Aplicación de vectores (Billar)

8/10/2019 Aplicacin de vectores (Billar)

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Universidad Nacional utnoma de Mxico

Facultad de Estudios Superiores Aragn

Ingeniera Industrial

Geometra analtica

e tores

Por Luis Prez Pineda

El juego de billar ortogonal

ndice

Teora


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1. Vectores

1.1 Definicin de vectores1.2 Elementos de un vector1.3 Tipos de vectores

1.4 Vectores equivalentes1.5 Vectores nulos1.6 Vectores unitarios1.7 Mdulo de un vector1.8 Vector libre1.9 Proyeccin de un vector1.10 Suma y resta de vectores1.11 Multiplicacin de vectores1.12 Propiedades de la adicin de vectores

1.12.1 Origen1.12.2 Modulo1.12.3 Direccin1.12.4 Sentido

1.13 Producto escalar de vectores

Prctica

2. El juego de bi l lar ortogonal

2.1 Jugada a una sola banda2.2 Jugada a dos bandas

2.3 Jugada a cuatro bandas

3. Cuad rados y races c uad radas

3.1 Cuadrados3.2 Races cuadradas3.3 La espiral ortogonal de potencias3.4 Raz cbica3.5 Raz cuarta3.6 Resolucin de la ecuacin de segundo grado

3.7 Resolucin de la ecuacin completa de tercer grado

VECTORES

El estudio de los vectores es uno de tantos conocimientos de las matemticas queprovienen de la fsica. En esta ciencia se distingue entre magnitudes escalares ymagnitudes vectoriales. Se llaman magnitudes escalares aquellas en que slo influye sutamao. Por el contrario, se consideran magnitudes vectoriales aquellas en las que, dealguna manera, influyen la direccin y el sentido en que se aplican.

Como ejemplos de magnitudes escalares se pueden citar la masa de un cuerpo, latemperatura, el volumen, etc.

Cuando se plantea un movimiento no basta con decir cunto se ha desplazado elmvil, sino que es preciso decir tambin en qu direccin y sentido ha tenido lugar el


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movimiento. No son los mismos los efectos de un movimiento de 100 km a partir de unpunto si se hace hacia el norte o si se hace en direccin sudoeste, ya que se llegara adistinto lugar.

Aunque el estudio matemtico de los vectores tard mucho en hacerse formalmente,en la actualidad tiene un gran inters, sobre todo a partir de los estudios de David Hilbert(1862-1943) y Stefan Banach (1892-1945), que hicieron uso de la teora de espaciosvectoriales, aplicndolos a las tcnicas del anlisis matemtico.

Por lo tanto el resultado de nuestra investigacin est enmarcada en los conceptos,grficas y ejercicio que a continuacin sern expuestos.

Definicin de Vectores.

En matemticas, cantidad que tiene magnitud, direccin y sentido al mismo tiempo.Por ejemplo, si una cantidad ordinaria, o escalar, puede ser una distancia de 6 km, una

cantidad vectorial sera decir 6 km norte. Los vectores se representan normalmente comosegmentos rectilneos orientados, como Ben el diagrama que se muestra a continuacin; elpunto O es el origen o punto de aplicacin del vector y B su extremo. La longitud delsegmento es la medida o mdulo de la cantidad vectorial, y su direccin es la misma que ladel vector.

= 1 + 2

El uso sencillo de los vectores as como los clculos utilizando vectores quedanilustrados en este diagrama, que muestra el movimiento de una barca para atravesar unacorriente de agua. El vector a, uA,indica el movimiento de la barca durante un determinadoperiodo de tiempo si estuviera navegando en aguas tranquilas; el vector b, o $,representa laderiva o empuje de la corriente durante el mismo periodo de tiempo. El recorrido real de labarca, bajo la influencia de su propia propulsin y de la corriente, se representa con elvector c, u B. Utilizando vectores, se puede resolver grficamente cualquier problemarelacionado con el movimiento de un objeto bajo la influencia de varias fuerzas.

Este mtodo de resolucin de problemas, conocido como adicin vectorial, se lleva acabo segn se explica a continuacin. Un vector que representa una fuerza se dibujaempezando por el origen O en la direccin y con el sentido apropiados. La longitud delvector es proporcional a su valor real segn una escala determinada, que puede ser uncierto nmero de centmetros por cada kilmetro. En el dibujo anterior, la velocidad al remares de 2,2 km/h, el tiempo transcurrido es 1 hora y la escala es 1 cm por cada km. Por tanto,el vector Amide 2,2 cm y representa 2,2 km. La velocidad de la corriente del ro es de 6km/h, y se representa con el vector $ que mide 6 cm, lo que indica que la corriente recorreuna distancia de 6 km en una hora. Este segundo vector se dibuja con su origen en el

extremo del vector a y en direccin paralela al movimiento de la corriente. El punto B,extremo del segundo vector, es la posicin real de la barca despus de una hora de viaje, yla distancia recorrida es la longitud del vector c, u B(en este caso, unos 6,4 km).

Los problemas de adicin y sustraccin de vectores, como el anterior, se puedenresolver fcilmente utilizando mtodos grficos, aunque tambin se pueden calcular


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utilizando la trigonometra. Este tipo de clculos es de gran utilidad para resolver problemasde navegacin y movimiento en general; tambin se utilizan en la mecnica y otras ramasde la fsica. En las matemticas de nuestros das, un vector es considerado como unconjunto ordenado de cantidades con determinadas reglas para su utilizacin.

Elementos de un vector.

El vector est comprendido por los siguientes elementos:

o La Direccin: est determinada por la recta de soporte y puede ser vertical,horizontal e inclinada u oblicua.

o La orientacin: o sentido, est determinada por la flecha y puede ser horizontalhacia la derecha o hacia la izquierda, vertical hacia arriba o hacia abajo einclinada ascendente o descendente hacia la derecha o hacia la izquierda.

o El punto de aplicacin: est determinado por el punto origen del segmento queforma el vector.

o La longitud o mdulo: es el nmero positivo que representa la longitud delvector.

Tipos de vectores.

o Libres: Se trasladan paralelamente.o Deslizantes: Mantienen sus propiedades mientras se deslicen en la misma lnea

de accin.o Localizado: Representan una cantidad vectorial con sus propiedades.

Vectores equivalentes.

Dos vectores son equivalentes (a este nivel los consideramos iguales) si tienen el

mismo mdulo,direccin y sentido. Se suelen representar , ,..., o con negrita, u, v...

Se dice que un vector fijo tiene la misma direccinque otro si los segmentos que los

definen pertenecen a rectas paralelas.

Vectores nulos.

En matemticas, un vector nulo o vector cero se refiere a un vector que poseemdulo (longitud) cero.

Por ejemplo, en el plano cartesiano, el vector nulo es el vector (0,0), es decir, queinicia y termina en el origen. Su representacin grfica es un punto.

En general en un espacio vectorial arbitrario V, el vector unulo es el vector nulo si u+

v= v+ v+ upara cualquier vector v.

Fijando una base, se tiene que el vector nulo siempre tiene las coordenadas (0,0, ...,0).
http://www.monografias.com/trabajos15/direccion/direccion.shtmlhttp://www.monografias.com/Matematicas/index.shtmlhttp://www.monografias.com/Matematicas/index.shtmlhttp://www.monografias.com/trabajos15/direccion/direccion.shtml


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El vector cero es un caso especial de tensor cero. Es el resultado del productoescalar por el nmero 0.

Vectores unitarios.

Enlgebra lineal,un vector unitario es un vector de mdulo uno. Frecuentemente selo llama tambin versor o vector normalizado.

Modulo de un vector.

El mdulo de un vector es la longitud del segmento orientado que lo define.

El mdulo de un vector es un nmero siempre positivo y solamente el vector nulo

tiene mdulo cero.

Vector libre.

Es todo vector del plano que tiene mismas caractersticas: mismos mdulo, direcciny sentido.

Un vector libre es, pues, el conjunto de los vectores del plano que tienen mismomdulo, misma direccin y mismo sentido. Se llama vector libre a cada una de las clases desegmentos orientados equipolentes. Por tanto, cada vector libre est definido por unmdulo, una direccin, y un sentido. Un vector libre queda caracterizado por su mdulo,

direccin y sentido. El vector libre es independiente del lugar en el que se encuentra.

Proyeccin de un vector.

La proyeccin se expresa por la forma: , y viene dada por:

El vector proyeccin de: sobre se calcula por:

Proyeccin de un vector sobre una recta.

La proyeccin de un vector A sobre una recta r es otro vector cuya direccin coincidecon la de la recta, cuyo punto de aplicacin es el mismo de A, y cuyo extremo se obtienetrazando desde el extremo de A una perpendicular sobre la recta. Designaremos a laproyeccin de A sobre r por A sobre r
http://www.monografias.com/trabajos12/elproduc/elproduc.shtmlhttp://www.monografias.com/trabajos13/nocla/nocla.shtmlhttp://www.monografias.com/trabajos13/nocla/nocla.shtmlhttp://www.monografias.com/trabajos12/elproduc/elproduc.shtml


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El modulo de la proyeccin de un vector sobre una recta es fcil de determinar enfuncin del modulo del vector y del ngulo formado por el vector y la recta.

Suma y resta de vectores.

Una forma grfica sencilla para sumar vectores es usando el mtodo delparalelogramo, que consiste en trazar las paralelas a los vectores hasta formar y la sumacorrespondera a la diagonal que va del origen hasta el vrtice ms lejano.

Lo mismo es aplicable a la resta de vectores.

El mtodo del paralelogramo se puede deducir otra forma grfica de sumar y restarvectores que queda clara con el siguiente dibujo.El mtodo consiste en desplazar el vector B al final del vector A y unir el origen con el finaldel vector B (el mtodo es similar para la resta de vectores [A - B], slo debe cambiarse elsentido del vector B a -B y sumar este ltimo al vector A:

Multiplicacin de vectores.

Un vector encierra ms informacin que un nmero, nos da (en el caso de unadimensin) la magnitud, que es un nmero, y el sentido, si apunta hacia la izquierda o laderecha en el eje x.
http://www.monografias.com/trabajos7/mafu/mafu.shtmlhttp://www.monografias.com/trabajos11/metods/metods.shtmlhttp://www.monografias.com/trabajos7/sisinf/sisinf.shtmlhttp://www.monografias.com/trabajos7/sisinf/sisinf.shtmlhttp://www.monografias.com/trabajos11/metods/metods.shtmlhttp://www.monografias.com/trabajos7/mafu/mafu.shtml


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Cul es el significado que asociamos a (3,7 )?

Si el nmero es positivo, como es el caso de 3,7, lo que hace es multiplicar el largodel vector (su magnitud, que es un nmero) por 3,7,o el nmero que instalemos delante delvector. El resultado es que la nueva magnitud del vector es el producto de la antigua por el

nmero dado. Si el nmero es negativo, la operacin es idntica, salvo que el vector cambiasu sentido.

Propiedades de la adicin de vectores.

Un vector es todo segmento de recta dirigido en el espacio. Cada vector posee unascaractersticas que son:

Origen

O tambin denominado Punto de aplicacin. Es el punto exacto sobre el que acta el

vector.

Mdulo

Es la longitud o tamao del vector. Para hallarla es preciso conocer el origen y elextremo del vector, pues para saber cul es el mdulo del vector, debemos medir desde suorigen hasta su extremo.

Direccin

Viene dada por la orientacin en el espacio de la recta que lo contiene. Sentido

Se indica mediante una punta de flecha situada en el extremo del vector, indicandohacia qu lado de la lnea deaccin se dirige el vector.

Hay que tener muy en cuenta el sistema de referencia de los vectores, que estarformado por un origen y tres ejes perpendiculares. Este sistema de referencia permite fijar laposicin de un punto cualquiera con exactitud.

El sistema de referencia que usaremos, como norma general, es el Sistema deCoordenadas Cartesianas.

Producto escalar de vectores.

El producto escalar de vectores se puede definir de dos maneras equivalentes, unamanera algebraica, y otra geomtrica. Comenzaremos con la manera geomtrica, que tieneun significado intuitivo.

Tomemos dos vectores y , y llamemos al ngulo que ellos forman. Entonces, el

producto escalar entre dichos vectores es:
http://www.monografias.com/trabajos35/categoria-accion/categoria-accion.shtmlhttp://www.monografias.com/trabajos11/teosis/teosis.shtmlhttp://www.monografias.com/trabajos11/teosis/teosis.shtmlhttp://www.monografias.com/trabajos35/categoria-accion/categoria-accion.shtml


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En qu y corresponden a las longitudes de los vectores y , respectivamente.Naturalmente, debe cumplirse que

Si usamos la representacin cartesiana, se tiene que:

Es decir, se satisface el teorema de Pitgoras, conocido de nuestros estudios degeometra elemental. Indudablemente, la definicin del producto escalar de vectores puedeusarse para definir el ngulo entre dos vectores,

De acuerdo a la definicin dada, es fcil ver que el producto escalar de dos vectorespuede tambin definirse usando las componentes cartesianas de los vectores,

EL JUEGO DE BILLAR ORTOGONAL

Este juego es una ingeniosa hiptesis original de Humiaki Huzita inspirada en el billarconvencional. H.H es un matemtico japons emigrado a Italia para estudiar fsica nuclearen la Universidad de Pisa. Tiene en comn con mi amigo el californiano Robert Lang elhaberse desbordado desde la Fsica a la Papiroflexia.

H.H, formul los 6 Axiomas de la matemtica papiroflctica; el aadido Postulado n 7 sedebe a Koshiro Hatori, Jacques Justin y Robert Lang. El juego de billar ortogonal se funda

en el Axioma n 6 que se enuncia as:

Dados en el plano del papel dos puntos P1 y P2 y dos rectas l1 y l2 se puede ejecutaruna lnea de plegado de forma que lleve, sim ul tneam ente, el punto P1 sobre l1 y el

P2 sobre l2.

La hiptesis consiste en que, contra lo que ocurre en el billar convencional (Fig. 1; ngulode incidencia, igual a ngulo de reflexin), en el billar ortogonal la reflexin de la bola alincidir sobre la banda se produce segn un ngulo recto con la direccin incidente (Fig. 2).
http://www.monografias.com/trabajos28/geometria/geometria.shtmlhttp://www.monografias.com/trabajos28/geometria/geometria.shtml


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La hiptesis de H.H resulta muy til para resolver problemas de una gran variedad, tantogeomtricos como algebraicos. Entre los primeros cabe citar la triseccin de un ngulo o eldibujo de un heptgono regular convexo. Aqu, sin embargo me voy a fijar en algunasaplicaciones algebraicas. Veamos primero cmo se comportan las bolas del billar en cadauna de las dos siguientes condiciones.

Jugada a una sola banda

En el billar convencional (Fig.3),cuando atacamos la bola Blancacontra la banda para que rebote en laRoja, siempre hay una solucin paraacertar en el golpe. Los datos de quepartimos son: BZ; RZ; .

La incgnita es el ngulo con elque la bola Blanca ha de incidirsobre la banda.

Al ser ZV comn en los ZVB yZVR, se tiene:

ZV

=

sen(+ )

Igualando ZV:

desarrollando:

ZB

sen

ZB

;

sen(+ )

sen=ZR

ZV

=

sen[

()]

sen()

sen

ZR

sen()


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(ZR +ZB)sencos= (ZR ZB)cossen

tg=2ZB+BR

tg

BR

Para encontrar el punto V, seguir la Fig. 3.1 (Res el simtrico de R).

En cambio, en el billar ortogonal, puede haber una, dos o ninguna solucin, segn que elarco capaz de 90 sobre BR sea tangente a la banda, sea secante, o no llegue a ella. En laFig.4 se ve el caso de dos soluciones.

Jugada a dos bandas

En este caso nos vamos a fijar slo en el billar ortogonal (Fig.5).


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Teniendo las bolas B, R se trata de encontrar la trayectoria de B a R despus degolpear las dos bandas.

La solucin se obtiene (Fig.6):

* Trazando X e Y paralelas a las bandas por C y U, los simtricos de B y R respectode dichas bandas.

* Plegando simultneamente B sobre X (produce A) y R sobre Y (produce T). Setrata de una doble simultaneidad (dos puntos sobre dos rectas).

* La lnea (discontinua) de plegado en valle DS determina el tramo medio del trayecto de Ba R.

* Como esa lnea de plegado es eje de simetra y la banda por D es paralela media delABC, el ngulo recto en D se asienta en esa banda horizontal. Otro tanto puede decirsedelRTU y la paralela por S a TU.

Jugada a cuatro bandas(billar ortogonal)

Jugar a cuatro bandas con el billar ortogonal equivale a inscribir otro rectngulo en elrectngulo de las bandas. La simulacin consistira en poner una bola en cualquier puntode la mesa e impulsarla con el taco para que, en su camino ortogonalizado chocara conotra bola situada en el mismo lugar que ocupaba la impulsada.

Es decir, se trata de inscribir en el rectngulo de las bandas, otro que pase por un puntocualquiera del interior de la superficie verde.

Mariano Nieto reduce esta situacin a la de las figuras 5 y 6 porque el rectngulo inscritoha de ser concntrico con el exterior de las bandas y por tanto dicho rectngulo inscrito hade contener tambin al punto simtrico del punto dado, respecto de ese centro comn. LaFig. 6.2 resuelve el problema como si se tratara de la Fig. 6, pero recordando que aquellaFig. 6 lo nico que hace es dar fe de lo que se obtuvo con el tanteo plegatorio, pero noproduce la solucin. sta la da CAPRI como veremos a continuacin.


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Sea el punto B en la mesa que produce su simtrico R respecto del centro del rectngulode las cuatro bandas.

Obtenemos los simtricos de B respecto de la banda superior y de R respecto de labanda derecha. Por estos puntos simtricos hacemos pasar sendas paralelas a lasbandas correspondientes.

Por B trazamos cuatro ngulos rectos con sus vrtices en la banda superior.

Sucesivamente obtenemos los cuatro puntos simtricos de R respecto de cada ladoemergente de aquellos ngulos rectos.

P.e, el lado emergente del primer ngulo recto es la mediatriz de BR1 siendo R1 elprimero de los cuatro puntos simtricos de R.

Trazamos la curva Spline que une los cuatro puntos simtricos (cuatro pequeoscrculos) y que corta en R a la vertical derecha. La mediatriz de RR (de trazos) es lalnea de plegado buscada.

Comprobacin: Al plegar, B cae sobre B(en la horizontal superior) y R sobre R (en lavertical derecha) formndose el trapecio issceles BBRR que a m me gusta llamarde J. Justin.

Los plegados restantes para conseguir el rectngulo inscrito, son inmediatos.

CUADRADOS Y RACES CUADRADAS

Cuadrados

Antes de nada hay que decir que estas operaciones utilizan la simulacin del billarortogonal jugando a una sola banda que es cosa ms sencilla, como se ver, pero que nose ha analizado antes. Aqu se maneja una simultaneidad sencilla, es decir, un puntosobre una lnea, y un punto doble para determinar la simetra plana.

Conviene advertir que para este tipo de plegados es recomendable utilizar papeltransparente o, mejor an, aprovechar la transparencia de un cristal de ventana sobre el

que asentar el papel.

Tratemos de hallar el cuadrado de a (Fig. 7).


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* Partir de los puntos C(-1,0) y A(0,a).

* Plegar: C Y (resulta T) y, simultneamente, A A (A ser punto doble en lasimetra plana,es decir, resultar ser un punto del eje de simetra -la lnea de plegado-).

* La lnea de plegado (en valle) produce el punto B cuya abscisa es el

cuadrado de a. Justificacin:

ElABC es rectngulo y en l, su altura AO es media proporcional entre OC y OB.

OA2

= 1 xa2

Obsrvese que en este caso, el cuadrado (a2) es menor que el nmero (a) por ser stemenor que 1.

Races cuadradas

Si en la Fig 7 hubiramos querido hallar la raz cuadrada de a 2, el proceso habra sido elinverso:

* Partir de los puntos C(-1, 0) y B(a2, 0).

* Plegar: C Y (resulta T) y, simultneamente B B (B ser punto doble en la simetraplana).

* As obtendremos A(0,a) sobre el eje Y por interseccin de este eje con la lnea de

plegado. La misma justificacin de antes da que a = a2.

La espiral ortogonal de potencias

En la Fig. 7 se expresa la relacin numrica y geomtrica de la unidad, una cantidad a ysu cuadrado. Si quisiramos hallar las potencias sucesivas de a slo tendramos queiterar el proceso iniciado, bien mediante plegados sucesivos Fig. 8, o con el instrumentalde dibujo (Fig. 9).


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En la Fig. 8 se ha aadido a la Fig. 7 el siguiente proceso:

* Obtener X paralela a X por A que es el punto simtrico de A respecto a X.

* Plegar : A X y simultneamente, B B.

* La nueva lnea de plegado BD produce OD

= a3. Justificacin:

ElABD es rectngulo y en l se cumple:

OB2 = AO x OD ; (a2)2 = a4 = a x OD ; OD = a3

Observaciones a la fig. 8

* En ella aparecen coordenadas negativas cuando son exigidas por el plano cartesiano.En la prctica han de tomarse simplemente los valores absolutos.

* Las lneas discontinuas de plegado en valle (gruesas) se limitan a lo puramentegeomtrico de la figura aunque al plegar, las correspondientes cicatrices han deextenderse a lo largo de toda la superficie del papel.

*Slo se muestran como cicatrices las lneas de plegado ms relevantes, aunque lamayora de las otras lneas tambin se pueden obtener plegando (las lneas Xo Y, porejemplo).

*Aunque aparecen las dos lneas simtricas X e Y, est claro que no se correspondencon un plegado de doble simultaneidad como el de la Fig. 6. Son en realidad dosplegados de simultaneidad sencilla, sucesivos.

* Se puede apreciar cmo se van adosando sucesivamente, uno junto a otro, lostringulos rectngu- los clave que producen las consiguientes potencias de a. Para cadauno de ellos puede aplicarse la misma justificacin antes empleada. El conjunto semuestra en la Fig. 9.


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* Dicha Fig. 8 tambin muestra cmo se inicia el trazado de la espiral ortogonal depotencias determinado por las dos primeras cicatrices de plegado en lnea discontinua.En la Fig. 9 toda la espiral est hecha con las cicatrices de los plegados.

La Fig. 10 es otra expresin de la espiral ortogonal de potencias en la que a > 1. Ello dalugar a una espiral que se abre, contrariamente a lo que ocurre en la Fig. 9 cuando a < 1;ah las potencias de a son decrecientes y por tanto, la espiral se cierra. En la Fig. 10 se

han resaltado todos los tramos de la espiral para recordar que a0 = 1.

En ambas figuras, 9 y 10, se ve que las sucesivas potencias de a se asientan sobre losejes de coordenadas, las pares en abscisas y las impares en ordenadas.

Raz cbica

En la Fig. 11 se muestra cmo extraer la raz cbica de b = 8 siguiendo este proceso:

* Llevar la unidad al punto A; el punto B representa al radicando b = 8.

* Trazar X paralela al eje de abscisas y distante de ste tanto como B.

* Trazar Y paralela al eje de ordenadas, distando de ste la unidad.

* Llevar simultneamenteA sobre Y y B sobre X ; la lnea de plegado es CD.

* As resulta que OC = 2 es la raz cbica buscada para

b = 8. Justificacin:

Mirando los tringulos ACD y BCD, se tiene:

OC2 = 1 x OD ; OD2 = OC x OB ; OC4 =

OC x OB OC3 = OB ; OC = 3 OB


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Raz cuarta

Supongamos, Fig. 12, disponible la espiral ortogonal 1, a, a2, a3, a4, a5 y quedeseamos hallar la raz cuarta de a4. El proceso de plegado sera el siguiente:

* Obtener A simtrico de a4 respecto del eje Y.

* Obtener Y paralela a Y de forma que disten la unidad entre s.

* Plegar simultneamente 1 sobre Y y A sobre s mismo. Se obtiene la cicatriz de

plegado AB de forma que OB = a2 como se deduce del1BA.

* Plegar el eje Y sobre el X produciendo como lnea de plegado la bisectriz del primercuadrante. As se llevar B sobre C obteniendo OC = a2.

* Obtenido C (a2), seguir lo indicado en la Fig. 7 para conseguir oa = a sobre el eje deordenadas.


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Resolucin de la ecuacin de segundo grado

Vamos, en primer lugar, a dar forma a la ecuacin de segundo grado con races x1 = 1

y x2 = -3. (x1) (x + 3) = 0 ; x2 + 2x3= 0 (1)


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La Fig. 13 muestra el proceso de plegado para obtener sus dos races:

* Fijar los ejes coordenados OX ; OY.

* Dibujar la recta X distante de OX tanto como I (el punto Inicial que dista del origen launidad, puesto que el coeficiente de mayor grado -el segundo grado- es 1).

* Iniciar en I (IO = 1) la serie de vectores coeficiente con los siguientes criterios:

IO = 1: coeficiente de x2.

OA = 2: valor absoluto del coeficiente de x; formando ngulo recto con IO; orientado a laderecha (segn el avance de los vectores) porque del primero al segundo coeficiente nohay cambio de signo.

AF = 3: valor absoluto del trmino independiente; en ngulo recto con OA; con sentido ala izquierda porque al pasar del 2 al tercer trmino hay cambio de signo. As se obtieneel punto final F de los vectores acumulados.

* Producir el plegado que con punto doble en F lleve I sobre la recta X: FF ; I

X . Como se ve, hay dos soluciones:

Justificacin:

OX1 = 1 ; OX2 = - 3

Tanto losIOX1;FAX1 comoIOX2;FAX2 son semejantes. As pues:

IO

OX1

=AX1

;

AF

IO

OX2

=AX2

AF


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Para asignar valores a esos segmentos hay que tener en cuenta:

A la variable independiente x hay que asignarle el signo que le corresponda en el plano

cartesiano.

A los dems segmentos se les asignar el valor absoluto que tienen en la ecuacin (1),ya que su signo se tuvo en cuenta a la hora de girarlo a la derecha o a la izquierda: estossegmentos (los coeficientes de la ecuacin) no tienen dimensin de variable independienteaunque estn superpuestos a ella en el plano cartesiano.

Entonces queda:

1=

x1 + 2 ;

x1

3

1

=

x2

x2

2

3

que en ambos casos conduce al mismo resultado si se generaliza x1; x2 a x.

Veamos otro ejemplo para dejar bien asentada la sistemtica de

signos. Sea la ecuacin de segundo grado con races x1 = -1; x2

= -3

(x+1) (x+3) = 0 ; x2 + 4x +3 = 0 (2)

* Valores absolutos:

IO = 1: coeficiente de

x2. OA = 4: coeficiente

de x.

AF = 3: trmino independiente.

* Secuencia de vectores: IOAF [girando siempre a la derecha porque en (2) no haycambios de signo].

* Plegado: I X; FF.

* Las races resultan ser: Ox1 = -1; Ox2 = -3

IOx1 FAx1 ; IOx2 Ax2F luego:

I

O

Ox1


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=Ax1 ;

AF

IO

Ox2

=Ax

2

AF


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2

1

=

x1

4 (x1 ) ;

3

1

=

x2

4 (x2)

3

Generalizando para ambos casos: x2 + 4x + 3 = 0

Resolucin de la ecuacin completa de tercer grado

Antes de nada, vamos a fijarnos en la Fig. 6 para mostrar cmo en su configuracinsubyace la ecuacin de tercer grado. Esa figura se completa ahora con la siguiente Fig. 15de la que se deducen los valores de t que se muestran a su derecha (tomados valoresabsolutos).

Vamos a obtener una expresin en t dependiente slo de las coordenadas de las bolas (0,0); (l, m), del ngulo de ataque (cuya tangente es t), y de la relacin mesa-bolas (a, b):

bt + ty = a b

t

;atbbt

= m at +

lt t2

(l a)t 3 + (m + b)t 2 at + b

= 0

Es decir, la orientacin que ha de darse a la bola situada en el origen para que de en labola situada en (l, m) despus de rebotar ortogonalmente sobre ambas bandas, es la razreal nica de la ecuacin de tercer grado que hemos obtenido. Ello se debe a que, para lasdimensiones representadas en el dibujo, la ecuacin tiene su discriminante positivo.


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t = tg

t =b

z

t =azb + y

t =m

y a l


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Es importante insistir en que las dos rectas receptoras en el plegado simultneo de lospuntos Inicio (0, 0) y Fin (l, m) estn situadas respecto de las bandas (donde se produce laincidencia de la bola activa) a la misma distancia a que se encuentran de ellas dichospuntos.

Vamos ya a obtener las tres races de una ecuacin completa de tercer grado. Laexpresin est pen- sada para que su resolucin por plegados quepa dentro del papel.Ser sta:

t3 + t2 2t -1 =0

La secuencia de vectores, segn coeficientes, ser: 1; 1; -2; -1 (Fig. 16).

El primer vector con Inicio en I (y valor 1 como el coeficiente de t3) incide sobre labanda Y de manera que exige la lnea Y para que sobre ella se asiente I en el plegado

final.

El segundo vector (valor 1 como el coeficiente de t2) se produce girando a la derechaal finalizar el primer vector (no ha habido cambio de signo al pasar del primero alsegundo trmino de la ecuacin).

El tercer vector acusa un giro a la izquierda (hay cambio de signo en el paso del segundoal tercer trmino de la ecuacin) y tiene valor 2, como el coeficiente del tercer trmino ent.

Como al pasar del tercero al cuarto trmino de la ecuacin no hay cambio de signo, el

giro es a la derecha para producir el ltimo vector (valor 1, el del trmino independiente)que termina en F, el punto Final.

Este ltimo vector viene rebotado de la banda x y exige, por tanto, la lnea X paraasentar sobre ella F en el plegado ulterior. As pues, habr de hacerse el siguienteplegado simultneo:


25/29

I Y ; F X

Lo que ocurre es que este plegado puede hacerse de tres formas distintas dando lugar a laFig. 17.


26/29

En ella, las lneas de trazo representan los plegados en valle, y los ngulos , y conducen a las soluciones de la ecuacin.

= 51,2721 = - 23,9909 = - 60,9719

t1 = tg = 1,2469 t2 = tg = - 0,4450 t3 = tg = -

1,8019 cualquiera de ellas satisface la ecuacin t3 +t2 -2t -1 = 0

Justificacin de que la Fig. 17 se asocia a la ecuacin de tercer grado propuesta (Fig 18):

En los IBD;EGF que son semejantes, se tiene:


27/29

BD FG

= ;

ID GE

BD 2

=

2 ED1

(1)

En los IBC;CEF, tambin semejantes:

EC

GF

IC

= ;

BD

EDCD=

2

2 + CD

BD(2)

IgualandoBD

2

en (1) y (2):

2

=

ED1

2 +CD

EDCD; CD =

2

ED+1(3)

En el IBC se tiene tambin (al ser t = tg ):

BD =ID tg = 2t ; Ang. BCI = 180 - 2 ; BD = DC tg (180 - )

Luego:

2t = DC tan 2 =2DCtan

tan21

En el EGF, Ang. FEG = , luego:

t =

GF

GE

; t2 1 = DC (4)

; t =2

ED1

(5)

Las expresiones (3), (4), (5) constituyen un sistema paramtrico en t que permite obtener la ecua-cin de tercer grado que buscamos.

t21=

2

ED+1

; ED+1=2

t 2 1

ED1 =2


28/29

t

2 =2

2

; (t 2 1)t = t (t 2 1)


29/29

t21 t

(t 2 1)(t +1) = t ; t 3 t + t 2 1= t

t3 + t

22t 1= 0

Aplicación de vectores (Billar)

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