AÑO ACADÉMICO 2015/201 FACULTAD DE CIENCIAS SOCIALES Y DE … Semi Presencial/1… · UNIDAD 1:...

AÑO ACADÉMICO 2015/2016

FACULTAD DE CIENCIAS SOCIALES Y DE LA EDUCACIÓN

DIDÁCTICA DE LAS MATEMÁTICAS II

José Manuel Pérez Martín

Didáctica de las Matemáticas II. Criterios de evaluación

José Manuel Pérez Martín [email protected]

1. RESULTADOS DE APRENDIZAJE EN RELACIÓN CON LAS COMPETENCIAS QUE DESARROLLA LA MATERIA

COMPETENCIAS GENÉRICAS

C.G.1. Expresarse oralmente y por escrito de manera correcta y adecuada en lengua castellana.

CG.5. Incorporar y utilizar las nuevas tecnologías en el proceso enseñanza-aprendizaje.

CG.9. Asumir la formación permanente como elemento indispensable para el ejercicio de la profesión docente y la calidad educativa.

RESULTADOS DE APRENDIZAJE RELACIONADOS CON LAS COMPETENCIAS GENÉRICAS.

C.G.1. Conocer y dominar técnicas de expresión oral y escrita.

COMPETENCIAS ESPECÍFICAS

CEpr.6.3. Plantear y resolver problemas vinculados con la vida cotidiana. Valorar la relación entre matemáticas y ciencias como uno de los pilares del pensamiento científico.

CEpr.6.4. Desarrollar y evaluar contenidos del currículo mediante recursos didácticos apropiados y promover las competencias correspondientes en los estudiantes.

RESULTADOS DE APRENDIZAJE RELACIONADOS CON LAS COMPETENCIAS ESPECÍFICAS.

CEpr.6.3. Plantear situaciones en el aula en las que los alumnos resuelvan problemas de la vida cotidiana aplicando conocimientos matemáticos.

CE.pr.6.4. Seleccionar la metodología de enseñanza-aprendizaje adecuada a cada situación.



2. UNIDADES DE QUE CONSTA LA MATERIA

La materia consta de TRES unidades que son:

UNIDAD 1:

Tratamiento didáctico de los contenidos del currículo del área de matemáticas en Educación Primaria: Currículo del área de Matemáticas. Aprendizaje y evaluación en Matemáticas

UNIDAD 2:

Materiales didácticos y recursos educativos

a. Metodología didáctica para la enseñanza-aprendizaje de la Matemática.

b. Nuevas tecnologías.

UNIDAD 3:

Programación de actividades para el proceso de enseñanza-aprendizaje de la Matemática en la Educación primaria.

a. Diseño de Unidades didácticas

b. Desarrollo de unidades didácticas. Aplicación en el aula.

3. TEMPORALIZACIÓN

Los contenidos se irán impartiendo según cuatro sesiones presenciales más la sesión de evaluación final. Los contenidos y unidades que se impartirán en cada sesión vienen reflejados del siguiente modo:

- Primera sesión presencial: Presentación y unidad 1.

- Segunda sesión presencial: Unidades 1 y 2.

- Tercera sesión presencial: Unidad 2.

- Cuarta sesión presencial: Unidad 3.

- Quinta sesión presencial: No hay examen.



SOY ALUMN@ DE DIDÁCTICA DE LAS MATEMÁTICAS II Y MI PROFESOR ES JOSÉ MANUEL PÉREZ MARTÍN.

¿QUÉ TENGO QUE HACER PARA APROBAR LA ASIGNATURA?

1 � La asistencia no es obligatoria en ninguno de los casos.

2 � Caso 1. A mí me han convalidado la asignatura desde la UCJC.

LA NOTA TE LA PONE LA UCJC EN FUNCIÓN DE TU NOTA EN TU CARRERA ORIGINAL.

3

� Caso 2. Cursa la asignatura.

� Cuestionarios (40%)

� Matemáticas en el día a día o Detección y mejora de los problemas matemáticos (60%).

4

� POR LA ACTIVA PARTICIPACIÓN EN DETERMINADOS MOMENTOS DE LAS CLASES SE PODRÁN OBTENER HASTA 1 PUNTO EXTRA QUE SE SUMARÁ SOBRE LA NOTA FINAL.

La fecha tope de entrega de las actividades (Cuestionarios, “Matemáticas en el día a

día” y de la “detección y mejora de los problemas matemáticos”) serán la de la 4ª sesión presencial. Hasta ese día los trabajos deben ser entregados preferiblemente por email al

correo [email protected].

ASIGNATURA: Didáctica de las Matemáticas II

Tareas a entregar en la evaluación


Para aprobar la asignatura debes entregar antes de la 4ª sesión:

1. Los 2 cuestionarios que se entregan en esta documentación.

2. Un trabajo titulado “Matemáticas en el día a día” en el que planteas 10

ejemplos de la vida cotidiana en los que resuelves un problema o necesitas

de los conocimientos de las matemáticas de la Educación Primaria. En clase

presentamos varios ejemplos. Si no pudiste asistir, podrás verlo en el video

de la clase que te colgaremos.

3. Un trabajo que consiste en la detección y mejora de 4 problemas

matemáticos cuya presentación no es la correcta para ser entendido por el

que aprende. En clase presentamos varios ejemplos. Si no pudiste asistir,

podrás verlo en el video de la clase que te colgaremos.


CUESTIONARIO Nº: 1

UNIDAD 1 Tratamiento didáctico de los contenidos del currículo del

área de matemáticas en Educación Primaria. Currículo del área de

Matemáticas. Aprendizaje y evaluación en Matemáticas.

Nombre y apellidos: ______________________________________________

Grupo: _________________________________________________________

D.N.I.___________________________ Fecha de entrega: _______________

1. Entre las muchas habilidades que desarrolla el aprendizaje de las matemáticas, señala cuál de las siguientes no desarrolla:

A. Crea modelos y esquemas mentales.

B. Desarrolla la creatividad y la imaginación.

C. Ayuda a fortalecer las convicciones éticas y morales.

D. Enseña a pensar antes de actuar.

2. En la enseñanza de las Matemáticas en Ed. Primaria se pretende alcanzar una alfabetización numérica, ¿qué se entiende por ella?

A. Conocer las reglas básicas de operaciones y reconocer números y objetos en contextos cotidianos, entender estadísticas y medir las magnitudes más elementales.

B. Capacidad para enfrentarse con éxito a situaciones en las que intervengan los números y sus relaciones, permitiendo obtener información efectiva.

C. Saber sumar, restar, multiplicar y dividir.

D. Reconocer objetos geométricos planos y espaciales y reconocer las operaciones básicas sabiendo resolver problemas de la vida cotidiana relacionados con las operaciones básicas.

3. El sentido del área de Matemáticas en Ed. Primaria es eminentemente0

A. Teórico para después de afianzado, comenzar el trabajo sobre la práctica.

B. De clasificación y reconocimiento de objetos exclusivamente.

C. De memorización, alejados de la resolución de problemas clásica de la secundaria.

D. experiencial y de aplicación sobre situaciones familiares para el alumno.

4. ¿Qué proceso constituye uno de los ejes principales de la actividad matemática y deben ser fuente y soporte principal del aprendizaje matemático a lo largo de la Enseñanza Primaria?

A. La resolución de problemas.

B. La operatividad sobre sumas, restas, multiplicaciones y divisiones.

C. La orientación espacial y clasificación geométrica de objetos cotidianos.

D. El álgebra y las ecuaciones.


CUESTIONARIO Nº: 1

UNIDAD 1 Tratamiento didáctico de los contenidos del currículo del

área de matemáticas en Educación Primaria. Currículo del área de

Matemáticas. Aprendizaje y evaluación en Matemáticas.

5. ¿Cuáles son las fases básicas del proceso de resolución de problemas del modelo de Polya?

A. Comprensión; elaboración de la estrategia; Aplicación de la misma y vista retrospectiva.

B. Lectura; desarrollo de la hipótesis, prueba

C. Comprensión; elaboración de la estrategia; y Aplicación de la misma.

D. Descubrimiento, formalización y comprobación.

6. ¿Cuál de los siguientes bloques de contenidos NO es de la Ed. Primaria?

A. Números y operaciones.

B. Álgebra.

C. Tratamiento de la información, azar y probabilidad.

D. Medida. Estimación y cálculo de magnitudes


CUESTIONARIO Nº: 2

UNIDAD 2. Materiales didácticos y recursos educativos

Nombre y apellidos: ______________________________________________

Grupo: _________________________________________________________

D.N.I.___________________________ Fecha de entrega: _______________

1. Siguiendo el polo de máxima expansión sobre lo que se entiende por recurso en didáctica, ¿en qué grandes grupos podemos desglosar a los recursos? A. Metodológicos, materiales, instrumentales y personales.

B. Materiales y personales.

C. Audiovisuales, computacionales, impresos y materiales.

D. Metodológicos, ambientales, materiales, instrumentales y personales.

2. ¿Qué son los recursos metodológicos? A. Exclusivamente las diferentes herramientas o utensilios que utilizan los profesores y los

alumnos en el desarrollo del proceso de enseñanza-aprendizaje.

B. Son un elemento del currículo, que incluye los grandes principios de intervención educativa,

las fórmulas estratégicas comunes a todas las áreas/materias/módulo, y, también, algunas técnicas

C. Son el libro de texto, el cuaderno, elementos de representación como el compás o la regla, la

calculadora y el ordenador.

D. Los mecanismos con los que se sigue la confección de los horarios lectivos.

3. En los Proyectos Educativos, sus Programaciones y, posteriormente, en las programaciones de aula los recursos metodológicos se plasman mediante la priorización de… A. Algunos principios, estrategias y técnicas

B. Los horarios de profesores.

C. La secuenciación de los contenidos didácticos de cada área.

D. los conceptos, procedimientos y actitudes.

4. El principio metodológico de intervención, está fomentado sobre algunos subprincipios como puedan ser: A. Partir del nivel de desarrollo del alumno; y basarse en los conocimientos previos del alumno.

B. La base constructivista sobre la que podemos citar como fundamental, la mejora de la

disposición espacial de los alumnos en el aula.

C. Promover el desarrollo de la capacidad de "aprender a aprender"; Impulsar la participación

activa del alumno. Contribuir al establecimiento de un clima de aceptación mutua y de

cooperación; Dotar a las actividades de enseñanza-aprendizaje de un carácter lúdico.

D. Poder trabajar en todo momento sobre el alumno y en cualquier vertiente en el colegio; no

mandar ejercicios ni problemas para casa.

5. ¿Qué se entiende, según Ausubel, por aprendizaje significativo? A. Establecimiento de vínculos sustantivos entre los nuevos contenidos que hay que aprender y

los que ya se dominan.

B. Entender todo lo que se explica.

C. Poder aplicar a algo lo que se aprende.

D. Aprendizaje basado en lo que tiene interés para la vida cotidiana.


CUESTIONARIO Nº: 2

UNIDAD 2. Materiales didácticos y recursos educativos

6. Dentro del principio metodológico del aprendizaje significativo, y partiendo del nivel de desarrollo del alumno, identificar las capacidades de un alumno exige… A. Conocer tan sólo las dificultades que presenta el alumno en el área para poder desarrollar el

conocimiento y mitigar sus deficiencias.

B. Tener la ayuda de profesor especializado en psicología.

C. Realizar test y pruebas de comprensión lectora y numérica.

D. Poseer conocimientos de su nivel de desarrollo psicológico y familiarizarse con las

experiencias de aprendizaje contextualizadas y los conocimientos adquiridos en el transcurso de

las mismas.

7. ¿Cuál debería ser la estrategia didáctica adecuada a nivel de primaria? A. Sólo la expositiva.

B. Sólo la indagativa.

C. La expositiva y la indagativa pero siempre dando mucho mayor peso a la expositiva.

D. La expositiva y la indagativa pero siempre dando mucho mayor peso a la indagativa.

8. Según SEVILLANO GARCÍA (2007) y DE LA TORRE (2005), podemos las técnicas metodológicas como… A. El modo de estar en clase y hacerse con los alumnos mediante respeto y consideración mutua.

B. Las técnicas propias de la especialidad para poder dar resultado a los distintos problemas

matemáticos que se proponen.

C. Los recursos metodológicos concretos que precisan una serie de elementos y/o pasos puntuales

para orientar la acción sirviendo, por tanto, de guía para sistematizar la forma en que se

desarrollarán las actividades del proceso de enseñanza- aprendizaje.

D. Es un recurso metodológico que afianza los conocimientos de los alumnos mediante el uso de

materiales diversos como el ordenador y la pizarra digital.

9. Word y Bruner (Wood y Brunner, 1980) han utilizado una metáfora que ha alcanzado gran popularidad, la metáfora del andamiaje, para señalar el papel del profesor y su aporte en cuanto a los recursos personales. Este debe ser… A. Partir del nivel en el que los alumnos se encuentran e ir estimulando el acceso a nuevos niveles

de competencia y desarrollo.

B. Mostrar superioridad para crear en los alumnos un modelo seguro en el cual basarse e imitar

la conducta y técnicas.

C. Mostrarse como uno más dentro del grupo clase para poder ser aceptado por los alumnos.

D. Trabajar los contenidos del curso para conseguir los objetivos del mismo de manera

independiente a qué alumnado haya. Esto permitirá dar calidad al edificio de conocimientos

matemáticos que se trabaja.

10. Señala el ítem que contenga recursos ambientales: A. La temperatura que haya en el aula.

B. El aula de informática, la biblioteca del centro, los murales que se pueden colocar.

C. El tiempo que haga en el lugar donde se está emplazado el colegio.

D. Ninguno de los anteriores.

UNIDAD 1:

Tratamiento didáctico de los contenidos del área de Matemáticas en E. Primaria.

Currículum, aprendizaje y evaluación del área de Matemáticas.

ÍNDICE.

1. TRATAMIENTO DIDÁCTICO DE LOS CONTENIDOS DEL CURRÍCULO

DEL ÁREA DE MATEMÁTICAS EN EDUCACIÓN PRIMARIA. 1.1. Contribución de la enseñanza de las matemáticas en la Enseñanza Primaria. 1.2. Pretensiones en la enseñanza de las matemáticas en Educación Primaria. 2. APRENDIZAJE Y COMPETENCIAS BÁSICAS EN LA ENSEÑANZA DE

LAS MATEMÁTICAS EN EDUCACIÓN PRIMARIA. 2.1. Competencias básicas en el área de matemáticas en la Enseñanza Secundaria. 2.2. Objetivos de la enseñanza de las Matemáticas en la Educación Primaria.

3. EL CURRÍCULO EN EL ÁREA DE MATEMÁTICAS EN LA ENSEÑANZA

PRIMARIA. EVALUACIÓN.

3.1. Bloques de contenidos. 3.2. Apartados en los bloques de contenidos. 3.3. Evaluación del aprendizaje. 4. BIBLIOGRAFÍA 5. WEBGRAFÍA.

Didáctica de las Matemáticas II. Tratamiento didáctico de los contenidos del

área de Matemáticas en E. Primaria. Currículum, aprendizaje y evaluación del

área de Matemáticas.

José Manuel Pérez Martín 1

1. TRATAMIENTO DIDÁCTICO DE LOS CONTENIDOS DEL CURRÍCULO DEL ÁREA DE MATEMÁTICAS EN EDUCACIÓN PRIMARIA.

1.1. Contribución de la enseñanza de las matemáticas en la Enseñanza Primaria.

En preámbulo del RD 1513/2006 sobre los contenidos mínimos en la especialidad de matemáticas en la Enseñanza Primaria, se señala y describe el tratamiento didáctico y el sentido de la enseñanza de las Matemáticas en la Enseñanza Primaria (LOE).

Se entienden así las matemáticas como un conjunto de ideas y formas de actuar que conllevan no sólo utilizar cantidades y formas geométricas, sino, y sobre todo, hacerse preguntas, obtener modelos e identificar relaciones y estructuras, de modo que, al analizar los fenómenos y situaciones que se presentan en la realidad, se puedan obtener informaciones y conclusiones que inicialmente no estaban explícitas. Concebidas de esta forma, las matemáticas incorporan las características que les han sido tradicionalmente asignadas y que se identifican con la deducción, la precisión, el rigor, la seguridad, etc., pero son y aportan mucho más de lo que se deduce de estos términos. También son inducción, estimación, aproximación, probabilidad y tentativa, y mejoran la capacidad de enfrentarse a situaciones abiertas, sin solución única y cerrada.

Todo ello se refleja en la doble función que se viene dando al aprendizaje escolar de las matemáticas y que mantiene su validez, aunque con una interpretación más amplia: se aprende matemáticas porque son útiles en otros ámbitos (en la vida cotidiana, en el mundo laboral, para aprender otras cosas...) y, también, por lo que su aprendizaje aporta a la formación intelectual general, en concreto las destrezas susceptibles de ser utilizadas en una amplia gama de casos particulares, y que contribuyen, por sí mismas, a potenciar capacidades cognitivas de niños y niñas.

En el caso del RD 126/2014 sobre los contenidos mínimos en la especialidad de matemáticas en la Enseñanza Primaria, se señala el marco de actuación para con esta asignatura en la Enseñanza Primaria (LOMCE).

Las matemáticas permiten conocer y estructurar la realidad, analizarla y obtener

información para valorarla y tomar decisiones; son necesarias en la vida cotidiana,

para aprender a aprender, y también por lo que su aprendizaje aporta a la formación

intelectual general, y su contribución al desarrollo cognitivo. El uso de las

herramientas matemáticas permite abordar una gran variedad de situaciones. Las matemáticas son un conjunto de saberes asociados a los números y a las formas, y constituyen una forma de analizar diversas situaciones, se identifican con la deducción, la inducción, la estimación, la aproximación, la probabilidad, la precisión, el rigor, la seguridad, etc., nos ayudan a enfrentarnos a situaciones abiertas, sin solución única y cerrada; son un conjunto de ideas y formas que nos permiten analizar los fenómenos y situaciones que se presentan en la realidad, para obtener informaciones y conclusiones que no estaban explícitas y actuar, preguntarnos, obtener modelos e identificar relaciones y estructuras, de modo que conllevan no sólo utilizar cantidades y formas geométricas sino, y sobre todo, encontrar patrones, regularidades y leyes matemáticas.





Estos primeros párrafos de ambos preámbulos, se destaca la Enseñanza de las matemáticas como un conjunto de conocimientos y de estrategias que aportan al alumno una amalgama de conocimientos y técnicas cognitivas que de hecho, sirven para resolver situaciones en la vida cotidiana.

En este sentido, podemos añadir que la enseñanza de las matemáticas conlleva, desde el exclusivo punto de vista de los contenidos matemáticos:

Asimilación de los principales contenidos y conceptos matemáticos.

Consolidación de destrezas y rutinas básicas matemáticas como procesos de cálculo, de abstracción, representación, utilización de modelos mentales, generalización, verificación o simbolización.

Resolución de situaciones matemáticas problemáticas.

Aprecio, valoración y gusto por las matemáticas.

Sin embargo, las matemáticas no sólo incorporan conocimientos aplicables a las propias matemáticas sino una cantidad ingente de habilidades que son necesarias para el propio desarrollo personal y el afrontamiento de problemas de la vida cotidiana, en muchos casos, alejados de la actividad matemática

� En el Informe Cockroft se cita que la enseñanza de las Matemáticas debe considerar la “resolución de problemas, incluyendo la aplicación de las mismas situaciones de la vida diaria”.

� En el libro de Hofsdadter, “Gödel, Escher y Bach”, se dice que “las capacidades básicas de la inteligencia se favorecen desde las Matemáticas a partir de la resolución de problemas, siempre y cuando éstos no sean vistos como situaciones que requieran una respuesta única (conocida previamente por el profesor que encamina hacia ella), sino como un proceso en el que el alumno estima, hace conjeturas y sugiere explicaciones”.

Así, la enseñanza de las matemáticas desarrolla y potencia, entre otros, los siguientes aspectos:

o Desarrolla la creatividad y la imaginación.

o Enseña a analizar situaciones, a optimizar, a pensar y argumentar sobre datos conocidos.

o Enseña a pensar antes de actuar.

o Favorece la flexibilidad del pensamiento y su permanente revisión.

o Crea modelos y esquemas mentales.

o Potencia el espíritu de colaboración y la capacidad de trabajo en grupo.





o Acrecienta el disfrute por el trabajo y la persistencia en la tarea.

o Fortalece la confianza en uno mismo.

o Forma y desarrolla la capacidad de reflexión lógica y el razonamiento deductivo e inductivo.

o Colabora en el desarrollo de la comprensión lectora.

En conclusión, el preámbulo establece que el aprendizaje de las matemáticas en Enseñanza Primaria aporta dos elementos fundamentales en cuanto a que:

� Son útiles para desenvolverse en la sociedad.

� Incorporan destrezas que sirven para enfrentarse a problemas y a mejorar las capacidades cognitivas.

1.2. Pretensiones en la enseñanza de las matemáticas en Educación Primaria.

El RD 1513/2006 en su preámbulo, continúa exponiendo los elementos que persigue en la enseñanza y aprendizaje de las matemáticas en la Enseñanza Primaria. Así, determina que, “En la Educación primaria se busca alcanzar una eficaz alfabetización numérica, entendida como la capacidad para enfrentarse con éxito a situaciones en las que intervengan los números y sus relaciones, permitiendo obtener información efectiva, directamente o a través de la comparación, la estimación y el cálculo mental o escrito. Es importante resaltar que para lograr una verdadera alfabetización numérica no basta con dominar los algoritmos de cálculo escrito, se precisa también, y principalmente, actuar con relaciones básicas que se dan entre ellos.

En el caso del RD 126/2014 (LOMCE), es casi literal respecto del publicado para la LOE en 2006. En la Educación Primaria se busca alcanzar una eficaz alfabetización numérica, entendida como la capacidad para enfrentarse con éxito a situaciones en las que intervengan los números y sus relaciones, permitiendo obtener información efectiva, directamente o a través de la comparación, la estimación y el cálculo mental o escrito. Para lograr una verdadera alfabetización numérica no basta con dominar los algoritmos de cálculo escrito, es necesario actuar con seguridad ante los números y las cantidades, utilizarlos siempre que sea necesario e identificar las relaciones básicas que se dan entre ellos.

Por lo tanto, se señala de modo claro que se pretende una “alfabetización numérica” en el sentido de:

� Nombrar, representar, interpretar, comparar, estimar y operar correctamente con números en toda clase de situaciones de la vida cotidiana.

� Afianzar técnicas de cálculo mental y escrito.

� Relacionar los métodos y técnicas de cálculo básico.





Por otra parte, el preámbulo señala el sentido que deben tomar los contenidos del área y el modo de aprendizaje a lo largo de toda la etapa:

El sentido de esta área en la Educación primaria es eminentemente experiencial; los contenidos de aprendizaje toman como referencia lo que resulta familiar y cercano al alumnado, y se abordan en contextos de resolución de problemas y de contraste de puntos de vista. Los niños y las niñas deben aprender matemáticas utilizándolas en contextos funcionales relacionados con situaciones de la vida diaria, para adquirir progresivamente conocimientos más complejos a partir de las experiencias y los conocimientos previos.

También el RD del currículum LOMCE se hacen similares propuestas:

El trabajo en esta área en la Educación Primaria estará basado en la experiencia; los

contenidos de aprendizaje parten de lo cercano, y se deberán abordar en contextos de

identificación y resolución de problemas. Las matemáticas se aprenden utilizándolas

en contextos funcionales relacionados con situaciones de la vida diaria, para ir

adquiriendo progresivamente conocimientos más complejos a partir de las experiencias

y los conocimientos previos.

Se determina, por lo tanto, que el aprendizaje se obtenga principalmente de situaciones problemáticas de la vida cotidiana y se creen rutinas y nociones capaces de dar explicación y resolver dichos problemas. Se señalan los siguientes puntos fundamentales para el aprendizaje:

� El aprendizaje debe tener un sentido exponencial, partiendo de situaciones muy básicas y profundizando, a lo largo de los cursos, cada vez con mayor velocidad.

� El aprendizaje parte de situaciones problemáticas de la vida cotidiana y asumibles al entendimiento del alumno.

� Las matemáticas deben “utilizarse” en la vida cotidiana.

El preámbulo del RD deja meridianamente claro cuál es el vehículo de introducción y descubrimiento de todos los contenidos del área en la Etapa Primaria:

Los procesos de resolución de problemas constituyen uno de los ejes principales de la actividad matemática y deben ser fuente y soporte principal del aprendizaje matemático a lo largo de la etapa, puesto que constituyen la piedra angular de la educación matemática. En la resolución de un problema se requieren y se utilizan muchas de las capacidades básicas: leer comprensivamente, reflexionar, establecer un plan de trabajo que se va revisando durante la resolución, modificar el plan si es necesario, comprobar la solución si se ha encontrado, hasta la comunicación de los resultados.

Así mismo la LOMCE también plantea como piedra angular del aprendizaje en matemáticas la resolución de problemas:





Los procesos de resolución de problemas constituyen uno de los ejes principales de la actividad matemática y deben ser fuente y soporte principal del aprendizaje a lo largo de la etapa, puesto que constituyen la piedra angular de la educación matemática. En la resolución de un problema se requieren y se utilizan muchas de las capacidades

básicas: leer, reflexionar, planificar el proceso de resolución, establecer estrategias y

procedimientos y revisarlos, modificar el plan si es necesario, comprobar la solución si

se ha encontrado, hasta la comunicación de los resultados. El currículo básico se ha formulado partiendo del desarrollo cognitivo y emocional en el que se encuentra el alumnado de esta etapa, de la concreción de su pensamiento, de sus posibilidades cognitivas, de su interés por aprender y relacionarse con sus iguales y con el entorno, y de su paso hacia un pensamiento abstracto hacia el final de la etapa. Los objetivos generales del área van encaminados a desarrollar las competencias matemáticas e

iniciarse en la resolución de problemas que requieran la realización de operaciones

elementales de cálculo, conocimientos geométricos y estimaciones, así como ser

capaces de aplicarlos a las situaciones de su vida cotidiana.

De este modo, la resolución de problemas queda señalada como:

� Soporte principal del aprendizaje matemático a lo largo de la Enseñanza Primaria.

� Elemento básico para asimilar capacidades básicas como la lectura comprensiva, mecanismos de reflexión y deducción; creación y modificación de estrategias; comprobación de resultados y expresión correcta y rigurosa del método y resultados alcanzados.

Desde esta perspectiva, ambos RD están proponiendo el trabajo en Resolución de Problemas según el modelo de Polya. Este modelo consta de cuatro fases básicas que procedemos a describir:

o Comprensión del problema. Consiste en asimilar cual es el objetivo/s del problema, cuales son los datos que se nos dan, etc.

o Elaborar la estrategia: Consiste en trazarse un plan para llegar hasta la solución del problema. Así, se observarán las relaciones que existen entre los datos conocidos y desconocidos; se investigarán los concepto/s matemáticos que subyacen en el interior del problema; se indagará sobre el tipo de cálculos que vamos a desempeñar; e incluso se buscarán mentalmente problemas similares o analogías con alguno anterior ya resuelto.

o Aplicación de la estrategia: Es la fase en la que se ejecuta el plan. Una vez establecido el camino o ruta a seguir, se van efectuando todos los razonamientos deductivos e inductivos junto con los cálculos a que dan lugar para llegar a los resultados o conclusiones.

o Vista retrospectiva. Habiendo resuelto mediante nuestra estrategia el problema, debemos volver al enunciado y verificar que los valores alcanzados satisfacen todas y cada una de las condiciones impuestas por el mismo.





Ejemplo: En un autobús en el que inicialmente viajan un número de personas, al llegar a la primera parada se bajan 4 pasajeros y suben 7. En una segunda parada se bajan el mismo número de personas que suben mientras que en la última parada suben solamente dos y no baja ninguna. Si tras esta última parada cuento que hay 23 personas en el autobús, ¿cuántas personas hay en el autobús al comenzar el trayecto?

Procedemos a resolver el problema siguiendo el método de Polya:

Comprensión del problema. Observamos que se nos pide un valor que es el número de pasajeros después de las tres paradas. También observamos y comprendemos que ocurre en cada una de las paradas y nos damos cuenta que, aunque en la segunda parada no nos dan número alguno de pasajeros que suben o que bajan, no va a constituir un problema para nosotros puesto que al bajarse los mismos que suben es como si no hubiera parado.

Elaborar la estrategia: El enunciado sólo comenta el número de pasajeros después de la tercera parada. Parece convincente comenzar el problema en este punto, recorriendo las paradas de la 3ª a 1ª, restando las que se suben y sumando las que se bajan.

Aplicación de la estrategia: Ponemos nuestro plan en marcha:

Se bajan Suben Quedan

Después de la 3ª parada 0 2 23

Después de la 2ª parada y antes de la 3ª a a 23 – 2 = 21

Después de la 1ª parada y antes de la 2ª 4 7 21 + a – a = 21

Antes de la 1ª parada 0 0 21 – 7 + 4 = 18

Por lo tanto, el resultado alcanzado es 18 pasajeros.

Vista retrospectiva. Procedemos a verificar que el resultado es correcto sometiéndolo a la condiciones del problema. Por lo tanto, recorremos de nuevo el enunciado y buscamos que después de la tercera parada haya 23 personas en el interior del autobús.

Se bajan Suben Quedan

En la 1ª parada 4 7 18 – 4 + 7 = 21

En la 2ª parada a a 21 – a + a = 21

En la 3ª parada 0 2 21 + 2 = 23

Por lo tanto, la comprobación valida el resultado obtenido.





2. APRENDIZAJE Y COMPETENCIAS BÁSICAS EN LA ENSEÑANZA DE LAS MATEMÁTICAS EN EDUCACIÓN PRIMARIA.

2.1. Competencias básicas en el área de matemáticas en la Enseñanza Primaria.

Recordemos que la Enseñanza Primaria y Secundaria está enfocada a la consecución del aprendizaje de ocho competencias básicas como son la competencia lingüística, competencia matemática, competencia en interacción con el mundo físico; competencia social y ciudadana; competencia digital y de tratamiento de la información; competencia cultural y artística; competencia en aprender a aprender; y competencia en autonomía e iniciativa personal. En este sentido, el RD 1513/2006 destaca lo siguiente:

Los contenidos del área se orientan de manera prioritaria a garantizar el mejor desarrollo de la competencia matemática en todos y cada uno de sus aspectos, lo que incluye la mayor parte de los conocimientos y de las destrezas imprescindibles para ello. Es necesario remarcar, sin embargo, que la contribución a la competencia matemática se logra en la medida en que el aprendizaje de dichos contenidos va dirigido precisamente a su utilidad para enfrentarse a las múltiples ocasiones en las que niños y niñas emplean las matemáticas fuera del aula.

En el caso del RD 126/2014, destacaríamos:

El currículo básico se ha formulado partiendo del desarrollo cognitivo y emocional en el que se encuentra el alumnado de esta etapa, de la concreción de su pensamiento, de sus posibilidades cognitivas, de su interés por aprender y relacionarse con sus iguales y con el entorno, y de su paso hacia un pensamiento abstracto hacia el final de la etapa. Los objetivos generales del área van encaminados a desarrollar las competencias matemáticas e iniciarse en la resolución de problemas que requieran la realización de operaciones elementales de cálculo, conocimientos geométricos y estimaciones, así como ser capaces de aplicarlos a las situaciones de su vida cotidiana

Por lo tanto, se señala a la competencia matemática en la LOE como la que va a tener el mayor peso en el aprendizaje de las matemáticas (tanto en su vertiente de conocimientos como en la de estrategias), pero sin olvidar su carácter instrumental y utilitario para resolver cuestiones y situaciones de la vida cotidiana. Por ese motivo, se destaca como segunda competencia la interacción con el mundo físico según:

El desarrollo del pensamiento matemático contribuye a la competencia en el conocimiento e interacción con el mundo físico porque hace posible una mejor comprensión y una descripción más ajustada del entorno. En primer lugar, con el desarrollo de la visualización (concepción espacial), los niños y las niñas mejoran su capacidad para hacer construcciones y manipular mentalmente figuras en el plano y en el espacio, lo que les será de gran utilidad en el empleo de mapas, planificación de rutas, diseño de planos, elaboración de dibujos, etc. En segundo lugar, a través de la medida se logra un mejor conocimiento de la realidad y se aumentan las posibilidades de interactuar con ella y de transmitir informaciones cada vez más precisas sobre aspectos





cuantificables del entorno. Por último, la destreza en la utilización de representaciones gráficas para interpretar la información aporta una herramienta muy valiosa para conocer y analizar mejor la realidad.

El párrafo anterior señala el aprendizaje e interacción del mundo físico debe partir de la manipulación, interpretación y clasificación de cuanto objeto rodea al alumno, la creación de modelos mentales de todo cuanto ven y tocan; y la creación de representaciones y de informaciones que describan y ayuden a comprender y resolver problemas de la realidad. Por lo tanto, se señala:

� Percepción del mundo que nos rodea.

� Creación de modelos mentales sobre lo que se percibe.

� Descripción gráfica, escrita y oral de cuanto nos rodea a partir de las fases anteriores.

En este sentido la LOMCE concreta: “Para facilitar la concreción curricular, los contenidos se han organizado en cinco grandes bloques: Procesos, métodos y actitudes en matemáticas. Números. Medida. Geometría. Estadística y probabilidad”. Si nos fijamos estos contenidos están muy relacionados como decía la LOE en herramientas para el conocimiento del mundo físico y su análisis.

El RD 1513/2006 continuaba estableciendo como prioridad del siglo XXI la utilización y trabajo con las nuevas tecnologías y en el tratamiento de la información según:

Las Matemáticas contribuyen a la adquisición de la competencia en tratamiento de la información y competencia digital, en varios sentidos. Por una parte porque proporcionan destrezas asociadas al uso de los números, tales como la comparación, la aproximación o las relaciones entre las diferentes formas de expresarlos, facilitando así la comprensión de informaciones que incorporan cantidades o medidas. Por otra parte, a través de los contenidos del bloque cuyo nombre es precisamente tratamiento de la información se contribuye a la utilización de los lenguajes gráfico y estadístico, esenciales para interpretar la información sobre la realidad. En menor escala, la iniciación al uso de calculadoras y de herramientas tecnológicas para facilitar la comprensión de contenidos matemáticos, está también unida al desarrollo de la competencia digital.

Si bien se señala que el aprendizaje de las matemáticas fundamentalmente debe capacitar la descripción y entendimiento de informaciones numéricas, mediciones, relaciones geométricas o estadísticas; también se indica que el alumno debe comenzar su aprendizaje en el uso de la calculadora y de programas informáticos básicos para obtener un completo aprendizaje, adecuado a la era que le ha tocado vivir. Se vuelve a señalar la resolución de problemas como eje fundamental para capacitar a los alumnos en la competencia de “autonomía e iniciativa personal”:





Los contenidos asociados a la resolución de problemas constituyen la principal aportación que desde el área se puede hacer a la autonomía e iniciativa personal. La resolución de problemas tiene, al menos, tres vertientes complementarias asociadas al desarrollo de esta competencia: la planificación, la gestión de los recursos y la valoración de los resultados. La planificación está aquí asociada a la comprensión en detalle de la situación planteada para trazar un plan y buscar estrategias y, en definitiva, para tomar decisiones; la gestión de los recursos incluye la optimización de los procesos de resolución; por su parte, la evaluación periódica del proceso y la valoración de los resultados permite hacer frente a otros problemas o situaciones con mayores posibilidades de éxito. En la medida en que la enseñanza de las matemáticas incida en estos procesos y se planteen situaciones abiertas, verdaderos problemas, se mejorará la contribución del área a esta competencia. Actitudes asociadas con la confianza en la propia capacidad para enfrentarse con éxito a situaciones inciertas, están incorporadas a través de diferentes contenidos del currículo.

La competencia en aprender a aprender queda va a ser asimilada por parte de los alumnos gracias al carácter instrumental de las propias matemáticas

El carácter instrumental de una parte importante de los contenidos del área proporciona valor para el desarrollo de la competencia para aprender a aprender. A menudo es un requisito para el aprendizaje la posibilidad de utilizar las herramientas matemáticas básicas o comprender informaciones que utilizan soportes matemáticos. Para el desarrollo de esta competencia es también necesario incidir desde el área en los contenidos relacionados con la autonomía, la perseverancia y el esfuerzo para abordar situaciones de creciente complejidad, la sistematización, la mirada crítica y la habilidad para comunicar con eficacia los resultados del propio trabajo. Por último, la verbalización del proceso seguido en el aprendizaje, contenido que aparece con frecuencia en este currículo, ayuda a la reflexión sobre qué se ha aprendido, qué falta por aprender, cómo y para qué, lo que potencia el desarrollo de estrategias que facilitan el aprender a aprender.

Como se puede observar en el párrafo anterior, se hace especial énfasis en la comunicación del procedimiento aplicado en la resolución de problemas y cálculos, que ayuda a reflexionar y a mejorar incluso las estrategias utilizadas y variar el método de trabajo.

En cuanto a la competencia lingüística, se señalan dos aspectos: por una parte el lenguaje propio de las matemáticas, que en la Enseñanza Primaria está muy atenuado, y por otra parte, la contribución a la expresión propia en el lenguaje que se desarrolla el conocimiento.

Para fomentar el desarrollo de la competencia en comunicación lingüística desde el área de Matemáticas se debe insistir en dos aspectos. Por una parte la incorporación de lo esencial del lenguaje matemático a la expresión habitual y la adecuada precisión en su uso. Por otra parte, es necesario incidir en los contenidos asociados a la descripción





verbal de los razonamientos y de los procesos. Se trata tanto de facilitar la expresión como de propiciar la escucha de las explicaciones de los demás, lo que desarrolla la propia comprensión, el espíritu crítico y la mejora de las destrezas comunicativas.

En su primer aspecto, el alumno debe ser capaz de describir, definir y hablar de modo correcto y riguroso al referirse a cuantos objetos matemáticos trabaje. En su segundo aspecto, debemos contribuir con la enseñanza matemática a que el alumno mejore su comprensión lectora, su expresión oral y escrita, su ortografía y su caligrafía.

Las matemáticas también pueden contribuir a la competencia cultural y artística desde su propia historia que está relacionada con la historia y la cultura de la humanidad. La geometría juega un papel determinante en la contribución a la competencia artística por cuanto la geometría es clave en la arquitectura, en la pintura, escultura y en general en el arte.

Las Matemáticas contribuyen a la competencia en expresión cultural y artística desde la consideración del conocimiento matemático como contribución al desarrollo cultural de la humanidad. Así mismo, el reconocimiento de las relaciones y formas geométricas ayuda en el análisis de determinadas producciones artísticas.

Por último, la consecución de la competencia social y ciudadana se señala desde la perspectiva del trabajo en grupo y de la colaboración y aceptación de las ideas de los demás, aun cuando no vayan en el mismo sentido que las nuestras.

La aportación a la competencia social y ciudadana se refiere, como en otras áreas, al trabajo en equipo que en Matemáticas adquiere una dimensión singular si se aprende a aceptar otros puntos de vista distintos al propio, en particular a la hora de utilizar estrategias personales de resolución de problemas.

En este sentido, la LOMCE tiene un apartado propio de transversalidad y competencias digitales en las que explicita dichas relaciones entre áreas en Educación Primaria.

2.2. Objetivos de la enseñanza de las Matemáticas en la Educación Primaria.

El RD 1513/2006, de 7 de diciembre, por el que se establecen las enseñanzas mínimas de la Educación primaria, señala que los objetivos se determinan mediante las capacidades que se pretende que los alumnos asimilen. En este sentido, las capacidades a crear en los alumnos son:

1. Utilizar el conocimiento matemático para comprender, valorar y producir informaciones y mensajes sobre hechos y situaciones de la vida cotidiana y reconocer su carácter instrumental para otros campos de conocimiento.

2. Reconocer situaciones de su medio habitual para cuya comprensión o tratamiento se requieran operaciones elementales de cálculo, formularlas mediante formas sencillas de expresión matemática o resolverlas utilizando los algoritmos correspondientes, valorar el sentido de los resultados y explicar oralmente y por escrito los procesos seguidos.





3. Apreciar el papel de las matemáticas en la vida cotidiana, disfrutar con su uso y reconocer el valor de actitudes como la exploración de distintas alternativas, la conveniencia de la precisión o la perseverancia en la búsqueda de soluciones.

4. Conocer, valorar y adquirir seguridad en las propias habilidades matemáticas para afrontar situaciones diversas, que permitan disfrutar de los aspectos creativos, estéticos o utilitarios y confiar en sus posibilidades de uso.

5. Elaborar y utilizar instrumentos y estrategias personales de cálculo mental y medida, así como procedimientos de orientación espacial, en contextos de resolución de problemas, decidiendo, en cada caso, las ventajas de su uso y valorando la coherencia de los resultados.

6. Utilizar de forma adecuada los medios tecnológicos tanto en el cálculo como en la búsqueda, tratamiento y representación de informaciones diversas.

7. Identificar formas geométricas del entorno natural y cultural, utilizando el conocimiento de sus elementos y propiedades para describir la realidad y desarrollar nuevas posibilidades de acción.

8. Utilizar técnicas elementales de recogida de datos para obtener información sobre fenómenos y situaciones de su entorno; representarla de forma gráfica y numérica y formarse un juicio sobre la misma.

En el caso del RD 126/2014 no se explicitan contenidos concretos y detallados como acabamos de ver para la Ley en derogación. Ya hemos visto anteriormente cuáles son los objetivos de aprendizaje para las Matemáticas en Educación Primaria. Del mismo modo se establecen unos contenidos y unas competencias por bloques y detalladas en tablas.

3. EL CURRÍCULO EN EL ÁREA DE MATEMÁTICAS EN LA ENSEÑANZA PRIMARIA. EVALUACIÓN.

3.1. Bloques de contenidos.

Atendiendo al RD 1513/2006, de 7 de diciembre, por el que se establecen las enseñanzas mínimas de la Educación primaria, se determinan los siguientes bloques de conocimientos:

� Bloque 1 “Números y operaciones”

� Bloque 2 “Medida. Estimación y cálculo de magnitudes”

� Bloque 3 “Geometría”

� Bloque 4 “Tratamiento de la información, azar y probabilidad”

Se entiende, por tanto, que el bloque 1 constara de cuantas operaciones básicas, estrategias y trabajo sobre la escritura, el cálculo mental y escrito se refiere, respecto de los números naturales, enteros y fraccionarios.





El bloque 2 se fundamentará en la manipulación y medición de magnitudes, operaciones con dinero, tiempo y ángulos.

El bloque 3, se basará en todo lo relacionado con la manipulación, visualización, interpretación y clasificación de distancias, orientación, figuras planas y espaciales, simetrías, giros, etc.

El bloque 4, será una iniciación a la estadística unidimensional mediante la creación de tablas estadísticas, interpretación, sentido crítico de las informaciones, creación de gráficas y modelos de representación así como del cálculo de algunas probabilidades en sencillos experimentos de azar.

En este caso el RD que desarrolla la LOMCE indica que serán 5 bloques de contenidos:

Bloque 1. Procesos, métodos y actitudes en matemáticas

Bloque 2. Números.

Bloque 3. Medida.

Bloque 4. Geometría.

Bloque 4. Estadística y Probabilidad.

3.3. Evaluación del aprendizaje.

Los criterios de evaluación que establece el Real Decreto 1513/2006 están secuenciados por ciclos. Los criterios están secuenciados según los bloques y apartados de contenidos antes expuestos de tal modo que suele haber una correspondencia de uno o dos criterios por cada bloque (unos ocho criterios por cada ciclo). Exponemos los criterios por ciclos:

A) PRIMER CICLO.

1. Formular problemas sencillos en los que se precise contar, leer y escribir números hasta el 999.

2. Comparar cantidades pequeñas de objetos, hechos o situaciones familiares, interpretando y expresando los resultados de la comparación, y ser capaces de redondear hasta la decena más cercana.

3. Realizar, en situaciones cotidianas, cálculos numéricos básicos con las operaciones de suma, resta y multiplicación, utilizando procedimientos diversos y estrategias personales.

4. Medir objetos, espacios y tiempos familiares con unidades de medida no convencionales (palmos, pasos, baldosas...) y convencionales (kilogramo; metro, centímetro; litro; día y hora), utilizando los instrumentos a su alcance más adecuados en cada caso.





5. Describir la situación de un objeto del espacio próximo, y de un desplazamiento en relación a sí mismo, utilizando los conceptos de izquierda-derecha, delante-detrás, arriba-abajo, cerca-lejos y próximo-lejano.

6. Reconocer en el entorno inmediato objetos y espacios con formas rectangulares, triangulares, circulares, cúbicas y esféricas.

7. Realizar interpretaciones elementales de los datos presentados en gráficas de barras. Formular y resolver sencillos problemas en los que intervenga la lectura de gráficos.

8. Resolver problemas sencillos relacionados con objetos, hechos y situaciones de la vida cotidiana, seleccionando las operaciones de suma y resta y utilizando los algoritmos básicos correspondientes u otros procedimientos de resolución. Explicar oralmente el proceso seguido para resolver un problema.

B) SEGUNDO CICLO.

1. Utilizar en contextos cotidianos, la lectura y la escritura de números naturales de hasta seis cifras, interpretando el valor posicional de cada una de ellas y comparando y ordenando números por el valor posicional y en la recta numérica.

2. Realizar cálculos numéricos con números naturales, utilizando el conocimiento del sistema de numeración decimal y las propiedades de las operaciones, en situaciones de resolución de problemas.

3. Utilizar estrategias personales de cálculo mental en cálculos relativos a la suma, resta, multiplicación y división simples.

4. Realizar, en contextos reales, estimaciones y mediciones escogiendo, entre las unidades e instrumentos de medida usuales, los que mejor se ajusten al tamaño y naturaleza del objeto a medir.

5. Obtener información puntual y describir una representación espacial (croquis de un itinerario, plano de una pista...) tomando como referencia objetos familiares y utilizar las nociones básicas de movimientos geométricos, para describir y comprender situaciones de la vida cotidiana y para valorar expresiones artísticas.

6. Reconocer y describir formas y cuerpos geométricos del espacio (polígonos, círculos, cubos, prismas, cilindros, esferas).

7. Recoger datos sobre hechos y objetos de la vida cotidiana utilizando técnicas sencillas de recuento, ordenar estos datos atendiendo a un criterio de clasificación y expresar el resultado de forma de tabla o gráfica.

8. Resolver problemas relacionados con el entorno que exijan cierta planificación, aplicando dos operaciones con números naturales como máximo, así como los contenidos básicos de geometría o tratamiento de la información y utilizando estrategias personales de resolución.





C) TERCER CICLO.

1. Leer, escribir y ordenar, utilizando razonamientos apropiados, distintos tipos de números (naturales, enteros, fracciones y decimales hasta las centésimas).

2. Realización de operaciones y cálculos numéricos sencillos mediante diferentes procedimientos, incluido el cálculo mental, que hagan referencia implícita a las propiedades de las operaciones, en situaciones de resolución de problemas.

3. Utilizar los números decimales, fraccionarios y los porcentajes sencillos para interpretar e intercambiar información en contextos de la vida cotidiana.

4. Seleccionar, en contextos reales, los más adecuados entre los instrumentos y unidades de medida usuales, haciendo previamente estimaciones y expresar con precisión medidas de longitud, superficie, peso/masa, capacidad y tiempo.

5. Utilizar las nociones geométricas de paralelismo, perpendicularidad, simetría, perímetro y superficie para describir y comprender situaciones de la vida cotidiana.

6. Interpretar una representación espacial (croquis de un itinerario, plano de casas y maquetas) realizada a partir de un sistema de referencia y de objetos o situaciones familiares.

7. Realizar, leer e interpretar representaciones gráficas de un conjunto de datos relativos al entorno inmediato. Hacer estimaciones basadas en la experiencia sobre el resultado (posible, imposible, seguro, más o menos probable) de situaciones sencillas en las que intervenga el azar y comprobar dicho resultado.

8. En un contexto de resolución de problemas sencillos, anticipar una solución razonable y buscar los procedimientos matemáticos más adecuados para abordar el proceso de resolución. Valorar las diferentes estrategias y perseverar en la búsqueda de datos y soluciones precisas, tanto en la formulación como en la resolución de un problema. Expresar de forma ordenada y clara, oralmente y por escrito, el proceso seguido en la resolución de problemas.

En el caso del RD 126/2014 carecemos de información por ciclos o niveles, dejando eso a criterio de las transposiciones legales que emanan de los parlamentos autonómicos en forma de decretos.





4. BIBLIOGRAFÍA Algunos libros y referencias con los que se confeccionó el material o pueden servir para ampliar son: - ALMODÓVAR, J.A.; GARCÍA, F.; HERNÁNDEZ, J.; MORENO, Mª R.; RODRÍGUEZ, M. Y VALERA, J.Mª: Matemáticas 6º Primaria (Serie Un paso más), Santillana, 2006. Libro de texto de la editorial Santillana con los distintos bloques de contenido, actividades, metodología aplicada, etc. a nivel de 6º Primaria. - ALSINA, C. Y OTROS. (1995): Enseñar matemáticas. Barcelona. Graó. Con esta obra se pretende fomentar el aprecio a la matemática dando pautas de trabajo, metodología y didáctica para toda la primaria y secundaria. - ALSINA, C., BURGUÉS Y FORTUNY J. M. (1987): Invitación a la didáctica de la geometría. Madrid. Síntesis. Obra dedicada a la propuesta de actividades manipulables y dispuestas para el aprendizaje de los conceptos básicos de la geometría .a un nivel de primaria y secundaria. - ALSINA, C., BURGUÉS Y FORTUNY J. M. (1987): Materiales para construir la geometría. Madrid. Síntesis. Obra dedicada a la propuesta de actividades manipulables y dispuestas para el aprendizaje de los conceptos básicos de la geometría .a un nivel de primaria y secundaria. - CASCALLANA, M. T. (1988): Iniciación a la matemática. Materiales y recursos didácticos. Madrid. Santillana. Con esta obra se pretende fomentar el aprecio a la matemática mediante materiales y recursos didácticos atrayentes para el alumnado. - CASTELLNUOVO, E. (1981): La matemática. Geometría. Ed. Ketres. Barcelona. Con esta obra se pretende fomentar el aprecio a la geometría mediante movimientos, traslaciones, rotaciones, cortando, calcando, y moviendo distintas figuras planas





- CASTRO MARTÍNEZ, E.: Didáctica de la matemática en la Educación Primaria. Editorial Síntesis. El objetivo de este manual es proporcionar un marco conceptual sólido y unas herramientas útiles tanto para la formación del profesorado de Matemáticas de la Educación Primaria como para su trabajo en el aula. La enseñanza y aprendizaje de las matemáticas se aborda desde una perspectiva propia que integra el conocimiento matemático con el didáctico, y lo ejemplifica con un estudio detallado de los correspondientes temas básicos del currículo. Asimismo, el libro ofrece una aproximación disciplinar propia y original a las nociones relacionadas con la formación en Didáctica de la Matemática. - CHAMORRO, Mª DEL CARMEN (2003): “Didáctica de las Matemáticas para Primaria”. Libro dedicado a desentrañar la evolución de los conocimientos matemáticos en la Etapa Primaria y la metodología a aplicar en esta etapa. - ESCRIBANO GONZÁLEZ, A. (2004): Aprender a enseñar. Fundamentos de didáctica general. Cuenca: Universidad de Castilla La Mancha. La obra está dividida en tres partes organizadas por capítulos que cubren de manera comprensiva tres ejes principales del aprendizaje didáctico: los fundamentos de la enseñanza, el diseño curricular y la investigación didáctica. La primera parte se centra en el aprendizaje de los fundamentos de la enseñanza. Para ello se estudian, por este orden, los siguientes fundamentos: epistemológico, filosófico-antropológico, educativo, histórico, psicológico y socio-ambiental. La parte segunda explora el aprendizaje del diseño del currículum. Proporciona unas herramientas básicas para alcanzar un conocimiento práctico necesario para llevar a cabo una enseñanza educativa de calidad. Abarca las bases teóricas del currículum, el diseño y el desarrollo curricular, los principales niveles de concreción curricular, el diseño de la enseñanza en el aula junto con las adaptaciones curriculares como respuesta a la diversidad, la evaluación del currículum y un repertorio básico de modelos de enseñanza. La tercera parte presenta la temática de la investigación didáctica. Incluye un estudio de la naturaleza, los principales paradigmas de investigación didáctica y los métodos de investigación más relevantes utilizados en didáctica con un énfasis especial en la Investigación-Acción. - GIMENO SACRISTÁN, J. Y CARBONELL SEBARROJA, J (COORDS.) (2004): El sistema educativo: una mirada crítica. Barcelona: Praxis Un primer observatorio de la educación que suministra las claves informativas necesarias para comprender un poco mejor el estado de salud de nuestro sistema educativo - GUZMAN, MIGUEL DE (2006): Para pensar mejor: desarrollo de la creatividad a través de los procesos matemáticos. Editorial Pirámide.





Un primer observatorio de la educación que suministra las claves informativas necesarias para comprender un poco mejor el estado de salud de nuestro sistema educativo - LEVY-LEBLOND, J: On the conceptual nature of the Physical constants. Cahiers Fundamenta Scientiae. 1976. Manual de física universitaria para profundizar sobre los aspectos fundamentales tratados durante este tema. -MEC (2004): Una educación de calidad para todos y entre todos. Madrid: Servicio de Publicaciones. Recoge aquellos aspectos que a juicio de la administración deben ser objeto de reformas y realiza una serie de propuestas de actuación. - SARRAMONA, J. (2004): Las competencias básicas en la Educación Obligatoria. Barcelona. El sistema educativo español ha vivido en los últimos años importantes transformaciones demandadas por el avance del conocimiento pedagógico y por tos profundos cambios operados en la sociedad, pero a veces también impuestas por la ideología política dominante en cada período. Esta breve obra pretende mostrar la temática que se vincula con una corriente de renovación curricular que se abre camino con fuerza en muchos países: es la introducción del concepto de competencia para referirse al tipo de logros que cabe exigir a la acción educativa y formativa. Se trata de una nueva perspectiva que responde a las exigencias de los tiempos y que recoge la mejor tradición pedagógica de los logros integrados y vinculados con la realidad. - TORRÁ, M.: Construir las Matemáticas en la Educación Primaria. Ediciones Proyecto Sur. Obra totalmente aplicada e ideal para la ecuación primaria en el sentido de que ofrece contenidos manipulables a partir de piezas, cartulinas, trabajos con compás y regla, etc. para alumnos que están aprendiendo geometría. - WEISSTEIN, E.W. (1999): CRC Concise Encyclopedia of Mathematics. Chapman Hall. Completa obra acerca de la geometría a nivel universitario. Contiene todos los conceptos y definiciones comentados en el tema pero a un nivel muy superior al que se imparte en primaria y secundaria. Para profundizar.

5. WEBGRAFIA. Algunas páginas web de interés sobre el tema tratado. - http://www.boe.es/buscar/doc.php?id=BOE-A-2006-21409 Página con acceso al texto íntegro del RR.DD. 1513/2006 sobre los contenidos mínimos de la Enseñanza Primaria.





- http://capileiraticrecursos.wikispaces.com/RECURSOS+PARA+E.+PRIMARIA Página con acceso a otras webs educativas, búsqueda de recursos educativos y consejos sobre cómo realizar búsquedas en Internet, recursos útiles y consejos sobre cómo desarrollar la labor decente haciendo uso de las TIC en matemáticas de primaria. - http://miclase.wordpress.com/category/2-matematicas/ Página con acceso a recursos educativos y consejos sobre cómo realizar búsquedas en Internet, recursos útiles y consejos sobre cómo desarrollar la labor decente haciendo uso de las TIC en matemáticas de primaria. - http://www.vitutor.com/ Página web dedicada a las matemáticas de ESO y Bachillerato con muchos ejercicios y problemas referentes a los conocimientos de este tema. Muy interesante para saber cómo evolucionarán los contenidos de matemáticas en niveles superiores a parte de observar algunos de los contenidos de este tema. - http://www.aula21.net/ Página con acceso a otras webs educativas, búsqueda de recursos educativos y consejos sobre cómo realizar búsquedas en Internet, recursos útiles y consejos sobre cómo desarrollar la labor decente haciendo uso de las TIC… - http://www.cnice.mecd.es/ Dentro de ésta página se encuentra la plataforma Agrega con consejos útiles de cómo incorporar las TIC en el aula y fuera de ella, acceso a recursos educativos y tecnológicos para diferentes materias; también existe acceso a cursos de formación permanente del profesorado, recursos educativos para alumnos y para profesores y se puede enlazar con otras páginas educativas de la red. - http://www.portaldidactico.org/ Portal didáctico con gran número de aplicaciones educativas, centros de educación y enseñanza dentro y fuera de España, recursos para educación infantil, primaria y secundaria, por etapas y para algunas materias. - http://www.eduteka.org/webquest.php3 Página de tecnologías de la información y la comunicación para enseñanzas básicas y medias. Acceso a gran número de materias, proyectos para las mismas y recursos a utilizar. Posibilidad de buscar proyectos educativos por etapas y consultar cantidad de recursos educativos.





- http://www.educamadrid.org Página de la Comunidad de Madrid con acceso de búsqueda de recursos educativos (software, recurso en línea, aula virtual…), posibilidad de conectar los centros educativos a una red, como utilizar las TIC en el aula… - http://www.educaweb.com/ Recursos para estudiantes, profesionales de la educación, posibilidad de enlazar desde esta página con otras que te informan sobre becas, estudios superiores, mundo laboral. Se ofrece también información de todas las etapas del sistema educativo, sobre la Prueba de Acceso a la Universidad, orientación académica y profesional, estudios en el extranjero y noticias actuales sobre el ámbito educativo. - http://dewey.uab.es/pmarques/

Página sobre tecnología educativa, con acceso a documentos sobre la educación y las TIC, uso

de las mismas en el aula (pizarra digital, Internet…), con acceso a otros portales educativos,

revistas, documentos, páginas de recursos…

UNIDAD 2:

Materiales didácticos y recursos educativos en el área de Matemáticas en la Educación Primaria. Metodología didáctica y Nuevas

Tecnologías.

ÍNDICE. 1. METODOLOGÍA DIDÁCTICA PARA LA ENSEÑANZA-APRENDIZAJE DE

LAS MATEMÁTICAS.

2. RECURSOS METODOLÓGICOS.

2.1. Principios metodológicos. 2.2. Estrategias de enseñanza-aprendizaje. 2.3. Técnicas metodológicas.

3. RECURSOS PERSONALES.

4. RECURSOS AMBIENTALES.

5. RECURSOS MATERIALES.

5.1. Materiales impresos 5.2. Material audiovisual. 5.3. Recursos informáticos.

6. NUEVAS TECNOLOGÍAS EN EL AULA DE MATEMÁTICAS.

7. BIBLIOGRAFÍA

8. WEBGRAFÍA

Didáctica de las Matemáticas II. Materiales didácticos y recursos educativos en

el área de Matemáticas en la Educación Primaria. Metodología didáctica y

Nuevas Tecnologías


1. METODOLOGÍA DIDÁCTICA PARA LA ENSEÑANZA-APRENDIZAJE DE LAS MATEMÁTICAS.

La Didáctica se sitúa entre las ciencias que suelen ser calificadas como "aplicativas", es decir, ciencias que poseen un interés y un valor eminentemente práctico, pero también debe estudiar la congruencia entre las acciones de enseñanza y los resultados del aprendizaje, sus requisitos, sus condicionantes, su proceso.

Son muchos los autores que conciben la Didáctica como la planificación tecnológica del proceso de enseñanza-aprendizaje.

"Por tecnología se entiende una forma determinada de conducir la acción, una forma de planificar y controlar el proceso operativo. No debe conducirse tal proceso con los elementos materiales que puedan intervenir en él".

(FERRÁNDEZ, SARRAMONA, TARÍN, 1979, pág. 37).

La primera dificultad que se plantea a la hora de abordar el tema de los recursos o los medios didácticos es la de encontrar una definición o un concepto claro y unívoco de los mismos. Así hay autores que no distinguen entre recursos y materiales didácticos como Ossanna, entendiendo por éstos:

“Los objetos-materiales o no y las representaciones de los mismos o de los hechos del pasado, que constituyen un medio a través del cuál los objetivos del proceso de enseñanza-aprendizaje se alcanzan de manera eficaz, desde el punto de vista del conocimiento como de las habilidades o de las actitudes que se quieren lograr” (Ossanna, 1994).

Por su parte, Blázquez nos dice:

“Utilizar los términos de medios o recursos, indistintamente es una opción entre las variadas que adoptan los didactas para significar lo mismo, con ligeros matices: así Mattos habla de recursos didácticos. Holdino de ayudas didácticas, Escudero de medios, Sarramona de medios educativos, Nereci de material didácticos” (Blázquez, 1996).

Otros autores, sin embargo, distinguen entre materiales y recursos, pero cada uno de ellos establecen matizaciones distintas que son dignas de mención: Novo por ejemplo, diferencia entre los dos términos y señala:

“Entendemos por materiales todos aquellos auxiliares didácticos que el docente utiliza en el aula (textos, guías, audiovisuales, carteles, mapas, útiles de laboratorio, etc..) Concebimos los recursos como elementos que, fuera del centro escolar (o incluso tomando el mismo centro como objeto de estudio), puedan ser utilizados como estructuras de apoyo para actividades de Educación”.

Aquí incluye aulas de la naturaleza, granjas-escuela, itinerarios de la naturaleza, itinerarios urbanos, etc. Santos Guerra (Santos Guerra, 1995) bajo el término materiales didácticos distingue claramente aquellos que organizan las actividades de aprendizaje de los que son elementos auxiliares:



Nuevas Tecnologías


“Llamamos materia/es didácticos a las diferentes herramientas o utensilios que utilizan los profesores y los alumnos en el desarrollo del proceso de enseñanza-aprendizaje. Unos tienen un carácter globalizados, articulante y orientativo de todo el proceso (materiales curriculares, libros de texto, por ejemplo...) y otros son elementos, vicarios, de carácter auxiliar (ordenadores, materiales de laboratorio, retroproyectores, diapositivas, etc...)”.

Por su parte, Gimeno en un sentido amplio, entiende por materiales: “Cualquier instrumento u objeto que pueda servir como recurso para que, mediante su manipulación, observación o lectura se ofrezcan oportunidades de aprender algo, o bien con su uso se intervenga en el desarrollo de alguna función de la enseñanza. Es decir, los materiales comunican contenidos para su aprendizaje y pueden servir para estimular y dirigir el proceso de enseñanza-aprendizaje”. (Gimeno, 2002)

A su vez, todo este tipo de materiales, junto con todo lo referente a medios y a tecnología educativa, podría incluirse dentro de lo que denominamos “recursos”. Zabalza distingue dos polos en la idea de recursos (García Ruiz, 2003):

Un polo de máxima reducción del concepto que liga su aspecto material de aparatos o materiales para la enseñanza.

Un polo de máxima expansión que sitúa como recurso a cualquier tipo de proceso articulado o técnica, cualquier instrumento pedagógico que se emplea en la enseñanza, así como los materiales utilizados (organización de los contenidos, la evaluación, etc...), todos serían recursos a través de cuyo manejo sistematizado se trataría de obtener unos resultados.

Nosotros, utilizaremos ese polo de máxima expansión, para articular los recursos, de acuerdo con la siguiente división:

- Recursos metodológicos: la fundamentación del trabajo en unos principios y su concreción en unas estrategias y unas técnicas constituyen, sin duda, el medio más complejo de la planificación didáctica, tanto es así que resulta frecuente en la bibliografía la confusión e identificación entre recurso didáctico y recurso metodológico.

- Recursos materiales: los entendemos en toda su variedad (impresos, audiovisuales e informáticos) su selección y utilización pertinente acorde con una planificación rigurosa constituye un medio fundamental en el desarrollo didáctico.

- Recursos ambientales: comprenden desde la conformación flexible y funcional del espacio del aula, hasta la utilización de los distintos espacios del centro y los ambientes que fuera de él (museos, archivos, bibliotecas, hemerotecas, espacios naturales, etc.) puedan cooperar en el tratamiento de los contenidos.

- Recursos instrumentales: Bajo esta denominación se agrupan los instrumentos que se emplean en el estudio e investigación de las distintas áreas, y que a la vez son un excelente recurso didáctico para el aprendizaje de las mismas.



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- Recursos personales: el profesor, los alumnos, cualquier ser humano que pueda intervenir en el desarrollo didáctico de un contenido para completar, aclarar, confrontar, etc. Cabe destacar entre los recursos personales que han de cooperar con el medio propiamente institucional el relevante papel de la familia; desde su medio y, también en ocasiones con su participación en tareas escolares, debe contribuir al desarrollo de actitudes, intereses y hábitos positivos.

2. RECURSOS METODOLÓGICOS.

El concepto de Recurso Metodológico es manejado por distintos autores, desde SEVILLANO GARCÍA (2007) hasta DE LA TORRE (2005). Siguiendo a los mismos podemos decir que es

“Un elemento del currículo, que incluye los grandes principios de intervención educativa, las fórmulas estratégicas comunes a todas las áreas/materias/módulo, y, también, algunas técnicas”.

La acepción método (etimológicamente “camino”) se entiende como vía que conduce al profesor a un fin. Se considera el componente esencial de los recursos didácticos.

En los Proyectos Educativos, sus Programaciones y, posteriormente, en las programaciones de aula este elemento, gracias a la priorización de algunos principios, estrategias y técnicas, hará transparente el estilo educativo del centro y de sus profesores. En estos niveles de desarrollo curricular conviene identificar, también, los otros recursos didácticos ya destacados: personales, materiales y ambientales; ello contribuirá a hacer más explícitas las intenciones y el modelo formativo que se persigue.

Además, el desarrollo idóneo de las secuencias de enseñanza-aprendizaje, exige una perfecta articulación entre las estrategias didácticas que se utilicen y los medios y recursos que se pongan al servicio de las mismas. Dicha interacción llega a producir un solapamiento de medios y estrategias, en tanto que determinadas técnicas necesitan un soporte material para su desarrollo, y en todo caso actúan como mediadores entre el sujeto y el hecho educativo. No obstante, aunque cada técnica específica tiene su acomodación idónea dentro de un modelo didáctico en particular, no es menos cierto que podemos contar con estrategias didácticas cuyo uso sea lo suficientemente versátil como para no exigir el empleo exclusivo de determinada metodología.

2.1. Principios metodológicos.

Destacamos los grandes principios metodológicos que deben estar presentes en la enseñanza:

A) El Principio metodológico de intervención. Recurso metodológico con carácter de norma, fundamento o base que ha de inspirar el proceso de enseñanza-aprendizaje en cualquier situación didáctica. Los principios de intervención aseguran la continuidad y la coherencia vertical (en los diferentes niveles, etapas, ciclos y cursos) y horizontal (en las distintas áreas, materias o módulos).



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El estudio de los principios didácticos en el proceso de enseñanza y aprendizaje requiere el conocimiento de un compendio de fundamentación bibliográfica y normativa. La síntesis actual la encontramos en multitud de propuestas: bibliográficas y normativas. El Diseño Curricular Base para la Educación Secundaria Obligatoria (1989, pág. 31) subrayaba que los principios psicopedagógicos que subyacen en él "se enmarcan en una concepción constructivista del aprendizaje escolar y de la intervención pedagógica en sentido amplio, sin que puedan identificarse con ninguna teoría en concreto, sino más bien con enfoques presentes en distintos marcos teóricos". En efecto, el denominado marco constructivista recibe aportaciones de autores tales como PIAGET, BRUNER, AUSUBEL, NORMAN, FEUERSTEIN Y VYGOTSKY, entre otros muchos.

Aunque esta publicación (DCB) exponía que el constructivismo no es un movimiento psicológico y pedagógico con unos supuestos de carácter uniforme, parece que es más bien esta idea la que ha cuajado en el pensamiento del profesorado en general. M. Carretero, en su obra Constructivismo y Educación, expone sobre este particular, lo siguiente

"Conviene indicar que no puede decirse en absoluto que el constructivismo sea un término unívoco. Por el contrario, creemos que puede hablarse de varios tipos de constructivismo. De hecho es una posición compartida por diferentes tendencias de la investigación psicológica y educativa...que en última instancia poseen más elementos en común que diferencias. ¿Qué es el constructivismo? Básicamente puede decirse que es la idea que mantiene que el individuo -tanto en los aspectos cognitivos y sociales del comportamiento como en los afectivos- no es un mero producto del ambiente ni un mero resultado de sus disposiciones internas, sino una construcción propia que se va produciendo día a día como resultado de la interacción entre esos dos factores. En consecuencia, según la posición constructivista, el conocimiento no es una copia de la realidad sino una construcción del ser humano" (1993, pp.20-21).

Así pues, la concepción actual sobre la naturaleza de los problemas que afectan a la enseñanza y el aprendizaje viene marcada por dos notas:

El estudio conjunto y como proceso de la enseñanza y el aprendizaje.

La concepción de este proceso como de construcción personal en un contexto social.

MONEREO (2001), en su valoración a la compilación de REIGELUTH (2000), sintetiza las distintas posiciones o "familias" constructivistas. Éstas difieren en la consideración de qué es lo que se construye y a través de qué mecanismos psicológicos y/o sociales. La más reciente, centra sus esfuerzos en la elaboración previa del tema objeto de aprendizaje como medio para favorecer las relaciones que pueda establecer el alumno. Los autores representativos de esta posición son los inspiradores de la denominada Psicología de la Instrucción (GAGNÉ, AUSUBEL, NOVAK, MERRILL Y REIGELUTH).

De los aspectos fundamentales del pensamiento y de la obra de los autores de orientación constructivista que hemos destacado derivan los grandes principios, estrategias y técnicas



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hacia las que el currículo establecido orienta: la necesidad de contribuir al desarrollo de las capacidades de los alumnos, la importancia de impulsar la actividad a través de aprendizajes verbales significativos, la repercusión de los esquemas mentales en el ajuste y reestructuración de los aprendizajes y la influencia de la interacción con los compañeros y con el profesor en el proceso de construcción personal de los contenidos.

En las disposiciones normativas vigentes (Ley de Calidad y Currículo Prescripto) se identifican también los principios didácticos de orientación constructivista. No obstante, hay que apuntar que los referentes teóricos de este marco normativo siguen evolucionando. Desde esta perspectiva destacan las aportaciones de GARDNER (2001) y el nuevo marco sobre el que se está trabajando en una línea que está ya tomando cuerpo (VVAA, 2003) en el mundo occidental; un importante movimiento de investigación y práctica educativa orientado a incrementar la calidad de la educación mediante la mejora de los centros escolares. Se trata de un movimiento que integra dos tradiciones en el ámbito educativo: la de la eficacia escolar y la de la mejora de la escuela. A esta línea se la ha denominado “Efective School improvement”(ESI) que puede traducirse como Mejora de la Eficacia Escolar.

Tras la referencia al marco bibliográfico y normativo en el que se inscriben los principios de intervención educativa, pasamos a ocuparnos de su desarrollo, no sin antes apuntar algunas consideraciones sobre su valor: sirven de punto de referencia para todo el sistema educativo (para todas las áreas, materias y módulos), asegurando:

− La coherencia vertical entre los distintos cursos, ciclos, etapas y niveles.

− La coherencia horizontal entre las diferentes áreas, materias y módulos del currículo.

Los principios están recogidos de forma analítica y fragmentada en publicaciones de teoría del aprendizaje de los autores señalados y, de forma sintética en los currículos oficiales y algunas publicaciones de didáctica. Siguiendo esta última línea los abordamos (POZO Y POSTIGO, DE LA TORRE, SEVILLANO GARCÍA, ZABALA, COLL). Son los siguientes:

Promover el desarrollo de la capacidad de "aprender a aprender". Es un principio que repercute en la consideración, explícita o implícita, de las diversas vertientes del contenido (además de la conceptual): la actitudinal y la procedimental.

Los procedimientos van a constituir auténticas herramientas de trabajo, es el caso de la observación, el análisis, los comentarios. POZO y POSTIGO (2000) destacan la relación directa que existe entre el trabajo sistemático con estos contenidos y el impulso de la capacidad de aprender a aprender. Las actitudes orientarán la asimilación de los conceptos y la utilización de técnicas como el interés y la participación.



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Impulsar la participación activa del alumno. El aprendizaje significativo requiere actividad mental por parte del sujeto que aprende. Conseguir un propósito tan complejo como éste, exige que el alumno se encuentre motivado hacia las tareas que va a emprender. El profesor, en la planificación y desarrollo de sus unidades didácticas podrá utilizar estímulos variados para conseguirlo:

o Estímulos emocionales: apoyo a los logros, atención directa en las dificultades, atractivo en la presentación de los contenidos, etc.

o Estímulos intelectuales: diseño de algunas actividades alternativas que les permitan tratar los mismos contenidos, ejercitar su capacidad de toma de decisiones.

o Estímulos sociales: utilización de recursos característicos del medio, de trabajos en grupo, etc.

Contribuir al establecimiento de un clima de aceptación mutua y de cooperación. La labor del docente como mediador entre los contenidos y la actividad del alumno es esencial. Junto a los estudios dirigidos a profundizar en el alcance de esta interacción, está cobrando un importante auge la investigación sobre el papel que desempeñan los propios compañeros en algunas metas educativas y en aspectos específicos del desarrollo cognitivo y de la capacidad de socialización.

COLL Y COLOMINA (1991) han realizado una síntesis de las principales investigaciones en este campo y muestran que la interacción entre alumnos influye decisivamente en:

o El control de los impulsos agresivos.

o La relativización de puntos de vista.

o El incremento de las aspiraciones y del rendimiento académico.

o El proceso de socialización.

BONALS (2000) señala que el trabajo en grupo desarrolla importantes funciones: regulación de los aprendizajes, socialización y potenciación del equilibrio emocional.

Dotar a las actividades de enseñanza-aprendizaje de un carácter lúdico. La actividad lúdica debe ser considerada como un recurso adecuado en la Educación. En ocasiones, las experiencias de enseñanza-aprendizaje poseerán un claro carácter lúdico y, en otras exigirán del alumno un esfuerzo mayor pero, en ambos casos, deberán ser gratificantes y estimulantes, condición indispensable para que el alumno construya sus aprendizajes.

B) El Principio metodológico del aprendizaje significativo. El término es acuñado por AUSUBEL en la década de los sesenta (aunque en nuestro Estado se extendió en los noventa) Atribuir significación a un contenido quiere decir llegar a establecer vínculos sustantivos entre los nuevos contenidos que hay que aprender y los que ya se dominan.



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Para conseguir que este fenómeno llegue a producirse, se requieren una serie de condiciones, pues el nuevo contenido ha de poseer:

o Significación desde la perspectiva de la estructura psicológica del alumno. Se necesitará un determinado nivel de capacidad, unos conocimientos básicos y, también, una actitud favorable (el sujeto deberá estar motivado).

o Significación desde el punto de vista de la estructura lógica de la disciplina. Para ello, será necesario que los contenidos sean relevantes y se presenten organizados.

o Significación desde el plano de la propia funcionalidad de lo aprendido. Los conocimientos objeto de aprendizaje deberán ser susceptibles de aplicación en nuevas situaciones. La funcionalidad de lo aprendido hace posible la aplicación de los contenidos en el medio socio-cultural y favorece el aprendizaje de otros contenidos curriculares.

De esta manera, hablar de aprendizaje significativo exige referirse al sentido, al interés de determinados contenidos desde la perspectiva del alumno, de la materia y de la utilidad que poseen para la adquisición de nuevos aprendizajes. Entre las vías para desarrollar este principio podemos destacar la teoría de la elaboración y los enfoques globalizador e interdisciplinar.

La Teoría de la Elaboración de Merril y Reigeluth constituye un modelo de diseño de instrucción que optimiza la adquisición, retención y transferencia del conocimiento significativo siguiendo unas fases de tratamiento lógico. Se trata, en definitiva, de ordenar y desarrollar el proceso de enseñanza-aprendizaje de acuerdo con los siguientes principios:

o Principio de síntesis inicial

o Principio de elaboración gradual

o Principio del familiarizador introductivo

o Principio de lo más importante lo primero.

o Principio del tamaño óptimo.

o Principio de la síntesis periódica

El desarrollo del principio de transferencia del contenido a través de la materialización de los enfoques globalizador e interdisciplinar favorecerá la concreción del aprendizaje significativo.

Entre las directrices de la enseñanza sobre el principio metodológico de aprendizaje significativo destacan:

Partir del nivel de desarrollo del alumno. El principio de aprendizaje significativo exige, como hemos señalado, partir del nivel de desarrollo del alumno. Ello requiere conocer las capacidades y conocimientos previos del alumno. Cada uno de ellos posee un papel.



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Respecto al papel de las capacidades en el aprendizaje significativo, es fundamental. Constituye la base general, el sustrato. Ha sido muy frecuente entender que el término capacidad significaba, sin más, nivel de desarrollo evolutivo en abstracto. Hoy la capacidad individual se vincula, de forma clara, a las experiencias de aprendizaje y a los conocimientos adquiridos en el transcurso de las mismas. Así pues, identificar las capacidades de un alumno exige:

o Poseer conocimientos de su nivel de desarrollo psicológico (cognitivo, afectivo, moral, lingüístico, psicomotriz).

o Familiarizarse con las experiencias de aprendizaje contextualizadas (medio socio-cultural, familiar, medio escolar -sistema educativo y centro) y los conocimientos adquiridos en el transcurso de las mismas.

El conocimiento del nivel de desarrollo del alumno nos lo proporcionará la fuente psicológica, a través de las aportaciones de sus autores más destacados. La organización escolar, la sociología y el conocimiento del Proyecto Educativo, nos proporcionarán datos sobre el contexto y los conocimientos que en él se han elaborado.

Conocer y dar importancia a los conocimientos previos también es fundamental para conseguir un verdadero aprendizaje significativo. Estos conocimientos son los indicadores de un pensamiento que se construye, de los medios de compresión de los que dispone el alumno; pueden determinar la elección de los medios didácticos. También nos pueden proporcionar valiosas indicaciones en la definición realista de los objetivos a alcanzar porque aportan datos sobre las etapas intermedias que materializan la construcción del saber. Las investigaciones sobre conocimientos previos y su papel específico en los procesos de e-a han llegado a determinar que:

o El sujeto que aprende no graba y conserva sin más las informaciones, es un organismo actor, posee una estructura de recepción.

o Eje substrato, o preconcepción debe ser el punto de partida para que el profesor diseñe sus estrategias y elabore los mensajes que desea transmitir.

o Esos conocimientos previos serán básicos pueden adoptar la forma de modelos explicativos y tienen al tiempo una génesis individual y social.

o Los conocimientos previos no son siempre ideas intuitivas e imprecisas, pueden determinar estrategias cognitivas para seleccionar las informaciones pertinentes, para estructurar y organizar lo real.

2.2. Estrategias de enseñanza-aprendizaje.

El término Estrategia ha sido definido por distintos autores (SEVILLANO GARCÍA, DE LA TORRE, COLL, ZABALA), partiendo de las teorías de Ausubel (Aprendizaje Significativo) y Bruner (Aprendizaje por Descubrimiento), pudiendo afirmarse que se trataría de un Recurso metodológico que determina un plan de actuación respecto a la posición del profesor y del alumno/s en el proceso de enseñanza/aprendizaje. Los dos



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grandes tipos de alternativas estratégicas son, como ya hemos indicado, la exposición y la indagación; que identifican al protagonista de la transmisión de conocimientos en un momento (exposición del profesor y/o del alumno/s), en el caso de la primera, y el grado de autonomía en la construcción de los conocimientos (estrategias indagatorias mediante aprendizaje dirigido, semidirigido o “libre”), en la segunda.

De forma bastante generalizada, se reconoce el valor de la alternancia de estrategias expositivas e indagatorias para optimizar los resultados de los procesos de e/a gracias a la confluencia de técnicas que cada uno de los dos tipos señalados puede ayudar a disponer.

Las estrategias didácticas expositivas. La importancia de la aplicación de este tipo de estrategias viene avalada por autores como el ya citado AUSUBEL (1963), quien, frente a otros autores de orientación también constructivista, ha defendido la importancia del aprendizaje verbal significativo o aprendizaje "receptivo significativo". El profesor, como agente mediador, debe conseguir que los aprendizajes receptivos sean significativos. Ello dependerá de las condiciones en las cuales se produzcan. Las estrategias expositivas promoverán la construcción de aprendizajes significativos siempre que:

o Partan del nivel de desarrollo del alumno, considerando que este nivel aparece conformado por sus capacidades y sus conocimientos previos, cuenten con el interés de los mismos o se dirijan a promoverlo. Presenten con claridad los nuevos contenidos.

Su utilización deberá restringirse a momentos clave del tratamiento de la unidad didáctica. Destacamos los siguientes:

o Planteamientos panorámicos o introductorios.

o Síntesis o recapitulaciones periódicas.

o Síntesis o recapitulaciones finales.

La estrategia expositiva debe ser mínima y de corta duración tanto en la etapa primaria como secundaria.

Las estrategias didácticas de indagación. Su valor ha sido destacado por diferentes autores; entre ellos podemos subrayar el papel de Bruner (1961, 1966), ya citado. La configuración de estrategias didácticas de indagación permitirá que los alumnos siguiendo unas pautas más o menos definidas (la intervención del profesor deberá ajustarse a las necesidades de los alumnos), puedan trabajar contenidos de distinto tipo (conceptos, actitudes y procedimientos). Se encontrarán en situaciones de acción y reflexión. Así, podrán:

o Identificar problemas.

o Intentar determinar algunas de sus causas.



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o Obtener datos.

o Clasificarlos.

o Analizarlos y compararlos.

o Establecer conclusiones y generalizarlas.

Esta estrategia es la que tiene que tener un mayor peso tanto en la enseñanza primaria como en la secundaria respecto a la expositiva.

2.3. Técnicas metodológicas.

Según SEVILLANO GARCÍA (2007) y DE LA TORRE (2005), podemos definirlas como los “Recursos metodológicos concretos que precisan una serie de elementos y/o pasos puntuales para orientar la acción sirviendo, por tanto, de guía para sistematizar la forma en que se desarrollarán las actividades del proceso de ella”.

Algunos tipos de técnicas de gran valor por su funcionalidad para el desarrollo de distintos principios de intervención (aprendizaje significativo, aprender a aprender..) son el debate, el coloquio, el mapa de contenidos, la investigación bibliográfica, el resumen y el esquema. Identificaremos algunas de ellas, tomando como referencia las obras de HERNÁNDEZ y GARCÍA, (1997), de GARCIA RUIZ (2003), GALINDO MORALES (2004) y otros autores.

3. RECURSOS PERSONALES.

Los medios o recursos personales poseen un valor fundamental en el desarrollo del proceso de enseñanza-aprendizaje desde una posición constructivista. En un sentido restringido, los alumnos y los profesores desempeñan un papel de recursos, de vehículos de transmisión y/o de mediación en la construcción de conceptos, procedimientos y actitudes. En un sentido más amplio, cualquier agente social, cualquier trabajador, cualquier profesional de la información puede ser considerado medio personal en la construcción de conocimientos y valores.

La cuestión del docente como parte de los recursos humanos, considerados agentes decisivos en el proceso de enseñanza-aprendizaje, más todavía el tema de los docentes no acostumbra a considerarse en relación a los elementos de la enseñanza.

Sin embargo, el docente va a desempeñar un papel mediador entre cultura y alumnos. En este sentido Word y Bruner (Wood y Brunner, 1980) han utilizado una metáfora que ha alcanzado gran popularidad, la metáfora del andamiaje:

“Un edificio se construye sobre una base; las personas que construyen el edificio deben tener la base accesible y, a la vez, la posibilidad de construir por encima de lo ya construido. Los andamios hacen posible agacharse para enlazar con la construcción previa y, estirándose, tirar luego hacia arriba; cuando ya no se alcanza más, se debe subir el andamio de altura, agacharse a la nueva base (que fue la cota máxima de la



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construcción anterior) y continuar ascendiendo. Al final de la construcción no hubiera sido posible sin su ayuda”.

Por tanto, en el proceso educativo, la labor del profesor se sitúa en la línea del proceso descrito. Será necesario partir del nivel en el que los alumnos se encuentran e ir estimulando el acceso a nuevos niveles de competencia y desarrollo. El papel que juega el profesor en este proceso es fundamental.

Además, la figura del docente es determinante para el uso óptimo de los recursos que en absoluto anulan ni limitan la personalidad del profesional de la educación, sino todo lo contrario, enriquecen su labor, dotando a su actividad de cierto dinamismo (García Ruiz, 2003).

Por último, la atención a la diversidad del alumnado obliga al profesorado a que conozca, disponga y haga uso de una variedad de recursos que le permitan dinamizar las actividades y que mejoren el proceso de enseñanza-aprendizaje. Se abandona, de este modo, el modelo tradicional meramente expositivo, donde la expresión oral, la pizarra y el libro aparecen como el único triángulo de recursos que sustenta la enseñanza-aprendizaje; lo que supone un empobrecimiento de los medios y una pérdida de posibilidades y oportunidades de aprendizaje. De este modo, el nuevo sistema educativo español -articulado a partir de la LOGSE culminado por la LOE, que da una enorme importancia a la atención a la diversidad-, concede un gran papel a otras metodologías más participativas que favorecen la interacción, parten de la situación real del alumnado y aseguran un nivel adecuado de motivación mediante el uso diverso de todos los recursos de los que dispone. El resultado es que el docente supera su papel de mero transmisor de conocimientos para convertirse en el elemento articulador que proporciona a los alumnos de medios necesarios para que éstos realicen un aprendizaje realmente significativo (García Ruiz, 2003).

Además, dada la incorporación en las aulas de una gran variedad de recursos, el papel del docente cobra gran importancia a la hora de delimitar los objetivos que tienen que conseguirse, las características del alumnado, la selección del medio más idóneo para llevar a cabo el proceso de enseñanza-aprendizaje, la elaboración del guion en relación a los contenidos –exposición oral-, la preparación del material, la aplicación de os distintos recursos, la coordinación de las actuaciones de los alumnos y la evaluación del proceso de enseñanza-aprendizaje. De hecho, es tal su importancia, que está demostrado que un excelente material mal empleado, producirá peores resultados que otro más sencillo pero usado de forma correcta.

4. RECURSOS AMBIENTALES.

Los recursos ambientales comprenden desde la conformación flexible y funcional del espacio del aula, (para trabajar individualmente, para fomentar el trabajo en equipo) hasta la utilización de los distintos espacios del centro y los ambientes que, fuera de él puedan cooperar en el tratamiento de los contenidos.



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En el propio centro y fuera del propio espacio-aula podemos destacar:

El aula de informática, para la búsqueda de información.

La sala de audiovisuales, para el visionado de material de estas características, muy útil para la explicación de las unidades didácticas y para la realización de actividades.

La biblioteca permite la toma de contacto con una selección de obras científicas, técnicas, literarias.

El salón de actos es un espacio para el intercambio de comunicación, la creatividad, etc.

Las salidas fuera del centro desempeñan un importante papel al facilitar la observación y el encuentro con el medio natural, social, cultural y laboral y los procesos y fenómenos que en ellos tienen lugar. Ilustran y hacen más comprensibles a los alumnos determinados conocimientos. Las salidas favorecen la adquisición de hábitos de autonomía y el desarrollo de actitudes como el respeto hacia el entorno natural, cultural y social. Asimismo, impulsan capacidades de relación en los alumnos.

5. RECURSOS MATERIALES.

La enorme variedad de recursos materiales que el medio en que vivimos pone a nuestro alcance nos obliga a prever unos soportes de material variado: impreso, audiovisual e informático. Entre los elementos del currículo común señalados por la nueva LOE se encuentra la promoción e impulso a la lectura, la comunicación audiovisual y las Tecnologías de la Información y Comunicación. Los contenidos, expuestos con estos materiales y soportes pueden resultar más claros y atractivos. Al tiempo, pueden estimular al alumno a buscar y seleccionar información en diversas fuentes.

Además, en ocasiones, los recursos didácticos constituyen elementos materiales cuya función principal estriba en facilitar la comunicación que se establece entre educadores y educandos (VIDORRETA GARCÍA; 1992: 7). Los recursos materiales son soportes físicos, facilitadores de la información en el proceso comunicativo-educativo, puesto que su misión estriba en vehiculizar esa información, en ser, en definitiva, canales de la misma (COLOM CAÑELLAS, A. Y OTROS. 1988: 18). Es lo que sucede cuando por ejemplo en una clase se utiliza la pizarra, una fotografía o una película de vídeo, un libro de láminas, un cuento, etc. Es decir, en este sentido los recursos, también denominados "medios", son elementos físicos y materiales, transportadores y/o clarificadores de los mensajes educativos.

Los recursos materiales pueden ser de naturaleza muy variada, más específicos de una etapa educativa en particular o de un área determinada. Sin embargo, y en general, los distintos tipos de recursos materiales podrían ser clasificados como sigue:

- Materiales impresos (libros de texto, libros de consulta, libros de prácticas y actividades, etc.).

- Materiales audiovisuales (transparencias, diapositivas, vídeos educativos, etc.)



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- Materiales informáticos (programas didácticos, programas de propósito general, etc.)

5.1. Materiales impresos

Dentro de este grupo podemos incluir: el material bibliográfico, el libro de texto, el material documental, la prensa escrita o el material cartográfico. De cada una de ellas, vamos a establecer las características más adecuadas para conseguir una mayor efectividad de las mismas (García Ruiz, 2003).

El libro de texto: Este material impreso ha sido tradicionalmente casi el único medio didáctico para el desarrollo de las actividades de enseñanza-aprendizaje. En la actualidad, se le siguen reconociendo aspectos positivos como permitir centralizar y sistematizar el aprendizaje, establecer relaciones y ofrece un marco conceptual ordenado lógicamente, proporcionando imágenes, datos, ejercicios, etc.

Por todo ello, se sigue utilizando en las tareas de aprendizaje. Sin embargo, debe complementarse con otros recursos, como los juegos de simulación, los libros de consulta, etc.

En definitiva, el libro de texto debe dejar de ser un texto escrito con algunas ilustraciones, para convertirse en colección de recursos didácticos utilizados por el profesorado con la mayor flexibilidad, aprovechando posibilidades, modificando sus propuestas y complementándolo con otros recursos generados por la propia actividad escolar.

El material bibliográfico. Dentro de este material, destacan: los libros de consulta (enciclopedias, catálogos, tratados, colecciones, etc.), los estudios locales o regiones, las biografías, los libros de viaje, libros auxiliares (calculadora, diccionarios, mapas, etc.).

Todos estos materiales contribuyen al desarrollo del currículo. A veces por el carácter consultivo de los datos o como fuente de conocimientos.

La labor del profesor en la selección y utilización de los materiales impresos que puedan estimular el interés por la lectura y, además el desarrollo de valores personales y sociales, será trascendental. Con objeto de facilitar el acceso a este material bibliográfico por parte de los alumnos, se recomienda la opción de la biblioteca, bien a nivel de centro o de aula. La tarea del profesorado, en este caso, será seleccionar en cada caso los textos más adecuados, dependiendo de los niveles de comprensión y la capacidad de abstracción de los alumnos (García Ruiz, 2003).

Otros materiales que destacamos por su utilidad en la enseñanza son:

A) La prensa. De hecho, la prensa nos permite desarrollar actividades muy ricas e importantes que no pueden abordarse con los libros de texto específicos. Para un mejor aprovechamiento didáctico de la prensa escrita habría que delimitar tres niveles de uso: como objeto de estudio, como técnica de trabajo o como auxiliar didáctico, según define García Ruiz (García Ruiz, 2003):



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o El uso de la prensa como objeto de estudio pern1itirá al alumno a aprender a leer dicha prensa, conociendo algo de sus mecanismos internos en relación a las fuentes informativas, al tratamiento de las noticias, al uso de la libertad de expresión, a los aspectos propagandísticos, etc.

o La utilización de la prensa como técnica de trabajo hace posible que los alumnos investiguen el medio, realicen entrevistas, elaboren textos donde expresan sus observaciones e incluso imprimen los más significativos.

o El uso de la prensa escrita como auxiliar didáctico, ofrece en relación a cualquier área, la posibilidad de comentar y contrastar noticias de actualidad, realizar el seguimiento de datos meteorológicos, recoger información sobre fenómenos naturales, reunir noticias locales sobre aspectos sociales, medioambientales o de conservación de patrimonio, o de contrastar datos demográficos, económicos o relacionados con problemáticas ciudadanas.

Como material para la enseñanza-aprendizaje, la prensa diaria y las revistas especializadas constituyen un medio de gran valor. Unen a la información, la reseña crítica. Una noticia como las cotizaciones en una subasta a un hecho singular, puede permitir el desarrollo de técnicas tan importantes como la de análisis y comentario de texto, o el debate-coloquio. Pero a su vez, el análisis sobre una muestra puede servir de base para visitar la exposición a la que alude, desarrollando otra técnica como es los itinerarios didácticos. Incluso, las conclusiones de la misma, se pueden archivar en un fichero o dossier, convirtiéndose en una fuente consultiva para el centro o el alumno. Con ello, además, de un método de trabajo puede contribuir a crear unos hábitos y tipos de comportamiento para actuaciones posteriores, más allá de la dimensión escolar (García Ruiz, 2003; Aranda Hernando, 2003).

B) El archivo de aula. Estaría constituido por un fichero en el que se conservan y clasifican los materiales complementarios y alternativos al libro de texto, ya sean de elaboración propia o simplemente extraídos de fuentes diversas. De hecho, gran parte de los materiales analizados hasta este momento, pueden ser objeto de ordenación y archivo, con vistas a usos posteriores o alternativos. Los ficheros o Archivos de Aula tienen múltiples usos, como indica García Ruiz (García Ruiz, 2003):

o Ofrece a los alumnos unos materiales adaptados al contexto específico del centro y del entorno.

o Permite utilizar dichos materiales de forma autónoma por parte de los alumnos, siendo especialmente útil en cuanto a la atención a la diversidad.

o Favorece la adquisición de destrezas relativas a la clasificación de la información.

o Aumenta la motivación del alumnado en relación a la elaboración y uso de materiales didácticos propios.



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o Complementa el uso de la prensa escrita, recogiendo con carácter de hemeroteca aquellas noticias consideradas de interés.

o Permite el archivo y utilización de fichas diversas, en función de las necesidades de aprendizaje (información y documentación, monografías, técnicas de trabajo, recuperación o profundización, autoevaluación, etc.)

o Se enriquece y amplía constantemente por medio de actividades de aprendizaje de los alumnos, y no obliga al profesorado a cambios metodológicos radicales.

Entre los propios del aula de matemática podemos destacar los dominós, geoplanos, libros de espejos, tangram, cartas, dados…

La editorial Proyecto Sur Ediciones S.L. es una de las principales creadoras de materiales didácticos de matemáticas.

http://www.proyectosur.com/prestashop/category.php?id_category=19

C) Libros de juegos o de lectura. La posibilidad de acceder a múltiples libros en Internet (que pueden imprimirse) y los servicios educativos a la carta que ofrecen algunos portales abren nuevas posibilidades para el aprovechamiento de estos materiales en la escuela y en casa. Además, tal vez pronto tendremos los primeros interlibros: libros convencionales que además incluirán referencias a páginas web con vídeos, simulaciones y ejercicios autocorrectivos; pasando un puntero sobre estas referencias se accederá inmediatamente a estos recursos si se dispone de un ordenador, de una agenda o de un móvil con acceso a Internet. Existen muchas editoriales como Nívola que están haciendo un gran esfuerzo por dar cabida a literatura infantil y juvenil sobre matemáticas.

5.2. Material audiovisual.

La presencia permanente de los medios audiovisuales en el mundo actual es una de las características más representativas de nuestra época -una época de la imagen-, ha provocado modificaciones en las formas de expresión y de pensamiento actuales.

Lógicamente, esta influencia en la sociedad, también se manifiesta en el ámbito educativo donde la integración de la cultura audiovisual en los procesos de enseñanza-aprendizaje se ha convertido en algo necesario. Además, los medios audiovisuales nos permiten transmitir con exactitud elementos históricos o artísticos de espacios ajenos al nuestro, o acercamos a realidades sociales, económicas o políticas de épocas históricas lejanas en el tiempo.

Sin embargo, en el uso de estos recursos, el docente debe evitar las actitudes meramente receptivas por parte de los alumnos, induciendo a éstos a través de las propuestas didácticas a realizar un aprovechamiento realmente significativo, como indica Galindo Morales (Galindo Morales, 1995).

Entre los materiales audiovisuales que pueden manejarse en el aula, destacan:



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o Diapositivas (proyector): La fotografía en diapositivas, sigue siendo, sin discusión el medio más utilizado para plasmar partes y detalles, interiores o exteriores. Su gran inconveniente es la incapacidad de abarcar el edificio completo, lo contempla desde un solo punto de vista. En cambio, es muy válida la reproducción fotográfica de planos, convirtiéndose así en un elemento primordial para la interpretación del espacio. De ahí que, en los últimos tiempos estén siendo sustituidas por el ordenador, dotado de “cañón”, que ofrece mayores posibilidades didácticas.

o Transparencias (Retroproyector): Las transparencias son un medio audiovisual ideal para el desarrollo de técnicas como el mapa de contenidos. Además, una de sus mayores ventajas que tiene este material es la capacidad de intervención que el docente tiene sobre el mismo. Así, la posibilidad de superponer o realizar provisionalmente modificaciones en las transparencias, las hace especialmente útiles para la comprensión de esquemas de mayor o menor complejidad, o de planos, gozando además de una absoluta disponibilidad en el momento preciso y aventajando tremendamente a la pizarra en este aspecto. A pesar de las ventajas comentadas, el uso de este recurso en los centros educativos es escaso, no tanto por la inexistencia de proyectores, sino por el trabajo que acarrea realizar las transparencias por parte de los docentes.

o Grabaciones sonoras: Su aplicación puede resultar especialmente interesante:

Como complemento a las diapositivas, adecuando la grabación al contenido gráfico de las diapositivas.

Como recurso complementario de acercamiento a otras épocas (por ejemplo: la música del Barroco se caracteriza por sus contrastes, de la misma manera que el arte, pudiendo utilizarse como apoyo en las clases de Conocimiento del entorno y del medio natural y social, desde una perspectiva interdisciplinar), o a determinadas coyunturas históricas.

Como apoyo técnico para nuestros alumnos en la realización de trabajos de campo, entrevista, encuestas, etc.

o Televisión/vídeo/cine: A pesar de tratarse de recursos diferentes, vamos a considerarlos conjuntamente, dado que todos ellos nos ofrecen imágenes acompañadas de sonido, que podemos visualizar en el aula a través del televisor (García Ruiz, 2003).

Respecto a la televisión en abierto, ésta nos permite aprovechar la oferta de los canales comerciales en aquellos aspectos que puedan favorecer las actividades de enseñanza-aprendizaje, (los documentales, los programas informativos, los programas específicos de televisión educativa, etc.), ya sea en el momento de su emisión o grabándolos para un aprovechamiento posterior. La selección, grabación y clasificación de estos materiales puede realizarse con la participación activa del alumnado, organizando grupos que lleven a cabo el seguimiento de la oferta televisiva de la semana, quienes deberán hacer una selección de dicha oferta. En este aspecto, el docente puede orientar a sus alumnos hacia



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un análisis crítico de la televisión. Una vez realizada la grabación, se pueden aplicar técnicas para su utilización, como los debates-coloquios.

En relación al uso de la videocámara o la cámara de DVD por los alumnos, lo más destacado desde el punto de vista didáctico, sería su uso en los itinerarios didácticos, que precisan la recogida de imágenes, que luego pueden analizarse y comentarse en el aula, o pueden ser la base, para realizar diapositivas a partir de las mismas, o, y ya estaríamos hablando de otro tipo de recursos, digitalizarse, para utilizarlas con un soporte informático (Marín Viadel, 2003).

Respecto al aprovechamiento del cine en el ámbito educativo, vemos que efectivamente, en ocasiones las producciones cinematográficas pueden reflejar un momento histórico, una determinada situación social, o un ámbito natural preciso, convirtiéndose en base para el desarrollo de técnicas como el debate-coloquio No obstante, conviene tener presente que, salvo contadas excepciones, las evocaciones cinematográficas generalmente carecen de rigor científico, y que la extensión o la temática particular de la obra puede que en ocasiones limite la visión por el alumnado.

Especialmente recomendable en para la educación matemática en primaria la película “Donald en el país de las matemáticas” (1935) de Walt Disney; la película “Dentro del laberinto” (1985) de Jim Henson o la serie “Ojo Matemático”.

5.3. Recursos informáticos.

Las ventajas del ordenador en el proceso de enseñanza-aprendizaje, ya fueron señaladas por Moreno Jiménez hace más de diez años (Moreno Jiménez, 1995), al afirmar que se centran en la rapidez de ejecución de tareas, en la capacidad para almacenar información, en la multiplicidad de formas para presentar dicha información, y en la aptitud para la interacción. De hecho, como afirma Marín Viadel:

“Una computadora bien equipada en un aula proporciona las mayores posibilidades de creación visual que herramienta alguna ha podido representar hasta el momento. Es la herramienta por excelencia y no podemos obviarla en el proceso educativo de nuestro alumnado. El mundo en el que van a vivir va a estar inundado de imágenes virtuales, de interfaces intuitivas, visuales, de publicidad interactiva. La potencialidad que encierran estos medios es imposible de prever, pero es seguro que el mundo que venga se construirá a través de ellos” (Marín Viadel, 2003). Así, la presencia del ordenador en nuestros centros educativos podríamos decir que responde a tres funciones fundamentales:

o El ordenador como objeto de estudio en sí mismo. Los alumnos, en este caso, aprenden contenidos acerca del ordenador, de la tecnología informática y de las nuevas tecnologías de la información.

o El ordenador como recurso didáctico. El uso didáctico del ordenador se organiza a través de actividades de aprendizaje diseñadas por el profesor para la consecución de los objetivos del currículo correspondiente a las distintas áreas. Los alumnos, en este



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caso, aprenden con el ordenador y del ordenador contenidos escolares (conceptos, hechos, principios, procedimientos, estrategias, etc.)

o El ordenador como herramienta o instrumento para facilitar el acceso al currículo de alumnos con necesidades educativas especiales puedan acceder al currículo, expresarse, etc.

En la actualidad, la utilización del ordenador como recurso didáctico se entiende que debe ser llevada a cabo de una manera integrada, formando parte de resto de las actividades diseñadas dentro de la programación.

Su utilización, como el de cualquier otro recurso o medio didáctico, está condicionado por el grado de adecuación a los objetivos didácticos propuestos. Además, debe estar en consonancia con el resto de las actividades que dentro de una unidad didáctica se orientan a promover la construcción de los aprendizajes por parte de los alumnos (PNTIC-MEC, 1992).

Los materiales curriculares que mediante el uso de un ordenador desarrollan un contenido concreto determinado por el programa se suelen englobar dentro de los llamados Programas de Enseñanza Asistida por Ordenador. En la actualidad, la EAO se entiende en un sentido amplio (superados ya los modelos didácticos conductistas y asumiendo las innovaciones técnicas que estos programas han experimentado). Efectivamente, en esta categoría se incluyen distintos tipos de programas, que posibilitan, a su vez, metodologías diversas de uso del ordenador.

En primer lugar, los programas de ejercitación presentan a los alumnos una serie de preguntas o problemas habitualmente estructurados en niveles de complejidad crecientes. El sistema comprueba la respuesta del usuario y plantea una nueva situación problemática. Estos programas, pioneros dentro de la informática educativa, versan habitualmente sobre un aspecto o contenido muy concreto. En la actualidad, los programas han evolucionado hacia modelos que incluyen nuevos elementos en la interacción entre el alumno y el material.

En segundo lugar, los programas tutoriales, que suministran información y ayuda sobre los contenidos que desarrolla el programa. Presentan contenidos estructurados y secuenciados de tal forma que se establece un diálogo entre el alumno y el ordenador.

En tercer lugar, los programas de simulación, que presentan modelos de una realidad difícilmente accesible para los alumnos mediante la experiencia directa. Existe un buen número de fenómenos que, debido a su peligrosidad, a lo dilatado o corto de su duración, a la lejanía del entorno donde se produce a su complejidad, etc., no pueden ser observados o manipulados directamente y que, en cambio, pueden ser reproducidos con el uso del ordenador, facilitando de este modo la interacción de los alumnos con estos hechos y circunstancias (por ejemplo, procesos en un reactor nuclear, desarrollo urbanístico de una ciudad, movimiento de los planetas, funcionamiento del aparato circulatorio, etc.).



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Por último, los programas de juegos educativos que presentan ambientes más o menos diversos orientados al aprendizaje en un entorno lúdico. Su valor principal es la motivación que producen, y el tipo de tareas que suele plantear a los alumnos.

Los programas de EAO se caracterizan, genéricamente, por desarrollar contenidos procedimentales y conceptuales que vienen predeterminados por el propio programa -programas cerrados-. Cuando un programa no determina los contenidos sino que proporcionan una estructura didáctica concreta, un armazón, a partir del cual el profesor puede definir una aplicación determinada con las herramientas que ofrece el programa, hablamos de programas abiertos. Este tipo de programas son muy diversos tanto en finalidad como en estructura didáctica, y permiten al profesor desarrollar sus propias aplicaciones, adaptadas por lo tanto a las necesidades del contexto y momento concreto del proceso de enseñanza y aprendizaje, a las características del grupo y de los alumnos individuales, etc.

Efectivamente, el profesor puede, por ejemplo, variar los textos adaptándolos al nivel de vocabulario de sus alumnos, modificar actividades ajustándolas al nivel de conocimientos previos detectados, ampliar el banco de ejercicios o problemas de un determinado aspecto que necesita ser reforzado por un grupo de alumnos, etc.

Además del tipo de materiales que hemos descrito anteriormente, específicamente diseñados para su uso didáctico, los denominados programas de propósito general, aplicaciones informáticas de uso o propósito no didáctico que sin embargo son cada vez más empleados por el profesorado y los alumnos en un contexto escolar con fines educativos. Nos estamos refiriendo a los procesadores de texto, las bases de datos, las hojas de cálculo, los programas de autoedición, los programas de diseño gráfico, etc.

6. NUEVAS TECNOLOGÍAS EN EL AULA DE MATEMÁTICAS.

La riqueza, versatilidad y variedad de opciones de medios didácticos que presentan las TIC abre nuevos horizontes a las relaciones enseñanza/aprendizaje. MARQUÈS (CP; 2006: 80-88) nos ofrece un panorama bien trazado sobre ellos: su identificación y prestaciones.

Mostramos algunos de los que actualmente están en vigor:

Programas y plataformas. Facilitan el desarrollo de la materia. Entre ellos destacamos:

- Wiris desktop. Es una herramienta tipo calculadora on-line con versiones para primaria y secundaria. Se trata de un elemento didáctico que resulta interesante para resolución de problemas y comprobación de soluciones.

http://www.wiris.net/demo/wiris/es/elementary.html

- Usa el coco. Es una plataforma realizada por Nacho Diego. Propone acertijos, problemas, sucesiones, problemas lógicos, etc. a nivel de primaria y secundaria.

http://www.usaelcoco.com/



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- Plataforma del gobierno de canarias. Es una plataforma que consta de diversas actividades flash apropiadas para primaria.

http://www3.gobiernodecanarias.org/medusa/ecoescuela/recursoseducativos/category/2-ciclo-de-primaria-2c/matematicas-2c/

- Plataforma “El Tanque” de Mario Ramos. Es una plataforma que consta de diversas actividades flash apropiadas para primaria.

http://www2.gobiernodecanarias.org/educacion/17/WebC/eltanque/

- Plataforma “Genmagic”. Es una plataforma que consta de diversas actividades flash apropiadas para primaria. La materia de matemáticas la puedes encontrar aquí:

http://www.genmagic.net/educa/course/view.php?id=3

- Racó del Clic. Programa online JCLIC. Es una plataforma que consta de diversas actividades realizadas por profesores y apropiadas para primaria. Permite crear actividades.

http://clic.xtec.cat/es/jclic/

- Contenidos Educativos Digitales de la Junta de Extremadura. Es una plataforma que consta de diversos módulos que explicitan los contenidos de educación infantil, primaria y secundaria de muchas materias, entre ellas matemáticas. La materia de matemáticas la puedes encontrar aquí:

http://conteni2.educarex.es/

- Infoymates. Es una plataforma de José María Arias Cabezas que consta de diversos apartados donde podemos encontrar juegos para trabajar las tablas de sumar, restar, multiplicar, dividir o hacer las raíces cuadradas. Trabaja mucho el tema de “carné del calculista”, herramienta muy adecuada para primaria.

http://www.infoymate.es/

- Aula21.net. Es una plataforma que consta de diversos apartados sobre programas y recursos entre los que destacan el apartado acerca del programa “hot potatoes”, capaz de crear actividades de unión de imágenes, completar frases o creación de test.

http://www.aula21.net

Materiales didácticos digitales en cd o en línea. La mayoría de editoriales tienen acceso digital a plataformas con contenidos sobre los materiales que proporcionan en formato impreso. Por ejemplo, En la mediateca del grupo de investigación Didáctica y Multimedia, DIM (http://dewey.uab.es/pmarques/dim) se puede consultar la evaluación de algunos de estos materiales. Además hay fuentes completas de materiales no interactivos (documentos, apuntes, esquemas, fotos, audiovisuales, ejercicios, etc.),



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Materiales para crear audio y video. Si pretendemos crear un archivo sonoro podemos utilizar el programa AUDACITY que es un editor , grabador y reproductor gratuito.

http://audacity.sourceforge.net/?lang=es

Si queremos grabar videos didácticos podemos utilizar programas como Windows Moviemaker.

La pizarra digital. Es un elemento que se va a imponer en el aula en un futuro muy cercano. Actualmente se están introduciendo mejoras para poder disponer de bancos de actividades especializadas en cada materia. La pizarra digital puede usarse como proyector, como pizarra en la que escribir o como vehículo interactivo de realización de actividades mediante la manipulación manual de la misma.

Las pizarras digitales suelen llevar incorporado un programa donde disponemos de algunas características de tipo matemático como representador de polígonos, compás, regla, que nos permite ser más precisos en nuestras representaciones.

7. BIBLIOGRAFÍA

Algunos libros y referencias con los que se confeccionó el material o pueden servir para ampliar son:

- ALMODÓVAR, J.A.; GARCÍA, F.; HERNÁNDEZ, J.; MORENO, Mª R.; RODRÍGUEZ, M. Y VALERA, J.Mª: Matemáticas 6º Primaria (Serie Un paso mas), Santillana, 2006.

Libro de texto de la editorial Santillana con los distintos bloques de contenido, actividades, metodología aplicada, etc. a nivel de 6º Primaria.

- ALSINA, C. Y OTROS. (1995): Enseñar matemáticas. Barcelona. Graó.

Con esta obra se pretende fomentar el aprecio a la matemática dando pautas de trabajo, metodología y didáctica para toda la primaria y secundaria.

- CASCALLANA, M. T. (1988): Iniciación a la matemática. Materiales y recursos didácticos. Madrid. Santillana.

Con esta obra se pretende fomentar ele aprecio a la matemática mediante materiales y recursos didácticos atrayentes para el alumnado.

- CASTRO MARTÍNEZ, E.: Didáctica de la matemática en la Educación Primaria. Ed. Síntesis.

El objetivo de este manual es proporcionar un marco conceptual sólido y unas herramientas útiles tanto para la formación del profesorado de Matemáticas de la Educación Primaria como para su trabajo en el aula.

La enseñanza y aprendizaje de las matemáticas se aborda desde una perspectiva propia que integra el conocimiento matemático con el didáctico, y lo ejemplifica con un estudio de los correspondientes temas del currículo. Asimismo, el libro ofrece una aproximación disciplinar propia y original a las nociones relacionadas con la formación en Didáctica de la Matemática.



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- CHAMORRO, Mª DEL CARMEN (2003): “Didáctica de las Matemáticas para Primaria”.

Libro dedicado a desentrañar la evolución de los conocimientos matemáticos en la Etapa Primaria y la metodología a aplicar en esta etapa.

- ESCRIBANO GONZÁLEZ, A. (2004): Aprender a enseñar. Fundamentos de didáctica general. Cuenca: Universidad de Castilla La Mancha.

La obra está dividida en tres partes organizadas por capítulos que cubren de manera comprensiva tres ejes principales del aprendizaje didáctico: los fundamentos de la enseñanza, el diseño curricular y la investigación didáctica. La primera parte se centra en el aprendizaje de los fundamentos de la enseñanza. Para ello se estudian, por este orden, los siguientes fundamentos: epistemológico, filosófico-antropológico, educativo, histórico, psicológico y socio-ambiental. La parte segunda explora el aprendizaje del diseño del currículum. Proporciona unas herramientas básicas para alcanzar un conocimiento práctico necesario para llevar a cabo una enseñanza educativa de calidad. Abarca las bases teóricas del currículum, el diseño y el desarrollo curricular, los principales niveles de concreción curricular, el diseño de la enseñanza en el aula junto con las adaptaciones curriculares como respuesta a la diversidad, la evaluación del currículum y un repertorio básico de modelos de enseñanza. La tercera parte presenta la temática de la investigación didáctica. Incluye un estudio de la naturaleza, los principales paradigmas de investigación didáctica y los métodos de investigación más relevantes utilizados en didáctica con un énfasis especial en la Investigación-Acción.

- GIMENO SACRISTÁN, J. Y CARBONELL SEBARROJA, J (COORDS.) (2004): El sistema educativo: una mirada crítica. Barcelona: Praxis

Un primer observatorio de la educación que suministra las claves informativas necesarias para comprender un poco mejor el estado de salud de nuestro sistema educativo

- GUZMAN, MIGUEL DE (2006): Para pensar mejor: desarrollo de la creatividad a través de los procesos matemáticos. Editorial Pirámide.

Un primer observatorio de la educación que suministra las claves informativas necesarias para comprender un poco mejor el estado de salud de nuestro sistema educativo

- LEVY-LEBLOND, J: On the conceptual nature of the Physical constants. Cahiers Fundamenta Scientiae. 1976.

Manual de física universitaria para profundizar sobre los aspectos tratados sobre medida.

- MEC (2004): Una educación de calidad para todos y entre todos. Madrid: Servicio de Publicaciones.

Recoge aquellos aspectos que a juicio de la administración deben ser objeto de reformas y realiza una serie de propuestas de actuación.

- SARRAMONA, J. (2004): Las competencias básicas en la Educación Obligatoria. Barcelona.

El sistema educativo español ha vivido en los últimos años importantes transformaciones demandadas por el avance del conocimiento pedagógico y por tos profundos cambios operados en la sociedad, pero a veces también impuestas por la ideología política dominante en cada período. Esta breve obra pretende mostrar la temática que se vincula con una corriente de renovación curricular que se abre camino con fuerza en muchos países: es la introducción del



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concepto de competencia para referirse al tipo de logros que cabe exigir a la acción educativa y formativa. Se trata de una nueva perspectiva que responde a las exigencias de los tiempos y que recoge la mejor tradición pedagógica de los logros integrados y vinculados con la realidad.

- TORRÁ, M.: Construir las Matemáticas en la Educación Primaria. Ediciones Proyecto Sur.

Obra totalmente aplicada e ideal para la ecuación primaria en el sentido de que ofrece contenidos manipulables a partir de piezas, cartulinas, trabajos con compás y regla, etc. para alumnos que están aprendiendo geometría.

- WEISSTEIN, E.W. (1999): CRC Concise Encyclopedia of Mathematics. Chapman Hall.

Completa obra acerca de la geometría a nivel universitario. Contiene todas los conceptos y definiciones comentados en el tema pero a un nivel muy superior al que se imparte en primaria y secundaria. Para profundizar.

8. WEBGRAFIA.

Algunas páginas web de interés sobre el tema tratado.

- http://www.boe.es/buscar/doc.php?id=BOE-A-2006-21409

Página con acceso al texto íntegro del RR.DD. 1513/2006 sobre los contenidos mínimos de la Enseñanza Primaria.

http://www.boe.es/boe/dias/2014/03/01/pdfs/BOE-A-2014-2222.pdf

Página con acceso al texto íntegro del RD. 126/2014 sobre los contenidos mínimos de la Enseñanza Primaria.

- http://capileiraticrecursos.wikispaces.com/RECURSOS+PARA+E.+PRIMARIA

Página con acceso a otras webs educativas, búsqueda de recursos educativos y consejos sobre cómo realizar búsquedas en Internet, recursos útiles y consejos sobre cómo desarrollar la labor decente haciendo uso de las TIC en matemáticas de primaria.

- http://miclase.wordpress.com/category/2-matematicas/

Página con acceso a recursos educativos y consejos sobre cómo realizar búsquedas en Internet, recursos útiles y consejos sobre cómo desarrollar la labor decente haciendo uso de las TIC en matemáticas de primaria.

- http://www.vitutor.com/

Página web dedicada a las matemáticas de ESO y Bachillerato con muchos ejercicios y problemas referentes a los conocimientos de este tema. Muy interesante para saber cómo evolucionarán los contenidos de matemáticas en niveles superiores a parte de observar algunos de los contenidos de este tema.

- http://www.aula21.net/

Página con acceso a otras webs educativas, búsqueda de recursos educativos y consejos sobre cómo realizar búsquedas en Internet, recursos útiles y consejos sobre cómo desarrollar la labor decente haciendo uso de las TIC…



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- http://www.cnice.mecd.es/

Dentro de ésta página se encuentra la plataforma Agrega con consejos útiles de cómo incorporar las TIC en el aula y fuera de ella, acceso a recursos educativos y tecnológicos para diferentes materias; también existe acceso a cursos de formación permanente del profesorado, recursos educativos para alumnos y para profesores y se puede enlazar con otras páginas educativas de la red.

- http://www.portaldidactico.org/

Portal didáctico con gran número de aplicaciones educativas, centros de educación y enseñanza dentro y fuera de España, recursos para educación infantil, primaria y secundaria, por etapas y para algunas materias.

- http://www.eduteka.org/webquest.php3

Página de tecnologías de la información y la comunicación para enseñanzas básicas y medias. Acceso a gran número de materias, proyectos para las mismas y recursos a utilizar. Posibilidad de buscar proyectos educativos por etapas y consultar cantidad de recursos educativos.

- http://www.educamadrid.org

Página de la Comunidad de Madrid con acceso de búsqueda de recursos educativos (software, recurso en línea, aula virtual…), posibilidad de conectar los centros educativos a una red, como utilizar las TIC en el aula…

- http://www.educaweb.com/

Recursos para estudiantes, profesionales de la educación, posibilidad de enlazar desde esta página con otras que te informan sobre becas, estudios superiores, mundo laboral. Se ofrece también información de todas las etapas del sistema educativo, sobre la Prueba de Acceso a la Universidad, orientación académica y profesional, estudios en el extranjero y noticias actuales sobre el ámbito educativo.

- http://dewey.uab.es/pmarques/

Página sobre tecnología educativa, con acceso a documentos sobre la educación y las TIC, uso de las mismas en el aula (pizarra digital, Internet…), con acceso a otros portales educativos, revistas, documentos, páginas de recursos…

UNIDAD 3:

Programación de actividades para el proceso de

enseñanza aprendizaje de la Matemática en la

Educación Primaria. Diseño, desarrollo y

aplicación de Unidades didácticas en el aula.

ÍNDICE.

1. LAS ACTIVIDADES EN EL PROCESO DE ENSEÑANZA-APRENDIZAJE.

1.1. Noción de actividad en el proceso de enseñanza-aprendizaje. 1.2. Tipos de actividades. 1.3. Ejercicio y problema. 1.4. Papel del profesorado en las actividades de resolución de problemas.

2. DISEÑO Y APLICACIÓN DE UNIDADES DIDÁCTICAS EN EL AULA.

2.1. Elementos de una unidad didáctica 2.2. Ejemplo de unidad didáctica.

3. CONCLUSIONES ACERCA DE LA UNIDAD DIDÁCTICA.

4. BIBLIOGRAFÍA.

5. WEBGRAFIA.

Didáctica de las Matemáticas II Programación de actividades para el proceso de

enseñanza aprendizaje de la Matemática en la Educación Primaria. Diseño,

Desarrollo y aplicación de Unidades Didácticas en el Aula.


1. LAS ACTIVIDADES EN EL PROCESO DE ENSEÑANZA-APRENDIZAJE.

1.1. Noción de actividad en el proceso de enseñanza-aprendizaje.

La exposición puntual y concreta de los recursos didácticos se materializa en las actividades. Conocidas también como experiencias enseñanza-aprendizaje, constituyen la vía de relación profesor-alumno que hace factible la aplicación de las estrategias metodológicas, el tratamiento de los contenidos y la consecución de los objetivos.

Así, en la unidad didáctica los objetivos constituyen las guías que orientan todo el trabajo, los contenidos son un referente más concreto para las actividades y las estrategias y técnicas metodológicas nos muestran los caminos alternativos para conducir las actividades hacia los objetivos por medio de los contenidos.

En el diseño de actividades deben ser considerados como los siguientes:

El profesor debe dar gran importancia a los conocimientos previos que el alumno posee. Por ello es necesaria la planificación de actividades variadas encaminadas a conocer cuáles son esas ideas previas.

Debe fomentarse el rigor en el uso del lenguaje, en la elaboración de conclusiones pertinentes y en la reflexión sobre la proyección social de los contenidos tratados.

Será también necesario propiciar en las actividades de reflexión sobre lo realizado, la recogida de datos, la elaboración de conclusiones, la recopilación de lo que se ha aprendido, y analizar el avance que se ha producido en relación con las ideas previas de las cuales se había partido.

1.2. Tipos de actividades.

Diferentes tratados de didáctica exponen tipologías de actividades que podrían aparecer en las unidades didácticas; no tanto como actividades diferentes desde el punto de vista formal, cuanto en el sentido de aquello para lo cual le sirven al profesor en cada momento. Así, una misma actividad puede estar ayudando a aprender al alumno y dando al profesor información sobre las ideas previas existentes. Algunos de los tipos a los que hemos aludido son:

Actividades de introducción-motivación: Visionado de videos, exposición de textos relacionados con el contenido a trabajar, preguntas previas motivadoras, interrogantes significativos, etc. Actividades para identificar ideas previas: cuestionarios, diálogos. Actividades de desarrollo: exposición oral, mapas de contenido, análisis de texto, resolución de problemas, ejercicios prácticos de aplicación de los contenidos tratados. Actividades de síntesis-resumen: exposiciones, resúmenes, mapas, aplicación del aprendizaje adquirido a distintas situaciones. Actividades de apoyo: Hay de diversos tipos.





o Refuerzo del contacto directo con el objeto de aprendizaje, en el caso de nuestra unidad intentaremos que toda explicación vaya acompañada de imágenes, información complementaria.

o Búsqueda de imágenes, relacionadas con contenidos de la unidad, la elaboración de un collage con recortes de periódicos y revistas, etc.

o Refuerzo permanente de los logros obtenidos, a través de la asignación de pequeñas responsabilidades.

o Demostración, por parte del profesor, del valor funcional de los contenidos que se están tratando.

o Actividades en agrupaciones heterogéneas. o Aplicación del aprendizaje sin error.

Actividades de ampliación. Pueden ser, por ejemplo:

o Búsqueda de información complementaria sobre los contenidos de la unidad. o Búsqueda de información. o Conexión con sus intereses a través del contacto con otros materiales, en este caso

a través del primer contacto con el rincón del ordenador.

Actividades para impulsar la adquisición de estrategias de aprendizaje y pensamiento.

Actividades que abordan los elementos comunes del currículo.

Actividades de evaluación. Una evaluación auténticamente formativa exige llevar a cabo una serie de acciones que nos permitan familiarizarnos con los conocimientos, procedimientos y actitudes que poseen los alumnos.

Entre las técnicas para la evaluación de conocimientos destacan la observación, los diálogos, los dibujos, etc. y se plasman en actividades del siguiente tipo:

o Actividades de EVOCACIÓN. o Actividades de RECONOCIMIENTO. o Actividades de ASOCIACIÓN entre conceptos. o Actividades de ELECCIÓN de la mejor respuesta. o Actividades de DEFINICIÓN DEL SIGNIFICADO. o Actividades de EXPOSICIÓN TEMÁTICA. o Actividades de IDENTIFICACIÓN Y CATEGORIZACIÓN DE EJEMPLOS. o Actividades de RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS.

Para la evaluación de procedimientos serán la observación directa y la indirecta a través del análisis de tareas y las dimensiones a considerar en esta evaluación son (según Coll y Vall, 1992, pp 126-130) las siguientes:

o El grado de acierto en la elección de procedimiento para solucionar una tarea. o El grado de conocimiento sobre el procedimiento. o La posibilidad de aplicación del procedimiento a situaciones particulares. o La generalización del procedimiento en otros contextos.





o El grado de automatización del procedimiento. o La corrección y precisión en las acciones que componen el procedimiento. Las técnicas más destacables para la evaluación de actitudes son: o La observación. o Cuestionarios escritos o Intercambios orales (entrevistas, debates, asambleas…) o Grabaciones en un magnetófono o video y análisis posterior. o Observador externo o Elaboración de textos cortos. Estas técnicas nos ayudarán a: o Descubrir qué actitudes son importantes para los alumnos. o Recoger información y registrarla sobre cómo interpretan los alumnos las actitudes. o Buscar cuáles son los valores socioculturales con los que se identifican estas actitudes y explicar cómo se configuran estas conexiones.

1.3. Ejercicio y problema.

En muchas ocasiones las palabras problema y ejercicio se toman como sinónimos cuando ambas encierran un concepto diferente.

En matemáticas podríamos decir que un problema es proceso por el que partimos de unos datos o situación conocida y tratamos de llegar a algún tipo de resultado, conclusión o solución sin conocer cuál de las argumentaciones nos llevará hasta el correcto final. Así, por ejemplo, grandes autores y grupos dan su enfoque acerca de lo que es un problema matemático del siguiente modo:

Para Wheathey, “Resolver un problema es lo que haces cuando no sabes lo que hay que hacer”.

Para el Grupo 0 de Valencia, “un problema matemático es una situación que implica un objetivo o propósito que hay que conseguir, hay obstáculos para alcanzar ese propósito y requiere deliberación, ya que quien lo afronta no conoce ningún algoritmo para resolverlo”.

Para Kantowski, una tarea es un problema si “implica una pregunta que no se sabe responder o una situación que es incapaz de resolver usando los conocimientos que tiene inmediatamente disponibles”.

La diferencia entre problema y ejercicio está en el proceso que se sigue en cada uno de ellos. Mientras que en el primero se abre un abanico grande de posibilidades para afrontar la situación y debemos discernir que argumentación es la correcta, sencilla, rápida y útil, en un ejercicio el camino para afrontarlo está previamente establecido mediante algún tipo de razonamiento o algoritmo que, de seguirse, se alcanzará la solución.

Pongamos un ejemplo de ejercicio y otro de problema para observar las diferencias planteadas anteriormente.





Un simple ejercicio podría ser operar ¾ +5/6 donde siguiendo el procedimiento del denominador común obtenemos rápidamente la solución:

3

4�5

6�3 � 3

4 � 3�5 � 2

6 � 2�9

12�10

12�21

12�7

4

Sin embargo, un problema es una situación más laboriosa y llena de razonamiento como por ejemplo:

Un equipo de fútbol ha disputado una serie de partidos de los cuales ganó los tres quintos. De los restantes empató los cinco octavos. Si perdió 9 partidos, ¿Cuántos partidos ganó?, ¿Cuántos partidos empató?, ¿Cuántos partidos jugó?

En un primer momento ha de observarse cuáles son los resultados que se nos demandan (partidos ganados y empatados) y de qué datos partimos.

En este caso se puede optar por varios tipos de razonamiento, no siendo único el modo de trazar la estrategia. Por ejemplo:

Un razonamiento puramente numérico podría ser:

El número de partidos empatados será: 9·5/3= 15 partidos

El número de partidos no perdidos será: 15 + 9 = 24 partidos.

El número de partidos ganados será: 24·3/2= 6 partidos.

Un razonamiento algebraico podría consistir en llamar x a los partidos jugados y entonces (3/5)x serían los partidos ganados y (2/5)(5/8)x los empatados de tal modo que:

� �3

5� �

2

5∗5

8� � 9 ⟺

40�

5�24� � 10� � 360

5⟺ 40� � 24� � 10� � 360

6� � 360 ⟺ � � 60��

Por lo tanto, el número de partidos ganados será (3/5)·60 = 36 y el de empatados será 60 – 36 – 9 = 15.

Un razonamiento geométrico podría consistir en realizar un rectángulo que representase a todos los partidos y dividirlo en cinco partes iguales. Las tres quintas partes representarían a los partidos ganados mientras que los dos quintos a los no ganados. El rectángulo de abajo representaría de nuevo a los partidos no ganados y lo dividiríamos en ocho partes de las cuales cinco serían para los empatados mientras que las otras tres para los perdidos que son precisamente 9. A partir de este dibujo y buscando siempre el valor de las franjas mínimas podemos responder a todas las preguntas.





Una franja del rectángulo pequeño vale 9/3 = 3 partidos. Por lo tanto, el número de partidos empatados es 3 x 5 = 15 partidos. Y el número de partidos no ganados es 3 x 8 = 24 partidos. Una franja del rectángulo grande vale 24/2 = 12 partidos. El número de partidos ganados es 12 x 3 = 36 partidos. Y el número de partidos jugados es 12 x 5 = 60 partidos

1.4. Papel del profesorado en las actividades de resolución de problemas.

El esfuerzo del profesorado en la resolución de problemas es fundamental en dos vertientes complementarias para alcanzar el resultado deseado:

Por una parte, el maestro o profesor debe dar más importancia al proceso de resolución del problema que a la conclusión o resultado particular de cada uno de ellos. De este modo, se incorporarán las estrategias heurísticas convenientes y los procesos de secuenciación a la hora de resolver problemas.

Por otra parte, se debe afianzar la autoestima y fomentar el gusto por las matemáticas y la resolución de problemas.

Kantowsky (1979) refleja en sus trabajos que es necesaria una instrucción en los heurísticos más básicos para poder evolucionar en el proceso de resolución de problemas.





Para ello, se debe utilizar una colección de problemas especialmente elegidos para este cometido.

En este sentido, el profesor debe clarificar que conceptos y contenidos matemáticos, capacidades y heurísticos se desean trabajar. Para ello se buscarán problemas adecuados. Esto conlleva el análisis total del problema por parte profesor, planificando cada una de las fases que recorrerán los alumnos, analizando las posibles dificultades que se pueden producir y preparando posibles preguntas y respuestas que resuelvan estas dificultades a la vez que comiencen a incorporar técnicas heurísticas.

Al respecto, el grupo Cero (1984) determinó los rasgos que caracterizan a los buenos problemas (los problemas que enseñan y con los cuales se puede trabajar técnicas heurísticas). Estos rasgos son:

o No son cuestiones con trampas ni acertijos. La aparición de trampas e “ideas felices” llevan a los alumnos de cualquier edad, a pensar que cada problema es independiente y no existen coincidencias o técnicas generales para abordar problemas. De este modo, mermamos la confianza del alumnado a la vez que despreciamos la asimilación de técnicas heurísticas.

o Pueden o no tener aplicaciones, pero el interés es por ellos mismos y las habilidades que refuerzan o amplían. Quizá en la educación primaria sea especialmente importante que haya algún tipo de aplicación directa en el entorno ya que a tan temprana edad las estructuras mentales no están constituidas.

o Representan un desafío a las cualidades deseables en un matemático. Existe por lo tanto una tentación al alumnado a desarrollar una actividad de razonamiento para resolverlo y de manera inconsciente desarrollan e incorporan nuevas estrategias heurísticas.

o Una vez resueltos apetece proponerlos a otras personas para que a su vez intenten resolverlos. Se convierten en un reto que va pasándose de persona a persona a modo de competición.

o Son abordables a primera vista, no dejan bloqueado, sin capacidad de reacción.

o Proporcionan al resolverlos un tipo de placer difícil de explicar pero agradable de experimentar. Si no nos proporciona alguna sensación el problema y su resolución, no tendremos el estímulo para afrontarlo o para iniciar nuevos desafíos.

Además, el profesorado debe estimular al alumnado mediante un entorno de la situación problemática lo suficientemente conocido por parte del alumnado como se pueda y mediante preguntas que incorporen entusiasmo, reto e ilusión en la búsqueda de la solución.

El profesor debe ser una ayuda opcional ante posibles bloqueos o dificultades consistentes. El profesor no debe resolver cuestiones ni bloqueos que implícitamente den pautas finales en la resolución del problema sino más bien debe limitarse a reflexionar





con ellos mediante preguntas, situaciones problemáticas similares, acerca de lo que ellos están efectuando y los datos conocidos. En este sentido hay que enseñar que la pregunta intermedia es la que lleva a nuevos conocimientos. Por último, el profesor debe trabajar la autoestima de los alumnos reforzando en todo momento esta con valoración de los logros intermedios alcanzados.

El profesorado debe valorar la estrategia de resolución de sus alumnos comprobando si hay estrategias diferentes y la sencillez de cada una de ellas. También se observarán los errores cometidos y se aprenderán para no volver a cometerlos. Del mismo modo, se revisará el problema, una vez resuelto, para que se convierta en un aprendizaje significativo que pueda servir para futuros problemas que guarden algún aspecto similar.

2. DISEÑO Y APLICACIÓN DE UNIDADES DIDÁCTICAS EN EL AULA.

2.1. Elementos de una unidad didáctica

Una unidad didáctica es el conjunto de procesos, estrategias, actuaciones, documentos, planificaciones, etc. que se van a realizar en un tiempo determinado y limitado para que el alumno adquiera una parte de los conocimientos previamente establecidos para un determinado nivel.

La unidad didáctica es la concreción y profundización de la programación para un determinado tiempo y contenidos en la que se deben planificar todas las circunstancias, situaciones y elementos que van a influir o ayudar a la consolidación del aprendizaje.

En el desarrollo de la unidad didáctica tendremos en cuenta las siguientes partes:

A) Fundamentación de la Unidad Didáctica.

A1. Contexto social, familiar y cultural.

A2. Relaciones con el currículo (sistema, centro-etapa).

A3. La programación de aula y la unidad didáctica.

A4. Los alumnos.

B) Desarrollo de la Unidad Didáctica. Análisis de sus elementos. Relaciones con la programación.

B1. Competencias. Presencia de las competencias básicas en la unidad didáctica y relación entre Competencias Básicas, Competencias Específicas y Competencias generales

B2. Objetivos de la Unidad Didáctica. Vinculación de los objetivos con las competencias básicas (Administración), Específicas (Programación) y generales (Unidad didáctica).

B3. Contenidos.





B4. Recursos didácticos Metodológicos y personales. Recursos materiales y ambientales. Relación de la Competencias con los Recursos Didácticos.

B5. Actividades. Criterios de temporalización y organización. Identificación de tareas competenciales en el desarrollo de las actividades.

B6. Evaluación del proceso de enseñanza y aprendizaje. Normativa, principios y técnicas. Criterios de evaluación. Vinculación de los criterios de evaluación con las competencias básicas (Administración), específicas (Programación) y generales (Unidad didáctica).Indicadores de logro.

C) Medidas de atención a la diversidad.

C1. Medidas ordinarias.

C2. Medidas de atención a los alumnos con necesidades específicas de apoyo educativo.

2.2. Ejemplo de unidad didáctica.

Con el fin de explicar de modo concreto las diversas partes de la Unidad Didáctica vamos a centrarnos en el ejemplo de una Unidad diseñada a nivel de 6º primaria en tercer ciclo, sobre la materia de Matemáticas y el bloque de Números y operaciones. Los contenidos que consideraremos son los relacionados con los números enteros. Titulamos a la unidad didáctica “LOS NÚMEROS ENTEROS”

Consideramos que el documento de Programación ha recogido una perspectiva de planificación de curso de carácter sintético. El estudio más analítico de sus unidades didácticas hace posible una presentación más detallada y gráfica, más fundamentada y profunda de los elementos de trabajo de nuestra planificación.

A lo largo de la exposición, mostraremos los siguientes elementos:

En primer lugar, ofreceremos los datos básicos que ayudan a situar el planteamiento didáctico. Más adelante, describiremos los elementos específicos en torno a los cuales se organiza la unidad didáctica, es decir, los objetivos, competencias, contenidos, recursos didácticos, actividades y evaluación. Identificaremos, puntualmente, las relaciones entre éstos elementos y nuestra programación.

Finalizaremos explicando las medidas esenciales de atención a la diversidad para los casos que hemos identificado desde el trazado de los elementos de la programación.

A. FUNDAMENTACIÓN DE LA UNIDAD DIDÁCTICA.

A1. Contexto social, familiar y cultural.

El barrio en que se encuentra el centro está ubicado en un entorno suburbano. La población vive, mayoritariamente, de los sectores secundario y terciario. Infraestructura y recursos culturales escasos. Creciente volumen de población inmigrante (alrededor de 35%) que procede, fundamentalmente, de Marruecos, Rumania y Ecuador.





El nivel sociocultural de las familias es medio-bajo. El interés de éstas por participar en la vida del centro y su grado de estimulación a los alumnos hacia los objetivos y recursos educativos y culturales de la institución resulta, por lo general, pobre.

El entorno suburbano deprimido manifiesta una serie de inconvenientes significativos para el desarrollo de los alumnos: fundamentalmente ambiente sociocultural pobre y escasez de instalaciones recreativas y deportivas. Las relaciones con los compañeros, en ocasiones, quedan circunscritas al horario lectivo. El empleo del tiempo de ocio no se destina, habitualmente, a actividades recreativas que puedan impulsar el desarrollo de capacidades cognitivas, afectivo-sociales y psicomotoras/motoras.

Recientes investigaciones recogidas por PALACIOS Y MENÉNDEZ (2004: 85) muestran la relación que existe entre aspectos como el número de libros en casa, el nº de horas frente al televisor, la asistencia a obras culturales (teatro, alguna exposición...) y el nivel de fracaso escolar. También expresan estos autores su preocupación ante los resultados de informes del INCE que revelan un descenso muy significativo de la participación de los padres en los centros de primaria a través de las AMPAS (del 56% en 1995 al 24% en 1999). Estas reflexiones y puntualizaciones nos llevan a conformar propuestas didácticas en nuestra especialidad que impulsen al alumno a aprender a expresarse en distintos lenguajes, a comunicarse, a conocer y relacionarse con el medio físico-natural y social.

A.2. Relaciones con el currículo (sistema y centro).

Uno de los condicionantes de base que hemos tenido presente a la hora de abordar nuestro planteamiento didáctico es la relación y adecuación con las disposiciones legales vigentes. Sin embargo el ejemplo que utilizaremos será como marco legal la LOE ya que se trata de un curso de 6º de educación Primara que le afecta este año esta ley y no la LOMCE.

En este caso, el Currículo Oficial recoge una serie de prescripciones y orientaciones que debemos observar. En nuestro caso, tomaremos como referente el currículo de Primaria, D 22/07 por el que se establecen las enseñanzas, mínimas, para la Etapa y el curso que nos ocupa en la Comunidad de Madrid. El D 22/07 configura el referente más próximo para el diseño de las concreciones del currículo que se integrarán, según el Art. 121 de La LOE, en el Proyecto Educativo; este Decreto es también, referente para nuestras Programaciones de aula y sus unidades didácticas.

Entre los objetivos y contenidos del currículo oficial que nuestra unidad didáctica puede contribuir a desarrollar señalamos los siguientes:

Objetivos del currículo (D22/2007):

1 Utilizar el conocimiento matemático para comprender, valorar y producir informaciones y mensajes sobre hechos y situaciones de la vida cotidiana y reconocer su carácter instrumental para otros campos de conocimiento.





2 Reconocer situaciones de su medio habitual para cuya comprensión o tratamiento se requieran operaciones elementales de cálculo, formularlas mediante formas sencillas de expresión matemática o resolverlas utilizando los algoritmos correspondientes, valorar el sentido de los resultados y explicar oralmente y por escrito los procesos seguidos.

3 Apreciar el papel de las matemáticas en la vida cotidiana, disfrutar con su uso y reconocer el valor de actitudes como la exploración de distintas alternativas, la conveniencia de la precisión o la perseverancia en la búsqueda de soluciones.

4 Conocer, valorar y adquirir seguridad en las propias habilidades matemáticas para afrontar situaciones diversas, que permitan disfrutar de los aspectos creativos, estéticos o utilitarios y confiar en sus posibilidades de uso.

5 Elaborar y utilizar instrumentos y estrategias personales de cálculo mental y medida, así como procedimientos de orientación espacial, en contextos de resolución de problemas, decidiendo, en cada caso, las ventajas de su uso y valorando la coherencia de los resultados.

6 Utilizar de forma adecuada los medios tecnológicos tanto en el cálculo como en la búsqueda, tratamiento y representación de informaciones diversas.

9 Resolver y plantear problemas matemáticos utilizando un castellano de forma lógica y creativa la comunicación oral, la comprensión lectora y la expresión escrita.

10 Inventar y formular problemas matemáticos utilizando de forma lógica y creativa la comunicación oral, la comprensión lectora y la expresión escrita.

11 Emplear adecuadamente el lenguaje matemático para identificar relaciones y conceptos aprendidos y para comprender y nombrar otros nuevos.

12 Fomentar la utilización de la argumentación mediante razonamientos lógicos en el estudio de las matemáticas

13 Comprender la necesidad de la argumentación mediante razonamientos lógicos en el estudio de las Matemáticas.

14 Desarrollar estrategias de comprensión lectora en los mensajes transmitidos por los textos escritos utilizados en el área.

15 Utilizar un castellano correcto, con el vocabulario específico de las matemáticas, en la exposición y resolución de problemas.

Contenidos

Bloque 1. Números y operaciones

Números enteros, decimales y fracciones

Uso en situaciones reales del nombre y grafía de los números de más de seis cifras.

Números positivos y negativos. Utilización en contextos reales.





Ordenación de números enteros, de decimales y de fracciones por comparación y representación gráfica.

Sistemas de numeración en culturas anteriores e influencias en la actualidad.

Operaciones

Jerarquía de las operaciones y usos del paréntesis.

Estrategias de cálculo

Utilización de operaciones de suma, resta, multiplicación y división con distintos tipos de números, en situaciones cotidianas y en contextos de resolución de problemas.

Utilización de la tabla de multiplicar para identificar múltiplos y divisores.

Estimación del resultado de un cálculo y valoración de respuestas numéricas razonables.

Resolución de problemas de la vida cotidiana utilizando estrategias personales de cálculo mental y relaciones entre los números, explicando oralmente y por escrito el significado de los datos, la situación planteada, el proceso seguido y las soluciones obtenidas.

Utilización de la calculadora en la resolución de problemas, decidiendo sobre la conveniencia de usarla en función de la complejidad de los cálculos.

Capacidad para formular razonamientos y para argumentar sobre la validez de una solución identificando, en su caso, los errores.

Colaboración activa y responsable en el trabajo en equipo, manifestando iniciativa para resolver problemas que implican la aplicación de los contenidos estudiados.

Bloque 3. Geometría

La situación en el plano y en el espacio, distancias, ángulos y giros.

Sistema de coordenadas cartesianas. Descripción de posiciones y movimientos por medio de coordenadas, distancias, ángulos, giros...

A.3. La programación de aula y la unidad didáctica.

De acuerdo con los datos establecidos en nuestro documento de Programación, el contexto concreto en el que se sitúa la unidad didáctica que vamos a desarrollar se caracteriza por:

Dirigirse a un grupo de 28 alumnos de SEXTO curso de Educación Primaria.

Contar en el grupo con la presencia de 3 alumnos marroquíes y 4 ecuatorianos que llevan escolarizados en el centro y en el mismo grupo 3 cursos académicos.





Ubicarse como el número 10 del conjunto de 15 unidades didácticas de las que consta la Programación del nivel.

Para el desarrollo de la propuesta se emplearán 10 sesiones, ubicadas en el segundo trimestre, en el mes de febrero del curso ACADÉMICO.

A.4. Los alumnos.

El último condicionante que vamos a analizar se refiere a las características psicoevolutivas del alumno, ya que éstas influyen directamente en nuestra intervención, pues concretan el nivel de desarrollo del niño y orientan nuestra actuación. En la Etapa de Primaria, los alumnos se hallan en un período de desarrollo de la lógica concreta. Los rasgos más significativos siguiendo a CARRETERO (1993), ALEXANDER, ROODIN Y GORMAN, 1998: GARAIGORDÓBIL (2001) y CÓRDOBA, DESCALS Y GIL, 2006).

Son los siguientes:

Ámbito intelectual: Aumento de la capacidad de atención, retención y concentración. Recordaremos que este rasgo se plantea en términos de oportunidad para el desarrollo. Conseguir que llegue a ser una realidad con los problemas que hemos destacado en el entorno sociocultural, constituye todo un reto. Capacidad de reflexión sobre sus propios actos. Capacidad para analizar y sintetizar la información. Evolución destacable en el dominio del lenguaje verbal. Pueden cambiar el registro lingüístico según el contexto o los interlocutores.

Ámbito motor: Madurez gradual de los centros nerviosos. Pasa de “ser dominado por sus movimientos” a “dominar su motricidad”.

Ámbito afectivo-social: En el plano personal, buscan su identidad tanto en relación con sus iguales, comparándose y agrupándose, como en relación con los adultos. Deseo por mejorar habilidades comunicativas que favorezcan la relación con los otros.

B. Desarrollo de la Unidad Didáctica. Análisis de sus elementos. Relaciones con la programación.

B.1. Competencias

La LOE establece como elemento de ordenación curricular a las Competencias Básicas, en concreto, y en su Artículo 6, identifica como elementos del currículo; objetivos, contenidos, métodos pedagógicos, evaluación y Competencias Básicas. En base a esta nueva realidad, que desarrolla el papel de las competencias básicas como un nuevo componente del currículo y determina para la etapa de primaria su papel como referente de la evaluación y la promoción, pasamos a describir los fundamentos que permiten entender la concreción de este elemento en nuestra Unidad Didáctica. .

Las competencias son capacidades o habilidades para efectuar tareas o hacer frente a situaciones diversas de forma eficaz en un contexto determinado (Zabala, 07). Estas capacidades o habilidades se agrupan en torno a 8 núcleos de referencia en nuestros





currículos: Comunicación lingüística (CB1), Matemática (CB2), Conocimiento e interacción con el mundo físico (CB3), Tratamiento de la información y competencia digital (CB4), Social y ciudadana (CB5), Cultural y artística (CB6), Aprender a aprender (CB7), y Autonomía e iniciativa personal (CB8)

Estos o núcleos de referencia se concretan en distintos niveles en la planificación de la actividad educativa en el aula. Inicialmente se formulan a modo de grandes habilidades o capacidades que representan sus dimensiones, este primer desarrollo toma la denominación de competencia general. Posteriormente las formulamos mediante capacidades que se desarrollan mediante las áreas, en competencias específicas, que pueden ser desarrolladas a modo de destrezas o competencias operativas en periodos de temporalización más cortos.

En el diseño de la unidad didáctica vamos a mostrar la presencia de estas competencias desde una perspectiva sistémica. Esto exige la identificación de su tratamiento en los distintos componentes de la unidad, por esto, vamos a recoger de forma explícita su tratamiento en la respuesta a los distintos interrogantes de la enseñanza:

o En primer lugar, recogeremos la presencia de las competencias básicas en el trazado de la unidad didáctica.

o En un segundo momento de desarrollo, vamos a mostrar el conjunto de competencias generales a las que contribuimos con nuestra unidad, e identificaremos el tipo de relaciones que mantiene con las competencias específicas de la programación anual y con las competencias básicas de la unidad.

o A lo largo del resto de los componentes específicos de la unidad las recogemos:

- En los objetivos, identificando su presencia mediante una vinculación numérica con las competencias básicas y específicas de la programación. Los objetivos que se recogen integran de forma directa en su formulación competencias operativas.

- En los recursos, se describe el enfoque metodológico en su desarrollo y se muestran técnicas que favorecen el desarrollo de aprendizajes competencias y materiales en los que se apoyan tales aprendizajes.

- Las actividades integran tareas de corte competencial, en las que se muestran tipos de experiencias que permiten mostrar cómo el alumno transfiere el aprendizaje de manera eficaz a un contexto determinado.

- La evaluación presenta un conjunto de indicadores de logro que expresan la eficacia con la que se ha adquirido una habilidad competencial, y del mismo modo se identifica explícitamente la relación de los criterios de la unidad con las competencias planificadas.

En relación a las competencias básicas establecidas por la administración destacamos las siguientes competencias generales:





LINGÜÍSTICA

o Participar en situaciones de intercambio oral de manera adecuada.

o Captar el sentido de textos, gráficos, representaciones y problemas orales en situaciones comunicativas habituales.

o Expresar y redactar textos, gráficos, representaciones y problemas matemáticos referidos a hechos próximos a su experiencia con rigor.

TRATAMIENTO INFORMACIÓN Y DIGITAL

o Utilizar diferentes fuentes de consulta (audiovisuales, informáticas...)

o Utilizar las Tics para realizar actividades de forma interactiva.

APRENDER A APRENDER y AUTONOMÍA E INICIATIVA PERSONAL

o Utilizar los recursos y materiales de forma ordenada.

o Apreciar las consecuencias de sus acciones a corto y medio plazo.

o Seguir planes de actuación eficaz a corto y medio plazo.

MATEMATICA

o Resolver problemas que requieran identificación de situaciones, aplicación de conocimientos, uso de estrategias, la argumentación y la justificación.

INTERACCIÓN CON EL MUNDO FÍSICO

o Adoptar actitudes de respeto por el equilibrio ecológico.

o Fomentar una actitud abierta hacia la diversidad natural, histórica y artística de la propia comunidad.

SOCIAL Y CIUDADANA

o Participar en el desarrollo de proyectos en el aula de manera cooperativa y con seguridad.

o Establecer relaciones de aceptación a las demás personas.

CULTURAL Y ARTÍSTICA

o Utilizar lenguaje visual, artístico y musical para describir las manifestaciones del entorno.

Presencia de las competencias básicas en la unidad didáctica

Es muy significativa la presencia en esta unidad de tres competencias: social y ciudadana, en comunicación lingüística y cultural y artística.

- En relación con la social y ciudadana, al ubicarse como la número 1 el alumno deberá desarrollar habilidades sociales que le permitan participar en actividades que requieren conocimientos inter e intrapersonales.





- En relación a la competencia en comunicación lingüística, porque el alumno deberá activar en esta área todas sus habilidades comunicativas que le permitan un desarrollo equilibrado de su personalidad.

- El conjunto de aspectos que permiten la aproximación a manifestaciones culturales como pautas de vida, diversidad desarrollan la competencia artística y cultural.

Del mismo modo, podemos identificar el resto de las competencias, a través de:

- Utilización de textos variados y del ordenador.

- Planteamiento de interrogantes y de relaciones espaciales, temporales.

- Identificación de las propias posibilidades y el aumento de vocabulario.

Contribuyen al desarrollo de la competencia en conocimiento e interacción con el mundo físico, tratamiento de información y digital, la competencia de aprender a aprender, matemática, y la de autonomía e iniciativa personal.

Relación entre Competencias Básicas, Competencias Específicas y Competencias generales.

Competencias Específicas de Programación Didáctica

Competencias Generales de Unidad Didáctica

1. Escuchar a otros teniendo en cuenta opiniones y creaciones distintas a la propia, con sensibilidad y espíritu crítico. (C.B. 1, 5, 6, 7, 8)

2. Adoptar una actitud abierta hacia la diversidad natural, histórica y artística de la propia comunidad y participar en ella de forma cooperativa y responsable (C.B. 3, 4, 5, 6, 7, 8)

3. Extraer el sentido global de textos orales y escritos referentes a problemas matemáticos cotidianos, extrayendo sus datos y la cuestión que se plantea. (C. B. 1, 2, 4, 7, 8).

4. Utilizar un vocabulario adecuado a distintas situaciones y contextos de comunicación matemática (C. B. 1, 2, 5, 6, 7, 8).

5. Interpretar la realidad y expresarla mediante la utilización precisa del

1. Participar en situaciones de intercambio oral de manera adecuada. (CB; 1, 3, 5. CE;1, 2, 3, 4, 5, 10, 11, 14)

2. Captar el sentido de textos, gráficos, representaciones y problemas orales en situaciones comunicativas habituales. (CB; 1, 3, 4, 5.CE; 1, 3, 5, 6, 17)

3. Expresar y redactar textos, gráficos, representaciones y problemas matemáticos referidos a hechos próximos a su experiencia con rigor. (CB; 1, 3, 4. CE; 3, 4, 5, 6, 10, 11, 14, 16, 17)

4. Utilizar diferentes fuentes de consulta (audiovisuales, informáticas...) (CB; 5, 7, 8. CE; 6, 7, 15, 16)

5. Utilizar las Tics para realizar actividades de forma interactiva. (CB.4,7, 8.CE.; 13)





lenguaje técnico adecuado. (C.B. 1,2, 5, 7, 8)

6. Utilizar los recursos y materiales de forma ordenada. (CB;4,7.CE;3,6, 7, 13, 15, 16)

Competencias Específicas de PD Competencias Generales de UD

6. Resolver problemas numéricos, geométricos o estadísticos sencillos que surjan de la vida real o en otras ciencias analizando, representando u organizando sus elementos principales. ( C.B 2,4,7,8)

7. Desarrollar estrategias de resolución de problemas mediante la obtención, análisis y selección de información útil para abordar (C.B. 2, 4, 7, 8)

8. Participar en juegos que exijan habilidades numéricas mejorando el aprendizaje de las matemáticas (C. B. 1, 2, 7, 8).

9. Desarrollar actividades en grupo, participando activamente y practicando el diálogo, la negociación, y adoptando actitudes de respeto y tolerancia hacia sus compañeros. (C.B. 1, 3, 5, 8)

10. Transmitir de forma oral y escrita opiniones, hechos, instrucciones, conclusiones, etc. de manera estructurada y adecuada a la situación comunicativa (C. B. 1, 4, 7, 8).

11. Crear textos escritos de distinto tipo textual, respetando las normas ortográficas y gramaticales (C. B. 1, 4, 8).

12. Evitar los estereotipos que supongan prejuicios sociales y culturales en las situaciones de intercambio comunicativo. (C. B. 1, 4, 7, 8).

7. Apreciar las consecuencias de sus acciones a corto y medio plazo.(CB; 5, 7, 8.CE; 1, 2, 5)

8. Seguir planes de actuación eficaz a corto y medio plazo. .(CB; 5, 7, 8.CE; 1, 6, 7)

9. Resolver problemas que requieran identificación de situaciones, aplicación de conocimientos, uso de estrategias, la argumentación y la justificación ( CB; 7, 8, CE; 3, 5, 6, 7)

10. Adoptar actitudes de respeto por el equilibrio ecológico. (CB; 5, 6, 8.CE; 2, 9)

11. Fomentar una actitud abierta hacia la diversidad natural, histórica y artística de la propia comunidad (CB; 5, 6, 7, 8 CE; 2, 9, 12)

12. Participar en el desarrollo de proyectos en el aula de manera cooperativa y con seguridad. (CB; 3, 5, 8. CE;1, 8, 9, 12)

13. Establecer relaciones de aceptación a las demás personas. (CB; 3, 5, 8.CE;1, 2, 8, 9, 12)

14. Utilizar lenguaje visual, artístico y musical para describir las manifestaciones del entorno.(CB; 6, 7, 8.CE; 3, 10)





Competencias Específicas de PD Competencias Generales de UD

13. Adquirir destreza en el uso de las tecnologías de la información y comunicación como herramienta útil en su vida diaria( C.B 4,7,8)

14. Leer en voz alta textos con la dicción y el ritmo adecuados y de forma expresiva y fluida (C. B. 1, 7, 8).

15. Consultar diferentes fuentes bibliográficas y las tecnologías de la información y la comunicación para reelaborar conocimientos ( C.B 1, 4,7,8)

16. Realizar procesos de búsqueda, análisis, selección, resumen, comunicación, interpretación y redacción de informes empleando vocabulario específico de las diferentes materias de la etapa. ( C.B 1, 4, 7, 8)

17. Analizar de forma crítica textos propios y ajenos identificando los datos, el razonamiento empleado, las conclusiones y las fuentes utilizadas. ( C.B 1,6,7,8)

B.2. Objetivos.

Objetivos de la UD

La propuesta que vamos a desarrollar se dirige a potenciar, capacidades relacionadas con habilidades comunicativas orales y escritas que potencien el desarrollo equilibrado de la personalidad que permitan al alumno la interacción en diferentes contextos.

Los objetivos sobre el centro de interés de las Matemáticas son:

Reconocer e identificar situaciones susceptibles de ser representadas por números enteros en la vida cotidiana.

Ordenar y operar con números enteros en operaciones sencillas.

Representar números en la recta o puntos de coordenada entera en el plano.

Resolver problemas cotidianos mediante la operatividad u ordenación de números enteros.

Estimar, redondear, aproximar y comprobar cálculos efectuados





Aprender y aplicar las fases del método de resolución de problemas a contextos problemáticos sencillos reales.

Valorar las matemáticas como conocimiento indispensable para vivir y comunicarse en sociedad.

Aceptar las diferencias como medio de enriquecimiento personal.

Conocer el manejo y saber operar con la calculadora y manejar programas informáticos adecuados para resolver problemas sencillos sobre números enteros.

Vinculación de los objetivos con las competencias básicas (Administración), específicas (Programación) y generales (Unidad didáctica).

Todos los objetivos de la presente unidad didácticas contribuyen implícitamente a las

competencias básicas reconocidas por la administración. En concreto la totalidad de

los objetivos contribuyen a la competencia en comunicación lingüística, que es la

específica del área. Hemos prestado especial atención a la competencia social y

ciudadana, autonomía e iniciativa personal y aprender a aprender.

(CB1), Matemática (CB2), Conocimiento e interacción con el mundo físico (CB3), Tratamiento de la información y competencia digital (CB4), Social y ciudadana (CB5), Cultural y artística (CB6), Aprender a aprender (CB7), y Autonomía e iniciativa personal (CB8)

Reconocer e identificar situaciones susceptibles de ser representadas por números enteros en la vida cotidiana. (CB 1,2, 7, 8; CE; 3, 4, 5; CG; 1, 2, 3)

Ordenar y operar con números enteros en operaciones sencillas. (CB 2; CE; 6, 7, 8; CG; 2, 3, 6, 9)

Representar números en la recta o puntos de coordenada entera en el plano. (CB 1,2, 7, 8; CE; 3, 4, 5; CG; 1, 2, 3)

Resolver problemas cotidianos mediante la operatividad u ordenación de números enteros. (CB 2, 7, 8; CE; 3, 4, 5, 6, 7; CG: 6, 7, 8, 9, 12)

Estimar, redondear, aproximar y comprobar cálculos efectuados. (CB 2; CE; 1, 3, 4, 10, 15, 17; CG; 1, 3, 5, 6, 7, 8)

Aprender y aplicar las fases del método de resolución de problemas a contextos problemáticos sencillos reales. (CB 2, 7, 8; CE; 3, 4, 5, 6, 7; CG: 6, 7, 8, 9, 12)

Valorar las matemáticas como conocimiento indispensable para vivir y comunicarse en sociedad. (CB 2, 5, 6; CE: 1, 2, 8, 9, 10, 11, 14; CG; 1, 11, 14)

Aceptar las diferencias como medio de enriquecimiento personal. (CB 6; CE; 2, 9, 10; CG; 1, 7, 11, 12, 13)





Conocer el manejo y saber operar con la calculadora y manejar programas informáticos adecuados para resolver problemas sencillos sobre números enteros. (CB 4; CE; 5, 13, 15; CG: 4, 5, 6)

B.3. Contenidos.

Serán el medio imprescindible y concreto para el desarrollo de los objetivos, los objetos directos de enseñanza/aprendizaje.

Números positivos, negativos y el cero.

Representación de números enteros en la recta.

Comparación de números enteros.

Suma y resta de números enteros.

Resolución de problemas mediante números enteros.

Representación de puntos en el plano.

Fases del método de resolución de problemas.

Gusto por las matemáticas y sus operaciones.

Interés por aprender las operaciones básicas.

Valoración del método de resolución de problemas para encarar situaciones de la vida cotidiana.

Esfuerzo por expresarse con claridad, orden y corrección en problemas y ejercicios.

Participación en los coloquios de clase.

Apreciación del diálogo mostrando respeto al turno de palabra y a las intervenciones de los demás.

Fomento de la Lectura: Lectura de la segunda mitad del capítulo 1 de “En busca de la multiplicación perdida”.

Educación en valores: Trabajaremos en los siguientes sentidos:

Igualdad de oportunidades: Participación activa en juegos que respeten diferencias y permitan superar algunas diferencias mediante números positivos y negativos.

Educación vial, ambiental, para la salud y el consumo: Creación de juegos cuyo contenido esté relacionado con la educación en valores. Creación de las normas de juego con puntuaciones positivas o negativas.

TIC: Actividades de CLIC de matemáticas y del grupo "el tanque", “genmagic”.





B.4. Recursos didácticos.

Metodológicos y personales.

Principios, estrategias y estilo de enseñanza.

En el desarrollo de los recursos didácticos posee un especial interés la identificación de los principios metodológicos, ya recogidos en nuestra programación. Autores como Carretero, Escribano… señalan que constituyen el fundamento de la intervención y aseguran:

Coherencia vertical entre los distintos cursos, etapas y niveles.

La coherencia horizontal entre las diferentes materias.

Son los siguientes:

o Partir del nivel de desarrollo del alumno, se concretará en actividades de identificación de conocimientos que mostraremos en el inicio de las actividades.

o Individualización y socialización. Los modelos de actividades que hemos seleccionado van alternando propuestas de trabajo individual (que exigen toma de contacto, análisis, aplicación), con propuestas de trabajo en equipo y en grupo aula. Ello facilita el desarrollo de estos dos principios que deben entenderse como complementarios.

o Favorecer la construcción de aprendizajes significativos. Partiendo de los conocimientos, capacidades y conocimientos de los alumnos (significatividad psicológica) deberemos tratar el material de forma lógica, permitiéndoles establecer relaciones relevantes entre lo que saben y lo que les presentamos. Por otro lado, la aplicación de contenidos vinculados al contexto sociocultural les dará, también, significatividad social. (QUESADA, 2002). La organización/estructura de algunas sesiones se apoyará en la teoría de la elaboración de Merril y Reigeluth, un valioso recurso metodológico para concretar el principio de aprendizaje significativo.

o Impulsar el desarrollo de la capacidad de "aprender a aprender", transferencia e integración de los aprendizajes. Entre nuestros contenidos, hemos señalado algunos, especialmente procedimientos y actitudes que son medios imprescindibles para otros aprendizajes que se irán abordando a lo largo del curso, ello representa una apuesta por el enfoque globalizador parcial. Algunos contenidos como el resumen, son también, de especial interés y aplicación para el conjunto de las áreas, porque son elementos comunes en el currículo y están en consonancia con las prioridades de nuestra programación a partir del PE y la PGA.

o Actividad y motivación. La actividad no sólo manipulación u exploración sino, también y sobre todo, en momentos en que es necesario impulsar el desarrollo del pensamiento lógico atención, retención, comprensión, aplicación, análisis, síntesis, valoración, etc. El desarrollo del principio de motivación requiere utilizar estímulos variados, tales como: permitir la selección en ocasiones, de algunos recursos





materiales, metodológicos o personales para desarrollar actividades (estímulo intelectual).

o La intervención educativa se desarrollará desde un enfoque competencial, en el marco constructivista en el que se ha diseñado la unidad didáctica, esto ha implicado considerar el nivel de partida competencial y estimular su desarrollo desde la comprensión de saberes que permitan poner en práctica nuevos conocimientos en distintos contextos, fomentando el análisis de lo realizado y valorando lo que se ha aprendido, de modo que se potencie un aprendizaje autónomo en el marco del aprendizaje permanente.

Nuestro estilo de enseñanza quedará plasmado en una serie de pautas de ordenación que exponemos seguidamente:

Sobre las tareas de enseñanza /aprendizaje. Las actividades serán, de desarrollo y ejercicio intelectual, psicomotor y socioafectivo; (en la línea de Gardner, en el impulso a las inteligencias inter e intrapersonal, cinético/corporal, visual/espacial verbal/lingüística y musical/rítmica. Las tareas están secuenciadas según una progresión de lo simple a lo complejo, de lo concreto a lo abstracto de lo global sincrético a lo estructurado.

Organización del grupo de clase. Las formas de organización más frecuentes serán pequeño grupo (para la búsqueda de información, estudio y elaboración de informes) trabajo individual (análisis, reflexión, asimilación) y gran grupo (exposiciones del profesor, coloquios, debates).

Estrategias y técnicas de enseñanza. La dirección de las experiencias de enseñanza-aprendizaje quedará orientada por la integración de estrategias expositivas e indagatorias. Éstas, a su vez, quedarán concretadas en una variedad de técnicas: Diálogos, cuestionarios y mapas de contenido, de empleo por el profesor para facilitar la asimilación de los alumnos Análisis y síntesis de materiales plástico/visuales, de textos orales y escritos, exposición oral, ruedas lógicas, juegos de rol (identificación de personajes) y simulaciones (personas, animales, escenas…) que serán explicadas y ejemplificadas por el profesor.

La conjunción entre los dos tipos de estrategias y su vinculación con las técnicas seguirá pautas del siguiente tipo:

1. Las exposiciones del profesor vendrán siempre precedidas de una serie de interrogantes dirigidos a captar y mantener la atención de los alumnos en el desarrollo de la exposición

2. La presentación de la información básica se desarrollará en la pizarra por medio de mapas de contenido.





3. El mapa quedará precedido de una orientación general/sintética, desglosará la información básica, destacará la información más relevante, servirá de base a síntesis periódicas y facilitará la síntesis final (teoría de la elaboración).

4. Los contenidos integrarán las tres perspectivas.

5. Las experiencias se apoyarán en materiales concretos, muchos de ellos (juegos, materiales, anuncios, DVDs, folletos, carteles) tomados de la actualidad informativa para dotar a los aprendizajes de una significación epistemológica, social, pedagógica y psicológica.

6. La organización de actividades inspiradas por las estrategias indagatorias será orientada con precisión por el profesor (quién desarrollará la actividad, qué información se busca, dónde, cómo se organiza).

Identificación de las técnicas.

Las técnicas de análisis, que facilitan la localización de puntos de referencia que permite desentramar la estructura del contenido y la comprensión, la profundización, la jerarquización, la relación de datos, su relevancia. Son imprescindibles para elaborar síntesis. Los elementos/guía para el análisis los mostraremos puntualmente en la descripción de las actividades.

También, las técnicas de síntesis, poseen gran relevancia en el área de las habilidades cognitivas y socioafectivas. Permiten la nueva composición de un texto a partir del análisis de sus partes (partiendo del subrayado). Entre las técnicas de síntesis vamos a destacar el resumen.

Técnicas de impulso a la comunicación (verbal y no verbal) por ejemplo, exposición oral. La necesidad de comunicar a otros el propio pensamiento exige determinar una metodología que le permita desarrollar la habilidad de aproximarse a los destinatarios de esta comunicación de manera que se suscite en ellos el interés por conocer y profundizar en lo que escuchan. La transmisión de ideas a través de la palabra requiere:

1º El conocimiento exacto de lo que se quiere comunicar: la preparación del discurso. Para ello es preciso considerar tres fases: la recogida de datos, la elaboración del discurso, las prácticas en voz alta.

2º El cuidado de los diferentes elementos de la articulación de la voz: claridad, flexibilidad e intensidad.

3º La selección y el uso correcto de diferentes elementos de expresión corporal que aporten más riqueza a las exposiciones.

4º La adecuación de los aspectos señalados a la características de los oyentes y del escenario en que se va a producir la actuación

Técnicas para impulsar la capacidad de aprender a pensar, como las Ruedas lógicas





Tomada del programa Notice (HERNÁNDEZ Y GARCÍA, 96), pretende generar ideas empleando un sistema de CUESTIONES CLAVES: IDENTIFICAR, COMPARAR, CAUSA-EFECTO. ARGUMENTAR.

Hemos destacado ya nuestro papel de mediadores en el proceso de construcción de los contenidos por parte de los alumnos. Será preciso también recordar el necesario trabajo en equipo con los profesores de especialidad y la aportación de la familia para conseguir el desarrollo de competencias básicas. Estimularemos la participación de las familias aunque sea de forma indirecta:

Aportando a los alumnos algunos medios: periódicos, revistas…. para facilitar el trabajo.

Pidiendo a los niños que pregunten a sus padres sobre ciertos contenidos que estemos trabajando para favorecer así la implicación de los mismos en nuestra unidad didáctica. Sería de interés que aportaran información concreta sobre qué es lo que se debe hacer respecto al entorno cuando se realiza una excursión.

Recursos materiales y ambientales. Los primeros son el soporte que facilita la presentación de los contenidos. Emplearemos los siguientes:

Impresos para el profesor. Nos basaremos en los siguientes textos.

N ARGUELLES, J.A. (1989): Historia de la matemática. Andalucía. Akal.

N BAKER, A. (1986): Breve introducción a la teoría de números. Andalucía. Alianza Editorial.

N BOYER, C.B. (1999): Historia de las Matemáticas. Andalucía. Alianza Universal

N CALLEJO DE LA VEGA, M. L. (1994): Un club matemático para la diversidad. Andalucía. Narcea.

N CENTENO, J. (1988): Números decimales, ¿por qué? Y ¿para qué?. Andalucía. Síntesis.

N COURANT, R. y ROBBINS, H. (2002): ¿Qué son las matemáticas? Conceptos y métodos fundamentales. México. Fondo de Cultura Económica.

N DUNHAM, W. (1995): El universo de las Matemáticas. Andalucía, Pirámide.

N STEWARD, I. (1988): Conceptos de matemática moderna. Andalucía. Alianza Editorial.

N PALLARÉS, M. (1990): Técnicas de grupo para educadores, ICCE, Madrid.

N PASTORA, J. F. (1990): El vocabulario como agente de aprendizaje, La Muralla, Madrid.

N RODARI, G. (1973): Gramática de la fantasía. Introducción al arte de inventar historias, Ed. Reforma de la Escuela, Barcelona, 1979.

N ROSALES, C. (1990): Evaluar es reflexionar sobre la enseñanza. Narcea, Madrid.

N ESCRIBANO GONZÁLEZ, A. (2004): Aprender a enseñar. Fundamentos de didáctica general. Cuenca: Universidad de Castilla La Mancha.

N GARDNER (2001: La inteligencia reformulada. las inteligencias múltiples en el siglo XXI. Barcelona: Paidós.





N REIGELUTH, CH. (2000): Diseño de la instrucción. Madrid: Santillana (col. Aula XXI).

N RODRÍGUEZ, V (2006: Cuaderno temático de atención a la diversidad. MAYO. PRAXIS)

N TÉBAR BELMONTE, L (2003): El perfil del profesor mediador. Madrid: Santillana, aula XXI.

Impresos y materiales para el alumno. Utilizaremos diferentes materiales manipulativos y fichas de ejercicios y problemas así como el maletín de números de Proyecto Sur.

Programas informáticos: Entre los muchos que hay utilizaremos algunos de los siguientes, si bien los aplicaremos en función del alumnado y su respuesta.

www.wiris.com. Programa Wiris en su versión de primaria. Aplicaremos la calculadora para comprobar resultados previamente hechos mentalmente.

http://clic.xtec.cat/es/ - Actividades del programa CLIC o JCLIC según se prefiera trabajar localmente u online. Usaremos la actividad “Los números enteros”

http://www2.gobiernodecanarias.org/educacion/17/WebC/eltanque/. El tanque por Mario Ramos Rodríguez. Aplicaremos actividades sobre números enteros.

Ambientales. Destacan los siguientes:

o El aula: Realizamos un mural sobre los números indoarábigos y las distintas simbologías que han tenido a lo largo de los siglos.

o Otros espacios: Los alumnos acompañados por el profesor buscarán en distintos espacios, tiendas, etc. lugares donde aparezcan números enteros. Se irá confeccionando una lista. Ganará aquel grupo que tenga más aplicaciones. En una de las sesiones se utilizará toda esta información. Se puede incluso hacer un concurso de fotografía con distintos lugares que tengan números enteros.

Relación de las Competencias con los Recursos Didácticos.

Las técnicas o recursos que hemos descrito permiten la vinculación con algunas de las competencias básicas identificadas por la Administración, por ejemplo los recursos impresos favorecen la competencia lingüística, así como técnicas como subrayado, profundización, grabaciones de cuentos la de tratamiento de información y competencia digital, entre otras.

B.5. Actividades. Criterios de temporalización y organización

Principios y estrategias de Temporalización. Las actividades o experiencias de enseñanza-aprendizaje que presentaremos tienen por finalidad contribuir a la adquisición de las capacidades señaladas en los objetivos y al tratamiento de los contenidos. En ellas se pueden apreciar, de manera directa y aplicada, nuestras pautas de actuación con los





alumnos. Respecto a los criterios de temporalización y organización, destacaremos los siguientes aspectos:

Temporalización de la unidad didáctica dentro del conjunto de la programación de aula. Ello implica el tratamiento de las actividades en un momento determinado del curso, en nuestro caso 10 sesiones, ubicadas en el primer trimestre del curso escolar, más concretamente en octubre.

Temporalización de las actividades conformando una serie de sesiones, diez en este caso, que siguen una secuencia de articulación lógica. Ésta integra principios como partir del nivel real de aprendizaje del alumno y fomento del aprendizaje significativo. La vía que proponemos muestra las actividades ordenadas cronológicamente por medio de una tipología de sesiones variada que sigue una secuencia general:

Sesión I. De identificación de conocimientos de partida y síntesis inicial.

Sesiones II a IX. Desarrollo: Búsqueda de información, tratamiento, estudio, investigación, aplicación práctica y síntesis periódicas.

Sesión X. Síntesis final: aplicaciones de carácter integrador, conclusiones, valoración de lo aprendido.

En ellas vamos indicando el momento que corresponde a la secuencia general, la intención didáctica del tipo de sesión y /o la modalidad de trabajo básico que se desarrolla con ella.

Esta forma de ordenar el tiempo, posee un gran valor pedagógico pues expresa las intenciones básicas de la temporalización didáctica y aplica la teoría de la elaboración del contenido de MERRIL Y REIGELUTH.

Finalmente, temporalización concreta de cada actividad estableciendo un cálculo aproximado del tiempo que se le va a dedicar.

La flexibilidad será el criterio fundamental a la hora de organizar/adjudicar/aplicar el tiempo de las actividades. Se traducirá en la introducción de los cambios que se estimen oportunos para una mejor marcha del proceso de enseñanza/aprendizaje. Así pues, estos cambios podrán referirse tanto a la duración de la actividad como al momento de aplicación.

En el primer caso, habrá ocasiones en las que decidamos alargar el tiempo previsto para una actividad porque consideremos que los alumnos necesitan más tiempo para la asimilación del contenido, porque está resultando muy estimulante y se puede rentabilizar el esfuerzo para conseguir materializar otros contenidos (procedimentales, actitudinales…). En otras ocasiones, será necesario recortar el tiempo previsto por los motivos contrarios: la actividad no resulta suficientemente motivadora, se han asimilado los contenidos antes de lo previsto, etc.





Pasamos a mostrar las sesiones de trabajo.

Primera sesión. En la primera sesión trabajaremos sobre conceptos que son familiares para el alumno: Iniciaremos el tema presentando el concepto de número entero positivo y negativo mediante ejemplos básicos. Pondremos algunos ejemplos.

Entre las actividades que realizaremos en clase para ejemplificar y motivar al alumnado contaremos con:

/ Escribe qué números enteros representarían las siguientes situaciones cotidianas:

a) Estamos a una temperatura de tres grado bajo cero.

b) Un avión vuela a una altura de 34 m.

c) Mario debe 3 € a su hermano.

d) Estamos en el segundo sótano de un edificio.

e) Un buceador anda a 5 m bajo el nivel del mar.

f) Marisol retrocede dos pasos de donde está situada en un juego.

/ Determina las temperaturas que corresponden a los siguientes gráficos:

/ En un pueblo se registran 15º C a las tres de la tarde. A las dos horas la temperatura

ha bajado ya 7 º C. Tres horas más tarde, la temperatura ha bajado 10º C. Cuatro horas

más tarde, la temperatura ha descendido 4º C más. Escribe la temperatura a la que

estará el pueblo a las 12 de la noche.

/ En una cuenta bancaria hay 75 €. Hoy ha entrado el recibo de la luz y han

descontado en la cuenta 83 €. También ha entrado el recibo del agua y han descontado

35 €. Escribe con un número entero el dinero que hay en la cuenta. ¿El propietario de

la cuenta debe o tiene dinero?





Al finalizar la sesión mandaremos tres problemas o ejercicios para su realización fuera del aula.

Segunda sesión. En la segunda comenzaremos resolviendo los ejercicios y problemas encomendados a los alumnos en la sesión anterior mediante la realización de los mismos por partes de varios alumnos del grupo. Haremos hincapié en aquellos aspectos o dificultades que queden patentes o que la experiencia nos determina que son importantes de resaltar.

Al terminar la corrección, seguiremos trabajando el concepto de número entero y la distinción entre números positivos y negativos a través de la representación de los números enteros en la recta. También trabajaremos la representación de puntos en el plano. Entre las actividades que podemos utilizar a la hora de la explicación destacamos:

/ Coloca en la recta los números enteros siguientes:

/ Dibuja la recta numérica horizontal y posiciona los números siguientes:

+ 5 ; – 4; 0; + 2; – 1; + 8; – 2; – 6;

/ Escribe el anterior y el siguiente a los siguientes números enteros:

__ < – 5 < ___ __ < + 4 < ___ __ < – 12 < ___

__ < 0 < ___ __ < – 23 < ___

/ Dibuja la recta numérica vertical y posiciona los números siguientes:

+ 5 ; – 4; 0; + 2; – 1; + 8; – 2; – 6;

/ Escribe las coordenadas de los puntos A,

B, C, D, E y F representados en el siguiente

plano cartesiano:

/ Representa en el plano cartesiano los

puntos A (1, 2), B (– 2, 3), C (1, – 1), D (0,

4), E (3, 2), F (– 6, 0).






Tercera sesión. En la tercera sesión abordaremos los ejercicios y problemas encomendados a los alumnos en la sesión anterior mediante la realización de los mismos por partes de varios alumnos del grupo. Haremos hincapié en aquellos aspectos o dificultades que queden patentes o que la experiencia nos determina que son importantes de resaltar.

Al terminar la corrección, volveremos a repasar el concepto de posición de los números enteros en la recta real y abordaremos la ordenación de los números. Entre las actividades que podemos utilizar a la hora de la explicación destacamos:

/ Representa los siguientes números + 2 – 13 + 4 – 3 + 7 – 6

y ordénalos de menor a mayor.

Escribe el signo “<” o “>” entre los siguientes números enteros según sea uno mayor que otro.

– 4 ___ – 5 – 4 ___ + 1 – 15 ___ – 23 + 34 ___ + 42

+ 8 ___ – 1 + 3 ___ – 2 0 ___ – 3 – 25 ___ – 17

+ 7 ___ – 7 + 4 ___ 0

/ Escribe V o F según sea Verdadero o Falso:

– 3 < – 2 – 1 > + 1 – 15 < – 3 + 14 > + 10

+ 2 < – 4 + 4 > – 12 +1 < – 4 – 5 > – 7

+ 2 < – 2 – 6 > 0

/ En el termómetro de la plaza del ayuntamiento marca – 6º, en la calle mayor marca

otro termómetro – 9º y en el termómetro que tiene Marta en la terraza de su casa marca

– 4º. Ordena los lugares según hace más frío.

Al finalizar cada sesión mandaremos tres problemas o ejercicios para su realización fuera del aula.

Cuarta sesión. En la cuarta sesión abordaremos los ejercicios y problemas encomendados a los alumnos en la sesión anterior mediante la realización de los mismos por partes de varios alumnos del grupo. Haremos hincapié en aquellos aspectos o dificultades que queden patentes o que la experiencia nos determina que son importantes de resaltar.





Al terminar la corrección, trabajaremos sobre la suma de números enteros. Es importante ejemplificar mucho y hacer constar la similitud a lo que hacemos con los números naturales. Entre las actividades que podemos utilizar a la hora de la explicación destacamos:

/ Quita paréntesis y opera:

a) (+7) + (+ 5) =

b) (+1) + (– 3) =

c) (– 5) + (– 8) =

d) (– 2) + (– 4) =

e) (+4) + (+ 9) =

f) (– 6) + (– 7) =

Opera los siguientes números enteros quitando previamente los paréntesis:

a) (+7) + (+ 5) =

b) (+1) + (– 3) =

c) (– 5) + (– 8) =

d) (– 2) + (– 4) =

e) (+4) + (+ 9) =

f) (– 6) + (– 7) =

Suma los siguientes pares de números enteros:

a) +7 y + 5

b) – 7 y – 8

c) + 12 y – 3

d) – 7 y + 8

e) – 7 y + 7

f) – 7 y – 4

Escribe B o M en función de si la cuenta está Bien o Mal hecha. En las que esté mal

escribe la solución correcta:

a) (+12) + (+ 5) = 12 + 5 = + 16

b) (– 7) + ( + 12) = – 7 + 12 = + 5

c) (– 12) + (– 5) = – 12 – 5 = – 17

d) (+ 8) + (– 11) = 8 – 11 = – 3





/ Escribe el número entero que falta para que las operaciones sean correctas:

a) (+ 11) + ( ) = +17

b) ( ) + (– 7) = + 2

c) (– 3) + ( ) = – 5

d) ( ) + (– 5) = – 4

e) (+ 4) + ( ) = 0

f) ( ) + (– 7) = – 7

/ Un termómetro marca – 13º C. Si cada hora sube 5º, ¿Cuántos grados marcará

dentro de una hora?, ¿y dentro de tres horas?, ¿y dentro de cinco horas?

Al finalizar cada sesión mandaremos tres problemas o ejercicios para su realización fuera del aula.

Quinta sesión. En la quinta sesión abordaremos los ejercicios y problemas encomendados a los alumnos en la sesión anterior mediante la realización de los mismos por partes de varios alumnos del grupo. Haremos hincapié en aquellos aspectos o dificultades que queden patentes o que la experiencia nos determina que son importantes de resaltar.

Al terminar la corrección, repasaremos lo impartido hasta ahora, e introduciremos la resta de números enteros. Trabajaremos indistintamente en todo tipo de magnitudes ejemplificando estos dos métodos de escribir las mediciones. Entre las actividades que podemos utilizar a la hora de la explicación destacamos:

/ Quita paréntesis y opera:

a) (+7) – (+ 5) =

b) (+1) – (– 3) =

c) (– 5) – (– 8) =

d) (– 2) – (– 4) =

e) (+4) – (+ 9) =

f) (– 6) – (– 7) =

/ Opera los siguientes números enteros quitando previamente los paréntesis:

a) (+7) – (+ 5) =

b) (+1) – (– 3) =

c) (– 5) – (– 8) =





d) (– 2) – (– 4) =

e) (+4) – (+ 9) =

f) (– 6) – (– 7) =

/ Resta los siguientes pares de números enteros en el orden que están:

a) +7 y + 5

b) – 7 y – 8

c) + 12 y – 3

d) – 7 y + 8

e) – 7 y + 7

f) – 7 y – 4

/ Escribe B o M en función de si la cuenta está Bien o Mal hecha. En las que esté mal

escribe la solución correcta:

a) (+12) – (+ 5) = 12 – 5 = – 7

b) (– 7) – (+ 12) = – 7 – 12 = – 19

c) (– 12) – (– 5) = – 12 + 5 = – 7

d) (+ 8) – (– 11) = 8 + 11 = 3

/ Escribe el número entero que falta para que las operaciones sean correctas:

a) (+ 11) – ( ) = +17

b) ( ) – (– 7) = + 2

c) (– 3) – ( ) = – 5

d) ( ) – (– 5) = – 4

e) (+ 4) – ( ) = 0

f) ( ) – (– 7) = – 7

/ Un termómetro marca 1º C. Si cada hora baja 2º, ¿Cuántos grados marcará dentro

de una hora?, ¿y dentro de tres horas?, ¿y dentro de cinco horas?






Séptima sesión. En la séptima sesión abordaremos los ejercicios y problemas encomendados a los alumnos en la sesión anterior mediante la realización de los mismos por partes de varios alumnos del grupo. Haremos hincapié en aquellos aspectos o dificultades que queden patentes o que la experiencia nos determina que son importantes de resaltar.

Al terminar la corrección, repasaremos lo impartido hasta ahora, e introduciremos la multiplicación y división de números enteros junto con la jerarquía de operaciones y operaciones combinadas. Entre las actividades que podemos utilizar a la hora de la explicación destacamos:

/ Multiplica los siguientes números enteros:

a) (+7) x (+ 5) =

b) (+1) x (– 3) =

c) (– 5) x (– 8) =

d) (– 2) x (– 4) =

e) (+4) x (+ 9) =

f) (– 6) x (– 7) =

/ Divide los siguientes números enteros:

a) (+15) : ( – 5) =

b) (+27) : (– 3) =

c) (– 40) : (– 8) =

d) (– 8) : (– 4) =

e) (+36) : (+ 9) =

f) (– 42) : (– 7) =

Calcula los números enteros que deben ir en los paréntesis para que las siguientes multiplicaciones sean correctas:

a) (+8) x ( ) = – 24

b) ( ) x (– 3) = – 33

c) ( ) x (– 8) = – 72

d) (– 7) x ( ) = + 42

e) (+ 9) x ( ) = – 45

f) (– 7) x ( ) = + 28





/ Calcula los números enteros que deben ir en los paréntesis para que las siguientes

divisiones sean correctas:

a) (+8) : ( ) = – 4

b) ( ) : (– 3) = – 11

c) ( ) : (– 8) = – 9

d) (– 72) : ( ) = + 4

e) (+ 54) : ( ) = – 9

f) ( ) : (– 7) = + 8

/ Calcula las siguientes operaciones combinadas:

a) + 4 + (– 3) x (+2) =

b) ( + 8 ): (– 2) + (– 4) =

c) 4 – (+ 14) : (– 2) =

d) (– 12) : (+ 4) – (+ 5) =

e) (+ 6 – 9 ) : (+3) =

f) (4 – 5) x (3 - 4) =


Octava sesión. En la octava sesión abordaremos los ejercicios y problemas encomendados a los alumnos en la sesión anterior mediante la realización de los mismos por partes de varios alumnos del grupo. Haremos hincapié en aquellos aspectos o dificultades que queden patentes o que la experiencia nos determina que son importantes de resaltar.

Al terminar la corrección, leeremos el primer capítulo del libro “En busca de la tabla de multiplicar perdida”. Después se harán grupos de tres o cuatro chicos y crearemos cada uno tarjetas, cada una de ellas con un número entero entre – 10 y 10. Al finalizar. Se juntarán todas las cartas del grupo y se empezará el juego. Se repartirá al azar una a cada uno por turnos y se irán sumando o restando las cartas de cada uno obteniendo así la puntuación. Al finalizar la ronda décima, el que tenga mayor puntuación gana. Al finalizar la sesión mandaremos tres problemas o ejercicios para su realización fuera del aula.





Novena sesión. En la novena sesión abordaremos los ejercicios y problemas encomendados a los alumnos en la sesión anterior mediante la realización de los mismos por partes de varios alumnos del grupo.

Haremos hincapié en aquellos aspectos o dificultades que queden patentes o que la experiencia nos determina que son importantes de resaltar.

Al terminar la corrección, realizaremos una sesión digital con las actividades siguientes:

Actividad de “números enteros” realizada por Mario Ramos Rodríguez en la web “El tanque”:

http://www2.gobiernodecanarias.org/educacion/17/WebC/eltanque/todo_mate/numenteros/enteros_p.html

Actividad de “Genmagic” sobre representación en la recta, números positivos y negativos: http://www.genmagic.org/mates2/ne1c.swf

Programa Clic: Actividad “Los números enteros” de Virgilio Pedraz:

http://clic.xtec.cat/db/act_ca.jsp?id=2063

Al finalizar la sesión mandaremos tres problemas o ejercicios de la web para su realización fuera del aula.

Décima sesión. Repasamos los contenidos impartidos, resolvemos los problemas y ejercicios que quedan por resolver y realizamos una prueba de conocimientos en la última media hora, del siguiente estilo:

1. Escribe qué números enteros representarían las siguientes situaciones cotidianas:

a) Estamos a una temperatura de siete grado bajo cero.

b) Un globo vuela a una altura de14 m.

c) Antonio debe 10 € a su amigo Juan.

d) Estamos en el primer sótano de un edificio.

e) Un submarino nada a 70 m bajo el nivel del mar.

2. En el juego de la oca estoy en una casilla. En la siguiente tirada retrocedo 10 casillas,

en la siguiente avanzo dos. ¿En qué posición estaré respecto a la posición inicial?

3. Dibuja la recta numérica horizontal y posiciona los números siguientes:

– 5; + 4; – 1; – 3





4. Escribe el anterior y el siguiente a los siguientes números enteros:

__ < – 7 < ___ __ < + 15 < ___ __ < – 3 < ___ ___ < 0 < ___ __ < – 21 < ___

5. Escribe las coordenadas de los puntos A, B, C, D, E y F representados en el siguiente

plano cartesiano:

6. Representa en el plano cartesiano los puntos A (– 1, 2), B (3, – 4), C (0, – 1), D (2,

0).

7. Escribe el signo “<” o “>” entre los siguientes números enteros según sea uno mayor

que otro.

– 6 ___ – 7 – 3 ___ + 2 – 5 ___ – 3 + 4 ___ + 2 + 1 ___ – 1

8. Quita paréntesis y opera:

a) (+7) + (+ 5) =

b) (+1) – (– 3) =

c) (– 5) + (– 8) =

d) (– 2) – (– 4) =

e) (+4) + (+ 9) =

f) (– 6) – (– 7) =

9. Escribe el número entero que falta para que las operaciones sean correctas:

a) (+ 11) + ( ) = +17

b) ( ) – (– 7) = + 2

c) (– 3) + ( ) = – 5

d) ( ) – (– 5) = – 4

e) (+ 4) + ( ) = 0

f) ( ) – (– 7) = – 7





10. Un termómetro marca – 3º C. Si cada hora sube 5º, ¿Cuántos grados marcará

dentro de una hora?, ¿y dentro de tres horas?, ¿y dentro de cinco horas?

11. Opera con los siguientes números enteros:

a) (+7) x (+ 5) =

b) (+8) x (– 3) =

c) (– 6) x (– 8) =

d) (– 8) : (– 4) =

e) (+36) x (– 9) =

f) (– 49) x (+ 7) =

12. Calcula las siguientes operaciones combinadas:

a) + 6 + (– 2) x (+ 3) =

b) ( + 15 ): (– 5) + (– 2) x ( + 9 ) =

c) (+ 1 – 9) : (– 2) =

Identificación de tareas competenciales en el desarrollo de las actividades. En esta unidad seleccionaremos como tarea competencial la carta del amigo invisible porque en ella se trabajan la casi totalidad de las competencias. Se trabaja de forma explícita la competencia en comunicación lingüística porque dicha actividad exige que el alumno active sus habilidades lingüísticas tanto orales como escritas. Se trabaja además la competencia social y ciudadana porque el alumno debe tratar de respetar a los compañeros con una actitud abierta y responsable. La salida al entorno inmediato para enviar las cartas vincula la actividad con la competencia en conocimiento e interacción con el mundo físico, además de la de aprender a aprender y autonomía e iniciativa personal. El que sea una actividad que se ha realizado en la sala de informática para garantizar la anonimia de la carta ayuda a que el alumno, con ayuda del profesor trabaje de forma básica el tratamiento de textos por lo que también entra en juego la competencia en tratamiento de la información y competencia digital

B.6. Evaluación del proceso de enseñanza y aprendizaje.

Normativa, principios y técnicas. La LOE, el RD 1513/06, D22/07 y la Orden 1028/2008 de 29 de febrero por la que se regulan en la Comunidad de Madrid la evaluación de Educación Primaria y los documentos de aplicación, determinan los principios y carácter de la evaluación. En el caso de la LOMCE, el RD 216/2014 no determina las pautas de actuación concretas, se limita a plantear unos contenidos, habilidades y destrezas de los alumnos deben adquirir de cada uno de los bloques sin especificar el nivel de adquisición en los distintos ciclos de la educación primaria, dejando esto para las posteriores regulaciones autonómicas, que como en el caso de la Comunidad de Madrid en su decreto





89/2014 dice: “La Comunidad de Madrid complementa los contenidos y los distribuye, junto con los estándares de aprendizaje evaluables, para cada uno de los seis cursos que conforman este nivel educativo de manera que se adecúen a la edad del alumno y al grado de capacidad que este alcanza en cada momento de su trayectoria escolar”. Además en cuanto al bloque 1, comenta: “Los contenidos del área de Matemáticas se agrupan en varios bloques. Los contenidos del bloque “Procesos, métodos y actitudes en matemáticas” no se formulan curso a curso pues los procesos, las actitudes y los métodos son esencialmente los mismos para esta disciplina desde la escuela hasta la enseñanza superior”. Por todo ello, este ítem del currículum es laxo en este aspecto, por muy detallados que consten los contenidos a adquirir por parte del alumno.

Por este motivo, nos centraremos en las pautas de actuación para evaluar el proceso de aprendizaje de los alumnos según se venía actuando anteriormente ya que pueden ser herramientas útiles también en este contexto legislativo. La evaluación se caracteriza por ser continua, sistemática, flexible, formativa, criterial, y personalizada, y se materializará en situaciones de autoevaluación, coevaluación y heteroevaluación.

- Cómo evaluar: La evaluación se desarrollará mediante técnicas e instrumentos. Entre las primeras podemos destacar la observación, el análisis de tareas y pruebas periódicas que reflejen los diferentes tipos de contenidos tratados. Los instrumentos serán del tipo de listas de control, escalas de estimación…

La recogida de información se llevará a cabo mediante los instrumentos del siguiente tipo:

o En una lista de control se registrarán los aprendizajes de concepto y procedimiento.

o En una escala de estimación se registrará el logro de los objetivos actitudinales.

- Cuándo evaluar: Se evalúa de modo continuado pero pueden establecerse distintos momentos especiales.

o Al comienzo de la unidad didáctica (evaluación inicial). Prueba de conocimientos previos.

o Durante el desarrollo de la unidad (evaluación formativa). A lo largo de toda la unidad didáctica se irá valorando el trabajo diario de cada alumno y el grado de dominio que va alcanzando sobre los distintos contenidos programados. Esta modalidad de evaluación nos permitirá ir ajustando las variables del diseño didáctico a las peculiaridades del proceso de aprendizaje de cada alumno.

o Al término de la unidad didáctica (evaluación sumativa). Al final controlaremos la progresión de aprendizaje de los alumnos y la consecución de los objetivos previstos. La misma prueba que identificamos en la entrada de la unidad puede ser aplicada para que el propio alumno constate el grado de progreso que la unidad puede haber llegado a aportar.

Pautas para la evaluación del proceso de enseñanza: Al igual que en el caso del aprendizaje, la evaluación del proceso de enseñanza tendrá un carácter formativo para





facilitar la toma de decisiones y poder introducir modificaciones que permitan la mejora del proceso.

- Qué evaluar: Se establecerán indicadores de evaluación que nos ayuden a sistematizar y objetivar más nuestra evaluación como por ejemplo:

- ¿Se han llevado a cabo actividades para determinar los conocimientos y experiencias previas de los alumnos?

- ¿Se han utilizado incentivos variados para facilitar su motivación?

- ¿Se han introducido actividades nuevas que inicialmente no estaban previstas?

- ¿La temporalización ha sido adecuada?

- ¿Los alumnos han mostrado interés colaboración? ¿En qué tipo de actividades?

- Cómo evaluar: La técnica principal será la observación de los alumnos (ya que sus comportamientos y reacciones pueden darnos mucha información acerca del proceso de enseñanza) y el análisis de contenido. Se utilizarán como instrumentos de evaluación fichas de registro.

- Cuándo evaluar: También la evaluación de la enseñanza exige, si queremos que tenga un carácter formativo, una evaluación al comienzo, durante y al final del proceso lo que exigirá diferentes momentos de evaluación.

En definitiva, lo que pretendemos es una evaluación que contribuya a garantizar la calidad y eficacia educativa, por lo que será necesario hacer también una evaluación de la evaluación.

De toda esta información pueden extraerse algunas conclusiones para revisar la cantidad y presentación de los contenidos tratados, la validez de los recursos materiales y las técnicas, etc. Esta evaluación de nuestro trabajo permitirá la adaptación de algunos elementos del diseño a las condiciones que vayamos observando en la práctica. Ello influirá en la mejora del diseño y aplicación de otras unidades didácticas.

Criterios de evaluación.

Respecto al qué evaluar sobre los aprendizajes de los alumnos y las condiciones en que se manifestarán esos aprendizajes, diremos que el referente básico son los criterios de evaluación. Los objetivos de nuestra unidad didáctica han sido definidos con un grado de concreción y claridad que constituyen referentes directos para la evaluación, sí queremos, no obstante determinar aquellos que nos parecen imprescindibles conseguir al término de la unidad.

Interpretar y determinar correctamente el número entero que indica una situación o medición cotidiana.

Representar números enteros en la recta horizontal y verticalmente.

Reconocer valores enteros de la recta tanto horizontal como verticalmente.





Reconocer puntos del plano cartesiano.

Representar puntos en el plano cartesiano.

Ordenar números enteros y utilizar correctamente la simbología básica correspondiente.

Sumar números enteros correctamente.

Restar números enteros correctamente.

Conocer la regla de multiplicación y división de signos.

Multiplicar números enteros.

Dividir números enteros.

Realizar cuentas combinadas en las que aparezcan a lo sumo una multiplicación, división o paréntesis combinado.

Realizar problemas con sumas, restas, multiplicaciones y divisiones de números enteros en mutaciones cercanas y cotidianas.

Utilizar la calculadora y el ordenador de modo correcto.

Expresarse con corrección y con rigor en problemas y entornos matemáticos.

Relacionarse de modo espontáneo y educado con los demás respetando sus ideas y sus diferencias.

Vinculación de los criterios de evaluación con las competencias básicas (Administración), específicas (Programación) y generales (Unidad didáctica). Indicadores de logro.

Todos los criterios de evaluación de la presente unidad didáctica contribuyen implícitamente a las competencias básicas reconocidas por la administración. En concreto la totalidad de los criterios contribuyen a la competencia en comunicación lingüística, que es la específica del área. Hemos prestado especial atención a la competencia social y ciudadana, autonomía e iniciativa personal y aprender a aprender.

Interpretar y determinar correctamente el número entero que indica una situación o medición cotidiana. ( CB 1, 2, 3, 7, 8; CE; 6, 7, 8; CG: 3, 9)

Representar números enteros en la recta horizontal y verticalmente. ( CB 1, 2, 3, 7, 8; CE; 6, 7, 8; CG: 3, 9)

Reconocer valores enteros de la recta tanto horizontal como verticalmente. ( CB 1, 2, 3, 7, 8; CE; 6, 7, 8; CG: 3, 9)

Reconocer puntos del plano cartesiano. ( CB 1, 2, 3, 7, 8; CE; 6, 7, 8; CG: 3, 9)

Representar puntos en el plano cartesiano. ( CB 1, 2, 3, 7, 8; CE; 6, 7, 8; CG: 3, 9)





Ordenar números enteros y utilizar correctamente la simbología básica correspondiente. ( CB 1, 2, 3, 7, 8; CE; 6, 7, 8; CG: 3, 9)

Sumar números enteros correctamente. ( CB 1, 2, 3, 7, 8; CE; 6, 7, 8; CG: 3, 9)

Restar números enteros correctamente. ( CB 1, 2, 3, 7, 8; CE; 6, 7, 8; CG: 3, 9)

Conocer la regla de multiplicación y división de signos. ( CB 1, 2, 3, 7, 8; CE; 6, 7, 8; CG: 3, 9)

Multiplicar números enteros. ( CB 1, 2, 3, 7, 8; CE; 6, 7, 8; CG: 3, 9)

Dividir números enteros. ( CB 1, 2, 3, 7, 8; CE; 6, 7, 8; CG: 3, 9)

Realizar cuentas combinadas en las que aparezcan a lo sumo una multiplicación, división o paréntesis combinado. ( CB 1, 2, 3, 7, 8; CE; 6, 7, 8; CG: 3, 9)

Realizar problemas con sumas, restas, multiplicaciones y divisiones de números enteros en mutaciones cercanas y cotidianas. ( CB 1, 2, 3, 7, 8; CE; 6, 7, 8; CG: 3, 9)

Utilizar la calculadora y el ordenador de modo correcto. ( CB 2, 4; CE; 13; CG: 5, 6)

Expresarse con corrección y con rigor en problemas y entornos matemáticos. ( CB 1,2, 6, 7, 8; CE; 4, 10, 11, 14, 15, 16, 17 ; CG: 3, 4, 14)

Relacionarse de modo espontáneo y educado con los demás respetando sus ideas y sus diferencias. ( CB 1, 6, 7, 8; CE; 2, 8, 9, 12; CG: 1, 7, 10, 11, 12, 13)

Del mismo modo, se podrían identificar indicadores de logro que permiten la valoración específica de las competencias genéricas planteadas:

Interpreta y determina correctamente el número entero que indica una situación o medición cotidiana.

Representa números enteros en la recta horizontal.

Representa números enteros en la recta vertical.

Reconoce valores enteros de la recta horizontal.

Reconoce valores enteros de la recta vertical.

Reconoce puntos del plano cartesiano.

Representa puntos en el plano cartesiano.

Ordena números enteros y utilizar correctamente la simbología básica correspondiente.

Suma números enteros correctamente.

Resta números enteros correctamente.

Conoce la regla de multiplicación y división de signos.





Multiplica números enteros.

Divide números enteros.

Realiza cuentas combinadas en las que aparezcan a lo sumo una multiplicación, división o paréntesis combinado.

Realiza problemas con sumas, restas, multiplicaciones y divisiones de números enteros en mutaciones cercanas y cotidianas.

Utiliza la calculadora y el ordenador de modo correcto.

Se expresa con corrección y con rigor en problemas y entornos matemáticos.

Se relaciona de modo espontáneo y educado con los demás respetando sus ideas y sus diferencias.

C. MEDIDAS DE ATENCIÓN A LA DIVERSIDAD.

C.1. Medidas generales.

Los objetivos propuestos en el planteamiento didáctico son el referente fundamental para todos los alumnos del grupo. Por ello, los cambios y adaptaciones para los alumnos que muestran un ritmo de aprendizaje más lento que el resto de sus compañeros pueden materializarse en pautas del siguiente tipo:

- Variación de los recursos materiales con los que se presentan los contenidos (fichas de trabajo individualizadas, fichas de estudio elaboradas por el profesor).

- Refuerzo permanente de los logros obtenidos.

- Demostración, por parte del profesor o de otros compañeros, del valor funcional de los contenidos que se están tratando.

- Desarrollo de los contenidos básicos a través de actividades que cambien la forma inicial de presentación, para reforzar tales aprendizajes esenciales.

- Refuerzo en técnicas de trabajo que se conviertan en herramientas para aprender de forma más autónoma.

El sistema de evaluación continua hace posible adaptar, también, el trabajo a aquellos alumnos que muestran un progreso rápido en la evolución de sus aprendizajes en relación con sus compañeros. En este caso PODRÍAMOS ADOPTAR MEDIDAS DEL SIGUIENTE ESTILO:

- Sugerirles actividades que les permitan profundizar en los conceptos o técnicas tratado.

- Invitarles a que ellos mismos decidan en qué campos desean profundizar.

- Implicación en programas de acción tutorial con compañeros que han manifestado retrasos en sus aprendizajes (esto contribuye al desarrollo de su capacidad afectiva y





también cognitiva, pues la acción de tener que mostrar algo a otra persona exige poner en orden las ideas propias).

La presencia de alumnos procedentes de otras culturas hace necesaria la adopción de pautas concretas de actuación como por ejemplo potenciar las aportaciones de dichos alumnos en relación con los contenidos que se están trabajando (alimentos típicos de su cultura, platos típicos, formas de comunicación mediante gestos o sonidos…); se atiende, así, a un enfoque intercultural desde una posición pluralista... El trabajo que vamos a realizar será una ocasión ideal para potenciar la participación, aunque sea a través de la aportación puntual de información (sobre intereses lúdico-deportivos, su relación con fiestas celebraciones, etc.) de los padres de estos alumnos; todo ello persiguiendo que éstos vean reflejados en el centro experiencias propias de su entorno.

C.2. Medidas de atención a los alumnos con necesidades educativas específicas (con necesidad específica de apoyo educativo).

Las medidas de atención con alumnos con necesidades educativas especiales deben ser consensuadas con el departamento de Orientación, quien ha diagnosticado al alumno de ese modo.

Puesto que el alumno no puede seguir el ritmo normal de la clase y hay que varias de manera esencial los objetivos del nivel que cursa, es importante que elaboremos un plan de trabajo individualizado (P.T.I.) donde se haga constar los contenidos, objetivos y actividades que vamos a realizar con el alumno. También deben constar las características básicas de la adaptación, una temporalización y unos criterios de evaluación.

3. CONCLUSIONES ACERCA DE LA UNIDAD DIDÁCTICA.

Hemos desarrollado una propuesta articulada a partir del documento de Programación de aula que hemos presentado para el curso sexto de Primaria. Esta unidad está fundamentada, respecto a su estructura y elementos básicos, bibliográfica y normativamente. Pretende, esencialmente que los alumnos desarrollen las capacidades relacionadas con la nomenclatura, operatividad y significado de los números enteros y comprendan su importancia. A la vez se refuerza la operatividad con números naturales y la jerarquía de operaciones. Hemos hecho énfasis especial en que los alumnos observen algunos contextos y problemáticas donde se utilizan los números enteros. Es de destacar que la ejemplificación mediante problemas debe ser eje fundamental para la introducción y significación del conocimiento.

Para conseguir este logro hemos diseñado unos objetivos, unos contenidos que guían las actividades y una amplia selección de recursos metodológicos y materiales. El desarrollo de propuestas de este tipo pretende impulsar un nivel de conocimientos sólido que permita al alumno enfrentarse a conocimientos de la especialidad en el curso en el que nos encontramos y favorezca también los aprendizajes (por la importancia y funcionalidad de algunos procedimientos y actitudes) de otras materias y otros cursos.





4. BIBLIOGRAFÍA.

Para la preparación de este trabajo hemos consultado una gran variedad de fuentes. Señalamos las más significativas.

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5. WEBGRAFIA.

Algunas páginas web de interés sobre el tema tratado.

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- http://capileiraticrecursos.wikispaces.com/RECURSOS+PARA+E.+PRIMARIA Página con acceso a otras webs educativas, búsqueda de recursos educativos y consejos sobre cómo realizar búsquedas en Internet, recursos útiles y consejos sobre cómo desarrollar la labor decente haciendo uso de las TIC en matemáticas de primaria.

- http://miclase.wordpress.com/category/2-matematicas/ Página con acceso a recursos educativos y consejos sobre cómo realizar búsquedas en Internet, recursos útiles y consejos sobre cómo desarrollar la labor decente haciendo uso de las TIC en matemáticas de primaria.





- http://www.vitutor.com Página web dedicada a las matemáticas de ESO y Bachillerato con muchos ejercicios y problemas referentes a los conocimientos de este tema. Muy interesante para saber cómo evolucionarán los contenidos de matemáticas en niveles superiores a parte de observar algunos de los contenidos de este tema.

- http://www.aula21.net/ Página con acceso a otras webs educativas, búsqueda de recursos educativos y consejos sobre cómo realizar búsquedas en Internet, recursos útiles y consejos sobre cómo desarrollar la labor decente haciendo uso de las TIC…

- http://www.cnice.mecd.es/ Dentro de ésta página se encuentra la plataforma Agrega con consejos útiles de cómo incorporar las TIC en el aula y fuera de ella, acceso a recursos educativos y tecnológicos para diferentes materias; también existe acceso a cursos de formación permanente del profesorado, recursos educativos para alumnos y para profesores y se puede enlazar con otras páginas educativas de la red.

- http://www.portaldidactico.org Portal didáctico con gran número de aplicaciones educativas, centros de educación y enseñanza dentro y fuera de España, recursos para educación infantil, primaria y secundaria, por etapas y para algunas materias.

- http://www.eduteka.org/webquest.php3 Página de tecnologías de la información y la comunicación para enseñanzas básicas y medias. Acceso a gran número de materias, proyectos para las mismas y recursos a utilizar. Posibilidad de buscar proyectos educativos por etapas y consultar cantidad de recursos educativos.

- http://www.educamadrid.org Página de la Comunidad de Madrid con acceso de búsqueda de recursos educativos (software, recurso en línea, aula virtual…), posibilidad de conectar los centros educativos a una red, como utilizar las TIC en el aula…

- http://www.educaweb.com/ Recursos para estudiantes, profesionales de la educación, posibilidad de enlazar desde esta página con otras que te informan sobre becas, estudios superiores, mundo laboral. Se ofrece también información de todas las etapas del sistema educativo, sobre la Prueba de Acceso a la Universidad, orientación académica y profesional, estudios en el extranjero y noticias actuales sobre el ámbito educativo.

- http://dewey.uab.es/pmarques/ Página sobre tecnología educativa, con acceso a documentos sobre la educación y las TIC, uso de las mismas en el aula (pizarra digital, Internet…), con acceso a otros portales educativos, revistas, documentos, páginas de recursos…

Sociedad Canaria Isaac Newton de Profesores de Matemáticas

http://www.sinewton.org/numeros ISSN: 1887-1984 Volumen 83, julio de 2013, páginas 131-148

¿Yerra el niño o yerra el libro de Matemáticas?

Pilar Fernández Palop (Universidad de Alcalá de Henares. España) Presentación Caballero García (Universidad Camilo José Cela. España)

José Antonio Fernández Bravo (Universidad Camilo José Cela y Universidad Complutense de Madrid. España)

Fecha de recepción: 19 de noviembre de 2012 Fecha de aceptación: 8 de abril de 2013

Resumen Analizando los libros de texto de Matemáticas más utilizados en la Comunidad de Madrid, nos dimos cuenta de que contenían errores matemáticos. A partir de aquí, quisimos someter a revisión este material didáctico. En vista de los resultados obtenidos, concluimos que se hace necesario realizar una investigación más seria y objetiva que nos lleve a identificar errores matemáticos en libros de texto, describirlos, clasificarlos y descubrir las relaciones que pudieran existir entre las distintas clasificaciones que se establezcan, así como su incidencia en el rendimiento académico de los alumnos que los utilizan.

Palabras clave Matemática, aprendizaje, materiales y recursos, errores matemáticos, libros de texto.

Abstract When we analyzed the most used mathematics textbooks in Madrid, we noticed that they contained mathematical errors. After that, we revised this didactic material. Considering the results, we see that it is necessary to conduct a serious and objective investigation that leads us to identify mathematical errors in textbooks, describe them, classify them and discover relationships that may exist between the different classifications we could establish.

Keywords Mathematics, learning, materials and resources, mathematic error, textbook.

“La causa de mis enormes enfados al examinar los libros estribaba en lo infames que eran éstos. Eran falsos. Estaban escritos con prisas. Pretendían ser rigurosos; pero luego usaban ejemplos que casi estaban bien pero nunca bien del todo; siempre tenían alguna pega. A las definiciones les faltaba precisión. Todo era un poco ambiguo; los autores no eran lo bastante listos como para comprender lo que significa «rigor»; sólo lo fingían. Pretendían enseñar algo que ellos no comprendían, y lo que es más, algo que, de hecho, al alumno le era totalmente inútil en ese momento”.

Richard Feynman1

1 Richard Feynman (1987, pp. 339-340). Premio Nobel de Física en 1965, compartido con Schwinger y Tomonaga.

¿Yerra el niño o yerra el libro de Matemáticas? P. Fernández Palop, P. Caballero García, J.A. Fernández Bravo

132 NNÚÚMMEERROOSS Vol. 83 julio de 2013

1. El libro de texto como recurso didáctico

A pesar de la gran variedad de productos existentes en el mercado, la práctica de la enseñanza se sigue apoyando en el libro de texto (Cabero, Duarte y Barroso, 1989; García Mateos y Caballero, 2005). Los libros de texto se utilizan por profesores y alumnos como un instrumento en el proceso de enseñanza-aprendizaje. ¿Se recogen en ellos los contenidos que supuestamente deben aprender los alumnos? ¿Lo hacen de forma ordenada en cada uno de los cursos, según indica la legislación? ¿Proponen actividades que ayuden a profundizar en los contenidos estudiados? ¿Sirven de guía didáctica para el docente, y son un referente para el estudio de las distintas materias?

Su uso está sumamente extendido. Según los datos de la Federación de Gremios de Editores de España (2010, 2011, 2012), el libro de texto no universitario supone entre un 27% y un 30% de la venta global de libros vendidos en España en el período 2009-2011. Y fijándonos en la etapa de Educación Primaria, casi la totalidad de los alumnos los utilizan. Así lo señalan los últimos datos disponibles del Instituto de Evaluación del Ministerio de Educación (2009, pp. 92-93), que indican que el libro de texto es utilizado por un 99,1% de los alumnos de Educación Primaria.

En un estudio sobre el uso del libro de texto de Matemáticas en los centros de Primaria de la Comunidad de Madrid, obtuvimos datos semejantes a los del Instituto de Evaluación. Considerando como población los 1311 centros de Educación Primaria que había en 2011 en la Comunidad de Madrid (Consejería de Educación y Empleo de la Comunidad de Madrid, 2011), se tomó una muestra aleatoria estratificada que nos permitiera trabajar con un nivel de confianza del 95% y asumiendo un error de cálculo del 5%.

En las encuestas a los centros de nuestra muestra, se preguntó si se utilizaba libro de texto de Matemáticas en cada uno de los cursos de Primaria y, en caso afirmativo, qué libro de texto se utilizaba.

Los resultados sobre el uso del libro de texto de Matemáticas en cada uno de los cursos de Educación Primaria fueron los siguientes (Tabla 1):

Libro de texto 1.º EP 2.º EP 3.º EP 4.º EP 5.º EP 6.º EP

Sí usan libro 94,29% 95,71% 95,71% 95,71% 97,14% 97,14%

No usan libro 5,71% 4,29% 4,29% 4,29% 2,86% 2,86%

Total 100,00% 100,00% 100,00% 100,00% 100,00% 100,00%

Tabla 1. Porcentajes de uso de libros de texto, por curso

En cuanto a los libros de texto de Matemáticas que se utilizaban2, se obtuvieron los siguientes resultados3:

2 Por respeto a los autores, se omiten los títulos y editoriales de los libros analizados. Ponemos a disposición de quien lo requiera los datos utilizados en este estudio.

3 Por errores de redondeo, no coincide el total de los libros de texto utilizados con la suma de los porcentajes que aquí aparecen, ya que para calcular el total se han tomado los porcentajes sin redondear.


133Sociedad Canaria Isaac Newton

de Profesores de Matemáticas Vol. 83 julio de 2013

Editoriales 1.º EP 2.º EP 3.º EP 4.º EP 5.º EP 6.º EP

Editorial 1 35,71% 37,14% 38,57% 40% 38,57% 38,57%

Editorial 2 24,28% 22,85% 21,42% 20% 22,85% 22,85%

Editorial 3 22,85% 24,28% 21,42% 21,42% 21,42% 21,42%

Editorial 4 4,28% 4,28% 7,14% 5,71% 7,14% 7,14%

Editorial 5 2,85% 2,85% 2,85% 2,85% 2,85% 2,85%

Editorial 6 1,42% 1,42% 2,85% 2,85% 1,42% 1,42%

Editorial 7 2,85% 2,85% 1,42% 1,42% 2,85% 2,85%

Editorial 8 0% 0% 0% 1,42% 0% 0%

Total 94,29% 95,71% 95,71% 95,71% 97,14% 97,14%

Tabla 2. Porcentajes de uso de libros de texto, por curso y editorial

Como puede observarse en la Tabla 2, el libro de texto de Matemáticas es utilizado, según nuestros datos, en un 97,14% de los centros de Primaria de la Comunidad de Madrid.

2. Errores en libros de texto de Matemáticas

Analizando libros de texto de Matemáticas de 6.º de Educación Primaria de las cuatro editoriales más utilizadas en la Comunidad de Madrid, encontramos lo siguiente. En la exposición de contenidos, vemos errores de concepto, descripciones ambiguas de algoritmos, contenidos en los que se han omitido condiciones de restricción y aparecen como generales… En los ejercicios resueltos, encontramos respuestas en las que el razonamiento que se lleva a cabo es contrario al razonamiento lógico, o bien que se pretende aplicar un concepto erróneo… Por último, en los ejercicios propuestos, vemos problemas mal definidos (Noda Herrera, 2000; Simon, 1973), que pueden ser interpretados de varios modos con distintas soluciones y en la guía didáctica aparece una única solución; o que carecen de los datos necesarios para ser resueltos y en la guía didáctica se utilizan dichos datos; o bien en los que aparecen símbolos matemáticos utilizados con un significado distinto del que la matemática dicta, o cuyo enunciado es absurdo o sin solución y en la guía didáctica aparece una solución…

A continuación, exponemos ejemplos de ellos, justificando en cada caso por qué se trata de un error, y ordenándolos según una serie de características, cuyo listado no pretende ser ni excluyente ni exhaustivo. Las características que han servido para la ordenación son las siguientes:

• Error de concepto • Ambigüedad • Problemas con enunciados absurdos • Problemas en los que faltan datos o que contienen órdenes incompletas • Enunciados de problemas con error en los datos o que contienen órdenes contradictorias • Error en la respuesta a un problema

Error de concepto

El primero de los errores de concepto que presentamos es el siguiente:

“La mediana de un conjunto ordenado de un número de elementos impar es aquel que ocupa el lugar central”. “La mediana de un conjunto ordenado de



un número par es la media aritmética de los dos valores que ocupan el lugar central”.

Justificación: los datos deben ser cuantitativos; esto es, numéricos, y no un conjunto ordenado4.

Una consecuencia de ese error de concepto la encontramos en el mismo libro, donde aparece el siguiente ejercicio propuesto:

“En un párrafo se han contado las vocales y se han obtenido los siguientes datos. Vocal a: 45; vocal e: 11; vocal i: 15; vocal o: 24; vocal u: 8. ¿Qué letra representa la mediana?”

La guía didáctica afirma que la letra i representa la mediana, algo absurdo (además de que la letra que ocuparía el lugar central de ese conjunto ordenado es la letra e). Y para demostrar el absurdo, basta encontrar un contraejemplo. Las vocales pueden ser consideradas como un conjunto ordenado, pero no son datos numéricos. En este caso, el número de datos de la muestra era impar, pero, ¿qué hubiese sucedido si el número de datos hubiese sido par y los dos datos centrales hubiesen tenido valores distintos, por ejemplo, e, i? Según lo descrito en el libro, ¿cómo se calcularía la mediana?

¿Haciendo la media aritmética de ambas vocales? ¿? ¿Qué vocal es esa?

Otro ejemplo de error de concepto, en el que se confunde la parte con el todo, es el siguiente:

“Una fracción representa parte de una unidad. Los términos de una fracción son el numerador y el denominador. El denominador indica el número de partes iguales en que se divide la unidad, y el numerador el número de partes que se toman. Para representar una fracción elegimos una unidad, la dividimos en tantas partes iguales como indica el denominador y marcamos las partes que nos señala el numerador”.

Justificación: Según lo descrito, 5/2, por ejemplo, no es una fracción, ya que no representa parte de una unidad. Está confundiendo el término matemático de fracción con el de fracción propia.

El error de concepto puede también ser consecuencia de una omisión en las premisas, como vemos en el siguiente ejemplo:

"Probabilidad de un suceso. Determinamos la probabilidad mediante una fracción. Para expresar la probabilidad de un suceso, escribimos una fracción: en el numerador ponemos el número de casos favorables, y en el denominador, el número de casos posibles".

4 Diccionario Oxford-Complutense. Matemáticas: Mediana (en estadística). Supongamos que se ordenan los

resultados de las observaciones de un parámetro numérico en orden ascendente. La mediana de esa muestra es la observación que ocupa el lugar medio cuando hay un número impar, y la media aritmética de las dos centrales cuando el número de observaciones es par (Clapham, 1998, pág. 230).

Diccionario Akal de Matemáticas: Mediana estadística de un carácter cuantitativo X que toma los valores a1, a2,…, an sobre una muestra de n individuos. Número real m tal que el número de valores de X inferiores a m sea igual al número de valores superiores a m. Si n es impar, la mediana m es uno de los valores a1, a2,…, an. Si n es par, m es un número escogido entre dos valores bien determinados por X (Bouvier y George, 2005, pág. 525).




Justificación: Lo descrito es cierto sólo para sucesos equiprobables, no para sucesos en general. Además, habría que añadir que la probabilidad de un suceso, equiprobable o no, está comprendida entre 0 y 1.

Ambigüedad

La ambigüedad puede aparecer en distintos contextos, ya sea en la exposición de contenidos teóricos, ya sea en un enunciado de un problema o ejercicio. Como ejemplo de ambigüedad en la descripción de un algoritmo, proponemos el siguiente:

"Para aproximar un número a un determinado orden de unidades: 1.º Se suprimen las cifras que quedan a la derecha; 2.º Si la primera cifra suprimida es mayor o igual que 5, se suma uno a la primera cifra no suprimida".

Justificación: Se dice que “se suprimen las cifras que quedan a la derecha”, pero no se indica a la derecha de qué. Tampoco se dice qué se considera “la primera cifra suprimida”, ni qué sucede si la primera cifra suprimida no es mayor o igual que 5.

Y como enunciado de un problema ambiguo:

[Aparece un escaparate con un cartel que pone "Rebajas: 50% de descuento". En el escaparate hay una serie de artículos con un precio marcado (chándal, 26 euros; zapatillas de deporte, 18 euros; bicicleta, 95 euros), y de un altavoz sale una voz que dice:] "¡Última oportunidad! Hoy todo a mitad de precio". Abajo pregunta: "¿Cuánto cuesta hoy el chándal? ¿Y los deportivos? ¿Y la bicicleta?".

Justificación: Este problema tiene dos soluciones. Según si los precios marcados están ya rebajados o no, la solución será: “El chándal cuesta hoy 26 euros, las zapatillas de deporte 28 euros, la bicicleta 95 euros”, o bien, “El chándal cuesta hoy 13 euros, las zapatillas de deporte 9 euros, la bicicleta 47,5 euros”. La guía didáctica da como solución: “El chándal cuesta hoy 13 euros, las zapatillas de deporte 9 euros, la bicicleta 47,5 euros”.

Problemas con enunciados absurdos

Hay problemas con enunciados absurdos, a los que no es posible responder de forma lógica, y que, sin embargo, aparecen resueltos de forma unívoca, bien en el propio libro de texto del alumno, bien en la guía del profesor. El hecho de que no se pueda responder de forma lógica puede deberse a diversas causas. Por ejemplo, que no exista relación entre la situación que se plantea y la pregunta a la que se debe responder:

“Hoy, a las seis de la tarde, el termómetro marcaba 10 grados. Dos horas después bajó tres grados, y siete horas más tarde bajó cinco grados más. ¿Qué temperatura marca ahora?”.

Justificación: La primera pregunta que tendríamos que hacernos es: ¿Cuándo es “ahora”? ¿Ahora es el instante en el que estamos leyendo el problema? ¿Ahora es al finalizar esas últimas siete horas que se describen? ¿Cómo vamos a poder responder de forma lógica a una pregunta que no guarda relación con lo descrito en el problema? Para hallar la respuesta, podríamos ir a mirar el



termómetro de la clase (o de casa, según dónde y cuándo se esté resolviendo) e indicar la temperatura que marca ahora, algo que no tiene nada que ver con el enunciado del problema5.

Otra causa puede ser que la orden que se dé sea, sencillamente, absurda:

"Expresa estas situaciones utilizando números positivos o números negativos: Tengo doce euros; he adelgazado 15 kilos; he gastado 20 euros; pues yo he engordado 8 kilos".

Justificación: Dependiendo del contexto, todas esas expresiones que ahí aparecen pueden ser traducidas al lenguaje matemático con un signo positivo o negativo. Por ejemplo: “Hace cinco meses me puse a régimen. El primer mes perdí 4 kilos, el segundo 3 kilos, el tercer mes 4 kilos, el cuarto 2 kilos, y el quinto he adelgazado 2 kilos. ¿Cuánto he adelgazado en total en los últimos cinco meses?” En los últimos cinco meses he adelgazado +15 kilos, o bien, sencillamente, 15 kilos. En el ejercicio, la guía didáctica da como respuesta: +12 euros, -15 kilos, -20 euros, +8 kilos.

En ocasiones, en los libros de texto se puede plantear un problema con vistas a que se utilice un determinado método matemático que lleve a una determinada solución. Sin embargo, puede suceder que se plantee una situación en la que la utilización de dicho método resulte absurda:

"Amaya ha comido un pastel y un cuarto de otro, y Pablo, dos pasteles y medio de otro. ¿Qué cantidad de pasteles comieron entre los dos? Si había cinco pasteles, ¿qué cantidad dejaron?".

Justificación: Este problema aparece después de otro semejante que está resuelto en el que se sumaban y restaban las fracciones, y en el que sí que tenía sentido realizar esas operaciones con fracciones. La guía didáctica da como solución que se comieron 15/4 de pastel, y que se dejaron 5/4 de pastel. Y, aunque la solución es válida, en este caso, no tiene sentido sumar o restar las fracciones que aparecen (aunque matemáticamente pueda hacerse), ya que se trata de distintos pasteles. Entre los dos se comieron tres pasteles, un cuarto de uno y medio de otro. Si había cinco pasteles, dejaron tres cuartos de un pastel (o quizá la mitad y un cuarto, dependiendo de cómo se hayan hecho los cortes) y medio de otro.

En esta misma línea, puede suceder que se plantee un problema en el que el modo de describir la situación resulte absurdo:

"Un ciclista ha recorrido en tres etapas 345 km 30 hm. En la primera recorrió 123 km 5 hm, y en la segunda, 87 km 36 hm. ¿Cuánto recorrió en la tercera?".

Justificación: Es absurdo decir que recorre 345 km 30 hm, ya que eso son 348 km, y en este caso no tiene sentido la descomposición que se hace. Y tampoco decir que en la segunda recorre 87 km 36 hm, ya que son 90 km 6 hm.

5 Es necesario añadir que si intentamos situarnos en el tiempo que describe el problema, nos encontramos con lo siguiente. Hoy a las 18:00 marcaba 10 grados. A las 20:00 (dos horas más tarde) marcaba 7 grados (bajó tres grados). Y siete horas más tarde (3:00 del día siguiente, a no ser que ese día tenga más de 24 horas) marcaba 2 grados (bajó cinco grados). Como se observa, la primera palabra que aparece en el problema es “hoy”, por lo que se supone que el problema está redactado antes de las doce de la noche de “hoy”. Sin embargo, acaba describiendo lo que “pasó” a las tres de la mañana “de mañana”. La guía didáctica da como resultado 2 grados.




Otro caso en el que no es posible responder de forma lógica es cuando en el enunciado aparecen símbolos matemáticos utilizados con un significado distinto al que la matemática dicta.

“¿Cuál es el volumen del contenedor expresado en litros?” [Y aparece una imagen del signo = que tiene pintado, a su izquierda, una botella con una etiqueta que dice “1,5 litros”, y a su derecha un cubo. Del cubo sale una flecha hacia un contendor que contiene 12 cubos semejantes al primero.]

Figura 1. Ejemplo para uso de símbolos matemáticos con distinto significado

Justificación: En el enunciado se afirma que una botella de litro y medio es igual a un cubo, y eso es falso. La respuesta a esa pregunta debería ser algo del tipo: “La imagen es absurda, y no se proporcionan datos para responder a la pregunta”. La guía didáctica da como solución 18 litros.

Por último, el origen de que el enunciado resulte absurdo puede ser consecuencia de un error de concepto:

"Observa el gráfico y responde a las preguntas. a) ¿Qué datos recoge? b) Con los datos del gráfico construye la tabla de frecuencias. ¿Cuál es la frecuencia relativa del quinto partido? ¿Qué datos tienen cero de frecuencia absoluta? c) ¿Cuál es la media de goles que ha conseguido el equipo? ¿Cómo lo has calculado? ¿Cuál es la moda?". [Y aparece un gráfico de barras que indica los goles metidos por un equipo en quince partidos, ordenados del 1.º al 15.º. ]

Figura 2. Ejemplo para error de concepto en la solución



Justificación: Aunque el gráfico que aparece tiene el aspecto de un gráfico de barras con las frecuencias de una variable, no lo es. Es la representación de una serie de datos, a saber, goles en cada partido. En la solución, el libro considera que el gráfico representa frecuencias, no datos6.

Problemas en los que faltan datos o que contienen órdenes incompletas

Un caso de falta de datos es cuando en el enunciado del problema no aparecen determinados datos de cultura general, dándolos por sabidos, y que son necesarios para su resolución:

“Cuando Tutankamon tenía 17 años fue nombrado faraón de Egipto. Esto ocurrió en el año 1339 antes de Cristo. Su reinado duró 8 años. ¿En qué año nació Tutankamon? ¿En qué año murió?”.

Justificación: Las premisas que nos dan son la edad y año en el que accedió al trono, y la duración de su reinado. A partir de esos datos podríamos responder a la primera pregunta, pero no a la segunda. Nada se dice acerca de la muerte de Tutankamon, y tampoco sabemos si se trata de un personaje histórico o ficticio (y hay que tener en cuenta que, en los problemas de los libros de texto, los personajes que aparecen son ficticios la mayoría de las veces), por tanto no tendría sentido intentar averiguar los datos que faltan por otros medios. Se indica la duración de su reinado, pero ese dato es irrelevante, ya que no se indica qué hizo después de ser faraón ni por qué dejó de serlo (pudo haber abdicado, haber sido invadido, haberse vuelto loco y que le hubieran encerrado, o simplemente desaparecer un día sin más y huir a otro país…). Por tanto, la respuesta a esta pregunta es: “con los datos que nos dan no es posible responder de forma única”. La guía didáctica da como solución: Tutankamon nació en el año 1356 antes de Cristo y murió en el 1331 antes de Cristo.

6 Para comprender que lo que aparecen son datos y no frecuencias, bastaría pensar qué haríamos para calcular la media: sumaríamos todos los goles y dividiríamos el resultado entre el número de partidos. Es decir, que el número de partidos es el número total de datos, lo que significa que el gráfico está representando datos de la variable goles por partido, no frecuencias.

Para responder a la primera orden del apartado b), habría que hacer la tabla: (n.º de goles, número de partidos): (0, 2), (1, 2), (2, 2), (3, 4), (4, 2), (5, 2), (6, 1). Total de datos: 15. Sin embargo, la solución que aparece en la guía didáctica es: (Partido, Goles, Frecuencia relativa): (1, 0, 0), (2, 3, 3/42), (3, 5, 5/42), (4, 4, 4/42), (5, 6, 6/42), (6, 2, 2/42), (7, 1, 1/42), (8, 5, 5/42), (9, 3, 3/42), (10, 2, 2/42), (11, 4, 4/42), (12, 3, 3/42), (13, 0, 0), (14, 1, 1/42), (15, 3, 3/42). Total de datos: 42 (que es la suma de goles).

Por otro lado, la primera pregunta que aparece en el apartado b) es absurda. No existe la frecuencia relativa de un dato concreto, sino de un valor de una variable. Sin embargo, la guía didáctica afirma que “la frecuencia relativa del quinto partido es 6/42”.

La segunda pregunta del apartado b) dice: “¿Qué datos tienen cero de frecuencia absoluta?”. Podríamos decir que para cualquier valor mayor o igual que siete, la frecuencia absoluta es cero, ya que el máximo de goles marcados es 6, y hay partidos en los que se han obtenido cada uno de los valores de 0 a 6. Sin embargo, la guía docente afirma que “el primero y el tercer partido tienen cero de frecuencia absoluta”.

En el apartado c), la guía didáctica afirma que la media es 2,8 goles, aunque no explica cómo se ha de calcular. Esa media es de la variable goles por partido, y se calcula sumando el total de goles y dividiéndolo entre el número total de datos, es decir, 15. Como puede verse, el número total de datos es 15, no 42 (como afirmaba en la tabla del apartado b)).




Otro caso es cuando en un problema no existe relación entre los datos que se dan y lo que se pide, debido a que se ha omitido una premisa:

"Jorge cambia con Pepa cromos por canicas. Un cromo cuesta 0,20 euros, y una canica, 0,30 euros. ¿Cuántas canicas recibirá Jorge a cambio de 15 cromos?"

Justificación: El problema nos dice cuánto cuestan, tanto las canicas como los cromos, pero no cómo se va a establecer el trueque, algo que normalmente no se rige por el valor por el que se ha comprado cada producto, por tanto no se puede resolver, a no ser que se añadan hipótesis para el trueque y se den soluciones para cada una de las hipótesis. La guía didáctica da como solución 10 canicas.

O que la omisión de una premisa en el enunciado, que se da por supuesta, lleve a que el problema tenga más de una solución:

"Escribe ordenados los enunciados de estos problemas y, después, resuélvelos". [Y aparecen dos recuadros, uno que indica “Problema 1”, y el otro “Problema 2”. Dentro de cada uno de esos recuadros aparecen varios párrafos, cada uno de ellos enmarcados en un recuadro, y un par de imágenes ilustrativas. En el problema 2, los textos son los siguientes:] 1.º) “¿Cuántas filas puede hacer? ¿Cuántos muñecos le sobran?”. 2.º) “Para jugar, los sitúa en filas de 8 muñecos”. 3.º) “Su tío Enrique le regala 15 muñecos más”. 4.º) “David colecciona muñecos articulados, y ya tiene 77 modelos distintos".

Justificación: En ningún momento se dice que se tienen que utilizar todos los textos, o que no pueden repetirse. Por tanto, se podrían hacer varias combinaciones, todas ellas válidas, obteniendo distintos problemas con distintas soluciones: 4.º, 2.º, 1.º, 3.º, 1.º, o bien, 4.º, 3.º, 2.º, 1.º, o bien 4.º, 2.º, 1.º. La guía didáctica da como solución: 4.º, 3.º, 2.º, 1.º. Para que la solución fuera única y 4.º, 3.º, 2.º, 1.º, se tendría que haber añadido una premisa del tipo: “Debes utilizar todos los enunciados, y debes utilizar cada uno de ellos solo una vez”.

También puede suceder que la omisión de una premisa lleva a que el problema tenga infinitas soluciones:

"Para embalar un paquete, se necesitan 0,75 metros de cinta. ¿Cuántos paquetes se pueden embalar con seis rollos de cinta de 30 metros cada uno?".

Justificación: No nos dicen que los paquetes tengan que ser iguales, por tanto, el problema tiene infinitas soluciones. La guía didáctica da como solución 240 paquetes.

Incluso, el hecho de que se omita una premisa puede llevar a que la solución que se plantee en la guía didáctica sea errónea.

“Indica qué números están representados en la recta”. Y aparece una recta numérica en la que vienen representados los siguientes números: –2, 0 y +2. También aparece una letra “A” sobre el que sería el punto –5, y una letra “B” sobre el que sería el punto +6”.

Justificación: La respuesta a esa pregunta es –2, 0 y +2, y no –5 y +6, tal y como aparece en la guía didáctica. “A” y “B” no son números, y en ningún momento se ha indicado que representen



número alguno. Sólo en el caso de que en el enunciado apareciese la premisa “si suponemos que A y B representan números de la recta numérica” podríamos decir que A es –5 y B es +6.

Por último, presentamos un caso en el que la falta de un dato en el enunciado puede inducir a un error de concepto en el sujeto que responde:

"Averigua, sin hacer la división, cuáles de los siguientes números son divisibles por 9", y aparecen los siguientes números: 45, 126, 234, 351, 236, 468, 738, 2340. A continuación, dice: "¿Cuáles son también divisibles por 3? ¿Qué observas?".

Justificación: Todos los números que aparecen en el enunciado, a excepción del 236, son divisibles por tres y por nueve, y el 236 no es divisible ni por tres ni por nueve. Por tanto, como los números que aparecen, si son divisibles por tres también lo son por nueve, podríamos extraer la conclusión de que es lo mismo ser divisible por tres que divisible por nueve. La guía didáctica da como solución: “Si un número es divisible por nueve, entonces es divisible por tres”. Pero esa conclusión no se obtiene de forma lógica del enunciado. Habría sido necesaria la inclusión de un número que fuera divisible por tres, pero no por nueve.

Enunciados de problemas con error en los datos o que contienen órdenes contradictorias

Hay ocasiones en las que los datos que han sido utilizados para llegar a la solución en la guía didáctica no coinciden con los que aparecen en el enunciado del problema:

"Aprende a resolver problemas. Escribe tú los enunciados. Inventa, para cada problema, el enunciado, de forma que se resuelva con las operaciones que aparecen en ellos". Y aparece un escaparate con dos partes. En la parte de la izquierda hay un cartel que dice: "Rebajas del 30% sobre el precio marcado", y aparece una camisa que marca 36 euros, una chaqueta que marca 68 euros y un pantalón que marca 59 euros. En la parte de la derecha hay otro cartel que dice: "Sin rebajar", y aparece una cazadora que marca 180 euros, un gorro que marca 12 euros, unos guantes que marcan 18 euros y unas botas que marcan 75 euros. A continuación, aparecen cuatro apartados con distintas operaciones, para que, a partir de ellas, se inventen los distintos problemas. Las operaciones del cuarto apartado son las siguientes: 180+75=255 euros; 36:100=0,36 euros; 0,36x30=10,8 euros; 255+10,8=265,8 euros; 300-265,8=34,2 euros. "Solución: A David le sobraron 34,2 euros".

Justificación: Según las operaciones que aparecen, David paga el 30% de un producto de 36 euros, pero eso significa que el producto está rebajado un 70%, y el cartel lo que dice es que las rebajas son del 30% sobre el precio marcado. Por tanto, no existe ningún enunciado posible cuyas operaciones sean las que se proporcionan. En la guía didáctica se da como solución un problema en el que David compra una camisa, una cazadora y unas botas, y pregunta que si tenía 300 euros, cuánto dinero le sobró.

Otras veces, puede suceder que los datos que se extraen del gráfico que acompaña al enunciado del problema no se corresponden con los que han sido utilizados para hallar la solución de la guía didáctica.

"Calcula la superficie de esta fuente". [Y viene dibujada una fuente con forma hexagonal no regular, ya que los lados superior e inferior son claramente más cortos que los otros cuatro. En el gráfico se indica que el lado inferior




mide 10 metros, y la distancia del centro del hexágono a la mitad de ese lado es 8,66 metros.]

Figura 3. Ejemplo para error de gráfico carente de información

Justificación: El hexágono no es regular.7

Por último, en ocasiones podemos encontrar un problema en el que aparecen órdenes contradictorias:

"Averigua, sin hacer la división, si podemos repartir 234 tuercas en cajas de 3 sin que sobre ninguna. ¿Y en cajas de 9 tuercas? ¿Cuántas cajas son necesarias en cada caso?".

Justificación: Es posible responder a las dos primeras cuestiones sin hacer la división, aplicando las propiedades de la divisibilidad. Sin embargo, no es posible responder a la última cuestión, a no ser que se fueran probando productos por tanteo hasta que se diera con la solución. La guía didáctica da por respuesta: “Sí se pueden repartir en cajas de 3 y 9 tuercas. Necesitaríamos 78 cajas de 3 tuercas o 26 cajas de 9 tuercas”.

Error en la respuesta a un problema

El error en la respuesta a un problema se puede deber a múltiples causas. Por ejemplo, que se haya cometido un error en la inferencia:

7 Al no tratarse de un hexágono regular, la única forma de resolverlo sería medir con una regla las distancias que nos dan, comprobar que ambas distancias, las que nos dan numéricamente y las que aparecen en el dibujo, guardan la misma proporción (en caso de que no guarden la misma proporción, el problema no tendría solución) y calcular la escala en la que se ha pintado; medir el resto de lados y las diagonales, y así calcular el área, algo que excede los contenidos de Educación Primaria. La guía didáctica da como solución 259,8 m2, que sería la solución en el caso de que se tratara de un hexágono regular, algo que es falso.



“Daniela adorna las mesas del restaurante con 37 claveles. ¿De cuántas formas las puede repartir para que todas tengan el mismo número de flores?” “Divisores 37=1 y 37. De una, pues 37 es primo”.

Justificación: En el problema nos dicen que repartamos mesas en función de una cantidad de claveles, algo que inicialmente puede resultar absurdo (¿de dónde salen las mesas?, ¿con cuántas contamos para poder repartirlas?). Tomándolo por válido, y contando con que podemos poner el número de mesas que necesitemos, el problema tendría dos soluciones: precisamente por ser primo, 37 tiene dos divisores, el 1 y el 37, y, por tanto, podremos poner una mesa con 37 claveles, o bien, 37 mesas con un clavel cada una. La respuesta que da el problema es absurda pues, al contar 37 con dos divisores, las posibles soluciones son dos, no una. Está obviando una de las soluciones (y no se sabe cuál de las dos, ya que no se especifica).

Otra causa de error de la respuesta puede ser que, para hallar la respuesta, se haya partido de unas premisas distintas a las que se daban:

"Utiliza tu ingenio: Divide el tablero en cuatro partes iguales de forma que en cada parte haya una pera y una manzana". [Y aparece un tablero formado por cuatro filas y cinco columnas de casillas. En cada una de las casillas que forman las esquinas del tablero hay una pera (cuatro en total), y en cada una de las casillas de la columna central hay una manzana (cuatro en total). El resto de las casillas están en blanco.]

Justificación: En este problema se podrían hacer cuatro partes con la misma cantidad de peras, manzanas y casillas en blanco, pero esas partes no son iguales, ni siquiera semejantes. Por tanto, cualquier solución distinta a “El problema no tiene solución” es un error. La guía didáctica da como solución dividirlo en cuatro partes que contienen cada una de ellas una manzana, una pera y tres casillas en blanco.

También se puede cometer error en la respuesta debido a que se ha utilizado como premisa un concepto erróneo:

En un ejercicio resuelto, se pide hallar el cociente de la división 1,8:1,3 hasta las centésimas, y lo hace del siguiente modo:

Figura 4. Ejemplo para error de omisión de premisas en aplicación




Justificación: Las divisiones 1,8:1,3 y 18:13 son divisiones equivalentes, el cociente de ambas divisiones es el mismo, pero el resto no.8

Por último, presentamos el caso de un problema que, partiendo de un enunciado con datos contradictorios, los toma como válidos, llegando a un resultado absurdo que también da por válido:

"De los alumnos que viajan en un autobús escolar 2/5 son niños y 4/7 niñas ¿Cuántos niños y niñas viajan en total?". "Para resolver el problema sumamos 2/5 y 4/7. Como las fracciones tienen distinto denominador, antes de operar las reducimos a común denominador (…). Ahora sumamos las nuevas fracciones. 14/35+20/35=34/35. Luego en total viajan en el autobús escolar 34/35 niños y niñas".

Justificación: Antes de empezar a resolver el problema se debería haber dicho algo del tipo: “Si de los alumnos que viajan en el autobús escolar 2/5 son niños, entonces las niñas tienen que ser 3/5. Como nos dicen que son 4/7, existe contradicción entre los datos, por lo que el problema es absurdo: no tiene solución”. Además, pregunta cuántos niños y niñas, y no conocemos el total. La pregunta que surge viendo la solución que propone el libro es: ¿qué es ese 1/35 de alumnos que no son ni niños ni niñas?

Un ejemplo de Feynman

Concluimos estos ejemplos de errores con el problema de un libro de texto descrito por Feynman (1987), que se encuadraría dentro de los enunciados absurdos.

En el libro que describe el Premio Nobel, se detallaban las temperaturas de una serie de estrellas que, según su color, tenían una temperatura u otra. A continuación, se enunciaba el problema:

«Juan y su padre salen a observar las estrellas. Juan ve dos estrellas azules y una roja. Su padre ve una estrella verde, una estrella violeta y dos estrellas amarillas. ¿Cuál es la temperatura total de las estrellas observadas por Juan y su padre?» Y yo reviento horrorizado. (…) Lo que he expuesto no era sólo un ejemplo: era constantemente así. ¡El absurdo perpetuo! Hallar la temperatura total de dos estrellas es algo falto por completo de sentido. ¡Nadie suma la temperatura de las estrellas, salvo tal vez para calcular la temperatura media de un grupo de estrellas, pero jamás para hallar la temperatura total! ¡Era horrible! Todo era una historieta para hacer sumar al niño; los autores no tenían ni idea de lo que hablaban. Era como ir leyendo frases con unos cuantos errores tipográficos, y entonces, de pronto, aparece una frase entera escrita al revés, de fin a principio. Así eran las matemáticas. ¡No había remedio!» (Feynman, 1987, p. 341).

8 Para dividir 1,8:1,3 multiplicamos dividendo y divisor por diez, obteniendo así la división equivalente a la original 18:13. Si dividimos 18:13 hasta hallar un cociente con dos cifras decimales, obtenemos 1,38 de cociente y 0,06 de resto. Como 1,8:1,3 y 18:13 son divisiones equivalentes, el cociente de ambas divisiones es el mismo, pero el resto no. Para probarlo, basta hacer la comprobación de la división: dividendo es igual a divisor por cociente más resto (D=d*c+r). Según el libro, en la división original, el dividendo es 1,8 (D=1,8), el divisor es 1,3 (d=1,3), el cociente es 1,38 (c=1,38) y el resto es 0,06 (r=0,06). Por tanto, d*c+r=1,3*1,38+0,06=1,854. Pero el dividendo era 1,8, y 1,854≠1,8. El resto de la división original es 0,006. Y la razón es que, al haber multiplicado por diez el dividendo para convertir la división original en una equivalente, como el resto es parte del dividendo, para hallar el resto de la división original tenemos que deshacer el cambio realizado, esto es, dividir el resto que hayamos obtenido en la división equivalente por diez.



3. Posible incidencia en el aprendizaje

Emile Borel, intentando aproximarse a una definición de la matemática, afirma lo siguiente:

La matemática aparece, de manera cada vez más clara, como la ciencia que estudia las relaciones entre ciertos entes abstractos definidos de manera arbitraria, con la única condición de que estas definiciones no conduzcan a una contradicción (Borel, 1962, p. 25).

Partiendo de esta definición, tendremos un error matemático en un libro de texto, cuando encontremos en la exposición de contenidos un enunciado que esté en contradicción con lo que afirma o niega la matemática, o bien conduzca a contradicción con lo que afirma o niega la matemática.

Ahora bien, ¿qué sucede si lo que tenemos es un enunciado de un ejercicio propuesto?, ¿Podemos hablar de error matemático?

Arce Carrasco aborda el tema del error del siguiente modo:

Localizado el campo donde puede surgir el error en todo el campo del conocimiento, hay que referirlo (…) entre dos enfoques angulares que se complementan. Uno es el de la panorámica presentada en relación con la falsedad; otro, quizá el definitorio, es el de la conciencia que acepta esa falsedad, presentada como verdadera (Arce Carrasco, 1971, p. 90).

En otras palabras: hay un error si se afirma o niega como verdadero algo que es falso. En nuestro caso, en el del análisis de un enunciado de un ejercicio propuesto en el libro del alumno, será la guía didáctica la que nos indique qué se esperaba por respuesta al enunciado. Es decir, que si se formula una pregunta u orden con la intención de que la respuesta sea una respuesta determinada (y es la guía didáctica quien nos da la respuesta), en el caso de que la respuesta a la pregunta u orden sea distinta a la que aparece en la guía didáctica, diremos que el enunciado es erróneo.

De este modo, podemos considerar que los ejemplos que hemos incluido en el apartado anterior son errores matemáticos. Pero, ¿qué incidencia puede tener esto en el aprendizaje del niño?

Estudiando el error en el sujeto que aprende, Fernández Bravo (2011: 185) afirma que “cometemos error científico ante una pregunta, cuando hay discrepancia entre: lo que la ciencia espera por respuesta y, la respuesta que nosotros damos”. Así, podríamos afirmar que un sujeto comete un error matemático cuando, ante una pregunta, existe discrepancia entre la respuesta que da el sujeto y lo que la matemática espera por respuesta.

En cuanto al error de razonamiento, o error lógico, “se dirá que el sujeto comete error lógico, cuando el razonamiento que utilice sea incorrecto. Es decir, cuando haya desigualdad entre lo que la lógica espera por respuesta o conclusión y, lo que el sujeto expresa por respuesta o conclusión” (p. 190).

Según si la respuesta es un acierto o un error matemático, y si se ha llegado a ella a través de un razonamiento correcto o incorrecto, podremos tener cuatro situaciones distintas (Fernández Bravo, 2011: 194-197):

Caso 1: Situación que se da cuando el sujeto comete error científico y error lógico.




La respuesta del sujeto no coincide ni con lo que la ciencia espera, ni con el razonamiento de la lógica. Son situaciones en las que se puede explicar el error científico, principalmente por el error lógico. Las causas de estos errores suelen ser internas al sujeto.

Caso 2: Situación que se da cuando el sujeto no comete error científico y sí comete error lógico.

La respuesta del sujeto coincide con lo que la ciencia espera, pero el razonamiento inferido a partir de la condicional utilizada es incorrecto y no coincide con el razonamiento de la lógica. Son situaciones en las que se puede explicar el acierto científico, por diversas razones, entre las que principalmente se pueden citar: el azar y la casualidad, el sujeto ha copiado sin enterarse del por qué de la respuesta, otras personas distintas al sujeto le han dicho la respuesta. Las causas de estos errores suelen ser internas al sujeto.

Caso 3: Situación que se da cuando se consigue un acierto científico y se razona correctamente; no se comete error científico y no se comete error lógico.

La respuesta del sujeto coincide con lo que la ciencia espera, y el razonamiento del sujeto coincide con el razonamiento de la lógica. Son situaciones en las que se puede explicar el acierto científico, principalmente por el acierto lógico.

Caso 4: Situación que se da cuando se comete error científico y no se comete error lógico.

La respuesta del sujeto no coincide con lo que la ciencia espera, pero el razonamiento inferido a partir de la condicional utilizada es correcto y coincide con el razonamiento de la lógica. Son situaciones en las que se puede explicar el error científico porque es falso el contenido de las condicionales que se utilizan para el razonamiento lógico. Las causas de estos errores suelen ser internas y externas al sujeto. En la mayoría de los casos son externas y se deben a la enseñanza de: contenidos científicamente inciertos, hábitos incorrectos y falsas inducciones.

Estudiando estos cuatro casos, el mismo autor afirma que “son muchos los alumnos que pueden responder incorrectamente a una pregunta, razonando perfectamente” (p. 182). Ahora bien, en vista de los errores encontrados en los libros de texto, ¿es posible que estos errores incidan en el bajo rendimiento en Matemáticas de muchos de nuestros alumnos?

4. Conclusión

No siempre los conocimientos que transmiten los libros de texto se corresponden con lo que la ciencia afirma. Centrándonos en el campo de la matemática, vemos que hay autores que han demostrado la existencia de un error matemático en algún libro de texto (Ball, 1984; Gastwirth, 1975; González-Gascón, 1979; Hochberg y Tamhane, 1983; Kolmogorov, 1946; McCallum, 1973; Neumann, 1950; Routley, 1979; Sedov, 1975), los hay que han establecido una clasificación de errores encontrados en libros de texto (Brewer, 1986; Muntean, 2011); otros han manifestado el hecho de haberse encontrado con errores en el transcurso de su investigación (Gairín Sallán y Escolano Vizcarra, 2009; Oliver et al., 2003; Ortiz de Haro, 2002); y, por último, hay quien se ha detenido a analizar un tipo de error en concreto (Beyer y Walter, 2010).



Esta circunstancia ha llevado a algunos gobiernos e instituciones a comprender la necesidad de velar para que los alumnos reciban una enseñanza conforme a lo que la ciencia dicta. Es el caso del Estado de Texas (EE.UU.), donde su Agencia de Educación (2008) cuenta con un amplio programa de revisión de libros y de detección de errores en libros de texto. Asimismo, la Asociación Americana para el Avance de la Ciencia (2012), editora de la revista Science, desarrolla un proyecto de supervisión de libros de texto publicados en EE.UU. sobre materias científicas, entre ellas las Matemáticas.

En España, hasta 1998 estuvo vigente la disposición quinta de la Ley 14/1970, de 4 de agosto, General de Educación y de Financiamiento de la Reforma Educativa, que obligaba a una supervisión de los libros de texto por parte del Estado previa a su edición. Sin embargo, dicha disposición quinta quedó derogada por el Real Decreto 1744/1998, de 31 de julio, sobre uso y supervisión de libros de texto y demás material curricular correspondientes a las enseñanzas de Régimen General, lo que significa que, actualmente, los libros de texto llegan a los alumnos sin que ningún órgano competente verifique previamente que cumplen unos requisitos mínimos.

Según los informes de las pruebas internacionales de matemáticas a las que se han presentado los alumnos españoles (López Varona y Moreno Martínez, 1997; Ministerio de Educación, 2010; Ministerio de Educación y Ciencia, 2004, 2007; Ministerio de Educación y Política Social y Deporte, 2005), el rendimiento de nuestros estudiantes está en todos los casos por debajo de la media de los países participantes. Esto pone de manifiesto el bajo rendimiento de nuestros alumnos en esta materia.

Como indica el Informe Cockcroft (1985: 114), los libros de texto “constituyen una ayuda inestimable para el profesor en el trabajo diario del aula”. Además, tal y como hemos visto, su uso está sumamente extendido en las aulas de Educación Primaria. Sin embargo, después de analizar libros de texto de las cuatro editoriales que, según nuestros datos, son utilizadas en 6.º de Educación Primaria, en un 90% de centros de la Comunidad de Madrid, vemos que contienen errores. Y nos preguntamos si ésta puede ser una causa de ese bajo rendimiento de nuestros alumnos en Matemáticas.

Son muchas las investigaciones realizadas sobre cómo enseñar matemáticas, pero quizá una de las tareas más urgentes sea investigar qué se está enseñando.

La pregunta fundamental no es ¿cuánto de bien estudia el niño el libro que tiene?, sino ¿cuánto de bien le hace al niño el libro que estudia?

En vista de los resultados, se hace necesario realizar un estudio serio de lo que se les está transmitiendo a nuestros alumnos a través de los libros de texto. Una investigación que nos lleve a identificar errores matemáticos en los libros de texto, describir dichos errores, clasificarlos, ver qué relación existe entre los distintos tipos de error encontrados, comprobar qué bloques de contenido están más afectados por cada uno de los tipos de error, estudiar en qué medida dichos errores repercuten en el aprendizaje de los alumnos.

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Pilar Fernández Palop. Profesora de la Escuela Universitaria Cardenal Cisneros (UAH). Licenciada en Matemáticas (especialidad Estadística) por la Universidad de Sevilla. Ha desarrollado su labor docente tanto en el ámbito de la formación profesional, como en centros de Educación Secundaria. En la actualidad está realizando la tesis doctoral en la UCJC sobre errores matemáticos en libros de texto.

Presentación A. Caballero García. Directora del Instituto de Enseñanza y Aprendizaje y Directora de posgrados y profesora de la Facultad de Ciencias Sociales y de la Educación de la Universidad Camilo José Cela de Madrid. Doctora en Filosofía y Ciencias de la Educación (Pedagogía) (1996) y Premio Extraordinario de doctorado (1997) por la Universidad de Murcia. Veinticinco años de experiencia docente y labor investigadora. Métodos de estudio, prensa como recurso didáctico, ansiedad evaluativa y rendimiento, nuevas tecnologías en el aula, personalidad antisocial como sujeto de alto riesgo, convergencia europea en las Titulaciones de Educación (metodologías alternativas), trabajo colaborativo y aprendizaje social y emocional.

José Antonio Fernández Bravo. Director de la Cátedra Conchita Sánchez de Investigación para la Educación Matemática, de la Universidad Camilo José Cela (UCJC). Profesor del Centro de Enseñanza Superior "Don Bosco", Universidad Complutense de Madrid (UCM). Autor de 76 obras de Educación y dirigidas al aprendizaje de la Matemática: cuentos, teatro, juegos, artículos y libros. Premio de “Metodología Creativa” Instituto Europeo de las Creatividades (Reggio Emilia. Italia, 2009), por el libro: “La resolución de problemas matemáticos. Razonamiento y creatividad en la mente de los niños” (2010).

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