APLICACIÓN DEL METODO GAUSS nuevo
10
APLICACIONES DEL METODO GAUSS-JORDAN EJERCICIO 1.- Una empresa fabricante de artículos electrónicos produce principalmente tres productos que son: estereos, grabadoras y videograbadoras, la compañía cuenta con tres departamentos y son de producción, ensamble y acabado. Para producir los Productos se establecen en la siguiente tabla: Artículo Producció n Ensambl e Acabad o Horas disponibles Estéreo 0 10 4 280 Grabador a 1 16 4 348 Videograb . 5 10 10 680 ¿Cuál es el número de horas por artículo? SOLUCION Primero vamos a invertir el renglón 1 por el 2
Transcript of APLICACIÓN DEL METODO GAUSS nuevo
APLICACIONES DEL METODO GAUSS-JORDAN
EJERCICIO 1.- Una empresa fabricante de artículos electrónicos produce principalmente tres productos que son: estereos, grabadoras y videograbadoras, la compañía cuenta con tres departamentos y son de producción, ensamble y acabado. Para producir los Productos se establecen en la siguiente tabla:
Artículo Producción Ensamble Acabado Horas disponibles
Estéreo 0 10 4 280
Grabadora 1 16 4 348
Videograb. 5 10 10 680
¿Cuál es el número de horas por artículo?
SOLUCION
Primero vamos a invertir el renglón 1 por el 2
÷ 10 x - 5
El segundo renglón entre 10:
10/10 =14/10 =0.4280/10 =28
El tercer renglón x (- 5 ) 5 - 5 = 016x - 5 = - 80 + 10 = - 704 x - 5 = - 20 + 10 = - 10348 x – 5 = 1,740 – 680 = 1,060
El primer renglón x ( - 16 ) +16 – (-16) = 028 x (- 16) = - 448 + 348 = -1000.4 x (- 16) = - 6.4 + 4 = - 2.4
En el tercer renglón x 70 +70 + 70 = 00.4 x 70 = 28 – 10 = 1828 x 70 = 1960 – 1,060 = 900
El tercer renglón ÷ 18, tenemos:18÷ 18 = 1900 ÷ 18 = 50
-2.4 + 2.4 = 0El primer renglón x 50, tenemos:-2.4 x 50 = - 120 + 100 = 20
0.4 – 0.4 = 0El segundo renglón por – 50, tenemos:0.4 x - 50 = - 20 + 28 = 8
Por último, lograremos tener el RESULTADO:
x = 20y = 8z = 50
EJERCICIO 2.-Antecedentes: todos los campos de la ingeniería enfrentan situaciones en las que la distribución correcta de recursos es un problema critico. Estas situaciones se presentan al organizar inventarios de construcción, distribución de productos y recursos en la ingeniería, Aunque los problemas siguientes tienen que ver con la fabricación de productos, el análisis general tiene importancia en un amplio panorama de otros problemas. Un ingeniero industrial supervisa la producción de cuatro tipos de computadoras. Se requieren cuatro clases de recursos- Horas-hombre, metales, plásticos y componentes electrónicos-.
En este cuadro se resumen las cantidades necesarias para cada uno de estos recursos en la producción de cada tipo de computadoras. Si se dispone diariamente de 504 horas, hombre, 1970 kg de metal, 970 Kg de plástico y 601 componentes electrónicos. ¿Cuántas computadoras de cada tipo se pueden construir por día?
SOLUCION: La cantidad total producida de cada computadora esta restringida al total de recursos disponibles en cada categoría diariamente. Estos recursos disponibles se distribuyen entre los cuatro tipos de computadoras. 3x1 + 4x2 + 7x3 + 20x4 =< 504 Y así sucesivamente con los demás recursos. 20x1 + 25x2 + 40x3 + 50x4 =< 197010x1 + 15x2 + 20x3 + 22x4 =< 97010x1 + 8x2 + 10x3 + 15x4 =< 601
Cada una de estas ecuaciones se debe satisfacer de forma simultánea de otra manera, se acabaría uno o más de los recursos necesarios en la producción de los cuatro tipos de computadoras. Si los recursos disponibles representados por el vector de término independiente de las ecuaciones anteriores, se reducen todos a cero simultáneamente, entonces se puede remplazar el signo menor o igual por el de igual. En este caso la cantidad total de cada tipo de computadora producida se puede calcular resolviendo un sistema de ecuaciones de 4 por 4 usando los métodos de gauss. Aplicando la eliminación Gaussiana se tiene que:
X1=10X2=12X3=18X4=15
Esta información se usa en el cálculo de las ganancias totales. Por ejemplo, suponiendo las ganancias que corresponden a cada computadora están dadas por P1, P2, P3 y P4. La ganancia total asociada con un día de actividad está dada por:
P = p1x1 + p2x2 + p3x3 + p4x4 Se sustituyen los resultados de X’s y se calculan las ganancias usando los coeficientes del siguiente cuadro.
COMPUTADORA GANANCIA1 10002 7003 11004 400
P = 1000(10)+ 700(12)+ 1100(18)+ 400(18) =P = 44 200
De esta forma se pueden obtener una ganancia de $44 200 diarios con los recursos especificados en el problema.
EJERCICIO 3.-
DISTRIBUCION DE RECURSOS:
Todos los campos de la ingeniería enfrentan situaciones en las que la distribución correcta de recursos es un problema crítico. Etas situaciones se presentan al organizar inventarios de construcción de productos y recursos en la ingeniería, aunque los problemas siguientes tienen que ver con la fabricación de productos, el análisis general tiene importancia en un amplio panorama de otros problemas.
Ejemplo:Un ingeniero civil supervisa la producción de cuatro tipos de mezclas de concreto para la elaboración de prefabricados. Se requiere cuatro clases de recursos:
Horas-HombreGravaArenaAgua
Mezcla Mano de obra Grava Arena Agua
1 8 50 25 252 10 63 38 203 18 100 50 254 50 125 55 38
En este cuadro se resumen las cantidades necesarias para cada uno de estos recursos de cada tipo de mezclas. Si se dispone diariamente de 800 Horas-Hombre, 1500 Kg de Grava, 400 Kg de arena y 885 Litros de agua. ¿Cuántas mezclas de cada tipo se pueden realizar por día?
SOLUCION
La cantidad total producida de cada mezcla está restringida al total de recursos disponibles en categoría diariamente. Estos recursos disponibles se distribuyen entre los cuatro tipos de mezcla.
8x1 + 10x2 + 18x3 + 50x4 =<800
Y así sucesivamente con los demás recurso, así:
50x1 + 63 x2 + 100 x3 + 125 x4 =<150025x1 + 38 x2 + 50 x3 + 55 x4 =<40025x1 + 20 x2 + 25 x3 + 38 x4 =<885
Cada una de estas de estas ecuaciones se debe satisfacer de forma similar de otra manera, se acabaría uno o más de los recursos necesarios en la producción de los cuatro tipos de mezclas. Si los recursos disponibles representados por el vector de término independiente de las ecuaciones anteriores se reducen todos a cero simultáneamente, entonces se puede reemplazar el signo menor o igual por el de igual. En este caso la cantidad total de cada tipo de mezcla producida, se puede calcular resolviendo un sistema de ecuaciones de cuatro por cuatro, usando para este caso el Método de Eliminación de Gauss.Aplicando la eliminación Gausiana con los pasos anteriores, se tiene que:
X1 = 3.3816X2 = 36.0128X3 = -26.7261X4 = 13.8778
Esta información se usa en el cálculo de las ganancias totales. Por ejemplo, suponiendo las ganancias que corresponden a cada mezcla, están dadas por p1, p2, p3 y p4. La ganancia total asociada con un día de actividad está dada por:
P = p1x1 + p2x2 + p3x3 + p4x4
Se sustituyen los resultados de x’s y se calculan las ganancias usando los coeficientes del siguiente cuadro:
P = 800(3.3816)+ 1500(36.0128)+ 400(-26.7261)+ 885(13.8778)
P = 58315.893
De esta forma se pueden obtener una ganancia de $ 58315.893 diarios con los recursos específicos en el problema.Las ventajas y desventajas de la eliminación Gausiana, se aplican también al método de Gauss-Jordan y la eliminación de Gauss; pueden parecer casi idénticos, el primero requiere casi un 50% menos operaciones, por lo tanto la eliminación Gaussiana, es el método más simple por excelencia en la obtención de soluciones exactas a las ecuaciones lineales simultaneas. Una de las principales razones para incluir el método Gauss-Jordan, es la de proporcionar un método directo para obtener la raíz inversa.
MEZCLA GANANCIA
1 2705.28
2 54019.2
3 -10690.44
4 12281.853
