APLICACIONES DE ECUACIONES DIFERENCIALES EN INGENIERÍA CIVIL.

UNIVERSIDAD INDUSTRIAL DE SANTANDERLILIANA MARCELA MOJICA SEPULVEDA

Las ecuaciones diferenciales son muy interesantes en cuanto a la posibilidad que presentan para indagar sobre variedad de problemas de las ciencias físicas, biológicas y sociales. A partir de la formulación matemática de distintas situaciones se describen procesos reales aproximados.

Dentro de los diversos campos de acción de la ingeniería civil, una de las múltiples aplicaciones de ecuaciones diferenciales está relacionada con el estudio de las flexiones, un ejemplo es:

FLEXION DE UNA VIGA EN VOLADIZO PARA PEQUEÑAS FLEXIONES:

Una viga o una barra delgada son sólidos homogéneos e isótropos cuya longitud es grande comparada con las dimensiones de su sección trasversal. 

Cuando una viga flexiona debido a las fuerzas exteriores que se aplican, existen algunas partes de la viga que se acortan y hay otras zonas que se alargan. Pero hay una línea, denominada eje neutro, que no se acorta ni se alarga. Este eje se encuentra en el centro de gravedad de la sección trasversal.

Se usará una barra empotrada de un determinado material, de longitud L, de anchura a y de espesor b. Se fijará uno de sus extremos y se aplicará una fuerza en su extremo libre. Mediremos el desplazamiento del extremo libre y(L) o flecha en función de la fuerza aplicada F, comprobando su relación de proporcionalidad, mientras que la flexión de la barra sea pequeña.

A continuación, examinaremos la teoría de la flexión de una viga en voladizo en detalle, calculando el desplazamiento de su extremo libre cuando se aplica una fuerza en dicho extremo que produce una flexión considerable.

Este ejemplo, nos permite practicar con procedimientos numéricos aplicados al

Cálculo de la raíz de una ecuación. Integral definida.

Supongamos que

La barra tiene una longitud L mucho mayor que las dimensiones de su sección trasversal, y que la deformación debida a su propio peso es despreciable.

Que la sección de la barra no cambia cuando se dobla. Cuando el espesor de la barra es pequeño comparado con el radio de curvatura, la sección trasversal cambia muy poco.

En estas condiciones es aplicable la ecuación de Euler-Bernoulli que relaciona el momento flector M de la fuerza aplicada y el radio de curvatura ρ de la barra deformada

El radio de curvatura de una función y(x) es

Para pequeñas pendientes (dy/dx)2≈0

Si despreciamos el peso de la propia barra, el momento de la fuerza F aplicada en el extremo libre, respecto del punto P (x, y) es M=F(xf-x)≈F(L-x)

Que integramos dos veces con las siguientes condiciones iníciales x=0, y=0, dy/dx=0.

El desplazamiento yf del extremo libre x=L es proporcional a la fuerza F aplicada

Y es el módulo de Young del material I se denomina momento de inercia de la sección trasversal

respecto de la fibra neutra

Se considera que la aproximación de pequeñas flexiones: el desplazamiento y del extremo libre de la barra, es proporcional a la fuerza F aplicada, produce resultados aceptables hasta un cierto valor del parámetro a dimensional α<0.375, (véase al final del siguiente apartado) o bien, hasta un valor máximo de la fuerza aplicada Fm=2Y·I·α/L2

 

Ejemplo:

Sea L=30 cm=0.3 m, la longitud de la barra. Sea b=0.78 mm=0.00078 m, el espesor de la barra. La anchura a=0.03 m está fijada por el programa interactivo y

no se puede cambiar. Elegimos como material, el Acero.

Después de realizar la experiencia. La pendiente de la recta que relaciona la desviación del extremo libre y(L) con la fuerza aplicada F en dicho extremo es

m=3.683 cm/N=0.03683 m/N

El momento de inercia I vale

Dada la pendiente (coeficiente de proporcionalidad de F) calculamos el módulo de Young Y

ESTUDIO DE LA FLEXION DE UNA VIGA EN VOLADIZO:

Consideremos una barra delgada de longitud L en posición horizontal, empotrada por un extremo y sometida a una fuera vertical F en el extremo libre. Determinaremos la forma de la barra y las coordenadas (xf, yf) del extremo libre para grandes flexiones de la barra.

Supongamos que:

La barra tiene una longitud L mucho mayor que las dimensiones de su sección trasversal, y que la deformación debida a su propio peso es despreciable.

Que la sección de la barra no cambia cuando se dobla. Cuando el espesor de la barra es pequeño comparado con el radio de curvatura, la sección trasversal cambia muy poco.

En estas condiciones es aplicable la ecuación de Euler-Bernoulli que relaciona el momento flector M de la fuerza aplicada y el radio de curvatura ρ de la barra deformada

Donde Y es el módulo de Young del material e I es el momento de inercia de la sección trasversal respecto del eje neutro. El radio de curvatura:

ρ=ds/dφ

El momento  flector M de la fuerza F aplicada en el extremo libre de la barra respecto del punto P (x, y) es M=F(xf-x)

Derivando con respecto a s, y teniendo en cuanta que cosφ=dx/ds

Para determinar φ(s) se resuelve la ecuación diferencial con las siguientes condiciones iníciales:

Para obtener una solución de la ecuación diferencial, multiplicamos por dφ/ds la ecuación diferencial

La constante de integración la determinamos a partir de las condiciones iníciales especificadas anteriormente:

La Longitud L de la barra y las coordenadas x e y de cada uno de los puntos de la misma se obtienen:

Dada la fuerza F aplicada en el extremo libre de la barra y conocida la longitud L de la barra, se resuelve la primera ecuación para calcular el ángulo φ0, que forma la recta tangente a la barra en su extremo libre con la parte negativa del eje horizontal X

Una vez que se conoce este ángulo φ0, se calcula la abscisa x dando valores al ángulo φ en el intervalo (0, φ0)

El cálculo de la ordenada y es más complicado, ya que para cada valor del ángulo φ hay que hallar una integral definida en el intervalo (0, φ) empleando procedimientos numéricos.

Cálculo numérico

Las ecuaciones anteriores las podemos expresar

Donde α es un parámetro a dimensional que engloba las características geométricas de la barra, del material del que está hecha, y de la fuerza aplicada en su extremo libre

Cálculo de φ0.

Empezamos con la primera ecuación que nos determina el ángulo φ0 que forma la recta tangente a la barra en su extremo libre con la parte negativa del eje horizontal X, tal como se ve en la figura:

Requiere dos pasos:

1.      Hallar la integral

2.      Calcular la raíz de la ecuación

f(φ0)=0

La integral se puede expresar en términos de la suma de dos integrales elípticas de primera especie, haciendo cambios de variable. El primer cambio es θ=φ+π/2

El segundo cambio de variable es

Finalmente, calculamos la raíz de la ecuación

Cálculo de las coordenadas (x/L, y/L) de cada punto de la barra deformada

El cálculo de x/L no reviste dificultad alguna. Conocido φ0, se calcula x/L para cada ángulo φ en el intervalo (0,  φ0). La posición xf

del extremo libre es

El cálculo de y/L es más problemático. Conocido φ0, se determina la ordenada y/L para cada ángulo φ en el intervalo (0,  φ0)  calculando la integral definida,

por el procedimiento numérico de Simpson

Cuando φ→φ0 el denominador de la integral tiende a cero. El ordenador no calcula correctamente la ordenada yf/L del extremo libre de la barra cuando φ=φ0. Para solucionar este inconveniente, empleamos el procedimiento de interpolación que se muestra en la figura.

Calculamos las coordenadas (x/L, y/L) para el ángulo φ=φ0-Δφ, siendo Δφ un ángulo pequeño.

Calculamos la abscisa xf/L para el ángulo φ0.

La ordenada yf/L se obtiene resolviendo el triángulo rectángulo de la figura

 

Aproximación de pequeñas flexiones

Para pequeñas flexiones cuando el ángulo φ0 es pequeño. Sustituimos senφ≈φ y escribimos la ecuación que calcula φ0.

El resultado es φ0=α

Las coordenadas (x, y) de cada punto de la barra se aproximan a

Para el extremos libre de la barra, cuando φ= φ0=α, xf=L, lo que implica que en la aproximación de pequeñas flexiones, no hay desplazamiento horizontal del extremo libre de la barra.

La ordenada y la podemos aproximar

Integrando por partes y después de hacer algunas simplificaciones obtenemos la siguiente expresión

Las coordenadas x e y, las hemos expresado en función del parámetro φ, eliminando el parámetro obtenemos la función y=f(x) que describe la flexión de la barra cuando se aplica una fuerza F en su extremo libre.

Para el extremos libre de la barra, cuando φ= φ0=α, x=L,

Límite de la aproximación de pequeñas flexiones

En la figura, se muestra la desviación y/L del extremo libre de la barra en función del parámetro a dimensional α.

En color rojo, los resultados del cálculo, empleando procedimientos numéricos, descrito en el apartado anterior

En color negro, la recta y/L=2α/3, aproximación de pequeñas flexiones

Podemos considerar, que la aproximación lineal produce resultados aceptables hasta un cierto valor límite del parámetro αm

o bien, hasta un cierto valor máximo de la fuerza aplicada Fm en el extremos libre de la barra

Ejemplo:

Sea una regla de acero de longitud L=30 cm, sección rectangular a=3.04 cm, y b=0.078 cm. El módulo de Young es Y=2.06·1011 N/m2

El momento de inercia I vale

Cuando aplicamos en el extremo libre de la barra una fuerza tal que α=0.25, es decir

Aplicando la aproximación de pequeñas flexiones

En la aproximación de pequeñas flexiones xf≈L, no hay desviación apreciable en sentido horizontal y la desviación en sentido vertical yf es proporcional a la fuerza F aplicada en el extremo libre.

Cuando aplicamos en el extremo libre de la barra una fuerza tal que α=1.25, es decir

Aplicando la aproximación de pequeñas flexiones

En la aproximación de pequeñas flexiones deja de ser válida ya que hay una desviación apreciable en sentido horizontal y la desviación en sentido vertical yf ya no es proporcional al a la fuerza F aplicada en el extremo libre.

BIBLIOGRAFIA:

Feynman, Leighton, Sands. The Feynman Lectures on

Physics V-II. Edt. Fondo Educativo Interamericano, págs. 38.15-17.

Beléndez T., Neipp C., Beléndez A., Flexión de una barra delgada empotrada en un extremo: Aproximación para pequeñas pendientes. Revista Brasileira de Ensino de Física. 24 (4) Dezembro 2002, págs, 399- 407.

Beléndez T., Neipp C., Beléndez A., Large and small defections of a cantilever beam. Eur. J. Phys. 23 (2002) pp. 371-379