Facultad de Ingeniera

Matemtica II

APLICACIONES DE LA DERIVADA

ANLISIS DE LA GRFICA DE

FUNCIONES

Lic. Martha Armas Aguilar

Logro de la sesin

Al finalizar la sesin de aprendizaje el estudiante:

Localiza los intervalos de crecimiento, los extremos relativos

de una funcin en un intervalo abierto haciendo uso de la

primera derivada.

Determina la concavidad y los puntos de inflexin de una

funcin haciendo uso de la segunda derivada

Contenidos

Extremos de una funcin

Criterio de la primera derivada para extremos

Criterio de la segunda derivada para extremos

Criterio de la segunda derivada para concavidad

Puntos de Inflexin

Ejemplos explicativos

Extremos de una funcin

Es el punto del dominio donde la funcin alcanza su valor

mximo o mnimo. Para encontrarlos se usa el criterio de la

primera derivada.

PUNTO CRTICO DE UNA FUNCIN

Sea : una funcin real, () es un punto crticode la funcin si:

() = 0 () no existe

Nota: Para encontrar todos los puntos extremos de una funcin

polinomial se debe resolver la ecuacin:

=

Determine los puntos crticos de las funciones

a) = 3 + 52 + 6

b) = 34 62

c) = 2 3 23 en el intervalo 1; 3

d) = 3 cos en el intervalo 0; 2

Ejemplos explicativos

Criterio de la primera derivada para

extremos locales

i. Si () > para

todo en (, ) y

() < para todo

en (, ), entonces

() es un valor

mximo local de .

f'(c) = 0

a c b

Sea : una funcin real, Dom() es un punto crtico dela funcin, si:

ii. Si () < para todo en (, ) y () > para todo

en ( , ), entonces () es un valor mnimo local de .

f'(c) = 0

f'(x) >

0f'(x) < 0

a c b

f(x) crecef(x)

decrece

Determinar los intervalos de crecimiento, los extremos relativos y

construir la grfica de las siguientes funciones.

a) = 35 53

b) =4

2+4

c) = 3 62 + 9 2

d) = (2 1)2

e) = 2 +16

Ejemplos explicativos

Criterio de la segunda derivada para

extremos locales

Supngase que y existen en todo punto de un intervalo

abierto (, ) que contiene a y supngase que () = 0.

i. Si () < entonces () es un valor mximo local de .

ii. Si () > entonces () es un valor mnimo local de .

a) = 2 6 + 5

b) =2

2+1

c) = 6 34

d) = 5/3 2/3

e) = 4 23

Determine los valores mximos y mnimos locales de las

siguientes funciones, haciendo uso de la segunda derivada:

Ejemplos explicativos

Criterio de la segunda derivada para

concavidad

i. Si () > para toda en

( , ), entonces es cncava

hacia arriba en ( , ).

ii. Si () < para toda en

( , ), entonces es cncava

hacia abajo en ( , ).

Sea dos veces derivable en el intervalo abierto ( , )

a b

a b

Punto de inflexin

Sea continua en . Llamamos a (, ()) un punto de inflexin

de la grfica de , si es cncava hacia arriba a un lado de y

cncava hacia abajo del otro lado de .

Punto de

Inflexin

Punto de

Inflexin

c

f(c)

f

(c, f(c))

c

f(c)

f

(c, f(c))

Determine los intervalos de crecimiento, los extremos, los

intervalos de concavidad, puntos de inflexin y construir la

grfica de las siguientes funciones:

a) =1

33 2 3 + 4

b) = (1 2)3

c) = (2 4)3

d) = 4 62 + 9

Ejemplos explicativos