M. Sc. Jorge E. Hernández HUCLA – DAC. 2008

Aplicaciones de las Derivadas

Aquí mostramos el contenido de esta presentación.

La misma lo guiará en el aprendizaje de dicho contenido.

1. Monotonía de una función

2. Puntos críticos de una función

3. Máximos y mínimos relativos

4. Concavidad de una función

5. Puntos de inflexión

6. Pasos para el bosquejo de una curva.

1. Monotonía de una función.

El término monotonía, cuando se refiere a una función, es usado para catalogar el ordenamiento de los valores de la función con respecto al orden natural de los valores de sus argumentos. Es decir, vemos el orden de f (x)comparado con el orden del argumento x.

Monotonía de una función.

Esta clasificación tiene como base la relación de orden ≥ o ≤ .Función creciente: Decimos que una función es creciente en un intervalo (a,b) si para cada par de elementos

en (a,b), se tiene que

21 xx ≤

)()( 21 xfxf ≤

Monotonía de una función.

Por ejemplo, la función

es una función creciente. En efecto, sean

Entonces,

y

En consecuencia,

Veamos el gráfico.( ) 3 2f x x= +

1 2 1 2, ( ), x x Dom f x x∈ ≤

1 23 3x x≤

1 23 2 3 2x x+ ≤ +

1 2( ) ( )f x f x≤

Monotonía de una función.

Función decreciente: Decimos que una función es decreciente en un intervalo (a,b) si para cada par de elementos

en (a,b), se tiene que

21 xx ≤

1 2( ) ( )f x f x≥

Monotonía de una función.

Por ejemplo, la función

es una función creciente. En efecto, sean

Entonces,

y

En consecuencia,

Veamos el gráfico.( ) 2 3f x x= −

1 2 1 2, ( ), x x Dom f x x∈ ≤

1 23 3x x− ≥ −

1 22 3 2 3x x− ≥ −

1 2( ) ( )f x f x≥

Monotonía de una función.

Intervalo de crecimiento: El intervalo de la recta real donde la función es monótona creciente se denomina intervalo de crecimiento.Una función puede poseer uno o varios intervalos de crecimiento.

En la gáfica, el intervalo (a,b) es un intervalo de crecimiento

Monotonía de una función.

Intervalo de decrecimiento: El intervalo de la recta real donde la función es monótona decreciente se denomina intervalo de decrecimiento.Una función puede poseer uno o varios intervalos de decrecimiento.

En la gáfica, el intervalo (a,b) es un intervalo de crecimiento

Monotonía de una función.

Aplicación de la derivada #1.

Teorema: Dada una función fdiferencible, entonces el conjunto solución de la desigualdad

está formado por los intervalos de crecimiento de la función.

Teorema: Dada una función f diferenciable,

el conjunto solución de ladesigualdad

Está formado por los intervalos dedecrecimiento de la función.

'( ) 0f x ≥

'( ) 0f x ≤

Monotonía de una función.

Ejemplo: Encontrar los intervalos de monotoniá de la función

Solución:Primero, encontramos la derivada de la función

Para encontrar los intervalos de crecimiento resolvemos

Resolviendo esta desigualdad:

es decir, el conjunto solución es

y es precisamente el intervalo decrecimiento de la función.

2( ) 3 2f x x x= −

'( ) 6 2f x x= −

'( ) 0f x ≥

6 2 0x − ≥

6 2x ≥

1/ 3x ≥

[1/ 3, )∞

Monotonía de una función.

En consecuencia, el intervalo que que complementa para la totalidad de R, es el intervalo

Que es precisamete el intervalo de decrecimiento.

Ω

El siguiente gráfico muestra estos intervalos:

( ,1/ 3)−∞

2. Puntos críticos de una función.Punto crítico: Un punto de la gráfica de una función se denomina punto crítico si en este punto la derivada de la función es cero o no existe.

2. Puntos críticos de una función.

Algunos tipos de puntos críticos:1. Función con punto crítico donde la derivada es cero.

2. Puntos críticos de una función.

Algunos tipos de puntos críticos:2. Función con punto crítico donde la derivada no existe.

por discontinuidad.

2. Puntos críticos de una función.

Algunos tipos de puntos críticos:2. Función con punto crítico donde la derivada no existe.

por no existencia de los límites laterales de la derivada

Ω

3. Maximos y minimos Relativos.

Máximo relativo:Es cualquier punto de la gráfica de la función, cuyo valor en la ordenada es mayor que cualquier otro punto de la misma , en un entorno de él.

Mínimo relativo:Es cualquier punto de la gráfica de la función, cuyo valor en la ordenada es menor que cualquier otro punto de la misma en un entorno de él.

3. Máximos y mínimos relativos.

Aplicación de la derivada #2.Teorema: Sea f una función diferenciable en un intervalo abierto que contiene a

x = c entonces, 1. Si la derivada es positiva para cualquier valor de x menor que c y

negativa para cualquier valor mayor que c entonces f es tiene un máximo relativo en x = c.

2. Si la derivada es negativa para cualquier valor de x menor que c y positiva para cualquier valor mayor que c entonces f es tiene un mínimo relativo en x = c.

3. Máximos y mínimos relativos.

Ejemplo de aplicación:Dada la función

Encontrar los extremos relativos.

Solución:Como f es un polinomio entonces conocemos que su derivada existe en todo su dominio. Su derivada es

3 2( ) 6 9 1f x x x x= − + +

2( ) 3 12 9f x x x= − +

3. Máximos y mínimos relativos.

Resolvamos la ecuación

para encontrar los puntos críticos.

23 12 9 0x x− + =

23 12 9 0x x− + =

2 4 3 0x x− + =

1,2

34 16 12 4 412 2

x⎧± − ±

= = = ⎨⎩

3. Máximos y mínimos relativos.

Entonces los puntos críticos son

Nos toca decidir cual de ellos es un máximo o cual es un mínimo.Usamos entonces el teorema anterior. Evaluamos la derivada con algún valor de x a la izaquierda de 3, a su derecha, a la izquierda de 1 y a su derecha, estudiando su signo. Y vemos que:

Ω

1 23 y 1x x= =

4. Concavidad de una función.

El término concavidad se refiere a la curvatura que presenta el trazado de la gráfica de la función que se está estudiando.

Esta curvatura puede mostrarse hacia arriba o hacia abajo. Por eso hablamos de funciones

1. Cóncavas hacia arriba o

2. Concavas hacia abajo.

Ejemplo gráfico.

4. Concavidad de una función.

Al igual que la monotonía, decimos que el intervalo donde la función es concava hacia arriba es un intervalo de concavidad hacia arriba. Similarmente, el intervalo donde la función es concava hacia abajo es un intervalo de concavidad hacia abajo.

En la gráfica el intervalo

Es un intervalo de conc. hacia abajo.

( , )a−∞

4. Concavidad de una función.

Aplicación de la derivada #4.

Teorema: Dada una función fdiferencible dos veces, entonces el conjunto solución de la desigualdad

está formado por los intervalos de concavidad hacia arriba de la función.

Teorema: Dada una función f diferenciabledos veces, el conjunto solución dela desigualdad

Está formado por los intervalos deconcavidad hacia abajo de lafunción.

''( ) 0f x ≥

''( ) 0f x ≤

4. Concavidad de una función.

Ejemplo: Encontrar los intervalos de concavidad de la función

Solución:Primero, encontramos la derivada de la función

Seguidamente, buscamos su segunda derivada

Debemos resolver la desigualdad

para encontrar los intervalos de concavidad hacia arriba. En consecuencia,

es una desigualdad válida para cualquier valor de x. Por lo tanto el conjunto solución es R.

2( ) 3 2f x x x= −

'( ) 6 2f x x= −

''( ) 6f x =

''( ) 0f x ≥

6 0≥

4. Concavidad de una función.

Concluimos que la función

es concava hacia arriba en toda la recta real. Véase la gráfica.

Ω

2( ) 3 2f x x x= −

5. Puntos de Inflexión.

Se denomina punto de inflexión de la gráfica de una función al punto en donde ocurre un cambio de concavidad.

Esto puede ocurrir, cuando a la izquierda del punto hay concavidad hacia arriba y a su derecha concavidad hacia abajo, o viceversa.

Véase el gráfico.

6. Pasos para graficar

Dada una función f nos interesa encontrar su gráfica. De esta gráfica nos interesan todos los aspectos estudiados anteriormente.

Aquí proponemos una secuencia de pasos, ordenados de forma tal que podemos encontrar la gráfica de cualquier función sin gran dificultad.

1.Buscar el dominio de la función2.Buscar los puntos de discontinuidad3.Encontrar asíntotas horizontales4.Encontrar asíntotas verticales5.Encontrar puntos críticos6.Encontrar Intervalos de monotonía7.Encontrar puntos de inflexión8. Encontrar Intervalos de concavidad

6. Pasos para graficar

Ejercicio: Dada la función

Encuentre su gráfica.

Solución:Sigamos los pasos dados anteriormente.

1. Búsqueda del dominio.Esta función es un polinomio

Por lo tanto su dominio es todo elconjunto de números reales.

2. Búsqueda de puntos de discontinuidad

Esta función es continua en todossus puntos ya que es un polinomio,por lo tanto no tienediscontinuidades

3 2( ) 4 3f x x x= −

6. Pasos para graficar.

3. Asíntotas horizontales.Para encontrar estas asíntotas buscamos los límites de la función al infinito y al menos infinito.

En consecuencia, no hay asíntotashorizontales.

4. Asíntotas verticales.

Como la función no posee puntos dediscontinuidad entonces no poseeasíntotas verticales.

3 2 4 3xLim x x→∞

− = ∞

3 2 4 3xLim x x→−∞

− = −∞

6. Pasos para graficar.

5. Puntos críticos.Estos puntos los encontramos resolviendo la ecuación

Veamos entonces.

Resolvemos entonces:

Sustituyendo estos valores en lafunción, obtenemos :

'( ) 0f x =

3 2( ) 4 3f x x x= −

2'( ) 12 6f x x x= −

212 6 0x x− =

6 (2 1) 0x x − =

6 0 y (2 1) 0x x= − =

0 y 1/ 2x x= =

6. Pasos para graficar.

Para

Y para

Así los puntos críticos son

6. Busqueda de intervalos demonotonía.Para encontrar dichos intervalosescogemos resolver una de estasdesigualdades.

3 20 (0) 4.0 3.0 0x f= ⇒ = − =

3 21 1 1 1 ( ) 4.( ) 3.( )2 2 2 2

1 4

x f= ⇒ = −

= −

1 1(0,0) y ,2 4

⎛ ⎞−⎜ ⎟⎝ ⎠

'( ) 0 ó '( ) 0f x f x≥ ≤

6. Pasos para graficar.

En este caso resolveremos la primera de las desigualdades y encontraremos el o los intervalos de crecimiento.

Usando el método de Sturm

En consecuencia, los intervalos decrecimiento son

Y el intervalo de decrecimiento es

2'( ) 12 6 0f x x x= − ≥

6 (2 1) 0x x − ≥

12 ( 1/ 2) 0x x − ≥

( ,0) y (1/ 2, )−∞ ∞

(0,1/ 2)

6. Pasos para graficar.

7. Buscar puntos de inflexión.Para esto resolvemos la ecuación

En otras palabras, necesitamos derivar por segunda vez

Así, tenemos

Sustituyendo este valor en la funcióndada

''( ) 0f x =

''( ) 24 6f x x= −

2'( ) 12 6f x x x= −

24 6 0x − =

6 124 4

x = =

3 21 1 1 1 4. 3.4 4 4 8

f ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= − = −⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

6. Pasos para graficar.

En consecuencia el punto de inflexión es

8. Intervalos de concavidad.Para encontrar dichos intervalos, resolvemos una de las siguientes desigualdades

Nosotros escogeremos la primera deellas. Así, tenemos

Lo que significa que el intervalo deconcavidad hacia arriba es

1 1,4 8

⎛ ⎞−⎜ ⎟⎝ ⎠

''( ) 24 6 0f x x= − ≥

''( ) 0 ó ''( ) 0f x f x≥ ≤

14

x ≥

1 ,4

⎛ ⎞∞⎜ ⎟⎝ ⎠

6. Pasos para graficar.

Y en consecuencia el intervalo de concavidad hacia abajo es

_________ == __________

1,4

⎛ ⎞−∞⎜ ⎟⎝ ⎠

Con todos los datos encontrados,llenaremos una tabla resumen ygraficaremos en un planocartesiano.

6. Pasos para graficar.

TABLA RESUMEN

Dominio de la función R

Discontinuidades No tiene

Asíntotas Horizontales No tiene

Asíntotas Verticales No tiene

Puntos Críticos (0,0) y (1/2, -1/4)

Intervalos de monotonía C: (-∞,0),(1/2,∞) D: (0,1/2)

Puntos de inflexión (1/4,-1/8)

Intervalos de concavidad Abj: (-∞,1/4) Arr: (1/4,∞)

6. Pasos para graficar.

Identificación de los datos en el plano.

6. Pasos para graficar.

Gráfica de la función

Fin de la presentación

Gracias por su atención.