Aplicacion ecuaciones diferenciales Enviado por jcforza 18/09/2013 1443 Palabras

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INTRODUCCIÓNEl siguiente proyecto es acerca de la aplicación de la ley de Torricelli, una parte teórica en la cual se presentó una situación problema de un cono invertido, y otra parte práctica en la cual se procedió a realizar un tanque en forma de semiesfera teniendo las dimensiones siguientes: 17.1 cm de altura total y radio de la esfera, 0.75 cm para el radio de salida 15 cm para la altura inicial del fluido, (agua para este caso). Luego de haber realizado el proyecto se procedió a verificar la ley de Torricelli la cual dicta que el flujo de salida de un líquido por un orificio es proporcional a la raíz cuadrada de la altura del líquido medida con respecto a la posición del orificio de salida. Para ello se procedió a realizar el llenado del tanque en forma semiesférica a una altura inicial de 15 cm cinco veces, obteniendo el tiempo promedio de vaciado, esto con el fin de verificar la cercanía del dato teórico de 34.02s con el experimental y determinar la variación porcentual entre tales valores.

FUNDAMENTOS TEÓRICOSLey de TorricelliEsta ley dicta que la velocidad de salida de un líquido por un orificio realizado en su fondo es la misma que la que adquiere un cuerpo que cae libremente en el vacío desde una altura h, siendo h la altura de la columna de fluido. El procedimiento consiste en realizar primero el experimento para un depósito el cual tiene caudal de entrada cero y se calcula el coeficiente de contracción a la salida del

depósito, posteriormente se realiza el mismo cálculo pero tomando en consideración que el caudal de entrada es el caudal de salida del primer deposito.GravedadLa fuerza de gravedad, descrita formalmente por Isaac Newton durante la segunda mitad del siglo XVII, es un fenómeno por el cual todos los objetos con una masa determinada se atraen entre ellos. Esta atracción

depende de la masa del objeto en cuestión; mientras más masa, mayor será la fuerza de atracción.Newton afirma que un cuerpo en reposo o en movimiento rectilíneo uniforme permanecerá en esa condición hasta que una fuerza externa los haga cambiar (primera ley). Por lo tanto, la fuerza de gravedad no es exclusiva para el planeta Tierra, todos los cuerpos la ejercen, pero depende de la masa de cada uno. Como el Sol posee una gran cantidad de masa, es capaz de mantener a todo el sistema solar en órbitas en torno a él.Según los resultados del experimento de Galileo, todos los cuerpos caen con la misma aceleración independiente de sus masas. Esto complementándolo con la segunda ley de Newton (la fuerza que atrae a los objetos es proporcional a su masa), lleva a concluir que es la fuerza de gravedad la que interviene sobre los cuerpos en caída libre y la aceleración es la aceleración de gravedad que se calcula con la siguiente fórmula: La gravedad de la tierra empuja los objetos hacia el centro de la tierra y a su magnitud se le llama peso del objeto. Cuando un objeto está en caída libre experimenta una aceleración g que

actúa hacia el centro de la Tierra. Al aplicar la Segunda Ley de Newton al objeto de masa m en caída libre, con y , se obtiene:

Tanque semiesféricoEs un depósito que corresponde a una esfera dividida hacia la mitad, el mismo posee un volumen de . Su definición formal es: cada una de las mitades de una esfera que está dividida por un plano que corta por su centro.FluidoSe denomina fluido al medio continuo formado por un líquido o vapor, los cuales poseen fuerzas intermoleculares débiles entre sí en comparación con un sólido. Los fluidos se caracterizan por cambiar de forma al no existir fuerzas restitutivas tendentes a recuperar la forma original. En el cambio de forma de un fluido la posición que toman sus moléculas varía, ante una fuerza aplicada sobre ellos, pues justamente fluyen. Los fluidos se dividen en dos subclases: los líquidos y los gases. Los líquidos se caracterizan por ocupar un volumen definido independiente del volumen del recipiente que lo contiene. Un gas, por otra parte, tiende a expandirse y a ocupar todo el volumen del recipiente que lo contiene. La compresibilidad del fluido es otra propiedad marcadamente distinta en los líquidos y en los gases. Un líquido es bastante incompresible y en la gran mayoría de las aplicaciones se puede suponer que su densidad es constante. Lo opuesto es cierto para los gases. Estos son sustancias muy compresibles y generalmente no se puede suponer que su densidad sea constante.

DESARROLLO

DEL PROYECTOPROBLEMA 1:¿Cuánto tiempo tarda el agua en salir por el agujero en el fondo de un tanque? Considere el tanque con agujero de la figura 1, que se drena a través de un pequeño agujero redondo. La Ley de Torricelli establece que cuando la superficie del agua está a una altura H, el agua se drena con la velocidad que tendría si cayera de manera libre desde una altura (ignorando varias formas de fricción).Diagrama de la situación:

Imagen No.1Figura de un tanque cónico.

a)

En t=0; v=0, por lo que:

En t=0;

Sustituyendo:

En h=0;

b) Volumen de agua que sale del tanque respecto del tiempo:

Donde es el área del agujero de drenado, h la altura del líquido y g la gravedad. Como se demostró anteriormente, la expresión expresa la velocidad a la que sale el líquido del tanque. Por lo que en un diferencial de tiempo, el volumen de fluido que saldrá del tanque será igual al área del agujero por donde fluye el mismo, multiplicado por la velocidad de salida.

Volumen de agua en un tiempo t:

Donde es el área superficial del líquido en el tanque y h es la altura del líquido en el mismo, por lo que:

Igualando:

c) Determinar el cambio de altura con respecto al tiempo de vaciado.

En t=0; v=0, por lo que:

En t=0;

Sustituyendo:

En h=0;

d) Volumen de agua que sale del tanque respecto del tiempo:

En t=0; h=1.64ft:

e) Tiempo de vaciarse del tanque

En h=0; t=?:

e) Área del agujero:

Volumen de agua que sale del tanque:

Área de la superficie del agua en términos de la altura:

Donde r es el radio de la superficie del agua dentro del tanque, h es la altura del agua en el mismo y es el área de la superficie del agua expresada en términos de la altura de la misma.

Volumen de agua en el tanque en un tiempo t:

Igualando:

En t=0; h=0.5:

En h=0; t=?:

PROBLEMA 2 (PROYECTO):Como grupo se decidió tomar las siguientes medidas para el tanque a realizar como parte del proyecto del curso de Ecuaciones Diferenciales. Cabe mencionar que la figura seleccionada fue una semiesfera. Medidas y condiciones iniciales:

Ecuación a utilizar:

Grafica de la ecuación:

Imagen No.2Figura de una semiesfera en un plano

Solución:*Encontrando el por medio de la ecuación de la esfera.

*Determinando los datos de la ecuación de Torricelli.

*Despejando Variables.

*Integrando ambos lados.

*Aplicando condiciones iniciales.

*Encontrando el tiempo de vaciado.

En cuanto a los datos experimentales, se realizaron 5 corridas en donde se vació el tanque semiesférico desde una altura de 0.15m obteniendo los siguientes datos.No. de CorridaTiempo (s) 134.5234.9334.3433.8534.1

Cálculo del tiempo promedio experimental:

Cálculo de errorProcedimientoFórmulaCálculoCálculo de error

Cálculo de error

CONCLUSIONES1. El tiempo de vaciado del tanque del problema A corresponde a 230.4s2. El tiempo de vaciado del tanque del problema A invertido corresponde a 613.3s

3. El tanque que tomará un menor tiempo de vaciado será el cono colocado de forma normal.4. La ecuación correspondiente al proyecto experimental para la determinación de la altura de agua en función del tiempo en un tanque de forma semiesférica corresponde a: 5. El tiempo de vaciado para el tanque semiesférico a una altura de corresponde a 6. El porcentaje de error de los datos experimentales en comparación con el dato teórico obtenido fue de 0.88%.7. Tomando en cuenta el porcentaje de error y rendimiento en los tiempos de vaciado del experimento en comparación con el dato teórico, se puede concluir que el tanque semiesférico realizado posee una eficiencia muy aceptable, verificando la ley de Torricelli para fluidos en movimiento.

BIBLIOGRAFÍA1. Autor desconocido (S.F.). Fluidos. (En red, consultado el 11 de marzo de 2013). Disponible en: http://fisica.ciencias.uchile.cl/~rferrer/cursos/12.pdf2. Dennis G. Zill . “Ecuaciones Diferenciales con Aplicaciones de Modelado”. 7ª Edición 3. International Thomson Editores, 20024. Richard E. Williamson . “Introduction to Differential Equations and Dynamical Systems” The McGraw-Hill Companies, 19975. R. Kent Nagle and Edward B. Saff, Addison Wesley. “Fundamentals of Differential Equations”. Third Edition .