EL

AB

OR

AD

O

PO

R:P

AS

CU

AL

SA

RD

EL

LA

PROBLEMAS DE

CÓNICA

CIRCUNFERENCIA

INICIAR

MENÚ

Hallar la gráfica y la ecuación general de una

circunferencia con centro C (3, 2) y tangente a la

recta y = x + 4.

Hallar la gráfica y la ecuación general de una

circunferencia, cuyo diámetro es el segmento que

une los puntos A (-1, -2) y B (3, 4).

Hallar la gráfica y la ecuación ordinaria o canónica de

la circunferencia que pasa por los puntos P(3,8),

Q(9,6) y R(3,-2).

Hallar la gráfica y la ecuación general de una

circunferencia, que pasa por el vértice y los puntos

extremos del lado recto de la parábola x2-4y=0.

SALIR

Hallar la gráfica y la ecuación general de una circunferencia

con centro C (3, 2) y tangente a la recta y = x + 4.

Solución: Tenemos como datos los siguientes: Centro de la circunferencia

C(3,2) y una recta tangente a la circunferencia cuya ecuación es x-y+4=0.

Aplicando la fórmula de distancia de un punto a una recta obtenemos la

radio de la circunferencia, es decir:

𝑑 𝐶, 𝐿 =𝐴𝑥1+𝐵𝑦1+𝐶

𝐴2+𝐵2= 𝑅𝑎𝑑𝑖𝑜 Donde: 𝑥1, 𝑦1 → 𝐶(3,2)

𝐿: 𝐴𝑥1 + 𝐵𝑦1 + 𝐶 = 0 → 𝐴 = 1;𝐵 = −1; 𝐶 = −4

𝑑 𝐶, 𝐿 =𝐴𝑥1+𝐵𝑦1+𝐶

𝐴2+𝐵2→ 𝑑 𝐶, 𝐿 =

1·3−1·2+4

12+ −1 2=

5

2

Luego, el radio de la circunferencia es 𝑑 𝐶, 𝐿 = 𝑟 =5

2

La forma canónica de la circunferencia es:

𝑥 − ℎ 2 + 𝑦 − 𝑘 2 = 𝑟2

Donde C(h,k) es el centro de la circunferencia y r es el radio.

Sustituyendo los valores obtenidos obtenemos la ecuación de la

circunferencia canónica, es decir:

𝑥 − ℎ 2 + 𝑦 − 𝑘 2 = 𝑟2 → 𝑥 − 3 2 + 𝑦 − 2 2 = (5

2)2

𝑥 − 3 2 + 𝑦 − 2 2 =25

2→ 2 𝑥 − 3 2 + 2 𝑦 − 2 2 = 25

2 𝑥2 − 6𝑥 + 9 + 2 𝑦2 − 4𝑦 + 4 = 25

2𝑥2 − 12𝑥 + 18 + 2𝑦2 − 8𝑦 + 8 − 25 = 0

La solución es la Ecuación General:

𝟐𝒙𝟐 + 𝟐𝒚𝟐 − 𝟏𝟐𝒙 − 𝟖𝒚 + 𝟏 = 𝟎

Para realizar la gráfica necesitamos 1) puntos de intersección de ambas

gráficas, 2) los cortes con los ejes, es decir:

SIGUIENTEIR A MENÚ

1) Para hallar los puntos de intersección de ambas gráficas

tenemos el sistema siguiente formado por las ecuaciones

dadas: 𝑦 = 𝑥 + 4 (1)

2𝑥2 + 2𝑦2 − 12𝑥 − 8𝑦 + 1 = 0 (2)

Sustituyendo (1) en (2) obtenemos:

2𝑥2 + 2𝑦2 − 12𝑥 − 8𝑦 + 1 = 02𝑥2 + 2 𝑥 + 4 2 − 12𝑥 − 8 𝑥 + 4 + 1 = 02𝑥2 + 2 𝑥2 + 8𝑥 + 16 − 12𝑥 − 8𝑥 − 32 + 1 = 02𝑥2 + 2𝑥2 + 16𝑥 + 32 − 12𝑥 − 8𝑥 − 32 + 1 = 04𝑥2 − 4𝑥 + 1 = 0a = 4; b = -4; c = 1. Aplicando la fórmula:

𝑥1,2 =−𝑏± 𝑏2−4𝑎𝑐

2𝑎→

𝑥1 =1

2

𝑥2 =1

2

Sustituyendo en (1) tenemos:

𝑦 = 𝑥 + 4 → 𝑦 =1

2+ 4 → 𝑦 =

9

2.

Luego tenemos el punto de intersección de ambas gráficas,

es decir:

𝑃01

2;9

2→ 𝑃0 0,5; 4,5

2) los cortes con los ejes coordenados:

2.1) Con el eje x, hacemos y = 0, De la recta y=x+4, se tiene

el punto 𝑃1(−4,0)De la ecuación general de la circunferencia, tenemos:

2𝑥2 + 2(0)2−12𝑥 − 8(0) + 1 = 0 → 2𝑥2 − 12𝑥 + 1 = 0

Aplicando la fórmula: 𝑥1,2 =−𝑏± 𝑏2−4𝑎𝑐

2𝑎.

Donde a=2;b=-12 y c=1

ANTERIOR SIGUIENTE

𝑥1,2 =−𝑏± 𝑏2−4𝑎𝑐

2𝑎→ 𝑥1,2 =

−(−12)± (−12)2−4(2)(1)

2(2)

𝑥1,2 =12 ± 2 34

4

Obtenemos las ordenadas: 𝑥1 =

6+ 34

2

𝑥2 =6− 34

2

Luego los puntos de cortes son: 𝑃2(

6+ 34

2, 0)

𝑃3(6− 34

2, 0)

→ 𝑃2(5,915; 0)𝑃3(0,085; 0)

2.2) Con el eje y, hacemos x = 0, De la recta y=x+4, se tiene el

punto 𝑃4(0,4)De la ecuación general de la circunferencia, tenemos:

2(0)2+2𝑦2 − 12 0 − 8𝑦 + 1 = 0 → 2𝑦2 − 8𝑦 + 1 = 0

Aplicando la fórmula: 𝑦5,6 =−𝑏± 𝑏2−4𝑎𝑐

2𝑎. Donde a=2;b=-8;c=1

𝑦5,6 =−𝑏± 𝑏2−4𝑎𝑐

2𝑎→ 𝑦5,6 =

−(−8)± (−8)2−4(2)(1)

2(2)

𝑦5,6 =8 ± 2 14

4

Obtenemos las ordenadas: 𝑦5 =

4+ 14

2

𝑦6 =4− 14

2

Luego los puntos de cortes son: 𝑃5(0; 3,871)𝑃6(0; 0,129)

ANTERIOR SIGUIENTE

La gráfica que representa el problema es la siguiente:

ANTERIOR IR A MENÚ

Hallar la gráfica y la ecuación general de una

circunferencia, cuyo diámetro es el segmento que une los

puntos A (-1, -2) y B (3, 4).

SIGUIENTEIR A MENÚ

Solución: Los datos son los siguientes. Los extremos son: A(-1,-2)

y B(3,4). Tenemos los siguientes puntos:

El punto medio de los extremos es el centro de la circunferencia

La distancia entre los puntos del extremo nos da el diámetro,

por lo que el radio es la mitad del diámetro. [La otra variante es

hallar la distancia del centro de la circunferencia a cualquiera de

los puntos A y B, el cual es el radio]

La ecuación canónica es 𝑥 − ℎ 2 + 𝑦 − 𝑘 2 = 𝑟2 y al

desarrollarla tenemos la ecuación general de la circunferencia.

Caso (a):

𝐶 ℎ, 𝑘 = 𝑀𝑥2+𝑥1

2;𝑦2+𝑦1

2→ 𝐶 ℎ, 𝑘 = 𝑀

3+(−1)

2;4+(−2)

2

𝐶 ℎ, 𝑘 = 𝐶 1,1 → ℎ = 1 𝑦 𝑘 = 1Caso (b) Primera parte:

Diametro: D, r: radio, 𝐷 𝐴;𝐵 = (𝑥2 − 𝑥1)2+(𝑦2 − 𝑦1)

2 y 𝑟 =𝐷

2

𝐷 𝐴; 𝐵 = (𝑥2 − 𝑥1)2+(𝑦2 − 𝑦1)

2→ 𝐷 𝐴;𝐵 =

(3 + 1)2+(4 + 2)2

𝐷 𝐴; 𝐵 = (4)2+(6)2→ 𝐷 𝐴;𝐵 = 2 13 ∴ 𝐷 = 2 13

Luego el radio es: 𝑟 =𝐷

2→ 𝑟 =

2 13

2→ 𝑟 = 13; 𝑟2 = 13

Caso (b) Segunda parte, si se fuera adoptado este camino, como

tenemos el centro de la circunferencia C(1,1) y A(-1,-2) [ó C(1,1)

y B(3,4)]

𝐷 𝐶, 𝐴 = (𝑥2 − 𝑥1)2+(𝑦2 − 𝑦1)

2 ó [𝐷 𝐶, 𝐵 =

(𝑥2 − 𝑥1)2+(𝑦2 − 𝑦1)

2]

𝐷 𝐶, 𝐴 = (𝑥2 − 𝑥1)2+(𝑦2 − 𝑦1)

2

𝐷 𝐶, 𝐴 = (−1 − 1)2+(−2 − 1)2

𝐷 𝐶, 𝐴 = 4 + 9 → 𝐷 𝐶, 𝐴 = 13 𝑟 = 13 ; 𝑟2 = 13

Caso (c): tenemos Centro C(1,1) y r= 13, sustituyendo en la

ecuación canónica tenemos:

𝑥 − ℎ 2 + 𝑦 − 𝑘 2 = 𝑟2

𝑥 − 1 2 + 𝑦 − 1 2 = 132

𝑥 − 1 2 + 𝑦 − 1 2 = 13

𝑥2 − 2𝑥 + 1 − 𝑦2 − 2𝑦 + 1 − 13 = 0

𝑥2 + 𝑦2 − 2𝑥 − 2𝑦 + 2 − 13 = 0

𝑥2 + 𝑦2 − 2𝑥 − 2𝑦 − 11 = 0

La ecuación general es: 𝑥2 + 𝑦2 − 2𝑥 − 2𝑦 − 11 = 0:

ANTERIOR SIGUIENTE

La gráfica es la siguiente

ANTERIOR IR A MENÚ

Hallar la gráfica y la ecuación ordinaria o canónica de la

circunferencia que pasa por los puntos P(3,8), Q(9,6) y

R(3,-2).

Solución: Como dichos puntos pertenecen a lugar geométrico de

la circunferencia cuya ecuación general es:

𝑥2 + 𝑦2 + 𝐴𝑥 + 𝐵𝑦 + 𝐶 = 0 (∗)

Para el punto P(3,8) tenemos la ecuación siguiente:

𝑥2 + 𝑦2 + 𝐴𝑥 + 𝐵𝑦 + 𝐶 = 0 → 3 2 + 8 2 + 3𝐴 + 8𝐵 + 𝐶 = 0

9 + 64 + 3𝐴 + 8𝐵 + 𝐶 = 0 → 3𝐴 + 8𝐵 + 𝐶 = −73

3𝐴 + 8𝐵 + 𝐶 = −73 (1)

Para el Punto Q(9,6) tenemos la ecuación siguiente:

𝑥2 + 𝑦2 + 𝐴𝑥 + 𝐵𝑦 + 𝐶 = 0 → 9 2 + 6 2 + 9𝐴 + 6𝐵 + 𝐶 = 0

9𝐴 + 6𝐵 + 𝐶 = −117 (2)

Para el punto R(3,-2) tenemos la ecuación siguiente:

𝑥2 + 𝑦2 + 𝐴𝑥 + 𝐵𝑦 + 𝐶 = 0 → 3 2 + −2 2 + 3𝐴 − 2𝐵 + 𝐶 = 0

3𝐴 − 2𝐵 + 𝐶 = −13 (3)

Se forma el siguiente sistema de ecuaciones, es decir:

M=

3𝐴 + 8𝐵 + 𝐶 = −73 (1)9𝐴 + 6𝐵 + 𝐶 = −117 (2)3𝐴 − 2𝐵 + 𝐶 = −13 (3)

Det D =3 8 19 6 13 −2 1

𝐷𝑒𝑡 𝐷 = 18 + 104 − 18 − 78 + 72 − 6

𝐷𝑒𝑡 𝐷 = 104 − 144 → 𝐷𝑒𝑡 𝐷 = −40

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ANTERIOR SIGUIENTE

Como 𝐴 =𝑀𝐴

𝐷𝑒𝑡 𝐷→ 𝑥 =

−73 8 1−117 6 1−13 −2 1

−40→ 𝐴 = −6

𝐵 =𝑀𝐵

𝐷𝑒𝑡 𝐷→ 𝑥 =

3 −73 19 −117 113 −173 1

−40→ 𝐵 = 4

𝐶 =𝑀𝐶

𝐷𝑒𝑡 𝐷→ 𝑥 =

3 8 −739 6 −11713 −2 −173

−40→ 𝐶 = −87

Sustituyendo estos valores en (*) tenemos:

𝑥2 + 𝑦2 + 𝐴𝑥 + 𝐵𝑦 + 𝐶 = 0

𝑥2 + 𝑦2 − 6𝑥 + 4𝑦 − 87 = 0

𝑥2 − 6𝑥 + 𝑦2 + 4𝑦 = 87

𝑥2 − 6𝑥 + 9 + 𝑦2 + 4𝑦 + 4 = 87 + 9 + 4

𝑥 − 3 2 + 𝑦 + 2 2 = 100

Donde: Centro C(h,k) es C(3,-2) y Radio es r =10

Solución: 𝑥 − 3 2 + 𝑦 + 2 2 = 100

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Hallar la gráfica y la ecuación general de una

circunferencia, que pasa por el vértice y los puntos

extremos del lado recto de la parábola x2-4y=0.

Solución: Parábola: x2-4y=0, Vértice: V(h,k), Lado Recto: L(x1,y1) y

R(x2,y2) son también puntos de la circunferencia. De la parábola

tenemos: 𝑥2 − 4𝑦 = 0 → 𝑥2 = 4𝑦, esta parábola tiene por eje de

simetría el eje y, es decir, que es una parábola vertical y como el

signo del coeficiente de y es positivo, esta abre hacia arriba,

luego la parábola tiene la forma siguiente: 𝑥2 = 4𝑝𝑦

Donde el vértice es V(0,0), 4𝑝 = 4 → 𝑝 = 1, el foco tiene por

coordenadas 𝐹 0, 𝑝 → 𝐹(0,1)

El segmento que corta a la parábola y pasa por el foco se llama

lado recto, luego los puntos extremos del lado recto son L(-x,1) y

R(x,1) F(0,1) y la distancia de el punto L y R es: 𝐿𝑅 = 4𝑝 → 𝐿𝑅 = 4

Hacemos la representación gráfica del problema, es decir, el

dibujo o esquema de la situación del problema:

SIGUIENTEIR A MENÚ

Se observa que desde el centro de la circunferencia y el vértice

de la parábola se tiene que r = x+1 (1). Del triángulo por la

relación Pitagórica se tiene:

𝑟2 = 𝑥2 +𝐿𝑅

2

2(2)

LR es el lado recto y vale 𝐿𝑅 = 4𝑝 → 𝐿𝑅 = 4 1 → 𝐿𝑅 = 4, por

lo tanto el valor de𝐿𝑅

2= 2. Sustituyendo este valor en (2) y su

resultado lo sustituimos en (1) tenemos:

𝑟2 = 𝑥2 +𝐿𝑅

2

2

𝑟2 = 𝑥2 + 22 → 𝑟2 = 𝑥2 + 4 (3)

𝑟 = 𝑥 + 1 → 𝑟2 = 𝑥 + 1 2, entonces 𝑟 =5

2

𝑥2 + 4 = 𝑥2 + 2𝑥 + 1 → 𝑥 =3

2

Luego tenemos C(0,5/2) y r = 5/2

La fórmula de la circunferencia es: 𝑥 − ℎ 2 + 𝑦 − 𝑘 2 = 𝑟2

Donde h=0, k=r y r=5/2

Entonces se tiene:

𝑥 − ℎ 2 + 𝑦 − 𝑘 2 = 𝑟2

𝑥 − 0 2 + 𝑦 −5

2

2= (

5

2)2

𝑥2 + 𝑦2 − 5𝑦 +25

4=

25

4

𝑥2 + 𝑦2 − 5𝑦 = 0

Solución: 𝑥2 + 𝑦2 − 5𝑦 = 0

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