Aplicacion de Conicas.docx

7/23/2019 Aplicacion de Conicas.docx

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http://www.youtube.com/watch?v=Ji0sVMQttzU

https://www.youtube.com/watch?v=_Fo6pdz6tQ

https://www.youtube.com/watch?v=_h!"#F$%&'o

https://www.youtube.com/watch?v=(t)*ba+0,-#

https://www.youtube.com/watch?v=hetw)$Fc


https://www.youtube.com/watch?v=_Fo6pdz6t5Q

https://www.youtube.com/watch?v=_h2l8FO4EHo

https://www.youtube.com/watch?v=qtNkbar0RK8

https://www.youtube.com/watch?v=h7YeBtwNOFc

https://www.youtube.com/watch?v=_Fo6pdz6t5Q

https://www.youtube.com/watch?v=_h2l8FO4EHo

https://www.youtube.com/watch?v=qtNkbar0RK8

https://www.youtube.com/watch?v=h7YeBtwNOFc




1)2,$3U4415).

Las figuras geométricas que conocemos desde las primeras clases de matemáticas desde el preescolar son el triángulo, el cuadrado, el circulo, el rectángulo, conforme avanza uno en nivel

educativo conocemos los nombres de las personas que los estudiaron por primera vez, nos platican

como ellos determinaron sus características, elementos y sus fórmulas, todo para determinar su

área, el perímetro, midiendo sus lados, bases y alturas, incluso aprendemos teoremas como el de

Pitágoras y Tales, propiedades de algunas figuras, formulas enlazadas a dichas propiedades y

llegamos a la parte donde nos dicen que las figuras geométricas de cuatro lados se llaman

cuadriláteros, que hay diferencia entre circulo y circunferencia, entonces llegamos a un punto

donde nos indican que las formulas eran solo una parte de esas figuras, que también eistenecuaciones asociadas con ellas, volvemos a preguntarnos, eso para qué sirve!, este articulo trata de

describir esas aplicaciones que tanto buscamos entender en la escuela y de esta manera obtener esa

formación integral, relacionando los contenidos temáticos con la vida real"

La #lumna"



GEOMETRÍA ANALÍTICA.

La geometría analítica estudia las figuras geométricas por medio de un análisis matemático que utiliza el

álgebra y un sistema de coordenadas cartesiano, esta parte de las ciencias matemáticas representa la mayor

cantidad de aplicaciones que podamos encontrar"

LAS CONICAS Y SUS APLICACIONES

1. OBJETIVOS

. $J&21V$ 8&)&,9$studiar algunas aplicaciones de la parábola, elipse e hipérbola y a partir de procesos de

modelación conceptualizar las curvas como lugares geométricos y obtener la %epresentación

analítica".! $J&21V$; &;<&4F14$;

%evisar aplicaciones de la parábola, la elipse e hipérbola en contetos reales como la medicina,

ingeniería, navegación y astronomía, entre otros"$studiar documentos sobre el proceso de modelización matemática"$studiar desde la geometría analítica las cónicas y profundizar en la correspondencia entre las

propiedades geométricas de las curvas y las propiedades algebraicas de la ecuación

correspondiente"2. DEFINICIÓN DE CÓNICA

&ada una recta fi'a L y un punto fi'o ( no contenido en esa recta, se llama cónica al lugar

geométrico de un punto P que se mueve en el plano, de tal manera que la razón de su distancia de

( a su distancia de L es siempre igual a una constante positiva"La recta L se llama directriz, $l punto ( foco y la constante positiva, ecentricidad de la cónica

)e*+



uando e - ., la definición anterior corresponde a una /%01($%$1/#"

uando e - ., la definición anterior corresponde a una P#%234L#

uando e 5., la definición anterior corresponde a una $L/P6$

uando e 7 ., la definición anterior corresponde a una 8/P9%34L#

2.1 ECUACIÓN GENERAL DE SEGUNDO GRADOLa ecuación general de segundo grado en dos variables se define como+

A x2+Bxy+C y

2+ Dx+ Ey+ F =0

y puede representar una cónica del género parábola, elipse o hipérbola, seg:n el

indicador+

I =B2−4 AC

ECUACIÓN GENERAL DE SEGUNDO GRADO

A x2+Bxy+C y

2+ Dx+ Ey+ F =0

CIRCUNFERENCIA PARABOLA ELIPSE HIPERBOLAINDICADOR

I =B2−4 AC

/ - ; / 5 ; / 7 ;

EXCENTRICIDAD(e)

e - ; e - . e 5 . e 7 .

!.! 2,9;9415) ,$29415) 3& &J&; 4$$,3&)939;

Los e'es coordenados fueron concebidos como una herramienta que sirve para poder

representar puntos y curvas en un plano" 6in embargo, eisten lugares geométricos cuya

naturaleza requiere de cambios en los e'es y se necesitan representar mediante una traslación, de



una rotación o de una combinación de ambas"

$n la ecuación general de segundo grado A x2+Bxy+C y

2+ Dx+ Ey+ F =0 los

términos & y $ determinan si está o no trasladada la cónica"

0natraslación

implica que el lugar geométrico conserva su misma forma pero de forma paralela a los e'escoordenados, es decir, produce un nuevo con'unto de e'es paralelos a los originales" $n ese sentido se

cumple que+

6i & ≠ ; y $ ≠ ; significa que está en cualquier punto del plano

6i & - ; significa que está sobre el e'e

6i $ - ; significa que está sobre el e'e 6i & - $ - ; significa que está en el origen"

$n una rotación , la forma del lugar geométrico no se altera, sin embargo, su posición respecto a los e'es

coordenados no es paralela" 6i en la ecuación general de segundo grado, se cumple que 3 ≠ ; , se tiene

una rotación de los e'es y y en donde su origen permanece fi'o y ambos giran alrededor de éste un cierto

ángulo"

$n este sentido, el término 3y implica que la cónica está rotada con respecto a los e'es

coordenados"onsiderando lo anterior, 3 ¿

; , la cónica es paralela o coincidente a los e'es y y



S T!"!# $!# %&#!# '!#$e# #e &*+'&, e, $& #+e,-e -&$&

&4U9415) 8&)&,9 3& ;&8U)3$ 8,93$

A x2+Bxy+C y

2+ Dx+ Ey+ F =0

;i> ,otaci>: = 04o> ,otaci?>:

≠ 0

4o> 2+as"aci> ;i> 2+as"aci> 4o> 2+as"aci> ;i> 2+as"aci>

&≠ ;

$ ≠ ;

&¿ ;

$ ≠ ;

&≠ ;

$ ¿ ;

&¿ ;

$ ¿ ;

&≠ ;

$ ≠ ;

&¿ ;

$ ≠ ;

$ ≠ ; &¿

$ ¿

A ¿

C

,ircunfere

ncia

,ircunfere

ncia

,ircunfere

ncia

,ircunfere

ncia

,ircunfere

ncia

,ircunfere

ncia

,ircunfere

ncia

,ircunfe

ncia

A ≠

C

(/#/!#

#,!#)

$lipse en

cualquier

punto

$lipse

sobre el e'e

y

$lipse

sobre el e'e

"

$lipse en

el origen

$lipse en

cualquier

punto

$lipse

sobre el e'e

y

$lipse

sobre el e'e

"

$lipse e

el orige

A ≠

C

(#,!#

%!,-*&*

!#)

8ipérbola

en

cualquier

punto

8ipérbola

sobre el e'e

y

8ipérbola

sobre el e'e

"

8ipérbola

en el

origen

8ipérbola

en

cualquier

punto

8ipérbola

sobre el e'e

y

8ipérbola

sobre el e'e

"

8ipérbo

en el

origen

A ¿

0

C ≠

0

Parábola

en

cualquier

punto

Parábola

sobre el e'e

y

Parábola

sobre el e'e

Parábola

sobre el e'e

y

Parábola

en

cualquier

punto

Parábola

sobre el e'e

y

Parábola

sobre el e'e

Parábo

sobre el

y

A≠

0

C ¿

0

Parábola

en

cualquier

punto

Parábola

sobre el e'e

y

Parábola

sobre el e'e

Parábola

sobre el e'e

y

Parábola

en

cualquier

punto

Parábola

sobre el e'e

y

Parábola

sobre el e'e

Parábo

sobre el

y

AC0 %ecta %ecta %ecta %ecta %ecta %ecta %ecta %ecta



. CÓNICAS EN LA VIDA REAL

3. Las formas de las secciones cónicas están ocultas en la estructura de muchas cosas, en las estructurasde dise<os arquitectónicos, fabricación de ob'etos peque<os, en el funcionamiento de instrumentos

tecnológicos :tiles en medicina, ingeniería, navegación y astronomía entre otros, en la descripción

del movimiento de ob'etos y en las formas generadas por situaciones ópticas entre otras"4. # continuación se relacionan algunos eventos que involucran el uso de las cónicas"

@. 9 41,4U)F&,&)419:$s también uno de los elementos más importantes para la geometría" 6e define como unLugar geométrico determinado por el movimiento de un punto en el plano, siempre y cuando

permanezca a una misma distancia llamada radio, de un punto central" 6e considera+

&) F!*/& e,e*&$ "e $& %*%+,5e*e,%& x

2+ y2+ Dx+ Ey+ F =0

) E, e$ !*e,

x2+ y2=r

2

%) F+e*& "e$ !*e, y−k ¿¿

( x−h)2

+¿

ANEXO F+*& N6 1

@.. 9<14941$)&;.C*%+,5e*e,%& e, $& M7#%&

6e utilizan técnicas circunferenciales para muchas cosas" Por e'emplo= Los ds, piezas

ordinarias en la m:sica actual, son una placa circular con un borde que termina siendo una

circunferencia" #l centro se observa un orificio redondo que sirve para tomar el d y para

que la radio lo reproduzca" $stas piezas de la electrónica requieren de mucha precisión para

su correcto funcionamiento" Por lo tanto para su fabricación se usan las técnicas del radio yel diámetro

C*%+,5e*e,%& e, $&# A*/&#omo ya hemos dicho, el diámetro es un segmento que une dos puntos de la circunferencia

pasando por el centro, este diámetro es lo que se usa para medir el tama<o de agu'eros como

lo es en las armas" 6e habla normalmente de pistolas calibre de >"?@ mm, A">@ mm, B mm,



etc" $sto no es solo un CnombreD, sino que esto se refiere al tama<o del agu'ero )ca<ón* por

donde salen los proyectiles )balas* del arma, usando el tama<o del diámetro y usando una

medida milimétrica para lograrlo

C*%+,5e*e,%& e, e$ T*&,#'!*-e

$n el transporte también podemos apreciar la presencia de la ircunferencia, de hecho,donde se puede notar y e'emplificar me'or es en la 3icicleta, un con'unto de tubos metálicos

con dos ruedas que aplican la geometría perfectamente+ Las ruedas están hechas de un

CarcoD " La me'or parte de esto es que la rueda se afirma desde el centro y desde este salen

un montón de alambres delgados llamados CrayosD y estos son radios que mantienen la

forma circunferencial de la rueda perfectamente" 4tra cosa es que el tama<o de la rueda es

medido en #ro EF, E>, etc" G esto se hace usando el diámetro"

C*%+,5e*e,%& e, $!# De'!*-e#Huizás parezca que en la :nica parte en donde podría aplicarse la ircunferencia en los

deportes sería en los balonesI Pero no, si solo nos detenemos a pensar un poco nos

daremos cuenta que muchas de las canchas o lugares en donde se practican deportes tienen

marcas geométricas y ircunferencias que determinan situaciones reglamentarias, etc" Los

campos de (utbol, las canchas de 3asquetbol, los campos de (utbol #mericano y en muchas

más"

L& C*%+,5e*e,%&8 -&/9, '*e#e,-e e, $& N&-+*&$e:&Los árboles, tipos de vida antiquísimos, crecen con el pasar de los a<os" Primero crecen

peque<as ramificaciones desde el suelo" Luego crecen más y con esto va aumentando el

grosor de su Tronco La circunferencia se aplica entonces debido a que las personasrelacionadas con la 1aturaleza como los /ngenieros (orestales, saben perfectamente que al

cortar un árbol, se pueden apreciar muchos CanillosD que están en el tronco" G con el

Ctama<oD de cada anillo, se puede determinar la edad que tiene cierto árbol" Lo que

nuevamente se usa, entonces, es el diámetro de cada anillo

A,e;! F+*& N6 2

@.! 9 <9,9$9:6e define como lugar geométrico de los puntos de un plano que equidistan de una recta

llamada directriz y un punto eterno llamado foco, su forma se relaciona con la ecuación

cuadrática y aparece en muchas ramas de las ciencias aplicadas" También debemos aclarar



que la ecentricidad siempre es igual a ., esta unicidad nos permite observar parábolas

seme'antes pero a diferentes escalas, ya que al hacer un análisis de la parábola cometemos elerror de indicar que sus parámetros, son los que cambian la forma de la parábola" Las

representaciones algebraicas tienen que considerar como su e'e focal tiene una relación con

los e'es coordenados y serían las siguientes+aA Fo+ma Be>e+a" de "a pa+Cbo"a:

x2+ Dx+ Ey+ F =0

y2+ Dx+ Ey+ F =0

bA 4o> vD+tice e> e" o+iBe>:

x2=4 py

y2=4 px

cA Fue+a de" $+iBe>:

( y−k )2+¿ 4 p ( x−h)

( x−k )2+¿4 p ( y−h)

A,e;! F+*& N6

.2.1 APLICACIONES.#lgunas de sus aplicaciones son+

LAS ANTENAS PARABÓLICAS0na consecuencia de gran importancia es que la tangente refle'a los rayos paralelos al e'e de la

parábola en dirección al foco" Las aplicaciones prácticas son muchas+ las antenas satelitales y

radiotelescopios aprovechan el principio concentrando se<ales recibidas desde un emisor le'ano en

un receptor colocado en la posición del foco"La concentración de la radiación solar en un punto, mediante un reflector parabólico tiene su

aplicación en peque<as cocinas solares y grandes centrales captadoras de energía solar"#nálogamente, una fuente emisora situada en el foco, enviará un haz de rayos paralelos al e'e+

diversas lámparas y faros tienen espe'os con superficies parabólicas reflectantes para poder enviar haces de luz paralelos emanados de una fuente en posición focal" Los rayos convergen o divergen si

el emisor se desplaza de la posición focal"



• Los radiotelescopios como+• $l radar para recibir y enviar haces de se<ales"• (aros de vehículos o lámparas de casas para concentrar y enviar energía como haces de luz,

concentradores parabólicos solares para la concentración de energía solar y su

almacenamiento" #lgunas construcciones en puentes o dise<os arquitectónicos para

edificios o casas"• Las trayectorias ideales de cuerpos que se mueven ba'o la influencia de la gravedad como+

lanzamientos de algunas pelotas, lanzamientos de flechas, una trayectoria balística,

lanzamiento de ob'etos" $n algunos 'uegos mecánicos e infantiles" /ncluso se hacen dise<oseclusivos de ob'etos por su estética"

9>eEo: FiBu+a ) %

?"? LA ELIPSE.?"F 6e define como el lugar geométrico de todos los puntos de un plano para los cuales se

cumple que el cociente entre sus distancias a un punto fi'o que se denomina foco y a una

recta dada llamada directriz, permanece constante y es igual a la ecentricidad de la misma"

Presenta una ecentricidad que puede tomar valores entre cero y uno, ella indicara la forma

que tendrá esa elipse, cuando se acerca a uno la elipse será alargada, pero si se acerca a cero

se aseme'a a una circunferencia" Las representaciones algebraicas tienen que considerar

como su e'e focal tiene una relación con los e'es coordenados de manera paralela y donde se

encuentra el vértice, son las siguientes+

&) F!*/& e,e*&$ "e $& e$'#e

Ax2+Cy

2+ Dx+ Ey+ F =0



) C!, V9*-%e e, e$ !*e,

x2

a2+ y

2

b2 =1

%) C!, V9*-%e 5+e*& "e$ O*e,( x−h)2

a2 +

( y−k )2

b2 =1

A,e;! F+*& N6 4

..1 APLICACIONESA'$%&%<, I/'!*-&,-e Las órbitas de planetas como la Tierra son elípticas donde un foco corresponde al

6ol" También le corresponde esta figura a los cometas y satélites" #demás se cree

que este razonamiento se aplica también a las órbitas de los átomos"&ebido a la resistencia del viento, las trayectorias que realizan los aviones cuando

hacen via'es circulares se vuelven elípticas



$n a

#rquitectura se utilizan con mayor frecuencia arcos con forma elíptica Las propiedades de la elipse son similares a las de la parábola" $n medicina un aparato llamado litotripto para desintegrar cálculos renales

por medio de ondas intraJacuáticas de choque" $structuras en la

construcción como en capillas, galerías de los murmullos o de los secretos,

foros, que tienen formas elipsoidales en los techos para me'or transmisión

del sonido"

#lgunos estadios deportivos tienen forma elíptica, para atletismo, bicicletas" velocidad en el hielo" La criptografía de curva elíptica, también utiliza esta forma" $n el deporte para el acondicionamiento físico o cardio, la bicicleta elíptica"

Las aplicaciones de la elipse también se relacionan con las de la parábola

ANEXO F+*& N6 =

.4 LA HIPERBOLA6e define como el lugar geométrico de los puntos de un plano tales que el valor absoluto de la

diferencia de sus distancias a dos puntos fi'os, llamados focos, es igual a la distancia entre los

vértices, la cual es una constante positiva" La ecentricidad, al igual que en la elipse, es la relación

entre las distancias de foco a foco y de vértice a vértice, entonces la ecentricidad en la hipérbola

siempre es mayor que la unidad, sus representaciones algebraicas son+&) F!*/& e,e*&$ "e $& >'9*!$&

Ax2+By2+Cx+ Dy+ E=0

) C!, ?9*-%e e, e$ !*e,

x2

a2+ y

2

b2 =1

%) F+e*& "e$ O*e,

( x−h)2

a2 −

( y−k )2

b2 =1



ANEXO F+*& N6 @

.3.1 APLICACIONES

A'$%&%<, I/'!*-&,-e

P*!'e"&" Ó'-%&

onsideremos un espe'o que tenga forma de hipérbola" 6i un rayo de luz que parta de uno de los

focos choca contra el espe'o, se refle'ará ale'ándose directamente del otro foco

T*&e%-!*&# "e %!/e-&#

0n cuerpo celeste que provenga del eterior del sistema solar y sea atraído por el sol, describirá una

órbita hiperbólica, teniendo como un foco al sol y saldrá nuevamente del sistema solar" $sto sucede con

algunos cometas

E$ *e$! "e #!$

ada día el 6ol, desde que sale por el $ste y se pone por el 4este, describe sobre el cielo un arco de

circunferencia" $ste movimiento es aparente, porque, en realidad, es consecuencia del movimiento diario de

rotación de la Tierra" &esde hace mucho tiempo se sabe que, cuando el 6ol recorre el cielo a lo largo de un

día, la sombra que proyecta un ob'eto fi'o describe una curva cónica" $sto se puede comprobar

eperimentalmente si se va marcando, por e'emplo, cada media hora, sobre una superficie plana el límite de

la sombra que proyecta un ob'eto cualquiera" Los relo'es de sol se fundamentan en este hecho" $stán

provistos de un marcador o estilete, llamado gnomon, que proyecta su sombra sobre una superficie plana

donde están se<alizadas las horas" $l etremo de la sombra indica la hora solar correspondiente" $l sol, por lo

le'ano que está, se considera como un foco puntual de luz" La línea imaginaria que le une con el etremo del

gnomon recorre a lo largo del día parte de la superficie de un cono, también imaginario" La superficie de este

cono se corta por el plano del relo' donde se observa la sombra del etremo del gnomon" Por eso, la

trayectoria que sigue esa sombra es la de una cónica" $n las latitudes de la Península /bérica )de ?K a FE*

esa cónica es siempre una hipérbola, tanto más curvada cuanto más próimo esté el día E. de Munio )solsticio

de verano* o al E. de &iciembre )solsticio de invierno*" $n dos días del a<o, la trayectoria de la sombra que



proyecta el gnomon es una recta en todos los lugares de la Tierra" $sto ocurre en los días E. de marzo

)equinoccio de primavera* y E? de septiembre )equinoccio de oto<o*" La razón es que, en esos días, la

trayectoria del 6ol y el etremo del gnomon están en un mismo plano que corta al plano de observación en

una recta

E, &#-*!,!/&+Las órbitas de algunos cometas son hipérbolas, estos cometas sólo se acercan una vez al sol,

que es uno de los focos de su trayectoria, después se ale'arán perdiéndose en los confines del

sistema solar" 0n avión que vuela a velocidad supersónica paralelamente a la superficie de la

tierra, de'a una huella ac:stica hiperbólica sobre la superficie" La intersección de una pared y

el cono de luz que emana de una lámpara de mesa con pantalla troncocónica, es una

hipérbola" $n mecánica, se usan en el dise<o de estructuras hay algunas veces que los

resultados de las fuerzas sobre una viga dan en forma de hipérbola" $s bastante com:n verla

en edificios y construcciones arquitectónicas" 6i tienes una construcción de sección cuadrada

o rectangular con un remate o c:pula cónica, la unión de ambos cuerpos produce hipérbolas"

Las aplicaciones de la hipérbola son similares a las de la parábola y la elipse,$ntre otras aplicaciones tenemos+

• " 0n avión que vuela a velocidad supersónica paralelamente a la superficie de la tierra,

de'a una huella ac:stica hiperbólica sobre la superficie"• La intersección de una pared y el cono de luz que emana de una lámpara de mesa con

pantalla troncocónica, es una hipérbola"• $n mecánica, se usan en el dise<o de estructuras hay algunas veces que los resultados de

las fuerzas sobre una viga dan en forma de hipérbola"• Es bastante común verla en edificios y construcciones arquitectónicas.

• 6i tienes una construcción de sección cuadrada o rectangular con un remate o c:pula

cónica, la unión de ambos cuerpos produce hipérbolas" Las aplicaciones de la hipérbola son similares a las de la parábola y la elipse,

A,e;! F+*& N6



#1$N46



ANEXO F+*& N6 1

ANEXO F+*& N6 2



ANEXO F+*& N6

ANEXO F+*& N6 3

ANEXO F+*& N6 4



ANEXO F+*& N6 =

ANEXO F+*& N6 @



ANEXO F+*& N6

41L06/41$6+



onocer la aplicación de las conicas tomadas de casos practicos, implica eplorar ideas, la

utilización de recursos, b:squeda de soluciones para integrar lo práctico y lo formal y sobre

todo tener la disposición y actitud necesarias para querer hacerlo $ste contribuye a dar soluciones eficaces ante cualquier problema q se pueda presentar en el

transcurso de nuestro proceso de aprendiza'e

3/3L/4O%#(/#+

http+QQE"educarchile"cl0ser(ilesP;;;.(ile41/#6"&4"pdf

http+QQQ"ehu"esRmtpalezpmatescharlaconicas"pdf

http+QQQ"bdigital"unal"edu"coA;BK.;..K>>;B"E;.E"pdf

http+QQQ"eduteSa"orggestorprec0pK?KKAA>Ee?cKbcBabeeFK;Ff;bbF>.F."pdf

http+QQQ"fca"unam"mdocsapuntesmatematicasE;"UE;onicas"pdf

http://ww2.educarchile.cl/UserFiles/P0001/File/CONICAS.DOC.pdf

http://www.ehu.es/~mtpalezp/mates/charlaconicas.pdf

http://www.bdigital.unal.edu.co/7098/1/01186609.2012.pdf

http://www.eduteka.org/gestorp/recUp/83887762e3c8bc9abee4804f0bb46141.pdf

http://ww2.educarchile.cl/UserFiles/P0001/File/CONICAS.DOC.pdf

http://www.ehu.es/~mtpalezp/mates/charlaconicas.pdf

http://www.bdigital.unal.edu.co/7098/1/01186609.2012.pdf

http://www.eduteka.org/gestorp/recUp/83887762e3c8bc9abee4804f0bb46141.pdf

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