Aplicaciones de calculo de integrales dobles y triples

Geraldine Cisneros Integrales Múltiples y Sus Aplicaciones

UC. Facultad de Ingeniería. Departamento de Matemática.

75

3. APLICACIONES DE LAS INTEGRALES MÚLTIPLES

En este capítulo se presentan algunas de las aplicaciones tanto físicas como

geométricas de las integrales múltiples, específicamente para las integrales dobles y

para las integrales triples.

3.1 APLICACIONES DE LAS INTEGRALES DOBLES

Entre las aplicaciones de las integrales dobles, se tienen las

aplicaciones geométricas y las físicas. En el primer grupo se

encuentran: el cálculo del área de una figura plana y el cálculo de

volúmenes de sólidos en el espacio; entre las aplicaciones físicas

están el cálculo de: masa, momentos estáticos de figuras planas,

centros de masa y momentos de inercia para una región

bidimensional.

3.1.1. ÁREA DE UNA FIGURA PLANA

En el capítulo 1 de este trabajo, se explicó el significado intrínseco

de la integral doble de una función f positiva en una región

bidimensional D, ( )D

f x, y dA∫∫ , como el volumen del sólido S

definido sobre la región D y bajo la gráfica de la función f . Ahora,

si se considera que ( ), 1f x y = , entonces la integral anterior queda

como:

( )D D

f x, y dA dA=∫∫ ∫∫ (III.1)

Por lo tanto, empleando la definición de la integral doble, se tiene

que:

0 1 1

n m

ijD P i jdA Lim A

→ = =

= ∆∑∑∫∫ (III.2)

Recuerde que la integral doble ( )

Df x, y dA∫∫ ,

también puede escribirse como

( )0 1 1

n m* *

i j ijP i jLim f x , y A

→ = =

∆∑∑



76

donde ijA∆ es el área del rectángulo genérico denotado ijD , el

cual puede observarse en la figura 3.1

D

a = x0

y

xxi xn= bxi-1

c = y0

d = ym

yj-1

yjyj

xi (xi*,yj

*)

Dij

Figura 3.1

Región D dividida en subrectángulos ijD

En otras palabras, la integral D

dA∫∫ representa el volumen de un

sólido de sección transversal constante, cuya base es la región D

y cuya altura es igual a la unidad. Para un sólido con estas

características, el volumen se obtiene como el producto del área

de la base y la altura del mismo.

A partir de todo lo anterior, se define el cálculo del área de una

región plana.

ÁREA DE UNA FIGURA PLANA

Sea D una región bidimensional D , tal que 2D ⊆ . Sea A el

área de la región D , entonces:

DA dxdy= ∫∫ (III.3)



77

Observe que si la región D es de tipo 1, la ecuación anterior

queda como:

( )

( ) [ ] ( )( )b g x b g x

f xa f x aA dydx y dx= =∫ ∫ ∫ (III.3)

( ) ( )b

aA g x f x dx= − ∫ (III.4)

Donde la última integral, representa el área comprendida entre las

gráficas de ( )y f x= y ( )y g x= en el intervalo cerrado [ ]a,b . Esta

integral se estudia en la asignatura Análisis Matemático II, dentro

de las aplicaciones de la integral definida.

Dibuje la región D y calcule su área, empleando las integrales

dobles: D

dxdy∫∫ y D

dydx∫∫ , ( ){ }2 22 4D x, y x y y x y= ≥ − ∧ ≤ −

Solución:

La región D se encuentra acotada por las gráficas de las

parábolas horizontales 2 2x y y= − y 24x y= − , tal como se puede

observar en la siguiente figura.

Figura 3.2

Región D del ejemplo 3.2

EJEMPLO 3.1

Recuerde que la gráfica de la ecuación:

2x ay by c= + +

Es una parábola horizontal

Recuerde que una región D es de tipo 1 si se cumple:

( )( ) ( )

x, y a x bD

f x y g x

≤ ≤ ∧ = ≤ ≤

24x y= −

2 2x y y= −

D



78

a) Para calcular el área de la región por medio de la integral doble

Ddxdy∫∫ , es necesario definir los límites de integración, que se

ilustran en la figura 3.3

Figura 3.3

Región D del ejemplo 3.1 como una región tipo 2

Por tanto el área se obtiene como:

2

2

2 4 2 2

1 2 14 2 2 9

y

y yA dxdy y y dy

−

− − − = = − + = ∫ ∫ ∫

9D

A dxdy= =∫∫

b) Cuando se desea calcular el área D con el orden de integración

inverso, esto es D

A dydx= ∫∫ , entonces, se necesita conocer las

ecuaciones de las curvas en función de la variable x y además

identificar los límites de integración, que a continuación se

muestran en la figura 3.4

Observe que la región D es una región tipo 2, por lo cual el área se obtiene empleando una sola integral doble de la forma

Ddxdy∫∫ .

Para la primera curva: 2 2x y y= −

Se tiene que: 1 1y x= ± +

Para la segunda curva:

24x y= − entonces:

4y x= ± −

Valor de x a la salida de D

24x y= −

D

Valor de x a la entrada de D

2 2x y y= −



79

Figura 3.4

Región D del ejemplo 3.1 como tres regiones tipo 1

Entonces 1 2 3D D D D= ∪ ∪ , donde:

( ){ }( ){ }( ){ }

1

2

3

1 0 1 1 1 1

0 3 1 1 4

3 4 4 4

D x, y x x y x

D x, y x x y x

D x, y x x y x

= − ≤ ≤ ∧ − + ≤ ≤ + +

= ≤ ≤ ∧ − + ≤ ≤ −

= ≤ ≤ ∧ − − ≤ ≤ −

Así: 1 2 3D D D

A dydx dydx dydx= + +∫∫ ∫∫ ∫∫

0 1 1 3 4 4 4

1 1 1 0 1 1 3 4

x x x

x x xA dydx dydx dydx

+ + − −

− − + − + − −= + +∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫

( )0 3 4

1 0 32 1 4 1 1 2 4A xdx x x dx xdx

−= + + − − + + + −∫ ∫ ∫

4 19 4 93 3 3

A = + + =

9D

A dydx= =∫∫

En este caso, la región D queda dividida en tres regiones tipo 1, identificadas como: D1, D2 y D3..

Al comparar los dos cálculos de área de la región D del ejemplo 3.1, resulta mucho más sencillo emplear la integral

Ddxdy∫∫ que

con el orden inverso.

Valor de y a la salida de D1

1 1y x= + +

D2

Valor de y a la entrada de D1

1 1y x= − +

D3

D1


4y x= −

Valor de y a la salida de D

3

4y x= −


1 1y x= − +


4y x= − −

3x =

0x =



80

Dada la región D , determine las ecuaciones de las curvas que la

limitan y calcule su área empleando las integrales dobles: D

dxdy∫∫

y D

dydx∫∫ .

Figura 3.5


Solución:

Las ecuaciones de las curvas que limitan a la región D son:

1 16 20C : y x= +

2 2 20C : y x= − + y

23 4C : y x=

a) Para el cálculo del área de la región D por medio de la integral

doble D

dxdy∫∫ , se necesita saber que valor toma la variable x a la

entrada y salida de la región. En la figura 3.6 se pueden observar

estos valores.

EJEMPLO 3.2

Las ecuaciones de las curvas en función de la variable y son:

120

16yC : x −

=

220

2yC : x −

=

1 2y

C : x = ±

C1

D

C3

C2



81

Figura 3.6

Región D del ejemplo 3.2 como tres regiones tipo 2

Como 1 2 3D D D D= ∪ ∪ , entonces: 1 2 3D D D

A dxdy dxdy dxdy= + +∫∫ ∫∫ ∫∫

donde:

( )

( )

( )

1

2

3

0 42 2

20 4 1616 2

20 20 16 2016 2

y yD x, y x y

yyD x, y x y

y yD x, y x y

= − ≤ ≤ ∧ ≤ ≤ − = ≤ ≤ ∧ ≤ ≤

− − = ≤ ≤ ∧ ≤ ≤

204 16 202 2 2

20 200 4 1616 162

y y y

y yyA dxdy dxdy dxdy−

− −−

= + +∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫

4 16 20

0 4 16

20 45 92 16 4 16y y yA ydy dy dy

− = + − + − ∫ ∫ ∫

16 157 9 363 6 2

A = + + =

La región D no es una región tipo 2, sin embargo se puede dividir en tres regiones: D1, D2 y D3., que sí lo son. Por esta razón, para resolver la integral doble

Ddxdy∫∫ se debe

emplear la propiedad aditiva respecto a la región de integración.

Valor de x a la salida de D3

202

yx −= D3

Valor de x a la entrada de D3

2016

yx −=


2y

x =

D2


2016

yx −=


2y

x = D1


2y

x = −

4y =

16y =



82

36D

A dxdy= =∫∫

b) En la figura 3.7 se muestran los límites de integración para la

integral interna de D

A dydx= ∫∫ .

Figura 3.7

Región D del ejemplo 3.2 como dos regiones tipo 1

Luego: 1 2D D

A dydx dydx= +∫∫ ∫∫ , donde:

( ){ }( ){ }

21

22

1 0 4 16 20

0 2 4 2 20

D x, y x x y x

D x, y x x y x

= − ≤ ≤ ∧ ≤ ≤ +

= ≤ ≤ ∧ ≤ ≤ − +

2 2

0 16 20 2 2 20

1 4 0 4

x x

x xA dydx dydx

+ − +

−= +∫ ∫ ∫ ∫

( ) ( )0 22 2

1 0

32 7616 20 4 2 20 4 363 3

A x x dx x x dx−

= + − + − + − = + =∫ ∫

36D

A dydx= =∫∫

La región D puede dividirse en dos regiones tipo 1, identificadas como: D1 y D2 ; es decir:

1 2D D D= ∪

D2

D1


16 20y x= +


2 20y x= − +


24y x=


24y x=

0x =



83

Calcule, empleando integrales dobles, el área comprendida entre

dos círculos concéntricos de radios 2 y 4.

Solución:

Considere una corona circular con centro en el origen del sistema

de coordenadas tal como se observa a continuación.

Figura 3.8


Como D

A dydx= ∫∫ y la región D es simétrica respecto al origen,

entonces para simplificar el cálculo de área, sólo se evaluará

11 D

A dydx= ∫∫ , donde 1A es el área de la región D que se encuentra

en el primer cuadrante, denotada como 1D , de manera que:

14A A=

La región denotada como D1, se muestra en la figura 3.9.

La región D planteada en el ejemplo 3.3 recibe el nombre de corona circular, y su área es:

( )2 2A R rπ= −

donde R: Radio externo r: radio interno

EJEMPLO 3.3

D 2 2 16x y+ =

2 2 4x y+ =



84

Figura 3.9

Región 1D del ejemplo 3.3

Luego: 1. 1.

1A BD D

A dydx dydx= +∫∫ ∫∫ , donde:

( ){ }( ){ }

2 21

21

0 2 4 16

2 4 0 16

.A

.B

D x, y x x y x

D x, y x y x

= ≤ ≤ ∧ − ≤ ≤ −

= ≤ ≤ ∧ ≤ ≤ −

2 2

2

2 16 4 16

1 0 4 2 0

x x

xA dydx dydx

− −

−= +∫ ∫ ∫ ∫

( )2 42 2 21 0 2

16 4 16A x x dx x dx= − − − + −∫ ∫

182 3 2 3 3

3 3A π π π = + + − + =

12D

A dydx π= =∫∫

Valor de y a la salida de D1.A

216y x= −

Valor de y a la entrada de D1.A

24y x= −

D1.A

2x =

D1.B

Valor de y a la salida de D1.B

216y x= −

Valor de y a la entrada de D1.B

0y =

Para calcular el área de la región D1, se puede dividirla en dos regiones tipo 1:

1 1 1.A .BD D D= ∪



85

3.1.2. VOLUMEN DE UN SÓLIDO EN EL ESPACIO

En el capítulo 1 de este trabajo, se determinó que la integral

( )D

f x, y dA∫∫ representa el volumen del sólido S definido sobre la

región D y bajo la gráfica de la función f ; sin embargo, la integral

doble también puede emplearse para determinar el volumen de un

sólido más general.

Dibuje el sólido S acotado por las superficies: 2 22z x y= + y

2 220z x y= − − y plantear su volumen empleando integrales

dobles.

Solución:

En la figura 3.10 se muestra el sólido S de este ejemplo, donde la

superficie superior es 2 220z x y= − − y la superficie inferior viene

dada por la ecuación 2 22z x y= + .

VOLUMEN DE UN SÓLIDO EN EL ESPACIO

Sean 2:f → y 2:g → dos funciones reales, continuas

en una región bidimensional D , tales que ( ) ( ), ,f x y g x y≤

( ),x y D∀ ∈ . Sea V el volumen del sólido acotado

superiormente por la gráfica de la función g y acotado

inferiormente por la gráfica de la función f, entonces:

( ) ( ), ,D

V g x y f x y dA= − ∫∫ (III.5)

EJEMPLO 3.4



86

Figura 3.10

Sólido S del ejemplo 3.4

El volumen del sólido S, mostrado en la figura anterior, se obtiene

mediante la integral doble:

2 2 2 220 2D

V x y x y dA = − − − + ∫∫

donde D es la proyección del sólido S en el plano xy. Esta

proyección, para este ejemplo, resulta ser un círculo con centro en

el origen, al que se obtiene en la intersección de las dos

superficies:

2 22 2 2 2

2 2

22 20

20

z x yx y x y

z x y

= + ⇒ + = − −= − −

( )2 2 2 2 2 24 20 4x y x y x y+ = − − ⇒ + =

Entonces:

( ){ }2 2, 4D x y x y= + ≤

La superficie definida por la ecuación:

2 220z x y= − − Es una semiesfera (parte superior).

La superficie definida por la ecuación:

2 22z x y= + Es un cono .

S

Valor de z a la salida de S

2 220z x y= − −

Valor de z a la entrada de S

2 22z x y= +



87

Figura 3.11


Es decir, ( ){ }2 2, 2 2 4 4D x y x x y x= − ≤ ≤ − − ≤ ≤ −

Volviendo a la integral de volumen, se tiene que:

2

2

2 4 2 2 2 2

2 420 2

x

xV x y x y dydx

−

− − − = − − − + ∫ ∫

Ahora, para resolver esta integral se requiere un procedimiento

muy riguroso y largo, por lo cual a continuación sólo se presenta el

resultado de esta integral, el cual fue obtenido con software

matemático:

2 2 2 220 2 19,77678464D

V x y x y dA = − − − + = ∫∫


24y x= −

Valor de y a la entrada de D

24y x= − −

D

Donde D es una región tipo 1 y también tipo 2, pero en este ejemplo se trabaja como una región tipo 1.

En el siguiente capítulo, se mostrará como resolver una integral de este tipo, empleando un cambio de variable apropiado.



88

Dibuje el sólido S acotado por las superficies: 4z xy= + y 1z = y

dentro del cilindro 2 2 1x y+ ≤ , calcule su volumen empleando

integrales dobles.

Solución:

En la figura siguiente se aprecia el sólido S, acotado por las

superficies 4z xy= + y 1z = y dentro del cilindro 2 2 1x y+ ≤ .

Figura 3.12


El volumen del sólido S, se obtiene mediante la integral doble:

[ ] [ ]4 1 3D D

V xy dA xy dA= + − = +∫∫ ∫∫

donde D es la proyección del sólido S en el plano xy. Esta

proyección, se observa en la figura 3.13

EJEMPLO 3.5

S 2 2 1x y+ =


4z xy= +


1z =



89

Figura 3.13


En este caso, la región D se define como:

( ){ }2 2, 1 1 1 1D x y y x y y= − − ≤ ≤ − − ≤ ≤

Por lo tanto la integral de volumen queda como:

[ ]2

2

1 1 1 2

1 1 13 6 1 3

y

yV xy dxdy y dy π

−

− − − −= + = − =∫ ∫ ∫

[ ]3 3D

V xy dA π= + =∫∫

Dibuje el sólido S acotado por 3 31z x y xy= + + , 0z = , 3y x x= − y 2y x x= + y calcule su volumen empleando integrales dobles.

Solución:

En la figura 3.14 se observa el sólido S, acotado superiormente por 3 31z x y xy= + + e inferiormente por 0z = ; mientras que las

superficies 3y x x= − y 2y x x= + definen las paredes de dicho

cuerpo tridimensional.

EJEMPLO 3.6


21x y= −


21x y= − −

D En este ejemplo, la región D es de tipo 1 y también tipo 2, pero se trabaja como una región tipo 2.



90

Figura 3.14


Donde, el volumen del sólido S, se obtiene como:

3 3 3 31 0 1D D

V x y xy dA x y xy dA = + + − = + + ∫∫ ∫∫

Al proyectar el sólido anterior en el plano xy, se obtiene la región

bidimensional D, la cual se aprecia en la figura 3.15

Figura 3.15



3y x x= −


2y x x= +

D

En la figura 3.15, se observa que la región D del ejemplo 3.6 es una región de tipo 1.

S


3 31z x y xy= + +


0z =



91

Por lo tanto, la región D se define como:

( ){ }2 3, 1 0D x y x x x y x x= − ≤ ≤ + ≤ ≤ −

La integral de volumen queda como:

3

2

0 3 3

11

x x

x xV x y xy dydx

−

+− = + + ∫ ∫

13 90 11 8 7 6 3 2

1

7 5174 2 24 4 1260

x xV x x x x x x x dx−

= − + − − − + − − =

∫

3 3 51711260D

V x y xy dA = + + = ∫∫

3.1.3. MASA DE UNA FIGURA PLANA

A continuación, se explica como determinar la masa de una figura

plana no homogénea, de área D , como la región mostrada en la

figura 3.16; es decir para regiones donde la densidad varía en

cada punto ( )x, y D∈ .

Figura 3.16

Región D no homogénea

La densidad tiene unidades de masa por área unitaria. Para esta aplicación, considere que la función densidad ρ es continua en la región D .

En la figura 3.16 la región D es no homogénea, por lo cual su sombreado no es uniforme. Adicionalmente: ( ) ( )0x, y x, y Dρ = ∀ ∉



92

Si se escoge un punto arbitrario ( )* *i j ijx , y D∈ , entonces la masa

de este subrectángulo, denotada como ijm , se obtiene como:

( )* *,ij i j ijm x y Aρ= ∆ (III.6)

Por lo tanto la masa de la placa plana de área A , se puede

estimar mediante la doble suma de Riemann:

( )* *

1 1,

n m

i j iji j

m x y Aρ= =

≈ ∆∑∑ (III.7)

Si se aumenta el número de subintervalos, de manera que la

norma de la partición P tienda a cero, se tiene:

( )* *

0 1 1,

n m

i j ijP i jm Lim x y Aρ

→= =

= ∆∑∑ (III.8)

( ) ( )* *

0 1 1, ,

n m

i j ij DP i jm Lim x y A x y dAρ ρ

→ = =

= ∆ =∑∑ ∫∫ (III.9)

Entonces, el cálculo de la masa de una figura plana se obtiene

mediante:

MASA DE UNA FIGURA PLANA

Considere una lámina plana de densidad variable ( )x, yρ ,

que ocupa una región D en el plano xy, entonces su masa,

denotada m , se obtiene como:

( ),D

m x y dAρ= ∫∫ (III.10)

El cálculo de masa de una región D , también puede emplearse para calcular la carga eléctrica, Q, distribuida sobre una región D .

( ),D

Q x y dAσ= ∫∫

Donde σ es la función densidad de carga.



93

Determine la masa de la placa plana limitada por las curvas 2 1x y= − y 22 2x y= − , cuya densidad es igual a la unidad.

Solución:

Recuerde que la densidad se calcula como ( ),D

m x y dAρ= ∫∫ , por

lo tanto para esta placa se tiene:

Dm dA= ∫∫

Ahora, se debe identificar la región D para definir los límites de

integración.

Figura 3.17


Entonces la región D está definida como:

( ){ }2 22 2 1 1 1D x, y y x y y= − ≤ ≤ − ∧ − ≤ ≤

Por lo tanto:

( )2

2

1 1 1 2

1 2 2 1

413

y

ym dxdy y dy

−

− − −= = − =∫ ∫ ∫

2

2

1 1

1 2 2

43

y

ym dxdy

−

− −= =∫ ∫

EJEMPLO 3.7


2 1x y= −


22 2x y= −

D



94

Determine la masa de la placa plana limitada por las curvas

23 6 42

y x x= − + y 2 2y x= − , cuya densidad varía de acuerdo a la

función ( ) 1 2x, y xρ = + .

Solución:

El cálculo de la masa se obtiene de la integral doble

( ),D

m x y dAρ= ∫∫ , por lo tanto:

( )1 2D

m x dA= +∫∫

A continuación se muestra la región D.

Figura 3.18


Entonces:

( ) ( ) ( )1 2

1 2 1 2 1 2D D D

m x dA x dA x dA= + = + + +∫∫ ∫∫ ∫∫

Donde

( )

( )

21

22

30 2 6 4 2 4232 4 6 4 2 42

D x, y x x x y x

D x, y x x x y x

= ≤ ≤ ∧ − + ≤ ≤ − + = ≤ ≤ ∧ − + ≤ ≤ −

Según la definición del valor absoluto

2 2 02

2 2 0

x si xx

x si x

− − ≥− = − − <

entonces

2 4 2

4 2 2

x si xy

x si x

− ≥= − <

EJEMPLO 3.8

La región D debe dividirse en dos regiones tipo 1, tal que:

1 2D D D= ∪ D

2 4y x= −

23 6 42

y x x= − +

2 4y x= − +



95

En la figura 3.19 se muestra el orden de integración para obtener

la masa de la placa con la forma de la región D.

Figura 3.19

Región D del ejemplo 3.8 como dos regiones tipo 1

Entonces:

( ) ( )2 2

2 4 2 4 2 43 30 6 4 2 6 42 2

1 2 1 2x x

x x x xm x dydx x dydx

− −

− + − += + + +∫ ∫ ∫ ∫

2 43 2 3 2

0 2

13 293 4 8 3 82 2

m x x x dx x x x dx = − + + + − − + − ∫ ∫

40 80 403 3

m = + =

( )1 2 40D

m x dA= + =∫∫

D1

D2


4 2y x= −


2 2 4y x= −


23 6 42

y x x= − +


23 6 42

y x x= − +

2x =



96

3.1.4. MOMENTOS ESTÁTICOS DE FIGURAS PLANAS

El momento estático de una partícula alrededor de un eje se

define como el producto de su masa y la distancia que la separa

de ese eje. A continuación, se trata específicamente, los

momentos estáticos de una figura plana D alrededor de los ejes

coordenados.

Considere una lámina o placa plana D , dividida en

subrectángulos ijD , tal como se muestra en la siguiente figura:

Figura 3.20

Región general D no homogénea

Entonces, el momento estático alrededor del eje x, para cada

subrectángulo ijD , denotado como ijxM , viene dado por:

( )* * *,ijx j i j ijM y x y Aρ= ∆ (III.11)

Sumando el momento estático alrededor del eje x para cada

subrectángulo, se tiene que:

( )* * *

1 1,

n m

x j i j iji j

M y x y Aρ= =

≈ ∆∑∑ (III.13)

Los momentos estáticos son momentos de “equilibrio”.

xM es una medida de la tendencia a girar en torno al eje x, análogamente,

yM es una medida de la

tendencia a girar alrededor del eje y.



97

Tomando el límite cuando el número de subrectángulos aumenta

en la expresión anterior:

( )* * *

0 1 1,

n m

x j i j ijP i jM Lim y x y Aρ

→ = =

= ∆∑∑ (III.14)

( ) ( )* * *

0 1 1, ,

n m

x j i j ij DP i jM Lim y x y A y x y dAρ ρ

→ = =

= ∆ =∑∑ ∫∫ (III.15)

Análogamente, el momento estático alrededor del eje y, que se

denota yM , se obtiene como:

( ) ( )* * *

0 1 1, ,

n m

y i i j ij DP i jM Lim x x y A x x y dAρ ρ

→ = =

= ∆ =∑∑ ∫∫ (III.16)

MOMENTOS ESTÁTICOS DE FIGURAS PLANAS

Sea D una región del plano xy, tal que su densidad viene

dada por la función 2:ρ → , la cual es continua

( )x, y D∀ ∈ , entonces el momento estático alrededor del eje x,

denotado xM , se obtiene como:

( ),x DM y x y dAρ= ∫∫ (III.17)

Mientras que el momento estático alrededor del eje y,

denotado yM , se calcula como:

( ),y DM x x y dAρ= ∫∫ (III.18)



98

Determine los momentos estáticos de la placa plana descrita en el

ejemplo 3.7.

Solución:

Los momentos estáticos se calculan de la siguiente manera:

( ),x DM y x y dAρ= ∫∫ y ( ),y D

M x x y dAρ= ∫∫ .

Entonces:

( )2

2

1 1 1 2

1 2 2 11 0

y

x yM ydxdy y y dy

−

− − −= = − =∫ ∫ ∫

2

2

1 1 1 4 2

1 2 2 1

3 3 832 2 5

y

y yM xdxdy y y dy

−

− − −

= = − − + = − ∫ ∫ ∫

Por lo tanto, los momentos estáticos para una lámina con la forma

de la región D del ejemplo 3.7 son:

0

85

x D

y D

M ydA

M xdA

= =

= = −

∫∫

∫∫

Determine los momentos estáticos de la placa plana descrita en el

ejemplo 3.8.

Solución:

Los momentos estáticos se calculan como: ( ),x DM y x y dAρ= ∫∫ y

( ),y DM x x y dAρ= ∫∫ .

( ) ( )2 2

2 4 2 4 2 43 30 6 4 2 6 42 2

1 2 1 2x x

x x x x xM y x dydx y x dydx

− −

− + − += + + +∫ ∫ ∫ ∫

2 5 4 3 2

0

4 5 4 3 2

2

9 135 35 10 164 89 135 35 10 164 8

xM x x x x x dx

x x x x x dx

= − + − + + + + − + − + +

∫

∫

EJEMPLO 3.9

EJEMPLO 3.10

La región del ejemplo 3.7 se muestra a continuación

Y se encuentra acotada por las curvas 2 1x y= − y 22 2x y= − . La densidad es :

( ) 1x, yρ =

( ) 2 22 2 1

1 1

x, y y x yD

y

− ≤ ≤ − ∧ = − ≤ ≤

La región del ejemplo 3.8 se muestra a continuación

La densidad:

( ) 1 2x, y xρ = +

Donde 1 2D D D= ∪

( )

( )

1 2

2 2

0 2

3 6 4 2 42

2 4

3 6 4 2 42

x, y xD

x x y x

x, y xD

x x y x

≤ ≤ ∧ =

− + ≤ ≤ − + ≤ ≤ ∧ =

− + ≤ ≤ −



99

8 56 643 3 3xM = + =

Calculando el momento estático respecto al eje y se tiene:

( ) ( )2 2

2 4 2 4 2 43 30 6 4 2 6 42 2

1 2 1 2x x

y x x x xM x x dydx x x dydx

− −

− + − += + + +∫ ∫ ∫ ∫

262 1162 142415 15 15yM = + =

Finalmente, para la región del ejemplo 3.8 se tiene que:

( )

( )

641 23

14241 215

x D

y D

M y x dA

M x x dA

= + =

= + =

∫∫

∫∫

3.1.5. CENTRO DE MASA

El centro de gravedad de una figura plana D, es un punto P de

coordenadas ( )x , y D∈ , en el cual la región se equilibra

horizontalmente. Las coordenadas de este punto se obtienen de

las ecuaciones:

yMx

m= (III.19)

xMym

= (III.20)

Donde tanto la masa de la placa plana como los momentos

estáticos se calculan por medio de integrales dobles.

El centro de gravedad también es llamado centro de masa.

El significado físico del centro de gravedad, es que la lámina se comporta como si su masa estuviera concentrada en ese punto.

El centro de gravedad recibe el nombre de centroide cuando la densidad es constante.



100

Determine el centro de masa de la placa plana descrita en el

ejemplo 3.7.

Solución:

El centro de masa es un punto ( )P x , y D∈ , tal que sus

coordenadas se obtienen empleando las ecuaciones III.21 y

III.22. Como ya se calculó la masa y los momentos estáticos para

esta región, entonces sólo queda sustituir en las ecuaciones III.19

y III.20

865

4 53

yMx

m= = − = −

0 043

xMym

= = =

CENTRO DE MASA



( )x, y D∀ ∈ , entonces el centro de gravedad viene dado por:

( )1 ,D

x x x y dAm

ρ= ∫∫ (III.21)

( )1 ,D

y y x y dAm

ρ= ∫∫ (III.22)

Donde m es la masa de la placa D , que se obtiene como

( ),D

x y dAρ∫∫ .

La región del ejemplo 3.7 está acotada por las curvas 2 1x y= − y

22 2x y= − . Su densidad es :

( ) 1x, yρ =

Y adicionalmente se obtuvo:

2

2

1 1

1 2 2

43

y

ym dxdy

−

− −= =∫ ∫

0

85

x D

y D

M ydA

M xdA

= =

= = −

∫∫

∫∫

EJEMPLO 3.11



101

Entonces:

( ) 6, ,05

P x y = −

En la siguiente figura se observa el centro de masa o de gravedad

de la placa D descrita en el ejemplo 3.7

Figura 3.21

Centro de masa de la región D del ejemplo 3.7

Determine el centro de masa de la placa plana descrita en el

ejemplo 3.8.

Solución:

Sustituyendo el valor de la masa y los momentos estáticos en las

ecuaciones que permiten calcular las coordenadas del centro de

masa, se tiene:

142417815

40 75yM

xm

= = =

EJEMPLO 3.12

La región D del ejemplo 3.8, tiene una densidad que varía según:

( ) 1 2x, y xρ = +

En los ejemplos 3.8 y 3.10, se obtuvo:

( )1 2 40D

m x dA= + =∫∫

( )

( )

641 23

14241 215

x D

y D

M y x dA

M x x dA

= + =

= + =

∫∫

∫∫

6 05

, −

D



102

6483

40 15xMy

m= = =

Luego:

( ) 178 8, ,75 15

P x y =

En la figura 3.22 se aprecia la región D y su centro de masa:

Figura 3.22

Centro de masa de la región D del ejemplo 3.8

3.1.6. MOMENTO DE INERCIA

El momento de inercia de una partícula alrededor de un eje se

define como el producto de su masa y el cuadrado de la distancia

que la separa de ese eje y se considera como una medida de la

oposición a girar del cuerpo cuando actúa sobre él una fuerza de

rotación. Los segundos momentos más importantes son los

momentos de inercia alrededor de los ejes coordenados y del

origen.

Los momentos de inercia también son llamados segundos momentos.

Los momentos de inercia son momentos de “giro”.

178 875 15

,

D



103

El procedimiento para obtener estos momentos como integrales

dobles es similar al que se ilustró para los momentos estáticos,

por lo tanto, el momento de inercia de una placa D, respecto al eje

x, denotado xI , se calcula como:

( ) ( ) ( )2* * * 2

0 1 1, ,

n m

x j i j ij DP i jI Lim y x y A y x y dAρ ρ

→ = =

= ∆ =∑∑ ∫∫ (III.23)

Análogamente, el momento de inercia alrededor del eje y se

denota como yI y se obtiene como:

( ) ( ) ( )2* * * 2

0 1 1, ,

n m

y i i j ij DP i jI Lim x x y A x x y dAρ ρ

→ = =

= ∆ =∑∑ ∫∫ (III.24)

La suma de estos dos momentos se conoce como momento de

inercia alrededor del origen, 0I , donde:

( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 2* * * * 2 20 0 1 1

, ,n m

i j i j ij DP i jI Lim x y x y A x y x y dAρ ρ

→= =

= + ∆ = + ∑∑ ∫∫ (III.25)

MOMENTOS DE INERCIA DE FIGURAS PLANAS



( )x, y D∀ ∈ , entonces los momentos de inercia alrededor de

los ejes x y y, denotados xI e yI , se obtienen como:

( )2 ,x DI y x y dAρ= ∫∫ (III.26)

( )2 ,y DI x x y dAρ= ∫∫ (III.27)

El momento polar de inercia, 0I , es:

( ) ( )2 20 ,

DI x y x y dAρ= +∫∫ (III.28)

El momento de inercia alrededor del origen también es conocido como momento polar de inercia.

0 x yI I I= +

En las ecuaciones III.23 y III.24, el cuadrado de x o de y recibe el nombre de brazo de palanca.



104

Determine los momentos de inercia de la placa plana descrita en

el ejemplo 3.7.

Solución:

Los momentos de inercia alrededor de los ejes coordenados se

calculan de la siguiente manera: ( )2 ,x DI y x y dAρ= ∫∫ ,

( )2 ,y DI x x y dAρ= ∫∫ y ( ) ( )2 2

0 ,D

I x y x y dAρ= +∫∫ .

( )2

2

1 1 12 2 2

1 2 2 1

4115

y

x yI y dxdy y y dy

−

− − −= = − =∫ ∫ ∫

2

2

1 1 12 6 4 2

1 2 2 1

7 7 327 23 3 15

y

y yI x dxdy y y y dy

−

− − −

= = − + − = ∫ ∫ ∫

( )2

2

1 1 12 2 6 4 20 1 2 2 1

7 7 126 63 3 5

y

yI x y dxdy y y y dy

−

− − −

= + = − + − = ∫ ∫ ∫

Nótese que el momento polar de inercia puede calcularse como se

acaba de ilustrar, sin embargo, también puede obtenerse a partir

de:

04 32 36 12

15 15 15 5x yI I I= + = + = =

Entonces los momentos de inercia para la placa plana descrita en

el ejemplo3.7 son:

( )

2

2

2 20

4153215

125

x D

y D

D

I y dA

I x dA

I x y dA

= =

= =

= + =

∫∫

∫∫

∫∫

La gráfica de la región D del ejemplo 3.7 se muestra a continuación:

Cuya densidad es :

( ) 1x, yρ =

( ) 2 22 2 1

1 1

x, y y x yD

y

− ≤ ≤ − ∧ = − ≤ ≤

EJEMPLO 3.13



105

Determine los momentos de inercia de la placa plana descrita en

el ejemplo 3.8.

Solución:

Calculando el momento de inercia respecto al eje x, se tiene:

( ) ( )2 2

2 4 2 4 2 42 23 30 6 4 2 6 42 2

1 2 1 2x x

x x x x xI y x dydx y x dydx

− −

− + − += + + +∫ ∫ ∫ ∫

( ) ( )

( ) ( )

32 3 2

0

34 3 2

2

1 2 34 2 6 43 2

1 2 32 4 6 43 2

x

xI x x x dx

xx x x dx

+ = − − − + +

+ + − − − +

∫

∫

712 2168 57635 35 7xI = + =

Calculando el momento inercia respecto al eje y se tiene:

( ) ( )2 2

2 4 2 4 2 42 23 30 6 4 2 6 42 2

1 2 1 2x x

y x x x xI x x dydx x x dydx

− −

− + − += + + +∫ ∫ ∫ ∫

2 45 4 3 5 4 3 2

0 2

13 293 4 3 8 82 2yI x x x dx x x x x dx = − + + + − + − −

∫ ∫

128 3472 38565 15 15yI = + =

El momento polar de inercia puede obtenerse como:

( ) ( ) ( ) ( )2 2

2 4 2 4 2 42 2 2 23 30 0 6 4 2 6 42 2

1 2 1 2x x

x x x xI x y x dydx x y x dydx

− −

− + − += + + + + +∫ ∫ ∫ ∫

O también como: 0576 3856 35632

7 15 105x yI I I= + = + =

( )

( )

( )( )

2

2

2 20

5761 27

38561 215

356321 2105

x D

y D

D

I y x dA

I x x dA

I x y x dA

= + =

= + =

= + + =

∫∫

∫∫

∫∫

EJEMPLO 3.14

La gráfica de la región D del ejemplo 3.8 se observa a continuación:

Cuya densidad vienen dada por:

( ) 1 2x, y xρ = +

Donde 1 2D D D= ∪

( )

( )

1 2

2 2

0 2

3 6 4 2 42

2 4

3 6 4 2 42

x, y xD

x x y x

x, y xD

x x y x

≤ ≤ ∧ =

− + ≤ ≤ − + ≤ ≤ ∧ =

− + ≤ ≤ −



106

3.2 APLICACIONES DE LAS INTEGRALES TRIPLES

Las aplicaciones de las integrales triples, son similares a las

aplicaciones de las dobles. Sus definiciones se obtienen a partir

de la triple suma de Riemann; sin embargo a continuación se

presentan de una vez con la integral triple correspondiente para

cada una de ellas. Las aplicaciones que se mencionan a

continuación son: volúmenes de sólidos en el espacio, masa,

momentos estáticos, centros de masa y momentos de inercia de

cuerpos en el espacio.

3.2.1. VOLUMEN DE UN SÓLIDO EN EL ESPACIO

En el capítulo 2 se definió la integral triple de una función f sobre

una región tridimensional B , ( )B

f x, y,z dV∫∫∫ , como el límite de

una triple suma de Riemann , ( )0 1 1 1

n m l* * *

i j k ijkP i j kL im f x , y ,z V

→ = = =

∆∑∑∑ . Si la

función f es igual a la unidad; es decir, ( ) 1f x, y,z = , entonces, la

integral triple representa el volumen V del sólido B , resultando la

siguiente integral:

BV dV= ∫∫∫ (III.29)

VOLUMEN DE UN SÓLIDO EN EL ESPACIO

Sea B una región tridimensional, entonces su volumen,

denotado como V , se obtiene como

BV dV= ∫∫∫ (III.30)



107

Determine el volumen del sólido B acotado por las superficies:

0x = , y x= , 2y x= − , 1z = y 2 25z x y= − − .

Solución:

Para calcular el volumen del sólido B, se emplea la integral triple

BdV∫∫∫ . En la siguiente gráfica se ilustra el sólido B acotado por

las superficies mencionadas en el ejemplo 3.15 y adicionalmente

se señalan los valores que toma la variable z a la entrada y la

salida del recinto B.

Figura 3.23

Sólido B del ejemplo 3.15

Por lo tanto el volumen se obtiene como:

2 25

1

x y

DV dzdA

− −= ∫∫ ∫

Donde D es la proyección del sólido B sobre el plano xy. Dicha

proyección se muestra en la figura 3.24.

EJEMPLO 3.15

B

2y x= −

y x=

Valor de z a la salida de B

2 25z x y= − −

Valor de z a la entrada de B

1z =



108

Figura 3.24

Proyección del sólido B del ejemplo 3.15 en el plano xy

Entonces la región D, está definida como:

( ){ }0 1 2D x, y x x y x= ≤ ≤ ∧ ≤ ≤ −

Luego:

( )2 21 2 5 1 2 2 2

0 1 04

x x y x

x xV dzdydx x y dydx

− − − −= = − −∫ ∫ ∫ ∫ ∫

1 3 2

0

16 8 84 43 3 3

V x x x dx = + − − = ∫

83B

V dV= =∫∫∫

Determine el volumen del sólido B acotado por las superficies:

4y = , 2y x= , 0z = y 4z y= − .

Solución:

El cálculo de volumen del sólido B, se realiza por medio de la

integral triple B

dV∫∫∫ . En la figura 3.25 se ilustra el sólido B de

este ejemplo. Adicionalmente se muestran los valores de la

variable z a la entrada y la salida del recinto B.

La región D del ejemplo 3.15 es una región tipo 1 D


2y x= −


y x=

EJEMPLO 3.16



109

Figura 3.25


Por lo tanto el volumen se obtiene como:

4

0

y

DV dzdA

−= ∫∫ ∫

Donde D es la proyección del sólido B sobre el plano xy. Esta

proyección se observa en la figura 3.26.

Figura 3.26

Proyección del sólido B del ejemplo 3.16 en el plano xy

B


4z y= −


0z =

La región D del ejemplo 3.16 es una región tipo 1

D


4y =


2y x=



110

La región D, del ejemplo 3.16 está definida como:

( ){ }22 2 4D x, y x x y= − ≤ ≤ ∧ ≤ ≤

Luego:

( )2 2

42 4 4 2 4 2 2

2 0 2 2

2564 8 42 15

y

x x

xV dzdydx y dydx x dx−

− − −

= = − = − + =

∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫

25615B

V dV= =∫∫∫

Plantear mediante integrales triples el volumen comprendido entre

dos esferas concéntricas de radios 1 y 4.

Solución:

Sea B el sólido mencionado en el ejemplo 3.17. En la figura 3.27

se ilustran las dos esferas concéntricas de radios 1 y 4.

Figura 3.27


EJEMPLO 3.17

B

2 2 2 16x y z+ + =

2 2 2 1x y z+ + =

La región tridimensional comprendida entre las dos esferas concéntricas es simétrica respecto al origen, razón por la cual, dicha región se divide en 8 partes correspondientes a cada cuadrante.



111

A continuación se muestra la porción del sólido B que se

encuentra en el primer octante, el cual se denomina como B1.

También se muestran los valores de la variable z a la entrada y la

salida del recinto B1.

Figura 3.28

Sólido 1B del ejemplo 3.17

Entonces:

1

8B B

V dV dV= =∫∫∫ ∫∫∫

Como el valor de la variable z cambia a la entrada del sólido B1,

entonces se debe emplear la propiedad aditiva respecto a la

región de integración, por lo cual:

2 2 2 2

2 21 1 2

16 16

0 18 8

x y x y

B D D x yV dV dzdA dzdA

− − − −

− −

= = + ∫∫∫ ∫∫ ∫ ∫∫ ∫

Donde D1 y D2 son las regiones bidimensionales que se obtienen

al proyectar el sólido B1 sobre el plano xy. En la figura 3.29 se

aprecia dicha proyección.

Valor de z a la salida de B1

2 216z x y= − −

Valor de z a la entrada de B1

0z =

B1

Valor de z a la salida de B1

2 216z x y= − −

Valor de z a la entrada de B1

2 21z x y= − −

Figura 3.29

Proyección del sólido B1 sobre el plano xy

D1

D2



112

Figura 3.30


Entonces, la región D1 viene dada por la unión de las regiones:

( ){ }( ){ }

2 21 1

21 2

0 1 1 16

1 4 0 16

.

.

D x, y x x y x

D x, y x y x

= ≤ ≤ ∧ − ≤ ≤ −

= ≤ ≤ ∧ ≤ ≤ −

Figura 3.31


La región bidimensional D1 se divide en dos regiones tipo 1; es decir:

1 1.1 1.2D D D= ∪

D1.1

D1.2

Valor de y a la salida de D1.1

216y x= −

Valor de y a la salida de D1.2

216y x= −

Valor de y a la entrada de D1.1

21y x= −

Valor de y a la entrada de D1.2

0y =

1x =

D2


21y x= −


0y =

La región bidimensional D2 es una región tipo 1.



113

Con base a la figura 3.31, se tiene que:

( ){ }22 0 1 0 1D x, y x y x= ≤ ≤ ∧ ≤ ≤ −

Por lo tanto, las integrales triples que permiten calcular el volumen

comprendido entre dos esferas concéntricas de radios 1 y 4 son:

2 2 2 2 2 2

2

2 2 2

2 2

1 16 16 4 16 16

0 1 0 1 0 0

1 1 16

0 0 1

8 8

8

x x y x x y

x

x x y

x y

V dzdydx dzdydx

dzdydx

− − − − − −

−

− − −

− −

= + +

+

∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫

∫ ∫ ∫

3.2.2. MASA DE UN SÓLIDO EN EL ESPACIO

Considere una región tridimesional B , no homogénea, esto es que

su densidad ρ varía en cada punto ( )x, y,z B∈ , donde la función

densidad está expresada en unidades de masa por unidad de

volumen, entonces la masa se obtiene como la integral triple de la

función densidad sobre la región B, tal como se define a

continuación:

MASA DE UN SÓLIDO EN EL ESPACIO

Considere un cuerpo tridimensional B de densidad variable

( )x, y,zρ , entonces su masa, denotada m , se obtiene como:

( ), ,B

m x y z dVρ= ∫∫∫ (III.31)

Resolver estas integrales es un proceso bastante laborioso; sin embargo con un software matemático se puede obtener que el volumen planteado en el ejemplo 3.17 es:

( )8 32.98672287V =



114

Calcular la masa del sólido comprendido entre los planos: 0z = y

1z y= − y dentro de la superficie definida por la ecuación 2 24 4x y+ = , cuya densidad viene dada por ( ), , 2x y z zρ =

Solución:

El sólido B del ejemplo 3.18 se muestra en la figura 3.32, también

se muestran los valores que toma la variable z a la entrada y salida

de la región B.

Figura 3.32


Para calcular la masa del sólido mostrado en la figura anterior, se

emplea la ecuación III.31, donde al sustituir el primer orden de

integración y la función densidad, se obtiene:

1

02

y

Dm zdzdA

−= ∫∫ ∫

donde D es la proyección del sólido B en el plano xy. Esta

proyección, junto con el segundo orden de integración se ilustra en

la figura 3.33

EJEMPLO 3.18

B


1z y= −


0z =



115

Figura 3.33


La región D está definida como:

( )2 24 42 2

2 2x xD x, y x y

− − = − ≤ ≤ ∧ − ≤ ≤

Volviendo al cálculo de la masa:

( )2 2

2 2

4 42 1 2 22 24 42 0 2

2 2

2 1x xy

x xm zdzdydx y dydx

− −−

− −− −− −= = −∫ ∫ ∫ ∫ ∫

3 32 22

2

1 4 4 51 13 2 2 2

x xm dx π−

− − = + − − = ∫

522B

m zdV π= =∫∫∫

Calcular la masa del sólido comprendido entre los paraboloides 2 24 4z x y= + y 2 28 4 4z x y= − − , cuya densidad viene dada por

( ), , 1x y z x y zρ = + + + .

EJEMPLO 3.19

D


242

xy −=


24

2xy −

= −

La gráfica de la ecuación: 2 24 4x y+ =

Es una elipse horizontal.

La región bidimensional D del ejemplo 3.18 es una región tipo 1 y también una región tipo 2.



116

Solución:

En la figura 3.34, se muestra el sólido B del ejemplo 3.19 y también

los valores que toma la variable z a la entrada y salida de la región

B, los cuales permiten establecer los límites para la primera

integración parcial.

Figura 3.34


Por lo tanto, la masa se obtiene como:

( )2 2

2 2

8 4 4

4 41

x y

D x ym x y z dzdA

− −

+= + + +∫∫ ∫

siendo D la proyección del sólido B en el plano xy. Para determinar

la ecuación de la curva que delimita a esta región D, es necesario

resolver el siguiente sistema:

2 2

2 2

4 48 4 4

z x yz x y

= +

= − −

Sumando ambas ecuaciones se tiene que 4z =

B


2 28 4 4z x y= − −

Valor de z a la entrada de B 2 24 4z x y= +



117

Sustituyendo el valor de z en la primera ecuación del sistema, se

obtiene la ecuación 2 2 1x y+ = .

Figura 3.35


La región D queda definida como:

( ){ }2 21 1 1 1D x, y x x y x= − ≤ ≤ ∧ − − ≤ ≤ −

Luego, la masa se obtiene mediante la integral triple

( )2 2 2

2 2 2

1 1 8 4 4

1 1 4 41

x x y

x x ym x y z dzdydx

− − −

− − − += + + +∫ ∫ ∫

( )2

2

1 1 3 2 2 2 2 3

1 140 8 40 8 8 8 8 40 8

x

xm x x x xy x y y y y dydx

−

− − −= − − + − − + − −∫ ∫

1 2 2 2 2 3 2

1

160 32 160 321 1 1 1 203 3 3 3

m x x x x x x x dx π−

= − + − − − − − = ∫

( )1 20B

m x y z dV π= + + + =∫∫∫

Recuerde que la gráfica de la ecuación:

2 2 1x y+ =

Es una circunferencia.

La región D del ejemplo 3.19 puede clasificarse como una región tipo 1 y también como una región tipo 2. D


21y x= −

Valor de y a la entrada de D 21y x= − −



118

3.2.3. MOMENTOS ESTÁTICOS

El momento estático de una región B tridimensional respecto a los

planos coordenados xy, yz y xz, se definen de la siguiente manera:

Calcular los momentos estáticos alrededor de los planos

coordenados para el sólido descrito en el ejemplo 3.18.

Solución:

El sólido B del ejemplo 3.18 se definió como:

( )2 24 42 2 0 1

2 2x xB x, y,z x y z y

− − = − ≤ ≤ ∧ − ≤ ≤ ∧ ≤ ≤ −

Calculando los momentos estáticos por medio de las ecuaciones:

III.32, III.33 y III.34, se tiene:

MOMENTOS ESTÁTICOS DE UN SÓLIDO EN EL ESPACIO

Sea B un recinto del espacio, tal que su densidad viene dada

por la función 3:ρ → , la cual es continua ( )x, y,z B∀ ∈ ,

entonces los momentos estáticos alrededor de los planos xy,

yz y xz, denotados xyM , yzM y xzM , respectivamente, se

obtienen a partir de las siguientes expresiones:

( ), ,xy BM z x y z dVρ= ∫∫∫ (III.32)

( ), ,yz BM x x y z dVρ= ∫∫∫ (III.33)

( ), ,xz BM y x y z dVρ= ∫∫∫ (III.34)

EJEMPLO 3.20



119

( ) ( )2 2

2 2

34 42 1 22 24 42 0 2

2 2

2 12

3

x xy

xy x x

yM z z dzdydx dydx

− −−

− −− −− −

−= =∫ ∫ ∫ ∫ ∫

( )32 2 2 2

2

2 1 74 43 6 3xyM x x dx π

−

= − + − = ∫

Respecto al plano yz:

( ) ( )2 2

2 2

4 42 1 2 22 24 42 0 2

2 2

2 1x xy

yz x xM x z dzdydx x y dydx

− −−

− −− −− −= = −∫ ∫ ∫ ∫ ∫

( )32 2 2 2

2

14 4 012yzM x x x x dx

−

= − + − = ∫

Y finalmente, respecto al plano xz:

( ) ( )2 2

2 2

4 42 1 2 22 24 42 0 2

2 2

2 1x xy

xz x xM y z dzdydx y y dydx

− −−

− −− −− −= = −∫ ∫ ∫ ∫ ∫

( )32 2 2

2

1 46xzM x dx π

−

= − − = − ∫

( )

( )

( )

723

2 0

2

xy B

yz B

xz B

M z z dV

M x z dV

M y z dV

π

π

= =

= =

= = −

∫∫∫

∫∫∫∫∫∫

Calcular los momentos estáticos alrededor de los planos


Solución:

El sólido B del ejemplo 3.19 está definido como:

( ){ }2 2 2 2 2 21 1 1 1 4 4 8 4 4B x, y,z x x y x x y z x y= − ≤ ≤ ∧ − − ≤ ≤ − ∧ + ≤ ≤ − −

EJEMPLO 3.21



120

Calculando el momento estático respecto al plano xy:

( )2 2 2

2 2 2

1 1 8 4 4

1 1 4 41

x x y

xy x x yM z x y z dzdydx

− − −

− − − += + + +∫ ∫ ∫

( )( )2

2

1 1 4 2 2 2 2 4 2 2

1 1

32 4 8 8 3 8 3 4 19 13

x

xy xM x x x y x y y y x y dx

−

− − −= − − + + − + + + + −∫ ∫

1 2 2 3 4 6

1

8832 128 34688 128 4096 4096 272135 3 105 3 35 105 3xyM x x x x x x π

−

= − + − − + − = ∫

Respecto al plano yz:

( )2 2 2

2 2 2

1 1 8 4 4

1 1 4 41

x x y

yz x x yM x x y z dzdydx

− − −

− − − += + + +∫ ∫ ∫

( )( )2

2

1 1 2 2

1 18 5 1

x

yz xM x x y x y dx

−

− − −= − + + + −∫ ∫

1 2 2 3 4

1

160 32 160 32 213 3 3 3 3yzM x x x x x π

−

= − + − − = ∫

Respecto al plano xz:

( )2 2 2

2 2 2

1 1 8 4 4

1 1 4 41

x x y

xz x x yM y x y z dzdydx

− − −

− − − += + + +∫ ∫ ∫

( )( )2

2

1 1 2 2

1 18 5 1

x

xz xM y x y x y dx

−

− − −= − + + + −∫ ∫

( )21 2 4

1

32 1 21 215 3xz

xM x x π−

−= − + =∫

Entonces, para el sólido del ejemplo 3.19 se tiene:

( )

( )

( )

27213

213

213

xy B

yz B

xz B

M z x y z dV

M x x y z dV

M y x y z dV

π

π

π

= + + + =

= + + + =

= + + + =

∫∫∫

∫∫∫

∫∫∫



121

3.2.4. CENTRO DE MASA

A continuación se define el centro de masa para un sólido

tridimensional como un punto ( )P x, y,z , donde las coordenadas

de este punto se obtienen de las ecuaciones:

yzMx

m= (III.35)

xzMym

= (III.36)

xyMz

m= (III.37)

Entonces:

CENTRO DE MASA DE UN SÓLIDO DEL ESPACIO



entonces el centro de masa es un punto ( )P x , y ,z , donde sus

coordenadas son:

( )1 , ,B

x x x y z dVm

ρ= ∫∫∫ (III.38)

( )1 , ,B

y y x y z dVm

ρ= ∫∫∫ (III.39)

( )1 , ,B

z z x y z dVm

ρ= ∫∫∫ (III.40)

Donde m es la masa del sólido B , que se obtiene como

( ), ,B

m x y z dVρ= ∫∫∫ .



122

Determine las coordenadas del centro de masa del sólido B

descrito en el ejemplo 3.18.

Solución:

Las coordenadas del centro de masa del sólido B se obtienen

empleando las ecuaciones III.38, III.39 y III.40; sin embargo,

como en el ejemplo 3.20 se calcularon los momentos estáticos

alrededor de los planos coordenados, a continuación se utilizan las

ecuaciones III.35, III.36 y III.37:

0 052

yzMx

m π= = =

25 52

xzMym

ππ−

= = = −

7143

5 152

xyMz

m

π

π= = =

Entonces:

( ) 2 1405 15

P x , y ,z , , = −

Figura 3.36

Centro de gravedad del sólido B del ejemplo 3.18

EJEMPLO 3.22

2 1405 15

, , −

B

Para el ejemplo 3.18 se obtuvo:

522B

m zdV π= =∫∫∫

( )

( )

( )

723

2 0

2

xy B

yz B

xz B

M z z dV

M x z dV

M y z dV

π

π

= =

= =

= = −

∫∫∫∫∫∫∫∫∫



123

Determine las coordenadas del centro de gravedad del sólido

descrito en el ejemplo 3.19.

Solución:

Las coordenadas del centro de masa del sólido B, igual que en el

ejemplo anterior, se obtienen a partir de las ecuaciones III.35,

III.36 y III.37:

2 1320 30

yzMx

m

π

π= = =

2 1320 30

xzMym

π

π= = =

272 68320 15

xyMz

m

π

π= = =

Entonces:

( ) 1 1 6830 30 15

P x , y ,z , , =

En la siguiente figura, se aprecia el centro de masa del sólido B.

Figura 3.37

Centro de gravedad del sólido B del ejemplo 3.19

EJEMPLO 3.23

1 1 6830 30 15

, ,

B

Para el ejemplo 3.19 se obtuvo:

( )1 20B

m x y z dV π= + + + =∫∫∫

2723

23

23

xy

yz

xz

M

M

M

π

π

π

=

=

=



124

3.2.5. MOMENTOS DE INERCIA

Los momentos de inercia del sólido B respecto a los planos

coordenados, se obtienen como sigue:

Calcular los momentos de inercia alrededor de los ejes

coordenados y respecto al origen para el sólido descrito en el

ejemplo 3.18.

Solución:

El sólido B mencionado está definido como:

( )2 24 42 2 0 1

2 2x xB x, y,z x y z y

− − = − ≤ ≤ ∧ − ≤ ≤ ∧ ≤ ≤ −

Calculando los momentos estáticos por medio de las ecuaciones:

III.41, III.42 y III.43, se tiene:

MOMENTOS DE INERCIA DE FIGURAS PLANAS



entonces los momentos de inercia alrededor de los ejes

coordenados, denotados xI , yI e zI se obtienen a partir de:

( ) ( )2 2 , ,x BI y z x y z dVρ= +∫∫∫ (III.41)

( ) ( )2 2 , ,y BI x z x y z dVρ= +∫∫∫ (III.42)

( ) ( )2 2 , ,z BI x y x y z dVρ= +∫∫∫ (III.43)

El momento polar de inercia, 0I , es:

( ) ( )2 2 20 , ,

BI x y z x y z dVρ= + +∫∫∫ (III.44)

EJEMPLO 3.24



125

( )( )2

2

42 1 2 2242 0

2

2x y

x xI y z z dzdydx

−−

−− −= +∫ ∫ ∫

( ) ( )2

2

42 4 22242

2

1 1 12

x

x xI y y y dydx

−

−− −

= − + − ∫ ∫

( ) ( )5 32 2 2 22 2

2

1 3 1 274 4 42 160 3 8xI x x x dx π

−

= − + − + − = ∫

Respecto al eje y:

( )( )2

2

42 1 2 2242 0

2

2x y

y xI x z z dzdydx

−−

−− −= +∫ ∫ ∫

( ) ( )2

2

42 4 22242

2

1 1 12

x

y xI y x y dydx

−

−− −

= − + − ∫ ∫

( ) ( ) ( )5

2 2232 2 2 22

2

4 3 1 1194 4160 12 2 24y

x xI x x x dx π

−

− + = + − + − + = ∫

Respecto al eje z:

( )( ) ( )( )2 2

2 2

4 42 1 2 22 2 2 22 24 42 0 2

2 2

2 1x xy

z x xI x y z dzdydx y x y dydx

− −−

− −− −− −= + = + −∫ ∫ ∫ ∫ ∫

( ) ( )( )5 32 2 2 2 2 22 2

2

1 1 374 1 4 480 12 12zI x x x x x dx π

−

= − + + − + − = ∫

Finalmente, el momento polar de inercia:

( )( )2

2

42 1 2 2 220 42 0

2

2x y

xI x y z z dzdydx

−−

−− −= + +∫ ∫ ∫

( ) ( )( )2

2

42 4 22 220 42

2

1 1 12

x

xI y y x y dydx

−

−− −

= − + + − ∫ ∫



126

( ) ( ) ( )5

2 22 232 2 2 220 2

3 4 4 4 1374 4160 12 2 24

x x xI x x x dx π−

− + − = + − + + − =

∫

( )( )

( )( )

( )( )

( )( )

2 2

2 2

2 2 2

2 2 20

2728

119224

37212

137224

x B

y B

z B

B

I y z z dV

I x z z dV

I x y z z dV

I x y z z dV

π

π

π

π

= + =

= + =

= + + =

= + + =

∫∫∫

∫∫∫

∫∫∫

∫∫∫

Calcular los momentos de inercia alrededor de los ejes


Solución:

El sólido B del ejemplo 3.19 está definido como:

( ){ }2 2 2 2 2 21 1 1 1 4 4 8 4 4B x, y,z x x y x x y z x y= − ≤ ≤ ∧ − − ≤ ≤ − ∧ + ≤ ≤ − −

Calculando los momentos de inercia:

( )( )2 2 2

2 2 2

1 1 8 4 4 2 2

1 1 4 41

x x y

x x x yI y z x y z dzdydx

− − −

− − − += + + + +∫ ∫ ∫

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )( ) ( ) ]

2

2

1 1 2 2 5 5 4

1 1

3 2 2 2 3 4

2 3 2

8 1 16 16 13332 1 32 13 13 16 3

29 401 64 208 29 448

x

x xI x y x y x y

x y x y y y x y

y x y y y dydx

−

− − −= − + − + + + +

+ − + + − − + + +

+ − − + + − +

∫ ∫

EJEMPLO 3.25

Para resolver las integrales que permiten calcular los momentos de inercia pedidos en el ejemplo 3.25 se ilustra sólo el segundo momento respecto al eje x. Los demás resultados fueron calculados con un software matemático.



127

(

)

21 2 3

1

4 5 6 7

1 143968 22240 251584 30656105

160864 12512 53248 4096

xxI x x x

x x x x dx

−

−= + − − +

+ + − −

∫

462xI π=

Los momentos de inercia respecto a los ejes coordenados y al

origen para el sólido del ejemplo 3.19, se muestran a continuación:

( ) ( )

( )( )

( )( )

( )( )

2 2

2 2

2 2 2

2 2 20

1 462

1 462

2013

139613

x B

y B

z B

B

I y z x y z dV

I x z x y z dV

I x y z x y z dV

I x y z x y z dV

π

π

π

π

= + + + + =

= + + + + =

= + + + + + =

= + + + + + =

∫∫∫∫∫∫

∫∫∫

∫∫∫

Aplicaciones de calculo de integrales dobles y triples

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