“Educar para un mundo mejor”Trabajo... · 1 Prof. Analía A. Berretta “Educar para un mundo...

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Prof. Analía A. Berretta

“Educar para un mundo mejor”

Conjunto de Números Naturales:

• Comienza en el número 1 y no tiene fin. (es infinito).

• Es un conjunto discreto, ya que entre dos números naturales consecutivos, no existe otro número natural. Ej 1 y 2 ; 10 y 11, etc.

• Es el único conjunto numérico que tiene principio.

• Son los números que nos sirven para contar.

Repasamos propiedades de los números naturales.

ADICION

1) Ley de cierre. La suma de dos números naturales, es otro número Natural

5 + 1 = 6 8 + 4 = 12

2) Ley asociativa:

( 3 + 4) +2 = 3 + (4 + 2)

7 + 2 = 3 + 6

9 = 9

3) Ley conmutativa:

9 + 10 = 10 + 9

19 = 19

MULTIPLICACIÓN

1) Ley de cierre: La multiplicación de 2 n. Naturales, es otro n. Natural. 2 . 3. = 6

2) Ley asociativa: 5 . (2 . 3) = (5 . 2 ) . 3

5 . 6 = 10 . 3

30 = 30

3) Ley conmutativa: 3 . 7 = 7 . 3

21 = 21

4) La multiplicación es distributiva respecto de la suma y de la resta:

2 . (3 + 4) = 2 . 3 + 2 . 4

2 . 7 = 6 + 8

14 = 14

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Representación de los Naturales en la recta numérica

l l l l l l l l l

0 1 2 3 4 5 6 7 8 ....

Repasamos la traducción de lenguaje coloquial a lenguaje simbólico

Lenguaje coloquial Lenguaje simbólico

Tres veces un número disminuido en 5 unidades 3 a - 5

5 veces un número aumentado en 10 unidades

5x + 10

12 menos dos veces un número 12 – 2x

Un número sumado a su consecutivo x + x + 1

Un número sumado a su anterior x + x - 1

Aclaración: podemos reemplazar el signo del producto (x) por un punto (.), para no confundirnos con la incógnita que llamamos x. ¿Para que realizamos esto? Para poder resolver problemas. Repasamos la propiedad uniforme: Si sumamos un mismo número o expresión a ambos miembros de la igualdad, obtenemos otra igualdad. Para la suma Para la resta 5 + 3 = 4 +1 +3 6 +8 – 4 = 7 + 3– 4 8 = 8 10 = 10 5 + 3 + 6 = 4 + 2 + 2 + 6 14 = 14 Para la multiplicación Para la división 25 –5 + 3 = 15 + 7 30 +5 = 20 –5 + 20 23 = 23 35 = 35 2. (25 – 5 + 3) = 2. ( 15 +7) (30 +5): 5 = (20 –5 + 20) : 5 46 = 46 35 : 5 = 30 : 5

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A continuación, vamos a plantear un problema sencillo, para saber si lo podemos interpretar correctamente y lo sabemos pasar al lenguaje simbólico del que estuvimos hablando. Enunciamos: “Para resolver un problema, es fundamental, primeramente comprender el enunciado de ese problema, determinar con claridad cuál es la incógnita y comprobar el resultado”. Problema a): “Por 5 libros de igual precio pagamos $70. ¿Cuánto cuesta cada uno? 5. x = 70 Debemos agrupar las x por un lado y los términos independientes (números solos), por el otro. por propiedad uniforme

5

.5 x =

5

70 x = 14

Problema b):

Pienso un número cualquiera x, le sumo 25 y obtengo 40. ¿Qué número pensé? X + 25 = 40 Prop. Uniforme x + 25 – 25 = 40 – 25 X = 40 – 25 X = 15 Debemos siempre realizar la comprobación del resultado: ¿Cómo lo hacemos? Reemplazando en la expresión original con la que se planteó el problema y verificando su suma, si realmente corresponde a 15. Esta expresión, con la cual pudimos expresar en forma simbólica un problema, recibe el nombre de ecuación. Comprobaremos el resultado y luego pasaremos a definir formalmente una ecuación. Definimos: “Las ecuaciones son igualdades donde existe, por lo menos, un elemento desconocido al que llamamos

incógnita”

Nosotros vamos a trabajar con ecuaciones de primer grado con una incógnita.

Definimos:

“El grado de una ecuación está indicado por el mayor exponente de la incógnita”.

Definimos:

“ Ecuaciones de primer grado son aquellas en donde el mayor exponente de la incógnita es 1”

Vimos anteriormente ecuaciones de solución única.

Ahora veremos los siguientes casos:

¿Qué ocurre con esta ecuación? ¿Cuál es su solución?

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xxx 2235 =+−

xx 222 =+

22222 −=−+ xx

22222 −−=− xxxx

20 −≠x

Esta ecuación no tiene solución, ya que no existe ningún valor de x, que

multiplicado por cero sea igual a -2.

Otro caso: X +7 +2 = x + 9

X – x + 7 +2 = x – x + 9

0x + 9 = 0x + 9

Cuando agrupamos las x de un lado y los números del otro lado de la igualdad,

¿QuéSucede con las x? ¿Qué sucede en este caso?

El valor de la x, puede tomar infinitas soluciones y lo comprobaremos:

Para x= 1 0 . 1 + 9 = 0 . 1 + 9 Para x = 2 0 . 2 + 9 = 0 . 2 + 9 Para x = 10 0 . 10 + 9 = 0 . 10 + 9 Enunciamos:

Soluciones de una ecuación de primer grado:

� única solución.

� Sin solución

� Infinitas soluciones.

2x -[x -(x -50)] = x - (800 -3x)

2x -[x -x +50] = x -800 +3x Primero quitamos los paréntesis.

2x -[50] = 4x -800 Agrupamos términos semejantes.

2x -50 = 4x -800 Ahora quitamos los corchetes.

2x -4x = -800 +50

-2x = -750 Nuevamente agrupamos términos semejantes

x = -750 = 375 -2

Despejamos x

5


5(x -3) -(x -1) = (x +3) -10

5x -15 -x +1 = x +3 -10 Resolvemos el producto indicado, eliminamos los paréntesis,

5x -x -x = 3 -10 +15 -1 Llevamos los términos semejantes a un lado de la igualdad, y los

términos independientes al otro lado

3x = 7 Agrupamos términos semejantes en ambos lados de la igualdad.

x = 7

3 Despejamos x

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Trabajo Práctico nº1 1) Calcular:

a) 184 + 231 + 250= b) 1003 – 954= c) 1123 – 999= d) 236 x 271 e) 8258 x 2030= f) 2750 : 25= g) 1001 : 77=

2) Hallar el valor de la incógnita:

a) 2x + 5 = 17 b) (7 – 2 ) x + 11 = 16 c) 9 x + 6 x = 10 x + 35 d) 3x + 18 = -3x +36 e) 2(x + 2x) –3 = 21

3) Plantea y resuelve:

a) ¿Cuál es el número que aumentado en 5 es igual al doble de 6? b) Sumando 9 al triple de un número se obtiene 21. ¿Cuál es el número? c) El doble de un número disminuido en 6 es igual al número aumentado en 7 .

¿Cuál es el número? d) ¿Qué número le restas a 9 para obtener 3? e) ¿A qué número le restas 9 para obtener 3?

4) Problemas:

a) Si Matías nació cuando su madre tenía 29 años. ¿Cuál será la edad de Matías

cuando su madre tenga 58 años? b) Si tenía 28 monedas, escondí x en cada mano, y quedan 16, ¿Cuántas monedas

tengo en cada mano? c) Si al doble de un número le resto 9, el resultado es 31. ¿Cuál es el número? d) Pienso un número, lo multiplico por 2, le sumo 16 y obtengo 26. ¿De qué

número se trata?

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1) Resolvemos cuentas de adición y sustracción:

a) 253 + 302 + 901= 1.456 b) 1.980 – 920= 1.060 c) 240 + 30 + 75= 345 d) 520 : 2= 260 e) 234 : 3= 78 f) 22 : 11=2 g) 222 : 2= 111

2) Para pensar: a) Tengo 3 bolsas de caramelos, con 25 caramelos en cada una de ellas. ¿Cuántos caramelos tengo en total? Rta: 75 caramelos. b) Mi amigo Miguel tiene 10 paquetes de figuritas. Si cada paquete contiene 3

figuritas. ¿Cuántas figuritas tiene Miguel? Rta: 30 figuritas. c) En mi dormitorio tengo un mueble con 4 cajones : Dos cajones contienen 12 remeras cada uno y en los otros dos hay 4 Suéteres en cada uno. a)¿Cuántas remeras tengo en total? 24 remeras b) ¿Cuántos Suéteres tengo en total? 8 suéteres c)¿Cuántas prendas en total tengo? 32 prendas.

3) Ecuaciones: Para cada expresión de la columna izquierda, encontrar la expresión equivalente en la

columna derecha y unir con flechas. 2a + 5(a + 3) 5a + 3 + 4a + 1 2(5 + a) (a + b) (3 + 4) 13 a – 4 a + 2 13 a – 4 a + 2 a 2. 5 + a a + b ( 3 + 4)

9 a + 2 7 a + 7 b 7 a 15 11 a a + 10 10 + 2 a 9 a + 4 a + 7b

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Potenciación: “Un grupo de amigos decidieron ir de camping, y llevaron 2 carpas. Cada carpa tiene dos divisiones y en cada una de esas divisiones durmieron 2 personas”: Queremos saber cuántas personas fueron: 2 x 2 x 2 Carpas Divisiones por carpa Personas por división En una multiplicación, a cada número lo llamamos factores. Como siempre se repite el mismo factor, podemos escribir la multiplicación en forma abreviada como potencia de Base 2 y exponente 3, en éste caso. 2 x 2 x 2 = 23 Exponente

Base 23 = 8 Potencia

La base nos indica el factor que se repite. El exponente indica la cantidad de veces que se repite el factor. La operación se denomina Potenciación y el resultado se denomina potencia. Cualquier base elevada a la 1, dá como resultado la misma base. Ej: 21 = 2 31 = 3 b1 = b Cualquier base elevada a la 0, es 1. 10 = 1 50 = 1 25.0000 = 1 x 0 = 1 Cómo debemos leer una potencia: Ej: 52 Cinco a la dos o al cuadrado. 53 Cinco a la tres o al cubo. 54 Cinco a la cuatro o a la cuarta potencia. , etc. Escribir y nombrar las siguientes potencias:

a) 3 x 3 x 3 = b) 5 x 5 x 5 x 5 x 5 = c) 9 x 9 x 9 x 9 x 9 x 9 x 9 = d) 4 x 4 x 4 x 4 x 4 x 4 x 4 x 4 x 4=

Propiedades de las potencias: 1) La potenciación es distributiva con respecto a la multiplicación. Vamos a averiguar de dos maneras diferentes: a) ( )234x = 122 = 144 b) ( )234x = 4 22 3x = 16 x 9 = 144 2) La potenciación es distributiva con respecto a la división:

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a) ( ) 2525:6255:255:25 222 === b) ( ) 2555:25 22 == 3)Producto de potencias de la misma base, se suman los exponentes. 3 32532 33333333. +=== xxxx 53853 222.2.2.2.2.2.2.22.2 +=== 4) Cociente de potencias de la misma base, se restan los exponentes.

58358 22

2.2.2.2.2

2.2.2.2.2.2.2.22:2 −===

5) Potencia de potencia, se multiplican los exponentes

( ) 63323 33.3.3.3.3.33.33 === Ahora veremos la potencia de la suma.

¿Es lo mismo ( )225 + que 22 25 + ? 27 = 49 y 25 + 4 = 29

Por lo tanto ( )225 + ≠ 22 25 + Ahora veremos la potencia de la resta.

¿Es lo mismo ( )358− que 33 58 − ?

33 = 27 512 – 125 = 387

Por lo tanto ( )358− ≠ 33 58 − Aclaración Importante:

La potenciación NO es distributiva con respecto a las operaciones de Adición y sustracción.

¿ 35 es igual a 53 ? 5.5.5 = 125 y 3.3.3.3.3 = 243 Por lo tanto la potenciación no es conmutativa Veremos las potencias de 10:

000.000.110.10.10.10.10.1010

000.10010.10.10.10.1010

000.1010.10.10.1010

000.110.10.1010

10010.1010

1010

110

6

5

4

3

2

1

0

====

====

====

¿Qué podemos sacar como conclusión de lo que acabamos de hacer? Potencias de base 10: Tendrán la unidad seguida de tantos ceros como nos indique el exponente. Escribir como potencias:

10


a) 7 . 7 . 7 . 8 . 7 . 8 = 664.1538.7 24 = b) 3 . 2 . 3 . 2 . 3= 1082.3 23 = c) 10 . 10 . 5 . 10 . 5 = 000.255.10 23 =

Escribe el exponente que falta:

a) 2 5 113 .3 .3 3=

b) 55:55 = c) 455 =−

Escribir en lenguaje simbólico:

a) Tres a la quinta más ocho al cubo. b) Cinco al cuadrado menos dos a la cuarta. c) Dos veces el cuadrado de siete más tres veces el cuadrado de dos.

2) Calcular de las maneras que aprendimos:

Aplicando propiedades, cuando sea posible y resolviendo primero paréntesis y luego aplicando potenciación. a) ( )34.3 = 728.164.274.3 33 ==

b) ( )25:10 = 425:1005:10 22 ==

c) ( )252 + =( ) 497 2 =

d) ( )32.5 = 000.18.1252.5 33 ==

e) ( )3710− = 2733 = 3) Resolver realizando las operaciones sobre la hoja de carpeta.

a)( )423 = 561.633 84.2 == b) ( )342 = 096.422 123.4 ==

c) ( )421 = 111 84.2 ==

d) ( )405 = 155 04.0 == e) 124 3.3.3 − = 24333 5124 ==−+

f) ( )025 3.3 = 133 00.7 == 4) Completar la tabla de cuadrados y cubos, realizando las operaciones sobre la hoja de

trabajos prácticos. x 1 2 3 4 5 6 7

2x 112 = 422 = 932 = 1642 = 2552 = 3662 = 4972 =

3x 113 = 823 = 2733 = 6443 = 12553 = 21663 = 34373 =

Trabajo Práctico Nº 2 1) Si resuelves correctamente los cálculos, te enterarás el peso de las pelotas que se

4

4

11


utilizan en los diferentes deportes: (CON RESPUESTAS)

a) Voleibol: ...........260...............gramos.

=++−+ 10.26)2:4()3:15(1 3128

b) b) Hándbol: .........424...............gramos.

=+−+++ 123.20)34(8153.3 2102 c) Tenis:................57.................gramos.

=−++− 13)54:8(25:5 2224

d) Golf:... .............46.................gramos.

=+−−+ 1023103 )7.3(782:2)23(

e) Fútbol:............353..................gramos.

=−−++− 203012 2347438610

f) Bowling.........7.260...............gramos.

=−++− 10).572.35)1010( 34323 2) Usa tu ingenio: Utilizando todas las cifras, del 1 al 9, ubica en cada círculo una cifra de manera que la suma de cada una de las filas señaladas sea la misma. (IGUAL A 15)

7

5

12


RADICACIÓN

Se llama raíz n (o enésima) de un número a, al número b tal que b elevado a la n da como resultado a.

En símbolos: ban = abn =

Ejemplo 2164 = porque 162.2.2.224 ==

INDICE RADICAL

2164 = RAIZ

RADICANDO

Por convención, el índice 2 no es necesario colocarlo, sabemos que es raíz cuadrada.

Número Raíz cuadrada Número Raíz cúbica

4 2 8 2

9 3 27 3

16 4 64 4

25 5 125 5

36 6 216 6

49 7 343 7

64 8 512 8

81 9 729 9

100 10 1000 10

121 11 1331 11

13


144 12

169 13

196 14

225 15

1) La radicación es distributiva con respecto a la multiplicación. Vamos a averiguar de dos maneras diferentes:

a) 42764.149.36 == b) 427.649.36 == 2) La radicación es distributiva con respecto a la división: a) 394:36 == b) 32:64:36 == 3) Raíz de raíz, se multiplican los índices:

3 64 = 6 64 Primero resolvemos la raíz de adentro.

24 =

Ahora vemos si es igual a la 6 64 = 2 Buscamos un número que multiplicado seis veces, obtenga como resultado 64. Ese número es dos. Ahora veremos la raíz de la suma y la resta.

¿Es lo mismo 40436 =+ que 826436 =+=+ ?

Por lo tanto 40436 =+ ≠ 826436 =+=+ Ahora veremos la potencia de la resta.

¿Es lo mismo 32436 =− que 426436 =−=− ?

Por lo tanto 32436 =− ≠ 426436 =−=− ? Aclaración Importante: La radicación NO es distributiva con respecto a la suma y a la resta.

EJERCICIOS PARA REALIZAR EN CLASE: (con respuestas)

Completen las casillas para que se cumplan las igualdades.

4....64...3 = 3 ....0... = 0 3 .....125.. = 5

14


....36... = 6 .....1.. = 1 .....81.. = 9

Resolvemos ejercicios combinados.

Repasamos:

El orden de las operaciones:

1) Primero resolvemos potencias y raíces. 2) Luego resolvemos multiplicaciones y divisiones. 3) En tercer lugar, sumas y restas

Y como ya sabíamos, cuando se presentan Paréntesis, corchetes y llaves, se resuelven en ese orden:

paréntesis, corchetes y llaves.

Calcular:

a) 2722 15)15(3610036100 −+−−−+− = 20

b) 12 - 4.3 + (12 – 4).3 - =3 8:512 20

c) 2 + =+−−+ 39130)49.(4.62 23 597

d) 64 : ( =+− 23 3:27)113 7

e) ( ) =+−+− 23223 3:3)29(000.105 155

f) ( ) ( ) ( )=−+−− 23.22000.12 20332 69

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Trabajo Práctico Nº 3

1) Resolver los ejercicios combinados en la hoja de trabajo:

a) ( ) =+++ 6.5400345:125 109

b) ( ) =−++− 101388.10015 5298

c) ( ) =+++− 12142:285 323 80

2) Completa las frases con los resultados obtenidos:

a) El cuerpo humano está compuesto por........48..........billones de células.

( ) =−+−+++ 291 2523:362425

b) El corazón bombea .....90000..............litros de sangre por día.

( ) =−++ 32702 10.210015:9

c) Existen más de ....100..................articulaciones en el cuerpo.

( ) ( )[ ] =+−−+ 4003431212.34.3 332

3) Plantear y resolver las ecuaciones:

a) Pienso un número, lo elevo a cuadrado, lo divido por 3 y sumo 2. Obtengo 50. ¿Qué número

pensé? 5023:2 =+x Rta:12

b) Calculo la raíz cuadrada de un número, lo multiplico por 2 y resto 5. Obtengo 11. ¿Cuál es el

número? 52. −x = 11 Rta: 64

c) Calculo la raíz cúbica de un número, lo multiplico por 2 y sumo 6. Su resultado es 14. ¿De qué

número se trata? 62.3 +x = 14 Rta: 64

Para pensar:

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El resultado de 2 + 7 . 3 + 5, es igual a 28. Intercalar paréntesis de distintas formas, para obtener

los resultados: 32, 58 y 72.

RTAS: A) (2+7).3 + 5= 32

b) (2 + 7) (3 + 5) = 72

c) 2 + 7 (3+5) = 58 ¿Hay alguna otra forma de colocar los términos para obtener

otro resultado? Si. Conmuto términos. (5 + 2 + 7). 3=42

Algunos problemas:

1) Para terminar de pagar un auto que cuesta $ 25.000, sólo faltan 3 cuotas. Ya se pagaron $ 23.200. ¿Cuánto falta pagar? Rta: Faltan pagar $1.800 y cuotas de $600 cada una.

2) El mes pasado, Mirta le debía a su mamá $ 120. Este mes compró 4 libros y le pidió dinero nuevamente. Ahora le debe $200. ¿Cuánto gastó Mirta en libros?

Problemas con números naturales.

Jorge es 3 años menor que Álvaro, pero 7 años mayor que Alicia. Si la suma de las edades de los tres es 38, ¿qué edad tiene cada uno? Decimos que las edades de los tres son: j = edad de Jorge a = edad de Álvaro m = edad de Alicia

RESOLUCIÓN:

Sabemos que la edad de Álvaro es igual a la edad de Jorge más 3 años (Jorge es tres años menor que Álvaro): A = J + 3

También sabemos que la edad d Alicia e es igual a la edad de Jorge menos 7 años (Jorge es 7 años mayor que Alicia): A = J -7

Ahora tenemos que: edad de Jorge: j edad de Álvaro: j +3 edad de: Alicia j -7

La suma de las tres edades es 38: j + j +3 + j -7 = 38

Resolviendo está última ecuación tendremos: j = 14 (esta es la edad de Jorge)

Finalmente: edad de Jorge: j = 14 años

17


edad de Álvaro: j + 3 = 17 años edad de Alicia j - 7 = 7 años

Comprobación:

14 + 17 + 7 = 38

38 = 38

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Practicamos más ecuaciones con todas las operaciones que vimos hasta el momento:

1) Ecuaciones con multiplicaciones, división, sumas y restas:

a) M . 5 = 250 . 3 b) Y: 3 = 4. 2 c) X – 1053 = 867 d) X + 124 = 165 + 159

2) Agregamos potenciación a las ecuaciones:

a) a . 5.22553 =

b) 102 1=m

c) 12 )25.3(5 =+ r

d) ( )[ ] h++ 9:)7:21154 2 = 175

3) Ahora resolvemos ecuaciones agregando radicación:

a) -134 + W = 24049+

b) (4+ 32

+60

). Z = 100 + 22

c) ( )[ ] =+++− 341463.25150 x

d) ( ) =−−+−+ 4063.5123 2333y

RESPUESTAS:

1)

a) m = 150 b) y = 24 c) x = 1.920 d) x = 200

2)

a) a = 9 b) m = 1 c) r = 50 d) h = 20

3)

a) w = 151 b) z = 1 c) x = 66 d) 34+81-40 = y y = 75

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DIVISORES Y MÚLTIPLOS:

Si tengo 33 chocolates y quiero repartirlos entre 4 amigas en forma equitativa. ¿Puedo hacerlo sin que

sobren chocolates?

Ej: 33 4

1 8 33 = 4 . 8 + 1 ESTA DIVISIÓN NO ES EXACTA

Por definición de división, sabemos que:

Dividendo = divisor x cociente + resto.

Donde el resto siempre es menor que el divisor.

Por lo tanto Juan no puede repartir en forma equitativa. Ahora, si Juan en lugar de 33, tiene 40 figuritas, ¿Puede en este caso repartir la misma cantidad para cada

uno de sus amigos?

Realizamos otra división:

40 8 0 5

. O sea 40 = 5 . 8 + 0 ESTA DIVISIÓN ES EXACTA Por lo tanto con 40 figuritas puede realizar una repartición equitativa. En este último caso podemos decir que � 8 está contenido una cantidad exacta de veces en 40. � 8 es divisor de 40. � 40 es múltiplo de 8 Definición de Divisibilidad - Un número a es divisible por otro número b, con b ≠ 0, si el resto de dividir a por b es cero. a = b . m + 0 ó a = b . m

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- Por lo tanto, si el resto de la división es cero decimos: a es múltiplo de b b es divisor de a. - 1 es divisor de todos los números - 0 es múltiplo de todos los números, excepto del 0.

Criterios de Divisibilidad Divisible por 2 Cuando el número es par, o sea cuando termina en 0, 2, 4, 6 u 8 Divisible por 3 La suma de las cifras es múltiplo de 3 Divisible por 4 Cuando sus dos últimas cifras son ceros o forman un múltiplo de 4 Divisible por 5 Cuando termina en 0 ó en 5 Divisible por 6 Cuando es divisible por 2 y por 3 Divisible por 9 Cuando la suma de sus cifras, es múltiplo de 9 Divisible por 10 Cuando termina en 0 Divisible por 100 Cuando termina con dos ceros Divisible por 1000 Cuando termina con tres ceros... Practicando los criterios de divisibilidad: 16 _ es múltiplo de 3 y de 5. 165 98 _ es divisible por 5 pero no por 10. 985 4 _ _ es divisible por 10 y por 6 y es menor que 440. 420 23 _ es múltiplo de 6. 234 28 _ _ _ es múltiplo de 1000 28000 34 _ es múltiplo de 4 pero no de 5 y es menor que 346. 344

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Trabajo Práctico Nº 4 1)Dada la siguiente tabla, indicar con una cruz, Cuáles de los números que se encuentra en la primer columna son múltiplos de: 2, 3, 4, 5, 6 , 9 o 10. La forma en que lo averiguaste, debes volcarlo en tu hoja de trabajo.

Múltiplos de 2

Múltiplos de 3

Múltiplos de 4

Múltiplos de 5

Múltiplos de 6

Múltiplos de 9

Múltiplos de 10

3.393 8.096 1.386 555 56 1.000 2.431 502

2) Colocar la cifra que falta para que el siguiente número:

5.47 _

a) Sea, a la vez, múltiplo de 3 y de 5 b) Sea, a la vez, múltiplo de 2 y de 5

3) Completar la siguiente tabla: Número Divisores Cantidad de

divisores Primo o

compuesto 13

18

28

31

120

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Números primos y números compuestos ♦ Los números primos son aquellos que tienen únicamente dos divisores naturales:

son divisibles por sí mismos y por la unidad. ♦ Los números compuestos tienen más de dos divisores naturales. ♦ El 1 y el 0 no son primos ni compuestos.

Vamos a averiguar cuáles son números primos, de los 100 primeros números naturales. Para ello realizaremos lo que hizo Eratóstenes, un matemático griego, que vivió alrededor del año 200 AC y que, entre otras cosas, fue director de la famosa Biblioteca de Alejandría. El método que ideó este matemático se conoce como la “criba de Eratóstenes” y se trata de “sacudir” la criba para desprenderse de los múltiplos de 2, de 3, y así sucesivamente, hasta quedarse únicamente con los números primos. El procedimiento es el siguiente:

1) Tachar el 1. (sabemos que no es primo). 2) El 2 es primo, por lo tanto, lo marcamos con un círculo, y tachamos todos

los múltiplos de 2. 3) El 3 es primo, por consiguiente lo marcamos con un círculo, y tachamos

todos los múltiplos de 3. 4) Cuando terminemos de hacer lo mismo con cada uno de los números

presentados en la tabla, habrán quedado sin tachar todos los números primos menores que 100.

CRIBA DE ERATÓSTENES

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

21 22 23 24 25 26 27 28 29 30

31 32 33 34 35 36 37 38 39 40

41 42 43 44 45 46 47 48 49 50

51 52 53 54 55 56 57 58 59 60

61 62 63 64 65 66 67 68 69 70

71 72 73 74 75 76 77 78 79 80

81 82 83 84 85 86 87 88 89 90

91 92 93 94 95 96 97 98 99 100

Preguntas sobre la criba:

1) ¿Cuántos primos pares hay? 2) ¿Todos los números impares son primos? 3) Buscar números consecutivos que sean primos.

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Todo número se puede escribir como el producto de factores primos y estos factores son únicos. Ejemplo: 12 = 3.22 8= 32

A esta manera de escribir un número la llamamos factorización.

¿Cómo realizamos la factorización de un número?

Ej: Elegimos el nº 140

Colocamos el número y a continuación trazamos una barra vertical a la derecha del número.

Comenzamos la factorización, realizando las sucesivas divisiones del número por sus divisores primos.

El primer divisor lo colocamos a la derecha de la línea que trazamos.

El primer cociente lo colocamos debajo del 140.

Luego dividimos el 70 por su factor primo, que vuelve a ser el 2.

El resultado de esa división es 35. Ahora buscamos el factor primo de 35 que es 5.

El cociente de dicha división es 7, Ahora el factor primo del 7 es el mismo 7, cuyo cociente es uno.

140 2 70 2

35 5

7 7

1

Por lo tanto, la factorización del número 140 = 2 . 2 . 5. 7 = 22 . 5 . 7

Escribimos la factorización del número 315.

315 3 105 3

35 5

7 7

1

Por lo tanto la factorización del número 315 = 3 . 3 . 5. 7 = 7.5..32

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1) Escribir la factorización de los siguientes números:

a) 430 b) 1.000 c) 422 d) 555

2) Factorizar los siguientes productos, sin resolver.

a) 12 . 43 b) 78 . 52 c) 35 . 32

3)Escribir todos los divisores de 189, que sean múltiplos de 6.

4) Escribir todos los divisores de 144 e indicar los factores primos.

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