫

luego pf Lα ∈ % .Por lo tanto pL% es un espacio vectorial. Definición 4.4 En el espacio vectorial pL% definimos una función [ ]: 0,p

p L⋅ → +∞%

de la siguiente forma:

( )1

pp

p Xf f dµ= ∫

Observación 4.2 Para probar que p⋅ se trata de una seminorma nos falta probar

la desigualdad triangular, que se probará más adelante (desigualdad de Minkowski). Definición 4.5 Sea ( ), ,X µM un espacio de medida, en él tenemos definido el

espacio vectorial pL% , sea el subespacio : 0pp

XN f L f dµ= ∈ =∫% , se define el

espacio normado ( ),ppL ⋅ como:

y p

ppp

LL f f

N= =

%

Observación 4.3

Si 0 0

0 c.t.p. 0 c.t.p. c.t.p.

p

p X

p

f g g f N g f f g d

f g f g f g

µ

µ µ µ

∈ ⇔ − ∈ ⇔ − = ⇔ − = ⇔

⇔ − = − ⇔ − = − ⇔ = −

∫

Para el caso p = ∞ ( ) : 0 para algún 0L f f M Mµ∞ = > = > = :f X → £

medibles y f ∞ < ∞ siendo el significado que le damos a ∞⋅ es el siguiente:

( ) inf : 0f M f Mµ∞ = > =


- 73 -

y como c.t.p.f f µ∞≤ − , por eso también lo llamamos supremo esencial de f

Definición 4.6 Sea una función ( ): ,a bφ → ¡ si ( ) ( )0,1 , y , ,t x y a b∀ ∈ ∀ ∈ se cumple que: ( )( ) ( ) ( ) ( )1 1t x t y t x t yφ φ φ− + ≤ − +

es llamada función convexa . Geométricamente la convexidad de φ es descripta cuando se dice que cada punto de la cuerda que une ( )( ), x xφ con

( )( ),y yφ está por encima del gráfico de φ como

se muestra en la figura. Lema 4.10 Sea ( ): ,a bφ → ¡ una función

convexa y si ( ),x a b∈ entonces existe β ∈¡ tal que ( ) ( ) ( )y x y xφ φ β≥ + −

( ),y a b∀ ∈ Demostración Primero demostraremos que ( ), ,x y a b∀ ∈ si ( ),x x y′∈ se tiene que:

( ) ( ) ( ) ( )y x x xy x x x

φ φ φ φ′− −≥

′− −

Consideremos la cuerda que une ( )( ) ( )( ), con ,x x y yφ φ que llamamos ( )G X

( ) ( ) ( ) ( ) ( )y xG X X x x

y xφ φ

φ−

= − +−

por se la función convexa si ( ),x x y′∈ se tiene ( ) ( )G x xφ′ ′≥ , luego

( ) ( ) ( ) ( ) ( )y x

x x x xy x

φ φφ φ

− ′ ′− + ≥−

y despejando

( ) ( ) ( ) ( )y x x x

y x x xφ φ φ φ′− −

≥′− −

( )1

sea ( )( ) ( )

,supx x y

x xx x

φ φβ ′∈

′ − = ′ − , que existe por estar acotado, y pasando al

supremo en ( )1 , se tiene que se sigue cumpliendo la desigualdad, y podemos afirmar

que existe β ∈¡ tal que ( ) ( ) ( )y x y xφ φ β≥ + − ( ),y a b∀ ∈ Proposición 4.11 (Desigualdad de Jensen) Sea ( ), ,X µM un espacio de medida,

( ) 1Xµ = (espacio de probabilidad), si ( ): ,a bφ → ¡ convexa y f medible e

integrable tal que el recorrido de f está incluido en ( ),a b , entonces:

( )yφ

( )xφ

x x′ y


- 74 -

( ) ( )( )X X

f d f x dφ µ φ µ≤∫ ∫

Demostración Por ser φ convexa es continua, luego medible y se tiene que fφ o es medible. Veamos primero que ( ),

Xf d a bµ ∈∫ .

Como ( ) ( ) ( ) ( ),X X

f x a b f x b f d bd b X bµ µ µ∈ ⇒ < ⇒ < = =∫ ∫

Análogamente ( )X

a f x a f dµ< ⇒ < ∫ , y llamemos a X

f d xµ =∫ .

Ahora por ser φ convexa se tiene que existe β ∈¡ tal que ( ) ( ) ( ) ( ),z x z x z a bφ φ β≥ + − ∀ ∈

elegimos ( )z f y= entonces:

( )( ) ( ) ( )( )f y x f y xφ φ β≥ + −

e integrando

( )( ) ( ) ( ) ( )( )

( ) ( ) ( )

0

x

X X X X

x x

f y d y x d y f y d y x d y

φ

φ µ φ µ β µ µ

==

= =

≥ + −

∫ ∫ ∫ ∫

6444444444444744444444444486444447444448

1444442444443 14444244443

y queda

( )( ) ( ) ( )X X

f y d y f dφ µ φ µ≥∫ ∫

Observación 4.4 Sea [ ]: 0,h X → +∞ A∀ ∈M podemos definir

( ) AA XA h d h dυ µ χ µ= =∫ ∫

así υ resulta ser una medida y además:

X XF d Fh dυ µ=∫ ∫

Demostración Probamos primero que es aditivaσ − , sea ( )n nA ∈¥ una sucesión de

conjuntos disjuntos dos a dos y llamemos nn

A A∈

=¥

∪ ,

( )nn

n AA Xn

A A h d h dυ υ υ χ µ∈

= = = ∫ ∫

¥ ∪∪∪

Sea 1 1

limn

n

n i n i B Ai i

B A B A A h hχ χ∞

= =

= ⇒ = = ⇒ ∪ ∪ entonces por el TCM

( ) ( )

( )

1

T.C.M 1 1

lim lim limn n i

n

B A in ii

n

A B B A iX X X Xi i

A

A h h d h d h d A

χ χ υ

υ χ χ µ χ µ χ µ υ

=

∞

= ==

= = = = =

∑∑ ∑∫ ∫ ∫ ∫144424443


- 75 -

Para probar la otra afirmación primero se demuestra para funciones características y después para funciones simples y luego para funciones no negativas, para por último generalizar para cualquier función. Proposición 4.12 (Desigualdad de Hölder) Sea ( ), ,X µM un espacio de medida , :f g X → ¡ medibles, y sean , 1p q ≥ tales

que 1 1 1p q+ = (se dice de p y q en estas condiciones, que son conjugados, donde

eventualmente si 1p q= ⇒ = ∞ ), entonces se cumple: 1 p qf g f g⋅ ≤ ⋅

Demostración De acuerdo a las definiciones lo que tenemos que demostrar es:

( ) ( )1 1

p qp q

X X Xfg d f d g dµ µ µ≤∫ ∫ ∫

Consideremos primero el caso 1 y p q= = ∞ como c.t.p.g g µ∞≤ − entonces

c.t.p.f g f g µ∞≤ − luego:

1 1

X X

fg f g d g f d g fµ µ∞ ∞= ≤ =∫ ∫

Para el caso 1 p< < ∞ si 0 o 0 c.t.p.f g µ= = − se cumple. Si , 0 c.t.p. pero o p qf g f gµ≠ − = ∞ = ∞ también se cumple.

Consideremos solo el caso 0 ,p qf g< < ∞ por otro lado como

( )( ) 11

p q p q

f g fg

f g f g

α β α β

α β α β

= =

Así podemos considerar que 1qg = ya que si probamos que 1 pfg f≤ se tiene

que

11

1

p p qq q

fg gf f fg f g

g g= ≤ ⇒ ≤

Definimos ( ) q

AA g dυ µ= ∫ , como ( )1 1qg Xυ= ⇒ = es decir es un espacio de

probabilidad, y se tiene: 1 1q q q

X X Xd

fg d f g g d f g dυ

µ µ υ− −= =∫ ∫ ∫1442443

y como ( ) pz zφ = es una función convexa se tiene aplicando Jensen:

( ) ( )

( )0

1 1pq p p q p p pq q

X X X

pp p q pq p

pX X

f g d f g d f g g d

f g d f d f

υ υ µ

µ µ=

− − −

+ −

≤ = =

= = =

∫ ∫ ∫

∫ ∫644474448


- 76 -

Luego ( ) ( )1

pp

pfg f≤ ⇒ que se cumple la desigualdad.

Ejemplo 4.6 Si X = ¥ y µ es la medida de Dirac (la de contar), entonces la integral es la serie y se tiene:

1 1

p qp q

n n n nn n n

a b a b∈ ∈ ∈

≤

∑ ∑ ∑¥ ¥ ¥

que es la desigualdad conocida como de Cauchy-Schwarz. Proporción 4.13 (Desigualdad de Minkowski) Sea ( ), ,X µM un espacio de medida y , pf g L∈ , si 1 p≤ ≤ ∞ entonces la función

p⋅ cumple la desigualdad triangular:

p p pf g f g+ ≤ +

Demostración Si 0 c.t.p.f g µ+ = − ya está, si 1 o p p= = ∞ también. Sea 1p >

( )1 1 1 1p p p p pf g f g f g f g f g f f g g f g− − − −+ = + + ≤ + + = + + + integrando

( )

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )

1 1

1 1 1 1

1 1Hölder

1

p p p p

pX X X

p p p p

p pq q

p

p p q

f g f g d f f g d g f g d

f f g g f g f f g g f g

f g f g

µ µ µ− −

− − − −

−

+ = + ≤ + + + =

= + + + ≤ + + + =

= + +

∫ ∫ ∫

Ahora

( ) ( )

( )

( )

1

1

1 1

q

p qp

q

p

p

p p q p

pX Xq

f g

f g f g d f g d f gµ µ=

− −

+

+ = + = + = +

∫ ∫6447448

1444442444443

Sustituyendo

( ) ( )( )p

qp p

p p p pXf g f g d f g f gµ+ = + ≤ + +∫

Si ( ) 0 pasamos dividiendo y como 1p

q pqp

pq p qf g p

q q−

+ ≠ − = = =


- 77 -

( )( )

( )pq

p

p

p p p

p

f gf g f g

f g

+= + ≤ +

+

si fuera ( ) 0 p

q

pf g+ = 0pf g⇒ + = y también se cumple.

Como consecuencia podemos afirmar ahora que ( ),ppL ⋅ es un espacio normado si

1p ≥ , en el caso que ( )0,1p ∈ también tienen sentido las definiciones

correspondientes pero en general no es ( ),ppL ⋅ un espacio normado, ya que no se

cumple la desigualdad triangular, como veremos en lo que sigue, pero antes necesitamos el siguiente lema. Lema 4.14 Sean , 0, 0 1a b p> < < entonces se tiene que:

( ) pp pa b a b+ > + Demostración Sea 0t > se tiene ( ) 11 ppt t a −− > + integrando:

1

00

bp pb p t bt dt

p p− = =∫

mientras

( ) ( ) ( )1

00

bp p pb p t a b a a

t a dtp p

− + + −+ = =∫

sustituyendo ( ) pp pb b a a> + − Ejemplo 4.7 Sea y medibles , tal que:E F E F φ=∩

( )[ ] ( )[ ]1 1

y p pE a F bµ µ= =

y consideremos y E Ff gχ χ= = tenemos:

( )

( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

11 1

1 11 1

pp p

p pE F

p pp p

pE F E Fp

a bE F

p pE F p p

f g d d E F

a b E F d d f g

χ µ

χ χ µ χ µ µ µ

µ µ χ µ χ µ

= = ==

+ = + = = + >

> + = + = + = +

∫ ∫

∫ ∫

∪

∪∪

144424443 144424443

De manera que no se cumple la desigualdad triangular.


- 78 -

Proposición 4.15 (Desigualdad de Markov) Sea [ ): 0,g → +∞¡ una función par ,

tal que ( ) 0 si 0g x x> > no decreciente en [ )0,+∞ .f una función medible finita

definida sobre el espacio de medida ( ), ,X µM , entonces para todo 0a > se tiene:

( ) ( )( )

( )1:

Xx f x a g f d

g aµ µ≥ ≤ ∫ o

Demostración ( )( )

1 si g x

x ag a

≥ ≥ . Llamemos ( ) : y :E x f x a A x x a= ≥ = ≥ ,

entonces

( ) ( )

( ) ( )( )

1

1

E AE X X

X X

E d d f d

g fd g f d

g a g a

µ µ χ µ χ µ

µ µ

= = = ≤

≤ =

∫ ∫ ∫

∫ ∫

oo o

Proposición 4.16 Sea ( ), ,X µM un espacio de medida, 1 p≤ ≤ ∞ , pL es completo, es decir que toda sucesión de Cauchy en él, es convergente. Demostración

• Veamos primero el caso p = ∞ y sea ( )n nf L∞∈ ⊆¥ de Cauchy en L∞ o sea que para

cada 0k > existe tal que si , entonces:k kN m n N∈ ≥¥

1n m kf f ∞− <

por definición de ∞⋅ se tiene que ( ) ( ) ( )1: 0 ,n m kkx f x f x m n Nµ − > = ∀ ≥ ⇒ la

sucesión ( )n nf ∈¥ es de Cauchy en medida.

Sea ( ) ( ) ( )1

1 ,

: 0k

n m kk m n N

A x f x f x Aµ∞

= ≥

= − > ⇒ =∪ ∪

Sea ( ) ( ) 1

,

0 :k

n m km n N

x A k x x f x f x≥

∉ ⇒ ∀ > ∉ − >∪ lo que quiere decir que la

sucesión es ( )c.t.p. µ− puntualmente de Cauchy, luego existe ( ) tal quef x%

( ) ( ) nf x f x x A→ ∀ ∉% , y podemos definir

( ) ( )

0 si

f x x Af x

x A

∀ ∉=

∈

%

( )f x es medible por ser límite de ( ) Cn Af x χ que es una sucesión de funciones

medibles. Y claramente por la definición de supremo esencial: 0nf f ∞− → ya que ( ) ( ) ( )0 y 0C

nf x f x x A Aµ− → ∀ ∈ = .


- 79 -

Hay que probar además que f L∞∈ , tenemos que 0 0n nf f f f∞ ∞ ∞

<∞

≤ − +

y fijamos 0n para que 0

1nf f− < .

• Ahora consideremos el caso general 1 p≤ < ∞

Y sea ( ) pn nf L∈ ⊆¥ tal que es pL de Cauchy es decir que para todo 0ε > existe

Nε ∈¥ tal que ,m n Nε∀ ≥ se cumple que ( ) ( )n m pf x f x ε− < ;

( ) ( ) ( )( )

( ) ( ) ,

Markov por hip.con

1: 0

p

p m nn m n mp X

g x x

x f x f x f x f x dµ ε µε

=

− ≥ ≤ − →∫ 1442443 (1)

lo que implica que ( ) ( ) ( ) ,: 0m n

n mx f x f xµ ε− ≥ →

con lo que ( )( )n nf x ∈¥ es de Cauchy en medida ( ) ( )prop.4.5 y tal que

jnf f⇒ ∃ :

( ) ( )c.t.p. jnf x f x→

Tenemos que probar que pL

nf f→ y que pf L∈ , pero como ( )n nf ∈¥ es de

Cauchy en pL ⇒ que es uniformemente acotada en pL , o sea que 0M∃ > tal que

n pf M< para todo n ∈¥ , luego si probamos que 0n pf f− → se cumplen las

dos cosas ya que si 0pL

n npf f f f− → ⇒ → y además como:

p

n np p p

M

f f f f M f Lε

ε< <

≤ − + < + ⇒ ∈144424443

Veamos entonces que:

( )

( )

1

11

Fatou

lim lim

p

pp

j j

pn np X

p p

n n n nX Xj j

f f f f d

f f d f f d

µ

µ µ

− = − =

= − ≤ −

∫

∫ ∫

y por (1) limlim 0j

p

n nXn jf f dµ− =∫ , luego:

1

lim lim lim 0p

j

p

n n np Xn n jf f f f dµ − ≤ − =

∫

Definición 4.7 Sea F una familia de funciones. Se dice que F es uniformemente absolutamente continua con respecto a µ si y solo sí para cada

0ε > existe 0δ > , tal que si ( ) con A Aµ δ< ∈M entonces:

para toda A

f d fµ ε< ∈∫ F


- 80 -

Definición 4.8 Dada una familia de funciones F se dice que es equicontinua superiormente al vacío si y solo sí para toda sucesión de conjuntos ( )k k

C ∈ ⊆¥ M

decrecientes al vacío kC φ , y para todo 0ε > , existe 0 ,k tal que si 0 k k≥ entonces para toda

kCf d fµ ε< ∈∫ F

Lema 4.17 (Continuidad absoluta del integral) Sea 0f ≥ medible e integrable, entonces para todo 0ε > , existe 0δ > , tal que si

( )Aµ δ< se cumple:

A

f ε<∫

Demostración Sea ( ) :nE x f x n= < , definimos

nn Eg f χ= entonces como

11 1n nn n E E n nE E g gχ χ++ +⊆ ⇒ ≤ ⇒ ≤ y por ser lim n

nE X= ⇒ ng f entonces por

el T.C.M. se tiene: lim lim lim lim

nn

E n nE X X X Xn n n nf f d g d g d f dχ µ µ µ µ= = = =∫ ∫ ∫ ∫ ∫

por otro lado

( )Cn nX E E

f d f d f dµ µ µ= +∫ ∫ ∫

pasando al límite se tiene que: lim 0

CnEn

f dµ =∫

Entonces dado 0ε > existe 0n ∈¥ tal que 0n n∀ ≥ se tiene:

( ) 2C

nEf d

εµ <∫

ahora fijado el 0n

( )

( ) ( )

( )( )

0 0 0 0

0

0 0 2C C

n n n n

n

A A E A E A E E

A E A

f d f d f d n d f d n A

µ µ

εµ µ µ µ µ µ

= ≤

= + ≤ + ≤ +∫ ∫ ∫ ∫ ∫∩ ∩ ∩

∩144424443

tomando 02n

εδ = se tiene que si ( ) ( )

2

0 2 2 2AA f d n A

ε

ε ε εµ δ µ µ ε

<

< ⇒ ≤ + < + =∫ 1442443

Proposición 4.18 (Teorema de Vitali) Sea ( )n n

f ∈¥ una sucesión de funciones de pL , ,1pf L p∈ ≤ < ∞ , entonces pL

nf f→ si y solo sí se cumplen:

i) nf fµ→


- 81 -

ii) :pnf n= ∈ ¥F es uniformemente absolutamente continua y equicontinua

superiormente al vacío.

Demostración ⇒ Supongamos que pL

nf f→ entonces por la desigualdad de

Markov para ( ) pg x x=

( ) ( ) ( ) ( ) ( )1: 0

p

n np Xx f x f x f x f x dµ ε µ

ε− ≥ ≤ − →∫

luego nf fµ→ . Para mostrar que F es uniformemente absolutamente continua, observe que:

( )obs. 4.1

2p p p ppn n nA A A A

f f f f f f f= − + ≤ − +∫ ∫ ∫ ∫

y como p pn nA X

f f f f− ≤ −∫ ∫ y esta última por hipótesis 0 0 tal que n n n∃ ∀ ≥ se

cumple que 12

pn pX

f fε

+− <∫ , y por el lema para la función pf se tiene que si

( ) 0Aµ δ< (para 0 0δ > suficientemente pequeño) 12

p

pAf d

εµ +⇒ <∫ .

Concluimos que ( )0 0 y pnA

f n n Aε µ δ< ∀ ≥ <∫ .

Aplicando el lema (continuidad absoluta) a cada 0 1,..., 1pif i n∀ = − se tiene que

existen 01 1,..., 0nδ δ − > tales que

( )Si pi iA

A fµ δ ε< ⇒ <∫

Luego tomamos 00 1 1min , ,..., nδ δ δ δ −= se tiene que si ( )Aµ δ< entonces:

pnA

f d nµ ε< ∀ ∈∫ ¥

y por definición F es uniformemente absolutamente continua. La prueba de que F es equicontinua superiormente al vacío es análoga.

⇐ Sea ( ) 1

: 0 , llamemos n n nn

F x f x A F∞

=

= ≠ = ∪ entonces A es unión numerable de

de conjuntos de medida finita porque, para todo 0ε >

( ) ( ) 1:

p

n npx f x f dµ ε µ

ε≥ ≤ < ∞∫

y

( ) 1

1

: kn nk

F x f x∞

=

= >∪


- 82 -

Sea ( )k kB ∈¥ una sucesión de conjuntos creciente, tal que kB A , donde

( )kBµ < ∞ , sea \ ,k kC A B= para todo k. Entonces kC φ . Vamos a probar que

( )n nf ∈¥ es de Cauchy en pL .

( ), ,

,

k k

Ck m n m n k

p p p pm n m n m n m nA B C

p p pm n m n m nB A A C

f f f f f f f f

f f f f f f

− = − = − + − ≤

≤ − + − + −

∫ ∫ ∫ ∫∫ ∫ ∫∩

siendo , :m n m nA x f f ε= − ≥ para un cierto ε que será especificado más adelante.

Luego

( ), ,

333

2 2m n m n k k

p p p p pp p pm n k m n m nA A C C

f f B f f f fδ

δδ

ε µ − ≤ + + + + ∫ ∫ ∫ ∫ ∫144424443 14444444442444444444314444444444244444444443

Para un 0δ > dado podemos hacer cada termino señalado menor que 3δ .

Por la equicontinuidad superior al vacío, se tiene:

6k

pnC

fδ

<∫

tanto para n como para m. Fijando este k, tomamos 0ε > , tal que ( ) 3p

kB δε µ < . Por la uniformidad absolutamante continua, existe 0α > , tal que

( ) 62

pn pA

A f d nδ

µ α µ< ⇒ < ∀∫

y como ( )n nf f fµ→ ⇒ es de Cauchy en medida, luego existe 0 tal que n ∈¥

( ) ( ) ,

0Si , :

m n

m n

A

m n n x f x f xµ ε α=

≥ ⇒ − ≥ < 144444444424444444443

lo que implica que ,

62m n

pm pA

f dδ

µ <∫ y ,

62m n

pn pA

f dδ

µ <∫

Con este procedimiento probamos que para el 0n citado

0, pm nm n n f f dµ δ≥ ⇒ − <∫

es decir que ( )nf es de Cauchy en pL y como este espacio es completo, existe pg L∈ tal que

pLnf g→ , entonces aplicando el teorema directo nf gµ→ , y

como por hipótesis nf fµ→ resulta que c.t.p.f g µ= − (prop. 4.5 (iii)).


- 83 -

Generalizando el resumen ya construido antes, tenemos los siguientes diagramas: En el primer diagrama tenemos que las flechas llenas corresponden a implicancias que se cumplen en un espacio de medida arbitrario, las flechas punteadas significa que existe una subsucesión que cumple la implicancia.

El siguiente diagrama es para un espacio de medida finito.

Veamos ahora una proposición equivalente a la 3.20 para espacios ( )pL µ , es decir

que el conjunto de funciones simples en pL es p⋅ − denso en pL .

Proposición 4.19 Sea ( ), ,X µM un espacio de medida, y consideremos el conjunto: ( ) ( ) : : y : 0S X simples medibles x xϕ µ ϕ= → ≠ < ∞¡

c.u. c.u.--- converve casi unimformemente c.t.p.---converge en casi todo punto c.t.p. µ µ ---converge en medida

pL ---converge en pL pL

c.u. . c.t.p. µ pL

El siguiente es el caso de existir sucesión de funciones dominada

c.u. c.t.p. µ pL


- 84 -

entonces [ )1, p pp S L⋅∀ ∈ +∞ =

Demostración Consideremos la demostración para funciones no negativas. Primero veremos que pS L⊆ , sea pf L∈ por la proposición 2.14 existe una sucesión de funciones simples ( )n n

Sϕ ∈ ⊆¥ monótona creciente, tales que n fϕ , o

sea que

( ) ( )1 1

p p

p

p p pn n n n

f L

f n d f d d f d L nϕ ϕ µ µ ϕ µ µ ϕ

∈

≤ ∀ ⇒ ≤ ⇒ ≤ < ∞ ⇒ ∈ ∀∫ ∫ ∫ ∫14444244443

por otra parte como 12 2p ppn n nf f f f f Lϕ ϕ ϕ− ≤ + ≤ ⇒ − ≤ ∈ luego por el

TCD se tiene:

0

lim lim 0 0p p

n n n pf d f d fϕ µ ϕ µ ϕ

=

− = − = ⇒ − →∫ ∫ 14444244443

Relación entre los espacios pL Proposición 4.20 Sea ( ), ,X µM un espacio de medida y 1 p q r≤ < < ≤ +∞ entonces se cumplen: i) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )p r q p rL L L L Lµ µ µ µ µ⊆ ⊆ +∩

ii) Si ( )11 0 1q p rλ λ λ−= + < < entonces 1 p q

q p rf f f f L Lλ λ−≤ ∀ ∈ ∩

Demostración i)Demostremos primero q p rL L L⊆ + ; sea qf L∈ y definimos el conjunto ( ) : 1E x f x= > , sean y CE E

g f h fχ χ= = entonces

p p q qE Eg f f gχ χ= ≤ =

y como q pq q pf L g L g d g d g Lµ µ∈ ⇒ ∈ ⇒ < ∞ ⇒ < ∞ ⇒ ∈∫ ∫ análogamente

C C

r r q q

E Eh f f hχ χ≤ ≤ =

luego como rq rh L h d h Lµ∈ ⇒ < ∞ ⇒ ∈∫ y evidentemente f g h= +

Para probar p r qL L L⊆∩ podemos ver que f g h= + y como:

espacio vectorial

q p

q rq

p p q

h hp r q

g gL

r r q

f L h L h L

f L L g h L

f L g L g L

≤

≤

∈ ⇒ ∈ ⇒ ∈ ∈ ⇒ ⇒ + ∈

∈ ⇒ ∈ ⇒ ∈

∩

luego .qf L∈


- 85 -

ii) Veamos la desigualdad para el caso r < ∞ , aplicamos la desigualdad de Hölder con exponentes ( )1,p r

q qλ λ− , que son exponentes conjugados y como funciones f y g las

funciones ( )1 y q qf fλ λ− resultando:

( ) ( )

( )

( ) ( )1

1 1

1

q qp rqq q q p r q q

q p r

q p r

f f d f f d f d f d f f

f f f

λ λλ λ λ λ

λ λ

µ µ µ µ−

− −

−

= = ≤ =

∴ ≤

∫ ∫ ∫ ∫

Para el caso r = ∞ 1 pq p q

λ λ= ⇒ =

( )1

1 p p

q q

q q q p p q p p q q

q p

q p

f f d f f d f f d f f

f f f

λ λµ µ µ− − −∞ ∞

−∞

= = ≤ =

∴ ≤

∫ ∫ ∫

Proposición 4.21 Sea ( ), ,X µM espacio de medida, ( ) y 1X p qµ < ∞ ≤ < ≤ ∞ , entonces se cumplen: i) ( ) ( ) ,q pL Lµ µ⊆

ii) ( )1 1p q

p qf X fµ −≤

Demostración Veamos primero el caso q = ∞ , se tiene que :

( )1pp p p

pf f d f d f Xµ µ µ∞ ∞= ≤ =∫ ∫

Luego ( )1

p

pf f Xµ∞

<∞

≤ y se cumplen i) y ii) a la vez.

Si q < ∞ , para ver que se cumple i), definimos ( ) : 1E x f x= > , y como

podemos escribir CE Ef f fχ χ= + entonces:

( ) ( )

( )

( )

obs. 4.12

2 1 2

C C

C

C

pp p ppE EE EX X X X

q qp pE EEX X X

E

f d f f d f d f d

f d d f d X

µ

µ χ χ µ χ µ χ µ

χ µ χ µ χ µ µ<∞<∞=

= + ≤ + ≤

≤ + ≤ +

∫ ∫ ∫ ∫

∫ ∫ ∫144424443 14444244443

Luego si q qq q pE EX

f L f L f d f Lχ χ µ∈ ⇒ ∈ ⇒ < ∞ ⇒ ∈∫ .

Para ver ahora la ii) aplicamos la desigualdad de Hölder con exponentes conjugados ,q q

p q p− y como funciones f y g, las funciones pf y 1, resultando:

( )

( )

1

q pq

q ppq

p p p

p q

p q

f f d f X

f f X

µ µ

µ

−

−

= ≤

∴ ≤

∫


- 86 -

Nosotros concluimos esta sección con unos comentarios sobre la relevancia de los espacios pL . Los tres más importantes son obviamente los espacios 1 2, y L L L∞ . Con

1L ya estamos familiarizados; 2L es especial porque es un espacio de Hilbert; y la topología en L∞ se relaciona estrechamente a la topología de convergencia uniforme. Desgraciadamente 1 y L L∞ son patológicos en muchos aspectos, y es más

fructífero tratar con los espacios intermedios pL : Una manifestación de esto es la teoría de la dualidad así como los operadores en el análisis de Fourier y en las ecuaciones diferenciales en con 1pL p< < ∞ pero no en 1 y L L∞ .

- 87 -

Capítulo 5

Medida signada Definición 5.1 Dado un espacio de medible ( ),X M una medida con signo es un

mapa [ ]: ,µ → −∞ +∞M tal que:

i) ( ) [ ) ( ) ( ]Im , o Im ,µ µ⊆ −∞ +∞ ⊆ −∞ +∞ ,

ii) ( ) 0µ φ = ,

iii) Si ( ) ( )1

disjuntos dos a dos n n nn

n

E E Eµ µ∞

∈ =

⊆ ⇒ = ∑¥âM .

Es decir µ es aditiva.σ −

Proposición 5.1 Sea ( )n nA ∈ ⊆¥ M disjuntos dos a dos entonces

1n

n

Aµ∞

=

< ∞ â si y

solo sí ( )1

nn

Aµ∞

=

< ∞∑

Demostración ⇐ si ( )1

nn

Aµ∞

=

< ∞∑ entonces :

( ) ( )1 1 1

n n nn n n

A A Aµ µ µ∞ ∞∞

= = =

= ≤ < ∞

∑ ∑â

⇒ Sea τ una permutación de los naturales, entonces:

( ) ( )( )1 1 1

n n nn n n

A A Aτ τµ µ µ∞∞ ∞

= = =

= =

∑â â

es decir que la suma de la serie ( )1

nn

Aµ∞

=∑ es finita e invariante por medio de

reordenamientos. Luego la serie es absolutamente convergente.


- 88 -

Ejemplo 5.1 Las medidas son medidas con signo y la llamamos medidas positivas. Ejemplo 5.2 Si y µ υ son medidas positivas tales que o µ υ no alcanzan el valor +∞ , entonces y µ υ υ µ− − son medidas con signo. Ejemplo 5.3 Si [ ]: ,f X → −∞ +∞ medible y µ una medida positiva y f dµ+ < ∞∫ ,

entonces si definimos υ tal que: ( )

E E EE f d f d f dυ µ µ µ+ −= = −∫ ∫ ∫

tenemos que es una medida signada. Definición 5.2 Sea µ una medida signada y sea F ∈M , se dice que F es

- positivaµµ si: ( ), es 0E F E Eµ∀ ⊆ ∈ ≥M Análogamente se define conjunto - negativoµµ Definición 5.3 Se dice que es A∈ - nuloµµM si es positivo y negativoµ µ− − a la vez. Lema 5.2 Sea ( ),X M un espacio medible y µ una medida con signo definida en él entonces:

i) Si ( )n nE ∈ ⊆¥ M es creciente ( )limn nn

n

E Eµ µ→∞

∈

⇒ = ¥∪

ii) Si ( )n nE ∈ ⊆¥ M es decreciente y ( )kEµ es finito para algún k entonces:

( )limn nnn

E Eµ µ→∞

∈

= ¥∩

Demostración Análoga a la demostración de la proposición 1.1 Proposición 5.3 (Teorema de Hahn-Jordan) Sea µ una medida con signo, entonces existe una partición ( ),P N de X tal que P es

positivaµ − y N es negativaµ − además si ( ),P N′ ′ es otra partición de X entonces: P P y N N son nulosµ′ ′ −V V Demostración Se puede suponer que µ no alcanza el valor +∞

Análisis Real Medida signada, integración y diferenciación - 89 -

- 89 -

Sea ( ) Sup : es positivoS E Eµ µ= − ⇒ Existe una sucesión creciente nP de

conjuntos positivosµ − tal que ( )lim nn

P Sµ = .

Sea ( ) ( )1 1

limn n nnn n

P P P P P Sµ µ µ∞ ∞

= =

= ⇒ = = =

∪ ∪ y además es positivoµ − ya que

( ) ( ) ( )1 0

si lim 0n nnn

E P E E P P E P Eµ µ µ µ∞

= ≥

⊆ ⇒ = = = ≥

∩ ∩ ∩144424443∪

porque que es positivo.n nP E P µ⊆ −∩

Se tiene que S es un máximo y además S < ∞ (porque ( )Im µ+∞∉ ) Sea \N X P= hay que probar que es negativoN µ − . Para lo cual supondremos que N es no negativo y esto nos llevará a una contradicción. Primero veremos que N no tiene ningún subconjunto positivoµ − no nulo. Afirmación 1 Si ( ) y es positivo 0E N Eµ µ⊆ − ⇒ = ;

Demostración Supongamos que ( ) 0Eµ > y se tiene que P E∪ sería µ − positivo y

( ) ( )P E S E Sµ µ= + >∪ lo que es imposible.

Afirmación 2 Si A N⊆ y ( ) 0Aµ > entonces existe ( ) ( ) tal que B A B Aµ µ⊆ ≥ Demostración Por la afirmación 1 A no es positivoµ − entonces existe C A⊆

( )tal que 0Cµ < , tomando \B A C= se tiene ( ) ( ) ( ) ( )0

B A C Aµ µ µ µ<

= − ≥ .

Entonces si N es no negativo, luego debe existir algún B N⊆ tal que ( ) 0Bµ > , y

podemos especificar una sucesión de subconjuntos ( )j jA

∈¥ de N, y una sucesión

( )j jn

∈¥ de enteros positivos como sigue:

( ) 11 min : con nn n B N Bµ+= ∈ ∃ ⊆ >¢

y sea dicho conjunto 1B A= , como ( )1 1 y 0A N Aµ⊆ > aplicando la afirmación 2 podemos definir: ( ) ( ) 1

2 1 1min : con nn n B A B Aµ µ+= ∈ ∃ ⊆ > +¢

y sea este conjunto 2B A= ; y así sucesivamente definimos:

( ) ( ) 11 1min : con j j j nn n B A B Aµ µ+

− −= ∈ ∃ ⊆ > +¢

y sea ese conjunto jB A= .

Sea 1

jj

A A∞

=

= ∩ entonces como ( ) ( ) ( )1 1 y 0 limj j jjA A A A Aµ µ µ+ →∞

⊆ < < +∞ ⇒ =

Por otro lado ( ) ( ) ( )1

1 1 1 11 2

1

...j j j k

j

j j jn n n nk

A A Aµ µ µ−− −

=

> + > + + > > ∑ pasando al límite:


- 90 -

( ) 1 1 1

1 1

0 converge 0j j j jn n n

j j

A nµ∞ ∞

= =

∞ > > > ⇒ ⇒ → ∴ → ∞∑ ∑

Pero una vez más por ser ( ) 0 y A A Nµ > ⊆ ( ) ( ) 1 con nB A B Aµ µ∃ ⊆ > + para algún entero positivo n ,ahora como si jn j→ ∞ → ∞ tomando j suficientemente

grande tenemos jn n< contradiciendo la construcción de los jn . Luego asumir que

N es no negativoµ − nos lleva a una contradicción. Finalmente si y P N′ ′ es otra partición, por el propio teorema \ P P P′ ⊆ ,como:

( ) \ tal que CP P x P x P x P x P N P N N′ ′ ′ ′ ′ ′= ∈ ∉ = ∈ ∈ = = ⊆∩ ∩ ,

luego \P P N′ ′⊆ , y entonces \P P′ es µ -positivo y negativo a la vez, o sea que es µ -nulo. Análogamente con \ es P P P P nuloµ′ ′⇒ −V . Igual con N N ′V . Definición 5.4 Al par ( ),P N de la proposición anterior llamaremos descomposición de Hahn para µ . Como ya vimos esta descomposición no es única en general, pero nos lleva a una representación canónica de µ como diferencia de dos medidas positivas como veremos en la siguiente proposición. Para enunciar este resultado necesitamos un nuevo concepto Definición 5.5 Sean µ y υ medidas signadas en ( ),X M , entonces decimos que son mutuamente singulares o que µ es singular respecto de υ si existen

,E F ∈M con , X E F E F φ= =∪ ∩ tal que:

( )( )

0 ,

0 ,

A A E A

B B F B

υµ

= ∀ ⊆ ∈ = ∀ ⊆ ∈

MM

Es decir que existe una partición (E,F) de X tal que, F es µ − nulo y E es υ − nulo. En estas condiciones se dice que µ está concentrada en E y υ está concentrada en F Para notar la singularidad mutua utilizamos el símbolo de perpendicularidad, µ υ⊥ . Proposición 5.4 (Teorema de descomposición de Jordan) Si υ es una medida signada en ( ),X M , entonces existen únicas medidas

positivas yυ υ+ − tal que y .υ υ υ υ υ+ − + −= − ⊥ Demostración Sea X P N= ∪ con ( ),P N descomposición de Hahn de υ , y definimos:

( ) ( )( ) ( )

A A P

A A N A

υ υ

υ υ

+

−

=

= − ∀ ∈

∩∩ M


- 91 -

Para todo A∈M se tiene que:

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

A A A P A N Aυ υ υ υ υ

υ υ υ

+ −

+ −

− = + =

∴ = −

∩ ∩

Además: ( ) ( ) ( )si 0A N A A Pυ υ υ φ+⊆ ⇒ = = =∩ análogamente ( ) ( ) ( )si 0B P B B Nυ υ υ φ−⊆ ⇒ = = =∩

es decir que υ + está concentrada en P y υ − está concentrada en N υ υ+ −⇒ ⊥ . Para probar la unicidad, sean y µ µ+ − dos medidas positivas, con υ µ µ+ −= − y

mutuamente singulares ( ) µ µ+ −⊥ , sea ( ),E F la partición de X correspondiente a

la singularidad de y µ µ+ − , luego µ + está concentrada en E y µ − en F. Probaremos que E es positivaυ − :

( ) ( ) ( )0

0A E A A Aυ µ µ+ −

=

∀ ⊆ ⇒ = − ≥1442443 ( )∗

análogamente F es negativaυ −

( ) ( ) ( )0

0B F B B Bυ µ µ=

+ −∀ ⊆ ⇒ = − <6447448

Y por lo tanto ( ),E F es otra descomposición de Hahn de υ luego por la proposición 5.3 P EV es υ − nulo. Por consiguiente para cualquier A∈M se tiene:

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

( )

( ) ( ) ( ) ( )

0

0

A A P A P F A P E

A E P A E N A E

A E A E A F A

υ υ υ υ

υ υ υ

µ µ µ µ

=+

∗=

+ + + +

= = + =

= + = =

= = + =

6444447444448∩ ∩ ∩ ∩ ∩∩ ∩ ∩ ∩ ∩1444442444443∩ ∩ ∩

lo ceros son porque ( ) ( )P E P F E N=V ∩ ∪ ∩ y A E N E N P E⊆ ⊆∩ ∩ ∩ V como también A P F P F P E⊆ ⊆∩ ∩ ∩ V . Análogamente .υ µ− −= Definición 5.6 A las medidas y υ υ+ − de la proposición anterior se les llama

variación positiva y negativa de υ , y υ υ υ+ −= − es llamada descomposición de Jordan de υ . Además definimos la variación total de υ , a la medida υ definida por:

υ υ υ+ −= +

Se verifica fácilmente que E ∈M es nuloυ − sií ( ) 0Eυ = y que υ µ⊥ sií

υ µ⊥ y sií y υ µ υ µ+ −⊥ ⊥ .


- 92 -

Si a la proposición anterior le pedimos un poco menos a υ , como que sea una función aditivaσ − , igual sigue valiendo y además también se pueden establecer las definiciones correspondientes de singularidad y variación, resultando algo más generales. Observación 5.1 Observemos que si υ no toma el valor +∞ entonces

( ) ( )X Pυ υ+ = < ∞ y υ + es una medida finita, análogamente si υ no toma el valor −∞ . Entonces si el recorrido de υ está contenido en ¡ , υ es limitada. Definición 5.7 Supóngase que υ es una medida signada y µ una medida positiva en

( ),X M , decimos que υ es absolutamente continua respecto de µ y escribimos: υ µ= si ( ) ( ) tal que 0 0A A Aµ υ∀ ∈ = ⇒ =M . Observación 5.2 Se verifica fácilmente que υ µ= sií υ µ= sií υ µ+ = y

υ µ− = . Si y υ µ υ µ⊥ = , entonces 0υ = , ya que si ,E F son conjuntos disjuntos tales que X E F= ∪ y ( ) ( ) 0E Fµ υ= = , entonces el hecho de que ( ) 0Eυ µ υ⇒ == de

donde 0 y =0υ υ= ⇒ . Uno puede extender la noción de absolutamente continua al caso donde µ es una medida signada a saber: υ µ υ µ⇔= = aunque no tendremos ninguna necesidad de dar dicha definición general. Proposición 5.5 (Teorema de Radon-Nikodin-Lebesgue ) Sea ( ),X M un espacio medible, µ una medida y υ una función de conjuntos

aditivaσ − , supongamos además que ,µ υ son finitasσ − , (es decir que si

nn

X X∈

=¥n

â tal que ( ) ( ) y n nX X nυ µ< ∞ < ∞ ∀ ∈¥ ) Entonces existen una y solo

una descomposición de υ donde ( ) ( ) ( ) :s cE E E E tal queυ υ υ= + ∀ ∈M i) y s cυ υ son funciones aditivasσ − ii) , s cυ µ υ µ⊥ = iii) Existe f tal que:

( )c EE f d Eυ µ= ∀ ∈∫ M

Además f es única c.t.p. µ−


- 93 -

Demostración • Supongamos primero que y υ µ son medidas positivas y finitas y sea:

[ ] ( ) : 0, : E

f X f d E Eµ υ= → +∞ ≤ ∀ ∈∫F M

Entonces se cumple que: a) φ≠F ya que la función nula pertenece a F b) Si ( ) ( ) ( )1 y n n nf f x f x x+⊆ ≤ ∀F entonces sup nf f= ∈F , ya que:

( )

( )T.C.M

lim limn nE E E

E

f d f d f d E f

υ

µ µ µ υ≤

= = ≤ ⇒ ∈∫ ∫ ∫1442443 F

c) Si , max ,f g h f g∈ ⇒ = ∈F F . Para probar esto tomemos el conjunto

( ) ( ) :A x f x g x= >

si E ∈M se tiene:

( ) ( ) ( ),

C

C

E E A E A

C

E A E Af g

hd hd hd

f d gd E A E A E

µ µ µ

µ µ υ υ υ∈

= + =

= + ≤ + =

∫ ∫ ∫∫ ∫

∩ ∩

∩ ∩∩ ∩

F

Sea ( )sup :X

f d f Xα µ υ= ∈ ≤ < ∞∫ F , existe una sucesión ( )nf ⊆ F tal que

nXf dµ α→∫ .

Sea 1 2max , ,...,n ng f f f= por la propiedad c) inductivamente se tiene que ng n∈ ∀F y además 1 n n nf g g n+≤ ≤ ∀ y llamemos lim n

nf g= que por la

propiedad b) f ∈F .Entonces:

T.C.M

lim limn nn n

f d g d f dα µ µ µ α≥ = ≥ =∫ ∫ ∫

por lo tanto f dα µ= ∫

Definimos porque f ∈F

( ) ( )c EE f d Eυ µ υ= ≤∫ ( )∗

primero que nada por definición de cυ resulta cυ µ= , ya que si ( ) 0 Aµ = ⇒ Af χ

es cero c.t.p. µ− ⇒ ( )0 .A cX Af d f d Aχ µ µ υ= = =∫ ∫

y sea ( ) ( ) ( )s cE E Eυ υ υ= −

que por ( )∗ es ( ) 0s Eυ ≥ .

Veremos que sυ µ⊥ para ello definimos ( ) ( ) ( )1n s nn E E Eυ υ µ∀ ∈ = −¥

es aditivanυ σ − por ser suma de funciones aditivasσ − .


- 94 -

Llamemos n∀ ∈¥ ( ),n nP N al par de la descomposición de Hahn para nυ y sea

y C Cn n n

n n n

N N P N N P∈ ∈ ∈

= = = =¥ ¥ ¥

∩ ∪ ∪ veremos que ( ) ( )0 y 0s N Pυ µ= = .

( ) ( ) ( ) ( )1 1

0

0 s n n n n nn nN N N Nυ υ µ µ≤

≤ = + ≤1442443

como ( ) ( )1 10n n n n n n n n nP P P P P Nυ υ υ+ +⇒ ≥ ≥ ⇒ ⊆ ⇒ ⇒ y entonces:

( ) ( ) ( )10 lim lim 0s s n s n nnn nn

N N N Nυ υ υ µ∈ <∞

≤ = = ≤ = ¥ 1442443∩

Luego ( ) 0s Nυ = , para probar la otra afirmación supongamos que no se cumple es

decir que ( ) 0Pµ ≠ como µ es positiva ( )00 tal que 0nn Pµ⇒ ∃ ∈ >¥ y definimos:

( ) ( ) ( )0 0

1nPnr x f x xχ= +

integrando ( )

00 00

1 1

0

nP nn nX X Xrd f d d P

α

µ µ χ µ α µ α>=

= + = + >∫ ∫ ∫ 14424431442443

Si probamos que ( )r x ∈F llegamos a un absurdo por ser α el supremo. E∀ ∈M se tiene:

( )( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

( )

( ) ( ) ( )

0 000

0 00 0

0 0 0 00

0 0

1 1

1 1

1

0

c

nn

n n

E

Pn nE E E E P

c n s nn n

s n n n nn

E P

rd f d f d d

E E P E E E P

E E P E P E E P E

υ

υ

µ χ µ µ µ

υ µ υ υ µ

υ υ µ υ υ υ≥

= + = + =

= + = − + ≤

≤ − − ≤ − ≤

∫ ∫ ∫ ∫ ∩

∩

6447448

∩ ∩∩ ∩ ∩14444244443144444444444424444444444443

luego ( )r x ∈F.

Además f es única c.t.p. µ− ya que si hay otra f% tenemos que:

c.t.p.E E

E f d f d f fµ µ µ∀ ∈ = ⇒ = −∫ ∫ % %M

• Analicemos ahora el caso que , son finitasυ µ σ − . Entonces existe una sucesión creciente ( )n n

X ∈ ⊆¥ M disjuntos dos a dos tal que

nn

X X∈

=¥

∪ y ( )nXµ < ∞ , ( )nXυ < ∞ n∀ ∈¥ , tal que nA A X∀ ∈ ⊆M podemos

restringir a nX , y estamos en el caso anterior, entonces y n ns cn υ υ∀ ∈ ∃¥ tal que:

( ) ( ) ( )n ns cA A Aυ υ υ= +

siendo ( ), y tal que luego n n ns n c n cA

f A f dυ µ υ µ υ µ⊥ ∃ = ∫ = .

Definimos A∀ ∈M :


- 95 -

( ) ( ) ( ) ( ) y n ns s n c c n

n n

A A X A A Xυ υ υ υ∈ ∈

= =∑ ∑¥ ¥

∩ ∩

Se tiene que:

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

n n

n n

n s n c nn n

s n c n s cn n

A A X A X A X

A X A X A A

υ υ υ υ

υ υ υ υ∈ ∈

∈ ∈

= = + =

= + = +

∑ ∑

∑ ∑¥ ¥

¥ ¥

∩ ∩ ∩

∩ ∩

Además como para cada n ns n nD Xυ µ⊥ ⇒ ∃ ⊆ tal que ( ) 0

ns nDυ = y ( ) 0CnDµ =

Sea nn

D D∈

=¥

∪ , entonces:

( ) ( ) ( )0

0n ns s n s n

n nn

D D X Dυ υ υ∈ ∈

= ∀

= = =∑ ∑¥ ¥

∩ 1442443

Y como C Cn

n

D D∈

=¥

∩ se tiene:

( ) ( )1 0C C Cn

n

D D Dµ µ µ∈

= ≤ = ¥∩

asumiendo que 0 en Cn nf X= , definimos

nn X nn

f f f fχ∈

= ⇒ =∑¥

y se tiene:

( ) ( )

n nn

n

nn

A X XA A X X An n

n n c n cA A Xn n n

f d f d f d f d

f d f d A X A

µ µ χ µ χ µ

µ µ υ υ∈

∈ ∈

∈ ∈ ∈

= = = =

= = = =

∑ ∑∫ ∫ ∫ ∫

∑ ∑ ∑∫ ∫¥

∩∩ ¥ ¥

∩¥ ¥ ¥

∪∩

• Ahora probemos la unicidad de la descomposición para el caso finito. Supongamos que tenemos dos descomposiciones, A∀ ∈M se tiene: ( ) ( ) ( ) ( )s c s cA A A Aυ υ υ υ′ ′+ = + con c c , y , s sυ µ υ µ υ µ υ µ′ ′⊥ ⊥= = entonces

( ) ( ) ( ) ( )s c

s s ccA A A A A

υ υ

υ υ υ υ∗ ∗

′ ′− = − ∀ ∈1444442444443 144444424444443 M

Llamamos y s s s c c cυ υ υ υ υ υ∗ ∗′ ′= − = − luego y s cυ υ∗ ∗ son funciones aditivasσ − tal

que y s cυ µ υ µ∗ ∗⊥ = , ya que si llamamos ( ) ( ), y ,E F E F′ ′ a las particiones correspondientes a s y sυ υ′ respectivamente, es decir que sυ esta concentrada en E y

sυ′ está concentrada en E′ entonces sea ( ),C D tal que y \D F F C X D′= =∩ ⇒

C E E′= ∪ y si ( ) ( ) ( )0 0

0A C A A E A Eµ µ µ= =

′⊆ ⇒ ≤ + =∩ ∩144424443 144424443 por ser ,s sυ υ µ′ ⊥ ,

luego µ está concentrado en D. Por otro lado

( )( )

( )( )0

Si 00

ss s

s

A F AA D A

A F A

υυ υ

υ⊆ ⇒ = ′⊆ ⇒ ⇒ − = ′ ′⊆ ⇒ =


- 96 -

y s sυ υ′− está concentrada en C s sυ υ µ′⇒ − ⊥ además es claro que cυ µ∗ = . A∀ ∈M se tiene:

( )( ) ( )( ) ( )( )

( )( ) ( )( )0 0

0c c c c c c

c c s s

A A C A D

A C A D

υ υ υ υ υ υ

υ υ υ υ= =

′ ′ ′− = − + − =′ ′= − + − =

∩ ∩∩ ∩144444424444443 144444424444443

pues ( ) 0A Cµ =∩ por estar concentrado en C luego 0 y 0c c s sυ υ υ υ′ ′− ≡ ∴ − ≡ . Definición 5.8 Dada una medida signada υ tal que existe una función f de manera de que ( )

AA f dυ µ= ∫ lo que también notamos por d f dυ µ= , entonces a f le

llamamos derivada de Radon-Nikodym de υ respecto de µ y haciendo abuso de

notación escribimos que d

fdυµ

= entonces sustituyendo nos queda d

d ddυ

υ µµ

= ⋅

Corolario 5.6 Si y µ υ son medidas tales que υ µ= entonces:

( )A

dA d

dυ

υ µµ

= ⋅∫

Corolario 5.7 Sean 1 2 y υ υ dos medidas signadas finitasσ − y µ una medida

finitaσ − , tales que 1 2 y υ µ υ µ= = , entonces si 1 2 1 1 2 2, y α α α υ α υ∈ +¡ siempre que esté definida se cumple que 1 1 2 2 y:α υ α υ µ+ =

( ) 1 21 1 2 2 1 2

d d dd d d

υ υα υ α υ α α

µ µ µ+ = +

Demostración Por la unicidad del teorema de 5.5 . Proposición 5.8 Sean υ una función aditivaσ − , finitaσ − , y y µ λ medidas

finitasσ − , entonces si y υ µ µ λ= = se cumple:

i) ( )1g L υ∀ ∈

( )1 y d d

g L g d g dd dυ υ

µ υ µµ µ

∈ = ⋅∫ ∫

ii) y d d dd d dυ υ µ

υ λλ µ λ

= ⋅=

Demostración Vamos a hacer la demostración para 0υ ≥ Si E ∈M , es tal que ( )1

E Lχ υ∈ (o sea ( )Eυ < ∞ ) entonces:


- 97 -

Por definición ( )

EE X

EX

d dE d d

d d

d

υ µ

υ υυ µ χ µ

µ µ

χ υ

∞ > = ⋅ = ⋅∫ ∫

∫P =

luego ( )1 y E E E

d dL d d

d dυ υ

χ µ χ υ χ µµ µ

∈ = ⋅∫ ∫ . Las funciones características la

cumplen. Consideremos ahora una función ( )1Lϕ υ∈ simple, entonces:

( )1 y d d

L d dd dυ υ

ϕ µ ϕ υ ϕ µµ µ

∈ = ⋅∫ ∫

porque toda función simple es combinación lineal de funciones características y aplicando la linealidad del integral se llega a la igualdad deseada. En el caso general, es decir que ( )1 con 0f L fυ∈ ≥ entonces por la proposición

2.14 existe una sucesión de funciones simples ( )n nϕ ∈¥ tal que:

( ) ( )10 y n n nf x f xϕ ϕ ϕ+≤ ≤ ≤ →

Por otro lado 0 c.t.p.ddυ

µµ

≥ − , por ser ( )0

0 c.t.p.nE

d dE d

d dυ υ

υ µ ϕ µµ µ

≥

= ⋅ ⇒ ≥ −∫

entonces:

T.C.M T.C.M

lim limn nn n

d df d d d f d

d dυ υ

υ ϕ υ ϕ µ µµ µ

∞ > = = ⋅ = ⋅∫ ∫ ∫ ∫

Finalmente si ( )1f L υ∈ cualquiera consideramos:

( ) ( )r r i if f f i f f+ − + −= − + −

y aplicamos lo anterior a cada una de las funciones , , ,r r i if f f f+ − + − por ser todas reales positivas. ii) Si ( ) ( ) ( )0 0 0E E E

µ λ υ µλ µ υ υ λ= ⇒ = ⇒ = ⇒

= == , además:

por ser υ λ= ( )

parte anterior

g

E E

E

d d dE d d

d d d

dd

d

υ µ λ

υ µ

υ υ µυ µ λ

µ µ λυ

λλ

= ⋅ = ⋅ ⋅

⋅

∫ ∫

∫

=

=P

y como la derivad de Radon- Nikodym es única

c.t.p.d d dd d dυ υ µ

λλ µ λ

= ⋅ −

Corolario 5.9 Si µ y λ son medidas finitasσ − tales que y µ λ λ µ= = entonces


- 98 -

( )1 c.t.p. c.t.p.d d

iguald dµ λ

µ λλ µ

⋅ = − −

Demostración Por la proposición anterior:

c.t.p.d d dd d dµ λ µ

µλ µ µ

⋅ = −

y 1 c.t.p.dd

µµ

µ= − por ser ( ) 1

EE dµ µ= ∫

Nos interesa analizar el caso particular en que y X µ λ= =¡ medida de Lebesgue. Si f es una función continua ( )0f C∈ entonces:

1) [ ]( ) ( )

,a xf d f xλ

′=∫

2) [ ]

( ) ( )1

,a bF C F d F b F aλ′∈ ⇒ = −∫

Luego queremos analizar si 1f L∈ implica que se cumple 1), como encontrar una caracterización para las funciones que cumplan con 2) Observar que ( )

[ ],a xx f dψ λ= ∫

si f es no negativa ( )xψ⇒ (es monótona) y en general ψ es diferencia de dos monótonas, entonces tiene sentido analizar la monotonía. Definición 5.9 Sea [ ]: ,a bϕ → ¡ una función continua, consideremos el conjunto

[ ] [ ] ( ) ( ) , : , con , E x a b y a b y x y xϕ ϕ= ∈ ∃ ∈ > >

llamado conjunto de puntos invisibles por derecha. Es el conjunto de puntos que si “vemos” el grafico desde la derecha no son “visibles”o son ocultos por el gráfico. Hay una definición análoga para puntos invisibles por la izquierda al conjunto:

[ ] [ ] ( ) ( ) , : , con , F x a b y a b y x y xϕ ϕ= ∈ ∃ ∈ < >

a b


- 99 -

Lema 5.10 (Lema de Riez) Dada una función [ ]: ,a bϕ → ¡ continua entonces el conjunto de puntos invisibles por derecha E cumple: i) E es abierto, en particular es medible. ii) ( ) ( ) ( ), k k k k

k

E a b donde a bϕ ϕ∈

= ≤¥

∪

Demostración i)Que es abierto es casi inmediato porque si x E∈ ⇒ que hay un entorno incluido en E por ser ϕ continua. ii) Sea ( ), k ka b E⊆ entonces si ( ) ( ) ( ),k k kx a b x bϕ ϕ∈ ⇒ ≤ ⇒ por la continuidad

de ( ) ( ), k ka bϕ ϕ ϕ≤ , ya que de no ser así ( ) ( )k ka bϕ ϕ> ⇒ por la continuidad que

sigue pasando lo mismo en un entorno, luego ( ) ( ) ( ), tal que k k kx a b x bϕ ϕ∗ ∗∃ ∈ > y

definimos ( ) ( ) sup : , , .kx x x x x x bϕ ϕ ∗ ∗= = ∈

Como ( ), ,k k kx x b a b E x E y x∗∈ ⊆ ⊆ ⇒ ∈ ⇒ ∃ > tal que ( ) ( )y xϕ ϕ> por otro

lado ( ) ( ) ( )kx x bϕ ϕ ϕ∗= > lo que implica que ky b< ya que si k ky b b E> ⇒ ∈

Observando la figura podemos ver que: ( ) ( ) ( )ky x bϕ ϕ ϕ> >

Luego como kx y b< < podemos aplicar Bolzano en

el intervalo ( ), ky b , y ( ), tal que:ky y b∃ ∈%

( ) ( )y xϕ ϕ=% pero esto es absurdo por ser x el supremos de los punto que cumplen que son iguales a ( ) ( )x xϕ ϕ∗ = .

Observación 5.3 Hay un resultado análogo para los puntos invisibles a izquierda Para el caso que f no es continua igual podemos definir el conjunto E como sigue:

( ) ( ) : , limz x

E x y x y zϕ ϕ→

= ∃ > >

Ahora introduciremos algunas notaciones:

( ) ( ) ( )0

limh

f x h f xDf x

h+

+

→

+ −=

( ) ( ) ( )0

limh

f x h f xDf x

h−

−

→

+ −=

( ) ( ) ( )0

limh

f x h f xdf x

h+

+

→

+ −=

( ) ( ) ( )0

limh

f x h f xdf x

h−

−

→

+ −=

x y kb


- 100 -

f es diferenciable en x si los cuatro números anteriores coinciden. Proposición 5.11 Si f es una función monótona entonces: ( ) ( ) ( ): no existe o 0x f x f xλ ′ ′ = ∞ =

Demostración Supongamos f continua definimos:

( ) :E x Df x+∞ = = ∞

y

( ) ( ) :fF x df x Df x− += <

• Vamos a ver que todo se reduce a probar que ( ) ( ) 0fE Fλ λ∞ = =

Llamemos ( ) ( )g x f x= − − ⇒ g es continua y monótona, tenemos que se cumple

siempre que ( ) ( )df x Df x− −≤ y llamemos ( ) ( ) :gF x dg x Dg x− += < veamos que

significa que gx F∈

( ) ( ) ( ) ( ) ( )0 0

lim limh hh h

g x h g x f x h f xdg x

h h− −

−

=−→ →

+ − − − − + −= = =%

( ) ( ) ( )

0

limh

f x h f xdf x

h+

+

→

− + − −= = −

%

%%

una cuenta análoga muestra que:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )0 0

lim limh hh h

f x h f xf x h f xDg x Df x

h h+ −

+ −

=−→ →

− + − −− − − + −= = = −% %

%%

llamemos ( ) ( ) :fF x df x Df x+ −′ = < entonces si ( ) ( )0 0F Fλ λ ′= ⇒ = y :

( ) ( ) ( ) ( ) ( )c.t.p. c.t.p.

Df x df x Df x df x Df x+ − − + +≤ ≤ ≤ ≤ < ∞

luego tienen que ser todos iguales. • Ahora probemos que ( ) ( ) 0fE Fλ λ∞ = =

Para cada n ∈¥ si tal que x E y x∞∈ ⇒ ∃ >

( ) ( )f y f x

ny x

−>

−

Sea ( ) ( )

: con n

f y f xA x y x n

y x− = ∃ > > −

entonces si nx E x A∞∈ ⇒ ∈ por lo

tanto nE A n∞ ⊆ ∀ ∈¥ . Probaremos que los nA son medibles, de medida finita y además como nA se

tiene que ( )limn nn

A Aλ λ∈

= ¥∩ , si probamos que este último es cero E∞⇒ es

medible y ( ) 0Eλ ∞ = .

( )Df x− ( )Df x+

( )df x− ( )df x+


- 101 -

Como nA es el conjunto de puntos invisibles (luego medible) por derecha de

( ) ( )n x f x nxϕ = − ya que si ( ) ( ) ( ) ( )f y f x

n f y ny f x nxy x

−> ⇒ − > −

− entonces

aplicando el lema de Riez para dicha función tenemos que ( ),n k kk

A a b∈

=¥

∪ para cada

n con ( ) ( )n k n ka bϕ ϕ≤ ( ) ( )k k k kf a na f b nb⇒ − ≤ −( ) ( )k k

k k

f b f ab a

n−

⇒ − ≤

f monótona

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )1 1k kn k k k kn n

k k k

f b f aA b a f b f a f b f a

nλ

∈ ∈ ∈ <∞

−= − ≤ ≤ − ≤ −∑ ∑ ∑

¥ ¥ ¥ 144444424444443

luego

( ) ( ) ( ) ( )( )1lim lim 0n n nn nn

E A A f b f aλ λ λ∞∈

≤ = = − = ¥∩

• Ahora probaremos que ( ) 0fFλ =

Veamos primero que a fF lo podemos escribir como:

( ) ( ) ,, ,

: y f r sr s r s

r s r s

F x df x r Df x s E− +

∈ ∈< <

= < > =¤ ¤

∪ ∪

Probemos que ( ), 0 ,r sE r sλ = ∀ ∈¤ para lo cual consideremos el siguiente lema.

Lema 5.12 En las condiciones del teorema ( )( ) ( ), , r

r s sEλ α β β α≤ −∩

Demostración Definimos:

( ) ( )( ) ( )

1 ,

2

r s

rs

I E I

I I

µ λ

µ λ

=

=

∩

se observa que 1 2 y µ µ son medidas y si se cumple el lema ( ) ( )1 2 A A Aµ µ≤ ∀

(Teorema de extensión mediante).En particular ( ) ( ) ( ), , ,

1

0rr s r s r ssE E Eλ λ λ

<

≤ ⇒ =

Sea ( ) ( ) ( ): : con r

f y f xG x df x r x y x r

y x− − = < = ∃ < < −

lo que es igual al

conjunto invisible por izquierda de la función ( ) ( )h x f x rx= − entonces por el

lema de Riez dado ( ),α β se tiene

( ) ( ) ( ) ( ), , tal que r k k k kk

G a b h a h bα β∈ℵ

= ≥∩ ∪

lo que significa que ( ) ( ) ( ) ( ) ( )k k k k k k k kf a ra f b rb f b f a r b a− ≥ − ⇒ − ≤ − (1)


- 102 -

Análogamente definimos

( ) ( ) ( ): : con s

f y f xH x Df x s x y x s

y x+ − = > = ∃ > > −

y este es el conjunto de

puntos invisibles por derecha de la función ( ) ( )g x f x sx= − aplicando el lema de Riez se tiene para cada k:

( ) ( ) ( ) ( ), , tal que j j j js k k k k k k

j

H a b a b g a g b∈

= ≤¥

∩ ∪

y esto significa que ( ) ( ) ( ) ( )1j j j j j j j jk k k k k k k ksf a sa f b sb b a f b f a − ≤ − ⇒ − ≤ − (2)

entonces:

( )( ) ( ) ( )

( )( ) ( )

( ) ( )( )

( ) ( ) ( )

1

2, ,,

1 1

1

, ,j j j j j js r k k k k k ks f

k j k jk j

r rk k k k k ks s s s

k k k

H G a b b a f b f a

f b f a r b a b a

λ α β λ

β α

= = − ≤ − ≤ ≤ − ≤ − = − ≤ −

∑ ∑

∑ ∑ ∑

∩ ∩ ∪

Con lo que queda probado el lema y por las consideraciones más arribas queda demostrada la proposición. Observación 5.4 Sea una sucesión de conjuntos nA φ y 1f L∈ entonces:

0n

n

Af →∫

ya que 0nAf χ → y está dominada por f ( )

nAf fχ ≤ por el T.C.D.

lim lim lim 0n n

nA AA X Xn n n

f f fχ χ= = =∫ ∫ ∫

Proposición 5.13 Sea ( ), ,X µM un espacio de medida y ( )1f L µ∈ entonces para cada 0 0 ε δ> ∃ > tal que:

si A∈M y ( )Aµ δ< se cumple que A

f dµ ε<∫

Demostración Si la tesis fuera falsa significa que 0 tal que nε∃ > ∀ ∈¥ nA∃ con

( ) 1 y n

n n AA f dµ µ ε< >∫ pero esto contradice la observación anterior.

Observación 5.5 Sea [ ]( ), , ,a b λM un espacio de medida entonces A∀ ∈M dado

0η > existe K compacto y U abierto tal que K A U⊆ ⊆ con:

( ) ( )( ) ( )A U

A K

λ λ η

λ λ η

= −

= +

ya que considerando la medida:


- 103 -

( ) ( ) ( )inf con intervalos tal que n n nn n

A I I A I Aµ λ λ∗

∈ ∈

= ⊆ = ∑

¥ ¥∪

etc...

Proposición 5.14 Sea [ ] [ ]( )1: , , , ,f a b f L a b λ→ ∈¡ y ( )x

ax f dϕ λ= ∫ llamada

integral indefinida de Lebesgue entonces: ( ) ( ) ( ) ( ): 0x x no existe o x f xλ ϕ ϕ′ ′ ≠ =

Demostración Hagamos la demostración para 0f ≥ ( como ya hemos considerado en otras ocasiones esto es suficiente). Sea ( ) : no existeA x xϕ ′= probaremos que ( ) ( ) ( ): 0Cx x f x Aλ ϕ ′ > =∩

Observamos que ( ) ( ) ( ) ( ) ,, ,

: : , r sr s r s

r s r s

x x f x x x s f x r Cϕ ϕ∈ ∈< <

′ ′> = > < =¤ ¤

∪ ∪

Probaremos que ( ),, 0r sr s Cλ∀ ∈ =¤ .

Sea U un abierto tal que para r y s fijos ( ), , y \r s r sC U U Cλ δ⊆ < esto es posible

por la regularidad de λ , donde 0δ > se elige de modo que si 0ε > arbitrario entonces

( ) tal que E

f d E Eλ ε λ δ< ∀ <∫

Si ( ) ( )

, con r s

y xx C y x s

y xϕ ϕ−

∈ ⇒ ∃ > >−

,r sC⇒ ⊆ puntos invisibles por derecha

de la función ( ) ( )h x x sxϕ= − ( ),k kk

a b U∈

= ⊆¥

∪ donde además ( ) ( )k kh a h b≤ lo

que significa ( ) ( )k k k kb sb a saϕ ϕ− ≥ − y por lo tanto:

( ) ( ) ( )[ ]1 1 1k k k

k

b a b

k k k ks s sa a ab a b a f d f d f dϕ ϕ λ λ λ − ≤ − = − = ∫ ∫ ∫

entonces:

( ) ( ) ( )

( )

, ,

,

1 1 1, \

0

,

k

k r s r s

r s

b

r s k k s s sa U c U Cfk k r

r rr ss s

C

C b a f d f d f d f d

d Cs s

ε

λ λ λ λ λ

ε ελ λ

≥∈ ∈ ><

≤ − ≤ ≤ = + ≤

≤ + = +

∑ ∑∫ ∫ ∫ ∫

∫

¥ ¥ 144424443

y como esto se cumple para 0ε > arbitrario llegamos a que ( ) ( ) ( ), , ,

1

0rr s r s r ssC C Cλ λ λ

<

≤ ⇒ =


- 104 -

Definición 5.10 Sea [ ]: ,f a b → ¡ decimos que es absolutamente continua si dado

0ε > , 0δ∃ > tal que si ( ) 1,

n

i i ia b = es una familia de intervalos abiertos disjuntos

contenidos en [ ],a b , que verifique ( )1

n

i iib a δ

=− <∑ entonces:

( ) ( )1

n

i ii

f b f a ε=

− <∑

Ejemplo 5.4 Si 1f C f∈ ⇒ es absolutamente continua. Vasta con aplicar el teorema de Lagrange convenientemente. Ejemplo 5.5 Continua no implica absolutamente continua, como contraejemplo tenemos la función de Cantor. Definición 5.11 Dada la función [ ]: ,f a b → ¡ decimos que es de variación acotada si existe 0c > tal que: [ ] ( ) ( )1, sup

ba

f i iP

V a b f t f t c+∈

= − <∑P

siendo P una partición de todas las posibles del intervalo [ ],a b .

0 1 ... nP a t t t b= = < < < = Ejemplo 5.6 Las funciones que tienen derivada acotada son de variación acotada. La función de Cantor tiene variación acotada. Observación 5.6 Las funciones de variación acotada cumplen : 1) La combinación lineal de funciones de variación acotada es una función de variación acotada. 2) Si a b c< < entonces: [ ] [ ] [ ], , ,f f fV a b V b c V a c+ =

Demostración Veamos la demostración de 2) Por definición de supremo existen particiones:

1 0 1 ... bn aP a t t t b= = < < < = ∈P y

2 1 ... cn n n r bP b t t t c+ += = < < < = ∈P tal que:

( ) ( ) [ ] ( ) ( ) [ ]1 1

1 10

, , ,n n r

i i f i i fi i n

f t f t V a b f t f t V b cε ε− + −

+ += =

− ≥ − − ≥ −∑ ∑

Sea 3 1 2b

aP P P= ∈∪ P entonces como:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 1 1

1 1 10 0

n r n n r

i i i i i ii i i n

f t f t f t f t f t f t+ − − + −

+ + += = =

− = − + −∑ ∑ ∑

a b c


- 105 -

y

[ ] ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

[ ] [ ]

1 1 1

1 1 10 0

,

, ,

n r n n r

f i i i i i ii i i n

f f

V a c f t f t f t f t f t f t

V a b V b cε ε

+ − − + −

+ + += = =

≥ − = − + − ≥

≥ − + −

∑ ∑ ∑

Luego [ ] [ ] [ ], , , 2f f fV a c V a b V b c ε≥ + − , pero como ε es arbitrario:

[ ] [ ] [ ], , ,f f fV a c V a b V b c≥ + .

Por otro lado sea P una partición tal que b P∈

0 1 ... ...r nP a t t t b t c= = < < < = < < = y llamemos ( ) ( )1

10

n

p i ii

S f t f t−

+=

= −∑

( ) ( ) ( ) ( ) [ ] [ ]1 1

1 10

, ,r n

p i i i i f fi i r

S f t f t f t f t V a b V b c− −

+ += =

= − + − ≤ +∑ ∑

luego pS tiene como cota superior a [ ] [ ], ,f fV a b V b c+ entonces el supremos

también está acotado, y por lo tanto [ ] [ ] [ ], , ,f f fV a c V a b V b c≤ + .

En el caso que b P∉ consideramos P P b′ = ∪ y como

[ ] [ ], ,p P f fS S V a b V b c′≤ ≤ + y por lo tanto el supremo también cumple lo mismo.

De manera que se cumplen las dos desigualdades ⇒ la igualdad. Proposición 5.15 Dada una función [ ]: ,f a b → ¡ tenemos que es de variación acotada sií existen ,g h tal que f g h= − Demostración ⇐ Si f g h= − con ,g h sea 0 1 ... nP a t t t b= = < < < = una

partición de [ ],a b , entonces:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

1 1

1 1 10 0

1 1

1 10 0

1 1

1 10 0

n n

i i i i i ii i

n n

i i i ii i

n n

i i i ii i

f t f t g t g t h t h t

g t g t h t h t

g t g t h t h t

g b g a h b h a

− −

+ + += =

− −

+ += =

− −

+ += =

− = − − − ≤

≤ − + − =

= − + − =

= − + − < ∞

∑ ∑

∑ ∑

∑ ∑

Por lo tanto [ ],fV a b < ∞ .

⇒ Sea ( ),t a b∈ y definimos

( ) [ ] ( ), y sea f f fV t V a t g V t= =

luego g es creciente por definición y sea h g f= −


- 106 -

Sea ( ) ( ) ( ) ( )[ ]

( ) ( )( ) 0

f

f f

V tt

t t h t h t V t V t f t f t′=

′ ′ ′ ′< ⇒ − = − − − ≥1444442444443 por ser:

[ ] ( ) ( ), por definición de supremo.fV t t f t f t′ ′≥ −

Luego h es creciente y f se puede escribir como resta de dos monótonas, dicha descomposición se le llama en ocasiones descomposición canónica. Lema 5.16 Sea [ ]: ,F a b → ¡ una función absolutamente continua, entonces F es de variación acotada. Demostración Sea 1 y 0ε δ= > correspondiente a la continuidad absoluta. Tomemos la partición del intervalo [ ],a b que lo divide en m pedazos de longitud menor que δ , llamemos P a una partición como esta.

0 1 ... mP a s s s b= = < < < = y sea Q una partición cualquiera entonces P P Q′ = ∪

es tal que Q pS S ′≤ y la variación de F en cada intervalo [ ]1,i is s + es menor que 1,

luego la suma (variación de F en [ ],a b ) no supera a m Q PS S m′≤ <

y por lo tanto m es una cota superior de la variación ⇒ F es de variación acotada. Proposición 5.17 Sea [ ]: ,F a b → ¡ una función tal que ( ) 0F a = entonces F es

absolutamente continua sií 1f L∃ ∈ tal que:

( )x

aF x f dλ= ∫

Demostración

⇐ Dado 0ε > sea una familia de intervalos abiertos disjuntos ( ) 1,

n

i i ia b = y 0δ >

como en la proposición 5.13 , para ( )1

n

i iib a δ

=− <∑ sea ( )

1,

n

i iiA a b

== ∪ entonces:

( )

( ) ( )1

,1 1

i

ni i ii

n nb

i iA a b ai i

f d f d f d F b F aε λ λ λ= = =

> = = = −∑ ∑∫ ∫ ∫∪

luego F es absolutamente continua, y por el lema implica que es de variación acotada. ⇒ Existen y G H monótonas no decrecientes tales que: F G H= − Definimos y G Hµ µ las medidas de Borel-Stieltjes asociadas. Queremos probar que 1) G y H son absolutamente continuas. 2) ,G Hµ µ λ= Probado esto Radon- Nikodym mediante existen h y g tales que:


- 107 -

[ ]( )

[ ]( )

,

,

x

G a

x

H a

a x g d

a x h d

µ λ

µ λ

=

=

∫∫

entonces f g h= − y ( )x

aF x f dλ= ∫

• Probemos ahora 1) Sea ( ) [ ],FG x V a x=

Dado 0, sea 0ε δ> > de la continuidad absoluta de F es decir si ( ) 1,

n

i i ia b = es una

familia de intervalos contenidos en [ ],a b tal que ( )1

n

i iib a δ

=− <∑ entonces:

( ) ( )1

n

i ii

F b F a ε=

− <∑

por otro lado: ( ) ( ) [ ],i i F i iG b G a V a b− = Y por el lema 5.16 F es de variación acotada y por definición de supremo existe para cada 1,...,i n= una partición 0 1 ...i i i

i i m iP a t t t b= = < < < = de manera que:

[ ] ( ) ( )1

10

,2

mi i

F i i j jij

V a b F t F tε −

+=

− ≤ −∑

en consecuencia:

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )

1

11 1 0 1

1 1

2

22

n n m ni i

i i j j ii i j i

n

i i ni

G b G a F t F t

F b F a

εε

ε

εε

−

+= = = =

∞

=

=<

− ≤ − + ≤

≤ − + <

∑ ∑ ∑ ∑

∑ ∑14444444244444443

G⇒ absolutamente continua. • 2) Sea ( ) tal que 0E Eλ∈ =M y dado 0ε > sea el 0δ > correspondiente a la

continuidad absoluta de G.

Consideremos la familia de intervalos disjuntos ( ) 1,

n

i i ia b = tal que

( ) ( )( ) ( )1 1

1

, y ,n

n n

i i i i i ii ii

E a b a b b aλ δ= =

=

⊆ = − <∑∪ ∪

lo cual es posible por ser λ regular.

( ) ( )( ) ( ) ( )11

,n n

G G i i i iiiE a b G b G aµ µ ε

==≤ ≤ − <∑∪

como ε es arbitrario ( ) G0 G Eµ µ λ= ∴ = . Análogamente con Hµ .


- 108 -

- 109 -

Capítulo 6

Medida Producto Definición 6.1 Sean ( ) ( )1 1 1 2 2 2, , y , ,X Xµ µM M dos espacios de medida llamamos rectángulo medible en 1 2X X× a los conjuntos F G× con 1 2 y F G∈ ∈M M .

notamos 1 2 1 2: y F G F G× = × ∈ ∈M M M M Observación 6.1 Nuestra intención es definir una medida en el conjunto producto

1 2X X× , para ello necesitamos una álgebraσ − que es la sigma álgebra generada

por los rectángulos medibles que notamos ( )1 2σ ×M M . Primero definimos una premedida en el álgebra generada por los rectángulos (que notamos ( )1 2a ×M M ), y extendemos a la ( )1 2σ ×M M , sigma álgebra generada por los rectángulos. Definición 6.2 Sean ( ) ( )1 1 1 2 2 2, , y , ,X Xµ µM M dos espacios de medida, entonces

definimos sobre ( )1 2a ×M M , la premedida:

( ) ( ) ( )0 1 2 1 2 , E F E F E Fµ µ µ× = ⋅ ∀ ∈ ∀ ∈M M de acuerdo al teorema de extensión de medidas dicha premedida se extiende a una medida que notamos por 1 2µ µ× llamada medida producto definida sobre

( )1 2σ ×M M . Recordar que: medida exterior

( ) [ ]

[ ]

0 : 0,

sea : es medible

| : 0, es completa

X

A X A

µ

µ

µ

µ µ

µ

µ µ

∗

∗∗

∗

∗

∗

→ → +∞

↓ = ⊆ −

= → +∞M

P

M

M

Es decir que para 1 2X X X= × : ( )1 21 2 |σµ µ µ ×× = M M


- 110 -

Observación 6.2 En el caso de que 1 2 y µ µ sean finitasσ −

( ) ( )1 1 2 2 y n m

n m

X X X X∈ ∈

= =¥ ¥

∪ ∪

entonces como ( ) ( )[ ]1 2 1 2,

n mn m

X X X X∈

× = ×¥

∪ y ( )( ) ( )( )1 1 2 2 y n mX Xµ µ< ∞ < ∞

para todo ( ) ( )( )0 1 2, n mm n X Xµ∈ ⇒ × < ∞¥

Luego si 1 2 y son finitasµ µ σ − , 0µ también lo es. En este caso 1 2µ µ× es

finitaσ − y entonces es la única medida definida sobre ( )1 2σ ×M M cuya

restricción a ( )1 2a ×M M coincide con la premedida 0µ . Definición 6.3 Sea ( )C X⊆ P se dice que C es una clase monótona sobre X si cumple: i) Siendo ( )n n

E C∈ ⊆¥ sucesión creciente de conjuntos, entonces

1

nn

E C∞

=

∈∪

ii) Si ( )n nF C∈ ⊆¥ sucesión decreciente de conjuntos, entonces

1

nn

F C∞

=

∈∩

Ejemplo 6.1 ( )XP es una clase monótona, de forma obvia. Ejemplo 6.2 Si M es una álgebraσ − entonces M es una clase monótona. Ejemplo 6.3 Si ( )i i I

C ∈ es una familia de clases monótonas sobre X entonces

ii I

C C∈

= ∩ es una clase monótona.

Definición 6.4 Si ( )E X⊆ P consideremos:

( ) ( ) : , , con clase monótonam E C C X E C C= ⊆ ⊆P

( )( )C m E

E C∈

= ∩C es una clase monótona llamada clase monótona generada por E.

Lema 6.1 (de la Clase Monótona) Sean A un álgebra, M la álgebraσ − generada porA y C la clase monótona generada por A , entonces: =M C

Análisis Real Medida Producto - 111 -

- 111 -

Demostración Por el ejemplo 6.2 M es una clase monótona que contiene a A ( )m⇒ ∈M A , luego ⊆C M .

Para ver la otra inclusión probaremos que es una álgebraσ −C . Para eso es suficiente probar que C es un álgebra, ya que si ( ) 1n n

E ≥ ⊂C definimos:

( )1 1 2 1 2 1 clase monótona1

, ,...,n

n i n n nni n n

F E F E E F E F E F≥= ∈ ∈

= = = ⇒ ⇒ = ∈¥ ¥

∪ ∪ ∪ ∪CC

• Dado E ∈C sea ( ) : \ , \ ,C E F F E E F E F= ∈ ∈∩C C , luego ( ),E C Eφ ∈

( )C E φ⇒ ≠ , probaremos que ( ) C E E= ∀ ∈C C ,una inclusión es obvia por

definición ( ) C E E⊂ ∀ ∈C C

Por otro lado ( )C E es una clase monótona ya que si ( )( )

( )1 1\n nn n

C E

F F E≥ ≥

⊂

⇒ 1442443 y

( ) ( ) ( )1\ \ y n n n n nn

n n n n

E F F E F E E F E F≥∈ ∈ ∈ ∈

⇒ = ∈ = ∈¥ ¥ ¥ ¥

∩ ∩ ∩∪ ∪ ∪ ∪C C , además

( ) ( ) ( )1\ \ \n n n nn

n n n

E F E F E F F C E≥∈ ∈ ∈

⇒ = ∈ ⇒∴ ∈¥ ¥ ¥

∪ ∩ ∪C .

Por otro lado se tiene que ( ) ( )F C E E C F∈ ⇔ ∈ .

Ahora supongamos que E ∈A ( )C E⇒ ⊆A ya que:

( )si \ , \ ,F E F F E F E F C E∈ ⇒ ∈ ⊆ ⇒ ∈∩A A C

y ( )C E es una clase monótona que contiene a A entonces ( ) C E E⊆ ∀ ∈C A

Por lo tanto si ( ) ( ) ,F F C E E E C F E F∈ ⇒ ∈ ∀ ∈ ⇒ ∈ ∀ ∈ ∀ ∈CC A A

luego ( ) ( )( ) ( ) ( ), por ser clase monótona C F F C F C F m⊆ ∀ ∈ ⇒ ∈A C A .

Y luego ( ) C F F⊆ ∀ ∈C C y se tiene la igualdad.

• Si ( )1 2 1 2,F F F C F∈ ⇒ ∈C ( )( )2 1o F C F∈ 1 2 2 1 1 2\ , \ ,F F F F F F⇒ ∈ ⇒∩ C C es

cerrado por complementos ya que tomando 1F X= se tiene que 2 2 CF F∈ ∀ ∈C C . Y además:

( )

( )

1 2 1 2

1 2

1 2

Si ,

C C

CC C

F F F F

F F

F F

∈ ⇒ ∈

⇒ ∈

∈P

∩∩

∪

C C

C

C

Definición 6.5 Sea A un álgebra de conjuntos de X, y µ una premedida definida sobre X , decimos que es continua por arriba en el vacío si ( )n n

A ∈ ⊆¥ A y

( )nA φ , entonces:

( )lim 0nn

Aµ→+∞

=


- 112 -

Lema 6.2 Si µ es una premedida finita, aditiva y continua por arriba en el vacío, entonces µ es σ − aditiva. Demostración Sea ( ) tal que si n i jn

A A A i jφ∈ ⊆ = ≠¥ ∩A y nn

A A∈

= ∈¥

∪ A

Definimos 1

n

n ii

B A=

= ∪ como ( )\ n nA B ∈ ⊆¥ A y ( )\ nA B φ luego por hipótesis:

( )lim \ 0nn

A Bµ→+∞

=

Como µ es finita, ( ) ( ) ( ) se tiene \ n nn A B A Bµ µ µ∀ ∈ = −¥ y pasando al límite:

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

1

1 1

lim \ lim lim

lim 0

n

n n in n ni

n

i nni n

A B A B A A

A A A A

µ µ µ µ µ

µ µ µ µ

→∞ →∞ →∞=

∞

→∞= =

= − = − =

= − = − =∑ ∑

∪

luego ( )11

es aditivan nnn

A Aµ µ µ σ∞ ∞

==

= ⇒ −

∑∪

Definición 6.6 Dado un conjunto 1 2A X X⊆ × , llamamos x-sección de A al conjunto: ( ) : ,xA y x y A= ∈

Análogamente llamamos y-sección de A al conjunto: ( ) : ,yA x x y A= ∈

Proposición 6.3 (Teorema de Fubini 1) Sean ( ) ( )1 1 1 2 2 2, , y , ,X Xµ µM M espacios de medida finitosσ − , entonces existe

una única medida 1 2µ µ× definida en ( )1 2σ ×M M tal que:

( ) ( ) ( )1 2 1 2 1 2, F G F G F Gµ µ µ µ× × = ⋅ ∀ ∈ ∀ ∈M M y además: ( ) ( ) ( ) ( )

1 21 2 2 1 1 2 1 2 x yX X

A A d A d Aµ µ µ µ µ µ σ× = = ∀ ∈ ×∫ ∫ M M

Demostración Veamos primero que si ( )1 2A σ∈ ×M M entonces 1 xx X A∀ ∈ es

2 medibleµ − y 2 yy X A∀ ∈ es 1µ − medible.

Sea el conjunto: 1 2 2 1: , xa A A X X A x X= ⊆ × ∈ ∀ ∈M

Probaremos que 1 2: ,F G F G a× ∈ ∈ ⊆M M

X2

xA A x X1


- 113 -

y que es álgebraa σ − ⇒ la álgebraσ − generada por los rectángulos está incluida en " "a es decir ( )1 2 aσ × ⊆M M ya que:

2

si Si

si x

G x FA F G A A a

x Fφ∈ = × ⇒ = ∈ ⇒ ∈ ∉

M

• por otro lado si ( )2 2C

x xA a A A∈ ⇒ ∈ ⇒ ∈M M y como:

( ) ( ) ( ) ( ): , : ,C C Cx x

A y x y A y x y A A= ∉ = ∈ =

entonces ( ) 2C C

xA A a∈ ⇒ ∈M .

• Sea ( ) ( ) 2n nn xA a A∈ ⊆ ⇒ ∈¥ M entonces:

( ) ( ) ( ) 2: , : , para algún n n n n xn n nx

A y x y A y x y A n A∈ ∈ ∈

= ∈ = ∈ = ∈ ¥ ¥ ¥∪ ∪ ∪ M

luego 2n nn nx

A A a∈ ∈

∈ ⇒ ∈ ¥ ¥∪ ∪M

Resulta que " "a es una álgebraσ − ⇒ tiene que contener a la sigma álgebra generada por los rectángulos. Análogamente para yA .

Consideremos ahora el conjunto:

1 2 1 21

: , dos a dos disjuntos 1,...,n

i i i ii

F G F G i n=

= × ∈ ∈ ∀ = ⊇ × ∪A M M M M

A es un álgebra (ejercicio) ( ) ( ) ( )1 2 1a σ σ⇒ × ⊆ ⇒ × ⊆M M A M M A q Sean 1 2,µ µ finitas, definimos:

( ) ( ) ( )1 2 1 2 1 2 siendo con ,A F G A F G F Gµ µ µ µ× = ⋅ = × ∈ ∈M M (1)

entonces ( ) ( ) ( )2 2x FA G xµ µ χ= .

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )1

1 1

1 2 1 2 2 1

2 1 2 1

FX

F xX X

A F G G x d

G d A d

µ µ µ µ µ χ µ

µ χ µ µ µ

× = ⋅ = =

= =

∫∫ ∫

de manera natural 1 2µ µ× se extiende a A que es un álgebra y se sigue cumpliendo: ( ) ( ) ( )

1 21 2 2 1 1 2x yX X

A A d A dµ µ µ µ µ µ× = =∫ ∫ (2)

Hasta acá 1 2µ µ× es una premedida aditiva y finita en A entonces si probamos que

1 2µ µ× es continua por arriba en el vacío Lema 6.2

⇒ 1 2µ µ× es aditivaσ − .

Probemos entonces esto último. Sea ( ) ( ) 1,n n nn x

A A A x Xφ φ∈ ⊆ ⇒ ∀ ∈¥ A como en A se cumple la

igualdad (2) tenemos:


- 114 -

( ) ( )( ) ( )( )1 2

1 2 2 1 1 2n n nx yX XA A d A dµ µ µ µ µ µ× = =∫ ∫

Y como por el lema 5.2 (ii) aplicado a 2µ :

( )

( )( )2

2

0 finitan x

n nx

AA

φµ

µ

⇒ →

por otro lado ( )( ) ( )2 2 2n xA Xµ µ≤ < ∞ , y como además 1µ es finita se tiene que

( )2 2Xµ es 1 integrableµ − , luego podemos aplicar el teorema de convergencia dominada, y nos queda: ( ) ( )( ) ( )( )

1 11 2 2 1 2 1

T.C.D0

lim lim = lim 0n n nx xX Xn n nA A d A dµ µ µ µ µ µ

=

× = = =∫ ∫ 1444442444443

1 2µ µ× es aditivaσ − en el álgebra A , por el teorema de extensión, existe una

única medida 1 2µ µ× (que por comodidad seguimos llamando 1 2µ µ× ) definida en

( ) ( )1 2σ σ⊇ ×A M M que extiende a 1 2µ µ× definida como (1). Falta ver que: ( ) ( ) ( ) ( )

1 21 2 2 1 1 2 1 2 x yX X

A A d A d Aµ µ µ µ µ µ σ× = = ∀ ∈ ×∫ ∫ M M

Consideremos el conjunto donde se cumple (2) es decir: ( ) : donde se cumple la igualdad (2)H A X= ∈P

entonces H⊆A , ahora si probamos que H es una clase monótona; por definición de ( ) ( ) ( ): y es clase monótonam C X C C H m= ⊆ ⊆ ⇒ ∈A P A A y se

tiene que ( ) H⊆C A , pero por lema 6.1 ( ) ( )σ =A C A y entonces:

( ) ( ) ( )1 2 Hσ σ× ⊆ = ⊆M M A C A

• Probemos que H es clase monótona. Sea ( )n n

A H∈ ⊆¥ entonces como estamos en H:

( ) ( )( ) ( )( )1 2

1 2 2 1 1 2n n nx yX XA A d A dµ µ µ µ µ µ× = =∫ ∫

Sea nn

A A∈

=¥

∪ por el lema 5.2 (i) aplicado a 1 2µ µ× se tiene:

( ) ( )1 2 1 2n

nA Aµ µ µ µ× → ×

e igualmente ( )n xxA A 2µ es una medida, por el mismo lema:

( )( ) ( )2 2n

n xxA Aµ µ→

entonces:

( ) ( )

( )( ) ( )1 1

1 2 1 2

2 1 2 1T.C.M

nn

n xxX X

A A

A d A d

µ µ µ µ

µ µ µ µ

× → ×

→∫ ∫P


- 115 -

Luego ( ) ( )1

1 2 2 1xXA A dµ µ µ µ× = ∫

Análogamente sea ( ) ( ) tal que n nnB H B B∈ ⊆¥ entonces por estar en H:

( ) ( )( ) ( )( )1 2

1 2 2 1 1 2n n nx yX XB B d B dµ µ µ µ µ µ× = =∫ ∫

Como 1 2,µ µ son finitas 1 2µ µ⇒ × es finita y por el lema 5.2 (ii) aplicado a 1 2µ µ× , se tiene: ( ) ( )1 2 1 2

nnB Bµ µ µ µ× → ×

por otro lado como ( ) ( )n xxB B y por el mismo lema aplicada a 2µ :

( )( ) ( )2 2n xxB Bµ µ→

y como 2µ es finita ( )( ) ( )2 2 2n xB Xµ µ≤ < ∞

y 1µ finita ( )2 2 1 es Xµ µ⇒ -integrable, y podemos aplicar el T.C.D. y nos queda:

( )( ) ( )

( ) ( )

T.C.D2 1 2 1

1 2 1 2

n xxX X

n

B d B d

B B

µ µ µ µ

µ µ µ µ

→

× → ×

∫ ∫P

Por la tanto ( ) ( )1

1 2 2 1xXB B dµ µ µ µ× = ∫

q Si 1 2 y µ µ son finitosσ − , podemos escribir al conjunto 1 2X X× que ahora

llamamos X Y× , como unión de una sucesión creciente ( )n n nX Y ∈× ¥ de medida

finita donde se cumple lo anterior. Si 1 2E ∈ ×M M con el argumento precedente aplicado a ( ) n nE X Y n× ∀ ∈∩ ¥ :

( )( ) ( ) ( )1 2 2 1 1 2n n x n y nX YE X Y E Y d E X dµ µ µ µ µ µ× × = =∫ ∫∩ ∩ ∩

por ser ( )( )n nn

E E X Y∈

= ×¥

∩∪ , y ( )( )n n nE X Y E∈× ¥∩ así como ( )x n xE Y E∩

y ( )y n yE X E∩ , aplicando el teorema de convergencia monótona se llega el

resultado deseado. Definición 6.7 Sea [ )1 2: 0,f X X× → +∞ , llamamos x-sección de f a la función

[ )2: 0,xf X → +∞ tal que ( ) ( ),xf y f x y= . Y llamamos y-sección de f a la función

[ )1: 0,yf X → +∞ tal que ( ) ( ),yf x f x y= .

Proposición 6.4 (Teorema de Tonelli-Fubini) Dados ( ) ( )1 1 1 2 2 2, , y , ,X Xµ µM M espacios de medida con 1 2, finitasµ µ σ − entonces: i) Tonelli Si ( )1 2f L X X+∈ × entonces ( ) ( )2 1, x yf L X f L X+ +∈ ∈ y además:


- 116 -

( ) ( )( ) ( )( )1 2 1 2 2 1

1 2 2 1 1 2x yX X X X X Xf d f y d d f x d dµ µ µ µ µ µ

×× = =∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ( )∗∗

ii) Fubini Si ( )11 2f L µ µ∈ × entonces:

( ) ( )1 12 1 1 2 c.t.p. y c.t.p.x yf L f Lµ µ µ µ∈ − ∈ −

y además se cumple ( )∗∗ Demostración Si ( )1 2A σ∈ ×M M entonces sea Af χ= en este caso

( ) ( )xx Af y yχ= ya que:

( )( )( )

1 si ,

0 si ,x

xA

x

y A x y Ay

y A x y Aχ

∈ ⇔ ∈= ∉ ⇔ ∉

Todo se reduce a la proposición anterior. Es decir que las funciones característica cumplen con el teorema. Por linealidad se extiende a funciones simples no negativas. Si ( )1 2f L X X+∈ × cualquiera, sea ( )nϕ una sucesión de funciones simples tal que

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 1 20 , , , y lim , , ,n n nn

x y x y f x y x y f x y x y X Xϕ ϕ ϕ+≤ ≤ ≤ = ∀ ∈ ×

entonces:

( ) ( ) ( ) ( )( )

( ) ( )( )

( ) ( )( ) ( )( )

1 2 1 2 1 2

1 2

1 2 1 2

1 2 1 2 2 1T.C.M T.C.M

2 1T.C.M

2 1 2 1

lim lim

lim

lim

n n xX X X X X Xn n

n xX Xn

n xxX X X Xn

f d d y d d

y d d

y d d f y d d

µ µ ϕ µ µ ϕ µ µ

ϕ µ µ

ϕ µ µ µ µ

× ×× = × = =

= =

= =

∫ ∫ ∫ ∫

∫ ∫

∫ ∫ ∫ ∫

Análogamente se prueba que:

( ) ( )( )1 2 2 1

1 2 1 2yX X X Xf d f x d dµ µ µ µ

×× =∫ ∫ ∫

ii) Si ( ) ( )1 2

11 2 1 2X X

f L X X f d µ µ×

∈ × ⇒ × < ∞∫ y por la parte anterior entonces:

( )( )( )

1 22 1xX X

x

f y d d

α

µ µ < ∞∫ ∫144444424444443

Luego ( ) ( )11x Lα µ∈ ⇒ ( ) 1 c.t.p.xα µ< ∞ − es decir:

( )2

2xXx f dα µ= < ∞∫

lo que significa que xf (y por lo tanto xf ) ( )12L µ∈ 1c.t.p. µ− .

Por último si escribimos a f como:

( ) ( )( ) ( ) ( )( )Re Re Im Imf f f i f f+ − + −= − + −


- 117 -

como todas están en ( )11 2L µ µ× y además están en L+ ⇒ aplicando Tonelli a cada

una y rehaciendo la función f se tiene que se cumple ( )∗∗ . Observación 6.3 Dada una función 1 2:f X X× → £ , medible , para calcular

( )1 2f d µ µ×∫

se verifica que ( )11 2f L µ µ∈ × en caso afirmativo usamos Tonelli, es decir que

podemos calcular la integral, por medio de las iteradas. No tenemos que fijarnos que las secciones de f sean integrables, porque sale del teorema anterior. Observación 6.4 El teorema anterior vale para espacios de medida finitosσ − si sacamos esta hipótesis el teorema no es necesariamente cierto, así como al sacar la hipótesis de integrabilidad en la parte ii) (Fubini) Ejemplo 6.1 Consideremos la función f que vale 1 o -1 en los vértices del reticulado del dibujo y cero en el resto.

( )

1 si

1 si 2 1, 2 2 ,

e viceverza con 0,1

0 en otro caso

x y

x k y kf x y

k

=− = + = += ∈

Con 1 2µ µ= = a la medida de conteo. En cada sección nos queda cero luego la integral por iteraciones es:

( )( ) ( )( )1 2 2 1

2 1 1 2 0x yX X X Xf y d d f x d dµ µ µ µ= =∫ ∫ ∫ ∫

y como f f f+ −= + , y ( ) ( )1 2 1 2

1 2 1 2X X X Xf d f dµ µ µ µ+ −

× ×× = × = ∞∫ ∫ se tiene:

( ) ( ) ( )1 2 1 2 1 2

1 2 1 2 1 2X X X X X Xf d f d f dµ µ µ µ µ µ+ −

× × ×× = × + × = ∞∫ ∫ ∫

es decir ( )11 2f L µ µ∉ × .

Fórmula integral por partes Proposición 6.5 Sea [ ],a b∆ = ,donde los extremos pueden ser finitos o no. Sea

finitaµ σ − en ∆ y las funciones [ ]( )1, , ,f g L a b µ∈ , definimos:

( )[ ]

( )[ ], ,

, a x a x

F x f d G x g dµ µ= =∫ ∫

-1 1 4 3 1 -1 2 -1 1 1 1 -1 1 2 3 4 5 6


- 118 -

( )[ ]

( )[ ], ,

0 , 0a y a y

F y f d G y g dµ µ− = − =∫ ∫

Entonces tenemos la siguiente fórmula de integración por partes: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )0f x G x d F b G b g y F y dµ µ

∆ ∆= − −∫ ∫

Demostración Sea ( ) , ;E x y y x= ≤ y definimos:

( ) ( ) ( ) ( ), ,Eh x y f x g y x yχ= tenemos que h es medible y

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )( ), Eh x y d f x g y d

f x g y d f x d g y d

µ µ χ µ µ

µ µ µ µ

∆×∆ ∆×∆

∆×∆ ∆ ∆

× = × ≤

× = < ∞

∫ ∫∫ ∫ ∫luego ( )1h L µ µ∈ × , y por Fubini:

( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )( ) ( )

[ ]( )( ) ( )

[ ]( )

[ ]( )( ) ( ) ( )( )

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

,

, ,

, ,

0

0

0

E

y b

a b a y

h x y d g y f x x y d d

g y f x d d

g y f x d f x d d

g y F b F y d

g y F b d g y F y d

F b G b g y F y d

µ µ χ µ µ

µ µ

µ µ µ

µ

µ µ

µ

∆×∆ ∆ ∆

∆

∆

∆

∆ ∆

∆

× = =

= =

= − =

= − − =

= − − =

= − −

∫ ∫ ∫∫ ∫

∫ ∫ ∫∫∫ ∫

∫

Si ahora integramos primero en relación a y e después en relación a x tenemos:

( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )

( ) ( )[ ]( ) ( ) ( )

,

, ,E

a x

h x y d f x g y x y d d

f x g y d d f x G x d

µ µ χ µ µ

µ µ µ

∆×∆ ∆ ∆

∆ ∆

× = =

= =

∫ ∫ ∫∫ ∫ ∫

Tenemos por lo tanto: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )0f x G x d F b G b g y F y dµ µ

∆ ∆

= − −∫ ∫

con lo que queda probado el teorema.

∆ E ∆

- 119 -

Capítulo 7

Integración en espacios localmente compactos. Definición 7.1 Sea X un espacio topológico, decimos que es localmente compacto si cada punto tiene un entorno compacto que lo contiene. De acá en adelante abreviaremos LCH para referirnos a un espacio topológico localmente compacto y Haurdörff. Proposición 7.1 Si X es LCH y x X∈ , entonces la familia de entornos compactos de x es una base local de x. Demostración Sea U X⊂ tal que x U∈ . Podemos suponer que U es compacto, porque en caso contrario si F es un entorno

compacto de x, sustituimos U por U Fo

∩ , entonces como U compacto y Haurdöff implica que es normal, luego si 1 2 y F F son cerrados disjuntos en U , existen abiertos 1 2 y A A disjuntos tales que 1 1 2 2, .F A F A⊆ ⊆

Como y x U∂ son cerrados en U disjuntos ⇒ que existen A y B abiertos

disjuntos de ,U tales que , x A U B∈ ∂ ⊆ , en particular A U⊆ con A abiertos en

U y U abierto y por lo tanto A es abierto en X, además: \rA A U B U A U U= ⊆ ⊆ ⇒ ⊆ ⊆ relativo

y como U es compacto A también lo es. Luego A es un entorno compacto de x que está contenido en U.


- 120 -

Proposición 7.2 Sea X un espacio LCH, K compacto, U abierto de manera que K U X⊆ ⊆ entonces existe un abierto pre-compacto (con clausura compacta) V tal que: K V V U⊆ ⊆ ⊆ Demostración Para cada sea xx K N∈ un entorno compacto de x tal que xN U⊆ .

La familia :xN x K∈o

es un cubrimiento por abiertos de K. 1 2, ,..., nx x x K⇒ ∃ ∈

tales que 1 1compactos

j j

n n

x xj j

K N V V N= =

⊆ = ⇒ = ⇒o∪ ∪ que es compacto contenido en U.

Definición 7.2 Sea X un espacio topológico y en él una función :f X → £ definimos el siguiente conjunto llamado soporte de f , que notamos por ( )Sop f a:

( ) ( ) Sop : 0f x X f x= ∈ ≠

Definición 7.3 Sea X un espacio topológico localmente compacto y Haurdörff , definimos el siguiente espacio vectorial de funciones continuas con soporte compacto, que notamos por ( )cC X , al conjunto:

( ) ( ) : : es continua y Sop compactocC X f X f f= → £

Proposición 7.3 (Lema de Urysohn para LCH) Sea X un espacio LCH, F X⊆ cerrado y \ ,K X F⊆ compacto, entonces existe

[ ]( ), 0,1cf C X∈ es decir [ ]: 0,1f X → tal que | 1 y | 0K Ff f= = . Demostración Sean \U X F= y V como en la proposición anterior, entonces V es compacto y Haurdöff V⇒ es normal. Como y K V∂ son cerrados disjuntos en V , por el Lema de Urysohn para espacios

normales existe [ ]( ), 0,1cf C V∈ tal que | 1 y | 0K Vf f ∂= = , entonces extendemos f

a X poniendo ( ) 0 f x x V f= ∀ ∉ ⇒ es continua, ( )Sop f V⊆ y ( ) [ ]Im 0,1 ,f ⊆ donde | 1.Kf = Corolario 7.4 Si , x X F X∈ ⊆ es cerrado y x F∉ entonces [ ]( ), 0,1cf C X∃ ∈ Proposición 7.5 (Teorema de extensión de Tietze, para LCH) Si X es un espacio LCH, K X⊆ compacto y [ ]: 0,1f K → continua, entonces

existe [ ]: 0,1f X →% continua tal que:

Análisis Real Integración en LCH - 121 -

- 121 -

|Kf f=% Demostración Análoga a la anterior. Notación Si K es compacto K g≺ significa que: [ ]( ), 0,1 tal que | 1c Kg C X g∈ = Si U es abierto g U≺ significa que: [ ]( ) ( ), 0,1 tal que Sopcg C X g U∈ ⊆ Definición 7.4 Sea X un espacio topológico, A X⊆ , se dice que i i I

h ∈ es una

partición de la unidad para A si se cumple: i) [ ]: 0,1ih X → continua i I∀ ∈ ii) Para cada x A∈ existe un entorno xV de x tal que: | 0 excepto para una cantidad finita de índices

xi Vh i= ∀

iii) ( ) 1 ii I

h x x A∈

= ∀ ∈∑ .

Definición 7.5 Si U es un cubrimiento por abiertos de A se dice que la partición de la unidad i i I

h ∈ está subordinada al cubrimiento si i I U∀ ∈ ∃ ∈U tal que

( )Sop ih U⊆ . Proposición 7.6 Sean X un espacio LCH y K X⊆ compacto. Si 1,..., nU U=U es

un cubrimiento por abiertos de K, entonces existe una partición de la unidad 1

ni i

h =

de K, con ( )Sop ih compacto en 1,...,iU i n∀ = .

Demostración Para cada ,x K∈ existe entorno compacto x iV U⊆ para algún i,

entonces :xV x K∈o

es un cubrimiento de K, entonces existen 1,...,x xV V

l tal que:

1ix

i

K V=

⊆l

∪

Para cada 1,...,i n∈ sea :j ji x x i

j

K V V U= ⊆∪ , iK es compacto (es unión finita

de compactos) i∀ además:

1

y n

i i ii

K K K U=

⊆ ⊆∪

Por el Lema de Uryshon para cada i existe if tal que i i iK f U≺ ≺ , entonces


- 122 -

( )1

1 n

ii

f x x K=

≥ ∀ ∈∑

Por Lema de Urysohn existe 1nf +′ tal que:

( )1 : 0n ii

K f x f x U+ ′ > =

∑≺ ≺

Sea 1 11n nf f+ +′= − entonces 1

:n

ii

h f=

= ∑ no se anula.

Por último definimos:

1,...,ii

fh i n

h= ∀ =

( ) ( )Sop Sopi i ih f U= ⊆ y ( ) [ ]Im 0,1ih ⊆ .

Si ( )( )

( )( )

( )1

1 1 1

1 11

n n n

i i ii i i

x K h x f x f xh x h x

+

= = =

∈ ⇒ = = =∑ ∑ ∑

Definición 7.6 Una funcional lineal positiva I sobre ( )cC X es una funcional lineal

tal que ( ) ( )0 si 0 .I f f x x X≥ ≥ ∀ ∈ Observación 7.1 Si µ es una medida de Borel definida sobre compactos y

( ) K K Xµ < ∞ ∀ ⊆ compacto, entonces ( ) tal que X

I I f f dµ= ∫ es una funcional

positiva. Proposición 7.7 Si I es una funcional positiva sobre ( )cC X , entonces K X∀ ⊆ compacto existe una constante kC tal que:

( ) ( ) ( ), tal que SopK cI f C f f C X f K∞≤ ∀ ∈ ⊆

Demostración Supongamos f a valores reales. Por el Lema de Urysohn existe ϕ tal que K ϕ≺ entonces si ( )cf C X∈ tal que

( )Sop f K f f ϕ⊆ ⇒ = y tenemos:

0

f f f

f f

ϕ ϕ

ϕ∞

∞

= ≤

± ≥

aplicando I

( )( ) ( )

( ) ( )

0

0

KC

I f f

f I I f

I f f I

ϕ

ϕ

∞

∞

∞

± ≥

± ≥

⇒ ≤


- 123 -

Definición 7.7 Sea X un espacio LCH y µ una medida de Borel sobre X. Si ,XE ∈B se dice que :

• µ es exteriormente regular en E si: ( ) ( ) inf : , abiertoE U U E Uµ µ= ⊇

• µ es interiormente regular en E si: ( ) ( ) sup : , compactoE K K E Kµ µ= ⊆

• µ es regular en E si es interiormente y exteriormente regular en E. Además decimos que es exteriormente regular, interiormente regular o regular si lo en cada boreleano. Definición 7.8 Sea µ una medida de Borel sobre X se dice que µ es una medida de Radon si: i) ( ) K Kµ < ∞ ∀ compacto. ii) µ es exteriormente regular. iii) µ es interiormente regular en cada abierto. Proposición 7.8 (Teorema de representación de Riez) Sea ( ): cI C X → £ una funcional positiva, entonces existe una única medida de Radon µ tal que:

( ) ( ) cXI f f d f C Xµ= ∀ ∈∫

Además µ satisface: 1) ( ) ( ) sup : , abiertoU I f f U Uµ = ∀≺

2) ( ) ( ) inf : , compactoK I f K f Kµ = ∀≺

Demostración Primero demostraremos la unicidad, supongamos que existen dos medidas de Radon tales que ( )

XI f f dµ= ∫ .

Sea U X⊆ abierto, y sea K U⊆ compacto entonces por el Lema de Urysohn existe f tal que: K UK f U fχ χ⇒ ≤ ≤≺ ≺ e integrando ( ) ( )K UX X X

K d f d d Uµ χ µ µ χ µ µ= ≤ ≤ =∫ ∫ ∫

luego ( ) ( ) ( )K I f Uµ µ≤ ≤

y como ( ) ( ) ( ) ( )sup sup :K UU K I f f U Uµ µ µ⊆= ⇒ ≥≺

En la misma desigualdad a su vez ( ) ( )f U I f Uµ⇒ ≤≺ y pasando al supremo


- 124 -

( ) ( )sup :I f f U Uµ≤≺ por lo tanto ( ) ( ) sup : abiertoU I f f U Uµ = ∀≺

Entonces I determina µ sobre los abiertos de X, como µ es exteriormente regular entonces I determina µ sobre los bolerianos. Luego µ está determinada por I.

• Ahora demostraremos la existencia, hay que definir ( ) ( ) sup :U I f f Uµ = ≺

para todo U abierto, tiene que ser ( ) ( ) inf : , abiertoE U U E Uµ µ= ⊇ XE∀ ∈B

y probamos que se trata de una medida de Radon. Pasos a seguir: a) Definimos ( ) [ ): 0,Xµ ∗ → +∞P tal que:

( ) ( )1

inf : , abierto j j jj j

E U E U U jµ µ∞

∗

=

= ⊆ ∀

∑ ∪

es una medida exterior; veremos que: ( ) ( ) inf : , abiertoE U E U Uµ µ∗ = ⊆ y mediblesX µ ∗⊆ −B , µ ∗ extiende a µ

definida como: |

Xµ µ ∗= B

b) µ es de Radon, es decir satisface 1) y 2). c) Por último hay que probar que:

( ) ( ) cXI f f d f C Xµ= ∀ ∈∫

empecemos probando:

( ) ( )1

inf : , abierto inf : , abierto n n n Xn n

U E U U U E U U Eµ µ∞

=

⊆ = ⊆ ∀ ∈ ∑ ∪ B

La desigualdad ( )≥ ya la tenemos. Para probar la otra desigualdad consideramos un

cubrimiento por abiertos nU de E.

Sean ( )1

, , Sopnn

U U f U f K∞

=

= =≺∪ .

Como K es compacto, existe 1

tal que m

jj

m K U=

⊆ ∪ nos tomamos una parición de la

unidad de K subordinada a los jU .

Sea 1,..., mh h una partición de la unidad para K subordinada a 1,..., mU U .

Entonces ( )1

y Sop además m

j j j j jj

f f h f h U f h U=

= ⊆∑ ≺

Por tanto

( ) ( )( )

( ) ( )1 1 1

j

m m

j j jj j j

U

I f I f h U Uµ

µ µ∞

= = =

= ≤ ≤∑ ∑ ∑1442443


- 125 -

luego ( ) ( ) ( ) ( )1 1

, n nn n

I f U f U U Uµ µ µ∞ ∞

= =

≤ ∀ ⇒ ≤∑ ∑≺ .

Ahora probaremos que mediblesX µ ∗⊆ −B

Basta ver que si U es abierto, entonces U es medibleµ ∗ − . Para eso hay que ver que

si ( ) y E X Eµ∗⊆ < ∞ entonces:

( ) ( ) ( )CE E U E Uµ µ µ∗ ∗ ∗≥ +∩ ∩

Supongamos primero que E es abierto, notar que es este caso ( ) ( )E Eµ µ∗ = o sea:

( ) ( ) ( )inf : , abiertoE U E U U Eµ µ µ∗ = ⊆ ≤

Por otro lado si abierto y E U f E f U⊆ ⇒ ⇒≺ ≺ ( ) ( ) ( ) ( )sup : sup :E I f f E I g g U Uµ µ= ≤ =≺ ≺

por lo tanto ( ) ( )E Eµ µ∗ ≥ .

Como ( ) ( ) ( )E U E U Eµ µ µ∗ ∗= ≤ < ∞∩ ∩ dado 0 tal que:f E Uε > ∃ ≺ ∩

( ) ( )E U I fµ ε< +∩

Ahora ( )\ SopE f es un abierto contenido en E, entonces existe ( )\ Sopg E f≺ tal que: ( )( ) ( )\ Sop E f I f f g Eµ ε< + ⇒ + ≺

entonces ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )

( ) ( ) ( ) ( )\

\ Sop

\ Sop 2 \ 2E U

E I f g I f I g E U E f

E U E f E U E U

µ µ ε µ ε

µ µ ε µ µ ε∗

⊆

≥ + = + > − + −

> + − ≥ + −

∩

∩ ∩14444244443

Esto vale para todo 0ε > , así que queda demostrado. Si E X⊆ es cualquiera, tal que ( ) dado 0Eµ ε∗ < ∞ > existe V abierto tal que

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )

y C

C

E V E V V U V U

E U E U

µ µ ε µ µ ε

µ µ ε

∗

∗ ∗

⊆ ≥ − ≥ + − ≥

≥ + −

∩ ∩∩ ∩

Esto vale para todo 0ε > , llamemos µ a |X

µ ∗B .

Entonces µ es exteriormente regular ya que:

( ) ( ) ( ) Si inf : , abiertoXE E E U E U Uµ µ µ∗∈ ⇒ = = ⊆B

µ satisface 1) µ satisface 2) ya que ( ) K Kµ < ∞ ∀ compacto

Sea K compacto y K f≺ dado ( ) ( ) 0,1 sea : 1U x f xεε ε∈ = > − por definición

Uε es abierto y K Uε⊆ .


- 126 -

Sea ( )1 1

1 1g U f g I f I gε ε ε

⇒ > ⇒ ≥ − − ≺ luego:

( ) ( )1

1I f I g g Uεε

≥ ∀−

≺

tomando supremo en ( )I g se mantiene la desigualdad y tenemos:

( ) ( ) ( )1sup

1 g UI f I g Uε εµ

ε≥ =

− ≺

entonces ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 1 0,1I f U Kεε µ ε µ ε≥ − ≥ − ∀ ∈

( ) ( ) I f Kµ∴ ≥

por un lado ( )Kµ < ∞ y por otro

( ) ( ) inf :K I f K fµ ≤ ≺

Sea ahora 0ε > y U abierto tales que: ( ) ( ), K U U Kµ µ ε⊆ − < Por el Lema de Urysohn existe f tal que K f U≺ ≺ lo que implica ( ) ( ) ( )K I f Uµ µ≤ ≤

luego ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0 inf :I f K U K K I f K fµ µ µ ε µ≤ − ≤ − < ⇒ = ≺ µ⇒

satisface 2). µ es interiormente regular en abiertos. Tomemos un abierto y U f U≺ que existe por el Lema de Urysohn. Entonces ( ) ( ) f g I f I g g≤ ⇒ ≤ ∀ luego:

( ) ( ) ( )inf :I f I g K g U Kµ= =≺ ≺

Si ( ) ( ) y K h K gh U gh h I gh I h⇒ ≤ ⇒ ≤≺ ≺ ≺ luego:

( ) ( ) ( ) sup : sup : , compactoU I f f U K K U Kµ µ= = ⊆≺

lo que implica que µ es inferiormente regular en abiertos.

• Falta ver que ( ) ( ) cXI f f d f C Xµ= ∀ ∈∫ para lo cual basta mostrar que vale para

todo [ ]( ), 0,1cf C X∈

Sea n +∈¢ definimos ( )0 SopK f=

( ) : , 1,...,jj KK x f x j n= ≥ =

Definimos jf tal que:

( )( )

( ) ( )

1

1 1 1

si o sea

si 0

0 en otro caso

jjn n

j jj n n n

f x x K

f x f x f x− −

≥ ∈= − ≤ − <

1 \j jx K K−∈

2

n 1

n 2K 1K


- 127 -

entonces jf es continua para todo j y 1

n

jj

f f=

=∑ además:

1

1 11 abierto y

j jK j K j j jn nf K nf U U U Kχ χ− −≤ ≤ ∀ ⊇≺ ≺

luego: ( ) ( )1 1

1j j jn nXK f d Kµ µ µ −≤ ≤∫

es decir ( ) ( ) ( ) 1 abierto j j jK nI f U U U Kµ µ −≤ ≤ ∀ ⊇

Pero entonces: ( ) ( ) ( )1 1

1j j jn nK I f Kµ µ −≤ ≤

sumo

( ) ( ) ( )

( )( )

( )

1 11

1 1 1

1 11

1 1 1

n n n

j j jn nj j j

n n n

j j jn nj j j

I f

K I f K

K I f K

µ µ

µ µ

−= = =

−= = =

=

≤ ≤

≤ ≤

∑ ∑ ∑

∑ ∑ ∑144424443

luego ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( )01 11 0

1

0n

j j nn nXj

KI f f d K K K K

nµ

µ µ µ µ µ−=

− ≤ − = − ≤ →∑∫

o sea ( )X

I f f dµ= ∫ .

Proposición 7.9 Sea X un espacio LCH, µ de Radon sobre X, XE ∈B de medida σ − finita. Entonces µ es interiormente regular en E. Demostración Supongamos que E tiene medida finita. ( )Eµ < ∞

Dado ( ) ( )0 sea abierto tal que y U U E U Eε µ µ ε> ⊇ < + Como µ es interiormente regular en U existe 1K U⊆ compacto tal que:

( ) ( )1K Uµ µ ε≥ − Sea V abierto tal que 1 \V K E⊇ y:

( ) ( )1 \V K Eµ µ ε< +

Sea 1CK K V= ∩ entonces 1 1, C C CK E V K E V K E E⊆ ⊇ ⇒ ⊆ ⊆∩ ∪

1 1CK K V K E E⇒ = ⊆ ⊆∩ ∩

luego K es compacto por ser un cerrado contenido en un compacto 1K

( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

1 1 1 1

1 1

\

\

2 \ 3

CK K V K V K K V

K V U K E

E U E E

µ µ µ µ µ

µ µ µ ε µ ε

µ ε µ µ ε

= = = − >

> − > − − − >

> − − > −

∩ ∩


- 128 -

luego ( ) ( ) sup : y compactoE K K E Kµ µ ′ ′ ′= ⊆

• Sea ahora ( )Eµ = ∞ y consideremos ( )11

con y n n n nn

E E E E E nµ∞

+=

= ⊆ < ∞ ∀∪

entonces dado M ∈ ¡ sea 0n tal que:

( )0nE Mµ >

por lo anterior existe 0nK E⊆ con K compacto, tal que ( )K Mµ > ⇒

( ) sup : , compactoK K E Kµ ⊆ = ∞

y por lo tanto también se cumple que: ( ) ( ) sup : , compactoE K K E Kµ µ= ⊆

Corolario 7.10 i) Si µ es una medida de Radon finitaσ − , entonces µ es regular. ii) Si X es σ − compacto, es decir que:

1

con compacto n nn

X K K n∞

=

= ∀∪

entonces µ es regular. Corolario 7.11 Las medidas de Lebesgue-Stieljes son regulares. Definición 7.9 Un conjunto Ade un espacio X se dice que es un conjunto Fσσ en X si es igual a la unión de una colección numerable de subconjuntos cerrados de X. es con cerrado de n n

n

A X F A F F X nσ∈

⊆ ⇔ = ∀ ∈¥

¥∪

Un conjunto B de un espacio X se dice que es un conjunto Gδδ en X si es igual a la intersección de una colección numerable de subconjuntos abiertos de X. es con abierto de n n

n

B X G B G G X nδ∈

⊆ ⇔ = ∀ ∈¥

¥∩

Proporción 7.12 Sea una medida de Radon finitaσ − y XE ∈B entonces: i) Dado 0ε > existen F cerrado y G abierto tales que: ( ) y \F E G G Fµ ε⊆ ⊆ < y pasando al límite: ii) Existen y ,F Gσ δ digamos A y B respectivamente, tales que:

( ) y \A E B B Aµ ε⊆ ⊆ <


- 129 -

Demostración i) Sea ( )1

con n nn

E E Eµ∞

=

= < ∞∪ para cada nE existe nU abierto tal

que ( ) ( )2

y nn n n nU E U E εµ µ⊇ ≤ + , luego:

( ) ( )

( )

2

2\

n

n

n n

n n

U E

U E

ε

ε

µ µ

µ

− ≤

≤P

Sea 1

es abierto , y:nn

U U U U E∞

=

= ⇒ ⊇∪

( ) ( )2

\ \ \ nn n n nn nn

U E U E U E εµ µ µ ε = ≤ ≤ =

∑ ∑∪

de la misma manera existe V abierto tal que ( ) y \C CV E V Eµ ε⊇ < .

Sean : , : CG U F V= = entonces G es abierto y F cerrado y además F E G⊆ ⊆ y: ( ) ( ) ( )\ \ \ 2G F G E E F

ε εµ µ µ ε

< <= + <

ya que ( ) ( ) ( )\ \ \C

C C

E VE F E V V Eµ µ µ ε

⊆= = < .

ii) Para cada n existe nG abierto y nF cerrado tales que:

( ) 1 , y \n n n n nF E G G Fµ⊆ ⊆ < Sean:

es y es tales que y como \ \n

nn n

nn

B GA F B G A E B B A G F

A F σ δ∈

∈

= ⇒ ⊆ ⊆ ⊆ ⇒

=

¥

¥

∩∪

( ) ( ) ( )1\ \ \ 0n n nB A G F n B Aµ µ µ≤ < ∀ ∈ ⇒ =¥ . Lema 7.13 Si X es un espacio LCH σ − compacto, entonces existe una sucesión creciente de compactos tal que nK es compacto n∀

1

1

y nn nn

K K X K∞

+

=

⊆ =o ∪

Demostración Por hipótesis ⇒ existe ( )n n

H ∈¥ , con nH compacto n∀ tal que

1n

n

X H∞

=

= ∪ . Sea 1 1K H= y definimos 1 tal que C Cn n nK K K −⊆ entonces:

1 1

CC C

nn n n nK K K K K− − ⇒ = ⊆ ⇒ ⊆

o o.


- 130 -

Proposición 7.14 Sea X un espacio LCH tal que todo abierto de X es σ − compacto (por ejemplo que X satisface el 2do axioma de numerabilidad) Si µ es una medida de Borel sobre X tal que µ es finita sobre subconjuntos compactos, entonces es una medida regular (es decir que es de Radon). Demostración Como µ es finita sobre compactos, se tiene ( ) ( )1

cC X L µ⊆ .

Sea ( ) ( ): tal que c XI C X I f f dµ→ = ∫£ I⇒ es funcional positiva

Riez

⇒ existe una

única medida de Radon υ , sobre X tal que: ( )

XI f f dυ= ∫

Ahora sea U X⊆ abierto. Por el Lema existe una sucesión ( )n nK ∈¥ de compactos

tales que 1,nnK K +⊆o

y 1

nn

U K∞

=

= ∪ .

Para cada n sea 1 tal que n n n nf K f K +

o≺ ≺ , entonces ( )( )n n

f x ∈¥ es una sucesión

creciente y además ( ) ( )lim n Un

f x xχ= , por lo tanto:

( ) ( )T.C.M

lim limU n n UU d f d f d d Uµ χ µ µ υ χ υ υ= = = = =∫ ∫ ∫ ∫

y µ υ coinciden sobre abiertos. Como X es σ − compactos es finitaυ σ⇒ − . Sea XE ∈B dado 0,ε > existen F E⊆ cerrado, G E⊇ abierto, tales que:

( )\G Fυ ε< Como \G F es abierto, entonces: ( ) ( )\ \G F G Fµ υ ε= <

por lo tanto ( )\ .G Fµ ε< Como ( ) ( ) ( ) ( )\G G E E Eµ µ µ µ ε= + ≤ +

µ⇒ es exteriormente regular. Como y µ υ coinciden en abiertos y son exteriormente regulares µ υ⇒ = , o sea µ es de Radon. Como es finitaσ µ− ⇒ es regular. Proposición 7.15 Sea es espacio X LCH y µ una medida de Radon sobre él,

entonces ( )cC X es denso en ( )1L µ . Demostración Basta probar que si ( ) tal que XE Eµ∈ < ∞B entonces dado 0ε >

existe ( )cf C X∈ tal que:


- 131 -

1Ef χ ε− <

Sea K E⊆ compacto, y U E⊇ abierto, tomamos: K UK f U fχ χ⇒ ≤ ≤≺ ≺ por otro lado como K E UK E U χ χ χ⊆ ⊆ ⇒ ≤ ≤ entonces:

\E U K U Kf χ χ χ χ− ≤ − = o sea ( )\1 1

\E U Kf U Kχ χ µ− ≤ =

como µ es regular en conjuntos finitosσ − se puede tomar U y K tales que: ( )\U Kµ ε< Proposición 7.16 (Teorema de Lusin) Sea X un espacio LCH y µ una medida de Radon sobre X Si :f X → £ es medible y el conjunto ( ) : 0E x X f x= ∈ = tiene medida finita,

entonces dado 0ε > existe una función continua ϕ tal que: ( ) ( ) ( ):x X f x xµ ϕ ε∈ ≠ <

Además en el caso que f esté acotada se puede tomar ϕ tal que: fϕ ∞ ∞≤

Demostración Supongamos primero que f está acotada, entonces ( ) ( )1

Ef d f d f E f Lµ χ µ µ µ∞ ∞≤ = < ∞ ⇒ ∈∫ ∫

y como ( ) ( )1 1cC X L µ

⋅= y toda sucesión convergente en ( )1L µ a f tiene una

subsucesión que converge c.t.p. µ− a f, entonces existe una sucesión ( ) ( )n cC Xϕ ⊆

tal que c.t.p.n fµϕ −→ .

Como ( )Eµ < ∞ , por el teorema de Egoroff existe F E⊆ tal que: ( ) c.u.

1\ y sobre nE F f Fµ ε ϕ< → y como µ es regular en F y en E existen los conjuntos U E⊇ abierto, y K F⊆ cerrado tal que: ( ) ( )2 3\ y \U E F Kµ ε µ ε< < Sea 0 lim |n K

nϕ ϕ= , al ser nϕ continuas y convergentes uniformemente en K

( )0 cC Kϕ ∈ , entonces por el teorema de Tietze existe ( )cC Kϕ ∈ tal que:

( )0| y SopK Uϕ ϕ ϕ= ⊆

notar además que ( ) ( )0 x f x x Kϕ = ∀ ∈ .

Por otro lado, si ( ) ( )0x U x f xϕ∉ ⇒ = = , luego


- 132 -

( ) ( ) : \x X x f x U Kϕ∈ ≠ ⊆

y ( ) ( ) ( ) ( ) 2 1 3 2\ \ \ \U K U E E F F K εµ µ µ µ ε ε ε= + + < + + < Para ver que se puede elegir ϕ tal que fϕ ∞ ∞≤

consideramos :β →£ £ definida como sigue:

( ) si

si zz

z z fz

f z fβ ∞

∞ ∞

≤= >

Sea fψ β ϕ ψ ∞ ∞= ⇒ ≤o ya que:

ψ es continua y si ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( )f x x x x f x f xϕ ψ β ϕ β= ⇒ = = = y esto

implica ( ) ( ) ( ) ( ) : :x X x f x x X x f xψ ϕ∈ ≠ ⊆ ∈ ≠ y este último tiene medida

menor que ε , luego el incluido tiene medida menor que ε . Ahora si f no está acotada sea:

( ) 11

: 0 con n n n nn

E x X f x n E E E E n∞

+=

= ∈ ≤ ≤ ⇒ = ⊆ ∀∪

y como ( ) ( )00 2, tal que \ nE n E E εµ µ< ∞ ∃ < , por el teorema de Lusin para

funciones acotadas, aplicado a 0nEf χ existe ϕ continua tal que:

( ) ( ) ( ) ( )0

2:nEx X x f x x εµ ϕ χ∈ ≠ <

entonces ( ) ( ) ( ) 2 2:x X x f x ε εµ ϕ ε∈ ≠ < + <

- 133 -

Apéndice

Teoría Ergódica Definición a-1 Sea ( ), ,X µM un espacio de medida, decimos que una transformación :T X ↵ preserva medida (o que es µ − invariante sobre T) si para

todo A∈M su pre-imagen ( )1T A− también pertenece a M y ( ) ( )( )1A T Aµ µ −=

También decimos que µ es T- invariante. El tema de la Teoría Ergódica es la dinámica de las transformaciones que preservan medida. Proposición a.1 (Teorema de recurrencia de Poincaré)Sea :T X ↵ que preserva medida, de espacios de probabilidad ( ), ,X µM .Entonces para todo A∈M , el conjunto:

( ) 0 : , para infinitos valores de 0nA x A T x A n= ∈ ∈ ≥

pertenece a M y ( ) ( )0 .A Aµ µ= Demostración Sea ( ) : j

nC x A T x A j n= ∈ ∉ ∀ ≥ . Es claro que:

01

nn

A A C∞

=

= −∪

Por lo tanto el teorema queda demostrado si probamos que nC ∈M y ( ) 0nCµ = para todo 1n ≥ . Observamos que: ( )j

nj n

C A T A−

≥

= −∪

lo que prueba que nC ∈M y como

( ) ( ) ( )0

,j j jn

j n j j n

C A T A T A T A− − −

≥ ≥ ≥

= − ⊂ −∪ ∪ ∪

Análisis Real Apéndice - 134 -

- 134 -

resulta

( ) ( ) ( )0

j jn

j j n

C T A T Aµ µ µ− −

≥ ≥

≤ −

∪ ∪

más

( ) ( )0

,j n j

j n j

T A T T A− − −

≥ ≥

=

∪ ∪

de modo que

( ) ( ) preserva medida0 0

n j j

Tj j

T T A T Aµ µ− − −

≥ ≥

=

∪ ∪

lo que implica que ( ) 0nCµ = . Definición a.2 Sea ( ),X M un espacio medible con X compacto, y consideremos

todas las medidas µ de probabilidad definida en ( ),X M , que llamamos

( ) ( ) en , de probabilidadM X Xµ= M

Sea :T X ↵ µ -invariante sobre T. y definimos ( ) ( ) : es invarianteTM X M X Tµ µ= ∈ −

Antes de ver la versión Topológica del teorema de recurrencia repasaremos algunos conceptos. Definición a.3 Sea ( ),V i un espacio vectorial normado, definimos el espacio dual como: : , funcional lineal continuas V V Kϕ∗ = → Si tenemos una transformación lineal :T V W→ se puede definir una norma de forma natural como: ( )1sup xT T x==

consideremos el conjunto de los operadores T tal que: ( ) ( )1sup ,xT T x B V W== < ∞ =

esta norma se le llama norma operador. Definición a.4 Sea X un espacio topológico, ( ),X ¡ el espacio producto

:X f X= →¡ ¡ la topología producto.

Recordar que si ( )n nf ∈ ∈ ¥¥ ¡ , entonces nf f→ con la topología producto si y solo

sí ( ) ( ) nf x f x x X→ ∀ ∈

Análisis Real Teoría Ergódica - 135 -

- 135 -

Si X es un espacio vectorial XX ∗ ⊂ ¡ , a la topología producto en el dual se le llama ω ∗ , continua son acotadas⇔ En el dual podemos definir la norma operador (que es más fuerte que la topología débil). Proposición a.2 Sea : 1B f X f∗ ∗= ∈ ≤ , es B ω∗ ∗ − compacto y si X es

normado y separable entonces B∗ es métrico y por lo tanto secuencialmente compacto Demostración Vamos a construir K compacto tal que B K∗ ⊂ y B∗ es cerrado. Para cada x X∈ vemos que [ ],xD x x= − ⊂ ¡ y sea

xx X

K D∈

= ∏

por el Teorema de Tijonov K compacto. Probaremos que B K∗ ⊂ Sea ( ) y como 1 f B f x X f x x f K∗∈ ≤ ⇒ ∀ ∈ ≤ ⇒ ∈

ya que en general ( ) B VT x T x

ω≤

Veamos ahora que es cerrado.

Sea f Bω∗

∗∈ entonces ( ) ˆ tal que n nf B f fω∗∗∃ ⊂ →

f es lineal ( límite puntual de lineales) , si probamos que ˆ 1 tal que 1f x x≤ ∀ ≤

entonces ˆ ˆ ˆ acotada f B f f∗∈ ⇒ ⇒ es continua

Como ( )nf B∗⊂ ⇒ ( ) 1 tal que 1nf x n x≤ ∀ ∈ ≤¥ entonces:

( ) ( ) ( ) ( ) 0ˆ ˆ 1 n nf x f x f x f x n nε≤ − + ≤ + ∀ ≥

como el 0ε > es arbitrario ( )ˆ 1 tal que 1f x x x≤ ∀ ≤ o sea que:

ˆ ˆ1f f B∗≤ ⇒ ∈

Ahora probaremos la metrización de ( ),B ω∗ ∗ , para lo cual vamos a construir un

homeomorfismo entre [ ] y donde 0,1B I D D∗ ⊂ =¥ .

Como X es separable 1B x= ≤ , sea ( ) ( ) tal que n nx B x B⊂ = .

Definimos : B I Dτ ∗ → ⊂ ¥ como: ( ) ( )n n

f f xτ ∈= ¥

Proposición a.3 (Teorema de Rierz) Sea X compacto y si llamamos ( ) : , C X f X continuas= → ¡ su dual

( ) ( ) : , C X C X continuas y linealesϕ∗ = → ¡ , para toda ( )C Xϕ ∗∈ existe una


- 136 -

única medida µ (medida signada) en ( ),X B con B la sigma álgebra de Borel, tal que:

( ) ( ) X

f f d f C Xϕ µ= ∀ ∈∫

además si ( )( )0 0 tal que 0f f fϕ ϕ≥ ≥ ∀ ≥ entonces µ es una medida y

( ) ( )1 1 1Xϕ µ= ⇒ = (Donde ( )1 C X∈ es una función idénticamente 1).

Si X es compacto ( )C X es separable. Proposición a.4 Sea X compacto y :T X ↵ continua entonces ( )TM X φ≠ Demostración Consideremos el siguiente conjunto: ( ) ( ) ( ) : 1 1, 0 si 0P C X f fϕ ϕ ϕ∗= ∈ = ≥ ≥

P es convexo ya que, si , Pψ ϕ ∈ entonces:

( ) ( ) [ ]1 0,1C Xλψ λ ϕ λ∗+ − ∈ ∀ ∈

porque ( )0 0

1 0λψ λ ϕ≥ ≥

+ − ≥ y además ( ) ( ) ( ) ( )1 1 1 1 1λψ λ ϕ λ λ+ − = + − = .

P es compacto ( compactoω ∗ ) (secuencialmente compacto) entonces para eso

vemos que P B∗⊂ secuencialmente y que P es cerradoω ∗ − Sea ( ) 1P X Bϕ ϕ µ ϕ ∗∈ = = ⇒ ∈

Sea ( ) tal que n nP ωϕ ϕ ϕ∗

⊂ → entonces:

( ) ( ) continua nf f fϕ ϕ∀ →

y como ( ) ( ) ( )Id 1 1 1 y 0 0n n f fϕ ϕ ϕ= ∀ ⇒ = ≥ ⇒ ≥ entonces ( )n f Bϕ ∗∈

implica que Bϕ ∗∈ es acotado ϕ⇒ continua. Observación a.1 Sea :F D P→ definida como: ( )( ) ( )F f f Tϕ ϕ= o

Supongamos que ϕ∗ es tal que ( )F ϕ ϕ∗ ∗= es decir:

( ) ( ) ( )

( )X X

f T f f C X

f T d f d f C X

ϕ ϕ

µ µ

∗ ∗= ∀ ∈

= ∀ ∈∫ ∫Po

o

Si Af χ= se tiene:

A AX XT d dχ µ χ µ=∫ ∫o

como

( )1A T ATχ χ −=o se tiene:


- 137 -

( ) ( )

( )( ) ( )

1

1 .

T AXd A

T A A

χ µ µ

µ µ

−

−

=

=

∫P

Veamos que F tiene un punto fijo • F es lineal ya que:

( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ).

F f T f T f T

F F

αϕ βψ αϕ βψ αϕ βψ

α ϕ β ψ

+ = + = + =

= +

o o o

• F es ω ∗ continua.

Sea tal que n nωϕ ϕ ϕ

∗ ∗→ entonces:

( )( ) ( ) ( ) ( )n nF f f T f T Fϕ ϕ ϕ ϕ∗ ∗= → =o o

continua ϕ⇒ cualquiera P∈

Sea ( )1

1

0

ni

n n F Pϕ ϕ−

= ∈∑ por ser convexo, existe una subsucesión que seguimos

llamando nϕ tal que n Pϕ ϕ∗→ ∈ y por la continuidad de F ( ) ( )nF Fϕ ϕ∗→ y de la

linealidad de F ( ) ( ) ( ) ( )11n

n Fin n nn n nF F Fϕϕϕ ϕ ϕ ϕ+= = − + →∑ si ( ) 0

nFn

ϕ →

( ) ( )

( )( ) ( )

1

1 1

1

0

nn

n

n nn n

FF

nf

F f F fn

ϕϕ

ϕ ϕ≤

=

≤ ⋅ ≤ →

Lema a.5 (Ergódico maximal) Sea ( )1f L µ∈ y :T X ↵ que preserva medida

consideremos el conjunto ( ) 00

: sup 0n

jn

j

E f x f T≥=

= >

∑ o entonces:

( )

0E f

f dµ ≥∫

Demostración Para cada x definimos:

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )( )0

max , ,...,n

jn

j

f x f x f x f T x f T x=

= +

∑

Llamemos ( ) : 0n nE x f x= > como 1n n nf E E +⇒ ⊂ y por definición

( ) nn

E f E∈

=¥

∪ es decir ( )nE E f , y sea ( )1 entonces

nn E n E ff f f f Lχ χ= ∈ por

convergencia monótona ( )n E fX X

f d f dµ χ µ→∫ ∫


- 138 -

Si probamos que ( ) ( ), 0 0n E fX X E f

n f d f d f dµ χ µ µ∀ ∈ ≥ ⇒ = ≥∫ ∫ ∫¥

Y como n

nn EX X E

f d f d f dµ χ µ µ= =∫ ∫ ∫ Probaremos que 0nE

f dµ ≥∫

Afirmación 1 Si 0 n n nf T f T f f n≥ ⇒ + ≥ ∀o o Demostración de la afirmación, observemos que tal que 0m m n∀ ≤ ≤ se tiene:

( ) ( )0

mj

nj

f x f T x=

≥ ∑ o

de donde

( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )1

1

0 0

0,1,...,m m

j jn

j j

f T x f x f T x f x f T x m n+

+

= =

+ ≥ + = ∀ =∑ ∑o o

entonces en particular

( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )1

10

0

maxm

jn n n

m nj

f T x f x f T x f x f x+

+≤ ≤=

+ ≥ = ≥∑ o

o sea ( )( ) ( ) ( )n nf T x f x f x+ ≥ cuando ( )( ) ( ) ( ) ( )( ) 0n nf T x f x f x f T x+ ≥ ⇒ ≥ lo

que prueba la afirmación. Afirmación 2 Si ( ) ( ) ( ) ( )0 y 0 n n nf x f T x f x f x≥ < ⇒ =o

Demostración de la afirmación 2. Como ( ) ( )1

0

0n

jn

j

f T x f T x+

=

> ≥ ∑o o entonces

para los distintos valores de n se tiene:

( )( )( )( ) ( )( )

( )( ) ( )( ) ( )( )

2

2

0

0

0

... 0m

f T x

f T x f T x

f T x f T x f T x

<

+ <

<

+ + <

M M

entonces

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )10

0

max , ,...,n

jn

j

f x f x f x f T x f x f T x f x=<

<

= + + =

∑ o144424443 1444442444443

lo que prueba la afirmación 2. Para probar que

00

nff dµ

>≥∫ alcanza con probar que

00

nff dµ

≥≥∫

0 0 0 0 0n n n n nf f f T f f T

f d f d f dµ µ µ≥ ≥ < ≥ ≥

= +∫ ∫ ∫∩ o ∩ o

y como por la afirmación 1 siempre que 0n n nf f f T f T≥ − ≥o o y por la afirmación 2 si 0 y 0n n nf f f f T= ≥ <o se tiene entonces sustituyendo en la anterior igualdad:


- 139 -

0 0 0 0 0 0 0

0 0 0

n n n n n n n

n n n

n n nf f f T f f T f f T

n nf f f T

f d f d f d f T d

f d f T

µ µ µ µ

µ

≥ ≥ < ≥ ≥ ≥ ≥

≥ ≥ ≥

≥ + −

−

∫ ∫ ∫ ∫

∫ ∫

∩ o ∩ o ∩ oP

∩ o

o14444444444444444244444444444444443

o

Además como T preserva medida ( )10 0n n

n nf T ff d f T dµ µ

−≥ ≥=∫ ∫ o y sustituyendo

( ) 10 0 0 0n n n n

n nf T f f f Tf d f T d f T dµ µ µ

−≥ ≥ ≥ ≥≥ −∫ ∫ ∫ ∩ o

o o

y como ( ) 1 0 0 0 0n n n nT f f T f f T− ≥ = ≥ ⊃ ≥ ≥o ∩ o luego:

0 0 0 0

0n n n n

n nf f T f f Tf d f T d f T dµ µ µ

≥ ≥ ≥ ≥≥ − ≥∫ ∫ ∫o ∩ o

o o

como se quería probar. Como corolario de este lema tenemos: Corolario a.6 Para todo ( )A E f⊂ tal que ( )1T A A− = (medible e invariante) se tiene que 0

Af dµ ≥∫

Demostración ( )AE f Aχ = ya que:

( ) ( ) ( ) ( )jj j j

A AT Aj j jf T f T f Tχ χ χ−= =∑ ∑ ∑o o o

y entonces

( ) ( ) : sup 0jA Aj

E f x f T Aχ χ= > =∑ o

Proporción a.7 (Teorema de Birkhoff) Sea ( ), ,X µM un espacio de probabilidad :T X ↵ que preserva µ entonces

( ) ( )1

11

0

: lim 0 n

jnn

j

x f T x f Lµ µ−

=

∃ = ∀ ∈

∑ o

Demostración Definimos:

( ) ( )

( ) ( )

11

0

11

0

: lim

: lim

nj

nj

nj

nj

E f x f T x

E f x f T x

α

α

α

α

++

=

−+

=

= >

= <

∑

∑

o

o

Sea ( )nα una sucesión real tal que ( )nα = ¡ entonces:


- 140 -

1 11 1

0 0

: lim limn m

n m

n nj j

n nj j

x f T f T E Eα αα α

+ −+ +

= = >

> =

∑ ∑o o ∩∪

queremos probar que ( ) 0 E Eα βµ α β+ − = ∀ >∩

Afirmación ( )

( )( )( )

( )( ) y E f E f

f E f f E fα β

α βαµ βµ+ −

+ −≥ ≤∫ ∫

Observemos primero que: 1) ( ) ( )E f E fβ β

− +−= −

2) ( ) ( )0E f E fα α+ += − Demostración de la afirmación

( )

( )( )

( )( )( )

( )( )( )

0

E f E f

E f

f d f d E f

f d E f

α αα

αα

µ α µ αµ

α µ αµ

+ +

+

+

+

−

= − + =

= − +

∫ ∫∫

para probar la afirmación entonces alcanza con probar que ( )( )0

0E f

f dα

α µ+ −

− ≥∫ y

para eso aplicamos el corolario del Lema: como ( ) ( )0E f E fα α+ − ⊂ − y ( )( ) ( )1

0 0T E f E fα α− + +− = − ya que:

( )( ) ( ) ( )

( )

( )

10 0

111

0

01

1 101

0

:

: lim 0

: lim 0

nj

nj

nf xjn

n n nj

T E f x T x E f

x f T

x f T E f

α α

α

α α

− + +

−+

=

→→++

+=

− = ∈ − =

= − > =

= − − > = −

∑

∑

o

oEF EF

y por el corolario del lema ( )0

0E f

fα

α+ −

− ≥∫

Más aun si ( ) ( )1 y A E f T A Aα+ −⊂ = entonces:

( )A

f Aαµ≥∫

aplicamos el corolario del Lema para el caso ( ) ( ) ( )0A E f E f E fα α α+ +⊂ = − ⊂ −

( )

0

A

A

f

f A

α

αµ

⇒ − ≥

−

∫

∫P

análogamente con la otra desigualdad: ( ) ( ) ( )1 y

Af A A E f T A Aββµ − −≤ ∀ ⊂ =∫


- 141 -

Sea α β> y consideremos ( ) ( )A E f E fα β+ −= ∩ tenemos que ver que ( )1T A A− =

pero como cada uno es invariante ⇒ la intersección también, entonces: ( ) ( )

AA f Aβµ αµ≥ ≥∫

pero como α β> tiene que ser ( ) 0Aµ = luego ( ) ( )( ) 0E f E fα βµ + − =∩

Corolario a.8 Si pf L∈ sea ( ) ( )1

1

0

ˆ limn

jnn

j

f x f T x−

=

= ∑ o llamado promedio de

Birkhoff, entonces ˆ pf L∈ y ˆpp

f f≤ .

Demostración Hay que probar que 1ˆ pf L∈

Observamos que

( ) ( )( ) ( )1 1

1 1

0 0

ˆ lim lim c.t.p.n n

j jn nn n

j j

f x f T x f T x µ− −

= =

= ≤ −∑ ∑ o

y este último límite existe por el Teorema de Birkhoff entonces:

( ) ( )1

1

0

ˆ limp

npj

nnj

f x f T x−

=

≤

∑ o ( )1

como ( )ˆ pf x es una función positiva, para probar que es integrable basta con

mostrar que el límite de la derecha define una función integrable, lo que por el Lema de Fatou se reduce a mostrar que:

1

1

0

lim .p

nj

nn j

f T dµ−

=

< ∞

∑∫ o

Más

1 11 1

0 0

1 11 1

0 0

p pn n

j jn nX

j j p

p pn n

pjn n p pp

j j

f T d f T

f T f f

µ− −

= =

− −

= =

= ≤

≤ = =

∑ ∑∫

∑ ∑

o o

o

donde en la última igualdad usamos que jpp

f T f=o porque jT preserva

medida. Por tanto el límite de la derecha en ( )1 define una función integrable con

integral p

pf≤ esto muestra que ˆ p

f es integrable y que su integral también es p

pf≤ lo que implica que ˆ pf L∈ y que:


- 142 -

ˆpp

f f≤

Corolario a.9 Si pf L∈ con 0 p≤ ≤ ∞ entonces:

1

1

0

ˆ 0 n

jn

j p

f f T−

=

− →∑ o

Demostración Consideremos primero el caso p = ∞ entonces si f L∞∈ ⇒

11

0

1 11 1

0 0

ˆ lim

lim lim

pnp

jnn

j

pp

n npj

n nn nj j

f

f f T

f T f f

∞

−

=

− −

∞ ∞∞= =

=

≤ ≤

≤ ≤ =

∑

∑ ∑

o

o144424443

entonces

( )

1 1 11 1 1

0 0 0

11 11

0

ˆ ˆ ˆ

ˆ2 2 2

p p pn n n

j j jn n n

j j j

p

np p p pp j p pn

jf

f f T f f T f f T

f f T f f f

∞

− − −

∞∞= = =

−− −

∞ ∞ ∞∞∞=

=

− ≤ + ≤ + ≤

≤ + ≤ + =

∑ ∑ ∑

∑

o o o

o144424443

por lo tanto como la sucesión 1

1

1

ˆp

nj

nj

f f T−

=

− ∑ o esta dominada por una constante,

luego por el teorema de convergencia dominada su integral converge a cero, lo que prueba el corolario para el caso f L∞∈ .

• Sea ahora con 0pf L p∈ ≤ < ∞ .

Como 0pL L f L∞ ∞= ⇒ ∃ ∈ tal que 0 pf f ε ′− < entonces:

3

1 1 1 11 1 1

0 0 00 0 0 0

0

ˆ ˆ ˆ ˆn n n n

j j j jon n np

j j j jp p p

f f T f f f f T f T f T

ε

− − − −

= = = =<

→

− ≤ − + − + −

∑ ∑ ∑ ∑o o o o

144424443 14444444244444443

y como:

·0 0 0

ˆ ˆ3pp p

f f f f f f ε ′− = − ≤ − <

y por ser 0f L∞∈ tenemos que:


- 143 -

1

10 0

0

ˆ 0n

jn

j p

f f T−

=

− →∑ o

y el último sumando

( )

( )

1 1 11 1

0 00 0 0

1 11 1

0 0 00 0

3

n n nj j j

n nj j j pp

n nj

n n p ppj j

f T f T f f T

f f T f f f f ε

− − −

= = =

− −

= =

− = − ≤

′≤ − = − = − <

∑ ∑ ∑

∑ ∑

o o o

o

Corolario a.10 Si con 0pf L p∈ ≤ ≤ ∞ para c.t.p. ˆ ˆf T f=o Demostración

( )( ) ( )( )( ) ( )( )

( ) ( )

( )

( ) ( )

1 111 1

0 0

11 1 11

1 01 0ˆ

ˆ lim lim

ˆlim lim

n nj j

n nn nj j

n nj jn

n n n nn nj j

f x

f T x f T T x f T x

f T x f T x f x f x

− −+

= =

++

= =→ →

→

= = =

= = − =

∑ ∑

∑ ∑o o 1442443144444424444443

Corolario a.11 En las mismas hipótesis que el corolario anterior, entonces ˆ

X Xf d f dµ µ=∫ ∫

Demostración

1

11

0

ˆn

Ljn

j

f T f−

=

→∑ o

lo que implica

1 1

1 1

0 0

ˆ ˆ 0n n

j jn n

j j

f f T d f f T dµ µ− −

= =

− ≤ − →

∑ ∑∫ ∫o o

o sea

1

1

0

ˆ 0n

jn

j f

f f T−

= =

− →∑∫ ∫ o1442443

es decir que

no depende de

ˆ ˆ0 0n

f f f f− → ⇒ − =∫ ∫ ∫ ∫

por lo tanto en casi todo punto vale ˆ

X Xf d f dµ µ=∫ ∫


- 144 -

Índice alfabético

- 145 -

Álgebra de conjuntos 3 Borel medible 30 Casi todo punto 39 Cauchy en medida 66 Clase monótona 108 Clase monótona generada 108 Completa 14 Completación 15 Conjunto Fσ 126 Conjunto Gδ 126 Conjunto de Cantor 24 Continuidad absoluta del integral

78 Convergencia casi uniformemente

63 Convergencia en 1L 63 Convergencia en casi todo punto

63 Convergencia en medida 63 Convergencia puntual 63 Convergencia uniforme 63 Derivada de Radon-Nikodin 93 Descomposición canónica 102 Descomposición de Hahn 88 Descomposición de Jordan 88 Desigualdad de Hölder 73 Desigualdad de Jensen 71 Desigualdad de Markov 76 Desigualdad de Minkowski 74 Equicontinua superiormente al

vacío 78 Espacio de medida completa 14 Espacio Dual 132 Espacio normado ( )1L µ 52 Espacio normado 52 Espacio seminormado 52 Espacios pL 69 Extensión de medida 11

Exteriormente regular 121 Fórmula integral por puntos 131 Función absolutamente continua

101 Función característica 35 Función continua con soporte

compacto 118 Función convexa 71 Función elemental 36 Función elemental de conjuntos 10 Función indicadora 35 Función inegrable 39 Función medible 29 Función notable de Cantor-

Lebesgue 27 Función simple 36 Funcional lineal positiva 120 Funciones complejas 51 Integral de funciones cualesquiera

49 Integral de Riemann vs Integral de Integral indefinida de Lebesgue

100 Interiormente regular 121

( ),L X+ M 34 Lebesgue 60 Lebesgue medible 30 Lema de Fatou 48 Lema de la clase monótona 108 Lema de Riez 96 Lema de Urysohn para LCH 118 Lema Ergódico maximal 135 Localmente compacto 117 Medible en un conjunto E 32 Medida absolutamente continua

respecto de otra 89 Medida con signo 85 Medida de Borel 17 Medida de Borel-Stieljes 20

- 146 -

Medida de Dirac 22 Medida de Lebesgue 22 Medida de Radon 121 Medida exterior 8 Medida finita 6 Medida inducida 10 Medida nula 14 Medida producto 107 Medida singular respecto de otra

88 µ − integrables 49

µ ∗ − medible 8 µ − negativo 86 µ − nula 86 µ − positivo 86 Mutuamente singulares 88 Norma operador 132 Norma p 70 Partición de la unidad 119 Premedida 6 Pull-back 31 Pull-forward 31 Puntos invisibles por derecha 95 Puntos invisibles por izquierda 95 Rectángulo medible 105 Regular 121 σ − álgebra 4 σ − álgebra de Borel 6 σ − álgebra de Lebesgue 22 σ − álgebra generada 5 σ − álgebra inicial 32 σ − finita 6 Seminorma 52 Soporte de una función 118 Teorema de aproximación 16 Teorema de Birkhoff 137 Teorema de convergencia

dominada 54

Teorema de convergencia monótona (Beppo Levi) 45

Teorema de descomposición de Jordan 88

Teorema de Egoroff’s 67 Teorema de extención de Títese

para LCH 118 Teorema de Fubini 1 109 Teorema de Hahn-Jordan 86 Teorema de Lusin 129 Teorema de Radon-Nikodin-

Lebesgue 89 Teorema de recurrencia de

Poincaré 131 Teorema de Representación de

Riez 121 Teorema de Rierz 133 Teorema de Tarsk 3 Teorema de Tonelli-Fubini 110 Teorema de Vitali 78 Transformación que preserva

medida 131 Uniformemente absolutamente

continua 77 Variación negativa 88 Variación positiva 88 Variación total 89 x-sección de f 112 y-sección de f 112

Análisis Real - archive.cmat.edu.uy

Documents

Transcript of Análisis Real - archive.cmat.edu.uy