Problemas de aplicación de la Derivada

1. El costo (en dólares) de producir x unidades de cierto artículo es

C(x)=5000 + 10x + 0.05x2.Halle el costo marginal (Es decir la razón de cambio de C con respecto a x, cuando x=100.

2. El costo, en dólares, para producir x pares de jeans esC(x)=200 + 3x + 0.01x2+0.0002x3

a. Encuentre la función costo marginal.b. Halle C`(100) y explique su significado. ¿Qué pronostica?c. Calcule C(101) – C(100)d. Compare los resultados de los encisos b y c. ¿Qué encuentra?

3. La función costo de un artículo es C(x)=84000 + 0.16x – 0.6x2

+ 0.003x3

a. Encuentre la función costo marginal.b. Halle C`(100) y explique su significado. ¿Qué pronostica?c. Calcule C(101) – C(100)d. Compare los resultados de los encisos b y c. ¿Qué

encuentra?

4. El costo, en dólares, para producir x pares de jeans es C(x)=920 + 2x – 0.02x2+0.00007x3

a. Encuentre la función costo marginal.b. Halle C`(100) y explique su significado. ¿Qué pronostica?c. Calcule C(101) – C(100)d. Compare los resultados de los encisos b y c. ¿Qué

encuentra?

5. Suponga que un mayorista espera que su ingreso mensual por la venta de televisores pequeños sea

R R ( x x )=100 x x−0.1x x2 ,0≤x x≤800, donde x es el número de unidades vendidas. Encuentre su ingreso marginal e interprételo cuando la cantidad vendida es 300 y 600

6. Suponga que el ingreso de una compañía petrolera (en miles de dólares) está dado por la ecuación

R(x) = 100x – x2, x ≥ 0

, donde x es el número de miles de barriles de petróleo que se venden diariamente. Encuentre el ingreso marginal cuando se vende 20 000 barriles (es decir x=20)

7. Suponga que el fabricante de un producto sabe que dada la demanda de este producto, su ingreso esta dado por

R(x) = 1 500x – 0.02x2, c0n ≤ x ≤1 000

, donde x es el número de unidades vendidas y R(x) está en dólares. Encuentre el ingreso marginal en x=500, interprete el resultado.

8. La producción semanal de cierto producto esQ(x)= 200x + 6x2

, donde x es el número d trabajadores en la línea de ensamble. En la actualidad hay 60 trabajadores en la línea. Encuentre Q`(x) y calcule el cambio en la producción ocasionada por la suma de un trabajador, interprete el resultado

9. Suponga que la función costo total para la producción de x unidades de un producto está dada por

C(x) = 4000 + 55x + 0.12

Entonces el costo promedio de producir x artículos es

CC (x x )=C( x)x

a. Encuentre la tasa de cambio instantánea del costo promedio con respecto al número de unidades producidas en cualquier nivel de producción.

b. Encuentre el nivel de producción donde esta tasa de cambio es igual a cero

c. Con el valor identificado en b., encuentre la tasa de cambio del costo y del costo promedio. ¿Qué observa?

10. La demanda q de un producto depende del precio p (en dólares) de acuerdo con la fórmula

q q=1000√ p

−1 , para p>0

Encuentre y explique el significado de la tasa de cambio instantánea de la demanda respecto al precio cuando p=50 y p=100

11. Suponga que el costo C de procesar gases de escape en una zona industrial para asegurarse que solo escape el p por ciento de la contaminación de partículas se obtiene con

CC (p p )=810000−pp

a. Encuentre la tasa de cambio del costo C con respecto al porcentaje de contaminación de partículas que se escapa cuando (p=2 por ciento)

b. Escriba una oración que interprete la respuesta

12. Una agencia de viajes planeará una excursión para grupos de 25 o más personas. Si el grupo consta de 25 personas, el costo es de US $ 300 por persona, Si el costo de cada persona disminuye en US $10 por cada persona por cada persona adicional cuando son más de 25, entonces el ingreso esta dado por

R R ( x x )=(25+x x )(300−10 x x)

, donde x es el número de personas adicionales cuando son más de 25. Encuentre el ingreso marginal si el grupo contiene 30 personas

13. Suponga que el ingreso (en dólares) por la venta de x unidades de un producto se obtiene por medio de

R R ( x x )=60 x x2+74 x x

2 x x+2Encuentre el ingreso marginal cuando se venden 49 unidades. Interprete el resultado

14. Suponga que la función ingreso para un producto está dada por

R R ( x )=10 x+ 100x3 x+5

, donde x es el número de unidades vendidas y R se da en dólaresa. Encuentre la función ingreso marginalb. Encuentre el ingreso margina cuando x=15c. Interprete el resultado

15. El ingreso en dólares por la venta de x unidades de un producto se obtiene por medio de

R ( x )= 30002x+2

+80 x−1500

Encuentre el ingreso marginal cuando se venden 149 unidades. Interprete el resultado

16. Las ventas de un producto S (en miles de dólares) dependen de los gastos de publicidad (en miles de dólares) según

S= 200 xx+10

Encuentre e interprete la tasa de cambio de las ventas respecto a los gasto de publicidad cuando x=10 y x=20