Aplicaciones a la economía

En años recientes ha habido un interés creciente por la aplicación de las matemáticas a la economía. Sin embargo, puesto que la economía involucra muchos factores impredecibles, tales como decisiones sicológicas o -políticas, la formulación matemática de sus problemas es difícil. Se debería hacer énfasis que, como en los problemas de ciencia e ingeniería, cualquier resultado obtenido teóricamente debe finalmente ser probado a la luz de la realidad.

1.1 OFERTA Y DEMANDA

Suponga que tenemos un bien tal como trigo o petróleo. Sea p el precio de este bien por alguna unidad especificada (por ejemplo bushel de trigo o barril de petróleo) en cualquier tiempo t. Entonces podemos pensar que p es una función de t así que p(t) es el precio en tiempo t. El número de unidades del bien que desean los consumidores por unidad de tiempo en cualquier tiempo t se llama la demanda y se denota por D (t1, o brevemente D. Esta demanda puede depender no sólo del precio p en cualquier tiempo t, esto es, p(t),sino también de la dirección en la cual los consumidores creen que tomarán los precios, esto es, la tasa de cambio del precio o derivada p’(t).

Por ejemplo, si los precios están altos en tiempo t pero los consumidores creen que pueden subir, la demanda tiende a incrementar. En símbolos esta dependencia de D en p (t) y p’ (t) puede escribirse

D =f(p(t), P’(I))

Llamamos f la función de demanda.

Similarmente, el número de unidades del bien que los productores tienen disponible por unidad de tiempo en cualquier tiempo t se llama la oferta y se denota por S(t), o brevemente S. Como en el caso de la demanda, S también depende de p(t) y p’(t). Por ejemplo, si los precios están altos en tiempo t pero los productores creen que éstos pueden subir más, la oferta disponible tiende a incrementar anticipándose a los precios más altos. En símbolos esta dependencia de S en p(t) y p’(t) puede escribirse

S = g((p(f),p´(r))

Llamamos g la función oferta.

Al hacer las observaciones anteriores implícitamente hemos asumido lo siguiente.

(a) Una economía competitiva o libre. El sitio de mercado es aquel en el cual los consumidores y productores compiten para determinar los precios. Debido a esto, los productores se preocupan de hasta dónde deben subir los precios, puesto que los consumidores pueden negociar con otros que ofrezcan precios más bajos o pueden reducir su demanda.

(b) No hay demora en el suministro. La ecuación (2) asume que los productores usan la tasa de cambio de precio en tiempo t, esto es, p’(t),para decidir sobre la oferta que esté disponible. Esto es una aproximación a la realidad, puesto que en la práctica hay una demora r entre el tiempo de producción real y el mercadeo al consumidor. En tal caso, (2) se remplazaría por

S =g(p(‘T-r).p‘( T - r))(c) No se considera los precios de otros bienes o el ingreso. Los precios de otros bienes en el

mercado además de aquel bajo consideración o el ingre-so promedio de los consumidores en varios tiempos pueden afectar la oferta o la demanda. En el modelo económico anterior esto no se tiene en cuenta.

(d) Los precios, demanda, y oferta son continuos .En la práctica, no podemos subdividir indefinidamente los precios o los números de un bien. Por ejemplo, no tiene sentido hablar del número de bananos entre 240 y 241, o que el precio de un bien asumirá todos los valores entre dos valores dados. A pesar de esto, adoptamos el supuesto de que tales variables discretas se pueden aproximar con un buen grado de precisión por variables continuas de la misma manera como se indicó en el problema de la radioactividad .Ahora si la oferta S excede a la demanda D, hay una tendencia para que los precios se ajusten a sí mismos en el sitio de mercado hasta que la ofertase reduzca para igualar la demanda, esto es, hasta que S = D. Esto es especialmente cierto, por ejemplo, cuando existe la posibilidad que un bien se deteriore, como los bananos. Similarmente, si la demanda D excede la oferta S, los precios tenderán a ajustarse hasta que la oferta iguale a la demanda, esto es, S= D. Esto nos lleva a adoptar el siguiente Principio económico de la oferta y la demanda. El precio de un bien en cualquier tiempo t, esto es, p(t), está determinado por la condición de que la demanda en t sea igual a la oferta en t, o usando (1) Y (2) f(p(rl p’(r)1=g(p(r).p’(r))

La ecuación (4) es una ecuación diferencial de primer orden para determinar p(t) si se conocen las formas de las funciones f y g. Si se usa (3) en vez

APLICACIÓN DE LAS ECUACIONES DIFERENCIALES A LA ECONOMIAOFERTA Y DEMANDA:

- La demanda es el número de unidades que desean adquirir los consumidoresen un determinado tiempo t, y como sabemos que el precio de un productovaria con el tiempo se puede expresar el precio como pero la demanda nosolo puede depender del precio en un instante de tiempo sino también de ladirección que creen los consumidores que tomara este precio es decir la tasade cambio de este precio o también llamado la derivada de este ,tomemos, en resumen la demanda puede escribirse como:- llamaremos a la función demanda.- en caso de la oferta pasa exactamente lo mismo es decir la demandadepende también de y puede depender también de ; y puedeescribirse como:- llamaremos a la función oferta.- pero hay una forma de poder relacionar las ecuaciones de la oferta y de lademanda, para eso se definirá:

- PRINCIPIO ECONÓMICO DE LA OFERTA Y DEMANDA:

- es precio de un bien en cualquier instante de tiempo t está determinado por lacondición de que la oferta en un instante de tiempo t sea igual a la demanda,usando lo anteriormente definido se tiene que:- la ecuación es una ecuación diferencial de primer orden, ahora correspondever la forma que deben tomar ambas funciones, para este caso tomaremos lasmás sencillas que son:- ahora conociendo ya las funciones y las reemplazamos y resolvemos laecuación diferencial:

Ecuaciones diferenciales Aplicadas a la economia a la Economía:En años recientes ha habido un interés creciente por la aplicación de las matemáticas a la economía. Sin embargo, puesto que la economía involucra muchos factores impredecibles, tales como decisiones psicológicas o políticas, la formulación matemática de sus problemas es difícil. Se debería hacer énfasis que, como en los problemas de ciencia e ingeniería, cualquier resultado obtenido teóricamente debe finalmente ser probado a la luz de la realidad.Oferta y DemandaSuponga que tenemos un bien tal como trigo o petróleo. Sea p el precio de este bien por alguna unidad especificada ( por ejemplo un barril de petróleo) en cualquier tiempo t. Entonces podemos pensar que p es una función de t así que p(t) es el precio en el tiempo t.El numero de unidades del bien que desean los consumidores por unidad de tiempo en cualquier tiempo t se llama la demanda y se denota por D(t), o brevemente D. Esta demanda puede depender no solo del precio p en cualquier tiempo t, esto es, p(t), sino también de la dirección en la cual los consumidores creen que tomaran los precios, esto es, la tasa de cambio del precio o derivada p´(t). Por ejemplo, si los precios están altos en tiempo t pero los consumidores creen que pueden subir, la demanda tiende a incrementar. En símbolos esta dependencia de D en p(t) y p´(t) puede escribirse:D =   (p(t)),p´(t)Llamamos   la función de demanda.Similarmente, el numero de unidades del bien que los productores tienen disponible por unidad de tiempo en cualquier tiempo t se llama oferta y se denota por S(t), o brevemente S. Como en el caso de la demanda, S también depende de p(t) y p´(t). Por ejemplo, si los precios están altos en tiempo t pero los productores creen que estos pueden subir mas, la oferta disponible tiende a incrementar anticipándose a precios más altos. En símbolo esta dependencia de S en p(t) y p´(t) puede escribirse:S = g(p(t), p´(t)Llamamos g a la función oferta.Principio económico de la oferta y la demanda:El precio de un bien en cualquier tiempo t, esto es, p(t), esta determinada por la condición de que la demanda en t sea igual a la oferta en t, en forma matemática esto quiere decir:(p(t),p´(t)) = g(p(t),p´(t))Las formas que debería tener   y g son las siguientes:D =   (p(t),p´(t)) = A1p(t) + A2p´(t) + A3S = g(p(t),p´(t)) = B1p(t) + B2p´(t) + B3donde A´S y B´S son constantes, en ese caso la formula matemática se transforma a la siguiente expresión:A1p(t) + A2p´(t) + A3 = B1p(t) +B2p´(t) + B3(A2 - B2)p´(t) + (A1 - B1)p(t) = B3 - A3Asumamos que A1"B1, A2"B2 y A3"B3. Entonces podríamos escribir la formula como:p´(t) + (A1-B1/A2-B2)p(t) = B3-A3/A2-B2Resolviendo esta ecuación lineal de primer orden sujeta a p = Po en t = 0 da como

resultado:p(t) = B3-A3/A1-B1+ [Po- (B3-A3/A1-B1)]eCaso I: Si Po = (B3-A3)/(A1-B1) y p(t)=Po entonces, los precios permanecen constantes en todo tiempo.Caso II: Si (A1-B1)/A2-B2)>0 entonces se tendría una estabilidad de precios.Caso III: Si (A1-B1)/A2-B2) (B3-A3)/A1-B1),esto es, tenemos inflación continuada o inestabilidad de precio. Este proceso puede continuar hasta que los factores económicos cambien, lo cual puede resultar en un cambio a la ecuación (A2 - B2)p´(t) + (A1 - B1)p(t) = B3 -A3.Ejemplo:La demanda y oferta de un cierto bien están en miles de unidades por D = 48 - 2p(t) + 3p´(t), S = 30 + p(t) + 4p´(t), respectivamente. Si en t =0 el precio del bien es 10 unidades, encuentre (a) El precio en cualquier tiempo t > 0 y (b) Si hay estabilidad o inestabilidad de precio.Solución: El precio p(t) esta determinado al igualar la oferta con la demanda, esto es,48 - 2p(t) + 3p´(t) = 30 + p(t) + 4p´(t) = p´(t) + 3 p(t) = 18Resolviendo la ecuación del primer orden lineal sujeta a p = 10 en t = 0 da como resultado: p(t) = 6 + 4eDe este resultado vemos que, sí t!", p!6. Por tanto tenemos estabilidad de precio, y el precio de equilibrio es de 6 unidades.Inventarios:Si la oferta es mayor a la demanda, entonces los productores tiene una cierta cantidad de bien en su posesión, la cual se llama inventario del bien, el cual esperan vender. Por otro lado, si la demanda es mayor que la oferta, entonces los productores deben adquirir inventario.Formulación Matemática:Sea q(t) la cantidad o numero de unidades de un bien C disponible en tiempo t. Entonces q(t + "t) = q(t) + "q es la cantidad disponible en tiempo t + "t. Así tenemos que:Cantidad acumulada en intervalo t a t + "t = "q = q(t + "t) - q(t).S = numero de unidades de C ofrecidas de tiempo por los productores en tiempo t.D = numero de unidades de C demandadas por unidad de tiempo por los consumidores en tiempo t.Entonces el numero de unidades ofrecidas por los productores y demandas por los consumidores entre t y t +"t están dados aproximadamente por S"t y D"t respectivamente, donde los resultados son precisos excepto por términos que involucran ("t)² y mayores.Así, cantidad acumulada en el intervalo t a t + "t es igual a:S"t - D"t + términos con ("t)² o mayores.Así "q/"t = S - D + términos con ("t)² o mayores.tomando el limite cuando "t!0, dq/dt = S - D.De esta ultima ecuación podremos decir que servirá de base para el posterior análisis sobre precios. Como una ilustración, supongamos que un productor desea proteger sus utilidades al requerir que la tasa a la cual incrementara el precio sea proporcional a la tasa a la cual declina el inventario. En ese caso tenemos que:dp/dt = -   dq/dt

Donde   > 0 es la constante de proporcionalidad que se asume conocida, de modo que usando la ecuación dp/dt = -   (S - D). Puesto que S y D se pueden expresar en términos de p, la ecuación dp/dt = -   (S - D) es una ecuación diferencial para p.Ejemplo:Suponga que la oferta y la demanda están dadas en términos de precios p por S = 60 + 2P, D = 120 - 3P, respectivamente, la constante de proporcionalidad es   = 4. Escriba la ecuación diferencial para p y determine el precio en cualquier tiempo t > 0 asumiendo que p = 8 en t = 0Solución: de la formula dp/dt = -   dq/dt la ecuación diferencial requerida para p es: dp/dt = -4(60 + 2P - 120 + 3p) o dp/dt + 20 p = 240Resolviendo esta ultima ecuación diferencial tenemos que p = 12 + ceUsando p = 8 en t = 0 da c = - 4 y así p = 12 - 4e.Multiplicadores de Lagrange(Larson) Muchos problemas de optimización tienen restricciones o ligaduras, para los valores que pueden usarse para dar solución optima. Tales restricciones tienden a complicar los problemas de optimización porque la solución óptima puede presentarse en un punto frontera del dominio. Teorema de LagrangeSean fy g, funciones con primera derivadas parciales continuas, y tales que f tiene un extremo en un punto (x0, Y0), sobre la curva suave de restricción o ligadura g(x,y)=c

CAPITULO I: APLICACIÓN DE LAS ECUACIONES DIFERENCIALES A LA ECONOMIA

- MERCADO DE COMPETENCIA PERFECTO:- Se llama mercado de competencia perfecta, a aquel mercado, ideal, que regula su actividad, es decir la cantidad de bienes en el así como el precio de los mismos de una manera autónoma, las empresas que participan en este tipo de mercado tienen un poder nulo.- Para que este mercado funcione deben existir numerosos ofertantes y demandantes, si hubiese una diferencia entre ambos grupos empezarían a influenciar en el mercado.- Cuando existe un número grande de empresas que operan en el mercado y cuyo producto es homogéneo, la información es completa para todos los que operan en el mercado, tanto oferentes como demandantes, y tanto el precio p(t) como la cantidad está definida por la oferta S(t) y la demanda D(t) del mercado, la entada al mercado es libre y fácil.- en este tipo de mercados existe el equilibrio es decir un punto en el cual la oferta y la demanda son iguales, por tanto las cantidades demandadas y ofertadas son iguales y el precio es también igual.-OFERTA Y DEMANDA:

- La demanda es el número de unidades que desean adquirir los consumidores en un determinado tiempo t, y como sabemos que el precio de un producto varia con el tiempo se puede expresar el precio como p(t) pero la demanda no solo puede depender del precio en un instante de tiempo sino también de la dirección que creen los consumidores   que tomara este precio es decir la tasa de cambio de este precio o también llamado la derivada de este p^' (t) , tomemos, en resumen la demanda D(t) puede escribirse como:D=f( p(t),p^' (t) )- llamaremos a f la función demanda.- en caso de la oferta pasa exactamente lo mismo es decir la demanda S(x) depende también de p(t) y puede depender también de p^' (t)   ; y puede escribirse como: S=g( p(t),p^' (t) )   - llamaremos a g la función oferta.- pero hay una forma de poder relacionar las ecuaciones de la oferta y de la demanda, para eso se definirá:

- PRINCIPIO ECONÓMICO DE LA OFERTA Y DEMANDA:

- es precio de un bien en cualquier instante de tiempo t está determinado por la condición de que la oferta en un instante de tiempo t sea igual a la demanda, esto suponiendo que sea un mercado de competencia perfecta, usando lo anteriormente definido se tiene que:f( p(t),p^' (t) )= g( p(t),p^' (t) )- Esto se cumplirá única y exclusivamente si se especificase que es un mercado de competencia perfecta.- la ecuación es una ecuación diferencial de primer orden, ahora corresponde ver la forma que deben tomar ambas funciones, para este caso tomaremos las más sencillas que son:

f( p(t),p^' (t) )=a_1   p(t)+a_2 p^' (t)+a_3g( p(t),p^' (t) )=b_1   p(t)+b_2 p^' (t)+b_3- ahora conociendo ya las funciones   f y g las reemplazamos y resolvemos la ecuación diferencial:a_1   p(t)+a_2 p^' (t)+a_3=b_1   p(t)+b_2 p^' (t)+b_3(a_2-b_2 ) p^' (t)+(a_1-b_1 )   p(t)=(b_3-a_3)-Asumamos además que: a_1≠b_1, a_2≠b_2, a_3≠b_3   en ese caso se puede escribir la ecuación diferencial como:p^' (t)+((a_1-b_1 ))/((a_2-b_2 ) )   p(t)=((b_3-a_3))/((a_2-b_2 ) )-Resolviendo:p(t)=e^(-∫▒((a_1-b_1 ))/((a_2-b_2 ) ) dt) (∫▒e^(∫▒((a_1-b_1 ))/((a_2-b_2 ) ) dt)   ((b_3-a_3 ))/((a_2-b_2 ) ) dt+c)p(t)=e^(-((a_1-b_1 ))/((a_2-b_2 ) ) t) (∫▒e^(((a_1-b_1 ))/((a_2-b_2 ) ) t)   ((b_3-a_3 ))/((a_2-b_2 ) ) dt+c)p(t)=e^(-((a_1-b_1 ))/((a_2-b_2 ) ) t) (e^(((a_1-b_1 ))/((a_2-b_2 ) ) t)   ((b_3-a_3 ))/((a_1-b_1 ) )+c)p(t)=(((b_3-a_3 ))/((a_1-b_1 ) ))+e^(-((a_1-b_1 ))/((a_2-b_2 ) ) t) c- Cuando t=0, p(t)=p_0, aplicamos esa condición inicial en la ecuación diferencial:p_0=(((b_3-a_3 ))/((a_1-b_1 ) ))+cp_0-(((b_3-a_3))/((a_1-b_1 ) ))=c- Ahora finalmente la ecuación   diferencial queda de la forma:p(t)=(((b_3-a_3 ))/((a_1-b_1 ) ))+e^(-((a_1-b_1 ))/((a_2-b_2 ) ) t) (p_0-(((b_3-a_3 ))/((a_1-b_1 ) )) )- De esto se pueden sacar 3 posibles casos:-Caso 1: - p_0=((b_3-a_3 ))/((a_1-b_1 ) )   en este caso nos damos cuenta que al reemplazar en la ecuación diferencial nos da que p(t)=(((b_3-a_3 ))/((a_1-b_1 ) )) y por tanto p(t)=p_0 , esto se interpreta como que el precio es constante en cualquier instante de tiempo t.-Caso 2: -   ((a_1-b_1 ))/((a_2-b_2 ) )>0 en ese caso vemos que si aplicamos un límite al precio p(t), con un t que crece, tiende a   ((b_3-a_3 ))/((a_1-b_1 ) ). En este caso hay una estabilidad de precios, y el límite ((b_3-a_3 ))/((a_1-b_1 ) ) se denomina precio de equilibrio.-Caso 3: -   ((a_1-b_1 ))/((a_2-b_2 ) )((b_3-a_3 ))/((a_1-b_1 ) )   tenemos una inflación continuada o inestabilidad de el precio, que puede continuar hasta que los factores económicos cambien, lo que puede resultar en un cambio de         (a_2-b_2 ) p^' (t)+(a_1-b_1 )   p(t)=(b_3-a_3). -OFERTA Y DEMANDA CON ECUACIONES DE SEGUNDO ORDEN:- Como ya se había visto anteriormente, la oferta y la demanda pueden expresarse como una ecuación diferencial de primer orden se puede saber si va a ser creciente, pero además se puede incluir   un término de la forma ∝(d^2 p)/(dt^2 ) donde ∝ es un número real cualquiera.- para ver como este término afecta en la ecuación hay que hacer un símil, con lo

aprendido de las derivadas, y es que la segunda derivada lo que me muestra es básicamente la concavidad de una función, y esta a su vez me muestra el grado de crecimiento de la función, esto llevado a el punto de vista de la economía, me mostrara la tasa de crecimiento de mercado.- del mismo modo que teniendo solo la derivada de primer orden del precio la presencia de estos términos (P^,,P^(,,)) determinan las tendencias del mercado.- En este modelo las ecuaciones de oferta y demanda se expresan de la forma de la forma:

Q_D=α-βP+cP^,+dP^(,,)Q_S=-γ+δP+gP^,+hP^(,,)- Donde:- α,β.γ.δ>0 , y los demás valores no se encuentran restringidos- para este tipo de problemas la solución es muy parecida a la de los de primer orden, se sigue el principio económico, en el que suponiendo un mercado perfecto se igualan: Q_D=Q_S y me da una ecuación de segundo grado que se puede resolver a modo de obtener un P(t) para cualquier instante “t”.

Ejemplo aplicativo 1:- la demanda y la oferta de un cierto bien están dadas en miles de unidades por D=-2 p(t)+3p^' (t)+48   y   S= p(t)+4p^' (t)+30, respectivamente. Si en t=0 el precio del bien es de 10 unidades, encuentre: A.- el precio para cualquier tiempo t>0, sabiendo que es un mercado perfecto.B.- si hay estabilidad o inestabilidad de precio.Solución:PARTE A:- Aplicando el principio económico de la oferta y demanda:-2 p(t)+3p^' (t)+48= p(t)+4p^' (t)+30p^' (t)+3p(t)=18- Solucionando:p(t)=e^(-∫▒3 dt) (∫▒e^(∫▒3 dt)   18dt+c)p(t)=e^(-3t) (〖6e〗^3t+c)- Aplicando la condición inicial:p_0=10=(6+c)c=4- finalmente la ecuación queda de la siguiente forma, que es el precio en cualquier tiempo t:p(t)=6+4e^(-3t)PARTE B:- Recordando lo que se vio anteriormente, nos damos cuenta que si ((a_1-b_1 ))/((a_2-b_2 ) )>0 entonces había una estabilidad en los precios, y como ((a_1-b_1 ))/((a_2-b_2 ) )=3 entonces los precios si son estables, y cuando aplicamos el límite   cuando t→∞ ese es el precio de equilibrio en ese caso el precio de equilibrio es 6.- en la grafica se puede apreciar mejor este punto:

Ejemplo aplicativo 2:- Sea la demanda y la oferta:Q_D=9-P+P^,+3P^(,,)Q_S=-1+4P-P^,+5P^(,,)Con P(0)=4 y P^,(0)=4 , hallar:A.- la trayectoria del precio suponiendo que el mercado es perfecto en cualquier instante t. B.- ¿es convergente la trayectoria temporal? ¿Tiene fluctuaciones? .Solución:PARTE A:- Debido a que me está diciendo el problema que es mercado es perfecto es posible hacer Q_D=Q_S para este caso:9-P+P^,+3P^(,,)=-1+4P-P^,+5P^(,,)5P-2P^,+2P^(,,)=105/2   P-P^,+P^(,,)=5- Esta ecuación tiene una solución de la forma:y=y_c+y_p- Hallaremos y_c:- La ecuación característica de la ecuación diferencial es:r^2-r+5/2=0r=(-b±√(b^2-4ac))/2ar=(1±√(〖(-1)〗^2-4*5/2   1))/2r=(1±√(-9))/2r_1=1/2+3i/2           ∧           r_1=1/2-3i/2y_c=c_1 e^(t/2) sen(3t/2)+c_2 e^(t/2) cos(3t/2)   - hallaremos y_p:- por la forma de la ecuación diferencial el y_p=a donde   a pertenece a los reales.5/2   P-P^,+P^(,,)=55/2   a=5

a=2- ahora y es de la forma:y=c_1 e^(t/2) sen(3t/2)+c_2 e^(t/2) cos(3t/2)+2 

- Aplicando las condiciones iníciales:y(0)=44=c_1 e^(0/2) sen((3(0))/2)+c_2 e^(0/2) cos((3(0))/2)+2 4=c_1 e^(0/2) sen((3(0))/2)+c_2 e^(0/2) cos((3(0))/2)+2 4=c_2+22=c_2

y'(0)=4

y^'=c_1/2 e^(t/2) sen(3t/2) 〖+c〗_1 (3/2) e^(t/2) cos(3t/2)+c_2/2e^(t/2) cos(3t/2)-c_2 (3/2) e^(t/2) sen(3t/2)   4=c_1 (3/2) e^(0/2) cos((3(0))/2)+c_2/2 e^(0/2) cos((3(0))/2)   4=c_1 (3/2)+c_2/23=c_1 (3/2)2=c_1-reemplazando el precio en un tiempo t es:p(t)=2e^(t/2) sen(3t/2)+2e^(t/2) cos(3t/2)+2 PARTE B:- El precio de t para un tiempo t→∞ por contener un termino e^(t/2) , tiende al infinito, así la trayectorias del precio diverge, es decir no es dinámicamente estable. Además por la presencia de las funciones trigonométricas sen(3t/2) y cos(3t/2) las cuales fluctúan, se dice que la función precio p(t) tiene fluctuaciones.

- INVENTARIOS:- El anterior análisis sirve cuando ya te dan ofertas y demandas iguales, pero que pasa si la oferta no es igual a la demanda, sino que una es mayor a la otra, y la oferta cambia para satisfacer a la demanda o viceversa, tomemos como ejemplo que la oferta es mayor que la demanda, entonces los productores tienen una cierta cantidad de bien en su posesión la cual se denomina el inventario del bien, pero si la demanda es mayor que la oferta entonces se dice que los productores deben adquirir inventario.- matemáticamente esto se puede expresar como un q(t+Δt)=q(t)+Δq , y la cantidad acumulada en el intervalo de tiempo entre t y t+Δt   es   Δq y esto es igual a q(t+Δt)-q(t).- Entonces sumando esto más mis conceptos de demanda y oferta anteriormente explicados, se puede deducir que la cantidad acumulada en un intervalo de tiempo entre t y t+Δt esta dado por:Δq=SΔt-DΔt+terminos con 〖(Δt)〗^2 o mayores- De donde:Δq/Δt=S-D+terminos con 〖(Δt)〗^2 o mayores- tomando que el límite cuando Δt→0 se tiene:dq/dt=S-D- supongamos ahora que el productor desea proteger sus utilidades al requerir que la tasa a la cual incrementara el precio sea proporcional a la tasa a la cual declina el inventario. el inventario, en este caso:dp/dt=-α dq/dt- Donde α es la constante de proporcionalidad, y uniendo esto con la ecuación anterior se obtiene:dp/dt=-α(S-D)- Y como S y D pueden expresarse en términos de p, la anterior ecuación se convierte en una ecuación diferencial, en el siguiente ejemplo se aplica este punto.

Ejemplo aplicativo 3:- Suponga que la oferta y la demanda están en dadas en términos de precios p, por: S=60+2p   y D=120-3p , la constante de proporcionalidad es α=4, determine el precio en

cualquier instante de tiempo t>0 si cuando t=0, p=8.Solución:- la ecuación diferencial se expresara de la forma:dp/dt=-4(60+2p-120+3p)dp/dt+20p=240 Solucionando:p(t)=e^(-∫▒20 dt) (∫▒e^(∫▒20 dt)   240dt+c)p(t)=e^(-20t) (〖12e〗^20t+c)- Aplicando la condición inicial:p_0=8=(12+c)c=-4- finalmente la ecuación queda de la siguiente forma, que es el precio en cualquier tiempo t:p(t)=12-4e^(-20t)- La grafica de la función es la siguiente:

- observación: nótese que según lo estudiado al principio el precio es estable y el precio de equilibrio es 12, que es el mismo que se obtiene al igualar las ecuaciones de la oferta y la demanda.

CAPITULO II: EJERCICIOS

1.- la oferta y la demanda de un bien están dadas en   miles de unidades, respectivamente, por S= p(t)-5p^' (t)+120   y   D= -2p(t)-3p^' (t)+60 en t=0 el precio del bien es 5 unidades. Encuentre:A.- encontrar el precio en cualquier tiempo superior, sabiendo que es un mercado perfecto.B.- Determine si hay estabilidad en el precio y el precio de equilibrio si existiese.Solución:PARTE A:- Aplicando el principio económico de la oferta y demanda:p(t)-5p^' (t)+120= -2p(t)-3p^' (t)+60〖2p〗^' (t)-3p(t)=60p^' (t)-3/2 p(t)=30

- Solucionando:p(t)=e^(-∫▒3/2   dt) (∫▒e^(∫▒3/2 dt)   30dt+c)p(t)=e^(-3/2 t) (〖20e〗^(3/2 t)+c)- Aplicando la condición inicial:p_0=5=(20+c)c=-15- finalmente la ecuación queda de la siguiente forma, que es el precio en cualquier tiempo t:p(t)=20-15e^(-3/2 t)

PARTE B:- Recordando lo que se vio anteriormente, nos damos cuenta que si ((a_1-b_1 ))/((a_2-b_2 ) )>0 entonces había una estabilidad en los precios, y como ((a_1-b_1 ))/((a_2-b_2 ) )=3/2 entonces los precios si son estables, y cuando aplicamos el límite   cuando t→∞   ese es el precio de equilibrio en ese caso el precio de equilibrio es 20.

2.- la oferta y la demanda de un bien están dadas en miles de unidades, respectivamente por S=3 p(t)+p^' (t)+40   y   D= -5p(t)-3p^' (t)+160 , en t=0 el precio del bien es de 20 unidades, encuentre:A.- encontrar el precio en cualquier tiempo superior, sabiendo que es un mercado perfecto.B.- Determine si hay estabilidad en el precio y el precio de equilibrio si existiese.Solución:PARTE A:- Aplicando el principio económico de la oferta y demanda:3 p(t)+p^' (t)+40=-5p(t)-3p^' (t)+160〖4p〗^' (t)+8 p(t)=120p^' (t)+2 p(t)=30- Solucionando:p(t)=e^(-∫▒2 dt) (∫▒e^(∫▒2 dt)   30dt+c)p(t)=e^(-2t) (∫▒e^2t   30dt+c)p(t)=e^(-2t) (〖15e〗^2t+c)- Aplicando la condición inicial:p_0=20=(15+c)c=5- finalmente la ecuación queda de la siguiente forma, que es el precio en cualquier tiempo t:p(t)=15+5e^(-2t)

PARTE B:- Recordando lo que se vio anteriormente, nos damos cuenta que si ((a_1-b_1 ))/((a_2-b_2 ) )>0 entonces había una estabilidad en los precios, y como ((a_1-b_1 ))/((a_2-b_2 ) )=2 entonces los precios si son estables, y cuando aplicamos el límite   cuando t→∞ ese es el precio de equilibrio en ese caso el precio de equilibrio es 15.

3.- La oferta y la demanda, de un cierto producto están dadas en miles de unidades por   S=16 p(t)+10p^' (t)+24(2-e^(-2t) )   y   D= -8p(t)-2p^' (t)+240 , respectivamente. En t=0 el precio del bien es 12 unidades, encuentre:A.- el precio en cualquier tiempo posterior, sabiendo que es un mercado perfecto.B.- Determine si hay estabilidad en el precio y el precio de equilibrio si existiese.Solución:PARTE A:- Aplicando el principio económico de la oferta y demanda:16 p(t)+10p^' (t)+24(2-e^(-2t) )   = -8p(t)-2p^' (t)+240

12p^' (t)+24p(t)= 24(e^(-2t)-8)p^' (t)+2p(t)= 2(e^(-2t)-8)- Solucionando:p(t)=e^(-∫▒2 dt) (∫▒e^(∫▒2 dt)   2(e^(-2t)-8)dt+c)p(t)=e^(-2t) (2∫▒〖e^2t (e^(-2t)-8)dt〗+c)

p(t)=e^(-2t) (2∫▒〖(〖1-8e〗^2t)dt〗+c)

p(t)=e^(-2t) (2(〖t-4e〗^2t)+c)- Aplicando la condición inicial:p_0=12=(-8+c)c=20- finalmente la ecuación queda de la siguiente forma, que es el precio en cualquier tiempo t:p(t)=2te^(-2t)+16PARTE B:- Recordando lo que se vio anteriormente, nos damos cuenta que si ((a_1-b_1 ))/((a_2-b_2 ) )>0 entonces había una estabilidad en los precios, y como ((a_1-b_1 ))/((a_2-b_2 ) )=2 entonces los precios si son estables, y cuando aplicamos el límite   cuando t→∞ ese es el precio de equilibrio en ese caso el precio de equilibrio es 16.

4.- la demanda y la oferta de un bien están determinadas en miles de unidades respectivamente por   D=-4 p(t)sen4t+5p^' (t)cos4t+80   y   S= 8p(t)sen4t+4p^' (t)cos4t+120 en t=0, el precio del bien es de 25 unidades.A.- Encuentre el precio en cualquier tiempo, sabiendo que es un mercado perfecto.B.- Discuta las implicaciones económicas.Solución:PARTE A:- Aplicando el principio económico de la oferta y demanda:-4 p(t)sen4t+5p^' (t)cos4t+80= 8p(t)sen4t+4p^' (t)cos4t+120p^' (t)cos4t-12p(t)sen4t=40p^' (t)-12p(t)tg4t=40sec4t

- Solucionando:p(t)=e^(-∫▒12tg4t dt) (∫▒e^(∫▒12tg4t dt) (40sec4t)dt+c)p(t)=e^3ln(cos4t)   (∫▒e^(-3ln(cos4t)) (40sec4t)dt+c)p(t)=cos^3 (4t)(∫▒〖cos^(-3) (4t)〗(40sec4t)dt+c)

p(t)=cos^3 (4t)(∫▒〖(40〖sec〗^4 4t)〗 dt+c)

p(t)=cos^3 (4t)(∫▒〖(40〖(sec〗^4 4t)(1+〖tg〗^2 4t)〗)dt+c)

p(t)=cos^3 (4t)(∫▒(40〖(sec〗^2 4t)   dt+∫▒〖(40〖(sec〗^2 4t)(〖tg〗^2 4t)〗)dt+c)

p(t)=cos^3 (4t)(10tg4t+10/3 〖tg〗^3 4t+c)- Aplicando la condición inicial:p_0=25=(c)c=25- finalmente la ecuación queda de la siguiente forma, que es el precio en cualquier tiempo

t:p(t)=cos^2 (4t)(10sen4t)+(10/3 〖sen〗^3 4t)+〖25cos〗^3 (4t)PARTE B:- para poder hacer un análisis económico, deberemos primero ver si los precios son estables para eso necesitamos saber si es que ((a_1-b_1 ))/((a_2-b_2 ) )>0 o no, sabemos que   ((a_1-b_1 ))/((a_2-b_2 ) )=tg4t   y que este valor puede ser positivo o negativo, según el tiempo que se tome, lo que nos dice que según algunos intervalos de tiempo, el precio será estable, pero en algunos otros intervalos será un precio inestable.

5.-Para proteger sus ganancias, un productor decide que la taza a la cual incrementan sus precios, debe ser numéricamente igual a tres veces la taza a la cual decrece su inventario. Asumiendo que la oferta y La demanda están dadas, en función del precio, por S=80+3p(t) , D= 150-2p(t) y que p=20 cuando el tiempo es t=0, encuentre el precio en cualquier tiempo t.Solución:- Por lo visto, cuando se desarrollo la teoría de los inventarios:dp/dt=-α dq/dt

dp/dt=-α(S-D)- Donde   α es igual a 3:dp/dt=-3(80+3p(t)-150+2p(t) )dp/dt=-3(-70+5p(t) )dp/dt+15p(t)=210- Ahora el trabajo consiste en desarrollar la ecuación diferencial:p(t)=e^(-∫▒15 dt) (∫▒e^(∫▒15 dt) (210)dt+c)p(t)=e^(-15t) (∫▒e^15t (210)dt+c)p(t)=e^(-15t) (e^15t 14+c)- Aplicando la condición inicial:20=e^(-15(0) ) (e^15(0)   14+c)6=c- El precio en cualquier instante de tiempo queda de la forma:p(t)=14+e^(-15t) 6

6.- suponga que un productor para proteger sus utilidades, decide que la taza a la cual aumentan sus precios debe ser numéricamente igual a un cuarto de la taza a la cual su inventario decrece además se sabe que la oferta y la demanda, están determinadas en función del precio por: S=16 p(t)+10p^' (t)+24(2-e^(-2t) )   y   D= -8p(t)-2p^' (t)+240 , determine el precio en cualquier instante, si cuando el tiempo es 0   el precio es 12 unidades.Solución:- Por lo visto, cuando se desarrollo la teoría de los inventarios:dp/dt=-α dq/dtdp/dt=-α(S-D)- Donde   α es igual a 3:

dp/dt=-1/4(16 p(t)+10p^' (t)+24(2-e^(-2t) )+8p(t)+2p^' (t)-240)dp/dt=-1/4(24 p(t)+12p^' (t)+24(-8-e^(-2t) ))dp/dt=-6 p(t)-3p^' (t)+6(8+e^(-2t) ))4 dp/dt+6 p(t)=6(8+e^(-2t) ))dp/dt+6/4   p(t)=6/4 (8+e^(-2t) ))- Ahora el trabajo consiste en desarrollar la ecuación diferencial:p(t)=e^(-∫▒6/4 dt) (∫▒e^(∫▒6/4 dt) (12+6/4 e^(-2t))dt+c)p(t)=e^(-6/4 t) (∫▒e^(6/4 t) (12+6/4 e^(-2t))dt+c)p(t)=e^(-6/4 t) (∫▒e^(6/4 t)   12dt+∫▒e^(6/4 t)   6/4 e^(-2t) dt+c)p(t)=e^(-6/4 t) (e^(6/4 t) 8+∫▒e^((-2)/4 t)   6/4 dt+c)p(t)=e^(-6/4 t) (e^(6/4 t) 8-e^(-2/4 t) 3+c)

- Aplicando la condición inicial:12=e^(-6/4(0)) (e^(6/4(0)) 8-e^(-2/4(0)) 3+c)12=8-3+c7=c- El precio en cualquier instante de tiempo queda de la forma:p(t)=e^(-6/4 t) (e^(6/4 t) 8-e^(-2/4 t) 3+7)

7.- Sea la demanda y la oferta:Q_D=t^2-2P+2tP^,+〖(t〗^2+1)P^(,,)Q_S=-1+1P-tP^,+P^(,,)Y sabiendo que P(1)=17/15   y P’(1)=3/5, hallar:A.- la trayectoria del precio suponiendo que el mercado es perfecto en cualquier instante t. Solución:PARTE A:- Debido a que me está diciendo el problema que es mercado es perfecto es posible hacer Q_D=Q_S para este caso:

t^2-2P+2tP^,+〖(t〗^2+1)P^(,,)=-1+1P-tP^,+P^(,,)

t^2+1=〖-t〗^2 y^''-3ty^'+3y

- Esta ecuación es una ecuación de cauchy euler cuya solución también es la suma de la solución general y de la solución particular, pero en este caso hay que hacer un cambio de variable que es de la siguiente forma:y=t^m- Primero hallamos p_c:-t^2 (t^m )^''-3t(t^m )^'+3(t^m )=0

-t^2 (m)(m-1)t^(m-2)-3tmt^(m-1)+3t^m=0t^m (-m^2+m-3m+3)=0t^m (-m^2-2m+3)=0

-m^2-2m+3=0(-m+1)(m+3)=0- Por lo tanto p_c es igual a:p_c=c_1 t+c_2 t^(-3)- ahora hallaremos p_p de una forma similar a la de las otras ecuaciones diferenciales:p_p=at^2+bt+c

t^2+1=〖-t〗^2 y^''-3ty^'+3y

t^2+1=〖-t〗^2 (2a)-3t(2at+b)+3(at^2+bt+c)

t^2+1=〖-t〗^2 (5a)+3c

a=-1/5                 ∧                 b=1/3

p_p=-1/5 t^2+1/3

- Finalmente P(t) es igual a:

P(t)=c_1 t+c_2 t^(-3)-1/5 t^2+1/3

- Aplicando las condiciones iniciales:P(1)=17/15

P(t)=c_1 (1)+c_2 〖(1)〗^(-3)-1/5 〖(1)〗^2+1/317/15=c_1+c_2-1/5+1/317/15-2/15-c_1=c_21-c_1=c_2

P'(1)=3/5P'(t)=c_1-3c_2 t^(-4)-2/5 t3/5=c_1-3c_2 (1)^(-4)-2/5(1)1=c_1-3c_21=c_1-3(1-c_1)1=c_1

0=c_2- por lo que P(t) es igual a:P(t)=t-1/5 t^2+1/3

8.- Sea la demanda y la oferta:Q_D=10-P-4P^,+P^(,,)Q_S=-2+2P+5P^,+10P^(,,)Y sabiendo que P(0)=6   y P’(0)=4, hallar:A.- la trayectoria temporal P(t) sabiendo que es un mercado de competencia perfecta.B.- Es o no dinámicamente estable.Solución:

PARTE A:- Como nos están diciendo en el enunciado que es un mercado de competencia perfecta, entonces es posible decir que Q_D=Q_S es decir:10-P-4P^,+P^(,,)=-2+2P+5P^,+10P^(,,)12=3P+9P^,+9P^(,,)4=P+3P^,+3P^(,,)- Como sabemos la solución comprende de dos partes un p_c y un p_p primero hallaremos el p_c:0=P+3P^,+3P^(,,)0=1+3r+3r^2

r=(-b±√(b^2-4ac))/2ar=(-3±√(〖(3)〗^2-4*1*3))/2r=(-3±√(-3))/(2(3))r_1=-1/2+(√3 i)/6           ∧           r_1=-1/2-(√3 i)/6p_c=c_1 e^(-t/2) sen((√3 t)/6)+c_2 e^(-t/2) cos((√3 t)/6)- Ahora hallaremos el p_p   que debe ser de la forma “a”   donde a es un número real:4=P+3P^,+3P^(,,)4=a- por tanto el precio queda de la forma:P=c_1 e^(-t/2) sen((√3 t)/6)+c_2 e^(-t/2) cos((√3 t)/6)+4- aplicando condiciones iniciales:P(0)=66=c_1 e^(-0/2) sen((√3 t(0))/6)+c_2 e^(-0/2) cos((√3(0))/6)+42=c_2

P'(0)=4P'=〖-c〗_1/2 e^(-t/2) sen((√3 t)/6)+√3/6 c_1 e^(-t/2) cos((√3 t)/6)-c_2/2 e^(-t/2) cos((√3

t)/6)-√3/6 〖c_2 e〗^(-t/2) sen((√3 t)/6)4= √3/6 c_1-c_2/230/√3=c_1

- la trayectoria temporal de P(t) es de la forma:P=30/√3 e^(-t/2) sen((√3 t)/6)+2e^(-t/2) cos((√3 t)/6)+4PARTE B:- Si es dinámicamente estable porque al aplicarle el límite cuando t→∞ toda la función no tiende al ∞ por tanto converge y si converge es dinámicamente estable.

9.- Sea la demanda y la oferta:Q_D=40-2P-2P^,-P^(,,)Q_S=-5+3PY sabiendo que P(0)=12   y P’(0)=1, hallar:A.- la trayectoria temporal P(t) sabiendo que es un mercado de competencia perfecta.B.- Es o no dinámicamente estable.

Solución:PARTE A:- Como nos están diciendo en el enunciado que es un mercado de competencia perfecta, entonces es posible decir que Q_D=Q_S es decir:40-2P-2P^,-P^(,,)=-5+3P45=5P+2P^,+P^(,,)- Como sabemos la solución comprende de dos partes un p_c y un p_p primero hallaremos el p_c:0=5P+2P^,+P^(,,)0=5+2r+r^2

r=(-b±√(b^2-4ac))/2ar=(-2±√(2^2-4*1*5))/(2(1))r=(-2±√(-16))/(2(1))r_1=-1+2i         ∧           r_1=-1-2ip_c=c_1 e^(-t) sen(2t)+c_2 e^(-t) cos(2t)- Ahora hallaremos el p_p   que debe ser de la forma “a”   donde a es un número real:45=5P+2P^,+P^(,,)9=a- por tanto el precio queda de la forma:P=c_1 e^(-t) sen(2t)+c_2 e^(-t) cos(2t)+9- aplicando condiciones iniciales:P(0)=1212=c_1 e^(-(0)) sen(2(0))+c_2 e^(-(0)) cos(2(0))+912=c_2+93=c_2

P'(0)=1P^'=-c_1 e^(-t) sen(2t)+2c_1 e^(-t) cos(2t)-c_2 e^(-t) cos(2t)-〖2c〗_2e^(-t) sen(2t)

1=-c_1 e^(-0) sen(2(0))+2c_1 e^(-0) cos(2(0))-c_2 e^(-0) cos(2(0))-〖2c〗_2 e^(-0) sen(2(0))1=2c_1-c_21=2c_1-32=c_1- la trayectoria temporal de P(t) es de la forma:P=2e^(-t) sen(2t)+3e^(-t) cos(2t)+9PARTE B:- Si es dinámicamente estable porque al aplicarle el límite cuando t→∞ toda la función no tiende al ∞ por tanto converge y si converge es dinámicamente estable.

10.- Sea la demanda y la oferta:Q_D=-P+2〖tP〗^,-t^2 P^(,,)

Q_S=〖-t〗^(-2)+〖tP〗^,+t^2 P^(,,)Y sabiendo que P(1)=1   y P’(1)=1, hallar:

A.- la trayectoria temporal P(t) sabiendo que es un mercado de competencia perfecta.B.- Es o no dinámicamente estableSolución:PARTE A:- Como nos están diciendo en el enunciado que es un mercado de competencia perfecta, entonces es posible decir que Q_D=Q_S es decir:-P+2〖tP〗^,-t^2 P^(,,)=〖-t〗^(-2)+〖tP〗^,+t^2 P^(,,)t^(-2)=P-tP^,+2t^2 P^(,,)- Como sabemos la solución comprende de dos partes un p_c y un p_p primero hallaremos el   p_c que en este caso se hace por cauchy euler:0=P-tP^,+2t^2 P^(,,)

P=x^m2t^2 (t^m )^''-t(t^m )^'+(t^m )=0

2t^2 (m)(m-1)t^(m-2)-tmt^(m-1)+t^m=0t^m (2m^2-2m-m+1)=0t^m (2m^2-3m+1)=0

2m^2-3m+1=0(2m-1)(m-1)=0- Por lo tanto p_c es igual a:p_c=c_1 t+c_2 t^(-1/2)- ahora hallaremos p_p en este caso se deberá hallar por variación de parámetros por lo que:p_p=u_1 (t)t+u_2 (t)t^(-1/2)u_1 (t)=∫▒|■(0&t^(-1/2)@t^(-2)&〖-1/2 t〗^(-3/2) )|/|■(t&t^(-1/2)@1&〖-1/2 t〗^(-3/2) )|   dtu_1 (t)=∫▒(-t^(-5/2))/(-3/2 t^(-1/2) ) dtu_1 (t)=∫▒(2t^(-2))/3 dtu_1 (t)=-2/3 t^(-1)

u_2 (t)=∫▒|■(t&0@1&t^(-2) )|/|■(t&t^(-1/2)@1&〖-1/2 t〗^(-3/2) )|   dtu_2 (t)=∫▒t^(-1)/(-3/2 t^(-1/2) ) dtu_2 (t)=∫▒〖-2t〗^(-1/2)/3 dt

u_2 (t)=〖-4/3 t〗^(1/2)

p_p=(-2/3 t^(-1))t+〖(-4/3 t〗^(1/2))t^(-1/2)p_p=-2- por tanto el precio queda de la forma:P=c_1 t+c_2 t^(-1/2)-2- aplicando condiciones iniciales:P(1)=11=c_1 (1)+c_2 (1)^(-1/2)-23-c_2=c_1

P'(1)=1P'=c_1+〖-1/2 c〗_2 t^(-3/2)

1=c_1+〖-1/2 c〗_2 〖(1)〗^(-3/2)

1=3-c_2+〖-1/2 c〗_2

〖3/2 c〗_2=2c_2=4/3

3-c_2=c_15/3=c_1- la trayectoria temporal de P(t) es de la forma:P=5/3 t+4/3 t^(-1/2)-2

PARTE B:- no es dinámicamente estable porque si nos damos cuenta la presencia de   5/3 t al evaluar el limite de la función cuando t→∞ , la función tiende al ∞ por tanto diverge y si diverge no es dinámicamente estable. 

Bibliografía:- R. SPIEGEL MURRAY. ECUACIONES DIFERENCIALES, APLICADAS. ED. PRENTICE HALL