APLICACIÓN DE ECUACIONES

DIFERENCIALES

APLICACIÓN DE UNA E.D.V.S

APLICACIÓN A LA QUIMICAHay muchas aplicaciones de ecuaciones diferenciales a los

procesos químicos. Una de estas será indicadas en el siguiente ejemplo:

Ejemplo:

Un tanque esta lleno con 10 galones (abreviación gal) de agua salada en la cual están disueltos 5lb de sal. Si el agua salada esta conteniendo 3lb de sal por gal que entra al tanque a 2 gal por minuto y la mezcla bien agitada sale a la misma tasa.

Encontrar la cantidad de sal en el tanque en cualquier tiempo. ¿Cuanta sal está presente después de 10min? ¿Cuanta sal está presente después de un tiempo largo?

Formulación Matemática:

Sea A el numero de libras de sal en el tanque después de t minutos. Luego dA / dt es la tasa de cambio de esta cantidad de sal en el tiempo y esta dada por:

dA / dt = tasa de cantidad ganada - tasa de cantidad perdida

Puesto que entran 2gal/min. conteniendo 3lb/gal de sal tenemos que la cantidad de sal que entra por

minuto es:

2gal / min. x 3 lb./gal = 6 lb./min. Lo cual es la tasa a la cual se gana sal. Puesto que siempre hay 10 gal en el tanque y debido a que hay A libras de sal en

cualquier tiempo t, la concentración de sal al tiempo t es A libras por 10gal.

La cantidad de sal que sale por minuto es, por tanto,

Alb / 10gal x 2gal / min. = 2A lb. / 10min. = A lb./ 5min.

de: (dA / dt),(6 lb./min.) y (A lb./5min) tenemos que: dA / dt = 6 - A/5.

Puesto que inicialmente hay 5lb. de sal, tenemos que A = 5 en t = 0. Así, la formulación matemática completa es:

dA / dt =6 - A/5 A = 5 en t = 0

Solución: Usando el método de separación de variables, tenemos:

" (dA / 30 - A) = " (dt / 5) ó - ln (30 - A) = t / 5 + c

Puesto que A = 5 en t = 0, c = - ln 25. Así,

- ln (30 - A) = t/5 - ln 25 = ln[(30 - A)/25] = A = 30 - 25 e

La cual es la cantidad de sal en el tanque en cualquier tiempo t.

Al final de los 10min. la cantidad de sal es A = 30 - 25 e ² = 26.6 lb.

Después de un tiempo largo, esto es, cuando t!", vemos que A!30 lb., Esto también podría ser visto desde la ecuación diferencial haciendo dA / dt = 0, puesto que también A es una constante cuando se alcanza el equilibrio.

Aplicación de una E.D.H

APLICACION A LA QUIMICA

Problemas de mezclas químicas:

Las ecuaciones diferenciales también tienen aplicación dentro de los problemas de mezclas. En estos problemas aparecen involucradas sustancias, las cuales se mezclan dentro de un recipiente de volumen dado . Supongamos que inicialmente teníamos una cantidad de kilogramos de una sustancia diluida en una concentración de , y que introducimos otra solución que contiene una concentración de dicha sustancia la cual es introducida en el recipiente a una velocidad de .

Además sacamos parte de la solución que se produce dentro del recipiente a una velocidad de . Si demostramos por la cantidad de sustancia en cuestión dentro del recipiente por unidad de tiempo, tenemos que la variación de dicha cantidad viene dada por:

Donde y son velocidades de entrada y salida de dicha sustancia respectivamente. Como y donde es el volumen de disolución en el recipiente por unidad de tiempo, el problema de condiciones iníciales:

Modeliza la cantidad de sustancia que hay en el recipiente por unidad de tiempo.

 

Ejemplo:

Supongamos una tanque que contiene originalmente 400 litros de agua limpia. Vertemos en el tanque agua que contiene 0.05 kilogramos de sal por litro a una velocidad de 8 litros por minuto, y se deja que la mezcla salga del recipiente a la misma rapidez. Vamos a determinar la cantidad de sal que habrá en el recipiente al cabo de 20 minutos. Para ello, teniendo en cuenta que el volumen se mantiene constante, planteamos el problema de condiciones iníciales:

Solución:

 La ecuación diferencial implicada es lineal. La ecuación homogénea tiene por solución , donde K es la constante procedente de la integración. Por el método de variación de constantes calculamos la solución de la ecuación no homogénea imponiendo que sea solución de la misma. Entonces.

Con lo que:   Así la solución de la ecuación diferencial será:  

Además, como y(0) = 0, tenemos que:   con lo que C = 160, y la solución del problema de condiciones

iníciales es:   A los 20 minutos, la cantidad de sal que hay dentro del tanque es:    

APLICACIÓN DE UNA E.D.E

APLICACIÓN A LA QUIMICA

Problema de desintegración de un elemento radioactivo:

La velocidad con la que se desintegra la radiación de un elemento es proporcional a la cantidad que haya de dicho elemento.

Llamando a y(t) ala cantidad de elemento radiactivo en un cierto momento t, tenemos que:

APLICACIÓN DE UNA E.D.L

APLICACION A LA ECONOMIAEn años recientes ha habido un interés creciente por la aplicación de

las matemáticas a la economía. Sin embargo, puesto que la economía involucra mucho factores impredecibles, tales como

decisiones psicológicas o políticas, la formulación matemática de sus problemas es difícil. Se debería hacer énfasis que, como en los

problemas de ciencia e ingeniería, cualquier resultado obtenido teóricamente debe finalmente ser probado a la luz de la realidad.

Principio económico de la oferta y la demanda:

El precio de un bien en cualquier tiempo t, esto es, p(t), esta determinada por la condición de que la demanda en t sea igual a la oferta en t, en forma matemática esto quiere decir:

(p(t),p´(t)) = g(p(t),p´(t))

Las formas que debería tener y g son las siguientes:

D = (p(t),p´(t)) = A1p(t) + A2p´(t) + A3S = g(p(t),p´(t)) = B1p(t) + B2p´(t) + B3

donde A´S y B´S son constantes, en ese caso la formula matemática se transforma a la siguiente expresión:

A1p(t) + A2p´(t) + A3 = B1p(t) +B2p´(t) + B3(A2 - B2)p´(t) + (A1 - B1)p(t) = B3 - A3

Asumamos que A1"B1, A2"B2 y A3"B3. Entonces podríamos escribir la formula como:

p´(t) + (A1-B1/A2-B2)p(t) = B3-A3/A2-B2

Resolviendo esta ecuación lineal de primer orden sujeta a p = Po en t = 0 da como resultado:

p(t) = B3-A3/A1-B1 + [Po- (B3-A3/A1-B1)]e

Caso I: Si Po = (B3-A3)/(A1-B1) y p(t)=Po entonces, los precios permanecen constantes en todo tiempo.

Caso II: Si (A1-B1)/A2-B2)>0 entonces se tendría una estabilidad de precios.

Caso III: Si (A1-B1)/A2-B2)<0. en este caso vemos que de la ecuación p(t) = B3-A3/A1-B1 + [Po- (B3-A3/A1-B1)]e que el precio p(t) crece indefinidamente a medida que t crece, asumiendo que Po > (B3-A3)/A1-B1),esto es, tenemos inflación continuada o inestabilidad de precio. Este proceso puede continuar hasta que los factores económicos cambien, lo cual puede resultar en un cambio a la ecuación (A2 - B2)p´(t) + (A1 - B1)p(t) = B3 -A3.

Ejemplo:

La demanda y oferta de un cierto bien están en miles de unidades por D = 48 - 2p(t) + 3p´(t), S = 30 + p(t) + 4p´(t), respectivamente. Si en t =0 el precio del bien es 10 unidades, encuentre (a) El precio en cualquier tiempo t > 0 y (b) Si hay estabilidad o inestabilidad de precio.

Solución:

El precio p(t) esta determinado al igualar la oferta con la demanda, esto es,

48 - 2p(t) + 3p´(t) = 30 + p(t) + 4p´(t) = p´(t) + 3 p(t) = 18

Resolviendo la ecuación del primer orden lineal sujeta a p = 10 en t = 0 da como resultado: p(t) = 6 + 4e

De este resultado vemos que, sí t!", p!6. Por tanto tenemos estabilidad de precio, y el precio de equilibrio es de 6 unidades.

APLICACIÓN DE UNA E.D.B

APLICACION A LA HIDRODINAMICA

La ecuación de Bernoulli es uno de los pilares fundamentales de la hidrodinámica; son innumerables los problemas prácticos que se

resuelven con ella.

Instrumentación de medida de velocidades:

Entre los instrumentos para medir la velocidad de un fluido, figura el tubo de Prandtl, cuyo fundamento es la ecuación de Bernoulli.

Es una combinación del tubo de Pitot y un tubo piezometrico; el de Pitot mide la presión total, el piezometrico mide la presión estática, y el tubo de Prandtl mide la diferencia entre las dos, que es la presión dinámica.

Al ser introducido en el fluido produce una perturbación, que se traduce en la formación en 1 de un punto de estancamiento, así:

P1 = Pt V1 = 0

Por ser el tubo muy fino y estar la corriente en 2 prácticamente normalizada después de la perturbación en 1, se tendrá, despreciando también las perdidas:

V2 = Vot

P2 = Po

Vot : velocidad teórica en la sección O

Ecuación de Bernoulli entre 0 y 1 (Z0 = z1, V1 = 0 - punto de estancamiento):

P0 + P Vot2 = P1

y según Ecs. P1 - P2 = p Vot2

yendo de 1 a 2 por el interior del manómetro, se podrá aplicar la ecuación fundamental de la hidrostática:

P1 = P2 + pga + pmgl - pgl – pga

Se deduce finalmente:

P V2ot = (pm - p) g l

despejando:

Vot = 2g(pm -p) l