antologiademetodosnumericosisc-110305230854-phpapp01

INSTITUTO TECNOLGICO SUPERIOR de Acayucan

Asignatura: Mtodos Numricos Clave de la asignatura: SCC - 0423 Carrera: Ingeniera en Sistemas Computacionales

AN TOLOGIAPresenta:

ING. ULISES GIRON JIMENEZ

ACAYUCAN, VER.

OCTUBRE 2009

Mtodos Numricos

Ing. Ulises Girn Jimnez

INDICEOBJETIVO GENERAL... JUSTIFICACION .. UNIDAD I Teora de errores 1.1 importancia de los mtodos numricos. 1.2 Conceptos bsicos: cifra significativa, precisin, exactitud, incertidumbre y sesgo............... 1.3 Tipos de errores... 1.3.1 Definicin de error: error absoluto y relativo 1.3.2 Error por redondeo 1.3.3 Error por truncamiento.. 1.3.4 Error numrico total 1.4 Software de computo numrico.. 1.5. Mtodos iterativos .. 5 6 7 8

15 17 17 18 20 22 23 26

UNIDAD II

Mtodos de solucin de ecuaciones... 2.1. 2.2. 2.3. Mtodo de Intervalo.. Mtodo de biseccin Mtodo de interpolacin.. 2.3.1. Mtodo de Newton Raphson 2.3.2. Mtodo de la secante Aplicaciones

37 38 41 48 48 51 54

2.4.

UNIDAD III

Mtodos de solucin de sistemas de ecuaciones 3.1 Mtodos Iterativos 3.1.1 Jacobi.. 3.1.2. Gauss Seidel. 3.2 Sistemas de ecuaciones no lineales. 3.2.1. Mtodo iterativo secuencial.

61 62 62 64 66 66

III

3.3 Iteracin y convergencia de sistemas de ecuaciones.. 3.3.1 sistemas de ecuaciones de Newton.. 3.4 Aplicaciones..

71 71 76

UNIDAD IV

Diferenciacin e integracin numrica ... 4.1. Diferenciacin numrica.. 4.2. Integracin numrica.... 4.2.1. Mtodo del trapecio... 4.2.2. Mtodo de Simpson. 4.3. Integracin Mltiple.. 4.4. Aplicaciones..

86 87 95 98 106 114 116

UNIDAD V

Soluciones de ecuaciones diferenciales 5.1 Mtodo de un paso.. 5.1.1 Mtodo de Euler y Euler mejorado.. 5.1.2 Mtodo de Runge Kutta.. 5.2. Mtodo de pasos Mltiples 5.3. Sistemas de ecuaciones diferenciales ordinarias 5.4. Aplicaciones

118 119 120 129 134 135 136

Bibliografa

141

IV

OBJETIVO GENERAL

El estudiante conocer, comprender y aplicar mtodos numricos para resolver problemas de la ingeniera y cientficos mediante el uso de computadora.

V

JUSTIFICACION

Uno de los objetivos del Instituto Tecnolgico Superior de Acayucan, es el de promover, apoyar e impulsar el trabajo creativo del docente, principalmente en la elaboracin de antologa que apoya al proceso enseanza aprendizaje, el cual debe ser estimulado con los comentarios y sugerencias del profesorado y conviene que sea imitado por otros maestros, quienes con capacidad de trabajo y tiempo disponible, pueden y deben gestar literatura de este gnero, dando los pasos adecuados para pulirla y poder formar as textos que faciliten la enseanza y el aprendizaje del curso.

El presente material de consulta y apoyo didctico se pone en manos de nuestros maestros y, particularmente, de los alumnos que se forman en nuestro instituto. Considero los contenidos de esta antologa como el propsito ms firme de mi convencimiento para facilitar el estudio de la probabilidad y estadstica en las nuevas generaciones que me honran al confiarme su preparacin y garantizar modestamente el fijarles una enseanza para toda la vida.

VI

UNIDAD 1TEORA DE ERRORES.

Objetivo: El estudiante comprender la importancia de los mtodos numricos y conocer las caractersticas operativas del software de cmputo numrico comercial.

UNIDAD I / TEORIA DE ERRORES

1.1. Importancia de los mtodos numricos. El objeto de estudio del anlisis numrico es la construccin y valoracin de los mtodos numricos que tienen como resultados un valor numrico. Relacin entre anlisis numrico y mtodos numricos:

Algunas de las razones por las cuales se debe estudiar los mtodos numricos son los siguientes: Son algoritmos que establecen la secuencia de solucin de sistemas de ecuaciones de gran tamao, con caractersticas de ser no lineales y geomtricas complicadas, porque la mayor parte de los problemas reales tienen este comportamiento, y que por lo general su solucin es muy complicada a travs de mtodos analticos. Es importante que el futuro ingeniero tenga los conocimientos bsicos de los mtodos ms comunes, ya que en el transcurso de su carrera, tendr la necesidad de usar software comercial o implementar su propio software, que resuelvan los algoritmos de problemas reales y que estn basados sobre algn mtodo numrico. Con los mtodos numricos el ingeniero usara la computadora como herramienta, el cual es uno de los propsitos, porque el profesionista debe de olvidarse de los clculos, y enfocarse en el diseo y planteamiento de la solucin de los problemas. Proporciona una mayor comprensin de las matemticas, ya que reducen las matemticas superiores a operaciones bsicas simples.

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Los mtodos numricos son tcnicas mediante las cuales es posible formular problemas de tal forma que puedan resolverse usando operaciones aritmticas. Aunque hay muchos tipos de mtodos numricos, todos comparten una caracterstica comn: invariablemente los

mtodos numricos lleva a cabo un buen numero de tediosos clculos aritmticos. Con el desarrollo de computadoras digitales eficientes y rpidas, el papel de los mtodos numricos en la solucin de problemas de ingeniera haya aumentado considerablemente en los ltimos aos. Mtodos anteriores a la aparicin de la computadora. Ms all de solo proporcionar un aumento en la potencia de clculo la disponibilidad general de las computadoras (especialmente de las computadoras personales) y su asociacin con los mtodos numricos, ha tenido una influencia muy significativa en el proceso de solucin de problemas de ingeniera. Antes del uso de la computadora haba tres mtodos diferentes que los ingenieros aplicaban a la solucin de problemas: 1. Primero, se encontraban las soluciones de algunos problemas usando mtodo exacto o analtico. Con frecuencia estas soluciones resultaban tiles y

proporcionaban una comprensin excelente del comportamiento de algunos sistemas. Sin embargo, las soluciones analticas pueden encontrarse solo para una clase limitada de problemas. Estos problemas incluyen aquellos que pueden aproximarse mediante modelos lineales y tambin aquellos que tienen valor prctico limitado, porque la mayor parte de los problemas reales no son lineales, e implican formas y procesos complejos.

2. Para analizar el comportamiento de los sistemas se usaban soluciones grficas. stas tomaban la forma de grafos o nomogramas. Aunque las tcnicas grficas a menudo pueden emplearse para resolver problemas complejos, los resultados no son muy precisos. Es ms, las soluciones grficas (sin la ayuda de una computadora) son tediosas en extremo y difciles de implementar. Finalmente, las tcnicas grficas estn limitadas a aquellos problemas que puedan describirse usando tres dimensiones o menos.

3. Para implementar los mtodos numricos se utilizaban calculadoras manuales y reglas de clculo. Aunque en teora estas aproximaciones deberan ser perfectamente adecuadas para resolver problemas complicados, en la prctica se

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presentan algunas dificultades. Los clculos manuales son lentos y tediosos. Adems no existen resultados consistentes debido a que surgen equivocaciones cuando se efectan las tareas manualmente.

Antes del uso de la computadora, se gastaba mucha energa en la tcnica misma de solucin, en vez de aplicarla sobre la definicin del problema su interpretacin (Fig. 1.1 a). Esta situacin desafortunada exista debido al tiempo y trabajo montono que se requeran para obtener resultados numricos con tcnicas que no utilizaban a la computadora. Hoy en da, las computadoras y los mtodos numricos proporcionan una alternativa para clculos tan complicados. Al usar la computadora para obtener soluciones directamente, se pueden aproximar los clculos sin tener que recurrir a suposiciones de simplificacin o tcnicas deficientes. Aunque dichas suposiciones son an extremadamente valiosas tanto para resolver problemas como para proporcionar una mayor comprensin, los mtodos numricos representan alternativas que amplan considerablemente la capacidad para confrontar y resolver los problemas; como resultado, se dispone de ms tiempo para aprovechar las habilidades creativos personales. Por consiguiente, es posible dar ms importancia a la formulacin de un problema, a la interpretacin de la solucin y a su incorporacin al sistema total, o conciencia "holstica" (Fig. 1.1 b).

Figura: Las tres fases en la solucin de problemas de ingeniera en a) la era anterior a las computadoras y b) la era de las computadoras. Los tamaos de los recuadros indican con el

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nivel de importancia que se dirige a cada fase en el saln de clases. Las computadoras facilitan la implementacin de tcnicas de solucin as permiten un mayor cuidado sobre los aspectos creativos de la formulacin de problemas y la interpretacin de resultados. Los mtodos numricos y la prctica de la ingeniera Desde finales de la dcada de 1940, la multiplicacin y disponibilidad de las computadoras digitales ha llevado a una verdadera explosin en cuanto al uso y desarrollo de los mtodos numricos. Al principio, este crecimiento estaba algo limitado por el costo de acceso a computadoras grandes (mainframes), por lo que muchos ingenieros continuaban usando simples planteamientos analticos en una buena parte de su trabajo. No es necesario mencionar que la reciente evolucin de computadoras personales de bajo costo, ha dado a mucha gente un fcil acceso a poderosas capacidades de cmputo. Adems existen un buen nmero de razones por las cuales se deben estudiar los mtodos numricos: 1. Los mtodos numricos son herramientas extremadamente poderosas para la solucin de problemas. Son capaces de manejar sistemas de ecuaciones grandes, no linealidades y geometras complicadas que son comunes en la practica de la ingeniera y que, a menudo, son imposibles de resolver analticamente. Por lo tanto, amplan la habilidad de quien los estudia para resolver problemas.

2. En el transcurso de la carrera, es posible que el estudiante tenga la ocasin de usar software disponible comercialmente que contenga mtodos numricos. El uso inteligente de programas depende del conocimiento de la teora bsica en la que se basan estos mtodos.

3. Los mtodos numricos son un vehculo eficiente para aprender a servirse de las computadoras personales. Es bien sabido que una manera efectiva de aprender programar las computadoras es escribir los programas. Como los mtodos numricos, en su mayor parte estn elaborados para implementarse en computadoras, resultan ideales para este propsito. Aun mas, estn especialmente adaptadas para ilustrar la potencia as como las limitaciones de las computadoras.

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4. Los mtodos numricos son un medio para reforzar su comprensin de las matemticas. Porque una funcin de los mtodos numricos es la de reducir las matemticas superiores a operaciones aritmticas bsicas ya que se profundizan en los temas que de otro modo resultan oscuros. Esta alternativa aumenta su capacidad de comprensin en la materia.

Problemas matemticos y sus soluciones. En el campo profesional de la ingeniera se requiere utilizar modelos matemticos para la prediccin y explicacin de ciertos fenmenos, un modelo matemtico imprescindible para el ingeniero son los mtodos numricos, ya que son tcnicas mediante las cuales es posible plantear soluciones a los problemas. 1. Races de ecuaciones.

Estos problemas estn relacionados con el valor de una variable o de un parmetro que satisface una ecuacin. Son especialmente valiosos en proyectos de ingeniera donde con frecuencia resulta imposible despejar analticamente parmetros de ecuacin de diseo.

Encontrar x tal que f(x) = 0 2. Sistemas de ecuaciones algebraicas lineales.

Estos problemas son similares a los de races de ecuaciones en sentido de que estn relacionados con valores que satisfacen las ecuaciones. Sin embargo, en lugar de satisfacer una sola ecuacin se busca un conjunto de valores que satisfaga simultneamente un conjunto de ecuaciones algebraicas lineales las cuales surgen en el contexto de una variedad de problemas y en todas las disciplinas de ingeniera. Se originan a partir de modelos matemticos de grandes sistemas de elementos interrelacionados, tal como estructuras, circuitos elctricos y redes de flujo. Las ecuaciones lineales simultneas surgen en el contexto de una variedad de problemas y en todas las disciplinas de la ingeniera.

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Dadas las a y las c Encontrar:

a11 x1 + a12 x2 = c1 a21 x1 + a22 x2 = c23. Integracin. x tal que

Tal como se representa, una interpretacin fsica de la integracin numrica es la determinacin del rea bajo la curva. La integracin tiene diversas aplicaciones en la prctica de la ingeniera, que van desde la determinacin de los centroides de objetos de forma extraa hasta el clculo de cantidades totales basadas en conjunto de medidas discretas.

I = f ( x)dxa

b

Encontrar el rea bajo la curva.

4.

Ecuaciones diferenciales ordinarias.

Las ecuaciones diferenciales ordinarias tienen un enorme significado en la practica de la ingeniera. Esto se debe a que muchas leyes fsicas estn expresadas en trminos de la razn de cambio de una cantidad mas que en trminos de magnitud. Entre otros

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ejemplos tenemos los modelos de la prediccin demogrfica (razn de cambio de una poblacin) hasta la aceleracin de un cuerpo que cae ( razn de cambio de la velocidad)

dy y = f (t , y ) dt tde t.

Encontrar y como funcin

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1.2. Conceptos bsicos: cifra significativa, precisin, exactitud, incertidumbre y sesgo. El anlisis numrico proporciona mtodos computacionales para el estudio y solucin de problemas matemticos. Al derivar los mtodos numricos para la solucin de dichos Debido a que muchos

problemas, analizaremos los errores presentes en esos mtodos.

clculos son realizados en computadores digitales, es conveniente la discusin para la implementacin de los mtodos numricos como programas de computador. Una caracterstica de estos mtodos es que proporcionan slo resultados aproximados, por lo tanto el estudio del error es de inters central para el anlisis numrico. En la practica profesional, los errores pueden resultar costosos y en algunas ocasiones catastrficos. Se puede perder hasta la vida si una estructura o un dispositivo llega a fallar. El concepto de cifras o dgitos significativos se han desarrollado para designar ormalmente la confiabilidad de un valor numrico. Las cifras significativas de un numero son aquellas que pueden utilizarse en forma confiable. Se trata del numero de dgitos que se ofrecen con certeza, mas uno estimado. Estas cifras proporcionan informacin real relativa a la magnitud y precisin de las mediciones de una cantidad. El aumento de la cantidad de cifras significativas incrementa la precisin de una medicin. Los ceros no siempre son cifras significativas ya que pueden usarse solo para ubicar el punto decimal. Los nmeros 0.000 018 45 0.000 184 5 0.001 845 tienen cuatro cifras significativas. La incertidumbre (duda) se puede desechar usando la notacin cientfica en donde : 4.53 x 104

4.530 x 104 4.5300 x 104 muestran que el numero tiene tres, cuatro y cinco cifras significativas. El concepto de cifras significativas tiene dos implicaciones importantes en el estudio de los mtodos numricos:

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1. Los mtodos numricos dan resultados aproximados, por lo tanto, se deben de desarrollar criterios para especificar que tan confiables son dichos resultados. Una manera de hacerlo es en trminos de cifras significativas. Por ejemplo, es posible afirmar que la aproximacin es aceptable siempre y cuando sea correcta con cuatro cifras significativas. 2. Aunque ciertas cantidades tales como

, e, 7 representan cantidades especificas,

no se pueden expresar exactamente con un numero finitos de dgitos. Por ejemplo, = 3.14159265358979 ..

hasta el infinito. Como las computadoras tienen solo un numero finito de cifras significativas, tales nmeros jams se podrn representar con exactitud. A la

omisin del resto de cifras significativas se le conoce como error de redondeo.

Los errores asociados con los clculos y medidas se pueden caracterizar observando su precisin y exactitud. La precisin es el grado de concordancia dentro de un grupo de mediciones o instrumentos. Ya que el numero de cifras significativas que representa una cantidad o la extensin en las lecturas repetidas de un instrumento que mide alguna propiedad fsica. La precisin se compone de dos caractersticas: conformidad y el numero de cifras significativas con las cuales se puede realizar la medicin.

La exactitud se refiere al grado de aproximacin o conformidad al valor real de la cantidad medida. . Estos conceptos se pueden ilustrar grficamente usando una analoga con un buen tirador al blanco. Los agujeros en el centro del tiro al blanco de cada esquema de la figura siguiente se pueden imaginar como las predicciones en una tcnica numrica, mientras que el centro del blanco de cada esquema representa la verdad. La inexactitud (conocida tambin como sesgo) se define como un alejamiento sistemtico de la verdad. Por lo tanto, aunque las balas en la figura c estn ms juntas que las de la figura a, los dos casos son igualmente inexactos ya que ambos se centran en la esquina superior izquierda del blanco. La precisin, por el otro lado se refiere a la magnitud del esparcimiento de las balas. Por lo tanto, aunque las figuras b y d son igualmente exactas (esto es, igualmente centradas respecto al blanco), la ltima es ms precisa ya que las balas estn en un grupo ms compacto.

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Figura: Un ejemplo de un buen tirador ilustra el concepto de exactitud y precisin. a) Inexacto e impreciso; b) exacto e impreciso; e) inexacto y preciso; d) exacto y preciso.

1.3. Tipos de errores. 1.3.1. Definicin de error: error absoluto y relativo.

Definicin de Error. Es la discrepancia que existe entre la magnitud verdadera y la magnitud obtenida. Si p * es una aproximacin a p , el error se define como

E = p p*Sin embargo, para facilitar el manejo y el anlisis se emplea el error absoluto definido como

EA = p p *y el error relativo como

ER =y como por ciento de error a

p p* p

,

si p 0

ERP = ( ER )100

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Error aproximado

a =

aproximacionactual aproximacionanterior x100 aproximacionactual

Ejemplo: Suponga que el valor para un calculo debera ser

p = 0.10 x10 2 pero se obtuvo el resultado p * = 0.08 x10 2 , entoncesEA = 0.10 x10 2 0.08 x10 2 = 2 ER = 0.10 x10 2 0.08 x10 2 = 0. 2

0.10 x10 2 ERP = ERx100 = 20%1.3.2. Error por redondeo

Este error es el resultado de representar aproximadamente nmeros exactos. Es decir, se debe a la omisin de algunas de las cifras significativas de algn valor especfico. Un ejemplo de donde sucede se da en las computadoras o calculadoras, que solo guardan un nmero finito de cifras significativas, cuyo mximo de dgitos o de cifras significativas son de 8 a 14 lo cual obliga a redondear el valor real.

Los errores de redondeo se deben a que las computadoras solo guardan un numero finito de cifras significativas durante un calculo. Las computadoras realizan esta funcin de maneras diferentes. Por ejemplo, si solo se guardan siete cifras significativas, la computadora puede almacenar y usar como = 3.141592, omitiendo los trminos restantes y generando un error de redondeo. Ya que la mayor parte de las computadoras tienen entre 7 y 14 cifras significativas, los errores de redondeo pareceran no ser muy importantes. Sin embargo, hay dos razones del porque pueden resultar crticos en algunos mtodos numricos: 1. ciertos mtodos requieren cantidades extremadamente grandes para obtener una respuesta. Adems, estos clculos a menudo depende entre si. Estos es, los clculos posteriores son dependientes de los anteriores. En consecuencia, aunque

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un error de redondeo individual puede ser muy pequeo, el efecto de acumulacin en el transcurso de la gran cantidad de clculos puede ser significativos.

2.

el efecto del redondeo puede ser exagerado cuando se llevan a cabo operaciones algebraicas que emplean nmeros muy pequeos y muy grandes al mismo tiempo. Ya que este caso se presenta en muchos mtodos numricos, el error de redondeo puede resultar de mucha importancia.

En el redondeo se conservan las cifras significativas y el resto se descarta.

El ltimo dgito retenido se aumenta en uno si el primer dgito descartado es fuera as, el dgito conserva su valor. Ejemplo: la importancia de las cifras significativas de los clculos algebraicos. Determnese la diferencia de dos nmeros grandes: 32981108.1234

5 , si no

y 32981107.9989.

Enseguida, reptase los clculos pero incrementndose el minuendo en in 0.001%. Solucin: La diferencia de los nmeros es:

32981108.1234 32981107.9989 0.1245

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Ahora incrementando el minuendo en un 0.001 % se obtiene el numero 32 981 437.934 5 y la diferencia es:

32981437.9345 32981107.9989 329.3356Que es considerable diferente de la primera. De aqu que una modificacin en el minuendo, aparentemente insignificante, provoca una gran diferencia en el resultado. Ejemplo: Ilustraciones de las reglas de redondeo Los siguientes ejemplos tienen por objeto ilustrar las reglas de redondeo analizados. 1. Errores de redondeo 5.6723 10.406 7.3500 88.21650 1.25001 5.67 10.41 7.4 88.217 1.3 3 cifras significativas 4 cifras significativas 2 cifras significativas 5 cifras significativas 2 cifras significativas

2. suma y resta a) 2.2 1.768 = 0.432 = 0.4 b) 0.00468 x 10-7 -4

+ 8.3 x 10

228 x 10-6 =6.02468 x 10

4

= 6.0 x 10

-4

se

redondea hasta el 3 porque nos indica que es el valor para redondeo 3. multiplicacin y divisin a) Evalese 0.0642 x 4.8 = 0.30816 = 0.31 b) 945/0.3185 = 2967.032967= 2970

1.3.3.

Error por truncamiento.

Los errores de truncamiento son aquellos que resultan al usar una sucesin finita o infinita de pasos en el cual se realizan clculos para producir un resultado exacto, se trunca prematuramente despus de un cierto nmero de pasos.

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Truncar la siguiente cifra hasta centsimos, o hasta que sean dos las cifras significativas :

7 = 2 . 6457513117 2.64

Como podemos ver, en este tipo de error, lo que se hace es omitir algunas de las cifras de una cantidad, debido a que esta contiene muchos decimales, entonces se trunca o corta el nmero, por lo que tambin cae en un error. Los errores de truncamiento son aquellos que resultan al usar una aproximacin en lugar de un procedimiento matemtico exacto. Estos errores se regresan a la formulacin matemtica usada ampliamente en los mtodos numricos para expresar funciones en forma polinomial. La serie de Taylor. La serie de Taylor La serie de Taylor da una formulacin para predecir el valor de la funcin en xi +1 en trminos de la funcin y de sus derivadas en una vecindad al punto xi . Por ejemplo: el primer trmino de la serie es conocida como aproximacin de orden cero.

f ( xi +1 ) f ( xi )aproximacin de primer orden .

f ( xi +1 ) f ( xi ) + f ( xi )h donde h = ( xi +1 xi )aproximacin de segundo orden .

f ( xi +1 ) f ( xi ) + f ( xi )h +

f ( xi ) 2 h donde h = ( xi +1 xi ) 2!

De esta manera se puede agregar trminos adicionales para desarrollar la expansin completa de la serie de Taylor.

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f (xi+1 ) f (xi ) + f (xi )h +

f (xi ) 2 f (n) (xi ) n h + h + Rn 2! n!

Se incluye un termino residual para considerar todas los trminos desde n + 1 hasta el infinito:

Rn =

f ( n +1) ( ) n +1 h (n + 1)!

donde el subndice n indica que el residuo es de la aproximacin a n- simo orden y valor cualquiera de x que se encuentra en xi y xi +1

es un

1.3.4.

Error numrico total.

El error numrico total es la suma de los errores de truncamiento y de redondeo. ste es el medio para poder lograra minimizar los errores debido a redondeo, y esto se logra incrementando el nmero de cifras significativas.

Los errores por truncamiento pueden ser disminuidos cuando los errores por redondeo se incrementan. Para poder disminuir un componente del error numrico total, se debe

incrementar otro valor.

Errores humanos 1. Errores por equivocacin. Las equivocaciones ocurren a cualquier nivel del proceso de modelacin matemtica y puede contribuir con todas las otras componentes del error.

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Se puede evitar nicamente con el conocimiento de los principios fundamentales y con el cuidado sobre la aproximacin y diseo de la solucin a un problema.

2. Errores de formulacin. Los errores de formulacin o de modelamiento degeneran en lo que se podran considerar como un modelo matemtico incompleto. Un ejemplo de un error de formulacin imperceptible es el hecho de que la segunda ley de newton no explica los efectos relativistas.

3. Incertidumbre en los datos. Algunas veces se introducen errores en un anlisis debido a la incertidumbre de los datos fsicos sobre los que se basa el modelo.

1.4. Software de cmputo numrico En la actualidad existen dos tipos de usuarios de software. Por un lado estn aquellos que toman lo que se les da. Es decir, quienes se limitan a las capacidades que encuentran en el modo estndar de operacin del software existente. Por ejemplo, resultan muy sencillo resolver un sistema de ecuaciones lineales o generar graficas con valores x - y con EXCEL, Matlab o Mathcad . como este modo de operacin por lo comn requiere un mnimo esfuerzo, muchos de los usuarios adoptan este modo de operacin. Adems, como los diseadores de estos paquetes se anticipan a la mayora de las necesidades tpicas de los usuarios, muchos de los problemas pueden resolverse de esta manera. Pero , Que pasa cuando se presentan problemas que estn mas all de las capacidades estndar de dichas herramientas ? . en tal caso usted tiene dos alternativas. La primera seria buscar otro paquete y ver si sirve para resolver el problema. Esta es una de las razones por las que quisimos usar EXCEL como mathcad o Matlab. Como veremos , ninguno de ellos abarca todo y cada uno tiene sus ventajas. El segundo seria que es posible volverse un potente usuario si se aprende a escribir macros en EXCEL VBA ( visual basic for applications ). Programas computacionales Los programas computacionales son nicamente conjuntos de instrucciones que dirigen a la computadora para realizar cierta tarea.

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Visto desde esta perspectiva , reducimos toda complejidad a unos cuantos tpicos de programacin, que son: Representacin de informacin sencilla ( declaracin de constantes, variables y tipos) Representacin de informacin ms compleja ( estructura de datos, arreglos y registros) Formulas matemticas (asignacin, reglas de prioridad y funciones intrnsecas) Entrada / salida Representacin lgica ( secuencia, seleccin y repeticin) Programacin modular ( funciones y subrutinas) Programacin estructurada En esencia la programacin estructurada es un conjunto de reglas que desarrollan en el programa los hbitos para lograr un buen estilo. Aunque la programacin estructurada es bastante flexible para permitir considerable creatividad y expresin personal, sus reglas imponen suficientes restricciones para hacer que los programas resultantes sean muy superiores a sus versiones no estructuradas. Un diagrama de flujo es una representacin visual o grafica de un algoritmo. Emplea una serie de cajas o bloques y flechas, cada una de las cuales representa un determinado paso u operacin del algoritmo. Otra manera de expresar los algoritmos y que constituyen un puente de unin entre los diagramas de flujo y el cdigo de la computadora, es el pseudocodigo. Programacin modular Dividir una tarea o una materia complicada en partes mas accesibles es una manera de hacerla mas fcil. Siguiendo una misma idea, los programas de computacin se dividen en subprogramas mas pequeos, o mdulos que pueden desarrollar y probarse por separado. A esta forma de trabajar se le llama programacin modular. Excel. Excel es una hoja de calculo producida por Microsoft Inc. Las hojas de clculos son un tipo especial de software para matemticas que permite al usuarios ingresar y realizar clculos en renglones y columnas de datos. Como tales, son una versin computarizada de una gran hoja de contabilidad en la que se lleva a cabo una gran cantidad de clculos interrelacionados. Puesto que cuando se modifica un valor de la hoja , hay que actualizar todos los clculos , las hojas son ideales para hacer anlisis del tipo y que pasa si ... ?

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Excel cuenta con varios recursos numricos interconstruidos como resolucin de ecuaciones, ajuste de curvas y optimizacin. Incluye tambin VBA como un lenguaje de macro que sirve para hacer clculos numricos. Por ultim, tiene varias herramientas para la visualizacin como diagramas y graficas tridimensionales, que son un valiosos complemento para el anlisis numrico. Matlab Matlab es el principal producto de software de Mathworks, Inc. , fundada por los analistas numericos Cleve Moler y John N. Little. Como su nombre lo indica, Matlab se desarrollo originalmente como un laboratorio para matrices. Hoy , el elemento principal de Matlab sigue siento la matriz. La manipulacin matemtica de matrices se ha realizado muy adecuadamente en un ambiente interactivo fcil de utilizar. A esta manipulacin matricial, Matlab agrega varias funciones numricas, clculos simblicos y herramientas para visualizacin. Matlab tiene diferentes funciones y operadores que permiten la adecuada realizacin de los mtodos numericos que aqu desarrollamos. Mathcad El uso del software Mathcad 2001 Professional supone un paso adelante para clarificar y potenciar el aprendizaje de conceptos, tcnicas e ideas matemticas de forma que sean de clara utilidad prctica, tanto de cara al desarrollo del currculo acadmico como de cualquier actividad profesional. En este sentido, el uso adecuado de este programa no slo facilita la adquisicin de conceptos clave sino que tambin fomenta la creatividad dentro del mbito matemtico, facilitando la contextualizacin de las asignaturas cuantitativas y ofreciendo cientos de operadores y funciones incorporadas para resolver problemas tcnicos, desde los ms simples hasta los ms complicados. Mathcad 2001 Professional es un software de clculo, extremadamente verstil y potente como lenguaje de programacin. Contiene una exhaustiva biblioteca de funciones estadsticas y de anlisis, una coleccin de potentes algoritmos para resolucin problemas as como herramientas de manipulacin de matrices. La principal caracterstica de Mathcad es que resulta tan fcil de usar como las conocidas hojas de clculo que pueden encontrarse en el mercado. Y, sin embargo, no es necesario aprender ninguna sintaxis complicada en Mathcad una ecuacin aparece tal y como se podra ver en una pizarra o en un libro.

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Algoritmos y estabilidad. El tema fundamental de esta asignatura es el estudio, seleccin y aplicacin de algoritmos, que se definen como secuencias de operaciones algebraicas y lgicas para obtener la solucin de un problema. Por lo general, se dispone de varios algoritmos para resolver un problema particular; unos de los criterios de seleccin es la estabilidad del algoritmo; esto es, que a pequeos errores de los valores manejados se obtengan pequeos errores en los resultados finales . 1.5. Mtodos iterativos. Ejemplo: Estimacin del error para mtodos iterativos Enunciado del problema : en matemticas, a menudo se puede representa las funciones mediante una serie infinita. Por ejemplo la funcin exponencial se puede calcular usando:

x 2 x3 x4 e = 1+ x + + + + ... 2! 3! 4!x

Mientras mas trminos se le agreguen a la serie , la aproximacin se acercara mas y mas al valor de x . la ecuacin anterior se le llama serie de Maclaurin. Empezando con el primer termino , e x = 1, y agregando un termino a la vez, estmese el valor de e0.5

. despus que se agregue cada termin, calclense los ERP y

a . Ntese

que el valor real de

e 0.5 = 1.648721271

agrguense trminos hasta que

a 0 ; entonces la raz se encuentra dentro del subintervalo superior oderecho. Por lo tanto, tome

x1 = xr y continu en el paso 2.

c) f ( x1 ) f ( xr ) = 0 ; la raz es igual a xr ; termina el calculo.Paso 4: Fin

Problema: Utilice el mtodo de biseccin para encontrar la raz real de la siguiente funcin:x f( x) := e x error :=

0.001

x1 :=

0

xu :=

1

Datos n = [ln (xu - x1 ) - ln ( error)] / ln (2) n = numero de iteraciones x1 = valor de x inferior xu = valor de x superior xr = valor de x media (aproximacion de la raz) f(x1) = funcion de x inferior f(xu) = funcion de x superior f(xr) = funcion de x media

Algoritmo Intervalo [x1,xu] f(x1)*f(xu) < 0 , existe raz xr = (x1 + xu ) / 2 f(x1)*f(xr) < 0, intevalo izquierdo f(x1)*f(xr) > 0, intevalo Derecho

Calculo :x f( x) := e x x1 :=

x :=

0 , 0.001.. 11

0

xu :=

1

f( x1) f( xu ) = 0.632120559 n := ln

si tiene raz n=

( 1 0) ln( 0.001) ln( 2)

10

f( x)

0

0.5

1

43

UNIDAD II / METODO DE SOLUCION DE ECUACIONES

s :=

x1 xu

0 1 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 , 8 , 9 , 10x1 + xu

for k xr

c e if c

0x1 + xu

xr

2

tmp xr x1 tmp xr if c = xr s=

0 0.567382813

44


Problema 2: Utilice el metodo de biseccion para obtener la ra real de la funcin

f ( x ) := cos ( x ) ln ( x )

error

:=

0.001

x1 :=

1

xu :=

2

Datos n = [ln (xu - x1 ) - ln ( error)] / ln (2) n = numero de iteraciones x1 = valor de x inferior xu = valor de x superior xr = valor de x media (aproximacion de la raz) f(x1) = funcion de x inferior f(xu) = funcion de x superior f(xr) = funcion de x media


Cal culo :f ( x ) := cos ( x ) ln ( x ) x1 :=

x :=

1 , 1.0011

..

2

1

xu :=

2

f ( x1 ) f ( xu ) = 0.599354115 n := ln

si tiene raz n =

(2

1)ln

ln

(2 )

( 0.001 )

10

f( x )

1 1

1.5

2

s :=

x1 xu for

1 2 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 , 8 , 9 , 10x1 + xu

2x

k xr

2 0x1 + xu

c ( cos ( x1 ) ln ( x1 ) ) ( cos ( xr ) ln ( xr ) ) if c

0x1 + xu

xr

2

tmp xr x1 tmp xr xr s = if c =

0 1.303710938

45


Problema: La ecuacin de estado de Van der Walls para un gas real es:

a P + 2 (V b ) = RT V Donde :

P = presin en atm ; T = temperatura en K;R = constante universal de los gases en atm L / (gmol K) = 0.08205

V = volumen molar del gas en L / gmol;

46


a, b = constantes particulares para cada gasCalcule V a 80 C (353.2 K) para una presin de 10 atm

Gas

a 0.03412

b 0.02370

He

Realice los clculos necesarios para resolver esta ecuacin usando como intervalo inicial

V1 = 0.8v , Vu = 1.2v ,Donde

v = RT / P . Con E a < 0.01

Solucin:

v :=

R T p

p := 10

R := 0.08205 b := 0.02370

T := 353.2

a := 0.03412

v1 := 0.8 v v1 = 2.3184048 f ( V) := p V

vu := 1.2 v vu = 3.4776072

( 3) (pb + RT)V2 + aV absi tiene razAlgoritmo Intervalo [x1,xu] f(x1)*f(xu) < 0 , existe raz xr = (x1 + xu ) / 2 f(x1)*f(xr) < 0, intevalo izquierdo f(x1)*f(xr) > 0, intevalo Derecho

f ( v1) f ( vu ) = 2178.6232848 Datosn = [ln (xu - x1 ) - ln ( error)] / ln (2) n = numero de iteraciones x1 = valor de x inferior xu = valor de x superior xr = valor de x media (aproximacion de la raz) f(x1) = funcion de x inferior f(xu) = funcion de x superior f(xr) = funcion de x media

n :=

ln( vu v1) ln( 0.01) ln( 2)

n=7

47


s :=

v1 2.3184048 vu 3.4776072 for k 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 vr c v1 + vu 2

p v13 ( p b + R T) v12 + a v1 a b p vr3 ( p b + R T) vr2 + a vr a b v1 + vu 2

(

)

(

)

if c < 0 vr

tmp vr vu tmp if c > 0 vr v1 + vu 2

tmp vr v1 tmp vr if c vr s = 2.925174806 0

2.3. Mtodo de interpolacin

2.3.1.

Mtodo de Newton Raphson

Calculo de races por el mtodo de newton Es una de las formulas mas ampliamente usadas para localizar races, si el valor inicial de la raz es Xi, entonces se puede extender una tangente desde el punto [Xi, f (Xi) ]. El punto donde esta tangente cruza el eje X, representa una aproximacin mejorada de la raz.

El mtodo de Newton-Raphson se puede obtener sobre la base de una interpretacin geomtrica, la primera derivada en X es equivalente a la pendiente

48


f (x i ) =

f (x i ) 0 xi xi+1

Que se puede ordenar para obtener

xi+1 = xi

f (x i ) f (x i )

La cual es conocida como frmula de Newton - Raphson.

Ejemplo . Utilice el mtodo de Newton Raphson para obtener la raz real de la funcin

f ( x) = x 3 + 2 x 2 + 10 x 20 xi +1 xi = 10 3

49


Clculos en mathcadf ( x) := x + 2x + 10 x 20 df ( x) := 3x + 4x + 10 x := 10 2 3 2 2 d f ( x) 3 x + 4 x + 10 dx

x

i+ 1

:= x i

( i) df ( x ) if x

i := 0 .. 5

x =i 1 1.41176 1.36934 1.36881 1.36881 1.36881

x

i+ 1

x

i

=

f x

( i) =-7 0.918 0.011 1.70410 -6 3.90810 -14 0

0.412 0.042 5.28310 -4 8.0810 -8 1.77610 -15 0

Clculos de Matlab

Ejemplo: Use el mtodo de Newton Raphson para encontrar la raz de la ecuacin

f ( x) =.

3 x 2 18 x + 15 , con un punto inicial de 8 , con un error de aproximacin Ea = 0.01 5

50


2.3.2.

Mtodo de la secante

Un problema fuerte en la implementacin del mtodo de newton Raphson es la evaluacin de la derivada. Aunque esto no es un inconveniente para los polinomio y para muchas otras funciones, existen algunas cuyas derivadas pueden ser extremadamente difciles de evaluar. En estos casos la derivada se puede aproximar mediante una diferencia dividida, como la figura

Esquema grfico del mtodo de la secante. Esta tcnica es similar a la del mtodo de Newton - Raphson en el sentido de que una aproximacin a la raz se calcula extrapolando

51


una tangente de la funcin hasta el eje x. Sin embargo, el metodo de la secante usa una diefrencia en vez de la derivada para aproximar la pendiente.

Por lo tanto el mtodo de la secante

xi +1 = xi

(xi xi 1 ) f (xi ) f ( xi ) f ( xi 1 )

xi +1 xi <

Ejemplo . Utilice el mtodo de la secante para obtener la raz real de la funcin

f ( x) = x 3 + 2 x 2 + 10 x 20

xi +1 xi = 10 3

clculos en Mathcadf ( x) := x + 2x + 10x 20 x := 00 3 2

x := 11

i := 0 .. 5 k := 1 .. 6

x

k+ 1

:= x k

(xk xk1)f(xk) (f(xk) f(xk1))xi+ 1

x =i 0 1 1.53846 1.35031 1.36792 1.36881

x =i 1

f x

( k) =-7 3.75967228 -0.388136149 -0.018786791 1.00857988810 -4 -2.60078039110 -8

0.538461538 0.188150612 0.017606419 0.000895543 0.000004782

52


Clculos en Matlab

Otra forma de resolver en Matlab

53


clculos en EXCEL.

2.4. Aplicaciones Problema: utilice el mtodo de biseccin: La ecuacin de estado de Van der Walls para un gas real es:

a P + 2 (V b ) = RT V donde :

P = presin en atm ; T = temperatura en K;

R = constante universal de los gases en atm L / (gmol K) = 0.08205

V = volumen molar del gas en L / gmol ;a, b = constantes particulares para cada gasCalcule V a 80 C (353.2 K) para una presin de 10 atm

Gas

A 0.03412

b 0.02370

He


V1 = 0.8v , Vu = 1.2v , donde v = RT / P . Con E a < 0.01

54


v :=

R T p

p := 10

R := 0.08205 b := 0.02370

T := 353.2

a := 0.03412

v1 := 0.8 v v1 = 2.3184048 f ( V) := p V

vu := 1.2 v vu = 3.4776072

( 3) (pb + RT)V2 + aV absi tiene razAlgoritmo Intervalo [x1,xu] f(x1)*f(xu) < 0 , existe raz xr = (x1 + xu ) / 2 f(x1)*f(xr) < 0, intevalo izquierdo f(x1)*f(xr) > 0, intevalo Derecho

f ( v1) f ( vu ) = 2178.6232848 Datosn = [ln (xu - x1 ) - ln ( error)] / ln (2) n = numero de iteraciones x1 = valor de x inferior xu = valor de x superior xr = valor de x media (aproximacion de la raz) f(x1) = funcion de x inferior f(xu) = funcion de x superior f(xr) = funcion de x media

n :=

ln( vu v1) ln( 0.01) ln( 2)

n=7

55


s :=

v1 2.3184048 vu 3.4776072 for k 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 vr c v1 + vu 2

p v13 ( p b + R T) v12 + a v1 a b p vr3 ( p b + R T) vr2 + a vr a b v1 + vu 2

(

)

(

)

if c < 0 vr

tmp vr vu tmp if c > 0 vr v1 + vu 2

tmp vr v1 tmp vr if c vr s = 2.925174806 0

Problema : utilice el mtodo de biseccin: La ecuacin de estado de Van der Walls para un gas real es:

a P + 2 (V b ) = RT V donde :

P = presin en atm ; T = temperatura en K; R = constante universal de los gases en atm L / (gmol K) = 0.08205

V = volumen molar del gas en L / gmol ;a, b = constantes particulares para cada gasCalcule V a 80 C (353.2 K) para una presin de 30 atm

56


Gas

a 0.03412

b 0.02370

He


V1 = 0.8v , Vu = 1.2v ,Donde

v = RT / P . Con E a < 0.01

v :=

R T p

p := 30

R := 0.08205 b := 0.02370

T := 353.2

a := 0.03412 v = 0.966002

v1 := 0.8 v v1 = 0.7728016

vu := 1.2 v vu = 1.1592024

f ( V) := p V

( 3) (pb + RT)V2 + aV absi tiene raz

f ( v1) f ( vu ) = 26.5288152

Datosn = [ln (xu - x1 ) - ln ( error)] / ln (2) n = numero de iteraciones x1 = valor de x inferior xu = valor de x superior xr = valor de x media (aproximacion de la raz) f(x1) = funcion de x inferior f(xu) = funcion de x superior f(xr) = funcion de x media


n :=

ln ( vu v1 ) ln ( 0.01) ln ( 2)

n =5

57

UNIDAD II / METODO DE SOLUC O CION DE EC CUACIONES S

s :=

v1 0. .7728016 vu 1.15922024 for k 1 , 2 , 3 , 4 , 5 vr c v1 + vu 2

p v1 3 ( p b + R T) v1 2 + a v1 a b p vr 3 ( p b + R T) vr 2 + a vr a b v1 + vu 2

(

)

(

)

if c < 0 v vr

t tmp vr v tmp vu if c > 0 v vr v1 + vu 2

t tmp vr v tmp v1 if vr i c vr s = 0.978086503 0

Problema: Para obtener la temperatura d burbuja de una mezcla de CCl4 y CF4 en equilibrio P de e F o con c su vapor, se lleg a la ecuacin:

Aplicando un mtodo iterat A tivo de dos p puntos, encue entre la tempe eratura de burbuja con una a aproximacin de 10-2 aplica a f(T). a ado

Solucin: S

58 8


A continuacin se muestra la hoja de MathCAD con que se resuelve este problema usando el mtodo de posicin falsa. Previamente a lo mostrado, se hicieron algunas evaluaciones de f(T) para obtener un intervalo de bsqueda relativamente pequeo.

A continuacin se muestra la hoja de MATLAB con que se resuelve este problema usando el mtodo de posicin falsa. Previamente a lo mostrado, se hicieron algunas evaluaciones de f(T) para obtener un intervalo de bsqueda relativamente pequeo.

59


60

UNIDAD 3METODOS DE SOLUCION DE SISTEMAS DE ECUACIONESObjetivo: Implementara los mtodos numricos de solucin de sistemas de ecuaciones, con apoyo de un lenguaje de programacin.

UNIDAD III / METODOS DE SOLUCION SISTEMAS DE ECUACIONES

3.1 Mtodos Iterativos

3.1.1.

Jacobi

El mtodo de Jacobi es un proceso simple de iteraciones de punto fijo en la solucin de races de una ecuacin. La iteracin de punto fijo tiene dos problemas fundamentales : Algunas veces no converge Cuando lo hace, es a menudo, muy lento.

El mtodo Jacobi tambin puede tener esas fallas. Esquema grafico que muestra el mtodo de iteracin de Jacobi, en la solucin de ecuaciones algebraicas lineales simultaneas.

a ,i =

xik xik 1 * 100 < s xik

Ejemplo : resuelva el siguiente sistema por el mtodo de Jacobi

4 x1 x 2 = 1 x1 + 4 x 2 x3 = 1 x 2 + 4 x3 x 4 = 1 x3 + 4 x 4 = 1

62


con

s = 0.01

a ,i =


despejando las ecuaciones

x1 =

x2 + 1 4

x2 =

x1 + x3 + 1 4

x3 =

x2 + x4 + 1 4

x4 =

x3 + 1 4

Otro manera de poder resolverse utilizando otro criterio de paro o de convergencia

x (k +1) x (k ) = d 1

d1 =

(x

k +1 1

x1k

) + (x2

k +1 2

k x2

)

2

k k + ... + xn +1 xn

(

)

2

Problemas: Resolver los siguientes sistemas de ecuaciones utilizando el mtodo de Jacobi con

= 10 2

63

UNIDAD III / METODO DE SOLU OS UCION SIST TEMAS DE E ECUACIONE ES

x1 + 3 x 2 + 5 x3 + 2 x 4 = 10 x1 + 9 x 2 + 8 x3 + 4 x 4 = 15 x2 + x4 = 2 2 x1 + x 2 + x3 x 4 = 3

3.1.2. 3

Gauss Seidel

Los mtodos iterativos o aproximad L s dos proveen una altern n nativa en los mtodos de eliminacin. El mtodo de Gauss-Seidel es el m e todo iterativo ms com nmente usad do. Suponga que se da un con S e njunto de n ec cuaciones:

a ,i =


para todas las i, donde j y j-1 son las ite p eraciones actuales y previa as. Como cada nuevo valor de x se calcula con el mtodo de Gauss-Seide este se u C el, usa inmediatamen en la sigu i nte uiente ecuaci para deter n rminar otro va de x. De esta manera, si alor la l solucin es convergente se emplear la mejor es s e, ra stimacin posible.

64

UNIDAD III / METODO DE SOLU OS UCION SIST TEMAS DE E ECUACIONE ES

Ejemplo : res suelva el sigu uiente sistema por el mto de Gauss Seidel a odo s

4 x1 x 2 = 1 x1 + 4 x 2 x3 = 1 x 2 + 4 x3 x 4 = 1 x3 + 4 x 4 = 1Despejando las ecuacione D es

x1 =

x2 + 1 4

x2 =

x1 + x3 + 1 4

x3 =

x2 + x4 + 1 4

x4 =

x3 + 1 4

Otro manera de poder re O a esolverse utilizando otro criterio de p paro o de con nvergencia

x ( k +1) x (k ) = d 1

d1 =

(x

k +1 1

k k k k x1k + x2 +1 x2 + ... + xn +1 xn

) (2

)

2

(

)

2

65


Problemas : Resolver los siguientes sistemas de ecuaciones utilizando el mtodo de Gauss Seidel con

= 10 2 x1 + 3 x 2 + 5 x3 + 2 x 4 = 10 x1 + 9 x 2 + 8 x3 + 4 x 4 = 15 x2 + x4 = 2 2 x1 + x 2 + x3 x 4 = 3

3.2. Sistemas de ecuaciones no lineales

3.2.1.

Mtodo iterativo secuencial

A continuacin se dan ejemplos: a)2 f1 ( x1 , x 2 ) = x12 + x 2 4 = 0

f 2 ( x1 , x 2 ) = x 2 x12 = 0b)

f1 ( x1, x 2 ) = 10( x 2 x12 ) = 0 f 2 ( x1 , x 2 ) = 1 x1 = 0

66


c)

f ( x1 , x 2, x3 ) = x1 x 2 x3 10 x13 + x 2 = 0 f ( x1 , x 2, x3 ) = x1 + 2 x 2 x3 + sen( x 2 ) 15 = 02 3 f ( x1 , x 2, x3 ) = x 2 5 x1 x3 3 x3 + 3 = 0

Ejemplo: Encuentre una solucin del sistema de ecuaciones no lineales

f 1 (x , y ) = x 2 10x + y 2 + 8 = 0 f 2 (x , y ) = xy 2 + x 10y + 8 = 0Solucin: Despejar x Despejar y

x =

x2 +y2 +810

y =

xy 2 + x + 810

Con la notacin de la ecuacin :

x

k +1

( x k ) 2 + (y k ) 2 + 8 = 10

y

k +1

=

x k (y k ) 2 + (y k ) 2 + 810

con los valores iniciales Primera iteracin

x 0 = 0, y 0 = 0,

se inicia el proceso iterativo

x1 =

02 + 02 + 8 = 0.8 10

y1 =

0(0) 2 + 0 + 8 = 0.8 10

Segunda iteracin

x2 =

(0.8) 2 + (0.8) 2 + 8 = 0.928 10

y2 =

0.8(0.8) 2 + 0.8 + 8 = 0.9312 10

Al continuar el proceso iterativo, se muestra la siguiente sucesin de vectores:

67


k0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13

xk0.00000 0.80000 0.92800 0.97283 0.98937 0.99578 0.99832 0.99933 0.99973 0.99989 0.99996 0.99998 0.99999 1.00000

yk0.00000 0.80000 0.93120 0.97327 0.98944 0.99579 0.99832 0.99933 0.99973 0.99989 0.99996 0.99998 0.99999 1.00000

Usando mathcads := x 0 y0 for k 0 .. 12 xr x + y + 8 10 x y + x + 8 102 2 2

xq

tmp1 xr tmp2 xq x tmp1 y tmp2 s =1

68


Para observar la convergencia del proceso iterativo, se pudieron usar los criterios, como distancia entre dos vectores consecutivos, o bien las distancias componente a componente de dos vectores consecutivos. Una condicin suficiente aunque no necesaria , para asegurar la convergencia es que

g1 g 2 g g 2 + M < 1; 1 + M

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