APLICACIONES DE LA

INTEGRAL DEFINIDA

Ixx

Long.curvavolumenÁREA

C.G

UBICACIÓN DEL TEMA

Integral definida

b

a

dxf(x)

Teoremas F.del CIntegral (R.Barrow)

APLICACIONES DE LA INTEGRAL DEFINIDA

presión trabajo Steinner

Varignón

GEOMÉTRICAS FÍSICAS

integral indefinida

f(x).dx

y = f (x)

derivada de una funciónf’(x)

APLICACIONES

lim f (x)x0

continuidad

Se desea cubrir el contrafrente

del galpón cuya sección y

medidas se indican. Determine

el costo de hacerlo, si se

utilizarán chapas que cuestan

$35. el m2.

2m

SITUACION PROBLEMÁTICA

SITUACION PROBLEMÁTICA

Se desea colocar una mampara vidriada en los accesos a la pérgola que se indica. La forma, sección y medidas se indican el croquis que se adjunta. Determine la cantidad de vidrio necesario (m2)

En el terreno libre de la FAU, adyacente a los talleres, se va a construir un

galpón que servirá de depósito de los elementos empleados en el Proyecto

Bambú. Se desea cubrir con chapas el contrafrente del galpón, cuya

estructura de cubierta está formada por arcos de filigrana con arco superior

de forma parabólica. De acuerdo al análisis de necesidades, las medidas

adecuadas son las indicadas en el gráfico.

Se pide que calcule, en m2 , la superficie a cubrir.

8m

3m4m

AREA DE UNA REGIÓN PLANA

y= f(x)

a b

Demostración

Consideremos una región R del

plano limitada por el eje de las

abscisas (en este caso x), las

rectas x = a y x = b y la curva

y= f(x), grafica de una función

f(x) continua y positiva en el

intervalo cerrado [a,b]

R

Realicemos una partición regular de [a, b]

La misma divide al intervalo en n

subintervalos cerrados de igual longitud.

[a = x0, x1], [x1, x2],… [xn-2, xn-1], [xn-1, xn =

b]

También consideremos puntos c a cada

subintervalo, así:

bn

xnxxa

n

abP ,1

,...i

x,1-i

x...,,1

x,0

c1 a, x1

c2 x2,x3

.

.

. cn xn-1,xn

a=x0 x1 x2 xi xn-1 xn=bc1 xi-1c2 ci cn

Para determinar una aproximación del

área de la región R consideramos una

serie de rectángulos R1,…Rn ,

• cuyas bases son los subintervalos antes

definidos

x0 ,x1 , x1 ,x2 ,…, xi-1,xi ,…, xn-1 ,xn Δx1 Δx2

Δxi=xi-xi-1 Δxn

• y cuyas alturas están dadas por el valor de f(x) en los puntos ci del

subintervalo considerado.

f(c1)

x1

f(c2)f(c3)f(c4)

f(ci)

f(cn)x2 xi xnx3

El área de cada rectángulo Ri es :

A(Ri)= f(ci) .

Δxi

La suma de las medidas de áreas de los n rectángulos nos da una

aproximación del área de la región R:

A( R) f(c1) .Δx1 + f(c2) .Δx2 + … + f(ci) .Δxi + … + f(cn) . Δxn

La cuál podemos expresar:

n

iii xcfA

1

)(

SUMA DE RIEMMAN

Para mejorar esta aproximación de la

medida del área de la región, A(R),

aumentamos la cantidad de

rectángulos:

Si repetimos este procedimiento (n),

en cada paso tendremos una mejor

aproximación a la medida del área

A(R) y así se llegara hasta un valor

límite que no es otra cosa que el

ÁREA DE LA REGIÓN R.

Simbólicamente

n

i

iin

xcfRA1

)(lim)(

Si este limite existe se le asigna un nombre: INTEGRAL DEFINIDA

DE f en [a,b], y una notación especial:

Con lo que la expresión (1) queda

b

adxxfA ).(

ix).

n

1i if(c

nlim

b

adxxf )(

Sea una función f continua y positiva en

el intervalo cerrado [a,b], la medida del

área de la región R del plano, acotada por

la grafica de la función y = f(x), el eje x y

las rectas x = a y x = b está dada por

b

adxxfA ).(

a b

y=f(x)

ÁREA ENTRE CURVAS

El área de la región encerrada por las

funciones y= f(x) y y= g(x) en el

intervalo cerrado [a,b] está dada por

b

a

dxxgxfA .)()(

y=f(x)

y=g (x)

a b x

f(x)-g(x)

x

y

A .M

CENTRO DE GRAVEDAD DE UNA REGIÓN PLANAMasa de la sección plana

V .MMasa de la sección plana Densidad

Medida del áreade la región plana R

Momento de masa

yMM x . xMM y .

CENTROIDE DE LA REGIÓN PLANA

M

My x

M

Mx y

x

y

M

ii x . f(ci) . A . iM

x . f(ci) .n

1i M

dx )( .b

a xfM

xi

f(ci)

a b

y=f(x)

M

Masa de la región

f(ci) 2

1.. i iii MyMMx

x . f(ci) .2

1 n

1i

2 xM

dx )( .b

a

2 xfM x

xi

f(ci)

Momento de masa

iii xcifxcifMx .)(.2

1f(ci)

2

1.).(. 2

dx )(. .b

a xfxM y

CENTROIDE DE LA REGIÓN PLANA

b

a

x dxxfAM

My 2)(

2

1

b

a

y dxxfxAM

Mx )(.

1

yi

a b

y=f(x)

x

y

Determine, aplicando integrales, el centroide de un triángulo de base

b y altura h. Verifique con geogebra.

Ecuación de la recta que determina la sección plana:

integralesMedida del área de la

sección plana:

geometría

hxb

hy

2

.hbA

Coordenadas del centroide:

bdxxb

hhxdxxfx

Ax

b

a3

1.

b.h

2 )(.

1b

0

hdxxb

hhdxxf

Ay

b

a3

1.

b.h

1 )(

2

1b

0

22

TEOREMA DE VARIGNÓN

El momento estático de la resultante de dos o mas fuerzas

concurrentes respecto a un punto contenido en el plano de las

mismas, es igual a la suma algebraica de los momentos estáticos de

las fuerzas componentes con respecto al mismo punto.

221.1 .F F . xxxR

Si consideramos que F = A ya que la densidad es constante y trabajamos con secciones planas de área A podremos emplear la expresión de Varignón para encontrar el CENTRO DE GRAVEDAD de figuras planas:

n

n

iA

ixiA

gx

1

1

.

n

n

iA

iyiA

gy

1

1

.

F1

F2

R=F1+ F2x1

x2

x

TEOREMA DE STEINER

El momento de inercia de un sólido rígido

respecto a cualquier eje paralelo a un eje

que pasa por el centro de masa, es igual

al momento de inercia con respecto al eje

que pasa por el centro de masa más el

producto de la masa por el cuadrado de

la distancia entre los dos ejes:

2m.d gI xxI

En el caso de secciones rectangulares:

d

x

x

bh

d

x

x2A.d gI xxI

2b.h.d 12

3b.h xxI

Al momento de inercia es un concepto de gran importancia en toda

consideración analítica-estructural. Es un valor dependiente de su

sección en función de su posición, tamaño y forma de la misma y

determina su capacidad de resistencia a la deformación elástica.

Si consideramos dos secciones de igual área pero apoyadas de distinta forma:

10

40

20

20

La sección colocada de canto será capaz de soportar mayor carga porque su

forma es mas apta para el trabajo de flexión.

INTEGRAL DEFINIDA

ix).

n

1i if(c

nlim

b

adxxf )(

Sea una función f definida en el intervalo

cerrado [a,b], la INTEGRAL DEFINIDA de f

en [a, b] simbolizada por

está dada por:

Si el límite existe

b

a

dxxf )(

y

y=f(x)

0 a b x

SEG

UN

DO

TEO

REM

A

FUN

DA

MEN

TAL

DEL

CÁ

LCU

LO

Si f es una función continua en el intervalo [a,b]

y F(x) es una primitiva particular de f(x) en [a , b]

entonces

F(a) F(b)f(x)dxb

a

n

i

ix

1

...........

SUMA DE RIEMMAN