Aplicación de la derivada

1Mat. Angela Alvarez de NievesMat. Angela Alvarez de Nieves

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ContenidoContenidoExtremos de una función. Funciones crecientes y decrecientes. Máximos

y mínimos relativosConcavidad. Punto de inflexión Problema 1.Problema 2.Actividad grupal

Mat. Angela Alvarez de NievesMat. Angela Alvarez de Nieves

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Extremos de una funciónExtremos de una funciónSea f una función definida en un intervalo I que contiene a

c. f ( c ) es el mínimo de f en I si f (c) ≤ f ( x ) para todo x en

I. f ( c ) es el máximo de f en I si f (c ) ≥ f (x) para todo x en

I.


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Punto críticoPunto crítico

Sea f definida en c. si f ´( c) = 0 o si f ´( c)

no existe, entonces c es un punto crítico

de f.


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¿Cómo determinar los extremos de una ¿Cómo determinar los extremos de una función continua en un intervalo cerrado?función continua en un intervalo cerrado?

Para determinar los extremos de una función continua f

en un intervalo cerrado [a, b], se sigue los siguientes

pasos: Encontrar los puntos críticos de f en el intervalo

abierto (a, b). Evaluar la función f en cada punto crítico en (a, b). Evaluar la función f en los puntos x = a, x = b. El menor de estos valores de f es el mínimo. El

mayor de los mismos es el máximo.


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Ejemplo 1Ejemplo 1Determinar los extremos de

f (x) = 3x4 – 4x3 – 12x2 + 5

en [-2, 4]

Solución Puntos críticos de f en (-2, 4)

– f ´(x) = 12x3 -12x2 – 24x– Valores de x tales que f ´(x ) = 0– f ´(x) = 0 12x3 -12x2 – 24x = 0

x = 0, x = -1, x = 2


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– Valores de x tales que f ´(x) no existe– Es el conjunto vacío, porque f ´(x) esta definida

para todo x.

Los únicos puntos críticos de f son x = -1, x = 0, x = 2.

Evaluación de f en los puntos críticos– f(-1) = 0 , f( 0) = 5 , f(2) = -27

Evaluación de f en x = -2 y x = 4– f(-2) = 37 , f(4) = 325


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Punto terminal izquierdo

Punto crítico

Punto crítico

Punto crítico

Punto terminal derecho

x = -2 x = -1 x = 0 x = 2 x = 4

f (-2) = 37 f (-1) = 0 f (0) =5 f (2) = -27

Mínimo

f (4) = 325

Máximo


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Ejemplo 2Ejemplo 2

Determinar los extremos de f (x) = x 2/3(6 – x)1/3

en el intervalo [-3, 7]

Solución Puntos críticos de f en el intervalo (-3, 7)

– Valores de x tales que f ´(x ) = 0– f ´(x) = 0 4 – x = 0 x = 4

3/23/1 )6(

4)´(

xx

xxf


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– Valores de x tales que f ´(x) no existe– f ´(x) no existe x = 0 , x = 6

Los puntos críticos de f son x = 0, x = 4, x = 6.

Evaluación de f en los puntos críticos– f(0) = 0 , f( 4) = 3.175 , f(6) = 0– Evaluación de f en x = -2 y x = 7– f(-3) = 4.327 , f(7) = -3.659


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Punto terminal izquierdo

Punto crítico

Punto crítico Punto crítico

Punto terminal derecho

x = -3 x = 0 x = 4 x = 6 x = 7

f (-3) = 4.327

Máximo

f (0) = 0 f (4) =3.1750 f (2) = 0 f (7) = - 3.659

Mínimo


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1. Puntos x para los cuales f ´´ (x ) = 0 o f ´´(x) no existe– Valores de x tales que f´´(x ) = 0– f ´´(x) = 0 3(x2 – 9) = 0

x2 = 9de donde x = -3 y x = 3

– Valores de x tales que f ´(x) no existe– El conjunto de valores de x tales que f ´´(x) no está

definida es igual al conjunto vacío, porque f ´´(x) esta definida para todo x.

Los intervalos de prueba vienen a ser (- ∞, - 3), (-3, 3) y (3, +∞)


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Intervalo (-∞, -3) (-3. 3) (3, + ∞)

Valor de prueba

-4 0 4

Signo de f ´´(x)

f ´´(-4)>0 f ´(-0)<0 f ´(4)>0

Conclusión Cóncava hacia arriba

Cóncava hacia abajo

Cóncava hacia arriba

2. El análisis del signo de f´´ (x) y la aplicación del criterio de concavidad, se resume el siguiente cuadro


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DefiniciónDefinición Sea f una función continua en un intervalo

abierto y sea c un punto en ese intervalo. Si la gráfica de f tiene una recta tangente en este punto (c, f( c)), entonces ese punto es un punto de inflexión de la gráfica de f si la concavidad de f cambia de cóncava hacia arriba a cóncava hacia abajo ( o de cóncava hacia abajo a cóncava hacia arriba)


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TeoremaTeorema

Si (c, f( c)) es un punto de inflexión de la gráfica de f, entonces f´´( c) = 0 o f´´(c) no existe.


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¿Cómo determinar los puntos de inflexión de ¿Cómo determinar los puntos de inflexión de la gráfica de una función?la gráfica de una función?

Sea c un punto tal que f’’(c)=0 o f’’(c) no existe, entonces

Si f ´´ (c) cambia de negativa a positiva en c, entonces la gráfica de f tiene un punto de inflexión en (c, f (c) ).

Si f ´´(c) cambia de positiva a negativa en c, entonces la gráfica de f tiene un punto de inflexión en (c, f (c) ).

Si f ´´(c) es positiva o negativa a ambos lados de c, entonces la gráfica de f no tiene un punto de inflexión en (c, f (c) ).


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Criterio de la segunda derivada Criterio de la segunda derivada y extremos relativosy extremos relativos

Sea f una función tal que f ´( c) = 0 y la segunda derivada de f existe en un intervalo abierto que contiene a c.

Si f ´´ ( c) > 0, entonces f tiene un mínimo relativo en (c, f( c)).

Si f ´´ ( c) < 0, entonces f tiene un máximo relativo en (c, f( c)).

Si f ´´ ( c) = 0, entonces el criterio falla. (en tal caso se puede utilizar el criterio de la primera derivada)


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Ejemplo 6Ejemplo 6 La gráfica del ejemplo 5 tiene dos puntos de

inflexión: (-3, f(-3) ) y (3, f(3) ). Verificar.


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Problema 1Problema 1

La tasa de operación (expresada como un porcentaje) de las fábricas, minas y servicios en cierta región del país en el día t del año 2007 está dada por la función.

¿En cuál de los primeros 250 días del 2007 alcanzó un máximo la tasa de operación?

2500,40000

120080)(

2

tt

ttf

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Problema 2Problema 2

La demanda de los neumáticos Super Titán es de 1000000 por año. El costo de inicio de cada nueva producción es de $4000y y el costo de producción es de $20 por neumático. El costo de almacenamiento de cada neumático durante el año es $2. Si se supone que la demanda es uniforme durante el año y que existe una producción instantánea ¿Cuántos neumáticos deben fabricarse en cada nueva producción para mantener los costos al mínimo?

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