Antenas fractales

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Antenas fractales: Introducción Los objetos fractales se han convertido en uno de los principios unificadores de la ciencia, pero las aplicaciones técnicas de estas formas geométricas no se han apresurado, salvo en el grafismo informático. Los investigadores empezaron a aplicarlos hace diez años a un problema particularmente espinoso: el diseño de antenas. Las antenas son objetos sencillos en apariencia, pero la teoría subyacente, basada en las ecuaciones de Maxwell para el electromagnetismo, es casi impenetrable. Por esta razón los diseñadores de antenas se ven obligados a proceder por tanteos, por prueba y error. Incluso los receptores técnicamente más avanzados dependen con frecuencia de un simple hilo colgante, que no se diferencia en nada de los utilizados hace un siglo por G. Marconi en sus primeras pruebas de transmisión por radio. Los fractales mejoran el diseño de antenas básicamente por dos motivos. En primer lugar, pueden aumentar el rendimiento de las antenas compuestas. Muchas antenas que en apariencia parecen constituir una sola unidad –gran parte de las antenas de radar, entre ellas- están en realidad compuestas por una formación de hasta un millar de pequeñas antenas. Su disposición suele ser o perfectamente regular o, por el contrario, aleatoria. Dwight Jaggard y Douglas Werner han descubierto que una distribución fractal puede combinar la robustez de los sistemas aleatoriamente dispuestos con el rendimiento de los regulares, todo ello utilizando la cuarta parte de elementos. Los fractales pueden ofrecer desorden a pequeña escala y orden a gran escala. En segundo término, la forma fractal puede ser beneficiosa incluso para antenas aisladas. Nathan Cohen y un equipo de ingenieros de la Universidad Politécnica de Cataluña, han experimentado, de forma independiente, con hilos doblados siguiendo la forma de las curvas de Koch, o de los triángulos de Sierpinski. Al replegar así la

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Antenas fractales: Introducción

Los objetos fractales se han convertido en uno de los principios unificadores de la ciencia, pero las aplicaciones técnicas de estas formas geométricas no se han apresurado, salvo en el grafismo informático. Los investigadores empezaron a aplicarlos hace diez años a un problema particularmente espinoso: el diseño de antenas. 

Las antenas son objetos sencillos en apariencia, pero la teoría subyacente, basada en las ecuaciones de Maxwell para el electromagnetismo, es casi impenetrable. Por esta razón los diseñadores de antenas se ven obligados a proceder por tanteos, por prueba y error. Incluso los receptores técnicamente más avanzados dependen con frecuencia de un simple hilo colgante, que no se diferencia en nada de los utilizados hace un siglo por G. Marconi en sus primeras pruebas de transmisión por radio. 

Los fractales mejoran el diseño de antenas básicamente por dos motivos. En primer lugar, pueden aumentar el rendimiento de las antenas compuestas. Muchas antenas que en apariencia parecen constituir una sola unidad –gran parte de las antenas de radar, entre ellas- están en realidad compuestas por una formación de hasta un millar de pequeñas antenas. Su disposición suele ser o perfectamente regular o, por el contrario, aleatoria. Dwight Jaggard y Douglas Werner han descubierto que una distribución fractal puede combinar la robustez de los sistemas aleatoriamente dispuestos con el rendimiento de los regulares, todo ello utilizando la cuarta parte de elementos. Los fractales pueden ofrecer desorden a pequeña escala y orden a gran escala. 

En segundo término, la forma fractal puede ser beneficiosa incluso para antenas aisladas. Nathan Cohen y un equipo de ingenieros de la Universidad Politécnica de Cataluña, han experimentado, de forma independiente, con hilos doblados siguiendo la forma de las curvas de Koch, o de los triángulos de Sierpinski. Al replegar así la antena se consigue no sólo alojar la misma longitud en un espacio seis veces menor, sino que su forma dentada genera capacitancia e inductancia adicionales, haciendo innecesarios elementos externos para su sintonización o para aumentar la anchura de la banda de frecuencias que pueda recibir. 

Cohen, que fundó Fractal Antena Systems en 1995, trabaja en la actualidad con T&M Antenas, fabricante de antenas para los teléfonos móviles de Motorola. Uno de los ingenieros de T&M afirma que el rendimiento de las antenas fractales es un 25 por ciento mayor que el de las habituales antenas romas, revestidas de goma, con que van equipadas muchos teléfonos móviles o inalámbricos. Amén

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de ser más baratas de fabricar, operan en múltiples bandas, lo que permite incorporar un receptor GPS al teléfono, al tiempo que la antena puede quedar oculta en el interior del aparato. 

Cohen y su colega Robert Honfeld han demostrado matemáticamente que para que una antena ofrezca un comportamiento uniforme en todas las frecuencias ha de satisfacer dos criterios. Primero, ha de presentar simetría respecto a un punto. Y segundo, ha de ser autosemejante, ofrecer básicamente el mismo aspecto a todas las escalas. Los fractales vienen a pelo. 

Distribución plana regular, aleatoria y fractal

 

Una distribución bidimensional de antenas permite una mayor flexibilidad y variedad. Existen dos formas estándar de distribuir las antenas: ordenándolas regularmente formando una matriz o esparciéndolas al azar sobre una cierta área. Aunque ambos métodos dan lugar a formación de lóbulos laterales indeseados, presentan ciertas ventajas. 

Una configuración plana, en donde las antenas se distribuyen formando una matriz, tiene tendencia a producir haces principales y laterales de la mismas dimensiones. En la figura (derecha) se muestran 324 elementos situados en una matriz de 1.5 x 2 unidades cuadradas. La figura (izquierda) muestra el campo radiado en un mapa de colores: el azul representa el punto donde el campo es menos intenso y el rojo donde más. 

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Una distribución plana aleatoria presenta características más deseables. Esparciendo 324 elementos al azar en el mismo rectángulo que antes, observamos en la figura cómo los lóbulos laterales son, en general, menores. Además se produce una simetría rotacional alrededor de un centro. 

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Generemos una antena fractal. Vamos a hacer uso de un sistema de funciones iteradas para ir rellenando, de forma aleatoria, un triángulo de Sierpinski. Para comparar con los ejemplos anteriores, situamos el mismo número de antenas individuales (324) en la misma área, como muestra la figura. 

La siguiente figura muestra el campo radiado por la distribución fractal de la figura anterior. La teoría de composición de antenas explica las líneas que se extienden desde el punto central. Por cada "línea" formada por las antenas, la radiación tendrá mayores lóbulos laterales en la recta perpendicular a dicha línea. Ya vimos esta propiedad con elementos dispuestos en líneas rectas Esta es la razón por la que una distribución al azar es tan efectiva a la hora de disminuir los haces laterales; no existen líneas de antenas individuales. 

 Las ventajas de una distribución de antenas óptima se hacen patentes principalmente en la mejora del haz principal y el nivel de los lóbulos laterales. Como se vio en la distribución periódica, el haz principal era bueno en tanto en cuanto no se producían interferencias con lóbulos laterales más pequeños. Esta degradación del lóbulo principal puede verse en la composición aleatoria. 

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Comparación del lóbulo lateral 

Los haces secundarios laterales en distribuciones periódicas son mayores aún debido al elevado número de elementos presentes. Las configuraciones aleatorias aportan lóbulos laterales menores con una notable reducción en el número de elementos. Como en éste último, el fractal presenta menores haces secundarios. Las figuras 1.8 y 1.9 comparan los niveles en los lóbulos laterales de ambas composiciones. 

Se aprecia cómo la distribución al azar trabaja mejor que la fractal. Según todo lo visto, se produce un punto de intersección donde el número de elementos hace que una de las composiciones funcione mejor que la otra.

Las antenas en bucle se conocen bien y han sido estudiadas usando gran variedad de geometrías euclídeas. Aun así, presentan distintas limitaciones insalvables. Las antenas en bucle necesitan una cantidad importante de espacio; además, la resistencia de entrada en los bucles pequeños es muy baja, situación molesta si queremos conectar una linea de alimentación. En este sentido, una "isla" fractal puede salvar estos inconvenientes. 

Los bucles fractales tienen la ventaja de incrementar el perímetro hasta el "infinito" manteniendo constante el volumen ocupado. Este incremento de longitud disminuye el volumen ocupado por la antena en resonancia. Además, en bucles pequeños aumenta la resistencia de entrada. 

    Bucles pequeños  

Se sabe que las antenas pequeñas en forma de bucle tienen una resistencia de entrada pequeña, por lo que conectar a una línea de alimentación de 50 Ohmios puede crear cierta dificultad. Una isla de Koch encajada en una pequeño bucle circular aumenta de forma notable la resistencia de entrada.    

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Análisis de la Antena  

Para utilizar un fractal como antena parece obvio que debemos trabajar con una aproximación. Un verdadero fractal, con un perímetro infinito, es imposible de fabricar. Esto no debe preocuparnos porque ya con unas pocas iteraciones se aprecian las buenas propiedades de esta geometría. 

Para mostrar estas mejoras, comparemos la cuarta iteración de una isla de Koch con una antena circular. El tamaño relativo de ambas antenas se muestra en la figura 2.1 . Obsérvese cómo la antena circular circunscribe al fractal. El área ocupada por la antena circular es bastante mayor. 

El área encerrada por la cuarta iteración de la curva fractal, parámetro clave en el estudio de pequeñas antenas en bucle, con un radio r, viene dada por: 

 Áreacurva Koch = (1 * 3/9 * 12/81 * 48/729 * 192/6561) * 3/2 * Ö 3/2 * r2 = 2.05 r2

El área de un círculo es: 

ÁreaBucle circular = p r2

Al comparar las dos áreas obtendremos: 

Áreacurva Koch / ÁreaBucle circular = 0.65 

Cálculos análogos nos llevan a una relación de perímetros:    

Perímetrocurva Koch / PerímetroBucle circular = 2.614

Al estudiar las antenas en un rango de frecuencias normalizado con la longitud del perímetro del bucle circular, encontramos que ésta se mueve entre unos valores de 0.05l a 0.26l . El perímetro del fractal queda entre 0.13l y 0.68l .      

Resultados  

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  La resistencia de entrada de ambas antenas frente al perímetro de la antena circular –en longitudes de onda- se compara en la figura 2.2. Una antena circular con un perímetro de 0.05l tiene una resistencia de entrada de 0.000004 W , incrementándose a sólo 1.17W cuando el perímetro es de 0.26l . Por el contrario, aun cuando la resistencia de entrada es de sólo 0.000015W para el valor más bajo de frecuencia en la antena fractal, éste alcanza el valor de 26.65W en el extremo de las frecuencias altas. Este valor mejora notablemente la

conexión a una línea de transmisión de 50W.  

A continuación se comparan los patrones de radiación para ambas antenas. A la izquierda se muestran los cortes con los planos xz e yz. A la derecha se muestra el patrón en el plano donde descansan las antenas, el xy. 

Cuanto más se aproxima el perímetro de una antena en bucle a una longitud de onda, más dependen sus características de la forma de la antena. Una forma fractal puede usarse para reducir el tamaño de la antena, incrementando la

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eficiencia con la que se rellena el volumen con conductores eléctricos. 

Vamos a analizar aquí un fractal de Minkowski con un perímetro cercano a una longitud de onda. Se comparan varias iteraciones de esta curva con una antena cuadrada clásica, ilustrando los beneficios que ello aporta. 

En el apartado anterior, cada segmento del generador (la curva de Koch) tenía la misma longitud, un tercio de la longitud original. En esta sección, la longitud del segmento es variable. Los dos segmentos extremos, así como el central miden un tercio de la longitud inicial. Los otros dos segmentos son variables, con el fin de ajustar el perímetro total. Esta longitud variable recibe el nombre de "ancho de mella" (indentation width). La variación en el ancho de mella afecta a la dimensión del fractal. Cuanto mayor es este ancho, mayor es la dimensión. 

  

Análisis de la antena  

Vamos a estudiar cómo varían las características de la antena a medida que el número de iteraciones crece. Tomemos seis anchos de mella representativos, por ejemplo: 1/5, 1/3, 1/2, 2/3, 4/5 y 9/10. Para que todas ellas sean resonantes a la misma frecuencia, cada una debe tener un tamaño concreto, distinto al de las demás. Como se observa en la figura, a medida que crece el ancho de mella, mayor miniaturización se consigue. Matemáticamente se demuestra que un mayor ancho de mella supone mayor dimensión por lo que podemos suponer que a mayor dimensión fractal, mayor miniaturización de las antenas en bucle. 

 

Resultados  

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En la figura 2.5 se muestra el tamaño relativo de dos antenas con igual ancho de mella y frecuencia de resonancia. Obsérvese cómo la segunda iteración es mucho más pequeña que el cuadrado original. Es más, aunque la directividad de las

antenas decrece a medida que aumenta el número de iteraciones o el ancho de mella, la eficiencia en la apertura del campo radiado aumenta espectacularmente. El área física ocupada por un fractal con un alto número de iteraciones y un profundo ancho de mella es mucho más pequeña que en una antena cuadrada. Así, mientras el coeficiente de apertura en el cuadrado es de sólo 2.254, para la segunda iteración del fractal con un ancho de mella de 0.9, resulta ser de 11.59. Una pérdida en la directividad de 1.28 dB se compensa con un decremento del 38% en el área ocupada, lo que se traduce en una antena 7 veces más pequeña. 

La sección anterior mostraba los buenas propiedades de las antenas fractales en bucle. Los dipolos pueden también beneficiarse de esta geometría, consiguiendo una miniaturización en la longitud total de la antena cuando ésta se encuentra

en resonancia.  

En las próximas secciones se estudian tres tipos de dipolos fractales: Dos estructuras planas, como son la curva de Koch y los árboles fractales, y una tridimensional, también en árbol. En estas antenas, la frecuencia de resonancia disminuye a medida que aumenta el número de iteraciones. Este decremento en la frecuencia está íntimamente relacionando con la miniaturización de la antena. Veremos sus ventajas e inconvenientes con respecto a un dipolo clásico.     

Monopolo de Koch  

El primer fractal estudiado es la curva de Koch. Cómo esta antena puede ser utilizada como dipolo se muestra en la figura.Este fractal trabaja como dipolo con dos curvas de Koch dispuestas de forma simétrica, alimentadas en su centro geométrico. Analizamos aquí las

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primeras cinco iteraciones de la curva. Es interesante observar cómo en estas antenas, los beneficios de la geometría fractal comienzan a disminuir si el número de iteraciones se incrementa más allá de unas pocas. Comparemos, por tanto, las primeras cinco iteraciones con un dipolo recto clásico (iteración 0).  

La figura anterior muestra la impedancia de entrada de los dipolos frente a la frecuencia. Se observa cómo la frecuencia de resonancia cae a medida que el número de iteraciones del fractal crece. La frecuencia de resonancia se aproxima a un límite de forma asintótica. Este límite representa la frecuencia que presentaría una curva de Koch ideal, si es que ésta pudiese fabricarse. Las curvas de impedancia de entrada se muestran en la siguiente figura. Los patrones de radiación para las diferentes iteraciones se muestran a

continuación. Todas se encuentran en resonancia.  

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Escala de Iteración 

La capacidad de miniaturización de las antenas fractales se hace realmente patente al representar varias iteraciones, todas ellas resonantes a la misma frecuencia. Sin embargo, esta miniaturización muestra un alto grado de efectividad sólo para las primeras iteraciones. Se ha comprobado que la longitud total del fractal crece sin límites mientras que la reducción de tamaño tiende a un límite finito. Conclusión, un incremento desmesurado en la complejidad de la antena no resulta ventajoso. 

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Otro tipo de fractal que puede ser utilizado como dipolo lo constituyen las estructuras arborescentes. Una posible configuración se muestra en la imagen. De nuevo, el objetivo que se pretende es la reducción del tamaño de la antena resonante.   

  

Generación del Fractal  

Vamos a aplicar una secuencia iterativa a la estructura inicial. Comenzamos con un monopolo simple. Tomamos un segmento extremo y lo dividimos en dos, formando un ángulo predeterminado (60º, por ejemplo), para generar las dos primeras ramas. A medida que el proceso iterativo continúa, los segmentos extremos de cada rama se van dividiendo en más ramas, como se aprecia en la imagen. 

Si definimos la longitud eléctrica total como la mínima distancia que debe recorrer un electrón desde la base del fractal hasta el extremo de cualquiera de sus ramas terminales, se observa que en los árboles fractales esta longitud permanece

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constante a lo largo del proceso iterativo.   

Análisis de la Antena  

Estas antenas se montan de forma simétrica, alimentadas en su centro geométrico. Se puede ver cómo la frecuencia de resonancia decrece a medida que aumentan las iteraciones. La relación entre la miniaturización y el número de iteraciones es muy parecido al dipolo de Koch. 

 Los patrones de radiación de un dipolo en árbol son muy parecidos a los del dipolo recto en todos los cortes. Uno de estos patrones típicos se muestra en la figura. La antena elegida en este caso es la cuarta iteración de un árbol fractal formando un ángulo de 60º en cada bifurcación. Las ventajas son obvias: igual campo radiado, mayor miniaturización.    

Patrón de campo lejano para una típica antena fractal de árbol. Corresponde a un árbol fractal de cuatro iteraciones con una separación de 60º entre ramas. a) Plano de corte de E paralelo a las ramas 

b) Plano de corte de E perpendicular a las ramas.

 

Antenas en Árbol Tridimensionales  

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Una antena fractal tridimensional en árbol presenta una geometría similar a las del apartado anterior. Sin embargo, el crecimiento, en vez de producirse en un mismo plano, tiene lugar en las tres dimensiones. La antena resultante ofrece beneficios, similares a su homóloga bidimensional, pero en mayor grado. La geometría de estas antenas se muestra en la figura 3.10.  

   

Generación del Fractal  

Las antenas tridimensionales en árbol se generan de forma muy parecida a sus homólogas en dos dimensiones. El extremo de un monopolo recto se subdivide en cuatro ramas, que se apoyan en dos planos ortogonales, formando un ángulo prefijado. En este ejemplo trabajaremos con ángulos de 60º. En la siguiente iteración, cada una de los extremos de las cuatro ramas se subdivide a su vez en otras cuatro pequeñas ramas, y así sucesivamente. En la tabla pueden observarse las longitudes relativas de cada rama para las primeras cinco iteraciones.    

 Generación de una árbol fractal tridimensional. En cada iteración las ramas 

se dividen en cuatro segmentos situados en dos planos ortogonales

   

Análisis de la Antena  

En la figura nos encontramos con una imagen ya conocida. A saber, la frecuencia de resonancia disminuye al crecer el número de iteraciones. Por contra, también disminuye la resistencia de entrada. 

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Los patrones de radiación se muestran en la figura 3.13, todos ellos calculados en resonancia. Es curioso cómo estos patrones no varían al aumentar el número de iteraciones. Además todos ellos, así como el máximo de directividad, son muy similares al comportamiento esperado de un dipolo recto clásico.  

Es posible realizar una comparativa entre las características de los distintos tipos de geometrías presentadas. Tomemos para ello un dipolo de cada clase, con la condición de que todos ellos tengan inicialmente el mismo tamaño. La geometría de partida será un dipolo recto (iteración 0) de 7,5 cm de longitud, resonante a una frecuencia de 1900 MHz. Los tamaños relativos se muestran en la figura. 

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    Las buenas propiedades de la geometría fractal dependen en gran medida del tipo de fractal elegido. En la figura siguiente se aprecian las diferencias en la miniaturización de las antenas al incrementar el número de iteraciones. El comportamiento de los dos dispositivos bidimensionales es muy parecido. Los beneficios obtenidos con la antena tridimensional son visiblemente más pronunciados. 

Sin embargo, aunque la estructura tridimensional miniaturiza la antena está en resonancia en mayor grado que los otros fractales, la resistencia de entrada se ve

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también fuertemente disminuida. Se puede observar en la imagen cómo esta resistencia se mueve cerca de los 30W en la quinta iteración de las antenas bidimensionales en resonancia, mientras que para una antena tridimensional cae hasta los 20W debido a la gran cantidad de ramas conductoras. En este sentido, al elegir un tipo u otro de fractal para cada aplicación deberemos llegar a una solución de compromiso entre mayor miniaturización frente a menor resistencia de entrada. 

 

Hasta ahora, solo nos hemos preocupado de las posibilidades que ofrece la geometría fractal a la hora de miniaturizar las antenas. Sin embargo, existe otra característica en los fractales que produce efectos muy beneficiosos: la

autosemejanza.  Las antenas son esencialmente dispositivos de banda estrecha. Este comportamiento es altamente dependiente del tamaño de la antena y de la longitud de onda en la que opere. Esto significa que, para un tamaño fijo, los parámetros principales de una antena (ganancia, impedancia de entrada, forma del campo radiado y distribución de lóbulos secundarios) sufren grandes variaciones al modificar la frecuencia de trabajo. Por ejemplo, en esta figura se muestra la evolución en los patrones de radiación de una antena clásica -un dipolo lineal-. Cada vez que se dobla la frecuencia aparecen más lóbulos afilados, deformando la emisión ideal de potencia

en el espacio. 

Además, las antenas no pueden exceder de un tamaño mínimo -relativo a la longitud de onda- para operar de forma eficiente. Esto es, dada una frecuencia concreta, la antena no puede ser construida arbitrariamente pequeña: ha de mantener un tamaño mínimo, típicamente del orden de un cuarto de longitud de onda. Estos resultados, tan bien conocidos, han dificultado durante décadas el desarrollo de sistemas en telecomunicaciones, y han sido objeto de estudio intensivo con sólo algunos resultados exitosos. 

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Existen dos razones por las que el diseño fractal de antenas aparece tan atractivo. Primero: se espera que una antena autosemejante opere de forma similar en varias longitudes de onda, es decir, la antena debería mantener sus parámetros de radiación similares en diversas bandas. Segundo: debido a las buenas propiedades que poseen algunos fractales para rellenar el espacio, es previsible, como ya hemos visto en los capítulos anteriores, disponer de antenas (multibanda) más pequeñas.    

La Antena de Sierpinski  

  Para estudiar este dispositivo tomaremos un ejemplo concreto, desarrollado por un equipo de investigación de la Universidad Politécnica de Cataluña. Se trata de la quinta iteración de un triángulo de Sierpinski, de 8.9 cm de altura, impreso sobre una placa de material dieléctrico. Esta configuración del monopolo fue elegida por lo simple que resultaba. La antena fue montada ortogonal a un cuadrado de 80x80 cm y alimentada a través de un cable coaxial. Atendiendo a la geometría tan particular de esta antena, uno espera observar la corriente fluyendo desde el vértice de alimentación hacia las puntas, donde se radia la potencia, dando lugar a una longitud de onda concreta. Lo curioso del asunto es que estas puntas no se encuentran únicamente en los vértices del triángulo inicial. Como la antena contiene cinco

iteraciones (cinco escalas diferentes) con un factor de escala de 2 entre ellas, parece razonable esperar que la antena trabaje de la misma forma en cinco longitudes de onda (cinco bandas) diferentes, espaciadas entre ellas en un factor de dos.       Los parámetros de entrada (pérdidas de retorno, resistencia y reactancia) frente a la frecuencia se muestran en la figura 4.1. El eje de frecuencias se representa en escala logarítmica para enfatizar el comportamiento log-periódico de la antena. La figura representa claramente 5 bandas equiespaciadas en esta escala logarítmica. Este espaciado conserva, como se esperaba, el factor de dos, es decir, se mantiene el mismo factor de escala con el que se define el fractal. Las diferencias en la posición de la primera banda son debidas al efecto de truncado (al carecer la estructura de un mayor número de iteraciones, se pierde la simetría con respecto a las otras bandas). 

En cuanto a los patrones de radiación, la figura 4.2 muestra, de izquierda a derecha y de arriba abajo, los patrones tridimensionales a 2 GHz, 4 GHz, 8 GHz y 16 GHz, i.e. cada una de las cuatro bandas más altas. Llama la atención la profunda semejanza que existe entre estos patrones. El comportamiento es radicalmente opuesto al de las antenas monobanda clásicas.    

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En definitiva, la antena de Sierpinski es el primer ejemplo documentado de antena en forma fractal con un comportamiento multibanda. Una antena que posee características similares (patrones de radiación y parámetros de entrada) en varias frecuencias. El número de bandas y su posición está íntimamente relacionado con la geometría de la antena, lo que corrobora la profunda relación entre la naturaleza fractal de la antena y su comportamiento electromagnético. 

   

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Triángulo de Sierpinski 

    Waclaw Sierpinski (1882-1969)   

Waclaw Sierpinski, o grande matemático polaco...estava preocupado por ter perdido uma mala da sua bagagem:- Não, querido!- disse-lhe a mulher- Estão aqui as seis malas.- Não pode ser- disse Sierpinski- contei-as várias vezes: zero, um ,dois, três, quatro, cinco.            John Conway e Richard Guy, O Livro dos Números

   El matemático polaco Waclaw Sierpinski introdujo este fractal en 1919. Partamos (iteración n=0) de  la superficie de un triángulo equilátero de lado unidad. Seguidamente (iteración n=1) tomemos los puntos medios de cada lado y construyamos a partir de ellos un triángulo equilátero invertido de lado 1/2. Lo recortamos. Ahora (iteración n=2) repetimos el proceso con cada uno de los tres triángulos de lado 1/2 que nos quedan. Así que recortamos, esta vez, tres triángulos invertidos de lado 1/4. En la figura animada observamos hasta cinco iteraciones sucesivas. Si repetimos infinitamente el proceso obtendremos una figura fractal denominada triángulo de Sierpinski. 

Sierpinski diseñó este monstruo para demostrar, entre otras cosas, que era posible construir una curva que se "cruzaba" consigo misma en todos sus puntos ...

Podemos hacer construcciones semejantes al triángulo de Sierpinski en 3 dimensiones con tetraedros. @ 

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El triángulo de Sierpinski se puede descomponer en tres figuras congruentes. Cada una de ellas con exactamente la mitad de tamaño de la original. Si doblamos el tamaño de una de las partes recuperamos el triángulo inicial. El triángulo de Sierpinski está formado por tres copias  autosimilares de él mismo. Decimos que es  autosimilar.  

En realidad la autosimilaridad es más profunda. Cada una de las copias puede descomponerse a su vez de tres copias autosimilares (un total de nueve). Y a partir de cualquiera de ellas, aumentando su tamaño en un factor 4 recuperamos el original. En general, podemos dividir el triángulo en 3n piezas autosimilares que aumentadas en un factor 2n nos devuelven la figura inicial. Este tipo de autosimilaridad a todas las escalas es el sello identificativo de un fractal. 

Esta propiedad ha sido utilizada con astucia en ingeniería. Un ejemplo reciente son las antenas fractales. El diseño de antenas se ejecuta en gran medida por tanteo. Muchas antenas están compuestas por una distribución de pequeñas antenas. Si la distribución es regular, la antena presenta alto rendimiento y si es aleatoria ofrece robustez. Parece que un diseño fractal como el de la figura combina ambas propiedades. En el caso de  un solo hilo, siguiendo una forma fractal, al doblar se consigue empaquetar más hilo en el mismo espacio y la forma dentada genera capacitancia e inductancia extra. 

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En este capítulo solo presentamos ejemplos de fractales estrictamente autosimilares. Como veremos más adelante esta autosimilaridad puede ser no perfecta, como en el caso del conjunto de Mandelbrot, o estadística, como en el caso de las costas terrestres. 

Curva de Hilbert   

 

    David Hilbert (1862-1943)      

Dibujemos un cuadrado de lado unidad. Lo dividimos en cuatro partes iguales. Unimos los centros de los cuatro cuadrados como muestra la figura inferior. Volvemos a dividir cada cuadrado en cuatro cuadrados idénticos y unimos de nuevo los centros de todos los cuadrados mediante una sola curva siguiendo el patrón mostrado en el segundo paso de la figurada inferior (Orden 2).  Observemos cómo la curva serpentea comenzando en el cuadrado superior izquierdo y acabando en el cuadrado superior derecho. En la figura alcanzamos la tercera iteración. Con paciencia, repetimos el procedimiento infinitamente. En el límite obtendremos la curva de Hilbert.

La curva tiene la curiosa propiedad de ser una curva continua que pasa por todos los puntos del cuadrado unidad. Pero, si una curva es unidimensional, ¿cómo es posible que llene un espacio bidimensional? ¿Podemos decir entonces que esta curva es también bidimensional? 

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A finales del siglo XIX Cantor intentaba encontrar un conjunto infinito de un número de elementos mayor que el intervalo [0, 1]. Parecía obvio que el cuadadro de lado unidad poseía más puntos. Pero de forma contraintuitiva demostró que eran conjuntos del mismo "tamaño". Se disponía entonces de una manera de establecer una biyección entre los puntos de un segmento y un cuadrado, aunque esta función no era continua. Otros matemáticos como Giuseppe Peano y Hilbert desarrollaron funciones continuas del intervalo [0, 1] al cuadrado unidad de modo que se establecieran correspondencias exhaustivas (hay puntos en el cuadrado unidad que poseen más de una imagen en el intervalo unidad), es decir, perdiendo la biyección. Tales funciones se denominaron curvas que llenan el espacio (space-filling curves). ¿Existían correspondencias continuas y biyectivas? ¿Si fuera así el concepto de dimensión quedaría en entredicho?

En 1911 Luitzen Brouwer probó que no existen tales correspondencias, biyectivas y continuas al mismo tiempo. La dimensión era un invariante topológico y no podía ser alterada por deformaciones continuas. Como resultado se llegó a una definición rigurosa de dimensión topológica del espacio. Como veremos en el siguiente capítulo otra línea de razonamiento llevó a otras definiciones de dimensión.

Abajo podemos observar otro ejemplo: la curva de Peano. De hecho, Peano la descubrió en 1891 y Hilbert hizo una variación sobre ella (la curva de Hilbert) un año después.

Alfombra de Sierpinski y esponja de Menger

 

    Karl Menger (1902-1985)       He aquí la alfombra de Sierpinski (Sierpinski's Carpet) 

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Ahora las imágenes hablan ya por sí mismas. El proceso de elaboración de la alfombra de Sierpinski es muy semejante a su triángulo . Dividimos un cuadrado de lado unidad inicial en nueve cuadrados idénticos y recortamos el central. Repetimos el proceso en cada iteración. 

En la iteración n-ésima persisten:  

Nn = 8n ,  

cuadrados. Cada uno con un lado de longitud:  

Ln = (1/3)n .  

El área total en la n-ésima iteración será:  

An= Ln2 Nn = (8/9)n .  

Así que en el límite de iteraciones tendiendo a infinito, la alfombra de Sierpinski está tan apolillada que su superficie es nula. Esto no parece sorprendente. Al menos hasta que no calculamos su perímetro, que efectivamente es: ¡infinito!  

 Si partimos de un cubo en tres dimensiones y aplicamos un proceso semejante al de la alfombra de Sierpinski , obtendremos la esponja de Menger. En vez de eliminar pequeños cuadrados, eliminamos pequeños cubos. 

Esta esponja es fantástica: ¡su superficie es infinita y su volumen nulo!

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Contaje por cajas (Box-countig) 

 

Hasta ahora hemos visto fractales generados artificialmente. ¿Existen en la naturaleza? Según palabras del pintor Paul Cezanne: "Todo en la Naturaleza puede verse en términos de conos, cilindros y esferas". Se trata de una sentencia programática en referencia a su estilo pictórico y  nos viene al pelo como descripción de una visión euclidiana de la Naturaleza. La réplica fractal la pondría Mandelbrot al contestar: "Las nubes no son esferas, las montañas no son conos, las costas no son círculos, las cortezas de los árboles no son suaves y nada, excepto la luz, viaja en línea recta". Si el mensaje de Mandelbrot es que la Naturaleza responde mejor a una descripción fractal, sería conveniente que pudiésemos comprobarlo más allá de la simple intuición. 

Acércate a la nevera y comprueba si tienes a mano un broccoli o una coliflor (olvida los pepinos y las zanahorias, en este caso no nos valen). Ya habíamos hecho la observación al hablar de plantas y árboles. Su estructura ramificada es fractal y utilizamos esta observación para sintetizar sus morfologías a través de L-systems e IFS. La estructura de un broccoli es impresionantemente autosimilar. 

 Obviamente no es estrictamente fractal. Su autosimilaridad es por una parte estadística (no determinista) y además posee límites superiores (el broccoli estaba dentro de la nevera) e inferiores (seguro que no es fractal mucho antes de llegar al nivel atómico).   

Veremos en este capítulo muchas estructuras naturales que muestran este tipo de autosimilaridad estadística. Para convencernos de ello, necesitamos un método que determine cuándo una estructura muestra fractalidad, autosimilaridad, y cuando no. El método más popular es el contaje por cajas (box-counting en inglés). Veamos como funciona: 

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Observa nuestro eterno amigo de viaje: el triángulo de Sierpinski. Sobre nuestro fractal hemos dibujado una malla de 10x9=90 cuadrados o cajas de lado r. Con paciencia se puede comprobar que tan solo en N(r)=51 de ellas hay algún punto perteneciente al triángulo de Sierpinski. Las restantes 39 cajas están vacías. Supongamos que repetimos la medida para distintos tamaños de r, de cajas. Y presentamos los resultados en un gráfico, donde el eje de abcisas representa el logaritmo del inverso del tamaño de lado de las cajas, Ln(1/r) y el eje de ordenadas el logaritmo del número de cajas no vacías, Ln(N(r)). La figura inferior es el resultado de este diagrama log-log: 

Observa que los puntos se sitúan a lo largo de una línea recta de pendiente positiva. Es decir ajustan a una función del tipo:       

Ln N(r) =  D * Ln (1/r) + C    Despejando N(r), tenemos:      

N(r) = Cte* r-D     una ley potencial de exponente - D. El valor D = 1.593 coincide bastante bien con el valor que habíamos encontrado anteriormente, de forma analítica, para la dimensión fractal del triángulo de Sierpinski. Recordemos: podemos recubrir

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exactamente el triángulo de Sierpinski con copias reducidas a 1/3 del original. Cada uno de los tres triángulos idénticos debería tener lado R=1/2 ... Y en general necesitaremos 3n triángulos de lado 1/2n:      

(1/2n)-D = 3n     Despejando D obteníamos: 

Veamos otro ejemplo. Aquí tienes una imagen de ríos en Noruega (el blanco es nieve) tomada desde satélite 

La estructura ramificada muestra indicios de fractalidad. ¿Como determinar si los perfiles de los ríos son fractales? Aquí tienes repetida tres veces la imagen de un trozo del perfil del río Mississipi. Hemos repetido el método de cubrir con cajas. Y hemos contado para cada tamaño de caja el número de ellas con perfil del río.  

Las cajas de la izquierda poseen tamaño de r = 1/4 y contamos un total de N(1/4)=52 cajas llenas. Las del medio poseen lado r = 1/8 y N(1/8)=115. Y finalmente a la derecha, r = 1/16 con N(1/16)=265. El gráfico Log(N(r)) versus Log(1/r) muestra que los resultados ajustan muy bien a una línea de pendiente 1,2. Ciertamente 3 puntos es una cosa pobre estadísticamente (necesitaríamos al menos 10 para hacer un ajuste decente), pero tan solo queremos exponer la algorítmica del método en un caso real. 

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 El método de Box-counting es sin duda el más extendido en la literatura científica. Puede aplicarse con más o menos éxito a cualquier distribución de puntos, curvas, superficies, volúmenes,...  En la práctica, y resumiendo, se utiliza una rejilla de celdas de lado r cubriendo el objeto a explorar. Se contabilizan las celdas N ocupadas por la imagen y se repite la operación para otro tamaño de celda de lado r. El ajuste a la ley de potencias: 

N(r) = cte*r-D  

nos determina la dimensión fractal D de nuestro objeto. Evidentemente si la relación no ajusta a una ley de potencias, nuestro objeto no es autosimilar. 

Otro método muy extendido y claramente emparentado con el box-counting es el método del compás (Compass o ruler method). Se usa para medir dimensión fractal de perímetros. Mandelbrot hizo popular los fractales utilizando este método en un artículo titulado: ¿Cuánto mide la costa de Gran Bretaña? Observa la isla de la imagen inferior. En el caso (a) se ha medido la longitud de la costa utilizando una medida delta (factor de escala) inferior al caso (b). La longitud estimada depende obviamente de delta. 

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 Valores de delta inferiores darán longitudes mayores. La medida obtenida será el producto del número de pasos N de tamaño delta necesarios para cubrir la costa:    

L(d) = N* d  

A medida que nuestra regla se hace más y más pequeña, añadimos más detalles, y nuestra longitud de costa crece y crece. Esto es debido a que el perímetro de la costa muestra autosimilaridad estadística. Si miramos el el detalle del borde de una piedra recogida de la costa, observaremos que sigue presentado cierta similaridad con una imagen de satélite de cientos de kilómetros. De modo que la pregunta "¿cuánto mide la costa?" no tiene un sentido definido si no es en referencia a una escala de medida. Si aún así queremos caracterizar una costa, podemos calcular su dimensión fractal. Para estimar la dimensión fractal D determinamos la ley de potencias: 

 L(d) = cte. * d1-D

ajustando de nuevo una recta en el diagrama log-log de L versus d obtenemos la pendiente 1-D para determinar la dimensión fractal. 

Lewis Richardson en 1961 fue el primero en hacer medidas de este tipo. En un artículo titulado "¿Cuánto mide la costa de Gran Bretaña?", Richardson concluía que la longitud de una costa no estaba bien definida y proponía como medida D. Determinaba valores para varias costas: 

D = 1.25 para el Oeste de la costa de Gran Bretaña    D = 1.15 para la frontera de Alemania    D = 1.14 para la frontera de Portugal    D = 1.13 para la costa Australiana    D = 1.02 para la costa Surafricana, una de las más suaves del atlas mundial.

Mandelbrot fue el primero en darse cuenta que las pendientes de las rects presentadas por Richardson correspondían a la dimensión de Hausdorff de las costas. De modo que la dimensión fractal, en este caso, es un indicador de lo abrupta que es la costa.

Midiendo longitudes y volúmenes 

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Una forma de medir la longitud de una curva es aproximarla a la longitud de una serie de pequeñas rectas que la recubren. A ese procedimiento los matemáticos lo llaman rectificación. Cuanto más pequeñas sean las rectas escogidas para el recubrimiento, más exacta será nuestra medida.   

Pero... ¿qué ocurre si intentamos medir la "longitud total" de un cuadrado? No su perímetro, sino la longitud del cuadrado mismo  por este método de rectificación. ¿Tiene, siquiera, sentido tal pregunta?   

 Intentemos "rectificar" el cuadrado de lado L=1 de la figura. Para ello, probamos a recubrirlo con una línea. No hay duda de que es un recubrimiento inicial bastante burdo, pero así podremos hacer el procedimiento sistemático. Nuestro valor inicial de "longitud de un cuadrado" es L1 = 1. Dividamos el cuadrado en cuatro cuadrados idénticos y tracemos 4 líneas que intenten recubrir cada uno de estos cuatro cuadrados. Cada una de estas líneas medirá 1/2. La nueva medida L2 será L2 = 4·(1/2) = 2. Una vez hemos definido el procedimiento, iteremos: ahora tenemos 16 cuadrados y 16 líneas de longitud 1/4, en total L3 = 16·(1/4) = 4. En el paso cuatro tendremos L4 = 64·(1/8) = 8. Y así sucesivamente.   

Cuando hayamos repetido esta tediosa, pero expeditiva operación infinitas veces, podremos decir que hemos recubierto el cuadrado con líneas. No existirá ni un solo punto por el que no pase una línea, ni por ninguno de ellos pasará a la vez más de una. Para hallar matemáticamente el valor de la longitud de la línea que recubre al cuadrado empleamos el límite: 

La rara pregunta: "¿Cuál es la longitud de un cuadrado?" puede entonces responderse. Su longitud es infinita.  

Intentemos responder ahora a: ¿Cuál es el volumen de un cuadrado? Para medir el volumen de un objeto geométrico, normalmente, hallamos el límite de la suma de elementos de volumen infinitesimal que lo rellenan. Apliquemos ese procedimiento intuitivamente claro para figuras con volumen, al caso de un cuadrado. Necesitamos recubrir el cuadrado con pequeños volúmenes que no dejen huecos, ni excedentes. Lo conseguiremos con un procedimiento exhaustivo semejante al anterior.    

Observemos la figura: 

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Nuestra primera aproximación será de nuevo un recubrimiento burdo: una sola caja cúbica que contiene al cuadrado como sección transversal. Así, V1 = 1·1·1 = 1. De nuevo, dividamos el cuadrado en cuatro pedazos idénticos y sobre cada uno repitamos el proceso anterior: recubrámoslos con cubos de arista correspondiente. Ahora tenemos 4 cubos de volumen 1/2·1/2·1/2 = 1/8. La nueva aproximación será V2 = 4·(1/2)3 = 1/2. Si volvemos a dividir cada cuadrado en 4 trozos necesitaremos 16 cubos de tamaño (1/4)3 , cada uno para recubrir totalmente al cuadrado inicial. Así V3 = 16·(1/4)3 = 1/4. Repetimos y conseguimos: V4 = 64·(1/8)3 = 1/8. Si iteramos el proceso infinitamente, como hicimos antes, conseguiremos el volumen del cuadrado: 

De modo que la longitud de un cuadrado es infinita y el volumen es cero.   

Intuitivamente vemos que el resultado tiene sentido: nos hacen falta infinitas líneas de longitud finita para recubrir un objeto plano, así que podemos decir que su longitud, en cierto sentido, es infinita. Además, el espesor de un objeto plano es nulo, de modo que su volumen también debería serlo. En realidad, este resultado obtenido es general: para cualquier objeto geométrico, medidas que usen dimensiones más bajas que su propia dimensión resultan infinitas y más altas, cero. Pero, ¿qué podemos decir de medidas sobre objetos fractales? ¿Seguirá funcionando este resultado general?

Midiendo longitudes y volúmenes en fractales

 

Intentemos medir la longitud de un triángulo de Sierpinski. El recubrimiento a través de líneas nos viene sugerido de forma natural por la propia construcción del objeto geométrico.   

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 Si la longitud del lado del triángulo equilátero inicial es 1, una primera aproximación de la longitud será L1= 3·1 = 3 (en la figura aparecen en negrita los segmentos que usamos en nuestra suma). Si tomamos en cuenta además el triángulo central de lado 1/2, añadimos a la longitud anterior 3·1/2, y entonces: L2= 3+3·1/2 = 4,5. Si añadimos los siguientes nueve triángulos: L3 =3+3·1/2+9·1/4 = 6,75. El siguiente recubrimiento afina más aún, consiguiendo: L4 = 3+3·1/2+9·1/4+27·1/8 = 10.125. Y en el límite, cuando recubramos todo el triángulo de Sierpinski, tendremos:  

 

 Calculemos el área. Emplearemos cuadrados para recubrir al triángulo. Nuestra primera aproximación emplea un cuadrado de lado 1 como muestra la figura. De modo que tenemos S1=1. El siguiente paso afina un poco más el cálculo utilizando tres cuadrados de lado 1/2.  Eso nos da: S2 = 3 (1/2)2 = 0.75.  Seguidamente utilizamos 9 cuadrados de lado 1/4, esto es, S3 = 9·(1/4)2

= 0,5625. Ahora 27 cuadrados de lado un 1/8 con área estimada de S4 = 27·(1/8)2 = 0,421875... Al llevar el proceso al límite conseguimos el área del triángulo de Sierpinski:   

¿Sorprendid@ ? El triángulo de Sierpinski es un objeto geométrico de infinita longitud, aunque se encuentra en una región finita del plano, cosa que implica dimensión mayor que uno. Pero a la vez tiene área nula, que indica dimensión menor que 2.   

¿Pero entonces, qué dimensión tiene?

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Dimensión de autosimilaridad 

Intentaremos responder a la pregunta de cuál es la dimensión del triángulo de Sierpinski. Para ello vamos a aplicar el siguiente método a distintas figuras geométricas: las recubriremos exactamente con N piezas de tamaño característico R e intentaremos encontrar la relación funcional entre N y R.   

Sea un segmento de longitud L=1. Podemos recubrirlo, por ejemplo, con:   

   

2 segmentos de tamaño 1/2: N=2, R=1/2 (1/2)-1 = 24 segmentos de tamaño 1/4: N=4, R=1/4 (1/4)-1 = 48 segmentos de tamaño 1/8: N=8, R=1/8 (1/8)-1 = 8   ..................   ........   ..........2n segmentos de tamaño (1/2)n: N=2n , R=(1/2n) R-1 = N   Observa que el exponente -1 cambiado de signo coincide con la dimensión 1 de una recta.   

¡Fácil! Probemos con un cuadrado. Sea un cuadrado de lado L=1. Podemos recubrirlo, por ejemplo, con:      4 cuadrados de tamaño 1/2: N=4, R=1/2 (1/2)-2 = 416 cuadrados de tamaño 1/4: N=16, R=1/4 (1/4)-2 = 1664 cuadrados de tamaño 1/8: N=64, R=1/8 (1/8)-2 = 64   ..................   ........   ..........22n cuadrados de tamaño 1/2n: N=22n , R=1/2n R-2 = N   Ahora el exponente es -2, de nuevo cambiando el signo conseguimos la dimensión conocida. En este caso 2.   

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La cosa promete...  Ahora tomemos un cubo. Sea un cubo de arista L=1. Podemos recubrirlo, por ejemplo, con:        8 cubos de arista 1/2: N=8, R=1/2 (1/2)-3 = 864 cubos de arista 1/4: N=64, R=1/4 (1/4)-3 = 64512 cubos de arista 1/8: N=512, R=1/8 (1/8)-3 = 512............... ............... ...............23n cubos de arista 1/2n: N=23n , R=1/2n R-3 = N   Y efectivamente el procedimiento nos devuelve dimensión 3. Así que parece que la siguiente regla nos determina la dimensión de un objeto geométrico: recubrimos exactamente con N piezas de tamaño característico R. La relación   

N= R-D nos determina la dimensión D del objeto geométrico.   

¿Qué exponente D encontramos al aplicar este método al triángulo de Sierpinski? Supongamos, sin pérdida de generalidad, que el lado del triángulo de Sierpinski mide 1. Podemos recubrir exactamente el triángulo de Sierpinski con copias reducidas. Por construcción sabemos que debemos emplear tres copias idénticas reducidas a 1/3 del triángulo original. Cada uno de los tres triángulos idénticos debería tener lado R=1/2. Cada uno de estos triángulos a su vez está formado por tres copias reducidas, lo que hace un total de 9 copias con R=1/4. Ahora ya vemos el proceso, el siguiente paso son 27 triángulos de lado R = 1/8. Recordemos nuestra última conclusión sobre la dimensión: N=R-D. Recopilemos:        

3 triángulos de lado 1/2: N=3, R=1/2 (1/2)-D = 39 triángulos de lado 1/4: N=9, R=1/4 (1/4)-D = 927 triángulos de lado 1/8: N=27, R=1/8 (1/8)-D = 27............... ............... ...............3n triángulos de lado 1/2n: N=3n , R=1/2n (1/2n )-D = 3n,   Despejando D obtenemos: 

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¡Una dimensión no entera!  Así la dimensión de autosimilaridad D de un objeto, hecho de N copias exactas a él mismo y reducidas en un factor R, es: 

Para la línea: 

Para un cuadrado: 

Para un cubo: 

Y para el triángulo de Sierpinski: 

Esparcido por la literatura científica, el concepto de dimensión fractal se utiliza indiscriminadamente para designar dimensión de auto-similaridad (self-similarity dimension), dimensión de capacidad (capacity dimension), dimensión de correlación (correlation dimension),  dimensón de información (information dimension ), dimensión de Lyapunov, dimensión de Minkowski-Bouligand y un largo etc. 

No vamos a  detallar  todas las definiciones y diferencias entre todos los conceptos de dimensión. Pero sí creemos necesario ocuparnos de los más usados. Antes de abordar otras definiciones nos detendremos, en la siguiente sección, en algunas de implicaciones matemáticas de la auto-similaridad.

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Relaciones de escala  

En las primeras secciones de este capítulo hemos visto como al medir la longitud, el área o el volumen de objetos geométricos, el valor medido dependía de la resolución utilizada, del objeto que empleábamos para recubrir nuestra figura.   

Denominamos relación de escala a la forma matemática que describe esta relación funcional entre lo medido y la resolución de medida.   

Veamos cómo la autosimilaridad determina la relación de escala. La autosimilaridad se expresa matemáticamente de la siguiente manera. 

Si a cierta escala de resolución r nuestra medida es P(r), entonces a escala (a r) nuestra medida P(a r) será proporcional a P(r). Es decir,   

P(a r) = k  P(r) 

donde k es una constante de proporcionalidad. ¿Cómo dependerá entonces P de r, la medida de la resolución? ¿Qué relaciones matemáticas son compatibles con la autosimilaridad? 

La relación de escala más conocida es la ley de potencias (power law) que se expresa como:   

 P(r) = c rµ     .

Demostrarlo es fácil: 

P(a r) = c  aµ rµ

y  haciendo  k = c aµ  recuperamos la autosimilaridad: 

P(a r) = k rµ     Existe una condición más general denominada forma completa (full form), que incluye como caso particular la ley de potencias: 

P(r) = c rµ f (Ln r / Ln b) 

con c, µ y b constantes y f(x) una función periódica, tal que f(x+1) = f(x).  

Podemos, de hecho es un método estándar, determinar la dimensión fractal a partir de las relaciones de escala. Es el método más usado a partir de medidas experimentales. En general, el número de piezas N(r)

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para recubrir una figura geométrica es proporcional a r-D como vimos en la sección anterior:        

N(r) = r-D 

Supongamos que sobre nuestra figura geométrica hemos hecho medidas de longitud, área, volumen u otra medida P(r), que como hemos dicho depende de nuestra escala de medida r. Cada uno de los N(r) objetos que hemos empleado para recubrir la figura contribuye a la medida final con rd, donde d es igual a 1 si se trata de rectas, 2 si de superficies, etc ... Así la medida en función de r será: 

P(r) = N(r) rd = r-D  rd = rd-D

que claramente es una ley de potencias. 

En los dos últimos capítulos del curso (Fractales en la Naturaleza y Criticalidad Auto-organizada)     exploraremos con mayor detalle las leyes de potencias.

Dimensiones

Volvamos de nuevo al concepto de dimensión. Como comentamos, existe todo un repertorio de dimensiones. Conceptualemente cada una determina una propiedad distinta del objeto geométrico sobre el que la medimos. Podemos hacer tres grandes grupos: 

1. Dimensión fractal (p.ej. dimensión de autosimilaridad, de capacidad o de Hausdorff): se refieren a como el objeto geométrico llena el espacio en el que está inmerso. Las dimensiones fractales pueden ser enteras o fraccionarias.

2. Dimensión topológica (p.ej.: dimensión de recubrimiento o iterativa): nos hablan de la conectividad de los puntos del objeto de medida. Nos dice si nuestro objeto es una arista, un plano, un volumen, un hipervolumen, etc. Su valor es siempre entero.

3. Dimensión de inmersión (Embedding dimension): se refiere al espacio que contiene al objeto de estudio. Puede ser de nuevo entera o fraccionaria.

Como vimos la dimensión fractal de autosimilaridad es consistente

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con nuestra idea intuitiva de dimensión, pues nos proporcionaba 1, 2 y 3 para un segmento, un cuadrado y un cubo respectivamente. 

Una definición más general de dimensión fractal que la de autosimilaridad nos la proporciona la llamada dimensión de capacidad (capacity dimension). Para poder medir la dimensión de autosimilaridad necesitamos que nuestro objeto sea perfectamente autosimilar. Podemos relajar esta condición y utilizar el mismo método de recubrimiento para medir la dimensión de capacidad. Recubriremos, independientemente de la figura geométrica a estudio, con "bolas" de radio r. Determinamos el mínimo número N(r) de bolas de tamaño r que necesitamos para recubrir completamente al conjunto de puntos que forma nuestra figura. La dimensión de capacidad es: 

es decir un cociente que nos resulta familiar, pero haciendo el radio cero. La dimensión de capacidad es así una generalización de la dimensión de autosimilaridad y ambas coinciden para objetos totalmente autosimilares.