7/21/2019 Aplicaciones de La Geometría Fractal

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Aplicaciones de la Geometría Fractal

Se han utilizado técnicas de fractales en la compresión de datos y en diversas disciplinas

científicas.

1. Compresión de imágenes

Comprimir la imagen de un objeto autosemejante como el helecho de la figura no es

difícil: haciendo uso del teorema del collage, debemos encontrar un !S, conjunto de

transformaciones "ue lleva la figura completa #en negro$ en cada una de sus partes

autosemejantes #rojo, azul celeste y azul marino$. %a información sobre la imagen

"uedar& codificada en el !S, y la aplicación reiterada de dichas transformaciones

 permite obtener la imagen procesada en cuestión.

'ero el enfo"ue anterior plantea problemas con muchas im&genes reales: no esperamos,

 por ejemplo, "ue la imagen de un gato presente pe"ue(os gatitos distorsionados sobre sí

mismo. 'ara solventarlo, en )*+* rnaud -ac"uin creó el es"uema de sistemas de

funciones iteradas particionadas: en él se subdivide la imagen mediante una partición y

 para cada región resultante se busca otra región similar a la primera bajo las

transformaciones apropiadas.

/l es"uema resultante es un sistema de compresión con pérdidas, de tiempo asimétrico.

%amentablemente a0n se tarda mucho en encontrar las transformaciones "ue definen la

imagen. 1o obstante, una vez encontradas, la descodificación es muy r&pida. %a

compresión, aun"ue dependa de muchos factores, suele ser e"uiparable a la compresión

-'/2, con lo cual el factor tiempo resulta determinante para decantarse por uno u otro

sistema.

2. Modelado de formas naturales

%as formas fractales, las formas en la "ue las partes se asemejan al todo, est&n presentes

en la materia biológica, junto con las simetrías #las formas b&sicas "ue solo necesitan la

mitad de información genética$ y las espirales #las formas de crecimiento y desarrollo

de la forma b&sica hacia la ocupación de un mayor espacio$, como las formas m&s

sofisticadas en el desarrollo evolutivo de la materia biológica en cuanto "ue se

 presentan en procesos en los "ue se producen saltos cualitativos en las formas

 biológicas, es decir posibilitan cat&strofes #hechos e3traordinarios$ "ue dan lugar a

nuevas realidades m&s complejas, como las hojas "ue presentan una morfología similar 

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a la pe"ue(a rama de la "ue forman parte "ue, a su vez, presentan una forma similar a la

rama, "ue a su vez es similar a la forma del &rbol, y sin embargo cualitativamente no es

lo mismo una hoja #forma biológica simple$, "ue una rama o un &rbol #forma biológica

compleja$.

3. Sistemas dinámicos

'ero adem&s las formas fractales no sólo se presentan en las formas espaciales de los

objetos sino "ue se observan en la propia din&mica evolutiva de los sistemas complejos

#ver teoría del caos$. 4in&mica "ue consta de ciclos #en los "ue partiendo de una

realidad establecida simple acaban en la creación de una nueva realidad m&s compleja$

"ue a su vez forman parte de ciclos m&s complejos los cuales forman parte del

desarrollo de la din&mica de otro gran ciclo. %as evoluciones din&micas de todos estos

ciclos presentan las similitudes propias de los sistemas caóticos.

4. n manifestaciones artísticas

%a m0sica puede contener formas fractales. lgunas obras cl&sicas de 5eethoven, 5ach

y 6ozart son ejemplos representativos seg0n reveló un estudio.7cita re"uerida8 /l

método "ue siguieron estos compositores, ya sea de manera intencionada o no, para

integrar fractales y matem&ticas era mediante una analogía entre una dimensión fractal yel n0mero y la disposición de las diferentes notas de una obra o pieza.7cita re"uerida8

Se usan tanto en la composición armónica y rítmica de una melodía como en la síntesis

de sonidos. /sto se debe al uso de lo "ue en composición se llaman 9micromodos9, o

 pe"ue(os grupos de tres notas, a partir de los cuales uno puede trabajarlos de manera

horizontal #melódica$, o vertical #armónica$. su vez, el ritmo puede ser trabajado en

sucesiones temporales específicas, "ue son determinadas por sucesiones de fractales.

'or otra parte, las litografías del artista holandés 6aurits Cornelis /scher #)+*+)*;$

desarrollaron con frecuencia estructuras matem&ticas complejas y avanzadas.

Con programas inform&ticos como pophysis o <ltra !ractal se pueden hacer im&genes

con técnicas diversas= cambiando par&metros, geometría de tri&ngulos o con

transformaciones aleatorias.

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!emplo" Calcular la edad de un pino.

%a geometría fractal es una de las cosas m&s vistosas de la matem&tica, generando

figuras de una simetría compleja y desconcertante para el observador no e3perto. %os

artistas la utilizan para hacer cuadros, y muchas ramas de la ciencia para dar e3plicación

a multitud de fenómenos y situaciones ine3plicables seg0n la geometría cl&sica no

fractal.

<na de las aplicaciones m&s sencillas "ue tiene la geometría fractal es el c&lculo de la

edad de los pinos jóvenes. %as plantas en general son una fuente de ejemplos casi

inagotable de fractalidad en la naturaleza. %os pinos, en concreto, presentan unas pautas

de crecimiento muy sencillas "ue permiten incluso al observador menos e3perimentado

calcular su edad muy f&cilmente.

%a geometría fractal se caracteriza por ser iterativa. /l pino en crecimiento refleja esta

iteratividad del siguiente modo: en primavera de la punta del tallo principal salen varias

ramas a una misma altura en varias direcciones, "ue contin0an creciendo durante la

temporada favorable. /n invierno este crecimiento se frena, pero al llegar la primavera

el patrón se repite: de la punta de cada rama salen a su vez varias ramas en diferentesdirecciones. > así sucesivamente cada a(o. 4e este modo las ramas m&s bajas del pino

son m&s complejas "ue las superiores y m&s ramificadas. Contando los nudos de

ramificación de las ramas bajas se puede conocer la edad del &rbol.

/ste método es aplicable hasta "ue el &rbol tiene ;? ó ;@ a(os. partir de entonces las

ramas m&s bajas van muriendo por falta de luz y hay "ue aplicar otras técnicas.