UNIVERSIDAD NACIONAL “PEDRO RUIZ GALLO”

FACULTAD DE

CIENCIAS FÍSICAS Y MATEMÁTICAS

Escuela Profesional de Ingeniería Electrónica

CURSO : ANALISIS MATEMATICO III

TEMA : CENTRO DE MASA

ALUMNOS : VILLEGAS MALCA LUZ MARIELA QUESQEN ESQUEN JESUS RAUL HERRERA TENORIO DAVID

LAMBAYEQUE – PERÚ

2010

APLICACIONES DE LA INTEGRAL CURVILINEA

Sea una curva regular tal que y sea

una función continua sobre C.

Si C es un alambre y , .

Entonces

Representa la longitud del alambre.

Si es la función densidad de la masa del alambre, entonces la masa del alambre recorrido por la curva C es:

Los momentos de masa, respecto a los planos coordenados, del

alambre C, con función densidad , son expresados por:

y el centro de la masa del alambre es el punto dado por:

.

Momento de inercia:

El momento de inercia (símbolo I) es una medida de la inercia rotacional de un cuerpo.

El momento de inercia refleja la distribución de masa de un cuerpo o de un sistema de partículas en rotación, respecto a un eje de giro. El momento de inercia sólo depende de la geometría del cuerpo y de la posición del eje de giro; pero no depende de las fuerzas que intervienen en el movimiento.

Donde los momentos de inercia correspondientes a la curva C con función de

densidad de masa , respecto a los ejes coordenados, se definen por:

Observación:

Para determinar el centro de masa es muy útil tener en cuenta todas las simetrías posibles. Se anotan las siguientes reglas:

1. Si C es simétrico con respecto al plano XY y =

entonces . Un resultado análogo se cumple para los planos coordenados.

2. Si C es simétrico respecto al eje X y = , entonces

es . Un resultado similar se cumple para los otros ejes.

Ejercicio:

1. Determine la masa y la coordenada del centro de masa de un

alambre en forma de hélice descrito por una curva

Entre y Si la densidad Solución:

Determinando la masa

Donde

Hallando momentos de masa:

Hallando la coordenada del centro de masa del alambre:

2. Encuentre el momento de inercia sobre el eje y de un alambre

semicircular que tiene la forma .Si la densidad es

.Determinar también la masa y el centro de masa del

alambre.

Solución:

Parametrizando la semicircunferencia

Hallando momento de inercia en eje y

; ;

Determinando la masa:

Determinando centro de masa:

3. Determine la masa y el centro de masa del alambre en forma de hélice que

recorre la curva si la densidad es

encuentre el momento de inercia respecto al eje z.

Hallando la masa:

Hallando centro de masa:

Hallando momento de inercia respecto al eje z: