1

ÁREA DE APOYO ACADÉMICO

MATERIALES DE INSTRUCCIÓN SUPLEMENTARIA

APLICACIONES

DE LA FUNCIÓN CUADRÁTICA

A LA ECONOMÍA

MATEMÁTICA I

Caracas ,2021

2

Ejercicios Propuestos

Tabla de Contenido

Ejercicios Resueltos

2

1

3

En los mercados de competencia perfecta, ninguno de los

agentes puede influir de forma significativa en el precio,

de manera que, el precio estará determinado por la

demanda del mercado, la cual puede ser medible, para

que seguidamente sea planteada en función del precio

que se estará dispuesto a pagar por una determinada

oferta de productos.

Introducción

En los problemas a continuación se aplican fórmulas que

se relacionan con la economía y se emplean las funciones

cuadráticas (antes estudiadas) para la resolución de los

mismos.

4

P r o b l e m a s d e F u n c i o n e s C u a d r á t i c a s

Ejercicio Resuelto

1

Punto uno = [𝑥1; 𝑦1] = [5;21]

Punto dos = [𝑥2; 𝑦2] = [7;19]

Con los datos anteriores calcular la pendiente.

𝒎 =𝒚𝟐−𝒚𝟏

𝒙𝟐−𝒙𝟏

Se plantea la función de demanda en relación al precio, siendo la

variable independiente las cantidades demandadas.

En el mercado de Coche están dispuestos a pagar 21 U.M. por

cada piña cuando se venden 5 piñas, pero si se venden 7 de ellas

están dispuestos a pagar 19 U.M. por cada una. ¿Cuántas piñas se

deben vender para obtener un ingreso de 144 U.M.? ¿Cuál es la

cantidad en donde se obtiene el mayor ingreso posible?

1

Se halla la función de la demanda, aplicando la fórmula de la

pendiente y la de punto pendiente.

𝒎 =𝟏𝟗−𝟐𝟏

𝟕−𝟓

𝒎 = −𝟐

𝟐= −𝟏

5

En donde I es el ingreso, p el precio por unidad y q las cantidades

vendidas, en este caso, de piñas.

Se sustituye en la ecuación de ingreso la función del precio

(demanda) en la variable de precio.

.

2

−𝒒 + 𝟓 = 𝒑 − 𝟐𝟏

Ecuación de demanda, aplicando la fórmula de punto pendiente.

𝒎(𝒒 − 𝒙𝟏) = 𝒑 − 𝒚𝟏

−𝟏(𝒒 − 𝟓) = 𝒑 − 𝟐𝟏

𝒑 = −𝒒 + 𝟓 + 𝟐𝟏

𝒑 = −𝒒 + 𝟐𝟔

Ecuación de ingreso

𝑰 = 𝒑. 𝒒

𝑰 = 𝒒(−𝒒 + 𝟐𝟔)

𝑰 = −𝒒𝟐 + 𝟐𝟔𝒒

𝑰 = 𝒑. 𝒒

6

Cantidades que deben venderse

Para hallar el ingreso máximo, se usa la fórmula del vector “x”

para así hallar el vértice de la función.

𝟎 = −𝟏(𝒒 − 𝟖)(𝒒 − 𝟏𝟖)

Siendo una función cuadrática cóncava hacia abajo, indica que

a medida que aumentan las cantidades de piñas vendidas el

ingreso también aumenta, hasta llegar a un valor de máximo

ingreso. A partir de este punto, a medida que se venden más

piñas los ingresos disminuyen.

.

𝟏𝟒𝟒 = −𝒒𝟐 + 𝟐𝟔𝒒

Para hallar las cantidades que deben venderse para obtener

un ingreso de 144 U.M., se sustituye dicho valor en la variable

de salida (la variable dependiente).

𝒒 = 𝟖 piñas

3

𝟎 = −𝒒𝟐 + 𝟐𝟔𝒒 − 𝟏𝟒𝟒

𝑰 = −𝒒𝟐 + 𝟐𝟔𝒒

4

𝒒 = 𝟏𝟖 piñas

Ingreso máximo

𝒒 =−𝒃

𝟐𝒂

𝟎 = −𝟏(𝒒𝟐 − 𝟐𝟔𝒒 + 𝟏𝟒𝟒)

7

𝒒 =−𝟐𝟔

−𝟐

𝒒 =−𝟐𝟔

𝟐(−𝟏)

Se sustituye el valor anterior en la función de ingreso.

𝑰 = 𝟏𝟔𝟗 𝑼. 𝑴.

𝑰 = −𝟏𝟔𝟗 + 𝟑𝟑𝟖= 𝟏𝟔𝟗𝒖𝒎

𝑰 = −(𝟏𝟑)𝟐 + 𝟐𝟔(𝟏𝟑)

Ingreso máximo = [x;y] = [13;169]

Punto de ingreso cero

𝒒 = 𝟐𝟔 piñas

−𝒒(𝒒 − 𝟐𝟔) = 𝟎

−𝒒𝟐 + 𝟐𝟔𝒒 = 𝟎

𝒒 = 𝟏𝟑 piñas

8

-

20,00

40,00

60,00

80,00

100,00

120,00

140,00

160,00

180,00

- 5,00 10,00 15,00 20,00 25,00 30,00

Ingr

eso

Cantidades vendidas

Ingreso

ingreso

Beneficio

−(𝒒𝟐 − 𝟖𝒒 + 𝟏𝟐) = 𝟎

−𝒒𝟐 + 𝟐𝟔𝒒 − 𝟏𝟖𝒒 − 𝟏𝟐 = 𝟎

−(−𝟐𝒒)(−𝟔𝒒) = 𝟎

−𝒒𝟐 + 𝟖𝒒 − 𝟏𝟐 = 𝟎

𝒒 = 𝟐 piñas

𝒒 = 𝟔 piñas

Ingreso máximo

Gráficas.

5

9

0

100

200

300

400

500

600

0 5 10 15 20 25 30

Ingr

eso

y C

ost

o T

ota

l

Cantidades vendidas y productos

Ingreso y Costo Total

ingreso

Costo total

0

0,5

1

1,5

2

2,5

3

3,5

4

4,5

0 1 2 3 4 5 6 7

Be

ne

fici

o

Cantidades vendidas y producidas

Beneficio

Beneficio

Beneficio máximo

10

1.

2.

3.

Ejercicios Propuestos

El ingreso mensual por concepto de la veta de 𝑥

unidades de cierto artículo está dado por 𝑅(𝑥) = 12𝑥 −0,01𝑥2 dólares. Determine el número de unidades que

deben venderse cada mes con el propósito de

maximizar el ingreso. ¿Cuál es el correspondiente ingreso

máximo?

La demanda del mercado de cierto producto es de x

unidades cuando el precio fijado al consumidores es de

𝑝 dólares, en donde: 15𝑝 + 2𝑥 = 720

El costo en dólares de producir 𝑥 unidades está dado

por 𝐶(𝑥) = 200 + 6𝑥. ¿Qué precio 𝑝 por unidad deberá

fijarse al consumidor con objeto de que la utilidad sea

máxima?

La demanda mensual 𝑥 de cierto artículo al precio de 𝑝

dólares por unidad está dada por la relación:

𝑥 = 1.350 − 45𝑝

El costo de la mano de obra y del material con que se

fabrica este producto es de $5 por unidad y los costos

fijos son de $2.000 al mes. ¿Qué precio por unidad 𝑝

deberá fijarse al consumidor con la finalidad de obtener

una utilidad máxima mensual?

11

Arya, J. y Lardner, R. (2009). Matemáticas

Aplicadas a la Administración y a la

Economía. Quinta Edición. México:

Editorial Pearson Educación.

Campos, J. (s/f). Unidad IV. Tema 1:

Funciones. Guías de Apoyo

Matemática I. Caracas, Venezuela:

UCAB

En el mercado existen situaciones

que requieren del estudio de los

procesos que llevan a cabo las

empresas (productoras) debido a

la relación con los consumidores y

con los demás factores que

participan en este. Aplicando

fórmulas económicas y

matemáticas es posible evaluar y

establecer estrategias acordes con

los objetivos de las mismas.

Referencias

Cierre

12

Esto es un aporte de:

En el marco del Programa de

Apoyo Personal Académico.

Profesor Asesor:

Jenifer Campos

Estudiante IS:

Nardy Zambrano

Edición y Montaje:

José Ucha

Sof ía Sandoval

MATEMÁTICA I

Caracas ,2021