DESINTEGRACION

1. El uranio se descompone a una velocidad proporcional a la cantidad presente. Si inicialmente hay 10 gr y despus de 2 horas se ve que ha perdido el 5% de su masa

original, hallar:

a) La ecuacin que representa la cantidad restante en cualquier tiempo t. b) La cantidad de uranio despus de 5 horas.

Respuestas: a) 0.02610 t

y e

b) y = 8.781 gr

2. En una reaccin qumica, la sustancia M se transforma en otra sustancia a una velocidad proporcional a la cantidad de M no transformada todava.

Si al inicio de la reaccin haba 200 gr de M y una hora ms tarde 75 gr, calcular el

porcentaje de M transformada despus de 2 horas.

Respuesta: 85.93 por ciento

3. Sabemos que un material radiactivo se desintegra proporcionalmente a la cantidad existente en cada momento. En una prueba realizada con 60 mg de este material, se

observ que despus de 3 horas, solamente el 80% de la masa permaneca en ese

momento. Hallar:

a. La ecuacin que exprese la cantidad restante de masa en un tiempo t. b. Qu cantidad permanece cuando t = 5 horas? c. Para qu valor de t, la cantidad de material es 1/4 de la cantidad inicial?

Respuestas: a) ln 0,8 /3

60t

y e

b) y = 41.365 mg

c) t = 18.6 horas

4. Cierto material radiactivo se desintegra a una tasa proporcional a la cantidad presente. Si actualmente se cuenta con 300 gr del material y despus de 2 aos se

observa que el 14% de la masa original se ha desintegrado, hallar:

a. Una expresin para la cantidad de material en un tiempo t . b. El tiempo necesario para que se haya desintegrado un 30 por ciento.

Respuestas: a) 0.5 ln 43/50

300t

y e

b) t = 4.73 aos

5. Se sabe que cierto material se desintegra a una razn proporcional a la cantidad presente. Si despus de una hora se observa que el 20% se ha desintegrado, hallar la

vida media del material.

Respuesta: 3.11 horas

6. Los experimentos demuestran que la rapidez de conversin del azcar de caa en solucin diluida es proporcional a la concentracin de azcar an no diluida.

Supongamos que en t = 0 1a concentracin, de azcar es 1/150 y en t =5 horas es

17120. Hallar la ecuacin que da la concentracin de 200 azcar sin diluir en

funcin del tiempo.

Respuesta: 0.0581

150

ty e

7. Se ha observado en el laboratorio que el radio se desintegra a una rapidez proporcional a la cantidad de radio presente. Su vida media es de 1600 aos. Qu

porcentaje desaparecer en un ao?

Respuesta: 0.043 por ciento

8. En un cultivo de levadura la rapidez de cambio es proporcional a la cantidad existente. Si la 'cantidad de cultivo se duplica en 4 horas, qu cantidad puede

esperarse al cabo de 12 horas, con la misma rapidez de crecimiento?

Respuesta: 8 veces ms

9. La conversin de una sustancia A sigue la ley del "proceso de primer orden". Si al cabo de 20 segundos apenas una cuarta parte de la sustancia se transform, hallar

cundo se transformarn nueve dcimas partes de esa sustancia.

Respuesta: t = 160 segundos

10. Una sustancia radiactiva tiene un periodo de semidesintegracin de 40 horas. Hallar cunto tiempo tardar en desaparecer el 90% de su radiactividad.

Respuesta: 132.8 horas

LEY DE ENFRIAMIENTO DE NEWTON

11. Era el medioda en un fro da de diciembre en Tampa: 16C. El detective Taylor lleg a la escena del crimen para hallar al sargento sobre el cadver. El sargento dijo

que haba varios sospechosos. Si supieran el momento exacto de la muerte, podran

reducir la lista de sospechosos. El detective Taylor sac un termmetro y midi la

temperatura del cuerpo: 34.5C. Luego sali a comer. Al regresar, a la 1:00 P.M.,

hall que la temperatura del cuerpo era de 33.7C. En qu momento ocurri el

asesinato? [Sugerencia: La temperatura normal del cuerpo es de 37C].

Rpta: 9:08 A.M.

12. En una calurosa maana de sbado, cuando las personas trabajan dentro del edificio, el aire acondicionado mantiene la temperatura interior en 24C. A medioda, el aire

acondicionado se apaga y las personas se van a casa. La temperatura exterior es

constante e igual a 35C durante el resto de la tarde. Si la constante de tiempo del

edificio es de 4 horas, cul ser la temperatura dentro del edificio a las 2:00 P.M.?

Y a las 6:00 P.M.? En qu momento llegar la temperatura interior del edificio a

27C?

Rpta: 28.3C; 32.5C; 1:16 P.M.

13. Se tienen dos recipientes con soluciones a temperaturas constantes, la primera a 30C, la segunda a 25C un termmetro que marca la temperatura de la primera

solucin es puesto en contacto con la segunda, cuatro minutos despus marca 27C

ms adelante el termmetro es puesto nuevamente en contacto con la primera

solucin, 10 minutos despus del comienzo del experimento el termmetro indica

28C. Cundo fue llevado el termmetro del segundo al primer recipiente?

Rpta: t = 4.73 minutos

14. Se va a construir un almacn sin calefaccin ni aire acondicionado. Segn la cantidad de aislamiento, la constante de tiempo para este edificio puede variar de 1 a 5 horas.

Para ilustrar el efecto del aislamiento sobre la temperatura dentro del almacn,

suponga que la temperatura exterior vara como una onda senoidal, con un mnimo

de 16C a las 2:00 A.M. y un mximo de 32C a las 2:00 P.M. Suponiendo que el

trmino exponencial (que implica la temperatura inicialT0) se ha extinguido, cul es

la temperatura mnima dentro del edificio, si la constante de tiempo es1 hora? Y si

la constante de tiempo es 5 horas? Cul es la mxima temperatura dentro del

edificio si la constante de tiempo es 1 hora? Y si es 5 horas?

Rpta: 16.3C; 19.1C; 31.7C; 28.9C.

15. Una pequea barra de metal, cuya temperatura inicial es de 20C, se deja caer en un recipiente de agua hirviendo.

a) Calcule el tiempo que dicha barra demorar en alcanzar los 90C si se sabe que su

temperatura aumenta 2 en 1 seg.

b) Cul ser la temperatura de la barra al cabo de 45 seg?

c) Cunto demorar la barra en alcanzar los 98C?

Rpta: a) 83,16 seg b) 74,4C c) 147,56 seg

16. Un objeto con temperatura inicial de 150C, se coloca en el exterior donde la temperatura es de 35C.Sus temperaturas a las 12:15 y 12:20 son de 120C y de 90C

respectivamente.

a) a qu hora fue colocado el objeto en el exterior? b) Cundo registrara 40C de temperatura?

Rpta a) 12:11:32 y b)12:47:32 (gua de prcticas tercera edicin ecuaciones

diferenciales unas ).

17. Cuando un objeto absorbe calor del medio que lo rodea se obtiene tambin la frmula de enfriamiento de Newton. Una pequea barra de metal, cuya temperatura

inicial es de 20C, se deja caer en un recipiente con agua hirviendo. Calcule el

tiempo que dicha barra demorar en alczar los 90C si se sabe que su temperatura

aumento 2C, en un segundo Cunto demorara la barra en alczar los 98C?

Rpta: 82.1 segundos; 145.7 segundos (gua de prcticas tercera edicin

ecuaciones diferenciales unas).

18. Un qumico desea enfriar desde 80C hasta 60C una sustancia contenido en un matraz se coloca el dispositivo en un recipiente amplio por el que circula agua a

15C . Se observa que despus de 2 minutos la temperatura ha descendido a

70C.Estimar el tiempo total d enfriamiento.

Rpta t=4.45 minutos (espinosa anlisis matemtico). 19. Supongamos que la razn a que se enfria un cuerpo es proporcional a la diferencia

entre la temperatura del cuerpo y la temperatura del aire que lo rodea un cuerpo

originalmente s 120F se enfria hasta 100F en 10 minutos en aire a 60F: encuentra

una expresin para la temperatura del cuerpo en un instante cualquiera t.

Rpta 102

60 60( )3

t

T t (espinosa anlisis matemtico).

20. Un termmetro que marca 15 F se lleva al interior de una habitacin donde la temperatura es 81 F. Un minuto ms tarde la lectura del termmetro es 30F.

a. Determine la lectura del termmetro como una funcin del tiempo b. Encuentre cunto marcar el termmetro 5 min despus de haber sido llevado a la

habitacin

c. Cunto tiempo debe transcurrir para que le termmetro marque 45 F?

Rpta: a) 17

81 6622

t

T t

b) 62.82oF c) 2.35 min o 2 min 2 seg.

MEZCLAS QUIMICAS

21. Salmuera que contiene 2kgrs de sal por decalitro entra a un primer tanque a razn de 2 decalitros /min, del primer tanque pasa la salmuera a un segundo tanque a razn de

3 decalitros/min. En un principio, el primer tanque contiene un hectolitro de agua

pura. Suponiendo las soluciones homogneas en cada tanque. Hallar la cantidad de

sal en el segundo tanque al cabo de 5 minutos. Rpta: 19.38 kgr

a. Un tanque contiene 100 l de agua salada en el cual hay 2 kg de sal disueltos. Agua salada con 0.25 kg de sal por litro entra al tanque a razn de 16 l/min y la mezcla

bien agitada sale a la misma razn.

b. Obtener la cantidad de sal en el tanque despus de t minutos. c. Determinar la cantidad de sal despus de 10 min. d. Determinar la concentracin de sal despus de media hora. e. Cunta sal hay despus de un tiempo largo?

22. Un tanque contiene 50 gal de agua pura. Una solucin de agua salada con 1 lb de sal por galn entra al tanque a razn de 2 gal/min y la mezcla bien agitada sale a la

misma razn.

a. Cunta sal hay en el tanque despus de t minutos? b. Cunto tiempo debe transcurrir para que la mezcla del tanque tenga una

concentracin de 0.5 lb de sal por galn?

c. Cul es la concentracin de sal despus de un tiempo largo? 23. Un tanque contiene 100 gal de agua salada con 10 lb de sal disuelta. Agua salada con

1.5 lb de sal por galn entra al tanque a razn de 3 gal/min y la mezcla bien agitada

sale a razn de 4 gal/min.

a. Obtener la cantidad de sal en el tanque en cualquier tiempo t 0. b. Determinar la cantidad de sal en el tanque despus de 10 min. c. Calcular la concentracin de sal en el tanque despus de 20 min. d. Determinar la concentracin de sal en el tanque, cuando hay solamente 10 gal de

solucin.

24. Un tanque con capacidad para 500 gal contiene inicialmente 10 lb de sal disueltas en 200 gal de agua. Se bombea al tanque salmuera que contiene 2 lb/gal a razn de 4

gal/min y se permite que la mezcla salga del tanque a razn de 3 gal/min.

a. Qu cantidad de sal hay en el tanque despus de t minutos? b. Cul es la concentracin de sal despus de una hora? c. Cunta sal contiene el tanque cuando se llena? d. Cul es la concentracin de sal en el tanque cuando se llena? 25. Un tanque contiene inicialmente 60 gal de agua pura. A razn de 2 gal/min entra al

tanque salmuera que contiene 1 lb de sal por galn y la solucin uniformemente

mezclada sale del tanque a razn de 3 gal/min.

a. obtener la cantidad de sal en el tanque despus de t minutos. b. Calcular la concentracin de sal en el tanque despus de media hora. c. Determinar la concentracin de sal en el tanque cuando hay solamente 10 gal de

solucin.

d. Cul es la mxima cantidad de sal que llega a tener el tanque? 26. Un depsito contiene 100 gal de salmuera en la que hay disueltas 40 lb de sal. Se

desea reducir la concentracin de sal hasta 0.1 lb/gal vertiendo agua pura en el

depsito a razn de 5 gal/min y permitiendo que salga a la misma razn. La mezcla

se mantiene uniforme.

Cunto tiempo pasar hasta que se logre lo deseado?

27. Un gran tanque est parcialmente lleno con 100 gal de agua en los cuales hay 10 lb de sal disuelta. Una salmuera que contiene - lb de sal por galn se bombea al tanque

con una rapidez de 6 gal/min. La solucin adecuadamente mezclada se bombea hacia

afuera del tanque con una rapidez de 4 gal/min. Calcular el nmero de libras de sal

que hay en el tanque despus de 30 min.

28. Se bombea cerveza con un contenido de 8% de alcohol por galn a un tanque que inicialmente contiene 500 gal de cerveza con 6% de alcohol. La cerveza se bombea

hacia el interior a razn de 5 gal/min en tanto que el lquido mezclado se extrae del

tanque a razn de 6 gal/min.

a. Qu cantidad de alcohol hay en el tanque despus de t minutos? b. Cul es el porcentaje de alcohol en el tanque despus de 1 h? 29. Un tanque de 100 gal contiene inicialmente agua pura. Una solucin de colorante al

30% fluye hacia el tanque a una tasa de 5 gal/min y la mezcla resultante sale a la

misma tasa. Despus de 15 min el proceso se detiene y se hace fluir agua pura al

tanque a una tasa de 5 gal/min (la mezcla sale a la misma tasa). Encuentre la cantidad

de colorante en el tanque despus de 30 min.

30. Un tanque de 100 gal se llena inicialmente con 40% de solucin colorante. Una solucin colorante al 20% fluye hacia el tanque a una tasa de 5 gal/min. La mezcla

sale del tanque a la misma tasa y pasa a otro tanque de 100 gal que se haba llenado

inicialmente con agua pura. La mezcla resultante sale del segundo tanque a una tasa

de 5 gal/min. Obtener una expresin para la cantidad de colorante en el segundo

tanque. Cul es la concentracin de colorante en el segundo tanque despus de 30

min?

CIRCUITOS ELECTRICOS

31. Un electroimn industrial se puede modelar como un circuito RL, cuando se energiza mediante una fuente de voltaje. Si la inductancia es 10H y el embobinado contiene

3 de resistencia, Cunto tiempo tarda un voltaje constante aplicado en energizar el electroimn hasta 90% de su valos final?

Rpta.- 10 ln 0,1

7,683

t

32. Un circuito RLC en serie tiene una fuente de voltaje dada por E(t)=40cos2t , una resistencia de 2 un inductor de 1/4H y un condensador de 1/13F. Si la corriente inicial es igual a cero y la carga inicial en el condensador es 3,5c, determine la carga

en el condensador para t>0.

Rpta.- 41

(t) cos 2 3cos 2 22

tq e t t sen t

33. Un circuito LC en serie tiene una fuente de voltaje dada por E(t)=30sen50t , un inductor de 2H y un condensador de 0,02F Cul es la corriente en este circuito para

t>0 si en t=0, I(0)=q(0)=0?

Rpta.- 10 10

(t) cos 5 cos 5033 33

I t t

34. Una f.e.m. de 100 (120 )sen t volts se introduce en un circuito que contiene en serie

una resistencia de 100ohmnios y un condensador con capacitancia4

5 10 faradios

se tiene una carga inicial en el condensador al tiempo 0t , cuando la f.e.m. se

introduce, tal que la corriente en el tiempo cero es 1amperio positiva encontrar la

corriente 0.1 segundos ms tarde.

Rpta : 0.181amperios

35. Un circuito en serie consiste de una resistencia de 120ohmnios y una inductancia de 6

henrios un generador de c.c. De 220voltios se encuentra en serie con un

generador de c.a. de 220voltios (frecuencia de 60 ciclos) y de combinacin

conectada a un circuito por medio de un interruptor. Encontrar:

a) La corriente en el tiempo t despus que se ha cerrado el interruptor.

b) La corriente despus de

1

20segundos

. c) La corriente en estado permanente o estacionario.

d) El voltaje en la inductancia y el voltaje en la resistencia cuando

1

20t segundos

.

20

:

11 1 31) 1 (120 6)

6 3737

)0.969

11 1) 1 (120 6)

6 37

)42.3

t

Rpta

a i sen t arctg e

b amperios

c i sen t arctg

d voltios

36. Una resistencia de 10ohmnios se conecta en serie con una inductancia de L henrios. El circuito est conectado por medio de un interruptor a una fuente constante de E

voltios si la corriente alcanza las

3

4 partes de su valor de estado permanente en 0.1

segundos. Encontrar L.

: 0.721Rpta henrios

37. Un condensador de capacitancia 4

4 10 faradios descarga a travs de una

resistencia de 100ohmnios , si la corriente es 1amperio al final de 0.01segundos .

Cul era la carga inicial del condensador? Cunta resistencia debe sacarse del

circuito para obtener la mitad de la corriente en el mismo tiempo?

:

0.0487 coulomb

R 2.49 ohmnios

Rpta

q

38. A un circituto LR en serie en el cual la inductancia es de 0.1 henrios y la resistencia de 50 ohmios, se le aplica una tencion de 30 V. Hallar la corriente en un tiempo t, si

I(0)=0. Determine la corriente cuando t.

Rpta: 3

(t)5

I Amperios

39. Un circuito RC en serie, en el cual la resistencia es de 10 ohmios y el condensador de 3

10 faradios se le aplica una tencion de 100100 tE e , consideremos Q=0 en un

tiempo igual a cero, encuentre la carga y la corriente en cualquier tiempo. En que

tiempo la carga es mxima, y cual es su valor?

Rpta:

100

100

100

max

100

( ) 10

(t) (10 1000 t)

0.037

t

t

t

E e

Q t te

I e

Q C

40. En el siguiente circuito RC lleva inicialmente una carga de 0.03 C y el interruptor se cierra en t=0. Hallar la carga en cualquier instante t y la cada de voltaje atraves de R

luego de 10 segundos

Datos: 33 10 10000C x F R

Rpta:

/3

10/3

(t) 0.03

(10) 100

tQ e

V e