Aplicación informática con Matlab para la modelización del ...

Aplicación informática con Matlab para la modelización del transformador trifásico... 1

Resumen

El objetivo principal de este proyecto es la realización de una aplicación informática que resuelva una red radial trifásica de cuatro nudos propuesta por el IEEE (The Institute of Electrical and Electronics Engineers), donde el elemento central de la red es el transformador.

El uso de la aplicación es sencillo e intuitivo, aunque se requieren ciertos conocimientos de los sistemas eléctricos de potencia. El programa incluye la posibilidad de sugerir los parámetros a introducir y de seleccionar el transformador y el motor de inducción de una base de datos. Por otro lado, en los anexos se incluye un manual de la aplicación desarrollada.

Para poder implementar dicha aplicación se han elaborado tres modelos matemáticos del transformador trifásico en condiciones de régimen permanente para las tres topologías más habituales del circuito magnético (transformador de tres columnas, banco de transformadores y transformador de cinco columnas) y para las diferentes conexiones de los devanados del primario y del secundario (estrella aislada, estrella conectada rígidamente a tierra, estrella conectada a tierra a través de impedancia y triángulo). Dichos modelos se diferencian en el grado de detalle con que se modeliza el núcleo del transformador que, con creciente grado de complejidad, son: núcleo ideal, núcleo lineal y núcleo no lineal.

Estos modelos del transformador se han validado con la red comentada anteriormente, resolviendo un flujo de cargas armónico y comparándose los resultados obtenidos con los de la misma red implementada en PSPICE, donde en esta última la modelización del transformador se realiza en base a la referencia [1] de la bibliografía.

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Índice Resumen ____________________________________________________1

Índice _______________________________________________________3

1 Introducción______________________________________________7 1.1 Motivación del proyecto ................................................................................... 7 1.2 Objetivos .......................................................................................................... 7

2 Generalidades del transformador trifásico _____________________9 2.1 Introducción...................................................................................................... 9 2.2 Tipo de conexiones. Propiedades.................................................................. 11 2.3 Índice horario. Grupo de conexión................................................................. 12 2.4 Valores nominales. Placa de características................................................. 14

3 El transformador trifásico en régimen permanente desequilibrado 17 3.1 Centro de gravedad del sistema de tensiones trifásico................................. 17 3.2 Componentes simétricas ............................................................................... 18 3.3 Topología del circuito magnético ................................................................... 20 3.4 La corriente magnetizante y su contenido armónico..................................... 20 3.5 Funcionamiento en régimen desequilibrado.................................................. 22

3.5.1 Ecuaciones a resolver y modelo del transformador ...........................................22 3.5.2 Banco de transformadores en régimen desequilibrado .....................................23 3.5.3 Transformador de tres columnas en régimen desequilibrado............................23 3.5.4 Transformador de cinco columnas en régimen desequilibrado .........................24 3.5.5 Características y campo de aplicación de los grupos de conexión ...................24

4 Modelos del transformador trifásico _________________________27 4.1 Circuito eléctrico y circuito magnético en el dominio del tiempo ................... 27

4.1.1 Transformador de tres columnas ........................................................................28 4.1.1.1 Ecuaciones en valores reales ......................................................................28 4.1.1.2 Ecuaciones en valores reducidos a pu ........................................................30

4.1.2 Banco de transformadores..................................................................................33 4.1.2.1 Ecuaciones en valores reales ......................................................................33 4.1.2.2 Ecuaciones en valores reducidos a pu ........................................................34

4.1.3 Transformador de cinco columnas......................................................................34 4.1.3.1 Ecuaciones en valores reales ......................................................................34 4.1.3.2 Ecuaciones en valores reducidos a pu ........................................................35

4.2 Reluctancia no lineal del hierro y curva de saturación (relación φ - f) ........... 36

4 Memoria

4.2.1 Reluctancia no lineal del hierro en valores reales: ℜq(fq)................................... 36 4.2.2 Reluctancia no lineal del hierro en valores reducidos a pu: τq (fq) ..................... 37

4.3 Modelos del transformador trifásico desconectado en régimen permanente38 4.3.1 Transformador con núcleo ideal (despreciando el hierro) ................................. 39 4.3.2 Transformador con núcleo lineal ........................................................................ 44 4.3.3 Transformador con núcleo no lineal ................................................................... 47 4.3.4 Formulación general para los tres modelos ....................................................... 50

4.4 El transformador trifásico conectado en régimen permanente ..................... 50 4.4.1 Matriz de conexión .............................................................................................. 51 4.4.2 Tensión del neutro de la conexión en estrella.................................................... 55

5 Cálculo de la corriente magnetizante del transformador trifásico con núcleo no lineal __________________________________________59

5.1 Transformador con núcleo no lineal desconectado....................................... 59 5.1.1 Transformador de tres columnas........................................................................ 60 5.1.2 Banco de transformadores.................................................................................. 63 5.1.3 Transformador de cinco columnas ..................................................................... 65

5.2 Transformador con núcleo no lineal conectado ............................................ 67 5.3 Expresión del Jacobiano................................................................................ 69

5.3.1 Jacobiano del transformador de tres columnas ................................................. 69 5.3.2 Jacobiano del banco de transformadores .......................................................... 70 5.3.3 Jacobiano del transformador de cinco columnas............................................... 71

5.4 Obtención fasorial de la corriente magnetizante ........................................... 72

6 Mejora en el cálculo de la corriente magnetizante ______________75

7 Método de h-Newton ______________________________________79 7.1 Formulación del método de h-Newton........................................................... 79 7.2 Algoritmo del método de h-Newton ............................................................... 81

8 Validación de los modelos y ejemplos _______________________85 8.1 Red IEEE 4 .................................................................................................... 86 8.2 Modificación en la Red IEEE 4: mejora del modelo del transformador......... 89 8.3 Modificación en la Red IEEE 4: motor de inducción como carga ................. 89

8.3.1 Modelos del motor de inducción en régimen permanente................................. 90 8.3.1.1 Modelo de jaula sencilla............................................................................... 90 8.3.1.2 Modelo de doble jaula .................................................................................. 95

8.3.2 Determinación del punto de funcionamiento...................................................... 97 8.4 Validación de los modelos mediante la Red IEEE 4 ..................................... 98

8.4.1 Transformador con núcleo lineal ........................................................................ 99


8.4.1.1 Carga PQ....................................................................................................100 8.4.1.2 Motor de inducción como carga.................................................................103

8.4.2 Transformador con núcleo no lineal..................................................................107 8.4.2.1 Carga PQ....................................................................................................109 8.4.2.2 Motor de inducción como carga.................................................................112

8.5 Otros ejemplos: influencia de las conexiones..............................................118 8.5.1 Grupo de conexión Yy10...................................................................................119 8.5.2 Grupo de conexión Yd3.....................................................................................123 8.5.3 Grupo de conexión YNd3..................................................................................126 8.5.4 Grupo de conexión Dy9.....................................................................................131 8.5.5 Conclusiones .....................................................................................................135

Conclusiones_______________________________________________137

Bibliografía_________________________________________________139

6 Memoria 6 Memoria


1 Introducción

1.1 Motivación del proyecto

El transformador es un elemento clave en los sistemas eléctricos de potencia porque permite trabajar con las tensiones y corrientes adecuadas en cada situación. Éste, forma parte tanto del subsistema de generación como del de transporte y del de distribución.

Teniendo en cuenta que las redes reales no son perfectamente simétricas, y dado que cada vez existe una mayor contaminación armónica debido a la creciente presencia de cargas no lineales, resulta de gran interés para las compañías eléctricas modelizar la red en estas condiciones. Uno de los elementos de la red que se debe modelizar en detalle es el transformador trifásico. Su modelización debe tener en cuenta tanto las conexiones de los devanados como el hecho de que dicho transformador también se trate de un elemento no lineal debido a la saturación de su núcleo magnético que, si bien esta no linealidad produce efectos despreciables en la mayoría de situaciones (y, por lo tanto, se puede despreciar), se pueden dar otras situaciones en las que su comportamiento no lineal influencie en gran medida el del resto de la red.

Es por esto que un modelo matemático detallado del transformador trifásico puede ser de gran utilidad en el sector eléctrico, por lo que se ha implementado una aplicación informática que resuelva un caso particular de este tipo de redes, siendo el transformador el elemento principal y el objetivo de estudio.

Por otro lado, no se tiene conocimiento de que existan en la actualidad programas informáticos que tengan en cuenta el comportamiento no lineal del transformador en régimen permanente y que también consideren todas las conexiones de forma exhaustiva, ya que normalmente se suele considerar únicamente la conexión YNyn para el banco de transformadores. Tampoco se tiene conocimiento de artículos en la literatura científica que desarrollen los modelos comentados.

1.2 Objetivos

Teniendo clara cual es la motivación del proyecto, los objetivos de éste se centran en la realización de un programa informático que resuelva una red radial de cuatro nudos y en la modelización matemática del transformador en régimen permanente para diferentes grados de detalle del núcleo del mismo, así como las diferentes conexiones de los devanados.

8 Memoria

El programa utilizado para implementar la aplicación informática debe tener herramientas de cálculo potentes y permitir la realización de una interfaz gráfica. Estos requisitos los cumple MATLAB, por lo que se decide utilizar este paquete informático para realizar dicha aplicación.

Una parte importante del proyecto se dedica a la validación de los modelos de transformador descritos en la memoria. Para validarlos se utiliza PSPICE debido a que se tiene como referencia un modelo no lineal del transformador de tres columnas, al cual, realizándole algunas modificaciones se puede obtener el de cinco columnas y el del banco de transformadores.


2 Generalidades del transformador trifásico

En este capítulo se pretende dar una visión global del transformador trifásico como máquina eléctrica, es decir, se va a explicar a nivel constructivo como se forma y a dar definiciones básicas que permitan entender el resto de la memoria del proyecto, [2]; en cambio, no se van a exponer las ecuaciones matemáticas que rigen su comportamiento porque se explicarán en apartados posteriores.

2.1 Introducción

Un transformador es una máquina eléctrica estática que transfiere energía eléctrica de un circuito eléctrico llamado primario a otro llamado secundario. Mediante esta transferencia eléctrica, se transforma la tensión y corriente del circuito primario (up y ip) en otra tensión y corriente del circuito secundario (us y is). Una de las características de los transformadores es su reversibilidad, es decir, que también se puede alimentar por el secundario y ceder energía al lado del primario.

Para realizar dicha transferencia de energía eléctrica, un transformador trifásico está formado por tres pares de circuitos eléctricos acoplados magnéticamente mediante un flujo común, es decir, por tres pares de bobinas acopladas.

Para crear un flujo común entre dos pares de bobinas acopladas se utiliza un núcleo de hierro u otro material ferromagnético, ya que este tipo de material posee una permeabilidad magnética elevada que facilita la conducción del flujo a través de él. Dicho flujo debe ser variable en el tiempo para que un devanado induzca tensión en el otro y, por lo tanto, también debe ser variable en el tiempo la corriente que lo cree.

Los tipos de transformadores trifásicos que se estudiarán son los de columnas, es decir, aquellos cuyos núcleos están formados por varias columnas de un material ferromagnético. Los tipos de transformadores de columnas son tres: banco de transformadores, Figura 2.1, transformador de tres columnas, Figura 2.2, y transformador de cinco columnas, Figura 2.3. En dichas figuras se puede observar a los tres tipos de transformadores desconectados, donde en cada columna se sitúan los pares de bobinas acopladas del primario (nombre de las fases en mayúsculas) y del secundario (nombre de las fases en minúsculas).

10 Memoria

A

A’

a

a’

B

B’

b

b’

C

C’

c

c’

Figura 2.1. Banco de transformadores (tres transformadores monofásicos) desconectado

A

A’

a

a’

B

B’

b

b’

C

C’

c

c’

Figura 2.2. Transformador de tres columnas desconectado

A

A’

a

a’

B

B’

b

b’

C

C’

c

c’

Figura 2.3. Transformador de cinco columnas o acorazado desconectado

Los transformadores de tres y de cinco columnas derivan del banco de transformadores y representan un ahorro económico, de peso y de pérdidas; sobre todo el transformador de tres columnas, que es el más utilizado. Pero éste presenta un inconveniente, ya que crea una asimetría en los circuitos magnéticos de tres columnas debido a que la columna central


es más corta que las otras dos, aunque su efecto es poco perceptible en carga, sobre todo con materiales de elevada permeabilidad. Esta asimetría magnética se evita con la estructura de cinco columnas, que tiene los circuitos magnéticos de las tres fases más parecidos.

2.2 Tipo de conexiones. Propiedades

Los devanados del primario y del secundario de un transformador trifásico se pueden conectar de tres maneras diferentes: estrella (Y), triángulo (D) y zig-zag (Z). Las dos primeras conexiones son las que se pueden utilizar en la aplicación informática desarrollada, es por ello que únicamente se explicarán sus propiedades y no las de la conexión zig-zag.

En la Figura 2.4 se puede observar un ejemplo de conexión de los devanados en un transformador de tres columnas, donde el primario se ha conectado en estrella (Y) y el secundario en triángulo (d).

A

a

B

b

C

c

Figura 2.4. Transformador de tres columnas en conexión estrella-triángulo (grupo de conexiónYd5)

De forma general, la conexión en estrella (Y) presenta las siguientes propiedades:

- Permite tener el neutro accesible.

- La corriente de línea coincide con la corriente de cada devanado.

- Cada devanado soporta la tensión sencilla o de fase (tensión fase-neutro).

- No soporta los desequilibrios que provoca la alimentación de cargas no simétricas, puesto que deforma la onda de tensión.

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De igual manera, la conexión en triángulo (D) se caracteriza por lo siguiente:

- No puede tener neutro.

- La corriente de cada devanado es la de línea dividida por 3 .

- Cada devanado soporta la tensión compuesta o de línea (tensión fase-fase).

- Soporta bien los desequilibrios que provoca la alimentación de cargas no simétricas.

Además, para igual tensión de línea e igual potencia, cada devanado de la conexión en

triángulo debe tener 3 veces más espiras que en estrella, debido a que la tensión de cada devanado es superior. En cambio, la sección de los devanados de la conexión en triángulo

debe ser 3 inferior que en estrella, ya que la intensidad que circula por cada devanado es inferior. Por lo tanto, la cantidad de cobre necesaria al dimensionar los devanados cuando se conectan en estrella o en triángulo es la misma.

De forma general, las características que se atribuyen a las diferentes maneras de conectar los devanados del primario y del secundario son:

- La conexión Y-Y se utiliza poco debido a los problemas de desequilibrios comentados anteriormente.

- Las conexiones Y-D y D-Y funcionan razonablemente bien frente a cargas desequilibradas, ya que el triángulo redistribuye parcialmente el desequilibrio entre las fases. Se escoge una conexión u otra en función de si se desea tener el neutro accesible en el primario o en el secundario.

- La conexión D-D se comportan bien con cargas desequilibradas, aunque la ausencia de neutro resulta a veces un inconveniente si se utiliza para distribución. Si se trata de un banco trifásico, tiene la ventaja de que se puede quitar un transformador para realizar operaciones de mantenimiento o reparación, mientras que los restantes pueden seguir trabajando (aunque dando menor potencia).

2.3 Índice horario. Grupo de conexión

En un transformador trifásico, las tensiones de las bobinas de cada columna pueden estar en fase (desfase 0º) o en contrafase (desfase 180º). Al conectar los devanados del primario y del secundario en estrella, triángulo o zig-zag aparecen desfases diferentes según la conexión.


El índice horario es el ángulo de la tensión entre dos fases del primario con la tensión entre las fases de igual nombre del secundario, por ejemplo, entre UAB y Uab. Dicho índice horario se refiere a un transformador alimentado por el lado de tensión más elevada con un sistema trifásico simétrico de secuencia directa. Nótese que el índice horario representa el desfase entre tensiones del primario y del secundario cuando el transformador está en vacío.

Debido a las simetrías de los sistemas trifásicos, se puede deducir que cualquier desfase será múltiplo de π/6 sea cual sea la conexión. Como hay entonces 12 desfases posibles, se han asimilado a un reloj que con la manecilla larga en las 12, dirección del fasor de la tensión entre dos fases del lado de más alta tensión, y la manecilla corta en la dirección del fasor de la tensión entre las mismas fases del lado de más baja tensión. Por ejemplo, un desfase entre las fases de las tensiones de 11π/6 rad corresponde a un índice horario 11.

Para obtener, por ejemplo, el índice horario del transformador de la Figura 2.4 se debe proceder de la siguiente manera: cada una de las tres columnas tiene un flujo común para los devanados del primario y del secundario, por lo que, por ejemplo, fijándose en la columna

A y en la posición de los terminales correspondientes se tiene que: ( ) aAN pu t N

dtdφ

= y

( ) aca su t N

dt=

dφ, por lo que UAN y Uca tienen la misma fase, es decir, fase(UAN) = fase(Uca).

Ahora se debe dibujar un diagrama fasorial que cumpla la relación de igualdad de fases como el de la Figura 2.5a y fijarse en dos tensiones análogas del primario y del secundario, por ejemplo, UAN y Uan, obteniendo el diagrama fasorial de la Figura 2.5b, que indica que el desfase entre dichas tensiones es de 150º (5π/6 rad), es decir, índice horario 5.

ωt

IH 5

(a) (b)

A

aB

b

C

c

Nn

UAN

UCN UBN

Ubc

Uca

Uab

UAN

Uan

Figura 2.5. Diagrama fasorial de la conexión de la Figura 2.4

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Una vez visto como se calcula en índice horario de una conexión, se debe definir el concepto de grupo de conexión de un transformador, que indica el tipo de devanados y el índice horario del mismo. Suele constar de dos letras y un número:

- La primera letra indica la conexión del devanado de más alta tensión (independientemente de si trabaja como primario o como secundario) y se escribe en mayúsculas.

- La segunda letra indica la conexión del devanado de menor tensión y se escribe en minúsculas.

- El número es el índice horario (entre 0 y 11).

Por lo tanto, el grupo de conexión del transformador de la Figura 2.4 es Yd5, puesto que tiene el devanado de más alta tensión conectado en estrella, el de menor tensión conectado en triángulo y el desfase existente entre tensiones análogas del primario y del secundario es de 5π/6 rad (índice horario 5).

Otra nomenclatura más completa del grupo de conexión consiste en añadir una N (o una n) después de la letra del devanado correspondiente si el neutro está accesible en la placa de conexiones. Por ejemplo, Dyn5, YNd11, etc.

Los grupos de conexión utilizados normalmente son: Dd0, Yy0, Dz0, Dy5, Yd5, Dd6, Yy6, Dz6, Dy11, Yd11 e Yz11.

2.4 Valores nominales. Placa de características

Los valores nominales de una máquina eléctrica son aquellos para los cuales ha sido diseñada, es decir, aquellos con los cuales se obtiene el mayor rendimiento posible de ella. Los más importantes de un transformador diseñado para trabajar en régimen senoidal son:

- Potencia nominal.

- Tensión nominal del primario y del secundario.

- Intensidad nominal del primario y del secundario.

- Relación de transformación.

- Frecuencia nominal.


La potencia nominal, SN, es la potencia aparente trifásica (VA, kVA o MVA) que se obtiene a partir de la tensión nominal y la corriente nominal de ambos devanados del transformador. Se calcula como

N Np Np Ns3 3S U I U= = NsI (2.1)

Indica la potencia activa máxima que puede suministrar el secundario del transformador con carga resistiva y régimen permanente sin que el calentamiento sea perjudicial para el transformador. En condiciones intermitentes de funcionamiento (conexiones y desconexiones periódicas), el transformador puede suministrar hasta 1,5 veces la potencia nominal. El motivo es que durante el tiempo de desconexión el transformador se enfría hasta la temperatura ambiente (u otra intermedia entre la de funcionamiento y la ambiente), y un transformador frío puede suministrar una potencia superior a la nominal mientras se calienta hasta alcanzar su temperatura máxima.

Las tensiones nominales del primario y del secundario, UNp y UNs, son las tensiones de línea que se deben aplicar al transformador para que funcione correctamente en régimen permanente sin deterioro de sus devanados. En condiciones intermitentes de funcionamiento, se pueden admitir sobretensiones de 1,05 veces la tensión nominal.

Las intensidades nominales del primario y del secundario, INp y INs, son las intensidades máximas de línea que puede consumir y suministrar el transformador sin deterioro de sus devanados. En condiciones intermitentes se pueden admitir sobrecargas.

La relación de transformación, rt, es la relación entre las tensiones de línea del primario y del secundario cuando el transformador trabaja en vacío. Se suele calcular como la relación entre el número de espiras del primario y del secundario incluyendo en conexiones Y el

factor 3 , o lo que es lo mismo, la relación entre UNp y UNs:

Np p Np p pt t

Ns s Ns ss

Np p Np pt t

Ns Ns ss

3Dd: Yy:

3

3Dy: Yd:

3

U N U N Nr r

U N U NN

U N U Nr r

U UN

= = = = =

= = = =N

(2.2)

La frecuencia nominal, fN, es la frecuencia a la que corresponden el resto de valores nominales.

Los valores nominales de un transformador son unos valores de funcionamiento, pero también puede funcionar correctamente con otros valores diferentes, por ejemplo:

16 Memoria

- puede suministrar potencias inferiores a la nominal (las potencias están fijadas por la carga) o, lo que es lo mismo, puede suministrar intensidades inferiores a la nominal, que es lo que normalmente sucede;

- puede trabajar a tensiones inferiores a la nominal, aunque no podrá suministrar entonces la potencia máxima (sí podrá suministrar la intensidad máxima);

- puede trabajar a otra frecuencia, aunque si es superior se producirán mayores pérdidas en el hierro, con lo que la potencia máxima será inferior a la nominal.

La placa de características de un transformador trifásico contiene, entre otros, los valores nominales expuestos anteriormente y datos sobre los ensayos de vacío y de cortocircuito, es decir:

- Potencia nominal: SN.

- Tensiones nominales del primario y del secundario: UNp y UNs.

- Intensidades nominales del primario y del secundario: INp y INs.

- Relación de transformación: rt.

- Frecuencia nominal: fN.

- Datos del ensayo en vacío, es decir, la potencia y la corriente en valores reales y en pu: Wo e io.

- Datos del ensayo en cortocircuito, es decir, la potencia y la tensión en valores reales y en pu: Wcc y εcc.

- Tipo de conexión y existencia del neutro, por ejemplo, Dyn.


3 El transformador trifásico en régimen permanente desequilibrado

Tal como se explica en [3], el transformador trifásico se diseña para trabajar en régimen senoidal y en condiciones equilibradas (sistema simétrico de tensiones en el primario y carga equilibrada en el secundario). En este caso, los flujos de las tres fases son senoidales y la suma de ellos es nula.

Sin embargo, los armónicos de la corriente magnetizante pueden provocar que los flujos y las tensiones no sean senoidales. Esta situación depende de la conexión de los devanados y de la topología del circuito magnético. Por otro lado, muchos transformadores trifásicos trabajan en régimen desequilibrado, generalmente porque las cargas que alimentan no son equilibradas y, con menor frecuencia, porque las tensiones de alimentación no son simétricas y/o equilibradas. El comportamiento del transformador en estas condiciones también depende de la conexión de los devanados y de la topología del circuito magnético.

3.1 Centro de gravedad del sistema de tensiones trifásico

En un sistema trifásico de tensiones se pueden definir dos propiedades geométricas que lo caracterizan: la simetría y el equilibrio de dicho sistema. Para comprobar estas propiedades se debe dibujar un diagrama fasorial de la tensiones, es decir, un diagrama que contenga tanto las tensiones sencillas (UAN, UBN y UCN) como las tensiones compuestas (UAB, UBC y UCA).

Si las tensiones compuestas forman un triángulo equilátero, (es decir, si los módulos de las tensiones compuestas son iguales), se dice que el sistema de tensiones es simétrico y, en caso contrario, asimétrico.

En el centro de gravedad (cdg) del triángulo ABC que forman las tensiones compuestas (punto G, intersección de las medianas) la suma de las tensiones sencillas es nula, entonces, si el neutro del sistema coincide con el cdg de dicho triángulo, se dice que el sistema de tensiones es equilibrado, y en caso contrario, desequilibrado:

AN BN CN

AN BN CN

N G 0 (Sistema de tensiones equilibrado)N G 0 (Sistema de tensiones desequilibrado)

U U UU U U

≡ → + + =

≡ → + + ≠/ (3.1)

En la Figura 3.1 se pueden observar diferentes sistemas trifásicos de tensión que combinan las propiedades de simetría y equilibrio expuestas anteriormente.

18 Memoria

A

B

C N ≡ G

Simétrico y equilibrado

AB

CN ≡ G

Asimétrico y equilibrado

A

B

C

N G

Simétrico y desequilibrado

/≡A B

CN G

Asimétrico y desequilibrado

/≡

Figura 3.1. Sistemas de tensión trifásicos

3.2 Componentes simétricas

Tal como se describe en [4], Fortescue desarrolló el método de las componentes simétricas con el objetivo de facilitar el estudio de sistemas polifásicos desequilibrados mediante la transformación de éstos en el sumatorio de sistemas polifásicos equilibrados.

La matriz de transformación de Fortescue y su inversa se definen como:

2 1

2 2

1 1 1 1 1 11 11 a a , 1 a a3 3

1 a a 1 a a

− ∗

⎡ ⎤ ⎡⎢ ⎥ ⎢= = =⎢ ⎥ ⎢⎢ ⎥ ⎢⎣ ⎦ ⎣

F F F 2⎤⎥⎥⎥⎦

(3.2)

donde 2 3a e j π= .

Al aplicar la inversa de dicha transformación sobre cualquier magnitud de un sistema trifásico (tensiones, corrientes, flujos, etc.) en variables de fase (A, B, C), ésta la convierte en variables de secuencia (0, 1, 2), es decir, variables de secuencia homopolar (0), directa (1) e inversa (2). Entonces, si en régimen permanente se cuenta con una magnitud trifásica x en variables de fase que representa alguna de las magnitudes explicadas, se puede convertir en variables de secuencia, xF, como

0 A A

1 2F 1 B A

2 22 C A

1 1 11 11 a a a a3 3

1 a a a a

x x x xB C2

B C

B C

xx x x x xx x x x x

−

+ +⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥= → = = + +⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥+ +⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦

x F x (3.3)

Obsérvese que en el caso particular de que xA = xB = xC únicamente existiría la componente homopolar x0, ya que el término 1 + a + a2 que aparecería en la componente directa x1 e inversa x2 es nulo. Obsérvese también, que en el caso de tener unas magnitudes fasoriales simétricas y equilibradas (xA, xB = a2 xA, xC = a xA), únicamente existiría la componente directa x1, en este caso de valor x1 = xA.


Se puede saber si un sistema de tensiones trifásico UAN, UBN y UCN es equilibrado calculando la tensión homopolar U0:

(0 AN BN C13

U U U U= + + )N (3.4)

Si no existe dicha tensión, el sistema es equilibrado; en caso contrario, es desequilibrado. El cálculo de la tensión homopolar U0 equivale a comprobar (3.1). También se puede comprobar fácilmente que la tensión homopolar es la tensión entre el cdg (G) y el neutro (N):

0 GNU U= .

Una magnitud a tener en cuenta en un transformador trifásico es el flujo homopolar. En este caso, al no ser siempre senoidal, se generaliza su calculo como

( ) ( ) ( ) ( )(0 A B C13

t t tφ = φ + φ + φ )t (3.5)

Este flujo puede aparecer en condiciones desequilibradas, desplazando el neutro de las conexiones en estrella (Y) y dando lugar a sistemas desequilibrados.

El uso de la transformación de Fortescue se fundamenta en el hecho de que dicha transformación diagonaliza matrices circulantes. Una matriz Z es circulante si se cumple:

A B C

C A B

B C A

circulanteZ Z ZZ Z ZZ Z Z

⎡ ⎤⎢ ⎥↔ = ⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

Z Z (3.6)

Por lo tanto, si en régimen permanente se tiene una matriz Z circulante en variables de fase, que podría ser una matriz de impedancias, y se le aplica la transformación de Fortescue, se obtiene una matriz ZF en variables de secuencia como

A B C

C A B

B C A

A B C1 2

F A B C2

A B C

0 00 a a 00 0 a

Z Z ZZ Z ZZ Z Z

Z Z ZZ Z Z

Z Z Z

−

⎡ ⎤⎢ ⎥= →⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

+ +⎡ ⎤⎢ ⎥= = + +⎢ ⎥⎢ ⎥+ +⎣ ⎦

Z

Z F ZFa

(3.7)

Esta propiedad permite que un sistema trifásico con alimentación senoidal desequilibrada, cuya matriz de impedancias Z sea circulante, se pueda estudiar como tres sistemas trifásicos equilibrados.

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3.3 Topología del circuito magnético

El circuito magnético puede influir en el funcionamiento del transformador en condiciones desequilibradas porque puede imponer (o no imponer) una restricción a los flujos de las tres columnas. En concreto, al considerar los tres tipos de transformadores trifásicos:

- Como los tres circuitos magnéticos del banco de transformadores (Figura 2.1) son independientes, no imponen ninguna restricción a los flujos de las tres columnas. Es decir, en un banco de transformadores puede existir flujo homopolar ya que la suma de los flujos no tiene porqué ser nula.

- El circuito magnético del transformador de tres columnas (Figura 2.2) fuerza que la suma de los flujos en cada instante sea nula. En realidad, la suma de flujos en un transformador real de tres columnas no es estrictamente nula, debido al flujo que se cierra a través del aire o a través de la armadura. Sin embargo, este flujo es pequeño porque este circuito magnético tiene una elevada reluctancia magnética. Este flujo también se denomina de dispersión. En resumen, en caso de existir flujo homopolar en un transformador de tres columnas, es de valor muy pequeño.

- Como el circuito magnético del transformador de cinco columnas (Figura 2.3) no impone la limitación a los flujos de las tres columnas, su comportamiento es bastante parecido al del banco de transformadores.

3.4 La corriente magnetizante y su contenido armónico

Para que se establezca el flujo magnético en el núcleo de un transformador, éste debe consumir una cierta intensidad que se suele denominar corriente de vacío, io(t), porque coincide aproximadamente con la corriente que consume el transformador cuando está en vacío. Dicha corriente de vacío se calcula en un transformador trifásico para cada devanado k como:

( ) ( ) ( )

( )o p p s s

a, b, ck ki t N i t N i t

k

= +

=k (3.8)

donde

- ipk(t) e isk(t) son las corrientes del primario y del secundario del devanado k, y

- Np y Ns son el número de espiras de los devanados del primario y del secundario.


Una pequeña parte de la corriente de vacío se debe a las pérdidas del núcleo, iFe(t), pero la mayor parte es la que, propiamente hablando, crea el flujo magnético. Es la denominada corriente magnetizante, im(t). Dicha corriente magnetizante se calcula en un transformador trifásico para cada devanado k como:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) (

( )m o Fe o p p s s

a, b, ck k k k k ki t i t i t i t N i t N i t

k

= − ≈ = +

=

) (3.9)

La corriente magnetizante (y la de vacío) de un transformador real no es senoidal, y su contenido armónico puede ser causa de un mal funcionamiento del mismo. Dicha corriente magnetizante no es senoidal porque los transformadores se diseñan para trabajar cerca del codo de la curva B-H (o φ-im), por lo que están ligeramente saturados. Si la tensión de alimentación es senoidal, el flujo también lo es y, por lo tanto, la corriente magnetizante (y la de vacío) presenta la típica forma de campana que se muestra en la Figura 3.2a.

(a)

Flujo

+

Corriente magnetizante

φk

imk

(b)

+

Flujo

Corriente magnetizante

φk

imk

Figura 3.2. Relación entre el flujo en el hierro y la corriente magnetizante en una columna k del transformador

trifásico con hierro no lineal: (a) tercer armónico en la corriente como consecuencia de que el flujo es senoidal, y (b) tercer armónico en el flujo como consecuencia de que la corriente magnetizante es senoidal

En el espectro armónico de esta corriente magnetizante destacan la onda fundamental y un alto contenido del tercer armónico (que puede variar entre el 10% –saturación normal– y el 60% –muy saturado– de la onda fundamental), mientras que la amplitud del resto de armónicos es mucho menor y, por lo tanto, no se suelen considerar.

22 Memoria

Si, por el contrario, se tuviera una corriente magnetizante senoidal, entonces quien tendría el contenido del tercer armónico sería el flujo (como se muestra en la Figura 3.2b) y, por lo tanto, las tensiones inducidas en ambos devanados también tendrían un tercer armónico.

3.5 Funcionamiento en régimen desequilibrado

3.5.1 Ecuaciones a resolver y modelo del transformador

Para resolver numéricamente un problema general de un transformador trifásico en condiciones desequilibradas hay que resolver el sistema de ecuaciones compuesto por:

- las ecuaciones eléctricas y las ecuaciones magnéticas del transformador (por ejemplo, en un transformador de cinco columnas, se plantean las ecuaciones magnéticas correspondientes a las cinco columnas del transformador, Figura 2.3),

- las restricciones debidas a las conexiones de ambos devanados (por ejemplo, la suma de corrientes es nula en una estrella aislada), y

- las ecuaciones de la alimentación y de la carga.

El transformador trifásico se puede modelizar con diferentes grados de complejidad dependiendo del detalle con el que se representa el hierro. Las formas más habituales de modelización, de mayor a menor complejidad, son:

- considerar que el hierro no es lineal (apartado 4.3.3),

- considerar que el hierro es lineal (apartado 4.3.2),

- despreciar el hierro (apartado 4.3.1), pero considerando la rama longitudinal del esquema equivalente (Rp, Rs, Ldp y Lds), y

- despreciar el hierro y despreciar también la rama longitudinal del esquema equivalente: se trata del transformador ideal.

En los apartados indicados anteriormente se explicarán las tres primeras formas de modelizar el transformador trifásico obviando la del transformador ideal que es trivial.

Está claro que cuanto mayor es la complejidad del modelo del transformador mejores son los resultados obtenidos, sobre todo si existe un grado de saturación considerable. Pero cabe decir, que para realizar un estudio en condiciones desequilibradas es crucial la topología del circuito magnético, puesto que es posible que el flujo neto no sea nulo, a diferencia de lo que sucede en condiciones equilibradas.


3.5.2 Banco de transformadores en régimen desequilibrado

La utilización del banco de transformadores en condiciones desequilibradas es poco apropiada cuando en el primario se realiza la conexión en estrella aislada y en el secundario la conexión en estrella aislada o en estrella con neutro, ya que existe flujo homopolar que deforma las tensiones del primario y del secundario. Por lo tanto, es habitual que en un banco de transformadores se realice en alguno de los dos devanados la conexión en triángulo porque elimina dicho flujo homopolar y no deforma las tensiones del primario ni del secundario.

En particular, se puede analizar el mal comportamiento del banco de transformadores en conexión Yyn alimentando cargas desequilibradas (entre las fases y el neutro) de la siguiente manera:

- Si la carga está poco desequilibrada, el flujo homopolar desplaza los neutros del primario y del secundario, por lo que se dice que hay tensión homopolar en el secundario. Esta situación no es deseable, porque el neutro debe estar situado en el cdg.

- Si la carga está muy desequilibrada (el caso extremo de desequilibrio es poner una sola carga entre una fase y el neutro), el desplazamiento del neutro es tan grande que el transformador se satura, por lo que las tensiones y los flujos dejan de ser senoidales.

3.5.3 Transformador de tres columnas en régimen desequilibrado

Debido a la topología del transformador de tres de columnas, que fuerza que la suma de flujos en cada instante sea muy pequeña (flujo homopolar pequeño), es apropiada su utilización en cualquier tipo de conexión de los devanados del primario y del secundario, excepto en la conexión Yyn cuando la carga está muy desequilibrada.

Se pueden analizar las conexiones Yyn e Yy, en las que la utilización del banco de transformadores no era apropiada, en el transformador de tres columnas de la siguiente manera:

- Conexión Yyn: si la carga está poco desequilibrada, el neutro prácticamente no se desplaza. Si la carga está muy desequilibrada, el neutro se desplaza, aunque no tanto como para que el transformador se sature (como sucede con el banco de transformadores).

24 Memoria

- Conexión Yy: prácticamente elimina el tercer armónico de flujo motivado por la ausencia de tercer armónico de corriente magnetizante. Por ello, los flujos y las tensiones son prácticamente senoidales.

En la práctica, este transformador se utiliza con la conexión Yyn cuando la carga no está muy desequilibrada. Si está muy desequilibrada, se debe acudir a la conexión Dyn.

3.5.4 Transformador de cinco columnas en régimen desequilibrado

La topología del transformador de cinco columnas no impone ninguna limitación a los flujos de las tres columnas (todo lo contrario a lo que ocurre con el transformador de tres columnas) y, es por eso que su comportamiento en condiciones desequilibradas es muy parecido al del banco de transformadores, y por lo tanto, todo lo explicado para el banco de transformadores es válido para este tipo de transformador.

3.5.5 Características y campo de aplicación de los grupos de conexión

A modo de resumen, se ha elaborado la Tabla 3.I que describe cómo es el comportamiento de cada uno de los tipos de transformadores en condiciones desequilibradas y para cada una de las conexiones en estrella o en triángulo. Con (∗) se indican las combinaciones en las que se deforman las tensiones o se desplazan los neutros.


Tabla 3.I. Resumen del comportamiento de los grupos de conexión

Banco de transformadores / Transformador de 5 columnas

Transformador de 3 columnas

Yy

• Tensiones sencillas de ambos devanados de valor elevado y con tercer armónico, y ambos neutros flotan (existe tercer armónico de flujo).

• Tensiones compuestas senoidales.

(∗)

• No hay problema con tercer armónico de flujo (lo elimina la topología).

Carga poco desequili-

brada

• Neutro secundario no está en cdg (flujo homopolar).

(∗)

• No hay problema con flujo homopolar (lo elimina la topología).

Yyn Carga muy desequili-

brada

• Tensiones y flujos deformados (saturación originada por flujo homopolar).

(∗)

• Neutro secundario no está en cdg (flujo homopolar).

(∗)

Dd • No hay neutros.

Dy, Dyn • Neutro secundario está en cdg (triángulo elimina flujo homopolar).

Yd • Neutro primario está en cdg (triángulo elimina flujo homopolar).

En la elección de un grupo de conexión (formado por la conexión de ambos devanados más el índice horario) no sólo se tienen que tener en cuenta las propiedades de comportamiento de la Tabla 3.I, sino que también hay que considerar el siguiente aspecto tecnológico: la estrella se prefiere al triángulo cuando las tensiones son elevadas (porque el aislamiento por espira es menor) y las corrientes son pequeñas, mientras que el triángulo se prefiere a la estrella cuando las corrientes son elevadas (porque la sección de los conductores es menor y son más fáciles de trabajar) y las tensiones son pequeñas. Por último, también se debe tener en cuenta que la norma UNE 20-101 recomienda el uso preferente de los grupos de conexión Yy0, Dy11e Yd11.

Toda esta información permite definir el campo de aplicación de los grupos de conexión:

Estrella-estrella. Es de uso muy reducido. Si es de tres columnas, únicamente se puede utilizar cuando no hay grandes desequilibrios. Si es un banco, es necesario que la carga esté

26 Memoria

totalmente equilibrada. Es adecuado para conectar cargas de pequeña potencia a tensiones primarias elevadas.

Triángulo-estrella. Muy utilizado como transformador de distribución por la accesibilidad del neutro y porque admite todo tipo de cargas desequilibradas. También es útil como transformador elevador al principio de línea.

Estrella-triángulo. Es útil como transformador reductor al final de línea.


4 Modelos del transformador trifásico

En este capítulo se presentan los modelos implementados para el estudio del transformador trifásico en régimen permanente. En primer lugar, se consideran transformadores trifásicos con tres topologías diferentes para el circuito magnético: topología de tres columnas, topología de cinco columnas y banco de transformadores monofásicos. En segundo lugar, se proponen tres niveles de modelización para el núcleo magnético, con creciente grado de detalle: núcleo ideal, núcleo lineal y núcleo no lineal. En total, resultan nueve modelos diferentes para el transformador trifásico.

Este capítulo se estructura en cuatro apartados: en el primero se formulan las ecuaciones en el dominio del tiempo de los circuitos eléctricos y magnéticos para las tres topologías consideradas. En el segundo apartado se describe la expresión analítica utilizada para representar la reluctancia no lineal de cada columna del transformador. Esta expresión depende únicamente de cuatro parámetros que pueden obtenerse experimentalmente y tienen una interpretación física clara. En el tercer apartado se presentan los tres niveles de modelización del núcleo magnético. En este apartado y en el siguiente se supone que el transformador se encuentra en régimen permanente. Todos los modelos presentados se formulan con el transformador desconectado, es decir, sin haber realizado conexión alguna en sus devanados. Por ello, en el último apartado se explica mediante unos ejemplos la modelización de las conexiones del transformador.

4.1 Circuito eléctrico y circuito magnético en el dominio del tiempo

El comportamiento de un transformador queda definido con la resolución de sus ecuaciones eléctricas y magnéticas. Dichas ecuaciones relacionan las tensiones, las intensidades y los flujos del transformador. Cuando estas ecuaciones se pueden representar mediante circuitos equivalentes, como es el caso de los modelos presentados en este trabajo, se deben resolver estos circuitos equivalentes.

Como se comentará más adelante para cada topología de transformador, las ecuaciones del circuito eléctrico y del circuito magnético se reducen a por unidad (pu) para eliminar el número de espiras que forman los devanados del primario y del secundario, puesto que dichos valores no se suelen conocer, a no ser que los indique el fabricante.

Los transformadores de las tres topologías comentadas poseen el mismo circuito eléctrico, pero diferente circuito magnético. Por lo tanto, las ecuaciones eléctricas son las mismas, y, en cambio, las ecuaciones magnéticas son diferentes.

28 Memoria

4.1.1 Transformador de tres columnas

4.1.1.1 Ecuaciones en valores reales

Las ecuaciones en valores reales que definen el comportamiento eléctrico de los seis devanados del transformador trifásico de tres columnas son

( )

p p dp p p

s s ds s s

ddd d

ddd d

4,5,6

qq q

qq q

u R L i Nt t

u R L i Nt t

q

φ⎛ ⎞= + +⎜ ⎟⎝ ⎠

φ⎛ ⎞= + +⎜ ⎟⎝ ⎠

=

(4.1)

donde

- ipq, isq, upq y usq son las corrientes y tensiones del devanado q del primario y del secundario,

- φq es el flujo por unidad de espira que circula por la columna q del hierro,

- Np y Ns son los números de espiras del primario y del secundario,

- Rp, Rs, Ldp y Lds son las resistencias internas e inductancias de dispersión del primario y del secundario.

Estas ecuaciones se pueden representar mediante el circuito eléctrico de la Figura 4.1 y son comunes para los transformadores de las tres topologías (transformador de tres columnas, banco de transformadores y transformador de cinco columnas). Para simplificar los cálculos, en estas ecuaciones no se han considerado las pérdidas en el hierro.

up4

ip4

Rp Ldp

up5

ip5

Rp Ldp

up6

ip6

Rp Ldp

us4

is4

Rs Lds

us5

is5

Rs Lds

us6

is6

Rs Lds

4p

dd

Nt

φ 5p

dd

Nt

φ 6p

dd

Nt

φ 4s

dd

Nt

φ5s

dd

Nt

φ6s

dd

Nt

φ

Figura 4.1. Circuito eléctrico del transformador trifásico con los devanados sin conectar


En la figura anterior, Figura 4.1, se puede observar que los devanados del primario (subíndice p) y del secundario (subíndice s) están desconectados, es decir, no se ha realizado conexión alguna en ellos. Para considerar las pérdidas en el hierro se pueden añadir tres resistencias en paralelo con las tensiones inducidas del primario o con las del secundario.

En la Figura 4.2 se muestra el circuito magnético en valores reales del transformador trifásico de tres columnas.

Npip4

ℜ4( f4)

φ4

ℜd

f4

fd

Nsis4

Npip5

ℜ5( f5)

φ5

f5

Npip6

ℜ6( f6)

φ6

f6

Nsis5 Nsis6

φd

Figura 4.2. Circuito magnético del transformador de tres columnas

Las ecuaciones que definen el comportamiento magnético del transformador trifásico de tres columnas se deducen del circuito anterior, resultando

( )

p p s s m d

4 5 6 d 04,5,6

q q q qN i N i i f f

q

+ = = −

φ + φ + φ + φ =

=

(4.2)

donde

- Npipq y Nsisq son las fuerzas magnetomotrices del devanado q del primario y del secundario,

- imq es la corriente magnetizante del devanado q,

- fq = ℜq(fq)φq es el potencial magnético de la columna q del hierro, donde ℜq(fq) es la reluctancia no lineal de dicha columna, que a su vez depende de fq,

- fd = ℜdφd es el potencial magnético del circuito d. En esta topología de transformador, este circuito representa el circuito de dispersión que se cierra a través del aire, donde

30 Memoria

ℜd es la reluctancia lineal de dicho circuito, que posee un valor constante, y φd es el flujo de dispersión que circula por dicho circuito.

4.1.1.2 Ecuaciones en valores reducidos a pu

Puesto que en un transformador real no se suelen conocer los números de espiras de los devanados del primario, Np, ni del secundario, Ns, no se puede trabajar en valores reales y se han de eliminar los números de espiras. Por otro lado, aunque se conocieran los números de espiras, siempre se suele trabajar en valores reducidos, siendo la reducción más empleada la reducción a pu, cuyos valores base se muestran en la Tabla 4.I.

Tabla 4.I. Valores base de la reducción a pu

B N 3S S=

B 1ω =

NpBp

Np

3 estrella

triángulo

UU

U

⎧⎪= ⎨⎪⎩

NsBs

Ns

3 estrella triángulo

UU

U

⎧⎪= ⎨⎪⎩

BBp

Bp

SIU

= BBs

Bs

SIU

=

( )2Bp

BpB

UZ

S=

( )2Bs

BsB

UZ

S=

BpBp

B

ZL =

ω Bs

BsB

ZL =

ω

Bp BsB

p B s B

U UN N

φ = =ω ω

2 2p B s B

BBp Bs

N NZ Z

ω ωℜ = =

B p Bp s BF N I N I= = s


Utilizando los valores base anteriores, las variables que intervienen en el circuito eléctrico, Figura 4.1, y en el circuito magnético, Figura 4.2, se reducen como se muestra en la Tabla 4.II y Tabla 4.III.

Tabla 4.II. Reducción de las variables presentes en el circuito eléctrico del transformador trifásico, con q = 4, 5, 6

Variables reales p s,q qu u p s,q qi i p s,R R dp ds,L L mqi

Variables reducidas r rp s,q qu u r r

p s,q qi i p s,r r dp ds,l l rmqi

Tabla 4.III. Reducción de las variables presentes en el circuito magnético del transformador trifásico, con q = 4, 5, 6

Variables reales qφ dφ qf df qℜ dℜ

Variables reducidas rqφ r

dφ rqf r

df qτ dτ

Por lo tanto, utilizando los valores base anteriores, las variables del circuito eléctrico de la Figura 4.1 quedan reducidas como se muestra en la Figura 4.3 y las del circuito magnético de la Figura 4.2 quedan reducidas como se muestra en la Figura 4.4, teniendo en cuenta que, por simplicidad, se omiten los superíndices r en todas las variables reducidas de la Tabla 4.II y de la Tabla 4.III.

32 Memoria

rp ldp

rp ldp

rp ldp

us4

is4

rs lds

us5

is5

rs lds

us6

is6

rs lds

up4

up5

up6

ip4

ip5

ip6

4ddtφ 5d

dtφ 6d

dtφ

im4 im5 im6

Figura 4.3. Circuito eléctrico reducido a pu del transformador trifásico con los devanados sin conectar

ip4

τ4( f4)

φ4

τd

f4

fd

is4

ip5

τ5( f5)

φ5

f5

ip6

τ6( f6)

φ6

f6

is5 is6

φd

Figura 4.4. Circuito magnético reducido a pu del transformador de tres columnas

Por lo tanto, las ecuaciones reducidas que definen el comportamiento eléctrico del transformador trifásico, Figura 4.3, son

( )

p p dp p

s s ds s

ddd d

ddd d

4,5,6

qq q

qq q

u r l it t

u r l it t

q

φ⎛ ⎞= + +⎜ ⎟⎝ ⎠

φ⎛ ⎞= + +⎜ ⎟⎝ ⎠

=

(4.3)

y las que definen el comportamiento magnético del transformador de tres columnas, Figura 4.4, son


( )

p s m

4 5 6 d 04,5,6

q q q qi i i f f

q

d+ = = −

φ + φ + φ + φ =

=

(4.4)

4.1.2 Banco de transformadores


Como se ha supuesto que el circuito eléctrico para las tres topologías es el mismo, las ecuaciones que definen el comportamiento eléctrico del banco de transformadores son las que se muestran en (4.1) y se representan mediante la Figura 4.1.

El circuito magnético en valores reales del banco de transformadores se muestra en la Figura 4.5. Como se puede observar, se diferencia del circuito magnético del transformador de tres columnas, Figura 4.2, en la reluctancia del circuito d, ℜd. Dicha reluctancia en esta topología tiene valor nulo, resultando tres circuitos magnéticos independientes, que corresponden a los tres transformadores monofásicos que forman el banco de transformadores.

Npip4

ℜ4( f4)

φ4

f4

Nsis4

Npip5

ℜ5( f5)

φ5

f5

Npip6

ℜ6( f6)

φ6

f6

Nsis5 Nsis6

Figura 4.5. Circuito magnético del banco de transformadores

Al ser tres circuitos magnéticos independientes, no hay interacción entre los flujos φ4, φ5, φ6 y, por lo tanto, el sistema (4.2) queda reducido a la primera ecuación, pero imponiendo que fd = 0 (fd = ℜdφd), debido a que en este caso ℜd = 0. Es decir,

( )

p p s s m

4,5,6q q qN i N i i f

qq+ = =

= (4.5)

34 Memoria


El circuito eléctrico del banco de transformadores en valores reducidos a pu es el de la Figura 4.3, que se corresponde con las ecuaciones de (4.3).

El circuito magnético del banco de transformadores con sus valores reducidos se muestra en la Figura 4.6. Dicho circuito puede obtenerse a partir del circuito magnético reducido del transformador de tres columnas, Figura 4.4, imponiendo τd = 0; o reduciendo las variables del circuito magnético de la Figura 4.5.

ip4

τ4( f4)

φ4

f4

is4

ip5

τ5( f5)

φ5

f5

ip6

τ6( f6)

φ6

f6

is5 is6

Figura 4.6. Circuito magnético reducido a pu del banco de transformadores

Por lo tanto, las ecuaciones del circuito anterior son

(4.6) ( )p s m

4,5,6q q qi i i f

q

+ = =

=q

4.1.3 Transformador de cinco columnas


Se vuelve a insistir en que se ha supuesto que los transformadores de las tres topologías poseen el mismo circuito eléctrico y, que, por lo tanto, las ecuaciones del circuito eléctrico del transformador de cinco columnas son las mostradas en (4.1) y se representan mediante el circuito de la Figura 4.1.

El circuito magnético en valores reales del transformador de cinco columnas se muestra en la Figura 4.7. Al igual que en el banco de transformadores, este modelo se obtiene a partir del de tres columnas, pero ahora imponiendo que la reluctancia del circuito d, ℜd, es no


lineal. En este caso el circuito d representa la agrupación de la cuarta y quinta columnas del hierro en una rama de reluctancia no lineal, ℜd(fd).

Npip4

ℜ4( f4)

φ4

f4

Nsis4

Npip5

ℜ5( f5)

φ5

f5

Npip6

ℜ6( f6)

φ6

f6

Nsis5 Nsis6

φd

ℜd( fd) fd

Figura 4.7. Circuito magnético del transformador de cinco columnas

Las ecuaciones que definen el comportamiento magnético del transformador de cinco columnas son idénticas a las del transformador de tres columnas, (4.2), pero con la diferencia de que fd depende de la reluctancia no lineal de la cuarta y quinta columnas del hierro, ℜd(fd), siendo su expresión: fd = ℜd(fd)φd.


El circuito eléctrico del transformador de cinco columnas en valores reducidos a pu es el de la Figura 4.3, que se corresponde con las ecuaciones (4.3).

El circuito magnético reducido del transformador de cinco columnas se muestra en la Figura 4.8. Dicho circuito se puede obtener reduciendo las variables de la Figura 4.7 o haciendo que la reluctancia del circuito d, τd, del transformador de tres columnas (Figura 4.4) sea no lineal, es decir, definida como τd(fd).

36 Memoria

ip4

τ4( f4)

φ4

f4

is4

ip5

τ5( f5)

φ5

f5

ip6

τ6( f6)

φ6

f6

is5 is6

φd

τd( fd) fd

Figura 4.8. Circuito magnético reducido a pu del transformador de cinco columnas

Las ecuaciones que definen el comportamiento magnético del transformador de cinco columnas en valores reducidos son idénticas a las del transformador de tres columnas, (4.4), pero con la diferencia de que fd depende de la reluctancia no lineal de la cuarta y quinta columnas del hierro reducida a pu, τd(fd), siendo su expresión: fd = τd(fd)φd.

4.2 Reluctancia no lineal del hierro y curva de saturación (relación φ - f)

4.2.1 Reluctancia no lineal del hierro en valores reales: ℜq(fq)

El comportamiento no lineal de cada columna q del transformador se expresa a través de la reluctancia ℜq(fq), la cual depende del potencial magnético de dicha columna, fq, y su expresión, [1], está dada por la función

( ) 1/

1 20

1

1

q q ppq

ff

K Kf

−ℜ =⎛ ⎞⎜ ⎟+ +⎜ ⎟⎝ ⎠

(4.7)

Dicha función está formada por cuatro parámetros de valor constante que tienen una interpretación física clara y que se pueden obtener experimentalmente. Estos parámetros son:

- K1 y K2 son constantes determinadas por las pendientes en la zona lineal y no lineal respectivamente de la curva de saturación,


- f0 está relacionado con el punto de inicio de la saturación (es la diferencia de potencial magnético a partir de la cual se entra en saturación),

- p modifica la forma del codo de saturación.

Si se representa el flujo, φ, en función de la diferencia de potencial magnético, f, para una columna q cualquiera, es decir φ = f / ℜ(f) utilizando (4.7) para expresar la reluctancia magnética, ℜ(f), resulta la curva de saturación mostrada en la Figura 4.9. En esta figura se utilizan unos valores habituales de K1, K2 y f0, y tres valores diferentes para el parámetro p, con lo que se puede observar la influencia de dicho parámetro en el codo de saturación.

0 1 2 3 4 5 0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

f [A·t]

φ [W

b] K1 = 1 K2 = 0.02

f0 = 1

p = 50

p = 2p = 5

Figura 4.9. Curva de saturación de una columna cualquiera (relación φ - f)

4.2.2 Reluctancia no lineal del hierro en valores reducidos a pu: τq (fq)

Para reducir a pu la expresión de ℜq(fq), (4.7), debe dividirse dicha expresión por la reluctancia base de la Tabla 4.I, ℜB, resultando

( ) ( )1/ 1/

B

1 B 2 B 1 20 0

1

1 1

q qq q p pp p

q q

ff

f fK K k

f f

−

ℜτ = = =

ℜ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎜ ⎟ℜ + + ℜ + +⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

1

k

− (4.8)

y tener en cuenta que τq(fq) depende de fq, por lo que se debe reescribir rBq qf f F= , donde FB

es la fuerza magnetomotriz base de la Tabla 4.I:

38 Memoria

( ) ( )rB 1/ 1/

r rB

1 2 10 0 B

1/r

1 2r0

1 1

1 1

1

1

q q q q p pp pq q

ppq

f f Ff F f

k k kf f F

fk k

f

− −

−

τ = τ = =⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎜ ⎟+ + +⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

=⎛ ⎞⎜ ⎟+ +⎜ ⎟⎝ ⎠

2k+

(4.9)

Por lo tanto, la expresión de la reluctancia no lineal reducida a pu para una columna q cualquiera del hierro es

( )r1/

r

1 2r0

1

1

q q ppq

ff

k kf

−τ =⎛ ⎞⎜ ⎟+ +⎜ ⎟⎝ ⎠

(4.10)

donde

2 2

p B p B r 0 01 1 B 1 2 2 B 2 0

Bp Bp B p Bp

, ,N N f f

k K K k K K fZ Z

ω ω= ℜ = = ℜ = = =

F N I (4.11)

Al igual que se ha comentado en el apartado 4.1.1.2, por simplicidad se omiten los superíndices r cuando se trabaja con valores reducidos, por lo que la ecuación (4.10) se reescribe como

( ) 1/

1 20

1

1

q q ppq

ff

k kf

−τ =⎛ ⎞⎜ ⎟+ +⎜ ⎟⎝ ⎠

(4.12)

4.3 Modelos del transformador trifásico desconectado en régimen permanente

El comportamiento magnético del núcleo de un transformador puede definirse con diferentes grados de complejidad: desde considerarlo ideal (permeabilidad del núcleo infinita) hasta considerarlo no lineal (permeabilidad del núcleo no constante). El primer caso es el más sencillo de estudiar, pero no puede representar con fidelidad su comportamiento en las situaciones en que la saturación del hierro determina su funcionamiento. En cambio, el


segundo caso caracteriza a la perfección el comportamiento lineal y no lineal del núcleo, aunque con el inconveniente de que el modelo es más costoso de cálculo.

Un caso intermedio a los dos anteriores es considerar que el núcleo es lineal, es decir, de permeabilidad constante. No obstante, este modelo tampoco es válido en las situaciones en que el núcleo está fuertemente saturado.

En este apartado se modeliza el núcleo del transformador de las tres formas anteriores: ideal, lineal y no lineal. En el caso ideal las reluctancias del núcleo se consideran nulas; en el caso lineal las reluctancias del núcleo tienen un valor constante y se considera que dicho valor puede ser diferente para cada columna del transformador; y en el caso no lineal las reluctancias del núcleo dependen del potencial magnético de las columnas del transformador, es decir, no son constantes, y además pueden ser diferentes para cada columna.

En todos los casos se presentan los modelos reducidos a pu para los transformadores de las tres topologías (transformador de tres columnas, banco de transformadores y transformador de cinco columnas).

Como los modelos anteriores difieren únicamente en el comportamiento magnético del núcleo, cada uno da lugar a un circuito magnético diferente; en cambio, el circuito eléctrico es común para todos ellos y para las tres topologías de transformador.

Los modelos presentados en este apartado corresponden al régimen permanente del transformador. Estos modelos se obtienen imponiendo tal condición de funcionamiento a las ecuaciones reducidas a pu que definen el comportamiento eléctrico y magnético del apartado 4.1.

4.3.1 Transformador con núcleo ideal (despreciando el hierro)

En el modelo del transformador que desprecia el hierro, se consideran nulas las reluctancias del circuito magnético que corresponden al hierro, y únicamente se tienen en cuenta las reluctancias de dispersión. Por lo tanto, las reluctancias no lineales τ4, τ5 y τ6 se consideran nulas, y sólo se consideran las reluctancias de dispersión τdp y τds (que están representadas con las inductancias de dispersión ldp y lds) y la reluctancia τd. Se debe tener en cuenta que las reluctancias de dispersión se han considerado constantes (lineales) porque se ha supuesto que estos circuitos de dispersión se cierran principalmente a través del aire.

Como resumen, el circuito eléctrico de este modelo no cambia (Figura 4.3), mientras que en los circuitos magnéticos (Figura 4.4, Figura 4.6 y Figura 4.8) desaparecen las reluctancias τ4, τ5 y τ6.

40 Memoria

Como todos los parámetros del modelo son de valor constante (las resistencias, las inductancias y las reluctancias son constantes), dicho modelo es lineal, por lo que, en caso de ser necesario, se puede aplicar el principio de superposición.

Esta propiedad es muy interesante para poder estudiar dicho modelo en régimen permanente, especialmente si las tensiones de alimentación tienen contenido armónico. En este caso, las tensiones de alimentación (upa, upb, upc, usa, usb, usc) se deben descomponer por Fourier en su componente a la onda fundamental, su componente de continua y sus componentes armónicas y, aplicando superposición, se resuelven las ecuaciones del modelo para cada una de las frecuencias y para la componente de continua.

Considerando la frecuencia fundamental, las ecuaciones eléctricas del transformador en régimen permanente senoidal y con sus parámetros reducidos a pu se obtienen aplicando superposición a las ecuaciones (4.3) y escribiendo las variables temporales correspondientes a la onda fundamental en notación fasorial (la derivada se convierte en el operador jω):

( )

dp pp

ds ss

j

j

4,5,6

qq q

qq q

u z i

u z i

q

= + ω

= + ω

=

φ

φ (4.13)

donde

- upq, usq, ipq y isq son las tensiones y corrientes fasoriales reducidas a pu del primario y del secundario del devanado q,

- dp p dpj lω y z r= + ds s dsj lω son las impedancias de cortocircuito del primario y

del secundario reducidas a pu,

z r= +

- q

φ es el flujo fasorial reducido a pu que circula por la columna q del hierro, y

- 2 fω = π es la pulsación a la frecuencia fundamental f.

Estas ecuaciones también se pueden obtener mediante el circuito eléctrico de la Figura 4.10 (que también se podría haber obtenido a partir del circuito de la Figura 4.3).


us4

is4

us5

is5

us6

is6

up4

up5

up6

ip4

ip5

ip6

zdp

∼

zdp

∼

zdp

∼

zds

∼

zds

∼

zds

∼

4jωφ 5jωφ 6jωφ

im4 im5 im6

Figura 4.10. Circuito eléctrico reducido a pu del transformador trifásico en régimen permanente senoidal a la

frecuencia fundamental con los devanados sin conectar

Las ecuaciones de (4.13) y el circuito eléctrico anterior son idénticos para las frecuencias armónicas y para continua, pero modificando el valor de la pulsación ω. Por lo tanto, este hecho afecta a la parte imaginaria de las impedancias de cortocircuito del primario y del secundario y a las fuentes de tensión inducidas, que para cada armónico k sus valores son

( )

= + ω = + ω

ω φ ω φ ω φ

=

dp dsp dp s

4 5 6

j , j

j , j , j

0,1,2,...

k kz r k l z r k l

k k k

k

ds

(4.14)

Como puede observarse en la ecuación anterior, (4.14), se han generalizado las expresiones de las impedancias de cortocircuito y de las tensiones inducidas para cualquier armónico k. Dichas expresiones también son válidas para continua haciendo k = 0.

Para obtener el circuito magnético de este modelo de transformador trifásico se debe despreciar el hierro, es decir, τ4 = τ5 = τ6 = 0 para el transformador de tres columnas de la Figura 4.4 y para el banco de transformadores de la Figura 4.6; y que τ4 = τ5 = τ6 = τd = 0 para el transformador de cinco columnas de la Figura 4.8. También deben cambiarse las variables en el dominio del tiempo por las correspondientes en notación fasorial. El circuito magnético que se obtiene del transformador de tres columnas se observa en la Figura 4.11, y el del banco de transformadores y el del transformador de cinco columnas en la Figura 4.12.

42 Memoria

ip4

τd fd

is4

ip5 ip6

is5 is6

4φ

5φ

6φ

dφ

Figura 4.11. Circuito magnético reducido a pu en régimen permanente del transformador de tres columnas

despreciando el hierro

ip4

is4

ip5 ip6

is5 is6

4φ

5φ

6φ

Figura 4.12. Circuito magnético reducido a pu en régimen permanente del banco de transformadores y del

transformador de cinco columnas despreciando el hierro

En el circuito magnético del transformador de tres columnas, Figura 4.11, se tiene como única reluctancia la del circuito que se cierra a través del aire, τd, que posee un valor constante. Dicha reluctancia puede estimarse como se explica en [5]:

r

N B N Bd

0 0 01 1 1

1 1 1estimado estimado estimado

2

3 0.5 3 0.5 3 0

f

z z zz z zz z z

ω ω π ωωτ ≈ = =

⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤− − −⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

.5

(4.15)

donde

- z1 es el módulo de la impedancia de secuencia directa reducida a pu que se ve desde el primario del transformador cuando el secundario está cortocircuitado y que coincide con la tensión relativa de cortocircuito, εcc,


- z0 es el módulo de la impedancia de secuencia homopolar reducida a pu que se ve desde el primario del transformador estando el secundario en vacío,

- 0

1 estimado

zz

⎡ ⎤⎢ ⎥⎣ ⎦

es la relación entre el módulo de la impedancia homopolar y el de la

impedancia directa, que suele variar entre 3 y 10 veces para esta topología de transformador, con el valor más pequeño para los transformadores de menor potencia y el valor mayor para los transformadores de mayor potencia,

- fN es la frecuencia nominal del transformador, y

- ωB es la pulsación base en la reducción a pu, con el valor que se observa en la Tabla 4.I.

Como se está despreciando el hierro, las ecuaciones que definen el comportamiento magnético del transformador de tres columnas de la Figura 4.11 son

( )

p s m d

4 5 6 d0

4,5,6

q q qi i i f

q

+ = = −

φ + φ + φ + φ =

=

(4.16)

y las del banco de transformadores y del transformador de cinco columnas de la Figura 4.12 son

( )p s m 0

4,5,6q q qi i i

q

+ = =

= (4.17)

donde

- imq es la corriente magnetizante reducida a pu del devanado q, y

- d d df = τ φ es el potencial magnético del circuito d, es decir, del circuito que se cierra a

través del aire, donde τd es la reluctancia lineal de dicho circuito y d

φ es el flujo que

circula por el mismo.

Las ecuaciones eléctricas y magnéticas pueden escribirse en forma matricial como:

44 Memoria

p4p4 dp

p5p5 dp

p6dpp6s4dss4s5dss5s6dss6

4d d d

d d d 5

d d d 6

j0 j

jj

0j

1 101 10

1 10

iu ziu zizuizuizuizu

j

⎡ ⎤⎡ ⎤ ω⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ω ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ω ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ω⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥= ω ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥ ω⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ φ− − τ τ τ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥ φ− − τ τ τ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥− − τ τ τ ⎢ ⎥φ⎢ ⎥ ⎣ ⎦⎣ ⎦ ⎣ ⎦

(4.18)

Este sistema de ecuaciones define el comportamiento eléctrico y magnético en régimen permanente del transformador de tres columnas desconectado y despreciando el hierro. Además, dicho sistema puede ser utilizado en el caso del banco de transformadores y del transformador de cinco columnas imponiendo que τd = 0.

4.3.2 Transformador con núcleo lineal

Al igual que en el caso anterior (núcleo ideal, despreciando el hierro), si se considera que las tres reluctancias del hierro (τ4, τ5 y τ6) son constantes, se tiene un sistema de ecuaciones lineal que, en caso necesario, permite aplicar el principio de superposición.

Como se comentó al inicio del apartado 4.3, los tres modelos y las tres topologías de transformador poseen las mismas ecuaciones eléctricas, es decir (4.13) y, por lo tanto, el mismo circuito eléctrico, mostrado en la Figura 4.10.

El circuito magnético del transformador con núcleo lineal en régimen permanente se puede obtener, para cada topología de transformador, a partir de los del apartado 4.1. Para ello, se debe imponer que las reluctancias de cada columna del núcleo son constantes, aplicar el principio de superposición a las ecuaciones (4.4) y (4.6) y escribir las variables temporales correspondiente a cada armónico en notación fasorial. La Figura 4.13 y la Figura 4.14 muestran los circuitos magnéticos para la onda fundamental que corresponde a las tres topologías consideradas.


ip4

τ4

τd

f4

fd

is4

ip5

τ5 f5

ip6

τ6 f6

is5 is6

4φ

5φ

6φ

dφ

Figura 4.13. Circuito magnético reducido a pu en régimen permanente del transformador de tres y cinco columnas

con núcleo lineal

ip4

τ4 f4

is4

ip5

τ5 f5

ip6

τ6 f6

is5 is6

4φ

5φ

6φ

Figura 4.14. Circuito magnético reducido a pu en régimen permanente del banco de transformadores con núcleo

lineal

El valor de la reluctancia reducida a pu de cada columna del núcleo del transformador puede obtenerse a partir de la expresión (4.12). Al considerar que la reluctancia es constante, hay que fijarse en la zona lineal de la curva de saturación de la Figura 4.9, es decir, en la zona donde . Por lo tanto, dicha reluctancia se calcula para una columna q cualquiera como f f0

( )τ = τ ≈+0

1 2

1q q qf f

k k (4.19)

donde y se calculan como en 1k 2k (4.11).

Como puede observarse en la Figura 4.13, el circuito magnético para el transformador de tres y cinco columnas coincide, pero la expresión con la que se calcula la reluctancia del circuito d, τd, no es la misma, ya que dicho circuito para el transformador de tres columnas es

46 Memoria

el que se cierra a través del aire y para el transformador de cinco columnas es la agrupación de la cuarta y quinta columnas del hierro. Por lo tanto, dicha reluctancia se calcula para el transformador de tres columnas como en (4.15) y para el transformador de cinco columnas como en (4.19).

Las ecuaciones que definen el comportamiento magnético en régimen permanente del transformador de tres y cinco columnas se obtienen a partir de la Figura 4.13 como

( )

p s m

4 5 6 d0

4,5,6

q q q qi i i f f

q

+ = = −

φ + φ + φ + φ =

=

d

(4.20)

y las del banco de transformadores a partir de la Figura 4.14 como

( )p s m

4,5,6q q qi i i f

q

+ = =

=q (4.21)

donde q q qf = τ φ es el potencial magnético de la columna q del hierro.

Las ecuaciones eléctricas y magnéticas de este modelo de transformador también pueden escribirse en forma matricial como en el apartado anterior, pero ahora hay que considerar las reluctancias del hierro, con lo que el sistema se escribe como:

p4p4 dp

p5p5 dp

p6dpp6s4dss4s5dss5s6dss6

44 d d d

d 5 d d 5

d d 6 d 6

j0 j

jj

0 jj

1 101 10

1 10

iu ziu zizuizuizuizu

⎡ ⎤⎡ ⎤ ω⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ω ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ω ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ω⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥= ω ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥ ω⎢ ⎥⎢⎢ ⎥ ⎢ ⎥ φ− − τ + τ τ τ ⎢⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢⎢ ⎥ φ− − τ τ + τ τ⎢ ⎥⎢⎢ ⎥ ⎢ ⎥− − τ τ τ + τ ⎢φ⎢ ⎥ ⎣ ⎦⎣ ⎦ ⎣ ⎦

⎥⎥⎥⎥⎥

(4.22)

Este sistema de ecuaciones define el comportamiento eléctrico y magnético en régimen permanente del transformador de tres y cinco columnas desconectado y considerando que el núcleo es lineal. Las ecuaciones del banco de transformadores desconectado se pueden obtener imponiendo que τd = 0.


4.3.3 Transformador con núcleo no lineal

A diferencia de los dos casos anteriores, este modelo de transformador no es lineal porque se considera que las reluctancias del hierro no son constantes y, por lo tanto, no se puede aplicar el principio de superposición. Esta no linealidad del circuito magnético influye en el valor de las tres fuentes de tensión inducidas de la Figura 4.3 (estas fuentes de tensión tienen por valor la derivada del flujo con respecto al tiempo) y en la corriente que circula a través de ellas (la corriente que circula es la corriente magnetizante). Se debe tener en cuenta que aunque en esta figura se han utilizado tres fuentes de tensión por las que internamente circula la corriente magnetizante, también se pueden utilizar, sin perder generalidad, tres fuentes de corriente que hagan circular la corriente magnetizante y que soporten en bornes la misma tensión que las tres fuentes de tensión (regla de sustitución).

En el supuesto de que se pudiera calcular la derivada del flujo con respecto al tiempo o que se pudiera calcular la corriente magnetizante de cada una de las columnas del transformador, se podría hacer la hipótesis de suponer que dichas tensiones o dichas corrientes son conocidas y modelizarlas respectivamente por unas fuentes de tensión o por unas fuentes de corriente de valor conocido. De entre la fuente de tensión o la fuente de corriente para representar el comportamiento no lineal del núcleo se prefiere ésta última porque se pretende utilizar el modelo del transformador en un flujo de cargas y, como éstos se suelen resolver por aplicación del método de los nudos, resulta más cómoda la formulación mediante la fuente de corriente. De esta manera, la Figura 4.15 representa el circuito de la Figura 4.3 pero utilizando fuentes de corriente para representar la no linealidad del núcleo.

rp ldp

rp ldp

rp ldp

us4

is4

rs lds

us5

is5

rs lds

us6

is6

rs lds

up4

up5

up6

ip4

ip5

ip6

4ddtφ

5ddtφ

6ddtφim4 im5 im6

Figura 4.15. Circuito eléctrico reducido a pu del transformador trifásico con los devanados sin conectar y

representando la no linealidad del núcleo con fuentes de corriente

48 Memoria

Como el núcleo está saturado, las fuentes de corriente magnetizante del circuito anterior (Figura 4.15) en régimen permanente no son senoidales aunque la alimentación sea senoidal ya que su contenido armónico es elevado. No obstante, si se supone conocido su valor, el circuito en sí será lineal, ya que todos los elementos pasivos del circuito (resistencias e inductancias) son constantes. Por lo tanto, se puede aplicar superposición para encontrar el circuito que corresponde a cada frecuencia. De esta manera, tanto las tensiones de los devanados (upq y usq con q = 4, 5, 6) como las corrientes magnetizantes (imq con q = 4, 5, 6) se deben descomponer por Fourier y el circuito se debe considerar a la frecuencia correspondiente. Por ejemplo, el circuito a la frecuencia fundamental se muestra en la Figura 4.16, donde upq, usq e imq son los fasores que corresponden a las componentes fundamentales de las tensiones y corrientes; y el circuito que corresponde al armónico k se muestra en la Figura 4.17.

us4

is4

us5

is5

us6

is6

up4

up5

up6

ip4

ip5

ip6

zdp ∼

zdp ∼

zdp ∼

zds

∼

zds

∼

zds

∼

im4 im5 im6

4jωφ

5jωφ

6jωφ

Figura 4.16. Transformador trifásico en régimen permanente con los devanados sin conectar: circuito eléctrico

reducido a pu que corresponde a la onda fundamental


us4k

is4k

us5k

is5k

us6k

is6k

up4k

up5k

up6k

ip4k

ip5k

ip6k

zdpk

∼

zdpk

∼

zdpk

∼

zdsk

∼

zdsk

∼

zdsk

∼

im4k im5k im6k

ω φ4j k

ω φ5j k

ω φ6j k

Figura 4.17. Transformador trifásico en régimen permanente con los devanados sin conectar: circuito eléctrico

reducido a pu que corresponde al armónico k

Si se considera la onda fundamental, la componente continua y n armónicos, se deben resolver n + 2 circuitos como los de la Figura 4.16 y la Figura 4.17, cada uno correspondiente a la frecuencia a considerar. Los circuitos eléctricos anteriores (Figura 4.16 y Figura 4.17) permiten formular un sistema de ecuaciones donde la no linealidad del núcleo está presente en las fuentes de corriente im4k, im5k e im6k, es decir, en las corrientes magnetizantes de cada devanado ( + = =, con 4,5,6i i i qp s mq k q k q k ), cuyos valores dependen de los flujos de cada

columna del hierro. Los valores de dichas fuentes de corriente se obtienen como se explica en el capítulo 5, y que, de forma abreviada, consiste en los siguientes pasos: (1) se supone que el transformador está en vacío para poder calcular la corriente magnetizante (es decir, se supone que la corriente magnetizante en carga es igual a la corriente magnetizante en vacío), (2) se calcula la forma de la corriente magnetizante en el dominio del tiempo resolviendo las ecuaciones diferenciales del apartado 4.1 imponiendo las condiciones de periodicidad y de continuidad de flujo, y (3) se descompone por Fourier dicha serie temporal para obtener cada una de las componentes armónicas.

A pesar de que la formulación empleada en los pasos (1) y (2) supone que el transformador está en vacío, la metodología se puede perfeccionar para obtener el valor de la corriente magnetizante real (es decir, en carga), en lugar del valor de la corriente magnetizante en vacío. Para ello, se debe corregir la tensión de alimentación real con la caída de tensión que provoca la corriente real de la carga (capítulo 6).

Aunque, como ya se ha comentado, se tienen que resolver los n + 2 circuitos, a partir de ahora se centrará la explicación en el circuito correspondiente a la onda fundamental (Figura

50 Memoria

4.16). Si se define la impedancia (z) y la admitancia (y) de cortocircuito totales del transformador a la onda fundamental como

dp ds1,z z z yz

= + = (4.23)

y las impedancias de cortocircuito del primario y del secundario a la onda fundamental como una parte de la impedancia total (cumpliendo la relación de (4.23))

( )dp ds, 1z z z= γ = − γ z (4.24)

entonces, el sistema de ecuaciones que caracteriza el comportamiento eléctrico del circuito de la Figura 4.16 es

p4p4

p5p5m4

p6 p6m5

s4 s4m6

s5 s5

s6 s6

1

1

1

y y uiy y ui

iy yi u ii y y u ii y y ui uy y

− − γ⎡ ⎤ ⎡⎡ ⎤⎡ ⎤ ⎢ ⎥ ⎢⎢ ⎥⎢ ⎥ − − γ⎢ ⎥ ⎢⎢ ⎥⎢ ⎥

⎤⎥⎥

⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢⎢ ⎥− −⎢ ⎥ ⎥γ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢⎢ ⎥= +⎢ ⎥ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢− γ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢⎢ ⎥ ⎥ ⎣ ⎦⎢ ⎥ − γ⎢ ⎥ ⎢⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦ − γ⎣ ⎦⎢ ⎥ ⎢⎣ ⎦ ⎣

⎥⎥⎥⎦

(4.25)

4.3.4 Formulación general para los tres modelos

La formulación que se utilizará para los tres modelos es la presentada para el modelo no lineal (4.25), diferenciándose los tres modelos en la forma de calcular las corrientes magnetizantes. En los modelos ideal y lineal, dichas corrientes magnetizantes se calculan como = + =, con 4,5,6i i i qm p sq q q , donde ipq e isq se obtienen resolviendo el sistema (4.18)

para el caso ideal y el sistema (4.22) para el caso lineal. Como ya se ha comentado, las corrientes magnetizantes del modelo no lineal se obtienen como se explica en el capítulo 5.

4.4 El transformador trifásico conectado en régimen permanente

Una vez vistos los diferentes modelos de transformadores trifásicos con los devanados sin conectar del apartado 4.3, se procede a modelizar las conexiones de dichos devanados, las cuales pueden ser en estrella (aislada, con impedancia a tierra o rígidamente a tierra) o en triángulo.


A partir de ahora, y cuando no sea susceptible de provocar confusión, se utilizarán las expresiones “tensiones fase-tierra de la línea” o “tensiones de la línea” o “tensiones fase-tierra” para referirse a las tensiones fase-tierra en bornes del transformador, a pesar de que en un sistema trifásico se suele utilizar la expresión “tensión de línea” para referirse a la tensión compuesta (es decir, a la tensión entre fases). También se utilizará la expresión “intensidades de la línea” para referirse a las intensidades de línea que circulan por el exterior del transformador.

4.4.1 Matriz de conexión

La matriz de conexión reducida a pu, c, relaciona las tensiones reducidas de devanado (up4, up5, up6, us4, us5, us6) con las tensiones reducidas fase-tierra de la línea (upa, upb, upc, usa, usb, usc), y su transpuesta conjugada (cT)∗ relaciona las corrientes reducidas de devanado (ip4, ip5, ip6, is4, is5, is6) con las corrientes reducidas de la línea (ipa, ipb, ipc, isa, isb, isc).

A continuación se exponen unos ejemplos de aplicación que permiten estudiar las diferentes conexiones del transformador. Dichos ejemplos consisten en los grupos de conexión siguientes: YNy10 (la estrella del primario puede estar conectada rígidamente a tierra, Figura 4.18a, o a través de una impedancia, Figura 4.18b), Yy10 (Figura 4.18c) y Dy9 (Figura 4.18d). Los índices horarios escogidos no son los normalizados porque permiten obtener expresiones más generales.

52 Memoria

us4+ –+ – up4 i pa i sc

(b)(a)

+ –

+ –us6

is4

is5

is6

us5

–

+

– – –

ns

pa

+ – up6

ip4

ip5

ip6

0

pb

pc

i pb

i pc

sc

sa

sb

i sa

i sb u sc u sa

– up5 +

u pau pb

u pc u sb

+

–

+

–

+

+

–

+

+

–

+

np

u np

us4+ –

+ –

+ –us6

is4

is5

is6

us5

–

+

– ––

ns

pa + – up4

+ – up6

ip4

ip5

ip6

0

pb

pc

i pa

i pb

i pc

sc

sa

sb

i sc

i sa

i sb u sc u sa

– up5 +

u pau pb u ns

u pc u sb

+

–

+

–

+

+

–

+

+

(d)

–

+ np

u np = 0

0

z np = 0

np

0

z np u np

–

+np

0

z np = ∞ u np

–

+

~

(c)

u ns

Figura 4.18. Conexiones Y-Y y D-Y del transformador trifásico: (a) YNy10, (b) YNy10 con impedancia a tierra, (c)

Yy10, y (d) Dy9

Las relaciones entre las tensiones y corrientes de devanado y las tensiones fase-tierra y las corrientes de la línea para las conexiones en Y-Y (Figura 4.18a, Figura 4.18b y Figura 4.18c) son


p4 pa np

p5 pb np

p6 pc np

s4 sa ns

s5 sb ns

s6 sc ns

pa

pb

pc

sa

sb

sc

11 0

11

0 11

u u

u u

u u

u uu uu

iiiiii

⎛ ⎞⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎡ ⎤ ⎜ ⎟⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎜ ⎟⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎜ ⎟⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎜ ⎟⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥= ×⎢ ⎥ ⎜ ⎟−⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎜ ⎟⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥− ⎜ ⎟⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎜ ⎟⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥−⎢ ⎥⎣ ⎦⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎝⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣ ⎦

u

u

u

uu

u u

−

⎠

p4

p5

p6

s4

s5

s6

11 0

11

0 11

iiiiii

⎡ ⎤⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥

⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥=⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥

−⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥−⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥

−⎢ ⎥⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦

(4.26)

y las relaciones para la conexión D-Y de la Figura 4.18d son

p4 pa

p5 pb

p6 pc

nss4 sa

nss5 sb

nss6 sc

pa

pb

pc

sa

sb

sc

1 3 1 3 001 3 1 3 001 3 1 3

10 1

1

u u

u u

u uuu uuu uuu u

iiiiii

⎛ ⎞⎡ ⎤⎡ ⎤ ⎡ ⎤− ⎡ ⎤⎜ ⎟⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎜ ⎟−⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎜ ⎟⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥− ⎜ ⎟⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥= × ⎢ ⎥⎜ ⎟⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥− ⎜ ⎟⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎜ ⎟−⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎜ ⎟⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦−⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎣ ⎦ ⎝

⎡⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

−

⎠

p4

p5

p6

s4

s5

s6

1 3 1 3

1 3 1 3 0

1 3 1 31

0 11

iiiiii

⎡ ⎤−⎤ ⎡⎢ ⎥⎥ ⎢−⎢ ⎥⎥ ⎢

⎢ ⎥⎥ ⎢−⎢ ⎥=⎥ ⎢⎢ ⎥⎥ ⎢−⎢ ⎥⎥ ⎢−⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎦ ⎣−⎣ ⎦

⎤⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

(4.27)

Puede observase en (4.27) que cuando el primario (o el secundario) se conecta en triángulo y el secundario (o el primario) en estrella la caja correspondiente de la matriz de conexión

debe dividirse por 3 . Esto es porque las tensiones base de los devanados son tensiones compuestas mientras que las tensiones base para las tensiones fase-tierra de la línea son tensiones sencillas o de fase.

En general, las relaciones (4.26) y (4.27) pueden escribirse como

54 Memoria

( )

( )

dev n

T dev∗

= −

=

u c u u

i c i (4.28)

donde la matriz de conexión reducida a pu, c, y su transpuesta conjugada, (cT)∗, son circulantes. Al ser ambas circulantes, pueden diagonalizarse aplicándoles la transformación de Fortescue (apartado 3.2). Aplicando dicha transformación al sistema (4.28) resultan las relaciones en variables de secuencia (subíndice F) como

( )

( )

dev nF F F

T devF F F

∗

= −

=

u c u u

i c i

F (4.29)

Entonces, (4.26) formulado en variables de secuencia se escribe como

devp0

p0 npdevp1 p1devp2 p2

dev nss0s0dev s1s1dev s2s2

p0

p1

p2

s

11 0 0

1 01

0 1 60 01 60 0

u u uu u

u uuuu

uuu

u

iiii

⎡ ⎤⎛ ⎞⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎡ ⎤ ⎜ ⎟⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎜ ⎟⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎜ ⎟⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎜ ⎟⎢ ⎥= × − ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎜ ⎟− ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎜ ⎟⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥∠ − ° ⎜ ⎟⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎜ ⎟⎢ ⎥∠ °⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎣ ⎦⎝ ⎠⎢ ⎥⎣ ⎦

devp0devp1devp2dev

0 s0devs1s1devs2s2

11 0

11

0 1 601 60

i

i

i

ii ii

i

⎡ ⎤⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥=⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥−⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥∠ °⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥∠ − °⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎣ ⎦⎣ ⎦ ⎢ ⎥⎣ ⎦

(4.30)

y (4.27) en variables de secuencia es


devp0

p0devp1 p1devp2 p2

dev nss0s0dev s1s1dev s2s2

p0

0 01 30 0 0

1 30 01

0 1 601 60 0

u uu u

u uuuu

uuu

u

ii

⎡ ⎤⎛ ⎞⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎡ ⎤ ⎜ ⎟⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥∠ ° ⎜ ⎟⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎜ ⎟⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥∠ − ° ⎜ ⎟⎢ ⎥= ×⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎜ ⎟− ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎜ ⎟⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥∠ − ° ⎜ ⎟⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎜ ⎟⎢ ⎥∠ °⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎝ ⎠⎢ ⎥⎣ ⎦

0

⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥

− ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

devp0devp1p1dev

p2 p2dev

s0 s0devs1s1devs2s2

01 30 0

1 301

0 1 601 60

i

i

i ii ii ii

i

⎡ ⎤⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥∠ − °⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥∠ ° ⎢ ⎥=⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥−⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥∠ °⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥∠ − °⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎣ ⎦⎣ ⎦ ⎢ ⎥⎣ ⎦

(4.31)

4.4.2 Tensión del neutro de la conexión en estrella

La tensión del neutro de la conexión en estrella difiere para los diferentes tipos de conexiones en estrella (conectada rígidamente a tierra, con impedancia a tierra y aislada) y puede depender de las tensiones fase-tierra de la línea, de las corrientes de la línea o de ambas.

La tensión del neutro cuando se conectan los devanados en estrella rígidamente a tierra es nula, como es el caso de la tensión unp de la Figura 4.18a. La tensión del neutro cuando los devanados del transformador se conectan en estrella con impedancia a tierra depende de la suma de la corrientes de cada fase, como es el caso de la tensión unp de la Figura 4.18b:

( )np pa pb pcnp = + +u z i i i .

Sin embargo, el problema surge cuando se quiere calcular la tensión del neutro de la conexión en estrella aislada. Para solucionar este problema, deben considerarse los sistemas (4.30) y (4.31) en variables de secuencia.

Observando las ecuaciones de secuencia homopolar de los sistemas (4.30) y (4.31), se tiene que las conexiones en triángulo y en estrella imponen las siguientes relaciones:

( )

dev0

0

dev0 0

dev0 0

0Conexión en triángulo: 0

Conexión en estrella:

ui

u u u

i i

⎧ =⎪⎨

=⎪⎩⎧ = ± −⎪⎨

= ±⎪⎩

n

(4.32)

56 Memoria

Los signos más y menos ( ± ) en conexiones en estrella representan los desfases existentes entre las tensiones homopolares de la línea y las tensiones homopolares de devanado, que sólo pueden ser de 0º (signo +) o de 180º (signo −). Si los signos ± se ignoran, la tensión del

neutro para dicha conexión puede calcularse como: devn 0 0= −u u u . Esta simple relación

permite encontrar la tensión del neutro en cualquier conexión en estrella, y en particular, la tensión del neutro en conexión en estrella aislada. La Tabla 4.IV da las expresiones de la tensión del neutro de los transformadores de la Figura 4.18, donde los signos ± se tienen en cuenta en hp0 y hs0 (teniendo en cuenta que h0 = hp0hs0

∗).

Tabla 4.IV. Tensión del neutro en el caso de una estrella aislada en el secundario

Conexión del transformador

Circuito equivalente de secuencia homopolar Tensión del neutro

YNy

~ ~ zdp

–

+

zds +–

1: h0

up0 –

+us0

uns

m0 s0∗i h ( )0 dp m0 s0ns s0 p0

∗= − −u u h u z i h

YNy con impedancia a

tierra

~ ~ zdp

–

+

zds +–

1: h0

up0 –

+us0

uns

m0 s0∗i h

~ 3znp

( )( )0 dp np m0 s0ns s0 p0 3u u h u z z i h∗= − − +

Yy

~ ~ zdp

–

+

zds +–

1: h0

up0 –

+us0

uns

m0 s0∗i h

+ –unp np p0u u

ns s0u u

=

=

Dy

~ ~ zdp

–

+

zds +–

up0 –

+us0

uns

m0 s0∗i h dp m0 s0ns s0u u z i h∗= +

donde: 1. up0 y us0 son las tensiones homopolares de la línea:

pa pb pc sa sb scp0 s0,

3 3

u u u u u uu u

+ + + += =

2. im0 es la corriente magnetizante de secuencia homopolar: m4 m5 m6m0 3

i i ii

+ +=

3. h0 y hs0∗ son parámetros que únicamente pueden valer 1 ó −1. (Ver explicación más abajo)


En la tabla anterior, Tabla 4.IV, aparecen términos en el circuito equivalente y en las tensiones del neutro que se deben explicar: la relación entre las tensiones y corrientes de devanado con las tensiones y corrientes de la línea, (4.29), es diferente para las diferentes conexiones del transformador. Dicha relación puede escribirse en general para cualquier conexión del transformador como

devp0

p0p0 npdevp1 p p1dev

pp2 p2

dev s0 nss0s0dev s s1s1dev s s2s2

p0

p1

p2

s

0 00

0 00

u uh uu h u

hu uh uuu

h uuh u

u

iiii

∗

∗

⎡ ⎤⎛ ⎞⎡ ⎤⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎜ ⎟⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎜ ⎟⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎜ ⎟⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎜ ⎟⎢ ⎥⎢ ⎥= × ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎜ ⎟⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎜ ⎟⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎜ ⎟⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎜ ⎟⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎣ ⎦⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎝ ⎠⎢ ⎥⎣ ⎦

−

devp0p0devp1pdev

p p2dev

0 s0 s0devs1

s s1devs2

s s2

0

0

ihih

h i

h ii h ii h i

∗

∗

∗

∗

⎡ ⎤⎡ ⎤⎡ ⎤ ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥=⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦

(4.33)

donde

- = ∠θp p1 , donde θp es el desfase existente entre las tensiones h p1u y devp1u de

secuencia directa,

- = ∠θs s1 , donde θs es el desfase existente entre las tensiones h s1u y devs1u de

secuencia directa,

- hp0 depende de la conexión del primario:

- en estrella, = ∠θp0 p01h , donde θp0 es el desfase existente entre las

tensiones p0u y devp0u de secuencia homopolar. Como θp0 sólo puede

ser 0º o 180º, entonces = ±p0 1h ,

- en triángulo, =p0 0h ,

- hs0 depende de la conexión del secundario:

58 Memoria

- en estrella, = ∠θs0 s01h , donde θs0 es el desfase existente entre las

tensiones s0u y devs0u de secuencia homopolar. Como θs0 sólo puede

ser 0º o 180º, entonces = ±s0 1h ,

- en triángulo, =s0 0h .

La relación de transformación compleja de secuencia homopolar, h0, se calcula como

( )0 p0 s0 0 p0 s01 1h h h∗= = ∠θ = ∠ θ − θ (4.34)

donde θ0 es el desfase existente entre las tensiones p0u y s0u de secuencia homopolar.

Como θ0 sólo puede ser 0º o 180º, entonces 0 0 1h h∗= = ± .

En los circuitos equivalentes de la Tabla 4.IV aparecen transformadores ideales con relaciones de transformación complejas. Dichos transformadores ideales no modifican el módulo de las tensiones y corrientes del primario, puesto que el módulo de las relaciones de transformación es la unidad; en cambio, sí modifican el ángulo. En la Figura 4.19 se puede observar un transformador ideal con relación de transformación compleja no unitaria, el cual puede variar el módulo y el ángulo de las tensiones y corrientes del primario.

1: h = 1: h e jθ –

+

Transformador ideal

dev jdev

devdev j

1 e

1 1 e

u u hu h uhu

i ii ii hh h

θ

θ∗ ∗

= → = =

= → = =

u –

+udev

i idev udev

u

i

idev

θ

θ

Figura 4.19. Transformador ideal con relación de transformación compleja no unitaria

El cálculo de la corriente magnetizante de secuencia homopolar im0, se realiza a través de im4,

im5 e im6, ya que m4 m5 m6m0 3

i =i i i+ + .


5 Cálculo de la corriente magnetizante del transformador trifásico con núcleo no lineal

Para un estudio detallado del comportamiento de un transformador dentro de un flujo de cargas armónico es necesario calcular el valor de la corriente magnetizante, que coincide aproximadamente con la corriente que consume cuando está en vacío (corriente de vacío), aunque pueden existir situaciones en que ambas intensidades sean muy diferentes. Si bien el valor de esta corriente es despreciable cuando el transformador no está saturado (suele ser inferior al 1% de la intensidad nominal en transformadores de potencia elevada), su elevado valor cuando el transformador se satura (por ejemplo cuando la tensión en alguno de sus devanados es superior al 115% de la tensión nominal) y su carácter armónico hacen que sea muy importante tenerla en cuenta.

En la referencia [6] se desarrolla una formulación para el cálculo de la corriente magnetizante del transformador trifásico de tres columnas conectado en estrella rígidamente a tierra. En base a dicha referencia, se ha elaborado una formulación para dicha conexión y para las tres topologías de transformadores trifásicos: transformador de tres columnas, banco de transformadores y transformador de cinco columnas.

5.1 Transformador con núcleo no lineal desconectado

Cuando el transformador está saturado, la relación no lineal entre el potencial magnético de una rama del hierro, f, y el flujo, φ, hace que la corriente magnetizante, im, no sea senoidal debido al contenido armónico que posee. Si el transformador está muy saturado (el flujo es muy elevado, ocasionado porque la tensión en algún devanado es muy alta) la corriente magnetizante se hace muy elevada debido a la no linealidad del hierro. Este elevado valor de la corriente magnetizante puede ocasionar una subida muy peligrosa de la temperatura del transformador y así como la aparición de un contenido armónico significativo en las tensiones y corrientes del sistema.

La corriente magnetizante depende de la corriente del primario y de la del secundario del transformador, ya que im q = ip q + is q, para q = 4, 5, 6. Para el cálculo de dicha corriente magnetizante, se realiza la siguiente aproximación: suponer que esta corriente magnetizante es la misma que la que consume el transformador cuando su secundario está en vacío

(is q = 0), con lo que dicha corriente coincide con la consumida por el primario: =

≈s

m p 0qq q i

i i .

60 Memoria

La formulación se realiza en valores reducidos a pu para las tres topologías de transformadores trifásicos: transformador de tres columnas, banco de transformadores y transformador de cinco columnas, sabiendo, que, a partir de la formulación del transformador de tres columnas se puede obtener la del banco transformadores y la del transformador de cinco columnas imponiendo en el circuito magnético que τd = 0 y τd(fd) respectivamente.

5.1.1 Transformador de tres columnas

Aproximando la corriente magnetizante a la corriente consumida por el primario en cada

rama q, =

≈s

m p 0qq q i

i i , y teniendo en cuenta que fq = τq(fq)φq y fd = τdφd, el sistema de

ecuaciones que forman (4.3) y (4.4) resulta,

( )

( ) ( ) ( )( )

⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎜ ⎟= + +⎜ ⎟ ⎜ ⎟τ⎝ ⎠ ⎝ ⎠= −

+ + + =τ τ τ τ

=

p p dp m

m d

5 6 d4

4 4 5 5 6 6 d

d dd d

0

4,5,6

qq q

q q

q q

fu r l i

t t f

i f f

f f fff f f

q

(5.1)

Aplicando la fórmula explícita de Euler para discretizar el sistema de ecuaciones anterior, (5.1), se obtiene

( ) ( )

( ) ( ) ( )( )

+ +

+

⎛ ⎞− ⎜ ⎟+ + − −⎜ ⎟Δ Δ ⎜ ⎟τ τ⎝ ⎠− + =

+ + + =ττ τ τ

=

( 1) ( ) ( 1) ( )m m( ) ( )

p m dp p( 1) ( )

( ) ( ) ( )m d

( ) ( ) ( )( )5 6 d4

( ) ( ) ( )d4 4 5 5 6 6

1 0

0

0

4,5,6

h h h hq q q qh h

q qh h

q q q q

h h hq q

h h hh

h h h

i i f fr i l u

t t f f

i f f

f f fff f f

q

=

(5.2)

Las incógnitas discretizadas en N−puntos (im q (h), fq (h) y fd (h) con q = 4, 5, 6 y h = 1...N) se

obtienen resolviendo el sistema no lineal de 7N ecuaciones.

Las primeras 7(N−1) ecuaciones se obtienen aplicando el sistema de ecuaciones (5.2) a los 7(N−1) puntos de un ciclo de cálculo, T. Las 7 ecuaciones restantes son las que resultan de imponer a im q, fq, y fd dos posibles condiciones:

- Periodicidad,


t

x(1) x(2) x(h)

x(N-1)

x(N)

x(N+1) = x(1)

Δt

T

Figura 5.1. Imposición de la condición de periodicidad a una variable x discretizada

En esta condición se debe aplicar el sistema de ecuaciones (5.2) entre los puntos x(N) y x(N+1) = x(1), es decir,

( ) ( )

( ) ( ) ( )( )

(1) ( ) (1) ( )m m( ) ( )

p m dp p(1) ( )

( ) ( ) ( )m d

( ) ( ) ( )( )5 6 d4

( ) ( ) ( )d4 4 5 5 6 6

1 0

0

0

4,5,6

N Nq q q qN N

q qN

q q q q

N N Nq q

N N NN

N N N

i i f fr i l u

t t f f

i f f

f f fff f f

q

⎛ ⎞− ⎜ ⎟+ + − −⎜ ⎟Δ Δ ⎜ ⎟τ τ⎝ ⎠− + =

+ + + =ττ τ τ

=

=

(5.3)

- Valor medio nulo,

(( ) ( ) ( )m d

1 1 10 , 0 , 0 4,5,6

N N Nh h hq q

h h h

t t ti f f qT T T= = =

Δ Δ Δ= = =∑ ∑ ∑ )= (5.4)

La primera condición es la más usual al trabajar con ondas periódicas en régimen permanente y en presencia de continua, mientras que las segunda condición (que implícitamente también impone la condición de periodicidad) elimina, en caso de existir, la componente de continua. En la aplicación informática desarrollada se ha implementado la condición de periodicidad porque la condición de valor medio nulo no es apropiada en presencia de corriente continua.

Aunque la presencia de continua en la red se produce raramente en la práctica, sí existen situaciones en las que se puede tener dicha componente. La causa principal de que pueda aparecer continua en la red se debe a las Corrientes Geomagnéticas Inducidas (GIC en inglés) que existen en la superficie de la Tierra debido a las perturbaciones solares magnéticas [7]. También puede aparecer continua si el transformador alimenta un variador de velocidad [8].

62 Memoria

La consideración de la componente de continua puede parecer a priori un detalle insignificante, pero no lo es tanto si se tiene en cuenta que un valor muy pequeño de tensión de continua puede provocar la aparición de una corriente de continua elevada (las reactancias de la red en continua son nulas y sólo entran en juego las resistencias, cuyo valor es muy reducido) que, con toda probabilidad puede provocar la saturación del transformador.

El sistema no lineal formado por 7N ecuaciones puede expresarse como

( ) = − =G x Tx b 0 (5.5)

donde

- G(x) = [G(1)(x) G(2)(x) ... G(h)(x) ... G(N−1)(x) G(N)(x)]T,

- x = [x(1) x(2) ... x(h) ... x(N−1) x(N)]T con x(h) = [im4(h) f4(h) im5

(h) f5(h) im6(h) f6(h) fd (h)]T,

- b = [b(1) b(2) ... b(h) ... b(N−1) b(N)]T con b(h) = [up4(h) 0 up5

(h) 0 up6(h) 0 0]T,

- y la matriz T de dimensión 7N×7N es

(5.6)

(1) (1)

(2) (2)

(3)

( ) ( )

( 2) ( 2)

( 1) ( 1)

(1) (2) (3) ( ) ( 1) ( 2) ( 1) ( )

h h

N N

N N

h h N N N

− −

− −

+ − −

⎡ ⎤… …⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥= … …⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥

… …⎣ ⎦

A B 0 0 0 00 A B 0 0 00 0 A 0 0 0

T A B

0 0 0 A B 00 0 0 0 A B

M M M M M M M M

con

(5.7)

( )4

( )5

( )

( )6

( ) ( ) ( )4 5 6

0 0 0 0 01 1 0 0 0 0 10 0 0 0 00 0 1 1 0 0 10 0 0 0 00 0 0 0 1 1 10 0 0

h

h

h

h

h h h

z

z

z

⎡ ⎤⎢ ⎥

−⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥

= −⎢⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥−⎢ ⎥Λ Λ Λ Λ⎣ ⎦

A

η

η

η

d

⎥


( 1)4

( 1)5

( )

( 1)6

0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 00 0 0 0 00 0 0 0 0 0 00 0 0 0 00 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0

h

h

h

h

l

l

l

+

+

+

⎡ ⎤−⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥−⎢ ⎥

= ⎢ ⎥⎢ ⎥−⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

B

η

η

η (5.8)

donde

( ) ( )

( )

τ

ητ τ

= − = Λ =Δ Δ

= − Λ =Δ

=

dp dpp d

d

( ) ( )( ) ( )

1, ,

1 ,

4,5,6

h hq qh

q q q q

l lz r l

t t

t f f

q

1h

(5.9)

y con M(h) y b(N) que dependen de la condición impuesta, como se observa en la Tabla 5.I:

5.1.2 Banco de transformadores

La formulación del banco de transformadores se obtiene a partir de la formulación del transformador de tres columnas imponiendo que τd = 0 (no hay interacción entre los flujos de cada columna del hierro), con lo que resulta fd = 0 (fd = τdφd). Por lo tanto, si se efectúan dichos cambios en (5.1), el sistema de ecuaciones a resolver es

( )

( )

⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎜ ⎟= + +⎜ ⎟ ⎜ ⎟τ⎝ ⎠ ⎝ ⎠=

=

p p dp m

m

dd

4,5,6

qq q

q q

q q

fdu r l idt t f

i f

q

(5.10)

Tabla 5.I. Tipo de condiciones a aplicar al transformador de tres o cinco columnas

Condición Elementos de la última fila de la matriz T: M(h)

Periodicidad M(1) = B(N) , M(N) = A(N) , M(j) = 07×7 (j = 2,.. , N−1)

Valor medio nulo M(j) = I7×7 (j = 1,.. , N−1), M(N) = 07×7, b(N) = 07×1

64 Memoria

Por lo tanto, el sistema discretizado resulta

( ) ( )

( )

+ +

+

⎛ ⎞− ⎜ ⎟+ + − −⎜ ⎟Δ Δ ⎜ ⎟τ τ⎝ ⎠− =

=

( 1) ( ) ( 1) ( )m m( ) ( )

p m dp p( 1) ( )

( ) ( )m

1 0

0

4,5,6

h h h hq q q qh h

q qh h

q q q q

h hq q

i i f fr i l u

t t f f

i f

q

=

⎥

(5.11)

En este caso, las incógnitas son: im q (h) y fq (h) con q = 4, 5, 6 y h = 1...N, donde q es cada

transformador monofásico que forma el banco de transformadores y N es el número de puntos con que se discretizan las incógnitas. Entonces el sistema no lineal a resolver está formado por 6N incógnitas y 6N ecuaciones.

Las primeras 6(N−1) ecuaciones se obtienen aplicando el sistema (5.11) a los primeros 6(N−1) puntos de un ciclo de cálculo T. Las 6 ecuaciones restantes son las que resultan de imponer a im q y fq las condiciones de periodicidad, (5.3), o de valor medio nulo, (5.4).

El sistema no lineal formado por 6N ecuaciones se formula igual que en el caso del transformador de tres columnas, (5.5), pero donde

- x = [x(1) x(2) ... x(h) ... x(N−1) x(N)]T con x(h) = [im4(h) f4(h) im5

(h) f5(h) im6(h) f6(h)]T,

- b = [b(1) b(2) ... b(h) ... b(N−1) b(N)]T con b(h) = [up4(h) 0 up5

(h) 0 up6(h) 0]T,

- y la matriz T de dimensión 6N×6N tiene la misma estructura que para el transformador de tres columnas, (5.6), pero en este caso, las submatrices A(h), B(h) y M(h) que la forman tienen dimensión 6×6, con

( )4

( )( ) 5

( )6

0 0 0 01 1 0 0 0 00 0 0 00 0 1 1 0 00 0 0 00 0 0 0 1 1

h

hh

h

z

z

z

⎡ ⎤⎢ ⎥

−⎢ ⎥⎢ ⎥

= ⎢−⎢ ⎥

⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥−⎣ ⎦

A

η

η

η

(5.12)


( 1)4

( 1)( ) 5

( 1)6

0 0 0 00 0 0 0 0 00 0 0 00 0 0 0 0 00 0 0 00 0 0 0 0 0

h

hh

h

l

l

l

+

+

+

⎡ ⎤−⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥−

= ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥−⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

B

η

η

η

(5.13)

donde

( )( )

ητ

= − = = −Δ Δ Δ

=

dp dp ( )p ( )

1, ,

4,5,6

hq h

q q

l lz r l

t t t f

q

(5.14)

y con M(h) y b(N) que dependen de la condición impuesta, como se observa en la Tabla 5.II:

5.1.3 Transformador de cinco columnas

Al igual que para el banco de transformadores, la formulación del transformador de cinco columnas se obtiene a partir de la formulación del transformador de tres columnas, pero imponiendo que τd(fd) (existen una cuarta y quinta columnas en el hierro con reluctancia no lineal, las cuales se agrupan en una columna o rama d), con lo que fd = τd(fd)φd. Por lo tanto, si se efectúan dichos cambios en (5.1), el sistema de ecuaciones a resolver es

( )

( ) ( ) ( ) ( )( )

⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎜ ⎟= + +⎜ ⎟ ⎜ ⎟τ⎝ ⎠ ⎝ ⎠= −

+ + +τ τ τ τ

=

p p dp m

m d

5 6 d4

4 4 5 5 6 6 d d

d dd d

0

4,5,6

qq q

q q

q q

fu r l i

t t f

i f f

f f fff f f f

q

=

(5.15)

Tabla 5.II. Tipo de condiciones a aplicar al banco de transformadores

Condición Elementos de la última fila de la matriz T: M(h)

Periodicidad M(1) = B(N) , M(N) = A(N) , M(j) = 06×6 (j = 2,.. , N−1)

Valor medio nulo M(j) = I6×6 (j = 1,.. , N−1), M(N) = 06×6, b(N) = 06×1

66 Memoria

Discretizando el sistema anterior resulta

( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )( )

+ +

+

⎛ ⎞− ⎜ ⎟+ + − −⎜ ⎟Δ Δ ⎜ ⎟τ τ⎝ ⎠− + =

+ + + =τ τ τ τ

=

( 1) ( ) ( 1) ( )m m( ) ( )

p m dp p( 1) ( )

( ) ( ) ( )m d

( ) ( ) ( )( )5 6 d4

( ) ( ) ( ) ( )4 4 5 5 6 6 d d

1 0

0

0

4,5,6

h h h hq q q qh h

q qh h

q q q q

h h hq q

h h hh

h h h h

i i f fr i l u

t t f f

i f f

f f fff f f f

q

=

dh

⎥

(5.16)

En este caso las incógnitas discretizadas en N−puntos coinciden con las del transformador de tres columnas, es decir: im q

(h), fq (h) y fd (h) con q = 4, 5, 6 y h = 1...N, y se obtienen resolviendo el sistema no lineal de 7N ecuaciones.

Las primeras 7(N−1) ecuaciones se obtienen aplicando el sistema de ecuaciones (5.16) a los primeros 7(N−1) puntos de un ciclo de cálculo T. Las 7 ecuaciones restantes son las que resultan de imponer a im q, fq, y fd las condiciones de periodicidad, (5.3), o de valor medio nulo, (5.4).

El sistema no lineal formado por 7N ecuaciones se formula igual que en el caso del transformador de tres columnas, (5.5), y todas las matrices y submatrices son idénticas a excepción de A(h), que se obtiene a partir de (5.7) imponiendo que la reluctancia de la rama d es no lineal, como

(5.17)

( )4

( )5

( )

( )6

( ) ( ) ( ) ( )4 5 6

0 0 0 0 01 1 0 0 0 0 10 0 0 0 00 0 1 1 0 0 10 0 0 0 00 0 0 0 1 1 10 0 0

h

h

h

h

h h h

z

z

z

⎡ ⎤⎢ ⎥

−⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥

= −⎢⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥−⎢ ⎥Λ Λ Λ Λ⎣ ⎦

A

η

η

η

donde

( )

( ) ( )( )

τ

ητ τ

= − Λ =Δ

= − Λ =Δ

=

dp ( )p d ( )

d d

( ) ( )( ) ( )

1,

1 ,

4,5,6

hh

h hq qh

q q q q

lz r

t f

t f f

q

1h

(5.18)


5.2 Transformador con núcleo no lineal conectado

Una vez presentada en el apartado 5.1 la formulación del sistema no lineal correspondiente al transformador con núcleo no lineal desconectado, es decir, sin haberse considerado las diferentes conexiones entre los devanados del transformador, se procede a exponer la formulación que corresponde al transformador conectado, donde sus devanados se conectan en estrella rígidamente a tierra.

Tal como se explica en el apartado 4.4.1, las tensiones de devanado y las tensiones fase-tierra de la línea del primario y del secundario de un transformador trifásico en pu se relacionan según:

( )= −dev nu c u u (5.19)

donde la matriz c es la matriz de conexión, que tiene la característica de ser circulante. Resulta más práctico diagonalizarla aplicándole la transformación de Fortescue, resultando la matriz cF,

( )−=dev 1 nFu Fc F u u− (5.20)

que escribiéndola de forma detallada, tiene la estructura:

−

∗

−

∗

⎛ ⎞⎡ ⎤⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎜ ⎟⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥

= × × × −⎜ ⎟⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎜ ⎟⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎜ ⎟⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎣ ⎦ ⎝

⎡ ⎤ ⎛ ⎞⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎜ ⎟⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥= × × × −⎢ ⎥ ⎜ ⎟⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎜ ⎟⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎝ ⎠⎣ ⎦

p4 pa npp01

pp5 pb np

p6 pc npp

s0s4 sa ns1

ss5 sb ns

s6 sc nss

u uhu h u

u uh

u h u uu h uu uh

F F

F F

⎠

u

u

u

uu

(5.21)

donde

- ⎡ ⎤⎢ ⎥

⎥2 a es la transformada de Fortescue, y su inversa es = ⎢

⎢ ⎥⎣ ⎦2

1 1 11 a1 a a

F

− ∗

⎡ ⎤⎢ ⎥= = ⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

1 2

2

1 1 11 1 1 a a3 3

1 a aF F , con π= j2 3a e ,

68 Memoria

- cF es la matriz de conexión del transformador en variables de secuencia, cuyos términos se describen en el apartado 4.4.2,

- unp y uns son las tensiones del neutro del primario y del secundario respectivamente.

Como ejemplo de aplicación se puede utilizar la conexión en estrella conectada rígidamente a tierra de la Figura 5.2. Como se puede observar, únicamente se muestra el primario debido a que se supone que el secundario está en vacío (is q = 0), en cuyo caso, la corriente magnetizante coincide con la del primario.

–

p4

0

p5

p6

ipa

ipb

ipc upa upb

upc

+

–

+

–

+

–

+np

unp = 0

+ –

+ –

+ –

p4i

p5i

p6i

p4u

p5u

p6u

Figura 5.2. Ejemplo de conexión en estrella conectada rígidamente a tierra en el primario del transformador

Para calcular las tensiones de los devanados del primario de la conexión en estrella de la Figura 5.2 se debe tener en cuenta que la tensión del neutro es nula (unp = 0) y que los coeficientes de la matriz cF valen: hp0 = hp = hp

∗ = 1. Esto implica que las tensiones de los devanados del primario se obtienen a partir de (5.21) como

(5.22) −

⎛ ⎞⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎜ ⎟⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥= × × × − =⎜ ⎟⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎜ ⎟⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎜ ⎟⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎝ ⎠

p4 pa pa1

p5 pb pb

p6 pc pc

1 01 0

1 0

u u

u u

u u

F Fu

u

u

h

h

h

u

u

u⎥

Como las ecuaciones del transformador desconectado están discretizadas, se deben también aplicar las relaciones (5.22) a cada punto del ciclo de cálculo. En particular, para el punto h:

(5.23)

( ) ( ) ( )p4 pa pa( ) 1 ( ) ( )p5 pb pb( ) ( ) ( )p6 pc pc

1 01 0

1 0

h h

h h

h h

u u

u u

u u

−

⎛ ⎞⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎜ ⎟⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎜ ⎟= × × × − =⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎜ ⎟⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎜ ⎟⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎝ ⎠

F F


Por lo tanto, el sistema de ecuaciones a resolver está formado por las ecuaciones en pu del transformador desconectado ((5.2) para el de tres columnas, (5.11) para el banco y (5.16) para el de cinco columnas) más las relaciones (5.23) impuestas por las conexiones.

5.3 Expresión del Jacobiano

Los sistemas no lineales de los apartados anteriores deben resolverse mediante un método numérico, como puede ser el método de Newton o alguna de sus variantes (método de h-Newton, explicado en el capítulo 7, método de Gauss-Newton, implementado en la rutina fsolve de MATLAB, etc).

La mayoría de métodos requieren el conocimiento del Jacobiano de dicho sistema, ya que éste proporciona información acerca de la trayectoria a seguir para encontrar la solución del sistema.

El sistema de ecuaciones a resolver para las tres topologías de transformador es el que se muestra en (5.5), es decir, ( ) = − =Tx b 0G x . Si se deriva dicho sistema respecto a x y se

tiene en cuenta que la matriz T no es constante, se puede obtener el Jacobiano de G(x), DG(x), como

( ) ∂⎛ ⎞= + ⎜ ⎟∂⎝ ⎠

TDG x T xx

(5.24)

La estructura de la matriz DG(x) será, pues, igual que la de la matriz T, es decir, formada por la misma doble diagonal:

(5.25)

(1) (1)

(2) (2)

(3)

( ) ( )

( 2) ( 2)

( 1) ( 1)

(1) (2) (3) ( ) ( 1) ( 2) ( 1) ( )

( ) h h

N N

N N

h h N N N

− −

− −

+ − −

⎡ ⎤… …⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥= … …⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥

… …⎣ ⎦

C D 0 0 0 00 C D 0 0 00 0 C 0 0 0

DG x C D

0 0 0 C D 00 0 0 0 C D

M M M M M M M M

5.3.1 Jacobiano del transformador de tres columnas

Las submatrices C(h) y D(h) que forman la matriz DG(x) para el transformador de tres columnas son:

70 Memoria

(5.26)

( )4

( )5

( ) ( )

( )6

( ) ( ) ( )4 5 6

0 d 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 00 0 0 d 0 0 00 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 d 00 0 0 0 0 0 00 d 0 d 0 d 0

h

h

h h

h

h h h

⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥

= + ⎢⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥Λ Λ Λ⎣ ⎦

C A

η

η

η⎥

(5.27)

( 1)4

( 1)5

( ) ( )

( 1)6

0 d 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 00 0 0 d 0 0 00 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 d 00 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0

h

h

h h

h

+

+

+

⎡ ⎤−⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥−⎢ ⎥

= + ⎢ ⎥⎢ ⎥−⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

D B

η

η

η

donde

( ) ( )

( ) ( )

( )

τ δ τη

δ

τ δ τ

δ

⎛ ⎞+ −⎜ ⎟= −⎜ ⎟Δ⎝ ⎠

⎛ ⎞+ −⎜Λ =⎜⎝ ⎠

=

( ) ( )(h) ( )

( ) ( )( ) ( )

1 11d

1 1d

4,5,6

h hq q q q h

q q

h hq q q qh

q

f ff

t

f ff

q

⎟⎟

hq (5.28)

Las matrices A(h) y B(h) son las de (5.7) y (5.8) respectivamente, y las submatrices C(h) y D(h) se calculan a partir de (5.26) y (5.27).

Las submatrices M(h) que completan la construcción del jacobiano de (5.25) dependen de la condición impuesta: periodicidad o valor medio nulo, y son las de la Tabla 5.I.

5.3.2 Jacobiano del banco de transformadores

Las submatrices C(h) y D(h) para el banco de transformadores tienen dimensión 6×6, en vez de dimensión 7×7 como en el caso del transformador de tres columnas, porque se cuenta con una ecuación y una incógnita menos debido a que no hay interacción entre los flujos del hierro. Entonces, dichas submatrices se obtienen como:


( )4

( )( ) ( ) 5

( )6

0 d 0 0 0 00 0 0 0 0 00 0 0 d 0 00 0 0 0 0 00 0 0 0 0 d0 0 0 0 0 0

h

hh h

h

⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥

= + ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

C A

η

η

η

(5.29)

( 1)4

( 1)( ) ( ) 5

( 1)6

0 d 0 0 0 00 0 0 0 0 00 0 0 d 0 00 0 0 0 0 00 0 0 0 0 d0 0 0 0 0 0

h

hh h

h

+

+

+

⎡ ⎤−⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥−

= + ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥−⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

D B

η

η

η

(5.30)

donde dηq(h) para q = 4, 5, 6 se calcula como en (5.28).

Las matrices A(h) y B(h) son las de (5.12) y (5.13) respectivamente. Las submatrices M(h) dependen de la condición impuesta: periodicidad o valor medio nulo, y son las de la Tabla 5.II.

5.3.3 Jacobiano del transformador de cinco columnas

Las submatrices C(h) y D(h) para el transformador de cinco columnas tienen un aspecto parecido a las del transformador de tres columnas del apartado 5.3.1, debido a que la imposición de que la rama d del hierro sea no lineal únicamente hace aparecer el término dΛd

(h) en la submatriz C(h). Entonces, dichas submatrices se forman como:

( )4

( )5

( ) ( )

( )6

( ) ( ) ( ) ( )4 5 6

0 d 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 00 0 0 d 0 0 00 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 d 00 0 0 0 0 0 00 d 0 d 0 d d

h

h

h h

h

h h hdh

⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥

= + ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥Λ Λ Λ Λ⎣ ⎦

C A

η

η

η (5.31)

72 Memoria

(5.32)

( 1)4

( 1)5

( ) ( )

( 1)6

0 d 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 00 0 0 d 0 0 00 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 d 00 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0

h

h

h h

h

+

+

+

⎡ ⎤−⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥−⎢ ⎥

= + ⎢ ⎥⎢ ⎥−⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

D B

η

η

η

donde dηq(h) y dΛq

(h) para q = 4, 5, 6 se calculan como en (5.28) y dΛd(h) es

( ) ( )τ δ τ

δ

⎛ ⎞+ −⎜Λ =⎜⎝ ⎠

( ) ( )d d d d( ) ( )

d

1 1d

h hh

f ff⎟

⎟ dh (5.33)

Las matrices A(h) y B(h) que se deben utilizar para la construcción de las submatrices C(h) y D(h) que forman el Jacobiano son (5.17) y (5.8) respectivamente. Las submatrices M(h) para completar el Jacobiano de (5.25) son las de la Tabla 5.I.

5.4 Obtención fasorial de la corriente magnetizante

Una vez resuelto numéricamente el sistema de ecuaciones del transformador, se obtienen la corriente magnetizante y el potencial magnético de régimen permanente en el dominio del tiempo para cada columna q del hierro, discretizadas con N puntos por periodo.

Para poder utilizar el modelo de transformador no lineal en régimen permanente propuesto en el apartado 4.3.3 se debe calcular el espectro armónico de la corriente magnetizante y trabajar con los fasores correspondientes a las frecuencias de interés.

La secuencia de puntos de una onda periódica (como es el caso de la corriente magnetizante) puede expresarse mediante series exponenciales de Fourier como:

( )21 j

0e , 0,1,..., 1

nN kN

kk

x n c n Nπ−

== =∑ − (5.34)

donde ck son los coeficientes de Fourier.

La expresión (5.34) también puede expresarse mediante la función trigonométrica coseno como

( )1

01

2cos , 0,1,..., 1N

k kk

nx n c c k n NN

−

=

π⎛ ⎞= + + θ = −⎜ ⎟⎝ ⎠

∑ (5.35)


donde ángulo( )kk cθ = .

La expresión anterior puede truncarse para un número de puntos N par o impar de la siguiente manera:

( )

( )

12

0 21

12

01

2 par: 2 cos , 0,1,..., 1

2 impar: 2 cos , 0,1,..., 1

N

k k Nk

N

k kk

nN x n c c k c n NN

nN x n c c k n NN

−

=

−

=

π⎛ ⎞= + + θ + = −⎜ ⎟⎝ ⎠

π⎛ ⎞= + + θ = −⎜ ⎟⎝ ⎠

∑

∑

(5.36)

donde el coeficiente cN/2 es el coeficiente de Fourier a la frecuencia de Nyquist, y únicamente existe en el caso de tener un número par de puntos.

El coeficiente c0 es la componente de continua de la corriente magnetizante (en caso de que exista), y es el valor medio de los N puntos que forman dicha corriente. El resto de la expresión (5.35) y (5.36) es la suma de los diferentes armónicos. El objetivo aquí es obtener los coeficientes de Fourier ck, lo cual se hará a través de la Transformada Discreta de Fourier.

La Transformada Discreta de Fourier (DFT) se define para un vector de puntos x(n) de longitud N como

( ) ( )21 j

0e , 0,1,...,

nN kN

nX k x n k N

π− −

=1= =∑ − (5.37)

MATLAB posee una función que realiza la DFT de forma eficiente en cuanto a tiempo de cálculo: es la llamada Transformada Rápida de Fourier (FFT). Dicha función utiliza el algoritmo de Cooley-Tukey para disminuir el tiempo de cálculo de O(N2) a O(Nlog(N)). Además, la ejecución de la FFT es más rápida para un número de puntos N que sea una potencia de dos.

Por otro lado, la Transformada Discreta de Fourier Inversa (IDFT) se define como

( ) ( )21 j

0

1 e , 0,1,...,nN k

N

kx n X k n N

N

π−

=1= =∑ − (5.38)

Por lo tanto, comparando los términos que forman las ecuaciones (5.34) y (5.38) se obtiene la relación entre los coeficientes de Fourier y la DFT para cada armónico k como

( ), 0,1,..., 1k

X kc k

NN= = − (5.39)

74 Memoria

La expresión (5.35) puede escribirse en particular para la corriente magnetizante como:

( )

( )

1

m 01

2cos , 0,1,..., 1

4, 5, 6

N

q q kq kqk

ni n c c k n NN

q

−

=

π⎛ ⎞= + + θ = −⎜ ⎟⎝ ⎠

=

∑ (5.40)

Entonces, a partir de la expresión (5.40) puede obtenerse la corriente magnetizante fasorial para cada columna q y para los diferentes armónicos como

( )

( )

( )( )

( )

( )

( )

mm 0 0

m

1m 1 1 1

m

1m 1 1 1

00 :

1

1:2 2

1

1:2 2

4, 5, 6

qq q

q

qq q q

q

N qqN N q N q

Ik i c

NI

c Nk i

I Nc N

k N i

q

−− − −

= = =

= = ∠θ = ∠θ

−

= − = ∠θ = ∠θ

=

(5.41)


6 Mejora en el cálculo de la corriente magnetizante

En la formulación del sistema de ecuaciones para el cálculo de la corriente magnetizante del capítulo 5 se ha supuesto que la corriente magnetizante consumida por el transformador en carga es aproximadamente igual a la que consume en vacío. Para entender la validez de esta aproximación se debe analizar el esquema equivalente del transformador, representado en la Figura 6.1. Por claridad, en la Figura 6.2 se ha representado únicamente el esquema correspondiente a la columna q del transformador.

us4k

is4k

us5k

is5k

us6k

is6k

up4k

up5k

up6k

ip4k

ip5k

ip6k

zdpk

∼

zdpk

∼

zdpk

∼

zdsk

∼

zdsk

∼

zdsk

∼

im4k im5k im6k

ω φ4j k

ω φ5j k

ω φ6j k

Figura 6.1. Esquema equivalente reducido a pu del transformador trifásico con los devanados sin conectar que

corresponde al armónico k en régimen permanente

isqk ipqk zdpk

∼zdsk

∼

imqkmj qkqk uω φ =upqk usqk

Figura 6.2. Esquema equivalente reducido a pu de la rama q del transformador trifásico con los devanados sin

conectar que corresponde al armónico k en régimen permanente

La corriente magnetizante del transformador, imq(t), depende de la tensión umq(t) (que a su vez es igual a la derivada del flujo). Esta tensión umq(t) se calcula como la tensión del primario upq(t) menos la caída de tensión en la resistencia y en la inductancia de dispersión del primario. En general, la caída de tensión en rp y ldp es debida a la circulación de ipq(t), o lo

76 Memoria

que es lo mismo, a la circulación de imq(t) y de isq(t), ya que ipq(t) = imq(t) − isq(t). Como imq(t) se calcula a partir de umq(t), si se comete error en el cálculo de la tensión umq(t), se cometerá error en el cálculo de la corriente magnetizante imq(t).

En la aproximación que se propone en este trabajo, la corriente magnetizante se calcula suponiendo que el secundario del transformador está en vacío, es decir que la corriente isq(t) es nula. Por lo tanto, se está despreciando la caída de tensión que produce la corriente del secundario en rp y en ldp.

La cuestión clave es saber si al despreciar esta caída de tensión se está cometiendo mucho o poco error. La respuesta es simple: si en alguna situación, la intensidad imq(t) es muy sensible a un pequeño error en umq(t), entonces se estará cometiendo mucho error; en caso contrario, el error será poco importante.

Concretamente, la intensidad imq(t) será muy sensible a umq(t) cuando el transformador esté muy saturado, ya que un pequeño aumento de umq(t) se traduce en un gran aumento de imq(t).

Analizando más a fondo el problema, se pueden dar dos situaciones características en las que el error sea importante:

1) El transformador está muy saturado y el secundario está en carga: como no se está considerando la caída de tensión en rp y en ldp producida por la intensidad del secundario, se estará utilizando una umq(t) para el cálculo de la imq(t) que será mayor que la que realmente hay. Por lo tanto, se calculará una intensidad imq(t) mayor que la real: se verá que el transformador está más saturado de lo que realmente está.

2) La tensión del primario es tan elevada que en situación normal provocaría que el transformador estuviera muy saturado pero el secundario está en cortocircuito: como el transformador está en cortocircuito, la tensión umq(t) se puede calcular aproximadamente mediante el divisor de tensión formado por rp, ldp y rs, lds, entonces umq(t) ≈ upq(t)/2. Por lo que, salvo que upq(t) sea superior al doble de la tensión nominal, el transformador no estará saturado. Por ejemplo, si upq(t) es un 150% del valor nominal, umq(t) será un 75% del valor nominal, por lo que el transformador no estará saturado. Sin embargo, en la aproximación realizada en este trabajo se obtendrá que el transformador estará muy saturado, porque se está despreciando isq(t) para calcular umq(t), resultando umq(t) ≈ upq(t) (despreciando la caída de tensión en rp y en ldp). En este caso, también se está calculando una intensidad imq(t) mucho mayor que la real porque se está considerando que el transformador está saturado, cuando en realidad no lo está.

A continuación, se va a cuantificar de forma numérica y a corregir el error cometido, ya que la caída de tensión provocada por la corriente del secundario se puede compensar sin tener


que reformular los sistemas de ecuaciones desarrollados en el capítulo 5. Para compensar esta caída de tensión lo que se hará será calcularla y añadirla a la tensión de alimentación del transformador como se muestra a continuación.

Las ecuaciones del primario (como en el capítulo 5) del circuito equivalente de la Figura 6.2 son

( ) (

dp pp m

m p s

4,5,6 , 0,1,2,...

k qkqk qk

qk qk qk

u z i u

i i i

q k

= +

= +

= = ) (6.1)

A partir de (6.1) puede obtenerse la tensión armónica umqk que soporta la fuente de corriente magnetizante armónica imqk como

( ) ( )

dp pm pdp m dp sm p

p m s

4,5,6 , 0,1,2,...

k qkqk qkk qk k qkqk qk

qk qk qk

u u z iu u z i z i

i i i

q k

= − ⎫⎪ → = − +⎬= − ⎪⎭

= =

(6.2)

En la ecuación (6.2) puede observarse la aparición de un nuevo término, zdpk isqk, con respecto a las ecuaciones eléctricas del capítulo 5 (aunque las ecuaciones de dicho capítulo están en el dominio del tiempo, pueden compararse aplicando superposición y considerando los armónicos correspondientes). Este término es el que debe sumarse a la tensión de alimentación armónica del primario upqk de cada fase para obtener las corrientes magnetizantes exactas. Puede sorprender que se esté sumando un término a la tensión de alimentación cuando, en las dos situaciones anteriores, se ha comentado que el error provenía de tener una tensión umqk mayor que la real; sin embargo, se debe tener en cuenta que este término será negativo porque la intensidad isqk también lo será.

El nuevo término se debe añadir a la tensión de alimentación de forma discretizada, es decir, como un vector de N puntos en el dominio del tiempo. Es decir, si ucqk = zdpk isqk, entonces

( )

( ) ( )

( )

c

c 0 c 0

cc2 1

2 cos , 1,2,...

1,2, ...,

q k

q q

qkqk u

u n u

nu n u k k

N

n N

=

⎛ ⎞π −= + θ⎜ ⎟⎜ ⎟

⎝ ⎠=

= (6.3)

donde c cángulo( )q k qku uθ = .

La suma de todos los armónicos de ucqk proporciona la tensión discretizada a añadir a las ecuaciones discretizadas del capítulo 5:

78 Memoria

(6.4) ( )c c0 1

N

q qkk n

u u≥ =

⎛= ⎜

⎝ ⎠∑ ∑ n ⎞

⎟

Aunque en este capítulo se ha hecho el razonamiento de la compensación de la tensión del primario basándose en el esquema en variables de fase de la Figura 6.2, se podría haber realizado el mismo razonamiento basándose en los tres circuitos en variables de secuencia de la Figura 6.3.

zdpk ∼

zdsk

∼

im0km00j kk uω φ =devp0ku dev

s0ku

devs0kidev

p0ki

zdpk ∼

zdsk

∼


s1ku

devs1kidev

p1ki

zdpk ∼

zdsk

∼


s2ku

devs2kidev

p2ki

(a)

(b)

(c) Figura 6.3. Esquemas equivalentes en variables de secuencia reducidos a pu del transformador trifásico con los

devanados sin conectar que corresponden al armónico k en régimen permanente: (a) esquema de secuencia homopolar, (b) esquema de secuencia directa, y (c) esquema de secuencia inversa


7 Método de h-Newton

Para el cálculo del flujo armónico de cargas de la red y para obtener la corriente magnetizante del transformador trifásico se deben resolver sistemas no lineales de ecuaciones. Dichos sistemas no lineales se resuelven numéricamente a partir del método de h-Newton, [9], que se define como un método de convergencia global, no divergente y comparable en tiempo de ejecución al método de Newton cuando éste converge.

La elección de dicho método en vez del método de Newton clásico se fundamenta en que el método de Newton no garantiza la convergencia del proceso, aunque sea un método rápido, debido a que los valores iniciales que se le dan deben estar cerca de la solución y a que no hay un factor amortiguante que estabilice el proceso.

El método de h-Newton que se formula no es exactamente el mismo que el expuesto en la referencia [9], sino que se han permutado las condiciones que detectan la convergencia y la pérdida de estabilidad del método.

7.1 Formulación del método de h-Newton

En general, el sistema de ecuaciones no lineales a resolver numéricamente se plantea como una función igualada a cero,

( ) 0F x = (7.1)

Matemáticamente el sistema de ecuaciones (7.1) puede tener múltiples soluciones, pero su resolución numérica debe proporcionar la solución físicamente correcta, x(s). El método de Newton no asegura la convergencia a una solución correcta y los valores iniciales de las incógnitas deben estar lo suficientemente cerca de la solución del sistema. Entonces, dado que los valores de las fases de las incógnitas armónicas no se pueden saber a priori, la inicialización de las incógnitas no será nunca lo suficientemente buena como para asegurar que se obtendrá una solución válida o que el método sea convergente. Por lo tanto, se descarta la utilización de dicho método, aunque, en caso de converger, la resolución del sistema no lineal es muy rápida.

El algoritmo en que se basa el método de h-Newton para resolver (7.1) se fórmula como

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )( )11i i i i ix x h DF x F x−+ = − (7.2)

donde

80 Memoria

- ( )ix y ( )1ix + son los valores de las incógnitas en la iteración i y i +1 respectivamente,

- ( ) 12

inh = es el paso de integración o factor amortiguante, y n es una variable que

empieza siendo cero ( ( )0 1 Método de Newton clásicoh = ⇒ ) y aumenta su valor

en una unidad para reducir el paso ( )ih si el punto ( )1ix + es peor que ( )ix hasta un valor máximo, por ejemplo n = 5, y

- ( )( )

( )( )( )

( )( )( )

( )( )( )

( )( )( )

1 1

1

1

i i

i im

i

i im m

i im

F x F x

x x

DF x

F x F x

x x

⎡ ⎤∂ ∂⎢ ⎥⎢ ⎥∂ ∂⎢ ⎥⎢ ⎥

= ⎢ ⎥ es el Jacobiano de ( )

⎢ ⎥⎢ ⎥∂ ∂⎢ ⎥⎢ ⎥∂ ∂⎣ ⎦

( )iF x .

Para detectar que el punto ( )1ix + es peor que el punto ( )ix es necesario un detector de

pérdida de estabilidad. En este caso se utiliza la norma 2 de ( )( )iF x , ( )( )2

iF x , que se

define como ( )( ) ( )( )( )2

2 1

mi

jj

F x F x=

= ∑ i

( )

, y se detecta dicha pérdida de estabilidad si

( ) ( )( )1

2 2

iF x F x> i+ (, por lo tanto, se debe reducir el paso de integración )ih hasta que

( )( ) ( )( )1

2 2

i iF x F x<+ .

El proceso acaba (converge) cuando se consigue llegar a una solución lo suficientemente buena, por lo que es necesario definir una tolerancia de finalización del algoritmo, ∈, que en pu puede tener un valor de 10-4. Para detectar la convergencia del proceso se utiliza la

norma infinito de , ( )( )iF x ( )( )iF x∞

, que se define como ( )( ) ( )( )( )maxi ijj

F x F x∞

= , por lo

tanto, el algoritmo se considera que converge a una solución correcta si ( )( )iF x∞

<∈.

En la referencia [9] se considera que para detectar la pérdida de estabilidad se utilice la norma infinito y para saber si el proceso converge se utilice la norma 2, es decir, lo contrario a lo que se ha planteado en este apartado. Estos cambios se justifican porque se quiere

hacer más restrictiva la obtención de la solución, es decir, que ninguna ( )( )jF x i sea mayor

que la tolerancia ∈.


Un proceso crítico en cuanto al tiempo de ejecución del algoritmo es hacer la inversa del

Jacobiano de la función , ( )( )iF x ( )( )iDF x1−, puesto que dicho Jacobiano puede tener

dimensiones elevadas en función del número de armónicos a estudiar en el caso de resolver el flujo de cargas de la red o en función del número de puntos en el dominio del tiempo cogidos para el cálculo de la corriente magnetizante. Este problema se soluciona si no se

invierte directamente y se reformula la ecuación ( ) )i(DF x (7.2) como un sistema lineal de

ecuaciones:

( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( )11i i i i i i i i i ix x x h DF x F x DF x x h F x−+Δ = − = − ⇒ Δ = − (7.3)

Ahora, el sistema lineal de ecuaciones (7.3) se puede resolver sin tener que invertir

utilizando el método de Gauss, también conocido como eliminación gaussiana.

MATLAB posee un operador conocido como backslash “\” que resuelve sistemas lineales del tipo Ax = B por eliminación gaussiana con pivotaje parcial, y su algoritmo consta de dos partes:

( ) )i(DF x

1) Transformación del sistema lineal en otro equivalente, es decir, con la misma solución, donde la matriz es triangular superior:

i) Sumar a una ecuación otra multiplicada por un número.

ii) Intercambiar dos ecuaciones.

2) Resolución del sistema triangular por sustitución regresiva.

Entonces, el sistema lineal (7.3) se resuelve de manera eficiente en MATLAB como

( ) ( )( )( ) ( ) ( )( )( )\i i ix DF x h F xΔ = − i (7.4)

y se obtiene el punto de la iteración siguiente: ( ) ( ) ( )1i i ix x x+ = + Δ .

7.2 Algoritmo del método de h-Newton

El algoritmo del método de h-Newton se resume de manera descriptiva paso a paso de la siguiente manera:

82 Memoria

Como se puede observar en el algoritmo anterior, el método de h-Newton está preparado para solventar los problemas de mínimos locales que, gráficamente, se representa en la Figura 7.1a y en la Figura 7.1b.

1) Inicializar los parámetros: i = 0, n0 = 0, ( )0

1 1nh 0

2= = , ∈ = 10-4 , nmáx = 5.

2) Inicializar ( )0x y calcular ( )( )0F x y ( )( )0DF x .

3) Calcular el punto siguiente como: ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )( )1 i1i i i ix x h DF x−+ = − F x .

4) Calcular ( )( )1iF x + .

5) Si ( )( )1+

∞<∈ (convergencia obtenida), entonces ir a 8). iF x

6) Si ( )( ) ( )( )1

2 2

iF x + < iF x (el error decrece), entonces

6.1) i = i +1, n = 0, ( ) 1 12n

ih = = . (el punto es válido: se aumentan las iteraciones)

6.2) Calcular ( )( )iDF x . (Jacobiano del punto válido: ahora es la iteración i)

6.3) Ir a 3)

Si no

6.4) n = n +1, ( ) 1inh = .

2

6.5) Si n > nmáx (la solución tiende a un mínimo local), entonces

6.5.1) i = 0, n0 = n0 +1, ( )0

12

in= e ir a 2). (se reduce el paso h y se vuelve a las

condiciones iniciales)

h

6.5.2) Si n0 > nmáx (problema de convergencia detectado), entonces ir a 7).

6.5.3) Ir a 2).

6.6) Ir a 3).

7) Cambiar inicialización de ( )0x e ir a 2).

8) Imprimir resultados.


x(0) mínimo local

x(1)

x(2)

x(s)

n0 = 0 ⇒ h = 1

n0 = 1 ⇒ h = 0,5

mínimo local

x(0)

h = 1 h = 0,5

F(x)

x

x(s)

x(1)

x(2)

(a)

(b)

Figura 7.1. Evolución hacia un mínimo local y hacia la solución x(s) con diferentes valores de h en la resolución numérica: (a) evolución numérica de x, y (b) evolución de x sobre la función F(x)

En ambas figuras se puede ver la evolución del valor de x para dos valores iniciales del paso de integración h: en un caso se tiende a un mínimo local al tener un paso de integración h demasiado grande y en el otro se converge a la solución x(s) cuando se disminuye a 0,5 el paso de integración.

Una vez mostrado el algoritmo del método paso a paso, se implementa su código en el lenguaje de MATLAB como:

84 Memoria

%condiciones iniciales del algoritmo iter = 0; n0 = 0; h = 1/(2^n0);

%condiciones de fin del algoritmo: error máximo en F, n máximo y máximo número de iteraciones error_F_max = 1e-4; n_max = 5; iter_max = 30;

%se inicializan las incógnitas x0 y se obtiene F0 y DF0 x0; F0; DF0;

%bucle principal de cálculo del algoritmo de h-Newton salida1 = 0; while salida1 == 0

%se vuelve a las condiciones iniciales si n>n_max x = x0; F = F0; DF = DF0; n = n0; h = 1/(2^n); error_F = norm(F0,inf); estabilidad_F = norm(F0);

%bucle secundario del algoritmo de h-Newton salida2 = 0; while salida2 == 0 %se resuelve el sistema lineal: DF(x(iter))*incr_x_temp = -h*F(x(iter))

incr_x_temp = DF\(-h*F); %se obtiene la solución de x en la siguiente iteración

x_temp = x + incr_x_temp; %se obtiene la nueva F, F(x_temp), su error y estabilidad

F; error_F_temp = norm(F_temp,inf); estabilidad_F_temp = norm(F_temp);

%condición de salida del bucle principal y secundario if error_F_temp < error_F_max

salida2 = 1; salida1 = 1; x = x_temp; F = F_temp; error_F = error_F_temp; estabilidad_F = estabilidad_F_temp; iter = iter + 1;

end %se comprueba si el criterio de estabilidad es correcto o no

if estabilidad_F_temp < estabilidad_F n = n0; h = 1/(2^n); %se actualizan: x, error, estabilidad y se calcula DF

x = x_temp; F = F_temp; DF; error_F = error_F_temp; estabilidad_F = estabilidad_F_temp; iter = iter + 1;

%se comprueba el valor de iter_max if iter > iter_max

salida2 = 1; salida1 = 1; end

elseif estabilidad_F_temp > estabilidad_F n = n + 1; h = 1/(2^n); %se comprueba si se ha llegado al valor de n_max

if n > n_max %se sale del bucle secundario con una n0 más grande

n0 = n0 + 1; n = n0; h = 1/(2^n); salida2 = 1;

%condición de salida del bucle principal if n0 > n_max

salida1 = 1; end

end end

end end


8 Validación de los modelos y ejemplos

Una vez formulados los modelos del transformador trifásico del capítulo 4, se pretende validarlos a partir de una red de distribución radial formada por los siguientes elementos: generador - línea 1 – transformador - línea 2 - carga. Dicha red (Red IEEE 4) se explica detalladamente en la primera parte de este capítulo (apartado 8.1).

La Red IEEE 4 original considera un banco de transformadores con núcleo ideal, y las cargas que se alimentan están dadas a través de las potencias activa y reactiva. Dicha red se ha implementado en la aplicación informática desarrollada en MATLAB e incluye tres modificaciones sobre la red original: (1) considerar que el hierro del transformador trifásico puede ser lineal o no lineal, (2) implementar tanto la topología del banco de transformadores como la de los transformadores de tres y de cinco columnas, y (3) utilizar como carga tanto la carga PQ original de la red como un motor de inducción trifásico. Estas modificaciones añaden una complejidad superior a la red, aumentando el tiempo de cálculo y el número de variables a resolver.

En la segunda parte de este capítulo (apartado 8.3) se explican peculiaridades relacionadas con la utilización del motor de inducción como carga de la red.

En el apartado 8.4 se validan los modelos del transformador: modelo con núcleo lineal (apartado 4.3.2) y modelo con núcleo no lineal (apartado 4.3.3), omitiéndose el modelo con núcleo ideal (apartado 4.3.1), ya que ofrece resultados menos rigurosos que los anteriores y puede ser considerado como un caso particular del modelo de transformador con núcleo lineal. En dicha validación se consideran tanto la carga PQ como el motor de inducción como carga a alimentar.

Una validación detallada de los modelos debe considerar las tres topologías de transformador (transformador de tres columnas, banco de transformadores y transformador de cinco columnas) y todos sus grupos de conexión. Esto da como resultado un número de combinaciones muy elevado, imposible de plasmar en este trabajo. Por lo tanto, se darán los resultados detallados de un solo grupo de conexión, el grupo YNyn10, con la topología de cinco columnas. A pesar de que únicamente se muestran los resultados de este grupo y topología, los modelos han sido ampliamente estudiados para todas las conexiones y topologías, obteniéndose unas soluciones que se pueden considerar igualmente válidas, pues los errores son similares a los presentados aquí.

Por último, en el apartado 8.5 se estudia la influencia de las conexiones del transformador mediante cuatro ejemplos, caracterizados por los siguientes grupos de conexión: Yy10, Yd3, YNd3 y Dy9.

86 Memoria

8.1 Red IEEE 4

La Red IEEE 4 es una red trifásica de distribución radial diseñada por el Instituto de Ingenieros Eléctricos y Electrónicos (IEEE en inglés) para el análisis de los transformadores trifásicos en condiciones desequilibradas [10]. Dicha red está formada por los siguientes elementos:

- un generador ideal con una tensión de línea de 12,47 kV,

- dos líneas de diferente longitud conectadas al transformador,

- un banco de transformadores de núcleo ideal con una tensión nominal del primario de 12,47 kV y unas tensiones nominales del secundario de 4,16 kV (transformador reductor) o 24,9 kV (transformador elevador), y

- una carga PQ que puede ser equilibrada o desequilibrada.

El esquema unifilar de la red, incluyéndose las longitudes de las líneas, se muestra en la Figura 8.1.

G ∼

Carga Línea 2 Línea 1

Nudo 1 Nudo 2 Nudo 3 Nudo 4 2000 ft 2500 ft

Figura 8.1. Esquema unifilar de la Red IEEE 4

Tanto la línea del primario del transformador (Línea 1) como la del secundario (Línea 2) se construyen siguiendo la configuración de la Figura 8.2. Como puede observarse en la Figura 8.1 y en la Figura 8.2, las longitudes están expresadas en pies (ft o ‘) debido a que se utilizan unidades anglosajonas. Más adelante se utilizarán también, como unidades de longitud, la milla (mi) y la pulgada (in o “). Las conversión de estas unidades de longitud a las del sistema internacional se puede realizar mediante las siguientes relaciones: 1 ft = 0,3048 m, 1 mi = 1609,3440 m y 1 in = 0,0254 m.


a b

n

c

2,5 ft 4,5 ft

3 ft 4 ft

24 ft

Figura 8.2. Configuración de las líneas eléctricas

Las características de los cables a, b, c y n de la Figura 8.2 se muestran en la Tabla 8.I, siendo GMR el radio medio geométrico o la distancia media geométrica de cada uno de los conductores que forman el cable a sí mismos y al resto de los conductores.

Tabla 8.I. Características de los conductores de las líneas 1 y 2 de la Red IEEE 4

GMR [ft] Resistencia [Ω/mi] Diámetro [in]

Cables de fase (a, b, c): 336,4 26/7 ACSR 0,0244 0,306 0,721

Cable del neutro (n): 4/0 6/1 ACSR 0,00814 0,592 0,593

Así, las impedancias por unidad de longitud de las líneas para las configuraciones de cuatro y de tres cables son:

líneas

líneas

0,4576 j1,078 0,1559 j0,5017 0,1535 j0,38494 cables: 0,1559 j0,5017 0,4666 j1,0482 0,158 j0,4236

mi0,1535 j0,3849 0,158 j0,4236 0,4615 j1,0651

0,4013 j1,4133 0,0953 j0,85153 cables:

Z

Z

+ + +⎡ ⎤Ω⎢ ⎥= + + +⎢ ⎥

⎢ ⎥+ + +⎣ ⎦

+ +=

0,0953 j0,72660,0953 j0,8515 0,4013 j1,4133 0,0953 j0,7802

mi0,0953 j0,7266 0,0953 j0,7802 0,4013 j1,4133

+⎡ ⎤Ω⎢ ⎥+ + +⎢ ⎥

⎢ ⎥+ + +⎣ ⎦

(8.1)

88 Memoria

El transformador propuesto en la Red IEEE 4 original es un banco de transformadores en el que se supone que el hierro es ideal (por lo que también podría considerarse que se trata de un transformador de cinco columnas). Dicho transformador puede ser elevador o reductor, y sus características nominales se muestran en Tabla 8.II. En dicha tabla también pueden observarse la resistencia interna y la reactancia de dispersión totales de los devanados, es decir, la suma de la resistencia interna del primario más la del secundario y la suma de la reactancia de dispersión del primario más la del secundario, tal como se observa en la ecuación (8.2),

(8.2) p scc cc

dp ds N dp N ds

j2 2

r r rz r x

x x x f l f l

= + ⎫⎪ → = + = ε⎬= + = π + π ⎪⎭

donde zcc es la impedancia de cortocircuito, que coincide con la tensión relativa de cortocircuito εcc.

Tabla 8.II. Características nominales del transformador reductor y del transformador elevador

SN [kVA] UNp [kV] UNs [kV] fN [Hz] r [pu] x [pu]

Transformador reductor 6000 12,47 4,16 60 0,01 0,06

Transformador elevador 6000 12,47 24,9 60 0,01 0,06

Como carga en la red se tiene una carga PQ, dada para cada fase mediante la potencia activa P y el factor de potencia FP (inductivo). Dado que FP = cos(ϕ), la potencia reactiva Q puede obtenerse como

(8.3) ( )( ) ( )

( )(tan

tan arccoscos arccos

Q PQ P FP

FP FP

⎫= ϕ ⎪ → =⎬= ϕ → ϕ = ⎪⎭

)

Dicha carga puede conectarse en estrella o en triángulo y puede ser equilibrada o desequilibrada, con las características que se muestran en la Tabla 8.III.


Tabla 8.III. Potencia activa y factor de potencia de cada fase para la carga equilibrada y para la carga desequilibrada

Carga equilibrada Carga desequilibrada

P [kW] 1800 1275 Fase 1

FP 0,9 (i) 0,85 (i) P [kW] 1800 1800

Fase 2 FP 0,9 (i) 0,9 (i)

P [kW] 1800 2375 Fase 3

FP 0,9 (i) 0,95 (i)

Si el secundario del transformador se conecta en estrella, la carga también se conecta en estrella y las fases 1, 2 y 3 corresponden a a-n, b-n y c-n respectivamente; en cambio, si el secundario del transformador está conectado en triángulo, la carga también se conecta en triángulo y las fases 1, 2 y 3 corresponden a a-b, b-c y c-a respectivamente.

8.2 Modificación en la Red IEEE 4: mejora del modelo del transformador

Como ya se ha comentado, la primera modificación realizada a la Red IEEE 4 original atañe al modelo del transformador: (1) en lugar del hierro ideal, éste puede ser lineal o no lineal, y (2) además de la topología del banco de transformadores, también se pueden utilizar las topologías de tres y de cinco columnas.

Los parámetros del transformador en el caso lineal y en el caso no lineal se han estimado según la referencia [11].

8.3 Modificación en la Red IEEE 4: motor de inducción como carga

La descripción de la Red IEEE 4 especifica que el transformador debe alimentar una carga PQ equilibrada o desequilibrada. En este trabajo se le añade más complejidad a la red al considerar también un motor de inducción como carga.

El tipo de motor de inducción que se considera es el de rotor de jaula de ardilla. Este tipo de motor es el más utilizado en la industria, debido a su robustez y a su facilidad y economía de

90 Memoria

fabricación. Físicamente, el rotor de este tipo de motor de inducción puede estar formado por una única jaula de ardilla, por dos o más jaulas de ardilla, o por una ranura profunda.

Para modelizar adecuadamente los efectos de las corrientes inducidas en el rotor de estos motores se pueden emplear modelos de diferente complejidad. El más sencillo es el modelo denominado de jaula sencilla, que considera que el rotor está formado por un único devanado. El siguiente modelo es el de doble jaula, que considera que el rotor está formado por dos devanados, y así sucesivamente. En este caso, el motor de inducción se ha modelizado con los modelos de jaula sencilla y de doble jaula, obviando los casos de mayor complejidad y dificultad de implementación.

Al igual que en el caso del transformador, el motor de inducción se formula en régimen permanente mediante el esquema equivalente para cada frecuencia y para la componente de continua.

Otro aspecto importante en la formulación del motor de inducción es la manera de conectar los devanados del estator. Habitualmente se conectan en estrella aislada o en triángulo, simplificándose el sistema de ecuaciones a resolver, pues la corriente homopolar que circula por el estator es nula. En este trabajo también se ha considerado la posibilidad de conectar el estator en estrella rígidamente a tierra o a través de una impedancia.

8.3.1 Modelos del motor de inducción en régimen permanente

En este apartado se muestran los modelos en régimen permanente de los dos modelos considerados para el motor de inducción: jaula sencilla y doble jaula. Para ello, se utilizan los circuitos equivalentes de cada uno de ellos en variables de secuencia, [12].

8.3.1.1 Modelo de jaula sencilla

Este modelo está caracterizado por las ecuaciones eléctricas y por la expresión del par electromagnético. Las ecuaciones eléctricas correspondientes a la secuencia directa (subíndice 1) para el armónico k del modelo de jaula sencilla son:

(s sd m m

s1,s1,r

m rd m r1,1,

j j j1,2,3,...j j j0

kk

kk

R kX kX kXIV

R kkX kX kX Is

+ +⎡ ⎤⎡ ⎤⎡ ⎤ ⎢ ⎥= =⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥+ +⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎢ ⎥⎣ ⎦

) (8.4)

donde

- Vs1,k es la tensión fase-neutro del estator (subíndice s) de secuencia directa correspondiente al armónico k,


- Is1,k e Ir1,k son las corrientes del estator y del rotor (subíndice r), respectivamente, de secuencia directa correspondiente al armónico k,

- s1,k es el deslizamiento de secuencia directa del armónico k,

- Rs y Rr son las resistencias del estator y del rotor respectivamente,

- Xsd y Xrd son las reactancias de dispersión del estator y del rotor respectivamente, y

- Xm es la reactancia de magnetización.

Las impedancias del sistema anterior son las de la estrella equivalente. Por lo tanto, si la máquina está conectada en triángulo, las impedancias reales de los devanados se deben dividir por 3 para utilizarlas en este sistema.

Estas ecuaciones también se pueden representar mediante el esquema equivalente de la Figura 8.3.

Vs1,k

Is1,k Ir1,kRs

Rr /s1,k

kXsd kXrd

kXm

Figura 8.3. Circuito equivalente (para la estrella equivalente) de secuencia directa para cada armónico k del

modelo de jaula sencilla para el motor de inducción trifásico en régimen permanente

El sistema de ecuaciones (8.4) se simplifica en el caso de continua (k = 0) resultando:

s1,0 s1,0s

r1,0 0V R II

=

= (8.5)

Las corrientes del estator y del rotor para cada armónico k pueden obtenerse resolviendo el sistema de ecuaciones (8.4) como

(

1s sd m m

s1, s1,r

m rd mr1,1,

j j j1,2,3,...j j j 0

k k

kk

R kX kX kXI V

R kkX kX kXIs

−+ +⎡ ⎤⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥= =⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥+ + ⎣ ⎦⎣ ⎦ ⎢ ⎥⎣ ⎦

) (8.6)

y en el caso de continua, la solución es trivial

92 Memoria

s1,0s1,0

s

VI

R= (8.7)

El circuito equivalente de secuencia inversa es igual al de la Figura 8.3, y únicamente se debe cambiar el subíndice 1 por el subíndice 2. También debe aplicarse dicho cambio a las ecuaciones (8.4), (8.5), (8.6) y (8.7).

Los deslizamientos armónicos de secuencia directa y de secuencia inversa pueden obtenerse a partir del deslizamiento para un armónico k, sk, como

( )

s

s

s m

s

s s 1, 0

s s 2, 0

1,2,3,...

Secuencia directa: 2 0

Secuencia inversa: 2 0

k

k k

k k

k ps k

kf s

f s s

sω >

ω <

ω − ω⎧ = =⎪ ω⎪⎪ ω = π > → =⎨⎪

ω = − π < → =⎪⎪⎩

i

i

(8.8)

donde

- ωs es la pulsación correspondiente a la frecuencia fundamental de la tensión de alimentación. ωs/p es la llamada velocidad de sincronismo,

- ωm es la velocidad mecánica del motor, y

- p son los pares polos.

Una vez se han obtenido las corrientes de secuencia directa (subíndice 1) y de secuencia inversa (subíndice 2), deben obtenerse las corrientes armónicas de secuencia homopolar (subíndice 0). Éstas sólo existen en el estator, y sus valores dependen de la conexión de los devanados de dicho estator. El circuito equivalente de secuencia homopolar para cada armónico k de los modelos de jaula sencilla y de doble jaula (el circuito es el mismo) se muestra en la Figura 8.4. En esta figura se observa que la tensión de alimentación y la corriente son las de devanado. Por lo tanto, falta incorporar en el mismo las conexiones de los devanados, de forma similar a como se hizo con el transformador.


Rs

kXsd0devs0,kV

devs0,kI

Figura 8.4. Circuito equivalente de secuencia homopolar correspondiente al armónico k para los modelos de jaula sencilla y de doble jaula del motor de inducción trifásico en régimen permanente con los devanados del estator sin

conectar

En la Tabla 8.IV se calculan las corrientes armónicas del estator a partir del circuito equivalente de secuencia homopolar de cada conexión de dicho estator. Como los circuitos equivalentes son válidos para los modelos de jaula sencilla y de doble jaula, las expresiones de las intensidades obtenidas también lo son.

94 Memoria

El valor de la reactancia de dispersión del estator de secuencia homopolar, Xsd0, es aproximadamente igual al valor de la reactancia de dispersión del estator del circuito equivalente de secuencia directa, Xsd, con lo que las corrientes mostradas en la tabla anterior pueden calcularse suponiéndose dicha aproximación.

El par electromagnético de este modelo está dado por:

Tabla 8.IV. Corrientes homopolares del estator del motor de inducción en función de la conexión del estator

Conexión del estator

Circuito equivalente de secuencia homopolar Corrientes del estator

YN Vs0,k

Is0,kRs

kXsd0

( )s sd0

0,1,2,...k =

s0,s0, j

kk

VI

R kX=

+

YN con impedancia a

tierra Vs0,k

Is0,kRs3Znk

∼

kXsd0

( )( )

s0,s0,

n s sd0

s0,

n n s s

3 j

3 j j

0,1,2,...

kk

k

k

VI

Z R kXV

R kX R kX

kd0

= =+ +

+ + +

=

Y Vs0,k

Is0,k = 0 Rs

kXsd0

( )s0, 0

0,1,2,...kI

k

=

=

D Vs0,k

Is0,k = 0 Rs

kXsd0

( )s0, 0

0,1,2,...kI

k

=

=


2rr1, r2,1, 2,

s 1, s 2,

3 3,kk kk k k k

Rp pIs s

⎛ ⎞ ⎛Γ = Γ =⎜ ⎟ ⎜⎜ ⎟ ⎜ω ω⎝ ⎠ ⎝

2rk

R I⎞⎟⎟⎠ (8.9)

siendo el par total: . ( )1, 2,1

k kk

∞

=Γ = Γ + Γ∑

8.3.1.2 Modelo de doble jaula

Las ecuaciones eléctricas correspondientes a la secuencia directa (subíndice 1) para el armónico k del modelo de doble jaula son:

( )

1

11

22

2

s sd m m m

s1,rs1,m r d m m

r 1,1,

r 1,rm m r d m

1,

j j j j

j j j j00

j j j j

1,2,3,...

kk

kk

k

k

R kX kX kX kXIRV kX kX kX kX Is

R IkX kX kX kX

s

k

+ +⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎡ ⎤⎡ ⎤ ⎢ ⎥+ + ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥= ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦+ +⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

=

(8.10)

donde los nuevos parámetros que intervienen en (8.10) respecto a (8.4) son

- 1r 1,kI y

2r 1,kI son las corrientes de los devanados 1 y 2 del rotor, respectivamente, de

secuencia directa correspondiente al armónico k,

- 1r

R y 2rR son las resistencias de los devanados 1 y 2 del rotor, respectivamente, y

- 1r dX y

2r dX son las reactancias de dispersión de los devanados 1 y 2 del rotor,

respectivamente.

Igual que para el modelo de jaula sencilla, las impedancias del sistema anterior son las de la estrella equivalente. Por lo tanto, si la máquina está conectada en triángulo, las impedancias reales de los devanados se deben dividir por 3 para utilizarlas en este sistema.

Estas ecuaciones también se pueden representar mediante el esquema equivalente de la Figura 8.5.

96 Memoria

Vs1,k

Is1,k Rs kXsd

kXm1r 1,kI

2r 1,kI1r dk X

2r dk X

1r 1,kR s2r 1,kR s

Figura 8.5. Circuito equivalente (para la estrella equivalente) de secuencia directa para cada armónico k del

modelo de doble jaula para el motor de inducción trifásico en régimen permanente

El sistema de ecuaciones (8.10) se simplifica en el caso de continua (k = 0) resultando:

1 2

s1,0 s1,0s

r 1,0 r 1,00 , 0V R II I

=

= = (8.11)

Las corrientes del estator y del rotor para cada armónico k pueden obtenerse resolviendo el sistema de ecuaciones (8.10) como

( )

1

11

2 2

2

1s sd m m m

s1, r s1,m r d m m

r 1, 1,

r 1, rm m r d m

1,

j j j j

j j j j00

j j j j

1,2,3,...

k k

k k

k

k

R kX kX kX kXI R VkX kX kX kXI sI R

kX kX kX kXs

k

−+ +⎡ ⎤⎢ ⎥⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥+ +⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥=⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎣ ⎦⎣ ⎦ + +⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

=

(8.12)

y en el caso de continua, la solución es

s1,0s1,0

s

VI

R= (8.13)

El circuito equivalente de secuencia inversa es igual al de la Figura 8.5, y únicamente se debe cambiar el subíndice 1 por el subíndice 2. También debe aplicarse dicho cambio a las ecuaciones (8.10), (8.11), (8.12) y (8.13).

Los deslizamientos armónicos de secuencia directa y de secuencia inversa se obtienen de la ecuación (8.8), y, por otro lado, las corrientes homopolares armónicas del estator se calculan en función de la conexión de dicho estator tal y como se muestra en la Tabla 8.IV.

Por último, el par electromagnético de este modelo está dado por:


1 2 1 2

1 2 1 2

2 2 2r r r rr 1, r 1, r 2, r 2,1, 2,

s 1, 1, s 2, 2,

3 3,k k kk kk k k k k k

R R R Rp pI I I Is s s s

⎛ ⎞ ⎛Γ = + Γ = +⎜ ⎟ ⎜⎜ ⎟ ⎜ω ω⎝ ⎠ ⎝

2

k

⎞⎟⎟⎠

m

(8.14)

siendo el par total: . ( )1, 2,1

k kk

∞

=Γ = Γ + Γ∑

8.3.2 Determinación del punto de funcionamiento

Para calcular las corrientes del estator y del rotor armónicas de secuencia directa y de secuencia inversa para cada modelo de motor de inducción (jaula sencilla a partir de (8.6) y doble jaula a partir de (8.12)) es necesario encontrar el deslizamiento armónico en cada caso a partir de su expresión, (8.8). Esto se consigue con el conocimiento de la velocidad angular del motor ωm, es decir, encontrando su punto de funcionamiento (Γm,ωm).

Para encontrar la velocidad angular del motor es necesario conocer la forma del par resistente de la carga que arrastra. Otra opción es conocer la potencia mecánica Pm entregada a la carga, que es el producto del par entregado por la velocidad mecánica:

m mP = Γ ω (8.15)

El par mecánico entregado a la carga se calcula como la suma de los pares de cada una de las componentes armónicas de secuencia directa y de secuencia inversa (las componentes homopolares producen par medio nulo). Aunque la mayor parte del par la aporta la componente fundamental de secuencia directa, también se consideran las pequeñas aportaciones de cada uno de los armónicos de secuencia directa y de secuencia inversa, así como la componente fundamental de secuencia inversa.

Debe tenerse en cuenta que el par de secuencia directa y el de secuencia inversa dependen de los signos de ωsk y de sk. La velocidad síncrona armónica, ωsk = kωs, es positiva cuando se trabaja en variables de secuencia directa (subíndice 1), y negativa cuando se trabaja en variables de secuencia inversa (subíndice 2). En cuanto al deslizamiento, si la máquina trabaja como motor, el deslizamiento de secuencia directa a la onda fundamental y para los armónicos será positivo y el de secuencia inversa también lo será. Por lo tanto, todos los pares de secuencia directa son positivos (Γ1,k > 0), mientras que los de secuencia inversa son negativos (Γ2,k < 0).

Normalmente, el motor se alimenta con tensiones de secuencia directa, simétricas y equilibradas a la frecuencia fundamental (Vsa, Vsb = a2 Vsa, Vsc = a Vsa). En este caso, únicamente existe la tensión de secuencia directa (Vs0 = 0, Vs1 = Vsa, Vs2 = 0). Entonces, las corrientes del rotor de secuencia inversa son nulas (aplicando a las ecuaciones (8.6) y (8.12) de secuencia inversa que la tensión del estator de secuencia inversa es nula, es decir,

98 Memoria

Vs2 = 0), por lo que el par de secuencia inversa es nulo (imponiendo a las ecuaciones de (8.9) y de (8.14) de secuencia inversa que las corrientes del rotor son nulas, es decir, Ir2 = 0,

1r 2 0I = y 2r 2 0=I ). Así, todo el par del motor es el de secuencia directa, es decir, Γm = Γ1.

A partir de las expresiones (8.15), (8.4) de secuencia directa y (8.4) de secuencia inversa, para el caso del motor de jaula de sencilla, se tiene un sistema de ecuaciones no lineal con 4k + 1 incógnitas, las cuales para cada armónico k son: Is1,k, Ir1,k, Is2,k, Ir2,k y ωm (k = 1, 2, 3,...). En el caso del motor de doble jaula, el sistema de ecuaciones no lineal se forma mediante las expresiones (8.15), (8.10) de secuencia directa y (8.10) de secuencia inversa, teniendo que encontrar 6k + 1 incógnitas, las cuales para cada armónico k son: Is1,k, 1r 1,kI ,

2r 1,kI , Is2,k,

1r 2,kI , 2r 2,kI y ωm (k = 1, 2, 3,...).

Dichos sistemas de ecuaciones no lineales se deben resolver mediante un método numérico como el de Newton o alguna de sus variantes modificadas, como es el caso del método de h-Newton, explicado en el capítulo 7.

8.4 Validación de los modelos mediante la Red IEEE 4

En este apartado se validan los modelos de los transformadores con núcleo lineal y no lineal formulados en el capítulo 4 a partir de la Red IEEE 4 explicada en el apartado 8.1, utilizando como carga, además de la carga PQ, el motor de inducción. Para ello, además de implementar dicha red en la aplicación informática desarrollada en MATLAB, también se ha implementado en PSPICE con el objeto de poder comparar los resultados de ambas implementaciones. La implementación del transformador en PSPICE se basa en la referencia [1], donde las resistencias del hierro deben despreciarse para poder hacer las comparaciones con la red de MATLAB.

La aplicación desarrollada en PSPICE resuelve la red en el dominio del tiempo y en régimen transitorio, mientras que la aplicación desarrollada en MATLAB resuelve la red en régimen permanente y en el dominio de la frecuencia (y para unos determinados armónicos elegidos a priori por el usuario). Por ello, para realizar la comparación entre los resultados de ambas aplicaciones se tiene que asegurar en PSPICE que la red ha alcanzado el régimen permanente. Dicho régimen permanente tarda más tiempo en alcanzarse si las tensiones de alimentación del transformador tienen componente de continua, en cuyo caso la corriente magnetizante se vuelve asimétrica (la parte positiva de la onda es diferente de la negativa), [13].


8.4.1 Transformador con núcleo lineal

En este apartado se valida el modelo del transformador con núcleo lineal explicado en el apartado 4.3.2. Para poder comparar el modelo implementado en MATLAB con el implementado en PSPICE se debe imponer que el núcleo del transformador de PSPICE (referencia [1]) sea lineal. Esto se puede hacer fácilmente elevando el valor de la diferencia de potencial magnético para la cual el transformador se satura, es decir, se debe aumentar en varios órdenes de magnitud el valor de f0.

En este apartado se utiliza el transformador reductor de la Red IEEE 4 (12,47/4,16 kV) con topología de cinco columnas. Su grupo de conexión es YNyn10 con impedancias a tierra resistivas en el primario y en el secundario de valor 1 pu (25,92 Ω y 2,88 Ω respectivamente), Figura 8.6.

Us4 + – + – Up4 Ipa Isc

+ –

+ – Us6

Is4

Is5

Is6

Us5

– ––

ns

pa

+ – Up6

Ip4

Ip5

Ip6

0

pb

pc

I pb

I pc

sc

sa

sb

I sa

Isb U scU sa

– Up5 +

U paU pb

U pc U sb

+

–

+

–

+

+

–

+

+

np

Z np = 25,92 Ω~ Z ns = 2,88 Ω ~

Figura 8.6. Grupo de conexión YNyn10 con impedancias a tierra en el primario y en el secundario de valor 1 pu

Los valores de los parámetros del circuito eléctrico y del circuito magnético del transformador de cinco columnas utilizado se muestran reducidos a pu en la Tabla 8.V.

Tabla 8.V. Parámetros reducidos a pu del circuito eléctrico y del circuito magnético del transformador de cinco columnas con núcleo lineal

Circuito eléctrico

rp = 0,005 pu ldp = 9,54·10-5 pu rs = 0,005 pu lds = 9,54·10-5 pu

Circuito magnético

τa = 2,007 pu τb = 1,0035 pu τc = 2,007 pu τd = 2,007 pu

100 Memoria

8.4.1.1 Carga PQ

El transformador con núcleo lineal alimenta una carga PQ equilibrada con las características de la Tabla 8.III. Aunque la carga sea simétrica o equilibrada, la red en general es asimétrica porque las líneas no son simétricas. Entonces, el estudio de dicha red siempre se realiza en condiciones desequilibradas.

Como el núcleo del transformador es lineal, éste no introduce armónicos en la red porque no puede saturarse. Por ello, se decide que sea el generador quién imponga los armónicos que circulan por la red, y así poder validar modelo que se ha implementado. En este caso, se supone que el contenido armónico de la tensión fase-tierra del generador es el de la Tabla 8.VI. Debe observarse que el 3er armónico de dicha tensión es de secuencia directa, es decir, un caso poco probable que, sin embargo, permite validar el modelo en condiciones muy desfavorables (se dice que se trata de un 3er armónico no característico; un 3er armónico característico debería ser de secuencia homopolar). La tensión del generador en el dominio del tiempo se observa en la Figura 8.7.

Tabla 8.VI. Contenido armónico de la tensión fase-tierra del generador

Ua [kV] Ub [kV] Uc [kV]

Componente de continua (k = 0) 5·10-4 10-3 5·10-4

Componente fundamental (k = 1)

12,471,5 03

∠ 12,471,5 1203

∠ −12,471,5 120

3∠

Tercer armónico (k = 3)

12,47 03

∠ 12,47 1203

∠ − 12,47 1203

∠


0 0.002 0.004 0.006 0.008 0.01 0.012 0.014 0.016 0.018 0.02-3

-2

-1

0

1

2

3x 104

u1

[V]

t [s]

u1a u1b u1c

Figura 8.7. Tensión fase-tierra del generador

Como se ha comentado, la presencia de continua en el primario del transformador hace que éste tarde más tiempo en llegar al régimen permanente al simular la red en PSPICE. Para solventar este problema, se decide disminuir la constante de tiempo de la red aumentando 10 veces el valor de la resistencia interna total del transformador: r = 10·0,01 = 0,1 pu (Se debe tener en cuenta que la constante de tiempo de un circuito inductivo, como es el caso de esta red, deberá tener la forma de τ = L/R, por lo que aumentando la resistencia del circuito se disminuye la constante de tiempo).

Bajo las condiciones anteriores, se obtienen las tensiones y corrientes mostradas en la Figura 8.8. En ella puede observarse como las tensiones y las corrientes obtenidas con MATLAB coinciden con las obtenidas con PSPICE.

En la Figura 8.9 se comparan las corrientes magnetizantes, los flujos y la característica flujo-diferencia de potencial magnético de cada una de las columnas del transformador, donde todas las variables están reducidas al primario. En dicha figura puede observarse como coinciden las variables del modelo de MATLAB con las del modelo de PSPICE. Debe notarse la relación lineal entre los flujos y las diferencias de potencial magnético debido a que el núcleo es lineal. También se puede observar la existencia de flujo homopolar,

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )h a b c3 3t t t tφ = φ + φ + φ = φd

1 1 t , ya que se está trabajando en condiciones

desequilibradas y el transformador de cinco columnas no impone ninguna restricción a la existencia de dicho flujo. Además, puede observarse la influencia de las longitudes de las columnas del hierro (si la longitud es mayor, la reluctancia también lo es) en los valores de las diferencias de potencial magnético y de las corrientes magnetizantes.

102 Memoria

0 0.002 0.004 0.006 0.008 0.01 0.012 0.014 0.016 0.018 0.02-500

-400

-300

-200

-100

0

100

200

300

400

500

i12

[A]

t [s]

i12a Matlab i12b Matlab i12c Matlab i12a PSpice i12b PSpice i12c PSpice

0 0.002 0.004 0.006 0.008 0.01 0.012 0.014 0.016 0.018 0.02-1

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1x 104

u4

[V]

t [s]

u4a Matlab u4b Matlab u4c Matlab u4a PSpice u4b PSpice u4c PSpice

0 0.002 0.004 0.006 0.008 0.01 0.012 0.014 0.016 0.018 0.02-1

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1x 104

u3

[V]

t [s]


0 0.002 0.004 0.006 0.008 0.01 0.012 0.014 0.016 0.018 0.02-3

-2

-1

0

1

2

3x 104

u2

[V]

t [s]


0 0.002 0.004 0.006 0.008 0.01 0.012 0.014 0.016 0.018 0.02-1500

-1000

-500

0

500

1000

1500

i34

[A]

t [s]


(a)

(b) (c)

(d) (e) Figura 8.8. Soluciones obtenidas con MATLAB y con PSPICE de las tensiones fase-tierra y de las corrientes de la

red cuando se alimenta la carga PQ: (a) tensiones del primario del transformador (nudo 2), (b) tensiones del secundario del transformador (nudo 3), (c) tensiones de la carga PQ (nudo 4), (d) corrientes de la línea 1, y (e)

corrientes de la línea 2


(c) (d)

(e) (f)

-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5-60

-40

-20

0

20

40

60

φ c [Wb]

fc [A·t]

φc - fc Matlabφc - fc PSpice

-2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5-60

-40

-20

0

20

40

60

φ b [Wb]

fb [A·t]

φb - fb Matlabφb - fb PSpice

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4-50

-40

-30

-20

-10

0

10

20

30

40

50

φ a [Wb]

fa [A·t]

φa - fa Matlabφa - fa PSpice

0 0.002 0.004 0.006 0.008 0.01 0.012 0.014 0.016 0.018 0.02-5

-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

5

im [A

]

t [s]

ima Matlab imb Matlab imc Matlab ima PSpice imb PSpice imc PSpice

0 0.002 0.004 0.006 0.008 0.01 0.012 0.014 0.016 0.018 0.02-60

-40

-20

0

20

40

60

φ [W

b]

t [s]

φa Matlabφb Matlabφc Matlabφd Matlabφa PSpiceφb PSpiceφc PSpiceφd PSpice

-1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1-15

-10

-5

0

5

10

15

φ d [Wb]

fd [A·t]

φd - fd Matlabφd - fd PSpice

(a) (b)

Figura 8.9. Soluciones obtenidas con MATLAB y con PSPICE de las corrientes magnetizantes, flujos y diferencias de potencial magnético reducidas al primario del transformador con núcleo lineal cuando en la red se alimenta la carga

PQ: (a) corrientes magnetizantes, (b) flujos, (c) φa-fa, (d) φb-fb, (e) φc-fc, y (f) φd-fd

8.4.1.2 Motor de inducción como carga

El modelo que se utiliza para el motor de inducción es el de jaula sencilla, con dos pares de polos y con el estator conectado en estrella a tierra a través de una impedancia de valor 1 pu ( n 2,88 j3,14Z = + Ω ).

104 Memoria

La potencia mecánica entregada en el eje es la nominal, es decir, Pm = PN = 4500 kW. Las características nominales de dicho motor se muestran en la Tabla 8.VII y los parámetros de la estrella equivalente en la Tabla 8.VIII.

Tabla 8.VII. Características nominales del motor de inducción de jaula sencilla

PN [kW] UN [kV] fN [Hz] ωN [rpm] cos ϕ Γarranque/ΓN Iarranque/IN

4500 4,16 50 1492,5 0,85 0,7 7

Tabla 8.VIII. Parámetros de la estrella equivalente del motor de inducción de jaula sencilla

Rs [Ω] Xsd [Ω] Xm [Ω] Rr [Ω] Xrd [Ω]

0,0246 0,4251 7,9975 0,0164 0,2125

La tensión del generador es diferente de la del apartado anterior (apartado 8.4.1.1, Tabla 8.VI) porque no contiene componente de continua (el contenido del 3er armónico es idéntico). Esta tensión se muestra en la Figura 8.10.

0 0.002 0.004 0.006 0.008 0.01 0.012 0.014 0.016 0.018 0.02-3

-2

-1

0

1

2

3x 104

u1

[V]

t [s]

u1a u1b u1c



Bajo las condiciones anteriores, se obtienen las tensiones y corrientes mostradas en la Figura 8.11 y las corrientes magnetizantes, flujos y las características flujo-diferencia de potencial magnético mostradas en la Figura 8.12. En ambas figuras puede observarse que todas las variables obtenidas con MATLAB coinciden con las obtenidas con PSPICE.

(a)

(b) (c)

(d) (e)

0 0.002 0.004 0.006 0.008 0.01 0.012 0.014 0.016 0.018 0.02-3

-2

-1

0

1

2

3x 104

u2

[V]

t [s]


0 0.002 0.004 0.006 0.008 0.01 0.012 0.014 0.016 0.018 0.02-800

-600

-400

-200

0

200

400

600

800

i12

[A]

t [s]


0 0.002 0.004 0.006 0.008 0.01 0.012 0.014 0.016 0.018 0.02-8000

-6000

-4000

-2000

0

2000

4000

6000

8000

u4

[V]

t [s]


0 0.002 0.004 0.006 0.008 0.01 0.012 0.014 0.016 0.018 0.02-8000

-6000

-4000

-2000

0

2000

4000

6000

8000

u3

[V]

t [s]


0 0.002 0.004 0.006 0.008 0.01 0.012 0.014 0.016 0.018 0.02-2000

-1500

-1000

-500

0

500

1000

1500

2000

i34

[A]

t [s]


Figura 8.11. Soluciones obtenidas con MATLAB y con PSPICE de las tensiones fase-tierra y de las corrientes de la red cuando se alimenta el motor inducción: (a) tensiones del primario del transformador (nudo 2), (b) tensiones del

106 Memoria

secundario del transformador (nudo 3), (c) tensiones del motor (nudo 4), (d) corrientes de la línea 1, y (e) corrientes de la línea 2

(c) (d)

(e) (f)

(a) (b)

0 0.002 0.004 0.006 0.008 0.01 0.012 0.014 0.016 0.018 0.02-5

-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

5

im [A

]

t [s]


0 0.002 0.004 0.006 0.008 0.01 0.012 0.014 0.016 0.018 0.02-60

-40

-20

0

20

40

60

φ [W

b]

t [s]


-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4-50

-40

-30

-20

-10

0

10

20

30

40

50

φ a [Wb]


fa [A·t]-2.5 -2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5

-60

-40

-20

0

20

40

60

φ b [Wb]

fb [A·t]


-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5-60

-40

-20

0

20

40

60

φ c [Wb]

fc [A·t]


-0.04 -0.03 -0.02 -0.01 0 0.01 0.02 0.03 0.04-0.5

-0.4

-0.3

-0.2

-0.1

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

φ d [Wb]

fd [A·t]


Figura 8.12. Soluciones obtenidas con MATLAB y con PSPICE de las corrientes magnetizantes, flujos y diferencias de potencial magnético reducidas al primario del transformador con núcleo lineal cuando en la red se alimenta el

motor de inducción: (a) corrientes magnetizantes, (b) flujos, (c) φa-fa, (d) φb-fb, (e) φc-fc, y (f) φd-fd

Con las tensiones en bornes del motor de la Figura 8.11c, éste consume las corrientes del estator de la Figura 8.11e y las corrientes en el rotor de la Figura 8.13b, proporcionando el par de la Figura 8.13a.


(a) (b)

0 0.002 0.004 0.006 0.008 0.01 0.012 0.014 0.016 0.018 0.02-2

-1

0

1

2

3

4

5

6

7x 10

4

t [s]

Γ m [N

·m]

0 1 2 3 4 5 6 7 8-2000

-1500

-1000

-500

0

500

1000

1500

2000

ir [A

]

t [s]

ira irb irc

Figura 8.13. Soluciones obtenidas del motor de inducción: (a) par mecánico, y (b) corrientes inducidas en el rotor

El valor medio de la onda de par de la Figura 8.13a (de valor Γm = 28720,95 Nm) es el par medio que entrega el motor a la velocidad angular ωm = 156,68 rad/s. Obsérvese que se cumple . m m m 4500 kWP = Γ ω =

Las corrientes del rotor de la Figura 8.13b están formadas por ondas de cuatro frecuencias diferentes. Los valores de dichas frecuencias se pueden calcular fácilmente conociendo la velocidad de giro del motor y las frecuencias de las tensiones de alimentación:

( )

r1, s sm r1,

r2, s msm r2,

p Secuencia directa: p p 2

p Secuencia inversa:

p p 2

kk

kk

kk f

kk f

mω ω ω• = − ω → =

π− ω

ω − ω + ω−ω• = − ω → =

π

(8.16)

Como el estator se alimenta en este caso con la frecuencia fundamental y con un tercer armónico, las frecuencias de las corrientes del rotor son

( )

( )r1,1 r2,1

r1,3 r2,3

2 ·50 2·156,682 ·50 2·156,68 0,13 Hz , 99,87 Hz2 2

3·2 ·50 2·156,683·2 ·50 2·156,68 100,13 Hz , 199,87 Hz2 2

f f

f f

− π +π −= = = = −

π π− π +π −

= = = = −π π

(8.17)

8.4.2 Transformador con núcleo no lineal

En este apartado se valida el modelo del transformador con núcleo no lineal presentado en el apartado 4.3.3. En este caso, la comparación del modelo implementado en MATLAB con el implementado en PSPICE puede hacerse sin modificar este último, puesto que el núcleo del transformador es también no lineal (referencia [1]).

108 Memoria

El grupo de conexión del transformador que se utiliza en este apartado es igual que en el caso del transformador con núcleo lineal, es decir, un YNyn10, pero ahora con las estrellas conectadas rígidamente a tierra, tal y como se observa en la Figura 8.14.

Us4+ –+ – Up4 Ipa Isc

+ –

+ –Us6

Is4

Is5

Is6

Us5

– – –

ns

pa

+ – Up6

Ip4

Ip5

Ip6

0

pb

pc

I pb

I pc

sc

sa

sb

I sa

Isb U sc U sa

– Up5 +

U paU pb

U pc U sb

+

–

+

–

+

+

–

+

+

np

Figura 8.14. Grupo de conexión YNyn10 con las estrellas del primario y del secundario conectadas rígidamente a

tierra

Los parámetros del circuito eléctrico y del circuito magnético del transformador de cinco columnas utilizado se muestran reducidos a pu en la Tabla 8.IX.

Tabla 8.IX. Parámetros reducidos a pu del circuito eléctrico y del circuito magnético del transformador de cinco columnas con núcleo no lineal

Circuito eléctrico

rp = 0,005 pu ldp = 9,54·10-5 pu rs = 0,005 pu lds = 9,54·10-5 pu

Circuito magnético

k1 [pu] k2 [pu] p f0 [pu]

τa(fa): 0,498 0,00025 2 0,0091

τb(fb): 0,996 0,00498 2 0,0045

τc(fc): 0,498 0,00025 2 0,0091

τd(fd): 0,498 0,00025 2 0,0091

La red se resuelve en MATLAB en el dominio de la frecuencia para un número discreto de armónicos fijado previamente por el usuario. Cuantos más armónicos se elijan, mayor será la fidelidad de los resultados obtenidos (las formas de onda calculadas, en el dominio del tiempo, se parecerán más a las formas de onda reales), pero por el contrario, mayor será la complejidad de cálculo porque el tamaño del sistema de ecuaciones a resolver será mayor.


Por ello, en la red implementada en MATLAB se deben elegir adecuadamente los armónicos a utilizar, ya que, en caso contrario, además de no estar resolviendo convenientemente el problema, las ondas obtenidas resultarían “a simple vista” muy diferentes de las obtenidas con PSPICE (que resuelve las ecuaciones en el dominio del tiempo y, por lo tanto, se obtiene el espectro armónico completo) y la comparación entre ambas ondas no resultaría satisfactoria.

A diferencia del caso anterior en que únicamente estaban presentes los armónicos existentes en el generador de tensión, en este caso se debe tener en cuenta que el transformador puede saturarse (por ser no lineal) e introducir armónicos en la red diferentes de los presentes en el generador. Por lo tanto, se han escogido los armónicos cuyas amplitudes son mayores para realizar los cálculos de la red implementada en MATLAB, los cuales son: k = 1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15.

8.4.2.1 Carga PQ

La carga PQ que alimenta el transformador con núcleo no lineal está equilibrada, con las características de la Tabla 8.III. Como se comentó en el caso del transformador con núcleo lineal, que la carga sea equilibrada no quiere decir que no haya desequilibrios en la red, porque las líneas lo son.

El contenido armónico de la tensión fase-tierra del generador se muestra en la Tabla 8.X. Al igual que con el transformador de núcleo lineal, el 3er armónico de dicha tensión es no característico, porque permite obtener validaciones más generales al deformarse mucho la onda de tensión del generador. La tensión del generador en el dominio del tiempo se muestra en la Figura 8.15.

Tabla 8.X. Contenido armónico de la tensión fase-tierra del generador



12,47 03

∠ 12,47 1203

∠ − 12,47 1203

∠


12,470,5 03

∠ 12,470,5 1203

∠ − 12,470,5 1203

∠

110 Memoria

0 0.002 0.004 0.006 0.008 0.01 0.012 0.014 0.016 0.018 0.02-2

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

2x 104

u1

[V]

t [s]

u1a u1b u1c


Teniendo en cuenta las condiciones anteriores, y que el transformador es reductor con el núcleo de cinco columnas, se obtienen las tensiones y corrientes de la Figura 8.16. En ella puede observarse como las tensiones y las corrientes obtenidas con MATLAB coinciden con las obtenidas con PSPICE.

En la Figura 8.17 se comparan las corrientes magnetizantes, los flujos y las curvas de saturación de cada columna del transformador obtenidas con MATLAB con las obtenidas con PSPICE, donde todas las variables están reducidas al primario. En esta figura puede observarse la coincidencia de todas las variables y que las columnas del transformador se han saturado (Figura 8.17c, Figura 8.17d y Figura 8.17e). La columna d no se satura porque su flujo y su diferencia de potencial magnético son pequeños, por lo que no se llega a entrar en la zona no lineal de su curva de saturación.


(a)

(b) (c)

(d) (e)

0 0.002 0.004 0.006 0.008 0.01 0.012 0.014 0.016 0.018 0.02-2

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

2x 104

u2

[V]

t [s]


0 0.002 0.004 0.006 0.008 0.01 0.012 0.014 0.016 0.018 0.02-5000

-4000

-3000

-2000

-1000

0

1000

2000

3000

4000

5000

u3

[V]

t [s]


0 0.002 0.004 0.006 0.008 0.01 0.012 0.014 0.016 0.018 0.02-4000

-3000

-2000

-1000

0

1000

2000

3000

4000

u4

[V]

t [s]


0 0.002 0.004 0.006 0.008 0.01 0.012 0.014 0.016 0.018 0.02-600

-400

-200

0

200

400

600

i12

[A]

t [s]


0 0.002 0.004 0.006 0.008 0.01 0.012 0.014 0.016 0.018 0.02-2000

-1500

-1000

-500

0

500

1000

1500

2000

i34

[A]

t [s]


Figura 8.16. Soluciones obtenidas con MATLAB y con PSPICE de las tensiones fase-tierra y de las corrientes de la

red cuando se alimenta la carga PQ: (a) tensiones del primario del transformador (nudo 2), (b) tensiones del secundario del transformador (nudo 3), (c) tensiones de la carga PQ (nudo 4), (d) corrientes de la línea 1, y (e)

corrientes de la línea 2

112 Memoria

(c) (d)

(e) (f)

(a) (b)

0 0.002 0.004 0.006 0.008 0.01 0.012 0.014 0.016 0.018 0.02-15

-10

-5

0

5

10

15

im [A

]

t [s]


0 0.002 0.004 0.006 0.008 0.01 0.012 0.014 0.016 0.018 0.02-40

-30

-20

-10

0

10

20

30

40

φ [W

b]

t [s]


-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4-30

-20

-10

0

10

20

30

φ a [Wb]

fa [A·t]


-6 -4 -2 0 2 4 6-40

-30

-20

-10

0

10

20

30

40

φ b [Wb]

fb [A·t]


-15 -10 -5 0 5 10 15-40

-30

-20

-10

0

10

20

30

40

φ c [Wb]

fc [A·t]


-0.015 -0.01 -0.005 0 0.005 0.01 0.015-0.2

-0.15

-0.1

-0.05

0

0.05

0.1

0.15

0.2

φ d [Wb]

fd [A·t]


Figura 8.17. Soluciones obtenidas con MATLAB y con PSPICE de las corrientes magnetizantes, flujos y diferencias

de potencial magnético reducidas al primario del transformador con núcleo no lineal cuando en la red se alimenta la carga PQ: (a) corrientes magnetizantes, (b) flujos, (c) φa-fa, (d) φb-fb, (e) φc-fc, y (f) φd-fd

8.4.2.2 Motor de inducción como carga

El modelo que se utiliza para el de motor de inducción es el mismo que se ha utilizado para validar la red con el transformador de núcleo lineal del apartado 8.4.1.2, es decir, de jaula


sencilla, con dos pares de polos y con el estator conectado en estrella a tierra a través de una impedancia de valor 1 pu ( n 2,88 j3,14Z = + Ω ).

La potencia mecánica entregada en el eje es la nominal, es decir, Pm = PN = 4500 kW. Las características nominales de dicho motor se muestran en la Tabla 8.VII y los parámetros de la estrella equivalente en la Tabla 8.VIII.

La tensión fase-tierra del generador es idéntica a la del apartado anterior (apartado 8.4.2.1), y puede observarse su contenido armónico en la Tabla 8.X. Dicha tensión se muestra en la Figura 8.15.

Teniendo en cuenta las condiciones anteriores, y que el transformador es reductor con el núcleo de cinco columnas, se obtienen las tensiones y corrientes en la Figura 8.18 y las corrientes magnetizantes, flujos y las curvas de saturación en la Figura 8.19. En ambas figuras puede observarse que todas las variables obtenidas con MATLAB coinciden con las obtenidas con PSPICE.

114 Memoria

(a)

(b) (c)

(d) (e)

0 0.002 0.004 0.006 0.008 0.01 0.012 0.014 0.016 0.018 0.02-2

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

2x 104

u2

[V]

t [s]


0 0.002 0.004 0.006 0.008 0.01 0.012 0.014 0.016 0.018 0.02-5000

-4000

-3000

-2000

-1000

0

1000

2000

3000

4000

5000

u3

[V]

t [s]


0 0.002 0.004 0.006 0.008 0.01 0.012 0.014 0.016 0.018 0.02-4000

-3000

-2000

-1000

0

1000

2000

3000

4000

u4

[V]

t [s]


0 0.002 0.004 0.006 0.008 0.01 0.012 0.014 0.016 0.018 0.02-600

-400

-200

0

200

400

600

i12

[A]

t [s]


0 0.002 0.004 0.006 0.008 0.01 0.012 0.014 0.016 0.018 0.02-2000

-1500

-1000

-500

0

500

1000

1500

2000

i34

[A]

t [s]


Figura 8.18. Soluciones obtenidas con MATLAB y con PSPICE de las tensiones fase-tierra y de las corrientes de la red cuando se alimenta el motor inducción: (a) tensiones del primario del transformador (nudo 2), (b) tensiones del secundario del transformador (nudo 3), (c) tensiones del motor (nudo 4), (d) corrientes de la línea 1, y (e) corrientes

de la línea 2


(c) (d)

(e) (f)

(a) (b)

0 0.002 0.004 0.006 0.008 0.01 0.012 0.014 0.016 0.018 0.02-15

-10

-5

0

5

10

15

im [A

]

t [s]


0 0.002 0.004 0.006 0.008 0.01 0.012 0.014 0.016 0.018 0.02-40

-30

-20

-10

0

10

20

30

40

φ [W

b]

t [s]


-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5-30

-20

-10

0

10

20

30

φ a [Wb]

fa [A·t]


-6 -4 -2 0 2 4 6-40

-30

-20

-10

0

10

20

30

40

φ b [Wb]

fb [A·t]


-15 -10 -5 0 5 10 15-40

-30

-20

-10

0

10

20

30

40

φ c [W

b]

fc [A·t]


-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5

x 10-3

-0.08

-0.06

-0.04

-0.02

0

0.02

0.04

0.06

0.08

φ d [W

b]

fd [A·t]


Figura 8.19. Soluciones obtenidas con MATLAB y con PSPICE de las corrientes magnetizantes, flujos y diferencias

de potencial magnético reducidas al primario del transformador con núcleo no lineal cuando en la red se alimenta el motor de inducción: (a) corrientes magnetizantes, (b) flujos, (c) φa-fa, (d) φb-fb, (e) φc-fc, y (f) φd-fd

Con las tensiones en bornes del motor de la Figura 8.18c, éste consume las corrientes del estator de la Figura 8.18e y las corrientes en el rotor de la Figura 8.20b, proporcionando el par de la Figura 8.20a.

116 Memoria

(a) (b)

0 0.002 0.004 0.006 0.008 0.01 0.012 0.014 0.016 0.018 0.021.5

2

2.5

3

3.5

4

4.5x 104

t [s]

Γ m [N

·m]

0 0.5 1 1.5 2 2.5-2000

-1500

-1000

-500

0

500

1000

1500

2000

ir [A

]

t [s]

ira irb irc

Figura 8.20. Soluciones obtenidas del motor de inducción: (a) par mecánico, y (b) corrientes inducidas en el rotor

El par entregado a la carga es fluctuante, Figura 8.20a, y normalmente interesa su valor medio, Γm = 28861,47 Nm, siendo la velocidad mecánica ωm = 155,92 rad/s.

Como se explicó en el apartado 8.4.1.2, las corrientes del rotor de la Figura 8.20b están formadas por ondas de cuatro frecuencias diferentes. Dichas frecuencias se calculan como en la ecuación (8.16).

Como el estator se alimenta en este caso con la frecuencia fundamental y con un tercer armónico, las frecuencias de las corrientes del rotor son

( )

( )r1,1 r2,1

r1,3 r2,3

2 ·50 2·155,922 ·50 2·155,92 0,37 Hz , 99,63 Hz2 2

3·2 ·50 2·155,923·2 ·50 2·155,92 100,37 Hz , 199,63 Hz2 2

f f

f f

− π +π −= = = = −

π π− π +π −

= = = = −π π

(8.18)

Como ejemplo de los signos de los pares involucrados y de sus magnitudes se muestran los valores que corresponden a un motor de 4500 kW, 4,16 kV, 50 Hz que se ha modelizado mediante una jaula sencilla (Rs = 0,0246 Ω, Xsd = 0,4251 Ω, Xm = 7,9975 Ω, Rr = 0,01645 Ω, Xrd = 0,21254 Ω) y que está entregando en el eje la potencia nominal cuando se alimenta con una tensión que tiene el espectro armónico que se muestra en la Tabla 8.XI.


Tabla 8.XI. Contenido armónico de la tensión en bornes del motor en variables de fase y en variables de secuencia

Ua [V] Ub [V] Uc [V]

k = 1 ∠1999,5 53,3 ∠ −2040,4 67,0 ∠2027,6 172,8

k = 3 ∠667,7 65,2 ∠ −680,0 59,4 ∠ −667,4 178,2

k = 5 ∠1,06 162,9 ∠1,54 166,4 ∠0,86 163,9

U0 [V] U1 [V] U2 [V]

k = 1 ∠ −9,6 131,8 ∠2022,5 53,0 ∠ −15,8 158,4

k = 3 ∠13,7 179,6 ∠671,3 62,5 ∠19,4 146,8

k = 5 ∠1,15 164,7 ∠0,19 86,0 ∠0,22 66,8

Como la velocidad de funcionamiento del motor es de ωm = 155,92 rad/s, los deslizamientos y los pares se muestran en la Tabla 8.XII.

Tabla 8.XII. Contenido armónico de los deslizamientos, pares y corrientes del rotor de secuencia directa y de secuencia inversa

s1 Γ1 [Nm] Ir1 [A] s2 Γ2 [Nm] Ir2 [A]

k = 1 0,0074 28842,58 ∠ −823,5 142,1 1,9926 −0,0927 ∠ −24,25 65,4

k = 3 0,6691 18,59 ∠344,7 154,0 1,3309 −0,0078 ∠ −9,97 122,0

k = 5 0,8015 2,72·10-7 ∠0,059 4,8 1,1985 −2,32·10-7 ∠0,067 157,5

118 Memoria

8.5 Otros ejemplos: influencia de las conexiones

En este apartado se analiza la influencia de las conexiones del transformador en las tensiones y corrientes obtenidas al resolver la Red IEEE 4 del apartado 8.1. La topología de transformador utilizada es, como en los apartados anteriores, la de cinco columnas y los grupos de conexión que se estudian son cuatro: Yy10, Yd3, YNd3 y Dy9. También, se considera que el núcleo del transformador tiene un comportamiento lineal.

El transformador es reductor y sus características nominales son las de la Tabla 8.II. Éste alimenta la carga PQ equilibrada de la Tabla 8.III.

Como el transformador es lineal, en estos ejemplos se supone que es el generador el que introduce un tercer y un quinto armónicos característicos. Dichos armónicos podrían ser introducidos por el transformador si éste estuviera muy saturado y se modelizara el comportamiento no lineal de su núcleo. Asimismo, se considera la componente de continua, con lo que, el contenido armónico de la tensión del generador es el que se muestra en la Tabla 8.XIII. En ella puede observarse que la componente fundamental es de secuencia directa, el tercer armónico es de secuencia homopolar y el quinto es de secuencia inversa (es decir, son armónicos característicos); también puede observarse que las distorsiones armónicas del tercer y quinto armónico para cada fase son de un 15% y de un 7% respectivamente. La Figura 8.21 muestra la tensión del generador en el dominio del tiempo.

Tabla 8.XIII. Contenido armónico de la tensión fase-tierra del generador


Componente de continua (k = 0) 10-3 10-3 10-3


12,47 03

∠ 12,47 1203

∠ − 12,47 1203

∠


12,470,15 153

∠ 12,470,15 153

∠ 12,470,15 153

∠

Quinto armónico (k = 5)

12,470,07 03

∠ 12,470,07 1203

∠12,470,07 120

3∠ −


0 0.002 0.004 0.006 0.008 0.01 0.012 0.014 0.016 0.018 0.02-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5x 104

u1

[V]

t [s]

u1a u1b u1c


8.5.1 Grupo de conexión Yy10

En este ejemplo se considera que el grupo de conexión del transformador es Yy10, el cual se muestra en la Figura 8.22.

Us4+ –+ –Up4Ipa Isc

+ –

+ –Us6

Is4

Is5

Is6

Us5

– – –

pa

+ –Up6

Ip4

Ip5

Ip6

0

pb

pc

Ipb

Ipc

sc

sa

sb

Isa

Isb Usc Usa

–Up5+

UpaUpb

Upc Usb

+

–

+

–

+

+

–

+

+

Figura 8.22. Grupo de conexión Yy10

Resolviendo la red mediante la aplicación desarrollada con MATLAB se obtienen los resultados de la Tabla 8.XIV. El aspecto más importante a destacar de estos resultados es que la circulación de terceros armónicos en toda la red es nula. Esto es porque la conexión en estrella aislada no posee neutro, que es por donde pueden circular los terceros armónicos de la corriente. También puede observarse el desfase existente entre las tensiones y corrientes del primario y del secundario del transformador, debido al índice horario 10 del mismo. Otro aspecto a destacar es que la corriente de continua únicamente circula por el primario del transformador (como es de esperar, puesto que el transformador no puede

120 Memoria

transferir continua entre el primario y el secundario), y su valor es relativamente elevado (2,8265 A), teniendo en cuenta que la tensión de continua del generador es de 1 V.

Tabla 8.XIV. Contenido armónico de las tensiones fase-tierra y de las corrientes de la línea obtenidas con MATLAB. Grupo de conexión Yy10

k = 0 k = 1 k = 3 k = 5

U1a [V] 1 7199,6 0∠ 1079,9 15∠ 503,9 0∠

U1b [V] 1 7199,6 120∠ − 1079,9 15∠ 503,9 120∠

U1c [V] 1 7199,6 120∠ 1079,9 15∠ 503,9 120∠ −

U2a [V] 0,3663 7111,9 0,2∠ − 1079,9 15∠ 495,6 0,4∠ −

U2b [V] 0,3663 7133,1 120,4∠ − 1079,9 15∠ 494,6 119,9∠

U2c [V] 0,3663 7119,5 119,6∠ 1079,9 15∠ 493,6 120,2∠ −

U3a [V] 0 2307,7 58,6∠ 0 144,7 63,2∠ −

U3b [V] 0 2147,6 64,2∠ − 0 140,7 58,2∠

U3c [V] 0 2318,2 174,8∠ 0 149,9 178,2∠

U4a [V] 0 1997,2 54,2∠ 0 112,7 69,4∠ −

U4b [V] 0 1894,9 69,9∠ − 0 105,5 55,4∠

U4c [V] 0 2071,8 169,3∠ 0 114,8 175,2∠

I12a [A] 2,8265 322,7 36,8∠ − 0 7,6 72,4∠ −

I12b [A] 2,8265 334,6 151,8∠ − 0 8,0 43,0∠

I12c [A] 2,8265 353,2 84,1∠ 0 8,3 167,8∠

I34a [A] 0 1001,4 28,4∠ 0 23,9 136,9∠ −

I34b [A] 0 1055,5 95,7∠ − 0 24,9 12,2∠ −

I34c [A] 0 965,3 143,5∠ 0 22,7 107,6∠


La Figura 8.23 muestra las variables de la tabla anterior en el dominio del tiempo y, la Figura 8.24 muestra las corrientes magnetizantes, los flujos y las curvas de saturación de cada columna del transformador.

(a)

(b) (c)

(d) (e)

0 0.002 0.004 0.006 0.008 0.01 0.012 0.014 0.016 0.018 0.02-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5x 104

u2

[V]

t [s]

u2a u2b u2c

0 0.002 0.004 0.006 0.008 0.01 0.012 0.014 0.016 0.018 0.02-4000

-3000

-2000

-1000

0

1000

2000

3000

4000

u3

[V]

t [s]

u3a u3b u3c

0 0.002 0.004 0.006 0.008 0.01 0.012 0.014 0.016 0.018 0.02-4000

-3000

-2000

-1000

0

1000

2000

3000

4000 u

4 [V

]

t [s]

u4a u4b u4c

0 0.002 0.004 0.006 0.008 0.01 0.012 0.014 0.016 0.018 0.02-600

-400

-200

0

200

400

600

i12

[A]

t [s]

i12a i12b i12c

0 0.002 0.004 0.006 0.008 0.01 0.012 0.014 0.016 0.018 0.02-1500

-1000

-500

0

500

1000

1500

i34

[A]

t [s]

i34a i34b i34c

Figura 8.23. Tensiones fase-tierra y corrientes de la red obtenidas con MATLAB. Grupo de conexión Yy10: (a) tensiones del primario del transformador (nudo 2), (b) tensiones del secundario del transformador (nudo 3), (c)

tensiones de la carga PQ (nudo 4), (d) corrientes de la línea 1, y (e) corrientes de la línea 2

122 Memoria

Las corrientes magnetizantes del transformador son prácticamente senoidales (Figura 8.24a) a la frecuencia fundamental, aunque contienen unas pequeñas componentes de terceros y de quintos armónicos.

(c) (d)

(e) (f)

(a) (b)

0 0.002 0.004 0.006 0.008 0.01 0.012 0.014 0.016 0.018 0.02-2.5

-2

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

2

2.5

im [A

]

t [s]

ima imb imc

0 0.002 0.004 0.006 0.008 0.01 0.012 0.014 0.016 0.018 0.02-40

-30

-20

-10

0

10

20

30

40

φ [W

b]

t [s]

φaφbφcφd

-2.5 -2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5-40

-30

-20

-10

0

10

20

30

40

φ a [W

b]

fa [A·t]-1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5

-40

-30

-20

-10

0

10

20

30

40

φ b [W

b]

fb [A·t]

-2.5 -2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5-40

-30

-20

-10

0

10

20

30

40

φ c [W

b]

fc [A·t]-0.4 -0.3 -0.2 -0.1 0 0.1 0.2 0.3 0.4-5

-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

5

φ d [W

b]

fd [A·t]

Figura 8.24. Corrientes magnetizantes, flujos y diferencias de potencial magnético reducidas al primario del

transformador obtenidas con MATLAB. Grupo de conexión Yy10: (a) corrientes magnetizantes, (b) flujos, (c) φa-fa, (d) φb-fb, (e) φc-fc, y (f) φd-fd


8.5.2 Grupo de conexión Yd3

Ahora el grupo de conexión del transformador es un Yd3, es decir, con los devanados del primario conectados en estrella aislada y los del secundario en triángulo, teniendo un índice horario 3. Dicho grupo de conexión se muestra en la Figura 8.25.

0

Up4 +–

+–

+– Up6

Ip4

Ip5

Ip6

Up5

– –

pc

pa

pb

Ipc

Ipa

Ipb Upc Upa

Upb

+

–

+

+

–

sa +– Us4

+– Us6

Is4

Is5

Is6

sb

sc

Isa

Isb

Isc

– Us5 +

UsaUsb

Usc

+

–

+

–

+

Figura 8.25. Grupo de conexión Yd3

En la Tabla 8.XV se muestran los resultados obtenidos de la red. Dichos resultados pueden compararse con los de la Tabla 8.XIV, es decir, con los del grupo de conexión Yy10 del transformador. Ambos presentan ciertas similitudes: los terceros armónicos no circulan por la red (la conexión en estrella aislada del primario no lo permite) y los módulos de las tensiones y de las corrientes son muy parecidos. No ocurre lo mismo con los desfases de dichas tensiones y corrientes, ya que los índices horarios de los transformadores son distintos. Así, la representación de estas variables en el dominio del tiempo, Figura 8.26, es similar a la de la Figura 8.23, pero con el desfase originado por el índice horario del transformador.

En la Figura 8.27 se muestran las corrientes magnetizantes, los flujos y las curvas de saturación de cada columna del transformador. Las corrientes magnetizantes de la Figura 8.27a son prácticamente senoidales a la frecuencia fundamental, con un pequeño contenido de quinto armónico y una considerable componente de continua, que además es negativa (debido a que las flechas de valoración de ip4, ip5 e ip6 son opuestas a las de ipa, ipb e ipc, Figura 8.25). Dicha componente de continua tiene un valor tan elevado que la corriente magnetizante sólo toma valores negativos (obsérvese la posición del origen en el eje de ordenadas).

124 Memoria

Tabla 8.XV. Contenido armónico de las tensiones fase-tierra y de las corrientes de la línea obtenidas con MATLAB. Grupo de conexión Yd3

k = 0 k = 1 k = 3 k = 5

U1a [V] 1 7199,6 0∠ 1079,9 15∠ 503,9 0∠

U1b [V] 1 7199,6 120∠ − 1079,9 15∠ 503,9 120∠

U1c [V] 1 7199,6 120∠ 1079,9 15∠ 503,9 120∠ −

U2a [V] 0,3663 7107,5 0,3∠ − 1079,9 15∠ 495,1 0,4∠ −

U2b [V] 0,3663 7134,9 120,4∠ − 1079,9 15∠ 495,1 119,9∠

U2c [V] 0,3663 7123,2 119,6∠ 1079,9 15∠ 493,5 120,1∠ −

U3a [V] 0 2321,6 91,7∠ − 0 145,3 87,0∠

U3b [V] 0 2147,7 146,3∠ 0 140,7 152,2∠ −

U3c [V] 0 2304,3 24,6∠ 0 149,2 31,5∠ −

U4a [V] 0 2012,7 96,0∠ − 0 113,6 80,8∠

U4b [V] 0 1894,7 140,6∠ 0 105,5 155,1∠ −

U4c [V] 0 2055,6 19,1∠ 0 113,8 34,6∠ −

I12a [A] 2,8265 341,6 37,5∠ − 0 8,0 71,0∠ −

I12b [A] 2,8265 320,7 154,1∠ − 0 7,6 44,8∠

I12c [A] 2,8265 348,2 87,1∠ 0 8,3 164,6∠

I34a [A] 0 993,7 121,8∠ − 0 23,8 13,3∠

I34b [A] 0 1055,6 114,8∠ 0 24,9 137,4∠

I34c [A] 0 972,9 6,8∠ − 0 22,8 102,2∠ −


(a)

(b) (c)

(d) (e)

0 0.002 0.004 0.006 0.008 0.01 0.012 0.014 0.016 0.018 0.02-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5x 10

4

u2

[V]

t [s]

u2a u2b u2c

0 0.002 0.004 0.006 0.008 0.01 0.012 0.014 0.016 0.018 0.02-4000

-3000

-2000

-1000

0

1000

2000

3000

4000

u3

[V]

t [s]

u3a u3b u3c

0 0.002 0.004 0.006 0.008 0.01 0.012 0.014 0.016 0.018 0.02-3000

-2000

-1000

0

1000

2000

3000

u4

[V]

t [s]

u4a u4b u4c

0 0.002 0.004 0.006 0.008 0.01 0.012 0.014 0.016 0.018 0.02-500

-400

-300

-200

-100

0

100

200

300

400

500

i12

[A]

t [s]

i12a i12b i12c

0 0.002 0.004 0.006 0.008 0.01 0.012 0.014 0.016 0.018 0.02-2000

-1500

-1000

-500

0

500

1000

1500

2000

i34

[A]

t [s]

i34a i34b i34c

Figura 8.26. Tensiones fase-tierra y corrientes de la red obtenidas con MATLAB. Grupo de conexión Yd3: (a)

tensiones del primario del transformador (nudo 2), (b) tensiones del secundario del transformador (nudo 3), (c) tensiones de la carga PQ (nudo 4), (d) corrientes de la línea 1, y (e) corrientes de la línea 2

126 Memoria

(c) (d)

(e) (f)

(a) (b)

0 0.002 0.004 0.006 0.008 0.01 0.012 0.014 0.016 0.018 0.02-6

-5

-4

-3

-2

-1

0

im [A

]

t [s]

ima imb imc

0 0.002 0.004 0.006 0.008 0.01 0.012 0.014 0.016 0.018 0.02-50

-40

-30

-20

-10

0

10

20

30

φ [W

b]

t [s]

φaφbφcφd

-4 -3 -2 -1 0 1 2-40

-30

-20

-10

0

10

20

30

φ a [Wb]

fa [A·t]-2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1

-50

-40

-30

-20

-10

0

10

20

φ b [Wb]

fb [A·t]

-4 -3 -2 -1 0 1 2-40

-30

-20

-10

0

10

20

30

φ c [Wb]

fc [A·t]2.2609 2.261 2.2611 2.2612 2.2613 2.2614 2.2615

29.216

29.217

29.218

29.219

29.22

29.221

29.222

29.223

29.224

φ d [Wb]

fd [A·t]


transformador obtenidas con MATLAB. Grupo de conexión Yd3: (a) corrientes magnetizantes, (b) flujos, (c) φa-fa, (d) φb-fb, (e) φc-fc, y (f) φd-fd

8.5.3 Grupo de conexión YNd3

Ahora se estudia el grupo de conexión YNd3, que únicamente varía con respecto al grupo de conexión anterior en que el primario del transformador se conecta rígidamente a tierra, tal y como se muestra en la Figura 8.28.


0

Up4 +–

+–

+– Up6

Ip4

Ip5

Ip6

Up5

– –

pc

pa

pb

Ipc

Ipa

Ipb UpcUpa

Upb

+

–

+

+

–

sa +– Us4

+– Us6

Is4

Is5

Is6

sb

sc

Isa

Isb

Isc

– Us5 +

UsaUsb

Usc

+

–

+

–

+

np

Figura 8.28. Grupo de conexión YNd3

Este grupo de conexión se va a analizar comparándolo con el Yd3. En primer lugar, por el primario del transformador sí que pueden circular los terceros armónicos homopolares, mientras que en la conexión Yd no podían hacerlo. Al igual que en aquella conexión, el triángulo del secundario elimina el tercer armónico de tensión en dicho secundario, sin embargo, la diferencia se encuentra en el contenido del tercer armónico homopolar en la tensión del primario.

La tensión del primario en la conexión Yd tiene el mismo contenido de tercer armónico que el generador, mientras que el contenido en la conexión YNd es menor que el del generador. Este contenido se puede calcular aproximadamente a través del divisor de tensión formado por la impedancia de la línea y la impedancia de cortocircuito del transformador. De esta manera, si se supone que el transformador tiene una impedancia de cortocircuito nula o mucho menor que la de la línea, el contenido de tercer armónico en el primario también será nulo (obsérvese la ecuación (8.19)).

Este razonamiento se puede realizar con ayuda del esquema homopolar de la Figura 8.29, donde se ha supuesto que las líneas 1 y 2 son simétricas.

zdp,3

∼zds,3

∼

zm0,3

∼

p0,3u s0,3u

zlínea,3 ∼

zcarga,3

∼

zlínea,3 ∼

∼ g0,3u

Figura 8.29. Esquema homopolar de la red para el tercer armónico

Así, la tensión del primario del transformador se puede calcular a través del divisor de tensión formado por la impedancia de la línea y la impedancia de cortocircuito del transformador como:

128 Memoria

( )( )

dp,3 ds,3 m0,3 dp,3 ds,3 3p0,3 g0,3 g0,3 g0,3

línea,3 dp,3 ds,3 línea,3 3línea,3 dp,3 ds,3 m0,3

z z z z z zu u u uz z z zz z z z

+ += ≈ =

+ + ++ + z (8.19)

En la Tabla 8.XVI se muestran los resultados obtenidos de la red. Un aspecto a destacar de estos resultados es que ahora los terceros armónicos pueden circular por la línea 1, ya que la conexión en estrella conectada rígidamente a tierra del primario lo permite. También cabe destacar que la conexión en triángulo del secundario no elimina en su totalidad los terceros armónicos de tensión en dicho secundario, ya que existe asimetría en la red. Sin embargo, si las líneas fueran simétricas como en la Figura 8.29, el contenido de tercer armónico en el secundario sería nulo.

La Figura 8.30 muestra las variables de la Tabla 8.XVI en el dominio del tiempo y, la Figura 8.31 muestra las corrientes magnetizantes, los flujos y las curvas de saturación de cada columna del transformador. Como puede observarse en la Figura 8.31a, las corrientes magnetizantes no son senoidales a la frecuencia fundamental como en el caso de la conexión Yd3, sino que contienen, además de un pequeño contenido de quinto armónico y una considerable componente de continua, un tercer armónico que es, en módulo, aproximadamente el 10% de la componente fundamental.


Tabla 8.XVI. Contenido armónico de las tensiones fase-tierra y de las corrientes de la línea obtenidas con MATLAB. Grupo de conexión YNd3

k = 0 k = 1 k = 3 k = 5

U1a [V] 1 7199,6 0∠ 1079,9 15∠ 503,9 0∠

U1b [V] 1 7199,6 120∠ − 1079,9 15∠ 503,9 120∠

U1c [V] 1 7199,6 120∠ 1079,9 15∠ 503,9 120∠ −

U2a [V] 0,3097 6838,8 0,3∠ 727,9 16,4∠ 480,3 0,6∠ −

U2b [V] 0,3034 6920,9 120,3∠ − 726,2 16,4∠ 482,5 120,4∠

U2c [V] 0,3069 6843,4 119,5∠ 743,1 16,5∠ 476,8 119,9∠ −

U3a [V] 0 1786,5 100,2∠ − 2,16 166,6∠ − 106,9 92,2∠

U3b [V] 0 1627,4 144,1∠ 1,95 17,1∠ 108,7 154,7∠ −

U3c [V] 0 1652,3 22,5∠ 0,3 2,2∠ 109,6 34,2∠ −

U4a [V] 0 540,4 121,4∠ − 0,5 174,7∠ 20,7 70,6∠

U4b [V] 0 504,2 114,6∠ 0,4 2,6∠ − 18,7 163,9∠ −

U4c [V] 0 554,4 7,1∠ − 0,04 43,8∠ − 21,3 155,2∠

I12a [A] 2,3903 1271,3 63,5∠ − 156,5 70,4∠ − 19,9 80,4∠ −

I12b [A] 2,3410 1181,7 179,9∠ − 156,4 70,4∠ − 19,0 34,5∠

I12c [A] 2,3684 1311,1 61,8∠ 157,6 70,3∠ − 21,3 155,2∠

I34a [A] 0 3701,3 147,3∠ − 2,1 119,3∠ 60,6 3,0∠

I34b [A] 0 3966,8 88,7∠ 1,9 58,1∠ − 63,0 128,4∠

I34c [A] 0 3607,4 33,0∠ − 0,15 99,3∠ − 56,8 112,1∠ −

130 Memoria

(a)

(b) (c)

(d) (e)

0 0.002 0.004 0.006 0.008 0.01 0.012 0.014 0.016 0.018 0.02-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5x 10

4

u2

[V]

t [s]

u2a u2b u2c

0 0.002 0.004 0.006 0.008 0.01 0.012 0.014 0.016 0.018 0.02-3000

-2000

-1000

0

1000

2000

3000

u3

[V]

t [s]

u3a u3b u3c

0 0.002 0.004 0.006 0.008 0.01 0.012 0.014 0.016 0.018 0.02-2000

-1500

-1000

-500

0

500

1000

1500

2000

i12

[A]

t [s]

i12a i12b i12c

0 0.002 0.004 0.006 0.008 0.01 0.012 0.014 0.016 0.018 0.02-6000

-4000

-2000

0

2000

4000

6000

i34

[A]

t [s]

i34a i34b i34c

0 0.002 0.004 0.006 0.008 0.01 0.012 0.014 0.016 0.018 0.02-1000

-800

-600

-400

-200

0

200

400

600

800

1000

u4

[V]

t [s]

u4a u4b u4c

Figura 8.30. Tensiones fase-tierra y corrientes de la red obtenidas con MATLAB. Grupo de conexión YNd3: (a) tensiones del primario del transformador (nudo 2), (b) tensiones del secundario del transformador (nudo 3), (c)

tensiones de la carga PQ (nudo 4), (d) corrientes de la línea 1, y (e) corrientes de la línea 2


(c) (d)

(e) (f)

(a) (b)

0 0.002 0.004 0.006 0.008 0.01 0.012 0.014 0.016 0.018 0.02-4.5

-4

-3.5

-3

-2.5

-2

-1.5

-1

-0.5

0

im [A

]

t [s]

ima imb imc

0 0.002 0.004 0.006 0.008 0.01 0.012 0.014 0.016 0.018 0.02-40

-30

-20

-10

0

10

20

30

φ [W

b]

t [s]

φaφbφcφd

-3 -2.5 -2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2-40

-30

-20

-10

0

10

20

30

φ a [Wb]

fa [A·t]-2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1

-40

-30

-20

-10

0

10

20

φ b [Wb]

fb [A·t]

-3 -2.5 -2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2-40

-30

-20

-10

0

10

20

30

φ c [Wb]

fc [A·t]1.75 1.8 1.85 1.9 1.95 2 2.05

22.5

23

23.5

24

24.5

25

25.5

26

26.5

φ d [Wb]

fd [A·t]


transformador obtenidas con MATLAB. Grupo de conexión YNd3: (a) corrientes magnetizantes, (b) flujos, (c) φa-fa, (d) φb-fb, (e) φc-fc, y (f) φd-fd

8.5.4 Grupo de conexión Dy9

Tal y como se muestra en la Figura 8.32, en este grupo de conexión el primario del transformador se conecta en triángulo y el secundario en estrella, existiendo un índice horario 9.

132 Memoria

Us4+ –

+ –

+ –Us6

Is4

Is5

Is6

Us5

– ––

pa + – Up4

+ – Up6

Ip4

Ip5

Ip6

0

pb

pc

Ipa

Ipb

Ipc

sc

sa

sb

Isc

Isa

Isb Usc Usa

– Up5 +

UpaUpb

Upc Usb

+

–

+

–

+

+

–

+

+

Figura 8.32. Grupo de conexión Dy9

En la Tabla 8.XVII se muestran las tensiones y corrientes de la red con este grupo de conexión. Como en los ejemplos anteriores (grupos de conexión Yy10 e Yd3), los terceros armónicos no circulan por ninguna de las dos líneas.

En la Figura 8.33 se muestran las tensiones y las corrientes de la red en el dominio del tiempo y en la Figura 8.34 se muestran las corrientes magnetizantes, los flujos y las curvas de saturación de cada columna del transformador. Como puede observarse en la Figura 8.34a, las corrientes magnetizantes son prácticamente senoidales a la frecuencia fundamental, aunque con un pequeño contenido de quinto armónico.


Tabla 8.XVII. Contenido armónico de las tensiones fase-tierra y de las corrientes de la línea obtenidas con MATLAB. Grupo de conexión Dy9

k = 0 k = 1 k = 3 k = 5

U1a [V] 1 7199,6 0∠ 1079,9 15∠ 503,9 0∠

U1b [V] 1 7199,6 120∠ − 1079,9 15∠ 503,9 120∠

U1c [V] 1 7199,6 120∠ 1079,9 15∠ 503,9 120∠ −

U2a [V] 0,3663 7107,4 0,3∠ − 1079,9 15∠ 495,1 0,4∠ −

U2b [V] 0,3663 7135,0 120,4∠ − 1079,9 15∠ 495,1 119,9∠

U2c [V] 0,3663 7123,2 119,6∠ 1079,9 15∠ 493,5 120,1∠ −

U3a [V] 0 2321,0 88,3∠ 0 145,3 92,9∠ −

U3b [V] 0 2148,1 33,7∠ − 0 140,7 27,8∠

U3c [V] 0 2304,3 155,4∠ − 0 149,2 148,4∠

U4a [V] 0 2012,1 84,0∠ 0 113,5 99,1∠ −

U4b [V] 0 1895,2 39,4∠ − 0 105,5 24,9∠

U4c [V] 0 2055,7 160,9∠ − 0 113,8 145,4∠

I12a [A] 2,8265 341,9 37,5∠ − 0 8,0 71,0∠ −

I12b [A] 2,8265 320,2 154,1∠ − 0 7,6 44,8∠

I12c [A] 2,8265 348,4 87,2∠ 0 8,3 164,6∠

I34a [A] 0 994,0 58,1∠ 0 23,8 166,7∠ −

I34b [A] 0 1055,3 65,3∠ − 0 24,9 42,6∠ −

I34c [A] 0 972,9 173,3∠ 0 22,8 77,8∠

134 Memoria

(a)

(b) (c)

(d) (e)

0 0.002 0.004 0.006 0.008 0.01 0.012 0.014 0.016 0.018 0.02-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5x 10

4

u2

[V]

t [s]

u2a u2b u2c

0 0.002 0.004 0.006 0.008 0.01 0.012 0.014 0.016 0.018 0.02-4000

-3000

-2000

-1000

0

1000

2000

3000

4000

u3

[V]

t [s]

u3a u3b u3c

0 0.002 0.004 0.006 0.008 0.01 0.012 0.014 0.016 0.018 0.02-3000

-2000

-1000

0

1000

2000

3000

u4

[V]

t [s]

u4a u4b u4c

0 0.002 0.004 0.006 0.008 0.01 0.012 0.014 0.016 0.018 0.02-500

-400

-300

-200

-100

0

100

200

300

400

500

i12

[A]

t [s]

i12a i12b i12c

0 0.002 0.004 0.006 0.008 0.01 0.012 0.014 0.016 0.018 0.02-2000

-1500

-1000

-500

0

500

1000

1500

2000

i34

[A]

t [s]

i34a i34b i34c

Figura 8.33. Tensiones fase-tierra y corrientes de la red obtenidas con MATLAB. Grupo de conexión Dy9: (a)

tensiones del primario del transformador (nudo 2), (b) tensiones del secundario del transformador (nudo 3), (c) tensiones de la carga PQ (nudo 4), (d) corrientes de la línea 1, y (e) corrientes de la línea 2


(c) (d)

(e) (f)

(a) (b)

0 0.002 0.004 0.006 0.008 0.01 0.012 0.014 0.016 0.018 0.02-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

im [A

]

t [s]

ima imb imc

0 0.002 0.004 0.006 0.008 0.01 0.012 0.014 0.016 0.018 0.02-60

-40

-20

0

20

40

60

φ [W

b]

t [s]

φaφbφcφd

-1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5-60

-40

-20

0

20

40

60

φ a [Wb]

fa [A·t]

-1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5-60

-40

-20

0

20

40

60

φ c [Wb]

fc [A·t]

-0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8-60

-40

-20

0

20

40

60

φ b [Wb]

fb [A·t]

-1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5

x 10-4

-6

-4

-2

0

2

4

6x 10-3

φ d [Wb]

fd [A·t]


transformador obtenidas con MATLAB. Grupo de conexión Dy9: (a) corrientes magnetizantes, (b) flujos, (c) φa-fa, (d) φb-fb, (e) φc-fc, y (f) φd-fd

8.5.5 Conclusiones

Con los cuatro ejemplos anteriormente expuestos, sólo se pretende resaltar la importancia de las conexiones del transformador al estudiar el comportamiento de una red eléctrica. Dichas conexiones, o mejor dicho, el grupo de conexión del transformador influye tanto en las tensiones y corrientes de la red, como en las corrientes magnetizantes, flujos y

136 Memoria

diferencias de potencial magnético del transformador. Otro aspecto importante es la topología del transformador, ya que puede imponer (o no imponer) una restricción a los flujos de las tres columnas, es decir, que no exista (o sí exista) flujo homopolar (φd), el cual, en caso de existir, desplaza el neutro de las conexiones en estrella. En los ejemplos estudiados, la topología del transformador es de cinco columnas, la cual no impone ninguna restricción a los flujos de las tres columnas, con lo que puede existir flujo homopolar.

Por último, cabe destacar que si el transformador no está saturado, las corrientes magnetizantes son muy pequeñas (dependiendo de la potencia del transformador, entre el 1% y el 0,1% de la intensidad nominal), por lo que es razonable que se desprecien en la mayoría de modelos, simplificando las ecuaciones del transformador y ganando en tiempo de cálculo.


Conclusiones

En este proyecto se ha realizado una aplicación informática que resuelve una red radial trifásica de cuatro nudos formada por un generador, una línea, un transformador, una línea y una carga en condiciones de régimen permanente y en presencia de armónicos. Para ello, se ha tenido que desarrollar un motor de cálculo que solucione el flujo armónico de cargas de dicha red. Este desarrollo ha sido laborioso porque se han tenido que ir perfeccionando los modelos matemáticos del transformador a medida que avanzaba la implementación del motor de cálculo. Por otro lado, se ha pretendido que la aplicación informática sea fácil e intuitiva en la medida de lo posible, puesto que se requieren ciertos conocimientos de sistemas eléctricos de potencia. Aún así, se puede consultar el manual de la aplicación y seguir la explicación mediante un ejemplo.

Los modelos del transformador trifásico presentados se elaboran para el estudio de sistemas eléctricos en régimen permanente y en condiciones desequilibradas. Para la formulación de estos modelos se utilizan las topologías más habituales del circuito magnético (de tres y de cinco columnas, y el banco de transformadores) y se tienen en cuenta las posibles conexiones de ambos devanados (triángulo, estrella aislada, estrella conectada rígidamente a tierra o estrella conectada a tierra a través de una impedancia) estando, por tanto, englobados todos los posibles índices horarios. La formulación que se emplea es novedosa porque incluye todos los casos anteriores y porque se puede incluir dentro de un flujo armónico de cargas.

Estos modelos han sido validados en este proyecto de manera totalmente satisfactoria. Para ello, además de implementar la red en la aplicación informática desarrollada en MATLAB, también se ha implementado en PSPICE con el objeto de poder comparar los resultados de ambas implementaciones.

También, se han presentado cuatro ejemplos con los que se analiza la influencia de las conexiones del transformador en las tensiones y corrientes obtenidas al resolver la red. En estos ejemplos se puede comprobar que la corriente magnetizante consumida por el transformador cuando no está saturado es muy pequeña (dependiendo de la potencia del transformador, entre el 1% y el 0,1% de la intensidad nominal), por lo que resulta razonable que se desprecie en la mayoría de modelos, a diferencia de la creencia extendida de que siempre se debería tener en cuenta la saturación de los transformadores.

Cabe destacar el hecho que la realización de este proyecto se ha utilizado para la elaboración de dos artículos (referencias [14] y [15]).

138 Memoria

Por último, los trabajos futuros a realizar podrían centrarse en extender la formulación presentada aquí al caso de transformadores de tres devanados (un primario y dos secundarios, por ejemplo).


Bibliografía

[1] PEDRA, J., SAINZ, L., CÓRCOLES, F., LÓPEZ, R., SALICHS, M. “PSpice computer model of a non-linear three-phase three-legged transformer”. IEEE Transactions on Power Delivery. Vol. 19(1), p. 200-207, enero 2004.

[2] CÓRCOLES, F., PEDRA, J., SALICHS, M. Transformadores. Barcelona, Edicions UPC, 2004, p. 97-105.


[4] FURFARI, F. A., BRITTAIN, J. “Charles LeGeyt Fortescue and the method of symmetrical components”. IEEE Industry Applications Magazine. Vol. 8(3), p. 7-9, mayo-junio 2002.


[6] PEDRA, J., CÓRCOLES, F., SAINZ, L., LÓPEZ, R. “Harmonic non-linear transformer modeling”. IEEE Transactions on Power Delivery. Vol. 19(2), p. 884-890, abril 2004.

[7] LU, S., LIU, Y., DE LA REE, J. “Harmonics generated from DC biased transformer”. IEEE Transactions on Power Delivery. Vol. 8(2), p. 725-731, abril 1993.

[8] WANG, Z., LIU, Y. “Harmonics analysis of transformers under converter load with DC and low frequency bias”. In Proc. American Power Conf. Vol. 59, p. 449-454.

[9] SAINZ, L. Estudio de la formulación y resolución del problema del flujo armónico de cargas. Tesis Doctoral. Universitat Politècnica de Catalunya. Barcelona, 1995.

[10] KERSTING, W.H. “Radial distribution test feeder”. IEEE Transactions on Power Systems. Vol. 2(3), p. 908-912, 2001.


[12] PEDRA, J., SAINZ, L., CÓRCOLES, F. “Harmonic modeling of induction motors”. Electric Power Systems Research. Vol. 76(11), p. 936-944, enero 2006.

[13] BOLDUC, L., GAUDREAU, A., DUTIL, A. “Saturation time of transformers under dc excitation”. Electric Power Systems Research. Vol. 56, p. 95-102, 2000.

140 Memoria

[14] CÓRCOLES, F., SAINZ, L., PEDRA, J., SÁNCHEZ-NAVARRO, J., SALICHS, M. “Three-phase Transformer Modeling for Unbalanced Conditions - Part I: Core Modeling and Introductory Examples”. Enviado para su análisis a IET Electric Power Applications el 5 de julio de 2007.

[15] CÓRCOLES, F., SAINZ, L., PEDRA, J., SÁNCHEZ-NAVARRO, J., SALICHS, M. “Three-phase Transformer Modeling for Unbalanced Conditions - Part II: General Formulation”. Enviado para su análisis a IET Electric Power Applications el 5 de julio de 2007.

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