Puntos críticos

Un punto crítico de una función f es un número c en su dominio tal que:

existe no )(o0)( cfcf ′=′

Definición

Teorema

Si f tiene un extremo local en c entonces c es un punto crítico de f.

2

Ejemplo

y

xa c1 c2 c3c4c2 c5 c6 c7

puntos críticos

3

Ejemplo

puntos de extremo

y

xa c1 c2 c3c4c2 c5 c6 c7

4

Ejemplo

)4()( 5/3 xxxf −=

Encuentre los puntos críticos de la función:

5

Extremos absolutos

Para hallar los extremos absolutos de una función f continua en [a, b]:

1 Halle los valores de f en los puntos críticos de f en <a, b>.

2 Halle f(a) y f(b).

3 El mayor de los valores obtenidos en 1 y 2 es el máximo absoluto de f en [a, b]. El más pequeño es el mínimo absoluto.

Método del intervalo cerrado

6

Ejemplo

4,13)( 2123 ≤≤−+−= xxxxf

Encuentre los valores máximo y mínimo absolutos de la función:

7

Valor máximo absoluto: 17

Se alcanza en x=4

Valor mínimo absoluto: -3Se alcanza en x=2

Ejemplo

Encuentre los valores máximo y mínimo absolutos de la función:

π20,xsen2)( ≤≤−= xxxf

8

( )

( ) ( )

0

0

2

02

:

0

0

f D R R

x D

dfx

dx

d f dfx x

dx dx

⊂ →∈

=

< + −

Una función tiene un

máximo relativo en si

i)

ii) ó va de a

( )

( ) ( )

0

0

2

02

:

0

0

f D R R

x D

dfx

dx

d f dfx x

dx dx

⊂ →∈

=

> − +

Una función tiene un

mínimo relativo en si

i)

ii) ó va de a

( )

( ) ( )

0

0

2

02

:

0

0

f D R R

x D

dfx

dx

d f dfx x

dx dx

⊂ →∈

=

=

Una función tiene un

punto de inflexión en si

i)

ii) ó no cambia de signo

( ) 6 5 4 3 21 2 51 128130 336 5

6 5 4 3p x x x x x x x= − − + + − +

Encontrar los puntos críticos, en la recta real,

del siguiente polinomio

( ) 6 5 4 3 21 2 51 128130 336 5

6 5 4 3p x x x x x x x= − − + + − +

( )

( )

6 5 4 3 2

5 4 3 2

1 2 51 128130 336 5

6 5 4 3

2 51 128 260 336

p x x x x x x x

dp xx x x x x

dx

= − − + + − +

= − − + + −

Encontrar los puntos críticos, en la recta real,

del siguiente polinomio

Sacamos la derivada

( ) 5 4 3 22 51 128 260 336dp x

x x x x xdx

= − − + + −

( )

( )

6 5 4 3 2

5 4 3 2

1 2 51 128130 336 5

6 5 4 3

2 51 128 260 336

p x x x x x x x

dp xx x x x x

dx

= − − + + − +

= − − + + −

Encontrar los puntos críticos, en la recta real,

del siguiente polinomio

Sacamos la derivada

Los puntos críticos son aquellos donde l

5 4 3 22 51 128 260 336 0x x x x x− − + + − =

a derivada

se anula

( ) ( ) ( ) ( ) ( )5 4 3 22 51 128 260 336 0

7 2 1 4 6 0

x x x x x

x x x x x

− − + + − =+ + − − − =

Los puntos críticos son

-7, -2, 1, 4, 6

( )2

4 3 22

5 8 153 256 260d p

x x x x xdx

= − − + +

Los puntos críticos son

-7, -2, 1, 4, 6

Hay que evaluar la segunda derivada

para saber que tipo de puntos críticos

son:

( )

( )

( )

( )

( )

( )

2

2

2

2

2

24 3 2

2

2

2

2

2

25 8 153 256 260

7 5720

2 720

1 360

4 396

6 1040

d px x x

d px

dx

d px

dx

d px

dx

d px

dx

d px

d

x xdx

x

= − =

=

= − = −

= =

= = −

− +

= =

− +

Mí

Los puntos críticos so

nimo

Máximo

Mínimo

Máxim

n

-7, -2, 1,

o

Mí

4, 6

nimo