MATEMTICAS BSICAS

APLICACIONES DE LA INTEGRAL

Existen muchos campos del conocimiento en que existen aplicaciones de la integral. Por la naturaleza de este concepto, puede aplicarse tanto en Geometra, en Fsica, en Economa e incluso en Biologa.

Por slo citar algunos ejemplos, a continuacin se mencionan las aplicaciones ms conocidas de la integral:

1. Hallar el rea de regiones planas.2. Obtener los volmenes de slidos de revolucin.3. Calcular volmenes de slidos con secciones conocidas.4. Determinar la longitud de arco de una curva.5. Examinar el comportamiento aleatorio de variables continuas (funcin de densidad probabilidad).6. Conocer el valor promedio de una funcin.7. Hallar momentos (fuerzas que ejercen ciertas masa con respecto a un punto) y centros de masa ocentroide (el punto en que un objeto se equilibra horizontalmente).8. Encontrar la presin ejercida por un fluido.9. Calcular el trabajo realizado de mover un objeto de un punto a otro.10. Obtener velocidades y aceleraciones de mviles.11. Conocer el supervit del consumidor (cantidad de dinero ahorrado por los consumidores, al comprar un artculo a un precio dado).12. Determinar el flujo sanguneo (volumen de sangre que pasa por una seccin transversal por unidad de tiempo) de una persona y su gasto cardiaco (volumen de sangre bombeado por el corazn porunidad de tiempo.

A continuacin se profundiza en las primeras dos aplicaciones enlistadas.

CLCULO DE REAS PLANAS

Para calcular un rea plana, se efecta la siguiente metodologa:

1. Se trazan las curvas que limitan el rea que se desea conocer.2. Se identifican los puntos en los que se cortan las curvas.3. Se determina la zona de la que hay que calcular el rea.4. Se decide que variable conviene integrar5. Se procede a integrar bajo los lmites encontrados.

Ejemplos.Hallar el rea limitada por las siguientes condiciones:

Facultad de Contadura y Administracin. UNAMAplicaciones de la integralAutor: Dr. Jos Manuel Becerra Espinosa

11) Curva ySolucin:

x 2 , el eje x y por las rectas x

1 y x 3

y

16

12 rea

8

4

x1 2 3 4

3A x 2 dx

x3 3

27 1

26 8.66 u 21 3 1

3 3 3

2) El eje y , la curva xSolucin:

8 2 y

y 2 y por las rectas y

1 y y 3

y rea

4

3

2

1

-1 1 2 3 4

5 6 7 8 9 x

3A 8 2 y

y 2 dy 8 y y 2

3y 3

24 9 9

8 1 1 124

20 3

3 192 30.66 u 23

3

3) Curva ySolucin:

x 2 7 x

6 , el eje x y por las rectas x

2 y x 6

y

4

2

2 4 6

x-2

-4

-6rea

Por situarse debajo del eje de integracin x , debe afectarse todo por un signo negativo.

226 x3 7

6 216 7

8 7 A x2

7 x 6 dx

x 3 2

6x 2

36 36 4

32 3 2

12

72

126 36

8 14 3

12

18

2 3

56 18.66 u 23

4) Curva ySolucin:

x3 6x 2

8x y el eje x

y

2 rea

2 4x

-2

La curva corta al eje x en 0, 2 y 42A x30

6x2

8x dx

4 x32

6x2

8x dx

x 4

2x 3

24x 2

x 4

2x 3

44x 2

4 16 16 0

64 128 64

4 16 16 44 4 8 u 2

0 4 25) Hallar el rea comprendida entre la parbola y 2Solucin:

4x y la recta y

2 x 4

y

4

32 rea

1

1 2 3 4-1

5 6 7 x

-2

-3

-4

Despejando x de la ecuacin de la recta: x

y 42

y sustituyendo en la ecuacin de la parbola: y y 2 4 4

2 y 4

2 y 8y 2 2 y

2 8 0 , resolviendo la ecuacin: y

2 y 4

0 y1

2, y2 4x 2 41 2

1, x2

4 4 42

P1 1, 2 ,

P2 4,4rea pedida = rea bajo la recta - rea bajo la parbola:

4 y 4

4 y 2

4 y

4 y 2

y 2

4 4 y 3 A dy

dy

2 dy

dy

2 y 2 2 2 4

2 2

2 4 4

2 12 2

4 8 1 4

64

12

8

12 12

72 3 12

15 6

9 u 2

6) Hallar el rea comprendida entre las parbolas ySolucin:

6 x x 2 y y

x 2 2x

Igualando las ecuaciones para obtener los puntos de interseccin:6x x 2

x 2 2x

2x 2 8x 0

2x 2 8x 0factorizando:x 2x 8 0

x1 0

2 x 8 0

x 8 42 2

y1 6 0

02 0 0 0y2 6 4

42 24 16 8los puntos de interseccin son:

P1 0,0 ,

P2 4,8rea pedida = rea bajo la parbola 1 - rea bajo la parbola 2:

y y = x2 - 2x

8 P (4,8)

6rea

4

2 y = 6x - x2

(0,0)

2 4 6 8 x

4 4

4x3

4 x 3 A 6x

x 2 dx

x 2

2x dx

3x 2

x 2

0

0

3 0 3 0

3 16

64 0 0

64 16

0 0

48 64

64 16 64

21.66 u 2 3

3

3 3 3

VOLMENES SLIDOS DE REVOLUCIN

Si una funcin se gira con respecto a un eje del plano se genera un volumen conocido como slido de revolucin y al eje se le llama eje de revolucin.

Grficamente, esto es:

y y

y = f(x)

Gira

a b x x

a b

Funcin Slido de revolucin

En general, una funcin puede girarse libremente, por lo que la forma del slido que se genera depende, tanto de la naturaleza de la funcin, como del eje de revolucin.

En las siguientes grficas se aprecia como se forman slidos de revolucin conocidos, si se giran funciones muy elementales:

yy y = f(x)

Gira

a b x x

a b

Constante Cilindro

yy y = f(x)

Gira

a b x x

a b

Tringulorectngulo Cono

yy = f(x)

a

y

Gira

x x

a

Semicircunferencia Esfera

Un volumen del slido de revolucin se conforma de la suma infinita de franjas unitarias de volumen y si segenera haciendo girar a una funcin f x

alrededor del eje x , se puede calcular por medio de:

bV f xa

2 dx

donde a y b representan las rectas que lo limitan, es decir, son los extremos. Ejemplos.Calcular el volumen del slido de revolucin generado al hacer girar las siguientes funciones con los lmites marcados y el eje de revolucin dado.

1) y

x 2 , el eje x y las rectas x

1 y x 2Solucin:

y y

Gira

1 2 x x

1 2

2V x 2 2 dx

2 x 4 dx

x 5 2

32 31

19.47 u 31 1 5 1

5 5 5

2) y 2

8x , el eje x y las rectas x

0 y x 2Solucin:

y2 = 8xy y

Gira

1 2 x

1 2 x

22V 8x dx0

2 8x dx0

24x 2 16

0

0 16

50.26 u 3

3) y

4 x 2 , el eje y y las rectas y

0 y y 16Solucin:

y y

16 16

Gira

-8 8 x

-8 8 x

y = 4x2

16 V

2

y dy

16 y dy

y 2 16

256

0 32

100.53 u 30 4 0 4 8 0 8

4) y 2x , el eje y y las rectas y

2 y y 4Solucin:

y y

4 4

2 Gira 2

-2 2 x

-2 2 x

y = 2x

4 y 2V dy

4 y 2 dy

y 3 4 64 8

56 14.66 u 32 2 2 4

12 12 12 122

ECUACIONES DIFERENCIALES SENCILLAS

ORDEN, GRADO Y SOLUCIN DE UNA ECUACIN DIFERENCIALUna ecuacin que contiene derivadas o diferenciales se llama ecuacin diferencial. Ejemplos.1) 3x dy 8 y 7dxd 2 y2)dx 2

2e x dy dxd 2 x

y dy x3dx3) F

mdx 2

(segunda ley de Newton)

El orden de una ecuacin diferencial es igual al de la derivada de ms alto orden que aparece en la ecuacin.

Ejemplos.

dy1) 3dxd 3 y

d 2 y dx

4 y d 4 y

0 (ecuacin diferencial de segundo orden)2) xdx 3

8 xydx 4

5x 0 (ecuacin diferencial de cuarto orden)

El grado de una ecuacin diferencial es el exponente mayor de la derivada de mayor orden de la ecuacin.

Ejemplos.

2

2 3 d y 5 d y1)dx 2

2xy

7 dx3

9x 0

(ecuacin diferencial de tercer orden y segundo grado)

d 3 y

d 5 y

8 dy 2) 4

3 8x 9 y

5 11

12

0 (ecuacin diferencial de quinto orden y primer grado)dx

d 2 y

dx

3 d 4 y

dx

dy3) 6

dx 2

14xy

8 dx 4

15 0dx

(ecuacin diferencial de cuarto orden y tercer grado)

Una solucin de una ecuacin diferencial es aquella que satisface a la ecuacin, por ejemplo, si se tiene:d 2 y dx 2 dy dx2

3 dy dx

8 e x

4 y

12 e 4 x

0 , una solucin es: y

8 e x

3 e 4 x

, esto es:d ydx 2

8 e x

48 e 4 xsustituyendo en la ecuacin:8 e x

48 e 4 x

3 8 e x

12 e 4 x

4 8 e x

3 e 4 x

108 e x

48 e 4 x

24 e x

36 e 4 x

32 e x

12 e 4 x 0

SOLUCIN DE ECUACIONES DIFERENCIALES LINEALES (DE PRIMER Y SEGUNDO ORDEN)

Dependiendo del tipo de ecuacin diferencial, conviene aplicar un mtodo de resolucin particular. Por su sencillez, los ms utilizados son el de la obtencin de races del polinomio y el de separacin de variables.

En el primer caso, suele utilizarse el operador D en lugar de la derivada, a fin de que cada raz ai

del

ipolinomio formado, tenga la forma

C eai x , donde

Ci son constantes. Por su parte, la separacin devariables, se efecta a fin de facilitar su integracin.

Ejemplos.Resolver las siguientes ecuaciones diferenciales:1) 5 dy 8 y 0dxSolucin:

5 D 8 y 0 5D

8 xy C1 e 5

8 D 85

8dycomprobacin:dx

8 5 x5 C1 e8 x

8 x

8 x 8 xsustituyendo: 5

8 C e 5

8 C e 5

8 C e 5

8 C e 5 0

2) 4 dy dx

1

5

11y 0

1 1 1 Solucin:

4 D 11 y

0

11 x

4D 11 D 114y C1 e 4dy 11

11 x4comprobacin:dx

4 C1 e11 x

11 x

11 x

11 x

sustituyendo:

4 11 C e 4

11 C e 4

11C e 4

11C e 4 0

4 1

1 1 1

d 2 y3)dx 2

11 dy dx

28 y 0Solucin:2D 11 D

28 y 0

D 4 D 7 y

0 D1

4, D2 7

y C1

e 4 x

C e 7 x

d 2 y4)dx 2

2 dy dx

224 y 0Solucin:2D 2 D

24 y 0

D 6 D 4 y

0 D1

6, D2 4

2y C1

e 6 x

C e4 x

5) 8 y

4 dx

x 2 dy 0Solucin:8 y 4 dx

x 2 dysi se separan las variables se tiene:8 dx

dy, integrando:

8 dx dy x 2 y 4

x 2 y 48 ln x 2

ln y

4 , elevando a la e :

e8 ln x 2e8 ln x 2

eln y 4y 4

y e8 ln x 2 4

6) y dx

x 2 1 dy 0Solucin:y dx x 2

1 dyseparando las variables:dxx 2 1

dy, integrando:y

dx dy x 2 1 ytan 1 x ln

y , elevando a la e :

1e tan x e

1etan x

ln y

y

tan 1y e x