Mis Notas de Clase Algebra Lineal Jos F. Barros Troncoso

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APLICACIN DE LAS MATRICES Modelos de Entrada-Salida de Leontief

El modelo desarrollado por Wassily Leontief, es una aplicacin interesante de las matrices, que fue til para pronosticar los efectos en los cambios de precios o las variaciones de las erogaciones gubernamentales sobre la economa. Un modelo simplificado de la economa sera:

Salidas Productos Bienes Entradas Agrcolas Manufacturados Combustible Productos Agrcolas 0.5 0.1 0.1 Bienes Manufacturados 0.2 0.5 0.3 Combustibles 0.1 0.3 0.4

A partir de esta tabla, podemos formar la matriz A, la cual se llama Matriz tecnolgica o Matriz de Leontief

La matriz tecnolgica no tiene toda la informacin. En particular, cada industria tiene una produccin bruta. Se puede presentar la matriz de produccin bruta para la economa con una matriz de columna Donde x1 es la produccin bruta de los productos agrcolas, x2 es la produccin bruta de bienes manufacturados y x3 es la produccin bruta de combustibles. La cantidad de las producciones brutas que en la economa usan varias industrias se determina por medio de AX. Las unidades de produccin bruta que no se utilizan en estas industrias se denominan demandas finales o supervits y s pueden considerar que estn disponibles para los consumidores, el gobierno o la exportacin. Si ponemos estos supervits en una matriz columna D, entonces se puede representar el supervit con la ecuacin

X AX = D (I A) X=D Donde I es la matriz unidad o identidad. Esta ecuacin matricial recibe el nombre de Ecuacin tecnolgica para un modelo abierto de Leontief. Se llame modelo abierto porque

0.5 0,1 0,1 A = 0,2 0,5 0,3 0,1 0,3 0,4

x1 A = X2 X3

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algunas mercancas de la economa estn abiertas o disponibles para entidades ajenas a la economa Ejercicio. Si queremos tener un supervit de 85 unidades de produccin agrcola, 65 de productos fabricados y 0 unidades de combustible cules deben ser las producciones brutas? Por datos

85 D = 65 0

Debemos resolver:

Debemos resolver la ecuacin matricial

La matriz ampliada es

Si se reduce utilizando el mtodo de Gauss-Jordan, se obtiene

De modo que las producciones brutas de las industrias son

1 0 0 0.5 0,1 0,1 X1 85 0 1 0 - 0,2 0,5 0,3 x X2 = 65 0 0 1 0,1 0,3 0,4 X3 0

1 0 0 0,5 0,1 0,1 0,5 -0,1 -0,1 I A = 0 1 0 - 0,2 0,5 0,3 = -0,2 0,5 -0,3 0 0 1 0,1 0,3 0,4 -0,1 -0,3 0,6

0,5 -0,1 -0,1 X1 85 -0,2 0,5 -0,3 X2 = 65 -0,1 -0,3 0,6 X3 0

0,5 -0,1 -0,1 85 -0,2 0,5 -0,3 65 -0,1 -0,3 0,6 0

1 0 0 300 0 1 0 400 0 0 1 250

Agricultura: X1 = 300

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La ecuacin tecnolgica para el modelo de Leontief se puede resolver usando la inversa de I A, si esta existe. Es decir,

(I A)X = D tiene solucin X = (I A) -1D Problemas

1. Una economa simple tiene una industria de calzado y una de ganadera con la matriz tecnolgica C G 0.1 0.1 Calzado A = 0.2 0.05 Ganadera Se desean supervits de 850 unidades de calzado y 275 unidades de ganado. Encuentre la produccin bruta de cada industria.

Hallemos I A =

95,02,0

1,09,0

05,02,0

1,01,0

10

01

9,02,0

1,095,0

)2,0)(1,0()95,0)(9,0(

11AI

9,02,0

1,095,0

835,0

11AI

07,123,0

11,013,11AI

275

850

07,123,0

11,013,1

X

27507,185023,0

27511,085013,1X

ganado

calzadoX

75,489

75,990

Verificar

(I-A)X=D

4,267

7,842

75,489

75,990

99,02,0

1,09,0

Manufactura: X2 = 400 Combustible: X3 = 250

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2. Un pequeo pueblo tiene 3 industrias primarias, una mina de cobre, un ferrocarril, y una planta de energa elctrica. Para producir una unidad (1 $) de cobre la mina gasta $0.20 de cobre, $0.1 de transporte, $0.2 de energa elctrica. Para producir $1 de transporte, el ferrocarril requiere de $0.1 de cobre, $0.1 de transporte, y $0.4 de energa elctrica. Para producir $ 1 de energa elctrica, la planta destina $ 0.2 de cobre, $ 0.2 de transporte, y $ 0.3 de energa elctrica. Suponga que durante un ao hay una demanda externa de 1,2 millones de dlares de cobre, 0.8 millones de dlares de transporte, y 1.5 millones de dlares por concepto de energa Cunto debe producir cada industria para satisfacer la demanda total? Inicialmente representamos la situacin en forma de matriz. Inicialmente la matriz tecnolgica

Ahora la matriz de supervits

Debemos calcula Hallamos I A

I A =

Calculamos (I A)-1, utilizando el mtodo de reduccin de Gauss-Jordan

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Entonces

Calculamos

Es decir que para cumplir con la demanda del mercado se tienen que producir aproximadamente 2.725 unidades de

cobre, 2.786 de ferrocarril y 3.727 de energa. Para verificar el resultado se debe comprobar que

Por lo tanto la solucin es correcta.

3. Una compaa que produce, gas, aceite y gasolina, se sabe que para producir una unidad de gas requiere 1/5 del

mismo, 2/5 de aceite y 1/5 de gasolina. Para producir una unidad de aceite, requiere de 2/5 de gas y 1/5 de aceite. Para producir una unidad de gasolina usa 1 unidad de gas y una de. Finalmente Si tiene una demanda del mercado de 100 unidades de cada producto. Determinar la produccin bruta de cada industria para cumplir con su mercado? Inicialmente representamos la situacin en forma de matriz. Inicialmente la matriz tecnolgica

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Ahora la matriz de supervits

Debemos calcula Hallamos I A

I A =

Calculamos (I A)-1, utilizando el mtodo de reduccin de Gauss-Jordan

Entonces

Calculamos

Es decir que para cumplir con la demanda del mercado se tienen que producir 650 unidades de gas, 450 de aceite y

1200 de gasolina. Para verificar el resultado se debe comprobar que

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Por lo tanto la solucin es correcta.

4. Considerando las industrias qumica, la mdica y la de servicios, se sabe que hay una demanda de la industria

qumica de 0.25 de su propia produccin, 0.35 de la mdica, y 0.1 de servicios. Para producir una unidad de medicamentos, se requiere de 0.15 de la industria qumica, 0.2 de su propia produccin y 0.1 de servicios. Existe tambin una demanda de la industria de servicios de 0.15 de medicamentos, 0.25 de qumicos y 0.35 del mismo transporte. Si hay una demanda externa de 600 de qumicos, de 1100 de medicinas y 600 de transporte Cunto debe producir cada industria para satisfacer la demanda total? Por comodidad se trabajar con dos cifras decimales

Inicialmente representamos la situacin en forma de matriz. Inicialmente la matriz tecnolgica

Qumica Mdica Servicios Qumica 0.25 0.35 0.10 A= Mdica 0.15 0.20 0.10 Servicios 0.25 0.15 0.35

Ahora la matriz de supervits

600 Qumica D= 1100 Mdica 600 Servicios

Debemos hallar: Calculamos I - A

Calculamos (I A)-1, utilizando el mtodo de reduccin de Gauss-Jordan

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Entonces

Calculamos

=

Es decir que para cumplir con la demanda del mercado se tienen que producir aproximadamente con 1937 unidades

de industria qumica, 1979 de medicamentos y 2129 de servicios. Para verificar el resultado se debe comprobar que

Por lo tanto la solucin es correcta.

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5. Una economa primitiva con una industria maderera y una industria de energa

tiene la siguiente matriz tecnolgica Madera Energa

A = 0,1 0,2 Madera 0,2 0,4 Energa

Si se desean supervits de 30 unidades de madera y 70 unidades de energa, encuentre la produccin bruta de cada industria. 6. Suponga que una economa tiene dos industrias, agricultura y minera, y la

economa tiene una matriz tecnolgica A M 0.4 0.2 Agricultura A = 0.1 0.3 Minera Si desean un supervit de 140 unidades agrcolas y 140 unidades de minerales, encuentre la produccin bruta de cada industria

7. Dada la matriz tecnolgica A con industrias a, b, c

A=

Halle la produccin bruta de cada industria si se desea obtener la siguiente matriz de supervits

D=

8. La economa de una nacin en va de desarrollo tiene la siguiente matriz

tecnolgica

Agricultura Siderurgia Carbn 0,1 0,01 0,01 Agricultura 0,02 0,13 0,20 Siderurgia 0,05 0,18 0,05 Carbn

Encuentre las producciones brutas necesarias para dar supervits de 2 350 toneladas de productos agrcolas, 4552 toneladas de acero y 911 toneladas de carbn.

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La produccin bruta de calzado es aproximadamente de 991 unidades y de ganado aproximadamente de 490 unidades

9. La economa de una nacin tiene la siguiente matriz tecnolgica

Agricultura Industria Servicios 0,43 0,08 0,06 Agricultura 0,3 0,17 0,05 Industria 0,23 0,22 0,1 Servicio

Encuentre las producciones brutas necesarias para dar supervits de 490 unidades de productos agrcolas, 1 050 en la industria y 1 910 de servicios.

10. La economa de una nacin tiene la siguiente matriz tecnolgica

Manufactura Agricultura Servicios 0,5 0,4 0,2 Agricultura 0,2 0,3 0,1 Industria 0,1 0,1 0,3 Servicio

Encuentre las producciones brutas si se quieren tener supervits de 50 unidades de para manufactura, 30 unidades para agricultura y 20 para servicios.