8/18/2019 Aplicaciones de La Ecuación Diferencial

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Aplicaciones de la ecuación diferencial

Un problema importante de la biología y de la medicina trata de la ocurrencia, propagacióny control de una enfermedad contagiosa, esto es, una enfermedad que puede transmitirse deun individuo a otro. La ciencia que estudia este problema se llama epidemiología K , y si un

porcentaje grande no común de una población adquiere la enfermedad, decimos que hayuna epidemia.

Los problemas que contemplan la propagación de una enfermedad pueden ser algocomplicados; para ello presentar un modelo matem tico sencillo para la propagación de unaenfermedad, tenemos que asumir que tenemos una población grande pero finita.!upongamos entonces que nos restringimos a los estudiantes de un colegio o universidadgrande quienes permanecen en los predios universitarios por un periodo relativamente largoy que no se tiene acceso a otras comunidades. !upondremos que hay solo dos tipos deestudiantes, unos que tienen la enfermedad contagiosa, llamados infectados, y otros que notienen la enfermedad, esto es, no infectado, pero que son capaces de adquirirla al primercontacto con un estudiante infectado. "eseamos obtener una formula para el numero deestudiantes infectados en cualquier tiempo, dado que inicialmente hay un numeroespecificado de estudiantes infectados.

#ormulación $atem tica%

!upónganse que en cualquier tiempo t hay &i estudiantes infectados y &u estudiantes no

infectados. 'ntonces si & es (l numero total de estudiantes, asumido constante, tenemos

& ) &i * &u

La tasa de cambio en (l numero de estudiantes infectados esta dada entonces por laderivada d&i + dt. 'sta derivada debería depender de alguna manera de &i y así de &u envirtud de la formula & ) &i * &u.

sumiendo que d&i + dt, como una apro-imación, es una función cuadr tica de &, tenemosentonces que%

d&i + dt ) o * &i * /&i0

"onde o, , / son constantes. hora esperaríamos que la tasa de cambio de &i, esto es,d&i + dt sea cero donde &i ) 1, esto es, no hay estudiantes infectados, y donde &i ) &, estoes, todos los estudiantes est(n infectados. 'ntonces de la ultima formulación hecha tenemosque% o ) 1 y & * /&0 ) 1 ó / ) 2 +&

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sí que de% d&i + dt ) o * &i * /&i0 se convierte en% d&i + dt ) 3&i 4& 2 &i5. "onde 3 ) +& es una constante. Las condiciones iniciales en t ) 1, hay &o estudiantes infectados,entonces% &i ) &o en 6 ) 1. "e todo esto podemos deducir que%

Ni = N _

1 + (N/No - 1)e

Aplicaciones a la Economía:

'n a7os recientes ha habido un inter(s creciente por la aplicación de las matem ticas a laeconomía. !in embargo, puesto que la economía involucra mucho factores impredecibles,tales como decisiones psicológicas o políticas, la formulación matem tica de sus problemases difícil. !e debería hacer (nfasis que, como en los problemas de ciencia e ingeniería,cualquier resultado obtenido teóricamente debe finalmente ser probado a la lu8 de larealidad.

Oferta y Demanda

!uponga que tenemos un bien tal como trigo o petróleo. !ea p el precio de este bien poralguna unidad especificada 4 por ejemplo un barril de petróleo5 en cualquier tiempo t.'ntonces podemos pensar que p es una función de t así que p4t5 es el precio en el tiempo t.

'l numero de unidades del bien que desean los consumidores por unidad de tiempo encualquier tiempo t se llama la demanda y se denota por "4t5, o brevemente ". 'stademanda puede depender no solo del precio p en cualquier tiempo t, esto es, p4t5, sino

tambi(n de la dirección en la cual los consumidores creen que tomaran los precios, esto es,la tasa de cambio del precio o derivada p94t5. :or ejemplo, si los precios est n altos entiempo t pero los consumidores creen que pueden subir, la demanda tiende a incrementar.'n símbolos esta dependencia de " en p4t5 y p94t5 puede escribirse%

" ) 4p4t55,p94t5

Llamamos la función de demanda.

!imilarmente, el numero de unidades del bien que los productores tienen disponible por

unidad de tiempo en cualquier tiempo t se llama oferta y se denota por !4t5, o brevemente!. omo en el caso de la demanda, ! tambi(n depende de p4t5 y p94t5. :or ejemplo, si los precios est n altos en tiempo t pero los productores creen que estos pueden subir mas, laoferta disponible tiende a incrementar anticip ndose a precios m s altos. 'n símbolo estadependencia de ! en p4t5 y p94t5 puede escribirse%

! ) g4p4t5, p94t5

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