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UNIVERSIDAD NACIONAL AGRARIA DE LA SELVA FUNCIONES DERIVABLES. PROPIEDADES. TASA DE VARIACION MEDIA. Dada una función y=f ( x ) se llama TASA DE VARIACIÓN o INCREMENTO de f a la variación que experimenta f cuando la variable independiente pasa de "a" a "a + h". Δf ( a,h )=f ( a+ h )−f ( a ) Por el mismo motivo h recibe el nombre de incremento de x o variación de x. Esta tasa de variación o incremento de una función nos da una primera idea de la rapidez con que crece o decrece la función en un intervalo, aunque no es lo suficientemente precisa. Para tener una idea más exacta necesitaríamos conocer cuanto crece la función por cada unidad que crece la variable x. Este dato más preciso es la tasa de variación media. La TASA DE VARIACIÓN MEDIA (T.V.M.) nos viene dada por el cociente incremental siguiente: T . V . M .= Δf h = f ( a+h )−f ( a ) h y significa la variación relativa de f con relación a x en el intervalo [ a,a +h ] . DERIVADA DE UNA FUNCION EN UN PUNTO. El límite lím h0 Δf ( a,h ) h =lím h0 f ( a+h )−f ( a ) h } 1

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UNIVERSIDAD NACIONAL AGRARIA DE LA SELVAFUNCIONES DERIVABLES. PROPIEDADES.

TASA DE VARIACION MEDIA.

Dada una función y=f ( x ) se llama TASA DE VARIACIÓN o INCREMENTO de f a la variación que experimenta f cuando la variable independiente pasa de "a" a "a + h".

Δf (a ,h )=f (a+h )−f (a )

Por el mismo motivo h recibe el nombre de incremento de x o variación de x.

Esta tasa de variación o incremento de una función nos da una primera idea de la rapidez con que crece o decrece la función en un intervalo, aunque no es lo suficientemente precisa.

Para tener una idea más exacta necesitaríamos conocer cuanto crece la función por cada unidad que crece la variable x. Este dato más preciso es la tasa de variación media.

La TASA DE VARIACIÓN MEDIA (T.V.M.) nos viene dada por el cociente incremental siguiente:

T .V .M .= Δfh=

f (a+h )− f (a )h

y significa la variación relativa de f con relación a x en el intervalo [a , a+h ] .

DERIVADA DE UNA FUNCION EN UN PUNTO.

El límite

límh→0

Δf ( a , h)h

=límh→0

f ( a+h )− f (a )h }

si existe y es finito, recibe el nombre de DERIVADA de la función en el punto "a" y

representa la variación de la función f en el punto x = a. Se representa por f ' (a ).

Si en la definición anterior hacemos a+h=x ⇒ h= x−a : cuando h

tiende a cero, entonces x tiende a a y la derivada de la función en el punto a nos queda de la forma:

f ' (a )=límx→a

f ( x )−f ( a)x−a

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Geométricamente, si vamos acercando el punto P hacia el punto P0 (h tiende a cero), la recta

La ecuación de la recta tangente en el punto P(a , f (a ))nos viene dada por:

y−f (a )=f '(a ) .(x−a )

NOTA: Para calcular la ecuación de la recta tangente utilizamos la ecuación de la

recta en la forma punto-pendiente: y− y1=m .( x−x1)

La normal a una curva en un punto P es la perpendicular a la recta tangente en dicho punto.

Si la pendiente de la tangente es mt= f ' (a ) ,

la pendiente de la normal será

mN=−1

f ' (a) y la ecuación de la normal nos viene dada por:

y−f (a )=− 1

f ' (a )⋅( x−a )

Dada la función definida por

f ( x )=¿ {−x2 , si x<0 ¿ {x2 , si 0≤x≤3 ¿ ¿¿¿Determina los puntos en los que la función f es derivable y en cada uno de ellos calcula su derivada.

Nuestra función f es una función definida a trozos en cada uno de los cuales está definida como una función cuadrática o como función lineal. Tanto una como la otra son funciones continuas y derivables en todo y, por tanto, en el trozo en el que están definidas.

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secante se transforma en tangente a la gráfica de la función. En consecuencia, la derivada de una función en un punto es igual a la pendiente de la recta tangente a la gráfica de la función en el punto de abscisa x = a.

mt= f ' (a )

h

f

ΔfP0 α

P

a+haO

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En consecuencia, la función f es continua y derivable en por serlo las funciones mediante las que está definida.

Estudiemos la continuidad y la derivabilidad de la función f en los puntos x = 0 y x = 3.

En x = 0:

Como en este punto hay un cambio de definición de la función, para estudiar la existencia de límite en él tendremos que calcular los límites laterales de la función:

límx→ 0−

f (x )= límx→0−

(−x2)=0 ¿}¿¿⇒∃ límx→0

f ( x )=0¿

Por otra parte, f (0)=0 y la función sería continua en el punto x = 0.

Estudiemos la derivabilidad: tendremos que calcular las derivadas laterales

f ' (0−)= límx→0−

f ( x )−f (0)x−0

= límx→0−

−x2−0x−0

= límx→ 0−

(−x )=0 ¿}¿¿⇒∃ f ' (0 )=0¿

En x = 3.

Continuidad: operamos de igual manera que en x = 0.

límx→ 3−

f (x )= límx→3−

( x2)=9 ¿}¿¿⇒ límx→3−

f ( x )≠ límx→ 3+

f ( x )⇒ no existe límx→3

f ( x )¿

Por tanto, la función no es continua en x = 3 (presenta en este punto una discontinuidad inevitable de salto finito) y, en consecuencia, será no derivable en él.

La derivada de la función f nos vendría dada por:

f ' ( x )=¿ {−2 x , si x<0 ¿ {0 , si x=0 ¿ {2 x , si 0< x<3¿ ¿¿¿3

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Estudia, según los valores del parámetro a, la continuidad y derivabilidad

de la función definida por

f ( x )=¿ {x2+ax si x≤2¿ ¿¿¿

Para cualquier valor distinto de 2, la función f está definida como función cuadrática en cada uno de los segmentos, para cualquier valor del parámetro

a. Como las funciones cuadráticas son continuas y derivables en todo ,

también lo serán en cualquier intervalo abierto de y, por tanto, la función f

será continua y derivable, para cualquier valor del parámetro a, en {2}.

Estudiemos la continuidad de f en el punto 2:

Para que sea continua tiene que existir límite en el punto 2 y, para ello, los límites laterales tienen que ser iguales:

límx→2−

f (x )= límx→2−

( x2+ax )=4+2 a

límx→2+

f (x )= límx→2+

(a−x2)=a−4

Igualando estos límites laterales obtenemos:

4+2 a=a−4 ⇒ a=−8

En consecuencia, la función sería continua en el punto 2 si a=−8 . Para este valor del parámetro la función nos queda de la forma:

f ( x )=¿ {x2−8 x si x≤2 ¿ ¿¿¿y su derivada, salvo en el punto 2, es:

f ' ( x )=¿ {2 x−8 si x<2¿ ¿¿¿Calculamos la derivada en el punto 2:

La función es derivable en el punto x = 2.

En resumen:

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Si a≠−8 , la función es continua y derivable en {2}.

Si a=−8 , la función es continua y derivable en .

EJEMPLOS.

1. Hallar la ecuación de la recta tangente y normal a la curva dada por f ( x )=x3

en el punto de abscisa x = 2.

Calculamos la derivada de la función dada en el punto que nos indican. Aplicando la propia definición tendremos:

En consecuencia,

f ' (2)=12 ⇒ mt=f ' (2)=12 y mN=−1

f ' (2 )=− 1

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Una vez que hemos obtenido las pendientes de las rectas tangente y normal a la curva, podemos escribir sus ecuaciones, utilizando la ecuación de la recta en la forma punto-pendiente:

Si tenemos en cuenta que el punto de tangencia tiene por coordenadas

(2 , f (2 ))≡(2, 8 ), las ecuaciones de las rectas pedidas son:

Ecuación de la recta tangente: y−8=12 .( x−2) ⇒ y=2 x−16

Ecuación de la recta normal: y−8=− 1

12⋅( x−2 ) ⇒ y=− 1

12⋅x+49

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2. Dada la parábola de ecuación y=x2−8 x+12 , hallar el punto donde la tangente es paralela al eje de abscisas.

Calculamos la derivada de la función dada en un punto cualquiera x:

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Como la tangente es paralela al eje de abscisas, las dos rectas tendrán igual pendiente: si tenemos en cuenta que la pendiente del eje de abscisas es igual a cero, al igualar la derivada a cero nos queda:

mt= f ' ( x )=0 ⇒ 2 x−8=0 ⇒ x=4

Obtenida la abscisa del punto de tangencia, la ordenada correspondiente del

punto la obtenemos sustituyendo en la función: f (4 )=42−8 .4+12=−4

En consecuencia, el punto de tangencia tiene por coordenadas (4, 4).

DERIVADAS LATERALES.

Puesto que la derivada de una función en un punto la definimos mediante el límite de una función (TVM) en un punto x = a, podemos considerar la existencia de límites laterales en dicho punto. Aparece así el concepto de derivadas laterales.

Derivada por la izquierda.

Se llama derivada por la izquierda de la función f en el punto x = a al siguiente límite, si es que existe:

limh→0−

f (a+h)−f ( a)h o

límx→a−

f (x )−f (a )x−a

La derivada por la izquierda en el punto x = a se representa por f ' (a−)

Derivada por la derecha:

Se llama derivada por la derecha de la función f en el punto x = a al siguiente límite, si es que existe:

limh→0+

f (a+h)−f ( a)h

o

límx→a+

f (x )−f (a )x−a

La derivada por la derecha en el punto x = a se representa por f ' (a+ ) .

Evidentemente, una función es derivable en un punto sí, y sólo sí, es derivable por la izquierda y por la derecha en dicho punto y las derivadas laterales son iguales.

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Si las derivadas laterales existen pero no coinciden, se debe a que la

función tiene un punto anguloso. Este es el caso de la función f ( x )=| x | que en

el punto x = 0 tiene por derivadas laterales f ' (0− )=−1 y f ' (0+ )=+1 .

DERIVABILIDAD EN UN INTERVALO.

Una función es derivable en un intervalo abierto (a , b ) si es derivable en cada uno de sus puntos.

Una función es derivable en un intervalo cerrado [a , b ] si es derivable en

cada uno de los puntos del intervalo abierto (a ,b ) y derivable por la derecha en x=a y por la izquierda en x=b .

CONTINUIDAD Y DERIVABILIDAD.

La derivabilidad es una propiedad de las funciones más restrictiva que la continuidad, ya que existen funciones continuas que no son derivables.

I. La implicación de que una función derivable es continua se demuestra en el siguiente

TEOREMA.

"Si una función es derivable en un punto (derivada finita), entonces es continua en dicho punto" Demostración:

Sabemos que una función es continua en un punto a si

límh→0

f (a+h )=f (a ) ⇔ límh→ 0

[ f (a+h)−f (a )]=0

En nuestro caso, tendremos que demostrar cualquiera de estos resultados:

límh→0

[ f (a+h )−f (a )]=límh→0

f ( a+h )−f (a )h

⋅h=límh→0

f ( a+h )−f (a)h

⋅límh→0

h=f ' (a )⋅0=0

Sin embargo, el recíproco de este teorema no es cierto: Una función continua en un punto no es necesariamente derivable en dicho punto.

Esto podemos verlo fácilmente estudiando la función f ( x )=|x| en el punto x = 0.

En efecto, esta función es continua en x = 0

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límx→ 0−

f (x )= límx→0−

(−x )=0¿}¿¿ ⇒ ∃ límx→0

f ( x )=0¿

Como f(0) = 0, entonces f es continua en x = 0.

Veamos ahora la derivabilidad en x = 0:

f ' (0−)= límh→0−

f (0+h)−f (0 )h

= límh→0−

−hh

=−1¿}¿¿ ⇒ f ' (0− )≠f ' (0+)¿

Por tanto, la función no es derivable en el punto x = 0.

En consecuencia, las funciones derivables forman un subconjunto de las funciones continuas.

LA FUNCION DERIVADA.

Hasta ahora sólo hemos estudiado la derivada de una función en un punto y el resultado es un número real por tratarse de un límite.

Si una función f es derivable en un subconjunto de su dominio D (

), podemos definir una nueva función que asocie a cada elemento de su derivada en ese punto:

Esta nueva función así definida recibe el nombre de FUNCIÓN DERIVADA

o, simplemente, DERIVADA y se representa por f ' .

A partir de la función derivada primera se puede definir, si existe, también

su derivada que recibe el nombre de derivada segunda y se representa por f '' .

Análogamente se definirían la derivada tercera, cuarta, quinta,..., n-ésima, y

se representarían por f '''( x ) , f (4 ( x ) , f (5 (x ), … , f (n( x )

Otras formas de representar las derivadas son:

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Df , D2 f , D3 f , … , Dn fdfdx=f ',

d2 fdx 2

=f '' , … , dn fdxn

=f (n

REGLAS DE DERIVACION.

Aplicando la definición de derivada a las cuatro operaciones definidas entre funciones (adición, multiplicación, producto por un número y composición) obtenemos las reglas de derivación de ellas. Aplicando la misma definición a algunas funciones elementales obtenemos también fórmulas de derivación para ellas.

Estos resultados, de todos conocidos, los reunimos en la siguiente tabla:

Reglas de Derivación:

1. OPERACIONES 2. REGLA

SUMA Y DIFERENCIA

PRODUCTO

COCIENTE

Producto por un número

COMPOSICIÓN

A modo de ejemplo, podríamos comprobarlas con la suma y diferencia:

Suponiendo que las funciones f y g sean derivables, tenemos:

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=límh→0

[ f ( x+h)±g ( x+h)]− [ f ( x )±g ( x )]h

=límh→0

[ f (x+h )− f ( x )]± [g (x+h )−g( x )]h

=

¿ límh→0 [ f ( x+h)−f ( x )

g( x+h )−g( x )h ]=lím

h→0

f ( x+h )− f ( x )h

±límh→0

g( x+h )−g( x )h

=

¿ f ' ( x )±g '( x )

Derivada del producto de una constante por una función.

Derivadas de Funciones Elementales:

3. T I P O S4. F O R M A S

5. S I M P L E S 6. COMPUESTAS

Constante: f ( x )=k f ' ( x )=0

F. Identidad: f ( x )=x f ' ( x )=1

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Potencial Dxn=n . xn−1 Df n=n . f n−1 . f '

Potencial Dxα=n . xα−1 , α∈R Df α=n . f α−1 . f ', α ∈R

Logarítmico

D(Lx )=1x

D(Lf )= f 'f

D loga x=1x⋅loga e D loga f= f '

f⋅loga e

ExponencialD(e x)=ex D(e f )=f ' .e f

D(ax )=ax . La D(a f )=f ' . af .La

Potencial-exponencial D f g=g . f g−1 . f '+g ' . f g . Lf

Raíz Cuadrada D√x= 12√ x

D√ f= f '2√ f

Seno D sen x=cos x D sen f=f '⋅cos f

Coseno D cos x=−sen x D cos f=−f '⋅sen f

Tangente

D tg x=1+tg2 x D tg f=f ' .(1+ tg2 f )

D tg x=sec2 x D tg f=f ' . sec2 f

D tg x= 1

cos2 xD tg f= f '

cos2 f

Cotangente

D ctg x=−(1+ctg2 x ) D ctg f=−f ' .(1+ctg2 f )

D ctg x=−cosec2 x D ctg f=−f '⋅cosec2 f

D ctg x=− 1

sen2 xD ctg f=− f '

sen2 f

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Arco seno D arcsen x= 1

√1−x2D arcsen f= f '

√1−f 2

Arco coseno D arccos x=− 1

√1− x2D arccos f=− f '

√1− f 2

Arco tangente D arctg x= 1

1+x2 D arctg f= f '

1+ f 2

Arco cotangente D arcctg x=− 1

1+x2 D arcctg f=− f '

1+ f 2

EJERCICIOS RESUELTOS APLICADOS A LA ECONOMIA

Ejercicio nº 1:

Un fondo de inversión genera una rentabilidad que depende de la cantidad de dinero invertida, según la fórmula: R(x)=-0.002x2+0.8x-5 donde R(x) representa la rentabilidad generada cuando se invierte la cantidad x. Determinar, teniendo en cuenta que disponemos de 500 euros:

a) Cuando aumenta y cuando disminuye la rentabilidad

b) Cuanto dinero debemos invertir para obtener la máxima rentabilidad posible.

c) Cual será el valor de dicha rentabilidad.

Solución:

a) La derivada primera nos da el crecimiento o decrecimiento de la función. Si la derivada es positiva la función crece y si es negativa decrece.

Se deriva la función:

R`(x)=-0,004x+0,8

Se iguala a 0 y se resuelve la ecuación que resulta:

R`(x)=0,

Se estudia el signo de la derivada a la derecha e izquierda de los valores que nos ha dado 0 la derivada (en este caso x =200). Hay varios métodos, uno muy mecánico:

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                   f

Se coge un punto menor que 200, por ejemplo 100, y sustituimos R´ (100)=0,4>0 y en otro mayor que 200 (por ejemplo 300) R´ (300)=-0,4<0

 Entonces la derivada es positiva en el intervalo (0, 200), y f es creciente en ese intervalo y es decreciente en (200, 500) ya que en ese intervalo nos ha dado

negativa la derivada. Lo que nos dice también que en punto 200 hay un máximo local.

b) Teniendo en cuenta el apartado a debemos invertir 200 euros. c) La máxima rentabilidad es R(200)= -0,002.(200)2+0,8.200-5=75 euros.

Solución gráfica

100

50

200 300 400

Ejercicio nº 2:

La virulencia de cierta bacteria se mide en una escala de 0 a 50 y viene expresada

por la función V ( t )=40+15 t−9 t2+t3, donde t es el tiempo(en horas) transcurrido

desde que comienzo en estudio (t=0). Indicar los instantes de máxima y mínima virulencia en las 6 primeras horas  y los intervalos en que esta crece y decrece.

Solución:

Para que la función  tenga un máximo o un mínimo la derivada debe ser cero.

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,V¿ ( t )=3 t2−18 t+15 igualando a 0,

3 t2−18 t+15=0

Simplificando:

  t2-6t+5=0, cuyas soluciones son 5 y 1.

Ahora voy a ver  quien  es el máximo y quien el mínimo de la función, en el intervalo [0, 6], que tiene que estar entre estos dos valores junto o en los extremos del intervalo.

Ordenamos la función V por comodidad, V(t)= t3-9t2+15t+40

V(0)=40

V(5)=125-225+75+40 =15

V(1)=1-9+15+40= 47

V(6)=216-324+90+40=22

La máxima virulencia es a las 1 horas y la mínima a las 5 horas.

Para ver los intervalos de crecimiento y decrecimiento estudiamos el signo de la derivada: V’(t)=3t2-18t+15

        0             1                                           5                       6                

V’        +    0          -        0        +

Luego V crece desde 0 a 1  y desde 5 a 6, (crece en  (0, 1) unión (5, 6) ) y decrece en el intervalo (1, 5)

 Observando la gráfica de esta función vemos lo q hemos deducido.

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V ( t )=40+15 t−9 t2+t3

V ( t )=3 t2−18 t+15

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Ejercicio nº 3:

Un coche de competición se desplaza a una velocidad que, entre las 0 y 2 horas,

viene dada por la expresión v (x )=(2−x ). e x, donde x es el tiempo en

horas y v (x ) es a velocidad en cientos de kilómetros. Hallar en que momento del

intervalo [0,2 ]circula a la velocidad máxima y calcular dicha velocidad. ¿En qué periodos gano velocidad y en cuales redujo? ¿Se detuvo alguna vez?

SOLUCIÓN:

Nos piden que estudiemos el crecimiento y decrecimiento y el máximo de la función velocidad v.

Por eso utilizamos la derivada, ya que sabemos (por teoría) que si la derivada da positiva la función crece y si da negativa decrece.

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También sabemos que, la función tiene un máximo relativo en un punto, si la derivada, en ese punto, es 0 (condición necesaria) y además cambia el crecimiento (es decir pasa de crecer a decrecer)

La derivada es:

,

v¿( x )=−1 .ex+ex .(2−x )v¿( x )=−ex+2 ex−x . ex

v¿( x )=ex−x . ex

Sacando factor común  exse llega a: v

¿( x )=(1−x )ex Igualando a 0 nos  da (1-x).ex

=0, de donde 1-x =0 y por tanto  x =1, (ya q ex nunca puede ser cero)

Estudiamos v en los alrededores de 1

v ‘           +               1               -               2

y        crece           decrece

Por lo tanto en x=1 hay máximo y la función crece de 0 a 1 (gana velocidad) y decrece de 1 a 2 (reduce velocidad), veamos los valores en ese punto y en el extremo:

v(x)= (2-x)ex

v(1)=(2-1).e = e (aquí el máximo como justificamos antes)

v(0)=(2-0).1=2

v(2)=(2-2).1=0       como da la velocidad  0 aquí se detuvo

LA GRÁFICA:

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(No es necesaria la gráfica solo la pongo para ayudar a entender lo que se hace, vemos que pasa justo lo que hemos deducido entre 0 y 2)

Ejercicio nº 4:

La cantidad de agua recogida en 2002 (en millones de litros), en cierto pantano, como función del instante de tiempo t (en meses), viene dada a través de la expresión

 

 Se pide:

a)  En que periodo de tiempo aumento la cantidad de agua recogida?

b) En que instante se obtuvo la cantidad máxima de agua?

c) Cual fue esa cantidad máxima?

Solución

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Teniendo en cuenta la regla de derivación de un cociente:

Si ,  su derivada es      f’(t)=

Y si queremos que sea cero, tiene que ser cero el numerador, de donde t =6

Señalamos el punto 6 en la recta y estudiamos el crecimiento de la función, f,  entre 0 y 12 (viendo el signo del numerador solo, pues el denominador siempre es positivo)

0                                                   6                                                   12

f ’      +                           -                          

Crece hasta el 6 y decrece desde el 6

Por lo tanto en 6 tiene un máximo relativo, que en este caso es absoluto (pues en el infinito da 0) y se tiene:

a) la cantidad aumenta en el periodo de 0 a 6

b) en t =6

c) f(6)=10/1=10

nota importante: en este tipo de problemas casi nunca es aconsejable desarrollar  el denominador.

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Ejercicio nº 5:

La suma de dos números no negativos es 36. Halla dichos números para que: a) La suma de sus cuadrados sea lo mas pequeña posible b) La suma de sus raíces cuadradas sea lo mas grande posible

Solución

Sea x e y dichos números, se tiene x + y = 36, de donde y = 36-x

a) Definimos f(x, y)= x2+ y2, como y= 36 –x, podemos sustituir en f con lo q dependerá solo de una variable, f(x) = x2+(36-x)2,  y podremos aplicar la condición necesaria de extremo para funciones derivables.

Derivando:

f’(x) = 2x-2(36-x), de donde f’(x) = 4x-72

Para que f tenga un mínimo la derivada debe darnos 0, por lo que 4x-72=0 y despejando x= 18

f es continua en el intervalo [0, 36], y f(0)=f(36)=(36)2>f(18)=2.(18)2 por lo tanto en x=18 tiene el mínimo absoluto.

La gráfica es:

Observación: Otra forma de justificar que el mínimo es absoluto, es diciendo que la función f es cuadrática. Por lo tanto en la abscisa del vértice se alcanza su mínimo (a>0) que es el punto de tangente horizontal.

 b) Teniendo en cuenta que y= 36 –x, tenemos h(x)= , derivando:

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, h’(x)=0 , elevando al cuadrado ambos miembros y operando se llega a que x=18.

La función h está definida en el intervalo [0, 36], luego el máximo lo tendrá en 18 pues:

f(18)= , y f(0=f(36)=6 (Observa que el menor valor posible lo alcanza en 0 y 36)

 la gráfica es:

(Observar que no es necesario calcular la derivada segunda para el cálculo de los extremos absolutos, se aplica el teorema de Bolzano-Weierstrass que dice: “toda función continua definida en un intervalo cerrado alcanza su máximo y su mínimo”)

Ejercicio nº 6:

Un fabricante de autos tiene una producción x y el costo total anual de la producción se describe por medio de la función

Solución:

Utilizando la definición de costo marginal, se tiene que es:

Y el costo por producir 1 auto más es,

Esto quiere decir, que si se produce 1 auto más, el costo se incrementa en $1,540.

La función costo promedio es,

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El costo promedio al producir 100 autos es,

Como el costo promedio de la producción de 100 autos es mayor al costo generado por producir un auto más, conviene producir la siguiente unidad.

Ejercicio nº 7:

Supóngase que el costo de un artículo depende de la cantidad x producida de acuerdo con la función, Q(x) = x2 +2x +2: Así, el costo por producir 300 artículos es de $90,602. Calcular el costo marginal por producir la siguiente unidad y determinar si es conveniente producirla.

Solución:

La función costo marginal es, en este caso,

El costo marginal por producir 1 artículo más es de

La función costo promedio es, en este caso,

Y el costo promedio al producir 300 artículos es

Es decir, el costo promedio es menor que el costo de la siguiente unidad, por tanto, no conviene producir la siguiente unidad.

Ejercicio nº 8:

Suponiendo que la función precio está dada P ( x )=24−8 xy la función costo por

C ( x )=4 x+108supóngase además que el gobierno grava las ventas con un

impuesto de t% por cada unidad.

a) Determinar en términos de t, la cantidad de producción que maximiza la utilidad.

b) Determinar también el valor de t, que maximiza la renta del gobierno por concepto de impuesto.

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Solución:

La función utilidad: U ( x )=I ( x )−C (x ) donde:

I ( p )=xP ( x )=ingresos=24 x−8 x2

C ( x )=4 x+108+tx Costo total.

U ( x )=24 x−8 x2−(4 x+108+ tx)

U ( x )=20 x−8 x2−108−tx Utilidad

Primera derivada:

U ' ( x )=20−16 x−t 20−16 x−t=0

x=20−t16

Unidades (en millones)

Renta del gobierno:

I g ( t )=xt=( 20−t16 ) t I g ( t )=

20 t−t 2

16

Derivando: I ' g (t )=36−2 t

16

36−2 t16

=0 → 36−2 t=0 ∴t=18 %

Ejercicio nº 9:

Una compañía de trasporte, con una tarifa de $20, trasportar 8000 pasajeros por día, al considerar un aumento de la tarifa, la compañía determina que perderá 800 pasajeros por cada $5 de aumento en estas condiciones. ¿Cuál debe ser el aumento para que el ingreso sea máximo?

Solución:

Sea x el número de aumentos de $5 en la tarifa entonces 20+5 x es la tarifa resultante y el número de pasajeros será 8000−800 x donde el ingreso es:

I ( x )= (20+5x ) (8000−800 x ) entonces I ( x )=4000 (40+6 x−x2)

Derivando:

I ' ( x )=4000 (6−2 x )=0 para el numero critico, de donde: 6−2 x=0→ x=3

I ' ' ( x )=−8000 → I ( x )<0∀ x

22

Page 23: aplicacion econ.

Luego x=3se tiene máximo . El aumento en el pasaje debe ser de 3×5=15

Y el nuevo valor del pasaje es: $35.

Ejercicio nº 10:

Un monopolista determina que si C(x) centavos es el costo total de la producción de x unidades de cierta mercancía, entonces C ( x )=25 x+20000 la ecuación de la demanda es x+50 P=5000, donde son demandas x unidades cada semana, cuando el precio unitario es P centavos, si se desea maximizar la utilidad semanal encontrar:

a) El número de unidades que deben producir cada semana.

b) El precio de cada unidad.

Solución: Donde:

U ( x )=( 5000−x50 )x− (25 x+20000 )

U ( x )=(100− x50 ) x−25 x+20000

U ( x )=100 x− x2

50−25 x+20000

U ( x )=75 x− x2

50+20000

Primera derivada:

U ' ( x )=75−2 x50=0

3750−2 x50

=0 entonces la cantidad es: x=1875

Hallando el precio:

P ( x )=5000−×50

P ( x )=5000−187550

P ( x )=S /62.5

Ejercicio nº 11:

23

Page 24: aplicacion econ.

Una empresa vende un producto con la siguiente función de demanda P=256−50 x, siendo x la cantidad producida y P el precio de venta. Los costeos totales vienen dado por la función: C ( x )=182+56 x . Obténgase el máximo beneficio de la empresa y el precio de venta del producto.

Solución:

U ( x )=I ( x )−C ( x )=(256−x ) x−182−56 x

Simplificando nos queda:

U ( x )=256 x−50 x2−182−56 x

U ( x )=200 x−50 x2−182

La primera derivada:

U ' ( x )=200−100 x=0 Si x=2

Hallando el máximo de la utilidad:

U ' ' ( x )=−100<0Entonces es un máximo.

Rpta: El máximo beneficio es U (2 )=18 y el precio de venta es:

P (2 )=256−50 (2 )=156

Ejercicio nº 12:

Una empresa fabrica chocolates según la función de producción

Q ( x , y )=−x3−3 y2+3 x2+24 y donde “x” es la cantidad de cacao e “y” la leche

empleada para su fabricación.

a) Calcular la productividad marginal en el punto (1,2).b) Hállese la producción máxima.

Solución:

a) Las productividades marginales en ese punto son las derivadas parciales primeras en ese punto.

dqdx=−3 x2+6 x⟹ dq

dx(1,2 )=3

dqdx=−6 y+24⟹ dq

dx(1,2 )=12

b) Igualamos a cero las derivas parciales primeras.

24

Page 25: aplicacion econ.

dqdx=−3 x2+6 x=0

⟹−3 x ( x−2 )=0⟹ x=0 ; x=2

dqdy=−6 y+24=0⟹ y=4

⇛ El valor de x=0 no tiene sentido económico, así que el único punto critico candidato a maximizar es la producción es (2,4).

⇛ La producción máxima es Q (2,4)=52.

Ejercicio nº 13:

Un fabricante de pantalones desea vender un promedio de 1000 pantalones al mes a s/30000. El fabricante piensa que puede vender 100 pantalones adicionales al mes. Por cada s/2800 de reducción en el precio que produce el mayor ingreso?

So

Sea “X” el nuevo precio de pantalones que produce el mayor ingreso donde:

I = (Precio/pantalones) (de pantalones vendidos)

El de pantalones que desea vender es 1000 mas 100 pantalones por cada s/ 2000 de reducción sobre s/ 60000

El precio rebajado es el precio original ; Es decir El nuevo 60000 – x

La cantidad de reducción de s/ 2000 es 60000−x

2000

Luego el de pantalones vendidos Gral.

100( 60000−x2000 )=(60000−x

2000 ) El total de pantalones vendido será:

100+100( 60000−x2000 )

I ( x ) X (1000+ 60000−x20

)=80000 x−x2

20

Derivando I ´ ( x ) 80000−2 x20

X=40000

25

Page 26: aplicacion econ.

“X” Sera 40000 para obtener en máximo ingreso.

Ejercicio nº 14:

Las ganancias de una tienda es de 300 p u.m. cuando se emplean “q” u.m. diarios

en la publicidad y además:P(q )=100+40 q−2 q2 determinar:

a) El máximo valor para “q” para que se siga aprovechando el presupuesto de publicidadb) La ganancia máxima de una tienda.

Solución:

a) P (q )=100+40 q−2 q⋀2

P ´ (q )=40−4 q=0

⇒q=10 Unidades monetarias.

P (10 )=100+40 (10 )−2 (10 )2

⇒P (10 )=300 Unidades monetarias

b) G (q )=300 p

G (300 )=300 (300 )⇒G (300 )=90,000.00 Unidades monetarias.

Ejercicio nº 15:

El ingreso total percibido por la venta de “q” Radios es R (q) u.m. viene definida

por la siguiente función R(q)=400 q−10 q2 , y su costo total de fabricación esta

dada por, C (q )=80 q hallar:

a) El máximo valor de “q”b) La ganancia máxima netac) El ingreso real de producir el decimo primer Radio

Solución:

a) R(q)=400 q−10 q2

R1 (q)=400−20 q=0 → q=20

b) G (20 )=R (20 )−C (20 ) G (20 )=40,000 u .m .

26

Page 27: aplicacion econ.

(0,c)

X Cantidad

Y Costo Total

Si b es par

Si b es impar

c) R (11)−R (10 )=190 u . m.

Ejercicio nº 16:

Costo Total: y=a xb+c , en donde a>0, b >1, c ≥ o

Costo promedio: y=yx=a xb−1+ c

x

Costo Marginal: dydx=ab xb−1

Costo Promedio Marginal: d ydx=a (b−1 ) xb−2− c

x2

El Costo Total se presenta mediante la parte de una curva algebraica situada en el primer cuadrante, el costo promedio se presenta a su vez por la rama de una hipérbola localizada en el primer cuadrante y el costo marginal se presenta por la parte de una curva algebraica correspondiente al primer cuadrante (ver en la figura a y b).

Este tipo de curva polinómica simple es siempre cóncava hacia arriba para x≥ 0 y por lo tanto es usualmente apropiado solo para conjuntos limitados de valores de x.

d ydx=0 Si a (b−1 ) xb=c es decirx=[ c

a (b−1 ) ]1b

d y2

d x2=a (b−1 ) (b−2 ) xb−3+ 2 cx3

¿ x−3 [a (b−1 ) (b−2 ) xb+2c ]

Si x=[ xa (b−1 ) ]

1b, entonces

d y2

d x2=[ c

a (b−1 ) ]−3

b [a (b−1 ) (b−2 ) ca (b−1 )

+2c ]>0, Así que hay un mínimo en x=[ x

a (b−1 ) ]1b

27

Page 28: aplicacion econ.

(0,c)

X Cantidad

Si b es par

Si b es impar

R Ingreso

X Cantidad

2. Consideremos la función de demanda:

3 x+4 y=10

En la cual “y” representa el precio unitario, y x, el número de unidades. Entonces

y=52+ 3

4x

El ingreso total es:

R= x . y=52

x−34

x2

Y el ingreso marginal es:

dRdx=5

2−3

2x

28

Page 29: aplicacion econ.

X Cantidad

Ingreso MarginalIngreso Promedio

3. Suponga que la función de consumo es:

c=10+0.8 x+0.5√x

En donde c es el consumo total, y x, el ingreso total disponible. Entonces la cantidad ahorrada es: s= x−c

s= x−(10+0.8 x+0.5√x )

s=−10+0.2 x−0.5√x

Observemos que “c” es positivo para todos los valores positivos de “x”; “s” resulta negativo en el caso de valores pequeños positivos de “x”, y positivos cuando se tratan de valores positivos grandes de “x”;para todo valor de “x“ se tiene que c+s= x. Nótese también que “c” es una función creciente de “x”; al principio “s” es una función decreciente y luego una creciente de “x”. (Ver la figura)

29(0,10)

c,s Consumo

Page 30: aplicacion econ.

(O,0.8)

(O,0.2)

La propensión marginal al consumo es:

dydx=0.8+ 0.25

√x

Y la propensión marginal al ahorro es:

dsdx=0.2−0.25

√x

Y dcdx+ ds

dx=1. El multiplicador es:

k= 1

0.2−0.25

√x

Observemos que dcdx

y “k” son funciones decrecientes de “x”, y dsdx

es una función

creciente de la misma (ver la figura b).

4. Se supone que el costo total en dólares de fabricar “q” unidades de cierto producto está

dado por la función C (q )=q2−30 q2+500 q+200.

a) Calcule el costo de fabricar 10 unidades del producto.

30

(0,-10)

X Ingreso

X Ingreso

Page 31: aplicacion econ.

1 2 3 4 5

(0,200)

(2,300)(3,350)

100

200

300

400

500

600

X

C(x)

b) Calcule el costo de fabricar la decima unidad del producto.

Solución

a) El costo de fabricar 10 unidades es el valor de la función de costo total cuando q=10. Es decir:

Costo de 10 unidades ¿C (10 ) ¿103−30 (10 )2+500 (10 )+200 ¿ $3200

b) El costo de fabricar la decima unidad es la diferencia entre el costo de fabricar 10 unidades y el costo de fabricar 9 unidades. Es decir:

Costo de la decima unidad ¿C (10 )−C (9 ) ¿3200−2999 ¿ $201

Se observa que la función C (q )=q3−30 q2+500 q+200esta definida para todos los

números reales “q”, pero el dominio “practico” es q ≥ 0 ya que no tiene sentido hablar de fabricación de un numero negativo de unidades.

5. El costo total de un fabricante consta de unos gastos indirectos fijos de US 200 mas

los costos de producción de US 50 por unidad. Exprese el costo total como una función del número de unidades producidas y dibuje la graficas.

Solución:

Sea x el número de unidades producidas y C(x) el costo total correspondiente.

Entonces

Costo total= (costo por unida)(número de unidades)+ gastos indirectos

Donde:

Costo por unidad =50

Número de unidades =x

Gastos indirectos =200

Por tanto,

C(x)=50x+200

31

Page 32: aplicacion econ.

X

Y

Ene. 1 Nov. 1

10

(0,136)

(10,156)

El costo total aumenta una tasa constante de US 50 por unidad. Como resultado , su grafica en la figura es una línea recta que aumenta 50 unidades en altura por cada incremento de 1 unidad en x.

6. Desde el comienzo del año el precio del pan integral de trigo en un supermercado de descuentos local se ha incrementado a una razón constante de 2 centavos por mes. Para

el primero de noviembre, el precio llego a US 1.56 por unidad. Exprese el precio del pan como una función del tiempo y determine el precio al comienzo del año.

Solución:

Sea x el numero de meses transcurridos desde el primer día del año “e” y el precio de una barra de pan (en centavos). Como y cambia a una razón constante con respecto de x, la función que relaciona y con x debe ser lineal, y su grafica es una línea recta. Como el precio se incrementa en 2 centavos cada vez que x aumenta 1 unidad, la pendiente de la

renta debe ser 2. El hecho de que el precio fuera 156 centavos (US 1.56) el 1º de noviembre, 10 meses después del primer día del año, implica que la recta pasa por el punto (10, 156). Para escribir una ecuación que defina y como una función de x, utilice la formula punto – pendiente.

y− y0=m ( x−x0 )

Con m=2 , x0=10 , y0=156

Para obtener y−156=2 ( x−10 ) o y=2 x+136

La recta correspondiente se presenta en la figura. Se observa que la intersección con el

eje “y” es (0,136), lo cual implica que el precio del pan al comienzo del año era US 1.36 por unidad.

32

Page 33: aplicacion econ.

7. Un fabricante puede producir una cinta de video en blanco a un costo de US 2 por

casete. Los casetes se han vendido a US 5 cada uno y, a ese precio, los consumidores han comprado 4000 casetes al mes. El fabricante planea incrementar el precio de los

casetes y estima que por cada US 1 de aumento en el precio, se venderán 400 casetes menos cada mes.

a) Exprese la utilidad mensual del fabricante como una función del precio al cual se vendieron los casetes.

b) Dibuje la grafica de la función de utilidad ¿Qué precio corresponde a la utilidad máxima?

Solución

a) Comience estableciendo la relación deseada en palabrasUtilidad= (numero de casetes vendidos)(unidad por casetes)

Como el propósito es expresar la utilidad como función del precio, la variable independiente es el precio y la variable dependiente es la utilidad. Sea “X” el precio al

cual se venderá cada casete yP (X ) la utilidad mensual correspondiente.

Luego, exprese el número de casetes vendidos en términos de la variable “x”. se sabe que cada mes se venden 4000 casetes cuando el precio es US $ 5 y que se venderán 400 casetes menos cada mes por cada aumento de US $ 1 en el precio. Como el número de aumentos de US $ 1 es la diferencia de x−5 entre los precios de venta nueva y el anterior, se tiene que:

Número de casetes vendidos

¿4000−400¿

¿4000−400 ( X−5 )

¿6000−400 X

La utilidad por casete es sencillamente la diferencia entre el precio de venta “x” y el costo US $ 2. luego,

Utilidad por casete¿ x−2

Y la utilidad total es:

P (X )=¿(Número de casetes vendidos)(Utilidad por casete)

¿ (6000−400 x )(x−2)

¿−400 x2+6800 x−1200033

Page 34: aplicacion econ.

180001600014000

1200010000

8000

600040002000

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15

Utilidad máxima

X

y

b) La grafica de P(X) es la parábola que abre hacia abajo, mostrada en la figura. La utilidad máxima ocurrirá en el valor de “x” que corresponde al punto más alto en la grafica de utilidad. Este es el vértice de la parábola del cual se sabe que ocurre cuando.

x=−B2 A

=−(6800)2(−400)

=8.5

Así, la utilidad se maximiza cuando el fabricante cobra US $ 8.50 por cada casete, y la utilidad máxima mensual es:

Pmáx=P (8.5 )=−400(8.5)2+6800 (8.5 )−12000

Pmáx=$ 16900

MÁXIMOS Y MÍNIMOS

Las razones de cambio en el campo de la economía, no se miden con respecto al tiempo; por ejemplo los economistas se refieren al beneficio marginal, ingreso marginal y costo marginal, como las razones de cambio del beneficio, ingreso y costo respecto al número de unidades producidas o vendidas

La ecuación que relaciona estas tres cantidades es: P(x) = R(x) – C(x)

Donde: P(x) = Beneficio total, R(x) = Ingreso total, C(x) = Costo total

34

X P(x)

2

4

6

8

10

12

14

0

8800

14400

16800

16800

16000

12000

4800

Page 35: aplicacion econ.

Ahora la derivada de cada una de estas da los marginales términos usados en Economía.

dPdx

= beneficio marginal, dRdx

= ingreso marginal, dCdx

= costo marginal

O = S (P) función de oferta; D = f(P) función de demanda.

Observación

Los problemas planteados son problemas de máximos y mínimos.

Para estudiar el efecto de los niveles de producción en el costo, los Economistas usan la

función de costo medio c (x) definida por c (x) = c (x)

x donde c(x) función de costo total.

Elasticidad

La elasticidad de una función y = f(x) en el punto x se define como la tasa de cambio

proporcional de y con respecto a x y denotaremos por: M = Ey

Ex

y es definido por:

M = Ey

Ex

=

dyy

dxx

= xy

dydx

La elasticidad es un concepto importante en la teoría económica y se aplica en el estudio de la demanda, la oferta, el costo y la productividad

a) INGRESO NACIONAL, CONSUMO NACIONAL Y AHORRO

Llamaremos función de consumo a la relación entre el ingreso nacional (total) disponible y el consumo nacional (total).La función de consumo se caracteriza porque a medida que aumenta (o disminuye) el ingreso, el consumo aumenta (o disminuye) lo cual se da en menor intensidad y es llamada “propensión marginal al consumo” que significa que es mayor que cero y menor que uno, donde la propensión marginal es la tasa de cambio del consumo con respecto al cambio con el ingreso disponible.

Si c = f(x) es la función de consumo; donde “c” representa al consumo nacional y “x” el ingreso nacional entonces la propensión nacional es: dcdx=f ,

(x)

En el análisis teórico elemental del ingreso nacional se supone que el ingreso disponible es igual al consumo “c” mas el ahorro “s” lo cual expresamos x = c + s, de donde la propensión marginal al ahorro es:

35

Page 36: aplicacion econ.

Y

X

Cmg

Cmg

P = ImgPO

CmgO

X00

P

X

Cmg

P = Img

Cmg

0 Xo

dsdx=¿1-

dcdx

b) EQUILIBRIO ECONOMICOEl objetivo principal de toda empresa es maximizar su utilidad total (o lucro total), o minimizar perdida.El punto de utilidad máxima es el punto de equilibrio y ocurre cuando el ingreso marginal (I.mag) es igual al costo marginal (Cmag).

En las graficas mostradas en ambos casos x0es la cantidad de equilibrio.Si u(x) = ganancia o utilidad total, entonces escribiremos U(x)=I(x) – C(x).Ahora nuestro objetivo es obtener la cantidad de x que maximice la utilidad u(x).La cantidad de equilibrio de la empresa es el valor de x que maximiza U(x) y el punto de equilibrio es P(x0, u(x0)) donde x0 es la cantidad de equilibrio.

Para obtener la utilidad máxima debe tenerse que dU (x )

dx = 0 y

d2U ( x )d x2 │x= x0

< 0

OBSERVACIONEn el punto de equilibrio, el ingreso marginal debe ser igual al costo marginal.

Es decir: como U(x) = I(x) – C(x) entonces:

dU (x )dx

= dI (x)

dx –

dC (x)dx

= 0 dI (x)

dx =

dC (x)dx

Img = Cmg

OBSERVACION

En el caso especial de competición pura, se tiene que: I=Px luego P= I.mg

Esto quiere decir que existe utilidad máxima si Cmag = P36

Page 37: aplicacion econ.

EJERCICIOS DESARROLLADOS:

1. Suponiendo que la función precio está dado por P(x) = 24 – 8x y la función costo por

C(x) = 4x+108supóngase además que el gobierno grava las ventas con un impuesto de t

por cada unidad.

Determinar en términos de t, la cantidad de producción que maximiza la utilidad.

Determinar también el valor de t que maximiza la renta del gobierno por concepto de impuesto.

Solución:

La función utilidad = U(x) = I(x) – C(x) donde I (p) = xP(x)= ingreso=24x - 8x2

C(x)= 4x+108+ tx = costo total

U(x)= 24x-8x2-4x-108

-tx

U’(x)= 24 - 16x - 4 - t = 0 x=20−t

16 unidades (en millones)

Renta del gobierno es = I g(t) = xt = ¿) t

I g(t) = 20 t− t2

16 I ' g(t) =

20−2 t16

= 0 t = 10

2. Si la ley de la demanda es P= ax

- c. Demuéstrese que el ingreso total disminuirá

cuando la producción aumenta, siendo el ingreso marginal una constante negativa.

Solución:

Como la demanda es: P=ax

- c entonces I(x)= Xp =a – cx por lo tanto, si x aumenta, el

termino cx aumenta y su diferencia con “a” disminuirá además Img = dI (x)

dx = -c

constante negativa.

3. Si la función de costo total es C(x)= 0.1x2 + 5x + 200. Determinar el costo promedio y

costo marginal.

Solución:

Como la función costo total C(x)= 0.1x2 + 5x + 200

c = C(x )

x = función costo promedio, entonces C(x) = 0.1x + 5 +

200x

37

Page 38: aplicacion econ.

dC (x)dx

= costo marginal = 0.2x + 5

4. Una empresa tiene una producción de x toneladas de cierto articulo con un costo

variable total dado por C(x)=ax3- bx2 + cx. Demostrar que la curva de costo medio es una

parábola, hallar la producción que corresponde al costo medio minimo y el valor del costo medio respectivo.

Solución:

El costo medio = Cme = C(x )

x = ax2 - bx + c completando cuadrados se tiene:

Cme(x)= a (x2 - ba

x +b2

4 a2 + ca

- b2

4 a2 ) = a(x− b2a)

2

+ c - b2

4 a = a(x− b

2a)

2

+ 4 ac−b2

4 a

De donde Cme + b2−4 ac

4 a = a(x− b

2 a)

2

ecuación que representa una parábola, con

vértice en (b

2 a,

b2−4 ac4 a

), ahora veremos el Cme(x) mínimo Cme(x )

dx = 2ax- b = 0

x=b

2 a

d2Cme (x )d x2 = 2a 0 ∀ x x=

b2 a

Será la producción que corresponde al Cme(x) mínimo.

El valor del costo medio mínimo será: Cme (b

2 a) = a( b

2 a)

2

- b (b

2 a) + c =

4 ac−b2

4 a

5. Para cada una de las siguientes funciones de costo promedio obtenga el valor mínimo del costo promedio mínimo, y demuestre que dicho costo promedio mínimo, el costo marginal y el costo promedio son iguales.

a) y = C(x) = 25 – 8x + x2

Solución:

Como y = yx

y= x y = C(x) = costo total

y = C(x) = 25x – 8x2 + x3

d ydx

= -8 + 2x = 0 x= 4 numero critico

d2 yd x2 = 2

d2 yd x2 │x=4 = 2 0 mínimo en x=4

38

Page 39: aplicacion econ.

y = C (4) = 25 – 32 + 16 = 9 … (1)

Cmag(x) =C” (x) = 25 – 16x + 3x2 = C” (4) = 25 – 64 + 48= 9 … (2)

De (1) y (2) y= C`(x)

6. Si U=q1q22 - 10q1= 2, q1= 2, q2=8, y el ingreso del consumidor para el periodo es 116, la

restricción del presupuesto es así

116 - 2q1- 8q2 = 0

q1 = 116−8 q2

2 = 58 - 4q2

Y U= (58 - 4q2) q22 – 10(58 - 4q2)

= 58q22 - 4q - 580 + 40q2

dUd q2

= 116q2 - 12q22 + 40

Si dUd q2

= 0,

3q22 - 29q2 - 10 = 0

(3q2 + 1)(q2 - 10) = 0

q2= -13

, 10

Pero q2≥ 0, de modo que la solución es q2= 10, q1 = 18.

d2Ud q2

2 = 116 – 24q2

d2Ud q2

2 | ❑q2=10= 116 – 240 = -124 0

De modo que el consumidor maximiza la utilidad con base en la restricción de su

presupuesto cuando compra 18 unidades de q1 y 10 unidades de q2.

Obsérvese que:

f 1

f 2

=q2−10

2

2q1q2

= 90360

=28=

p1

p2

Como se requiere para un máximo.

39

Page 40: aplicacion econ.

7. Si el problema 13 se supone que la relación entre x y P es x= 100 – 20 √ p5

. Demostrar

que la producción que corresponde a una ganancia máxima es la de unos 25 instrumentos por semana.

Solución:

I(x)= ingreso total =Xp ; c(x) = costo total = 500 + 15x + x2

5

Como x = 100 - 20√ p5

20√ p5

= 100 – x

p5

= (100−x

20) P =

(100−x)2

80

I(x) = xP = x(100−x )2

80

U(x) = I(x) – c(x) reemplazando se tiene:

U(x) = x(100−x )2

80 - 500 – 15x -

x2

5 derivando se tiene

U’(x) = (100−x)2

8 –

x(100−x )40

- 15 - 2 x5

= 100−x

80 (100 – x – 2x) –

75+2 x5

= 100−x

80 (100 – 3x) –

75+2 x5

= (100−x ) (100−3 x )−16 (75+2 x )

80

U ' ( x )=3 x2−432+880080

=0⟹ x=25 , x=2563

U ' ' ( x )=6 x−43280

⟹U ' ' ( x )=−14640

<0

En x= 25, por lo tanto la máxima ganancia se obtiene al producir 25 instrumentos.

8. Esta semana en una fábrica se produjeron 50 unidades de cierta mercancía y la cantidad de producción aumenta a razón de 2 unidades por semana. Si C8x) dólares es el

costo de producción de x unidades donde : C ( x )=0.80x3−x2+10 x+48, Calcule la rapidez

actual a la que el costo de producción aumenta.

Solución:

Sea x= numero de mercancía

dxdc

=2 unid/semana

40

Page 41: aplicacion econ.

dcdt

= rapidez actual en la que el costo de producción aumenta.

Como c(x)= 0.08x3 - x2 + 10x + 48 derivando se tiene:

dc ( x )dt

=24 x2 dxdt−2 x

dxdt+10

dxdt

dc (50 )dt

=0.24 (50 )2 (2 )−2 (50 ) (2 )+10 (2 )=0.48 (50 )2−4 (50 )+20=1020

Dt c (50 )=1020

El costo aumenta a razón de 41020 por semana.

9. En cierto mercado la demanda por una clase especial de cereal para el desayuno está indicada por la ecuación de la demanda: Px+25 P=4000, donde P centavos es el precio de una caja y x miles de cajas es la cantidad semanal demandada. Si el precio actual de dicho cereal es de 80 centavos por caja y ese precio aumenta a razón de 0.2 centavos semanales, calcule la razón de cambio de la demanda.

Solución:

Datos: dPdt=0.2

centavossemana

;dxdt=? para P=80

como Px+25 P=4000⇒ x=4000−25 PP

x=4000P−25⟹ dy

dt=−4000

2dPdt

dxdt=−4000

(80 )2(0.2 )= −800

(80 ) (80 )=−10

80=−1

8=−0.125

La demanda disminuye a razón de 0.125 miles de cajas por semana.

10. La ecuación de la oferta de cierta mercancía es: x = 1000√3P2+20 P donde cada mes

se surten x unidades cuando P dólares es el precio por unidad. Calcule la razón de

cambio en el suministro si el precio actual es de 20 por unidad y esta aumentado a razón de $0.50 por mes.

Solución:

Datos: dPdt

= 0.5 $/mes , dxd t

= ? cuando P = $20

X = 1000√3P2+20 P se surten x unidades cuando p $ es el precio por unidad.

Ahora calculamos la derivada implícita.

41

Page 42: aplicacion econ.

dxdt

= 1000(3 P+10)

√3 P2+20 P dPdt

cuando P = 20

dxdt

= 1000(70)√1200+400

(0.5) = 70000

40 (0.5) = 875

El suministro aumenta a razón de 875 unidades por mes.

11. Supóngase que “y” es el número de trabajadores en la fuerza laboral necesaria para

producir x unidades de cierta mercancía y, x = 4 y2. Si la producción de esta mercancía,

este año, es de 250,000 unidades y la producción aumenta a razón de 18000 unidades anuales. ¿Cuál es la razón actual a la que se debe incrementar dicha fuerza laboral?

Solución:

Datos: x = 250,000 unidades; dxdt

= 18,000 unidades anuales; dydt

=?

Como x = 4y2, cuando x = 250,000; y = 250 ahora derivando implícitamente la ecuación x

= y2 con respecto al tiempo.

dxdt

= 8y dydt

reemplazando los datos 18000 = 8(250)dydt

dydt

= 180008(250)

= 9

dydt

= 9 trabajadores anuales.

12. Un fabricante de productos químicos advierte que el costo por semana de producir x toneladas de cierto fertilizante esta dado por C(x) = 20,000 + 40x dólares y el ingreso

obtenido por la venta de x toneladas esta dado por R(x) = 100x – 0.01x2. La compañía

actualmente produce 3100 toneladas por semana, pero está considerando incrementar la producción a 3200 toneladas por semana. Calcule los incrementos resultantes en el costo, el ingreso y la utilidad. Determinar la tasa de cambio promedio de la utilidad por las toneladas extras producidas.

Solución:

El primer valor de x es 3100 y x + x = 3200

C = C(x +∆ x) – C(x)

= C (3200) – C (3100)

= [20,000+40 (3200)] - [20,000 + 40(3100)]

= 148,000 – 144,000 = 4000

∆ R = R(x +∆ x) – R(x)

= R (3200) – R (3100)

42

Page 43: aplicacion econ.

= [100(3200) – 0.01(3200)2] - [100(3100) – 0.01(3100)2]

= 217,600 – 213,900 = 3700

De modo que los costos se incrementan $4000 bajo el incremento dado en la producción, mientras que los ingresos se incrementan en $3700

A partir de estos resultados, es claro que la utilidad debe decrecer en $300.Podemos advertir esto con más detalle se consideramos que las utilidades obtenidas por la empresa son iguales a sus ingresos menos sus costos, de modo que la utilidad P(x) por la venta de x toneladas de fertilizante es:

P(x) = R(x) – C(x)

= 100x – 0.01x2 - (20,000 + 40x)

= 60x - 0.01x2 - 20,000.

En consecuencia, el incremento en la utilidad cuando x cambia de 3100 a 3200 es

∆ P = P (3200) – P (3100)

= [60(3200) – 0.01(3200)2 - 20,000] - [60 (3100 )−0.01 (3100 )2−20,000 ]

= 69,600 – 69,900 = - 300

Así pues, la utilidad decrece en $ 300. La taza de cambio promedio de la utilidad por tonelada extra es

∆ P∆ x

= −300100

= - 3

En donde x = 3200 – 3100 = 100. De modo que la utilidad decrece en un promedio de 3 por tonelada bajo el incremento dado en la producción.

13. Un fabricante de televisores desea vender un promedio de1000 televisores al mes a $50,000. El fabricante piensa que puede vender 100 televisores adicionales al mes por cada $2,000 de reducción en el precio. ¿Cuál es el precio que produce el mayor ingreso?.

Solución

Sea x el nuevo predio del televisor que produce el mayor ingreso, donde1= Ingreso=(precio del televisor) (numero de televisores vendidos)

El número de televisores que se desea vender es 1000 más 100 televisores por cada $2000 de reducción sobre $50000.

El Precio rebajado es el precio original menos el precio nuevo x es decir: 50000-x.

43

Page 44: aplicacion econ.

La cantidad de reducción de $2000 es: 50000-x 2000

Luego el número de televisores, excedentes de los 1000 vendidos será:1000+100(50000-x) = 50000-x 2000 20

El número de total de televisores vendidos: 1000+100(50000-x) 2000Entonces: l( (x)=x(100+50000-x)= 70000x- x 2 ahora derivando

20 20

l” (x)= 70000x- 2x =0 x= 35,000 20

l”(x) = 1 l´(35000<0 entonces se tiene un máximo en x=35000 10Por lo tanto el precio de venta por televisor es de $ 35000.

14. Una compañía de transporte, con una tarifa de $20, transporta 8000 pasajeros por día, al considerar un aumento de la tarifa, la compañía determina que perderá 800 pasajeros por cada $5 de aumento en estas condiciones. ¿Cuál debe ser el aumento para que el ingreso sea máximo?

Solución

Sea x el número de aumento de $5 en la tarifa entonces 20+5x es la tarifa resultante y el número de pasajeros será 8000-800x donde el ingreso es:

l(x)= (20+5x)(8000-800x) entonces l(x) = 4000(40+6x-x2), derivando l´(x) = 4000(6-2x) = 0 para el número crítico, de donde: 6-2x=0 x = 3

l”(x) = -8000 l(x) <0 V x

Luego x = 3 se tiene máximo. El aumento en el pasaje debe ser de 3x5 = 15

Y el nuevo valor del pasaje es $ 35.

15. El número de dólares del precio total de la manufactura de x relojes en cierta

fábrica está dada por: C(x) = 1500+30x +20/x, encontrar:

44

Page 45: aplicacion econ.

a) La función del costo marginal

b) El costo marginal cuando x = 40y

c) El costo de la manufactura del cuadragésimo primer reloj

Solución

Como la función costo total C(x) es dado: C(x) = 1500+30x+20 entonces x

a) La función costo marginal = C´(x) = 30- 20 X2

b) El costo marginal cuando x = 40 es: C´(10) = 30- 20_ = $29.29 1600c) Costo de manufactura del 41avo. Del reloj es C(41) –C(40) = $29.95

16. Supóngase que un líquido se produce por cierto proceso químico y que la

función del costo total C(x) está dado por C(x) = = 6+4 , donde C(x) $ es el

costo total de la producción de x galones de líquido. Encontrar:

a) El costo marginal cuando se produce 16 galones.

b) El número de galones producidos cuando el costo marginal es de 40

centavos por galón.

Solución

C(x) = La función del costo total para producir x galones: C(x) = 6 + 4 x

a).Costo marginal: Cm = C´(x) = 2_, el costo marginal cuando x = 16 galones X CM = C´(16) = __2 _ = 1 = 0/5 $/ galón 16 2 b).Número de galones cuando el CM. es 0.40 cent/gal.

$0.40 = _2 x = __4__ =25 galones x (0.40)2

17. Suponiendo que la función precio está dado por P(x) = 24 – 8x y la función

costo por C(x) = 4x+108 supóngase además que el gobierno grava las ventas con

un impuesto de t% por cada unidad.

Determinar en términos de t, la cantidad de producción que maximiza la utilidad.

45

x

Page 46: aplicacion econ.

Determinar también el valor de t, que maximiza la renta del gobierno por concepto

de impuesto.

Solución

La función utilidad = U(x) = l(x) – C(x) donde l(p) = xP(x) = ingreso = 40x – 8x2

C(x) = 4x+108 + tx = costo total U(x) = 40x – 8x2 – 4x – 108 - tx

U´(x) = 40 -16x – 4 – t = 0 x = 36 – 1 unidades en millones 9 16Renta del gobierno es = Ig(t) = xt = ( 36 – t )t 16Lg (t) = 36t – t 2 ltg (t) = 36 – 2t = 0 t = 18% 16 16

18. Si la ley de la demanda e P= a – c. Demuéstrese que el ingreso total disminuirá x cuando la producción aumenta, siendo el ingreso marginal una constante negativa.

Solución

Como la demanda es: P = a – c, entonces l(x) = xP = a – cx, por lo tanto, si x aumenta, xel término cx aumenta y su diferencia con “a” disminuirá además lmg = dl(x) = -c constante negativa dx

19. Si la función de costo total es C(x) = 0.1 x2 + 5x + 200. Determinar el costo

promedio y costo marginal

Solución

Como la función costo total C(x) = 0.1 x2 + 5x + 200

c (x) = C(x) = función costo promedio; entonces C (x) = 0.1x + 5 + 200 x x dC(x) = costo marginal = 0.2x + 5.

20. Una empresa tiene una producción de x toneladas de cierto artículo con un

costo variable total dado por C(x) ax3 –bx2 +cx. Demostrar que la curva de costo

medio es una parábola. Hallar la producción que corresponde al costo medio

mínimo y el valor del costo medio respectivo.

Solución

El costo medio = Cme =C(x) = ax2 –bx +c completando cuadrados se tiene: xCme(x)= a(x2 –b x + b 2 + c - b 2) = a(x – b )2 + c – b 2 = a(x - b )2 + 4ac – b 2

46

Page 47: aplicacion econ.

a 4a2 a 4a2 2ª 4ª 2a 4ª

de donde Cme + b 2 -4ac = a(x – b )2 ecuación que representa una parábola, con v 4ª 2ª( b , b 2 -4ac ), ahora veremos el Cme(x)mínimo Cme(x) = 2ax –b= 0 x= b 2a 4ª dx 2a

d 2 Cme(x) = 2a > 0 V x x = b dx2 2aserá le producción que corresponde al Cme(x) mínimo.El valor del costo medio mínimo será: Cme( b) = a(b)2 –b(b) + c = 4ac – b 2 2a 2a 2a 4a

21. Un fabricante de radios averigua que puede vender x instrumentos por semana a P pesos cada uno, siendo 5x= 375 – 3P. El costo de la producción es (500 + 15x + x 2 ) pesos. 5Demostrar que se obtiene la máxima ganancia cuando la producción es alrededor de 30 instrumentos por semana.

SoluciónIngreso Total = l(x) = por venta de número de instrumentos: I(x) = xPCosto Total = c(x) = 500 + 15x + x 2 5Ganancia o Utilidad = u(x) = I(x) – c(x) …………..(1)Pero 5x = 375 – 3P P = 375 – 5x 3 L(x) = xP = 375 – x 2 3Luego ……………(2) c(x9 = 500 + 15x + x 2 5

Reemplazando (2) en (1) se tiene: u(x) = 375x – 5x 2 - (500+ 15x + x 2 ), derivando 3 5u´(x)375 – 10x -15- 2x = 1875 – 50x – 225 -6x = 0 3 5 151650 – 56x = 0 x = 1650 = 29.46 valor crítico 56 U”(x) = 56 u”(29.46) = - 56 < 0 máximo en x = 29.46 15 15 La máxima ganancia se obtiene al producir alrededor de 30 instrumentos por semana.

47

Page 48: aplicacion econ.

22. En esta semana en una fábrica se produjeron 50 unidades de cierta mercancía y la cantidad de producción aumenta razón de 2 unidades por semana. Si C(x) dólares es el costo de producción de x unidades donde C(x) = 0.08 x3 – x2 + 10x + 48, calcule la rapidez actual a la que el costo de producción aumenta.SoluciónSea x= número de marcancíadx = 2 unid/semanadcdc = rapidez actual en la que el costo de producción aumenta.dtcomo c(x) = 0.08 x3 – x2 + 10x + 48 derivando se tiene:

dc(x) = 0.24 x2 dx + 10dx dt dt dtdc(50) = 0.24(50)2 (2) – 2(50)(2) + 10(2) = 0.48(50)2 = 1020 dt Dlc(50) = 102023. En cierto Mercado, la demanda por una clase especial de cereal para el desayuno está indicada por la ecuación de la demanda: Px + 25P = 4000, donde P centavos es el precio de una caja y X miles de cajas es la cantidad semanal demandada. Si el precio actual de dicho cereal es de 80 centavos por caja y ese precio aumenta a razón de 0.2 centavos semanales, calcule la razón de cambio de la demanda.SoluciónDatos: dP = 0.2 centavos/semana; dx = ? Para P = 80 dt dt Como Px + 25P = 4000 x= 4000 – 25 P Px = 4000 – 25 dy = - 4000 dP P dt 2 dtdx = - 4000(0.2) = - 800 = 10 = 1 = - 0.125dt (802)2 (80)(80) 80 8

La demanda disminuye a razón de 0.125 miles de cajas por semana.

24. Suponga que “y” es el número de trabajadores en la fuerza laboral necesaria para producir x unidades de cierta marcancía y, x= 4y2. Si la producción de esta mercancía, este año es de 250,000 unidades y la producción aumenta a razón de 18000 unidades anuales.¿cuál es la razón actual a la que se debe incrementar dicha fuerza laboral?SoluciónDatos: x = 250,000 unidades; dx 18,000 unidades anuales; dy =?

Dt dt

48

Page 49: aplicacion econ.

Como x = 4y2, cuando x = 250,000, y y = 250 ahora derivando implícitamente la ecuación x = y2 con respecto al tiempo.

dx = 8y dy reemplazando los datos. 18000 = 8(250) dy dy = 18000 = 9dt dt dt dt 8(250)

dy = 9 trabajadores anuales

25.- Calcular los máximos y mínimos de la función f ( x )=x . Lx .

Calculamos la derivada de la función: f ' ( x )=1 .Lx+x⋅1

x=Lx+1

Anulamos la función derivada para calcular donde la función tiene los posibles extremos:

Lx+1=0⇒Lx=−1⇒ x=e−1

Para determinar si este punto que anula la derivada corresponde con un máximo o un mínimo, aplicaremos en este caso el criterio de la derivada segunda. Empezaremos calculándola:

f ''( x )=1x

Si sustituimos el valor que anula la derivada primera nos encontraremos que:

f ''( e−1 )= 1

e−1=e>0

y, por tanto, la función tiene un mínimo enx=e−1 .

26.-Determina el parámetro k para que el mínimo de la función

f ( x )=x2+2 x+k sea igual a 8.

Calculamos el punto donde la función tendrá el extremo; este punto tendrá que

anular la derivada de función: f ' ( x )=2 x+2⇒2x+2=0⇒ x=−1

Como nos dicen que el valor mínimo es 8, tendremos:

f (−1 )=8⇒1−2+k=8⇒k=9

En consecuencia, nuestra función será: f ( x )=x2+2 x+9

27.-Obtener los parámetros a y b para que la función f ( x )=x2+ax+b

alcance un mínimo en el punto P(−1,2) .Puesto que en el punto P la función alcanza un mínimo, el punto P pertenece a

la gráfica de la función y se verificará que f (−1 )=2⇒1−a+b=2⇒−a+b=1

49

Page 50: aplicacion econ.

Por otra parte, por ser un extremo de función (mínimo) se tendrá que anular la

función derivada en él: f ' (−1 )=0⇒ {f '( x )=2 x+a }⇒−2+a=0⇒a=2

Resolviendo el sistema formado por las condiciones obtenidas, nos queda:

−a+b=1 ¿ }¿¿⇒¿ {a=2 ¿¿¿Por tanto, la función buscada será: f ( x )=x2+2 x+3

28.-Determina todas las funciones f de la forma

f ( x )=ax 3+bx2+cx+d con a≠0 , y que verifican f ' (−1 )=f ' (1)=0 .¿Alguna de las funciones determinadas anteriormente verifica

f (0)=f (1 )=0? Razona las respuestas.

Calculamos la derivada de la función dada f ' ( x )=3 ax 2+2bx+c y aplicamos las condiciones impuestas por el enunciado:

f ' (−1 )=3 a−2 b+c ¿ }¿¿⇒¿ {3 a−2 b+c=0 ¿ ¿¿Resolviendo el sistema obtenido:

3 a−2b+c=0 ¿ }¿¿⇒¿ {6a+2 c=0⇒3a+c=0⇒c=−3a ¿¿¿Sustituyendo los valores obtenidos en la función dada, obtenemos:

f ( x )=ax 3−3ax+d con a≠0 ,

que sería la expresión de todas las funciones que cumplen la condición impuesta.

Veamos si alguna función de esta familia verifica que f (0)=f (1 )=0 . Podríamos tener un doble camino para comprobar esto:

• Aplicando directamente las condiciones obtenemos:

f (0)=d ¿ }¿¿⇒¿ {d=0 ¿ ¿¿Al obtener que a = 0, entramos en una contradicción ya que a era distinto de cero. Por tanto, no hay ninguna función de las encontradas que verifique

que f (0)=f (1 )=0 .

29.-Hallar dos números cuya suma sea 20 y su producto el mayor posible.

50

Page 51: aplicacion econ.

Supongamos que los números buscados son x e y. Se tendrá que verificar que

Entonces, despejamos una de las dos variables y sustituimos en la función a optimizar, quedándonos ésta en función de una sola variable:

Obtenida la función a optimizar dependiendo de una sola variable, buscaremos los extremos de esta función:

P '( x )=20−2 x⇒20−2 x=0⇒ x=202=10

Por último, comprobamos si este valor corresponde con un máximo o con un mínimo:

P ''( x )=−2⇒P ''(10 )=−2<0

Luego, para el valor x = 10, la función alcanza un máximo y los dos números en los que se puede descomponer el número 20 de forma que el producto de ellos sea máximo serán x = 10 e y = 10.

30.-Calcular las dimensiones del mayor rectángulo cuyo perímetro es de 40 m

El mayor rectángulo es el de mayor área. Si suponemos que las dimensiones del rectángulo son x e y, tendríamos:

Operando igual que en el ejercicio anterior, obtenemos: despejamos una de las dos variables y sustituimos en la función a optimizar, quedándonos ésta en función de una sola variable:

Obtenida la función a optimizar dependiendo de una sola variable, buscaremos los extremos de esta función:

S '( x )=20−2 x⇒20−2 x=0⇒ x=202=10

Por último, comprobamos si este valor corresponde con un máximo o con un mínimo:

S ''( x )=−2⇒S ''(10 )=−2<0

Luego, para el valor x = 10, la función alcanza un máximo y el rectángulo buscado es un cuadrado de lado 10 m.

51

Page 52: aplicacion econ.

31.-De todos los rectángulos inscritos en una circunferencia de radio R, calcular las dimensiones del que tenga área máxima. Razona el proceso.

Operaremos como en los casos anteriores: en la relación entre las dos variables despejaremos una de ellas para dejar la función a optimizar dependiendo de una sola variable:

Calculamos la derivada primera y vemos donde se anula:

S '( x )=√4 R2−x2+x⋅ −2 x

2√4 R2−x2=(√4 R2−x2 )2−x2

√4 R2−x2=4 R2−2 x2

√4 R2−x2⇒

⇒ 4 R2−2 x2

√4 R2−x2=0⇒4 R2−2x2=0⇒2 R2−x2=0⇒ x=±√2 R2=±R√2

Veamos que valor corresponde con el máximo: calculamos la derivada segunda de la función:

Sustituyendo en esta derivada los valores que anulaban la derivada primera obtenemos:

S ''(R√2 )<0 ⇒ máximo y S ''(−R√2 )>0 ⇒ mínimo

Por tanto, para obtener área máxima el valor de x deberá ser x=R√2 que

sustituido donde tenemos despejada la variable y obtenemos y=R √2 .

32.-Determina el punto de la curva cuya ecuación es y=x2 que está más

cerca del punto A=(3,0 ).

52

Suponiendo que las dimensiones del rectángulo inscrito en la circunferencia son x e y, el área de dicho

rectángulo nos vendrá dada por:

La relación entre las dos variables habrá que buscarla a través del diámetro de la circunferencia, ya que éste con los lados del rectángulo forma un triángulo rectángulo:

Consideremos que el punto de la curva que está más

cerca de A es el punto P( x , y ) que por ser de la

curva verificará su ecuación, es decir que y=x2.

Por otra parte, como es el que está más cerca de A, la distancia entre ellos tiene que ser mínima (la menor posible):

d=2Ry

x

y=x2

A(3,0 )

P( x , y )

Page 53: aplicacion econ.

d ( A , P)=√( x−3 )2+( y−0)2≡ mínima ⇒ d ( A , P)=√( x−3 )2+ y2

Teniendo en cuenta la relación entre las dos variables nos queda:

d ( x )=√( x−3 )2+ y2=√( x−3 )2+( x2 )2=√( x−3)2+x4⇒

⇒d ' ( x )=2( x−3 )+4 x3

2√(x−3)2+ x4=( x−3)+2 x3

√( x−3 )2+x4

Anulamos la derivada:

( x−3 )+2 x3

√( x−3 )2+x4=0⇒( x−3 )+2 x3=0⇒2 x3+ x−3=0⇒

⇒( x−1)(2 x2+2 x+3)=0⇒¿ {x−1=0⇒ x=1¿ ¿¿Calculamos la segunda derivada:

d ''( x )=

(1+6 x2 )√(x−3)2+ x4−(2 x3+x−3 )(x−3)+2 x3

√( x−3 )2+x4

( x−3 )2+x4

En el punto x = 1: d ''(1)=7√5

5>0⇒

corresponde con un mínimo.

En consecuencia, el punto de la curva dada que está más cerca de A es el punto P(1,1).

33.-Demuestra que la suma de un número real positivo no nulo y su inverso es mayor o igual que 2.

Sea x un número real positivo no nulo y sea f la función definida de la

forma f ( x )=x+ 1

x

Si queremos demostrar que los valores que toma esta función son mayores o iguales que 2, quiere decir que el valor mínimo que toma la función es 2. Veamos que verdaderamente es así y para ello calcularemos, primeramente, donde alcanza el valor mínimo y si éste es igual a 2:

f ' ( x )=1− 1

x2⇒1− 1

x2=0⇒ x2−1=0⇒ x=±1

Hemos encontrado dos valores que anulan la derivada de la función de los cuales eliminamos el valor negativo ya que x era un número real

positivo. Para el valor x=1 veamos que signo tiene la derivada segunda:

53

Page 54: aplicacion econ.

f ''( x )= 2

x3⇒ f ''(1 )=2>0⇒

tiene un mínimo.

El valor que toma la función para x=1 será: f (1)=1+ 1

1=2

que es el valor mínimo que toma la función.

EJERCICIOS.

1. Hallar la ecuación de la tangente a las curvas en los puntos que se indican:

f ( x )=3 x2+8 en el punto P(1,11).

f ( x )=x5+1 en el punto P(0,1)

f ( x )=32 x2+1 en el punto de abscisa x = 0.

f ( x )=x .e x en el punto de abscisa x = 0.

2. Escribir la ecuación de la recta tangente a la hipérbola x⋅y=1 en el punto de abscisa x = 3.

3. ¿En qué punto de la gráfica de la función f ( x )=x2−6 x+8 la tangente es paralela a la bisectriz del primer cuadrante?

4. Determinar los puntos de la curva y=x3+9 x2−9x+15 en los cuales la

tangente es paralela a la recta y=12 x+5 .

5. Buscar los puntos de la curva y=x 4−7 x3+13 x2+x+1 que tienen la tangente formando un ángulo de 45º con el eje de abscisas.

6. Estudiar la derivabilidad de la función f ( x )=¿ {1 si x≤1¿ ¿¿¿

Dibujar la gráfica.

7. Demostrar que la función f ( x )=|x−2| no puede tener tangente en el punto de

abscisa x=2

8. Dada la función f ( x )=x⋅|x|, hallar f ' ( x ) y f ''( x ) . Representar gráficamente los resultados.

9. Estudia la derivabilidad de la función f ( x )=(1−|x|)2 en el intervalo [−1,1 ] .

10.Estudia la derivabilidad de la función f ( x )=|cos x| en el intervalo [0 , π ] .11.Halla la derivada de la función

f ( x )=¿ {x2⋅sen1x

si x≠0¿ ¿¿¿

54

Page 55: aplicacion econ.

¿Es f ' continua en x=0 ? ¿Es f ' derivable en x=0 ?

12.Calcula m y n para que la función

f ( x )=¿ {x2−5 x+m si x≤1 ¿¿¿¿sea derivable en todo .

13.Estudiar la derivabilidad de las siguientes funciones y, en caso de no sean derivables en algún punto, dar el valor de sus derivadas laterales:

f ( x )=¿ {3 x−1 si x<3¿ ¿¿¿ f ( x )=¿ {x2−1 si x≤1¿ ¿¿¿

14.Consideremos la función f ( x )=x⋅g( x ) . Sabiendo que g(x) es continua en 0, probar que f(x) es derivable en 0 y calcular su derivada. (No se puede suponer que g es derivable; puede no serlo).

Ejercicios.

1. Descompón el número 25 en dos sumandos tales que el doble del cuadrado del primero más el triple del cuadrado del segundo sea mínimo.

2. Hallar las dimensiones de un campo rectangular de 3.600 m de superficie para poderlo cercar mediante una valla de longitud mínima.

3. Un jardinero quiere construir un parterre en forma de sector circular con perímetro de 20 m ¿Cuál será el radio que da el parterre de área máxima? ¿Cuál será la amplitud en radianes del sector?

4. La curva y=√1+t2−t representa un río. En el punto P(2,0 ) hay una ciudad desde la que se desea construir una tubería rectilínea hasta el río.

¿En qué punto Q del río debe terminar la tubería para que ésta sea lo más corta posible?

Comprueba que en dicho punto Q la tubería es perpendicular al río.

5. Entre todos los triángulos isósceles de perímetro 30 cm, ¿cuál es el de área máxima?

6. Se quiere construir un recipiente cónico de generatriz 10 cm y de capacidad máxima. Cuál debe ser el radio de la base?

55

Page 56: aplicacion econ.

7. Hallar el punto de la parábola y2=6 x cuya distancia al punto P( 4,0) sea mínima.

REGLA DE L'HÔPITAL.

Si las funciones f ( x ) y g( x ) son derivables en un entorno de a y tales que

f (a )=g(a )=0 , entonces, si existe límx→a

f '( x )g ' ( x ) se verifica que

límx→a

f ( x )g ( x )

=límx→a

f ' ( x )g ' (x )

La demostración de este teorema tiene su fundamento en el Teorema de Cauchy.

La regla de L'Hôpital también se puede aplicar cuando x→∞ , pues

haciendo el cambio de variable x= 1

y estaríamos en el caso anterior.

Es válida la misma regla cuando f ( x ) y g( x ) tienden a cuando x→a .

EJEMPLOS.

límx→2

3 x2+2 x−16x2−x−2

=00

Aplicamos L’Hôpital:

límx→2

3 x2+2 x−16x2−x−2

=límx→2

6 x+22 x−1

= 6 .2+22.2−1

=143

A veces es necesario aplicar más de una vez la regla de L’Hôpital para quitar la indeterminación:

límx→0

(2−x )e x−x−2

x3=(2−0 )e0−0−2

03=0

0

Entonces:

Nuevamente aplicaríamos la regla de L’Hôpital:

límx→0

ex−xex−13 x2

=límx→0

e x−ex−xe x

6 x=lím

x→0

−xe x

6 x={00 }

Aplicamos, otra vez, la regla de L’Hôpital:

56

Page 57: aplicacion econ.

límx→0

−xex

6 x= lím

x→0

−ex−xex

6=−e0−0 . e0

6=−1

6

Para las otras indeterminaciones tendríamos:

Límites de la forma 0⋅∞

Suponiendo que f→0 y g→∞ , se efectúa el cambio

f⋅g= f1

g con el

que pasaríamos a la indeterminación

00 y, entonces, aplicaríamos la regla de

L'Hôpital.

II. También se puede hacer

f⋅g= g1

f y nos quedaría la indeterminación

∞∞ .

Ejemplo:

límx→0

x . Lx=0 . L0=0 .∞

Efectuando cualquiera de las transformaciones anteriores, nos queda:

límx→0

x . Lx=límx→0

Lx1x

=∞∞

Aplicando L’Hôpital:

límx→0

x . Lx=límx→0

Lx1x

=límx→ 0

1x

−1

x2

=−límx→ 0

x2

x=−lím

x→ 0x=0

Límite de la forma ∞−∞.

Si suponemos que f y g tienden a para estudiar el límite de f g

podemos hacer el cambio:

f−g=f⋅(1−gf) que suele ser un límite más

fácil de calcular.

Ejemplo:

límx→0( 1

x− 1

sen x )=∞−∞57

Page 58: aplicacion econ.

En este caso, nos resulta más cómodo efectuar la diferencia para pasar a la

indeterminación

00 y aplicar la regla de L’Hôpital:

límx→0( 1

x− 1

sen x )=límx→0

sen x−xx .sen x

=00

límx→0(1x −1

sen x )=límx→0

sen x−xx . sen x

=límx→0

cos x−1sen x+x cos x

={00 }= límx→0

−sen xcos x+cos x−x sen x

=

¿−sen 02 .cos 0−0. sen 0

=02=0.

Límites de la forma 1∞ , ∞0 , 00 .

Para quitar este tipo de indeterminación se suele utilizar la expresión:

f g=e g⋅Lf

pasando así a alguna de las indeterminaciones anteriores.

Ejemplo:

límx→0( cos2x )

3

x 2

=1∞

límx→0( cos2x )

3

x2

=elímx→0

3

x2. L(cos 2 x )

=elímx→0

3 . L(cos 2 x)

x2

=e{00 }=e

límx→0

3⋅−2 sen 2 xcos 2x

2 x=e

límx→0

−6 tg 2 x2x

=e{00 }=

=elímx→0

−6 . 2(1+ tg22 x )2 =e

−6 .2(1+0 )2 =e−6

límx→0( 1

x )tg x

=∞0

límx→0(1x )

tg x

=elímx→0

tg x⋅L1x=e

límx→0

tg x⋅(−Lx)

=e

límx→0

−Lx1

tg x =elímx→0

−Lxctg x =e (∞∞ )=

=e

límx→0

−1x

−1

sen2 x =elímx→0

sen2xx =e

(00 )=elímx→0

2 sen xcos x1 =e0=1 .

EJERCICIOS.

límx→0

x4−13

x3

x−tg x

límx→0

x−sen x

sen x2

58

Page 59: aplicacion econ.

lím x→1( 1

Lx− 1

x−1 )límx→∞(Lx )

1

ex

límx→π

2

cos x⋅Ln( tg x )

límx→ π

2

( tg x )cos x

lím x→+∞

(Ln x )2x

límx→∞

x .L( 1+xx )

límx→∞

(x⋅x√a−1 )

límx→0+

( 2 x−1x

− 1sen x )

límx→0( 1sen x

−1x )

límx→π

2 (1

cos2 x− tgx

1−4 xπ )

DERIVACIÓN IMPLÍCITA

Si f(x, y = 0 => dydx

método practico

f x (x, y) es la derivada con respecto a y manteniendo a x como constante

PROBLEMAS

Determinar a) dydx

b) d2 yd x2

En el caso de cada una de las siguientes funciones mediante derivación implícita

1) X2 + y2 =1

59

Page 60: aplicacion econ.

Desarrollo

Si f (x, y) = X2 + y2 -1 => {f x ( x , y )=2 xf y ( x , y )=2 y

dydx

= – f x ( x , y )f y ( x , y )

=−2 x2 y

=−xy=¿ dy

dx=−x

y

d2 yd x2 =

y−xdxdy

y2 =y−x y

x

y2 = y2+x2

y3 = 1y3

2) x3+ y3=1

Desarrollo

Sea f (x, y) = x3+ y3 - 1 => {f x ( x , y )=3 x2

f y ( x , y )=3 y2 dydx=−f x ( x , y )

f y ( x , y )=−x2

y2 =¿dydx=−x2

y2

d2 yd x2=

− y22 x−2 x2 ydxdy

y4 =−¿ 2 xy2−2 x2 y (−¿y2

x2

)

y 4 =−2 xy2+ 2 x4

yy4 =−2 xy3+2 x4

y 4 ¿

¿−2 x (x¿¿3+ y2)

y4 ¿

3) x23+ y

23=1

Desarrollo

60

∴ d2 yd x2=¿

¿−2 x

y4

Page 61: aplicacion econ.

Sea f ( x , y )=x23+ y

23−1=¿ {f x (x , y ) 2

3 x13

f y ( x , y ) 2

3 y13

dydx=−f x ( x , y )

f y ( x , y )=

2

3 x13

2

3 y13

=− y

13

x13

=¿dydx=− y

13

x13

d2 y

dx2 =−x

23

y23

3dydx−

13

y13 x

23

x23

=

−y

13 x

23

3(− y

13

x13

)−13

y13 x

23

x23

=−13(

y13+ y

13 x

23

x23

)=−( x23+ y

23

x43 y

13 )

4) X y + y2 = 1

Desarrollo

Sea f ( x , y )=¿Xy + y2 – 1 => { f x ( x , y )= yf y ( x , y )=x+2 y

dydx=−f x ( x , y )

f y ( x , y )= − y

x+2 y=¿ dy

dx= − y

x+2 y

d2 y

dx2=−( x+2 y ) dy

dx−(1+2

dydx )

¿¿¿− xy+2 y2+xy

¿¿

61

d2 yd x2=

1

3 x43 y

43

d2 yd x2=

2 y (x+ y)¿¿

Page 62: aplicacion econ.

5) y2=x3

Desarrollo

Sea f ( x , y )= y2−x3=¿ {f x (x , y )=−3 x2

f y ( x , y )=2 y

dydx=−f x ( x , y )

f y ( x , y )=−3 x2

2 y=−3 x2

2 y=¿

d2 ydx2 =

32(2 xy−x2 dy

dxy2 )=3

2(

2 xy−x2( 3 x2

2 y)

y2 )=32( 4 xy2−3 x4

2 y3 )=32( 4 xy4−3 x4

2 y3 )

d2 ydx2 =

3 x4

4 y3 = 3 x4

4 y3

6) xy=а

Desarrollo

Sea f ( x , y )=xy−а=¿ {f x ( x , y )= yf y ( x , y )=x

dydx

=- f x ( x , y )f y ( x , y )

=− yx=¿

d2 y

dx2 =x

dydx− y

x2 =−x (− y

x)− y

x2 =2 y

x2

7) x2 y2=b

Desarrollo

Sea f ( x , y )=x2 y2−b=¿ {f x ( x , y )=2x y2

f y ( x , y )=2 x2 y

dydx

= - f x ( x , y )f y ( x , y )

=2 x y2

2 x2 y=− y

x=¿ dy

dx=− y

x

62

dydx

=

dydx=− y

x

d2 ydx2 =

2 yx2

¿ 3x4 y

Page 63: aplicacion econ.

d2 y

dx2 =x

dydx− y

x2 =−x (− y

x)− y

x2 =2 y

x2

8) x2 y3=c

Desarrollo

Sea f ( x , y )=x2 y3−c=¿ { f x ( x , y )=2x y3

f y ( x , y )=2x2 y2

dydx

= - f x ( x , y )f y ( x , y )

= 2 x y3

2 x2 y2=− y

x=¿ dy

dx=−2 y

3 x

d2 y

dx2 =23(

xdydx− y

x2 )=−23(x (−2 y

3 x)− y

x2 )=10 y

9 x2

9) x+ y−xy=2

Desarrollo

Sea f ( x , y )=x+ y−xy−2=¿ {f x ( x , y )=1− yf y ( x , y )=1−x

dydx

= - f x ( x , y )f y ( x , y )

=−1− y1−x

=¿ dydx= y−1

1−x

d2 y

dx2 =(1−x ) dy

dx( y−1 )(−1)

(1−x )2=

(1−x ) y−11− y

+ y−1

(1−x)2=

y−1+ y−1¿¿

63

d2 ydx2 =

2 yx2

d2 ydx2 =

10 y9 x2

¿2( y−1)¿¿

Page 64: aplicacion econ.

10) x2 y2+xy=1

Desarrollo

Sea f ( x , y )=x2 y2+xy=¿ {f x (x , y )=2 x y2+1

f y (x , y )=2 x2 y+x

dydx

= - f x ( x , y )f y ( x , y )

=−2 x y2+ y2 x2 y+x

=− y (2 x y2+1)

x (2 x y2+1)=− y

x

d2 y

dx2 =x

dydx− y

x2 =x(−dy

dx)− y

x2 =2 y

x2

11) x3 y3+x2 y2=a

Desarrollo

Sea f ( x , y )=¿ x3 y3+x2 y2−a=¿ {f x ( x , y )=3 x2 y3+2 x y2

f y ( x , y )=3 x3 y2+2 x2 y

dydx

= - f x ( x , y )f y ( x , y )

=−3 x2 y3+2 x y2

3 x3 y2+2 x2 y=−x y2(3 y+2)

x2 y (3x+2)=− y

x

d2 y

dx2 =x

dydx− y

x2 =x(− y

x)− y

x2 =2 y

x2

12) x+ y+xy+ y2=b

Desarrollo64

dydx

=

d2 ydx2 =

2 yx2

dydx

=

d2 ydx2 =

2 yx2

Page 65: aplicacion econ.

Sea f ( x , y )=¿ x+ y+xy+ y2−b=¿ { f x ( x , y )=1+ yf y ( x , y )=1+ y+2 y

dydx

= - f x ( x , y )f y ( x , y )

= −1+ y1+ y+2 y

=−dydx= −1+ y

1+x+2 y

dydx

= - f x ( x , y )f y ( x , y )

=−(1+x+2 y ) dydx−(1+ y ) ¿¿

¿−−(1+ y )−¿¿

13) x2+x2=a

Desarrollo

Sea f ( x , y )=x2 y2−b=¿ {f x ( x , y )=3 x2 y2

f y (x , y )=2 x3 y

dydx

= - f x ( x , y )f y ( x , y )

=3 x2 y2

2 x3 y=−3 y

2 x

d2 y

dx2 =−32

xdydx− y

x2 =−32

x (−3 y2 x

)− y

x2 =−32

(−3 y−2 y

x2)

14) x2+ xy=a2

Desarrollo

Sea f ( x , y )=x2+ xy−a2=¿ {f x ( x , y )=2x+ yf y ( x , y )=x

65

dydx=3 y

2 x

¿2 (1+ y )(x+ y )

1+ y+2 y3

= 15 y

4 x2

Page 66: aplicacion econ.

dydx

= - f x ( x , y )f y ( x , y )

=2 x+ yx

d2 y

dx2 =−x

dydx− y

x2 =−x (−2− y

x)− y

x2 =−−2 x− y− y3

2=

2(x+ y )x2

15) xy2+ y2=a

Desarrollo

Sea f ( x , y )=xy2+ y2−a=¿ { f x ( x , y )= y2

f y ( x , y )=2 xy+2 y

dydx

= - f x ( x , y )f y ( x , y )

= y2

2 xy+2 y= − y

2(x+1)

d2 ydx2 =

−12 ( ( x+1 ) dy

dx− y

( x+1 )2 )=−12 ( ( x+1 )( − y

2 (x+1 ) )− y

( x+1 )2 )=−12 (− y−2 y

2 ( x+1 )2 )= 3 y

4 ( x+1 )2

16) xy+ y2=b

Desarrollo

Sea f ( x , y )=xy+ y2−b=¿ { f x ( x , y )= y

f y ( x , y )=x+3 y2

dydx

= - f x ( x , y )f y ( x , y )

= − yx+3 y2 =>

66

dydx=2− y

x

dydx= y

2 (x+1)

dydx= − y

x+3 y2

d2 ydx2 =

2(x+ y )x2

d2 ydx2 =

2(x+ y )x2

Page 67: aplicacion econ.

d2 y

dx2 =−(x+3 y2 ) dy

dx− y (1+6 y

dydx)

¿¿

17) ¿

Desarrollo

Sea f ( x , y )=¿

dydx

= - f x ( x , y )f y ( x , y )

=−2(x+ y )+3¿¿

Por lo tanto dydx=−1

18) x2+ x2=ab

Desarrollo

Sea f ( x , y ) x2+x2−ab=¿ {f x ( x , y )=2 xf y ( x , y )=2 y

dydx

= - f x ( x , y )f y ( x , y )

=−2 x2 y

=−xy=¿

dydx

= - xy

d2 y

dx2 =− y−x

dydx− y

y2 =− y−x(−x

y)

y2 =−x2+ y2

y3 =−ab

y3

67

xy+3 y3+x−3 y2

¿¿

d2 ydx2 =0

Page 68: aplicacion econ.

19) y2= x−1x+1

Desarrollo

2 ydydx=

( x+1 )−(x−1)¿¿

20) y2−xy+ y3=1

Desarrollo

3 x2− y−xdydx+3 y2 dy

dx=0=¿ (3 y2−x ) dy

dx= y−3 x2=¿

21) x2= x− yx+ y

Desarrollo

2 x=(x+1 )(1−dy

dx )−( x+ y )(1+ dydx )

¿¿

2 x=x+ y−( x+ y ) dy

dx−x+ y−(x− y) dy

dx¿¿

2 x=2 y+(−x− y−x+ y

dydx )

¿¿68

d2 ydx2 =

−aby3

dydx

1y¿¿

dydx= y−3 x2

3 y2−x

Page 69: aplicacion econ.

2 x=

2 y−2xdydx

¿¿

x ¿

22) y=x ¿

Desarrollo

dydx=¿

23) y=x−12 +x

−13 +x

−14

Desarrollo

24) y2= x2−1x2+1

Desarrollo

2 ydydx=

(x2−1 )2 x− (x2−1 )2 x¿¿¿

69

dydx= y−x ¿¿

dydx= 1¿¿

dydx= 2 x

y¿¿¿

dydx=1

2x−12 + 1

3x−13 + 1

4x−14

Page 70: aplicacion econ.

25) ¿

Desarrollo

3¿

3¿

¿

(3 x3+6 xy+3 y2−3 x2+6 xy+3 y2−4 y3 ) dydx=4 x3−3 x2−6 xy−3 x2−3 y2+6 xy+3 y2

(12 xy−4 x3 ) dydx=4 x3−6 x2=¿ dy

dx=

2 x2(2x−3)4 y (x− y2)

26) y=¿

Desarrollo

dydx=4 ¿

27) 1y+ 1

x=1

Desarrollo

1y+ 1

x=1=¿−¿

1

y2

dydx− 1

x2=0

28) y=¿¿

Desarrollo

dydx=1

3¿¿

70

¿x2(2 x−3)

2 y (3 x− y2)

¿¿

∴ dydx=− y2

x2

Page 71: aplicacion econ.

¿2 x2−3(x¿¿2+1)3 x2 ¿¿¿

¿

29) cos2 x+tgy sen y=0

Desarrollo

2 cos x (−sen x )+sen2 y sen ydydx+tg ycos x

dydx=0

−2 sen x cos x+sen2 y sen ydydx+sen y

dydx=0

sen y¿

30) cosec x−sec y+ tg y+ctg x=0

Desarrollo

−cosec x ctg x−sec y tg ydydx+sec2 y

dydx−cosec2 x=0

( sec2 y−sec y tg y ) dydx=cosec2 x+cosec x ctg x

31) xyex+e y=0

Desarrollo

( xy )' ex

+xy (ex) '+(ey )'=0=¿ ( y+x y ' )ex+xy ex . y '=071

dydx= x2+3

3 x2 ¿¿¿

dydx= 2 cos x sen x

sen y (1+sen2 y )

dydx= cosec2 x+cosec x ctg x

sec2 y−sec y tg y

Page 72: aplicacion econ.

yex+x ex y '+e y y '+xy ex=0=¿ (x ex+e y) dydx=−xy ex− y ex

dydx=− y (x ex+e y )

x ex+e y =− y ( x+1 ) ex

x ex+e y =− y ( x+1 ) ex

x ex+e y =− y ( x+1 )x ex+e y

32) y ex=10+ y e y

Desarrollo

ex dydx= ye x=e y dy

dx+ ye x dy

dx=¿ (e y+ y ey−ex ) dy

dx= y ex

72

dydx=−x

y( 1+x1− y

)

dydx= ye x

ey+ y e y−e x