ANUAL SAN MARCOS GEOMETRÍA.pdf

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SEGMENTOSSEGMENTOSSe llama segmento de recta a la porción de recta limitadapor dos puntos llamados extremos.

El segmento mostrado en la figura se denota o ,AB BAlos puntos “A” y “B” son los extremos.La medida del segmento AB se denota por: m o AB,ABasí en la figura:

m = AB = dAB

Segmentos congruentes.- Son aquellos que tienen igualmedida.

Así, si y son congruentes, escribiremos: ,AB CD AB CDo simplemente: AB = CD.

Punto medio de un segmentoEs aquel que lo divide en dos congruentes. Se dice quedicho punto biseca al segmento.

Si “M” es punto medio de , entonces:AB

o AM = MB =AM MB AB2

Puntos colinealesSon los que pertenecen a una misma recta. Por ejemplolos puntos A, B, C y D contenidos en la recta “r”. Ademássi se marcan sobre la recta en el orden en que semencionan, diremos que A, B, C y D son consecutivos.

Operaciones con las medidas de los segmentos

Sean A, B y C tres puntos consecutivos de una recta,luego tendremos:

AC = AB + BC o x = a + bAB = AC - BC o a = x - b

PROBLEMAS PROPUESTOSPROBLEMAS PROPUESTOS

01. En una recta se tienen los puntos consecutivos A, By C, tal que AB=x+a; BC=x-a y AC=6. Calcular “x”.A) 2 B) 3 C) 5D) 4 E) 1

02. En una recta se ubican los puntos consecutivos A, By C tales que AB=10 y BC=8. Si “M” es punto mediode , calcular MC.ABA) 12 B) 13 C) 14D) 15 E) 16

03. En una recta se ubican los puntos consecutivos A, B,C y D tal que AD=25, AC=16 y BD=14. Calcular BC.A) 4 B) 5 C) 6D) 8 E) 10

04. Calcular BC, si en la figura se cumple que:2(AC) + 3(AB) = 3(AC).

A) 5 B) 4 C) 6D) 3 E) 8

05. Sean A, B y C puntos colineales y consecutivos, talesque “M” es punto medio de . Si AC+BC=30,ABcalcular MC.

A) 16 B) 18 C) 10D) 15 E) 20

06. En una recta se ubican los puntos consecutivos A, B,C y D; tales que “B” es punto medio de . CalcularACBD, si AC.BD+CD2=8+AB2.A) 8 B) C) 32 2D) 4 E) 2 2

07. Se tiene los puntos A, B, C y D colineales yconsecutivos tales que AB=6 y AB.BD=AC.CD.Calcular CD.A) 3 B) 3 C) 62D) 6 E) 122

08. Dado el , “M” y “N” son puntos medios de yAB AB respectivamente. Si AN.MB=6, calcular AN.AM

A) 1 B) C)2 3D) 1,5 E) 3

09. En una recta se ubican los puntos consecutivos A, B,

C y D. Calcular AD, si: AC+BD=20 y BC= AD3

A) 20 B) 25 C) 12D) 10 E) 15

ASOCIACIÓN EDUCATIVA “PITÁGORAS” Geometría

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10. En una recta se ubican los puntos consecutivos A, B,C y D; siendo AB=3 y CD=6. Si “M” es el punto mediode y BM.MD=7, calcular AM.BCA) 2 B) 5 C) 3,5D) 4 E) 6

11. Se tiene los puntos colineales y consecutivos A, O, My B; de modo que AO=OB. Calcular el valor de la

siguiente expresión AMMBOM

A) 1/2 B) 1 C) 3/2D) 2 E) 5/2

12. En una recta se ubican los puntos consecutivos A, B,C y D; siendo CD=3AB y AD+3BC=60. Calcular AC.A) 45 B) 30 C) 15D) 10 E) 20

13. En una recta se ubican los puntos consecutivos A, B,C, D y E tales que AC=12, BE=22, CE=15 y AD=20.Calcular DE-AB.A) 1 B) 3 C) 5D) 6 E) 2

14. En un segmento se ubica un punto “B”, tal queACBC-AB=6. Calcular la distancia del punto “B” al puntomedio de .ACA) 1 B) 2 C) 3D) 4 E) 5

15. En una recta se tienen los puntos consecutivos A, B,C y D de modo que AB=2BC=3CD. Si AD=220,calcular BC.A) 50 B) 60 C) 70D) 80 E) 90

16. Se tiene los puntos colineales y consecutivos A, B, C,tales que “M” y “N” son puntos medios de yAB BCrespectivamente. Si 3MN=2MC y AB-BN=2, calcularAC.A) 2 B) 4 C) 6D) 8 E) 10

17. Sean los puntos consecutivos y colineales F, A, N, I;

siendo “N” punto medio de . Calcular .AI FA 2FI 2

AN 2FN 2

A) 1 B) 0,5 C) 2D) 1,5 E) 3

18. En una recta se ubican los puntos consecutivos A, By C tal que AC=60. Si M, N, P y Q son puntosmedios de , , y respectivamente,AB BC AN MCcalcular PQ.A) 10 B) 12 C) 15D) 20 E) 30

19. Se tiene los puntos colineales y consecutivos P, Q, Ry S, tal que “R” es punto medio de . Calcular PR,QS

si PQ.PS+ =169QS2

4A) 13 B) 14 C) 19D) 32 E) 69

20. Se tiene los puntos A, B, C y D colineales yconsecutivos, tales que AB=a, CD=b yAB.BD+AC.CD=AD.BC. Calcular BC.

A) B) 2 C)ab2

ab 2abab

D) E) (a-b)22ab

TAREATAREA

01. En una línea recta se han ubicado tres puntosdiferentes P, R y S, de tal manera que el punto Rpertenece al segmento PS. ¿Cuál de las siguientesafirmaciones es verdadera?A) El punto P pertenece a .RSB) El punto S pertenece a .PRC) Todos los puntos de pertenecen a .RS PSD) Todos los puntos de pertenecen a .PR RSE) Ninguna de las anteriores.

02. Sean A, B, C y D puntos consecutivos de una recta,tales que: AB=BD=3CD. Calcular CD, si AD=12.A) 2 B) 3 C) 4D) 5 E) 6

03. Se tiene los puntos A, B y C colineales yconsecutivos, tales que AB=8 y BC=14. Si “M” es elpunto medio de , calcular BM.ACA) 2 B) 3 C) 4D) 5 E) 6

04. Se tiene los puntos consecutivos A, B, C y D en unarecta tal que AC=BD=6 y AD=10. Calcular BC.A) 1 B) 2 C) 3D) 4 E) 5

05. En una recta se ubican los puntos consecutivos A, By C; tal que “M” es el punto medio de . CalcularBCAM, si AB+AC=12.A) 3 B) 4 C) 6D) 3 E) 42 3

06. En una recta se tiene los puntos consecutivos M, O,A y B tal que OA=6, OB=7. Calcular MO, si:

MA+4(OA)-2(MB)=5A) 10 B) 8 C) 6D) 11 E) 2

07. En una recta se ubican los puntos consecutivos A, B,M, C y D, tal que “M” es punto medio de yBCAC+2CD-AB=30. Calcular MD.A) 10 B) 12 C) 15D) 18 E) 14

08. Se tiene el segmento y en él se ubican losADpuntos B y C tal que AB<AC. Si AC=12 y BD=16,calcular la medida del segmento que une los puntosmedios de y .AB CDA) 10 B) 11 C) 12D) 13 E) 14

09. En una línea recta se ubican los puntos consecutivosA, B, C y D tales que AB=2BC, CD=2AB y AD=28.Calcular BC.A) 3 B) 4 C) 5D) 6 E) 7

10. ¿Cuál de las siguientes expresiones representa elnúmero máximo de segmentos que determinan "n"puntos situados en una recta?

A) n(n+1) B) C)n(n1)2

n(n1)2

D) 2n(n-2) E) 2n(n-1)


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ÁNGULOSÁNGULOSDEFINICIÓN.- Se llama ángulo a la reunión de dos rayosque tienen el mismo origen pero que no están en lamisma recta. Los dos rayos se llaman lados del ángulo ysu origen se llama vértice.

En el gráfico adjunto y son los lados y “O” es elOA

OB

vértice del ángulo.El ángulo mostrado en la figura se denota por:AOB oBOA, es indiferente que lado se nombra primero. Paraabreviar podemos escribir sencillamente O.La medida del ángulo AOB se denota por: mAOB, así enla figura:

mAOB=α

NOTA: La medida de un ángulo geométrico es un númeroreal y positivo comprendido entre 0 y 180

CONGRUENCIA DE ÁNGULOSDos ángulos son congruentes si tienen la misma medida.Así por ejemplo:

Si mAOB=mMNL, entonces el AOB es congruentecon el MNL y se denota:

AOB MNL

BISECTRIZ DE UN ÁNGULOEs el rayo cuyo origen es el vértice del ángulo y que lodivide en dos ángulos congruentes.

Para la figura adjunta diremos que biseca al ánguloOM

AOB, si:AOM MOB o

mAOM = mMOB = mAOB2

CLASIFICACIÓN DE LOS ÁNGULOS CONVEXOS

a) Ángulo agudo.- Es aquel cuya medida estácomprendida entre 0 y 90

0 < α < 90

b) Ángulo recto.- Es aquel cuya medida mide 90.

Decimos que y son perpendiculares y escribimos:OA

OB

OA

OB

c) Ángulo obtuso.- Es aquel cuya medida estácomprendida entre 90 y 180.

90 < α < 180

Ángulos complementariosSon dos ángulos cuyas medidas suman 90. Se dice queuno cualquiera de ellos es el complemento del otro.Si “C” se lee Complemento

C(α) = 90 - α α < 90

Ángulos suplementariosSon dos ángulos cuyas medidas suman 180. Se dice queuno cualquiera de ellos es el suplemento del otro.Si “S” se lee Suplemento

S(α) = 180 - α

Ángulos adyacentesSon dos ángulos que tienen el mismo vértice y un ladocomún, además los lados no comunes están situados endistintos semiplanos determinados por el lado común.

Ángulos opuestos por el vérticeSon dos ángulos tales que los lados de uno son los rayosopuestos de los lados del otro.


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α = β

OBSERVACIONES:

01. Todo punto de una recta determina en ella dos rayosopuestos.

Así en la figura adjunta y son rayosOA

OB

opuestos.

02. Ángulos adyacentes suplementarios (Par lineal)

α + β = 180

03. Ángulos formados a un mismo lado de una recta

α + β + θ + ω = 180

04. Ángulos formados alrededor de un punto.

α + β + θ + ω + φ = 180


01. De la figura calcular el valor de “x”, si la mAOD=120y la mBOC=20.

A) 10 B) 15 C) 20D) 25 E) 30

02. En la figura mAOX=130 y es bisectriz delOX

ángulo BOC. Calcular la mAOB.

A) 60 B) 50 C) 70D) 80 E) 100

03. Si a la medida de un ángulo se le disminuye susuplemento resulta 20. ¿Cuánto mide dicho ángulo?A) 100 B) 80 C) 20D) 180 E) 130

04. Las medidas de dos ángulos complementarios estánen la relación de 4 a 5. Calcular el suplemento delmayor.

A) 100 B) 120 C) 130D) 140 E) 170

05. Se tiene los ángulos consecutivos AOB, BOC y CODcuyas medidas son proporcionales a 4; 3 y 5respectivamente, tal que la mAOD=120. Calcular lamAOC.

A) 40 B) 50 C) 60D) 70 E) 80

06. Se tiene los ángulos consecutivos AOB, BOC y COD,tales que: mAOC=45, mBOD=65 y mAOD=100.Calcular la mBOC.

A) 10 B) 15 C) 20D) 25 E) 30

07. Del gráfico calcular “x”.

A) 110 B) 120 C) 130D) 135 E) 140

08. Si mAOC+mBOD=130, calcular “x”.

A) 30 B) 20 C) 40D) 60 E) 50


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09. La suma de las medidas de dos ángulos es 70 y elcomplemento del primero es el doble del segundoángulo. Calcular la diferencia de las medidas dedichos ángulos.A) 30 B) 45 C) 60D) 70 E) 80

10. Calcular “x”, si θ-β=6.

A) 54 B) 57 C) 60D) 63 E) 66

11. Se tiene dos ángulos consecutivos AOB y BOC de

manera que es bisectriz del ángulo BOC. Si laOM

mAOB+mAOC=136, calcular la mAOM.A) 44 B) 58 C) 72D) 68 E) 88

12. Si el complemento de “α” y el suplemento de “θ”suman 70, calcular “x”.

A) 90 B) 120 C) 110D) 150 E) 160

13. Se tiene los rayos coplanarios OA, OB, OC, OD y

OE; tales que es bisectriz del ángulo AOC,OB

mAOB+mAOE=81 y mCOD=2mDOE. Calcularla mAOD.A) 27 B) 40,5 C) 36D) 54 E) 48

14. Se tiene los ángulos consecutivos AOB y BOC, tal

que es bisectriz del ángulo AOC. Si:OM

mBOC-mAOB=50, calcular la mBOM.A) 20 B) 25 C) 40D) 45 E) 50

15. Calcular la mAOB, si Sα+Cβ=SCθ+40.

A) 130 B) 150 C) 120D) 140 E) 100

16. Se tiene los ángulos consecutivos AOB, BOC y CODtal que sus medidas suman 180, además lamBOC=40. Calcular la medida del ángulo queforman las bisectrices de los ángulos AOC y BOD.A) 70 B) 80 C) 40D) 50 E) 45

17. Si a uno de dos ángulos suplementarios se ledisminuye su complemento para agregárselo al otro;éste nuevo ángulo resulta ser ocho veces lo quequeda del primero. Calcular el menor de dichosángulos suplementarios.A) 45 B) 50 C) 55D) 60 E) 70

18. Se tiene los ángulos adyacentes suplementarios AOB

y BOC, se traza las bisectrices y de losOM

ON

ángulos AON y BOC respectivamente. Si lamMOB=60, calcular la mMOC.A) 120 B) 110 C) 90D) 100 E) 105

19. Sean los ángulos consecutivos AOB y BOC, tal quemBOC=mAOB+36. Se trazan las bisectrices OX,OY y OZ de los ángulos AOB, BOC y XOYrespectivamente. Calcular la mBOZ.A) 8 B) 9 C) 12D) 18 E) 27

20. Se tiene un ángulo convexo AOB que mide “n”, demanera que es dividido por “n” rayos en ángulosconsecutivos de igual medida. Calcular la medida delángulo formado por las bisectrices del tercer yenésimo ángulo formados.

A) B) C)n(n1)n1

n(n3)n1

n(n3)n1

D) E)n(n2)n1

n(n2)n1

TAREATAREA

01. Calcular “α”.

A) 45 B) 55 C) 60D) 65 E) 75

02. De la figura calcular el valor de “x”, simAOD+mAOC-mBOD=60.

A) 20 B) 15 C) 10D) 18 E) 40


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03. En el gráfico mostrado: mAOC=50, mCOE=70,

es bisectriz del ángulo AOC y es bisectrizOB

OD

del ángulo COE. Calcular la mBOD.

A) 35 B) 40 C) 45D) 50 E) 60

04. Calcular el valor de “x”.

A) 15 B) 16 C) 18D) 20 E) 25

05. La suma del complemento de un ángulo y elsuplemento de otro ángulo es 140. Calcular elsuplemento de la suma de ambos ángulos.A) 40 B) 50 C) 60D) 70 E) 80

06. Se tiene los ángulos consecutivos AOB, BOC y CODcuyas medidas son 20; 40 y 70 respectivamente.Calcular la medida del ángulo formado por lasbisectrices de los ángulos AOB y COD.A) 65 B) 85 C) 75D) 80 E) 70

07. Si el suplemento del complemento del suplemento deun ángulo es 130, calcular la medida de dichoángulo.A) 100 B) 115 C) 140D) 150 E) 135

08. Si al mayor de dos ángulos complementarios se lequita 20 para agregarle al otro; ambos se igualan,calcular el menor de dichos ángulosA) 15 B) 20 C) 25D) 30 E) 45

09. Se tiene los ángulos consecutivos AOB, BOC y COD.Calcular la mBOC, si mAOD=90 ymAOC+mBOD=140.A) 20 B) 100 C) 25D) 40 E) 50

10. Se tiene los ángulos consecutivos AOB, BOC y CODtal que el BOC es recto y además la bisectriz del

AOC es perpendicular a . Calcular la medidaOD

del ángulo determinado por dicha bisectriz y , siOB

mAOB-mCOD=45.A) 30 B) 25 C) 20D) 10 E) 15

ÁNGULOS DETERMINADOS POR UNA TRANSVERSALÁNGULOS DETERMINADOS POR UNA TRANSVERSAL SOBRE DOS RECTAS PARALELAS SOBRE DOS RECTAS PARALELAS

POSICIONES RELATIVAS ENTRE RECTAS DE UNPLANOEn un plano dos rectas pueden presentar las siguientesposiciones:

a) Secantes, si su intersección es un punto.

En la figura y son secantes.m

n

= {P}m

n

b) Paralelas, si no se intersecan.

// = φp

q

p

q

NOTAS:Observe que las rectas paralelas siempre estáncontenidas en un mismo plano.El símbolo // significa “es paralela a”.

ÁNGULOS DETERMINADOS POR UNA TRANSVERSALSOBRE DOS RECTAS PARALELASToda recta secante a dos rectas paralelas determina conellas ocho ángulos que según su posición (consideradasde dos en dos) reciben los nombres de: alternos,correspondientes y conjugados.

01. Ángulos alternos: Pueden ser:

a) Internos:

Si // α = βa

b


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a) Externos:

Si // α = βa

b

02. Ángulos correspondientes:

Si // α = βa

b

03. Ángulos conjugados: Pueden ser:

a) Internos:

Si // α + β = 180a

b

a) Externos:

Si // α + β = 180a

b

OBSERVACIÓN:

Si // entonces:L1

L2

a = c = e = g b = d = f = h

PROPIEDADES GENERALES

1ra Propiedad

Si // x = α + θa

b

2da Propiedad

Si // x + y + z = α + β + θ + ωa

b

3ra Propiedad

Si // a + b + c + ... + x + y + z = 180m

n


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01. En la figura calcular “a/b”, si // .L1

L2

A) 3/5 B) 1/2 C) 2D) 1 E) 3/2

02. En la figura mostrada: // . Calcular “y”.L1

L2

A) 70 B) 75 C) 80D) 85 E) 65

03. Calcular “x”, si // .a

b

A) 75 B) 70 C) 150D) 130 E) 30

04. Calcular “x”, si // y // .a

b

BA CD

A) 130 B) 100 C) 60D) 175 E) 80

05. Calcular “x+y”, si // .L1

L2

A) 120 B) 130 C) 140D) 150 E) 160


b

A) 90 B) 60 C) 30D) 120 E) 70

07. Del gráfico calcular “x”, si // .L1

L2

A) 10 B) 20 C) 15D) 30 E) 45

08. Calcular “θ”, si // .a

b

A) 130 B) 140 C) 70D) 120 E) 110

09. En la figura // , calcular “x”.L1

L2

A) 36 B) 18 C) 72D) 60 E) 30


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10. Calcular “x”, si en la figura // .L1

L2

A) 130 B) 120 C) 110D) 100 E) 140

11. Si // , calcular “x”.L1

L2

A) 100 B) 110 C) 125D) 120 E) 130

12. Calcular “x”, si // .m

n

A) 84 B) 96 C) 104D) 106 E) 95

13. En la figura adjunta // // y θ+φ=230.L1

L2

L3

Calcular “x”.

A) 55 B) 60 C) 65D) 70 E) 75

14. En la figura // . Calcular “x”.r

s

A) 43 B) 47 C) 56D) 34 E) 46

15. Del gráfico adjunto calcular el valor de “x”.

2x°x°

θ°

θ°

A) 30 B) 45 C) 60D) 75 E) 50

16. Calcular “x”, si // .L1

L2

A) 100 B) 120 C) 110D) 130 E) 140

17. En la figura // . Si α; β; θ y ω están enL1

L2

progresión aritmética de razón 15, calcular “x”

A) 15 B) 20 C) 30D) 45 E) 60

18. En la figura adjunta // . Calcular “x+y”.L1

L2

A) 60 B) 70 C) 90D) 80 E) 100


L2

A) 9 B) 10 C) 15D) 18 E) 20


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20. Si // , calcular “x”L1

L2

A) 45 - B) 45 - α C) 45 +α2

α2

D) 90 - E) 60 -α2

α3

TAREATAREA

01. Calcular “θ”, si // .L1

L2

A) 30 B) 20 C) 16D) 18 E) 28

02. Calcular “x”, siendo // .L1

L2

A) 50 B) 45 C) 60D) 70 E) 75

03. Si // , calcular “x”.m

n

A) 60 B) 75 C) 90D) 105 E) 120

04. Calcular “x”, si // .L1

L2

72°

5x°

L1

L2

4x°

A) 7 B) 8 C) 9D) 10 E) 11


b

A) 24 B) 16 C) 7D) 4,5 E) 8

06. Si // , calcular “x”L1

L2

A) 25 B) 30 C) 35D) 40 E) 45


n

A) 50 B) 65 C) 70D) 85 E) 55

08. Calcular “x”, si // .m

n

A) 45 B) 55 C) 50D) 60 E) 65


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09. Si // , calcularL1

L2

xy

x

A) 1/2 B) 3 C) 2D) 3/2 E) 4/3


L2

A) 30 B) 36 C) 45D) 60 E) 54

TRIÁNGULOSTRIÁNGULOSSe denomina triángulo a la figura geométrica determinadaal unir tres puntos no alineados mediante segmentos derecta .Se llama perímetro de un triángulo a la suma de lasmedidas de sus lados y se llama región triangular a lareunión del triángulo con su interior.

Elementos:Vértices: A, B y CLados: , yAB BC ACÁngulos: A, B y CÁngulos externos: KAB, TBC y FCA

Perímetro (2p): 2p = AB+BC+AC

donde “p” es el semiperímetro

OBSERVACIÓN:Todo triángulo tiene seis ángulos externos, como muestrala figura adjunta:

TEOREMAS FUNDAMENTALES

01. En todo triángulo se cumple que la suma de lasmedidas de sus ángulos es igual a 180.

α + β + θ = 180

02. En todo triángulo, la medida de un ángulo externo esigual a la suma de las medidas de los ángulosinternos no contiguos.

x = α + β

03. La suma de las medidas de los ángulos externos deun triángulo, uno en cada vértice, siempre es igual a360.

x + y + z = 360

04. En un mismo triángulo se cumple que al mayor ladose le opone el mayor ángulo y viceversa.

a > b α > β

05. En todo triángulo se cumple que la medida de unlado es menor que la suma de las medidas de losotros dos y mayor que su diferencia.

b - c < a < b +c

NOTA: Esta relación también es conocida como ladesigualdad triangular.


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PROPIEDADES PARTICULARES

θ + ω = α + β

x = α + β + θ

CLASIFICACIÓN DE LOS TRIÁNGULOS

A) Según la medida de sus ángulos.

01. Rectángulo: Es aquel que tiene un ángulo rectoy dos ángulos agudos. Los lados que forman alángulo recto se llaman catetos y el que se le oponerecibe el nombre de hipotenusa.

αβ90

02. Oblicuángulo: Es aquel que no tiene ángulorecto, puede ser:

- Acutángulo: Es el que tiene sus 3 ángulosagudos.

α°

β°

θ°

α < 90, β < 90 y θ < 90

-

Obtusángulo: Es el que tiene un ángulo obtuso ydos ángulos agudos.

OBSERVACIÓN: En todo triángulo obtusángulo el ladoopuesto al ángulo obtuso es el lado mayor.

B) Según la congruencia de sus lados.

01. Escaleno: Es aquel que tiene sus ladosdiferentes, además sus ángulos también sondiferentes.

ABBCBCACABAC

02. Isósceles: Es aquel que tiene dos ladoscongruentes, en consecuencia los ángulos opuestosa dichos lados también son congruentes.

ABBC

03. Equilátero: Es aquel que tiene sus tres ladoscongruentes; tiene también sus tres ánguloscongruentes.

ABBCAC

RECOMENDACIÓN:Si PQ=PR y mQPR=60, se recomienda unir los puntos“Q” y “R” para formar un triángulo equilátero.

En la figura el triángulo PQR es equilátero.


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01. Los ángulos interiores de un triángulo miden 6x+5;11x-20 y 5x+15. Calcular la medida del mayor ángulodel triángulo.A) 69,8 B) 71,4 C) 70D) 75 E) 80


n

A) α+β B) α-β C) 3β-αD) 2α+β E) 2β-α

03. Calcular “x”.

145° 3θ°3α°α° θ°

x°

A) 40 B) 45 C) 50D) 35 E) 30

04. De la figura calcular “x”.

A) 10 B) 20 C) 30D) 40 E) 50

05. Dos lados de un triángulo miden 4 y 8. ¿Cuántosvalores enteros puede tomar la medida del tercerlado del triángulo?A) 3 B) 5 C) 6D) 7 E) 8

06. En un triángulo ABC: AB=6 y BC=5. Calcular elperímetro del triángulo si AC es el doble de la medidade uno de los otros dos lados.A) 21 B) 23 C) 24D) A y B E) 22

07. Si AB=BD=DC, calcular “x”.

A) 20 B) 35 C) 40D) 50 E) 30

08. En la figura DE=6. Calcular DC.

A) 3 B) 6 C) 8D) 9 E) 12

09. Dos lados de un triángulo isósceles miden 4 y 9.Calcular el perímetro del triángulo.A) 13 B) 17 C) 22D) 26 E) 17 y 22

10. Calcular “x”.

A) 80 B) 90 C) 100D) 150 E) 120

11. En la figuraAB=BC y DE=EC.

Calcular: .αβ

A) 1 B) 3/2 C) 2D) 4/3 E) 3

12. En la figura AB=BC=CD=DE. Calcular “x”.

A) 16 B) 18 C) 20D) 24 E) 26


-56-

13. En la figura mBED=20. Calcular “x”.

A) 10 B) 15 C) 20D) 30 E) 40

14. Las medidas de dos lados de un triángulo isóscelesestán en la relación de uno a dos. Si el perímetro deltriángulo es 20, calcular la medida de la base.A) 4 B) 5 C) 4 ó 5D) 10 E) 4 ó 10

15. En la figura calcular “x”.

A) 60 B) 100 C) 90D) 110 E) 70

16. En la figura AB=BC y // . Calcular “x”.L1

L2

A) 60 B) 50 C) 70D) 40 E) 80

17. Del gráfico mostrado calcular el máximo valor enterode “x”, si HC-AB=k (k Z+)

A) 17 B) 18 C) 22D) 14 E) 13

18. De la figura mostrada, calcular “a+b+c”.

A) 90 B) 180 C) 270D) 360 E) 120

19. En el triángulo ABC en se ubican los puntos “E”ACy “D”, tales que mAED+mBDC=230, AE=BE yBD=DC. Calcular la mABC.A) 130 B) 120 C) 115D) 110 E) 100

20. Se tiene un triángulo ABC, AB=BC, en se ubicaACel punto “D” tal que AB=DC, y en la prolongación de BDse ubica el punto “E” tal que BC=BE. Si lamDAE=35, calcular la mC.A) 35 B) 40 C) 30D) 50 E) 45

TAREATAREA

01. Las medidas de los ángulos externos de un triángulose encuentran en progresión aritmética. Calcular lamedida de uno de los ángulos internos de dichotriánguloA) 40 B) 60 C) 90D) 120 E) 75

02. Si AB=AD=DC, calcular “x”.

A) 30 B) 20 C) 35D) 15 E) 40

03. En un triángulo equilátero ABC en se ubica elACpunto “D” tal que la mCBD=18. Calcular la mADB.A) 60 B) 42 C) 36D) 78 E) 68

04. Calcular “ a+b+c+d+e+f ”.

A) 180 B) 270 C) 540D) 90 E) 360

05. Dado un triángulo ABC, en el que AB=AC, en seABubica el punto “E” y en los puntos “D” y “F”.ACCalcular la mBAC, si se sabe queBC=BF=FE=ED=DA.

A) 10 B) 15 C) 20D) 25 E) 30


-57-

06. Si AB=BC=AD, calcular “x”.

A) 124 B) 128 C) 130D) 134 E) 138

07. Calcular “α+β+θ+ω+ρ+a+b+c”

A) 360 B) 450 C) 180D) 270 E) 900

08. Se tiene un triángulo isósceles ABC, AB=BC, en ABse ubica el punto “P” y en el punto “Q” tal queCPBP=BQ y mQBC=36. Calcular la mACP.A) 36 B) 12 C) 72D) 18 E) 24

09. Dos lados de un triángulo miden 7 y 9. Calcular elperímetro del triángulo si el tercer lado mide el doblede lo que mide uno de los otros dos.A) 16 B) 21 C) 30D) 34 E) 30 ó 34

10. Del gráfico siguiente calcular “x”.

A) θ/2 B) 60 C) 90-θD) 90-θ/2 E) 180-2θ

LÍNEAS NOTABLES DEL TRIÁNGULO LÍNEAS NOTABLES DEL TRIÁNGULO01. Mediana.- Es el segmento de recta cuyos extremos

son un vértice del triángulo y el punto medio del ladoopuesto.

En la figura si “M” es el punto medio de ,ACentonces es mediana relativa al lado .BM AC

02. Altura.- Es el segmento perpendicular a un lado deltriángulo trazado a partir del vértice opuesto.

Si , entonces es una de las alturas delBH AC BHtriángulo ABC.

03. Bisectriz.- Es el rayo que partiendo de uno de losvértices del triángulo determina con los lados de élángulos congruentes.

: Bisectriz interiorBD

: Bisectriz exteriorBE

OBSERVACIÓN:

Si ABBC

BF

//AC

04. Mediatriz.- La mediatriz de un segmento es la rectaperpendicular a dicho segmento en su punto medio.

Si “M” es el punto medio de y , entoncesAB L

AB

es mediatriz de .L

AB


-58-

En la figura mostrada la mediatriz de interseca aAC BCen el punto “P”.

05. Ceviana.- Es el segmento de recta cuyos extremosson un vértice del triángulo y un punto cualquiera dellado opuesto o de su prolongación.

En la figura:

: Ceviana interiorBD: Ceviana exteriorBE

OBSERVACIÓN:

Si: ABBC BH:Altura

BH:Mediana

BH

:Bisectriz

BH

:Mediatriz


01. En un triángulo acutángulo ABC se traza la altura BHy la mediana , tal que AH=5 y HC=11. CalcularBMHM.A) 1 B) 2 C) 3D) 2,5 E) 4

02. Dado el triángulo ABC se cumple que mA=60 ymC=40. Se traza la bisectriz interior del ángulo Bque interseca a en “D”. Calcular la mADB.ACA) 60 B) 70 C) 85D) 80 E) 95

03. En el gráfico es bisectriz del ángulo ABC yBD

mA-mC=50. Calcular “x”.

A) 65 B) 55 C) 85D) 75 E) 95


A) 45 B) 75 C) 60D) 90 E) 30

05. En la figura // , AB=7 y BC=9. Calcular PQ.PQ AC

A) 14 B) 15 C) 16D) 17 E) 18

06. En el triángulo PQR se trazan las medianas yQM

. CalcularPN PRMR

QNNR

A) 1,5 B) 2 C) 2,5D) 3 E) 4

07. En el triángulo ABC: mA=70 y mC=30. Calcular lamedida del menor ángulo que forman la mediatriz de

y la bisectriz exterior del ángulo “B”.ACA) 40 B) 50 C) 60D) 70 E) 80

08. En el triángulo ABC se traza la mediana , tal queAMAM=MB. Si la mC=40, calcular la mMAB.A) 40 B) 45 C) 60D) 50 E) 55

09. En la figura mHBC=36, es bisectriz del ánguloAB

HAP y es bisectriz del ángulo AHB. Calcular laHP

mAPH.

A) 43 B) 53 C) 63D) 72 E) 60

10. En la figura mostrada y son mediatrices deL1

L2

y . Calcular “x”, si α+β=100.AB AC

A) 100 B) 50 C) 60D) 70 E) 80


-59-

11. En un triángulo ABC: mA=15, se traza la bisectriz

exterior (“D” en la prolongación de ). SiBD

AC

CB=BD, calcular la mADB.

A) 35 B) 45 C) 50D) 55 E) 65

12. En la figura adjunta: // y AQ - PC=10. CalcularQE ACPQ.

A) 10 B) 15 C) 20D) 25 E) 5

13. En un triángulo ABC: mA=15 y mC=30. Si AB=8,calcular la medida de la altura .AHA) 4 B) 4 C) 42 3D) 6 E) 3 3

14. En la figura es bisectriz y es altura. Si BQ=5,AP

BH

calcular BP.

A) 2,5 B) 5 C) 7,52D) 5 E) 10

15. Si AD=DB y β=50, calcular “x”.

A) 60 B) 70 C) 50D) 80 E) 75

16. En un triángulo acutángulo ABC se traza la altura

, la bisectriz interior y la ceviana . Sean:BH AD

CN

= {P}; ={Q} y ={R}. SiAD BH BH CN CN ADCR-BQ=6, calcular el perímetro del triánguloequilátero PQR.A) 6 B) 7 C) 8D) 9 E) 12

17. En la figura, calcular “a+b”.

a°

b°

59°

α°α°α° θ°

θ°θ°

A) 209 B) 219 C) 229D) 239 E) 249

18. En la figura AH=3 y HC=2. Calcular BH.

A) 3 B) 4 C) 3,5D) 2 E) 52

19. En el triángulo ABC se traza la ceviana tal queBDAB+BD=18. Si las medidas de los ángulos ACB, BACy CBD son proporcionales a 1; 2 y 3respectivamente, calcular DC.A) 36 B) 15 C) 12D) 24 E) 18

20. En un triángulo ABC: mA=2mC, la bisectriz

interior (“D” en ), interseca en “E” a laBD

AC

bisectriz exterior de “C”. Calcular CE, si DE=4.A) 2 B) 4 C) 6D) 8 E) 12

TAREATAREA

01. En la figura es bisectriz, mABC=110 yAD

mBAD=20. Calcular “x”.

A) 15 B) 20 C) 30D) 40 E) 55


A) 150 B) 120 C) 125D) 130 E) 140


-60-

03. En la figura // , AM=4 y NC=7. Calcular MN.MN AC

A) 12 B) 13 C) 10D) 11 E) 14

04. En un triángulo ABC se traza la bisectriz interior ,AP

tal que AC=AP=PB. Calcular la medida de uno de losángulos del triángulo.A) 24 B) 30 C) 36D) 40 E) 60

05. En un triángulo isósceles PRQ de base , se trazaPQla altura . Calcular la mPRQ, si la mSPQ=22.PSA) 34 B) 44 C) 46D) 54 E) 68

06. En un triángulo ABC se traza la bisectriz exterior ,BE

“E” en la prolongación de , tal que BE=CE. Si laACmA=30, calcular la mBEC.A) 30 B) 35 C) 40D) 45 E) 50

07. En un triángulo ABC la mediana y la bisectrizAM

se intersecan perpendicularmente. Calcular:BF

E ABBM

BCAB

ABCM

A) 3 B) 3,5 C) 4D) 4,5 E) 2

08. En el triángulo ABC: mA=80 y mC=30. Calcular lamedida del ángulo que forman la bisectriz exterior de“B” y la mediatriz de .ACA) 75 B) 70 C) 55D) 60 E) 65

09. En el triángulo ABC: BC - AB = 3 y la medidadel ángulo exterior “B” es el cuádruplo de la medidadel ángulo interior “C”.Se traza la bisectriz exterior

trazándose a continuación // (E ).BF AE BC BFCalcular BE.A) 3 B) 4 C) 6D) 1,5 E) 5

10. En la figura adjunta es altura, AP=2 y PQ=QB=4.BHCalcular QC.

A) 5 B) 6 C) 7D) 8 E) 9

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