Aplicaciones de la Distribución Chi-Cuadrado

8/8/2019 Aplicaciones de la Distribucin Chi-Cuadrado

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Aplicaciones de la DistribucinChi-Cuadrado

Ejemplos


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Prueba de Bondad de Ajuste- Distribucin Binomial

Considere el siguiente caso. En la comercializacin demanzanas, una empresa exportadora envasemanalmente lotes de 50 cajas al exterior, cada caja

tiene un peso aproximado de 20 kilos. Las cajas sonpreviamente almacenadas. Para el control de calidad seexaminan al azar, si en alguna caja encuentran por lomenos una manzana malograda, esta es calificadamala. Para que pase el control mediante la inspeccinde la muestra no debe haber caja malograda, si soloexiste una caja esta ser cambiada, si hay mas de 1 enlas 5 inspeccionadas, inspeccionaran las cincuentacajas. Segn las estadsticas pasadas de un total de 40envos, registro lo siguiente: Se puede afirmar que lavariable numero de cajas malogradas en la muestra de 5sigue una distribucin binomial?.


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Solucin:

H0: La variable numero de cajas sigue una distribucin

Binomial.Ha: No siguen una binomial.

Riesgo 0.10

Estimacin de parmetros.En este caso n=5 y p es la probabilidad de encontraruna caja malograda que es desconocida, pero

se supone constante a travs del proceso de control de

calidad.Estimacin de p.

Promedio (x) = np

Promedio ponderado = (0x6++5x1) /40 = 1.775p estimado es: 1.775/ 5 = 0.355

Con estos resultados se procede a los clculos de losvalores esperados, Bajo la hiptesis planteada, que la

variable X es binomial, los valores observados yesperados serian:


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X

FrecuenciasObservadas pi

FrecuenciasEsperadas Reagrupadas (Oi-El)2/Ei

0 6 0,1116 4,4654

1 13 19 0,3072 12,2885 16,7538 0,3011

2 10 10 0,3382 13,5268 13,5268 0,9195

3 7 11 0,1861 7,4450 9,7193 0,1687

4 3 0,0512 2,0488

5 1 0,0056 0,225540 40 1,3894

Valor Chi Cuadrado (3-1-1)=1 g.l 2,70554397

Hay evidencia , para afirmar que los datos se ajustan a ladistribucin binomial: Binomial (n=5 , p=0.355)

5...,2,1,0:)645.0()355.0()( 55 xCxXP xxx

==


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Prueba de Independecia

Ejemplo El consejo de administracin de

Telefnica desea conocer si la opinin, Y,de sus accionistas respecto a una posible

fusin es independiente del nmero de

acciones, X, que poseen. Una muestra de

500 accionistas proporciona la siguiente

tabla:


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Menos de 200 25 18 21 64

200-1000 93 62 67 222

Ms de 1000 82 70 62 214

Total 200 150 150 500

Total

OpininNmero de

Acciones A favor En contra Indecisos

Contrastar a un nivel de confianza del 99,5% la independencia de lasvariables Nmero de Acciones y la Opinin. La poblacin en estudio

son los accionistas de Telefnica y deseamos ver si existedependencia entre el nmero de acciones y la opinin acerca de unaposible fusin.Se trata de un test no paramtrico donde las hiptesis nula y

alternativa son:


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Ho: Nro de Acciones y Opinin son independientesH1: Nro de Acciones y Opinin son dependientes

El nivel de confianza es 1- = 0,95, luego = 0,05 y el tamaomuestral n=500

Calculamos los valores esperados eij bajo la hiptesis nula(independencia de X e Y) aplicando la frmula

donde n es el tamao de la muestra, 500.Por ejemplo e11=64.200/500=25,6 e12=64.150/500=19,2

La tabla de los valores esperados sera:


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Menos de 200 25,6 19,2 19,2 64

200-1000 88,8 66,6 66,6 222

Ms de 1000 85,6 64,2 64,2 214

Total 200 150 150 500

Nmero de

AccionesOpinin

A favor En contra Indecisos Total

El valor del estadstico experimental vale:

=c

c

El valor del punto crtico es el valor de una chi-cuadrado con (3-1).(3-1)= 4 grados de libertad y 1-alfa =0,95 Tabla Chi-Cuadrado con 4 g.l. da:

X20.95(4)= 9.48 La regin crtica es, es decir, rechazamos Ho si: ValorChi-Cuadrado Calculado es mayor a 9.48; Como = 1,53 es menor que 14,86se acepta Ho y podemos decir que no tenemos evidencias de que Nro de Acciones yla Opinin sean dependientes y se acepta la hiptesis de que la opinin de losaccionistas es independiente del nmero de acciones que poseen con un riesgo del0,5%.

05.053.1500

53.12

2

=+

=+

=

nC

Coeficiente de Contingenciatiende a 0 No hay relacin


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Prueba de Igualdad de proporcionesEn un estudio de un taller, se rene un conjunto de datos para

determinar si la proporcin de defectuosos producida por los

trabajadores es la misma para el turno matutino, vespertino o

nocturno. Se reunieron los siguientes datos:

Matutino Vespertino Nocturno

Defectuosos 45 55 70

No defectuosos 905 890 870

Utilice un nivel de significancia de 0.025 para determinar si la

proporcin de defectuosos es la misma para los tres turnos.

Ho: La proporcin de artculos defectuosos es la misma para los tres

turnos.

Ha: La proporcin de artculos defectuosos no es la misma para los tres

turnos.

===

unaaH

ppppH

a

NVM

lg:

:0


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Alfa= 2.5%

Matutino Vespertino NocturnoTotal

Defectuosos45

(57.0)

55

(56.7)

70

(56.3)

170

No defectuosos 905(893.0) 890(888.3) 870(883.7)

2665

Total 950 945 940 2835

Se acepta

Ho : la

proporcin

de defectos

es la misma

en los tres

turnos


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EjercicioSe est estudiando el problema vehicular que impera en una ciudad.

Con los diversos datos de un ao que se han recolectado, se ha

resumido la siguiente informacin, respecto a los accidentes deacuerdo a la gravedad de los accidentes y al tipo de vehculo de

servicio:

Combi Tico Micro

Gravedad 1 92 106 87

Gravedad 2 17 14 15

Gravedad 3 6 10 3

a)Entre que valores podra usted decir, con un nivel de confianza del

95%, que se encuentra la proporcin de accidentes de gravedad 1

que se producen en las combis?

b)Hay razones para afirmar que las proporciones de accidentessegn tipo de vehiculo son las mismas?

c)Hay razones para afirmar que la proporcin de veces en las cuales

el accidente es de gravedad 2, no es igual para todos los vehculos?

Use = 0.05.

d)Puede afirmarse que el tipo de accidentes es independiente deltipo de vehculo? Use = 0.05


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PRUEBA DE KOLMOGOROV-SMIRNOV

HiptesisHo: La distribucin observada se ajusta a la distribucin terica.

F(x) = Ft(x) para todo x.

H1: La distribucin observada no se ajusta a la distribucin terica.

Tambin:

F(x) Ft(x) para algn x

F(x): es funcin desconocidaFt(x): es la funcin terica. Esta puede ser por ejemplo la funcinnormal con cierta media y varianzas conocidas.

Estadgrafo y distribucin muestral

)()( xSxFMxD nt =

Sn(x): es la funcin de distribucin emprica


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Ejemplo

Las puntuaciones obtenidas por una muestra de

sujetos en una prueba de habilidad han sido lassiguientes:

48,1; 47,8; 45.1; 46,3; 45,4; 47,2; 46,6; y 46.

Sabiendo que la media en dicha prueba es 40 y

su desviacin tpica es 3, podemos afirmar

que la distribucin de las puntuaciones sigueuna normal, con un = 0,01?


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Datos Datos OrdenadosZ=(X-

40)/3ProbabilidadAcumulada S(n)

ProbabilidadAcumulada IF(x)-S(n)

48,1 45,1 1,7 0,125 0,955 0,830

47,8 45,4 1,8 0,25 0,964 0,714

45,1 46 2 0,375 0,977 0,602

46,3 46,3 2,1 0,5 0,982 0,482

45,4 46,6 2,2 0,625 0,986 0,361

47,2 47,2 2,4 0,75 0,992 0,242

46,6 47,8 2,6 0,875 0,995 0,120

46 48,1 2,7 1 0,997 0,003

Hiptesis:

H0: F (X) = Fs (X) de una N(, )

H1: F (X) ??? Fs (X) de una N(, )

Muestra: 8 observaciones indep.Se estandarizan las puntuaciones para poder trabajar con una N (0,1).

Para = 0,01 y n = 8 en la tala encontramos un valor de 0,543, por tanto, se rechaza H0


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PRUEBAS NO PARAMETRICAS

Estos contrastes reciben el nombre de no paramtricos porque las

hiptesis contrastadas no hacen referencia a ningn parmetro

poblacional. Son comparables con los mtodos paramtricos

correspondientes a la diferencia de medias de dos o ms

distribuciones normales.

Para aplicar estos contrastes no es necesario especificar la

distribucin de probabilidad de la poblacin analizada ni que las

observaciones estn medidas en escala de intervalo. stas puedenpresentarse en una escala ordinal y en algunas ocasiones en una

escala nominal.

En general, los contrastes no paramtricos son menos potentes que

los paramtricos y, en consecuencia, ante la posibilidad de aplicarcualquiera de ellos siempre es preferible el paramtrico.Pruebas No Parametricas con SPSS

http://www2.uca.es/serv/ai/formacion/spss/Imprimir/19nparam.pdf

http://e-stadistica.bio.ucm.es/web_spss/results_ks.html
http://www2.uca.es/serv/ai/formacion/spss/Imprimir/19nparam.pdfhttp://www2.uca.es/serv/ai/formacion/spss/Imprimir/19nparam.pdf


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Prueba de Signo La prueba del signo se utiliza para probar la hiptesis sobre la

mediana de una distribucin continua. La mediana de unadistribucin es un valor de la variable aleatoria X tal que laprobabilidad de que un valor observado de X sea menor o igual, o

mayor o igual, que la mediana es 0.5. Esto es, . Puesto que la distribucin normal es simtrica, la media de una

distribucin normal es igual a la mediana. Por consiguiente, laprueba del signo puede emplearse para probar hiptesis sobre la

media de una poblacin normal. Las hiptesis son:

Supngase que X1, X2, . . . , Xn es una muestra aleatoria tomada dela poblacin de inters.

Frmense las diferencias


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Estadstico de prueba apropiado:

X: Nmero de estas diferencias que son positivas,

La prueba de la hiptesis nula es en realidad una prueba de queel nmero de signos positivos es un valor de una variablealeatoria binomial con parmetro P = . Puede calcularse un

valor P para el nmero observado de signos positivos Xdirectamente de la distribucin binomial. Al probar la hiptesis quese muestra al principio, se rechaza H0 en favor de H1 slo si laproporcin de signos positivos es suficientemente menor que (

o de manera equivalente, cada vez que el nmero observado designos positivos r+ es muy pequeo). Por tanto, si el valor Pcalculado

es menor o igual que algn nivel de significancia seleccionadopreviamente, entonces se rechaza H0 y se concluye que H1 esverdadera.

Para probar la otra hiptesis unilateral

)2/1/( 0 == pXXPValorP

)2/1/( 0 == pXXPValorP


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Ejemplo

Un artculo informa cerca de un estudio en el que semodela el motor de un cohete reuniendo elcombustible y la mezcla de encendido dentro de uncontenedor metlico. Una caracterstica importante esla resistencia al esfuerzo cortante de la unin entre losdos tipos de sustancias. En la siguiente tabla semuestran los resultados obtenidos al probar 20

motores seleccionados al azar. Se desea probar lahiptesis de que la mediana de la resistencia alesfuerzo cortante es 2000 psi, utilizando


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Observacin

Resistenciaal

esfuerzocortante

xi

Signo de ladiferencia

xi-2000

Observacin

Resistenciaal

esfuerzocortante

xi

Signo de ladiferencia

xi-2000

1 2158.70 + 11 2165.20 +

2 1678.15 - 12 2399.55 +

3 2316.00 + 13 1779.80 -

4 2061.30 + 14 2336.75 +

5 2207.50 + 15 1765.30 -

6 1708.30 - 16 2053.50 +

7 1784.70 - 17 2414.40 +

8 2575.10 + 18 2200.50 +

9 2357.90 + 19 2654.20 +

10 2256.70 + 20 1753.70 -


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De la tabla se puede observar que el estadstico deprueba X = 14.

Regla de decisin:

Si el valor de P correspondiente a X=14 es menor oigual que =0.05 se rechaza H0.

Clculos: Puesto que X=14 es mayor que n/2=20/2=10, el valor

de P se calcula de

El valor p se calcula con la frmula de la distribucin

binomial:

)2/1/14(2)2/1/(2 0

==

==

pXPValorPpXXPValorP

Valor p supera el 5%

por lo tanto se acepta

Ho


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Aproximacin a la NormalX: Nro de signos positivos

n

nXZ

5.0

5.0=

789.1205.0

)20(5.014=

=Z

Como 1.789 esta entre 1.96 y 1.96, no se rechaza H0 y se concluye

con un =0.05 que la mediana es de 2000 psi.


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Prueba del Signo para Muestras Pareadas

Tambin se puede utilizar la prueba de signo paraprobar la hiptesis nula

para observaciones pareadas. Aqu se reemplaza cadadiferencia, di, con un signo ms o menos dependiendo si

la diferencia ajustada, di-d0, es positiva o negativa.Suponemos que las poblaciones son simtricas. Sinembargo, aun si las poblaciones son asimtricas sepuede llevar a cabo el mismo procedimiento de prueba,pero las hiptesis se refieren a las medianaspoblacionales en lugar de las medias.


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Ejemplo: datos pareados

Una compaa de taxis trata de decidir si el uso dellantas radiales en lugar de llantas regulares con

cinturn mejora la economa de combustible. Seequipan 16 automviles con llantas radiales y semanejan por un recorrido de prueba establecido. Sincambiar de conductores, se equipan los mismos autos

con llantas regulares con cinturn y se manejan unavez ms por el recorrido de prueba. Se registra elconsumo de gasolina, en kilmetros por litro, de lasiguiente manera: Se puede concluir en el nivel designificancia de 0.05 que los autos equipados conllantas radiales obtienen mejores economas decombustible que los equipados con llantas regularescon cinturn?


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Automvil

Llantas radialesLlantas con

cinturn

d

1 4.2 4.1 +2 4.7 4.9 -

3 6.6 6.2 +

4 7.0 6.9 +

5 6.7 6.8 -6 4.5 4.4 +

7 5.7 5.7 0

8 6.0 5.8 +

9 7.4 6.9 +10 4.9 4.9 0

11 6.1 6.0 +

12 5.2 4.9 +

13 5.7 5.3 +14 6.9 6.5 +

15 6.8 7.1 -

16 4.9 4.8 +

Al observar las diferencias

se ve que slo existe un

n=14, ya que se descartan

los valores de cero. Se tiene

X = 11

14.2145.0

)14(5.011=

=Z

Como 2.14 es mayor a 1.645 se rechaza H0 y se concluye con un = 0.05

que las llantas radiales mejoran la economa de combustible.


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PRUEBA DE SUMA DE RANGOS DE WILCOXON

Cuando se trata de variables medibles en por lo menosuna escala ordinal y pueden suponerse poblaciones

contnuas la prueba no paramtrica ms potente es lade Wilcoxon.

La hiptesis nula del contraste postula que las muestras

proceden de poblaciones con la misma distribucin deprobabilidad; la hiptesis alternativa establece que haydiferencias respecto a la tendencia central de laspoblaciones y puede ser direccional o no.

El contraste se basa en el comportamiento de lasdiferencias entre las puntuaciones de los elementos decada par asociado, teniendo en cuenta no slo el signo,sino tambin la magnitud de la diferencia.


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EjemploLos siguientes datos representan el nmero de horas que un compensador

opera antes de requerir una recarga: 1.5, 2.2, 0.9, 1.3, 2.0, 1.6, 1.8, 1.5, 2.0,

1.2 y 1.7. Utilice la prueba de rango con signo para probar la hiptesis en el

nivel de significancia de 0.05 que este compensador particular opera con una

media de 1.8 horas antes de requerir una recarga.

Prueba de Wilcoxon: Una Muestra


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Prueba de Wilcoxon: Una Muestra

Dato di = dato - 1.8 Rangos

1.5 -0.3 5.5

2.2 0.4 7

0.9 -0.9 10

1.3 -0.5 8

2.0 0.2 3

1.6 -0.2 3

1.8 0 Se anula

1.5 -0.3 5.5

2.0 0.2 3

1.2 -0.6 9

1.7 -0.1 1

8.1:

8.1:0

=

aH

H

Para n = 10, despus de descartar la

medicin que es igual a 1.8, la tabla

muestra que la regin crtica es w


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Prueba de Wilcoxon: Dos Muestras Relacionadas

Se afirma que un estudiante universitario de ltimo ao puedeaumentar su calificacin en el rea del campo de su especialidaden al menos 50 puntos si de antemano se le proporcionan

problemas de muestra. Para probar esta afirmacin, se dividen 20estudiantes del ltimo ao en 10 pares de modo que cada partenga casi el mismo promedio de puntos de calidad general ensus primeros aos en la universidad. Los problemas y respuestasde muestra se proporcionan al azar a un miembro de cada par

una semana antes del examen. Se registran las siguientescalificaciones del examen.

Pruebe la hiptesis nula en el nivel de significancia de 0.05 deque los problemas aumentan las calificaciones en 50 puntos

contra la hiptesis alternativa de que el aumento es menor a 50puntos.


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Par

Conproblemasdemuestra

Sinproblemasdemuestra

di di d0 Rangos

1 531 509 22 -28 5

2 621 540 81 31 6

3 663 688 -25 -75 9

4 579 502 77 27 3.5

5 451 424 27 -23 2

6 660 683 -23 -73 8

7 591 568 23 -27 3.5

8 719 748 -29 -79 10

9 543 530 13 -37 7

10 575 524 51 1 1

50:

50:

211

210


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Prueba de Mann-Whitney (comparacin de dos grupos independientes)

Es la prueba no paramtrica paralela a la t de dos grupos independientes

Pasos:1. pasar las puntuaciones a rangos (conjuntamente en los dos grupos)

2. computar la suma de los rangos del grupo 1

Muestras pequeas (n1 y n2 20)

(U es la suma de los rangos asignados a la muestra 1)

Muestras grandes

Hay tablas para este caso de

muestras pequeas; en todocaso, si la muestra es

relativamente grande, se puede

efectuar la aproximacin a la

distribucin normal

La hiptesis nula es que no haya diferencias entre los dos grupos

Ejemplo


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Un experimentador utiliza dos mtodos para

ensear a leer a un grupo de 10 nios de 6aos, quienes ingresan por primera vez a la

escuela. El experimentador quiere demostrar

que el procedimiento ideado por l es msefectivo que el tradicional; para ello, mide el

desempeo en la lectura en funcin de la

fluidez, comprensin, anlisis y sntesis.

Hiptesis nula (Ho). Las diferencias observadas entre las calificacionesde ejecucin de lectura mediante los dos mtodos se deben al azar.

Hiptesis alterna (Ha). Las calificaciones de ejecucin de lectura, segnel mtodo de enseanza del experimentador son ms altas y diferentes

que las observadas en el mtodo tradicional.


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Dos mtodos diferentes aplicados en dos grupos de nios.

Aplicacin de la prueba estadstica:

de acuerdo con los paso, las observaciones se deben ordenar en rangos

del menor al mayor.

Poblacin de nios de 6 aos a los cuales se les aplic dos mtodos de enseanza.


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Prueba de Kruskal Wallis (comparacin de "a" grupos independientes)


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Prueba de Kruskal-Wallis (comparacin de a grupos independientes)

Es la prueba no paramtrica paralela a la F unifactorial entre-sujetos

Pasos:1. pasar las puntuaciones a rangos (conjuntamente en los "a" grupos)

2. computar la suma de los rangos en cada grupo (son las Rj)

Estadstico de contraste

H =12

N (N + 1)

R j2

n j

3 (N + 1)

Si la Hiptesis nula es cierta (es decir, que no haya diferencias entre los grupos),H se distribuye segn chi-cuadrado con a-1 grados de libertad

Observa que se puede aplicar esta prueba cuando no se

cumplan los supuestos de homogeneidad de varianzas ni elde normalidad del ANOVA unifactorial entresujetos.

Combi Tico Micro


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Combi Tico Micro

92 106 87

17 14 15

6 10 3

===

MTc

MTco

H

H

:

:

1

Rangos

3 5,33

3 5,33

3 4,33

9

tipo

combi

Taxi

Micro

Total

Accidentes

N

Rango

promedio

Estadsticos de contrastea,b

,267

2

,875

Chi-cuadrado

gl

Sig. asintt.

Accidentes

Prueba de Kruskal-Wallisa.

Variable de agrupacin: tipob.

Se concluye que el nmero de

accidentes promedio no difiere

segn tipo de auto

Aplicaciones de la Distribución Chi-Cuadrado

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