UNIVERSIDAD IBEROAMERICANA

PROYECTO DE TITULACIÓN:

“ANÁLISIS Y PREDICCIÓN DE LA DEMANDA FUTURA DE TRANSPORTE DE PASAJEROS: APLICACIÓN AL ESTUDIO

DE UNO DE LOS CORREDORES DE TRANSPORTE TERRESTRE DE PASAJEROS EN QUITO, ECUADOR,

PARA MEJORAR SU CALIDAD DEL SERVICIO”.

QUE PARA OBTENER EL GRADO DE

MAESTRO EN INGENIERÍA DE CALIDAD

PROPONE:

VERÓNICA MARIANELA VARELA CHAMORRO

BAJO LA DIRECCIÓN DEL:

DR. PRIMITIVO REYES AGUILAR

ContenidoRESUMEN...............................................................................................................................................6

CAPITULO I INTRODUCCIÓN................................................................................................................8

1.1. EL SISTEMA DE TRANSPORTE MASIVO EN EL MUNDO Y LATINOAMÉRICA..............................9

1.2. EL SISTEMA INTEGRADO DE TRANSPORTE MASIVO (SITM) EN LA CIUDAD DE MÉXICO........11

1.3. EL PRIMER SISTEMA DE TRANSPORTE MASIVO EN QUITO, EL TROLEBÚS Y DEMÁS CORREDORES VIALES.........................................................................................................................12

1.4. JUSTIFICACIÓN.......................................................................................................................15

1.5. ALCANCE DEL PROYECTO.......................................................................................................15

CAPITULO II PLANTEAMIENTO DEL PROBLEMA.............................................................................17

2.1. OBJETIVOS.............................................................................................................................18

2.1.1. OBJETIVO PRINCIPAL......................................................................................................18

2.1.2. OBJETIVOS SECUNDARIOS.............................................................................................18

2.2. DESCRIPCIÓN Y FORMULACIÓN DEL PROBLEMA...................................................................18

2.3. PREGUNTAS DE INVESTIGACIÓN............................................................................................20

2.4. HIPÓTESIS DE TRABAJO.........................................................................................................21

2.5. METODOLOGÍA A UTILIZAR...................................................................................................21

CAPITULO III METODOLOGÍA DE LOS PRONÓSTICOS......................................................................24

3.1. BREVE RESEÑA HISTÓRICA.....................................................................................................25

3.2. CLASIFICACIÓN DE LOS ENFOQUES PARA PRONÓSTICOS......................................................26

3.2.1. MÉTODOS DISCRECIONALES O CUALITATIVOS..............................................................27

3.2.2. MÉTODOS CUANTITATIVOS...........................................................................................27

3.2.3. MÉTODOS TECNOLÓGICOS............................................................................................29

3.3. TIPOS DE MODELOS...............................................................................................................30

3.4. TIPO DE PATRONES EN LOS DATOS........................................................................................32

3.5. MEDICIÓN DEL ERROR EN EL PRONÓSTICO...........................................................................34

3.5.1. DESVIACIÓN ABSOLUTA DE LA MEDIDA (MAD).............................................................35

3.5.2. ERROR MEDIO CUADRADO (EMC).................................................................................36

3.5.3. PORCENTAJE DE ERROR MEDIO ABSOLUTO (PEMA)......................................................36

3.5.4. PORCENTAJE DE ERROR MEDIO.....................................................................................36

3.6. ETAPAS DE LA SOLUCIÓN DE PROBLEMAS RELACIONADOS CON LOS PRONÓSTICOS...........38

CAPITULO IV MODELOS DE PREDICCIÓN CUANTITATIVOS: MÉTODOS DE SUAVIZAMIENTO Y DESCOMPOSICIÓN...............................................................................................................................41

4.1 ANÁLISIS EXPLORATORIO DE LAS SERIES DE TIEMPO............................................................42

4.1.1 CREACIÓN DE VARIABLES TEMPORALES:.......................................................................42

4.1.2 REPRESENTACIÓN DE LA SERIE ORIGINAL......................................................................43

4.1.3 ANÁLISIS DEL DIAGRAMA DE SECUENCIAS....................................................................45

4.1.4 ANÁLISIS DE LOS DATOS DE LA SERIE DE TIEMPO SIN VALORES PERDIDOS...................46

4.1.5 PERÍODO HISTÓRICO Y PERÍODO DE VALIDACIÓN.........................................................48

4.2 MODELO DE PREDICCIÓN CUANTITATIVO: MÉTODOS DE SUAVIZAMIENTO.........................49

4.2.1 MODELOS NO FORMALES:.............................................................................................51

4.2.2 MÉTODOS DE PROMEDIO..............................................................................................51

4.2.3 MODELOS DE SUAVIZAMIENTO EXPONENCIAL ÚNICOS................................................54

4.2.4 MODELOS DE SUAVIZAMIENTO EXPONENCIAL LINEAL (SUAVIZAMIENTO EXPONENCIAL DOBLE DE HOLT)............................................................................................................................58

4.2.5 MODELOS DE SUAVIZAMIENTO EXPONENCIAL DE WINTER...........................................63

4.3 MÉTODOS DE DESCOMPOSICIÓN PARA PRONÓSTICOS DE SERIES DE TIEMPO.....................68

CAPITULO V MODELOS DE PREDICCIÓN CUANTITATIVOS: MODELOS ARIMA ESTACIONALES. .79

6.1. BREVE ESTUDIO DEL ANÁLISIS DE REGRESIÓN LINEAL...........................................................80

6.2. PANORAMA GENERAL DEL ARIMA.........................................................................................84

6.2.1. AUTOREGRESIÓN...........................................................................................................84

6.2.2. DIFERENCIACIÓN............................................................................................................85

6.2.3. MEDIAS MÓVILES...........................................................................................................85

6.3. ETAPAS DE APLICACIÓN DEL ARIMA......................................................................................86

6.3.1. IDENTIFICACIÓN.............................................................................................................86

6.3.2. ESTIMACIÓN..................................................................................................................90

6.3.3. VALIDACIÓN.................................................................................................................102

6.3.4. PREDICCIÓN.................................................................................................................106

6.4. ALGUNOS OTROS MODELOS ÚTILES....................................................................................108

6.4.1. ANÁLISIS ESPECTRAL: UNA PANORÁMICA GENERAL:..................................................108

6.4.2. REDES NEURONALES ARTIFICIALES: UNA PANORÁMICA GENERAL:.............................109

CAPITULO VII CONCLUSIONES Y RECOMENDACIONES.................................................................113

ANEXO A.............................................................................................................................................117

ANEXO B.............................................................................................................................................118

ANEXO C.............................................................................................................................................120

ANEXO D.............................................................................................................................................123

ANEXO E.............................................................................................................................................124

BIBLIOGRAFÍA...................................................................................................................................126

Ilustración 1: Red de transporte en Curitiba Brasil.........................................................................................10Ilustración 2: Metrobús de la Ciudad de México............................................................................................11Ilustración 3 Trolebús de la Ciudad de Quito.................................................................................................12Ilustración 4 Red de Transporte de Quito - Ecuador.......................................................................................13Ilustración 5 Plan Maestro de Transporte para la ciudad de Quito – Ecuador.................................................14Ilustración 6 Corredor Nororiental de Quito - Ecuador...................................................................................15Ilustración 7 Demanda de pasajeros de un corredor de transporte de Quito - Ecuador...................................19Ilustración 8 Proyección de demanda de pasajeros transportados vs. Demanda real......................................20Ilustración 9 Pronóstico................................................................................................................................ 25Ilustración 10 Técnica cualitativa................................................................................................................... 27Ilustración 11 Método cuantitativo............................................................................................................... 27Ilustración 12 Método tecnológico................................................................................................................ 29Ilustración 13 Relación de Series de Tiempo..................................................................................................30Ilustración 14 Relación explicativa o causal...................................................................................................30Ilustración 15 Patrón Horizontal.................................................................................................................... 32Ilustración 16 Patrón Estacional.................................................................................................................... 33Ilustración 17 Patrón Cíclico.......................................................................................................................... 33Ilustración 18 Patrón de tendencia de los datos.............................................................................................34Ilustración 19 Metodología para encontrar un modelo que permita predecir.................................................40Ilustración 20 Determinación de periodicidad de los datos SPSS....................................................................43Ilustración 21 Gráfica de secuencia de la serie temporal “Demanda de pasajeros transportados”..................44Ilustración 22 Diagrama de secuencias de tres semanas de la serie temporal “Demanda de pasajeros

transportados”..................................................................................................................................... 45Ilustración 23 Procedimiento para eliminar Outlier en SPSS...........................................................................46Ilustración 24 Los resultados estadísticos del análisis exploratorio realizado a la serie de datos “Pasajeros

corregidos”........................................................................................................................................... 47Ilustración 25 Determinación de los períodos de análisis en SPSS..................................................................48Ilustración 26 Modelos de predicción mediante suavizamiento exponencial..................................................50Ilustración 27 Gráfica de los pronósticos obtenidos mediante promedios móviles.........................................52Ilustración 28 Cálculo del modelo de predicción con el método simple con SPSS..........................................55Ilustración 29 Valores Observados Vs. Pronóstico mediante método simple..................................................57Ilustración 30 Diagrama de secuencia de la variable del error con el método simple......................................58Ilustración 31 Cálculo del modelo de predicción con el Método de suavizamiento de Holt con SPSS..............59Ilustración 32 Valores Observados Vs. Pronóstico mediante Método de Holt.................................................62Ilustración 33 Diagrama de secuencia de la variable de error obtenida con el método de Holt.......................63Ilustración 34 Cálculo del modelo de predicción con el Método de suavizamiento de Winter con SPSS..........64Ilustración 35 Valores Observados vs. Pronóstico con el Método de Winters.................................................67Ilustración 36 Suma de los errores cuadráticos obtenidos con los modelos de suavizamiento exponencial.....68Ilustración 37 Cálculo del modelo de predicción con el Método de Descomposición estacional con SPSS......71Ilustración 38 Creación de variables mediante el método de Descomposición estacional con SPSS.................71Ilustración 39 Componentes de la serie pasajeros.........................................................................................73Ilustración 40 Instrucciones para el método de descomposición en Minitab..................................................74Ilustración 41 Datos observados vs. Predicción con método de descomposición estacional............................75Ilustración 42 Datos Observados vs. Aplicación del método de Descomposición estacional............................77Ilustración 43 Comparación de suma de los errores cuadráticos de los métodos de suavización y

descomposición.................................................................................................................................... 78Ilustración 44 Componentes de la Regresión lineal........................................................................................80Ilustración 45 Variaciones presentes en el análisis de regresión.....................................................................81Ilustración 46 Proceso Iterativo utilizado en los modelos ARIMA...................................................................87Ilustración 47 Serie Temporal de la demanda de pasajeros con la media general de la serie...........................88

Ilustración 48 Instrucciones para calcular las autocorrelaciones y autocorrelaciones parciales en SPSS..........90Ilustración 49 Gráfica de las autocorrelaciones y autocorrelaciones parciales de la serie original...................91Ilustración 50 Instrucciones en SPSS para el cálculo de las autocorrelaciones y autocorrelaciones parciales con

una diferenciación estacional................................................................................................................ 91Ilustración 51 Gráficas de las autocorrelaciones y autocorrelaciones parciales con una diferenciación

estacional............................................................................................................................................. 92Ilustración 52 Instrucciones en SPSS para el cálculo de los errores de un modelo estacional ARIMA (1,1,2)....93Ilustración 53 Series creadas por SPSS con la corrida del ARIMA estacional (1,1,2).........................................93Ilustración 54 Instrucciones en SPSS para el cálculo de las autocorrelaciones y autocorrelaciones parciales

sobre los residuos del ARIMA estacional (0,0,0)(0,1,0)...........................................................................94Ilustración 55 Graficas de las autocorrelaciones y autocorrelaciones parciales del ARIMA (0,0,0)(1,1,2).........94Ilustración 56 Cálculo de los coeficientes autoregresivos y media móvil del ARIMA no estacional.................95Ilustración 57. Instrucciones en SPSS para calcular las autocorrelaciones y autcorrelaciones parciales sobre los

errores del modelo estacional ARIMA (2,0,1)(1,1,1).............................................................................102Ilustración 58 Gráfica de las autocorrelaciones y autocorrelaciones parciales del modelo estacional ARIMA

(2,0,1)(1,1,1)....................................................................................................................................... 103Ilustración 59 Habilitación de toda la serie de datos para calcular el pronóstico...........................................104Ilustración 60 Instrucciones en SPSS para graficar la secuencia de la serie de tiempo original y la predicción.

........................................................................................................................................................... 104Ilustración 61 Datos reales Vs. Predicción con modelo estacional ARIMA (2,0,1)(1,1,1) en el período de

validación........................................................................................................................................... 105Ilustración 62 Serie de pasajeros transportados Vs. Predicción con el Modelo ARIMA (2,0,1)(1,1,1).............106Ilustración 63 Comparación de las sumas de cuadrados de los métodos de series de tiempo........................107Ilustración 64 Arquitectura habitual de una red neuronal............................................................................109Ilustración 65 Características de las redes neuronales..................................................................................109Ilustración 66 Proceso para representar la red inicial...................................................................................111

RESUMEN

Las empresas a nivel mundial operan en una atmósfera de incertidumbre y a pesar de este hecho, deben tomar decisiones que afecten el futuro de la organización, por ello, los pronósticos son parte integral de la planeación y de su precisión dependen: la supervivencia, el crecimiento y la rentabilidad a largo plazo, así como la eficiencia y efectividad a corto plazo.

Es importante por lo tanto que las empresas tengan pronósticos eficaces, este trabajo se enfoca en establecer un mecanismo de apoyo teórico práctico para los administradores, específicamente con respecto a la predicción de demanda de pasajeros de una empresa de transporte terrestre masivo de pasajeros en Quito-Ecuador.

El objetivo es plantear una metodología para que la toma de decisiones esté basada en estadísticas sólidas que permitan disminuir cualquier posible error, en vez de que se vean forzados a planear el futuro únicamente con base en métodos tradicionales como el juicio del administrador o métodos cualitativos simples sin el beneficio de esta valiosa información complementaria.

Sin embargo, este trabajo no ratifica que el modo tradicional de planificación haya sido deficiente, sino más bien lo que se busca es una comprensión de las técnicas modernas de pronósticos y disminuir la incertidumbre del juicio personal del administrador, para apoyarlo en la mejora de la calidad en el servicio y la satisfacción del cliente, al mismo tiempo que reduce los costos de operación.

En los últimos años las herramientas modernas de pronóstico, ha incrementado capacidad y confianza en las técnicas que abarcan una compleja manipulación de datos, este trabajo se enfoca al análisis y aplicación de esta tecnología aplicando algunos modelos cuantitativos para pronosticar, combinando sus resultados, tanto de rapidez como de efectividad en el manejo de la enorme cantidad de datos y la necesidad de extraer información útil de los mismos.

Para realizar el estudio de los distintos métodos cuantitativos utilizados en los pronósticos, enfocados a la proyección de la demanda de pasajeros de un sistema de transporte terrestre masivo, este trabajo se divide en varios capítulos.

El primer capítulo describe la terminología utilizada en el sector de transporte terrestre, y da una visión general del avance a nivel mundial de los sistemas de transporte terrestre masivo, con enfoque al sistema de transporte masivo de pasajeros de Quito.

El segundo capítulo abarca la problemática que actualmente se vive en relación al manejo de la planificación del sistema de transportación terrestre de Quito, se plantea el problema motivo de este trabajo, los objetivos y las hipótesis del caso.

El tercer capítulo es la introducción teórica al mundo de los pronósticos, el objetivo de este capítulo es poder diferenciar los pronósticos de largo plazo de los pronósticos a corto plazo, así como las distintas clasificaciones y su aplicabilidad dependiendo de la situación. Se

describen las características más importantes de los modelos de predicción más comunes, los errores, y la forma de cálculo.

El capítulo cuatro analiza los distintos métodos de pronósticos cuantitativos desarrollados en el siglo XIX, llamados los métodos de suavizamiento exponencial y métodos de descomposición. En este capítulo se hace énfasis en la aplicación de los métodos de predicción cuantitativos utilizando datos reales del sistema de transporte terrestre masivo de pasajeros de la ciudad de Quito, incluyendo la determinación de los errores de pronósticos, con el fin de seleccionar el método recomendable. La selección del software a utilizar también es parte importante de este capítulo.

El capítulo cinco inicia con un breve repaso del análisis de regresión lineal, para definir los conceptos y términos relevantes que se utilizan en capítulos posteriores. (Su aplicación en el pronóstico de la demanda no es efectiva, por lo que sólo se utiliza como referencia). Continúa el desarrollo incluyendo el análisis de los datos históricos del sistema de transporte terrestre de un corredor de Quito, materia prima de las proyecciones, se identifican y depuran los patrones por medio de la Metodología de Box Jenkins para modelos de pronóstico autorregresivos, integrales de media móvil (Modelos ARIMA (p,d,q)(P,D,Q)); los datos se dividen en dos partes: la primera se utiliza para la construcción del modelo y la segunda se utiliza para su validación, lo que permite seleccionar el modelo más adecuado.

Al final se presenta una sección de conclusiones y recomendaciones, donde se establecen las conclusiones a los objetivos, planteamiento del problema, hipótesis de trabajo, etc. así como las dificultades y lecciones aprendidas en el desarrollo de este trabajo. También se proporcionan recomendaciones a quienes deseen realizar trabajos similares o continuar la investigación del tema.

Tanto las conclusiones y las recomendaciones se trasladan al sistema de transporte masivo de pasajeros del Distrito Metropolitano de Quito, objeto de estudio de este trabajo.

CAPITULO I INTRODUCCIÓN

Este capítulo presenta una visión general de lo que está sucediendo actualmente en el mundo en materia de transporte, con énfasis en el sistema de transporte terrestre masivo en la ciudad de Quito. En el ANEXO A se presenta un glosario de términos para facilitar la comprensión de la lectura de este trabajo.

En su transición a la modernidad, las ciudades a nivel mundial han tenido que cambiar su fisonomía en diversas ocasiones, principalmente en lo relacionado al transporte público de pasajeros, que también ha transformado su estructura, hace más de un siglo se inició con los tranvías impulsados por vapor, generado por grandes calderas montadas en los mismos.

La sociedad con base en el consumo requiere como piedra angular el transporte, ya que todos los bienes se transportan. Además, la concentración de la población, en grandes ciudades o áreas metropolitanas tiene la necesidad de un transporte colectivo eficiente para el desarrollo de la vida cotidiana de éstas.

Construir más carreteras parece no ser una solución suficiente a los problemas del transporte. Mediante la planificación eficiente y el buen uso de la tecnología, la infraestructura de transporte puede ser más inteligente, para reducir los embotellamientos, disminuir las emisiones de los vehículos en tráfico intermitente, reducir el tiempo de viaje, aumentar la capacidad de las carreteras existentes y mejorar la calidad del servicio.

Este capítulo se desarrolla con los siguientes incisos: 1.1 El sistema de transporte masivo en el mundo y latinoamérica1.2 El sistema integrado de transporte masivo en la Ciudad de México1.3 El trolebús y demás corredores viales1.4 Justificación1.5 Alcance del proyecto

1.1. EL SISTEMA DE TRANSPORTE MASIVO EN EL MUNDO Y LATINOAMÉRICA

Hoy en día, en el mundo, el transporte masivo de pasajeros mediante líneas de autobuses privadas (anteriormente monopolios) afronta competencia con los sistemas de transporte municipales. Esto se debe a que el transporte masivo se ha convertido en pieza clave para el buen funcionamiento de la ciudad, a pesar de las duras críticas de grupos que no aceptan el cambio, se plantean varios sistemas de transporte para ser utilizados en el área urbana, tales como el tren  subterráneo y los trenes de superficie. El primero es conocido como metro. Los trenes de superficie, incluyen al tren de dos rieles, el tren ligero, el  monorriel, el tren elevado y el sistema de carriles exclusivos, con paradas fijas y autobuses de gran capacidad, denominados BRT (Bus Rapid Transit, por su siglas en inglés; ver definición de Corredor vial en el Anexo A).

Los BRT, han tenido tanto éxito que se han implementado como una solución económica y eficiente principalmente en 41 ciudades del mundo, 12 de las cuales están en Latinoamérica.Algunos planes y experiencias en Latinoamérica son las siguientes: en Ecuador, se inició la operación de las líneas de autobús y trolebús en Quito en 1995; después en Guayaquil, se abrió la primera de tres líneas troncales en agosto de 2006 con resultados positivos. También, en Santiago de Chile se inauguró Transantiago, con más construcciones ya planificadas. En Perú, la construcción del autobús expreso de Lima se encuentra en la fase de planeación. En Brasil, hay sistemas operando en Curitiba (el primer SITM del mundo), Goiania, Fortaleza y Manaus. En la ciudad de Guatemala han iniciado la construcción del TransMetro.1

Entre otras experiencias a nivel mundial se tienen: en América del Norte hay BRT en cinco ciudades, entre las cuales están Los Ángeles, Miami y Boston; en Oceanía se tiene en tres ciudades, incluyendo Sydney y Adelaida;  en Europa existe en 17 ciudades incluyendo París, Ámsterdam y Edimburgo;   en Asia, en cuatro ciudades, entre las que se encuentran Seúl y Beijing.  A nivel mundial se identificaron aproximadamente 15 más en construcción y 79 proyectos en la etapa de planificación. La tendencia mundial, se orienta hacia la implementación de estos sistemas, por rentabilidad, eficiencia en el servicio de transporte de pasajeros y cuidado del ambiente.2 A continuación la ilustración 1 muestra un diagrama de las líneas de autobuses y terminales de transporte colectivo de Curitiba, Brasil, pionero en implementar este tipo de servicio de transporte en América Latina, donde se aprecia el sistema integral de transporte que incluye: troncales, líneas alimentadoras, paradas y estaciones.

1 www.discapnet.es/Discapnet/Castellano/Actualidad/Especiales/sitm_accesibles.htm, consultada el 15 de enero de 2008.2 http://www.quitoparatodos.org/traq.htm, consultada el 23 de enero de 2008.

Ilustración 1: Red de transporte en Curitiba Brasil

1.2. EL SISTEMA INTEGRADO DE TRANSPORTE MASIVO (SITM) EN LA CIUDAD DE MÉXICO

Uno de los casos de BRT que ha despertado interés en la comunidad del transporte, han sido las dos líneas del nuevo sistema integral de transporte metropolitano (SITM) Metrobús de la Ciudad de México sobre la avenida de los Insurgentes y Eje 8, que son dos de las principales avenidas dentro de la ciudad, como parte del área metropolitana, la cual es considerada una de las más grandes del mundo. El SITM tiene más de veinte kilómetros y da servicio a más de un cuarto de millón de pasajeros por día, con una flota de más de cien autobuses articulados, que desplazaron a viejos microbuses y autobuses contaminantes.

Después de un arranque caótico, se reporta que ahora la satisfacción de los pasajeros es buena. Una ventaja adicional del SITM, es el acceso de sillas de ruedas que existe en la mayoría de las estaciones. El personal de seguridad está a la mano para ayudar a los pasajeros. Con base en quejas y observaciones de los usuarios, se están tomando acciones para mejorar la infraestructura, tal como el espacio horizontal entre las plataformas elevadas y los autobuses.3

No obstante, conforme se termine la infraestructura peatonal circundante, así como las líneas de alimentación, aumentará la demanda del número de pasajeros a los corredores del SITM, por lo que están planeadas otras siete líneas adicionales.

3 www.discapnet.es/Discapnet/Castellano/Actualidad/Especiales/sitm_accesibles.htm - del miércoles, 16 de enero de 2008.

Ilustración 2: Metrobús de la Ciudad de México

1.3. EL PRIMER SISTEMA DE TRANSPORTE MASIVO EN QUITO, EL TROLEBÚS Y DEMÁS CORREDORES VIALES.

El 24 de octubre de 1995 Quito recibió el primer trolebús prototipo, siendo el comienzo de un cambio radical que experimentarían los capitatalinos. En la primera quincena de diciembre de ese mismo año, arribaron las primeras trece unidades, provenientes del puerto marítimo de Esmeraldas.

El Municipio del Distrito Metropolitano de Quito, en el año de 1995 crea la UNIDAD OPERADORA DEL SISTEMA TROLEBÚS, que es la encargada de la operación de los trolebuses. El 17 de diciembre de 1995, con 14 trolebuses se inauguró la primera etapa de El Trole, en el tramo comprendido entre la Estación Sur “El Recreo” y la calle Esmeraldas, más las líneas alimentadoras del Sur Trole.

En esta etapa se transportó un promedio de 50,000 pasajeros diarios.

El 19 de marzo de 1996, entró en servicio la segunda etapa, desde “El Recreo” hasta “La Colón”, con 32 unidades, luego de superar un gravísimo conflicto con los transportistas, que llevó a que nuestra ciudad sea declarada en estado de emergencia. El promedio de usuarios que se transportó fue de 90.000 pasajeros diarios. Finalmente en el año 2000 se inauguró la extensión Morán Valverde para lo que arribaron nuevas unidades con algunos cambios en los diseños de ingeniería.

El 21 de abril de ese año se inauguró la tercera etapa, desde la Estación Sur de "El Recreo" hasta la Estación Norte de "La Y", con 54 vehículos integrando a la ciudad de Quito con un moderno sistema de transporte. El promedio de usuarios que se transportó, fue de 100.000 pasajeros diarios. En el año 2000 se inauguró la extensión Sur que comprende el tramo Morán Valverde hasta Terminal Norte, con 113 unidades.

Un aspecto relevante ocurrido en el periodo 2002-2003 fueron los trabajos que se ejecutaron en el Intercambiador Villa Flora, en el que el tiempo de operación aumento aproximadamente unos 40 minutos, por lo que los usuarios optaron por otras alternativas. A inicios del 2004 se incrementa de la demanda por la finalización de trabajos en el Intercambiador. Cabe destacar que el Trolebús a participado como pionero en la operación de los corredores que se han ido incorporando al servicio de la ciudad: Corredor Nororiental (Ecovía) y Corredor Central Norte”4

Con referencia a otro Sistema de Transporte Integrado de Quito, el Corredor Nororiental Ecovía, fue creado inicialmente con el aporte de siete empresas y cooperativas de transporte público; en la actualidad, por desacuerdos entre la empresa privada y la municipalidad, esta última está encargada de la Administración, haciendo posible prestar un servicio en horarios controlados, más económico para el usuario, rápido mediante el carril exclusivo y con alimentadores a los distintos barrios.

El Sistema Troncal de Transporte en el corredor Nororiental Ecovía-6 de Diciembre, es parte del Plan de Transporte del Distrito Metropolitano de Quito, impulsado por el Consejo Municipal del Distrito Metropolitano de Quito.

4 http://www.trolebus.gov.ec/, consultada el 25 de enero de 2008.

Ilustración 3 Trolebús de la Ciudad de Quito

Ecuador está en este proceso de transformación y nueva administración. Las ciudades han crecido en forma desordenada durante los últimos años. Desde hace unos diez años a esta parte cambió radicalmente la administración de esta ciudad, desde luego con los consiguientes problemas y soluciones, que resultan en todo crecimiento. No se trata de un crecimiento lineal o vegetativo. La lucha para lograr una nueva cultura de responsabilidad citadina está dando frutos; y aquello que es de beneficio para la sociedad debe ser imparcialmente apoyado. Los gobiernos municipales, en el intento de gobernar para todos, toman sus propias medidas que ya no se enfocan en lineamientos políticos sino más bien en ámbitos sociales, una parte de ello es justamente el planteamiento de formas organizadas y masivas de movilidad en las ciudades.

El planteamiento de sistemas de movilidad masivos mediante la creación de corredores viales es una buena propuesta de regeneración urbana. Es parte del aprovechamiento de la tecnología de la innovación aplicada al transporte masivo en una ciudad, que seguirá creciendo y demandando más servicios. El futuro está llegando. Las ciudades crecen y demandan, en la mayoría de las veces, las demandas son superiores a los recursos, pero si el contribuyente advierte los beneficios de lo que le cuesta el progreso, apoya que se mantenga.

Esta visión es la que se aplica a nivel mundial y Ecuador no es la excepción, los ciudadanos desean la mejora constante a nivel urbano y la construcción de Corredores viales contribuyen a lograr este fin, a continuación se muestra, la ilustración 5 que muestra un diagrama de la estructura de los corredores principales de transporte público urbano en Quito, que resume el mencionado Plan Maestro de Transporte la administración.

Contiene los corredores que hoy en día están funcionando y los que aún resta por implementar. Los más representativos son el Corredor Nororiental Ecovía (Av. 6 de Diciembre), actualmente en funcionamiento; el Corredor Central Trolebús (Av. 10 de Agosto), el más grande de la ciudad en demanda y en infraestructura; y el Corredor Central Norte (Av. La Prensa).

Ilustración 4 Red de Transporte de Quito - Ecuador

Ilustración 5 Plan Maestro de Transporte para la ciudad de Quito – Ecuador.

1.4. JUSTIFICACIÓN

La Maestría en Ingeniería de Calidad (MIC) tiene entre sus objetivos formar profesionales capaces de mejorar los productos, servicios y procesos en las organizaciones apoyando los procesos de toma de decisiones, a través de la utilización de métodos estadísticos5,

Se ha analizado al transporte como una herramienta de mejora urbana y de calidad de vida de las ciudades, en este sentido resulta indispensable y necesaria la planeación para optimizar su rentabilidad y eficiencia, que permita satisfacer

las necesidades de sus clientes, usuarios y la sociedad.

Por lo tanto, enlazando estos dos ámbitos, nace la propuesta de este trabajo, justificado en la necesidad

por un lado de dotar de una herramienta estadística que permita mejorar la toma de decisiones para la planeación y la mejora de la operación de un sistema de transporte de la ciudad de Quito y por otro el de disminuir el efecto subjetivo del ser humano, que puede subestimar la incertidumbre del futuro. Para superar esto, hay que procesar los conocimientos actuales y desarrollar técnicas estadísticas aplicables, dirigidas a este sector, con el fin de contribuir a su desarrollo.

La identificación de métodos de pronóstico aplicables al análisis de la demanda futura de pasajeros en el sistema de transporte terrestre masivo de pasajeros, es una herramienta que permite generar opciones de solución, por lo que, este estudio se enfoca en modelar de una manera confiable la demanda para hacer un planteamiento mejor de la planificación financiera y operativa.

1.5. ALCANCE DEL PROYECTO

En este trabajo se realiza una revisión de algunos métodos de predicción y presenta un método que ayude en gran medida a disminuir el tiempo y la incertidumbre del proceso de planificación, por lo que inicialmente el alcance de este trabajo será poder crear un modelo para la demanda de los pasajeros aplicando los distintos métodos cuantitativos existentes.

Los datos que serán sometidos a análisis son los obtenidos de un sistema de transporte de Quito desde 1997 a enero del 2009. Los resultados pueden servir para realizar pronósticos de la demanda aplicables a los demás corredores del país.

En cuanto a los horizontes de tiempo de pronósticos, es más relevante el pronóstico diario por lo menos de un año, ya que la planificación del transporte se lo realiza en este intervalo de tiempo.

Cabe mencionar que lo que se pretende es contar con un modelo de tal manera que se pueda actualizar los períodos que se consideren necesarios con facilidad y confiabilidad.

RESUMEN: Se ha analizado el desarrollo que ha tenido el área del transporte a nivel mundial y se ha comprendido su importancia y la relevancia que tiene como medio de sostenibilidad en todas las ciudades del mundo con principal interés en la ciudad de Quito – Ecuador.

5 http://www.uia.mx/web/site/tpl-Nivel2.php?menu=adAspirantes&seccion=MIngcalidad consultada el 19 de enero de 2008.

Ilustración 6 Corredor Nororiental de Quito - Ecuador

Se ha hablado que el desarrollo y el avance tecnológico así como una eficiente planificación hace posible que esta piedra angular –el transporte de personas - sea un medio de progreso y desarrollo de las grandes ciudades.

El proceso de crecimiento urbano desordenado obliga a los administradores del transporte a crear mejores formas de desenvolvimiento urbano, para ello es necesario contar con una mejor planificación y eso desemboca en que una aparte demás importante en este proceso, es contar con una buena estimación de la demanda a la que se tendrá que satisfacer, creando en base a ella unas posibles estrategias y decidiendo sobre las mejores alternativas.

En este sentido, ahora se aborda una de las problemáticas que afronta este sector, el desconocimiento sobre el manejo estadístico que permita confiablemente predecir valores de demanda. El capítulo que a continuación se presenta abarca los problemas que afronta la planificación hoy en día en Quito y lo plantea como motivo principal de este trabajo.

CAPITULO II PLANTEAMIENTO DEL PROBLEMA

El crecimiento poblacional de la ciudad de Quito durante los últimos años así como la incómoda ubicación física, exigió a los administradores de transportes que cubrieran los niveles óptimos de capacidad, es decir plantear proyectos de transportación masiva incrementando la capacidad de las unidades de transporte además de combinarlas con vías exclusivas, acoplando así los conocidos ahora Sistemas de Transportación Masiva.

La gran demanda de usuarios en este medio de transportación sorprendió a los administradores y con ello obligó a las autoridades a planear la construcción de otras líneas, que actualmente suman ya cuatro corredores viales, sin que su modernización se detenga, y con ello una preocupación inherente al crecimiento de cualquier empresa la demanda futura y su inminente planificación a corto, mediano y largo plazo.

Este capítulo expone la problemática que se tiene al momento de planificar un corredor vial de Quito con respecto a las proyecciones de demanda, fija objetivos y se plantea hipótesis que al transcurrir este trabajo se validarán.

Por último presenta la metodología que se aplicará con el fin de encontrar una vía de solución para este problema en la planificación.

2.1. OBJETIVOS

2.1.1. OBJETIVO PRINCIPAL

Establecer un método de pronósticos de la demanda con el apoyo del software, que proporcione apoyo teórico práctico a los administradores y empresarios de servicios de transporte de pasajeros de los Corredores de Quito - Ecuador, que les permita tomar mejores decisiones, con el apoyo de métodos estadísticos.

2.1.2. OBJETIVOS SECUNDARIOS

1. Estudiar algunas modalidades del transporte masivo de pasajeros en diversas ciudades del mundo.

2. Identificar la importancia y necesidad de los pronósticos de la demandad en el sector de transporte masivo.

3. Establecer el plan de colección de información histórica de referencia y colectarla. 4. Estudiar las aplicaciones de los métodos de pronósticos.5. Conocer e identificar los diferentes métodos de pronósticos así como los pasos o etapas

a realizar, en el momento en el que se decida aplicar un método de pronóstico. 6. Diferenciar los pronósticos de largo plazo de los pronósticos a corto plazo de la

demanda, incluyendo tendencias y estacionalidad. 7. Seleccionar el modelo más adecuado para el pronóstico de la demanda de pasajeros en

el SITM.8. Obtener y analizar los resultados obtenidos de la aplicación del modelo de predicción.9. Concluir sobre la metodología aplicada.

2.2. DESCRIPCIÓN Y FORMULACIÓN DEL PROBLEMA

Los Corredores viales son el intento de resolver un problema social humano. El usuario va aceptando la solución y ya se observan a los vehículos de los corredores llenos de pasajeros. La “demanda” es una variable de interés para la planificación de este sector, su crecimiento no planificado ha superando a la oferta, resultando en un servicio deficiente, colapsado e incómodo. En Ecuador, parece ser que no se aplicaron métodos adecuados, que permitan a los Administradores realizar una planificación con menos incertidumbre, en algunos casos se aplicaron métodos empíricos o el juico del administrador, resultando inadecuado para pronóstico de la demanda.

Se tiene la necesidad de pronosticar la demanda futura, con el fin de planificar los presupuestos, ingresos, gastos, servicio, etc. de cada uno de los corredores. Hoy en día se cuenta con técnicas modernas de pronóstico y apoyo de las computadoras, que pueden permitir generar pronósticos que no estén basados en el juicio o experiencia.

Estas técnicas se enfocan de manera particular a reducir los errores de predicción, que son parte inherente de cualquier modelo de pronóstico.

Por lo anterior, el estudio de la demanda de pasajeros así como su proyección al futuro son herramientas poderosas y necesarias para alcanzar los objetivos de crecimiento y así enfocarse en una planificación más efectiva y eficiente, por lo que esta variable será de interés, para contribuir con un trabajo que hasta ahora no se lo ha realizado y que han hecho

que las decisiones tomadas hasta el día de hoy como las basadas en presupuestos, en la inversión de proyectos anuales sean tomadas de forma inadecuada.

La ilustración 7, muestra la serie de datos de pasajeros transportados. En el mismo se puede observar el crecimiento de la demanda desde enero de 1997, datos que muestran con claridad el crecimiento de esta variable y que hasta el 2007 casi se ha duplicado alcanzando aproximadamente una demanda promedio de siete millones de pasajeros transportados al año.

Ilustración 7 Demanda de pasajeros de un corredor de transporte de Quito - Ecuador

A pesar de tener varios datos para poder realizar en cada uno de los períodos la predicción a la fecha no se han realizado estudios serios con métodos estadísticos. La ilustración 8, muestra la proyección que se realizó en el 2004 para el 2005 y 2006, esta fue la base para poder planificar los valores que la empresa tendría como ingresos en estos años para ser invertidos en proyectos de mejora, sin embargo el margen de error hizo que necesariamente se tuviesen que eliminar ciertos proyectos que fueron planteados por las distintas áreas y que por falta de presupuestos (deficiente predicción), no se pudieron ejecutar.

El pronóstico de transportar aproximadamente nueve millones de pasajeros hizo que el margen de error que se presentara en el futuro fuese muy alto y con una grave repercusión en el plan de operación de la empresa.

Ilustración 8 Proyección de demanda de pasajeros transportados vs. Demanda real

2.3. PREGUNTAS DE INVESTIGACIÓN

El pronosticar de mejor manera el futuro plantea la necesidad de analizar métodos matemáticos y estadísticos que permitan realizar este trabajo y que apoyen la toma de decisiones, además de cuestionar si son o no aplicables a las condiciones de la empresa de transporte de pasajeros, y de existir opciones, seleccionar la más conveniente para este caso en particular. Surge la pregunta de investigación:

¿Se puede encontrar un modelo adecuado de predicción de la demanda de transporte terrestre masivo en Quito con base en los datos históricos disponibles?

Además de esto, de ser posible una predicción investigar si el proceso se puede realizar de manera amigable y recurrente, teniendo una base sólida apoyada en un software que permita obtener la proyección con facilidad. Surge entonces la pregunta de investigación:

¿El modelo de predicción identificado como el más adecuado para el pronóstico de la demanda de transporte terrestre en Quito, se puede simular de manera amigable con un paquete de software?

Responder estas incógnitas son motivo de este trabajo, si el proceso de pronóstico se va a conducir de la manera adecuada, surgen diversas preguntas clave.

¿Por qué se requiere de pronósticos? ¿Quién utilizará los pronósticos y cuáles son sus requerimientos específicos? ¿Qué datos hay disponibles? ¿Serán suficientes para generar el pronóstico que se

requiere? ¿Qué nivel de detalle o agregación se requiere y cuál es el horizonte adecuado en el

tiempo? ¿Cuál será el costo del pronóstico?

¿Qué tan preciso podemos esperar que sea el pronóstico? Quién pronostica, ¿tiene un claro entendimiento de cómo se usará el pronóstico en la

organización? ¿Hay disponible un proceso de retroalimentación para evaluar el pronóstico una vez

hecho y ajustar el proceso de acuerdo con ello?

2.4. HIPÓTESIS DE TRABAJO

2.4.1. Existe un modelo de predicción con base en los datos históricos de la

demanda de pasajeros transportados, que mejora el proceso de toma de

decisiones reduciendo la incertidumbre e incremente la calidad del

servicio.

2.4.2. Se puede aplicar un software de fácil manejo, amigable que permita

realizar el procedimiento de predicción con el modelo adecuado con el

menor error estadístico.

2.5. METODOLOGÍA A UTILIZAR

Todos los procedimientos formales de pronóstico comprenden la extensión de las experiencias del pasado al futuro incierto. De ahí la suposición de que las condiciones que generaron los datos anteriores son indistinguibles de las condiciones futuras, con excepción de aquellas variables reconocidas de manera explícita por el modelo de pronóstico.

La aceptación de que las técnicas de pronósticos funcionan sobre datos generados en sucesos históricos pasados, conduce a la identificación de seis pasos en el proceso de pronóstico:

1. “Estudios de metodologías existentes.- Se debe analizar los pronósticos en base a su clasificación de largo o corto plazo. Los procedimientos de pronósticos pueden también clasificarse de acuerdo con su tendencia a ser más cuantitativos, tecnológicos o cualitativos.

2. Recopilación de datos.- Sugiere la importancia de obtener datos adecuados y asegurarse que son correctos. Con frecuencia este paso es el mayor reto de todo el proceso de pronóstico y el más difícil de controlar, ya que los pasos siguientes se efectúan sobre los datos, sean o no relevantes para el problema en cuestión. Siempre que se hace necesario obtener datos pertinentes en una organización, abundan los problemas de recopilación y control de calidad.

Los datos de demanda de pasajeros transportados se reunieron desde enero de 1997 hasta enero de 2009 de manera mensual, sin embargo para el análisis se utilizarán los datos diarios que se cuenta desde enero de 2004 a enero de 2009.

3. Reducción o condensación de datos.- La reducción de datos con frecuencia es necesaria ya que en proceso de pronóstico es posible tener muchos o muy pocos

datos. Algunos datos pueden no ser pertinentes al problema, por lo que reducirían la precisión del pronóstico. Otros datos pueden ser los adecuados, pero sólo en ciertos periodos históricos.

4. Construcción del modelo.- La construcción del modelo, implica ajustar los datos reunidos en un modelo de pronóstico que sea el adecuado para minimizar el error del pronóstico. Entre más sencillo sea el modelo, será mejor para lograr la aceptación del proceso por parte de los administradores que toman las decisiones en la empresa. Con frecuencia se debe establecer un balance entre un enfoque de pronóstico complejo que ofrezca ligeramente más precisión y un enfoque sencillo que sea fácil de entender y aplicar por quienes toman las decisiones, de manera que lo utilicen efectivamente. Es obvio que los elementos de juicio forman parte de este proceso de selección.

Las técnicas de pronóstico que son utilizadas actualmente fueron desarrolladas en el siglo XIX; un ejemplo de ello son los análisis de regresión. Sin embargo, con el desarrollo de técnicas de pronóstico más complejas, junto con el advenimiento de las computadoras, los pronósticos reciben más atención durante los años recientes, como las siguientes:

Los pronósticos y suavizamientos simples. Los métodos de análisis de tendencias. Los modelos de descomposición. Los promedios móviles. Los suavizamientos exponenciales. Los suavizamientos exponenciales dobles. Modelos Box Jenkins, entre otros.

5. Extrapolación del modelo.- Consiste en la extrapolación en sí del modelo de pronóstico, lo cual ocurre una vez que se recolectaron y tal vez redujeron, los datos adecuados y que se seleccionó un modelo de pronóstico apropiado. Es común que quien realizó el pronóstico revise la precisión del proceso mediante el pronóstico de periodos recientes de los que se conocen los valores históricos reales. Es entonces cuando se observan los errores de pronóstico y se resumen de algún modo.

Ciertos procedimientos de pronósticos, suman los valores absolutos de los errores y pueden reportar esta suma, o dividirla entre el número de intentos de pronóstico para obtener el error de pronóstico promedio. Otros procedimientos obtienen la suma de cuadrados de los errores, que se compara luego con cifras similares de métodos de pronóstico alternativos. Algunos procedimientos también rastrean y reportan la magnitud de los términos de error sobre el periodo de pronóstico. El examen de los patrones de error conduce con frecuencia al analista a la modificación del procedimiento de pronóstico, el cual genera después pronósticos más precisos.

6. Paquetes De Cómputo Para Pronóstico.- Hay dos tipos de paquetes de cómputo de interés para los pronosticadores:

Paquetes estadísticos que incluyen análisis de regresión y otras técnicas que se utilizan con frecuencia en los pronósticos, tales como el SPSS, Statgraphics, Minitab, ect; y

Paquetes de pronóstico diseñados específicamente para aplicaciones de este tipo, tal como el Eviews.

En esta sección, se mencionarán algunos de los paquetes de cómputo estadísticos y de pronóstico más utilizados. Dos de los paquetes más populares son:

Minitab: Presenta menús y cuadros de diálogo, manteniendo el lenguaje de comandos para agregar velocidad y flexibilidad.

Statistical Package for the Social Sciences (SPSS): Paquete estadístico para las ciencias sociales.”6

RESUMEN: En este capítulo se presentó la problemática actual de un corredor vial del Distrito Metropolitano de Quito, se indicó que una herramienta primordial para la planificación es contar con una estimación acertada de la demanda de pasajeros que permitirá tomar medidas preventivas así como correctivas.

Esta problemática permitió plantear hipótesis de trabajo así como establecer una metodología de cómo abarcar la resolución del tema de estudio, por lo tanto, ubicados ya en una atmósfera de conocimientos similares en lo referente al transporte y su problemática, el capítulo posterior se centrará en la investigación de métodos estadísticos que permitan dar una solución viable a esta necesidad que parece ser, es común a todos los corredores viales de Quito y otras ciudades con problemas de transporte terrestre de pasajeros masivo similares.

6 http://www.gestiopolis.com/recursos/documentos/fulldocs/ger1/serietiempo.htm consultada el 10 de marzo de 2008.

CAPITULO III METODOLOGÍA DE LOS PRONÓSTICOSVarios factores han estimulado el interés en los pronósticos en todo tipo de organizaciones, sin embargo desde principios de la década de 1970 ha aumentado su uso. Los pronósticos se han convertido en una herramienta de gran utilidad en la planificación del entorno empresarial, por lo que este trabajo se centra en su estudio, en principio se presenta una visión general de los métodos de pronóstico, y sus características principales.

Se presentan, el impacto de los errores de predicción y las limitaciones de los métodos para pronosticar, así como las situaciones en las que se aplican cada uno de estos con énfasis en el método cuantitativo, se identifican patrones, con base en las expectativas pasadas y el descubrimiento de relaciones entre factores claves o variables.

El conocer y entender tales limitaciones ayudan a desarrollar expectativas realistas con respecto a la situación de la decisión, y pueden ayudar a los que buscan mejores soluciones y técnicas mejoradas a utilizar adecuadamente los resultados predictivos. Se presenta a continuación como se desarrolla el capítulo.3.1 Breve reseña histórica

3.1. BREVE RESEÑA HISTÓRICA

Al hablar de pronósticos, vienen a la mente varios hechos, tal vez el primero es el pronóstico del clima, de la tasa de cambio, de la inflación, del crecimiento económico, etc. En fin cuando se mira en perspectiva hay una constante preocupación por conocer lo que va a suceder en el futuro. 7

Esta inquietud no solo se convierte en curiosidad, pues conociendo el futuro es posible adaptar nuestras acciones presentes para obtener del futuro los mayores réditos posibles o para evitar circunstancias o resultados que podrían ser adversos o con consecuencias no deseables.

El pronóstico, en el lenguaje cotidiano, no es más que un conocimiento probable sobre un evento futuro. En el lenguaje de la empresa se suele entender como pronóstico, el proceso de estimación anticipada del valor de una variable en situaciones de incertidumbre, por ejemplo: la demanda de un producto o servicio, y en el contexto de la “disciplina científica”, un pronóstico puede definirse como el resultado de la aplicación de un método de predicción en que partiendo de determinadas series de datos, se formula una “proyección” en el futuro con el objetivo de evaluar la ocurrencia probable de cualquier acontecimiento o el desarrollo de una tendencia.8

La finalidad de los pronósticos es predecir el desarrollo futuro para ayudar a la toma de decisiones de planificación sobre medidas de apoyo, contramedidas u otras acciones que influyan, en mayor o menor grado, sobre la tendencia del objeto planificado.

Para comprender la amplitud de los enfoques de predicción actualmente disponibles, es útil presentar una breve sinopsis histórica. “Antes del decenio de 1950 los esfuerzos desarrollados en la época fueron limitados para los analistas, a pesar de manejar algunas teorías de regresión lineal y descomposición de series de tiempo, la carencia de datos apropiados y lo tedioso de los cálculos requeridos hacían muy complicada la obtención de pronósticos.

Lo anterior cambio substancialmente con dos avances radicales; el primero con la introducción de las técnicas de Suavizamiento exponencial que estaban orientados con sentido práctico, y fundamentados en su sencillez conceptual y su facilidad de computación y el segundo avance importante en la misma década fue la introducción de la computadora que hizo posible no solo la utilización del Suavizamiento exponencial, sino también de una gran cantidad de diferentes métodos de predicción sobre una base más continua.

Pasaron casi 30 años para que los métodos de Suavizamiento exponencial tuvieran amplia aceptación y a partir de ellos se han desarrollado numerosas variedades y extensiones de los mismos. Las más notables son los de Brown (1950), Holt (1952) y Winters (1960). Las adaptaciones y modificaciones más recientes han hecho posible emplear los métodos de Suavizamiento de manera aún más mecánica y automatizada.

Pasó un poco de tiempo después para que los métodos de Suavizamiento empezaran a atraer la atención, los métodos de descomposición experimentaron una mayor difusión. El más prominente de esto fue Shiskin (1957,1961), que fue el creador del paquete Census II y

7 http://www.dandoenelblanco.com/pronsticos_y_forecast_pro/ del 30 de octubre de 2008

8 http://sunwc.cepade.es/~jrivera/org_temas/metodos/prospectiva/pronostic_method.htm del 30 de oc 2008

Ilustración 9 Pronóstico

que a pesar de una escasa fundamentación estadística, presentaban una atracción intuitiva de significación para los profesionales del área.

Con el avance tecnológico y los precios accesibles de los sistemas de cómputo los métodos de pronósticos se fueron perfeccionando, aparecieron técnicas como regresión múltiple y modelos econométricos. A principios de 1980 los pronósticos basados en econometría representaban ya un gran mercado para los profesionales.

Un enfoque que incorporaba muchos de los elementos de una teoría semejante se hizo realidad con la aportación de Box y Jenkins (1976), cuya metodología consiste en un procedimiento sistemático para el análisis de las series de tiempo que fue suficientemente general para manejar todas las estructuras de datos en series de tiempo observados empíricamente.

A mediados de la década de 1970 comenzaron a surgir las variedades del método del promedio móvil autorregresivo, integral y de media móvil (ARIMA) desarrollado por Box Jenkins y desde ahí se han estudiado modificaciones corrigiendo algunos problemas asociados con la metodología tomando nombres tales como ARARMA, filtros de Kalman, modelos de vectores autorregresivos, etc.

Los métodos existentes funcionan bien cuando se da un nivel significativo de constancia, pero no cuando cambian los patrones o relaciones establecidas. Por lo tanto, es importante fijarse en las alternativas de predicción cuando cambian los patrones o relaciones y medir el alcance de la incertidumbre implicada. Puesto que dicho tema no se considera en la literatura sobre pronósticos, a lo largo de este trabajo se expondrá detalladamente”.9

3.2. CLASIFICACIÓN DE LOS ENFOQUES PARA PRONÓSTICOS

Cuando los gerentes de organizaciones se enfrentan con la necesidad de tomar decisiones en una atmósfera de incertidumbre, lo que en primer término, se debe hacer es clasificar los procedimientos de pronóstico de largo o corto plazos.

Los pronósticos a largo plazo son necesarios para establecer el curso general de la organización para un largo periodo; de ahí que se conviertan en el enfoque particular de la alta dirección.

Los pronósticos a corto plazo se utilizan para diseñar estrategias inmediatas y que usan los administradores de rango medio y de primera línea para enfrentar las necesidades del futuro inmediato. 10

También se podría clasificar a los pronósticos en muchos esquemas diferentes al considerar los principales enfoques para pronosticar, el que hemos encontrado más útil es el de Makridakis-Wheelwrigth el mismo que divide a esos métodos en tres categorías: discrecionales o cualitativos, cuantitativos y tecnológicos. Cada enfoque importante incluye varios tipos de métodos, muchas técnicas individuales y variaciones de cada técnica. A continuación se detalla cada uno de ellos.

3.2.1. MÉTODOS DISCRECIONALES O CUALITATIVOS

9 Métodos de Pronósticos, Makridakis Wheelwrigth, Editorial 1998, pag. 36

10 http://www.gestiopolis.com/recursos/documentos/fulldocs/ger1/serietiempo.htm del 04/09/08

“Son los que se utilizan comúnmente en las empresas y organizaciones gubernamentales. Los pronósticos de este tipo se hacen muy a menudo como juicios individuales o decisiones de comité. Estos métodos utilizan el juicio de los gerentes, su experiencia, los datos relevantes y un modelo matemático implícito, por lo que es frecuente que lleguen a pronósticos con variaciones importantes.

Además, deben utilizarse cuando los datos del pasado no resulten confiables como indicadores de las condiciones del futuro. También debe utilizarse el pronóstico cualitativo para la introducción de nuevos productos cuando no se dispone de una base de los datos históricos.

Los métodos cualitativos casi siempre se utilizan para pronósticos a mediano y largo plazo que involucren situaciones como diseño del proceso o capacidad de las instalaciones. En el caso de estas decisiones, los datos del pasado casi nunca están disponibles o, cuando así es, pueden indicar un patrón poco estable.”11

3.2.2. MÉTODOS CUANTITATIVOS

“La segunda categoría – métodos cuantitativos - es el tipo en el que se han centrado la mayoría de las publicaciones sobre pronósticos y en especial el tema de interés de este trabajo. Existen tres subcategorías de estos métodos.

Los métodos de series de tiempo buscan identificar patrones históricos (empleando el tiempo como referencia) para pronosticar, utilizando una extrapolación de estos patrones. Los

métodos explicativos tratan de identificar las relaciones que conducen a resultados observados (causados) en el pasado y luego pronosticar mediante la aplicación de tales relaciones al futuro.

Los métodos de monitoreo, que todavía no alcanzan un uso muy extendido, buscan identificar cambios en los patrones y relaciones. Básicamente se utilizan para indicar cuándo no es apropiada la extrapolación de patrones o relaciones pasadas. Algunas de las aplicaciones de los métodos cuantitativos, se muestran en la Tabla 1, así como el campo de aplicación donde fue desarrollada la metodología.

La mayoría de estos métodos son estudiados posteriormente, el enfoque de monitoreo y el de econometría son mencionados más no son de interés en este trabajo, pues únicamente se cuenta con datos de una misma variable medida a través del tiempo y estos métodos requieren de un número significativo de variables que puedan explicar y en donde los patrones y relaciones cambian y la extrapolación de patrones o relaciones pasadas no es apropiada.”12

11 Makridakis S, “Arte y Ciencia de Pronosticar”, International Journal of Forecasting, 2, no.1, pp 15-39.

12 Makridakis Wheelwrigth, Métodos de pronósticos, 1998, pp28.

Ilustración 10 Técnica cualitativa

Ilustración 11 Método cuantitativo

Métodos de predicción

Campo en el que se desarrolló el método Áreas principales de aplicaciones empresariales

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Ingenuo X X X XSuavizamiento X X X X X X X X XDescomposición X X X X X X XPromedio móvil autorregresivo

X X X X X X

Box-Jenkins X X X X X X X X X

Expl

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vectorialesX X X X X X

Regresión X X X X X XEconometría X X X X X X

Enfoques de monitoreo X X X X X X X X

Tabla 1 Aplicación de los métodos de predicción cuantitativos

13

13 Makridakis Wheelwrigth, Métodos de Pronósticos , 1998, pag. 27

3.2.3. MÉTODOS TECNOLÓGICOS

La tercera categoría – métodos tecnológicos - tienen que ver con los problemas de largo plazo de naturaleza tecnológica, social, económica o política. Las cuatro subcategorías aquí encontradas son extrapolativas (utilizan patrones y relaciones históricos como base de los pronósticos), analógicas (emplean analogías históricas y de otro tipo para hacer predicciones), expertas y normativas (hacen uso de objetivos, metas y resultados deseados como base de los pronósticos, influyendo así los sucesos futuros). 14

No obstante, nada impide extrapolar tendencias que se describan enteramente en términos cualitativos. Suele ser práctico el describir los productos existentes con ayuda de imágenes y otros modelos icónicos, y esta forma de presentación es práctica incluso para las extrapolaciones. En el libro Industrial Design, Raymond Loewy15 combinó dos enfoques: el histórico y el predictivo.

En la página 74 del libro encontramos el "gráfico de evolución del diseño" que muestra el desarrollo de 1900 a 1942 Ilustración 12. La última imagen es el pronóstico de Loewy. La debilidad innata de toda extrapolación estriba en que éstas sólo se pueden atender a aquellos procesos o fuerzas que están ya interviniendo.16

Con frecuencia se da una situación en que gradualmente habrá más y más nuevos impactos. En tales circunstancias, los métodos cualitativos suelen dar resultados útiles sólo para periodos relativamente de corto plazo.

Otra debilidad es que es casi imposible estimar el error probable de una extrapolación. Una noción áspera de lo puede ser obtenida estudiando la consistencia y la homogeneidad de la serie de las observaciones originales. 17

14 Makridakis Wheelwrigth, Métodos de pronóstico, Limusa, 1998, pag 28

15 Hace poco la revista Life eligió a Loewy como uno de los 100 norteamericanos más influyentes del siglo XX. A Loewy se le conoce mejor por los estandartes del diseño norteamericano como la botella de Coca-Cola, Air Force One, Lucky Strike, los autobuses de Greyhound, la locomotora Pennsylvania S-1, los logotipos de Exxon y Shell, los interiores del Laboratorio Espacial y el Transbordador de la NASA, así como el Avanti, el único automóvil que se ha exhibido en el museo del Louvre.

16 Raymond Loewy, Industrial Design, pag 74.

17 http://www2.uiah.fi/projekti/metodi/290.htm consultada el 25 de agosto de 2008.

Ilustración 12 Método tecnológico.

3.3. TIPOS DE MODELOS

Este trabajo está enfocado a los métodos de predicción cuantitativos con la necesidad de obtener un modelo, que es una manera de experimentar con la realidad sin tener que invertir realmente en una unidad operativa a escala completa.

Para la predicción se puede emplear una amplia gama de modelos, pero para el caso de los métodos cuantitativos hay dos categoría aceptablemente bien definidas.

Estadísticas Se enfocan a los patrones y cambios en los mismos y sus perturbaciones

Determinísticas Son de tipo causal, establecen relación entre la variable a pronosticar y otras variables

Hablaremos de estos dos con mayor detalle a continuación.

“El primer tipo de modelo de predicción cuantitativo, y quizás el más común, es el modelo de series de tiempo (Ilustración 13). En un modelo de series de tiempo dos factores son importantes: la serie de datos que se va a pronosticar (como la demanda de un producto o servicio) y el período de tiempo a utilizar. Un modelo de series de tiempo supone siempre que algún patrón o combinación de patrones es recurrente a través del tiempo. De esta manera, al identificar y extrapolar dicho patrón, se pueden desarrollar pronósticos para periodos subyacentes.

El segundo tipo de método de predicción cuantitativo es explicativo (Ilustración 14). En este tipo de métodos cualquier variación de los insumos afectará los productos del sistema de manera predecible, suponiendo que la relación es constante. La primera tarea de los pronósticos es encontrar la relación a través de la observación de los productos del sistema y relacionándolos con los insumos correspondientes.

Básicamente, el método explicativo supone que el valor de cierta variable (el producto) es función de una o más variables (los insumos).”18

No obstante, una desventaja de estos métodos es que requieren información de varias variables, además de la variable que está siendo pronosticada.

18 Makridakis Wheelwrigth, Métodos de pronóstico, Limusa, 1998, pag 63

InsumosRelación entre dos o más factoresProductoInsumosProceso GeneradorProductoIlustración 13 Relación de Series de Tiempo

Ilustración 14 Relación explicativa o causal

A consecuencia de ello, sus necesidades de datos son mucho mayores que las de un modelo de series de tiempo. Adicionalmente, puesto que los modelos explicativos generalmente relacionan varios factores, usualmente requieren de más tiempo para desarrollarse y son más sensibles a los cambios de las relaciones subyacentes de lo que sería un modelo de series de tiempo.

“Muy a menudo es posible hacer pronósticos utilizando ya sea modelos explicativos o de series de tiempo. Vamos a suponer que la demanda de un producto puede ser explicada por varios factores que lo influyen, tales como las políticas monetarias y fiscal, la inflación, el gasto de capital y las importaciones y exportaciones. Esto requerirá que se especifiquen la forma y los parámetros de la relación.

Demanda= f (políticas monetarias y fiscal, la inflación, gasto de capital, importaciones, exportaciones).

Donde f significa “es una función de”, “depende de” o “está influenciado por”. Conforme estos factores cambien, la Demanda variará según lo especifique la forma seleccionada del modelo.

Si el único propósito es pronosticar los valores futuros de la demanda sin prestar atención a por qué se llevará a cabo un cierto nivel de la demanda, un enfoque de series temporales sería el apropiado. Se sabe que la magnitud de la demanda no cambia drásticamente de un mes a otro, o aun de un año a otro. Así, la demanda del mes próximo dependerá de la demanda del mes anterior y posiblemente del de los meses pasados. Con base en esta observación, la demanda podría expresarse:

Demandat+1= f (Demandat, Demandat-1 , Demandat-2 Demandat-3 , …………………..)

Donde:

Demandat = Demanda del presente mes.Demandat+1= Demanda del próximo mes (el pronóstico).Demandat-1= Demanda del último mes.Demandat-2= Demanda de hace dos meses.

Y así sucesivamente. Este modelo es semejante al explicativo, con la excepción de que los factores de miembro derecho son valores anteriores del miembro izquierdo. Esto hace al trabajo de pronosticar más fácil una vez que se conoce la forma específica del modelo, ya que a diferencia del modelo explicativo, este modelo no requiere de valores de insumos especiales. Sin embargo, con ambos modelos es necesario que la relación entre los miembros derecho e izquierdo de la ecuación sean descubiertos y medidos de tal manera que se puedan extrapolar a fin de ser pronosticados.”19

3.4. TIPO DE PATRONES EN LOS DATOS

Cualquier variable que conste de datos reunidos, registrados u observados sobre incrementos sucesivos de tiempo se denomina serie de tiempo.

19 Makridakis Wheelwrigth, Métodos de pronóstico, Limusa, 1998, pp63-74

Hanke, J.E. y A.G. Reitsch, usiness Forecasting, Allyn and Bacon, Boston

En estas series de tiempo, la descomposición clásica es un método que se basa en la suposición de que se pueden descomponer en componentes como tendencia, ciclo, estacionalidad e irregularidad.

Componente Descripción

Tendencia Es el componente de largo plazo que representa el crecimiento o disminución en la serie sobre un periodo amplio.

Cíclico Es la fluctuación en forma de onda alrededor de la tendencia.

Estacional Es un patrón de cambio que se repite a sí mismo período tras período ( año tras año, mes con mes, día con día, etc.)

Aleatorio Mide la variabilidad de las series de tiempo después de retirar los otros componentes (tendencias, ciclos, estacionalidad, etc).

Una predicción se hace mediante la combinación de las proyecciones de cada componente individual. Considérense los elementos básicos de un patrón encontrados en las series de datos. Existen cuatro de esos elementos o componentes: el horizontal, el estacional, el cíclico y la tendencia de una serie.

“Existe un patrón horizontal cuando no hay tendencia alguna en los datos. (Estadísticamente hablando, a esto se le conoce como estacionalidad.) Cuando existe tal patrón, generalmente se hace referencia a las serie como estacionario, es decir, no tiende a aumentar o disminuir a través del tiempo de ninguna manera sistemática. Por lo tanto, es tan probable que el siguiente valor de la serie se encuentre arriba del valor medio como es que se halle debajo de él. La ilustración 15 muestra un patrón horizontal típico para una variable.”20

“Existe un patrón estacional cuando una serie fluctúa de acuerdo con un factor estacional. El componente estacional se refiere a un patrón de cambio que se repite a si mismo periodo tras periodo.

Las estaciones pueden ser los meses o las cuatro estaciones del año, pero también pueden ser las horas del día, los días de la semana o los días del mes. Los patrones estacionales se dan por un número de razones diferentes, que van desde la manera en que una empresa ha elegido manipular

20 Makridakis Wheelwrigth, Métodos de pronóstico, Limusa, 1998, pp63-74

Mahmoud, E., “The Evaluation of forecasts”, en S. Makridakis y S. Wheelwright, The Handbook of Forecasting, 2a. ed.,Wiley, Nueva York.

Ilustración 15 Patrón Horizontal

Ilustración 16 Patrón Estacional

ciertas operaciones (estaciones causadas internamente) hasta los factores externos, como el clima. La ilustración 16 presenta un patrón en el cual las estaciones corresponden a los cuatro trimestres del calendario para la primavera, el verano, el otoño y el invierno.

Un patrón cíclico es semejante al patrón estacional, pero la duración de un ciclo único generalmente es mayor a un año. El componente cíclico es la fluctuación en forma de onda alrededor de la tendencia, afectada por lo regular por las condiciones económicas generales. Los patrones cíclicos tienden a repetirse en los datos aproximadamente cada dos tres o más años. Es común que las fluctuaciones cíclicas estén influidas por cambios de expansión y contracción económicas, a los que comúnmente se hace referencia como el ciclo de los negocios. 21 La ilustración 17 muestra un patrón cíclico. El patrón cíclico es difícil de pronosticar, porque

no se repite a intervalos constantes de tiempo y su duración no es uniforme”.22

El patrón de tendencia de una serie de tiempo es el componente de largo plazo que representa el crecimiento o disminución en la serie sobre un periodo amplio, es decir se da cuando existe un aumento o disminución general del valor de la variable a lo largo del tiempo. Las fuerzas básicas que ayudan a explicar la tendencia de una serie son el crecimiento de la población, la inflación de precios, el cambio tecnológico y los incrementos en la productividad. Este tipo de patrón se muestra en a la ilustración 18.23

Un factor principal que influye en la selección de una técnica de pronóstico consiste en la identificación y comprensión de

21 http://www.gestiopolis.com/recursos/documentos/fulldocs/ger1/serietiempo.htm del 22/10/08

22 Makridakis Wheelwrigth, Métodos de pronóstico, Limusa, 1998, pp63-74

Mahmoud, E., “The Evaluation of forecasts”, en S. Makridakis y S. Wheelwright, The Handbook of Forecasting, 2a. ed.,Wiley, Nueva York.

23 http://books.google.es/books?id=1J3ZlgSTZ9gC&pg=PA926&lpg=PA926&dq=patron+horizontal+en+series+de+tiempo&source=web&ots=BCYQW9hCtZ&sig=BSn2nEUXyOhptb1jZ9V9JNbS7xg&hl=es&sa=X&oi=book_result&resnum=4&ct=result#PPA924,M1, consultada el 24/10/2008

Ilustración 17 Patrón Cíclico

Ilustración 18 Patrón de tendencia de los datos

patrones históricos en los datos. Si se pueden reconocer patrones de tendencia, cíclicos o estacionales, entonces se pueden seleccionar las técnicas con la capacidad de utilizar eficazmente estos patrones.

3.5. MEDICIÓN DEL ERROR EN EL PRONÓSTICO

Aunque generalmente X, o algún otro símbolo, identifica los valores observados reales (históricos) de una variable, a menudo se utiliza un símbolo diferente para representar el valor pronosticado de esa variable. En este trabajo los símbolos Ft+1 o Y t+1 se usarán para denotar el valor de la predicción para el periodo de tiempo t+1. Como resumen de la relación entre los valores observados y los valores pronosticados en una situación de series de tiempo consúltese la siguiente tabla:

Tabla 2 Notación usada en los pronósticos de series de tiempo

Valores del pronósticoValores Observados

X1 X2 X3 X4 ……

Xt-2 Xt-1 Xt Ft+1 Ft+2 Ft+3 …. Ft-1

Período i 1 2 3 4 ……

t-2 t-1 t t+1 t+2 t+3 …. t+m

Valores estimados

Y 1 Y 2 Y 3 Y 4……

Y t−2 Y t−1 Y t Y t+1 Y t+2 Y t+3…. Y t+m

F1 F2 F3 F4 ……

Ft-2 Ft-1 Ft

Valores del error

e1 e2 e3 e4 ……

et-2 et-1 et

Los elementos de la notación mencionada se pueden mostrar utilizando la información de la Tabla 2: Xi es el valor real de la serie de tiempo, F i o Y i es el valor pronosticado de la serie temporal, y ei es el error, o la diferencia entre los valores reales (Xi) y pronosticado (Y i) de la serie de tiempo en el periodo i.

El supuesto básico que está detrás del uso de cualquier técnica de predicción es que el valor real observado será determinado por algún patrón más algunas influencias aleatorias.

Algebraicamente, esto se puede representar como

Lo real= el patrón + lo aleatorio

“El componente aleatorio mide la variabilidad de las series de tiempo después de que se retiran los otros componentes o patrón. Contabiliza la variabilidad aleatoria en una serie de tiempo ocasionada por factores imprevistos y no ocurrentes.

La mayoría de los componentes irregulares se conforman de variabilidad aleatoria. Sin embargo, ciertos sucesos a veces impredecibles como huelgas, cambios de clima (sequías, inundaciones o terremotos), elecciones, conflictos armados o la aprobación de asuntos legislativos, pueden causar irregularidad en una variable.

A causa de que el mundo económico o empresarial no es determinístico, siempre estará presente lo aleatorio. Esto significa que aun cuando el patrón promedio de los datos

Presente

subyacentes haya sido identificado, existirá cierta desviación entre los valores pronosticados y los valores realmente observados.

Un objetivo común en la aplicación de técnicas de predicciones es minimizar tales desviaciones o errores en los pronósticos. Dichos errores se definen como la diferencia entre el valor real y lo que se ha pronosticado. Se pueden presentar como

e i=x i−Y i

El subíndice i indica que es el error del periodo de tiempo i el que se analiza. Como se muestra en la tabla anterior, un valor del error se asocia con cada observación para la cual existe tanto un valor real como un valor pronosticado.”24

3.5.1. DESVIACIÓN ABSOLUTA DE LA MEDIDA (MAD)

Un método para evaluar una técnica de pronóstico consiste en obtener la suma de los errores absolutos. La Desviación Absoluta de la Media (MAD) mide la precisión de un pronóstico mediante el promedio de la magnitud de los errores de pronóstico (valores absolutos de cada error).

La MAD resulta de gran utilidad cuando el analista desea medir el error de pronóstico en las mismas unidades de la serie original. La siguiente ecuación muestra como se calcula la MAD:

MAD=∑i=1

n

|ei|n

3.5.2. ERROR MEDIO CUADRADO (EMC)

Otra técnica para evaluar una técnica de pronóstico es el Error Medio Cuadrado (EMC). Cada error o residual se eleva al cuadrado; luego estos valores se suman y se divide entre el número de observaciones. Este enfoque penaliza los errores mayores de pronósticos, ya que eleva cada uno al cuadrado. Esto es importante pues en ocasiones pudiera ser preferible una técnica que produzca errores moderados a otra que por lo regular tenga errores pequeños pero que ocasionalmente arroje algunos en extremo grandes. La ecuación para el cálculo del EMC, es la siguiente:

EMC=∑i=1

n

e i2

n

3.5.3. PORCENTAJE DE ERROR MEDIO ABSOLUTO (PEMA)

“En ocasiones, resulta más útil calcular los errores de pronóstico en términos de porcentaje y no de cantidades. El Porcentaje de Error Medio Absoluto (PEMA) se calcula encontrando el error absoluto en cada periodo, dividiendo éste entre el valor real observado, para ese periodo y después promediando estos errores absolutos de porcentaje.

24 Makridakis Wheelwrigth, Métodos de pronóstico, Limusa, 1998, pp67-69

Este enfoque es útil cuando el tamaño o magnitud de la variable de pronóstico es importante en la evaluación de la precisión del pronóstico. El PEMA proporciona una indicación de que tan grandes son los errores de pronóstico comparados con los valores reales de la serie.

También se puede utilizar el PEMA para comparar la precisión de la misma u otra técnica sobre dos series completamente diferentes. La siguiente ecuación muestra el cálculo del PEMA:

 PEMA=

∑i=1

n

|PE i|n

A veces resulta necesario determinar si un método de pronóstico está sesgado (pronóstico consistentemente alto o bajo). En estos casos, se emplea el Porcentaje Medio de Error (PME), que se calcula encontrando el error en cada periodo, dividiendo esto entre el valor real de ese periodo y promediando después estos porcentajes de error.”25

3.5.4. PORCENTAJE DE ERROR MEDIO

Si un enfoque de pronóstico no está sesgado, la ecuación del PME producirá un porcentaje cercano a cero. Si el resultado es un porcentaje negativo grande, el método de pronóstico está sobrestimado de manera consistente. Si el resultado es un porcentaje positivo grande, el método de pronóstico esta subestimado de forma consistente.

PME=∑i=1

n

PEi

nUna parte de la decisión para utilizar una técnica de pronóstico en particular es la determinación de si la técnica producirá errores de predicción que se juzguen como suficientemente pequeños. Es en este efecto realista esperar que una técnica produzca errores de pronóstico relativamente bajos sobre una base consistente. Las cuatro mediciones de precisión de un pronóstico que acabamos de describir se utilizan de la siguiente manera:

La comparación de la precisión de dos técnicas diferentes. La medición de la utilidad o confiabilidad de una técnica. La búsqueda de una técnica óptima. 26

Tabla 3 Pasajeros transportados en 2007 de un corredor vial de Quito

(1) (2) (3) (4) (5) (6) (7)

Pronóstico Error Error Absoluto

Erros porcentual absoluto

Error cuadrático

medioPasajeros

i Xi Fi Xi-Fi |Xi-Fi| |(Xi-Fi)/Xi|*100 (Xi-Fi) 2

25 Makridakis Wheelwrigth, Métodos de pronóstico, Limusa, 1998, pp63-74

Mahmoud, E., “The Evaluation of forecasts”, en S. Makridakis y S. Wheelwright, The Handbook of Forecasting, 2a. ed.,Wiley, Nueva York.

26 http://www.gestiopolis.com/recursos/documentos/fulldocs/ger1/serietiempo.htm del 22/10/08

Enero 1 6,341 - - - -

Febrero 2 5,693 6,341 -648 648 11,4% 419,904

Marzo 3 6,508 5,693 815 815 12,5% 664,225

Abril 4 6,171 6,508 -337 337 5,5% 113,569

Mayo 5 6,562 6,171 391 391 6,0% 152,881

Junio 6 6,168 6,562 -394 394 6,4% 155,236

Julio 7 6,176 6,168 8 8 0,1% 64

Agosto 8 5,755 6,176 -421 421 7,3% 177,241

Septiembre 9 6,207 5,755 452 452 7,3% 204,304

Octubre 10 6,477 6,207 270 270 4,2% 72,900

Noviembre 11 6,360 6,477 -117 117 1,8% 13,689

Diciembre 12 6,263 6,360 -97 97 1,5% 9,409

Suma 74,683 -78 3,950 64,0% 1,983,422

MAD PEMA EMC

Media -7 359 6% 180,311

La tabla 3 presenta un conjunto de datos de demanda mensual del 2007 en millones de pasajeros de un corredor de transporte masivo de la ciudad de Quito, que se utilizarán para ejemplificar estas medidas de precisión. Como punto de partida, los pronósticos son muy sencillos, los pasajeros del mes anterior se utilizan como predicción del siguiente mes.Nótese que el promedio de la columna (4) sale muy bajo respecto a los valores que se manejan esto ya que entre la suma de los errores los signos tienden a eliminar los valores negativos a los positivos distorsionando la interpretación del error, por lo que para evitar este problema se debe computar los errores absolutos y se observa lo que comúnmente se conoce como la desviación absoluta media MAD (5).

El MAPE de la columna (6) es una medida relativa, y es por esto que algunas veces se prefiere el error promedio o MAD como medida de precisión.

Otra medida de exactitud es el ECM que se obtiene en la columna (7) una diferencia entre este y el MAD o el MAPE, es que el primero castiga mucho más a un pronóstico por desviaciones extremas que por desviaciones pequeñas ya que la ECM eleva el error al cuadrado de ahí la necesidad de minimizar el error cuadrado medio es decir es mejor que se tengan varias desviaciones pequeñas a una desviación grande.

En conclusión, cualquier técnica de estimación debe evaluarse en términos de error. La evaluación del error normalmente implica un diagnóstico gráfico, a fin de detectar valores atípicos o zonas de errores con patrones recurrentes y la elaboración de alguna medida resumen, preferentemente relativa. El análisis de los errores también nos permitirá evaluar la capacidad del método de ajuste para la captación de puntos de cambio de tendencia.

3.6. ETAPAS DE LA SOLUCIÓN DE PROBLEMAS RELACIONADOS CON LOS PRONÓSTICOS

1.- Identificación y comprensión del Problema.- Los pronósticos proporcionan información para tomar mejores decisiones. El primer paso es identificar la decisión. Si la decisión no se afecta por el pronóstico, el pronóstico es innecesario. La importancia de la decisión sugerirá el esfuerzo que debe dedicarse a producir un pronóstico.

Una decisión única requiere un solo pronóstico, mientras que una solución recurrente necesita un pronóstico cada vez que se toma la decisión. En cualquier caso la decisión determina qué pronosticar, el nivel de detalle necesario y con frecuencia se hará el pronóstico.   La base para entender los problemas de pronósticos es comprender el proceso; para hacer esto, se examina las características del problema y se analizan los datos, si existen. También se establece una meta para el pronóstico.

2.- Características Del Problema.- Las principales características de un problema de pronósticos son el período de tiempo, el nivel de detalle, la exactitud necesaria y el número de aspectos a pronosticar.

Las decisiones a largo plazo no requieren pronósticos exactos. Así los pronósticos muy precisos son innecesarios. Normalmente los pronósticos a largo plazo se hacen para una sola vez. Es común que se usen métodos causales y cuantitativos para obtenerlos.

Las decisiones a mediano plazo normalmente requieren pronósticos para uno o dos artículos. Con frecuencia se usan métodos cuantitativos, incluyendo los causales y las series de tiempo, para los pronósticos a mediano plazo.

La decisión a corto plazo indica cuántos productos se deben fabricar. En este caso se necesita el número real de unidades de producto. Debido a que las decisiones de corto plazo están basadas en estos pronósticos, necesitan ser razonablemente exactos. Los métodos de series de tiempo son los que se usan con más frecuencia para los pronósticos a corto plazo, pero en algunas situaciones, también son útiles los métodos causales y los cuantitativos.

3.- Datos.- Examinar los datos, cuando se tienen pueden proporcionar una gran visión. Los datos pueden venir de los registros de la empresa o fuentes comerciales o gubernamentales. Si no existen datos, se deben recolectar o se puede usar un enfoque de pronósticos que no los requiera. Si no se dispone de datos o recolectarlos es demasiado costoso, se elige un enfoque cualitativo.

Cuando la tendencia y la estacionalidad están presentes, los datos deben descomponerse para ver los efectos de cada una. Los datos disparados deben eliminarse antes de analizarlos.

4.- Selección del método de pronóstico.- Existen varios factores a considerar en la selección de un método de pronóstico. Se debe contemplar el nivel de detalle. ¿Se requiere de un pronóstico de detalles específicos?, ¿Se precisa el pronóstico de algún punto en el futuro cercano (un pronóstico a mediano plazo), o para un punto en el futuro distante (un pronóstico a largo plazo)? Y, ¿hasta qué grado son apropiados los métodos cualitativos (de juicio) y cuantitativos (de manipulación de datos)?.

El método elegido deberá producir un pronóstico que sea preciso y comprensible para los administradores, de modo que pueda ayudar a producir mejores decisiones. Además, la utilización del proceso de pronóstico debe producir un beneficio que exceda al costo asociado con su uso.27

27 http://www.gestiopolis.com/recursos/documentos/fulldocs/ger1/serietiempo.htm consultada el 04/09/08

5.- Desarrollo de un modelo.- Una vez identificados los procesos, éstos determinan la forma del modelo. Los pronósticos cualitativos no usan modelos sencillos de establecer. Los modelos causales dependen de la situación particular pero en general tienen la forma.

Y = f (Xt-k) + e

 Donde:

Y, representa la variable dependiente, como la demanda, X, la variable independiente ( o factor causal ) y e, la componente del ruido del tiempo t.

La variable dependiente en el tiempo t es idealmente una función de la variable independiente en el tiempo t – k, k> 1.

El lapso del periodo k permite conocer el valor de la variable independiente antes de hacer el pronóstico de la variable dependiente; si no hay este lapso, deberá pronosticarse la variable independiente antes de obtener un pronóstico para la variable dependiente.

La relación funcional entre Y y X se representa por f y puede ser lineal, cuadrática o alguna otra relación matemática. Puede haber más de un factor causal.

6.- Solución Del Modelo.- El primer paso para resolver el modelo es elegir un método. Si se tiene un modelo causal, el método será regresión. Para modelos de series de tiempo, existen

varios métodos disponibles.

La interpretación de la solución es la tarea más importante al operar un sistema de pronósticos. Conforme se obtienen los nuevos datos, se actualiza el pronóstico. Además, se compara el pronóstico anterior con lo que realmente ocurrió para obtener retroalimentación sobre la calidad del procedimiento de pronósticos. Si la calidad es aceptable, se dice que el procedimiento está bajo control.

Si el procedimiento esta fuera de control, es necesario regresar a la etapa de diseño; se requiere volver a estimar los parámetros del modelo actual, o bien, cambiar el modelo. Si el sistema de pronósticos está bajo control, se hace un pronóstico para un periodo futuro.28

RESUMEN: Se determinó que un punto de partida útil y necesario es entender las diferencias conceptuales entre los dos tipos importantes de modelos el de series de tiempo y los modelos explicativos al realizar una estimación de valores futuros (predicciones).

La clasificación de los modelos de pronósticos así como la identificación de patrones (horizontal, tendencia, ciclo, estacionalidad)

presentes en una serie de datos, ha sido también contenida en este capítulo, información importante para poder aplicar el método apropiado así como encontrar un modelo de predicción aceptable.

Los diferentes tipos de error serán de ayuda para identificar la bondad del método de predicción seleccionado, por lo que se han introducido las medidas y técnicas que se podrán utilizar para determinar las capacidades y limitaciones de los métodos cuantitativos de predicción.

La aplicación de etapas en búsqueda de un modelo de predicción sea cual fuere su naturaleza fue expuesto paso a paso, cada una de estas son las que el analista debe recorrer para encontrar un modelo predictivo satisfactorio.

Aún está presente la pregunta sobre qué método de predicción debo aplicar a los datos. De este tema se encargan los siguientes capítulos, empezando por los más sencillos los métodos de suavizamiento y el método de descomposición que se presentan a continuación.

28 http://home.ubalt.edu/ntsbarsh/stat-data/Forecasts.htm#rintroductionf consultada el 27/10/2008

Ilustración 19 Metodología para encontrar un modelo que permita predecir.

CAPITULO IV MODELOS DE PREDICCIÓN CUANTITATIVOS: MÉTODOS DE SUAVIZAMIENTO Y DESCOMPOSICIÓNEn el capítulo anterior se explicó ampliamente la clasificación general de los métodos de predicción y los errores para su evaluación, esta sección abarcará el primer tipo de modelo de predicción cuantitativo, y quizás el más común, el modelo de series de tiempo, que son modelos matemáticos basados únicamente en datos históricos, bajo el supuesto de que son relevantes para el futuro. En un modelo de series de tiempo son importantes dos factores: la serie de datos que se va a pronosticar y el periodo de tiempo a utilizar. Un modelo de series de tiempo supone siempre que algún patrón o combinación de patrones es recurrente a través del tiempo. De esta manera, al identificar y extrapolar dicho patrón, se pueden desarrollar pronósticos para periodos subsecuentes.

El análisis de series de tiempo que se realiza está basado inicialmente en el estudio de algunos métodos de fácil comprensión como los métodos de suavizamiento y el método de descomposición, estos métodos analizan algunos de los patrones estudiados en el capítulo anterior, y presentan alternativas para cada uno de los patrones presentes en la serie.

Como el objetivo es determinar el mejor modelo que ajuste a los datos y brinden unos pronósticos confiables de la variable demanda, para la aplicación de cada modelo se realiza el cálculo y la comparación de la suma de cuadrados de los residuos obtenidos para cada caso.

El esquema a continuación muestra la clasificación de los modelos de series de tiempo que se analizarán este capítulo.

4.1ANÁLISIS EXPLORATORIO DE LAS SERIES DE TIEMPO.

Para iniciar con el estudio de la serie es necesario antes definir un software con el que se pueda analizar los datos de demanda de pasajeros, para ello se han analizado varios paquetes que actualmente muestran sus bondades en cuanto a predicciones se refiere. El mercado presenta varias alternativas que fueron manejadas previamente, sin embargo el análisis de este trabajo se realiza como base en el paquete SPSS versión 15 apoyado con algunos cálculos de Excel y en algunos casos con el Minitab versión15.

El motivo de la selección de este software está fundamentado en dos razone, la primera es utilizar recursos actuales que se encuentran inhabilitados en la empresa donde se aplicará el estudio y la segunda es porque al desplegar análisis predictivos en sistemas operacionales de primera línea tales como el SPSS que muestra ser un paquete amigable y ventajas competitivas, se pueden cumplir los objetivos específicos de este trabajo.

Statistical Package for the Social Sciences (SPSS) es un programa estadístico informático muy usado en las ciencias sociales y las empresas de investigación de mercado. Como programa estadístico es muy popular su uso debido a la capacidad de trabajar con bases de datos de gran tamaño.29 Aunque los procesos que rodean al análisis predictivo son complicados, implantar una solución SPSS para el análisis predictivo no lo es.

En este sentido, los análisis que se presentan a continuación mostrarán los comandos aplicados, las ventanas de instrucciones así como las salidas que la aplicación de cada software devuelve para el análisis.

4.1.1 CREACIÓN DE VARIABLES TEMPORALES:

La serie de demanda de pasajeros, es un conjunto de observaciones obtenidas regularmente, y resulta de un proceso que se efectúa al final de cada día en donde un centro de acopio reúne información económica de cada una de las paradas que compone el sistema de transporte de pasajeros. Esta información inicialmente generada por el recaudador de cada parada es ratificada con la información que se desprende de la máquina recaudadora, y es cotejada para su validez. El número de pasajeros transportados incluye a pasajeros que se transportan mediante trolebús así como sus líneas alimentadoras

Se inicia el análisis de la serie de tiempo original, sin haber sido sometida a ningún proceso de transformación. Para ello, con el fin de generar unas variables temporales de apoyo, se va a utilizar el procedimiento del paquete SPSS siguiente:

Datos>Definir fechasSemanas, Días:OKSemana: 1Día: 5Aceptar.

Estas variables asumen que la toma de datos de la serie temporal Demanda de pasajeros, se ha obtenido en intervalos regulares de tiempo. Así, al utilizar el procedimiento que aplica SPSS para definir fechas, se va a crear una lista de variables, cada una de las cuales tiene una periodicidad fija y una sucesión constante. En este caso, se van a crear las variables semanas, días, para que SPSS genere dos series temporales una para semanas y la otra día

29 http://es.wikipedia.org/wiki/SPSS consultada el 18 de marzo de 2009

empezando por el día jueves (5) semana (1) que corresponde a la fecha en la cual inicia la serie (01/01/2004), como muestra la ilustración 20.

Ilustración 20 Determinación de periodicidad de los datos SPSS

4.1.2 REPRESENTACIÓN DE LA SERIE ORIGINAL

La ilustración 21muestra la gráfica de la serie de la demanda de pasajeros en Excel desde el primer dato de la serie 01/01/04 hasta el 31/01/09, generando interés sobre dos puntos especiales llamado outliers, o datos atípicos así como se pretende hacer un acercamiento a la serie de datos.

Ilustración 21 Gráfica de secuencia de la serie temporal “Demanda de pasajeros transportados”

DÍAS DOMINGOS DÍAS SÁBADOS DÍAS ORDINARIOS Outlier 2

Outlier 1

4.1.3 ANÁLISIS DEL DIAGRAMA DE SECUENCIAS

En el diagrama de secuencias se aprecia que la demanda de pasajeros presenta una variación peculiar pues se evidencian tres series de puntos, la primera serie más baja está representando a los días domingos, la segunda serie de puntos medios representan a los sábados y los más altos representan a los días ordinarios, es decir de lunes a viernes. Este hecho informa que la serie presenta una periodicidad que se cumple cada 7 días, además por las variaciones presentadas en los valores de la gráfica, las series temporales nos informan que no son estacionarias. Es decir, el nivel medio a corto plazo no es constante, pero varía con el curso de la Serie Temporal. Haciendo un acercamiento en un período más pequeño en la serie se puede ver este hecho.

DAY, period 7765432176543217654321

Pasa

jero

s C

orre

gido

210000.00

180000.00

150000.00

120000.00

90000.00

21

2019

18

1716

15

14

13

1211

10

9

8

7

6

54

32

1

Ilustración 22 Diagrama de secuencias de tres semanas de la serie temporal “Demanda de pasajeros transportados”

Por otro lado, en la ilustración 21 aparecen dos puntos con valor de “0”, el primero el 13/04/05 (caída de un gobierno paro nacional) y el segundo el 22/08/2007 (paro de actividades por creación del sindicato), estos son los llamados casos atípicos u Outliers, estos valores serán tomados en cuenta ya que pueden afectar seriamente al análisis.

Conocida ya la causa de estos outliers existen dos posibilidades de tratamiento de los datos, la primera es eliminarlos o la segunda es modelar (con su media, mediana, o interpolación) el proceso subyacente bajo el comportamiento normal de la Serie de Tiempo. En este caso calcularemos la media con los cuatro valores adyacentes a los valores perdidos, eso lo realizamos con SPSS aplicando el cuadro de diálogo de la ilustración 23 y se obtiene:

Transformar>Reemplazar valores perdidosNuevas variables: PasajerosMétodo: Media de puntos adyacentesNúmero:2Aceptar

Ilustración 23 Procedimiento para eliminar Outlier en SPSS

Reemplazar valores perdidos

Variables de resultado

Variable de resultado

Nº de valores perdidos

reemplazadosNúmeros de casos de

los valores no perdidosNº de casos

válidos Creando función

Primero Último Primero Último Primero Último

1Pasajeros_1 2 1 1858 1858 MEAN(Pasajeros,2)

Con este proceso creamos una nueva serie de tiempo sin valores perdidos que han sido suavizados mediante un promedio de los valores adyacentes. La variable nueva creada será Pasajeros Corregidos con las que se trabajará.

4.1.4 ANÁLISIS DE LOS DATOS DE LA SERIE DE TIEMPO SIN VALORES PERDIDOS

Ya se ha realizado el cálculo de los valores perdidos ahora con el paquete Minitab versión 15, se realiza el análisis exploratorio estadístico de la serie, con el fin de tener una idea de cómo es el comportamiento de la serie de datos así como sus parámetros La ilustración 24 muestra los resultados obtenidos.

Stat> Basic Statistics> Graphical SummaryVariables: Pasajeros CorregidoOK

Ilustración 24 Los resultados estadísticos del análisis exploratorio realizado a la serie de datos “Pasajeros corregidos”

La ilustración 24 muestra el histograma de la serie temporal pasajeros transportados, la misma que forma tres campanas definidas, es decir es tri modal, evidenciando con claridad que en la primera acumulación de datos se representa los días sábados, la segunda acumulación representa a los días domingos y la última a los días ordinarios (de lunes a viernes).

Los parámetros no muestran ninguna señal de normalidad y al contrario muestran una gran varianza presente entre los datos, eso se traduce en que los pasajeros transportados entre los días de la semana presentan una variación considerablemente alta.

El sesgo presentado hacia la izquierda son valores atípicos que se originan cuando se generan días festivos. La media para cada una de las campanas que se forma es diferente.

Nuevamente podemos concluir que se presenta la estacionalidad con este rápido análisis sin embargo nos adentraremos en el estudio profundo de serie temporal, pasajeros transportados.

4.1.5 PERÍODO HISTÓRICO Y PERÍODO DE VALIDACIÓN.

Los datos colectados se dividen en dos partes: se utiliza el período de 01/01/2004 al 31/12/2007 como período de estimación del modelo (histórico) y el período 01/01/2008 al 31/01/2009 como período de validación. Esto permitirá dejar 12 meses para poder validar el modelo. Para ello, se seleccionan los casos del período histórico, para utilizar estas observaciones como base para validar el modelo sobre los casos del período establecido, como muestra la ilustración 25.

Para seleccionar un subconjunto de casos, aplicar la ventana de instrucción de la ilustración 25:

Datos>Seleccionar casos>OKBasándonos en el rango del tiempo o de los casos: OKRango> OK> Semana Primer caso:1 Ultimo caso:210 (por las semanas que se estableció) Día: 5 Día: 2 (la serie empieza en jueves=5 y el 31 de diciembre de 2008 es lunes=2)Aceptar>Aceptar

Ilustración 25 Determinación de los períodos de análisis en SPSS

4.2MODELO DE PREDICCIÓN CUANTITATIVO: MÉTODOS DE SUAVIZAMIENTO

El interés se ha centrado en principio en estudiar los métodos de suavizamiento, pues bien, estos métodos se clasifican como a continuación se muestra en la ilustración 26. En cada uno de los modelos se analizarán tanto la parte matemática así como los errores que se obtienen para cada caso.

Métodos de Promedio: Modelos no formales, promedios móviles, incrementos porcentuales y ajustes a la curva son los modelos de series de tiempo más sencillos los cuales pueden ser utilizados para generar pronósticos.

Estos modelos pueden ser implementados a través de hojas de cálculo rápidamente y no requieren un conocimiento experto en estadística por parte del pronosticador, usualmente estos modelos son muy simples y para tener mayor exactitud en el pronóstico las compañías casi siempre deben acudir a modelos alternativos de series de tiempo.

Métodos de suavización exponencial: suavización exponencial es el método seleccionado por la mayoría de empresas. Estos modelos se desempeñan bien en términos de exactitud, son fáciles de aplicar y pueden ser automatizados, permitiendo ser utilizados a gran escala.

Los modelos de suavización exponencial capturan y pronostican el nivel de los datos con los diferentes tipos de tendencias y patrones estacionales. Los modelos son adaptativos y pronostican dando mayor importancia o ponderación a los datos más recientes sobre los datos más distantes en el pasado. 30

Los métodos que se encargan de estos análisis son los métodos de suavizamiento simple en cuyo caso el patrón es horizontal, el método de Holt cuando existe presencia del patrón de tendencia o el método de Winters el que incluye los patrones de tendencia y estacionalidad.

30 http://www.dandoenelblanco.com/2008/07/modelos-de-series-de-tiempo-para-pron%C3%B3sticos-de-demanda.html

Ilustración 26 Modelos de predicción mediante suavizamiento exponencial

4.2.1 MODELOS NO FORMALES:

t Yt Yt+1 et

1

42

2

52 42 10

3

54 52 2

4

65 54 11

Estas técnicas suponen que los periodos recientes son los mejores para pronosticar el futuro. El método más sencillo es el método del último valor, a este pronóstico se le llama método ingenuo.

4.2.2 MÉTODOS DE PROMEDIO

Si la serie contiene una aleatoriedad sustancial, un enfoque ingenuo producirá predicciones que variarán considerablemente. Para eliminar dicha variabilidad, se podría considerar el uso de algún tipo de promedio de los datos recientes observados. El método de promedios móviles hace eso al tomar un conjunto de datos observados, encontrar su promedio y luego utiliza tal promedio como un pronóstico del siguiente período. El término promedio móvil se usa porque conforme cada nueva observación se encuentra disponible, se puede calcular un nuevo promedio y utilizarlo como pronóstico. La aplicación de este método se presenta a continuación.

Promediomóvil simple=∑ (n valoresrecientesde datos)n

Predicción de la demanda de pasajeros un mes adelantado mediante promedio móviles.

Tabla 4 Cálculo del promedio Móvil de la demanda de pasajeros trimestral y pentamensual

(1) (2) (3) (4) (5)

2007Mes Período

Demanda Observada

Promedio móvil trimestral

Promedio móvil pentamensual

ENERO 1

6,341,394

FEBRERO 2 5,693,328MARZO 3 6,508,453

(6,341,394+5,693,328+6,508,453)/3

Pronóstico = último valor

ABRIL 4 6,170,858 6,181,058MAYO 5 6,561,537 6,124,213JUNIO 6 6,168,216 6,413,616 6,255,114JULIO 7 6,176,497 6,300,204 6,220,478AGOSTO 8 5,754,596 6,302,083 6,317,112SEPTIEMBRE 9 6,207,238 6,033,103 6,166,341OCTUBRE 10 6,477,329 6,046,110 6,173,617NOVIEMBRE 11 6,360,097 6,146,388 6,156,775DICIEMBRE 12 6,348,221 6,195,151

Diferencias 380,513 160,337

La tabla 4, muestra cómo la técnica de los promedios móviles se puede aplicar con un promedio de tres y de cinco meses. La aplicación de este método de predicción se muestra en la ilustración 27.

En esta figura se observan fácilmente dos de las características de los promedios móviles, la primera es que antes de que cualquier pronóstico puede prepararse, se deben tener tantas observaciones históricas como se necesiten y la segunda se refiere a que entre más grande sea el número de observaciones incluidas en el promedio móvil, mayor será el efecto de Suavizamiento en el pronóstico.

Al observar en los pronósticos tanto trimestral como pentamensual vemos que la diferencia o rango es de 380,513 usuarios para el primer caso (6,413,616-6,033.103) en cambio en el pronóstico pentamensual obtenemos casi la mitad de esa diferencia que es de 160,337. Así aumentar el número de períodos incluidos en el promedio móvil tiene un marcado efecto en el total de Suavizamiento realizado. Entre más grande el número, mayor es el alcance del Suavizamiento, o más cerca se está del promedio de todos los valores

ENER

O

FEBR

ERO

MAR

ZO

ABRIL

MAY

O

JUNI

O

JULIO

AGOS

TO

SEPT

IEMBR

E

OCTU

BRE

NOVIE

MBR

E

DICIE

MBR

E

5,600,000

5,800,000

6,000,000

6,200,000

6,400,000

6,600,000

6,800,000

Datos reales

Predicción con promedios móviles trimestral

Predicción con promedios móviles pentamensual

Ilustración 27 Gráfica de los pronósticos obtenidos mediante promedios móviles

Para determinar si el promedio móvil trimestral o pentamensual es más apropiado para pronosticar la demanda, es útil estimar el error en ambos pronósticos. La tabla 5 muestra el error para cada predicción y calcula la desviación media absoluta (MAD) y el error cuadrado medio (RMS) con propósitos de comparación. Ambas formas de medición de error indican que el promedio móvil de cinco meses proporciona un mejor pronóstico que el promedio móvil trimestral cuando se verifica con datos históricos al ser menores esos errores.

Para entender mejor la técnica de los promedios móviles, se hace necesario considerar brevemente la representación matemática de este método. En términos sencillos, la técnica de predicción con promedios móviles se puede representar como sigue:

F t+1=S t=X t+X t−1+………+X t−N+1

N= 1

N ∑i=t−N+1

t

X i (1)

En dondeF t+ 1 = Pronóstico para el tiempo t+1St = valor suavizado en el tiempo tX i= valor actual en el tiempo iI = periodo de tiempoN = número de valores incluidos en el promedio.

Tabla 5 Cálculo del los errores obtenidos mediante el método de promedios móviles

Promedio móvil trimestral Promedio móvil pentamensual

Período

Demanda Observad

a

Demanda Pronosticad

a

error

error absolut

o

error al cuadrado

Demanda pronosticad

a

error

error absolut

o

error al cuadrado

1 6,341

2 5,693

3 6,508

4 6,171 6,181 10 10 104,047

5 6,562 6,124 -437 437 191,252,281

6 6,168 6,414 245 245 60,221,160 6,255 87 87 7,551,262

7 6,176 6,300 124 124 15,303,339 6,220 44 44 1,934,364

8 5,755 6,302 547 547 299,742,380 6,317 563 563 316,424,47

59 6,207 6,033 -174 174 30,322,998 6,166 -41 41 1,672,581

10 6,477 6,046 -431 431 185,949,538 6,174 -304 304 92,241,100

11 6,360 6,146 -214 214 45,671,679 6,157 -203 203 41,339,754

12 6,348 6,195

suma -330 2,183 828,567,423 0 145 1,241 461,163,53

7

media -41 273 103,570,928 0 18 155 57,645,442

De la ecuación 1 se puede ver que en el método de los promedios móviles se da una ponderación (o importancia) igual a cada uno de los último N valores de la serie, pero no se asigna ponderación alguna a los valores observados antes de ese tiempo.

También se puede observar que para calcular el promedio móvil, se deben tener los valores de las últimas N observaciones. Se puede desarrollar una forma más corta de la ecuación (1) para calcular el promedio móvil. El pronóstico de promedio móvil para el periodo t está dado por

F t=S t=X t−1+X t−2+………+X t−N

N (2)

Esto significa que una vez que se tiene el pronóstico para el período t (es decir, F), se puede obtener el pronóstico del periodo t+1 al sumar X t /N y restar X t−N /N .

El Valor de Ft+1 de la ecuación (1) se puede encontrar de manera alternativa como

F t+1=X t

N−

X t−N

N+Ft (3)

Escrita de esta forma, cada nuevo pronóstico basado en un promedio móvil es un ajuste del pronóstico de promedio móvil precedente. Es, asimismo, fácil ver por qué el efecto del Suavizamiento aumenta a medida que N se hace más grande: se está haciendo un ajuste más pequeño entre cada pronóstico.

4.2.3 MODELOS DE SUAVIZAMIENTO EXPONENCIAL ÚNICOS.

Al menos dos limitaciones importantes de los promedios móviles han motivado a la mayoría de los pronosticadores a aplicar en su lugar el método de Suavizamiento exponencial. Primero, para calcular un pronóstico de promedio móvil es necesario almacenar al menos N valores observados, lo que requiere espacio considerable si se necesita pronosticar un número grande de elementos. Segundo, el método de promedios móviles asigna una ponderación igual a cada una de las últimas N observaciones y ninguna ponderación en absoluto a las observaciones anteriores al período (t-N).

Se puede plantear un fuerte argumento en el siguiente sentido: puesto que las observaciones más recientes contienen la información más actualizada acerca de lo que acontecerá en el futuro, se le debe asignar relativamente una mayor ponderación que a las observaciones más antiguas. Lo deseable sería un esquema que asignara la ponderación que asignara la ponderación mayor a los valores observados más recientes, y ponderaciones decrecientes a los valores más antiguos. El Suavizamiento exponencial satisface este requerimiento y elimina la necesidad de almacenar los valores históricos de la variable.

En principio, el Suavizamiento exponencial funciona de manera análoga a los promedios móviles al “suavizar” las observaciones históricas para eliminar lo estocástico. Sin embargo, el procedimiento matemático para desempeñar dicho Suavizamiento es algo diferente del utilizado en los promedios móviles. La técnica del Suavizamiento exponencial se puede desarrollar empleando la ecuación (3) para calcular el promedio móvil. Supóngase que sólo se tiene disponible el valor observado más reciente y el pronóstico hecho para el mismo periodo. En tal situación, la ecuación (3) podría modificarse de forma tal que en lugar del valor observado en el periodo (t—N) se pudiese empelar un valor aproximado. Una estimación razonable sería el valor del pronóstico del periodo anterior. Así la ecuación (3) se modificaría para dar

F t+1=X t

N−

F t

N+F t (4)

Esta ecuación se puede escribir como

F t+1=1N

X t+(1− 1N )Ft (5)

Lo que ahora se tiene es un pronóstico que pondera las observaciones más recientes con una ponderación con valor de 1/N y al pronóstico más reciente con una ponderación con valor de (1-1/N). Si sustituimos 1/N por el símbolo alfa se tiene

F t+1=∝X t +(1−∝ ) F t (6)

Esta ecuación es la forma general usada para calcular un pronóstico con el método del Suavizamiento exponencial.

De esta ecuación se puede observar que el Suavizamiento exponencial también se sobrepone a otra limitación de los promedios móviles en el sentido de que las ponderaciones decrecientes se asignan a los valores observados más antiguos; es decir, puesto que α es un número entre 0 y 1 (por lo que (1-α) es también un número entre 0 y 1), las ponderaciones α, α(1-α), α(1-α)2, etc., tienen valores decrecientes exponencialmente. De aquí el nombre de Suavizamiento exponencial.

Una manera alternativa de escribir la ecuación (6) puede facilitar la comprensión del Suavizamiento exponencial. Al reordenar los términos de la ecuación (6) se puede obtener.

F t+1=Ft+∝(X t−Ft) o lo que es lo mismo que (7)

F t+1=Ft+∝(et) (8)Por lo tanto, el efecto de una α grande o pequeña es análogo al efecto de incluir un número pequeño o grande de observaciones al calcular un promedio móvil.

Utilizando los datos de la demanda de pasajeros, la ilustración 28 muestra como mediante el uso del paquete SPSS se pueden obtener los resultados. El único aspecto que debe recordarse es que para el primer periodo no está disponible ningún pronóstico previo.

Analizar>Series temporales>Suavizamiento exponencialVariables: Pasajeros_1Modelo: SimpleParámetros: General (Alfa)>Búsqueda de rejilla.Aceptar>Aceptar

Ilustración 28 Cálculo del modelo de predicción con el método simple con SPSS

Un valor grande de α (0.9) proporciona un Suavizamiento pequeño al pronóstico, mientras que un valor pequeño de α (0.1) proporciona un Suavizamiento considerable.

Un valor pequeño de α tiende a producir pronósticos que están más suavizados (o sea, tienen menos fluctuación) que valores más grandes de α. Sin, embargo, para encontrar el valor de α que genere los mejores pronósticos para los datos del pasado, se requiere calcular el error cuadrado medio o la desviación absoluta media.

En nuestro análisis SPSS muestra los 10 valores del alfa calculados indicando la suma de los errores cuadráticos, sobre el que podemos concluir que para α=0,00, el error es menor, como muestra la tabla 6.

Tabla 6 Suma de los errores cuadráticos de la aplicación del Método simple

Serie Rango del modelo Alpha (Nivel)Sumas de los errores

cuadráticosPasajeros_1 1 .00000 4856,087,254,199.12000 2 .10000 5044909144667.69000 3 .20000 5363721301989.94000 4 .30000 5660141235867.19000 5 .40000 5914763276965.56000 6 .50000 6122248837379.30000 7 .60000 6292367209369.67000 8 .70000 6444663320070.61000 9 .80000 6600432002495.73000 10 .90000 6777085518538.42000

Parámetros del suavizado

Serie Alpha (Nivel) Sumas de los errores cuadráticos gl errorPasajeros_1 .00000 4856087254199.12000 1857

A continuación, se muestran los parámetros con las sumas menores de errores cuadráticos. Estos parámetros se utilizan para pronosticar.

Para usar el Suavizamiento exponencial, solamente se necesita tener el valor observado más reciente, el pronóstico más reciente y el valor de α. El empleo del Suavizamiento exponencial único es fácil y económico, por que los programas de computadora pueden encontrar automáticamente el mejor valor de α. En este caso vemos que el mejor α calculado fue “0” por lo que analizando la ecuación para el cálculo del pronóstico:

F t+1=Ft+∝(et) (9)

Vemos que el término del error se anula, esto nos indica que siempre el valor del pronóstico se convertirá en una constante lo que se ratifica en la Ilustración 29. La línea proyectada verde inmediata al período de validación es el pronóstico realizado con este método.

Fecha

287 TUE

273 SUN

258 FRI

244 WED

230 MON

215 SAT

201 THU

187 TUE

173 SUN

158 FRI

144 WED

130 MON

115 SAT

101 THU

87 TUE

73 SUN

58 FRI

44 WED

30 MON

15 SAT

1 THU

300,000

250,000

200,000

150,000

100,000

50,000

Pasajeros con Método simplePasajeros Corregido

Ilustración 29 Valores Observados Vs. Pronóstico mediante método simple

Período histórico

Período de Validación

Predicción

Tanto la técnica de Suavizamiento simple como los promedios móviles o el Suavizamiento exponencial pueden utilizarse efectiva y económicamente cuando el patrón histórico de los datos se puede considerar como horizontal. Sin embargo estas técnicas pueden no ser efectivas al manejar tendencias o patrones estacionales, como es el caso de la demanda bajo estudio, necesitándose desarrollar otras formas de Suavizamiento para trabajar en tales situaciones, con el propósito de reducir considerablemente el error.

Fecha

287 TUE

273 SUN

258 FRI

244 WED

230 MON

215 SAT

201 THU

187 TUE

173 SUN

158 FRI

144 WED

130 MON

115 SAT

101 THU

87 TUE

73 SUN

58 FRI44 WED

30 MON

15 SAT

1 THU

Erro

r mét

odo

sim

ple

100000.00000

50000.00000

0.00000

-50000.00000

-100000.00000

-150000.00000

Ilustración 30 Diagrama de secuencia de la variable del error con el método simple.

Los residuales de un ajuste deben siempre distribuirse aleatoriamente, sin ninguna apreciable dirección. Si los residuales de algún modelo mostrasen algún patrón, el modelo sería inadecuado. Los residuales de la ilustración 30 no muestran aparentemente ningún patrón más sí una gran variabilidad lo que revalida la necesidad de ajustar el modelo.

4.2.4 MODELOS DE SUAVIZAMIENTO EXPONENCIAL LINEAL (SUAVIZAMIENTO EXPONENCIAL DOBLE DE HOLT)

El Suavizamiento exponencial único es teóricamente apropiado para cuando la serie presenta un patrón horizontal, es decir no tiene tendencia. Si el Suavizamiento exponencial único se usa con una serie de datos que contenga una tendencia consistente, los pronósticos irán a la zaga (se retrasarán) de la tendencia. El método de Suavizamiento lineal evita tal problema al reconocer explícitamente y tomar en consideración la presencia de una tendencia.

Cuando una serie de tiempo presenta alguna tendencia, ya sea creciente o decreciente, se puede utilizar el suavizamiento de Holt que permite estimar por separado el valor suavizado de la serie y el cambio en la tendencia a través del tiempo. La ilustración 31 muestra cuál es procedimiento en SPSS para el cálculo de este método.

Analizar>Series temporales>Suavizamiento exponencialVariables: Pasajeros_1Modelo: HoltParámetros: General (Alfa)>Búsqueda de rejilla. Tendencia (Gamma)>Búsqueda de rejillaAceptar>Aceptar

Ilustración 31 Cálculo del modelo de predicción con el Método de suavizamiento de Holt con SPSS

Para utilizar el método de Holt se requieren dos constantes de suavizamiento, α que es la constante de suavizamiento para el nivel de la serie y β la constante de suavizamiento para la tendencia de la serie. Estas dos constantes deben estar entre cero y uno. Para obtener el mejor ajuste se obtienen estimaciones con diferentes valores de alpha y beta y la combinación adecuada es la que produzca una menor media absoluta de los errores (MAE) o una menor media absoluta del porcentaje de error (MAPE) .31

Los valores de las estimaciones iniciales son:

S1= X1

T1 = X2 - X1

Las proyecciones o pronósticos se obtienen con las siguientes ecuaciones:

T t=¿ β (St−St−1)+(1−β )T t−1¿ (10)

31 http://www.virtual.unal.edu.co/cursos/sedes/manizales/4030006/lecciones/capitulocinco/5_2_4.html consultada el 20 de febrero de 2009.

St=α X t+(1−α )(S t−1+T t−1) (11)

F t+m=St+T t m (12)Donde:

St equivalente del valor suavizado exponencial único β coeficiente de suavizamiento, análogo a αT t tendencia suavizada en la serie de datos.m número de períodos a pronosticar 1,2,3…………

Con la ecuación (10) podemos ver que la tendencia más reciente, (St−St−1) está ponderada por β y la última tendencia suavizada, T t−1, está ponderada por (1-β). La suma de estos valores ponderados es el nuevo valor de la tendencia suavizada. Para nuestro caso β es Gamma como lo nombra SPSS y vemos que el mejor valor encontrado es “0” lo que implica que sólo la última tendencia será la que utilicemos.

SPSS realiza los cálculos utilizando estas ecuaciones, la tabla 7 muestra la corrida de este método en el que se obtuvo los siguientes resultados:

Tabla 7 Descripción de resultados del Modelo de suavizamiento de Holt en SPSS

Descripción del modelo

Nombre del modelo MOD_4Serie 1 Pasajeros CorregidoModelo de Holt Tendencia Lineal

Estacionalidad Ninguno

Estado de suavizado inicial

Pasajeros_1Nivel 67657.91096Tendencia 44.17808

Sumas menores de los errores cuadráticos

Serie Rango del modelo Alpha (Nivel)Gamma

(Tendencia) Sumas de los errores cuadráticosPasajeros_1 1 .10000 .00000 3746909207855.35100 2 .20000 .00000 3956162450628.50300 3 .10000 .20000 4011466788585.11100 4 .30000 .00000 4167556892296.53200 5 .10000 .40000 4319389211935.85000 6 .40000 .00000 4350890080592.53700 7 .20000 .20000 4369386411192.39700 8 .50000 .00000 4499296398596.58600 9 .60000 .00000 4619126559500.59000 10 .10000 .60000 4621629497052.09000

Parámetros del suavizado

Serie Alpha (Nivel)Gamma

(Tendencia) Sumas de los errores cuadráticos gl errorPasajeros_1 .10000 .00000 3746909207855.35100 1459

A continuación, se muestran los parámetros con las sumas menores de errores cuadráticos. Estos parámetros se utilizan para pronosticar.

La primera tabla resume los datos del modelo ejecutado en donde explica que la tendencia aplicada es la lineal y que no hay presencia de estacionalidad.

La tabla de sumas menores de los errores cuadráticos son resultado de las 10 iteraciones que realiza el paquete en búsqueda de la menor suma de cuadrados de los errores.

Vemos de la tabla de parámetros del suavizado que aún el error sigue siendo alto para los parámetros óptimos encontrados por el SPSS, en donde debemos tomar en cuenta que el paquete renombra como parámetro de nivel a alpha y en el caso de la tendencia que utilizamos para el desarrollo teórico beta a gamma.

Con respecto a la ecuación (11) la única diferencia entre ésta y la forma anterior con respecto al suavizamiento exponencial único ecuación (6), es el término adicional T t−1 que se suma a St−1 para ajustar los valores suavizados del patrón tendencial en la serie de datos.

Se observa que el valor S se actualiza primero, y luego se actualiza la tendencia T y para obtener un pronóstico se deben sumar el componente tendencial al valor suavizado básico para el número de periodos adelantados que se va a pronosticar, como se indica en la ecuación (12). La ilustración 32 muestra el cálculo para la predicción en la serie de pasajeros transportados. Observe que la predicción presenta un crecimiento lineal con tendencia, sin embargo el comportamiento de los datos históricos nos hace concluir que el futuro no se esperaría tenga presente este patrón. Observe la línea verde de la predicción.

300,000

250,000

200,000

150,000

100,000

50,000

Fecha

294

WE

D28

7 TU

E28

0 M

ON

273

SU

N26

5 S

AT

258

FRI

251

THU

244

WE

D23

7 TU

E23

0 M

ON

223

SU

N21

5 S

AT

208

FRI

201

THU

194

WE

D18

7 TU

E18

0 M

ON

173

SU

N16

5 S

AT

158

FRI

151

THU

144

WE

D13

7 TU

E13

0 M

ON

123

SU

N11

5 S

AT

108

FRI

101

THU

94 W

ED

87 T

UE

80 M

ON

73 S

UN

65 S

AT

58 F

RI

51 T

HU

44 W

ED

37 T

UE

30 M

ON

23 S

UN

15 S

AT

8 FR

I1

THU

Pasajeros con Método HoltPasajeros Corregido

Ilustración 32 Valores Observados Vs. Pronóstico mediante Método de Holt

Período histórico

Período de Validación

Predicción

La diferencia con el método anterior es que se tomó en cuenta la tendencia multiplicada por el período lo que nos resultó una ecuación lineal con tendencia como pronóstico, sin embargo la periodicidad aún no es analizada y es por tal razón necesitamos buscar un método que nos permita mejorar el modelo de predicción por ello a continuación analizamos un método en el que toma ya en cuenta este hecho.

Los residuales de un ajuste deben siempre distribuirse aleatoriamente, sin ninguna apreciable dirección. Si los residuales de algún modelo mostrasen algún patrón, el modelo sería inadecuado. Los residuales de la ilustración 33 no muestran una gran variabilidad lo que revalidan la necesidad de ajustar el modelo.

Fecha

258 FRI

244 WED

230 MON

215 SAT

201 THU

187 TUE

173 SUN

158 FRI

144 WED

130 MON

115 SAT

101 THU

87 TUE

73 SUN

58 FRI

44 WED

30 MON

15 SAT

1 THU

Erro

r Mét

odo

de H

olt

150000.00000

100000.00000

50000.00000

0.00000

-50000.00000

-100000.00000

-150000.00000

Ilustración 33 Diagrama de secuencia de la variable de error obtenida con el método de Holt

4.2.5 MODELOS DE SUAVIZAMIENTO EXPONENCIAL DE WINTER

Otra forma útil de suavizamiento la desarrolló Winters a principios de la década de 1960. Este método genera resultados semejantes a los del suavizamiento exponencial lineal según se ha analizado, pero tiene la ventaja extra de ser capaz de manejar datos estacionales junto con datos que tengan una tendencia. El suavizamiento exponencial lineal y estacional de Winters se basa en tres ecuaciones, cada una de las cuales suaviza un factor asociado con uno de los tres componentes del patrón, tal como aleatoriedad, tendencia y estacionalidad. En este aspecto es semejante al suavizamiento exponencial lineal, el cual suaviza lo aleatorio y ajusta lo tendencial. Sin embargo, el método de Winters incluye un parámetro adicional para manejar la estacionalidad. Hay tres ecuaciones de suavizamiento básicas implicadas en el método de Winters:

St=∝X t

I t−L+ (1−∝ )(S t−1+T t−1) (13)

T t=β (S t−S t−1)+(1−β )T t−1 (14)

I t=γX t

St+(1−γ ) I t−L (15)

En donde:

S= valor suavizado de la serie desestacionalizada.T= Valor suavizado de la tendencia.I=Valor suavizado del facto estacional.L= Duración de la estacionalidad (v. gr. número de meses o trimestres en un año.)

La predicción basada en el método de Winters se calcula como

F t+m=(S¿¿ t+T t m) I t−L+m¿ (16)

Las instrucciones en SPSS son las siguientes:

Analizar>Series temporales>Suavizamiento exponencialVariables: Pasajeros_1Modelo: WintersParámetros: General (Alfa)>Búsqueda de rejilla. Tendencia (Gamma)>Búsqueda de rejilla Estacional (Delta)>Búsqueda de rejillaAceptar>Aceptar

Ilustración 34 Cálculo del modelo de predicción con el Método de suavizamiento de Winter con SPSS

La ilustración 34 muestra como SPSS realiza los cálculos para obtener un modelo de predicción mediante el método de Winter.

Las constantes de suavizamiento inicialmente son seleccionadas arbitrariamente, con la condición de que estén entre cero y uno.

Se deben probar varias combinaciones de α, β hasta encontrar la que genere predicciones suficientemente precisas. Este es uno de los problemas que acompañan el método de Winters ya que consiste en determinar estos valores basado en el enfoque de ensayo y error siempre buscado minimizar el error cuadrado medio (MSE) o la desviación media absoluta (MAD).

Este proceso fácilmente lo realiza SPSS, se observa en el cuadro de diálogos de los parámetros, la activación de la casilla mostrar los 10 mejores modelos de la búsqueda de rejilla, significa que SPSS muestra los modelos con las combinaciones que menores suma de cuadrado de los errores generan. Estos resultados se pueden ver en la tabla 8.

Para iniciar el proceso de suavizamiento del nivel se puede asumir que: S1 = Y o también se puede emplear un promedio móvil centrado de igual longitud al período estacional. Para el valor inicial de la tendencia se pueden utilizar los 2L primeros datos para hacer una regresión lineal; la pendiente ( ) es el valor inicial de la tendencia en el período inicial, es decir, b1 = y además el coeficiente de intersección puede ser el valor inicial del nivel, S1 = .

Se deben calcular L valores iniciales para el factor estacional, es decir uno para cada uno de los períodos que conforman el ciclo estacional; cada uno de estos factores se obtiene dividiendo el valor observado de la variable en cada período por el valor de la tendencia para el correspondiente período. Usando los valores iniciales para el nivel, la tendencia y cada uno de los factores estacionales, se inicia el uso de las ecuaciones para obtener las proyecciones o pronósticos. A pesar de que este cálculo es un poco extenso SPSS lo realiza de manera rápida y precisa así la tabla 8 muestra los resultados obtenidos.

Tabla 8 Descripción de resultados del Modelo de suavizamiento de Winter en SPSS

Descripción del modeloNombre del modelo MOD_8Serie 1 Pasajeros CorregidoModelo multiplicativo de Winters

Tendencia LinealEstacionalidad Multiplicativo

Longitud del periodo estacional7

Estado de suavizado inicial

Pasajeros_1Índices estacionales

1 112.350422 114.064173 77.497474 58.616735 113.399786 111.674247 112.39719

Nivel 139940.15424Tendencia 38.11920

Sumas menores de los errores cuadráticos

Serie Rango del modelo Alpha (Nivel)Gamma

(Tendencia)Delta

(Estación)Sumas de los errores

cuadráticosPasajeros_1 1 .20000 .00000 .00000 895306251962.63400 2 .10000 .00000 .00000 896910799840.41600 3 .30000 .00000 .00000 902246594634.86400 4 .40000 .00000 .00000 915381180572.09400 5 .50000 .00000 .00000 934050977934.68200 6 .60000 .00000 .00000 958771236312.90200 7 .70000 .00000 .00000 990903134087.82000 8 .10000 .00000 .20000 993497993259.23800 9 .20000 .00000 .20000 999016245426.67000 10 .30000 .00000 .20000 1009551908171.35400

Parámetros del suavizado

Serie Alpha (Nivel)Gamma

(Tendencia)Delta

(Estación) Sumas de los errores cuadráticos gl errorPasajeros_1 .20000 .00000 .00000 895306251962.63400 1453A continuación, se muestran los parámetros con las sumas menores de errores cuadráticos. Estos parámetros se utilizan para pronosticar.

La tabla 8 muestra los resultados del Método de Winters con SPSS, en donde se destaca un resumen del modelo indicando la existencia de tendencia y también de estacionalidad 7. La tabla estado de suavizado inicial muestra los índices de estacionalidad para los 7 días, en donde 1 es para jueves pues recordamos que la serie inicia el 01/01/04 que es jueves. El índice estacional más bajo es el 4 que corresponde al día domingo.

Con estos valores se puede calcular una serie sin estacionalidad con el simple hecho de dividir el valor de la serie original para su índice de estacionalidad.

La tabla anterior muestra, sumas menores de los errores cuadráticos, muestra los 10 mejores modelos obtenidos por iteración del SPSS en el que ubicamos el que menor suma cuadrada de los errores genere. Este resultado plasma la última tabla, parámetros del suavizado.

La ilustración 35 muestra a la serie de pasajeros y la serie obtenida de la aplicación del modelo de suavizamiento exponencial de Winters, observamos que en el período de validación existe altas diferencias con los datos reales , parece ser que aún el modelo puede ser mejorado de tal manera que permita asegurar que la predicción obtenida vaya a reflejar menor incertidumbre del futuro, sin embargo de ello, ya al menos el modelo toma en cuenta la periodicidad que se ha venido hablando hasta ahora.

Esto nos obliga a seguir en la búsqueda de un modelo que mejore las predicciones, por lo que a continuación estudiaremos un modelo que toma en cuenta por separados los patrones que se encuentran en la serie de pasajeros y nos brinda una estimación del futuro, se deberá por tanto de igual manera encontrar mediante la suma de los errores cuadráticos si el modelo que obtengamos va mejorando.

300,000

250,000

200,000

150,000

100,000

50,000

Fecha

....24

-JA

N-2

009

05-D

EC

-200

816

-OC

T-20

0827

-AU

G-2

008

08-J

UL-

2008

19-M

AY

-200

830

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008

09-F

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-200

821

-DE

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007

01-N

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UN

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N-2

007

16-N

OV

-200

627

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P-2

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08-A

UG

-200

619

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006

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-200

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C-2

005

12-O

CT-

2005

23-A

UG

-200

504

-JU

L-20

0515

-MA

Y-2

005

26-M

AR

-200

504

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B-2

005

16-D

EC

-200

427

-OC

T-20

0407

-SE

P-2

004

19-J

UL-

2004

30-M

AY

-200

410

-AP

R-2

004

20-F

EB

-200

401

-JA

N-2

004

Pasajeros con Método WinterPasajeros Corregido

Ilustración 35 Valores Observados vs. Pronóstico con el Método de Winters.

Período histórico

Período de Validación

Predicción

La suma de los errores cuadráticos aún es alto sin embargo mejoró considerablemente con esta técnica de predicción el modelo y disminuyó el error. La ilustración 36 muestra con claridad este hecho, el método de Winter hasta ahora da mejores resultados.

33%

21%

23%

18%

4%

Sumas de los errores cuadráticos de cada Método de predicción

IngenuoPromedioExponencial únicoHoltWinter

Ilustración 36 Suma de los errores cuadráticos obtenidos con los modelos de suavizamiento exponencial.

4.3MÉTODOS DE DESCOMPOSICIÓN PARA PRONÓSTICOS DE SERIES DE TIEMPO.

“Los métodos de suavizamiento no permiten identificar los componentes individuales del patrón básico subyacente. Sin embargo, el patrón global puede dividirse, o descomponerse, en subpatrones que identifiquen separadamente cada componente de la serie de tiempo. Frecuentemente dicha descomposición puede facilitar el proceso de predicción y ayudar al pronosticador a entender el comportamiento de la serie.

Los métodos de descomposición identifican tres componentes distintos del patrón básico subyacente que caracterizan a las series económicas y empresariales. Éstos son los factores tendenciales, cíclico y estacional. El factor tendencial, que representa el comportamiento de largo plazo de los datos, puede aumentar, disminuir o permanecer sin cambio. La tendencia puede ser aproximada por una línea recta, pero en ciertas situaciones puede existir una curva exponencial o en forma de S, u otro patrón de largo plazo. El factor cíclico representa las altas y bajas causadas por las condiciones económicas o específicas de la industria. El factor estacional se refiere a fluctuaciones periódicas de longitud constante y profundidad proporcional, que son provocadas por circunstancias tales como la lluvia, el mes del año, el espaciamiento de feriados y políticas corporativas.

La diferencia entre estacionalidad y ciclicidad consiste en que la estacionalidad se repite a sí misma a intervalos fijos como un año, un mes o una semana, en tanto que los factores cíclicos tienen una duración mayor que varía de un ciclo a otro.

La descomposición supone que los datos están conformados así;

Datos = patrón + error

Y que el patrón se compone de tendencia, ciclo y estacionalidad

Patrón = tendencia, ciclo y estacionalidad”32

32 Makridakis Wheelwrigth, Métodos de pronóstico, Limusa, 1998, p 107

El concepto básico en dicha separación es empírico y consiste en remover primero la estacionalidad, luego la tendencia secular y finalmente el ciclo. Se supone que cualquier residuo es aleatorio, el cual, aunque no puede predecirse, puede ser identificado. La representación matemática general del enfoque de la descomposición es:

X t=f (St , T t ,Ct , Rt)

En donde:

X t = el valor de la serie de tiempo (datos reales) en el período t.St = componente estacional (o índice) en el período tT t= componente tendencial en el período tC t= componente cíclico en el período tRt= componente aleatorio (o error) en el período t

La relación funcional específica usada para relacionar estos cuatro subpatrones puede adoptar una gran variedad de formas. La forma más directa es la aditiva (simplemente sumando los cuatro elementos) y la multiplicativa (multiplicando los cuatro elementos).

“El modelo de componentes aditivo trabaja mejor cuando la serie de tiempo analizada tiene aproximadamente la misma variabilidad a lo largo de la serie. Es decir, todos los valores de la serie caen dentro de un ancho de banda constante centrado en la tendencia.

El modelo de componentes multiplicativo trabaja mejor cuando la variabilidad de la serie de tiempo incrementa con el nivel. Es decir, los valores de la serie se extienden como la tenencia aumenta.”33

Con la secuencia del SPSS Analizar >Informes > Resumir por casos se abre el cuadro de diálogo donde se seleccionan: en Variables: Pasajeros y en Variable de selección: week. Con el botón Estadísticos se activan las opciones Media, Máximo y Mínimo y Desviación típica. Para obtener solamente los resultados finales se desactiva Mostrar los casos. El resultado que se obtiene se muestra en el ANEXO B..

Como puede observarse, las desviaciones típicas de cada semana crecen a medida que crece el valor medio, lo cual es indicio de que el patrón de agregación de las componentes de esta serie es multiplicativo.

Prácticamente, todas las series en los campos económicos y empresarial están compuestas de estacionalidad y ciclicidad, las cuales son proporcionales a la tendencia secular; de aquí que el modelo multiplicativo sea el apropiado. En este trabajo por la naturaleza de los datos de la serie de pasajeros transportados en donde la variabilidad va incrementando según aumenta la tendencia se estudiará el modelo multiplicativo.

La representación matemática específica es:

X t=St x T t x Ct x R t

El propósito de la descomposición es identificar T, C y S (sólo lo que sobra será R) al analizar los datos originales de X.

La serie de pasajeros transportados recoge conjuntamente la evolución coyuntural, a medio y largo plazo, y las variaciones estacionales. “Para poder analizar correctamente la serie es 33 Bussines Forecasting, John E. Hanke, Dean W. Wichern, Arthur G. Reitsch, pag 145,146

necesario separar estas variaciones. El procedimiento que permite aislar el componente estacional utilizado por el SPSS, se basa en la descomposición mediante medias móviles. Se parte del supuesto de que el patrón de las variaciones estacionales se mantiene constante año tras año, y pueden cuantificarse con números índices si el esquema de agregación es multiplicativo o con coeficientes si el esquema es aditivo.

Los índices de variación estacional (IVE) recogen el incremento o la disminución porcentual que el componente estacional produce en cada estación anual (mes, trimestre,...). Estos índices no deben incidir sobre la serie anual, por lo tanto, su promedio anual siempre debe ser igual a 1 (o 100 si está expresado en tanto por ciento).

Los coeficientes de variación estacional indican el valor en que aumenta o disminuye la tendencia a causa del componente estacional. Para que estos coeficientes no modifiquen la serie anual siempre deberán sumar 0.

Para obtener los índices o coeficientes por el método de descomposición, el SPSS realiza las siguientes operaciones:

Estimación del componente extraestacional (Tendencia-Ciclo) con una media móvil de orden k, siendo k el número de períodos estacionales que presenta la serie (k=12 si las observaciones son mensuales, k=4 si son trimestrales, etc);

Estimación de las variaciones estacionales específicas de cada período dividiendo (o restando) la serie por la media móvil;

Estimación de las variaciones estacionales netas u obtención del IVE eliminando las fluctuaciones irregulares observadas en cada período; para ello se toma el valor mediano de las variaciones especificas de cada período estacional por separado y se corrigen de forma que su promedio no afecte a la serie anual.”34

Este proceso es fácilmente calculado por el SPSS. La ilustración 37 muestra la descomposición. Las instrucciones para el proceso son:

Analizar>Series Temporales>Descomposición estacionalVariables: Pasajeros CorregidosModelos: MultiplicativoMostrar el listado por caso: OKGuardar>Añadir al archivo:OKAceptar>Aceptar>Aceptar

34 http://www.ub.es/aplica_infor/spss/cap8-4.htm consultada el 20703/2009

Ilustración 37 Cálculo del modelo de predicción con el Método de Descomposición estacional con SPSS

SPSS crea cuatro nuevas series, como muestra la ilustración 38:

Ilustración 38 Creación de variables mediante el método de Descomposición estacional con SPSS

Saf Factor de ajuste estacional y muestra la componente estacional.Sas Serie ajustada estacionalmente y es el valor original menos la estacionalidad, es decir la serie original de los datos dividido entre su factor estacional.Stc Tendencia y ciclo desestacionalizados, es decir se muestra la tendencia menos el cicloErr el error.

Estas variables son el resumen de las iteraciones necesarias para descomponer a la serie en sus componentes.. El cuadro de resultados presenta: Moving averages: Medias móviles centradas de orden 7; Seasonal factors: índices de variación estacional corregidos (IVE), obtenidos como media correspondientes a cada período estacional por separado y corregido;Serie desestacionalizada;

Serie ajustadaestacionalmente= pasajeros( factor estacional /100)

Smoothed trend-cycle: Estimación del componente Tendencia-Ciclo;Estimación del componente irregular.

Componente irregular= pasajeros( tendencia−ciclo )∗(factor estacional /100)

La tabla 9, muestra algunos de los resultados que se obtienen del análisis con SPSS:

Tabla 9 Resultados obtenidos con SPSS de método de descomposición estacional

Descripción del modelo

Nombre del modelo MOD_2Tipo de modelo MultiplicativoNombre de la serie 1 Pasajeros CorregidoLongitud del período estacional

7

Método de computación de medias móviles Amplitud igual a la periodicidad y todos los puntos ponderados igualmente

Aplicando las especificaciones del modelo de MOD_2

Descomposición estacional

Nombre de la serie: Pasajeros Corregido

Número de caso

Serie original

Serie de media móvil

Razón de la serie original sobre la serie de media

móvil (%)

Factor estacional

(%)

Serie corregida estacionalment

e

Serie de tendencia-

ciclo suavizada

Componente irregular

(error)1 67680.000 . . 112.4 60240.097 76709.279 .7852 99290.000 . . 114.1 87047.491 93654.736 .9293 103596.00

0 . . 77.5 133676.620 127545.651 1.048

4 96411.000 140073.5714 68.8 58.6 164476.923 155435.17

9 1.058

5 208193.000

159322.5714 130.7 113.4 183592.070 173236.30

6 1.060

6 205370.000

175398.5714 117.1 111.7 183900.965 179930.15

2 1.022

7 199975.000

180838.0000 110.6 112.4 177918.146 181243.87

9 .982

8 202423.000

181821.7143 111.3 112.4 180171.117 181607.51

4 .992

9 211822.000

182748.5714 115.9 114.1 185704.237 181912.73

4 1.021

10 141672.000

182694.7143 77.5 77.5 182808.545 182418.61

0 1.002

11 103297.000

184314.1429 56.0 58.6 176224.422 182464.97

9 .966

12 214681.000

185547.7143 115.7 113.4 189313.422 184258.69

1 1.027

Para poder realizar la Descomposición estacional se necesitó previamente saber la periodicidad (cuántas observaciones hay en una estación) de la serie de tiempo que en este caso fue 7. Como en el caso del modelo de Winters aquí se calculan los índices

estacionales, que en número son idénticos a los obtenidos. De igual manera el índice estacional 1 se le asignará a los días jueves, inicio de la serie de pasajeros transportados.

La ilustración 39 muestra la serie de pasajeros descompuesta en la serie desestacionalizada, el componente tendencial-ciclo y la parte aleatoria o error.

Fecha

201 THU

187 TUE

173 SUN

158 FRI

144 WED

130 MON

115 SAT

101 THU

87 TUE

73 SUN

58 FRI

44 WED

30 MON

15 SAT

1 THU

Serie

s aj

usta

das

esta

cion

alm

ente

par

a Pa

saje

ros_

1 de

SE

ASO

N, M

OD

_11,

MU

L EQ

U 7

350000.00000

300000.00000

250000.00000

200000.00000

150000.00000

100000.00000

50000.00000

Fecha

201 THU

187 TUE

173 SUN

158 FRI

144 WED

130 MON

115 SAT

101 THU

87 TUE

73 SUN

58 FRI

44 WED

30 MON

15 SAT

1 THU

Cic

lo d

e te

nden

cias

par

a Pa

saje

ros_

1 de

SEA

SON

, M

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_11,

MU

L EQ

U 7

250000.00000

200000.00000

150000.00000

100000.00000

50000.00000

Fecha

201 THU

187 TUE

173 SUN

158 FRI

144 WED

130 MON

115 SAT

101 THU

87 TUE

73 SUN

58 FRI44 WED

30 MON

15 SAT

1 THU

Erro

r par

a Pa

saje

ros_

1 de

SEA

SON

, MO

D_1

1, M

UL

EQU

7

1.40000

1.20000

1.00000

0.80000

0.60000

0.40000

Número secuencial4 FRI4 WED4 MON3 SAT3 THU3 TUE3 SUN2 FRI2 WED2 MON1 SAT1 THU

Fact

ores

est

acio

nale

s pa

ra P

asaj

eros

_1 d

e SE

ASO

N,

MO

D_1

1, M

UL

EQU

7

1.20000

1.00000

0.80000

0.60000

Ilustración 39 Componentes de la serie pasajeros

Este método nos permitió obtener series que contienen individualmente los patrones detectados (estacionalidad, tendencia y aleatoriedad), sin embargo si bien es cierto se obtuvo esta ventaja con el método de descomposición, aún no se ha logrado tener el pronóstico para la demanda. Recordemos que:

Componente irregular= pasajeros( tendencia−ciclo )∗(factor estacional /100)

Despejando los pasajeros podríamos tener la predicción de la variable, es decir, si se logra realizar un pronóstico de la serie tendencia-ciclo utilizando el método de Holt (incluye tendencia), así como el de la componente irregular, sería factible entonces poder predecir la variable pasajeros, interés de este trabajo. Este procedimiento se puede obtener fácilmente apoyados en el Minitab 15 , como muestra la ilustración 40, así aplicando las instrucciones pertinentes obtenemos:

Stat>Time series>Descomposicion>Variable: PasajerosSeasona length: 7Model Type: MultiplicativoGenerate Forecast. OK

Ilustración 40 Instrucciones para el método de descomposición en Minitab

Ilustración 41 Datos observados vs. Predicción con método de descomposición estacional.

Observe en la ilustración 41, que los residuales no tienen un comportamiento normal, esto se había concluido anteriormente, sin embargo si notamos la gráfica de la serie de tiempo descompuesta, vemos con claridad que la línea verde muestra la tendencia de la serie y que el ajuste parece ser un tanto adecuado y similar al realizado con el método de Winters, la diferencia lo marca la suma de cuadrados residuales.

En relación a las gráficas obtenidas del análisis de cada componente la serie sin tendencia (detrended data) muestra a la serie horizontal, para ello lo que se realizó es retirarle a los datos originales la tendencia encontrada, de igual manera se realizó la gráfica de la serie sin estacionalidad, aquí la serie fue divida para su índice estacional, que son mostrados en las cuatro gráficas inferiores derechas.

A más de estos resultados Minitab, presenta algunas otras salidas que se presentan en forma resumida a continuación:

Fitted Trend Equation

Yt = 193409 + 11.0*t

Seasonal Indices

Period Index 1 1.11118 2 1.15181 3 0.76573 4 0.57270 5 1.14695 6 1.13111 7 1.12053

Accuracy Measures

MAPE 10MAD 15385MSD 750181680

Time Pasajeros Trend Seasonal Detrend Deseason Predict Error1 67680 193420 1.11118 0.34991 60908 214923 -1472432 99290 193431 1.15181 0.51331 86203 222796 -1235063 103596 193442 0.76573 0.53554 135290 148125 -445294 96411 193453 0.57270 0.49837 168345 110790 -143795 208193 193464 1.14695 1.07613 181519 221893 -137006 205370 193475 1.13111 1.06148 181565 218841 -13471

Este método presentó un valor menor en la suma cuadrada de los errores que algunos otros métodos aplicados hasta ahora, sin embargo a pesar de tener un buen comportamiento el método de descomposición, como muestra la ilustración 42, aún se ven varias diferencias significativas con la serie original.

300,000

250,000

200,000

150,000

100,000

50,000

Fecha

-029

4 W

ED

287

TUE

280

MO

N27

3 S

UN

265

SA

T25

8 FR

I25

1 TH

U24

4 W

ED

237

TUE

230

MO

N22

3 S

UN

215

SA

T20

8 FR

I20

1 TH

U19

4 W

ED

187

TUE

180

MO

N17

3 S

UN

165

SA

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8 FR

I15

1 TH

U14

4 W

ED

137

TUE

130

MO

N12

3 S

UN

115

SA

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8 FR

I10

1 TH

U94

WE

D87

TU

E80

MO

N73

SU

N65

SA

T58

FR

I51

TH

U44

WE

D37

TU

E30

MO

N23

SU

N15

SA

T8

FRI

1 TH

U

Método de descomposición estacional

Pasajeros Corregido

Ilustración 42 Datos Observados vs. Aplicación del método de Descomposición estacional.

Período histórico

Período de Validación

Predicción

Resumen: Los métodos de suavizamiento así como el de descomposición mostraron la fácil aplicación para encontrar un ajuste más adecuado a la serie original de pasajeros transportados.

El análisis exploratorio de la serie, es punto de partida de la aplicación de cualquier método de pronóstico mediante series de tiempo. Identificar cada uno de los patrones es esencial para concluir que método es el que mejor ajustaría a los datos.

Los datos atípicos debes ser tratados en la fase exploratoria, debido a que estos análisis estudian patrones pasados basándose en promedios y un dato perdido puede afectar a la proyección al futuro.

El método del promedio simple se aplica cuando existe un patrón horizontal, el método de Holt cuando está presente el patrón tendencial y el método de Winters cuando tanto la tendencia como la estacionalidad están presentes.

El método de descomposición permite detectar cada patrón presente en la serie de tiempo y se pueden obtener proyecciones analizando cada descomposición por separado.

El análisis de la bondad del modelo que utiliza SPSS está basado en el estudio de la suma de los errores cuadráticos, que es una parte del MSD o error medio cuadrado (EMC), estudiado en el capítulo III, sin embargo, SPSS no utiliza la división para el número de datos.

EMC=∑i=1

n

e i2

n

La comparación de la suma de los errores cuadráticos de los métodos aplicados en este capítulo, se muestra en la ilustración 43, en donde se aprecia que el método de Winters dio mejores ajustes para la predicción.

31%

20%22%

17%

4% 7%

Sumas de los errores cuadráticos de cada Método de predicción

IngenuoPromedioExponencial únicoHoltWinterDescomposición estacional

Ilustración 43 Comparación de suma de los errores cuadráticos de los métodos de suavización y descomposición.

Estos métodos fueron el inicio del análisis de las series de tiempo, sin embargo, las técnicas han ido mejorando, creándose así metodologías más avanzadas, el capítulo siguiente se

encarga de este estudio, donde se expondrá la metodología llamada de Box Jenkins mediante los modelos ARIMA estacionales.

CAPITULO V MODELOS DE PREDICCIÓN CUANTITATIVOS: MODELOS ARIMA ESTACIONALES

A lo largo de este trabajo, se ha venido explicando los diferentes modelos que se pueden aplicar a una serie y se ha concluido, que dependiendo de la estructura de la serie temporal se pueden aplicar métodos de predicción, ya sea de suavizamiento, de descomposición y en el mejor de los casos de contar con datos, realizar una predicción con variables explicativas, mediante el análisis de regresión lineal. Este capítulo inicialmente presenta una breve descripción sobre este método, en el cual se exponen criterios y definiciones útiles que se comparten en el estudio de la metodología de Box-Jenkins mediante los modelos ARIMA.

Sin embargo, sobre el método de regresión lineal, no se profundiza el estudio debido a que como se mencionó en el capítulo III, una desventaja de este método es contar con suficientes variables que guarden cierta relación con la demanda de pasajeros. Cabe indicar, que a pesar de este hecho se realizó el estudio, sin tener una medida exitosa de ajuste en la búsqueda de plantear una relación causal. Los resultados mostraron que ninguna de las variables elegidas inicialmente podía describir a la variable de interés, la demanda de pasajeros, por lo que se plantearía como objeto de estudio para un nuevo trabajo. El ANEXO C, muestra un glosario de términos útiles así como una explicación sobre cada término utilizado en esta explicación, para quien esté interesado sobre este tema.

En este sentido, la búsqueda de un mejor modelo que ajuste a la serie temporal, aún es motivo de estudio, por lo que, gran parte de este capitulo se encarga de estudiar los modelos de Box-Jenkins, que son similares a los modelos de suavización exponencial (estudiados en el capítulo IV) en que ambos son adaptativos, pueden capturar tendencia y patrones estaciónales y son automatizables, pero que se diferencia en que los modelos Box-Jenkins son basados en autocorrelaciones en lugar de una vista estructural de nivel, tendencia y estacionalidad y que además tienden a obtener mejores resultados que los modelos de suavización exponencial para series de tiempo más largas y estables, sin embargo, veremos que estos modelos no son buenos para datos con ruido y alta volatilidad. 35

En este capítulo se identificará algunos modelos, se estimará los coeficientes, se obtendrá series de tiempo de los residuales, y se inspeccionará las gráficas de Autocorrelaciones (ACF) y la gráfica de las Autocorrelaciones Parciales (PACF) de los residuales para tener las claves sobre los componentes que se necesitan añadir al modelo tentativo. El ciclo ARIMA de identificación, estimación, y diagnóstico nos llevará más tiempo pues como se verá los procesos estacionales estarán presentes, en la serie de demanda de pasajeros transportados.

35 http://www.dandoenelblanco.com/2008/07/modelos-de-series-de-tiempo-para-pron%C3%B3sticos-de-demanda.html consultada el 30 de enero de 2009.

6.1. BREVE ESTUDIO DEL ANÁLISIS DE REGRESIÓN LINEAL

El objeto de un análisis de regresión es investigar la relación estadística que existe entre una variable dependiente (Y) y una o más variables independientes ( X X X1 2 3, , , ... ). Debido a su simplicidad analítica, la forma funcional que más se utiliza en la práctica es la relación lineal, resulta de interés entonces los valores que multiplicados por los valores de cada variable X se aproximen a los valores de Y, es decir:

Y=β0+β1 X+ε

Encontrar los parámetros β, es nuestro interés

El parámetro β0, conocido como la “ordenada en el origen,” nos indica cuánto es Y cuando X = 0.  El parámetro β1, conocido como la “pendiente,” nos indica cuánto aumenta Y por cada aumento de una unidad en X.  Interesa entonces obtener estimaciones de estos coeficientes a partir de una muestra de observaciones sobre las variables Y y X. En el análisis de regresión, estas estimaciones se obtienen por medio del método de mínimos cuadrados. La ilustración 44 muestra cada componente del análisis de regresión.

Ilustración 44 Componentes de la Regresión lineal.

El Coeficiente de correlación lineal de Pearson es un instrumento Objetivo no Subjetivo, que se encuentra entre -1 y 1 y permite saber la correlación entre variables, es decir, es un índice estadístico que mide la relación lineal entre dos variables cuantitativas.

Por otro lado, para medir la bondad de ajuste de la recta de regresión, se utiliza el Coeficiente de Determinación R2, que se encuentra entre 0 y 1 y mide la relación entre la variación explicada por el modelo y la variación total del modelo.

R2=Varianza ExplicadaVariació n total

La figura 45, muestra cada una de las variaciones presentes en un análisis de regresión lineal.

Ilustración 45 Variaciones presentes en el análisis de regresión

36

Es claro que hasta ahora con un solo predictor “X”, el análisis ha sido sencillo sin embargo existen más consideraciones que hacer cuando los predictores aumentan es decir la ecuación de regresión lineal se transforma en:

Y=β0+β1 X+β2X+ β3 X+……… …. βn X+ε

Encontrar los parámetros β, es nuestro interés

Puede pasar que los predictores estén correlacionados entre sí. Este problema se conoce con el nombre de MULTICOLINEALIDAD, en cuyo caso se procede a determinar cuál de las variables no aporta mucha información en el efecto que sufre Y, y si es necesario se debe eliminarla. Este cálculo lo realiza Minitab mediante el cálculo del indicador, VIF que mide la multicolinealidad entre la variable respuesta y los predictores. Valores mayores 10 indican una fuerte multicolinealidad.(Véase ANEXO C).

Una vez encontrados las mejores variables que pueden dar una explicación sobre el comportamiento del fenómeno Y, se deben cumplir con supuestos para que el modelo sea confiable, estos son:

1. El término ε tiene promedio igual 0.2. El término de error tiene una distribución NORMAL.3. Los parámetros que acompañan a los predictores son significativos.4. Los términos de errores no están correlacionados entre sí.5. El término de error no guarda relación alguna con cada uno de los predictores.6. La varianza del término es constante. (Homocedástico).

Por lo tanto, para encontrar un modelo lineal adecuado para explicar a la variable respuesta Y, los pasos que se deben seguir son los siguientes:

36 http://www.monografias.com/trabajos16/metodos-lineales/metodos-lineales.shtml, consultada el 11/08/08.

Pasos Detalle Pregunta de interés Criterio Decisión

1 Análisis Exploratorio.

De qué manera está presente la

relación?

Observación Visual:Positiva.Negativa.

No hay relación.

Que intensidad tiene la relación?

Si r = 0, no existe ninguna correlación.Si 0 < r ≤ 1, existe una correlación positiva.Si -1 < r ≤ 0, existe una correlación negativa.

Coeficiente de correlación lineal de Pearson.

2

Determinar los parámetros del

modelo e investigar las variable regresora.

¿Los VIF son demasiados altos?

Valores de VIF>10 son variables a eliminar. (Minitab) Eliminar la Multicolinealidad.

3Análisis de la

Normalidad de los errores.

¿Qué valor tiene el estimador Jarque

Bera? Estimadores:

Skewnes ≈0Kurtosis≈3

(Eviews)

Ho:ε N .Ha:ε no son N . Si P_valor ≥ α entonces los errores siguen

una distribución NormalSi P_valor < α entonces los errores no siguen una distribución Normal.En el caso de que los datos no sean normales corregir datos atípicos.

4 Estudiar los valores de los errores del

¿Hay datos atípicos? Corregir puntos que no permitan que

Eliminar los datos atípicos

modelo. los errores se encuentren dentro de los límites de confianza.

5Estimación de

Parámetros adecuados

Qué valores de los parámetros del

modelo son significativos?

PESO= β1+β2X2 +β3X3+………+ΒK XK +

Ho: βk=0Ha: βk≠0

Si P_valor ≤ α entonces se apoya Ha.Si P_valor > α entonces se apoya Ho.

6Investigar la

estructura del término de error

Los errores son correlacionados?

ε t=ρ1ε t−1+ρ2 εt−2+……+ρnε t−nt

Ho:ρn=0Ha:ρn ≠0

Si P_value<α entonces se acepta la Hipótesis alternativa.Si P_value ≥α entonces se accepta la Hipótesis nula.

Si se cumple realizar transformación con AR

7Investigar si los errores tienen

relación con los regresores.

¿Existe un modelo que relacione a los

errores con los predictores?

ε t=γ1+γ2 X1+γ 3 X2

Ho:γi=0 Ha:γi≠0

Si P_value<α entonces se rechaza la

hipótesis nula, es decir existe correlación

entre los errores y los predictores.

Si P_value ≥α entonces se acepta la Hipótesis

nula, es decir no existe correlación entre los

errores y los predictores.

8Analizar si los

términos del error son homocedásticos.

¿Las varianzas de los términos del

error son iguales?

Ho: Los términos de error ε son homocedásticos.Ha: Los términos de error ε son heterocedásticos.

El valor de NR2 es mayor o menor a α.

6.2. PANORAMA GENERAL DEL ARIMA

“Para iniciar responderemos la pregunta que es un modelo ARIMA???, ARIMA significa Media Móvil Integrada Autorregresiva (Auto-Regressive Integrated Moving Average), en honor a los 3 componentes de ARIMA. Los modelos ARIMA se utilizan mucho en análisis de series temporales (AST) por su flexibilidad. En adelante llamaremos a la serie temporal (ST).

Los métodos que se usan para encontrar el valor de los parámetros de los modelos ARIMA requieren mucho cálculo por lo que se sugiere el apoyo de paquetes computacionales como el SPSS. Los modelos ARIMA combinan tres tipos de procesos:

Autorregresión (AR) Diferenciación, para lograr la desintegración de la ST (I) Medias Móviles (MA)

Las tres están basadas en el concepto simple de “perturbaciones aleatorias” o “shocks”. Entre dos observaciones de una ST, ocurre una perturbación que de algún modo afecta al nivel de la ST. Estas perturbaciones se pueden describir matemáticamente mediante los modelos ARIMA. Cada uno de los tres tipos de procesos tiene su propia forma características de responder a una perturbación aleatoria. El ARIMA más general implica a los tres procesos. Cada uno de ellos está descrito por un número entero pequeño.

El modelo ARIMA general, despreciando la estacionalidad se describe tradicionalmente como ARIMA (p,d,q), donde:

“p” es el orden de la autorregresión“d” es el grado de diferenciación“q” es el orden de la media móvil implicado.”37

Aunque los tres parámetros están relacionados, se puede examinar cada aspecto por separado. El ANEXO D, muestran algunos patrones que serán de utilidad a lo largo de este trabajo.

6.2.1. AUTOREGRESIÓN

“El primero de los tres procesos incluidos en los modelos ARIMA es la autorregresión. En un proceso autorregresivo cada valor de la ST es función lineal del valor(es) precedentes. En un proceso autorregresivo de primer orden solo se usa el valor precedente; en un proceso autorregresivo de segundo orden se usa los dos valores precedentes; y así sucesivamente. Estos procesos se llaman normalmente AR(n), en donde el número entre paréntesis indica el orden. Por tanto, un proceso autorregresivo AR(1) es un proceso autorregresivo de primer orden, donde:

Valort = disturbiot + (Φ* Valor t-1)

El coeficiente Φ se estima a partir de la ST observada e indica cuan fuerte es la dependencia entre cada valor y el valor precedente. Como el orden de autorregresión es el primer parámetro de ARIMA , un modelo AR(n) es el mismo que un modelo ARIMA (n,0,0).

Conceptualmente, un proceso autorregresivo es aquel que tiene “memoria”, en el sentido de que cada valor está correlacionado con todos los precedentes. En un proceso autorregresivo AR(1) el valor actual es función del valor precedente, el cual es, a su vez, función del precedente a él, y así sucesivamente. Por tanto, cada “shock” o disturbio al sistema tiene un efecto que disminuye sobre todos los períodos de tiempo subsiguientes.

37 José Emilio Gondar Nores, Técnicas Estadísticas con SPSS I, editorial Data Mining Institute, 1998, p K4.8

Cuando el coeficiente Φ es mayor que -1 y menor que +1, como es el caso usual, la influencia de las observaciones anteriores muere exponencialmente.

6.2.2. DIFERENCIACIÓN

Las ST a menudo reflejan el efecto acumulativo de algunos procesos. El proceso es responsable de “cambios” en el nivel observado de la ST, pero no es responsable del nivel mismo. Los niveles del inventario, por ejemplo, no vienen determinados por las recepciones y las ventas de un período simple. Estas actividades causan cambios en los niveles de inventario. Los niveles mismos son la suma acumulativa de los cambios en cada período.

Una ST que mide el efecto acumulativo se llama “integrada”. A largo plazo, el nivel medio de una ST integrada podría no cambiar, pero a corto plazo los valores puedes desviarse mucho del nivel medio de la ST por puro azar.

Se puede estudiar una ST integrada mirando los cambios, o diferencias, desde una observación a la siguiente. Si un ST no se desvía, la diferencia de una observación a la siguiente es muy pequeña. Por tanto, las diferencias se mantienen constantes. Esta constancia, o estacionariedad, de las diferencias, es deseable desde un punto de vista estadístico. La abreviatura estándar de los modelos integrados, o modelos que necesitan ser diferenciados, es:

I(1) o ARIMA (0,1,0)

Si se necesita ver las diferencias de las diferencias; tales modelos reciben el nombre de I(2) o ARIMA (0,2,0). Un modo de mirar un proceso autorregresivo I(1) es que tiene una memoria perfecta del valor previo – pero sólo del previo. Excepto para las fluctuaciones aleatorias, cada valor es igual al valor previo. Este tipo de proceso autorregresivo I(1) se llama a menudo un “paseo aleatorio”, porque cada valor es un paseo (aleatorio) alejado del valor previo. Se puede pensar también en un I(1) o modelo ARIMA (0,1,0) como un modelo autorregresivo –AR(1) o ARIMA (1,0,0) con un coeficiente de la regresión Φ de 1.0. Es siempre más fácil mirar a las diferencias que trabajar con los coeficientes de la regresión cerca de 1.0. Más adelante se estudia más detalla este componente del ARIMA.”38

6.2.3. MEDIAS MÓVILES

El último tipo de procesos usado en ARIMA, y el más difícil de ver, es la media móvil. En un proceso de media móvil, cada valor está determinado por el promedio de disturbio actual y uno o más perturbaciones previos. El orden del proceso de medias móviles especifica cuántas perturbaciones están promediadas en el nuevo valor. La ecuación de un proceso de medias móviles de primer orden es:

Valort = disturbiot- Φ * Valor t-1

En la notación estándar, un MA(n) o ARIMA (0,0,n) usa n perturbaciones previas, además de la actual. La diferencia entre un proceso autorregresivo y un proceso de medias móviles es sutil pero importante. Cada valor en una ST de medias móviles es una media ponderada de las perturbaciones aleatorias más recientes, mientras que cada valor en un proceso autorregresivo es una media ponderada de los valores recientes de la ST. Ya que estos valores, a su vez, son medias ponderadas de las previas, el efecto de una perturbación dada en un proceso autorregresivo disminuye a medida que pasa el tiempo. En un proceso de medias móviles, una perturbación afecta al sistema durante un número finito de períodos ( el orden de las medias móviles) y, luego, cesa bruscamente.

6.3. ETAPAS DE APLICACIÓN DEL ARIMA

38 José Emilio Gondar Nores, Técnicas Estadísticas con SPSS I, editorial Data Mining Institute, 1998, p K4.8

Datos de la ST

Cálculo de estadístico de la ST Transformación de la ST

Identificación

Los tres procesos aleatorios en los modelos ARIMA están muy relacionados, no hay un algoritmo del ordenador que pueda determinar el modelo correcto. En su lugar, hay un procedimiento de construcción del modelo, descrito por Box y Jenkins, que permite construir el mejor modelo posible para una ST. Este método consiste en tres pasos:

1. Identificación2. Estimación3. Diagnóstico (O Validación)

Que se repiten hasta que el modelo empieza a dar unos resultados satisfactorios. La ilustración 46 muestra el proceso iterativo utilizado por el proceso de pronósticos ARIMA.

6.3.1. IDENTIFICACIÓN

El primer paso en la construcción de un modelo ARIMA es la identificación de los procesos subyacentes en la ST. Para identificar el proceso subyacente, se determina, en primer lugar, a partir de un gráfico si la ST es o no estacionaria, ya que el proceso de identificación para los componentes de AR y MA requiere que la serie temporal sea estacionaria. Una serie temporal estacionaria es aquella que tiene la misma media y varianza a lo largo de todo el tiempo. Los procesos autorregresivos y de medias móviles son inherentemente estacionarios, dados ciertos contrastes sensibles de sus parámetros; las Series temporales integradas son típicamente no estacionarias.

Una vez obtenida una serie estacionaria, se conoce el segundo parámetro ARIMA, “d”. El parámetro “d” es simplemente el número de veces que se tuvo que diferenciar para hacer la Serie estacionaria. Usualmente “d” es igual a 0 o a 1. Después, se pueden identificar los parámetros “p” y “q”, los órdenes de autorregresión y de medias móviles.

En los procesos no estacionales tanto “p” como “q” son usualmente pequeños: 0 , 1 o 2 cuando mucho. La función de autocorrelación simple (ACF) y la función de autocorrelación parcial (PACF) de una serie temporal revela usualmente los valores correctos de “p” y “q”. La ACF proporciona autocorrelaciones calculadas en retaros 1, 2 y así sucesivamente.

La función de autocorrelación parcial (PACF) proporciona las autocorrelaciones parciales correspondientes, controlando por la autocorrelaciones en los retardos intervinientes.

Los modelos AR(p) tienen valores de ACF exponencialmente declinantes (posiblemente con los valores alternos positivos y negativos), y tienen precisamente picos en los primeros p valores de la PACF.

Los modelos MA (q) tienen precisamente q picos en los primeros q valores de la ACF, y valores de la PACF exponencialmente declinantes.

Si la ACF declina muy lentamente, se deben tomar diferencias antes de identificar el modelo.

Los modelos mixtos AR y MA tienen comportamientos de ACF y PACF más complejos. La identificación de estos modelos lleva varios ciclos de identificación, estimación, diagnóstico, y será motivo de un análisis posterior. En la ilustración 47, se puede apreciar que la serie muestra procesos subyacentes inherentes, como la estacionalidad, que se presenta cada siete días, la tendencia así como la estacionariedad de los datos.

Fecha

208 FRI

201 THU

194 WED

187 TUE

180 MON

173 SUN

165 SAT

158 FRI

151 THU

144 WED

137 TUE

130 MON

123 SUN

115 SAT

108 FRI

101 THU

94 WED

87 TUE

80 MON

73 SUN

65 SAT

58 FRI

51 THU

44 WED

37 TUE

30 MON

23 SUN

15 SAT

8 FRI1 THU

Pasa

jero

s C

orre

gido

300000,00

250000,00

200000,00

150000,00

100000,00

50000,00

200882.221266256

Media de la serie

Ilustración 47 Serie Temporal de la demanda de pasajeros con la media general de la serie.

Por lo tanto, en cuanto al análisis de que si la serie es o no estacionaria, hemos inicialmente trazado la línea de la media general en la gráfica de secuencias, analizando los puntos cerca a la media, se observa el crecimiento de los datos evidenciando una vez más la tendencia presente en la serie. Con respecto a la variabilidad, es claro que conforme pasan los días los datos se vuelven más distantes de su media. En conclusión vemos que nos enfrentamos al análisis de una serie de tiempo NO estacionaria, basados en que no muestra una media constante en el tiempo y la variabilidad se muestra cambiante a largo plazo, en donde es evidente un procedimiento de diferenciación y no solo en la serie como tal sino tomando en cuenta la presencia de estacionalidad, proceso que se vuelve un poco más complejo de analizar.

“Las técnicas del modelado ARIMA asumen que la estacionariedad- es decir, a lo largo del curso de la serie de tiempo, tanto la media a corto plazo como la varianza a corto plazo son constantes. Cuando la media no es constante, normalmente se puede estabilizarla tomando diferencias en la serie de tiempo, pero la diferenciación no estabilizará la varianza.

Para series temporales, en las que la varianza es mayor que cuando es mayor la media, una transformación logarítmica hace a menudo constante a la varianza. La mayoría de los procedimientos de tendencias de SPSS pueden ejecutar transformaciones logarítmicas al “vuelo” dejando inalterada a la serie de tiempo original, por lo que no se deben transformar permanentemente los datos.”39

Los modelos ARIMA estacionales, son más complejos que los Modelos ARIMA no estacionales, pero tienen los mismos componentes:

Un modelo autoregresivo estacional expresa la observación actual como una función lineal de la alteración actual y una o más observaciones previas.

La diferenciación actual transforma los datos sustrayendo las observaciones retardadas por el período estacional. Para datos mensuales, se sustraen las observaciones del mismo mes del año previo. Exactamente a cómo una diferenciación reduce la longitud de una serie de tiempo en 1, la diferenciación estacional reduce la serie temporal en un período.

Un modelo de Medias Móviles estacional expresa la observación actual como una función lineal de la alteración actual y una o más alteraciones previas.

Para un modelo ARIMA estacional, se debe especificar el período. La ST en estudio tiene un período estacional de siete días, definido en el capítulo IV.

Aunque los modelos ARIMA estacionales son conceptualmente similares a los modelos no estacionales, pueden ser más difíciles. Existen dos problemas básicos para la identificación de un modelo estacional:

Longitud de la Serie de tiempo Original. Para estimar los coeficientes de un modelo ARIMA estacional, se deberían tener, al menos, suficientes datos para siete u ocho períodos. Los modelos basados en Series de tiempo más cortas son probablemente poco fiables.

Confusión de los efectos estacionales y no estacionales. Es fácil determinar que un proceso estacional está presente si la ACF, la PACF o ambos muestran valores significativos en los retardos que son múltiplos del período estacional, se sabe que hay un proceso estacional. Es menos fácil identificar el proceso implicado.

39 José Emilio Gondar Nores, Técnicas Estadísticas con SPSS II, editorial Data Mining Institute, 1998, p L1.7

6.3.2. ESTIMACIÓN

En esta fase se realiza el análisis de la serie temporal pasajeros corregidos, que fue el resultado de haber corregido los outliers en la serie original generando inicialmente un gráfico ACF y PACF.

Las instrucciones utilizadas en SPSS se muestran en la ilustración 48 y fueron:

Analizar>Series Temporales>AutocorrelacionesVariables: Pasajeros CorregidosMostrar:Autocorrelaciones:OKAutocorrelaciones parciales.OKOpciones: OKNúmero máximo de retardos:21 (para tomar 3 períodos)Método del error típico>Modelo de independencia.Continuar>Aceptar

Ilustración 48 Instrucciones para calcular las autocorrelaciones y autocorrelaciones parciales en SPSS

Autocorrelación (ACF) Autocorrelación Parcial (PACF)

Núm. de retardos212019181716151413121110987654321

AC

F pa

rcia

l

1.0

0.5

0.0

-0.5

-1.0

0.21

0.08

0.0 5

-0.

04

0 …

-0.

04

-0.1

9

0.31

0.1

-0.0 6-0.

04

-0.0

8

-0.0 7

-0.2

8

0.64

0.25

-0.2

6

-0.2

6

-0.

06

-0.3

4

0.27

Pasajeros Corregido

Límite de confianza inferiorLímite de confianza superiorCoeficiente

Ilustración 49 Gráfica de las autocorrelaciones y autocorrelaciones parciales de la serie original

La ilustración 49 muestra las gráficas de las autocorrelaciones en las que se puede ver grandes valores en los retardos 7, 14, 21. La lentitud con la que declinan estos valores en los retardos estacionales confirma la sospecha de que se requiere la diferenciación estacional para conseguir una media estacionaria.

Confirmado el carácter estacional, se van a calcular las autocorrelaciones con diferenciación estacional con el paquete SPSS, para ello se procede como muestra la ilustración 50 aplicando los siguientes comandos:

Analizar>Series Temporales>AutocorrelacionesVariables: Pasajeros CorregidosMostrar:Autocorrelaciones:OKAutocorrelaciones parciales.OKDiferencia ciclo:1Opciones: OKNúmero máximo de retardos:21 (para tomar 3 períodos)Método del error típico>Modelo de independencia.Continuar>Aceptar

Ilustración 50 Instrucciones en SPSS para el cálculo de las autocorrelaciones y autocorrelaciones parciales con una diferenciación estacional

Autocorrelación (1 diferenciación Autocorrelación Parcial ( 1diferenciación

P=1 Un picoQ=2 Un pico

estacional) estacional)

Núm. de retardos212019181716151413121110987654321

AC

F pa

rcia

l

1.0

0.5

0.0

-0.5

-1.0

-0.1

6…

0

……0

0.13

-0.2

6-0.1-…

…

……

0.19

-0.4

1

-0.1

4…………

0.34

Pasajeros Corregido

Límite de confianza inferior

Límite de confianza superior

Coeficiente

Ilustración 51 Gráficas de las autocorrelaciones y autocorrelaciones parciales con una diferenciación estacional

La ilustración 51 es el resultado del procedimiento anterior, en la que se puede observar que la diferenciación estacional ha suavizado las rápidas fluctuaciones estacionales. El ACF aún muestra acción no estacional, con un solo pico estacional emergente en el retardo 7. La PACF muestra un gran saliente en el 7, uno menor en el 14, y quizás otro supuesto en el 21.

Comprobando los patrones establecidos en el ANEXO D, se descubrirá que el patrón caracterizado por “Dos picos de la ACF y un pico en PACF”, indica un proceso autorregresivo, en este caso un proceso AR(1) con media móvil MA(2). Estos gráficos eran Series Temporales diferenciadas estacionalmente, por lo que el modelo tentativo estacional es (1,1,2).

El paso siguiente en este análisis de la serie temporal es estimar el coeficiente AR(1) y MA(2) en el modelo estacional, por lo que se puede presentar la ACF de los residuales y conseguir una panorámica mejor del modelo implicado.

Estimando el modelo estacional, se espera obtener una serie temporal de residuales libres de los efectos estacionales. Esta es sólo una estimación preliminar del modelo estacional, por tanto, no se está interesado en los detalles de este modelo, sino sólo en los residuales. Por lo que activamos la función sólo parámetros finales.

Las instrucciones en SPPS son las siguientes:

Analizar>Series Temporales>ARIMADependiente: Pasajeros CorregidosAutorregresivo en ciclo: 2Diferenciación en ciclo: 1Media Móvil en ciclo: 1Guardar:OKSólo parámetros finalesContinuar>Aceptar

Ilustración 52 Instrucciones en SPSS para el cálculo de los errores de un modelo estacional ARIMA (1,1,2)

SPSS ha creado 5 series estas son:

Ilustración 53 Series creadas por SPSS con la corrida del ARIMA estacional (1,1,2)

La serie ERR-1 contiene los residuales del modelo estacional aplicado. Si la identificación del modelo estacional de este ejemplo fuese correcta, estos residuales mostrarían la porción no estacional del modelo. (Si fuese incorrecta, todavía mostraría autocorrelaciones a retardos estacionales). Para poder concluir sobre este aspecto SPSS aplica las instrucciones de la ilustración 54 que son las siguientes:

Analizar>Series Temporales>AutocorrelacionesVariables: ERR-1Mostrar:Autocorrelaciones:OKAutocorrelaciones parciales.OKOpciones: OKNúmero máximo de retardos:21 (para tomar 3 períodos)Método del error típico>Modelo de independencia.Continuar>Aceptar

P=1 Un picoQ=2 Un pico

Ilustración 54 Instrucciones en SPSS para el cálculo de las autocorrelaciones y autocorrelaciones parciales sobre los residuos del ARIMA estacional (0,0,0)(0,1,0)

Autocorrelación de los errores del ARIMA ESTACIONAL (1,1,2)

Autocorrelación Parcial de los errores del ARIMA ESTACIONAL (1,1,2)

Núm. de retardos212019181716151413121110987654321

AC

F pa

rcia

l

1.0

0.5

0.0

-0.5

-1.0

Error para Pasajeros_1 de ARIMA (0,0,0) (1,1,2)

Límite de confianza inferior

Límite de confianza superior

Coeficiente

Ilustración 55 Graficas de las autocorrelaciones y autocorrelaciones parciales del ARIMA (0,0,0)(1,1,2)

La ilustración 55 muestra que la ACF empieza con dos retardos grandes y que muere lentamente a partir del tercer retardo y que la APCF en cambio muere rápidamente con un pico alto al inicio. Además se puede ya estar seguros que la serie se ha logrado transformar en una serie no estacionaria por el comportamiento de los residuales en su gran mayoría igual a cero y oscilantes a una media constante.

Comparando este patrón con los del ANEXO D, se decide que el modelo no estacional puede ser un ARIMA (1,0,0). (Recuérdese que un ACF que decae lentamente pude significar una serie integrada, lo que es equivalente a un modelo AR(1) con un coeficiente de 1.0).

EL modelo tentativo entonces, con efectos estacionales y no estacionales es ARIMA (1,0,0) (2,1,1)7.

El procedimiento necesario en SPSS se muestra en la ilustración 56 cuyo procedimiento es:

Analizar>Series Temporales>ARIMADependiente: Pasajeros CorregidosAutorregresivo en ciclo: 1Diferenciación en ciclo: 1Media Móvil en ciclo: 2Autorregresivo: 1Diferenciación: 0Media Móvil: 0Incluir constante en el modelo:OKOpciones:OKSólo parámetros finalesContinuar>Aceptar

Ilustración 56 Cálculo de los coeficientes autoregresivos y media móvil del ARIMA no estacional.

SPSS da como resultados los datos de la tabla 10:

Tabla 10 Resultados obtenidos aplicando el ARIMA (1,0,0)(1,1,2) a la serie pasajeros corregidos.

* ARIMA.TSET PRINT=DEFAULT CIN=95 NEWVAR=ALL .PREDICT THRU END.ARIMA Pasajeros_1

/MODEL=( 1 0 0 )( 1 1 2 ) CONSTANT /MXITER= 10 /PAREPS= .001 /SSQPCT= .001 /FORECAST= EXACT .

Descripción del modelo

Nombre del modelo MOD_14Serie dependiente Pasajeros CorregidoTransformación NingunoConstante IncluidaAR 1Diferenciación no estacional 0

MA NingunoAR estacional 1Diferenciación estacional 1MA estacional 1, 2Longitud del período estacional 7

Aplicando las especificaciones del modelo de MOD_14

Criterios de finalización de las iteraciones

Cambio máximo en los parámetros menor que

.001

Máxima constante de Marquardt mayor que 1000000000

Cambio en el porcentaje de la suma de cuadrados menor que

.001%

Número de iteraciones igual a 10

Resumen del procesamiento de los casos

Longitud de la serie 1462Número de casos omitidos debido a los valores perdidos

Al comienzo de la serie 0Al final de la serie

0

Número de casos con valores perdidos dentro de la serie 0(a)

Número de casos pronosticados659

Número de casos nuevos añadidos al archivo de trabajo actual 0

a Se utilizará el algoritmo de Melard para la estimación.

Configuración inicial solicitada

Retardos no estacionales

AR1 AUTO

Retardos estacionales

Estacional AR1 AUTO

Estacional MM1 AUTO

Estacional MM2 AUTO

Constante AUTO(a)

a El valor del parámetro anterior no es válido y se ha restablecido en 0,1.

Historial de iteraciones

Retardos no estacionales Retardos estacionales

ConstanteSuma de cuadrados

corregida

Constante de

MarquardtAR1Estacional

AR1Estacional

MM1Estacional

MM20 .342 -.647 -.071 -.071 117.690 965885047464.471 .0011 .364 -.289 .538 .538 86.905 826336355414.609 .0012 .378 -.300 .626 .626 85.436 815697662687.067 .0003 .382 -.161 .770 .770 85.296 815444676638.425 .0004 .382 -.080 .852 .852 85.248 815395894023.970 .0005 .382 -.041 .893 .893 85.231 815385049817.560(a

) .000

Se ha utilizado el algoritmo de Melard para la estimación.a La estimación finalizó en esta iteración, ya que la suma de los cuadrados disminuyó en menos de .001%.

Diagnóstico residual

Número de residuos 1455Número de parámetros 4GL residuales 1450Suma de cuadrados residual corregida 815385031824.222

Suma de cuadrados residual 965885047464.471

Varianza residual 548360869.472Error típico del modelo 23417.106Log-verosimilitud -16719.608Criterio de información de Akaike (AIC) 33449.217

Criterio bayesiano de Schwarz (BIC) 33475.631

Estimaciones de los parámetros

Estimaciones Error típico t Sig. aprox.Retardos no estacionales AR1 .382 .024 15.776 .000Retardos estacionales Seasonal AR1 -.041 .410 -.100 .920

Seasonal MA1 .893 .678 1.317 .188Seasonal MA2 .107 .403 .265 .791

Constante 85.231 17.453 4.884 .000Se ha utilizado el algoritmo de Melard para la estimación.

Matriz de correlaciones

Retardos no estacionales Retardos estacionales

ConstanteAR1Seasonal

AR1Seasonal

MA1Seasonal

MA2Retardos no estacionales

AR1 1.000 .033 .037 -.031 0(a)

Retardos estacionales Seasonal AR1 .033 1.000 .707 -.988 0(a)

Seasonal MA1 .037 .707 1.000 -.605 0(a)

Seasonal MA2 -.031 -.988 -.605 1.000 0(a)

Constante 0(a) 0(a) 0(a) 0(a) 1.000Se ha utilizado el algoritmo de Melard para la estimación.a La estimación del parámetro ARMA y la estimación de los parámetros de la regresión no están correlacionados asintóticamente.

En la estimación de los parámetros del modelo ARIMA (p,d,q) (P,D,Q), se tendrá especial cuidado con el problema de la sobre parametrización, es decir, con no hacer excesivas diferenciaciones, ya que derrochan (al despreciar datos) información, sin aportar más información al modelo. Cada vez que se intenta diferenciar, aumentan los órdenes para los polinomios, manteniendo fijos todos los parámetros de ARIMA menos uno.

En el ajuste del modelo estacional ARIMA a los datos se utiliza siempre el método de “parsimonia”, que aconseja un número mínimo de coeficientes para conseguir el máximo ajuste.

“Para la estimación de los parámetros del modelo propuesto, se utiliza el algoritmo de Melard que es un método de optimización basado en el algoritmo de mínimos cuadrados no lineal e iterativo que es utilizado por ARIMA para hallar estimaciones óptimas de los parámetros.”40

“La dificultad de la estimación no lineal con restricciones, es que puede haber más de un mínimo y se puede llegar a situaciones en que encontremos el mínimo local en vez del global. Ello exige, probar combinaciones de parámetros que permitan partir de una buena posición en la superficie de coste y comprobar que tenemos la varianza residual mínima”41

El modelo ARIMA se basa, para su ajuste, en la función de verosimilitud. Los estadísticos AIC (Criterio de Información de Akaike), SBC (Criterio bayesiano de Schwarz); ofrecen información sobre la adecuación del modelo. Cuanto menores son dichos estadísticos mejor es la adecuación del modelo ARIMA.

“Añadiendo más términos, más variables, a un modelo la función de verosimilitud mejorará y si la muestra es grande será difícil distinguir mediante el contraste del cociente de verosimilitud entre una mejora "real" y una aportación trivial. El modelo perfecto no existe, puesto que todos constituyen simplificaciones de la realidad y siempre son preferibles modelos con menos variables, puesto que además de ser más sencillos, son más estables y menos sometidos a sesgo. Por ello se han propuesto otras medidas de contraste entre modelos que penalizan en alguna medida que éstos tengan muchos parámetros.

Las más conocidas y que suelen figurar en las salidas de ordenador son el criterio de información de Akaike, AIC, y criterio de información bayesiano, BIC.

AIC=-2(ln verosimilitud - nº parámetros)

En principio el criterio de selección será escoger modelos con valores más bajos de AIC.La fórmula para el BIC es similar, así como su interpretación:

BIC=G - gl . ln N

donde G es el cociente de verosimilitud, gl son los grados de libertad y N el tamaño de la muestra. También escogeremos modelos con menor valor de BIC.”42

Por otra parte, otro indicativo del grado de ajuste del modelo ARIMA a los datos es la varianza de la suma de cuadrados residuales. Cuanto menor es dicho valor, mejor es el ajuste de los datos de la serie de tiempo al modelo.

Por último, existe otro modo de detectar un adecuado ajuste de los datos a un modelo estacional ARIMA; consiste en observar la columna etiquetada Sig. Aprox. Este valor representa el nivel de significación de la prueba que contrata la Hipótesis siguiente:

Ho: Un componente dado del ARIMA tiene un parámetro Bi=0

40 http://www.estadistico.com/dic.html?p=18, consultada el 13 de abril de 2009.

41 Análisis comparativo de los métodos de previsión univariante, Box-Jenkins, redes neuronales artificiales y espacios de Estado, García, Pino Diez, Suárez , Rodríguez, Universidad de Oviedo, 1996.

42 http://www.seh-lelha.org/maxverosim.htm, consultada el 13 de abril de 2009.

Ha: Dicho componente del ARIMA tiene algún parámetro Bi≠0

Si algún componente del modelo ARIMA no alcanzara significación, se debería pensar que el modelo no es adecuado si se incluye dicha componente y habrá que eliminarla.

En nuestro caso aceptamos Ho para seasonal MA(1),seasonal MA(2) y seasonal AR(1), en las que los niveles de significancia son mayores a un α=0,05.

El estadístico Error típico del modelo es la estimación de la desviación típica del ruido blanco.

Por lo tanto con los estadísticos de los parámetros comenzamos a ajustar el modelo encontrado y realizamos las corridas pertinentes. A continuación mostramos una tabla en la que se muestran los indicativos para determinar el mejor modelo.

Comenzaremos modificando uno por uno los términos del ARIMA (1,0,0) (1,1,2), en primer lugar modificaremos el valor más alto de la significancia en la tabla de la estimación de los parámetros seasonal MA(2) en la que alcanzó un valor de 0,791 como vemos que quizás el parámetro seasonal AR(1) hace significativo al parámetro modificamos del ARIMA actual a un ARIMA (1,0,0) (1,1,1).

De este modo, iremos analizando los resultados analizando los parámetros de decisión mostrando interés en disminuir el AIC y el SBC así como la suma de cuadrado de los errores y obtenemos la siguiente tabla:

Tabla 11 Cálculos de algunos modelos ARIMAS estacionales.

ARIMA (1,0,0) (1,1,1). ARIMA (1,0,1) (1,1,1).Diagnóstico residual

Número de residuos 1455Número de parámetros 3GL residuales 1451Suma de cuadrados residual corregida

815397591025.321

Suma de cuadrados residual

947421050455.975

Varianza residual 548022468.982Error típico del modelo 23409.880Log-verosimilitud -16719.630Criterio de información de Akaike (AIC) 33447.260

Criterio bayesiano de Schwarz (BIC) 33468.391

Diagnóstico residual

Número de residuos 1454Número de parámetros 4

GL residuales 1449Suma de cuadrados residual corregida 803678263148.044

Suma de cuadrados residual 953292562367.041

Varianza residual 542244297.113Error típico del modelo 23286.140Log-verosimilitud -16698.065Criterio de información de Akaike (AIC) 33406.131

Criterio bayesiano de Schwarz (BIC) 33432.541

Estimaciones de los parámetros

EstimacionesError típico t

Sig. aprox.

Retardos no estacionales

AR1 .383 .024 15.799 .000

Retardos estacionales

Seasonal AR1 .066 .027 2.449 .014

Seasonal MA1 1.000 .506 1.976 .048

Constante 85.231 17.571 4.851 .000Se ha utilizado el algoritmo de Melard para la estimación.

Estimaciones de los parámetros

Estimacione

sError típico t

Sig. aprox.

Retardos no estacionales

AR1 .327 .067 4.908 .000MA1 -.051 .070 -.719 .472

Retardos estacionales

Seasonal AR1 .053 .027 1.969 .049

Seasonal MA1 .997 .020 49.863 .000

Constante 88.676 16.936 5.236 .000Se ha utilizado el algoritmo de Melard para la estimación.

Tabla 12 Cálculo de algunos modelos ARIMAS estacionales.

ARIMA (2,0,1) (1,1,1). ARIMA (2,0,1) (0,1,1).Diagnóstico residual

Número de residuos 1454Número de parámetros 5

GL residuales 1448Suma de cuadrados residual corregida 799845963036.322

Suma de cuadrados residual 965127815660.976

Varianza residual 539233402.164Error típico del modelo 23221.400Log-verosimilitud -16694.602Criterio de información de Akaike (AIC) 33401.203

Criterio bayesiano de Schwarz (BIC) 33432.896

Diagnóstico residual

Número de residuos 1454Número de parámetros 4

GL residuales 1449Suma de cuadrados residual corregida 801113258194.452

Suma de cuadrados residual 1007403676731.201

Varianza residual 541355063.801Error típico del modelo 23267.038Log-verosimilitud -16695.720Criterio de información de Akaike (AIC) 33401.441

Criterio bayesiano de Schwarz (BIC) 33427.851

Estimaciones de los parámetros

EstimacionesError típico t

Sig. aprox.

Retardos no estacionales

AR1 -.607 .027 -22.479 .000

AR2 .352 .026 13.708 .000MA1 -.988 .010 -

97.908 .000

Retardos estacionales

Seasonal AR1 .043 .028 1.540 .124

Seasonal MA1 .999 .039 25.624 .000

Constante 88.698 16.721 5.305 .000Se ha utilizado el algoritmo de Melard para la estimación.

Estimaciones de los parámetros

EstimacionesError típico t

Sig. aprox.

Retardos no estacionales

AR1 -.602 .027 -21.953 .000

AR2 .350 .026 13.511 .000MA1 -.985 .011 -

90.432 .000

Retardos estacionales

Seasonal MA1 .994 .011 92.191 .000

Constante 88.762 17.152 5.175 .000Se ha utilizado el algoritmo de Melard para la estimación.

Estando aún en el paso de estimación de parámetros, observamos que hasta este momento el modelo se encuentra en ajustes. Ahora bien vemos que en los últimos dos modelos tenemos mejores resultados, sin embargo con el último modelo ARIMA (2,0,1) (1,1,1) logramos tener que todos los parámetros sean significativos y a pesar de ello los parámetros AIC y BIC no sufren un decrecimiento significativo y al contrario la suma de cuadrados de los residuales aumenta por lo que la decisión será quedarnos con el ARIMA (2,0,1) (1,1,1), a pesar de que la componente del autorregresivo del ARIMA estacional no salga tan significativo como el de los otros términos.

El siguiente paso es verificar los resultados que obtendremos sobre los residuos del modelo seleccionado, para ratificar el supuesto de que los errores obtenidos son estadísticamente nulos. Si esto ocurre el modelo estimado será el correcto.

6.3.3. VALIDACIÓN

El análisis con el ARIMA (2,0,1) (1,1,1), generaron las 5 variables explicadas en casos anteriores y entre ellas los errores obtenidos, por lo que esta serie del error permanece como objeto de estudio aplicando el análisis de las autocorrelaciones. Así, aplicando las instrucciones en SPSS como se muestra en la ilustración 57, se obtiene los siguientes resultados:

Analizar>Series Temporales>AutocorrelacionesVariables: ERR-1Mostrar:Autocorrelaciones:OKAutocorrelaciones parciales.OKOpciones: OKNúmero máximo de retardos:21 (para tomar 3 períodos)Método del error típico>Modelo de independencia.Continuar>Aceptar

Ilustración 57. Instrucciones en SPSS para calcular las autocorrelaciones y autcorrelaciones parciales sobre los errores del modelo estacional ARIMA (2,0,1)(1,1,1)

Autocorrelación de los errores del ARIMA (2,0,1) (1,1,1) Autocorrelación Parcial de los errores del ARIMA (2,0,1) (1,1,1)

Núm. de retardos28272625242322212019181716151413121110987654321

AC

F pa

rcia

l

1.0

0.5

0.0

-0.5

-1.0

Error para Pasajeros_1 de ARIMA (2,0,1) (1,1,1)

Límite de confianza inferior

Límite de confianza superior

Coeficiente

Ilustración 58 Gráfica de las autocorrelaciones y autocorrelaciones parciales del modelo estacional ARIMA (2,0,1)(1,1,1).

Se presentan una gran cantidad de valores para que las autocorrelaciones y autocorrelaciones parciales de los errores del modelo ARIMA (2,0,1)(1,1,1) sean considerados estadísticamente no significativos (ver ilustración 58). Por lo tanto, se puede concluir que el modelo elegido es el correcto.

Se necesita en esta fase, diagnosticar el modelo, para ello se deben activar los casos estimados para el período de validación esto fue planteado en el Capítulo IV y son desde la semana 210 día 3 hasta la semana 266 día 7. Esto con el objetivo principal de poder analizar como se comporta el modelo estacional ARIMA frente a los datos reales. En SPSS las instrucciones a seguir son las siguientes y se muestran en la ilustración 59:

Datos>Seleccionar datosSeleccionar: Basándonos en el rango de tiempo o de los casos: OKSemana primer caso: 210Día primer caso: 3Semana último caso: 266Día último caso: 7Aceptar

Ilustración 59 Habilitación de toda la serie de datos para calcular el pronóstico.

Se presentan entonces las observaciones junto con la nueva serie de tiempo fit-1 obtenido del modelo ARIMA (2,0,1) (1,1,1). El cuadro de diálogo que nos permite activar estos casos se muestra en la ilustración 60. Y las instrucciones en SPSS son las siguientes:

Analizar>Series Temporales>Gráfico de secuenciasVariables: Pasajeros corregidos Fit-1(ajuste para pasajeros corregidos)Aceptar.

Ilustración 60 Instrucciones en SPSS para graficar la secuencia de la serie de tiempo original y la predicción.

Fecha260 TUE253 MON246 SUN238 SAT231 FRI224 THU217 WED210 TUE

300,000

250,000

200,000

150,000

100,000

50,000

Ajuste para Pasajeros_1 de ARIMA, MOD_16, CON

Pasajeros Corregido

Ilustración 61 Datos reales Vs. Predicción con modelo estacional ARIMA (2,0,1)(1,1,1) en el período de validación

En la ilustración 60, se aprecia que en el período de validación el ajuste es un poco distante a la realidad sin embargo el modelo toma en cuenta la periodicidad así como la tendencia intentando en lo posible mantenerse cerca de la demanda real, el modelo aparentemente parece tener un mejor ajuste que los modelos estudiados anteriormente, sin embargo, la comparación de la suma de cuadrados de los residuales será el criterio para ratificar esta suposición.

6.3.4. PREDICCIÓN

Por último, realizaremos la predicción para un año, los pronósticos calculados para cada día se encuentran en el ANEXO E.

Fecha

301

THU

287

TUE

273

SU

N

258

FRI

244

WE

D

230

MO

N

215

SA

T

201

THU

187

TUE

173

SU

N

158

FRI

144

WE

D

130

MO

N

115

SA

T

101

THU

87 T

UE

73 S

UN

58 F

RI

44 W

ED

30 M

ON

15 S

AT

1 TH

U

300,000

280,000

260,000

240,000

220,000

200,000

180,000

160,000

140,000

120,000

100,000

80,000

60,000

40,000

Ajuste para Pasajeros_1 de ARIMA, MOD_1, CON

Pasajeros Corregido

Ilustración 62 Serie de pasajeros transportados Vs. Predicción con el Modelo ARIMA (2,0,1)(1,1,1)

Período histórico

Período de Validación

Predicción

La comparación de este método de predicción con los anteriores es inminente, y se la realiza sobre la base del análisis de la suma de cuadrados de los modelos del capítulo anterior y los obtenidos con el modelo de Box Jenkings, así se tiene:

Ingenuo30.2%

Promedio19.1%

Exponencial único21.1%

Holt16.2%

Winters3.9%

Descomposición estacional6.0%

Modelos ARIMA3.5%

Sumas de los errores cuadráticos

Ilustración 63 Comparación de las sumas de cuadrados de los métodos de series de tiempo.

En base a esta comparación y recordando que la suma de los cuadrados de este análisis es del ARIMA estacional (2,0,1)(1,1,1) cuyos estadísticos fueron los más óptimos, se prefiere la predicción del modelo ARIMA frente a los otros modelos propuestos.

Por ello, el objetivo de encontrar el mejor modelo nos acerca a realizar las proyecciones de un año meta de este trabajo mediante la utilización del método de predicción con el Modelo ARIMA estacional (2,0,1)(1,1,1).

Sin embargo, la ilustración 63, muestra también resultados interesantes si comparamos la suma de cuadrados obtenidos del modelo de Winters y los obtenidos con el modelo estacional ARIMA la diferencia no es tan marcada, por lo que bien se podría elegir el modelo de Winters para realizar la predicción del año 2009.

Esto basado en varios motivos que se pueden pensar, entre ellos es que el modelo de Winters no requiere de un análisis muy largo como lo exige el modelo ARIMA estacional, y no se cuenta con más criterios para probar la bondad del ajuste más que la suma de cuadrados de los errores.

En este sentido, y pensando que uno de los objetivos planteados era proveer de una herramienta confiable, fácil y rápida para los administradores del transporte para que pudiesen realizar pronósticos sugeriríamos se aplicase el método de Winters para el pronóstico, sin embargo a ello, y tomando el criterio de dar unos pronósticos más confiables por motivos didácticos realizaremos las predicciones con el modelo ARIMA estacional. Estos resultados se presentan en el ANEXO E.

SI bien hasta ahora se encontró el modelo que mejor se ajusta a los datos reales, los errores que se generan hasta ahora siguen siendo altos, lo que genera la expectativa de seguir en la búsqueda de modelos y técnicas más actuales para mejorar los resultados y aunque este trabajo aplica hasta aquí los modelos estudiados, presenta sin embargo unas posibles técnicas más actuales que quizás puedan mejorar el ajuste hasta ahora encontrado. Lo que resta de este capítulo se encarga de dar una panorámica general de los modelos que continúa a lo que hasta ahora se ha estudiado, planteando como posibles aplicaciones futuras para los interesados.

6.4. ALGUNOS OTROS MODELOS ÚTILES

Hasta ahora se ha probado algunos modelos de series de tiempo con el objetivo de encontrar un modelo que permita ajustar los datos históricos de la serie, sin embargo, hasta la actualidad se a avanzado aún más sobre este tema. Especialistas, interesados y científicos van desarrollando mejoras a los métodos anteriores y van creando innovaciones en los métodos nuevos de predicción. A continuación, se mencionan un par de avances en este tema, esto con la finalidad de marcar posibles líneas de investigación para los interesados. Las dos técnicas de predicción incluyen una breve panorámica sobre el método, mencionado algunas partes relevantes de cada método.

6.4.1. ANÁLISIS ESPECTRAL: UNA PANORÁMICA GENERAL:

“El análisis espectral trata de los ritmos. Se usa para descubrir varios tipos de comportamiento periódico en series de tiempo, aunque se puede usar para datos no periódicos.

Un análisis espectral de una serie temporal proporciona una descripción de esa serie temporal en términos de los ciclos de diferente (longitud de) período o frecuencia que genera la serie temporal. Esta serie de tiempo se representa en un gráfico llamado “periodograma”, que muestra una estimación de la cantidad de varianza de la serie de tiempo contabilizada por los ciclos de cada frecuencia.

El análisis espectral se puede aplicar también a pares de series para examinar su covariación en cada frecuencia. Aunque las descripciones espectrales se dan en términos de frecuencias o periodos de los ciclos de los componentes, hay una relación exacta (pero complicada) entre la representación de las frecuencias y las autocorrelaciones de la serie. La misma información se ofrece de diferentes formas en el periodograma y el gráfico ACF.

A menudo se espera que las periodicidades estén presentes en los datos; en otras ocasiones, el análisis será puramente exploratorio. También resulta, a menudo, de interés determinar la magnitud relativa y la fase (cuán lejos se sitúan un ciclo o un retardo determinado de otro) de varias variaciones periódicas. A veces las periodicidades de los datos son inmediatamente obvias y una descripción espectral sólo confirmará lo que es visualmente aparente.

Cuando varias frecuencias diferentes ocurren conjuntamente, o cuando hay una cantidad considerable de ruido aleatorio o estadístico en los datos, el análisis espectral es más fructífero.

El análisis espectral es casi por entero un modelo libre. Analiza una serie dentro de las olas de seno y coseno, pero este análisis es puramente matemático y no está basado en ninguna teoría sobre un proceso subyacente a la serie.

En contraste con otras técnicas del análisis de serie de tiempo, no se necesita un modelo paramétrico de los datos y luego estimarlo, ni incluso implícitamente. En su lugar, se estima

el espectro sin ningún contraste a priori aunque se pueden aplicar los estimadores de acuerdo con las propiedades de la serie y de lo que se quiere aprender sobre los datos. Por consiguiente, no vale la pena hacer los métodos espectrales si se tiene sólo una pequeña cantidad de datos. Una serie corta tiene tan poca información en sí misma que no se la puede analizar sin un modelo (El análisis espectral se hace usualmente con cientos de observaciones).”43

6.4.2. REDES NEURONALES ARTIFICIALES: UNA PANORÁMICA GENERAL:

“Las redes neuronales (o redes de neuronas artificiales), son modelos matemáticos simplificados de las redes de neuronas que constituyen el cerebro humano. Estos modelos están compuestos por un conjunto de “neuronas artificiales” o conjunto de unidades que procesan e intercambian información. Las neuronas de una red, están estructuradas en distintas capas, de forma que una neurona de una capa está conectada con las de la capa siguiente, a las que puede enviar información.

Tal como se refleja en la ilustración 64, la arquitectura más habitual consiste en una capa de neuronas de entrada que recibe la información “del exterior”, una serie de capas (“ocultas”) y una capa de salidas, que proporciona “al exterior” el resultado del trabajo de la red.

Ilustración 64 Arquitectura habitual de una red neuronal

Ilustración 65 Características de las redes neuronales

43 Técnicas estadísticas con SPSS: Series Temporales II, José Emilio Gondar Nores, pag. L2-9.

Cada neurona, tal como se muestra en la ilustración 65 a, constituye una “unidad de procesamiento” de información, convierte un conjunto de señales de entrada en una salida que es difundida a las neuronas de la capa siguiente. Esta conversión se realiza en dos etapas: primero, cada una de las señales de entrada es multiplicada por un coeficiente de ponderación (“peso sináptico”) atribuido a la conexión; todos los productos son sumados para obtener una cantidad denominada “entrada ponderada total”. En una segunda fase, cada unidad utiliza una función de transferencia entrada-salida, o función de activación, que transforma la entrada ponderada total en una señal de salida que es la que se difunde a las neuronas de la capa siguiente. La función de transferencia (ilustración 65b) puede ser de tres tipos, (Lippmann, 1987):

1. Lineal. La actividad de salida es proporcional a la entrada ponderada total.2. De umbral La salida queda fija a uno de dos niveles, dependiendo si la entrada

ponderada total es mayor o menor que cierto valor crítico denominado “umbral”.3. Sigmoide. La salida varía de forma continua dependiendo de la entrada ponderada

total, pero esta dependencia no es lineal.

Habitualmente, se suele utilizar la sigmoide como función de transferencia cuando se trata de aplicar la tecnología de redes neuronales al procesado de señales no-lineales (Lapedes y Farber, 1987), aunque es necesario tener presente que las tres son aproximaciones bastante burdas de la actividad de las neuronas reales.

El proceso de aplicación de la tecnología de redes neuronales artificiales a un problema concreto, consta de tres etapas fundamentales:

1.- Diseño de la Red. Es necesario decidir la arquitectura que va a tener la red, lo cual implica determinar el número de neuronas de la capa de entradas, el número de capas ocultas y las neuronas que contendrá cada una de ellas, y, por último, el número de neuronas de la capa de salidas. La arquitectura de la red dependerá, como es lógico, del problema concreto que se quiera resolver.

En el caso que nos ocupa, queremos aplicar la tecnología de redes neuronales artificiales a la previsión de series temporales, basándonos en los datos históricos de la serie, por lo tanto, el número de neuronas de la capa de entrada coincidirá con el número de datos anteriores de la serie que son necesarios para calcular un valor concreto. La capa de salida estará compuesta por una sola neurona cuya salida será el valor de la previsión que queremos calcular. En cuanto al número de capas ocultas y las neuronas de estas capas, no existen reglas fijas que determinen los valores óptimos. Un número muy pequeño de capas ocultas puede hacer que el proceso de entrenamiento se alargue excesivamente, mientras que demasiadas capas ocultas llevan a que se produzca una memorización de los datos, en lugar de la deducción de los patrones que se derivan de los datos, con lo que se falsea la predicción (Richeson y Zimmermann, 1994).

Por otra parte, el número de neuronas en cada capa oculta, dependerá de la complejidad del problema a estudiar, aunque algunos autores dan ciertas recomendaciones que van desde; la utilización de complicadísimas fórmulas para su cálculo (Zurada, 1991), o indicar que el número de neuronas de la capa oculta debe ser como mínimo el 75% del número de neuronas de entrada (Salchenberger, 1992), hasta aplicar la teoría matemática clásica de Kolmogorov para calcular el número de neuronas como 2k+1, siendo “k” el número de neuronas de la capa de entrada (Zaremba, 1990).

Se ha comprobado que el número de neuronas de la capa oculta, siempre que esté entre unos valores mínimo (por ejemplo el 75% de las neuronas de entrada) y máximo (5 veces ese mismo número), sólo influye en la velocidad de entrenamiento de la red, por lo que en

nuestro caso hemos partido de un valor inicial (2k+1), que posteriormente se ha ajustado, si durante el proceso de entrenamiento de la red se comprueba que mejora los resultados.

2.- Entrenamiento de la Red Neuronal Artificial.- El entrenamiento de una Red Neuronal consiste en la utilización de un algoritmo (generalmente se usa el algoritmo “Back Propagation”) para ajustar los pesos sinópticos de las conexiones entre las neuronas.

Ilustración 66 Proceso para representar la red inicial

El proceso, que aparece esquematizado en la ilustración 66, consiste en presentar a la red inicial una batería de casos de entrenamiento, que se construyen utilizando los datos reales disponibles (el pasado de la serie temporal).

Cada uno de estos casos está compuesto por una serie de valores de entrada y el valor de salida correspondiente. Se obtiene al final un valor de salida de la red neuronal. Esta respuesta se compara con la deseada u objetivo, mediante una función de error que da una medida de la eficacia de la configuración actual de pesos sinópticos de la red. El objetivo del aprendizaje es minimizar esta función de error.

Una vez calculado este, se procede a realizar la fase “hacia atrás” (backward) variando los pesos sinápticos de los enlaces en función de la magnitud del error cometido y de una constante e llamada “coeficiente, tasa o ritmo de aprendizaje” que varía entre 0 y 1. La elección de e es importante, ya que un valor bajo, da como resultado una lenta convergencia pues implicará variar los pesos muy poco, mientras que un valor excesivamente alto, puede conducir a oscilaciones en los pesos de la red, con lo que quizás nunca se alcancen los pesos óptimos. Un valor usual de partida para “e” es 0,3 aunque puede ser ajustado ligeramente duran el proceso de aprendizaje de la red.

Una vez ajustados los pesos sinápticos, se vuelve a presentar los casos a la red y se vuelve a calcular el error, de acuerdo con él, se reajustan los pesos. Este proceso continuará hasta que el error obtenido esté dentro de unos límites previamente fijados como aceptables, en este momento, el entrenamiento de la red habría finalizado. Una forma sencilla de acelerar el entrenamiento de la red, es añadir un término de momento “m” a la hora de ajustar los pesos, que recoja información sobre el último ajuste realizado (Chapman, 1994). Un valor habitual de partida suele ser m=0,7, aunque también puede ser ajustado a cualquier valor entre 0 y 1 durante el proceso de entrenamiento de la red.

3.- Utilización de la Red Neuronal en “Modo Recuerdo”. Una vez entrenada, la red neuronal está en condiciones de ser utilizada. Para ello, no hay más que presentar a la red un caso determinado (por ejemplo los últimos datos disponibles de una serie temporal) para que, utilizando los pesos sinápticos encontrados durante el proceso de entrenamiento, calcule la salida (la previsión del dato siguiente de la serie temporal).

La mayor parte de las aplicaciones de redes neuronales, se realizaron en lenguajes de programación convencionales como FORTRAN ó C, Sin embargo, de forma análoga a lo sucedido con los sistemas expertos, ante la expansión de la tecnología y las dificultades que

presentan algunas de las etapas de diseño y entrenamiento de las redes, diversas instituciones y compañías, han empezado a comercializar entornos de desarrollo o “shells” que facilitan diversos tipos de arquitecturas y algoritmos de entrenamiento. Entre los paquetes que se conocen están “NEUROSHELL” en aplicaciones sobre previsión, aunque existen otros como “ANSIM”, “BACK PROPAGATION”, etc, para ordenadores personales.”44

RESUMEN: En La búsqueda de un modelo que mejor ajuste a la serie de demanda de pasajeros terrestres de un corredor de transporte de Quito, se analizó los modelos ARIMA (Autoregresivos medias móviles integrados) estacionales y no estacionales, mediante una metodología que fue propuesta por Box-Jenkins y que consta de una secuencia de cuatro pasos estos son:

1. Identificar2. Estimar3. Validar4. Predecir.

El primer paso es realizar un análisis exploratorio de la serie temporal con el fin de estimar los patrones y sub patrones presentes en los datos. Se identifica si la serie en estudio es estacionaria, es decir estudiar si la media y la varianza durante el tiempo permanezcan estables y de no serlo comenzar a realizar las diferenciaciones necesarias. Con la ayuda del estudio de las autocorrelaciones y autocorrelaciones parciales se puede ir analizando el efecto que tienen las diferenciaciones así como son herramientas útiles para poder dar una estimación de coeficientes del autorregresivo y del media móvil del llamados (p,q).

El resultado iterativo del primer paso del análisis concluye en un modelo estacional ARIMA, que en la segunda fase es analizada la bondad del modelo en base a criterios establecidos como la suma de los cuadrados de los residuales o los criterios bayesianos de Schwartz o de Akaike, en esta fase los parámetros (p,d,q)(P,D,Q) son modificados buscando el mejor resultado, esto en base a patrones de comportamientos ya establecidos previamente por la metodología.

El tercer paso es la fase de validación en donde se estudia que tan bien el modelo se ajusta a los datos de la serie temporal real y de estar de acuerdo pasar a la cuarta fase de lo contrario continuar en la búsqueda del mejor modelo.

Por último la fase de predicción calcula los períodos adelantados que se hayan fijado como objetivos, hay que recordar que mientras más alejado sea el horizonte de predicción menos confiabilidad muestran los resultados obtenidos.

El modelo ARIMA estacional mostró mejores resultados que todos los modelos estudiados en este trabajo a pesar de que no exista mucha diferencia con el método de suavizamiento de Winters sin embargo la suma de cuadrados de los residuales registró un valor menor en el análisis. Esto puede ser resultado ya que el modelo de Winters analiza el efecto del patrón de la estacionalidad y la tendencia los más grandes patrones registrados en la serie de pasajeros transportados.

Si bien se logró una mejoría notable con el estudio de los métodos de series temporales en este trabajo se proponen dos alternativas actuales que pudiesen mejorar los resultados y que se plantean como líneas de investigaciones futuras.

44 Análisis comparativo de los métodos de previsión univariante, Estudios de Economía aplicada (1996), No. Pag 10-14.

CAPITULO VII CONCLUSIONES Y RECOMENDACIONES

Al iniciar el trabajo se planteó dos hipótesis de trabajo la primera fue si existe un modelo de predicción con base en los datos históricos de la demanda de pasajeros transportados, que mejore el proceso de toma de decisiones reduciendo la incertidumbre e incremente la calidad del servicio.

Para responder esta hipótesis se desarrolló todo este trabajo teniendo como conclusión la afirmación de la misma, para ello, un modelo ARIMA estacional fue encontrado y se comparó con diferentes modelos de series de tiempo los cuales brindaron resultados menos efectivos que los encontrados con el Modelo ARIMA, por lo tanto las predicciones presentadas ANEXO E, fueron basadas en un ARIMA estacional (2,0,1)(1,1,1).

La segunda hipótesis de trabajo fue si se podía aplicar un software de fácil manejo, amigable que permita realizar el procedimiento de predicción con el modelo adecuado con el menor error estadístico. La conclusión sobre esta hipótesis también resultó ser afirmativa, he incluso durante la búsqueda de respuestas se encontró que en la actualidad existen varios software que ayudan al administrador o gerente con esta tarea de predecir el futuro.

En este trabajo se utilizó uno de ellos, el SPSS VERSIÓN 15, el mismo que fue seleccionado con el fin de utilizar recursos inhabilitados en la empresa de transporte de Quito en el cual se hacía el análisis.

Por otro lado, en el capítulo dos se plantearon algunas preguntas de investigación las que fueron desarrolladas a lo largo del trabajo, sin embargo, sobre ellas se pudieron tener conclusiones, las mismas que son presentadas a continuación:

La demanda es un aspecto fundamental para cualquier empresa ya que de aquí se desprenden decisiones y estrategias para cualquier negocio. Por ello, la necesidad de tener pronósticos confiables, es indispensable. Existe una gran variedad de métodos estadísticos que pueden ayudar a los gerentes a conocer dichos valores y la mayor ventaja es que tienen cierto grado de confiabilidad anulando así las conjeturas e incertidumbres del profesional a cargo.

En este sentido la demanda de pasajeros de transporte terrestre de un corredor de Quito se analizó debida a la alta importancia en este sector y mediante el análisis de series de tiempo se logró tener buenos resultados al aplicar un modelo estacional ARIMA para pronosticar la demanda.

La herramienta obligatoria para un análisis de series de tiempo es contar con una gran cantidad de datos históricos que permitan realizar el análisis. En este trabajo se presentó una serie diaria de pasajeros transportados desde enero de 2004 a enero de 2009 facilitando así el estudio de los distintos métodos de predicción. Se recomienda en primer lugar realizar un análisis exploratorio de los datos y detectar valores atípicos o outliers, para garantizar una mejor modelación.

El período de predicción se planteó en un año diario debido a las necesidades de planificación, sin embargo se podrían obtener mejores resultados si realiza el análisis mensual ya que al contar con una sola cifra al mes se promediarían los valores y la estacionalidad se atenuaría, es decir, se produciría el efecto analizado en el método de los promedios, el cual al promediar en mayor cantidad los datos el pronóstico presenta una mejoría considerable.

Existen dos hechos muy importantes que se puede concluir de la aplicación de los modelos de series de tiempo, los pronósticos casi nunca dan una respuesta exacta y entre mas lejos al futuro se vea, menos preciso será el pronóstico.

En general se puede concluir que existen cuatro pasos establecidos, para la determinación del proceso de pronóstico: 1. Recopilación de datos, 2. Reducción o condensación de datos, 3. Construcción del modelo, 4. Extrapolación del modelo (modelo en sí).

Existen una gran variedad de métodos estadísticos que permiten realizar las proyecciones de los valores futuros, entre los que se han estudiado están los métodos ingenuo, suavizado simple, suavizado doble de Holt, suavizado de Winters, los métodos de descomposición estacional y los modelos ARIMA estacionales. Cada uno de estos modelos tiene su particularidad y forma de identificar cuando se puede aplicar uno u otro método, el administrador debe tener claro cuales son los patrones presentes en la serie de datos para la correcta aplicación de cada modelo de series de tiempo.

Los pronosticadores cuentan con cinco modelos estadísticos (residual o error del pronóstico, DAM, EMC, PEMA, PME), que les ayudan a eliminar o a descartar todo posible error que se pueda presentar en el proceso de pronóstico, para contar con información verídica.

La metodología de Box Jenkins con los modelos ARIMA estacionales, consiste en estudiar los patrones de datos pasados para poder prever valores futuros llamados predicciones bajo el supuesto de que las condiciones se mantendrán similares en un futuro.

Para la serie temporal demanda de pasajeros transportados, la metodología de Box-Jenkins con los modelos ARIMA estacionales es quien brinda mejores resultados que los métodos de suavizamiento y descomposición, a pesar de que no fue muy marcada la diferencia sobre los resultados obtenidos con el método de Winters se puede decir que el modelo ARIMA se ajusta mejor y presenta valores mejores en cuanto a las predicciones se refiere.

Este particular es explicable dado que los datos presentaban una fuerte estacionalidad, aspecto que es muy común en el sector del transporte pues los días sábados y domingos son sin duda los que van a presentar menor demanda no así los días ordinarios.

Se recomienda por lo tanto estudiar en primer lugar la estacionalidad de la serie para poder aplicar cualquier método de series de tiempo, con el objeto de que este fenómeno afecte lo menos posible a la estimación del modelo.

Es necesario seguir en la búsqueda de mejores modelos y mejores metodologías que permitan aún más disminuir la incertidumbre, aún con los modelos propuestos en este trabajo se considera que el error presente sigue siendo alto, por lo que se recomienda profundizar el estudio de modelos econométricos y técnicas de avanzada que permitan al sector del transporte contar con mejores herramientas de análisis y que incrementen la confiabilidad de los valores futuros.

En los resultados el método de descomposición estacional también presentó varias ventajas, entre ellas está el poder identificar la tendencia, la estacionalidad, ciclo y aleatoriedad, se recomendaría fijar una línea de estudio sobre cada una de estas componentes, quizás el refinamiento de la técnica, podría ofrecer mejores resultados en los pronósticos.

Además, es conocido que hasta la actualidad se han ido generando tanto metodologías como tecnologías para facilitar y brindar más confiabilidad con respecto a los pronósticos, por lo que resultaría interesante presentar mayores aplicaciones de las presentadas en este trabajo, de modo de poder continuar en la búsqueda de técnicas estadísticas que permitan proveer a los gerentes de una herramientas confiable y segura para disminuir la incertidumbre en las proyecciones. En este sentido se ha mencionado en la parte final de este trabajo ciertas metodologías

nuevas que pueden ser estudiadas como las series espectrales, las redes neuronales y otras metodologías que pueden resultar quizás de interés.

Por último, en el sector del transporte se puede concluir por tanto que los modelos que pueden ajustarse mejor a los datos diarios de demanda son los modelos de suavizamiento de Winters el mismo que toma en cuenta los patrones de estacionalidad y tendencia o por otro lado están los modelos estacionarios ARIMA, cuya metodología implica un poco más de conocimiento matemático para su aplicación. En todo caso el comportamiento de la demanda de pasajeros es común en los demás sistemas de transporte de Quito, la estacionalidad en la serie se muestra cada 7 días presentando menores valores de la demanda en los días sábados respecto a los días de lunes a viernes y con una disminución considerable para los días domingos. A pesar de que estos dos métodos propuestos son los que se podrían ajustar mejor a los datos, se necesita realizar los pasos propuestos en la búsqueda del mejor modelo de predicción para contar con una herramienta para la planificación de los corredores de transporte de pasajeros.

Este trabajo es el planteamiento de una solución ante la necesidad de mejora de la planificación, es el principio de la exploración de herramientas estadísticas que permitan disminuir la incertidumbre en la toma de decisiones, y un intento por dotar a los gerentes y administradores del sector del transporte de metodologías que si bien es cierto implican un estudio matemático de fondo en cada uno de los métodos se presenta de manera sencilla y aplicable. Se espera que la contribución de este trabajo sea de ayuda y sea el inicio del estudio de nuevas metodologías y modelos actuales en la búsqueda de la mejora continua.

ANEXO A

Transporte.- “Medio de traslado de personas o bienes desde un lugar hasta otro. El transporte comercial moderno está al servicio del interés público e incluye todos los medios e infraestructuras implicados en el movimiento de las personas o bienes, así como los servicios de recepción, entrega y manipulación de tales bienes. El transporte comercial de personas se clasifica como servicio de pasajeros y el de bienes como servicio de mercancías.”45

Corredor vial.- “Un corredor es un concepto que integra cuatro componentes (similar al Metrobus de México):

normas y prácticas comerciales y financieras;

exigencias gubernamentales;

infraestructura, vehículos (autobuses de tránsito rápido denominados BRT por sus siglas en inglés Bus Rapid Transit) , equipos e instalaciones; y actores”46

Troncal.- “Medio de transmisión por el que se pueden manejar varias comunicaciones o canales, simultánea o pseudosimultáneas, donde esta última expresión se debe a que el mecanismo aparece como simultáneo para el usuario, aunque estrictamente no lo sea”.47

Líneas alimentadoras (Alimentador): Son líneas de autobús locales. Unen las terminales de pasajeros con los barrios de la ciudad, permiten que los pasajeros transborden al resto de las líneas. SITM.- Sistema Integral de Transporte Masivo.

ANEXO B

45 http://www.monografias.com/trabajos/transporte/transporte.shtml, consultada el 18 de enero de 2008.46 http://www.oas.org/dsd/publications/Unit/oea33s/ch39.htm#TopOfPage, consultada el 16 de enero de 2008.47 http://www.diccionarios-online.com.ar/tecno/Troncal.html, consultada el 18 de enero de 2008.

Resúmenes de casos

Pasajeros Corregido WEEK N Media Mínimo Máximo Desv. típ.1 3 90188.6667 67680.00 103596.00 19611.61557 50 7 197356.1429 118199.00 245505.00 55747.772302 7 180838.0000 96411.00 211822.00 44354.92116 51 7 212611.0000 125075.00 247071.00 43948.94584

3 7 187411.4286 103297.00 219071.00 44452.32313 52 7 208926.7143 123389.00 250047.00 54504.42687

4 7 183985.5714 105016.00 220256.00 43860.89921 53 7 164642.6686 77731.68 201886.00 48227.76797

5 7 186192.2857 107155.00 218144.00 42281.43742 54 7 199443.8743 106584.72 235459.08 48518.86702

6 7 191999.2857 108366.00 222209.00 45325.89123 55 7 206943.9543 113275.68 242637.48 51428.65403

7 7 194454.2857 107767.00 224353.00 44945.11661 56 7 204220.5143 116064.00 237513.44 48209.20806

8 7 189432.1429 108900.00 226887.00 45098.84599 57 7 206929.1657 114376.72 240266.88 50559.67696

9 7 151759.5714 85146.00 221498.00 63197.32197 58 7 210292.5829 112326.80 249766.28 54907.12171

10 7 197703.7143 112249.00 231066.00 46061.31330 59 7 162679.7543 92241.32 236098.96 69133.63569

11 7 196854.7143 113247.00 227746.00 43925.40374 60 7 190071.0629 120484.64 251122.20 54752.54094

12 7 199240.7143 115551.00 229280.00 45277.95307 61 7 206902.0286 121102.28 244920.36 50386.93735

13 7 193538.0000 118397.00 226605.00 40461.24722 62 7 210513.7829 132112.16 241043.60 44978.12717

14 7 195508.2857 112431.00 228359.00 43120.66058 63 7 186916.1543 121578.92 244992.20 49191.77459

15 7 175126.5714 116628.00 227001.00 50395.53271 64 7 209942.9314 118954.92 244654.44 49162.33834

16 7 195279.7143 108432.00 229556.00 44811.36163 65 7 178779.1086 118215.88 231716.28 53135.48983

17 7 200997.1429 115779.00 231198.00 45313.64230 66 7 205205.4057 109029.44 244485.20 49413.91874

18 7 196084.0000 119033.00 230950.00 48122.14406 67 7 195642.5543 122887.84 247077.04 42059.76386

19 7 206389.4286 116318.00 244086.00 47347.38538 68 7 205451.5471 126228.92 236721.88 44139.16106

20 7 203373.4286 121604.00 237954.00 44796.40081 69 7 166562.5486 93822.04 212315.96 50093.33380

21 7 197815.5714 119676.00 225825.00 43482.16096 70 7 204340.7771 117229.68 236366.04 46392.70830

22 7 179800.5714 99782.00 228331.00 55748.99765 71 7 213419.6400 111298.12 251365.00 52241.61994

23 7 199215.2857 118980.00 232368.00 44532.09284 72 7 209250.1886 122731.68 243483.40 47808.79183

24 7 199943.5714 117869.00 231069.00 45148.73489 73 7 209877.0286 120035.68 246122.36 48297.85697

25 7 203228.2857 112238.00 233485.00 45456.06723 74 7 191816.7029 116489.68 242613.08 56133.37710

26 7 189427.4286 63253.00 227628.00 62551.59097 75 7 212596.3771 114338.60 251218.52 53708.09409

27 7 197623.4286 111917.00 233138.00 46593.17118 76 7 204355.1371 82295.68 244971.00 62434.68031

28 7 198229.8571 109797.00 231874.00 48664.15829 77 7 212552.5143 120096.96 248565.68 50312.61008

29 7 195400.1429 114147.00 226038.00 45316.84115 78 7 204255.1771 118436.24 239064.00 48061.05177

30 7 189252.5714 112514.00 223319.00 43025.19209 79 7 202001.8571 116012.00 242454.00 47381.18419

31 7 186784.8571 115093.00 212889.00 39001.16202 80 7 205541.1429 117336.00 242427.00 49494.54675

32 7 189868.1429 116662.00 219940.00 41818.92084 81 7 201370.2857 113300.00 239866.00 48789.56560

33 7 173237.5714 114151.00 216651.00 48361.48099 82 7 199878.7143 118363.00 230427.00 45208.12278

34 7 181573.2857 106027.00 213901.00 41544.50931 83 7 194834.5714 118519.00 227798.00 42868.71043

35 7 176075.7143 111592.00 209260.00 38499.28131 84 7 195650.1429 117511.00 225702.00 43823.12105

36 7 187455.1429 112275.00 217458.00 42206.34836 85 7 181682.5714 117556.00 228636.00 52120.61857

37 7 189329.7143 110600.00 222970.00 43555.86565 86 7 198916.5714 108076.00 233552.00 50663.58587

38 7 192256.7143 114509.00 220080.00 41623.18426 87 7 192597.5714 114000.00 226367.00 44518.10204

39 7 199012.2857 119324.00 243010.00 46635.50143 88 7 196835.2857 116239.00 233231.00 43973.74141

40 7 198487.7143 113285.00 231630.00 44842.40300 89 7 210044.8571 125795.00 259538.00 48958.08149

41 7 202152.1429 112502.00 237198.00 49371.98709 90 7 207930.4286 123438.00 246281.00 47494.14504

42 7 201741.2857 110139.00 237981.00 50040.38820 91 7 207746.8571 123573.00 244310.00 48061.89370

43 7 207511.1429 155511.00 231022.00 31369.55232 92 7 206912.1429 121101.00 242928.00 46496.79036

44 7 201106.2857 114548.00 236614.00 45502.41595 93 7 211003.4286 120158.00 247791.00 51511.74612

101 7 215150.8571 126006.00 267763.00 47809.41627

102 7 195484.2857 115885.00 248995.00 55780.84511 152 7 210494.8571 120161.00 248455.00 49036.79443

103 7 220518.4286 124327.00 254015.00 48259.43184 153 7 228830.4286 182719.00 261199.00 32081.35313

104 7 225462.4286 139169.00 260181.00 49432.42687 154 7 201582.4286 129030.00 250445.00 53097.92583

105 7 175116.4286 117017.00 200763.00 34434.13135 155 7 221787.1429 126560.00 264269.00 50602.33486

106 7 196886.2857 90866.00 236311.00 54430.16109 156 7 230983.8571 143560.00 260850.00 45122.16855

107 7 199744.4286 117995.00 239445.00 46214.35848 157 7 175545.4286 113351.00 213150.00 41560.57658

108 7 183240.5714 115203.00 234353.00 38360.75665 158 7 183144.5714 75560.00 240242.00 66361.00852

109 7 193662.4286 113785.00 228977.00 43071.90430 159 7 209337.5714 113627.00 244555.00 51201.48377

110 7 208497.2857 115407.00 243792.00 49367.62253 160 7 208939.8571 114099.00 247529.00 50968.54078

111 7 208880.8571 114361.00 244953.00 50031.12962 161 7 209673.5714 116796.00 244179.00 50217.25051

112 7 215123.1429 118123.00 249528.00 52345.88175 162 7 204469.4286 114499.00 252485.00 48722.66028

113 7 209953.5714 116974.00 252300.00 53847.03713 163 7 217978.2857 118892.00 251384.00 53847.45414

114 7 169920.7143 92793.00 253130.00 72993.85425 164 7 211606.8571 117514.00 251632.00 53671.79700

115 7 196239.7143 95699.00 254787.00 66785.50670 165 7 169382.2857 93150.00 250227.00 74405.37372

116 7 211294.1429 121219.00 252147.00 48466.40860 166 7 216762.4286 115936.00 258927.00 54297.36463

117 7 199782.2857 116085.00 245811.00 45799.30351 167 7 204946.1429 123435.00 253405.00 58127.66553

118 7 214624.7143 118588.00 251311.00 51308.81092 168 7 212551.1429 120831.00 250480.00 49548.43913

119 7 215720.4286 121260.00 250015.00 51435.85405 169 7 207524.0000 117750.00 243362.00 48393.42096

120 7 185532.1429 119424.00 241911.00 57200.54742 170 7 209749.2857 119043.00 245040.00 48802.35175

121 7 219461.5714 113554.00 255473.00 56116.44614 171 7 183360.4286 119266.00 236689.00 55807.54086

122 7 217561.7143 122194.00 255329.00 50789.91486 172 7 211149.8571 107637.00 246847.00 55766.96966

123 7 203157.0000 104232.00 260681.00 69980.09208 173 7 224060.2857 163697.00 257746.00 35464.67205

124 7 221343.7143 122900.00 259748.00 52168.40642 174 7 212788.7143 120466.00 248535.00 50274.22033

125 7 218767.1429 122512.00 251432.00 50823.25319 175 7 201281.4286 113698.00 259930.00 65182.73623

126 7 202041.8571 119553.00 254281.00 61977.19764 176 7 222058.2857 122873.00 262465.00 54095.05160

127 7 217629.5714 111910.00 260449.00 55161.00648 177 7 214624.2857 117135.00 249440.00 53049.44741

128 7 211366.5714 105180.00 252124.00 58385.56203 178 7 196693.5714 116832.00 248891.00 62331.08954

129 7 213255.4286 116819.00 252469.00 52682.51079 179 7 213001.4286 110387.00 253253.00 53488.71495

130 7 209339.4286 115068.00 245524.00 52287.13041 180 7 211012.5714 98674.00 251544.00 58503.68705

131 7 202601.5714 105348.00 238111.00 52353.19234 181 7 197467.1429 118099.00 244760.00 45281.09911

132 7 210779.8571 117682.00 245605.00 51737.18998 182 7 207299.4286 113105.00 242835.00 52660.26946

133 7 206229.8571 112020.00 241404.00 51475.02026 183 7 205289.8571 114274.00 241466.00 50833.31863

134 7 202230.8571 118170.00 235137.00 47424.51133 184 7 206935.1429 113153.00 238872.00 51011.81782

135 7 194688.4286 112160.00 225750.00 45567.06552 185 7 203001.1429 112050.00 234835.00 49573.62956

136 7 197766.5714 115924.00 226327.00 46334.81821 186 7 197951.1429 110409.00 228935.00 47710.90051

137 7 183099.1429 118223.00 226727.00 50726.88481 187 7 195273.0000 114005.00 225198.00 45543.99835

138 7 197414.7143 110840.00 231376.00 48360.07521 188 7 197147.5714 113805.00 226310.00 45930.83138

139 7 194858.1429 114600.00 228786.00 45474.46963 189 7 189452.8571 115732.00 280117.00 63823.78048

140 7 199320.2857 112118.00 230545.00 44089.72978 190 7 198222.2857 105933.00 230277.00 49930.45170

141 7 214822.7143 124795.00 262265.00 53416.59158 200 7 211138.1429 115304.00 240723.00 51064.91733

142 7 212870.5714 123034.00 249226.00 49879.76720 201 7 191309.0000 115276.00 248106.00 65611.52574

143 7 211019.8571 115996.00 245580.00 51633.89191 202 7 213815.0000 109874.00 251568.00 54832.67790

144 7 206413.8571 113511.00 241010.00 50210.95402 203 7 216697.2857 114809.00 250657.00 53322.06435

145 7 214909.2857 117313.00 251146.00 52020.94374 204 7 214661.0000 119088.00 247302.00 50422.99349

146 7 197212.4286 114287.00 252169.00 63339.72485 205 7 219088.4286 116542.00 260539.00 51052.85728

147 7 219819.4286 163261.00 247812.00 33648.96090 206 7 204987.5714 132900.00 263099.00 59009.25716

148 7 211272.0000 116541.00 244553.00 51241.54628 207 7 221322.5714 118189.00 253502.00 51870.59566

149 7 174930.7143 111969.00 253204.00 66374.76028 208 7 230729.7143 132383.00 261945.00 48155.48065

150 7 210589.0000 108136.00 250142.00 53937.13794 209 7 175715.7143 112901.00 213789.00 37301.27831

151 7 212395.2857 108830.00 250299.00 53415.66271 210 2 124261.0000 116342.00 132180.00 11199.15720

ANEXO C

Antes de iniciar el estudio del análisis de regresión lineal presentaremos un pequeño glosario de términos útiles:

Variable dependiente: Variable que está asociada a los valores de una variable independiente llamada Y. Variable dependiente que se desea explicar o predecir, también llamada respuesta.

Variable independiente: Variable que puede tomar cualquier valor en los reales. Variable independiente, también se llama variable explicativa, regresor o predictor

Variable Numérica: Como: estatura, promedio, peso.

Variable Categórica: Ejemplos de estas variables son: Hombre, mujer.

Variable Ordinal: Son aquellas como: buena, mala, pésima.

Regresión lineal.- La relación entre X y Y se representa por medio de una línea recta

Análisis exploratorio: Es realizar un inspección visual en primera instancia que tipo de relación presentan las variables ya sean categóricas, ordinales o numéricas y en segunda identificar que tan intensa es la relación presente.

VIF.- Variance inflation factor, Factor de inflación de varianza (VIF), Indica la medida en que la multicolinealidad (correlación entre los predictores) está presente en un análisis de regresión. La multicolinealidad es problemática, porque puede aumentar la varianza de los coeficientes de regresión, lo que las hace inestables y difíciles de interpretar.

El VIF mide la cantidad de la varianza de la estimación de los coeficientes de regresión son inflados en comparación con las variables de predicción, cuando no están relacionados linealmente. Utilice las siguientes pautas para interpretar la VIF:

VIF:  Predictores son:  VIF = 1 entonces no correlacionadas  1 <VIF <5 entonces hay correlación moderada  VIF> 5 a 10 son altamente correlacionado  VIF valores superior a 10 puede indicar multicolinealidad es decir, el predictor X, influye indebidamente sus resultados en la regresión. En este caso, puede que desee reducir multicolinealidad quitando predictores de su modelo.

Regresión curvilínea.- La relación entre X y Y se representa por medio de una curva.

Modelo Matemático: Ecuación que cuantifica la relación entre variables que nos permite entender ampliamente el fenómeno y tal vez predecir su comportamiento en el futuro. Es importante mencionar que un modelo matemático no es completamente exacto con problemas de la vida real, de hecho, se trata de una idealización.

Función Lineal: Se dice que una función es lineal cuando su gráfica es una línea recta; y por consecuencia tiene la forma:

y = f(x) = mx + b

Donde m representa la pendiente de la recta y b la ordenada al origen (el punto en el que la recta interfecta al eje de las "y"). Es importante mencionar que este tipo de funciones crecen a tasa constante; y su dominio e imagen son todos los números reales.

Coeficiente de correlación lineal de Pearson.- Es aquel instrumento Objetivo no Subjetivo, que permite saber la correlación entre variables, El coeficiente de correlación de Pearson es un índice estadístico que mide la relación lineal entre dos variables cuantitativas.

Hay correlación positiva (+), si están en los cuadrantes I Y III y hay correlación negativa (-), si están en los cuadrantes II y IV.

El cálculo del coeficiente de correlación lineal de Pearson, se obtiene dividiendo la covarianza por el producto de las desviaciones estándar de ambas variables. El valor del índice de correlación varía en el intervalo [-1, +1].

Siendo:σXY la covarianza de (X,Y)σX y σY las desviaciones típicas de las distribuciones marginales.

Si r = 0, no existe ninguna correlación. El índice indica, por tanto, una independencia total entre las dos variables, es decir, que la variación de una de ellas no influye en absoluto en el valor que pueda tomar la otra.

Si r = 1, existe una correlación positiva perfecta. El índice indica una dependencia total entre las dos variables denominada relación directa: cuando una de ellas aumenta, la otra también lo hace en idéntica proporción.

Si 0 < r < 1, existe una correlación positiva.

Si r = -1, existe una correlación negativa perfecta. El índice indica una dependencia total entre las dos variables llamada relación inversa: cuando una de ellas aumenta, la otra disminuye en idéntica proporción.

Si -1 < r < 0, existe una correlación negativa.

Coeficiente de Determinación R2.- Es la proporción de la variación explicada por el modelo a la variación total del modelo. Está entre 0 y 1 e interpreta la cantidad relativa de la variación que ha sido explicada por la recta de regresión, es decir, la proporción de cambio en Y explicado por un cambio en la variable X ( X es el factor que se utiliza para calcular la recta de ajuste o ecuación de regresión).

Homocedasticidad.- Las varianzas son iguales.

ANEXO D

ANEXO Emes FEBRERO MARZO ABRIL MAYO JUNIO

dia Predicción LI LS Predicción LI LS Predicción LI LS Predicción LI LS Predicción LI LS

1 119779.5741 54820.26183 184738.8864 124696.7253 53629.84427 195763.6063 243435.9795 172286.6368 314585.3222 240170.1529 168950.8252 311389.4805 245869.9379 174567.8149 317172.0609

2 241804.6077 171813.5276 311795.6878 244280.4236 173207.9789 315352.8683 231283.3959 160134.0658 302432.726 164394.593 93175.36487 235613.8211 241098.1606 169794.8798 312401.4414

3 239755.7818 169110.105 310401.4585 240597.3996 169525.0174 311669.7818 239773.1757 168623.0776 310923.2738 124810.1332 53575.41946 196044.847 244585.3228 173282.0917 315888.5538

4 241736.114 170951.6081 312520.6198 243008.0847 171934.0702 314082.0992 164149.452 92999.37911 235299.525 245603.0415 174367.1017 316838.9814 231581.7046 160278.0621 302885.3472

5 230729.6594 159935.5781 301523.7408 231068.8176 159994.6464 302142.9888 124414.8669 53248.19413 195581.5397 240724.4045 169487.0809 311961.7281 240912.9296 169609.4016 312216.4576

6 238846.5688 168043.5613 309649.5762 239347.6897 168272.3311 310423.0483 245356.209 174188.676 316523.742 244317.2223 173079.9873 315554.4574 164457.242 93153.43643 235761.0477

7 163185.4996 92382.48275 233988.5165 163932.4945 92856.97086 235008.0182 240330.8107 169161.543 311500.0784 231209.1391 159971.3495 302446.9286 125545.2464 54230.80801 196859.6848

8 123282.1176 52297.39658 194266.8385 123991.7292 52897.9615 195085.4969 244068.7361 172899.5629 315237.9094 240643.6521 169405.9753 311881.3288 245673.2678 174355.4392 316991.0964

9 244850.9152 173850.6182 315851.2122 245136.9315 174042.705 316231.1579 230817.1803 159647.2223 301987.1383 164085.8403 92847.75666 235323.924 241452.0259 170133.9891 312770.0626

10 239416.6341 168406.4307 310426.8375 239909.9715 168813.4547 311006.4883 240393.5493 169223.6588 311563.4398 125274.8182 54026.86913 196522.7672 244394.856 173076.2563 315713.4558

11 243621.2355 172611.1103 314631.3607 243847.1878 172750.6898 314943.6859 163695.48 92524.97436 234865.9856 245303.0039 174051.3245 316554.6833 231929.4365 160610.8983 303247.9746

12 229934.8968 158922.3611 300947.4325 230398.5869 159300.9226 301496.2511 125023.135 53843.73679 196202.5331 241180.4727 169928.6931 312432.2523 240728.5272 169409.6831 312047.3713

13 239980.266 168967.4319 310993.1001 240169.7809 169072.044 311267.5179 244914.2061 173730.5638 316097.8485 244025.7043 172773.2078 315278.2008 164798.9779 93480.25145 236117.7043

14 162797.8546 91783.39252 233812.3168 163279.0816 92180.38306 234377.7802 240927.2445 169743.6046 312110.8844 231656.7836 160404.3601 302909.2071 125366.7725 54033.5937 196699.9513

15 124593.9303 53570.82129 195617.0393 124797.1961 53690.82674 195903.5654 243638.4342 172453.8352 314823.0331 240360.4628 169107.6095 311613.3161 246009.142 174674.2894 317343.9947

16 244045.3983 173015.1289 315075.6677 244499.954 173388.5592 315611.3487 231402.045 160217.4956 302586.5944 164525.2499 93272.51022 235777.9896 241279.3475 169943.4185 312615.2765

17 240503.8953 169473.6674 311534.1232 240699.1838 169587.855 311810.5125 239974.686 168789.5098 311159.8622 124999.7711 53731.9599 196267.5822 244725 173389.0969 316060.903

18 242777.8353 171745.5307 313810.14 243226.28 172113.6013 314338.9587 164269.0348 93083.93081 235454.1388 245734.3631 174465.1628 317003.5634 231762.4238 160426.1599 303098.6878

19 230975.1303 159942.52 302007.7406 231171.91 160059.1792 302284.6408 124615.4541 53414.36118 195816.547 240913.3852 169642.9263 312183.8442 241053.0692 169716.9129 312389.2256

20 239120.9721 168086.8532 310155.091 239564.5829 168450.9017 310678.264 245476.7046 174274.5623 316678.8468 244449.1936 173178.8061 315719.5811 164637.504 93301.116 235973.892

21 163836.2577 92801.80365 234870.7117 164036.8719 92923.14089 235150.603 240530.4954 169326.8136 311734.1773 231397.4774 160126.6151 302668.3397 125685.8382 54338.49718 197033.1791

22 123765.9489 52711.94766 194819.95 124207.356 53076.28321 195338.4287 244190.124 172986.54 315393.7079 240776.2584 169505.5132 312047.0037 245853.0828 174502.4757 317203.6899

23 245040.4341 173986.1611 316094.7071 245242.5593 174110.8249 316374.2936 231015.9828 159811.7432 302220.2224 164273.5507 93002.47057 235544.6308 241593.0596 170242.1932 312943.9259

24 239686.1985 168629.2287 310743.1684 240124.3574 168990.643 311258.0718 240515.8094 169311.6678 311719.951 125408.0454 54126.69333 196689.3976 244574.234 173222.8598 315925.6082

25 243749.4188 172692.3726 314806.465 243954.0407 172820.3977 315087.6837 163893.42 92688.78011 235098.0599 245490.1003 174205.2054 316774.9953 232070.9022 160719.5781 303422.2264

26 230176.303 159117.8084 301234.7976 230611.7609 159477.167 301746.3548 125146.2478 53932.20048 196360.2952 241314.3069 170029.2573 312599.3566 240907.478 169555.8923 312259.0637

27 240070.7107 169012.0097 311129.4117 240277.8315 169143.2516 311412.4115 245111.303 173893.2949 316329.3111 244212.2006 172926.5195 315497.8817 164940.866 93589.39328 236292.3387

28 163058.1325 91998.21327 234118.0517 163491.0713 92355.72556 234626.417 241051.191 169833.1361 312269.2458 231791.2112 160505.6 303076.8224 125545.3056 54179.6079 196911.0034

29 124906.4179 53762.7569 196050.0789 243834.7068 172615.828 315053.5856 240546.3724 169260.4003 311832.3446 246151.4431 174783.9487 317518.9375

30 244710.7855 173562.531 315859.04 231526.8065 160307.9953 302745.6176 164660.2576 93374.40408 235946.1112 241457.4724 170088.9677 312825.9772

31 240809.5504 169661.3384 311957.7625 125185.1071 53884.52242 196485.6918

TOTAL 5931122.291 6559996.614 6434775.866 6499436.275 6466640.576

JULIO AGOSTO SEPTIEMBRE OCTUBRE NOVIEMBRE DICIEMBRE

Predicción LI LS Predicción LI LS Predicción LI LS Predicción LI LS Predicción LI LS Predicción LI LS

244867.7047 173499.2013 316236.208 165162.3862 93728.3051 236596.4672 242333.2176 170818.0925 313848.3427 233119.5809 161537.6543 304701.5075 127068.6911 55406.16711 198731.2151 243306.4368 171572.8226 315040.051

231940.1496 160571.3261 303308.9731 126123.3379 54677.54032 197569.1354 245436.5286 173921.0495 316952.0077 242102.3734 170520.3371 313684.4096 247514.6256 175849.6129 319179.6384 246546.6219 174812.8137 318280.4301

241196.1686 169827.4431 312564.894 246376.9803 174928.1632 317825.7975 232812.4365 161296.94 304327.9329 165991.1922 94409.21326 237573.1712 242979.0527 171313.2601 314644.8454 233787.1979 162053.23 305521.1659

164814.8396 93445.91982 236183.7594 242031.5328 170582.3224 313480.7432 241768.4119 170252.7803 313284.0435 126738.572 55143.06659 198334.0775 246232.672 174566.7092 317898.6348 242876.9803 171143.0105 314610.9501

125829.3232 54449.16596 197209.4805 245097.169 173647.5611 316546.7769 165683.7456 94168.18641 237199.3048 247203.3799 175605.493 318801.2668 233459.9653 161793.8332 305126.0974 166660.0148 94926.00906 238394.0206

246030.037 174646.7141 317413.3599 232510.3272 161060.7283 303959.926 126404.9093 54875.73634 197934.0823 242649.1463 171050.4618 314247.8309 242562.8807 170896.7592 314229.0023 127511.987 55764.99515 199258.9788

241736.9218 170353.2916 313120.552 241429.472 169979.7013 312879.2427 246895.6379 175364.2116 318427.0642 245921.216 174322.3898 317520.0423 166332.9301 94666.7607 237999.0996 247873.381 176123.5455 319623.2166

244750.8154 173366.722 316134.9087 165381.2213 93931.53993 236830.9027 242315.7757 170783.5207 313848.0306 233130.2667 161531.2565 304729.277 127197.7411 55518.78815 198876.694 243421.396 171670.9215 315171.8706

232215.1331 160831.0766 303599.1896 126066.3798 54602.92303 197529.8365 245613.1852 174080.8223 317145.5482 242251.2192 170652.2347 313850.2037 247546.441 175864.6452 319228.2368 246592.3693 174841.6023 318343.1362

241083.6948 169699.4127 312467.9769 246592.7079 175127.1533 318058.2625 232797.1816 161264.6128 304329.7504 166003.4348 94404.38619 237602.4835 243107.0071 171424.6118 314789.4024 233901.3773 162150.5256 305652.229

165085.4573 93701.28127 236469.6333 241977.6473 170511.2138 313444.0807 241942.9061 170410.3812 313475.431 126885.8786 55274.28328 198497.474 246265.5707 174582.8746 317948.2667 242923.4987 171172.573 314674.4244

125721.1661 54322.9493 197119.3829 245309.8586 173843.3569 316776.3604 165670.6289 94138.01725 237203.2405 247217.1444 175602.6905 318831.5984 233586.8486 161904.0831 305269.614 166773.4318 95022.53602 238524.3276

246296.3867 174896.2624 317696.511 232459.4453 160992.7051 303926.1856 126577.2896 55032.41429 198122.1648 242794.9482 171179.9413 314409.9551 242596.8384 170913.9883 314279.6885 127559.2592 55794.85277 199323.6657

241632.9845 170231.9032 313034.0658 241639.1918 170172.5164 313105.8671 246884.6113 175336.8387 318432.3838 245936.4683 174321.1463 317551.7903 166458.7663 94775.95532 238141.5774 247986.0527 176219.0252 319753.0803

245012.9927 173611.8886 316414.0969 165333.2759 93866.48217 236800.0697 242486.0893 170937.8193 314034.3594 233274.5976 161659.2245 304889.9707 127232.734 55536.4321 198929.036 243469.4052 171701.6072 315237.2032

232115.3212 160713.9298 303516.7125 126273.1962 54794.48384 197751.9085 245604.2019 174055.5937 317152.8101 242267.9259 170652.453 313883.3988 247671.2536 175972.4155 319370.0917 246704.3123 174936.3098 318472.3149

241341.7934 169940.4894 312743.0974 246547.6331 175065.9527 318029.3136 232965.475 161416.8373 304514.1126 166146.3276 94530.9053 237761.75 243143.0121 171443.3992 314842.6251 233950.1069 162181.9479 305718.2659

164989.6782 93588.21021 236391.1463 242181.6254 170699.5138 313663.7371 241935.9203 170387.1614 313484.6792 126904.0072 55275.0809 198532.9335 246389.3826 174689.5871 318089.1781 243034.7295 171266.5634 314802.8956

125975.2772 54562.31853 197388.2359 245267.5901 173785.105 316750.0752 165836.9472 94288.25282 237385.6415 247358.6314 175727.2677 318989.995 233623.843 161923.8834 305323.8025 166822.8656 95054.66829 238591.0629

246204.5501 174788.507 317620.5933 232660.6488 161178.1592 304143.1384 126572.2565 55009.99986 198134.5132 242814.4667 171182.3157 314446.6177 242719.6721 171019.7166 314419.6276 127669.7937 55888.51899 199451.0684

241883.1975 170466.8023 313299.5928 241599.6667 170117.0252 313082.3081 247048.9989 175484.4218 318613.5759 246076.581 174444.2734 317708.8885 166496.728 94796.73104 238196.7249 248036.175 176252.0515 319820.2985

244925.0103 173508.1882 316341.8325 165531.7669 94049.20621 237014.3276 242482.9653 170917.5771 314048.3535 233295.475 161662.9915 304927.9584 127354.6114 55641.72601 199067.4968 243579.2589 171794.4787 315364.0391

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165232.3552 93815.45783 236649.2526 242147.4041 170648.1293 313646.6788 242096.5752 170530.902 313662.2484 127041.4629 55396.2718 198686.654 246429.2142 174712.5713 318145.8571 243086.1828 171300.9513 314871.4143

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241806.2671 170372.5556 313239.9786 241790.3795 170290.8494 313289.9096 247051.349 175470.3149 318632.3831 246101.3549 174452.4312 317750.2785 166615.8631 94899.0981 238332.628 248144.0768 176342.6819 319945.4716

245160.4852 173726.7275 316594.2429 165502.6143 94002.98303 237002.2456 242640.0529 171058.4924 314221.6134 233430.3915 161781.4072 305079.3758 127396.23 55665.96772 199126.4923 243631.9843 171829.8189 315434.1496

232288.3132 160854.2951 303722.3312 126424.5884 54912.85711 197936.3197 245770.7957 174188.9098 317352.6816 242432.71 170783.6341 314081.7859 247828.4224 176095.58 319561.2648 246862.3877 175060.0081 318664.7674

241489.5731 170055.6312 312923.5151 246716.7693 175202.11 318231.4286 166302.2228 94653.19147 237951.2542

6707583.23 6537204.469 6496927.633 6660298.978 6403289.391 6528178.98

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