Aplicación de mØtodos asintóticos para el...

Aplicación de métodos asintóticos para el cálculode una onda electromagnética propagándose a travésde una guía de onda dieléctrica casi-estrati�cada

Tesis presentada por

M. en C. Ricardo Oscar Magos Pérez

a la

Sección de Estudios de Posgrado e Investigación

Escuela Superior de Ingeniería Mecánica y Eléctrica

para obtener el grado de

Doctor en Ciencias en Ingeniería en Comunicaciones y Electrónica

en el área de

Radiocomunicaciones

Instituto Politecnico Nacional

México, D.F.

[Noviembre] [2008]

c [2008] by [Ricardo Oscar Magos Pérez]

Todos los derechos reservados.

iii

Resumen

El presente trabajo está dedicado al estudio de la propagación de ondas elec-

tromagnéticas producidas por fuentes estacionarias de banda estrecha y de amplitud

constante, el análisis del problema se lleva a cabo en los casos siguientes: para las

guías de ondas planas estrati�cadas y casi-estrati�cadas. El análisis del problema

se basa en la representación asintótica para cada caso, empleando herramientas de

la teoría espectral, teoría del método de Modos Verticales y Rayos Horizontales, así

como de los métodos asintóticos WKB y de fase estacionaria.

En el primer caso, se analiza la propagación de las ondas electromagnéticas

producidas por una fuente de banda estrecha en una guía de onda plana estrati�cada,

obteniendo para tal problema, las fórmulas asintóticas, empleando el método de

fase estacionaria (SPM) en términos de la amplitud, frecuencia y dimensiones de la

guía, dichas fórmulas son muy convenientes para los cálculos computacionales. Se

muestran algunos ejemplos numéricos en los cuales se obtiene el comportamiento

de las ondas en este tipo de guías de onda.

En el segundo caso, se analiza el problema de propagación de ondas elec-

tromagnéticas producidas por fuentes de banda estrecha en guías de ondas casi-

estrati�cadas, el análisis que se presenta, está basado en la obtención de la función

de Green para el problema estacionario en términos de sus modos a través de la

teoría espectral, método de modos verticales y rayos horizontales, así como en el

método de fase estacionaria para obtener la expresión asintótica �nal de las ondas,

iv

Resumen v

de esta manera se obtienen fórmulas asintóticas explícitas que describen el compor-

tamiento de las ondas. Se calculan numéricamente algunos ejemplos, emulando la

propagación de ondas electromagnéticas a través de este tipo de guía y mostrando

así la dependencia que se tiene entre la estructura del campo y las características

del medio como es el caso de sus pequeñas variaciones que presenta las fronteras

de la guía de onda.

Abstract

This work is devoted to the study of the electromagnetic wave propagation

generated by stationary short-band sources. The analysis of the problem is fo-

cused on the following cases: planar strati�ed waveguides and almost strati�ed

waveguides. For each case, the formulas representing the electromagnetic waves,

we obtained using the techniques of the spectral theory, horizontal rays and verti-

cal modes theory and mainly asymptotic methods like WKB and stationary phase

method.

We start with the analysis of the electromagnetic wave propagation generated

by short-band sources in strati�ed waveguides. Asymptotic formulas representing

the electromagnetic wave using the stationary phase method (SPM) have been ob-

tained. These formulas have an explicit physical meaning because they show in an

analytical form the structure of the propagated �elds in terms of its modes, allowing

a detailed description of the propagation phenomenon. This asymptotic represeta-

tion makes clear how is the dependence of the propagation in terms of the charac-

teristics of the source an the media, such as wave number or frequency, permitivity,

geometry of the waveguide.

And the second case, we analyzed the electromagnetic wave propagation gen-

erated by short-band sources in almost-strati�ed waveguides. Asymptotic formulas

vi

Abstract vii

representing the electromagnetic wave using the analysis based on the obtaining of

the Green function for the stationary problem in terms of its modes by means of the

vertical modes and horizontal rays method, and the spectral theory and also the sta-

tionary phase method for the asymptotic representation of the waves, we �nally cal-

culate some numerical examples simulating the electromagnetic wave propagation

generated by short-band sources in the planar almost-strati�ed waveguides, show-

ing the strong dependence between the slowly variation of the boundaries of the

waveguide and the characteristics of the source and of the media like the frequency.

The results obtained here has aplications in the electromagnetic wave propagation

for optical communications systems.

Agradecimientos

Todo trabajo de investigación tiene un respaldo teórico fundamental, que se

obtiene de las investigaciones previas relacionadas al tema, basados en libros, re-

vistas especializadas y por su puesto de investigadores que tienen años de experi-

encia en esta línea de investigación por lo que quiero agradecer a cuantas personas

han hecho posible la realización del presente trabajo con cita especial del doctor

Vladimir Rabinovitch director de esta tesis, quien con sus amplios conocimientos

y experiencia en este ramo, me supo guiar y dar los mejores consejos para llegar a

la culminación de este trabajo, por otra parte quiero agradecer a CONACYT ya que

gracias su apoyo económico, las investigaciones en nuestro país se logran desarrol-

lar y culminar.

Finalmente quiero agradecer a mis padres por su incondicional apoyo moral

y mis dos grandes amores a mi esposa Mariana Avila y mi hijo Ricardo Alejandro

quienes me alentaron para culminar este trabajo.

viii

Objetivos

Obtener expresiones asintóticas que describan el comportamiento de loscampos electromagnéticos producidos por fuentes de banda estrecha en guíasde ondas dieléctricas casi-estrati�cadas, de manera que las fórmulas obtenidassean novedosas en este campo de investigación y tengan un signi�cado físicoexplícito que permita analizar de manera un poco más detallada este fenó-meno.

Los objetivos que se cubren en este trabajo son:

� Obtener las ecuaciones analíticas para los dos problemas en consideración

y darles solución mediante métodos asintóticos.

� Gra�car la amplitud del campo mediante la implementación de algún algo-

ritmo numérico.

�Describir a través de fórmulas asintóticas la dependencia que tiene una onda

electromagnética en términos, tanto de las características de la fuente como las del

medio tales como: su amplitud, frecuencia, así como de las características geométri-

cas de la guía y sus propiedades electromagnéticas como su permitividad eléctrica

" y de la permeabilidad magnética �.

� Establecer las condiciones para la obtención de modos guiados en cada caso

de análisis.

�Mostrar la conveniencia del método para su implementación computacional

en

la solución de problemas prácticos.

ix

Justi�cación

El problema de la propagación de ondas electromagnéticas a través de guías

de onda dieléctricas casi-estrati�cadas, es un problema de interés en muchas áreas

de la ingeniería, resaltando entre éstas a las comunicaciones ópticas, circuitos inte-

grados ópticos, así como de dispositivos opto-electrónicos.

Aunque existen resultados que describen dichos procesos de propagación, la

mayoría de las investigaciones referentes a este tema consideran a la guía de onda

con fronteras perfectamente planas, sin embargo en la mayoría de los casos esto es

muy idealista, ya que por las limitaciones en los procesos de fabricación no se logra

tener este tipo de guías. Sin embargo, la investigación que aborda el presente tra-

bajo considera el problema de propagación en guías un poco más realistas, es decir,

se considera la propagación de ondas electromagnéticas en las guías de onda con

fronteras no perfectamente planas, es decir con fronteras que presentan pequeñas

variaciones, en este caso su variación la presenta la densidad óptica (permitividad

eléctrica ") que varía lentamente en la dirección horizontal en comparación de su

variación en la dirección vertical o transversal de la guía, tratándose así de guías de

ondas casi-estrati�cadas. Dicho modelo de guía se apega a los procesos prácticos

de propagación de ondas por los sistemas de comunicaciones ópticas y en disposi-

tivos ópticos, entre otros, cabe mencionar que actualmente se están implementando

nuevos dispositivos como son el caso de �ltros ópticos, acopladores ópticos, ampli-

x

Justi�cación xi

�cadores ópticos en los cuales se aprovecha el acoplamiento, destrucción o inter-

ferencia de los modos del espectro de la señal, para obtener una señal deseada, esto

se logro por la forma de la estructura geométrica que presenta las fronteras. Las

aportaciones que justi�can el desarrollo de este trabajo son el que la metodología

empleada para el análisis de los problemas planteados, emplean métodos asintóti-

cos que no se había empleado para este tipo guías y que permiten obtener fórmulas

explícitas, que muestran la dependencia que tiene la amplitud del campo con re-

specto a sus variantes físicas de la guía. Por lo que, los resultados que arroja este

trabajo son novedosos en el campo de la propagación de ondas electromagnéticas

en este tipo de guías y dan la pauta a más investigaciones sobre la misma línea.

contenido

2.1 Índice de tablas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . xvii

Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

1 Guías de ondas dieléctricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1.1 Antecedentes históricos de las guías de ondas ópticas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1.2 Ventajas de las guías de ondas dieléctricas como medio de transmisión. . . . . . . . . 7

1.3 Aplicaciones de las Guías de ondas dieléctricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

1.4 Fundamentos teóricos de las guías de ondas ópticas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

1.4.1 Características físicas de una guía de onda óptica multicapas . . . . . . . . . . . 10

1.4.2 Conceptos teóricos de las guías de ondas ópticas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

1.5 Clasi�cación de las guías de ondas de tipo cilíndricas (�bras ópticas) . . . . . . . . . 17

1.6 Modelado de una guía de onda dieléctrica estrati�cada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

1.7 Modos en una guía de onda dieléctrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

1.8 Conclusiones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

2 Propagación de una onda electromagnética en una guía de ondaestrati�cada. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

2.1 Ecuaciones de Maxwell en las guías de ondas ópticas planas . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

2.2 Ecuación de onda . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

2.2.1 Descripción del campo por medio de ondas Armónicas en tiempo . . . . . . 46

xii

contenido xiii

2.2.2 Condiciones de Frontera . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52

2.2.3 Planteamiento del Problema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

2.3 Construcción de la función de Green para la ecuación escalar de Helmholtz . . . 56

2.4 Problema Espectral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58

2.5 Ecuación de dispersión y funciones propias normalizadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61

2.5.1 Funciones propias normalizadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67

2.6 Método para encontrar los valores propios �2j(!) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69

2.6.1 Problema de Cauchy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69

2.6.2 Reducción de orden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71

2.7 Algoritmo para el cálculo de los modos guiados. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75

2.7.1 Reducción del orden de una ecuación diferencial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75

2.7.2 Algoritmo para encontrar los valores propios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76

2.8 Ejemplos numéricos para un medio homogéneo y un medio no homogéneo. . . . 89

2.8.1 Guía de onda dieléctrica Homogénea estrati�cada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90

2.8.2 Ejemplos numéricos para una guía plana homogénea (Abrupta) . . . . . . . . 93

2.8.3 Ejemplos numéricos para una guía plana no homegénea (gradual) . . . . . . 96

2.9 Conclusiones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100

3 Aproximación adiabática de la función de Green en guíascasi-estrati�cadas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101

3.1 Ecuación de Helmholtz en un medio casi- estrati�cado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101

3.2 Función de Green para el medio estrati�cado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106

3.3 Funciones propias generalizadas y la ecuación de dispersión . . . . . . . . . . . . . . . . . 107

3.3.1 Funciones propias generalizadas normadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109

contenido xiv

3.4 Función de Green de la ecuación de Helmholtz para un medio estrati�cado . . . 112

3.5 Asintóticas de la función de Green para el operador "2�x + L(x; z; @@z) . . . . . . 115

3.5.1 Decomposición del problema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116

3.5.2 Contribución del espectro continuo del operador transversal a lasasintóticas de la función Green . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119

3.5.3 Contribución del espectro discreto del operador transversal . . . . . . . . . . . 121

3.5.4 Asintóticas en la vecindad de los umbrales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126

3.6 Conclusiones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126

4 Propagación de una onda Electromagnética en guíascasi-estrati�cadas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128

4.1 Planteamiento del problema. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131

4.1.1 Condiciones de Frontera . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140

4.1.2 Problema de Valor de frontera . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141

4.1.3 Representación del Campo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142

4.2 Solución Asintótica del Problema. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146

4.3 Ejemplos Numéricos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 160

4.4 Conclusiones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164

Conclusiones y recomendaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165

Bibliografía . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167

A Código de programa para el cálculo de la onda electromagnética . . 173

Índice de Figuras

Guía de onda multicapa .......................................................................................(26)

Estructura física de una guía de onda acanalada, �bra óptica..................................(29)

Fibra óptica monomodo. ....................................................................................(35)

Fibra de índice abrupto multimodo........................................................................(37)

Fibra de índice gradual multimodo.........................................................................(38)

Modelo de propagación en �bras de índice gradual por medio de capas...............(39)

Per�les del índice de refracción de los tipos de �bras............................................(40)

Tipos de guías ópticas integradas............................................................................(41)

Modelo de análisis de una �bra óptica....................................................................(42)

Modelado por medio de una guía de onda dieléctrica plana...................................(43)

Modelo de la guía de onda......................................................................................(52)

Condiciones en la frontera entre dos materiales dieléctricos..................................(69)

Representación grá�ca deC+1 :................................................................................(93)

Diagrama a bloques del procedimiento de solución................................................(94)

Diagrama de �ujo para la evaluación de la ecuación de dispersión........................(95)

Diagrama de �ujo para la solución del problema de Cauchy..................................(97)

Diagrama de �ujo para las condiciones iniciales.....................................................(98)

Diagrama de �ujo para encontrar el signo de C+1 :...................................................(99)

Diagrama de �ujo para la parte III........................................................................(101)

Primer caso............................................................................................................(101)

xv

Índice de Figuras xvi

Segundo caso.........................................................................................................(102)

Tercer caso............................................................................................................(103)

Diagrama de �ujo del procedimiento IV...............................................................(104)

Diagrama de �ujo para el desplegado de los valores propios �0..........................(105)

Grá�ca de la Ec. de dispersión del ejemplo 1.......................................................(109)

Método grá�co del ejemplo 2................................................................................(110)

Grá�ca de la ecuación de dispersión para el ejemplo 3.........................................(111)

Grá�ca de la ecuación de dispersión del ejemplo 4.................................................(112)

Grá�ca de la función propia de los modos 1 y 2 ...................................................(113)



Grá�ca de la función propia de los modos 7...........................................................(119)

Guía de onda casi-estrati�cada................................................................................(146)

Comportamiento gradual de la permitividad eléctrica.............................................(168)

Guía de onda dieléctrica casi-estrati�cada..............................................................(173)

Trayectoria de un rayo............................................................................................(177)

Tubo de rayo...........................................................................................................(178)

Modo de propagación, modo 1 ..............................................................................(178)

Segundomodo de propagación, modo 2.................................................................(178)

Primer modo de propagación, modo 1....................................................................(179)

Segundomodo de propagación, modo 2.................................................................(179)

Índice de Figuras xvii

2.1 Índice de tablas

Tabla 1.1 Valores del índice de refracción para diferentes materiales dieléctricos....(14)

Tabla 1.2 Propiedades de la �braMonomodo.............................................................(19)

Tabla 1.3 Parámetros de la �bra óptica de índice abrupto multimodo........................(20)

Tabla 1.4 Parámetros de la �bra de índice gradual....................................................(24)

Introducción

La propagación de las ondas electromagnéticas a través de una guía de onda dieléc-

trica casi-estrati�cada, las cuales se caracterizan en tener variaciones en sus fronteras de tal

manera que su variación de su permitividad eléctrica es pequeña en la dirección horizontal

en comparación de la dirección vertical, su interés primordial en este tipo de guías, radica

en que son una de las guías de onda ampliamente utilizadas en los sistemas de comunica-

ciones ópticas y en otras áreas de aplicación como son: en los dispositivos electrónicos tales

como acopladores ópticos, circuitos integrados ópticos, �ltros y ampli�cadores, entre otros.

En la mayoría de los trabajos que describen la propagación de las ondas electromagnéticas

a través de las guías de onda dieléctricas, las han considerado planas, es decir con super�-

cies de fronteras lineales, sin embargo este trabajo de investigación propone la utilización

de un método asintótico para obtener fórmulas explicitas que describen la propagación de

las ondas electromagnéticas a través de guías dieléctricas con fronteras no lineales, sino con

pequeñas variaciones, las cuales las hacen ser más realistas en comparación de los mode-

los normalmente utilizados, por otra parte el método permite obtener fórmulas que son más

fáciles de implementar mediante un programa computacional, que nos permite obtener y

gra�car el comportamiento de la amplitud de la onda electromagnética a lo largo de toda

la guía, variando sus características como son: su ancho, permitividad eléctrica relativa ",

frecuencia o número de onda, amplitud de la onda, entre otras.

El trabajo consta de cuatro partes principales que se describen brevemente a contin-

uación:

1

Introducción 2

El capítulo 1, se da una introducción a los fundamentos teóricos de los diferentes

tipos de guías de onda del tipo dieléctrico, tomando en cuenta su sección transversal, que

se clasi�can en circulares, rectangulares y planas, nuestro trabajo de investigación esta

enfocado al estudio de las guías de onda del tipo planar, ya que es una de las guía de

ondas básicas que permite simpli�car de manera considerable el análisis matemático, y el

comportamiento de la onda electromagnética es muy semejante a los otros tipos de guía,

posteriormente en el capítulo 2 se estudia la propagación de una onda electromagnética a

través de una guía de onda plana homogénea y no homogénea estrati�cada, obteniéndose

fórmulas explícitas que permiten implementarlas mediante un método numérico y obtener

así ejemplos prácticos.

En el capítulo 3, se obtiene la función de Green del operador de Helmholtz para las

guías de onda casi-estrati�cadas, mediante métodos asintóticos.

Por último en el capítulo 4, se obtiene las expresiones asintóticas de la onda elec-

tromagnética a través de una guía de onda casi-estrati�cada utilizando métodos asintóticos

como son el método de modos verticales y rayos horizontales, método WKB y método

de fase estacionaria SPM, obteniéndose fórmulas asintóticas explícitas y dando ejemplos

numéricos para diferentes casos.

Capitulo 1Guías de ondas dieléctricas

En este capítulo se darán los fundamentos teóricos, con la �nalidad de recordar las

características eléctricas y geométricas más importantes, así como sus diversas aplicaciones

en el área de la ingeniería.

Actualmente una de las guías de ondas dieléctricas de tipo cilíndrico más amplia-

mente utilizada en el área de las telecomunicaciones es sin duda las llamadas �bras ópticas

debido a sus excelentes características físicas y ópticas para la transmisión de ondas de

luz, que superan por mucho a otro tipo de guías de onda. Por tal motivo en este capítulo

se hablará de algunos aspectos más importantes de las mismas, como sus ventajas como

medio de transmisión, aplicación, fundamentos teóricos, clasi�cación y modos de propa-

gación. Además se dará un modelo físico que facilitará el análisis de la propagación de las

ondas de luz en este tipo de guías.

Antes de ver los fundamentos teóricos más importantes de las guías de onda ópticas,

en la siguiente sección se dará una breve reseña histórica de las aportaciones y descubrim-

ientos que hicieron posible el desarrollo y perfeccionamiento de la tecnología de este tipo

de guías de ondas dieléctricas.

1.1 Antecedentes históricos de las guías de ondas ópticas

Sin duda alguna, las comunicaciones entre humanos se inició a través del sonido que se

emitía al hablar, pero a medida que el ser humano habitó otros lugares de nuestro territorio

3

1 Guías de ondas dieléctricas 4

terrestre, se dio cuenta que el sonido no alcanzaba grandes distancias, y tuvo la necesidad

de buscar otra forma de poderse comunicar. La primera forma que encontró quizá fue por

medio de señales que emitía un antecesor en un sitio elevado o visible y que otro tradujera

con algún signi�cado, las imágenes cambiantes que recibía el receptor a través de la luz que

llegaba a su retina fue portadora de algún tipo de información y ese fue sin duda el incio

de las primeras comunicaciones ópticas. Por lo que la idea de transmitir información por

medio de luz, como portadora, tiene más de un siglo de antigüedad por nuestros antecesores

y actualmente se sigue utilizando en los sistemas de comunicaciones ópticas más modernas.

A continuación se dará una breve historia, ya que no se entrará a detalle debido a que

es muy extensa, por lo que se puede consultar las referencias [[24]], [[22]]:

� En 1790, Claude Chappe construyó un telégrafo óptico que transmitió información

hasta 200Km en sólo 15 minutos, después fue reemplazado con la llegada del

telégrafo eléctrico.

� En 1870, John Tyndall demuestra la posibilidad de propagar la luz en una trayectoria

curvilínea, mediante el fenómeno de la re�exión interna total, al utilizar como guía,

un chorro de agua que salía del interior de un recipiente. Gracias a este fenómeno se

logró guiar la luz a través de una �bra de vidrio.

� Hacia 1880, Alexander Graham Bell inventó un aparato llamado "fotófono" (teléfono

óptico) que enviaba señales de voz a corta distancia por medio de la luz solar a través

del espacio libre, alcanzando una distancia de 200m. Sin embargo, resultaba inviable


por la falta de fuentes de luz adecuadas y las grandes atenuaciones. Pero este fue el

primer intento de utilizar la luz como portadora de información.

� En 1958, Arthur Schawlow y Charles H. Townes, desarrollan el LÁSER y obtienen

por su descubrimiento el premio Nobel. Con la invención y construcción del láser se

volvió a tomar la idea de utilizar la luz como soporte de comunicaciones �ables, al

utilizarlo como fuente de luz.

� En 1960, Theodor H. Maiman, utiliza el láser como fuente de luz en las

comunicaciones ópticas con las �bras de vidrio como medio, sin embargo, en un

principio presentaban elevadas atenuaciones, dos años después se desarrollan láseres

con elementos semiconductores y fotodiodos como receptores de luz.

� En 1966 se produce un gran hito para los que serán las futuras comunicaciones

por �bra óptica, y es la publicación por Kao y Hockman de un artículo en el cual

se señalaba que la atenuación observada hasta entonces en las �bras de vidrio, no

se debía a mecanismos intrínsecos sino a impurezas originadas en el proceso de

fabricación. A partir de esta fecha empiezan a producirse eventos que darán como

resultado �nal la implantación y utilización cada vez mayor de la �bra óptica como

alternativa a los cables de cobre.

� En 1970, Kapron, Keck y Mauner investigadores de Corning Glass Works,

obtuvierón �bras con atenuación de 20 dB=km; con una longitud de onda

de �0 = 633nm. Tres años después se obtiene una �bra SiO2 de alta pureza con una

atenuación de 4 dB=km.


� En 1976, Fujikura y Houriguchi de N.T.T. obtienen una �bra óptica con atenuación

de 0; 47dB=km para una longitud de onda de �0 = 1200nm, muy próximo al límite

debido a factores intrínsecos (Dispersión de Rayleigh). En este mismo año se instala

el primer sistema telefónico comercial en Atlanta, Estados Unidos.

A �nales de los años 70's y a principios de los 80's, el re�namiento de las �bras óp-

ticas y el desarrollo de fuentes de luz y detectores de alta calidad, permitieron el desarrollo

de sistemas de comunicaciones de �bra óptica de alta calidad, capacidad y e�ciencia.

� Para 1988, Linn Mollenauer de los laboratorios Bell demuestra la transmisión de

Solitones a una distancia de 4000 km, por medio de una �bra óptica monomodo.

� En 1993, Nakazawa manda señales por solitones a grandes distancias. En los años

90 se desarrolló el uso de los sistemas por solitones.

En la actualidad se sigue el desarrollo de las guías de ondas dieléctricas, siendo su

uso cada vez más amplio en el área de las Telecomunicaciones.

A las guías de ondas dieléctricas de sección transversal rectangular se le encontró

utilidad en el diseño y construcción de circuitos integrados ópticos y láseres semiconduc-

tores.

En la siguiente sección se dan algunas de las ventajas que hicieron de las guías de

onda dieléctricas atractivas para la transmisión de información utilizando la luz como por-

tadora de la misma.

1.2 Ventajas de las guías de ondas dieléctricas como medio de transmisión. 7

1.2 Ventajas de las guías de ondas dieléctricas como medio detransmisión.

A continuación se describe algunas de las características, que las hacen ser ventajas con

respecto a los cables metálicos (par trenzado, cable coaxial o incluso las guías de ondas

metálicas) utilizados como medios de transmisión.

Dichas ventajas son enunciadas a continuación:

� Presenta bajas pérdidas sobre un amplio rango de longitudes de onda (menos que

1dB=km, correspondiente a un 25% de pérdida por kilómetro). Por ejemplo para

frecuencias infrarrojas se puede lograr una atenuación tan baja como 0:25 dB=km.

Se sabe que las pérdidas indican la distancia a la cual la información puede ser

enviada. En un cable de cobre, la atenuación crece con la frecuencia de modulación,

sin embargo en una guía de onda óptica, las pérdidas son las mismas para cualquier

frecuencia de la señal hasta muy altas frecuencias.

� Un amplio ancho de banda alrededor de 2 � 1014 Hz. Que permite tener mayor

capacidad de transmisión. Con tal banda teóricamente se puede transmitir dos

millones de señales de televisión de 100Mbps cada una de ellas ó 20 millones de

canales telefónicos.

� Tiene una excelente �exibilidad.

� Presenta un tamaño pequeño del orden de la longitud de onda � (en �m) de la fuente

de luz.

1.2 Ventajas de las guías de ondas dieléctricas como medio de transmisión. 8

� Bajo peso. Es un factor importante en los medios de transporte marítimo y aéreo.

� Se resuelve la compatibilidad electromagnética (No hay interferencias electromag-

néticas.) Son inmunes a la interferencia estática causada por relámpagos, motores

eléctricos, luces �uorescentes entre otras fuentes de ruido eléctrico, esto es debido a

que la guía de onda dieléctrica maneja luz y no radia energía de RF.

� Seguridad. No es posible interceptar o detectar una señal que transporta la guía de

onda, sin que el usuario se dé cuenta. Esto es importante en aplicaciones militares.

Debido a que se maneja con señales luminosas se tiene la ausencia del chispeo

por rompimientos, por corto circuito o debido a que se tiene un contacto inseguro,

evitando así peligros de incendio y electrocución.

� Abundancia natural del material de fabricación de la �bra de vidrio, especialmente

las que contienen alta concentración de Silice. Esto permite un ahorro de cobre y de

plomo que se utiliza en los cables metálicos.

� Alta resistencia a las variaciones de temperatura y ataque químico (son menos

afectados por los líquidos corrosivos y gases.)

� No existe diafonía (no hay inducción magnética entre una guía y otra al cruzarse)

esto es debido a que no conducen electricidad y por lo tanto no hay campo magnético

asociado a ellos.

1.3 Aplicaciones de las Guías de ondas dieléctricas 9

1.3 Aplicaciones de las Guías de ondas dieléctricas

La posibilidad de alcanzar un enorme capacidad de la comunicación por �bra óptica fue un

poderoso estímulo para la investigación y el desarrollo de componentes de dimensiones tan

pequeñas como el de las �bras ópticas, dichos componentes tales como las fuentes de luz

como el láser, detectores de luz, moduladores, de�ectores, etc., son del tamaño de una lon-

gitud de onda de luz. Más allá del campo de las comunicaciones ópticas, sus aplicaciones

empiezan a extenderse rápidamente a otros sistemas, entre los que puede citarse conver-

tidores analógico-digitales ultrarrápidos, procesadores de señales, sensores de presión o

temperatura insensibles al ruido eléctrico.

La aplicación más importante de una guía de onda dieléctrica circular (�bra óptica)

es en el área de las telecomunicaciones como son: redes de computadores LAN, WAN,

las redes de televisión por cable (CATV), en la conmutación en la red como el FR (Frame

Relay) y el ATM (Asynchronus Transfer Mode).

En el campo de la instrumentación se tiene su aplicación como sensores para la

medición de: presión, sonido, temperatura, voltaje, niveles de líquido, campos magnéti-

cos y eléctricos, etc.

Como el caso de las guías de onda planas son de gran utilidad para el diseño de

circuitos integrados ópticos, que incluyen acopladores, �ltros, ampli�cadores ópticos, con-

mutadores, multiplexores, etc.

Nuevas investigaciones apuntan a aplicaciones de la optoelectrónica a campos como

el diseño de ordenadores ópticos (microprocesadores ópticos), redes neuronales ópticas,

1.4 Fundamentos teóricos de las guías de ondas ópticas 10

medios de almacenamiento masivo basados en las propiedades de ciertos materiales frente

a la luz coherente de un láser.

1.4 Fundamentos teóricos de las guías de ondas ópticas

En esta sección se darán los fundamentos teóricos necesarios para el análisis de este tipo

de guías de ondas dieléctricas.

1.4.1 Características físicas de una guía de onda óptica multicapas

Las películas delgadas son hoy día elementos importantes en muchas aplicacionesrelevantes de la óptica y la optoelectrónica como se menciono en la sección anterior, yasea de una sola capa o de muchas de ellas apiladas. Desde el punto de vista óptico, unacapa delgada (cuyo espesor es del orden de 1�m ) se considera en general como un mediomacroscópico al que se puede aplicar las ecuaciones macroscópicas de Maxwell. Eltratamiento electromagnético implica el estudio de una estructura formada por dos

super�cies de discontinuidad óptica, llamadas fronteras, que separa el medio material quepresenta un índice de refracción n2; de un substrato de un índice de refracción n3 y de un

recubrimiento de índice n1; como se muestra en la �gura 1.1:

Una de las características importantes, es que los medios se consideran isótropos,

por tal motivo los índices de refracción tienen valores reales, de lo contrario si los medios


fueran absorbentes o anisótropos, el índice de refracción correspondiente sería complejo

o de magnitud tensorial. Para tales medios, una onda de luz que incide sobre estas ca-

pas, parte de su energía se re�eja y otra parte se refracta parcialmente en cada una de

las fronteras y en el caso más frecuente, en que las dos caras sean paralelas, da origen a

interferencias de ondas. Si se apilan varias capas delgadas formarán un sistema de multi-

capas llamado medio estrati�cado aumentando la complejidad del fenómeno y su análisis

matemático. Dichas interferencias son utilizadas en la selectividad del espectro, que se uti-

lizan en los �ltros interferenciales, recubrimientos antirre�ectantes, espejos no absorbentes

de alta re�ectividad, entre otros.

En cuanto a los valores que pudieran tomar los índices de refracción de cada capa, un

caso de mayor interés es cuando el índice de refracción n2 de la capa central es mayor que

los índices n1 del recubrimiento y n3 del substrato, la capa central puede con�nar la luz en

la dimensión pequeña dando lugar a modos guiados en las llamadas guías de ondas ópticas

que son la base de la óptica integrada. En las guías de ondas acanaladas se encuentran las

�bras ópticas, las cavidades resonantes de los microláseres.

La estructura física de una �bra óptica como se muestra en la �gura 1.1, no se aleja

mucho de la estructura de una guía multicapa, de hecho es una guía de onda constituida de

tres capas en forma cilíndrica tal como se observa en la �gura, la capa central es llamada

núcleo hecho de vidrio rodeado por otra capa dieléctrica llamada cubierta óptica o también

conocida como revestimiento, hecha de vidrio o plástico, y estas dos capas dieléctricas

constituyen la llamada �bra de vidrio. Por último esta �bra de vidrio se protege por medio

de una capa que, por lo regular es de plástico llamada recubrimiento.


A continuación se dan las principales funciones que tienen cada una de las partes que

constituyen a la �bra óptica:

� El núcleo es la región central encargada de guiar los haces de luz que entran en ella

a lo largo de la guía de onda.

La forma de guiar los haces de luz va ha depender del tipo y el tamaño del núcleo,

siendo estos dos de los parámetros por los cuales se puede clasi�car a las �bras ópticas.

� La cubierta óptica puede ser de vidrio o plástica, su principal función es reducir las

pérdidas por dispersión que resulta de las discontinuidades que presenta la super�cie

del núcleo y protegiéndola de cualquier contaminación exterior, permite además

que no haya fugas de luz, con�nándola toda en el núcleo para su transmisión. Para

lograr este propósito es necesario que ocurra el fenómeno de re�exión interna total

en la frontera entre el núcleo y la cubierta óptica, es decir lograr el con�namiento de

la luz, por lo que el índice de la cubierta óptica ncl debe ser menor que la del núcleo

nco, esto es:

nco > ncl (1.1)

Donde:

nco es el índice de refracción del núcleo, adimensional.

ncl es el índice de refracción de la cubierta óptica, adimensional.

� El recubrimiento simplemente protege a la �bra de esfuerzos mecánicos, a menudo

en esta capa se coloca un material Kevlar que facilita la amortiguación. Cuando


Figura 1.1. Estructura física de una guía de onda acanalada, �bra óptica.

la �bra óptica se entierra suele incluirse un cable de acero inoxidable para añadir

dureza.

1.4.2 Conceptos teóricos de las guías de ondas ópticas

En esta sección recordaremos algunos conceptos o de�niciones que utilizaremos en capí-

tulos posteriores.

1) Índice de refracción.

La conducción del haz de luz se basa en un parámetro óptico del material que la

conduce, conocido como índice de refracción denotado como ni, donde i indica el medio

en consideración, que puede ser el núcleo (nco) o la cubierta óptica (ncl); para el caso de la

�bra óptica o una guía de onda estrati�cada.

Su de�nición de la teoría electromagnética es la siguiente:

Cuando un haz de luz (onda electromagnética) se propaga en el vacío e ingresa a otro

medio diferente, la luz cambia de velocidad. El cociente o factor por el cual la luz cambia

de velocidad es el índice de refracción y no es mas que la relación entre la velocidad de la

luz en el vacío y en el medio material en consideración.


Lo anterior se describe como sigue:

ni =c

vi=

1p"0�0

p"� =

p"r�r (1.2)

Donde:

c Es la velocidad de la onda en el vacío (3� 108 m/s).

vi Es la velocidad de la luz en el medio material (dieléctrico.)

"0, "r Es la permitividad eléctrica en el vacío y relativa del medio material respecti-

vamente.

�0; �r Es la permeabilidad magnética en el vacío y relativa en el medio material

respectivamente.

Dado que la velocidad de la luz en un medio material es menor que en el vacío, el

índice de refracción será un número siempre mayor que 1.

En la tabla 1.1 se dan los valores del índice de refracción de algunos materiales

dieléctricos.

Tabla 1.1 Valores del índice de refracción para diferentes materiales dieléctricos.Material Índice de refracción (n)Aire 1:0003Agua 1:33

Diamante 2:42Silicio 3:4

Arseniuro de Galio Ga-As 3:6Plásticos 1:04� 1:5Vidrio 1:4525� 1:96

Si se requiere ver otros materiales se pueden consultar las referencias [[60]],[[22]],

[[11]].

Una manera de controlar el valor del índice de refracción es la agregación de pe-

queñas impurezas al sílice. Los contaminantes tales como la �uorina (F ) y el óxido de


boro (B2O3) reducen el índice refracción, y el óxido de fósforo (P2O5) y el óxido de ger-

manio (GeO2), lo aumentan.

2) El per�l del índice de refracción potencial.

Nos muestra la variación que tiene el índice de refracción con respecto a la distancia

radial de la guía, y se representa en forma grá�ca.

3) Las fuentes ópticas.

Las fuentes de luz utilizadas en las guías de ondas ópticas son de dos tipos:

1) Diodos Láser (LD), los cuales emiten luz con un ancho espectral bastante angosto,

casi coherente.

2) Diodos emisores de luz (LED), emiten la luz con un ancho espectral no tan angosto

como los diodos láser, no es tan coherente (no tiene una frecuencia única de luz, sino que

posee un cierto ancho en el espectro.)

Por lo que cualquiera de estas fuentes ópticas posee un ancho de banda espectral, y

cada componente del mismo se desplazará con diferentes velocidades debido a la variación

del índice de refracción del medio, y además, dados los parámetros ópticos y geométricos

de la guía, cada componente del espectro del haz de luz generado se propagará con difer-

entes trayectorias. Este conjunto de efectos conforma un segundo parámetro característico

de las guías de ondas, denominado dispersión. Este parámetro de�ne la capacidad máxima

que tiene la guía para permitir la transmisión de energía de la onda.

4) Dispersión.

La dispersión es el fenómeno por el cual un pulso se deforma o distorsiona a medida

que se propaga a través de la guía de onda.


La dispersión total está dividida en dos categorías: dispersión modal (intermodal o

multimodal) y dispersión cromática (ó intramodal.)

� Dispersión Modal. Se presenta cuando se tiene múltiples ondas de luz propagándose

en la capa central o núcleo, cada onda de luz se conoce como modo o rayo de luz,

que al entrar al núcleo corresponde a un tiempo de tránsito ligeramente distinto,

debido a que unos recorren trayectorias más largas que otros, estos tiempos de

propagación diferentes producen el efecto no deseado de cambiar la forma de la

señal transmitida.

� Dispersión Cromática. Surge debido a dos razones:

a) Dispersión material (espectral.)

b) Dispersión de guía de onda.

a) Dispersión material. Es el principal causante de la dispersión, y consiste en que el

índice de refracción del silicio, material utilizado para la fabricación de las guías de ondas

de tipo cilíndricas, depende de la longitud de onda o de la frecuencia de la onda de luz. Por

ello, las componentes de distinta frecuencia, viajan a velocidades diferentes a través de la

guía.

b) Dispersión de guía de onda. Se origina porque la propagación de la luz en una

guía de onda depende de la longitud de onda así como de las dimensiones de la guía. La

distribución de la luz entre el núcleo y la cubierta óptica cambia con la longitud de onda.

El cambio de la distribución de la luz afecta la velocidad de transmisión a través de la guía.

1.5 Clasi�cación de las guías de ondas de tipo cilíndricas (�bras ópticas) 17

Es decir, ya que la luz permanece un tiempo tanto en el núcleo como en la cubierta

óptica, su velocidad efectiva a través de toda la guía es un promedio que depende de la dis-

tribución de la luz entre ambos. Un cambio en la longitud de onda cambiará la distribución

de la luz, y así mismo la velocidad promedio, causando una dispersión de guía de onda.

1.5 Clasi�cación de las guías de ondas de tipo cilíndricas(�bras ópticas)

La forma más común de clasi�car las guías de onda dieléctricas es considerando su estruc-

tura geométrica que presenta la parte central de la misma, que con frecuencia se le llama

núcleo, para ello se tiene las de tipo rectangular, cuadradas, circulares y planas.

Las tres primeras tienen su aplicación práctica en el área de las comunicaciones, sin

embargo las de tipo planar tienen su aplicación en el análisis matemático, ya que permite

tener un modelo físico más simple, además es una buena aproximación el comportamiento

de la propagación de la onda electromagnética a través de estas, es muy semejante a las

de otras estructuras geométricas, tal es el caso, de las de tipo circular que muy a menudo

se modela por medio de una guía plana, considerando coordenadas cilíndricas en vez de

coordenadas rectangulares.

Las �bras ópticas se pueden clasi�car de acuerdo a su índice de refracción en dos

tipos que son:

1) Fibras ópticas de índice abrupto (que puede ser monomodo ó multimodo.)

2) Fibras ópticas de índice gradual. (multimodo.)


� Fibras Monomodo. Sólo existe una trayectoria por la cual puede propagarse el rayo

de luz (un modo único que viaja casi paralelamente al eje central del núcleo.)

� Fibras Multimodo. En este tipo pueden existir más de un modo de propagación, es

decir que existen cientos de rayos propagándose con diferentes trayectorias dentro

del núcleo.

A continuación se describe las características más importantes de los tipos de �bras

ópticas:

Fibras de índice abrupto Monomodo

Tanto las monomodo y multimodo tienen un índice de refracción constante en el

núcleo y su valor es mayor que el de la cubierta óptica, cambiando abruptamente en la

interfase entre estos dos medios.

A continuación se dan algunas de las características de este tipo de �bra:

� Tiene un núcleo muy pequeño, casi del mismo orden de la magnitud que tiene la

longitud de onda de la luz de unos 2 a 10�m; hecho de vidrio ultra puro. Su pequeño

núcleo, permite restringir la transmisión a un solo modo según el cual los rayos

puedan viajar con una trayectoria casi paralelamente al eje central de la guía, por

este razón se le denomina �Monomodo�.

� Debido a que sólo se transmite un modo se elimina esencialmente la dispersión

intermodal. Esto permite tener más ancho de banda que ofrece mayor capacidad de

transmisión de información.


Figura 1.2. Fibra óptica monomodo.

� La dispersión sufrida por el pulso de luz, se debe a la dispersión cromática ó

intramodal que es considerable.

� Se utiliza el diodo láser (LD) como fuente de luz, ya que emite luz con un ancho

espectral bastante más angosto comparado con los que se presenta en los diodos

LED, y esto permitirá que los pulsos de luz sufran menos dispersión.

En la tabla 1.2 se presentan algunas dimensiones de este tipo de �bras con sus re-

spectivas atenuaciones para ciertas longitudes de onda.Tabla 1.2 Propiedades de la �bra Monomodo.

Diámetro (�m) Longitud de onda AtenuaciónNúcleo Cubierta de (dB/Km)

óptica corte �c(nm) 1300 nm 1550 nm

4 125 600 - -5 125 820 - -8.3 125 1330 0.4 0.359 125 1200 0.5 0.30

En la �gura 1.2 se muestra la estructura física, su per�l del índice de refracción, así

como las trayectorias posibles de transmisión y la dispersión que sufre un pulso de luz al

propagarse en la �bra.

Fibra óptica de índice abrupto Multimodo.


� Tiene un núcleo más grande por lo regular entre 50�m a 150�m, es hecho de vidrio

o plástico. Lo cual permite la propagación de cientos de pulsos o modos, siguiendo

una trayectoria en zig-zag a lo largo de todo núcleo.

� Al tener varios modos provoca la dispersión intermodal o modal.

� Presenta alta atenuación y bajo ancho de banda.

� Sus grandes dimensiones hacen que sea más resistente y fácil de introducirle la luz,

esto es, tener un acoplamiento más fácil con otras guías o fuentes de luz.

� Permite el uso del diodo LED como fuente de luz.

En la tabla 1.3 se dan algunos parámetros típicos para diferentes dimensiones.Tabla 1.3 Parámetros de la �bra óptica de índice abrupto multimodo.

Diámetro (�m) Apertura Atenuación Ancho deNúcleo Cubierta Numérica (dB/Km) banda

óptica NA 850 nm (Mhz/Km)600 630 0:37 6 9400 500 0:20 10 20200 230 0:37 6 17125 200 0:29 5 20100 140 0:29 5 20

En la �gura 1.3 se muestra la estructura física, su per�l de índice de refracción, las

trayectorias que siguen los haces de luz y la dispersión que presenta un pulso cuadrado

cuando se propaga en ella.

2) Fibras ópticas de índice gradual. (multimodo.)

El índice de refracción varía con respecto a la distancia radial desde el núcleo a la

cubierta óptica; su valor va decreciendo en forma gradual conforme nos vamos alejando


Figura 1.3. Fibra de índice abrupto multimodo.


Figura 1.4. Fibra de índice gradual multimodo.

del eje del núcleo a la cubierta óptica donde se vuelve constante. Presenta las siguientes

características:

� Este tipo de �bra tiene un núcleo no homogéneo con un diámetro que varía entre

20 a 100�m o más, hecho de vidrio, y una cubierta óptica de diámetro entre 100 a

200�m.

� La variación gradual del índice de refracción en el núcleo, permite que los rayos de

luz no sigan una trayectoria en zig-zag pronunciados, en este caso los rayos podrán

moverse en espiral alrededor del eje central. Debido a que el índice es más elevado

en el centro del núcleo, los rayos de orden bajo recorren trayectorias más cortas,

disminuyendo su velocidad de propagación, mientras los rayos de orden alto tienen

que recorrer trayectorias más largas alejándose más del centro del eje, aumentando

así su velocidad cuando se acerca a la cubierta óptica. Esta variación tiene el

propósito de que los modos de orden alto lleguen al mismo tiempo que los modos de

orden bajo, en el otro extremo de la �bra, así se podrá disminuir los efectos de la

dispersión modal.


2.pdf

Figura 1.5. Modelo de propagación en �bras de índice gradual por medio de capas.

En la �gura 1.4 se muestra las trayectorias posibles de los rayos de luz, con su re-

spectivo per�l de índice de refracción y en la �gura 1.5 se muestra un modelo simpli�cado

de la propagación de los rayos de luz en este tipo de �bras, por medio de una guía estrat-

i�cada, se observa que el rayo de luz cambia de dirección debido al cambio del índice de

refracción hasta llegar a un punto en el cual se presente la re�exión interna total.

� La disminución de la dispersión modal permite tener mayor ancho de banda en

comparación a las de índice abrupto multimodo.

� Se puede utilizar el diodo láser (LD) ó el diodo LED como fuente de luz.

En la tabla 1.4 se dan algunos parámetros de este tipo de �bra.

1.6 Modelado de una guía de onda dieléctrica estrati�cada 24

Figura 1.6. Per�les del índice de refracción de los tipos de �bras.

Tabla 1.4 Parámetros de la Fibra de índice gradual.Diámetro (�m) Apertura Atenuación Ancho deNúcleo Cubierta Numérica (dB/Km) banda

óptica NA 850 nm 1300 nm (Mhz/Km)125 200 0.29 4.0 4.0 100-500100 140 0.29 4.0 2.5 100-50085 125 0.26 3.2 1.2 100-80062.5 125 0.29 3.5 1.8 100-50050 125 0.20 2.4 1.0 100-1300

En la �gura 1.6 se muestra los per�les de los tipos de �bras ópticas, donde el eje de

las abscisas indica la distancia desde el origen del núcleo a la cubierta óptica, el eje vertical

indica el valor del índice de refracción con respecto a la distancia. En la �gura denotamos

con �h� el radio del núcleo, es decir la distancia desde el origen hasta la frontera.

1.6 Modelado de una guía de onda dieléctrica estrati�cada

Como se había mencionado anteriormente, las guías de onda dieléctricas planas, tienen

su aplicación en óptica integrada (acopladores direccionales, �ltros, polarizadores, modu-

ladores de fase y ampli�cadores ópticos).

En la �gura 1.7 se dan dos tipos de estructuras de dispositivos integrados ópticos.


Cubiert

a óptica

Núcleo

nco

nclna

n(x)

xy

x

z

Perfil del índice derefracción

nco

ncl

Núcleo

Cubierta óptica

b) Tipo Planara) Tipo cinta

Figura 1.7. Tipos de guías ópticas integradas


Figura 1.8. Modelo de análisis de una �bra óptica

Como sabemos, la �bra óptica es una guía de onda dieléctrica cilíndrica que en prin-

cipio puede ser analizada por medio de una guía de onda plana como modelo; ya que en

cierta forma se puede explicar el comportamiento básico de la propagación de las ondas de

luz a través de ella, a demás de que dicho modelo simpli�ca considerablemente el análisis

y el resultado que se obtiene nos da una aproximación del comportamiento en éstas.

Nuestro modelo de guía de onda plana estrati�cada, se obtiene considerando que la

guía rectangular de la �gura 1.7 se extiende desde �1 a +1, tanto en el eje "y" como

en el eje "x"; además no se tiene frontera entre la cubierta óptica y el medio exterior. El

eje "z" será el eje de la guía de onda y se extiende de 0 a +1, el cual será la dirección

de propagación de las ondas, y el eje �x� será el ancho de la guía, el cual presentará las

variaciones del índice de refracción con respecto a la distancia.

En comportamiento del índice gradual tanto en una guía de onda dieléctrica cilíndrica

como en una guía plana es el mismo y varía únicamente en la posición del eje �x�, esto se

muestra en la �gura 1.8 y 1.9.

La �gura 1.9 se muestra el modelo de la guía de onda que muy a menudo se utiliza

para su análisis.


Figura 1.9. Modelado por medio de una guía de onda dieléctrica plana.


Donde:

h es la mitad del ancho del núcleo de la guía de onda.

ncl es el índice de refracción de la cubierta óptica.

nco(x) es el índice de refracción del núcleo. Para el caso de un índice de refracción

gradual, el comportamiento del per�l del índice de refracción es descrito por la siguiente

función, consultar las referencias [[11]], [[22]], [[38]]:

nco =

(n0�1� 2�i

��xh

��1=2 0 � jxj � h

n0 (1� 2�i)1=2 � ncl jxj � h

(1.3)

�i =n20 � n2cl2n20

=1

2

�1� n2cl

n20

�(1.4)

n2co(x) = n20

�1�

��xh

�� + n2cln20

��xh

�� (1.5)

Donde:

�i Es la diferencia de índices de refracción normalizada, adimensional.

� Es un parámetro que de�ne la forma del per�l del índice de refracción.

h Es el radio del núcleo de la guía de onda.

n0 Es el valor máximo del índice de refracción en el centro del núcleo (nco(0) = n0.)

Para el caso de que � = 2; éste se convierte en el llamado per�l del índice de refrac-

ción parabólico.

1.7 Modos en una guía de onda dieléctrica 29

1.7 Modos en una guía de onda dieléctrica

Aunque los campos eléctricos y magnéticos dentro de diferentes tipos de guías de onda se

distribuyen en forma diferente, todas las guías de onda comparten un número de propiedades

comunes. La más importante de estas, es que ellas pueden soportar un número �nito de con-

�guraciones del campo electromagnético que pueden existir en un determinado dominio

del espacio de la guía y de características electromagnéticas especi�cas llamados modos,

consultar [1], [22] y [60].

Con las soluciones de las ecuaciones de Maxwell, para la geometría de la guía de

onda plana se obtienen tres modos de propagación:

� Modos Guiados: Son las ondas de luz que transportan la mayor cantidad de

energía electromagnética a lo largo de la capa del núcleo.

�Modos Evanescentes: Son ondas de luz que se propagan a lo largo de la frontera

entre el núcleo y cubierta óptica, su pequeña energía y su rápido decrecimiento no las hacen

idóneas para �nes prácticos en éste tipo de guías.

� Modos Radiados: Son ondas de luz que se escapan del núcleo y se propagan en

la región de la cubierta óptica.

Y para cada categoría se tiene los siguientes tipos de onda:

a) Ondas TE, ondas transversales eléctricas, también llamadas modos H, en este caso

el vector del campo eléctrico es perpendicular a la dirección de propagación (al eje central

de la guía), por lo que su componente longitudinal es cero, Ez = 0, en todos los puntos,

mientras que la componente longitudinal del vector del campo magnético en la dirección

de propagación es diferente de cero, Hz 6= 0, en todos los puntos.

1.7 Modos en una guía de onda dieléctrica 30

b) Ondas TM, ondas transversales magnéticas, también llamadas modos E, donde el

vector del campo magnético es perpendicular a la dirección de propagación, por lo que

se requiere que su componente longitudinal sea cero en todos los puntos, Hz = 0, y la

componente longitudinal del vector del campo eléctrico en la dirección de propagación sea

diferente de cero, Ez 6= 0.

Otro tipo modos que se presentan en las guías de ondas cilíndricas como son las

�bras ópticas y guías de onda metálicas con dieléctricos no homogéneos y homogéneos

son los llamados modos híbridos, los cuales las componentes longitudinales de los vectores

del campo eléctrico y magnético no son despreciables, y entre estos se encuentran los

siguientes:

-Modos EH, son modos en los cuales ni Ez y Hz son cero, pero las características de

los campos transversales son controladas más por la componenteEz que por la componente

Hz:

-Modos HE, son modos en los cuales ni Ez y Hz son cero, en este caso los campos

transversales son controlados más por la componente Hz que por la componente Ez.

Las guías de onda dieléctricas planas soportan un número �nito de modos guiados,

los cuales son complementados por un número in�nito de modos no guiados (modos radia-

dos y evanescentes.) Ambos tipos de modos son obtenidos como soluciones de un problema

de valor de frontera basándonos en las ecuaciones de Maxwell. Si embargo también se uti-

liza la óptica geométrica para describir la propagación de la luz de los modos guiados a

través del núcleo de la guía, cuya explicación está basada por medio de rayos ópticos. Ya

que es válido, cuando la longitud de onda de la luz es mucho menor que la abertura en la

1.8 Conclusiones 31

cual esta incide, los frentes de fase (los cuales se de�nen como planos en los cuales todos

sus puntos tienen la misma fase) aparecen como líneas rectas en este objeto ó abertura, por

lo que la onda de luz puede ser representada como una onda plana, y su dirección de propa-

gación puede ser indicado por un rayo de luz (rayo óptico), dicho rayo es perpendicular al

frente de fase. Además estos rayos muestran la dirección del �ujo de energía que puede

transportar la onda de luz.

1.8 Conclusiones

En este capítulo se dieron los antecedentes históricos más relevantes que hicieron posible

la utilización de la luz como portadora de la información y a las �bras de vidrio comomedio

de transmisión, así como los conceptos teóricos fundamentales de las guías de ondas del

tipo dieléctrico, su clasi�cación de acuerdo al comportamiento del índice de refracción así

como sus características físicas, así como el modelado más conveniente para su análisis

matemático, mismo que se utilizara en el siguiente capítulo para el análisis en las guías

estrati�cadas no homogéneas.

Capitulo 2Propagación de una onda electromagnética en

una guía de onda estrati�cada.

En este capítulo se realizará el análisis de la propagación de una onda electromag-

nética a través de una guía de onda estrati�cada, donde se considera la variación del índice

de refracción en el núcleo, para ello se dará el modelo utilizado, el planteamiento del

problema, algoritmo para el cálculo de los modos guiados, y por último se dará ejemp-

los numéricos.

Para comprender en detalle el comportamiento físico de las ondas luminosas en las

guías de ondas ópticas se requiere un análisis más riguroso, para ello se recurre a las

ecuaciones de Maxwell, junto con las condiciones de contorno o frontera apropiadas a

la geometría y al material que esta hecha la guía de onda.

2.1 Ecuaciones de Maxwell en las guías de ondas ópticasplanas

Se sabe que todo pulso de luz elemental (modo) u onda electromagnética, es un campo

electromagnético propagándose y cada pulso de luz esta conformado por diversos pulsos

lumínicos elementales, su cálculo, viene dado por la solución particularizada de las ecua-

ciones de Maxwell, que determinan la propagación del campo electromagnético en forma

de ondas. Por lo tanto, para que un campo pueda decirse que es electromagnético deberá

satisfacer las cuatro ecuaciones de Maxwell. La utilización de los campos electromagnéti-

32

2 Propagación de una onda electromagnética en una guía de onda estrati�cada. 33

cos es debido a que son medios capaces de transportar energía o información en el espacio

material, como es el caso de los pulsos de luz.

Las ecuaciones de Maxwell pueden representarse en dos formas: en forma integral,

la cual nos indica las leyes físicas que sirven de fundamento y en forma diferencial que

se emplea con más frecuencia en la resolución de problemas. A continuación se dan las

ecuaciones de Maxwell en forma diferencial. Y debido a la geometría de la guía de onda

será conveniente utilizar coordenadas cartesianas, [[13]].

r� E (r; t) = �@B (r; t)@t

= �@tB (r; t) (2.6)

r�H (r; t) = J (r; t) + @D (r; t)

@t= J (r; t) + @tD (r; t) (2.7)

r �B (r; t) = 0 (2.8)

r �D (r; t) = � (r; t) (2.9)

Donde:

r = (x; y; z) 2 R3,t 2 R denotan el vector de posición y la variable del tiempo

arbitrario, respectivamente.

E (r; t) = (Ex; Ey; Ez) = Ex (x; y; z; t) i + Ey (x; y; z; t) j + Ez (x; y; z; t)k: Es la

intensidad del campo eléctrico, dado en volts sobre metro (V=m).

H (r; t) = (Hx; Hy; Hz) = Hx (x; y; z; t) i+Hy (x; y; z; t) j+Hz (x; y; z; t)k: Es la

intensidad del campo magnético, dado en ampéres sobre metro (A=m).


D (r; t) = (Dx; Dy; Dz) : Es la densidad del �ujo eléctrico o inducción eléctrica,

dado en coulombs sobre metro cuadrado (C=m2).

B (r; t) = (Bx; By; Bz) : Es la densidad del �ujo magnético o inducción magnética,

dado en weber sobre metro cuadrado (Wb=m2).

J (r; t) = (Jx; Jy; Jz) Es la densidad de corriente de conducción, dado en ampéres

sobre metro cuadrado (A=m2).

� (r; t) Es la densidad de carga eléctrica, dada por coulombs sobre metro cúbico

(C=m3).

Las ecuaciones de Maxwell son ecuaciones diferenciales lineales de primer orden

acopladas (que contienen tanto el campo eléctrico E como el campo magnético H), la

relación que existe entre las cantidades de campo vectorial E, D, H, B, J es dada por

medio de las relaciones constitutivas que caracterizan al medio, es decir que para un medio

dado, alguno de los campos pueden ser descritos como función de otros, esto es,

D = D (E) ; B = B (H) ; J = J (E) (2.10)

que dependiendo del medio material bajo consideración, toman una forma especí�ca,

considerando un medio lineal en el cual D varía en forma lineal con E, isotrópico donde

los vectores E y D, y los vectores H y B son colineales y además paralelos (tienen la

misma dirección), e inhomogéneo (o no homogéneo) donde las propiedades del material

del medio en todos los puntos del espacio depende de las coordenadas espaciales, se tiene

las siguientes relaciones:

D (r; t) = "E (r; t) (2.11)


B (r; t) = �H (r; t) (2.12)

J (r; t) = �E (r; t) (2.13)

Donde:

" = " (r) Es la permitividad eléctrica del medio, dado en Farads/metro (F=m).

� = � (r) Es la permeabilidad magnética del medio, dado en Henrys/metro (H=m).

� = � (r) Es la conductividad del medio, dado en siemens/metro (S=m).

Los tres términos anteriores son los llamados parámetros materiales y son los que

de�nen el tipo de material del medio. A las relaciones 2.11 y 2.12 también se les conoce

como ecuaciones materiales ya que re�ejan el carácter del material, y la 2.13 es la ley de

Ohm.

En la �gura 2.10 se muestra el modelo de la guía de onda dieléctrica estrati�cada de

tres capas, la capa central es el núcleo y la capa superior e inferior es la cubierta óptica, se

considera que el índice en el núcleo depende solamente de la variable z.

Para las guías de onda dieléctricas, las cuales están constituidas de materiales no

conductores se considera que su conductividad es despreciable � (r) = 0 y su permabilidad

magnética es constante � (r) = �0�r = �0 ó �r = 1:Además la permitividad eléctrica

depende de la posición de z, " (z) = "0"r;

Donde:

"r Es la permitividad eléctrica relativa del medio.

�r Es la permeabilidad magnética relativa del medio.


Figura 2.10. Modelo de la guía de onda.

"0 Es la permitividad eléctrica en el vacío, es una constante de valor

"0 =1

36� � 109 = 8:854187817� 10�12 Fm�1 (2.14)

�0 Es la permeabilidad magnética en el vacío, es una constante de valor

�0 = 4� � 10�7 H=m (2.15)

Por lo general cuando se trabaja en guías de ondas dieléctricas, las cuales operan a

frecuencias ópticas del espectro electromagnético es usual expresar la permitividad eléc-

trica relativa por medio del índice de refracción del medio, de su de�nición vista en el

capítulo 1, donde depende de una sola coordenada z (�gura 2.10)

n (z) =p"r (z)

n2 (z) = "r (z) (2.16)

2.2 Ecuación de onda 37

Las cuatro ecuaciones de Maxwell anteriores son en apariencia sencillas, ya que son

ecuaciones diferenciales de primer orden, pero el problema principal, es su acoplamiento

de campos, el cual hace di�cil su solución en problemas de valor de frontera, la manera de

desacoplarlos es por medio de la ecuación de onda, que es una ecuación diferencial de se-

gundo orden la cual es muy usual para solución de problemas y que describe la propagación

de la energía en el medio bajo consideración.

2.2 Ecuación de onda

Partiendo de las Ecuaciones de Maxwell, se multiplica la ecuación por r � ��12.6 y la

ecuación 2.7 por r� "�1, se tiene:

r� ��1r� E = �@tr� ��1B (2.17)

r� "�1r�H =@tr� "�1D+r� "�1J (2.18)

Desarrollando las dos ecuaciones anteriores se tiene:

a) De la ecuación 2.17r� ��1r�E = �@tr� ��1B utilizando la ec.2.7 y la ec.

2.12 se tiene: r��1[i(@yEz�@zEy)+j(@zEx�@xEz)+k(@xEy�@yEx)] = �@tr��1B

=� @tr�H = �@t(@tD+ J)


i[@y��1(@xEy � @yEx)� @z��1(@zEx � @xEz)]

+j[@z��1(@yEz � @zEy)� @x��1(@xEy � @yEx)]

+k[@x��1(@zEx � @xEz)� @y��1(@yEz � @zEy)]

= �@2t "[iEx + jEy + kEz]� @t[iJx + jJy + kJz] (2.19)

b)De la ecuación 2.18r� "�1r�H =@tr� "�1D+r� "�1J utilizando la ec.2.6

y la ec.2.11 se tiene:

r�"�1[i(@yHz�@zHy)+j(@zHx�@xHz)+k(@xHy�@yHx)] = @t(�@tB)+r�"�1J

i[@y"�1(@xHy � @yHx)� @z"�1(@zHx � @xHz)]

+j[@z"�1(@yHz � @zHy)� @x"�1(@xHy � @yHx)]

+k[@x"�1(@zHx � @xHz)� @y"�1(@yHz � @zHy)]

= ��@2t (iHx + jHy + kHz) + i(@y"�1Jz � @z"�1Jy)

+j(@z"�1Jx � @x"�1Jz) + k(@x"�1Jy � @y"�1Jx) (2.20)

Aunque los campos eléctricos y magnéticos dentro de diferentes tipos de guías de

onda se distribuyen en forma diferente, todas estas guías de onda comparten un número de

propiedades comunes. La más importante de éstas, es que ellas pueden soportar un número

�nito de con�guraciones del campo electromagnético que pueden existir en un determinado

dominio del espacio de la guía y de características electromagnéticas especi�cas llamados

modos, por lo tanto un modo es una con�guración particular del campo y además todos


estos modos son soluciones de un problema de valor de frontera dado, ya que satisfacen las

ecuaciones de Maxwell y las condiciones de frontera.

Con las soluciones de las ecuaciones de Maxwell, para la geometría de la guía de

onda plana se obtienen tres modos de propagación:

�Modos Guiados

�Modos Evanescentes

�Modos Radiados

Y para cada categoría se tiene los siguientes tipos de onda (modos):

a) Ondas TE, ondas transversales eléctricas, también llamadas modos H:, son con-

�guraciones del campo electromagnético en las cuales las componentes del campo eléctrico

caen en un plano que es transversal a una dirección dada (por lo que su componente lon-

gitudinal es cero EL = 0; en todos los puntos del espacio, mientras que la componente

longitudinal del campo magnético en la dirección dada es diferente de cero, HL 6= 0, en

todo el espacio). Es muy frecuente que la elección de tal dirección sea la trayectoria de

propagación de la onda.

Por ejemplo, si deseamos que los campos sean transversales eléctricos TE a la direc-

ción z (TEz), esto implica queEz = 0; las otras componentes (Ex yEy) y las componentes

del campo magnético (Hx; Hy; Hz) pueden o no todas existir.

b) Ondas TM , ondas transversales magnéticas, también llamadas modos E, son con-

�guraciones del campo electromagnético en las cuales las componentes del campo mag-

nético es perpendicular a una dirección dada, por lo que se requiere que su componente

longitudinal sea cero en todos los puntos, HL = 0, y la componente longitudinal del vec-


tor del campo eléctrico en la dirección dada es diferente de cero, EL 6= 0, y al igual que

las ondas TE la dirección puede ser la dirección de propagación de la onda. También se

presentan en las guías de onda metálicas con dieléctricos homogéneos.

Nota: Cabe mencionar que la dirección en la cual el campo eléctrico o magnético es

perpendicular o transversal no es necesariamente la trayectoria por la cual la onda este

viajando o se propaga (dirección de propagación), pero frecuentemente se escoge que sea

la dirección de propagación de la onda y además todas las componentes restantes de los

campos pueden o no todas existir.

A continuación se obtendrán las ecuaciones de onda escalares para los modos TE y

TM en la dirección z y para nuestro modelo solamente se considera la no homogeniedad

en la dirección z (en la región del núcleo), esto implica que los parámetros del material

queden en función de la coordenada z, esto es:

" = "(z) (2.21)

� = �(z)

y además

c2(z) =1

"(z)�(z)(2.22)

Ondas TEz

En este caso el fenómeno electromagnético queda descrito por las componentes Hz;

Ex; Ey; mientras que la componente Ez = 0:

a) Calculando la componente Ey de la Ec.2.19:


@z��1(@yEz � @zEy)� @x��1(@xEy � @yEx) = �@2t "Ey � @tJy

�@z��1(@zEy)� ��1@2xEy + ��1@y@xEx = �@2t "Ey � @tJy

multiplicando por �

��@z��1@zEy � @2xEy + @y@xEx + �"@2tEy = ��@tJy

Se sabe que r � "E = �; donde @xEx es:

"@xEx + "@yEy = �; @xEx = "�1�� @yEy

Sustituyendo la última expresión, se tiene lo siguiente:

��@z��1@zEy � @2xEy + @y("�1�� @yEy) + �"@2tEy = ��@tJy

�@2xEy � @2yEy � �@z��1@zEy + �"@2tEy = �@y("�1�)� �@tJy

Multiplicando por (-)

[(@2x + @2y) + �@z��1@z � �"@2t ]Ey = "�1@y�+ �@tJy

Sea r2tr = (@2x + @2y)

(r2tr + �@z��1@z � �"@2t )Ey = "�1@y�+ �@tJy (2.23)

Sabiendo que Ey = "�1Dy

(r2tr + �@z��1@z � �"@2t )"�1Dy = "�1@y�+ �@tJy (2.24)

b) Calculando la componente Ex de la ec.2.19:

@y��1(@xEy � @yEx)� @z��1@zEx = �@2t "Ex � @tJx

��1@x@yEy � ��1@2yEx � @z��1@zEx + "@2tEx = �@tJx


Se sabe quer� "E = �; donde @yEy es: "@xEx+ "@yEy = �; @yEy = "�1�� @xEx

Sustituyendo la última expresión, se tiene lo siguiente:

��1@x("�1�� @xEx)� ��1@2yEx � @z��1@zEx + "@2tEx = �@tJx

multiplicando por �

"�1@x�� @2xEx � @2yEx � �@z��1@zEx + �"@2tEx = ��@tJx

multiplicando por (�) y reordenando

@2xEx + @2yEx + �@z��1@zEx � �"@2tEx = "�1@x�+ �@tJx

(r2tr + �@z��1@z � �"@2t )Ex = "�1@x�+ �@tJx (2.25)

(r2tr + �@z��1@z � �"@2t )"�1Dx = "�1@x�+ �@tJx (2.26)

c) Calculando la componente Hz de la ec.2.20:

@x"�1(@zHx � @xHz)� @y"�1(@yHz � @zHy) = ��@2tHz + (@x"

�1Jy � @y"�1Jx)

"�1@z@xHx � "�1@2xHz � "�1@2yHz + "�1@z@yHy = ��@2tHz + "�1@xJy � "�1@yJx

multiplicando por " y reordenando

�(@2xHz + @2yHz) + @z(@xHx + @yHy) = ��"@2tHz + @xJy � @yJx

Recordando que r �B = 0; r � �H = 0; @x�Hx + @y�Hy + @z�Hz = 0;

esto implica que (@xHx + @yHy) = ��1@z�Hz; sustituyendo se tiene

�(@2xHz + @2yHz) + @z(��1@z�Hz) + �"@2tHz = @xJy � @yJx


Sea rz = (@x; @y; 0); Jz = (Jx; Jy; 0); rz � Jz = (@xJy � @yJx)

�r2trHz � @z��1@z�Hz + �"@2tHz = rz � Jz

multiplicando por ��

r2tr�Hz + �@z��1@z�Hz � �"@2t �Hz = ��rz � Jz

(r2tr + �@z��1@z � �"@2t )�Hz = ��rz � Jz (2.27)

Además c2 = 1�"y Bz = �Hz, se tiene

1

c2@2tBz �r2tBz � �@z��1@zBz = �rz � Jz (2.28)

Ondas TMz

En este caso el fenómeno electromagnético queda descrito por las componentes Ez;

Hx; Hy; mientras que la componente Hz = 0:

a) Calculando la componente Hy de la ec.2.20:

�@z"�1@zHy � @x"�1(@xHy � @yHx) = ��@2tHy + @z"�1Jx � @x"�1Jz

�@z"�1@zHy � "�1@2xHy + "�1@y@xHx + �@2tHy = @z"�1Jx � @x"�1Jz

Recordando que r �B = 0; r � �H = 0; @x�Hx + @y�Hy + @z�(Hz = 0) = 0;

esto implica que @xHx = �@yHy; sea además ry = (@x; 0; @z); Jy = (Jx; 0; Jz)

�@z"�1@zHy � "�1@2xHy � "�1@2yHy + �@2tHy = ry � "�1Jy

multiplicando por �" y sea ry = (@x; 0; @z); Jy = (Jx; 0; Jz)

@2xHy + @2yHy + "@z"�1@zHy � "�@2tHy = �"ry � "�1Jy


(r2tr + "@z"�1@z � �"@2t )Hy = �"ry � "�1Jy (2.29)

(r2tr + "@z"�1@z � �"@2t )��1By = �"ry � "�1Jy (2.30)

b) Calculando la componente Hx de la ec.2.20:

@y"�1(@xHy � @yHx)� @z"�1@zHx = ��@2tHx + (@y"

�1Jz � @z"�1Jy)

"�1@x@yHy � "�1@2yHx � @z"�1@zHx + �@2tHx = (@y"�1Jz � @z"�1Jy)

Recordando que r �B = 0; r � �H = 0; @x�Hx + @y�Hy + @z�(Hz = 0) = 0;

esto implica que @yHy = �@xHx; sea además rx = (0; @y; @z); Jx = (0; Jy; Jz)

�"�1@2xHx � "�1@2yHx � @z"�1@zHx + �@2tHx = rx � "�1Jx

multiplicando por �"

@2xHx + @2yHx + "@z"�1@zHx � "�@2tHx = �"rx � "�1Jx

Por lo tanto

(r2tr + "@z"�1@z � �"@2t )Hx = �"rx � "�1Jx (2.31)

(r2tr + "@z"�1@z � �"@2t )��1Bx = �"rx � "�1Jx (2.32)

c) Calculando la componente Ez de la ec. 2.19:

@x��1(@zEx � @xEz)� @y��1(@yEz � @zEy) = �@2t "Ez � @tJz

��1@z@xEx � ��1@2xEz � ��1@2yEz + ��1@z@yEy + @2t "Ez = �@tJz

��1@z(@xEx + @yEy)� ��1(@2xEz + @2yEz) + "@2tEz = �@tJz


Se sabe que r � "E = �; donde @xEx + @yEy es:

"@xEx + "@yEy + @z"Ez = �; (@xEx + @yEy) = "�1�� "�1@z"Ez

Sustituyendo la última expresión se tiene lo siguiente:

��1@z("�1�� "�1@z"Ez)� ��1(@2xEz + @2yEz) + "@2tEz = �@tJz

multiplicando por �� y reordenando

(@2xEz + @2yEz) + @z"�1@z"Ez � �"@2tEz = �@tJz + @z"

�1�

Por lo tanto

(r2tr + @z"�1@z"� �"@2t )Ez = �@tJz + @z"

�1�

multiplicando por "

(r2tr + "@z"�1@z � �"@2t )"Ez = �"@tJz + "@z("

�1�) (2.33)

Para Dz se tiene

(r2tr + "@z"�1@z �

1

c2@2t )Dz =

1

c2@tJz + "@z("

�1�) (2.34)

donde (c2 = (�")�1)

Concluyendo, las ecuaciones de onda escalares para las ondas TEz y TM z son:

Eligiendo la ec.2.28 y la ec.2.34 respectivamente

Para TEz

1

c2@2tBz �r2tBz � �@z��1@zBz = �rz � Jz (2.35)

Para TM z

1

c2@2tDz �r2trDz � "@z"�1@zDz = �

1

c2@tJz � "@z("�1�) (2.36)


Donde:

r2tr = (@2x; @2y ; 0);rz = (@x; @y; 0);Jz = (Jx; Jy; 0)

2.2.1 Descripción del campo por medio de ondas Armónicas en tiempo

Cuando un campo es representado por una superposición continua de componentes ele-

mentales, el resultado de la descomposición puede simpli�car cálculos y proporcionar un

signi�cado físico. Tal representación normalmente requiere una transformación integral.

Dentro de las diversas transformaciones que se utilizan en electromagnetismo la más con-

veniente es la transformada de Fourier.

Nuestro campo electromagnético depende de las variables rectangulares x; y; z; t,

nosotros podemos realizar la transformación a cualquiera de las variables o a todas el-

las, vamos a considerar la transformación temporal, es decir con respecto a la variable del

tiempo, por lo que el comportamiento del campo se considera armónico en el tiempo.

Por cantidades armónicas en el tiempo, queremos decir cantidades que varían en

forma periódica o senoidal con el tiempo. El análisis armónico no solo es de interés prác-

tico, sino que puede extenderse a la mayor parte de las formas de onda (es decir, las depen-

dencias de otro tipo se pueden descomponer de las oscilaciones armónicas) por medio de

técnicas de la transformada de Fourier.

Por lo que la transformación se denota como

E(x; y; z; t) ! eE(x; y; z; !) (2.37)

Aquí ! es la variable de transformación.

Hay dos formas de obtener dichas ondas:


1. Por medio de fasores.

2. Por medio de la Transformada de Fourier.

1. En este caso el campo se expresa fácilmente por medio de fasores, con los cuales

se trabaja en forma más conveniente.

Un fasor zf es un número complejo que puede escribirse como

zf = z1 + iz2 = r\� (2.38)

o bien

zf = rei� = r (cos�+ isen�) (2.39)

Donde:

i =p�1,

z1 es la parte real de zf :

z2 es la parte imaginaria de zf :

r es la magnitud de zf expresada por

r = jzf j =pz12 + z22 (2.40)

y � es la fase de zf dada por

� = tan�1z2z1

(2.41)

El fasor zf puede representarse en forma rectangular como zf = z1+ iz2, o en forma

polar como zf = r\� = rei�. . Para introducir el tiempo, se hace � = !t + �, las partes


real (Re) e imaginario (Im) de rei� = rei�ei!t dan lo siguiente:

Re�rei�

�= r cos (!t+ �) y Im

�rei�

�= rsen (!t+ �) (2.42)

Si un vector F (r; t) es armónico en el tiempo, la forma de fasor es:

F (r; t) = Re�Fm (r) e

�i!t� (2.43)

Al derivar la ecuación con respecto al tiempo

@

@tF (r; t) = Re

��i!Fm (r) e�i!t

�(2.44)

equivale a multiplicar el fasor por �i!. La forma de expresar al campo eléctrico y

magnético con dependencia armónica en tiempo es como sigue:

E (r; t) = Em (r) exp (�i!t) ; (2.45)

H (r; t) = Hm (r) exp (�i!t) (2.46)

Donde: ! = 2�f es la frecuencia angular dada en radianes.

f es la frecuencia dada en Hz.

2. Por medio de la Transformada de Fourier.

Las formulas integrales de Fourier para una variable (una dimensión) son:

F (u) =1p2�

Z 1

�1f(�)e�iu�d� (2.47)

y

f(�) =1p2�

Z 1

�1F (u)eiu�du (2.48)

Para que pueda existir las integrales anteriores se requiere que la función f(�) este

de�nida en todos los valores de � y además:


* f(�) sea seccionalmente continua en todo intervalo �nito.

*f(�) sea absolutamente integrable sobre el eje �; esto es, que se cumplaZ +1

�1jf(�)j d� < s (2.49)

para una s �nita. Cabe mencionar que esta condición es su�ciente pero no necesaria

para la existencia de la formula integral de Fourier, ya que el cos � o sin � no satisfacen la

condición sin embargo existe en el límite.

Generalizando para n variables:

F (u1; u2; :::; un) =1

(p2�)n

Z 1

�1:::

Zf(�1; :::; �n)e

�i(u1�1+:::+un�n)d�1:::d�n

y

f(�1; :::; �n) =1

(p2�)n

Z 1

�1:::

ZF (u1; :::; un)e

i(u1�1+:::+un�n)du1:::dun

Ahora si tomamos la transformada de Fourier con relación tiempo y frecuencia se

tiene

f(t) =1p2�

Z 1

�1F (!)e�i!td! (2.50)

F (!) =1p2�

Z 1

�1f(t)ei!tdt (2.51)

La función F (!) representa el espectro de frecuencia de f(t) y se le llama función de

densidad espectral . A las ecuaciones 2.51 y 2.50 se conocen como par de transformadas

de Fourier de f(t); y a F (!) es la transformada directa de Fourier.

Una de las propiedades de la transformada de Fourier, es la transformada de la

derivada de f(t); que se aplica a las ecuaciones diferenciales, la clave es que la difer-


enciación de funciones corresponde a la multiplicación de las transformadas por i!. Esto

es:

Sea f(t) continua en el eje t y además que f(t)! 0 cuando jtj ! 1; y sea f1 = df(t)dt

absolutamente integrable sobre el eje t .entonces

F1(!) =1p2�

Z 1

�1

df(t)

dtei!tdt

integrando por partes se tieneRudv = uv �

Rvdu

F1(!) =1p2�

f(t)ei!t��1�1 �

(i!)p2�

Z 1

�1f(t)ei!tdt

F1(!) = 0� (i!)Z 1

�1f(t)ei!tdt

F1(!) = (�i!)F (!)

Para la segunda derivada se tiene que f2(t) = d2f(t)dt2

F2(!) = (�i!)2F (!)

Generalizando

Fn(!) = (�i!)nF (!)

El campo quedaría representado de la siguiente manera

E (r; t) =1p2�

Z 1

�1E (r; !) e�i!td! (2.52)

H (r; t) =1p2�

Z 1

�1H (r; !) e�i!td! (2.53)

y

E (r; !) =1p2�

Z 1

�1E (r; t) ei!tdt (2.54)

H (r; !) =1p2�

Z 1

�1H (r; t) ei!tdt (2.55)


aplicando la transformada de Fourier a la 2.35 y 2.36, omitiendo el término 1p2�:

Para TEz

1

c2

Z 1

�1@2tBz(x; y; z; t)e

i!tdt�r2tZ 1

�1Bz(x; y; z; t)e

i!tdt

��@z��1@zZ 1

�1Bz(x; y; z; t)e

i!tdt = �rz �Z 1

�1Jz(x; y; z; t)e

i!tdt

,

�!2

c2Bz(x; y; z; !)�r2tBz(x; y; z; !)

��@z��1@zBz(x; y; z; !) = �rz � Jz(x; y; z; !)

Por lo tanto

r2tBz +!2

c2Bz + �@z�

�1@zBz = ��rz � Jz (2.56)

Para TM z

1

c2

Z 1

�1@2tDz(x; y; z; t)e

i!tdt�r2tZ 1

�1Dz(x; y; z; t)e

i!tdt

�"@z"�1@zZ 1

�1Dz(x; y; z; t)e

i!tdt

= � 1c2

Z 1

�1@tJz(x; y; z; t)e

i!tdt� "@zZ 1

�1("�1�(x; y; z; t))ei!tdt

,

�!2

c2Dz(x; y; z; !)�r2tDz(x; y; z; !)� "@z"�1@zDz(x; y; z; !)

=i!

c2Jz(x; y; z; !)� "@z("�1�(x; y; z; !))

Por lo tanto

r2tDz +!2

c2Dz + "@z"

�1@zDz = �i!

c2Jz + "@z("

�1�) (2.57)


2.2.2 Condiciones de Frontera

Se debe tener en cuenta que las ecuaciones de Maxwell están de�nidas bajo las siguientes

consideraciones, que los campos son:

(a) funciones continuas de posición y tiempo con derivadas continuas.

(b) Limitados.

Los campos vectoriales tienen estas propiedades, excepto en los puntos donde hay

cambios abruptos en la distribución de corriente o carga. Dichos cambios ocurren en la in-

terfase de frontera que hay entre dos medios diferentes, ya que nuestro campo existe en el

núcleo y la cubierta óptica, los cuales son dos medios diferentes, las condiciones que deben

satisfacerse en su interfase que separa estos dos medios se le conoce como condiciones en

la frontera. Estas condiciones son útiles para determinar el campo que existe en uno de los

lados de la frontera si se conoce el campo del otro lado, conociendo así el comportamiento

de los campos en la super�cie de separación, otra razón por la cual es necesario conocer

las condiciones de frontera es debido a que las componentes de campo eléctrico y mag-

nético están expresadas mediante ecuaciones en derivadas parciales (ecuación de Onda de

Helmholtz), y su solución siempre implica constantes arbitrarias, las cuales se determinan

por la aplicación de las condiciones de frontera. Estas condiciones en la frontera se pueden

determinar en dos formas:

1) Por medio de las ecuaciones de Maxwell en forma integral. Cabe mencionar que

estas condiciones fueron halladas en forma experimental.

2) Por medio de la solución de la ecuación diferencial dada.

A continuación se describen dichas condiciones:


E(1) , H(1)

E(2) , H(2)

n

MEDIO 1

MEDIO 2

Superficiede Frontera

Componente tangencial

Componente normal

Figura 2.11. Condiciones en la frontera entre dos materiales dieléctricos

1) En la �gura 2.11 se muestra dos medios (medio 1 y medio 2) de diferentes propiedades

y el vector unitario normal a la super�cie de frontera se denota por n; para el medio 1, los

valores en la frontera de los campos son denotados como E(1) y H(1) y para el medio 2

tenemos E(2) yH(2).

La reacción del campo electromagnético al cambio brusco de los medios se expresa

mediante las siguientes condiciones de frontera:

Las componentes tangenciales del campo eléctrico y magnético son en la frontera:

�n� E(1)

��n� E(2)

�= n�

�E(1) � E(2)

�= 0 ó E1t � E2t = 0 (2.58)

La ecuación anterior establece que la componente tangencial del campo eléctrico es

continuo (no hay discontinuidad).

�n�H(1)

��n�H(2)

�= n�

�H(1) �H(2)

�= Js ó H1

t �H2t = Js (2.59)

La ecuación anterior establece que la discontinuidad en la componente tangencial del

campo magnético es proporcional a la densidad de corriente eléctrica super�cial Js.


Las componentes normales del campo eléctrico y magnético son en la frontera:

"1 < E(1);n > �"2 < E(2);n >=

�"1E

(1)�"2E(2)�� n = �s ó D(1)

n �D(2)n = �s (2.60)

La ecuación anterior establece que la discontinuidad en la componente normal del

campo eléctrico es proporcional la densidad de carga eléctrica �s.

�1 < H(1);n > ��2 < H(2);n >=

��1H

(1)��2H(2)�� n = 0 ó B(1)

n �B(2)n = 0 (2.61)

La ecuación anterior establece que la componente normal del campo magnético es

continua en la frontera.

Los productos internos < E(1)ó H(1);n > se llaman componentes normales de los

vectores del campo que se está considerando. Los productos cruz�n� E(1)�oH(1)

�se

conocen como componentes tangenciales de los correspondientes vectores.

Para el caso de dos medios sin pérdidas (dieléctricos perfectos) se tiene que Js = 0

y �s = 0 quiere decir que no hay densidades de cargas super�ciales libres ni densidades de

corrientes super�ciales en la super�cie de separación entre los dos medios, lo cual implica

que las componentes tangenciales son continuas en la frontera. Por lo que el salto de los

parámetros lo sufren las componentes normales.

Para nuestro caso se tiene que la componente Bz y la Dz de la ecuación 2.56 y 2.57

son las componentes normales en la frontera.

Una forma de describir la continuidad o discontinuidad de una función en una inter-

fase de una frontera entre dos medios, es por medio de las condiciones de salto las cuales

se describen a continuación:


Sea L�h = f(x; y; z) 2 R3 : z = �h)g dos planos en R3 que me de�nen la frontera

entre el núcleo y la cubierta óptica.

Sea x = (x; y) = (x1; x2) 2 R2 denota las coordenadas espaciales rectangulares en

el plano transversal a z del modelo de la guía de onda 2.10.

Las funciones de los parametros "(z); �(z) tiene un salto en ellos L�h: por lo que las

condiciones en L�h son:

Para TEz :

[Bz]z2L�h = 0;

�1

�

@Bz@z

�z2L�h

= 0; (2.62)

Para TM z :

[Dz]z2L�h = 0;

�1

"

@Dz

@z

�z2L�h

= 0 (2.63)

2.2.3 Planteamiento del Problema

De lo anterior se concluye que se tiene el siguiente problema electromagnético, para nues-

tras ondas transversales TEz y TM z.

Para ondas TEz :

r2trBz +!2

c2Bz + �@z�

�1@zBz = ��rz � Jz (2.64)

con las condiciones de frontera

[Bz]z2L�h = 0;

�1

�

@Bz@z

�z2L�h

= 0; (2.65)

2.3 Construcción de la función de Green para la ecuación escalar de Helmholtz 56

Para ondas TM z :

r2trDz +!2

c2Dz + "@z"

�1@zDz = �i!

c2Jz + "@z("

�1�) (2.66)

con las condiciones de frontera

[Dz]z2L�h = 0;

�1

"

@Dz

@z

�z2L�h

= 0 (2.67)

Se puede introducir el número de onda k; de�nido como

k =!

vi

para el caso del vacío se tiene que la velocidad vi = c; esto lleva al número de onda en el

vacío al cuadrado k20 = �0"0!2 = !2

c2:

2.3 Construcción de la función de Green para la ecuaciónescalar de Helmholtz

En esta sección se dará la solución fundamental de la ecuación de onda armónica llamada

de Helmholtz, para el caso de una fuente puntual, para ello se denota la capa del núcleo

como:

�h = f(x; z) 2 R3 : �h � z � hg (2.68)

En el núcleo la permeabilidad y permitividad son funciones continuas dependientes de la

componente z 2 [�h; h] y mayores a cero, esto es:

� = �co(z) > 0; " = "co(z) > 0 (2.69)

En la cubierta óptica la permeabilidad y permitividad son constantes y diferentes de cero,

esto es:

2.3 Construcción de la función de Green para la ecuación escalar de Helmholtz 57

Para z 2 f(�1;�h) [ (h;+1)g

�cl > 0; "cl > 0

Por lo tanto se de�ne las siguientes funciones seccionalmente continuas:

�(z) =

��co(z); � h � z � h

�cl; z 2 (�1;�h) [ (h;+1) ; "(z) =

�"co(z); � h � z � h

"cl; z 2 (�1;�h) [ (h;+1)

La velocidad de la onda en los dos medios son:

c2(z) =1

"(z)�(z); c2cl =

1

"cl�cl(2.70)

Además las ondas viajan a través del núcleo por medio de la re�exión interna total, se

requiere que el núcleo sea más denso opticamente que la cubierta óptica, esto quiere decir

que el índice de refracción en el núcleo es mayor al índice de la cubierta óptica esto es:

nco(z) > ncl (2.71)

recordando de la de�nición

nco(z) =p"r(z)�r(z) > ncl =

p"rcl�rcl

1

c(z)>1

ccl

c(z) < ccl (2.72)

La velocidad en el núcleo es menor a la velocidad en la cubierta óptica esto es:

maxz2[�h;h]

c(z) < ccl (2.73)

Las funciones de Green es una solución de la ecuación siguiente:

r2tg +!2

c2(z)g + v(z)@zv(z)

�1@zg = ��(x)�(z � z0) (2.74)

2.4 Problema Espectral 58

Donde: x = (x; y) = (x1; x2) 2 R2 es un punto en el plano transversal.

v(z) es "(z) para las ondas TM z y �(z) para ondas TEz:

Las condiciones de frontera son:

[g]z=�h = 0;

�1

v(z)

@g

@z

�z=�h

= 0 (2.75)

Las condiciones anteriores signi�ca que la función de Green al igual que el

campo es contínuo en la interfaz entre el núcleo y la cubierta óptica.

Una única solución del problema 2.74 y 2.75 es seleccionada por medio del principio

de absorción límite.

2.4 Problema Espectral

A continuación se dan algunos conceptos del Análisis Funcional.

Espacio de Hilbert H:

Un espacio de Hilbert H es un espacio con un producto interno completo, es decir

un espacio en el cual un producto interno (producto escalar) (u; v) esta de�nido para todo

u; v 2 H; y en el cual toda secuencia de Cauchy enH converge a un punto enH en términos

de normas esto es:

La norma se de�ne como:

kuk =p(u; u): (2.76)

Por lo que la secuencia de Cauchy es una secuencia fung 2 H, es tal que para toda � > 0

existe un N(�) > 0 tal que

kun � umk < �; n;m > N(�) (2.77)


Un ejemplo de un espacio de Hilbert es L2(R); el espacio de funciones de valor complejo

integrable cuadráticas de Lebesgue, donde el producto interno es de�nido como:

(u; v) =

ZR3u(x)v(x)dx; x = (x; z) 2 R3 (2.78)

Operador Acotado:

Un operador lineal L : H! H , se dice que es Acotado, si existe una constante

C > 0 tal que

kLukH � C kukH ; u 2 H (2.79)

Si no cumple lo anterior es un operador no acotado.

Espectro Sea L un operador no acotado con dominio D(L). z 2 C (conjunto de

números complejos) se dice que es un punto de la resolvente del operador L si el operador

R(z) = (L�zI)�1 existe y es acotado

(L�zI)�1 � C <1 (2.80)

R(z) = (L�zI)�1 es llamado la resolvente de z. I es el operador identidad.

Nosotros consideramos L�zI : D(L)!H. La inversa existe sí

ker(L�zI) = f0g:

Nosotros denotamos por R(L) al conjunto de todos los puntos de la resolvente de L. El

espectro �(L) es el complemento deR(L):

�(L) = C �R(L)

El espectro �(L) es cerrado. Esto es, para toda secuencia convergente fxng 2 �(L), el

límite de x de fxng es un elemento de �(L).


Espectro discreto �p(L):

Sea � 2 �p(L), el punto espectral de L si existe ' 2 H tal que

L' = �':

Si � 2 �p(L) implica que (L��I)' = 0 tiene soluciones no triviales '; así que (L��I)�1

no existe.

Espectro continuo �c(L):

Sea � tal que (L��I)�1 exista pero es no acotado. Entonces � 2 �c(L), nosotros

tenemos ahora que (L��I)' = 0 tiene soluciones triviales ' = 0 pero que

(L��I)�1 � C

Esta clasi�cación tiene aplicaciones a operadores autoadjuntos.

Operadores auto-adjuntos:

Sea L : H! H un operador no acotado con dominio D(L); se dice que L es auto-

adjunto sí

(Lu; v) = (u;Lv); para u; v 2 D(L)

Teorema 1: Si L es un operador auto-adjunto entonces �(L) � R.

El operador diferencial sobre una media línea con coe�cientes discontinuos surge del

operador transversal para la propagación de onda en una guía de onda. Se consideró que

c = c(z) y v = v(z), esto que la velocidad de la onda electromagnética y la densidad

óptica de los parámetros materiales dependan de la coordenada vertical z: En este caso el

problema se reduce al problema espectral para un operador diferencial ordinario.

2.5 Ecuación de dispersión y funciones propias normalizadas 61

Considerando el problema espectral conectado con el problema 2.74 y2.75 es:

L!;v' = �v(z)d

dz

�v(z)�1

d'

dz

��k2(z)� k2cl

�' = �2'; z 2 (�1;1); (2.81)

Que satisface las condiciones de salto:

['(!; �; z)]z=�h = 0;�v�1(z)'0(!; �; z)

�z=�h = 0 (2.82)

Donde: k2(z) = !2

c2(z)es el número de onda en el núcleo.

k2cl =!2

c2cles el número de onda en la cubierta óptica.

�2 2 R es el parámetro espectral del problema.

El operador L!;v corresponde al problema 2.81 y considerándolo no acotado en el

espacio de Hilbert H, tiene la norma siguiente:

kukH =�Z 1

�1v�1(z) ju(z)j2 dz

�1=2(2.83)

tiene un espectro continuo [0;+1) y un espectro discreto (conjunto �nito de puntos) situ-

ado en el intervalo siguiente, consultar [Wilcox ]:

��!2

�1

c2min� 1

c2cl

�; 0

�(2.84)

2.5 Ecuación de dispersión y funciones propias normalizadas

Los puntos de espectro discreto son �2j 2��!2

�1

c2min� 1

c2cl

�; 0�tales que el problema

2.81 tiene solución 'j(!; z) 2 H. Esto implica que

limz!�1

'j(!; z) = 0: (2.85)


Vamos a construir soluciones cortas. Sea

� = i�; � > 0 (2.86)

entonces el problema 2.81 en el intervalo (�1;�h) tiene la siguiente solución:

�v(z) ddz

�v(z)�1

d'

dz

��k2(z)� k2cl

�' = ��2'

En la cubierta óptica se sabe que v(z) es constante denotada como v1 esto implica que

k(z) = Kcl; ver �g.?? por lo que

�v1d

dz

�v1�1d'

dz

��k2(z)� k2cl

�' = ��2'

d2'

dz2= �2'

su solución es:

'(!; �; z) = C�1 e�z + C�2 e

��z; z < �h

Donde: C�1 y C�2 son dos constantes cualesquiera, determinadas por las condiciones de

frontera, que en este caso se requiere que el campo sea una función decreciente exponen-

cialmente cuando tiende al menos in�nito, tal que:

limz!�1

'(!; �; z) = 0:

Por lo tanto, esto implica limz!�1

'(!; �; z) = limz!�1

C�1 e�z + C�2 e

��z = limz!�1

C�2 e1� = 0:

por lo tanto C�2 = 0: La C�1 se encuentra con la condición de salto ec.2.82 que requiere

que la función sea continua en z = �h esto es:

'(!; �;�h)� (!; �;�h) = 0

'(!; �;�h) = C�1 e��h = (!; �;�h)

'(!; �;�h) = C�1 = e�h (!; �;�h)


C�1 ='(!; �;�h) (!; �;�h) = e�h

por lo tanto la solución y su derivada en z 2 (�1;�h) es:

'(!; �; z) = e�(z+h); z < �h (2.87)

'0(!; �; z) = �e�(z+h)

Sea 1(!; �; z) y 2(!; �; z) dos soluciones linealmente independientes en la región del

núcleo z 2 (�h; h), que satisfacen la ecuación 2.81:

�v(z) ddz

�v(z)�1

d'

dz

��k2(z)� k2cl

�' = ��2'; z 2 (�h; h)

La solución general de esta ecuación en z 2 (�h; h) es:

(!; �; z) = C1(!; �) 1(!; �; z) + C2(!; �) 2(!; �; z) (2.88)

Las constantesC1(!; �) yC2(!; �) se escogen de tal manera que satisfagan las condiciones

de frontera en z = �h esto es:

['(!; �; z)]z=�h = 0;�v�1(z)'0(!; �; z)

�z=�h = 0

La condición de salto anterior se de�ne de la siguiente forma:

1) ['(!; i�; z)]z=�h = 0

'(!; i�;�h+)� '(!; i�;�h�) = 0

Donde:

'(!; i�;�h+) = lim�!0+

'(!; i�;�h+ �); � > 0

'(!; i�;�h�) = lim�!0+

'(!; i�;�h� �)


2) [v�1(z)'0(!; i�; z)]z=�h = 0

v�1(z)'0(!; i�;�h+)� v�1(z)'0(!; i�;�h�) = 0

Donde:

v�1(z)'0(!; i�;�h+) = lim�!0+

v�1(z)'0(!; i�;�h+ �); � > 0

v�1(z)'0(!; i�;�h�) = lim�!0+

v�1(z)'0(!; i�;�h� �)

de acuerdo a lo anterior y en la �gura ?? se tiene que en z = �h

1)

(!; �;�h) = '(!; �;�h)

2)

v�1(�h) 0(!; �;�h) = v�11 '0(!; �;�h)

0(!; �;�h) = v(�h)v1

'0(!; �;�h)

sustituyendo se tiene las funciones en 1) y 2)

(!; �;�h) = C1(!; �) 1(!; �;�h) + C2(!; �) 2(!; �;�h) = 1

0(!; �;�h) = C1(!; �) 01(!; �;�h) + C2(!; �)

02(!; �;�h) = �

v(�h)v1

Calculando las constantes de las ecuaciones anteriores se tiene:

C1(!; �) =

�� 1 2(!; �;�h)� v(�h)

v1 02(!; �;�h)

��W�hf 1; 2g

C2(!; �) =

�� 1(!; �;�h) 1

01(!; �;�h) � v(�h)v1

��W�hf 1; 2g

Donde:

W�hf 1; 2g =�� 1(!; �;�h) 2(!; �;�h) 01(!; �;�h) 02(!; �;�h)

��Es el Wronskiano de las soluciones 1(!; �; z) y 2(!; �; z) en el punto z = �h:


Hasta ahora hemos construido una solución del problema 2.81 en el intervalo de

(�1; h) el cual es exponencialmente decreciente cuando z ! �1. Vamos ha extender

esta solución en el intervalo (h;+1): Por lo que la solución del problema 2.81 tiene la

siguiente forma:

�v(z) ddz

�v(z)�1

d'

dz

��k2(z)� k2cl

�' = ��2'

En la cubierta óptica se sabe que v(z) es constante denotada como v1 esto implica que

k(z) = Kcl; ver �g.?? por lo que

�v1d

dz

�v1�1d'

dz

��k2(z)� k2cl

�' = ��2'

d2'

dz2= �2'

su solución es:

'(!; �; z) = C+1 e�(z�h) + C+2 e

��(z�h); z > h (2.89)

Donde: C+1 y C+2 son dos constantes determinadas por las condiciones de frontera 61 esto

es:

[ (!; �; z)]z=h = 0;�v�1(z) 0(!; �; z)

�z=h

= 0

Por lo tanto

'(!; �; h) = C+1 e�(h�h) + C+2 e

��(h�h) = (!; �; h)

v�11 '0(!; �; h) = v�11 (�C+1 e

�(h�h) � �C+2 e��(h�h)) = v�1(h) 0(!; �; h)

Por lo tanto

C+1 + C+2 = (!; �; h)

C+1 � C+2 =1

�

v�1(h)

v�11 0(!; �; h)


Calculando las constantes:

C1 =

�� (!; �; h) 11�v�1(h)

v�11 0(!; �; h) �1

��2

C2 =

�� 1 (!; �; h)

1 1�v�1(h)

v�11 0(!; �; h)

��2

Por lo tanto

C1 =1

2

� (!; �; h) +

1

�

v�1(h)

v�11 0(!; �; h)

�C2 =

1

2

� (!; �; h)� 1

�

v�1(h)

v�11 0(!; �; h)

�La solución 2.89 debe ser exponencialmente decreciente cuando z !1;ya que lim

z!1'(!; �; z) =

0; implica que C+1 = 0: Esto nos lleva a obtener la siguiente ecuación de dispersión para

números de onda �j = �j(!) :

(!; �; h) +1

�

v�1(h)

v�11 0(!; �; h) = 0 (2.90)

Sí �j(!) es un número de onda, entonces �2j(!) = ��2j(!) es un valor propio. Cabe

mencionar que dicha ecuación es una ecuación trascendental y tiene un número �nito de

soluciones positivas �j:

Por lo tanto si (!; �; z) satisface la ecuación de dispersión 2.90, implica que C+2 =

(!; �; h), y que C+1 = 0 y la solución en z 2 (h;�1) es:

'(!; �; z) = (!; �; h)e��(z�h); z > h (2.91)

Concluyendo la solución del problema espectral en todo el intervalo ver ?? es:

'j(!; �j; z) =

8<: (!; �j; h)e��j(z�h); z > h

(!; �j; z); jzj � he�j(z+h); z < �h

(2.92)


Su derivada queda expresada como:

'0j(!; �j; z) =

8><>:v1v(h)

0(!; �j; h)e��j(z�h); z > h; salto v(h)

v1

0(!; �j; z); jzj � h

�e�j(z+h); z < �h; salto v(�h)v1

Se tiene que (!; �j; z); jzj � h se obtiene al resolver el problema de Cauchy

siguiente:

�v(z) ddz

�v�1(z)

d

dz

��k2(z)� k2cl

� = ��2 ; z 2 (�h; h)

Con las condiciones iniciales siguientes:

(!; �;�h) = 1

0(!; �;�h) = �v(�h)v1

2.5.1 Funciones propias normalizadas

Los valores de números de onda N(!) dependen de la frecuencia angular !; y su valor in-

crementa si incrementa el valor de la frecuencia !: Será denotado por �2j(!) a los valores

propios del problema y como 'j(!; z); j = 1; :::; N(!) a las funciones propias normal-

izadas en el espacio de Hilbert Hv correspondientes a los �2j(!):

Notar que las raíces de la ecuación de dispersión 2.90 satisface el siguiente inter-

valo:

0 < �j < !

s1

c2min� 1

c2cl, cmin = min

z2[�h;h]c(z) (2.93)

Para cada raíz �j = �j(!) de la ecuación de dispersión 2.90 hay una frecuencia de corte

!(c)j tal que satisface lo siguiente:

lim!!!(c)j (j!j>!(c)j )

�j(!) = 0


La frecuencia de corte !(c)j son soluciones de la ecuación

0(!; 0; h) = 0 (2.94)

y la secuencia de !(c)j se va incrementando. Notar que el valor propio �2j(!) llega del

espectro continuo con la frecuencia !(c)j : Es facíl observar que

lim!!!(c)j (j!j>!(c)j )

'j(!; z) = 0

para cada punto z 2 R+:

Recordando que la función u 2 H tiene una norma de�nida como:

kukH =�Z 1

�1v�1(z) ju(z)j2 dz

�1=2

En este caso las funciones propias normalizadas serán:

'j(!; �j; z) ='j(!; �j; z) 'j(!; �j; z) H =

'j(!; �j; z)

Mj(!; �j; z)

CalculandoMj(!; �j; z) :

Mj(!; �j; z) =

�Z 1

�1v�1(z)

��'j(!; �j; z)��2 dz�1=2=

�Z �h

�1v�11

��e�j(z+h)��2 dz + Z h

�hv�1(z)

�� (!; �j; z)��2 dz+

Z 1

h

v�11�� (!; �j; h)e��j(z�h)��2 dz�1=2

=�v�11

R �h�1 e

2�j(z+h)dz +R h�h v

�1(z) 2(!; �j; z)dz

+v�11 2(!; �j; h)R1he�2�j(z�h)dz

�1=2=

�1

2v1�j

�e2�j(z+h)

��h�1

�+

Z h

�hv�1(z) 2(!; �j; z)dz

� 1

2v1�j 2(!; �j; h)

�e�2�j(z�h)

��1h

��1=2=

�1

2v1�j(1� 0) +

Z h

�hv�1(z) 2(!; �j; z)dz �

1

2v1�j 2(!; �j; h) (0� 1)

�1=2

2.6 Método para encontrar los valores propios �2j(!) 69

=

�Z h

�hv�1(z) 2(!; �j; z)dz +

1

2v1�j

� 2(!; �j; h) + 1

��1=2Por lo tanto las funciones propias normalizadas estan dadas por las formulas sigu-

ientes:

'j(!; �j; z) =1

Mj(!; �j; z)

8<: (!; �j; h)e��j(z�h); z > h

(!; �j; z); jzj � he�j(z+h); z < �h

(2.95)

Donde:

Mj(!; �j; z) =

�Z h

�hv�1(z) 2(!; �j; z)dz +

1

2v1�j

� 2(!; �j; h) + 1

��1=2(2.96)

2.6 Método para encontrar los valores propios �2j(!)

Uno de los métodos que se puede utilizar para encontrar los valores propios que satisfacen

la ecuación de dispersión (!; �; h) + 1�v�1(h)

v�11 0(!; �; h) = 0 es el método de Disparo, en

este caso, la condición de frontera para la función (!; �; z) y su derivada 0(!; �; z) en

z = h es satisfacer la ecuación de dispersión anterior. Por lo tanto uno de los requisitos del

método es conocer la función (!; �; z) y su derivada 0(!; �; z) en z = h, para ello se

debe resolver el problema de Cauchy siguiente:

2.6.1 Problema de Cauchy

Se tiene que (!; �j; z);en jzj � h se obtiene al resolver:

�v(z) ddz

�v�1(z)

d

dz

��k2(z)� k2cl

� = ��2 ; z 2 (�h; h) (2.97)

Con las condiciones iniciales siguientes:


Recordando que en z = �h se debe cumplir

(!; �;�h) = '(!; �;�h)

v�1(�h) 0(!; �;�h) = v�11 '0(!; �;�h)

0(!; �;�h) = v(�h)v1

'0(!; �;�h)

para z 2 (�1;�h); '(!; �; z) = e�(z+h); '(!; �;�h) = 1; '0(!; �;�h) = �

(!; �;�h) = 1 (2.98)

0(!; �;�h) = �v(�h)v1

(2.99)

Donde: k2(z) = !2

c2(z)es el número de onda en el núcleo de la guía de onda.

! = 2�f es la frecuencia angular (� = 3�108m=sf

).

k2cl =!2

c2cles el número de onda en la cubierta óptica.

v(z) puede ser �(z) para las ondas TEz o "(z) para las ondas THz. La velocidad

de la onda en los dos medios es:

c2(z) =1

"(z)�(z); c2cl =

1

"cl�cl; (2.100)

c(z) < ccl

La velocidad la luz en el núcleo es menor que la velocidad en la cubierta óptica esto se

expresa de la siguiente manera:

maxz2[�h;h]

c(z) < ccl (2.101)


Además, se de�ne las siguientes funciones seccionalmente continuas:

�(z) =

��co(z); � h � z � h�cl; (�1;�h) [ (h;+1) ; "(z) =

�"co(z); � h � z � h"cl; (�1;�h) [ (h;+1)

(2.102)

Además se satisface:

nco(z) > ncl (2.103)

recordando de la de�nición nco(z) =c0c(z)

= 3�108m=sc(z)

; ncl =c0ccl= 3�108m=s

ccl

nco(z) =c0c(z)

> ncl =c0ccl

1

c(z)>1

ccl

c(z) < ccl

Para resolver el problema de Cauchy se utilizo el método de Runge Kutta, para ello

se requiere reducir la ecuación en un sistema de ecuaciones de primer orden:

2.6.2 Reducción de orden

Se requiere reducir el operador de Sturm-Liouville:

L�++�r(z)� � (p(z)�0)0 � q(z)�+ �r(z)� = 0;

a0�(�h)� a1p(�h)�0(�h) = 0; b0�(h) + b1p(h)�0(h) = 0

Donde: p(z) > 0; r(z) > 0; y q(z) � 0mientras p0(z); q(z); y r(z) son funciones continuas

en z 2 [�h; h]; � es un parámetro de valor propio.

Uno puede relacionar el problema anterior a un problema de valor inicial para cualquier

� �ja, consideramos:

Lu+ �r(z)u = 0;


a0u(�h)� a1p(�h)u0(�h) = 0; cou(�h)� c1p(�h)u0(�h) = 1

donde: (a1co � a0c1) 6= 0 Para aproximar la solución de este problema inicial, nosotros

reemplazamos ésta por un sistema de primer orden equivalente, tal que

u0(z) =v(z)

p(z); u(�h) = a1

a1co � a0c1;

v0(z) = [q(z)� �r(z)]u(z); v(�h) = a0a1co � a0c1

;

Por lo tanto las soluciones son:

u(�; z) y v(�; z) = u0(�; z)p(z)

Para nuestro caso, se tiene:

�v(z) ddz

�v�1(z)

d

dz

��k2(z)� k2cl

� = ��2 ; z 2 (�h; h)

Dividiendo entre �v(z) la ecuación anterior se tiene lo siguiente:

d

dz

�v�1(z)

d

dz

�+ v�1(z)

�k2(z)� k2cl

� = v�1(z)�2 ; z 2 (�h; h)

d

dz

�v�1(z)

d

dz

�� v�1(z)

�k2cl � k2(z)

� � v�1(z)�2 = 0

d

dz

�p(z)

d

dz

�� q(z) + �2r(z) = 0 (2.104)

Donde: q(z) = v�1(z) (k2cl � k2(z)) ;

r(z) = �v�1(z);

p(z) = v�1(z);


Por lo tanto, la condición: a0 (�h)�a1p(�h) 0(�h) = 0; co (�h)�c1p(�h) 0(�h) =

1

sustituyendo de la Ec. (2.98) y la Ec. 2.99 se tiene:

a0 � a1�

v1= 0; a0 =

�

v1; a1 = 1

co � c1�

v1= 1; co = 1; c1 = 0

Por lo tanto se tiene un sistema de ecuaciones de primer orden que se puede resolver con

cualquier método numérico:

0(z) =v(z)

p(z); (�h) = a1

a1co � a0c1= 1; (2.105)

v0(z) =�q(z)� �2r(z)

� (z); v(�h) = p(�h) 0(�h) = a0

a1co � a0c1=�

v1; (2.106)

Por lo tanto, las soluciones son:

(�; z) y v(�; z) = 0(�; z)p(z)

0(�; z) =v(�; z)

p(z)

donde la Ecuación de dispersión es:

(!; �; h) +1

�

v�1(h)

v�11 0(!; �; h) = 0

0 < �j < !

s1

c2min� 1

c2cl, cmin = min

z2[�h;h]c(z)

Introduciendo el número de onda del vacío k0 = !c0= 2�

�en las ecuaciones anteriores

y las velocidades:

c2cl =1

"1�1=

1

"0�0"r1�r1=

c20"r1�r1

c2(z) =1

"(z)�(z)=

1

"0�0"r(z)�r(z)=

c20"r(z)�r(z)


Los números de onda en los medios quedan:

k2cl =!2

c2cl=!2

c20"r1�r1 = k20"r1�r1

k2(z) =!2

c2(z)=!2

c20"r(z)�r(z) = k20"r(z)�r(z)

En el intervalo se tiene:

c2min =c20

"r(z)�r(z)=

c20"rmax(z)�rmax(z)

Por lo tanto, el intervalo de los valores propios se encuentran mediante el siguiente inter-

valo:

0 < �j < !

s"rmax(z)�rmax(z)

c20� "r1�r1

c20

0 < �j <!

c0

p"rmax(z)�rmax(z)� "r1�r1

0 < �j < k0p"rmax(z)�rmax(z)� "r1�r1

la función q(z) :

q(z) = k20 ("r1�r1 � "r(z)�r(z)) =v(z)

Considerando la variación de la permitividad y permeabilidad gradual en el núcleo y

constante en la cubierta óptica, esto es:

�r(z) =

��r(z);�h � z � h

�r1; (�1;�h) [ (h;+1); "r(z) =

�"r(z);�h � z � h

"r1; (�1;�h) [ (h;+1)

�r(z) = �rmax + (�rmin � �rmax)��zh

�� ; "r(z) = "rmax + ("rmin � "rmax)��zh

��

2.7 Algoritmo para el cálculo de los modos guiados. 75

2.7 Algoritmo para el cálculo de los modos guiados.

En esta sección se describe un algoritmo o un diagrama de �ujo de los procedimientos uti-

lizados para la solución del problema, que permitirá implementarlo a un método numérico.

2.7.1 Reducción del orden de una ecuación diferencial

Normalmente los métodos numéricos que se aplican a una ecuación diferencial, hacen ref-

erencia a una ecuación de primer orden (re�riéndonos al orden, al número más alto de la

derivada de la ecuación diferencial), con sus respectivas condiciones iníciales. Por lo que

es muy conveniente reducir una ecuación diferencial de orden superior a una o más ecua-

ciones diferenciales de primer orden, formando así un sistema de ecuaciones de primer

orden, en las cuales se les pueda aplicar el método numérico a cada una de ellas.

Realizando la reducción al problema de Cauchy se tiene un par de ecuaciones difer-

enciales siguientes:

dv1

�x; e��dx

= f1

�x; e�� = v2

�x; e�� (2.107)

dv2

�x; e��dx

= f2

�x; e�� = k2

he�2 � n2co (x)i v1 �x; e�� (2.108)

con sus condiciones iniciales en el punto x0 = �h

v1

��h; e�� = exp��khqe�2 � n2cl� (2.109)

v2

��h; e�� = k

qe�2 � n2cl exp��khqe�2 � n2cl� (2.110)


A este sistema de ecuaciones, se le va aplicar el método numérico, consultar [39],

[40], [12], [23], [2].

2.7.2 Algoritmo para encontrar los valores propios

Una manera de encontrar los valores propios e� (denotándolos como �0), es encontrandoaquellos intervalos en los cuales el valor de C+1 cambia de signo ( de+ a�, ó de� a+), el

cual nos indica que ha pasado por cero, y por lo tanto satisface la ecuación de dispersión, a

estos intervalos corresponden a dos valores propios diferentes de �0. Esto se hace variando

�0 por medio de un incremento (denotado como incre) de valor muy pequeño, empezando

desde �0 = ncl hasta llegar a �0 = n0, recordando que su valor correspondiente esté dentro

del rango siguiente: ncl < �0 < n0:

En la �gura 2.12 se muestra en forma grá�ca, un posible comportamiento de los

valores que va tomando C+1 durante todo el intervalo de �0, que nos sirve para explicar lo

dicho anteriormente.

Como se muestra en la �gura 2.12, existe un cambio de signo del valor C+1 , indi-

cando que dentro del intervalo denotado como (INI, FIN) se encuentra el valor propio que

corresponde al modo guiado, por lo que todos los intervalos encontrados se van guardando.

Una vez encontrados todos los intervalos, en los cuales hubo cambios de signo de

C+1 . Se van encontrando en cada uno de ellos, el valor propio �0, tales que satisfacen la

ecuación de dispersión, esto es, que el valor C+1 se satisface la siguiente relación

C+1 � C0

Donde:


(2)

Total = 0 No hay valorespropios

j = 1; j Total ; j ++

Valores propiosB[j]

Fin

No

Si

≤

Figura 2.12. Representación grá�ca de C+1 :

C0 es el valor cero numéricamente.

Se guardan todos los valores propios correspondientes a los modos guiados, que de-

spués serán desplegados en pantalla (o almacenados en archivo).

En la �gura 2.13 se muestra un algoritmo (o diagrama a bloques), que describe los

procedimientos mencionados anteriormente, que servirá de guía para solucionar el prob-

lema (y además será de utilidad para implementarlo a un método numérico.)

I.- Para inicializar el problema, se necesita conocer los siguientes valores:

a) El radio del núcleo de la guía de onda h.

b) El parámetro que de�ne la forma del per�l.

c) El número de onda k.

d) El índice de refracción en la cubierta óptica ncl.

e) El índice de refracción máximo en x = 0, denotado como n0.

Todos ellos representan parámetros característicos de la guía de onda dieléctrica.

II Se de�ne e inicializa las variables a utilizar para el caso general.

Tope =0 , Es el contador del número de intervalos encontrados.


(2)


j = 1; j Total ; j ++

Valores propiosB[j]

Fin

No

Si

≤

Figura 2.13. Diagrama a bloques del procedimiento de solución.


(2)


j = 1; j Total ; j ++

Valores propiosB[j]

Fin

No

Si

≤

Figura 2.14. Diagrama de �ujo para la evaluacción de la ecuación de dispersión.

Total = 0 , Es el contador del número de valores propios.

Tempo , Almacena temporalmente el valor del signo de C+1 .

�0 = ncl + incre, Se inicializa el valor de �0.

Cambio, Guarda el valor del signo de C+1 (1 para (+) y 0 para (�)).

III A continuación se dan los pasos a seguir para encontrar dichos intervalos

1.- Debe primero evaluar u obtener el valor de C+1 para el primer valor inicial de �0.

2.- Se guarda el signo de C+1 por medio de una subrutina.

3.- Por medio de una iteración se incrementa el valor de �0, tal que no excede el

valor de n0, por medio del incremento (incre) como se ve en la �gura 2.12, se obtiene el

valor de C+1 , se compara el signo actual con el anterior, si hay cambio de signo se guarda

el intervalo, esto es, se guarda el valor anterior de �0 correspondiente al valor inicial del

intervalo y el valor actual de correspondiente al valor �nal del intervalo, por medio de


arreglos denotados como INI y FIN, (mostrados en la �gura 2.12). Si no hubo cambio de

signo se guarda el signo actual y se incrementa de nuevo a �0 y se repite la iteración.

A continuación se describe los pasos anteriores por medio de diagramas de �ujo.

1.- Para poder obtener el valor de C+1 , primero debemos resolver el problema de

Cauchy para un cierto valor inicial �0, planteado en el capítulo 4 (sección 4.6), una vez

aplicado la reducción de orden a la ecuación (que no es más que resolver el sistema de

ecuaciones de primer orden), para encontrar los valores de la función v (h; �0) que corre-

sponde a v1 (h; �0) y de su derivada v0 (h; �0) que corresponde a v2 (h; �0), en la frontera

del intervalo (x0 = h). Se sustituyen los valores necesarios para obtener C+1 , obtenida de

la ecuación de dispersión.

En el diagrama de �ujo de la �gura 2.14; emplea una subrutina para obtener C+1 .

La solución del problema de Cauchy, se realiza por medio de un método numérico,

para obtener la función v (x; �0) y su derivada v0 (x; �0) dentro del núcleo y evaluándolas

en el extremo del intervalo (�h; h) cuando x = h. A continuación se dan algunos pasos a

seguir para su solución.

a) Se requiere un valor inicial de �0, siempre y cuando su valor esté comprendido

dentro de la relación ncl < �0 < n0.

b) Establecer los valores necesarios que se requieren para el cálculo.

La coordenada x0 varía desde el inicio del intervalo hasta el �nal, x0 2 (�h; h),

aumentándola por medio de un incremento llamado tama~no de paso ph.

Sea además

xinicial = �h;


(2)


j = 1; j Total ; j ++

Valores propiosB[j]

Fin

No

Si

≤

Figura 2.15. Diagrama de �ujo para la solución del problema de Cauchy.


(2)


j = 1; j Total ; j ++

Valores propiosB[j]

Fin

No

Si

≤

Figura 2.16. Diagrama de �ujo para las condiciones iniciales.

xfinal = h;

V alorfinal = xfinal � (phinicial=2) ;

Donde:

phinicial Es el valor inicial del tamaño de paso.

V alorfinal Es el valor máximo que debe valer x0.

c) Se establece las condiciones iniciales del problema, re�riéndonos a las ecuaciones

2.109 y 2.110, una vez reducida la ecuación diferencial, vista en la sección anterior, esto es

v1 (�h; �0) = exp��kh

q�20 � n2cl

�

v2 (�h; �0) = kq�20 � n2cl exp

��kh

q�20 � n2cl

�Inicializando las siguientes variables:

x0 = xinicial Asigna el valor inicial del intervalo a x0:

ph = phinicial inicializa el valor del tamaño del paso.


(2)


j = 1; j Total ; j ++

Valores propiosB[j]

Fin

No

Si

≤

Figura 2.17. Diagrama de �ujo para encontrar el signo de C+1 :

d) Por medio de una iteración, se va calculando el valor de la función v (x; �0) y de

su derivada v0 (x; �0), (en este caso v1 (x; �0) y v2 (x; �0)) en el punto x0, incrementándolo

hasta llegar a su valor máximo.

En la �gura 2.15, se muestra un diagrama de �ujo de los pasos anteriores.

Se hace una subrutina para establecer las condiciones iniciales, y su diagrama de �ujo

se muestra en la �gura 2.16.

2.- Se guarda el signo que toma C+1 por medio de una subrutina llamada Signo( ),

�gura 2.17.

3.- En la �gura 2.18 se da el diagrama de �ujo general para esta parte III, con una

iteración, la cual va a estar almacenando los intervalos encontrados, en los arreglos INI y

FIN.

IV Para encontrar los valores propios para cada intervalo, se recurre al principio del

método de disparo, el cual es empleado para las condiciones en la frontera, el método de


disparo es llamado así por el parecido con el problema que presenta un o�cial de artillería

que intenta acertar a un blanco distante. La elevación correcta del cañón puede encontrarse

si se hacen dos disparos, uno de los cuales no llega al blanco y el otro lo rebasa. Esto

signi�ca que una elevación intermedia se obtendrá un disparo más próximo al blanco.

En las �guras 2.19, 2.20, 2.21 se presentan en forma grá�ca la analogía con el método

de disparo, que presenta nuestro problema, que para este caso se requiere que el valor de

C+1 en la frontera sea igual a cero (nuestro cero numéricamente es C0), análogo al nuestro

blanco de disparo, para ello se dispara para cada valor de �0 correspondientes a los dos

valores extremos de cada intervalo, y se veri�ca si se dio al blanco o no , si no se da al

blanco, se saca el valor medio del intervalo para obtener un disparo más cercano al blanco.

Para �nes explicativos, se consideran nada más tres posibles casos

a) Que el blanco esté justamente a la mitad del intervalo, como se muestra en la �gura

2.19, para ello solamente se necesitó de tres disparos (correspondientes a tres valores de

�0, como se ve en la �gura cada valor de �0 me de�ne una trayectoria del disparo (análogo

a la elevación del cañón).

b) Que el blanco esté más cercano al valor inicial del intervalo, por lo que se requiere

más disparos para su acercamiento (�gura 2.20).

c) Que el blanco esté más cercano al valor �nal del intervalo, de igual manera se

requieren más disparos (�gura 2.21).

Haciendo una analogía con este método, se tiene el siguiente procedimiento para

encontrar los valores de �0.

1.- Se establece las siguientes variables a utilizar:


(2)


j = 1; j Total ; j ++

Valores propiosB[j]

Fin

No

Si

≤

Figura 2.18. Diagrama de �ujo para la parte III.

(2)


j = 1; j Total ; j ++

Valores propiosB[j]

Fin

No

Si

≤

Figura 2.19. Primer caso.


(2)


j = 1; j Total ; j ++

Valores propiosB[j]

Fin

No

Si

≤

Figura 2.20. Segundo caso.

Inicio, Es la variable que guarda el valor inicial del intervalo.

Final, Es la variable que guarda el valor �nal del intervalo.

Medio, Es la variable que guarda el valor medio del intervalo.

Exac, Es la variable que indica con un 1, si hay valor propio y con un 0 si no hay.

Sa, Guarda el signo de C+1 correspondiente al valor de la variable Inicio.

Sb, Guarda el signo de C+1 correspondiente al valor de la variable Final.

Sc, Guarda el signo de C+1 correspondiente al valor de la variable Medio.

B[*], Es el arreglo que guarda los valores propios encontrados.

2.- Se hace un disparo con el valor inicial del intervalo (Inicio), se obtiene el valor de

C+1 , se guarda su signo en la variable Sa, se veri�ca si cumple con su condición de frontera

en el punto x0 = h, es decir si se cumple con la siguiente condición:

��C+1 �� C0

Si se cumple, se ha encontrado un valor propio correspondiente al valor de Inicio (se

guarda el valor en el arreglo B[]), y aquí se termina el procedimiento de la rutina.

Se hace lo mismo para los valores medio (Medio) y �nal (Final) del intervalo.


(2)


j = 1; j Total ; j ++

Valores propiosB[j]

Fin

No

Si

≤

Figura 2.21. Tercer caso.


(2)


j = 1; j Total ; j ++

Valores propiosB[j]

Fin

No

Si

≤

Figura 2.22. Diagrama de �ujo del procedimiento IV.

3.- Si no se cumple con dicha condición, se establece un nuevo intervalo más pe-

queño, si el signo del valor inicial es el mismo que el del valor medio, se establece como

nuevo valor inicial del intervalo al valor medio, de lo contrario se establece como valor �-

nal del intervalo al valor medio, Repitiéndose el procedimiento 2, hasta cumplir con dicha

condición.

En la �gura 2.22 se da un diagrama de �ujo de los procedimientos anteriores, uti-

lizando las subrutinas anteriores.

2.8 Ejemplos numéricos para un medio homogéneo y un medio no homogéneo 89

(2)


j = 1; j Total ; j ++

Valores propiosB[j]

Fin

No

Si

≤

Figura 2.23. Diagrama de �ujo para el desplegado de los valores propios �0.

V En el desplegado de resultados, se imprime en pantalla los valores propios �0,

que se encuentran guardados en el arreglo B[], en caso de no hallar ninguno, (la variable

Total = 0), se manda un mensaje. En la �gura 2.23 se muestra el diagrama de �ujo de este

procedimiento.

Con la aplicación del algoritmo anterior se puede obtener los valores propios

2.8 Ejemplos numéricos para un medio homogéneo y un mediono homogéneo

En esta sección se obtendra el comportamiento de las funciones propias para los modos

guiados del espectro discreto, considerando al medio homogéneo y no homogéneo.


2.8.1 Guía de onda dieléctrica Homogénea estrati�cada

Para el caso de una capa de núcleo homogenea, se encuentra las ecuaciones explícitas, de

la siguiente manera. Para ello se considera que los parámetros materiales �; " en la región

del núcleo constante [�h; h], esto es

�r =

��co;�h � z � h

�r1; (�1;�h) [ (h;+1); "r =

�"co;�h � z � h

"r1; (�1;�h) [ (h;+1)

tal que

cco =1

p"co�co

< ccl =1

p"r1�r1

esto implica que:

k2co = k20"co�co > k2cl = k20"r1�r1

En éste caso se puede obtener una solución análitica como sigue:

Para este caso v(z) = v0 = cte por lo tanto en [�h; h]

d2 (!; �j; z)

dz2=��(k2co � k2cl) + �2j

� (!; �j; z)

En el intervalo de

0 < �j <qk2co � k2cl;

0 < �2j < k2co � k2cl

0 < �j < k0p"co�co � "r1�r1

En este caso se tiene la solución:

r =q��(k2co � k2cl) + �2j

�r =

q��k2co � k2cl � �

2j

�= iq�

k2co � k2cl � �2j

�r = i j(�j)


Donde: j(�j) =q�


�La solución es

(!; �j; z) = Cc1 cos( j(�j)z) + Cc2 sin( j(�j)z)

Las constantes se calculan con las condiciones de salto siguientes:

� (!; �j; z)

�z=�h = 0;

�v�1 0(!; �j; z)

�z=�h = 0

recordando que (�1;�h); '(!; �j; z) = e�j(z+h), aplicando las condiciones anteri-

ores

Cc1 cos( j(�j)h)� Cc2 sin( j(�j)h) = 1

v�10 Cc1 j(�j) sin( j(�j)h) + v�10 Cc2 j(�j) cos( j(�j)h) = v�11 �j

Cc1 sin( j(�j)h) + Cc2 cos( j(�j)h) =v0�j

v1 j(�j)

Por lo tanto:

Cc1 =

�� 1 � sin( j(�j)h)v0�j

v1 j(�j)cos( j(�j)h)

��W (!; �; z)

= cos( j(�j)h) +v0�j

v1 j(�j)sin( j(�j)h)

Cc2 =

�� cos( j(�j)h) 1

sin( j(�j)h)v0�j

v1 j(�j)

��W (!; �; z)

=v0�j

v1 j(�j)cos( j(�j)h)� sin( j(�j)h)

W (!; �; z) =

�� cos( j(�j)h) � sin( j(�j)h)sin( j(�j)h) cos( j(�j)h)

�� = 1Sustituyendo

(!; �j; z) = cos( j(�j)z) cos( j(�j)h) +v0�j

v1 j(�j)cos( j(�j)z) sin( j(�j)h)

+v0�j

v1 j(�j)sin( j(�j)z) cos( j(�j)h)� sin( j(�j)z) sin( j(�j)h)


(!; �j; z) = cos( j(�j)(z + h)) +v0�j

v1 j(�j)sin( j(�j)(z + h))

Las funciones propias son:

'j(!; �j; z) =1

Mj(!; �j; z)

8<: (!; �j; h)e��j(z�h); z > h

cos( j(�j)(z + h)) +B sin( j(�j)(z + h)); jzj � he�j(z+h); z < �h

(2.111)

Donde: 0 < �j <pk2co � k2cl; 0 < �j < k0

p"co�co � "r1�r1

j(�j) =q�


�; B = m

�j j(�j)

; m = v0v1; k2co = k20"rco�rco; k

21 =

k20"r1�r1

La ecuación de dispersión es:

(!; �j; h) +1

�j

v1v(h)

0(!; �j; h) = 0

cos(2h j(�j)) +B sin(2h j(�j))

+v1�jv0

�� j(�j) sin(2h j(�j)) + j(�j)B cos(2h j(�j))

�= 0

cos(2h j(�j)) +B sin(2h j(�j))

� 1Bsin(2h j(�j)) + cos(2h j(�j)) = 0

�B tan(2h j(�j)) +1

Btan(2h j(�j)) = 2

tan(2h j(�j)) =2

1B�B

=2B

1�B2

h j(�j) =1

2tan�1

�wu

�(2.112)

Donde: w = 2B; u = 1�B2


Figura 2.24. Grá�ca de la Ec. de Dispersión del ejemplo1.

2.8.2 Ejemplos numéricos para una guía plana homogénea (Abrupta)

Ejemplo 1: Para ondas TM z (Dz; v = ") 0 < �j < 2p(2)(1)� (1)(1) = 2 .

h(�m) k0(rad=�m) �0(�m) "rmax "rmin �rmax �rmin "r1 �r10:1 2 3:14159 2 2 1 1 1 1

Modo �j Mj(!; �j; z)

1 0.20064208984375 0.740569374091502

La solución análitica se obtiene al grá�car la ecuación de dispersión tan(2h j(�j)) =

21B�B = 2B

1�B2 ; y encontrar los puntos de intersección ver la �gura 2.24, los puntos de

intersección o raíces son: � ! 0:200642461326977

Ejemplo 2: Para ondas TM z (Dz; v = ") 0 < �j < 2p(2)(1)� (1)(1) = 2 .

h(�m) k0(rad=�m) �0(�m) "rmax "rmin �rmax �rmin "r1 �r11 2 3:14159 2 2 1 1 1 1


Figura 2.25. Método grá�co del ejemplo 2.

Modos �j Mj

1 0.40107421875 1.045938100112212 1.59365844726563 2.58824771483692


21B�B =

2B1�B2 ; y encontrar los puntos de intersección ver �g.2.25. Los puntos de intersec-

ción o raíces son: � ! 0:40107469081895647; � ! 1:5936584435645815:

Ejemplo 3: Para ondas TM z (Dz; v = ") 0 < �j < 10p(2)(1)� (1)(1) = 10.

h(�m) k0(rad=�m) �0(�m) "rmax "rmin �rmax �rmin "r1 �r10:2 10 0:62831 2 2 1 1 1 1

Modos �j Mj

1 2.00537109375 1.464224273809862 7.96829101562487 2.99822419858322


Figura 2.26. Grá�ca de la ecuación de dispersión para el ejemplo3.


21B�B =

2B1�B2 ; y encontrar los puntos de intersección como se observa la �gura. Los puntos

de intersección o raíces son: � ! 2:005373454094783; � ! 7:9682919639353225: La

solución numérica en jzj � h se muestra en la �gura 2.26.

Ejemplo 4: Para las ondas TM z (Dz; v = ") 0 < �j < 10p(2)(1)� (1)(1) = 10 .

h(�m) k0(rad=�m) �0(�m) "rmax "rmin �rmax �rmin "r1 �r11 10 0:62831 2 2 1 1 1 1

Modos �j Mj

1 1.962529296875 1.530003441530742 4.92787109374994 2.521060343320143 6.7736083984374 3.042716601644874 8.05177734374987 3.562992556825955 8.94648803710923 4.27010966872496 9.54366088867172 5.652148262874627 9.88756835937483 10.1354059196495


Figura 2.27. Grá�ca de la ecuación de dispersión del ejemplo 4.


21B�B =

2B1�B2 ; y encontrar los puntos de intersección ver �g.2.27. Los puntos de intersec-

ción o raíces son: � ! 1:9625261489016201;

� ! 4:9278714574589415; � ! 6:773610282030695; � ! 8:05177816837081;

� ! 8:946487590547127; � ! 9:543661033223092; � ! 9:887568321385544

La solución numérica en jzj � h se muestran en las �guras 2.27, 2.29, 2.30,2.31.

2.8.3 Ejemplos numéricos para una guía plana no homegénea (gradual)

Considerando la variación de la forma siguiente:

�r(z) = �rmax + (�rmin � �rmax)��zh

�� ; "r(z) = "rmax + ("rmin � "rmax)��zh

��


Figura 2.28. Grá�ca de la función propia de los modos 1 y 2.




Figura 2.31. Grá�ca de la función propia del modo 7.


Ejemplo 1 Gradual: Para las ondas TM z (Dz; v = ") 0 < �j < 2p(2)(2)� (1)(1) =

3:464101, �0 = 3:14159�m: = 3: 141 6�m

h(�m) k0(rad=�m) � "rmax "rmin �rmax �rmin "r1 �r10:1 2 2 2 1 2 1 1 1


1 0.4183056640625 0.740569374091502

La función propia y su derivada se muestra en la �gura .

Ejemplo 2 Gradual: 0 < �j < 10p(2)(1)� (1)(1) = 10, �0 = 0:62831�m:


a) Para ondas TM z (Dz; v = ")


1 5.30357421874993 2.46803757710842

b) Para ondas TEz (Dz; v = �)


1 6.19905761718741 2.72548150182083

Ejemplo 3 Gradual: 0 < �j < 10p(2)(2)� (1)(1) = 100, �0 = 0:62831�m:


a) Para ondas TM z y TEz


1 1.95083984375 1.521849578018932 8.05066406249987 3.159595442407043 12.3262902832029 5.393743500938964 15.7364808273313 18.3592435446736

2.9 Conclusiones 100

2.9 Conclusiones

En este capítulo se obtuvo el algorítmo que se utiliza para encontrar la cantidad de modos

guiados, el cual presenta una buena aproximación y muy facil de utilizar, además una de

las ventajas que presenta este algoritmo, es que se puede modi�car el per�l del índice de

refracción o de la función de la permitividad eléctrica para hallar todos los valores propios

o modos guiados a traves de la guía de onda, por otro lado con dichos valores podemos

encontrar sus correspondientes funciones propias para poder hallar a traves de su expansión

de las mismas las componentes del campo electromagnético, como se verá en los siguientes

capítulos.

Capitulo 3Aproximación adiabática de la función deGreen en guías casi-estrati�cadas.

En el capítulo anterior se analizó el comportamiento de las ondas electromagnéti-

cas en estos medios, producidas por una fuente modulada en amplitud, en este capítulo se

estudiará la contribución asintótica de los espectros tanto discreto como contínuo del prob-

lema transversal de Sturm-Lioville proveniente de la ecuación de Helmholtz que describe

la propagación de ondas electromagnéticas y acústicas en un medio no homogéneo con

variación lenta en la dirección horizontal.

3.1 Ecuación de Helmholtz en un medio casi- estrati�cado

Recordando del capítulo 3, una guía de onda casi-estrati�cada dieléctrica presenta una

variación pequeña en la permitividad eléctrica relativa "r en la dirección horizontal en com-

paración de la dirección vertical, en este caso se considera la siguiente forma geométrica

de la guía de onda mostrada en la �gura 3.32.

Donde: h1; h2 son super�cies de frontera de las capas.

El número de onda en la capa central es:

k (z) =2�

�on(z) = k0

p"r(z)�r = k0

p"r(z) (3.113)

en la capa 1 y 2

k1 = k0p"1; k2 = k0

p"2 (3.114)

101

3 Aproximación adiabática de la función de Green en guías casi-estrati�cadas. 102

h1

h2

CAPA 11 1,Kρ

Z

X

2 2,KρCAPA 2

CAPA CENTRAL

( ), ( )K z zρ

GUÍA DE ONDA CASI-ESTRATIFICADA

1 21 2 inf ( , )inf ( )z h hk k k k z∈≤ ≤ =

Figura 3.32. Guía de onda casi-estrati�cada.

con la condición de que la capa central de la guía sea más densa opticamente que la

capa 1 y 2, mientras que la capa dos es más densa que la capa uno, en términos de índices

de refracción se tiene la siguiente condición:

n1 � n2 � infz2(h1;h2)

n(z) (3.115)

en téminos del número de onda se tiene que:

k1 � k2 � infz2(h1;h2)

k(z) (3.116)

Además infz2(h1;h2)

k(z); es la cota inferior que se de�ne como el mayor entre todos

los numeros de onda que acotan inferiormente el conjunto de valores de k(z) en la región

(h1; h2):

El parámetro característico del material dieléctrico en la región central se denota

como �(z), en este caso se trata de la permitividad eléctrica "(z); para un per�l parábolico


0 h2h1

maxε

minε1ε

2ε

Densidad óptica

Z

( )zε

Figura 3.33. Comportamiento gradual de la permitividad eléctrica.

se puede expresar de la siguiente manera:

�(z) = "(z) = "max �(z � (h1+h2)

2)2

2p1; (3.117)

p1 =�(h2 � (h1+h2)

2)2

2("min � "max)(3.118)

Las densidades en las capas 1 y 2 son �1 = "1 y �2 = "2; En forma grá�ca se muestra

en la �gura 3.33.

La ecuación de Helmholtz en tres dimensiones es

Ag�(y; z) =

��y + L(�y; z;

@

@z)

�g�(y; z) = ��(y)�(z � z0); (3.119)

Donde (y; z) = (y1; y2; z) 2 R3;�y =@2

@y21+ @2

@y22es el Laplaciano, L

L(y; z; ddz)v(z) = �(y; z)

@

@z��1(y; z)

dv(z)

dz+ k2(y; z)v(z); z 2 R (3.120)

Es el operador transversal de Sturm-Lioville depende del parámetro y 2 R2; � >

0 es un parámetro pequeño, �(y)�(z � z0) es la función delta. Nosotros consideramos que

k y � son funciones de valor real que satisfacen las condiciones:


inf(y;z)2R3

�(y; z) > 0; inf(y;z)2R3

c(y; z) > 0; (3.121)

�(y; z) = �1; c(y; z) = c1 (3.122)

Si z < h1;

�(y; z) = �2; c(y; z) = c2 (3.123)

Si z > h2; donde h1 < h2;

La ecuación 3.119 esta basada en la teoría de propagación de ondas electromagnéticas

en las guías de onda dieléctricas con pequeñas variaciones en sus fronteras, consultar las

referencias [Chew, Marcuwitz, D. Marcuse]

Denotemos a las capas de la guía como

�� = ��1 [ ��0 [ ��2

Donde:

��1 = f(y; z) 2 R3 : z < h1(�y)g;

��2 = f(y; z) 2 R3 : z > h2(�y)g

��0 = f(y; z) 2 R3 : h1(�y) � z � h2(�y)g;

Donde: hj son funciones continuas acotadas de las fronteras de la guía de onda en el espacio

bidimensional R2 y

infy2R2

(h2(y)� h1(y)) > 0:


Sea la permeabilidad magnética � constante sobre todo el espacio R3; y la permitivi-

dad eléctrica " de�nida como

" = " (�y; z) =

8<: "1; (y; z) 2 ��1"0(z); (y; z) 2 ��0"1; (y; z) 2 ��2:

Por lo que el problema de la propagación de las ondas armónicas en frecuencia TE ! > 0

en �� es reducida a la ecuación 3.119 con � = � = cte:; y

k(�y; z) =

8<:!p�"1; z < h1(�y);

!p�"0(z); h1(�y) � z � h2(�y);!p�"1; z > h2(�y):

Notar también que la ecuación 3.119 también esta basada en la ecuación para las

ondas acústicas en el oceano (consultar Brekhovskikh, ) después de un cambio de variables

x = �y la ecuación 3.119 es transformada en

��2�x + L(x; z;

@

@z)

�g�(x; z) = ��2�(x)�(z � z0); (x; z) 2 R3 (3.124)

y la solución asintótica de la ecuación anterior 3.124 cuando � ! 0 es llamada la

aproximación adiábatica. La gran parte de los problemas adiábaticos estan considerados

en Belov, Dobrokhotov S. Yu (referencia), donde el método de Maslov es bien conocido

(consultar Maslov) ha sido extendido sobre los símbolos del operador.

En esta sección nos concentraremos en el estudio de la contribución del espectro

contínuo del operador transversal L(x; z; @@z) en la asintota adiábatica de la función de

Green.

3.2 Función de Green para el medio estrati�cado 106

3.2 Función de Green para el medio estrati�cado

Si la densidad � = �(z) y el número de onda k(z) depende solamente de la coordenada

vertical z. Nosotros ´consideramos que las siguientes a�rmaciones para la densidad � y el

número de onda k se sostienen

�;d�

dz2 L1(R); k 2 L1(R); inf

z2R�(z) > 0; inf

z2Rc(z) > 0;

�(z) = �2; k(z) = k2 para z > h2;

�(z) = �1; k(z) = k1 para z < h1;

para h1 < h2

La función de Green es una distribuación que satisface la ecuación��x + L(z;

@

@z

�G(x; z) = ��(x)�(z � z0) (3.125)

Donde:

L(z;@

@z)u(x; z) =

��(z)

@

@z��1(z)

@

@z+ k2(z)

�u(x; z) (3.126)

Satisfaciendo el principio de absorción límite, esto signi�ca en nuestro caso que

G(x; z) = lim�!0

G�(x; z) (3.127)

Donde G�(x; z) es una solución única de la ecuación��2x + L(z;

@

@z) + i�

�G� = ��(x)�(z � z0); � > 0 (3.128)

tal que

lim�!0

G�(x; z) = 0

3.3 Funciones propias generalizadas y la ecuación de dispersión 107

Para la construcción de la función de Green usaremos las funciones propias y las

funciones propias generalizadas del problema espectral de Sturm-Liouville siguiente

L(z;d

dz)�(z) = �(z)

d

dz(��1(z)

d�(z)

dz) + k2(z)�(z) = �2�(z); z 2 (�1;1) (3.129)

Donde �2 2 R es el parametro espectral del problema. El operador L(z; ddz) es un

operador autoadjunto en el espacio de Hilbert H con el producto escalar siguiente

(u; v) =

�Z 1

�1��1(z)u(z)v(z)dz

�1=2(3.130)

Sea de�nido

k1 � k2 < kinf = infz2(h1;h2)

k(z) (3.131)

Para encontrar la expresión del campo se requiere de su descomposición de su es-

pectro tanto discreto como continuo con respecto a las funciones propias y las funciones

propias generalizadas del operador Sturm-Lioville L(z; ddz): Es bien conocido que el oper-

ador L(z; ddz) tiene dos umbrales del espectro continuo: (�1; k22] y (�1; k21], y un número

�nito de puntos del espectro discreto que pertencen al intervalo (k22; k2inf):

3.3 Funciones propias generalizadas y la ecuación dedispersión

Notar que �2 2 (k22; k2inf) es un punto del espectro discreto del operador L(z; ddz ) si la

ecuación (3.129) tiene solución ' 2 H. La ecuación (3.129) en el intervalo (�1; h1) tiene

una solución con un decrecimiento exponencial

ep�2�k21(z�h1); z < h1; k

21 � k22 < �2 < k2inf (3.132)


Sea �(z; �) una solución real del problema de Cauchy siguiente��(z)

d

dz

��1(z)

d (z)

dz

�+ k2(z)

��(z; �) = �2�(z; �) (3.133)

�(h1; �) = 1; �0z(h1; �) =

q�2 � k21

en el intervalo (h1; h2): Nosotros continuamos esta solución sobre el intervalo (h2;+1);

la cual tiene la siguiente fórmula

C+1 (�)ep�2�k22(z�h2) + C+2 (�)e

�p�2�k22(z�h2); z > h2; �

2 > k22 (3.134)

Donde C+1 (�); C+2 (�) son halladas de la condición de continuidad de la solución

(3.134) y esta se calcula en el punto h2: Por lo que,

C+1 (�) =1

2(�(h2; �) +

1p�2 � k22

�0z(h2; �))

C+2 (�) =1

2(�(h2; �)�

1p�2 � k22

�0z(h2; �)):

La condición u 2 H implica que C+1 (�) = 0: Por lo que nosotros obtener la ecuación

de dispersión con respecto al número de onda �j :q�2 � k22�(h2; �) + �0z(h2; �) = 0: (3.135)

Es conocido por la referencia [65], que la ecuación (3.135) tiene una cantidad �nita de

soluciones �j tales que �2j 2 (k22; k2inf) : Por lo que �2j son los valores propios del operador

L(z; ddz):

Nosotros denotamos por 'j; j = 1; :::; N a las funciones propias normalizadas en

H correspondientes a los valores propios �2j . Es bien conocido que los valores propios


�2j son simples y las funciones propias 'j son ortogonales en H: Además, 'j pueden ser

escogidas como funciones de valor real.

Notar que las funciones propias normadas estan dadas por las fórmulas:

'j(y; z) =1

Mj

8><>:�(h2; �j)e

�p�2j�k22(z�h2); z > h2;

�(z; �j); h1 � z � h2;

ep�2j�k21(z�h1); z < h1;

(3.136)

Donde

Mj = (

Z h2

h1

��1(z) j�(�j; z)j2 dz

+1

2�2(�2j � k22)

j�(h2; �j)j2

+1

2�1��2j � k21

�)1=2;�2j 2

�k22; k

2inf

�:

3.3.1 Funciones propias generalizadas normadas

Sea

�2(z; �) = exp

�iqk21 � �2(h1 � z)

�; z < h1; �

2 < k22:

Nosotros continuamos la función �2 sonbre el intervalo (h1; h2) aplicando la continuidad de

soluciones de la ecuación (3.129) y este se calcula en el punto z = h1. Por lo que �2(z; �)

es una solución del problema de Cauchy sobre el intervalo (h1; h2) tal que �2(h1; �) =

1; (�2)0z (h1; �) = i

pk21 � �2: Entonces nosotros extenderemos la �2(z; �) sobre el inter-


valo (h2;1) como

�2(h2; �) cosqk22 � �2(z � h2)

+1p

k22 � �2�02z(h2; �) sin

qk22 � �2(z � h2);

z 2 (h2;1); �2 < k22:

Nosotros �jamos

'2(z; �) =

r2�2�

pk22 � �2

( (k22 � �2) j�(h2; �)j2+ j�0z(h2; �)j

2 )1=2�

�

8>>>>><>>>>>:exp i

�pk21 � �2(h1 � z)

�; z < h1;

�2(z; �); h1 � z � h2

�2(h2; �) cos�p

k22 � �2(z � h2)�

+ 1pk22��2

�02z(h1; �) sin�p

k22 � �2(z � h2)�; z > h2

Donde � < k22: Esta es una familia ortonormal de funciones propias correspondientes al

parámetro espectral �2 2 (�1; k22):

La segunda familia '1(z; �) de funciones propias generalizadas correspondientes al

parámetro espectral �2 < k21 tienen la siguiente forma

'1(z; �) =

r2�1�

pk21 � �2�

(k21 � �2) j�1(h2; �)j2+ j�01z(h2; �)j

2�1=2�

�

8>>>>><>>>>>:exp

�ip�2 � k22(z � h2)

�; z > h2;

�1(z; �); h1 � z � h2

�1(h1; �) cos�p

�2 � k21(h1 � z)�+

1p�2�k21

�01z(h1; �) sin�p

�2 � k21(h1 � z)�; z < h1:

Donde �2 < k21; y �1(z; �) es la solución del problema de Cauchy para la ecuación (??)

sobre el intervalo (h1; h2) tal que �1(h2; �) = 1; �01z(h2; �) = ip�2 � k22:


Theorem 1 Let nf'(z)gNj=1 ; f'1(z; �)g�2�1 ; f'2(z; �)g�2�2

obe a system of normed eigenfunctions and generalized eigenfunctions of the operator L;

where

�j = (+i1; i0] [ [0; kj);

Then any function f 2 H has a decomposition

f(z) =NXj=1

fj'j(z) +

Z�1

f01(�)'1(z; �)d� (3.137)

+

Z�2

f02(�)'2(z; �)d�;

where the integrals in (3.137) is convergent inH; coef�cients in decomposition (3.137) are

given by the formulas

fj = (f; 'j)H =

Z 1

�1��1(z)f(z)'j(z)dz; j = 1; :::; N;

f01(�) =

Z 1

�1��1(z)f(z)�'1(z; �)dz; � 2 (�1; k21);

f02(�) =

Z 1

�1��1(z)f(z)�'2(z; �)dz; � 2 (�1; k22):

Moreover, the Parseval equality holds:

kfk2H =NXj=1

jfjj2 +Z�1

jf01(�)j2 d�+Z�2

jf02(�)j2 d�:

Se denota por P (d) : H ! H el proyector ortogonal sobre un subespacio generado

por el sistema de funciones propias�'jNj=1del operador L que es

P (d)u(z) =NXj=1

(u; 'j)H'j(z);

3.4 Función de Green de la ecuación de Helmholtz para un medio estrati�cado 112

Nosotros denotamos por P (c)j : H ! H; j = 1; 2 el proyector sobre el subespacio

generado por las funciones propias generalizadas 'k(z; �); que es

P(c)j u(z) =

Z�j

(u(z); '1(z; �))H'1(z; �)d�;

Los proyectores P (d); P (c)1 ; P(c)2 son mutuamente ortogonales, y

I = P (d) � P (c)1 � P(c)2 :

Nosotros denotamos por P (c) = P(c)1 � P

(c)2 :

3.4 Función de Green de la ecuación de Helmholtz para unmedio estrati�cado

Aplicando la transformada de Fourier con respecto a x a la ecuación (??) y la descom-

posición en su espectro discreto y continuo del operador L(z; ddz) nosotros obtenemos la

siguiente representación para la función de Green del operador �x + L(z; @@z)

G(jxj ; z) =NXj=1

mj(jxj; z) + b1(jxj ; z) + b2(jxj ; z);

Donde

mj(jxj; z) =i

4�(z0)'j(z0)'j(z)H

(1)0 (�jjxj); j = 1; :::; N (3.138)

son llamdos modos propagados, y

bj(jxj; z) =i

4�(z0)

Z 1

0

H(1)0 (�j(�)jxj) j(z; �j(�))� j(z0; �j(�))d�; (3.139)

j = 1; 2


son llamadas ondas laterales (consultar por ejemplo [8], [9], [10]), donde H(1)0 (r) es la

función de Hankel, �j(�) =qk2j � �2, y el umbral de �j(�) es escogido tal que la raíz es

positiva para � < kj:

Notar que la función de Green para la ecuación�"2�x + L(z;

@

@z)

�g"(x; z) = �"2�(x)�(z � z0)

tiene la forma

g"(x; z) = G(jxj"; z):

Aplicando las asintóticas de la función de Hankel

H(1)0 (r) s

r2

�rei(r�

�4)(1 +O (1=r)); r !1 (3.140)

nosotros obtenemos el término principal de los modos asintóticos para "! 0 como

m(jxj"; z) = (3.141)

NXj=1

"1=2 exp (i�=4 + i�jjxj")

'j(z0)'j(z)

�(z0)(8��jjxj)1=2(1 +O("));

bj(jxj"; z) =

2�j�

exp (i�=4)"1=2

�(z0)(8�)1=2(3.142)

�1Z0

�2��j(z0; �j(�)))�j(z; �j(�)) exp�i�j(�)jxj

"

�d�

(�j(�)jxj)1=2(�2��j(hj; �j(�))��2+ ��0jz(hj; �j(�))��2 )

�(1 +O(")); z 2 (h1; h2):

Nosotros podemos aplicar el método de la fase estacionaria MSP a la integral en (3.142).

Esta integral tiene un punto estacionario no degenerativo � = 0. Ademas, si la condición

�01z(hj; kj)6= 0 se mantiene, la amplitud de la integral tiene el orden O(�2) en el punto


estacionario � = 0: Entonces, aplicando la fórmula de fase estacionaria ([21], p. 102-103)

nosotros obtenemos

bj(jxj"; z) = "2

ei3�4 kj�j��j(z0; kj)�jj(z; kj)e

ikjjxj"

2��(z0)jxj2��j�0 z(hj; kj)��2 (1 +O(")); "! 0: (3.143)

Fijemos a � =p�2 � k22 en la ecuación de dispersión (3.135): Entonces nosotros obten-

emos la ecuación

��(h2; �2(�))+�0z(h2; �2(�)) = 0: (3.144)

Esta ecuación muestra que si un valor propio �2 del problema espectral tiende al umbral del

espectro continuo k2; entonces �0z(h2; �2(�))! 0: Por lo que en este caso las asintóticas

(3.143) no son uniformes.

Para la construcción de las asintóticas uniformes de la integral en (3.142) nosotros

necesitamos la siguiente función especial

J(�; �) =

Z 1

0

�2e�i��2d�

�2 + �2; � > 0; � 2 R:

Aplicando la fórmula (??) nosotros obtenemos las asintóticas uniformes de b2( jxj" ; z)

b2(jxj"; z) =

�2 exp (i�=4)"1=2��2(z0; k2))�2(z; k2)) exp

�ik2jxj

"

��(k2jxj)1=2�(z0)(2�)1=2

(3.145)

�J jxj2k2"

;

��(�2)0 z(h2; k2)��j�2(h2; k2)j

!(1 +O("));

aplicable en la situación sí (�2)0z (h2; k2) es cerrado a cero.

3.5 Asintóticas de la función de Green para el operador "2�x + L(x; z; @@z) 115

En el caso (�2)0z(hj; kj) = 0 nosotros obtenemos desde (3.145)

b2(jxj"; z) =

i�2"��2(z0; k2)�2(z; k2)

�(z0)pjxj j�2(h2; k2)j

2eik2

jxj" (1 +O(")): (3.146)

Remark 1 If k1 = k2 the contribution of lateral waves uniform with respect to eigenvalues

located near the edge k1 = k2 of continuous spectrum is given by the formula

gc(jxj"; z) = b1(

jxj"; z) + b2(

jxj"; z)

=2Xj=1

�j exp (i�=4)"1=2��2(z0; kj))�2(z; kj)) exp

�ikj jxj"

��(kjjxj)1=2�(z0)(2�)1=2

�J

0@ jxj2kj"

;

��j�0 z(h2; kj)��j(h2; kj)��1A (1 +O(")):

3.5 Asintóticas de la función de Green para el operador"2�x + L(x; z;

@@z)

En este caso nosotros consideramos la ssintóticas de lña función de Green para la ecuación

con el parámetro " > 0

(A"g") (x; z) =

�"2�x + L(x; z;

@

@z)

�g"(x; z) = �"2�(x)�(z � z0); (3.147)

Donde L(x; z; @@z) es un operador transversal Sturm-Lioville's dependiendo del parámetro

x 2 R2: Esto es

L(x; z;@

@z)u(z) = �(x; z)

@

@z��1(x; z)

@u(z)

@z+ k2(x; z)u(z); z 2 R:


Nosotros suponemos que � y k son funciones de valor real que satisfacen las condi-

cones de continuidad en las fronteras y de los parámetros materiales vistos en la introduc-

ción, en la siguiente sección nosotros buscamos las asintóticas de la solución de la ecuación

(3.147) satisfaciendo el principio de absorción limite.

3.5.1 Decomposición del problema

Nosotros denotamos por P (d)x ; P(c)x los proyectores espectrales del operador L(x; z; @

@z)

sobre los espectros discretos y continuos. Notar que para cada x 2 R2 el proyector P (d)x es

�nito y dimensional.

Tomando en cuenta que los proyectores P (d)x ; P(c)x conmutan con L(x; z; @

@z) nosotros

obtenemos

�"2�x + L(x)

�u =

�P (d)x + P (c)x

��"2�x + L(x; z;

@

@z)

��P (d)x + P (c)x

�u

= P (d)x

�"2�x + L(x; z;

@

@z)

�P (d)x u

+P (c)x

�"2�x + L(x; z;

@

@z)

�P (c)x

+"2�P (d)x ;�x

�P (c)x u+ "2

�P (c)x ;�x

�P (d)x u

Esto dentro de los términos de ordenO("2) nosotros tenemos la descomposición de ecuación

�"2�x + L(x; z;

@

@z)

�u = f

en dos ecuaciones independientes

P (c)x

�"2�x + L(x; z;

@

@z)

�P (c)x u(x; z) = P (c)x f(x; z); (3.148)


P (d)x

�"2�x + L(x; z;

@

@z)

�P (d)x u(x; z) = P (d)x f(x; z); (3.149)

y esta descomposición es uniformemente sobre los conjuntos compactos K � R2x:

Sea G(y; jxj"; z) la función Green del problema estrati�cado�"2�x + L(y; z;

@

@z)

�G(y;

jxj"; z) = �"2�(x)�(z � z0)

dependiendo del parámetro y 2 R2: Entonces siguiendo al capítulo ?? nosotros obtenemos

G(y;jxj"; z) =

NXj=1

mj(y;jxj"; z) + b1(y;

jxj"; z) + b2(y;

jxj"; z);

Donde

mj(y;jxj"; z) =

i

4�(y; z0)'j(y; z0)'j(y; z)H

(1)0 (�j(y)

jxj"); j = 1; :::; N; (3.150)

bj(y;jxj"; z) = (3.151)

i

4�(y; z0)

Z 1

0

H(1)0 (�j(�)

jxj") j(y; z; �j(�))

� j(y; z; �j(�))d�; j = 1; 2:

Donde �j(y) son valores propios, 'j(y; z); j = 1; ::; N son funciones propias normalizadas

en el espacio de HilbertHy, j(y; z; �); j = 1; 2 son familias normalizadas con respecto al

producto escalar

(u; v)Hy =

ZR��1(y; z)u(z)�v(z)dz:

funciones propias generalizadas del problema transversal

L(y; z;@

@z)' = �2' (3.152)


de�niendo las fórmulas

2(y; z; �) =

r2�2�

pk22 � �2

( (k22 � �2) j�2(y; h2; �)j2+ j�02z(y; h2; �)j

2 )1=2�

�

8>>>>><>>>>>:exp i

�pk21 � �2(h1 � z)

�; z < h1;

�2(y; z; �); h1 � z � h2

�2(y; h2; �) cos�p

k22 � �2(z � h2)�

+ 1pk22��2

�02z(y; h1; �) sin�p

k22 � �2(z � h2)�; z > h2

(3.153)

Para � < k22; donde �2(y; z; �) es una solución de la ecuación (3.152) sobre (h1; h2) satis-

faciendo las condiciones de Cauchy

�2(y; h1; �) = 1; (�2)0z (y; h1; �) = i

qk21 � �2;

y

1(y; z; �) =

r2�1�

pk21 � �2�

(k21 � �2) j�1(y; h2; �)j2+ j�01z(y; h2; �)j

2�1=2�

�

8>>>>><>>>>>:exp

�ip�2 � k22(z � h2)

�; z > h2;

�1(y; z; �); h1 � z � h2

�1(y; h1; �) cos�p

�2 � k21(h1 � z)�+

1p�2�k21

�01z(y; h1; �) sin�p

�2 � k21(h1 � z)�; z < h1:

(3.154)

Donde �2 < k21; y �1(y; z; �) es una solución de la ecuación 3.152) en (h1; h2) satisfa-

ciendo las condiciones de Cauchy

�1(y; h2; �) = 1; �01z(y; h2; �) = i

q�2 � k22:

Para cada punto y 2 R2 existe un conjunto �nito de número de ondas del operador

transversal

k2 < �1(y) < ::: < �N(y) < kmin(y); (3.155)

Donde kmin(y) = infy2[h1;h2] k(y; z); N = N(y) depende de y:


Nosotros �jamos

j =�y 2 R2 : �j(y) > k2

:

Los conjuntos @j son llamados umbrales, debido a que si y ! @j el número de onda

�j(y) es absorbido por el espectro continuo de los operadores transversales. Este implica

que

limy!@j

'j(y; z) = 0

para cada z 2 R. Por lo que el modo del número j es desaparecido fuera del dominio j:

Ademas, si este continua de la ecuación de dispersión (3.135)

limy!@j

(�2)0z(y; h2; k2) = 0:

3.5.2 Contribución del espectro continuo del operador transversal a lasasintóticas de la función Green

Nosotros consideramos la ecuación

�"2�x + L(x; z;

@

@z)

�P (c)x gc"(x; z) = �"2�(x)P (c)x �(z � z0) = �"2�(x)P (c)0 �(z � z0):

(3.156)

Sustituyendo en (3.156)

gc"(x; z) = P (c)x G(x;jxj"; z) = G(c)" (x;

jxj"; z);


nosotros obtenemos que

�"2�x + L(x; z;

@

@z)

�G(c)" (x;

jxj"; z)

=

�"2�xG

(c)(y;jxj"; z)

�y=x

+ L(x; z;@

@z)G(c)(x;

jxj"; z)

= �"2�(x)P (c)x �(z � z0) + "2��yG

(c)(y;jxj"; z)

�y=x

Notar que

�yG(c)(y;

jxj"; z)

=2Xj=1

i

4

Z 1

0

H(1)0 (�j(�)

jxj")�y

�'j(y; z; �j(�))�'j(y; z; �j(�))

�(y; z0)

�d�; j = 1; 2:

Los argumentos aplicados bajo los cálculos de los asintóticos de bj( jxj" ; z) en el capítulo ??

demuestra que

�yG(c)(y;

jxj"; z) = O("2);

uniformemente para y 2 K, donde K es un conjunto compacto, tal que K \ @j = ;; y

�yG(c)(y;

jxj"; z) = O(");

��"2�x + L(x; y;

@

@z)

�G(c)(y;

jxj"; z)

�y=x

= �"2�(x)P (c)0 �(z � z0) +O("4); (3.157)

y uniformemente sobre un conjunto compacto K tal que K \ @j 6= ;��"2�x + L(x; y;

@

@z)

�G(c)(y;

jxj"; z)

�y=x

= �"2�(x)P (c)0 �(z � z0) +O("3): (3.158)


3.5.3 Contribución del espectro discreto del operador transversal

Aquí nosotros consideramos la contribución en las asintóticas de la función de Green

G"(x; z) del espectro discreto del operador transversal L(x); nosotros consideramos la

ecuación��"2�x + L(x;

@

@z)

�P (d)x G(d)" (x; z; z0) = �"2�(x)P

(d)0 �(z � z0): (3.159)

Se debería de notar que al tratar de buscar las asintóticas de G(d)" (x; z; z0) como

G(d)" (x; z; z0) = g(d)(x;jxj"; z)

son fallidas, debido a la fase exp �j(y)"jxj de los modos dependiendo del parámetro y y cada

diferenciación con respecto al parámetro y da una contribución en las asintóticas del orden

1=": Por lo que

"2��yg

(d)(y;jxj"; z)

�y=x

= O("1=2):

Esto es el orden de "2h�yg

(d)(y; jxj"; z)iy=x

es igual al orden g(d)(x; jxj"; z):

Nosotros buscaremos la solución asintótica de la ecuación (3.159) por el método

WKB, consultar por ejemplo [36], [6].

Primero, nosotros consideramos la ecuación homogénea

P (d)x

��"2�x + L(x; z;

@

@z)

�P (d)x u"(x; z) = 0: (3.160)

El término principal de la solución asintótia formal de la ecuación (3.160) nosotros

buscaremos la siguiente representación asintótica

u"(x; z) =NXj=1

eiSj(x)

" bj(x; z):


bajo la consideración que Sj y bj son tales que

P (d)x

��"2�x + L(x; z;

@

@z)

�P (d)x u"(x; z) = O("2):

Entonces, aplicando la fórmula de conmutación de Hamilton con un exponente oscilando

rapidamente, nosotros obtenemos que��"2�x + L(x;

@

@z)

��ei

Sj(x)

" bj(x; z)

�= ei

Sj(x)

"

�Rj0bj(x; z) + i"Rj1bj(x; z)

�+O("2)

(3.161)

Donde

Rj0bj(x; z) =

�(rSj(x))2 + L(x; z;

@

@z)

�bj(x; z); (3.162)

y

Rj1bj(x; z) = [2rSj(x) � rx +�Sj(x)] bj(x; z): (3.163)

Esto sigue de (3.161) que Rj0bj(x; z) = 0; Rj1bj(x; z) = 0: La igualdad R

j0bj(x; z) =

0 implica que

(rSj)2 (x) = �2j(x); (3.164)

Donde �2j(x) 2 (k22; k2min(x)) es un valor propio del operador transversal L(x; z; @@z ) para

una x 2 R2 �ja.

La solución de la ecuación Rj1bj(x; z) = 0 será buscada de la forma

bj(x; z) =aj(x)'j(x; z)p

�(x; z); (3.165)

Donde 'j(x; z) es una función propia normada de L(x; z; @@z ) con valor propio �2j(x):

Desde 'j(x; z) es función de valor real, yZR2

'2j(x; z)

�(x; z)dz = 1; (3.166)


entonces la diferenciaando la integral (3.166) con respecto al parámetro x 2 R2 nosotros

obtenemos que ZR2

'j(x; z)p�(x; z)

rx

'j(x; z)p�(x; z)

!dz = 0:

EntoncesZR2

�Rj1bj(x; z)

� 'j(x; z)p�(x; z)

dz = 2rSj(x) � rxaj(x) + �Sj(x)aj(x) = 0:

Por lo que las condiciones: Rj0bj(x; z) = 0; implican que Sj es la solución de la ecuación

Eiconal (3.164), y la condición Rj1bj(x; z) = 0 implica que bj(x; z) tiene forma (3.165)

donde aj es una solución de la ecuación de transporte

2rSj(x) � rxaj(x) + �Sj(x)aj(x) = 0: (3.167)

La ecuación Eiconal (3.164) y de transporte (3.167) son integradas por el método de

rayo estandar de dos dimensiones. Nosotros buscaremos los rayos como

x = xj(�; �) = (xj1(�; �); xj2(�; �));

Donde � es la longitud de arco, � es un parámetro de rayo, y xj(�; �) satisface el sistema

de ecuaciones diferenciales ordinarias

d

d�(�j(x

j(�; �))dxj(�; �)

d�) = r�j(xj(�; �)): (3.168)

Nosotros suponemos que los rayos empiezan en el punto de origen 0; entonces el

parámetro de rayo � de�ne el rayo �j(�) en al menos en una vecindad pequeña del origen.

Es bien conocido que a lo largo del rayo �j(�) la fase Sj satisface la ecuación

dSj(yj(�; �))

d�= �j(y

j(�; �)):


Por lo que

Sj(xj(�; �)) = Sj(x

j(0; �)) +

Z �

0

�j(xj( ; �))d :

La ecuación de transporte (3.167) a lo largo del rayo �j(�) satisface la ecuación diferencial

ordinaria

1pjJj(�; �)j

d

d�

�qjJj(�; �)jaj(xj(�; �))

�= 0; (3.169)

Donde

Jj(�; �) = det

@xj1(�;�)

@�

@xj1(�;�)

@�@xj2(�;�)

@�

@xj2(�;�)

@�

!es la divergencia geometrica de los rayos horizontales en el punto x = xj(�; �):

Por lo que

aj(xj(�; �)) =

Bj(�)pjJj(0; �)jp

jJj(�; �)j;

Entonces

bj(xj(�; �); z) =

Bj(�)pjJj(0; �)j'j(xj(�; �); z)p

jJj(�; �)j �(xj(�; �); z); (3.170)

Donde el coe�ciente Bj(�) tiene que ser de�nido.

Por de�nición de Bj(�) nosotros usaremos el principio de localización. Este princi-

pio espieza con una pequeña vecindad de la fuente (0; z0) nosotros podemos suponer que

�(x; z) = �(0; z); k(x; z) = k(0; z); y Bj(�) es de�nida de la condición que el casi-modo

eiSj(x)

" bj(x; z) coincide con el modo del número j para la ecuación�"2�x + �(0; z)

d

dz��1(0; z)

d

dz+ k2(0; z)

�g0"(x; z) = �"2�(x)�(z � z0):

Entonces este modo es de la forma

"1=2 exp (i�=4)'j(0; z0)'j(0; z)

�(0; z0)(8��j(0)jxj)1=2exp (i�j(0)

jxj")(1 +O(")) (3.171)


La comparación (3.170) y (3.171) nos da la fórmula para Bj(�)

Bj(�) =

p�(0; z)"1=2ei�=4'j(0; z0)p

8��j(0)�(0; z0):

Por lo que,

bj(yj(�; �); z) =

"1=2ei�=4p�(0; z) jJj(0; �)j'j(0; z0)'j(yj(�; �); z)

�(0; z0)p8��j(0) jJj(�; �)j �(yj(�; �); z)

:

Entonces la solución del problema (3.159) es dada por la fórmula asintótica

G(d)" (x; z; z0) (3.172)

=NXj=1

"1=2ei�=4p�(0; z) jJj(0; �)j'j(0; z0)'j(x; z)

�(0; z0)p8��j(0) jJj(�; �)j �(x; z)

exp

�iSj(x)

"

�(1 +O("2)):

Donde x = xj(�; �); j = 1; :::; N;N es el número de rayos horizontales conectados al

punto 0 con el punto x: Notar que los asintóticos (3.172) es uniforme en un circulo cerrado

BR = fx 2 R2 : jxj � Rg

Sí:

1) BR � \Nj=1j; esto es BR no contiene los umbrales.

2) BR no contiene caústicos de los rayos horizontales. Esto es, existe una constante

C > 0 tal que para cada punto x : 0 < � � jxj � R a lo largo de un rayo conectado a los

puntos 0 y x

jJj(� ; �)j > C: (3.173)

Los asintóticos (3.172) fallan en dominios que contienen caústicos de los rayos hor-

izontales, esto es, en el dominio donde la condición (3.173) no se sostiene. Pero este

problema puede ser atacado por el método de Maslov del operador canónico [36].


3.5.4 Asintóticas en la vecindad de los umbrales

Puede ser veri�cado que las asintóticas (3.172) no son uniformemente si el punto x tiende

al umbral @k; k = 1; :::; N: En este caso nosotros tenemos que tomar en cuenta el término

G2(x;jxj"; z). Esto es, sí x 2 \Nj=1j y x! @k entonces

g"(x; z) =

NXj=1

exp

�iSj(x)

"

�"1=2ei�=4

p�(0; z) jJj(0; �)j'j(0; z0)'j(x; z)

�(0; z0)p8��j(0) jJj(�; �)j �(x; z)

(3.174)

+�2 exp (i�=4)"

1=2��2(x; z0; k2))�2(x; z; k2) exp�ik2jxj

"

�(2�)1=2�(k2jxj)1=2�(x; z0)

�J

0@ jxj2kj"

;

��(�2)0 z(x; hj; kj)��2(x; hj; kj)��1A+O("2)

En el caso k1 = k2 nosotros tenemos en cuenta ambas ondas laterales. Por lo tanto para

este caso

g"(x; z) (3.175)

=NXj=1

exp

�iSj(x)

"

�"1=2ei�=4

p�(0; z) jJj(0; �)j'j(0; z0)'j(x; z)

�(0; z0)p8��j(0) jJj(�; �)j �(x; z)

+

2Xj=1

�j exp (i�=4)"1=2��j(x; z0; kj))�j(x; z; kj) exp

�ikj jxj"

�(2�)1=2�(kjjxj)1=2�(x; z0)

�J

0@ jxj2kj"

;

��j�0 z(x; hj; kj)��j(x; hj; kj)��1A+O("2):

donde �j(x; z; �); j = 1; 2 son funciones de�nidas en el capítulo ??.

3.6 Conclusiones

En este capítulo, se encontro la función de Green para el problema espectral del operador de

Helmholtz en guías de ondas casi estrati�cadas utilizando métodos asintóticos, obtniendose


las formulas explicitas para los modos propagados o guiados y radiados, por ultimo se

obtuvo la función de green para las vecindades de los umbrales de los espectros.

Capitulo 4Propagación de una onda Electromagnética en

guías casi-estrati�cadas.

En este capítulo nosotros consideramos el problema de la propagación de una onda

electromagnética producida por una fuente estacionaria sobre una guía de onda dieléctrica

casi-estrati�cada. Con el proposito de simular una guía de onda dielectrica real como es el

caso de una �bra óptica, guías de ondas dieléctricas planas y circuitos integrados ópticos,

para ello, nosotros consideramos tres capas, una de las cuales es conocida como núcleo

debido a que se encuentra cubierta entre las dos restantes conocidas como cubierta óptica, la

proposito del núcleo es que sirve como medio de propagación de todos los modos guiados,

dicha capa puede ser homogénea o no homogénea, y las capas de la cubierta óptica simpre

se consideran homogéneas y de menor densidad óptica que la capa del núcleo, la principal

característica de una guía de onda casi-estrati�cada es que los valores de las propiedades

ópticas del núcleo dependen fuertemente en la dirección transversal o vertival de la guía,

y varía lentamente en la dirección horizontal o en la dirección de propagación. Nosotros

llegamos a la representación del campo electromagnético para este tipo de guías de onda y

�nalmente nosotros resolveremos este problema con la ayuda de métodos asintóticos.

Nosotros conocemos que en general, el campo eléctrico y magnético son cantidades

vetoriales que tienen magnitud y dirección. Las relaciones y variaciones de los campos

eléctricos y magnéticos, cargas, y corrientes asociadas con las ondas electromagnéticas

son gobernadas por leyes físicas, las cuales son conocidas como Ecuaciones de Maxwell.

128

4 Propagación de una onda Electromagnética en guías casi-estrati�cadas. 129

Estas ecuaciones fuerón obtenidas a través de varios experimentos llevados a cabo por

diferentes investigadores, tales como Faraday, Ampere, Gauss, y Poisson, pero estas leyes

fuerón puestas en forma �nal por James Clerk Maxwell quien agregó un término adicional

conocido como corriente de desplazameinto. Estas ecuaciones pueden ser escritas en forma

diferencial o integral.

La forma diferencial de las ecuaciones de Maxwell es la más usada para resolver

problemas electromagnéticos de valor de frontera. Esta son usadas para describir y rela-

cionar campos vectoriales, densidades de corriente y de cargas eléctricas en cualquier punto

del espacio y en cualquier instante del tiempo. Para que estas expresiones sean validas, los

campos vetoriales son de valor simple, acotados, y son funciones contínuas de posición

y tiempo y además poseen derivadas contínuas. Los campos vetoriales asociados con on-

das electromganéticas poseé estas características excepto donde existe cambios abruptos en

las densidades de carga y corriente. Las distribuciones discontinuas de cargas y corrientes

eléctricas ocurren en la interfaz o frontera entre dos medios diferentes. Las variaciones

de los campos vectoriales a través de tales fronteras (interfaces) estan relacionadas por las

condiciones de frontera. Por lo tanto para describir completamente los campos vectoriales

en cualquier punto del espacio (incluyendo las discontinuidades) y en cuaquier instante del

tiempo requiere no solomante de las ecuaciones de Maxwell en forma diferencial sino que

requiere de condiciones de frontera. Para más detalles consultar las referencias [29], [27],

[30], [42], [51], [52], [53], [54], [49].

4 Propagación de una onda Electromagnética en guías casi-estrati�cadas. 130

Z

X2

X1

CUBIERTA ÓPTICA

NÚCLEO

CUBIERTA ÓPTICAL

0FUENTE

+h

-h

Figura 4.34. Guía de onda dieléctrica casi-estrati�cada.

4.1 Planteamiento del problema. 131

4.1 Planteamiento del problema.

Nosotros consideramos la guía de onda como se muestra en la �gura (4.34), por las sigu-

ientes ventajas, algunas de estas son:

* Estas son estracturas más simples para un medio no homogéneo.

* su estructura simple permite un análisis matemático más simple y �sicamente en-

tendible.

* Esta guía de onda proporciona una buena aproximación para un entendimiento

fundamental de �bras ópticas.

* Estas son una herramienta para la cosntrucción de circuitos integrados ópticos. y

láseres semiconductores.

La guía de onda cosiste de tres capas, una de estas llamada núcleo deonotada como�

donde la mayor parte de la energía de la onda electromagnética será propagada en dirección

horizontal a través del núcleo.

Dicho núcleo esta situado entre dos capas llamadas cubierta óptica denotadas como

�� y �+.

Nosotros generamos las ondas electromagnéticas a través de una fuente óptica que

este situada en la región de la capa del núcleo y ésta radía una señal de banda estrecha (con

un ancho espectral pequeño o casi coherente). Nosotros consideramos que la principal car-

acterística del núcleo óptico varía lentamente en la dirección horizontal en comparación

con su variación en la dirección vertical, tal modelo es llamado Casi-Estrati�cado. Este

trabajo es motivado por la investigación que existe sobre la propagación del sonido pro-

ducido por una fuente armonica estacionaria en un oceano casi-estrati�cado dado por el


paper de la referencia [29], [27], [30]. Nosotros usaremos los métodos de este paper para

la investigación del campo electromagnético producido por una fuente fuente estacionaria

en un medio casi-estrati�cado.

Para tal geometría de la guía de onda, nosotros usaremos las coordenadas cartesianas

en el espacio real de tres dimensiones, (x1; x2; z) 2 R3:

Donde nosotros de�nimos las siguientes variables:

x = (x1; x2) 2 R2 es la variable horizontal,

z 2 R; es la variable vertical, y

Vamos a considerar la siguiente guía de onda �T .

dada como:

�T = �� [ � [ �+

donde el núcleo es un medio no homogéneo y este se describe como:

� = f�h(�x1; �x2) � z � h(�x1; �x2)g ;

Y las dos capas de la cubierta óptica homogéneas descritas como

�� = fz < �h(�x1; �x2)g ;�+ = fz > h(�x1; �x2)g

Donde

� > 0 es un parámetro pequeño que caracteriza la pequeña variación de la frontera

baja (�h) y alta (+h) entre el núcleo y la cubierta óptica,

h(x1; x2) es una función acotada de variables x = (x1; x2) 2 R2:

Nosotros empezamos por las ecuaciones de Maxwell, en su representación diferen-

cial, como


r� E(r;t) = �@B(r;t)@t

; (4.176)

r�H(r;t) =@D(r;t)

@t+ J(r;t);

r �B(r; t) = 0;

r �D(r;t) = �(r;t);

donde

r = (x1; x2; z) 2 R3 es la variable de posición.

t 2 R; es la variable del tiempo.

R = (x1; x2; z) es el espacio real.

E = (Ex1; Ex2; Ez) es la intensidad del campo eléctrico (volts/metro),

H =(Hx1; Hx2; Hz) es la intensidad del campo magnético (ampers/metro),

D =(Dx1; Dx2; Dz) es la densidad de �ujo eléctrico (coulombs/metro cuadrado),

B =(Bx1; Bx2; Bz) es la densidad de �ujo magnético (webers/metro cuadrado),

J(r;t) = (Jx1(r;t); Jx2(r;t); Jz(r;t)) es la densidad de corriente eléctrica de conduc-

ción (amperes/metro cuadrado),

�(r; t) es la densidad de carga eléctrica (coulombs/metro cúbico).

La densidad de corriente eléctrica de desplazamiento @D(r;t)@t

fue introducido por

Maxwell para completar la ley de Ampere para el caso estático, para los dieléctricos, la

parte de esta densidad de corriente de desplazamiento ha sido visto como un movimiento

de cargas acotadas creando una corriente.


Nosotros vemos que las ecuaciones de Maxwell son ecuaciones diferenciales de

primer orden lineales y acopladas que relacionana las cantidades de un campo vectorial

con otro. Para un medio dado, algunas de estas cantidades de campo puede ser escrita

como una función de otros. Esto es, el �ujo eléctrico y magnético esta relacionado con

el campo eléctrico y magnético a través de las relaciones constitutivas, estas relaciones

caracteriza o de�ne el tipo del medio bajo consideración, estas relaciones tienen la forma:

D ="E; B =�H; (4.177)

donde

" es la permitividad eléctrica del medio, (farads/metro).

� es la permeabilidad magnética del medio, (henrys/metro).

Estos parámetros del medio son de�nidos como:

"r ="

"0; �r =

�

�0

donde �r y "r son la permitividad y permeabilidad relativa del medio respectiva-

mente, "0 y �0 son los parámetros cosntantes en el espacio libre o vacío dados por

"0 =1

36� � 109 = 8:854� 10�12F=m

�0 = 4� � 10�7H=m

Características del medio:

* En las tres capas, nosotros consideramos que el medio es lineal, esto es, que la

permitividad (") y permeabilidad (�) no dependen de los campos (E;H).


* En las tres capas, nosotros consideramos que el medio es isótropico, esto implica

que la relación (4.177) no es función de la dirección del campo, esto es, que para un medio

isitropico presenta las mismas propiedades en todas direcciones y es independiente de la

polarización del campo.

* En las tres capas, nosotros suponemos que la permeabilidad es constante en todo el

espacio de la guía de onda,esto es �r = 1 y

� = f�0; (x1; x2; z) 2 R3

* En la capa del núcleo, nosotros suponemos que el medio es no homogéneo, esto es,

la permitividad (") es una función de la posición en el medio (en la dirección vertical z ), y

las dos capas de la cubierta son homogéneas, esto es, la permitividad (") es una constante,

�nalmente nosotros suponemos que la capa del núcleo es más denso opticamente que las

capas de la cubierta óptica.

"(x; z) =

�"0(z); z 2 �

"1; z 2 �� [ �+

para "0(z) � "1

Para este caso nosotros tenemos que la velocidad de la luz en la guía de onda �T

tiene la forma

c(x; z) =

�c0(z); (x; z) 2 �

c1; (x; z) 2 �� [ �+

para c0(z) � c1

donde

c(x; z) =1p

�0"(x; z)


Aunque la ecuaciones de Maxwell son simples en aparariencia y son ecuaciones

diferenciales de primer orden, estas están acopladas y son di�cil de usar para resolver

problemas de valor de frontera. Sin embargo la ecuación de onda es una ecuación difer-

encial de segundo orden desacoplada esto es, que se tiene solamente expresado un campo,

por lo que es más usual para resolver problemas. La solución de la ecuación de onda de-

scribe la propagación de la energía en el medio bajo consideración. Además, para muchos

problemas de valor de frontera electromagnéticos, se tienen muchas con�guraciones del

campo (modos) que son soluciones que satisfacen las ecuaciones de Maxwell y las condi-

ciones de frontera. Los modos más ampliamente conocidos son los referidos como ondas

transversales Eléctricas (TE) y Magnéticas (TM).

Los modos TE son con�guraciones del campo en las cuales las componentes del

campo eléctrico son transversales a una dirección dada o caen en el plano que es transver-

sal a una dirección dada; para modos TM las compoenentes del campo magnético son

transversales a una dirección dada. frecuentemente, pero no necesariamente, tal dirección

es la trayectoria en la cual la onda se esta propagando. En este caso nosotros consideramos

las ondas TE el campo eléctrico es transversal a la dirección z, mientras para las ondas

TM , el campo magnético es transversal a la dirección z. El campo eléctrico en las ondas

TE estan dirigidas en el plano x1x2. Nosotros caraterizamos las ondas TE con la compo-

nenteHz del campo magnético, y suponemos que Ez = 0; y para TM es caracterizado por

Ez mientras que Hz = 0:

Para obtener la ecuación de onda primero tomamos el rotacional de (4.176).


De las ecuaciones de Maxwell nosotros tenemos dos ecuaciones de onda vectoriales

como sigue:

r� ��1r� E = �@tr� ��1B (4.178)

r� "�1r�H =@tr� "�1D+r� "�1J (4.179)

Ondas TEz

En este caso nosotros tenemos las siguientes componentes Hz; Ex1 ; Ex2 ; y Ez = 0:

De la ecuación (4.178)

a) Ex2 nosotros tenemos:

�@2x1Ex2 � @2x2Ex2 � @2zEx2 + �"@2tEx2 = �@x2("�1�)� �@tJx2

Multiplicando por (�)

[(@2x1 + @2x2 + @2z )� �"@2t ]Ex2 = "�1@x2�+ �@tJx2

sea r2(x1;x2;z) = r2 = (@2x1 + @2x2 + @2z )

(r2 � �"@2t )Ex2 = "�1@x2�+ �@tJx2

entonces Ex2 = "�1Dx2

(r2 � �"@2t )"�1Dx2 = "�1@x2�+ �@tJx2 (4.180)

b) Ex1 nosotros tenemos:

(r2 � �"@2t )Ex1 = "�1@x1�+ �@tJx1


(r2 � �"@2t )"�1Dx1 = "�1@x1�+ �@tJx1 (4.181)

c) Hz nosotros tenemos:

�(@2x1Hz + @2x2Hz + @2zHz) + �"@2tHz = @x1Jx2 � @x2Jx1

Sea rz = (@x1 ; @x2 ; 0); Jz = (Jx1 ; Jx2 ; 0); rz � Jz = (@x1Jx2 � @x2Jx1)

�r2Hz + �"@2tHz = rz � Jz

multiplicando por ��

r2�Hz � �"@2t �Hz = ��rz � Jz

(r2 � �"@2t )�Hz = ��rz � Jz

nosotros tenemos que c2 = 1�"y Bz = �Hz, esto implica:

1

c2@2tBz �r2Bz = �rz � Jz (4.182)

Ondas TMz

En este caso nosotros tenemos las siguientes componentes Ez; Hx1 ; Hx2 ; y Hz = 0:

De la ecuación. (4.179)

a) Hx2 nsosotros tenemos:

�@z"�1@zHx2 � "�1@2x1Hx2 � "�1@2x2Hx2 + �@2tHx2 = rx2 � "�1Jx2

multiplicando por �" y sea rx2 = (@x1 ; 0; @z); Jx2 = (Jx1 ; 0; Jz)

@2x1Hx2 + @2x2Hx2 + "@z"�1@zHx2 � "�@2tHx2 = �"rx2 � "�1Jx2


(r2t + "@z"�1@z � �"@2t )Hx2 = �"rx2 � "�1Jx2 (4.183)

(r2t + "@z"�1@z � �"@2t )��1Bx2 = �"rx2 � "�1Jx2 (4.184)

donde r2t = (@2x1 ; @2x2 ; 0)

b) Hx1 nosotros tenemos:

�"�1@2x1Hx1 � "�1@2x2Hx1 � @z"�1@zHx1 + �@2tHx1 = rx1 � "�1Jx1

donde rx1 � "�1Jx1 = (@x2"�1Jz � @z"�1Jx2)

multiplicando por �"

@2x1Hx1 + @2x2Hx1 + "@z"�1@zHx1 � "�@2tHx1 = �"rx1 � "�1Jx1

entonces

(r2t + "@z"�1@z � �"@2t )Hx1 = �"rx1 � "�1Jx1 (4.185)

(r2t + "@z"�1@z � �"@2t )��1Bx1 = �"rx1 � "�1Jx1 (4.186)

c) Ez nosotros tenemos:

(r2t + "@z"�1@z � �"@2t )"Ez = �"@tJz + "@z("

�1�) (4.187)

para Dz y (c2 = (�")�1)

(r2t + "@z"�1@z �

1

c2@2t )Dz =

1

c2@tJz + "@z("

�1�) (4.188)

Para las ondas TEz y TM z son:


Para TEz :

1

c2@2Bz@t2

�r2Bz = �rz � Jz (4.189)

Para TM z :

1

c2@2Dz

@t2�r2tDz � "

@

@z("�1

@Dz

@z) = � 1

c2@Jz@t� "@("

�1�)

@z(4.190)

Donde:

r2t = @2x1 + @2x2 ;rz = (@x1 ; @x2 ; 0);Jz = (Jx1 ; Jx2 ; 0)

Notar que las ecuaciones de onda TE y TM estan desacopladas. Por lo tanto, para

un medio no homogéneo de una dimensión, las ecuaciones de onda vectoriales se reducen

a dos ecuaciones de onda escalares simples, describiendo las ondas TE y TM separada-

mente.

4.1.1 Condiciones de Frontera

Nosotros sabemos que, cuando tenemos una guía de onda dieléctrica que tiene un núcleo

no homogéneo pero con capas perfectamente lineal la única condición de frontera es que

se requiere que el campo desaparsca en el in�nito y que sea �nito en otras partes. La

condicón de frontera de tipo más común ocurre cuando hay discontinuidades en la permi-

tividad eléctrica "; en este caso la discontinuidad existe en la interface entre la capa del

núcleo y cubierta óptica de la guía de onda dieléctrica plana. Para un medio dieléctrico

nosotros consideramos las condiciones de frontera generales para los campos que son:

* Las componentes tangenciales de los campos E y H son continuas en la interface

entre los dos medios (núcleo y cubierta óptica).


* Las componentes normales de los camposD yB son continuas en la interface entre

los dos medios (núcleo y cubierta óptica).

Otra forma de hallar las condiciones de frontera para E a través de una discon-

tinuidad, se podría obtene de la ecuación (4.190), primero notamos que el término que

involucra las derivadas tiene que ser�nita por lo que también los otros terminos son �nitos

en la ecuación. Esto solamente es posible si (@=@z)"�1(@=@z)"Ez es una cantidad �nita en

la interface de las dos capas, o que "Ez y "�1(@=@z)"Ez son cantidades continuas en la in-

terface. Por lo tanto, en una interfaz entre la región 1 (capa del núcleo) y región 2 (capa

de la cubierta óptica), las siguientes condiciones de frontera se deben satisfacer, consultar

[1]-[4].

D1 = D2; "�11

@

@zD1 = "�12

@

@zD2

4.1.2 Problema de Valor de frontera

Finalmente nosotros tenemos el siguiente problema:

Para TEz :

1

c2@2Bz@t2

�r2Bz = �rz � Jz (4.191)

Para TM z :

1

c2@2Dz

@t2�r2tDz � "

@

@z("�1

@Dz

@z) = � 1

c2@Jz@t� "@("

�1�)

@z(4.192)

Donde: r2t = (@2x1 ; @2x2 ; 0);r2 = (@2x1 ; @

2x2; @2z ) = �(x;z);rz = (@x1 ; @x2 ; 0);Jz =

(Jx1 ; Jx2 ; 0)

El campo electromagnético es descrito por un �ujo magnético Bz(t;x; z) en el punto

(x; z) y el tiempo t o el �ujo eléctrico Dz(t;x; z); y las condiciones de frontera sobre la


interface z = �h(�x)

[Bz(t;x; z)]z=�h(�x) = 0;

��1

@Bz(t;x; z)

@z

�z=�h(�x)

= 0; (4.193)

[Dz(t;x; z)]z=�h(�x) = 0;

�"�1

@Dz(t;x; z)

@z

�z=�h(�x)

= 0; (4.194)

[u]z=�h = u(�h + 0) � u(�h � 0) signi�ca el salto de la función u(z) en el punto

z = �h:

Nosotros consideramos que la onda electromagnética es producida por una fuente

puntual modulada en amplitud de la siguiente forma

F (t;x; z) = Am(t) exp(�i!0t) �(x� x0)�(z � z0); (4.195)

Donde �(z) es la función delta-Dirac, Am(t) es la amplitud de banda estrecha de la fuente,

!0 es la frecuencia de la fuente. La amplitud tiene la siguiente forma A(t) = a(�t) El

parámetro pequeño � > 0 describe la variacón de la banda estrecha de amplitud f(t).

4.1.3 Representación del Campo

Si nosotros denotamos las siguientes variables: u como una función escalar que representa

la componente Bz , v como � para ondas TEz de las ecuaciones de onda escalares (4.191),

y el término fuente �rz � Jz = F (t;x; z).

Nosotros introducimos el operador diferencial L de propagación de onda:

Lu =

�c�2

@2

@t2�4(x;z)

�uz(t;x; z) = F (t;x; z)


entonces, operacionalmente, nosotros podemos escribir la solución a la ecuación

como

u = L�1F

donde L�1 es el inverso del operador diferencial L , por lo es razonable esperar que

su inverso sea un operador integral. Para ello se debe satisfacer las propiedades del operdor

inverso, esto es,

LL�1 = L�1L = I

donde I es el operador identidad. Más especi�camente, nosotros de�nimos el oper-

ador inverso como

L�1F =

ZR4G�t;x; z; � ;x0; z0

�F�� ;x0; z0

�d�dx0dz0

Donde el kernel G es la función de Green asociada con el operador diferencial L,

notar que esta función de Green es una función tanto del punto de observación o punto

campo (t;x; z) y el punto fuente (� ;x0; z0). Para completar la idea del operador inverso

L, nosotros introducimos la función delta de Dirac � como el operador identidad I . Re-

tomando las propiedades de la función delta de Dirac, esto es :

Z� (t� �) �

�x� x0

��z � z0

�F�� ;x0; z0

�d�dx0dz0 = F (t;x; z)

Z 1

�1� (�) d� = 1

Entonces la función de Green satisface

LG (t;x; z) = � (t� �) ��x� x0

��z � z0

�


La solución a la ecuación puede ser entonces escrita directamen en términos de la función

de Green como

u = G � F =ZR4G�t;x; z; � ;x0; z0

�F�� ;x0; z0

�d�dx0dz0

Para comprobar la ecuación anterior, nosotros proseguimos como sigue, nosotros sabemos

que

Lu = F

LG � F = � � F = F

Ento implica que la función de Green es una solución de la ecuación

LG =

�c�2

@2

@t2�4(x;z)

�G(t;x; z) = � (t) � (x) � (z � z0)

Este ecuación representa la propagación de la onda desde una fuente de impulso, en este

caso el impulsi esta en el tiempo � = 0 , en el punto x0 = 0:Aplicando la transformada de

Fourier con respecto a variable tiempo-frecuencia, esto es:

G! (!;x; z) =

Z 1

�1G (� ;x; z) ei!�d�

G (t;x; z) =1

2�

Z 1

�1G! (!;x; z) e

�i!td!

c�2Z 1

�1

@2

@t2G(t;x; z)ei!tdt�4(x;z)

Z 1

�1G(t;x; z)ei!tdt =Z 1

�1� (t) ei!tdt� (x) � (z � z0)

�4(x;z) G! (!;x; z)�!2

c2G! (!;x; z) = � (x) � (z � z0)

donde G!(!;x; z; z0) es la función de Green del problema estacionario satisfaciendo

la ecuación

4(x;z)G! (!;x; z) +!2

c2G! (!;x; z) = �� (x) � (z � z0) ; (x; z) 2 R3 (4.196)


donde ! es la frecuencia angular,(radian=s). La ultima ecuación satisface las sigu-

ientes condiciones de frontera:

[G!(!;x; z; z0)]z=�h(�x) = 0;

�v�1(z)

@G!(!;x; z; z0)

@z

�z=�h(�x)

= 0 (4.197)

por lo tanto nosotros obtenemos la representación integral para Bz en terminos de la

función de Green para el problema estacionario,

u = G � F =ZR4G�t;x; z; � ;x0; z0

�F�� ;x0; z0

�d�dx0dz0

uz(!;x; z) = G(!;x; z) � F (!;x; z)

Nosotros conocemos de la convolución que

uz(!;x; z) = G(!;x; z) � F (!;x; z) = F (!;x; z) �G(!;x; z)

uz(!;x; z) =

1ZZ�1

F (!;x0; z0)G(!;x� x0; z � z0)dx0dz0

y

uz(t;x; z) =1

2�

Z 1

�1uz(!;x; z)e

�i!td!

sustituyendo uz(!;x; z) en la ecuación anterior

uz(t;x; z) =1

2�

Z 1

�1

1ZZ�1

F (!;x0; z0)G(!;x� x0; z � z0)dx0dz0e�i!td!

nosotros conocemos que

F�!;x0; z0

�=

Z 1

�1F�� ;x0; z0

�ei!�d�

sustituyendo F (!;x0; z0) en la ecuación anterior

uz(t;x; z)

=1

2�

Z 1

�1

1ZZ�1

Z 1

�1F�� ;x0; z0

�ei!�d�G(!;x� x0; z � z0)dx0dz0e�i!td!

4.2 Solución Asintótica del Problema. 146

uz(t;x; z) (4.198)

=1

2�

Z 1

�1e�i!td!

Z 1

�1ei!�d�

1ZZ�1

G(!;x� x0; z � z0)F�� ;x0; z0

�dx0dz0

En el caso particular, nosotros consideramos la fuente en la siguiente forma

F (� ;x0; z0) = Am(�) exp(�i!0�) �(x0�x0)�(z0 � z0)

sustituyendo, nosotros tenemos

uz(t;x; z)

=1

2�

Z 1

�1e�i!td!

Z 1

�1ei!�d�

1ZZ�1

G(!;x� x0; z � z0)Am(�)

exp(�i!0�) �(x0 � x0)�(z0 � z0)dx0dz0

uz =1

2�

Z 1

�1e�i!td!

Z 1

�1G(!;x� x0; z � z0)Am(�)ei(!�!0)� d� (4.199)

4.2 Solución Asintótica del Problema.

Nosotros sabemos que la solución del problema (4.191) y (4.193) es dada por la transfor-

mada de Fourier conrespecto a la variable del tiempo para Bz en términos de la función de

Green para el problema estacionario,

Este es dado por la siguiente formula,

uz(t;x; z) = (2�)�1Z 1

�1e�i!td!

Z 1

�1G(!;x;x0; z; z0)Am(�)e

i(!�!0)�d� (4.200)

Esta integral puede sin embargo ser sujeta a aproximacionesver, llegando a obtener

simples expresiones que ofrecen un mejor entendimiento para estas ondas. Hay aproxima-

ciones asintóticas que pueden ser obtenidad por técnicas matemáticas, en este caso nosotros


usamos el método de Rayos Horizontales y Modos Verticales, cosultar [5], en este método

se introduce nuevas coordenadas, en este caso la distancia horizontal son contraidas, esto

es

X1 = �x1; X2 = �x2 (4.201)

El parámetro pequeño � es introducido debido a que nosotros suponemos que la per-

mitividad eléctrica en la región del núcleo depende de las coordenadas horizontales x1; x2

solamente a través de las combinaciones X1 = �x1; X2 = �x2:

La ecuación (4.196) tiene la siguiente forma en las nuevas coordenadas

en este caso nosotros tenemos el laplaciano r2 = @2x1 + @2x2 + @2z = �(x;z)

donde X1 = �x1 (or x1 = ��1X1); X2 = �x2 (x2 = ��1X2) z = z

@2

@x21=

1

��2@2

@X21

@2

@x22=

1

��2@2

@X22

Nosotros sabemos que �(ax) = 1a�(x), o �(x=a) = a�(x) entonces

�(X1=�) = ��(X1)

�(X2=�) = ��(X2)

se tiene que

1

��2

�@2g�@X2

1

+@2g�@X2

2

�+@2g�@z2

+!2

c2g� = ��2�(X)�(z � z0)

multiplicando por ��2; se tiene�@2g�@X2

1

+@2g�@X2

2

�+ ��2

@2g�@z2

+ ��2!2

c2g� = ��(X)�(z � z0)�

@2g�@X2

1

+@2g

@X22

�� (i�)�2@

2g�@z2� (i�)�2!

2

c2g� = ��(X)�(z � z0)


�@2g�@X2

1

+@2g�@X2

2

�� (i�)�2

�@2

@z2+!2

c2

�g� = ��(X)�(z � z0)

Vamos a �jar el siguiente operador

L =@2

@z2+

!2

c2(z)=

@2

@z2+ k2

y

4X =@2

@X21

+@2

@X22

como el laplaciano horizontal.

donde k es el número de onda, entonces tenemos

4Xg� � (i�)�2Lg� = ��(X)�(z � z0) (X; z) 2 R3 (4.202)

con las siguientes condiciones

[g�(!;X; z; z0)]z=�h(X) = 0;

�v�1(z)

@g�(!;X; z; z0)

@z

�z=�h(X)

= 0 (4.203)

Y la función de Green es de la forma:

g�(!;X; z; z0) = G(!;X=�; z; z0)

Nosotros tenemos que el operador diferencial L sobre el intervalo (�1,+1) tiene

las siguientes condiciones

L� =@2�

@z2+

!2

c2(z)�

[�(!;X; z)]z=�h(X) = 0;

�v�1(z)

@�(!;X; z)

@z

�z=�h(X)

= 0

Para cada ! y X �ja; se tiene el siguiente problema espectral

L� = �2� (4.204)

[�(!;X; z)]z=�h(X) = 0;

�v�1(z)

@�(!;X; z)

@z

�z=�h(X)

= 0


se tiene un número �nito de valores propios �j(!;X) :

�1(!;X) < �2(!;X) < ::: < �N(!;X); N = N(!;X)

en el espacio de HilbertH; y sea �j = �j(!;X; z) las funciones propias normalizadas

en H, correspondientes a �j(!;X): En el espacio de Hilbert, se considera el siguiente

producto escalar

(u;w) =

Z 1

�1��1(z)u(z)w(z)dz

y la norma es

kukH =�Z 1

�1��1(z) ju(z)j2)dz

�1=2Por lo que se tiene un problema de Sturm-Liuville.

De acuerdo al método de rayos Horizontales y modos verticales [5] el término prin-

cipal de la solución asintótica del problema (4.202)-(4.203) para la función de Green g�

cuando �! 0 tiene la siguiente forma

g�(!;X; z; z0) �N(!;X)Xj=1

Aj(!;X; z; z0)ei��1j(!;X) (4.205)

Sustituyendo la Ec. (4.205) en la Ec. (4.202) considerandola homogénea, se llega a

la forma usual de la ecuación eikonal para j y varias ecuaciones de transporte. Antes de

sustituir nosotros sabemos que

rg� =N(!;X)Xj=1

hAji�

�1rjei��1j + ei�

�1jrAji

r � rg� =N(!;X)Xj=1

hAji�

�1rj(i��1)r � jei��1j

ei��1j [Aji�

�1r � rj +rji��1r � Aj]

+ei��1jr � rAj + rAji��1r � jei�

�1ji


r � rg� = 4Xg� =

N(!;X)Xj=1

ei��1j

�(i��1)2 (rj)2Aj

+i��1r2jAj + 2(i��1)rjrAj + r2Aj�

sustituyendo la ecuación anterior

4Xg� � (i�)�2Lg� = 0 (4.206)

N(!;X)Xj=1

ei��1j

�(i��1)2 (rj)2Aj + (i��1)r2jAj + 2(i��1)rjrAj

+ r2Aj � (i�)�2LAj�= 0 (4.207)

Finalmente separando las partes real e imaginaria de la Ec. (4.207)

la partereal

N(!;X)Xj=1

ei��1j

�(i��1)2 (rj)2Aj +r2Aj � (i�)�2LAj

�= 0 (4.208)

La parte imaginaria

N(!;X)Xj=1

ei��1j

�(i��1)r2jAj + 2(i��1)rjrAj

�= 0 (4.209)

Las ecuaciones (4.208) y (4.209) representan una solución exacta a la ecuación de

onda homogénea (4.206), Consideremos por la naturaleza asintótica de Ec. (4.205) nos

permita igualar a cerolos coe�cientes individuales del término (i��1); nosotros obtenemos

las siguientes ecuaciones

La parte real:

(i��1)2 (rj)2Aj +r2Aj � (i�)�2LAj = 0 (4.210)

��2 (rj)2Aj +r2Aj + ��2LAj = 0


La parte imaginaria:

(i��1)r2jAj + 2(i��1)rj � rAj = 0 (4.211)

r2jAj + 2rj � rAj = 0

Nosotros reescribiremos la parte real en una forma conviente y mostramos que uno

de los terminos puede ser despreciable cuando � se convierta en una cantidad muy pequeña

(�! 0)

��2 (rj)2Aj +r2Aj + ��2LAj = 0

dividiendo la ecuación anterior por ��2

(rj)2Aj �r2Aj��2

� LAj = 0

(rj)2Aj � �2r2Aj � LAj = 0

y considerando el caso cuando �! 0; se obtiene

(rj)2Aj = LAj (4.212)

LAj = (rj)2Aj

La ecuación (4.212) de�ne un problema de valor propio el cual muestra que (rj)2

es un valor propio del operador L y Aj una función propia correpondiente.

Entonces, de la Ec.(4.204) consideramos que

L�j(!;X; z) = �2j(!;X)�j(!;X; z)

entonces

L =�2j�j�j

;


Z

X2

X1

OPTICAL CLADDING

CORE

OPTICAL CLADDING

TRAJECTORIES OF THE LIGHT RAYS

SOURCE

σr

X

0

Figura 4.35. Trayectoria de un rayo.

�2j�j�j

Aj = (rj)2Aj

�2jAj�j

= (rj)2Aj�j

�2jaj = (rj)2 aj

Si aj 6= 0; se tiene

(rj)2 = �2j(!;X) (4.213)

La ecuación (4.213) es conocida como la ecuación "eikonal" y es resuelta por el

método de rayo. Lo cual determina la función j; y nos permite de�nir las super�cies de

fase constante por la ecuación

j(!;X) = constant (4.214)

son llamadas frente de onda o frente de fase.


Nosotros conocemos que dentro de la aproximación de la óptica geométrica que las

super�cies de fase constante son perpendiculares a la dirección de propagación de la luz

considerandola como una onda plana, entonces si conocemos los frentes de fase, podemos

construir los rayos de luz dibujando curvas ortogonales a los frentes de fase (En la teoría

general estas son llamadas curvas características), ver la �gura (4.35). A veces es de-

seable calcular los rayos de luz directamente sin tener que construir los frentes de fase de

la ecuación eikonal, para ello se recurre a la ecuación de rayo. Para ello nosotros necesita-

mos un punto de origen �jo y dibujar por medio de un vector todos los puntos sobre el rayo

de luz. Si tal vector r fuera conocido para todos los puntos a lo largo del rayo, nosotros

podriamos tener una descripción matemática del rayo de luz. De�niendo a � como la dis-

tancia medida a lo largo del rayo de luz (o denota una longitud de arco a lo largo del rayo),

nosotros obtenemos un vector unitario

u =dr

d�(4.215)

entonces nosotros podemos escribir los rayos como

X = r = rj(!; �; q)

Por de�nición, nosotros requerimos que el vector unitario u; sea tangencial al rayo

de luz y perpendicular a los frentes de fase. De la Ec. (4.214) nosotros obtenmos un vector

perpendicular a los frentes de fase por tomar el gradiente de :

v = rj


Los vectores v y u se requieren que sean paralelos. La magnitud del vector v puede

ser hallado de la ecuación eikonal (4.213)

v = jvj =

vuutN(!;X)Xj=1

@2j2j =

q�2j(!;X) = �j(!;X)

Esto nos permite formular la relación siguiente

u =v

jvj =v

�j(!;X)

o en más detalle

dr

d�=

v

�j(!;X)=

rj�j(!;X)

�j(!;X)dr

d�= rj (4.216)

Diferenciando con respecto a � puede ser expresado como el producto del vector

unitari (4.215) con el operador r como

d

d�=Xi

dxid�

@

@xi=dr

d�� r (4.217)

Aplicando el gradiente a ambos lados de la ecuación eikonal (4.213), esto es

(rj)2 = �2j(!;X)

2rj � rrj = 2�j(!;X)r�j(!;X)

Y sustituyendo las relaciones (4.216) y (4.217) nosotros obtenemos la relación

2�j(!;X)dr

d�� rrj = 2�j(!;X)r�j(!;X)

dr

d�� rrj = r�j(!;X)


d

d�rj = r�j(!;X) (4.218)

Tomando la derivada de (4.216) con respecto a � y usando (4.218) �nalemete resulta

la siguiente ecuación de rayo:

d

d��j(!;X)

dr

d�=

d

d�rj = r�j(!;X)

d

d�

��j(!;X)

dr

d�

�= r�j(!;X) (4.219)

Otra forma de expresar esta ecuación es:

�j(!;X)d

d�

��j(!;X)

dr

d�

�=1

2r�2j(!;X) (4.220)

Nosotros tenemos entonces la ecuación de rayo (4.219)

d

d�

��j(!; rj(!; �; q))

dr

d�

�= r�j(!; rj(!; �; q))

d

d�(rj) = r�j(!; rj(!; �; q))

d

d�(�j(!; rj(!; �; q))) = r�j(!; rj(!; �; q))

Con la condición inicial para � = 0

rj(!; 0; q) = Xo;d

d�rj(!; 0; q) = q

donde q es el parámetro de rayo el cual es escogido tal que el rayo rj(!; �; q) = X:

Ahora nosotros podemos escribir la ecuación eikonal (4.213) como una ecuación

diferencial ordinaria a lo largo de un rayo por el uso de (4.216),


esto es derivamos j con respecto ao � y usamos la ecuación (4.217)

djd�

=dr

d�� rj

entonces usamos la ecuación (4.216)

djd�

=dr

d��j(!;X)

dr

d�

�y recordando que u = dr

d�

djd�

= �j(!;X)u � u

el cual se llega

djd�

= �j

donde la solución es

dj = �jd�

e Integrandothe se tieneZ �

0

dj(!; rj(!; �; q)) =

Z �

0

�j(!; rj(!; �0; q))d�0

j(!; rj(!; �; q))� j(!; rj(!; 0; q)) =

Z �

0

�j(!; rj(!; �0; q))d�0

j(!;X)� j(!;X0) =

Z �

0

�j(!; rj(!; �0; q))d�0

Denotando j(!;X;X0) = j(!;X)� j(!;X0); entonces nosotros tenemos

j(!;X;X0) =

Z �

0

�j(!; rj(!; �0; q))d�

0 (4.221)

La amplitud Aj(!;X; z; z0) tiene la siguiente forma

Aj(!;X; z; z0) = aj(!;X; z; z0)�j(!;X; z)


S2S1ds1

ds2

Figura 4.36. Tubo de Rayo

Tomando la parte imaginaria de la Ec.(4.211) y sustituyendo Aj se tiene el siguiente

sistema de ecuaciónes de transporte para aj:

ajr2j + 2rj � raj = 0 (4.222)

La ecuación (4.222) puede ser también escrita como

r ��a2jrj

�= a2jr � rj +rj � ra2j

= a2jr � rj +rj � (2ajraj)

= aj[ajr2j + 2rj � raj]

entonces nosotros tenemos

r ��a2jrj

�= 0 (4.223)

Para un rayo dado, considerando a R a un espacio acotado por un tubo de rayos

conteniedo al rayo dado, y dos porciones de super�cies de fase constante (wavefronts)

S1(X0) y S2(X) en los los puntos X0 y X del rayo dado (ver �gura (4.36)) entonces rj

es paralelo a los lados del tubo y normal sus partes �nales.


Integrando la ecuación Ec.(4.223) sobre la región R del tubo de rayo y usando el

teorema de la divergencia (Gauss-Ostrogradsky' theorem)

Del teorema IS

A�dS =Zv

r �Adv

esto implica queZv

r � (a2jrj)dv =ZZS2

a2jrj � uds2 �ZZS1

a2jrj � uds1 = 0

Donde u es un vector unitario ortogonal al frente de fase y ds es un elemento del área en

los frentes de fase, nosotros sabemos quer rj � u =�j:Zv

r � (a2jrj)dv =

ZZS2

a2j�jds2 �ZZS1

a2j�jds1 = 0ZZS2

a2j�jds2 =

ZZS1

a2j�jds1

Por lo tanto, por reducción del tubo de rayo a un rayo dado se obtiene

a2j(!;X; z0)�j(!;X)ds2(X) = a2j(!;X0; z0)�j(!;X0)ds1(X0)

Para un punto arbitrario X1 sobre el rayo y sea

Ja(X) =ds(X)

ds(X1)

Es llamada la razón de expansión del tubo y este mide la expansión de la sección

transversal de un tubo de rayos. Es el Jacobiano que mapea los rayos de S1 a S2; entonces

nosotros obtenemos

a2j(!;X; z0)�j(!;X)ds(X)

ds(X1)= a2j(!;X0; z0)�j(!;X0)

ds1(X0)

ds1(X1)

a2j(!;X; z0) = a2j(!;X0; z0)�j(!;X0)Ja(X0)

�j(!;X)Ja(X)


aj(!;X; z0) = aj(!;X0; z0)

��j(!;X0)

Ja(X0)

�j(!;X)Ja(X)

�1=2Si denotamos como

Ij(!;X ;X0) =Ja(X0)

�j(!;X)Ja(X)

�j(!;X0; z0) = aj(!;X0; z0)

entonces

aj(!;X; z0) = �j(!;X0; z0) [�j(!;X0)Ij(!;X ;X0)]1=2 (4.224)

El coe�ciente �j(!;X0; z0) puede ser hallado por comparación de la slución asin-

tótica (4.205) con la solución del problema de la propagación de la onda desde una fuente

puntual en el punto (X0; z0) bajo la consideración de que el medio no varía en la dirección

horizontal y que la velocidad depende de la coordenada transversal c0 = c(X0; z):Aquí

Ij(!;X;X0) es la divergencia del sistema de rayos horizontales saliendo del punto X0 y

llegando al puntoX: Nosotros además suponemos que en una vecindad pequeña de las fre-

cuencias soporta N -rayos horizontales dejando el punto X0 y llegan al punto X sin corte.

Despues de ciertos cálculos se llega a la siguiente formula

g�(!;X; z; z0) �ei

�4p�p

8�

N(!;X)Xj=1

�j(z;X; !)�j(z0; X0; !)ei��1j(!;X)

j�j(!;X)�j(!;X0)Ij(!;X;X0)j1=2(4.225)

Sustitutyendo esta ultima expresión en la Ec.(4.200), y haciendo el cambio de vari-

ables X = �x; T = �t; � = �� ; se obtiene la representración asintótica de la onda para

Bz(T;X; z) = Bz(T�; X�; z); de la siguiente forma:

Bz(T;X; z) �ei�=4

2�p�p8�

N(!;X)Xj=1

ZZAm(�)d!d�

4.3 Ejemplos Numéricos 160

�j(!;X; z)�j(!;X0; z0)

j�j(!;X)�j(!;X0)Ij(!;X;X0)j1=2ei�

�1[j(!;X)�!0T�!(T��)] (4.226)

La ecuación anterior puede ser resuelta si � ! 0; por medio del método de fase

estacionaria, en este caso la fase es:

Sj(!; �) = j(!;X)� !0�� !(T � �) (4.227)

Realizando calculos, �nalmente se obtiene las asintóticas explicitas de la componente

Bz(T;X; z):

Bz(T;X; z) �ei�=4�1=2

2�p8�

N(!;X)Xj=1

Am(T )� (4.228)

�j(!;X; z)�j(!;X0; z0)

[�j(!;X)�j(!;X0)Ij(!;X;X0)]1=2ei�

�1[j(!;X)�!0T�!(T��)]

4.3 Ejemplos Numéricos

En esta sección nos dedicaremos a dar ejemplos de los cálculos del campo para las

guías casi-estrati�cadas, así como la interpretación general del comportamiento através de

ellas.

Ejemplo 1. Parámetros dieléctricos de la guía de onda

Longitud de onda �0 = 3:14159�m,

Número de onda k0 = 2rad=�m,

Permitividad en el núcleo "co = 2 y cubierta óptica "cl = 1,

Permeabilidad magnética en el guía � = 1 ,

Variación del parámetro pequeño � = 0:01,


Figura 4.37. Modo de propagación, modo 1.

Considerando a la fuente Am(T ) una constante de magnitud 1.

CANTIDAD DE MODOS EN FUNCION DE LA DISTANCIA HORIZONTAL X

Y ANCHO DEL NÚCLEO DE LA GUÍA.

Distancia X(m) �h(mm) +h(mm) Primer modo Segundo modo0:5 �1 1 0:401074 1:5936521:0 �0:99 0:99 0:38345 1:5871871:5 �1:01 1:01 0:41849 1:599982:0 �1:02 1:02 0:435996 1:606172:5 �1:015 1:015 0:427304 1:603103:0 �1:005 1:005 0:409843 1:5968353:5 �0:98 0:98 0:365742 1:5805664:0 �0:97 0:97 0:347929 1:5738084:5 �0:99 0:99 0:383457 1:587187

Ejemplo 2. Variación del parámetro pequeño � = 0:001

Ejemplo 3. Variación del parámetro pequeño � = 0:0001


Figura 4.38. Segundo modo de propagación, modo 2

Figura 4.39. Primer modo de propagación, modo 1



Figura 4.41. Primer modo de propagación, modo 1



4.4 Conclusiones

La expresión de la onda obtenida con la ayuda de los métodos asintóticos anteriores nos per-

mite conocer el comportamiento de la onda a través de este tipo de guías de onda, las cuales

nos re�ejaría un comportamiento más real del campo electromagnético considerando las

variaciones que presenta las super�cies de frontera, cabe mencionar que con la utilización

de dicho método se puede considerar también las variaciones en la dirección horizontal de

la densidad óptica a través de la permitividad eléctrica en la región del núcleo, otra ventaja

adicional que tiene este método, es que se puede encontrar el campo en las zonas cercanas

de regiones cáusticas, que por otro método sería muy difícil de obtener.

Conclusiones y recomendaciones

En este trabajo se han obtenido las expresiones asintóticas explicitas que describen el com-

portamiento de una onda electromagnética producida por una fuente de banda estrecha

propagandose a través de guías de ondas dieléctricas planas estrati�cadas y casi estrati�-

cadas, por medio de métodos asinntóticos que por primera vez son utilizadas en este tipo

de problemas electromagnéticos. Los resultados obtenidos muestran la fuerte dependen-

cia que existe entre la estructura del campo en términos de las características del medio de

propagación como es el caso de sus dimensiones, sus pequeñas variaciones en la frontera y

en los parámetros materiales como su permitividad eléctrica (índice de refracción). Por lo

que dichos resultados son novedosos en esta área de las comunicaciones a pequeñas y me-

dianas distancias, ya que se obtienen las fórmulas asintóticas analíticas, que a diferencia

de otros trabajos dedicados al estudio de la propagación de ondas en medios perfectamente

estrati�cados, este obtiene el comportamiento con pequeñas variaciones en las fronteras de

los estratos y en los parámetros materiales.

En cada uno de los casos de análisis se obtuvierón resultados analíticos que permiten

un análisis numérico para mostrar el comportamiento del campo, en nuestro caso se analizó

la guía en tres capas o estratos, en la cual la capa de la cubierta óptica se considero constante

y del mismo valor para la parte positiva y negativa, sin embargo se puede cambiar su valor

para otro tipo de guías como es el caso de las utilizadas en los acoplados ópticos, por lo

que su aplicación se puede ampliar para otro tipo de guías de diferente estructura óptica.

165

Conclusiones y recomendaciones 166

Cabe mencionar que el campo de estudio de las guías de onda dieléctricas estrati-

�cadas y casi estrati�cadas va aumentando, debido a sus grandes ventajas que entre las

cuales se encuentra sus bajas atenuaciones, ya que cada vez más se estan desarrollando

circuitos integrados ópticos en el área de las comuncaciones y guías de onda cuánticas.

Como recomendación para investigaciones posteriores enfocados a este tipo de guías

se puede partir del mismo planteamiento del problema cambiando la fuente o el compor-

tamiento de función de la permitivadas eléctrica, además dicha investigación en básica para

posteriores aplicaciones más especí�cas.

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Bibliografía 172

Appendix ACódigo de programa para el cálculo de la

onda electromagnética

El programa se realizo en Visual Basic 6.0, sin embargo se puede utilizar cualquier

otro como Matlab, Mathematica, etc. Este se encuentra estructurado por los siguientes

Módulos:

1.- Disparo.

Option Explicit

Public Bet(1 To 1000) As Double, ED As Double, z1 As Double

Public INI(1 To 1000) As Double, FIN(1 To 1000) As Double

Public z2 As Double, V1 As Double, V2 As Double, PH As Double, DES As Integer

Public Re1 As Double, Re2 As Double, K As Double, cambio As Integer, Bin As

Double, B� As Double, ncl As Double Public Function Metdisparo(Bini As Double, B�n

As Double, incre As Double, zd1 As Double, zd2 As Double, dpaso As Double) As Double

Dim Bo As Double, tempo As Integer

Dim Co As Double, i As Integer, total As Integer, J As Integer

Dim Inicio As Double, �nal As Double, medio As Double

Dim sa As Integer, sb As Integer, sc As Integer

Dim tope As Integer

z1 = zd1 'valor de -h Paso de variables

z2 = zd2 'valor de +h

173

Appendix A Código de programa para el cálculo de la onda electromagnética 174

Bin = Bini 'equivale a ncl

B� = B�n 'equivale a no

PH = dpaso 'valor de paso para Runge Kutta

K = Form2.ko ' Condiciones iniciales

ncl = Form2.ncl

Co = 0.0001 'valor de cero para la computadora(margen de error)

DES = 100 'DES = 1 + (zd2 - zd1) / dpaso 'temporal

total = 0

tope = 0 �

Bo = Bin + incre

'Obtenemos el valor de V1 y V2

Call ObtenerC(Bo)

Call Signo

Do While (Bo < (B�)) '-0.001

tempo = cambio

Bo = Bo + incre

Call ObtenerC(Bo)

Call Signo

If (tempo <> cambio And Bo < B�) Then

tope = tope + 1 '

INI(tope) = Bo - incre '

FIN(tope) = Bo '


End If '

Loop '

For J = 1 To tope Step 1 '

Inicio = INI(J) '

�nal = FIN(J) '

medio = Inicio + (�nal - Inicio) / 2

For i = 1 To 100 Step 1 'Prueba 100 veces para cumplir con el error Co

Call ObtenerC(Inicio)

Call Signo

sa = cambio

If (Abs(ED) <= Co) Then

total = total + 1

Bet(total) = Inicio

Exit For

End If

Call ObtenerC(�nal)

Call Signo

sb = cambio


total = total + 1

Bet(total) = �nal

Exit For


End If

Call ObtenerC(medio)

Call Signo

sc = cambio


total = total + 1

Bet(total) = medio

Exit For

End If

If (sa <> sc) Then

�nal = medio

Else

Inicio = medio

End If

medio = Inicio + (�nal - Inicio) / 2

Next i

' End If

Next J '

' Loop

' Impresion de valores

Form1.MSHtabla.Rows = total + 1 'establece el numero de �las

Form1.MSHtabla.ColAlignment(1) = 4




'For i = 1 To Impr

'Form1.MSHtabla.TextMatrix(1, 2) = Re1

'Form1.MSHtabla.TextMatrix(1, 3) = Re2

' Form1.MSHtabla.TextMatrix(1, 2) = ED

For J = 1 To total Step 1

Form1.MSHtabla.TextMatrix(J, 0) = J

Form1.MSHtabla.TextMatrix(J, 1) = Bet(J)

Next J

Form1.List1.AddItem tope

Metdisparo = total

End Function

Public Sub ObtenerC(ByVal Beta As Double)

'Obtenemos el valor de V1 y V2

Dim Resul As Double

'V1 = Exp(z1 * K * Sqr(Beta ^2 - ncl ^2)) 'ejem 1

'V2 = K * Sqr(Beta ^2 - ncl ^2) * Exp(z1 * K * Sqr(Beta ^2 - ncl ^2)) 'ejem 1

'Resul = RKB(z1, z2, V1, V2, PH, DES, Beta, 0) 'ejem 1

'Re1 = Ve1 'ejem 1

'Re2 = Ve2 'ejem 1

'ED = Ve1 + (Ve2 / (K * Sqr(Beta ^2 - ncl ^2))) 'ejem 1


V1 = 1 'ejem espectral

V2 = Beta / (Form2.ecl) 'ejem espectral para ondas TM

Resul = RKF(z1, z2, V1, V2, PH, DES, Beta, 0) 'espectral

Re1 = Vfe1 'espectral

Re2 = Vfe2 'espectral

ED = Vfe1 + Vfe2 * (Form2.ecl / (Beta * FuncionPz(z2, 1))) 'Caso Espectral ondas

TM

'Re1 = Cos(z2 * Sqr(beta))'ejem 2

'Re2 = -Sqr(beta) * Sin(z2 * Sqr(beta)) 'ejem 2

'Re1 = Cos(K * z2*Sqr(B� * B� - beta * beta)) 'ejem2

'ED = Sqr(300 - beta) * Re1 + Re2 'ejem 2

End Sub

Public Sub Signo()

Select Case ED

Case Is > 0: cambio = 1

Case Is < 0: cambio = 0

Case Else: cambio = 2

End Select

End Sub

2.- Fresnel J

Public Function JFre(ByVal La As Double, ByVal del As Double)

Dim p As Double, q As Double, pi As Double, J As Double, X As Double


pi = 3.141592654

p = La 'valor de lamda a p

q = del 'valor de delta a q

X = q * Sqr(p)

J = 0.5 * (Sqr(pi / p) - pi * q * (1 - FError(X)))

JFre = J

End Function

3.- FunError

Public Function FError(ByVal X As Double) As Double

Dim z As Double, n As Double, pi As Double, Error As Double, c0 As Double

Dim Sigma As Double, Sum1 As Double, poten As Double, fac As Double

pi = 3.141592654

z = 0

c0 = 0

z = X

c0 = 2 / Sqr(pi)

Sigma = 0

Sum1 = 0

poten = 0

If (z < 6.2) Then

For n = 0 To 150

poten = 2 * n + 1


If (n = 0) Then

fac = 1

End If

If (n = 1) Then

fac = 1

End If

If (n > 1) Then

fac = fac * n

End If

Sigma = (z ^poten) * ((-1) ^n) / (fac * (2 * n + 1))

Sum1 = Sum1 + Sigma

Next n

Error = c0 * Sum1

End If

If (z >= 6.2) Then

Error = 1

End If

FError = Error

End Function

4.- RKBUC

Option Explicit


Public Ve1 As Double, Ve2 As Double, Fb1 As Double, Fb2 As Double, Beta As

Double

Public Function RKB(ze1 As Double, ze2 As Double, Vinie1 As Double, Vinie2 As

Double, pash As Double, desple As Integer, Bo As Double, Impri As Integer) As Double

Dim V0(1 To 2) As Double, Vend(1 To 2) As Double

Dim F(1 To 2) As Double, K(1 To 7, 1 To 2) As Double

Dim z0 As Double, ip As Integer

Dim zini As Double, z�n As Double, h As Double

Dim i As Integer, J As Integer, i_rkf As Double, �n1 As Double

zini = ze1

z�n = ze2

h = pash

Beta = Bo

Form1.MSHtabla.Rows = desple + 1

'Condiciones Iniciales

z0 = zini

V0(1) = Vinie1

V0(2) = Vinie2

�n1 = z�n - h / 2

ip = 2

Do While (z0 < (�n1))

Call GetDeriv(V0, z0)


F(1) = Fb1

F(2) = Fb2

For i_rkf = 1 To 2 Step 1 'Obtiene los incrementos

K(1, i_rkf) = F(i_rkf)

Vend(i_rkf) = V0(i_rkf) + (h * K(1, i_rkf) / 4) 'Obtiene los incrementos de V0()

Next i_rkf

Call GetDeriv(Vend, (z0 + h / 4))

F(1) = Fb1

F(2) = Fb2



Vend(i_rkf) = V0(i_rkf) + (h / 8 * K(1, i_rkf)) + (h / 8 * K(2, i_rkf))

Next i_rkf

Call GetDeriv(Vend, (z0 + h / 4))

F(1) = Fb1

F(2) = Fb2



Vend(i_rkf) = V0(i_rkf) - (h / 2 * K(2, i_rkf)) + (h * K(3, i_rkf))

Next i_rkf

Call GetDeriv(Vend, z0 + h / 2)

F(1) = Fb1


F(2) = Fb2



Vend(i_rkf) = V0(i_rkf) + (3 * h * K(1, i_rkf) / 16) + (9 * h * K(4, i_rkf) / 16)

Next i_rkf

Call GetDeriv(Vend, z0 + (3 * h / 4))

F(1) = Fb1

F(2) = Fb2

For i_rkf = 1 To 2 Step 1


Vend(i_rkf) = V0(i_rkf) - (3 * h * K(1, i_rkf) / 7) + (2 * h * K(2, i_rkf) / 7) + (12 * h

* K(3, i_rkf) / 7) - (12 * h * K(4, i_rkf) / 7) + (8 * h * K(5, i_rkf) / 7)

Next i_rkf

Call GetDeriv(Vend, z0 + h)

F(1) = Fb1

F(2) = Fb2

For i_rkf = 1 To 2 Step 1


Next i_rkf

'Evalua la función con las K

For i = 1 To 2


Vend(i) = V0(i) + (h * (7 * K(1, i) + 32 * K(3, i) + 12 * K(4, i) + 32 * K(5, i) + 7 *

K(6, i))) / 90

Next i

For i_rkf = 1 To 2

V0(i_rkf) = Vend(i_rkf) 'Actualiza valores

Next i_rkf

z0 = z0 + h

Ve1 = V0(1)

Ve2 = V0(2) '/ z0 'ejem caso no homo /z0

If (Impri <> 0) Then

' Impresion de valores




Form1.MSHtabla.TextMatrix(1, 2) = Vinie1

Form1.MSHtabla.TextMatrix(1, 3) = Vinie2

Form1.MSHtabla.TextMatrix(1, 1) = ze1

For J = 2 To 3

Form1.MSHtabla.TextMatrix(ip, J) = V0(J - 1)

'Form1.MSHtabla.TextMatrix(ip, 3) = Ve2 'línea adici para ejem no homo

Form1.MSHtabla.TextMatrix(ip, 1) = z0

Next J


ip = ip + 1

End If

Loop

RKB = 0

End Function

Public Sub GetDeriv(ByRef V0() As Double, z0 As Double)

Dim previo As Double, n0 As Double, n1 As Double, k0 As Double, r As Double,

alfa As Double

n0 = Form2.no

n1 = Form2.ncl

k0 = Form2.ko

r = Form2.Rf

alfa = Form2.alf

'Fb1 = -0.5 * V0(1)'Eje1

'Fb2 = 4 - 0.3 * V0(2) - 0.1 * V0(1)

'Fb1 = V0(2) 'eje2

'Fb2 = 4 * z0 * Exp(2 * z0) + 4 * Exp(2 * z0)

previo = n0 * n0 * (1 - Abs(z0 / r) ^alfa + (n1 ^2 / n0 ^2) * Abs(z0 / r) ^alfa) '2 -alfa

forma del per�l cambio a valor absoluto Abs eje3

Fb1 = V0(2) 'eje 3

Fb2 = k0 ^2 * V0(1) * (Beta ^2 - previo) 'eje3

'Fb1 = V0(2) / z0 'ejem no homo


'Fb2 = 4 * V0(1) / z0 'ejem no homo

End Sub

5.- Simp3

Option Explicit

Public Fz As Double, Vafun As Double, Vadfun As Double, tpas As Double

Public Mj(1 To 1000) As Double, Sj(1 To 1000) As Double, zini As Double, z�n As

Double, Bp As Double

'Integración por medio del método de simpson 1/3 de aplicación múltiple

'N número de intervalos (N debe ser par)

' (Zi, Zf) puntos extremos del intervalo de integración

Public Function Simpson3(Zi As Double, Zf As Double, n As Integer, VBeta As

Double, pivj As Integer) As Double

Dim dh As Double, i As Integer, z0 As Double, J As Integer

Dim Sum As Double, integral As Double, Fa As Double, Fb As Double

'Se asignan valores iniciales

J = pivj

Bp = VBeta ' se asigna el valor propio

zini = Zi 'asigna el valor mínimo del intervalo de integración

z�n = Zf 'asigna el valor máximo del intervalo de integración

dh = (Zf - Zi) / n 'Determina el tamaño del incremento para integrar

tpas = dh / 10 'asigna el valor para el tamaño de paso ph de Runge Kutta


'se divide el incremento de integración en 10 subincrementos para obtener la función

y su derivada

Sum = 0 'limpia la variable Sum

'Inicia el proceso de integración en el intervalo (Zi,Zf)de una función dada

For i = 1 To (n / 2) Step 1

z0 = Zi + dh * (2 * i - 1)

Call ObteFunción(z0)

Sum = Sum + 4 * Fz

If (i <> (n / 2)) Then

Call ObteFunción(z0 + dh)

Sum = Sum + 2 * Fz

End If

Next i

Call ObteFunción(Zi)

Fa = Fz

Call ObteFunción(Zf)

Fb = Fz

Sum = Sum + Fa + Fb

integral = Sum * dh / 3 'asigna el valor de la integral a la variable integral

'Termina el proceso de integración

Simpson3 = integral 'se manda el valor de la integral

'Guardar valores en la matriz Mj


Mj(J) = Sqr(integral + (1 + Vafun * Vafun) / 2 * Bp * Form2.ecl) 'valor de norma de

la función propia con Bj ondas TM

End Function

Public Sub ObteFunción(z0 As Double)

Dim V1 As Double, V2 As Double

Dim �las As Integer

'Fz = 1 / (Exp(z0 ^2)) ' ejemplo 2

'Fz = 0.2 + 25 * z0 - 200 * z0 ^2 + 675 * z0 ^3 - 900 * z0 ^4 + 400 * z0 ^5 'ejemplo

1

�las = 1 + (z�n - zini) / tpas 'da el número de �las en la tabla

'V1 = Exp(zini * K * Sqr(Bp ^2 - ncl ^2)) 'ejem 1

'V2 = K * Sqr(Bp ^2 - ncl ^2) * Exp(zini * K * Sqr(Bp ^2 - ncl ^2)) 'ejem 1

'Fz = RKB(zini, z0, V1, V2, tpas, �las, Bp, 0) ' ejemplo 1

'Vafun = Ve1 'valor de la función en z0 ejem 1

'Vadfun = Ve2 'valor de derivada de la funcion en z0 ejem 1

V1 = 1 'eje espectral

V2 = Bp / Form2.ecl 'ondas TM

Fz = RKF(zini, z0, V1, V2, tpas, �las, Bp, 0)

Vafun = Vfe1

Vadfun = Vfe2

Fz = Vafun * Vafun / FuncionPz(z0, 1) ' normalización ondas TM

End Sub


Con los siguientes fórmularios:

1.- Fórmulario 1 Pantalla principal

2.- Fórmulario 2 Adquisición de datos

3.- Fórmulario 3 Pantalla para Gra�car

Código del Fórmulario 1:

Option Explicit

Public desple As Integer


Public Valor As Double, Resul1 As Double, Resul2 As Double, F1 As Double, F2

As Double

Private Sub BotonModos_Click()

Dim hini As Double, h�n As Double, binc As Double, Bi As Double, Bf As Double

Dim incZo As Double, k0 As Double, emax As Double, �max As Double, emin As

Double, �min As Double

Dim epscl As Double, mucl As Double

'Calcula por el met. de disparo los modos guiados

hini = Form2.Ri '-h radio del núcleo negativo

h�n = Form2.Rf '+h radio del núcleo pósitivo

k0 = Form2.ko ' valor del número de onda

emax = Form2.e0 'permitividad eléctrica máxima en el núcleo x=0

�max = Form2.�0 'permeabilidad magnética máxima en el núcleo x=0

emin = Form2.e1 'permitividad eléctrica mínima en el núcleo

�min = Form2.�1 'permeabilidad magnética mínima en el núcleo

epscl = Form2.ecl 'permitividad eléctrica en la cubierta óptica

mucl = Form2.�cl 'permeabilidad magnética en la cubierta óptica

binc = 0.01 'valor del incremento de Bo para el valor propio

incZo = 0.001 'valor del incremento de z0 en RK

'Bi = 1 'valor inicial de Bo ejem 1

'Bf = 2 'valor �nal de Bo ejem 1

Bi = 0 'ejem espectral


Bf = k0 * Sqr((emax * �max) - (epscl * mucl)) 'ejem espectral

'Valor = Metdisparo(0, 300, 0.0001, -0.2, 0.2, 4, 6, 1)

Valor = Metdisparo(Bi, Bf, binc, hini, h�n, incZo)

End Sub

Private Sub BotonCauchy_Click()

'Resuelve el problema de Cauchy

Dim Rini As Double, R�n As Double

Dim �las As Integer, PH As Double

Dim Vin As Double, V�n As Double, resultado As Double

Rini = Form2.Ri

R�n = Form2.Rf

PH = 0.01 'valor del paso en el método de Runge Kutta

'Vin = 4

'V�n = 6

'Vin = -Exp(-2) 'valor inicial de la función en -h

'V�n = -2 * Exp(-2) + Exp(-2) 'valor inicial de la derivada de la función en -h

'Vin = 2 ' ejem no homo

'V�n = 0 'ejem no homo

Vin = 1 ' ejem espectral

V�n = 1.5 / (Form2.ecl) 'ejem espectral 'ondas TM, beta 1.5

desple = 1 + (R�n - Rini) / PH

resultado = RKF(Rini, R�n, Vin, V�n, PH, desple, 1.5, 1)


'Resul1 = Valor1

'Resul2 = Valor2

'Print Resul1

'Print Resul2

End Sub

Private Sub BotonDatos_Click()

'adquiere los datos iniciales por el usuario

Form2.Show

End Sub

Private Sub FASE_Click()

'Se tabula la variación de la fase de cada uno de los modos considerados como rayos

Dim J As Integer, i As Integer, n As Integer, X As Double, alfa As Double

Dim epsih As Double, Xi As Double, Xf As Double, delta As Double, SumF As

Double

Dim integra As Double, So(1 To 1000) As Double

'Se sabe que cada modo se encuentra en una matriz Bet(j)

'Su fase correspondiente a cada modo esta en la matriz Sj(j)

n = 12 'numero de divisiones de la integral (número par)

epsih = Form2.varh 'guarda el valor de la variación de la frontera (h) por epsilon

Xi = Form2.Xini ' Asigna el valor inicial X0

Xf = Form2.X�n ' Asigna el valor �nal de X0

delta = (Xf - Xi) / n 'se obtiene el valor del incremento en la integral


SumF = 0 'limpia la variable suma

So(1) = 0 ' 1.3769108 'Fase inicial

So(2) = 0 '5.56817309

'Calcula la fase para cada modo

For i = 1 To Valor Step 1

'Calcula la integral para un valor propio

For J = 1 To (n / 2) Step 1

X = Xi + delta * (2 * J - 1)

alfa = Bet(i) ' valor de la función beta

SumF = SumF + 4 * alfa

If (J <> (n / 2)) Then

alfa = Bet(i)

SumF = SumF + 2 * alfa

End If

Next J

SumF = SumF + 2 * Bet(i)

integra = SumF * delta / 3

Sj(i) = (So(i) + integra) '/ (epsih * epsih)

SumF = 0

Next i

'Imprime en pantalla los valores de la fase

For J = 1 To Valor Step 1


Form1.MSHtabla.TextMatrix(J, 4) = Sj(J)

Next J

End Sub

Private Sub Form_Load()

Dim i As Integer

' Establece los encabezados de la tabla de resultados

MSHtabla.Rows = 9

For i = 0 To 4 Step 1

MSHtabla.ColAlignmentFixed(i) = �exAlignCenterCenter

Next i

'For i = 0 To 1

MSHtabla.ColWidth(0) = 840

'Next i

For i = 1 To 4

MSHtabla.ColWidth(i) = 1900

Next i

MSHtabla.HighLight = �exHighlightWithFocus

MSHtabla.TextMatrix(0, 0) = "Modos"

MSHtabla.TextMatrix(0, 1) = "Betas"

MSHtabla.TextMatrix(0, 2) = "Fun.Pro"

MSHtabla.TextMatrix(0, 3) = "Der.Fun.Pro"

MSHtabla.TextMatrix(0, 4) = "FASE"


End Sub

Private Sub Gra�cador_Click()

Gra�ca.Show

End Sub

Private Sub Imprim_Click()

Dim i As Integer

'Printer.Font.Bold = False

'Printer.Font.Italic = True

'Printer.Font.Size = 10

'Printer.Print

'Printer.Print

'Printer.Print Spc(30); "RESULTADO DEL CALCULO DE LOS MODOS GUIA-

DOS "

Printer.Font.Bold = False

Printer.Font.Italic = False

Printer.Font.Size = 9

For i = 1 To 42 Step 1

Printer.Print

Next i

'Printer.Print Tab(10); "Para h=0.2"; Spc(5); "k=10"; Spc(5); "ncl=1"; Spc(5); "no=2";

Spc(5); "incre=0.001"; Spc(5); "alpha=1"

'Printer.Print Tab(10); "Por el método de Butcher ph=0.0001"; Spc(5); "Co=0.00001"


'Printer.Print

For i = 0 To Valor Step 1 '15 52 82

Printer.Print Tab(10); Form1.MSHtabla.TextMatrix(i, 0); Spc(7);

Form1.MSHtabla.TextMatrix(i, 1) '; Spc(10); Form1.MSHtabla.TextMatrix(i, 2)

Next i

Printer.EndDoc

End Sub

Private Sub Normalizar_Click()

Dim Zi As Double, Zf As Double, n As Integer, ReI As Double

Dim J As Integer

Zi = Form2.Ri 'ejem espectral

Zf = Form2.Rf

'Zi = 0.2 ' ejemplo 1

'Zf = 1.5 'ejemplo1

'Zi = -0.4

'Zf = 0.4

n = 12 'Número de divisiones de integración

'Despliega los modos guiados en pantalla


Form1.MSHtabla.TextMatrix(J, 0) = J

Form1.MSHtabla.TextMatrix(J, 2) = Bet(J)

Next J


'Calcula todos los Mj para todas las Bj


ReI = Simpson3(Zi, Zf, n, Bet(J), J)

List1.AddItem ReI 'despliega en pantalla de prueba el resulatado de cada integral

Next J

'Despliega todos los Mj en pantalla


Form1.MSHtabla.TextMatrix(J, 3) = Mj(J)

Next J

End Sub

Private Sub resultado_Click()

List1.AddItem "Mags"

List1.AddItem "Mags1"

List1.AddItem "Mags2"

List1.List(0) = Chr(13)

List1.AddItem "prueba"

End Sub

Private Sub Salir_Click()

Unload Me

End

End Sub



Option Explicit

Public Ri As Double, Rf As Double, e0 As Double, �0 As Double

Public ecl As Double, �cl As Double, e1 As Double, �1 As Double, ko As Double,

alf As Double, no As Double, ncl As Double

Private Sub BotonAceptar_Click()

Ri = Rinicial.Text

Rf = R�nal.Text

ko = Kvacio.Text

no = Indicemax0.Text

ncl = IndiceRefcub.Text

alf = alpha.Text

e0 = permit0.Text 'valor máximo en el núcleo

�0 = Permea0.Text 'valor máximo en el núcleo

e1 = Permitcl.Text 'valor mínimo en el núcleo

�1 = Permeacl.Text 'valor mínimo en el núlcleo

ecl = epCubop.Text 'valor constante en la cubierta óptica

�cl = muCubop.Text 'valor constante en la cubierta óptica

Form2.Hide

End Sub

Private Sub BotonCancelar_Click()

Beep

Beep


Beep

Form2.Hide

End Sub

Private Sub BotonReset_Click()

Rinicial.Text = "0"

R�nal.Text = "0"

alpha.Text = "0"

End Sub


Private Sub AmplitudG_Click()

'****GRAFICA DE LA AMPLITUD DEL CAMPO Aj***

'**Para ello se recurre a la función propia normalizada

Dim PH As Double, EigenVal As Double, norma As Double, Cond1 As Double,

Cond2 As Double

DimmAs Double, X As Double, NorFun As Double, grad As Double, Ao As Double

Dim epsi As Double, Fz As Double, Fzo As Double, pi As Double, modo As Integer,

maxim As Double

pi = 3.141592654

'Escala del sistema

Imagen.Cls 'Limpia pantalla

Imagen.ScaleLeft = 0

Imagen.ScaleTop = 1


Imagen.ScaleWidth = 0.5

Imagen.ScaleHeight = -2

'Imagen.Scale (-3, 2)-(20, -2)

'Anchura de la traza y tamaño de los caracteres

Imagen.DrawWidth = 1

Imagen.FontSize = 10

Imagen.DrawStyle = 0

'Dibuja el eje X

Imagen.Line (Imagen.ScaleLeft, Imagen.ScaleTop + Imagen.ScaleHeight / 2)

- (Imagen.ScaleLeft + Imagen.ScaleWidth, Imagen.ScaleTop

+ Imagen.ScaleHeight / 2)

'Dibuja el eje Y

Imagen.Line (0, Imagen.ScaleTop)-(0, Imagen.ScaleTop + Imagen.ScaleHeight)

PH = Form2.Rf 'valor de h (radio del núcleo

modo = Gra�ca.NoMod 'obtiene el valor del número del modo a gra�car

EigenVal = 1.593652 'Bet(modo) 'Primer valor propio

norma = 2.5882036843304 'Mj(modo) 'Primera Norma

Cond1 = 1 'valor inicial de la funcion

Cond2 = EigenVal / Form2.ecl 'ondas TM 'valor inicial de la derivada de la función

NorFun = Cond1 / norma

epsi = Form2.varh

Imagen.PSet (0, NorFun) ' Punto inicial


Fzo = RKF(-PH, 0, Cond1, Cond2, 0.001, 10, EigenVal, 0) 'considerando en Z=0

Fzo = Vfe1

For m = -PH + 0.01 To PH / 2 Step 0.01 'considerando la amplitud a la mitad de +h/2

NorFun = RKF(-PH, m, Cond1, Cond2, 0.001, 10, EigenVal, 0) 'ejem espectral

Fz = Vfe1 / norma

Next m

X = 0.01

maxim = Abs((Sqr(epsi) * Fzo * Fz * Cos((pi / 4) + EigenVal * X / epsi)) / Sqr(X *

8 * pi * EigenVal))

For X = 0.01 To 0.5 Step 0.01

Ao = Abs((Sqr(epsi) * Fzo * Fz * Cos((pi / 4) + EigenVal * X / epsi)) / Sqr(X * 8 *

pi * EigenVal))

If (Ao > maxim) Then

maxim = Ao

End If

Next X

For X = 0.01 To 1.5 Step 0.01

Ao = (Sqr(epsi) * Fzo * Fz * Cos((pi / 4) + EigenVal * X / epsi)) / Sqr(X * 8 * pi *

EigenVal)

Imagen.Line -(X, Ao / maxim), RGB(0, 0, 255) 'Green

Next X

End Sub


Private Sub Campo_Click()

'******GRAFICA EL CAMPO Ez y Hz

Dim z As Double, Ez As Double, max As Double, min As Double

Dim Ms As Double, Hz As Double

'Escala del sistema de coordenadas al cuadro de Imagen


Imagen.ScaleLeft = -3

Imagen.ScaleTop = 1.2

Imagen.ScaleWidth = 23

Imagen.ScaleHeight = -2.4





'Dibuja el eje X


- (Imagen.ScaleLeft + Imagen.ScaleWidth, Imagen.ScaleTop

+ Imagen.ScaleHeight / 2)

'dibuja el eje Y


'Calcula el valor maximo positivo y negativo del campo

z = 0


Ez = 500 * Cos(z) 'ejem 1

max = Abs(Ez) ' obtiene el valor absoluto

For z = 0 To 17 Step 0.01

Ez = Abs(500 * Cos(z))

If (Ez > max) Then

max = Ez

End If

Next z

'Dibujar la funcion Coseno

Imagen.PSet (0, (500 * Cos(0)) / max) ' Punto inicial


Ez = (500 * Cos(z))

'If (Ez >= 0) Then

Imagen.Line -(z, Ez / max), RGB(0, 0, 255) 'coseno

'End If

'If (Ez < 0) Then

' Imagen.Line -(z, Ez / Abs(min)), RGB(0, 0, 255) 'coseno

' End If

Next z

'Dibuja el Seno

Imagen.PSet (0, Sin(0)) ' Punto inicial



Hz = Sin(z)

Imagen.Line -(z, Hz), RGB(255, 0, 0) 'Seno

Next z

'Mensajes de valores

Ms = 0

Imagen.CurrentX = -0.7 - (Imagen.TextWidth(Ms) / 2)

Imagen.CurrentY = -0.15 - (Imagen.TextHeight(Ms) / 2)

Imagen.Print Ms

Ms = max

Imagen.CurrentX = -2 - (Imagen.TextWidth(Ms) / 2)

Imagen.CurrentY = 1 - (Imagen.TextHeight(Ms) / 2)

Imagen.Print Ms

Ms = -max

Imagen.CurrentX = -1.7 - (Imagen.TextWidth(Ms) / 2)

Imagen.CurrentY = -1 - (Imagen.TextHeight(Ms) / 2)

Imagen.Print Ms

End Sub

Private Sub DeFunProNor_Click()

Dim i As Double, rad As Double, vp As Double, C1 As Double, C2 As Double

Dim DeFunNorm As Double, vnorma As Double, mensaje As Double

'**GRAFICA LA DERIVADA DE LA FUNCION PROPIA NORMALIZADA**




Imagen.ScaleLeft = -0.2 '-3

Imagen.ScaleTop = 1.5 '2

Imagen.ScaleWidth = 0.4 '23

Imagen.ScaleHeight = -3 '-4

'Imagen.Scale (-3, 2)-(20, -2)





'Dibuja el eje X

Imagen.Line (Imagen.ScaleLeft, Imagen.ScaleTop

+ Imagen.ScaleHeight / 2)-(Imagen.ScaleLeft + Imagen.ScaleWidth,

Imagen.ScaleTop + Imagen.ScaleHeight / 2)

'dibuja el eje Y


rad = Form2.Rf

vp = Bet(1)

vnorma = Mj(1)

C1 = 1 'valor inicial de la funcion

C2 = vp / Form2.ecl 'ondas TM 'valor inicial de la derivada de la función

DeFunNorm = C2 / vnorma


Imagen.PSet (-rad, DeFunNorm) ' Punto inicial

For i = -rad + 0.001 To rad Step 0.001

DeFunNorm = RKF(-rad, i, C1, C2, 0.001, 10, vp, 0) 'ejem espectral

DeFunNorm = Vfe2 / vnorma

Imagen.Line -(i, DeFunNorm), RGB(0, 0, 255) 'funcion propia

Next i

mensaje = C2 / vnorma 'valor a desplegar

Imagen.CurrentX = -rad - (Imagen.TextWidth(mensaje) / 2)

Imagen.CurrentY = -0.1 - (Imagen.TextHeight(mensaje) / 2)

Imagen.Print mensaje

mensaje = DeFunNorm

Imagen.CurrentX = rad - (Imagen.TextWidth(mensaje) / 2)

Imagen.CurrentY = 0.1 - (Imagen.TextHeight(mensaje) / 2)

Imagen.Print mensaje

End Sub

Private Sub Derifun_Click()

'**GRAFICA LA DERIVADA DE LA FUNCION PROPIA**

Dim z As Double, valmax As Double, dato As Double, letrero As String

Dim defunpro As Double, Vi1 As Double, Vi2 As Double, Bp As Double

Dim h As Double, dfpneg As Double, dfppos As Double, V1 As Double, vh As

Double, dfpho As Double




Imagen.ScaleLeft = -2 'depende del valor -h

Imagen.ScaleTop = 1.2

Imagen.ScaleWidth = 4 'depende del valor h

Imagen.ScaleHeight = -2.4





'Dibuja el eje X

Imagen.Line (Imagen.ScaleLeft, Imagen.ScaleTop

+ Imagen.ScaleHeight / 2)-(Imagen.ScaleLeft +

Imagen.ScaleWidth, Imagen.ScaleTop + Imagen.ScaleHeight / 2)

'dibuja el eje Y


h = Form2.Rf

'Calcula el valor maximo de la función tanto positivo o negativo

Bp = Bet(1)

'Vi1 = Exp(z1 * K * Sqr(Bp ^2 - 1 ^2))

'Vi2 = K * Sqr(Bp ^2 - 1 ^2) * Exp(z1 * K * Sqr(Bp ^2 - 1 ^2))

Vi1 = 1 'ejem espectral

Vi2 = Bp / Form2.ecl 'ondas TM


defunpro = Vi2

valmax = Abs(defunpro)

For z = -h + 0.01 To h Step 0.01

'defunpro = RKB(-h, Z, Vi1, Vi2, 0.0001, 10, Bp, 0) 'Se usa RKButcher (Ve1 esta la

función)

'defunpro = Abs(Ve2)

defunpro = RKF(-h, z, Vi1, Vi2, 0.001, 10, Bp, 0) 'ejem espectral

defunpro = Abs(Vfe2)

If (defunpro > valmax) Then

valmax = defunpro

End If

Next z

'Termina el cálculo

'gra�ca la derfun en (-inf,-h)

z = -2 * h

dfpneg = Bp * Exp(Bp * (z + h))

Imagen.PSet (z / h, (dfpneg / valmax)) 'punto inicial

For z = -2 * h + 0.01 To -h Step 0.01

dfpneg = Bp * Exp(Bp * (z + h))

Imagen.Line -(z / h, dfpneg / valmax), RGB(0, 0, 255)

Next z

'Gra�ca la función


'Bp = Bet(1)

'Vi1 = Exp(z1 * K * Sqr(Bp ^2 - 1 ^2))

'Vi2 = K * Sqr(Bp ^2 - 1 ^2) * Exp(z1 * K * Sqr(Bp ^2 - 1 ^2))

Vi1 = 1 'ejem espectral

Vi2 = Bp / Form2.ecl 'ondas TM

defunpro = Vi2 'valor de la derivada de la función en -h

Imagen.PSet (-h / h, (defunpro) / valmax) ' Punto inicial

For z = -h + 0.001 To h Step 0.01

'defunpro = RKB(-h, Z, Vi1, Vi2, 0.0001, 10, Bp, 0)

'defunpro = Ve2

defunpro = RKF(-h, z, Vi1, Vi2, 0.001, 10, Bp, 0) 'ejem espectral

defunpro = Vfe2

Imagen.Line -(z / h, defunpro / valmax), RGB(0, 0, 255) 'deriv. funcion propia

Next z

'gra�ca la derfun en (h,+inf)

V1 = Form2.ecl 'ondas TM

vh = FuncionPz(h, 1) 'ondas TM

z = h

dfpho = V1 * defunpro * Exp(-Bp * (z - h)) / vh

Imagen.PSet (z / h, (dfpho / valmax)) 'punto inicial

For z = h + 0.01 To 2 * h Step 0.01

dfppos = V1 * defunpro * Exp(-Bp * (z - h)) / vh


Imagen.Line -(z / h, dfppos / valmax), RGB(0, 0, 255)

Next z

dato = Vi2

Imagen.CurrentX = -h / h - 0.2 - (Imagen.TextWidth(dato) / 2)

Imagen.CurrentY = Vi2 / valmax - (Imagen.TextHeight(dato) / 2)

Imagen.Print dato

dato = defunpro

Imagen.CurrentX = h / h - (Imagen.TextWidth(dato) / 2)

Imagen.CurrentY = defunpro / valmax - (Imagen.TextHeight(dato) / 2)

Imagen.Print dato

dato = dfpho

Imagen.CurrentX = h / h - (Imagen.TextWidth(dato) / 2)

Imagen.CurrentY = dfpho / valmax - (Imagen.TextHeight(dato) / 2)

Imagen.Print dato

letrero = "-h"

Imagen.CurrentX = -1.01 - (Imagen.TextWidth(letrero) / 2)

Imagen.CurrentY = -0.1 - (Imagen.TextHeight(letrero) / 2)

Imagen.Print letrero

letrero = "+h"

Imagen.CurrentX = 1.01 - (Imagen.TextWidth(letrero) / 2)




letrero = "0"

Imagen.CurrentX = -0.1 - (Imagen.TextWidth(letrero) / 2)



dato = valmax

Imagen.CurrentX = -h / h - (Imagen.TextWidth(dato) / 2)

Imagen.CurrentY = 1.1 - (Imagen.TextHeight(dato) / 2)

Imagen.Print dato

dato = -valmax

Imagen.CurrentX = -h / h - (Imagen.TextWidth(dato) / 2)

Imagen.CurrentY = -1.1 - (Imagen.TextHeight(dato) / 2)

Imagen.Print dato

'dibuja rectangulo que encierra al núcleo


Imagen.Line (-1, 1)-(1, -1), RGB(255, 0, 0), B

End Sub

Private Sub FunProGen_Click()

Dim alf As Double, phi1 As Double, phi2 As Double, h2 As Double, h1 As Double

Dim k1 As Double, k0 As Double, e1 As Double, funGen As Double, m As Double,

C1 As Double

Dim FNor As Double, pi As Double, cadena As String

'Grá�ca de la FUNCION PROPIA GENERALIZADA



Imagen.ScaleLeft = -1 '-3

Imagen.ScaleTop = 2 '2

Imagen.ScaleWidth = 3 '23

Imagen.ScaleHeight = -4 '-4

'Imagen.Scale (-3, 2)-(20, -2)





'Dibuja el eje X

Imagen.Line (Imagen.ScaleLeft, Imagen.ScaleTop +

Imagen.ScaleHeight / 2)-(Imagen.ScaleLeft + Imagen.ScaleWidth,


'dibuja el eje Y


k0 = Form2.ko

e1 = Form2.ecl 'valor de la permitividad en z<h1

h1 = 0.1 'valor de la distancia inicial

h2 = 1 'valor de la distancia inicial

alf = 4.999 'valor de alfa

k1 = k0 * Sqr(e1)


phi1 = 1 'valor inicial de la funcion Gen

phi2 = Sqr(k1 * k1 - alf * alf) / e1 'ondas TM 'valor inicial de la derivada de la

función

C1 = Sqr(k1 * k1 - alf * alf)

pi = 3.141592654

'Encontrando el factor de Normalización FNor

funGen = RKF(h1, h2, phi1, phi2, 0.001, 10, alf, 0) 'ejem espectral

FNor = Sqr(2 * e1 / pi) * C1 / Sqr(C1 * C1 * Abs(Vfe1) * Abs(Vfe1) + Abs(Vfe2) *

Abs(Vfe2))

'Gra�ca antes de h1

m = h1 - 1

funGen = 1 'valor de la magnitud

Imagen.PSet (m, funGen * FNor) ' Punto inicial

For m = m + 0.1 To h1 Step 0.00001

funGen = 1

Imagen.Line -(m, funGen * FNor), RGB(0, 0, 255) 'funcion propia Generalizada

Next m

'Gra�ca entre h1 y h2


For m = m To h2 Step 0.001

funGen = RKF(h1, m, phi1, phi2, 0.001, 10, alf, 0) 'ejem espectral

funGen = Vfe1


Imagen.Line -(m, funGen * FNor), RGB(0, 0, 255) 'funcion propia

Next m

'Gra�ca Despues de h2

m = h2

funGen = Vfe1 'valor de la magnitud


For m = m To h2 + 1 Step 0.00001

funGen = Vfe1 * Cos(C1 * (m - h2)) + (Vfe2 * Sin(C1 * (m - h2))) / C1

Imagen.Line -(m, funGen * FNor), RGB(0, 0, 255) 'funcion propia Generalizada

Next m

'Despliega mensajes en la grá�ca

cadena = "h1"

Imagen.CurrentX = h1 - (Imagen.TextWidth(cadena) / 2)

Imagen.CurrentY = -0.3 - (Imagen.TextHeight(cadena) / 2)

Imagen.Print cadena

cadena = "h2"

Imagen.CurrentX = h2 - (Imagen.TextWidth(cadena) / 2)

Imagen.CurrentY = -0.3 - (Imagen.TextHeight(cadena) / 2)

Imagen.Print cadena

End Sub

Private Sub FunProNor_Click()


Dim dh As Double, Eigen As Double, norma As Double, Cond1 As Double, Cond2

As Double

Dim m As Double, NorFun As Double, mes As Double, mode As Integer

'**GRAFICA LA FUNCION PROPIA NORMALIZADA**






Imagen.ScaleHeight = -2.4 '-4

'Imagen.Scale (-3, 2)-(20, -2)





'Dibuja el eje X




'dibuja el eje Y


dh = Form2.Rf


mode = Gra�ca.NoMod

Eigen = Bet(mode)

norma = Mj(mode)

Cond1 = 1 'valor inicial de la funcion

Cond2 = Eigen / Form2.ecl 'ondas TM 'valor inicial de la derivada de la función

NorFun = Cond1 / norma

Imagen.PSet (-dh, NorFun) ' Punto inicial

For m = -dh + 0.001 To dh Step 0.001

'funpro = RKB(-h, zo, Vo1, Vo2, 0.0001, 10, B, 0) 'ejem 1

'funpro = Ve1 'ejem 1

NorFun = RKF(-dh, m, Cond1, Cond2, 0.001, 10, Eigen, 0) 'ejem espectral

NorFun = Vfe1 / norma

Imagen.Line -(m, NorFun), RGB(0, 0, 255) 'funcion propia

Next m

mes = Cond1 / norma 'valor a desplegar

Imagen.CurrentX = -dh - (Imagen.TextWidth(mes) / 2)

Imagen.CurrentY = -0.1 - (Imagen.TextHeight(mes) / 2)

Imagen.Print mes

mes = NorFun

Imagen.CurrentX = dh - (Imagen.TextWidth(mes) / 2)

Imagen.CurrentY = 0.1 - (Imagen.TextHeight(mes) / 2)

Imagen.Print mes


End Sub

Private Sub Gradual_Click()

'**GRAFICA EL PERFIL**

Dim indice As Double, alfa As Double, rela As Double, max As Double, min As

Double

Dim i As Double, no As Double, nc As Double, h As Double, Msg As Double

Dim X As Double

'Escala del sistema de coordenadas al cuadro de Per�l

Per�l.FontSize = 2

Per�l.Cls

Per�l.ScaleLeft = -120

Per�l.ScaleTop = 1.1

Per�l.ScaleWidth = 240

Per�l.ScaleHeight = -1.4

'Dibuja el eje X

Per�l.Line (Per�l.ScaleLeft, 0)-(Per�l.ScaleLeft + Per�l.ScaleWidth, 0)

'dibuja el eje Y

Per�l.Line (0, Per�l.ScaleTop)-(0, Per�l.ScaleTop + Per�l.ScaleHeight)

'datos iniicales

no = Form2.no

nc = Form2.ncl

rela = nc ^2 / no ^2


h = 100 ' 'micrometros

alfa = Form2.alf ' describe la forma del per�l

'alfa = 3.3 'alfa forma del per�l

'Calcula el maximo valor de la función

X = -h

max = Sqr(no * no * (1 - Abs(X / h) âlfa + rela * Abs(X / h) âlfa))

For X = -h To h Step 0.01

indice = Sqr(no * no * (1 - Abs(X / h) âlfa + rela * Abs(X / h) âlfa))

If (indice > max) Then

max = indice

End If

Next X

'Calcula el minimo valor de la función

X = -h

min = Sqr(no * no * (1 - Abs(X / h) âlfa + rela * Abs(X / h) âlfa))


indice = Sqr(no * no * (1 - Abs(X / h) âlfa + rela * Abs(X / h) âlfa))

If (indice < min) Then

min = indice

End If

Next X

'Dibujar per�l


X = -h

indice = (Sqr(no * no * (1 - Abs(X / h) âlfa + rela * Abs(X / h) âlfa))) / max

Per�l.PSet (-h, indice) ' Punto inicial


indice = (Sqr(no * no * (1 - Abs(X / h) âlfa + rela * Abs(X / h) âlfa))) / max

Per�l.Line -(X, indice), RGB(255, 0, 0) 'per�l

Next X

'Dibuja la linea de la cubierta optica

Per�l.Line (-120, nc / max)-(-h, nc / max), RGB(255, 0, 0)

Per�l.Line (h, nc / max)-(240, nc / max), RGB(255, 0, 0)

'Mensajes de valores

Msg = Form2.Ri ' toma el valor de h en la tabla de datos

Per�l.CurrentX = -h - (Per�l.TextWidth(Msg) / 2)

Per�l.CurrentY = -0.2 - (Per�l.TextHeight(Msg) / 2)

Per�l.Print Msg

Msg = Form2.Rf

Per�l.CurrentX = h - (Per�l.TextWidth(Msg) / 2)

Per�l.CurrentY = -0.2 - (Per�l.TextHeight(Msg) / 2)

Per�l.Print Msg

Msg = no

Per�l.CurrentX = -h - (Per�l.TextWidth(Msg) / 2)

Per�l.CurrentY = 1 - (Per�l.TextHeight(Msg) / 2)


Per�l.Print Msg

End Sub

Private Sub GreenF_Click()

'**GRAFICA DE LA AMPLITUD DEL Green Gj**

'**Para ello se recurre a la función propia normalizada

Dim Con1 As Double, Con2 As Double, Eigen(1 To 100) As Double, h(1 To 100) As

Double

Dim t As Integer, m As Double, X As Double, NorF As Double, temp As Double, Gr

As Double

Dim epsi As Double, Fiz As Double, Fizo As Double, pi As Double

Dim Xi As Double, Xf As Double, Grmax As Double, val As Double, norm As

Double

Dim Am As Double

pi = 3.141592654

Eigen(1) = 0.401074 '1.593652

h(1) = 1

Eigen(2) = 0.38345 '1.587187 '

h(2) = 0.99

Eigen(3) = 0.41849 '1.59998 '

h(3) = 1.01

Eigen(4) = 0.435996 '1.606171 '

h(4) = 1.02


Eigen(5) = 0.427304 '1.6031054 '

h(5) = 1.015

Eigen(6) = 0.409843 '1.59683593 '

h(6) = 1.005

Eigen(7) = 0.365742 '1.580566406 '

h(7) = 0.98

Eigen(8) = 0.347929 '1.5738085 '

h(8) = 0.97

Eigen(9) = 0.383457 '1.5871874 '

h(9) = 0.99

'Escala del sistema


Imagen.ScaleLeft = 0 'valor de x izquierdo

Imagen.ScaleTop = 3 'valor de y arriba

Imagen.ScaleWidth = 4.5 ' ancho del area de x

Imagen.ScaleHeight = -6 'altura del área de y

'Imagen.Scale (-3, 2)-(20, -2)





'Dibuja el eje X



Imagen.ScaleHeight / 2)-(Imagen.ScaleLeft +

Imagen.ScaleWidth, Imagen.ScaleTop + Imagen.ScaleHeight / 2)

'dibuja el eje Y


'*Empieza la grá�ca

epsi = Form2.varh

'Ciclo Para encontrar el máximo valor de gra�cación

Xi = 0

Xf = 0.5

Con1 = 1 'valor inicial de la funcion

Con2 = Eigen(1) / Form2.ecl 'ondas TM 'valor inicial de la derivada de la función

Fizo = RKF(-h(1), 0, Con1, Con2, 0.001, 10, Eigen(1), 0) 'considerando en Z=0

Fizo = Vfe1

Grmax = 0

For t = 1 To 9 Step 1

Con2 = Eigen(t) / Form2.ecl 'ondas TM 'valor inicial de la derivada de la función

temp = Simpson3(-h(t), h(t), 12, Eigen(t), t)

NorF = Con1 / Mj(t)

For m = -h(t) + 0.01 To h(t) / 2 Step 0.01 'considerando la amplitud a la mitad de

+h/2

NorF = RKF(-h(t), m, Con1, Con2, 0.001, 10, Eigen(t), 0) 'ejem espectral


Fiz = Vfe1 / Mj(t)

Next m

X = Xi + 0.0001

Grmax = Abs((Sqr(epsi) * Fizo * Fiz * Cos((pi / 4) + Eigen(t) * X / epsi)) / Sqr(8 *

X * pi * Eigen(t)))

For X = Xi + 0.0001 To Xf Step 0.01

Gr = Abs((Sqr(epsi) * Fizo * Fiz * Cos((pi / 4) + Eigen(t) * X / epsi)) / Sqr(8 * X *

pi * Eigen(t)))

If (Gr > Grmax) Then

Grmax = Gr

End If

Next X

Xi = Xi + 0.5

Xf = Xf + 0.5

Next t

'Ciclo General de gra�cación

Xi = 0

Xf = 0.5

For t = 1 To 9 Step 1

Con2 = Eigen(t) / Form2.ecl 'ondas TM 'valor inicial de la derivada de la función

temp = Simpson3(-h(t), h(t), 12, Eigen(t), t)

NorF = Con1 / Mj(t)


Imagen.PSet (Xi, NorF) ' Punto inicial

For m = -h(t) + 0.01 To h(t) / 2 Step 0.01 'considerando la amplitud a la mitad de

+h/2

NorF = RKF(-h(t), m, Con1, Con2, 0.001, 10, Eigen(t), 0) 'ejem espectral

Fiz = Vfe1 / Mj(t)

Next m


Gr = (Sqr(epsi) * Fizo * Fiz * Cos((pi / 4) + Eigen(t) * X / epsi)) / Sqr(8 * X * pi *

Eigen(t))

Imagen.Line -(X, Gr / Grmax), RGB(0, 0, 255) 'Green

Next X

Xi = Xi + 0.5

Xf = Xf + 0.5

Next t

'Gra�ca en función del tiempo

'Am = Exp(-0)

'Imagen.PSet (0, Am)

'For t = 0 To 20 Step 1

' Am = Exp(-(t * t) / 20000) * Gr

' Imagen.Line -(t, Am)

'Next t

End Sub


Private Sub GreenLat_Click()

'Gra�ca de la función de Green Laterales

Dim Con1 As Double, Con2 As Double, alfa As Double

Dim m As Double, X As Double, D2 As Double, Gr As Double

Dim epsi As Double, Fiz As Double, Fizo As Double, pi As Double, k1 As Double,

ko As Double

Dim Xi As Double, Xf As Double, Grmax As Double, norm As Double, e1 As Dou-

ble

Dim L2 As Double, h1 As Double, h2 As Double, pos As Double, GUIADA As

Double

pi = 3.141592654

'Escala del sistema


Imagen.ScaleLeft = 0 'valor de x izquierdo

Imagen.ScaleTop = 1.1 'valor de y arriba

Imagen.ScaleWidth = 2 ' ancho del area de x

Imagen.ScaleHeight = -2.2 'altura del área de y

'Imagen.Scale (-3, 2)-(20, -2)






'Dibuja el eje X


-(Imagen.ScaleLeft + Imagen.ScaleWidth, Imagen.ScaleTop + Imagen.ScaleHeight /

2)

'dibuja el eje Y


'*Empieza la grá�ca

epsi = 0.001

Xi = 0.001

Xf = 2

alfa = 4



ko = 5

e1 = 1

k1 = ko * Sqr(e1)

Con1 = 1 'valor inicial de la funcion Gen

Con2 = Sqr(k1 * k1 - alfa * alfa) 'valor inicial de la derivada de la función

'Encontrando Delta para la función de Fresnel J

Grmax = RKF(h1, h2, Con1, Con2, 0.001, 10, alfa, 0) 'ejem espectral

D2 = Abs(Vfe2) / Abs(Vfe1)

L2 = 2 * k1 * epsi


'Ciclo General de gra�cación

norm = 0

Fizo = RKF(h1, h1 + 0.5, Con1, Con2, 0.001, 10, alfa, 0)

Fizo = Vfe1

Imagen.PSet (Xi, 0) ' Punto inicial

For m = h1 + 0.01 To h2 Step 0.01 '

norm = RKF(h1, m, Con1, Con2, 0.001, 10, alfa, 0) 'ejem espectral

Fiz = Vfe1

'Imagen.Line -(m, Fiz / Grmax), RGB(0, 0, 255) 'Blue

Next m

pos = Sqr(2 * pi) * pi * e1

'Valor máximo de la función

Grmax = Abs(0)

For X = Xi + 0.01 To Xf Step 0.01 '

' GUIADA=

Gr = e1 * Sqr(epsi) * JFre((Abs(X) / L2), D2) * Fizo * Fiz

Gr = Abs(Gr / (pos * Sqr(X * k1)))

If (Gr > Grmax) Then

Grmax = Gr

End If

Next X

'Gra�cación de G lateral



Gr = e1 * Sqr(epsi) * JFre((Abs(X) / L2), D2) * Fizo * Fiz

Gr = Gr / (pos * Sqr(X * k1))

Imagen.Line -(X, Gr / Grmax), RGB(0, 0, 255) 'Green

Next X

End Sub

Private Sub Inicio_Click()

'***GRAFICA LA FUNCION PROPIA***

Dim zo As Double, vmax As Double, vmin As Double, dat As Double

Dim funpro As Double, Vo1 As Double, Vo2 As Double, B As Double, alf As Double

Dim h As Double, fpneg As Double, fppos As Double, dath As String

Dim nmod As Integer






Imagen.ScaleHeight = -2.4 '-4

'Imagen.Scale (-3, 2)-(20, -2)






'Dibuja el eje X




'dibuja el eje Y


h = Form2.Rf

'Calcula el valor maximo de la función tanto positivo o negativo para normalizar

nmod = Gra�ca.NoMod

B = Bet(nmod) ' 0.20064208984375 'primer valor propio

'Vo1 = Exp(-h * Form2.ko * Sqr(B ^2 - Form2.ncl ^2)) 'ejem 1

'Vo2 = Form2.ko * Sqr(B ^2 - Form2.ncl ^2) * Exp(-h * Form2.ko * Sqr(B ^2 -

Form2.ncl ^2)) 'ejem 1

Vo1 = 1 'ejem espectral

Vo2 = B / Form2.ecl 'espectral ondas TM

funpro = Vo1

vmax = Abs(funpro)

For zo = -h + 0.01 To h Step 0.01


'funpro = Abs(Ve1) 'ejem 1

funpro = RKF(-h, zo, Vo1, Vo2, 0.001, 10, B, 0) 'ejem espectral


funpro = Abs(Vfe1) 'espectral

'funpro = Abs(Cos(Sqr(200 - 100 - B * B) * (zo + h)) + 2 * B * Sin(Sqr(200 - 100 -

B * B)

* (zo + h)) / Sqr(200 - 100 - B * B)) 'análitico

If (funpro > vmax) Then

vmax = funpro

End If

Next zo

'Termina el cálculo

'Grá�ca la fp de (-inf,-h) ejemplo 1

'zo = -2 * h

'fpneg = Exp(zo * Form2.ko * Sqr(B ^2 - Form2.ncl ^2)) 'ejem 1

'Imagen.PSet (zo / h, (fpneg) / vmax) ' Punto inicial

'For zo = -2 * h + 0.01 To -h Step 0.00001

' fpneg = Exp(zo * Form2.ko * Sqr(B ^2 - Form2.ncl ^2))

' Imagen.Line -(zo / h, fpneg / vmax), RGB(0, 0, 255) 'funcion propia

'Next zo

'Grá�ca la fp de (-inf,-h) espectral

zo = -2 * h

fpneg = Exp(B * (zo + h))

Imagen.PSet (zo / h, (fpneg) / vmax) ' Punto inicial

For zo = -2 * h + 0.01 To -h Step 0.00001


fpneg = Exp(B * (zo + h))

Imagen.Line -(zo / h, fpneg / vmax), RGB(0, 0, 255) 'funcion propia

Next zo

'Gra�ca la función

'Vo1 = Exp(-h * Form2.ko * Sqr(B ^2 - Form2.ncl ^2)) 'ejem 1

'Vo2 = Form2.ko * Sqr(B ^2 - Form2.ncl ^2) * Exp(-h * Form2.ko * Sqr(B ^2 -

Form2.ncl ^2)) 'ejem 1

Vo1 = 1 'ejem espectral

Vo2 = B / Form2.ecl 'espectral ondas TM

funpro = Vo1 'valor de la función en -h

Imagen.PSet (-h / h, (funpro) / vmax) ' Punto inicial

For zo = -h + 0.01 To h Step 0.01


'funpro = Ve1 'ejem 1

funpro = RKF(-h, zo, Vo1, Vo2, 0.001, 10, B, 0) 'ejem espectral

funpro = Vfe1 'espectral

'funpro = Cos(Sqr(200 - 100 - B * B) * (zo + h)) + 2 * B * Sin(Sqr(200 - 100 - B *

B) *

(zo + h)) / Sqr(200 - 100 - B * B) 'análitico

Imagen.Line -(zo / h, funpro / vmax), RGB(0, 0, 255) 'funcion propia

Next zo

'grá�ca de (h,+inf) espectral


zo = h

fppos = funpro * Exp(-B * (zo - h))

Imagen.PSet (zo / h, (fppos) / vmax) ' Punto inicial

For zo = h + 0.01 To 2 * h Step 0.001

fppos = funpro * Exp(-B * (zo - h))

Imagen.Line -(zo / h, fppos / vmax), RGB(0, 0, 255) 'funcion propia

Next zo

'grá�ca de (h,+inf) ejemplo 1

'zo = h

'fppos = funpro * Exp(Form2.ko * Sqr(B ^2 - Form2.ncl ^2) * (h - zo))

'Imagen.PSet (zo / h, (fppos) / vmax) ' Punto inicial

'For zo = h + 0.01 To 2 * h Step 0.001

'fppos = funpro * Exp(Form2.ko * Sqr(B ^2 - Form2.ncl ^2) * (h - zo))

'Imagen.Line -(zo / h, fppos / vmax), RGB(0, 0, 255) 'funcion propia

'Next zo

'dibuja rectangulo que encierra al núcleo


Imagen.Line (-1, 1)-(1, -1), RGB(255, 0, 0), B

'Despliega valores en pantalla

dat = Vo1 'valor a desplegar

Imagen.CurrentX = -h / h - 0.2 - (Imagen.TextWidth(dat) / 2)

Imagen.CurrentY = Vo1 / vmax - (Imagen.TextHeight(dat) / 2)


Imagen.Print dat

dat = funpro

Imagen.CurrentX = h / h - (Imagen.TextWidth(dat) / 2)

Imagen.CurrentY = funpro / vmax - (Imagen.TextHeight(dat) / 2)

Imagen.Print dat

dath = "-h"

Imagen.CurrentX = -h / h - (Imagen.TextWidth(dath) / 2)

Imagen.CurrentY = -0.1 - (Imagen.TextHeight(dath) / 2)

Imagen.Print dath

dath = "+h"

Imagen.CurrentX = h / h - (Imagen.TextWidth(dath) / 2)


Imagen.Print dath

dath = "0"

Imagen.CurrentX = -0.1 - (Imagen.TextWidth(dath) / 2)


Imagen.Print dath

dat = vmax

Imagen.CurrentX = -h / h - (Imagen.TextWidth(dat) / 2)

Imagen.CurrentY = 1.1 - (Imagen.TextHeight(dat) / 2)

Imagen.Print dat

dat = -vmax


Imagen.CurrentX = -h / h - (Imagen.TextWidth(dat) / 2)

Imagen.CurrentY = -1.1 - (Imagen.TextHeight(dat) / 2)

Imagen.Print dat

End Sub

Private Sub Salir_Click()

Gra�ca.Hide

End Sub

Aplicación de mØtodos asintóticos para el...

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