ANTENAS 1

© Miguel Ferrando, Alejandro Valero. Dep. Comunicaciones. Universidad Politécnica de Valencia

Antena Rómbica Las antenas rómbicas son antenas de banda ancha Una antena rómbica está formada por una línea de transmisión, que se abre en forma de rombo, la línea se termina en una carga adaptada. Los cuatro lados del rombo (situados en el plano XY) se pueden modelar por hilos por los que circula una onda progresiva. Obtener el vector de radiación y los campos radiados por dicha antena, en función de las dimensiones del rombo y del ángulo en el vértice. Calcular la polarización en el plano XY

Solución

Suponemos que la corriente en el hilo superior es positiva y en el hilo inferior negativa. La progresión de fase es en el mismo sentido. Vamos a despreciar la dimensión de la línea de transmisión y de la carga. Los cuatro hilos tienen las siguientes orientaciones

x

y

h α

2 1

3 4

ANTENAS 2

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1

2

3

4

ˆ ˆ ˆcos sinˆ ˆ ˆcos sinˆ ˆ ˆcos sinˆ ˆ ˆcos sin

u x yu x yu x yu x y

α αα αα αα α

= += −= −= +

Las coordenadas de los centros de los hilos son

1 2 3 4

1 2 3 4

cos2

sin2

hx x x x

hy y y y

α

α

− = = − = =

= = − = − =

Para un hilo orientado según el eje z el vector de radiación es

( )

'( ')sinˆ

( ) cos 12 2

jkz

z

I z IeuN zIh

uk k h khu θ

−=

=

−= = −

En el caso general de un hilo orientado en la dirección u, el vector de radiación sería

( ) ( )

'( )sinˆ

( ) ˆ ˆcos 1 12 2 2

jku

u

I u IevN uIh

vk k h kh khv u rχ

−=

=

−= = − = ⋅ −

Además es necesario tener en cuenta que los hilos no se encuentran situados en el origen de coordenadas, sino centrados en los puntos (xi,yi) El vector de radiación será por tanto

( )

( )

4

1

sin ˆ

ˆ ˆ 12

x i y ij k x k y ii i i

i i

i i

vN I h e uv

khv u r

+

=

⎛ ⎞= ⎜ ⎟

⎝ ⎠

= ⋅ −

∑

En principio esta expresión sería suficiente para realizar un programa que permitiese el cálculo de la radiación.

ANTENAS 3

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Si se pretende obtener una expresión en coordenadas esféricas, es necesario desarrollar la expresión, aprovechando las simetrías del problema. El vector de radiación de los cuatro hilos del rombo es

cos sin cos sin2 2 2 2 1

11

cos sin cos sin2 2 2 2 2

22

sin ˆ

sin ˆ

x y x y

x y x y

h h h hj k k j k k

h h h hj k k j k k

vN Ih e e uv

vIh e e uv

α α α α

α α α α

⎛ ⎞ ⎛ ⎞− + −⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ − −⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

⎛ ⎞⎛ ⎞⎜ ⎟= − +⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠

⎛ ⎞⎛ ⎞⎜ ⎟+ −⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠

Simplificando los términos de fase

11

1

22

2

cos sin sin ˆ2 sin2 2

cos sin sin ˆ2 sin2 2

x y

x y

h h vN Ih j k k uv

h h vIh j k k uv

α α

α α

⎛ ⎞⎛ ⎞⎛ ⎞= − + +⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠⎝ ⎠⎛ ⎞⎛ ⎞⎛ ⎞+ +⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠⎝ ⎠

( )

( )cos sin sin cos

cos sin sin cosx y

x y

k k k

k k k

α α θ φ α

α α θ φ α

− + = − −

+ = +

( )( )

( )( )

11

1

22

2

sin ˆ2 sin sin cos2

sin ˆ2 sin sin cos2

vkhN Ih j uv

vkhIh j uv

θ φ α

θ φ α

⎛ ⎞⎛ ⎞⎛ ⎞⎛ ⎞= − + +⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠⎝ ⎠⎝ ⎠⎛ ⎞⎛ ⎞⎛ ⎞⎛ ⎞+ −⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠⎝ ⎠⎝ ⎠

La expresión del vector de radiación tiene dos términos, correspondientes a los lados del rombo paralelos: 1,4 y 2,3

( )1 1 2 2ˆ ˆN N u N u= + El siguiente paso es obtener las expresiones de N en coordenadas esféricas

( )( )

1 1 2 2

1 1 2 2

ˆ ˆˆ ˆˆ ˆˆ ˆ

N N N u N u

N N N u N uθ

φ

θ θ

φ φ

= ⋅ = + ⋅

= ⋅ = + ⋅

Para ello es necesario calcular las siguientes proyecciones

( ) ( )( ) ( )

1

2

ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆcos sin sin cos sin sin cosˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆcos sin sin cos sin sin cos

u r x y x y z

u r x y x y z

α α θ φ θ φ θ

α α θ φ θ φ θ

⋅ = + ⋅ + +

⋅ = − ⋅ + +

ANTENAS 4

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( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )

1

2

1

2

ˆˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆcos sin cos cos cos sin sinˆˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆcos sin cos cos cos sin sinˆˆ ˆ ˆ ˆ ˆcos sin sin cosˆˆ ˆ ˆ ˆ ˆcos sin sin cos

u x y x y z

u x y x y z

u x y x y

u x y x y

θ α α θ φ θ φ θ

θ α α θ φ θ φ θ

φ α α φ φ

φ α α φ φ

⋅ = + ⋅ + −

⋅ = − ⋅ + −

⋅ = + ⋅ − +

⋅ = − ⋅ − +

Efectuando los productos escalares indicados

( ) ( )( ) ( )

1

2

ˆ ˆ cos sin cos sin sin sin sin cosˆ ˆ cos sin cos sin sin sin sin cos

u r

u r

α θ φ α θ φ θ φ α

α θ φ α θ φ θ φ α

⋅ = + = −

⋅ = − = +

( ) ( )( ) ( )

( ) ( )( ) ( )

1

2

1

2

ˆˆ cos cos cos sin sin cos cosˆˆ cos cos cos sin sin cos cosˆˆ cos sin sin cos sinˆˆ cos sin sin cos sin

u

u

u

u

θ θ α φ α φ θ φ α

θ θ α φ α φ θ φ α

φ α φ α φ φ α

φ α φ α φ φ α

⋅ = + = −

⋅ = − = +

⋅ = − + = − −

⋅ = − − = − +

( ) ( )( )

( ) ( )( )

1 1

2 2

ˆ ˆ 1 sin cos 12 2

ˆ ˆ 1 sin cos 12 2

kh khv u r

kh khv u r

θ φ α

θ φ α

= ⋅ − = − −

= ⋅ − = + −

Finalmente los campos son

( ) ( )

( )

( )

1 1 2 2

1 1 2 2

ˆ ˆ ˆ ˆ4

ˆ ˆˆ ˆ4

ˆ ˆˆ ˆ4

jkr

jkr

jkr

eE j A A j N Nr

eE j N u N ur

eE j N u N ur

θ φ θ φ

θ

φ

µω θ φ ω θ φπ

µω θ θπ

µω φ φπ

−

−

−

= − + = − +

= − ⋅ + ⋅

= − ⋅ + ⋅

Se puede observar que en el plano XY, donde cos 0θ = tan sólo existe la componente

( ) ( )( )1 2sin sin4

jkreE j N Nrφ

µω φ α φ απ

−

= − + +

Por lo tanto la polarización es lineal