República Bolivariana de Venezuela

Ministerio Del Poder Popular Para la Educación Superior

UNEFA- Ing. Sistemas

Procesos Estocásticos

 

 

 

 

 

 

Anteproyecto:

Probabilidad de que en una carrera de tres carros, llegue ganador el primer auto, repitiendo dos veces el mismo

evento

 

 

 

Integrante:

Maria Carolina Pesquera

C.I: 21.344.216

 

Caracas, febrero de 2014

Introducción

En una variedad de sistemas intervienen factores que no se pueden

pronosticar con precisión. Para el estudio de estos sistemas, es conveniente medir

la incertidumbre a través del uso de la probabilidad. El estudio de sistemas donde

está presente la incertidumbre ha dado lugar a los modelos estocásticos que

tratan de explicar el funcionamiento de estos sistemas usando probabilidad.

Un proceso estocástico se define sencillamente como una colección

indexada de variables aleatorias.

Definimos Pij={tn =jø tn-1=i} :

Como la probabilidad de transición de un paso de ir del estado i en tn-1 al

estado j en tn y supongamos que estas probabilidades son estacionarias a través

del tiempo. Las probabilidades de transición del estado Ei al estado Ej se arreglan

de manera más conveniente en forma matricial.

La matriz P se llama transición homogénea o matriz estocástica porque

todas las probabilidades Pij son fijas e independientes en el tiempo. Las

probabilidades Pij deben satisfacer las condiciones

Pij=1, para toda i ; Pij " 0, para toda i y j

Una matriz de transición P junto con las probabilidades iniciales asociadas

con los estados, definen completamente una cadena de Markov.

En el siguiente proyecto buscaremos observar cual es la probabilidad que

un piloto gane una serie de carreras considerando como variable la aceleración de

su auto al iniciar.

Cuando tratamos de expresar con una cifra el rendimiento de un deportivo,

quizás la forma más representativa sea la de aceleración de 0 a 100 km/h.

La aceleración es la capacidad que tiene un vehículo para aumentar su

velocidad desde parado. Cuando el cambio de velocidad se produce en

movimiento se denomina recuperación. La aceleración de 0 a 100 km/h es el

tiempo, medido en segundos, que tarda el vehículo en pasar de 0 a 100 kilómetros

por hora. Un coche será capaz de acelerar más rápido cuanta más potencia tenga,

menos peso y mayor capacidad de tracción, aunque otros elementos como el tipo

de cambio también afectan al resultado final.

En nuestro caso teniendo en cuenta que son 3 automóviles que compiten

con las mismas características en tracción, peso, potencia y velocidad la

probabilidad que gane el auto número 1, seria 33,3. La cual será modificada

dependiendo de su aceleración.

Sabiendo que:

el estándar de aceleración en la Gp2 se define como de 0 a 100 Km/h en 9,8 segundos

Para realización nuestra matriz de transición definiremos una variable la

cual estará cambiando nuestro índice de probabilidad de ganar una carrera y será:

A= Aceleración del auto T= Tiempo P = La probabilidad

Nuestra variable “A” tendrá tres posibles estados que están basados en el

estándar de aceleración del GP2 son:

A= {Estado 0 = Aceleración de 0 a 100 Km/h en 12 segundos ->

(considerándose mala aceleración.)

Estado 1 = Aceleración de 0 a 100 Km/h en 9.8 segundos ->

(considerándose aceleración estándar)

Estado 2 = Aceleración de 0 a 100 Km/h en 8.0 segundos ->

(considerándose excelente aceleración)}

Planteamiento del Problema

Teniendo tres carros de igual marca y condición física, en una carrera de

200 metros de distancia que se repetirá dos veces, ¿Cuál es la probabilidad de

que el primer auto llegue de primero en todas las ocasiones? Sabiendo que si la

aceleración de la primera carrera fue mala la probabilidad de la aceleración de la

segunda carrera serán:

Que sea mala = 0.5

Que sea estándar = 0.3

Que sea excelente = 0.2

Si la aceleración de la primera carrera fue estándar la probabilidades de la

aceleración de la segunda carrera serán:

Que sea mala = 0.3

Que sea estándar = 0.4

Que sea excelente = 0.3

Y si la aceleración de la primera carrera fue excelente la probabilidades de la

aceleración de la segunda carrera serán:

Que sea mala= 0.2

Que sea estándar= 0.4

Que sea excelente= 0.4

Justificación del Problema

En este trabajo queremos desarrollar el estudio de análisis de un método de

reconocimiento de factibilidad en las opciones anteriormente planteadas,

aplicando los conceptos particulares de la materia de procesos estocásticos en el

tema de cadenas de Markov.

Buscamos que este estudio sea lo más aproximado a la realidad de nuestro

entorno.

Objetivo General

Calcular a través del método de Markov las posibilidades de que el primer

auto gane en todas las carreras sabiendo su aceleración.

Objetivo Específico.

Calcular mediante una cadena de Markov la probabilidad de que el primer

auto gane en todas las carreras si su aceleración es alta en todas las

salidas.

En caso de que el primer auto no llegue ganador en todas las carreras, cual

es la posibilidad que el carro gane las dos carrera teniendo la aceleracion

estándar.

Creando pequeñas tablas se muestran la probabilidades de tener una buena a

P { At+1 = 0 | At = 0} = 0.5

P{ At+1 = 0 | At = 1} = 0.3

P {At+1 = 0 | At = 2} = 0.2

P { At+1 = 1 | At = 0} = 0.3

P{ At+1 = 1 | At = 1} = 0.4

P {At+1 = 1 | At = 2} = 0.3

P { At+1 = 2 | At = 0} = 0.2

P{ At+1 = 2 | At = 1} = 0.4

P {At+1 = 2 | At = 2} = 0.4

Matriz de Transición

Estado ActualAt

Estado SiguienteAt+1

0 1 2

0 P00= 0.5 P01= 0.3 P02= 0.2

1 P10= 0.3 P11= 0.4 P12= 0.3

2 P20= 0.2 P21= 0.4 P22= 0.4

Diagrama de Transición

Probabilidad de Estados

Para una matriz de 3x3 se plantea las siguientes ecuaciones:

Π0 = probabilidad de tener mala aceleración Π1= probabilidad de tener aceleración estándar Π2 = probabilidad de tener excelente aceleración