Aplicación LaplaceSistema masa amortiguador

Ecuaciones Diferenciales

Suspensión de un automóvil

• La Transformada de Laplace es una técnica Matemática que forma parte de ciertas transformadas integrales como la transformada de Fourier

•el comportamiento de sistemas complejos puede describirse usando ecuaciones algebraicas en lugar de ecuaciones diferenciales.

•Una vez que se ha estudiado el comportamiento de los sistemas, se puede proceder analizar los sistemas de manera simple.

Introducción

Suspensión automóvilLa suspensión en un automóvil es el

conjunto de elementos que absorben las irregularidades del terreno por el que se circula para aumentar la comodidad y el control del vehículo. El sistema de suspensión actúa entre el chasis y las ruedas, las cuales reciben de forma directa las irregularidades de la superficie transitada.

Control en automóvil

Suspensión de un automóvil

MODELADO MATEMÁTICOSuspensión de un automóvil

f(t)

z(t)

kb

m

Fuerza de entrada

Desplazamiento, salida del

sistema

2

2 )()()()(dttzdm

dttdzbtkztf

maF

la transformada de Laplace

Ahora pasamos al modelado del sistema, por la ley de Newton tenemos que:

∑ 𝐹=𝑚𝑎

Entonces decimos que: F(t) = m+ b + kX(t)

Ahora aplicando la transformada de Laplace a la expresión anterior se tiene:

F(s) = m X(s) + bSX(s) + kX(s)Despejando X(s):F(s) = X(s)[m + bS + k]

Obteniendo la relación de la transformada de Laplace de la salida respecto a la entrada, que corresponde a la función de transferencia del sistema se obtiene:

=

Ahora normalizando la ecuación para dejarla expresada como función de transferencia se tiene:

= Ecuación de modelar el sistema.

Programa.Parámetros del

sistemaSe tiene el siguiente sistema que simula el funcionamiento de la suspensión donde:m es la masa del chasis del vehículo.k es la constante elástica del resorte o muelle.b es el coeficiente de fricción del amortiguador.

Interfaz

Ya dependiendo de los valores de B, M y K que ingresemos en la interfaz grafica. Podremos tener diferentes respuestas

EJEMPLOConsideremos un sistema masa-resorte con

m = 2 kg, c = 4 Nm/s y k =10 N/m. Supongamos que el sistema está inicialmente en reposo y en equilibrio por lo cual x.(0)= x’(0) = 0, y que la masa es impulsada por una fuerza de excitación f(t) cuya gráfica se muestra en la figura siguiente.

La posición x.(t) de la masa m está dada por la solución del PVI: 2x’’(t) + 4x’(t) + 10x(t) f(t)=La función f (t) puede escribirse como f(t)= -10 [u( t - π ) -u(t-2 π )]; entonces �por la linealidad de la T Laplacetenemos:F(s)= {f(t)} = .Ahora, tomamos TL en ambos miembros de la ED para obtener:

2[X(S) – SX(0) – x’(0)] +4[SX(S)-X(0)] + 10X(S) =F(S)Al considerar las condiciones iniciales y la expresión de F(S), tenemos que:

2X(S)+4SX(S)+ 10X(S) =

2 +2S + 5)X(S) = X(S) =

Por lo tanto, para encontrar x(t), lo único que resta es obtener la transformada inversa de Laplace.En primer lugar, por la primera propiedad de traslación, se tiene que { {sen2t.Luego, calculamos {Utilizando la propiedad de la transformada de una integral

{ = = == Finalmente, al utilizar la segunda propiedad de traslación y la periodicidad de las funciones seno y coseno, se determina que X(t) = 5 - 5=

=) - )

=) -).

Podemos apreciar, en la gráfica de la función posición x(t), que presentamos a continuación, la excitaciónque sobre el sistema tiene la función f(t) en el intervalo [π,2π]. Advierta que, después de que la fuerzacesa, el sistema tiende al reposo por efecto de la fuerza de amortiguamiento

Grafiacas del ejercio vs la de matlab