Apl Integral

Héctor Palma Valenzuela. Dpto. de Matemática UdeC. 1

1 Aplicaciones de la integral.-

Antes de abordar las variadas aplicaciones para el concepto de integral daremosla definición más general de esta noción, la cual no requiere considerar solamentefunciones continuas.

Se conoce como la Integral de Riemann.

1.1 Definición de la Integral de Riemann.-

Sea f : [a, b]→ R.Dada una partición P : a < x0 < x1 < ... < xn−1 < xn = b del intervalo [a, b]

se escoje xk ∈ [xk−1, xk] (un punto en cada subintervalo). Esto permite definir unasuma de Riemann de f , asociada a la partición P por

S (f, P ) =n∑

k=1

f (xk)∆xk

Por ejemplo, con f (x) =√x4 + 1, 0 ≤ x ≤ 2

0 1 20

1

2

3

4

x

y

podemos construir la suma de Riemann:con una partición que determine 20 subintervalos de igual longitud y escojiendo elpunto medio de cada subintervalo

0.0 0.5 1.0 1.5 2.00

1

2

3

4

x

y


la cual tiene un valor de 1

10

19∑

k=0

√(1

10k + 1

20

)4+ 1 ≈ 3. 651 9

Para una partición P dada, llamamos norma de la partición a la longitud delsubintervalo más largo, la cual se denota ‖P‖ .

O sea, ‖P‖ = max {∆xk : 1 ≤ k ≤ n} .Que ‖P‖ < δ, significa que para todos los subintervalos: ∆xk < δ.Un caso particular se tiene cuando todos los subintervalos tienen la misma lon-

gitud. La partición se denomina regular y se tiene que ∆xk = b−anpara todo k

y

‖P‖ =b− a

ny por tanto,

‖P‖ → 0 ⇔ n→∞Para una partición general

b− a

‖P‖ ≤ n

luego‖P‖ → 0 ⇒ n→∞

y el recíproco no vale.

Definición 1 Se dice que f es integrable Riemann en [a, b] cuando existe un L ∈ Rque verifica:

Dado ε > 0, existe δ > 0 tal que

∀ partición P : ‖P‖ < δ ⇒∣∣∣∣∣L−

n∑

k=1

f (xk)∆xk

∣∣∣∣∣< ε

cualquiera sea la elección de xk ∈ [xk−1, xk]

Esta condición significa que

lim‖P‖→0

n∑

k=1

f (xk)∆xk = L

El valor de este límite se llama la integral de f en el intervalo [a, b] y se escribe

∫ b

a

f (x) dx = lim‖P‖→0

n∑

k=1

f (xk)∆xk

Teorema 2 Toda función continua en [a, b] es integrable en [a, b] .


La clase de funciones integrables en [a, b] es más amplia que la indicada enel teorema anterior. Se puede probar que también son integrables las funcionescontinuas por tramos.

Una función f es continua por tramos (o seccionalmente continua) en el intervalo[a, b] , cuando ella es continua en todo punto del intervalo, con la posible excepciónde un número finito de puntos t1, t2, ..., tk donde los límites laterales deben existir.

Por ejemplo,

f (x) =

x2 si 0 ≤ x < 23− x si 2 ≤ x ≤ 4x3e−x si 4 < x ≤ 6

-1 1 2 3 4 5 6

-1

1

2

3

4

x

y

La integral se calcula en este caso como

∫6

0

f (x) dx =

∫2

0

x2dx +

∫4

2

(3− x) dx +

∫6

4

x3e−xdx

=8

3+ 0− 366e−6 + 142e−4


1.2 Area entre curvas.

Sea R la región del plano descrita por

a ≤ x ≤ b

g (x) ≤ y ≤ f (x)

donde f, g : [a, b]→ R son continuas.Por ejemplo,

-0.50-0.25 0.250.500.751.001.251.50

-0.5

0.5

1.0

1.5

2.0

x

Para calcular el área de R tomamos una partición P : a = x0 < x1 < .... < xn = bde [a, b] y elejimos xk ∈ [xk−1, xk] . Sobre cada subintervalo [xk−1, xk] , consideramosel rectángulo de área

[f (xk)− g (xk)]∆xk

La suman∑

k=1

[f (xk)− g (xk)]∆xk

es una suma de Riemann de la función f (x)− g (x) .Ahora cuando ‖P‖ → 0, los rectángulos van “llenando” la región R, como tam-

bién las sumas de Riemann se aproximan al valor de la integral de la función. Poresto

A (R) =

∫ b

a

[f (x)− g (x)] dx

Ejemplo 3 Encuentre el área de la región acotada por las parábolas y = x2 ey = 2x− x2.


-1 1 2

-1

1

2

x

y

A (R) =∫1

0(2x− x2 − x2) dx = 1

3

Ejemplo 4 Encuentre el área de la región encerrada por la recta y = x − 1 y laparábola y2 = 2x + 6

-4 -2 2 4 6

-4

-2

2

4

x

y

Primero se determinan los puntos de intersección de las dos curvas, para obtener(−1,−2) y (5, 4) .

En este caso es más conveniente considerar la región R en la forma

−2 ≤ y ≤ 4

y2 − 6

2≤ x ≤ y + 1

de donde resulta, A (R) =∫4

−2

(y + 1− y2

2+ 3)dy = 18.

Observación.- En el último ejemplo se ha trabajado con y como variable inde-pendiente y x como variable dependiente.


1.3 Volúmenes de sólidos.

Primero consideraremos sólidos de revolución, según los casos que se discuten acontinuación:

1.3.1 Método del disco.

En el caso más simple, considere f : [a, b] → R continua y no negativa. Sea R laregión del plano bajo la curva y = f (x) y sobre el intervalo [a, b] , como se describeen la figura siguiente:

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 1.2 1.4 1.6 1.8 2.00.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

1.2

x

y

Si se considera el plano xy contenido en el espacio 3-D xyz, podemos rotar (o girar)la región R alrededor del eje x para generar un sólido de revolución.

¿Cómo calcular el volumen de este sólido?Al considerar una partición P : a = x0 < x1 < .... < xn = b de [a, b] y

elegir xk ∈ [xk−1, xk], asumimos que f es constante, de valor f (xk) en [xk−1, xk] . Elrectángulo Rk de base [xk−1, xk] y altura f (xk) gira alrededor del eje x generandoun disco de volumen

Vk = πf (xk)2∆xk

La suma de estos volúmenes es la suma de Riemann

n∑

k=1

πf (xk)2∆xk

para la función h (x) = πf (x)2 .Ahora bien, cuando la norma de la partición P tiende a cero, estas sumas de

Riemann convergen a la integral

∫ b

a

πf (x)2 dx


como también el sólido determinado por estos discos se aproxima al sólido derevolución considerado. Por esto, el volumen de nuestro sólido de revolución secalcula mediante la fórmula

V = π

∫ b

a

f (x)2 dx

Ejemplo 5 Sea R la región del plano bajo la curva y = x2, sobre el intervalo [0, 1] .Calcule el volumen del sólido generado al rotar R alrededor del eje x.

Ejemplo 6 Deduzca la fórmula para calcular el volumen de un cono de radio basalr y altura h.

Lo mismo para un tronco de cono de radios r1 < r2 y altura h.

Es intuitivamente claro que en el caso más general de f, g : [a, b] → R, con0 ≤ f (x) ≤ g (x) , ∀x

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 1.2 1.4 1.6 1.8 2.00.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

1.2

x

y

la región R : a ≤ x ≤ b, f (x) ≤ y ≤ g (x); gira alrededor del eje x generando unsólido cuyo volumen se calcula con la fórmula

V = π

∫ b

a

[g (x)2 − f (x)2

]dx

Ejemplo 7 Mediante una broca, un mecánico perfora un agujero a través del centrode una esfera de metal de 5 cms. de radio. Teniendo el agujero un radio de 3 cms.¿Cúal es el volumen del anillo resultante?

Con g (x) =√

25− x2 y f (x) = 3, para x ∈ [−5, 5], sus gráficas corresponden ala semicircunferencia superior de centro el origen y radio 5 y a la recta horizontaly = 3. Ellas se intesectan en los puntos (−4, 3) y (4, 3) .

Si se gira alrededor del eje x la región R encerrada por ambas curvas, se generael anillo cuyo volumen queremos calcular.


Por tanto, su volumen está dado por

V = π

∫4

−4

[(√25− x2

)2− 32

]dx

= π

∫4

−4

(16− x2

)dx

=256

3π = 268. 08 cm3

1.3.2 Método del anillo

Ahora se considerará una región R de la forma R : 0 ≤ a ≤ x ≤ b, 0 ≤ y ≤ f (x),con f continua y no negativa en [a, b] .

Note que la región R queda situada en el primer cuadrante.Al girar R alrededor del eje y se genera un sólido de revolución, cuyo volumen

queremos calcular.Para esto primero se aproximará el sólido por la figura formada por los anillos

cilíndricos que se describen a continuación:Dada una partición P : a = x0 < x1 < .... < xn = b de [a, b] se elige xk ∈

[xk−1, xk] punto medio del intervalo, y asumimos que f es constante, de valor f (xk)en [xk−1, xk] . El rectángulo Rk de base [xk−1, xk] y altura f (xk) gira alrededor deleje y generando un anillo cilíndrico de volumen

Vk = πx2k f (xk)− πx2k−1 f (xk)

= π(x2k − x2k−1

)f (xk)

= 2π

(xk + xk−1

2

)f (xk) ·∆xk

= 2π xk f (xk) ·∆xk

La suma de estos volúmenes es una suma de Riemann

n∑

k=1

2π xk f (xk) ·∆xk

para la función h (x) = 2πxf (x) .Ya hemos mencionado que al escoger particiones con norma cada vez más pe-

queña, o sea ‖P‖ → 0, estas sumas convergen a la integral∫ ba2πxf (x) dx. Por lo

tanto, el volumen del sólido se obtiene de

V = 2π

∫ b

a

x f (x) dx


Ejemplo 8 Sea R la región del plano bajo la curva y = x2, sobre el intervalo [0, 1] .Calcule el volumen del sólido generado al rotar R alrededor del eje y.

2π∫1

0x3dx = 1

2π = 1. 570 796 326 794 896 619 231 321 691 64

El caso más general se obtiene de la región R : 0 ≤ a ≤ x ≤ b, f (x) ≤ y ≤ g (x),con f, g funciones continuas en [a, b] . Al rotar R alrededor del eje y se genera unsólido de revolución cuyo volumen se calcula en la fórmula

V = 2π

∫ b

a

x [g (x)− f (x)] dx

Ejemplo 9 Sea R la región determinada por 0 ≤ x ≤ 1, 3x ≤ y ≤ 4− x2. Calculeel volumen del sólido generado al rotar R alrededor del eje y.

2π∫1

0x (4− x2 − 3x) dx = 3

2π = 4. 712 388 980

Ejemplo 10 Sea R la región correspondiente al círculo de centro (4, 0) y radio 1.Calcule el volumen del sólido generado al rotar R alrededor del eje y.

Si se considera sólo la circunferencia rotando alrededor del eje y se genera unasuperficie de revolución llamada Toro. Vamos a calcular el volumen de la regiónencerrada por el toro.

De la simetría de la figura bastaría considerar el semicírculo superior. O sea

R1 : 3 ≤ x ≤ 5, 0 ≤ f (x) ≤√

1− (x− 4)2

V = 2 · 2π∫5

3

x

√1− (x− 4)2dx

= 8π2

Observación 11 En el trabajo presentado con los dos métodos anteriores puedequedar la idea que el método del disco es para rotaciones alrededor del eje x y elmétodo del anillo para rotaciones alrededor del eje y. En realidad todo depende decómo se describa la región R que va a rotar alrededor de un eje. El siguiente ejemploilustra las posibilidades.

Ejemplo 12 Sea R la región del primer cuadrante encerrada por la curva y =√

2xy la curva y = 1

4x3. Escriba las fórmulas integrales para calcular el volumen del

sólido generado al rotar R alrededor del eje x, usando:a) Método del disco.b) Método del anillo.

También se pueden considerar rotaciones de R con respecto a otras rectas hori-zontales o verticales.

Ahora para sólidos que no necesariamente correspondan a sólidos de revolución.


1.3.3 Método de la sección transversal.

Sea D un sólido 3-d entre los planos x = a y x = b de manera que la intersección deéste con cada plano perpendicular al eje x, pasando por el punto x, determina unaregión plana de área A (x).

Considere además que la función x→ A (x) es continua en el intervalo [a, b] .Se puede deducir entonces que el volumen del sólido D está dado por

V =

∫ b

a

A (x) dx

Ejemplo 13 Deduzca la fórmula para calcular el volumen de una pirámide de basecuadrada de lado a y altura h.

Resp.- a2

h2

∫ h0

(h− y)2 dy = 1

3a2h

1.4 Longitud de arco

Consideraremos los casos de curvas en el plano xy que corresponden a gráficas defunciones y = f (x), como también para curvas definidas en forma paramétrica.

1.4.1 Caso gráficas de funciones

Sea f : [a, b] → R de clase C1 (o sea, f ′ es continua) y sea C la curva de ecuacióny = f (x) .

Al considerar una partición P : a = x0 < x1 < .... < xn = b de [a, b], la poligonalformada por los puntos (x0, f (x0)) , ..., (xn, f (xn)) es una aproximación a la curvaC.

Cada segmento de extremos (xk−1, f (xk−1)) y (xk, f (xk)) tiene longitud

lk =

√(xk − xk−1)

2 + (f (xk)− f (xk−1))2

y por TVM existe xk ∈ [xk−1, xk] tal que f (xk) − f (xk−1) = f ′ (xk) (xk − xk−1) .Luego,

lk =

√1 + f ′ (xk)

2 ·∆xk

Sumando estas longitudes se obtiene la longitud de la poligonaln∑

k=1

√1 + f ′ (xk)

2 ·∆xk

que es una suma de Riemann de la función continua h (x) =√

1 + f ′ (x)2

Por esto, la longitud de la curva se determina de la fórmula

l =

∫ b

a

√1 + f ′ (x)2dx


Ejemplo 14 Para C : y = 1

6x3 + 1

2x−1, 1 ≤ x ≤ 3.

0 1 2 3 40

1

2

3

x

y

se tiene

f (x) =1

6x3 +

1

2x−1 ⇒ f ′ (x) =

1

2x2 − 1

2x−2

⇒ 1 + f ′ (x)2 = 1 +

(1

4x4 − 1

2+

1

4x−4

)

⇒ 1 + f ′ (x)2 =

(1

2x2 +

1

2x−2

)2

y luego

l =

∫3

1

(1

2x2 +

1

2x−2

)dx

=

(1

6x3 − 1

2x−1)|31=

14

3

1.4.2 Curvas definidas paramétricamente

Cuando se estudia el movimiento de un objeto (idealmente un punto P ) sobre elplano xy, en cada instante t de un intervalo [a, b] éste se encuentra ubicado en unpunto que describimos como P (t) .

Aparece así una función [a, b] → R2, t �→ P (t) que nos entrega la posición del

objeto en cada instante t. Esta función está determinada por sus componentes

t �→ x (t)

t �→ y (t)

definidas en el intervalo [a, b]. Estas dos funciones se denominan las ecuacionesparamétricas de la curva o trayectoria descrita por el objeto.

Ejemplo 15 De la trigonometría sabemos que todo punto de la circunferencia uni-taria

x2 + y2 = 1 (ecuación cartesiana)


se expresa en la forma (cos t, sin t) para algún t ∈ [0, 2π] . Luego, las ecuacionesparamétricas

x (t) = cos t

y (t) = sin t

con t ∈ [0, 2π] corresponden a la circunferencia unitaria, recorrida una vez en sentidoantihorario.

De forma similar, para a, b > 0 fijas, las ecuaciones paramétricas

x (t) = a cos t

y (t) = b sin t

con t ∈ [0, 2π] corresponden a la elipse x2

a2+ y2

b2= 1.

Ejemplo 16 Si una curva C : y = f (x) , con a ≤ x ≤ b, es la gráfica de la funciónf , ella se describe en forma paramétrica por las ecuaciones

x (t) = t

y (t) = f (t)

con t ∈ [a, b] (usando como parámetro t la misma variable x).Por ejemplo, el arco de parábola y = x2, entre (0, 0) y (2, 4) se describe en forma

paramétrica por

x = t

y = t2

con t ∈ [0, 2] .

Ejercicio 17 Dos partículas parten en el mismo instante t = 0, la primera a lolargo de la trayectoria lineal x1 (t) = 16

3− 8

3t, y1 (t) = 4t− 5, t ≥ 0 y la segunda a

lo largo de la trayectoria elíptica x2 (t) = 2 sin 1

2πt, y2 (t) = −3 cos 1

2πt. Determine

sia) la trayectorias se cortan.b) las particulas colisionan.

Longitud de arco Para una curva C dada en forma paramétrica por

x = x (t) , y = y (t)

t ∈ [a, b], donde x, y son de clase c1, su longitud está dada por

l =

∫ b

a

√x′ (t)2 + y′ (t)2dt


Ejemplo 18 Deduzca la fórmula para calcular la longitud (el perímetro) de unacircunferencia de radio a.

Ejercicio 19 Una cicloide es la curva descrita por un punto P de una circunferen-cia de radio r a medida que ésta rueda sin resbalar sobre el eje x

Muestre que las ecuaciones paramétricas de esta curva son

x (θ) = r (θ − sin θ)

y (θ) = r (1− cos θ)

y calcule la longitud de un arco de cicloide, para 0 ≤ θ ≤ 2π.Resp.-

√2r∫2π

0

√1− cos θdθ = 8r

Rectas tangentes Para C : x = x (t) , y = y (t)suponiendo que también C : y = F (x), tenemos y (t) = F (x (t)) y luego dy

dt=

F ′ (x (t)) dxdty así F ′ (x) = dy/dt

dx/dt, siempre que dx/dt �= 0

dy

dx=

dydtdxdt

También podemos calcular la segunda derivada de y con respecto a x usando lafórmula anterior para dy

dx:

d2y

dx2=

ddt

(dydx

)

dxdt

Ejemplo 20 Determine dydx

y d2ydx2

para la cicloide x = r (t− sin t) . y = r (1− cos t).Encuentre la pendiente y la ecuación de la recta tangente a la cicloide en el puntoen que t = π/3


Areas Para una curva y = F (x) , positiva, con a ≤ x ≤ b, el área bajo la curvaestá dada por

A =

∫ b

a

F (x) dx

Ahora si la curva también está dada por las ecuaciones paramétricas x = x (t) , y =y (t) y se recorre una vez de izquierda a derecha cuando t crece de α a β, entoncesmediante el cambio de variables

x = x (t)

dx = x′ (t) dt

la fórmula anterior queda

A =

∫ β

α

y (t) x′ (t) dt

Ejemplo 21 Calcule el área de uno de los arcos de la cicloide x = r (t− sin t) , y =r (1− cos t) .

1.5 Area de superficie de revolución

Sea C una curva en el semiplano superior con parametrización

x = x (t) , y = y (t) , a ≤ t ≤ b

de clase C1. C curva simple, esto es, la curva no se corta a sí misma.Al girar C alrededor del eje x, se genera una superficie de revolución cuya área

está dada por

A =

∫ b

a

2πy (t)

√x′ (t)2 + y′ (t)2dt

Ejemplo 22 Deduzca la fórmula que calcula el área de la superficie de una esferade radio r.

Al rotar la curva C : x (t) = r cos t, y (t) = r sin t, con t ∈ [0, π] , alrededor deleje x se genera la esfera. Luego su área es

A = 2π

∫ π

0

r2 sin tdt = 4πr2

Para el caso de una curva C : y = f (x) con a ≤ x ≤ b , f de clase C1, ésta separametriza por

x = t, y = f (t)

y la fórmula para el área de la superficie de revolución queda:

A =

∫ b

a

2πf (t)

√1 + f ′ (t)2dt


Ejemplo 23 Calcular el área de la superficie generada al rotar alrededor del eje xla curva C : y = x3, con 0 ≤ x ≤ 1.

Aquí f (x) = x3 y f ′ (x) = 3x2. Luego,

A = 2π

∫1

0

x3√

1 + (3x2)2dx

= 2π

(5

27

√10− 1

54

)= 3. 563 1

Queda de ejercicio deducir las fórmulas para el cálculo del área de la superficiede revolución cuando la rotación es alrededor del ejey.

1.6 Coordenadas polares.

Para construir el sistema de coordenada polares del plano, elejimos un punto O quellamamos polo y un rayo horizontal con origen en el polo y hacia la derecha, comose ve en la figura, llamado eje polar

O

A partir de ahí, a cada punto P del plano le podemos asignar las coordenadaspolares (r, θ) donde:

• r es la distancia del punto P al polo O. (r ≥ 0).

• θ es la medida del ángulo, en sentido antihorario, desde el eje polar al segmentoOP.

O

P

θ

r

Es claro que el ángulo θ no está determinado de manera única. De hecho, si (r, θ) soncoordenadas polares del punto P , también lo son los pares (r, θ + 2nπ), con n ∈ Z.


Para la representación gráfica en coordenadas polares es útil localizar los puntoscon respecto a una red de circunferencias con centro en el polo y rectas radiales queparten del polo

O

r=4θ =π/6

(4,π/6)

Geométricamente es evidente que r = a (a > 0 constante) representa una cir-cunferencia de centro el origen y radio a, como también la ecuación θ = b (b ∈ Rconstante) representa un rayo que parte del polo.

Además convendremos que, un punto P con coordenadas polares (r, θ), tambiéntiene coordenadas polares (−r, θ + π) y (−r, θ + (2n + 1) π), con n ∈ Z. La primeracoordenada polar negativa debe entenderse en el sentido que la distancia |−r| semide en dirección contraria al rayo determinado por θ + π.

1.6.1 Relación entre las coordenadas cartesianas y polares

Para un punto P el plano con coordenadas cartesianas (x, y), la trigonometría nosindica que sus coordenadas polares (r, θ) deben verificar

x = r cos θ

y = r sin θ

x

y

r

θ

P


Recuerde que un punto P tiene un único par de coordenadas rectangulares (x, y)y un número infinito de coordenadas polares (r, θ) .

De hecho, dado el par (x, y) , con x > 0, se despeja r, θ en las ecuaciones anteriorescomo

r =√

x2 + y2

θ = arctan(yx

)

donde r > 0 y θ ∈]−π2, π2

[

Por ejemplo, el punto P de coordenadas rectangulares(1,√

3)tiene coordenadas

polares

r =√

1 + 3 = 2

θ =π

3

como también(2,

π

3+ 2nπ

), n ∈ Z

(−2,

π

3+ (2n + 1) π

), n ∈ Z

1.6.2 Gráficas en coordenadas polares.

Ciertas curvas definidas mediante ecuaciones cartesianas F (x, y) = 0 pueden serrepresentadas de manera más simple en coordenadas polares:

1. Circunferencia de centro el origen y radio a: Ecuación cartesiana x2+y2 = a2.

Al reemplazar x = r cos θ, y = r sin θ, la ecuación queda

r2 cos2 θ + r2 sin2 θ = a2

r2 = a2

r = a

Obs.- r = −a no agrega puntos a la ecuación anterior.

Un detalle importante es que la curva completa se “dibuja” tomando θ ∈[0, 2π] .

r = 1

-1 1

-1

1

x

y


2. Con a > 0 fijo, la ecuación x2 + y2 = 2ax que equivale a

(x− a)2 + y2 = a2

es una circunferencia de centro en (a, 0) y radio a. Su ecuación polar es

r2 = 2ar cos θ

r (r − 2a cos θ) = 0

r = 2a cos θ

Obs.- r = 0 corresponde sólo al polo O, que también aparece en r = 2a cos θpara θ = π

2.

Note que la curva se obtiene tomando θ ∈[−π2, π2

]

r = 2 cos θ

0.5 1.0 1.5 2.0

-1

0

1

x

y

3. Queda de ejercicio repetir el análisis anterior para

x2 + y2 = 2ay

que en forma polar corresponde a

r = 2a sin θ

r = 2 sin θ

-1 0 1

1

2

x

y

Haciendo uso del sistema de coordenadas polares es posible representar “nuevas”curvas mediante sus ecuaciones polares:


1. Cardioide.- r = 1 + cos θ

Como coseno es de periodo 2π, para dibujar toda la curva basta considerar elintervalo [0, 2π].

Además, como coseno es par, esto es cos (−θ) = cos θ, cada punto (r, θ) dela curva tiene su simétrico con respecto al eje polar (r,−θ) en la curva. Estopermitiría graficar sólo en el intervalo [0, π] y copiar la curva bajo el eje x.

Por último, conocemos el comportamiento de cos θ y de 1 + cos θ en esteintervalo, en azúl y rojo respectivamente. La última determina el radio paracada θ.

1 2 3

-1

0

1

2

x

y

En consecuencia, tenemos el gráfico de la ecuación r = 1 + cos θ , en [0, π] yen [0, 2π]

1 2

-1

1

x

y

1 2

-1

1

x

y

Esta curva se llama cardioide.

2. Caracol.- r = 1

2+ cos θ.

Valen las mismas observaciones sobre periodicidad y simetría del ejercicio an-terior.

Ahora el comportamiento de 12+cos θ en [0, π] se describe en la gráfica siguiente:

1 2 30

1

x

y

Note que: 1

2+ cos θ = 0 ⇔ θ = 2

3π


y que 1

2+ cos θ < 0 para 2π

3< θ ≤ π. Luego, para este intervalo la curva se

dibuja en el cuarto cuadrante (opuesto al segundo).

En consecuencia, tenemos el gráfico de la ecuación r = 1

2+ cos θ , en [0, π] y

en [0, 2π]

0.5 1.0 1.5

-0.5

0.0

0.5

x

y

0.5 1.0 1.5

-0.5

0.0

0.5

x

y

3. Rosa de tres pétalos.- r = sin 3θ

Basta graficar en el intervalo [0, 2π], porque sin (θ + 2π) = sin θ.

Como sin (−3θ) = − sin 3θ, por cada punto (r, θ) de la curva también está elpunto (−r,−θ) = (r, π − θ) . Lo que muestra que la curva es simétrica conrespecto al eje y (cartesiano).

-0.8-0.6-0.4-0.2 0.20.4 0.6 0.8

-1.0

-0.5

0.5

x

y

1.6.3 Area en coordenadas polares

Sea f : [α, β]→ R continua y positiva, de manera que se puede considerar la regiónR del plano caracterizada en coordenadas polares por: α ≤ θ ≤ β , 0 ≤ r ≤ f (θ)

θ = α

θ = β

r = f (θ )

O

R


¿Cómo calcular el área de R?Se da una partición P : α = θ0 < θ1 < ... < θn = β del intervalo [α, β] y se elije

θk ∈ [θk−1, θk] (en cada subintervalo).Si se supone que en cada subintervalo [θk−1, θk], la función f tiene un valor

constante dado por f(θk), se obtiene una región que es un sector circular de área

1

2f(θk

)2·∆θk

sector circular de radio f(θk)y ángulo ∆θk = θk − θk−1.

Al sumar todas esta áreas se obtiene la suma de Riemannn∑

k=1

1

2f(θk)2·∆θk

para la función h (θ) = 1

2f (θ)2 .

Como ya sabemos, al tomar particiones P con ‖P‖ → 0 las sumas anterioresconvergen a la integral ∫ β

α

1

2f (θ)2 dθ

También, geometricamente, los sectores circulares van aproximando a la región R.Por esto, su área está dada por

A (R) =1

2

∫ β

α

f (θ)2 dθ

Ejemplo 24 Calcule el área de la región R del primer cuadrante encerrada por lacardioide r = 1 + cos θ

0.5 1.0 1.5 2.0

-0.5

0.5

1.0

x

y

A (R) = 1

2

∫ π/20

(1 + cos θ)2 dθ = 3

8π + 1 ≈ 2. 178

Se puede considerar una situación más general en que R está definida por

α ≤ θ ≤ β

0 ≤ f (θ) ≤ r ≤ g (θ)


θ = α

θ = β

r = f (θ )

O

R

r = g (θ )

donde el área está dada por

A (R) =1

2

∫ β

α

[g (θ)2 − f (θ)2

]dθ

Ejemplo 25 Calcular el área de la región interior a r = 1 y fuera de r = 1− cos θ

Ejemplo 26 Para la ecuaciones en forma polar: r2 = 2 sin 2θ y r = 1, cuyasgráficas son:

-1.0 -0.5 0.5 1.0

-1.0

-0.5

0.5

1.0

x

y

1. (a) Determine en forma analítica el ángulo correspondiente a cada punto deintersección de las curvas.

Las intersecciones están dadas en puntos que corresponden a 2 sin 2θ = 1.Así se debe resolver

sin 2θ =1

2

Las soluciones son: 2θ = π6+ 2kπ y 2θ = 5π

6+ 2kπ, con k ∈ Z.

Los cuatro puntos de la figura se obtienen con (k = 0) θ = π12, θ =

5π12, (k = 1) θ = 13π

12, θ = 17π

12

(b) Siendo R1 y R2 las regiones interiores a las curvas dadas, calcule el áreade la intersección R1 ∩R2.


Usando simetría

A = 4

[1

2

∫ π/12

0

2 sin 2θdθ +1

2

∫ π/4

π/12

dθ

]

= 4

[−1

4

√3 +

1

2+

1

12π

]

= 2−√

3 +π

3

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